S_3 Modelos Discretos de Probablidad. UTEL

Introducción

En la unidad anterior se analizó el concepto de variable aleatoria discreta, se mencionólaunidadanteriorseanalizóelconceptodevariablealeatoriadiscreta,semencionósuimportanciayademássehizoénfasisenquelasvariablesaleatoriasnoeransólounarepresentaciónmásdeloseventossinoqueintroducenlateoría de funcionesalestudiodelasprobabilidades;portanto,selesheredantodaslaspropiedadesyoperacionesdelasfunciones.Enconclusión,elestudiodelasvariablesaleatoriassepuedellevaracabodemanerasimilaraldelasfunciones.

En la presente unidad se analizará una clasificación de las variables aleatoriasdiscretas más comunes, se encontrarán su dominio, su rango y sus parámetros máscomunes,comoelvaloresperadoylavarianza.

Secomienzaconelprocesodevariablediscretamássencillo, llamadoproceso deBernoulli,quesirvedeantecedentealmodelodevariablediscretabinomial.Posteriormente,seestudiaráunmodeloconpruebasindependientesinfinitas:elmodelo geométrico;parafinalizar,losexperimentosaleatorios(depruebasindependientes)conelusodelmodelo binomial negativo odePascal.

El estudio continúa dando un giro hacia los modelos cuyas pruebas en elexperimento son dependientes: el modelo hipergeométrico, propicio en el estudio de lastécnicas de calidad,paraloscasosenqueserealizanmuestreosaleatorios(sinreemplazo)enpoblacionesdivididasenartículosconysindefectos.

Parafinalizarlaunidad,seestudiaelmodelo de Poisson,elcualseaplicaenlaslíneasdeespera,lateoríadeinventarios,etcétera.

La forma de trabajo de esta unidad es la siguiente: en cada modelo se dan lasdefinicionesy fórmulascorrespondientespara lasvariables,cálculodeprobabilidades,distribución de probabilidad, valor esperado y varianza y, por último, se resuelvenejemplosconbaseenlosresultadosobtenidos.

6.1 Modelo binomial

Unexperimento amenudo consiste enpruebas repetidas, cadauna condosposiblesresultados que se pueden etiquetar como éxito o fracaso. Por ejemplo, al lanzar unamoneda,elresultadoqueseaobjetodeestudio(caraáguila)seráconsideradoéxitoyelotroresultado(carasol)seráfracasoconprobabilidadesp yq = 1– p,respéctivamente;si losensayosqueserepitensonindependientesylaprobabilidaddeéxitopermanececonstanteencadaensayo,elprocesosedenominaproceso de Bernoulli,esdecir

Un experimento aleatorio se llama de Bernoulli cuando cumple las siguientes tres condiciones

1. El experimento consta de n (número finito) pruebas independientes.2. Cada prueba tiene sólo dos resultados: éxito y fracaso.3. La probabilidad de éxito en una prueba es p y la de fracaso es q = 1 – p, y se mantienen

constantes de prueba en prueba.

Definición 6.1

172 Estadística y probabilidad

A cada una de las pruebas efectuadas en un experimento de Bernoulli se les llama ensayos de Bernoulli.

Poréxito en un ensayoseentiendeel cumplimiento de la variable aleatoria;esdecir,si la variableX sedefine como: “cantidadde artículosdefectuosos”,unéxito seráunartículodefectuoso.

SeconsideraunconjuntodeexperimentosdeBernoulli.LavariablequecuantificaelnúmeroXde éxitos enn experimentosdeBernoulli sedenominavariable aleatoria binomial. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria define el modelobinomial:

Un experimento de Bernoulli puede convertirse en un experimento binomial si la variable aleatoria X representa la cantidad de éxitos en n ensayos de Bernoulli; es decir, si los n ensayos que se repiten son independientes, se genera el modelo binomial para la variable aleatoria X

B k n p P X k C p qkn k n k( ; , ) ( ) = = = − , k = 0,1,2,3,...,n

Acontinuaciónsepresentanalgunosejemplosenlosqueesposiblecomprobarsilavariablealeatoriadefinidaenelproblemaesonobinomial.

1. Unsistemadetresradaresparadetectarcarrosagranvelocidadse instalaenunacarretera.Cadaradarfuncionademaneraindependienteconprobabilidadde0.99dedetectaruncarroqueviajecongranvelocidad.Secalculalaprobabilidaddequeuncarroqueviajaagranvelocidadpordichacarreteranoseadetectado.

Considerandolavariablealeatoria

X:“cantidadderadaresquedetectanelcarroqueviajacongranvelocidad”

sedeterminasiesteexperimentoesdetipobinomial.

Esnecesarioverificarquesecumplenlascondicionesdeunexperimentobinomial.

• elexperimentoconsisteentresensayos,cadaunodeellosdeterminasielradardetectaonoalcarroqueviajaagranvelocidad.Porlascondicionesdelproblemaesposibleobservarquesonindependientes

• alpasarelcarroagranvelocidadporunradarsólopuedeocurrirunadedoscosas:queseaonodetectado;esdecir,unéxitoounfracaso

• eléxito(queseadetectado)delascondicionesdelproblemaseconservaconstantederadarenradareiguala0.99;deigualmaneraelfracasoes0.01

Acontinuaciónsepresentandosejemplosdondenosecumplenlascondicionesdeunexperimentobinomial(esdecir,nosecumplealgunadelaslastrescondicionesdeBernoulli).

Definición 6.2

Definición 6.3

Ejemplo 1

Comprobación

173Unidad 6 • ModElos discrEtos dE probabilidad

2. Enelejemploanteriorse cambian las condiciones en la detección de los radares,detalformaqueenladetecciónéstossigansiendoindependientes,perolasproba-bilidadesdedetectaruncarroa granvelocidad seandiferentesde radar en radar.ÉstenoesunexperimentodeBernoulli,puestoquenocumplelacondición3:lasprobabilidadesdeéxitoyfracasosondiferentesenlosensayos.

3. Sisecambialacondicióndeindependenciadeladeteccióndelosradares,esdecir,quelaprobabilidaddedetectardelsegundoradardependadelresultadodelprimeroyladeltercero,delsegundo,noesunexperimentobinomial,puestoquenosecumplenlascondicionesdeBernoulli(condicióndeensayosindependientes).

Acontinuaciónsepresentandosejemplosenlosquesepuedeobservarlaimportanciadeelegirloselementosdelamuestraconysinreemplazo.

4. Unaurnacontienediezesferas,tresrojasysieteazules.Seextraencuatro,unatrasotraconreemplazo.Sedefinelavariablealeatoriadiscreta

X:“cantidaddeesferasrojasdelascuatroextraídas”

sedeterminasiesteexperimentoesdetipobinomial

Esnecesarioverificarque se cumplen las condicionesparaqueseaunexperimentobinomial.Primero,noexistecontradicciónenelexperimentoconrespectoalascantidades,

puestoquealpermitirseelreemplazosepuedeextraercualquiercantidaddeesferasrojas.Elexperimentoconsisteencuatroensayos,encadaunodeellossedeterminasi

laesferaextraídaesroja.Por lascondicionesdelproblema,sepuedeobservarque lasextraccionessonindependientes,puestoquealvolveracolocarlaesferaenlaurna,enlasegundaextracciónsetienenlasmismascondicionesiniciales;esdecir,elprimerensayonoinfluyeenelsegundo.

Alextraerunaesferadelaurnasólopuedeocurrirqueseaonoroja;esdecir,unéxitoounfracaso.Eléxitodequelaesferaextraídasearojaseconservaconstantedeextracciónenextraccióneiguala0.3.Portanto,elfracasoes0.7.

5. Enelexperimentoanteriorsecambialacondiciónyseextraensólotres,unatrasotra,perosinreemplazo;elexperimentonoesbinomial,puestoquesealteralaindependencia,talycomosemencionóenlaunidad4sobreloseventosindependientes.

Deestosdosejemplos,esposibleobservarquelacondiciónconysinreemplazoesfundamentalparaelexperimentobinomial.

Sesimboliza

P(X = k):“laprobabilidaddequeenelexperimento binomial ocurrankéxitosdeuntotaldenensayos”

EstaprobabilidadconfrecuenciasesimbolizaporB(k;n,p),lacualrepresentaelmodelo binomial,dondesequieretenerkéxitosdenensayosconprobabilidaddeéxitopencadaensayo.Ahorasepresentalafórmulaparacalcularlasprobabilidades:

Dada una variable aleatoria binomial X, y RX = {0,1,...,n}, con éxito p y fracaso q=1– p, se cumple

B k n p P X k C p qkn k n k( ; , ) ( )= = = − , k = 0,1,2,3,...,n

Teorema 6.1

Comprobación


Con el uso de la definición de una variable aleatoria binomial, se tienen n ensayos deBernoulliindependientesconprobabilidaddeéxitopyfracaso q=1–p;comonosinteresalaprobabilidaddequeseankéxitos,paracuandolosprimeroskensayosseanexitosos

p p p q q q p qk n k

k n k⋅ ⋅ ⋅ =−

−

éxitos fracasos

Faltaría conocer cuántos de tales productos pueden ocurrir en el experimento;delastécnicasdeconteo(unidad3)sesabequepodemosacomodarkyn–kelementosigualesde

Cn

k n kkn =

−!

!( )!,formas

dedondesededuce

P X k C p qkn k n k( )= = −

Enunmodelobinomialladistribucióndeprobabilidadestádadaporladefinición6.4.

Se llama distribución de probabilidad binomial de una variable aleatoria binomial al conjunto de parejas (k, B(k; n, p)), para k = 0,1,...,n.

Conelsiguienteteoremasecomprobaráqueefectivamenteladefiniciónanteriorsetratadeunadistribucióndeprobabilidad,esdecir,lasumadetodassusprobabilidadesesigualauno.

Dada una variable aleatoria binomial X, con distribución (k, B(k; n, p)), para k = 0,1,...,n, con éxito p y fracaso q=1–p, entonces

B k n p C p qk

n

kn k n k

k

n( ; , )

=

−

=∑ ∑= =

0 0

1

LademostraciónseobtienedelbinomiodeNewton

( )a b C a bnkn k n k

k

n+ = −

=∑

0

con a = pyb=q=1–p.Sesustituye

C p q p qkn k n k

k

nn n−

=∑ = + = =

0

1 1( ) ( )

Para terminar con el estudio del modelo binomial, se deducen las fórmulas paracalcularlosparámetrosdevalor esperadoylavarianza.

Definición 6.4

Teorema 6.2

Demostración

Demostración


El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria discreta X con distribución binomial, que consta de n ensayos, con éxito p y fracaso q=1–p, son

a) E(X) = npb) V(X) = npq

a) Conelusodeladefinicióndevaloresperadodeunavariablealeatoriadiscretaparaladistribución binomial,setiene

E X kC p q C p q kC p q kC p qkn k n k

k

nn n

kn k n k

k

n

kn k n k( ) = = + =−

=

− −

=

−∑ ∑0

00 0

1

0kk

n

=∑

1

Alhacerelcambiodevariablek = m+1,cuandok=1⇒m=0yk=n⇒m=n–1

E X m C p q p m C p qmn m n m

m

n

mn m n m

m

( ) ( ) ( )( ) ( )= + = +++ − +

=

−

+− −

=∑ 1 11

1 1

0

1

11

00

1n−

∑

Delaspropiedadesdecombinatorias,setiene

( )m C nCmn

mn+ =+

−1 11

donde

E X np C p qmn m n m

m

n( ) ( )= − − −

=

−

∑ 1 1

0

1

Conelusode

C p q p qmn m n m

m

nn− − −

=

−−∑ = + =1 1

0

11 1( ) ( )

entoncesE(X)=np

b) Conelteorema5.2paracalcularlavarianza

V(X)=E(X2)–[E(X)]2

V X k C p q E X k k k C p q npkn k n k

k

n

kn k n k

k

n( ) [ ( )] ( ) ( )= − = − + −−

=

−

=∑ ∑2

0

2 2

0

2

== − + −

= −

−

=

−

=∑ ∑k k C p q kC p q np

C p q

kn k n k

k

n

kn k n k

k

n

n n

( ) ( )

( )

1

0 0 1

0 0

2

00 −− − −

=+ − + − + −∑0

11 1

2

21 1 1 1( ) ( ) ( )C p q k k C p q np npn nkn k n k

k

n

Alhacerelcambiodevariablek = m+2,cuandok=2⇒m=0yk=n⇒m=n–2

Teorema 6.3

Demostración


V X m m C p q p m m Cmn m n m

m

n

m( ) ( )( ) ( )( )( )= + + = + ++− + − +

=

−

+∑ 2 1 2 122 2 2

0

22

2nn m n m

m

np q− − −

=

−

∑ 2 2

0

1( )

Delaspropiedadesdecombinatorias,setiene

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

m m C n n C

V X n n p C p q

mn

mn

mn m n m

m

+ + = −

= −

+− −

− − −

2 1 1

1

22 2

2 2 2

==

−

∑ + −0

22

nnp np( )

como

C p qmn m n m

m

n− − −

=

−

∑ =2 2

0

21( )

entonces

Pararesolverproblemassobremodelosdevariablediscreta,serecomiendaseguirlostrespasossiguientes:

I. Definir la variablealeatoriaenestudio. II. Identificar el modeloalquepertenecelavariabledefinida. III. Aplicar las fórmulascorrespondientesparaelcálculodeprobabilidades,valor

esperadoyvarianza.

1. Unsistemadetresradaresparadetectarcarrosagranvelocidadse instalaenunacarretera. Cada radar funciona independientemente, con 0.99 de probabilidad dedetectaruncarroqueviajacongranvelocidad.ConsiderandoalavariablealeatoriaX: “el número de radares que detectan al carro que viaja con gran velocidad”, secalcula

a) ladistribucióndeprobabilidadparaX b) elvaloresperadoylavarianzadeX

I.Enesteejemploelprimerpuntopara la solucióndeproblemasyase llevóacabo,puestoquelavariableyasedefinió

X:“elnúmeroderadaresquedetectanalcarroqueviajacongranvelocidad”

II.Identificación del modelo. Es de distribución binomial, puesto que en el ejemploanterior1,resultóqueX tieneunadistribución binomialconRX={0,1,2,3}.

III.Aplicacióndelasfórmulas.Setiene

a) delteorema6.1,parap =0.99yq=0.01resulta

P X C

P X C

( ) ( . ) ( . ) .

( ) ( . ) ( . )

= = =

= = =

0 0 99 0 01 0 000001

1 0 99 0 01

03 0 3

13 1 2 00.000297

0.029403P X C

P X C

( ) ( . ) ( . )

( ) ( . )

= = =

= =

2 0 99 0 01

3 0 99

23 2 1

33 33 00 01( . ) = 0.970299

Nota

Ejemplo 2

Procedimiento

V X n n p np np np np np np np p npq( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + − = − + − = − =1 12 2 2 2 2


b) delteorema6.3,seobtiene

E X np

V X npq

( ) ( . ) .

( ) ( . )( . ) .

= = == = =

3 0 99 2 97

3 0 99 0 01 0 0297

2. Unaurnacontienediezesferas,tresrojasysieteazules.Seextraencuatro,unatrasotraconreemplazo.

a) determinarcuántasesferasdelasextraídasseesperaseandecolorazul b) calcularlaprobabilidaddequealmenosdosseanazules

I.Definicióndelavariable

X:“cantidaddeesferasazulesdelascuatroextraídas”

II.Identificacióndelmodelo.Yasellevóacabo,puestoqueenelejemplo1,numeral4,resultóqueXtieneunadistribuciónbinomialcon

R p y qX = { } = = = =07

100 7

3

100 3, , . .1,2,3, 4

III.Aplicacióndelasfórmulas

a) delteorema6.3,E(X)=np=4(0.7)=2.8b) P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )≥ = = + = + =2 2 3 4 oporsucomplemento,resulta

P X P X P X( ) ( ) ( )≥ = − = + =[ ]2 1 0 1

Conelteorema6.1,paraloscálculos

P X C

P X C

( ) ( . ) ( . ) .

( ) ( . ) ( . )

= = =

= = =

0 0 7 0 3 0 0081

1 0 7 0 3

04 0 4

14 1 3 0.0756

donde

P X( ) . . .≥ = − +[ ]= − =2 1 0 0081 0 0756 1 0 0837 0.9163

3. Deunaproduccióndetornillos10%resultacondefectos.Sisetomaunamuestra

de diez tornillos, se calcula la probabilidad de encontrar no más de dos tornillosdefectuosos.

I.Definición de la variableDefinicióndelavariable

X:“cantidaddetornillosdefectuososenlamuestra”.

II.Identificación del modelo. Se tiene que 10% de la producción de tornillos esdefectuosa,esteporcentajeseconsiderainvariableenlosensayosdelexperimentoyporconsiguientelosresultadosseránindependientesylamuestraesfinitan=10.

Cadaqueseanaliceuntornillopuedeocurrirsólouncaso,oesdefectuosoono,esdecir,setieneúnicamenteunodelosdosresultados.

Procedimiento

Procedimiento

17� Estadística y probabilidad

Eléxitop=0.10consisteenqueeltornilloseadefectuoso,yel fracasoq=0.90;ambossonconstantesdeensayoenensayo.

Como cumplió con las tres condiciones de Bernoulli, la variable tendrá unadistribucióndetipobinomial.

III.Aplicacióndelasfórmulas.Setiene

P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )≤ = = + = + =2 0 1 2

Conelusodelafórmuladel teorema 6.1, en cada una de las probabilidades anterio-elteorema6.1,encadaunadelasprobabilidadesanterio-resyefectuandoloscálculoscorrespondientes,setiene

P X C C C( ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )≤ = + +2 0 1 0 9 0 1 0 9 0 1 0 9010 0 10

110 1 9

210 2 8 == 0.9298

Sepuedeconcluirqueespocoprobable(1–0.9298=0.0702)quesetenganmásdedostornillosdefectuososenunamuestradediez.

A continuación se presenta una serie de histogramas para la distribuciónbinomial,condiezensayosydiferentesvaloresdep,desde0.1hasta0.9;dondepodemos apreciar que la distribución binomial es más simétrica cuando el valor de p se aproxima a 0.5,mientrasqueparalosvaloresmásalejadosseobservaunsesgoensucomportamiento.

Enestasgráficassepuedeobservarqueladistribuciónessesgada.Cuandop< 0.50setieneunsesgoaladerecha,mientrasqueenlosvaloresdep>0.50,elsesgoesalaizquierda

Histogramas de la distribución binomial para = 10 0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

p = 0.10

0.34

9

0.38

7

0.19

4

0.05

7

0.01

1

0.00

1

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

p = 0.90

0.34

9

0.38

7

0.19

4

0.05

7

0.01

1

0.00

1

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

p = 0.20 p = 0.80

0.10

7

0.26

8

0.30

2

0.20

1

0.08

8

0.02

6

0.00

6

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.00

0 0.10

7

0.26

8

0.30

2

0.20

1

0.08

8

0.02

6

0.00

6

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

p = 0.30 p = 0.70

0.02

8 0.12

1

0.23

3

0.26

7

0.20

0

0.10

3

0.03

7

0.00

9

0.00

1

0.00

0

0.00

0

0.02

80.12

1

0.23

3

0.26

7

0.20

0

0.10

3

0.03

7

0.00

9

0.00

1

0.00

0

0.00

0

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

17�Unidad 6 • ModElos discrEtos dE probabilidad

Estasgráficasayudanacomprendermáslasimetríadeladistribuciónbinomialconrespectoapy1–pcuandoptiendea0.50.

Ejercicio 1

1. Larevisiónaduanalenelaeropuertoserealizaaleatoriamentemedianteunsemáforo,sialpasarunapersonaseactivalaluzroja,serevisansuspertenencias;encasodeactivarselaluzverde,elviajeropasasinrevisión.Laluzrojaaparececon10%defrecuencia.Sisetomaunamuestrade18personas,calcula

a) laprobabilidaddequetresomásseanrevisadas b) laprobabilidaddequemenosdecincoseanrevisadas c) de100personas,¿cuántasseesperaqueseanrevisadas?

2. Siengeneral,quincedecada100hijosdepadresalcohólicosnacencondeficienciasfísicasomentales

a) calcula la probabilidad de que de los próximos diez nacimientos (de padresalcohólicos),porlomenosdosniñosresultencondeficienciasfísicasomentales

b) delospróximos20nacimientos(depadresalcohólicos),calculacuántosniñosseesperaquenotengandeficienciasfísicasomentales

3. Una máquina produce generalmente 5% de artículos defectuosos. Se toma unamuestraalazardeochoartículos.Siéstaproducemásdedosobjetosdefectuosos,serevisarátodalaproducción.

a) calculalaprobabilidaddequeocurralainspecciónb) calculacuántosartículosseesperaquenoresultendefectuososenunamuestra

de50

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

p = 0.40 p = 0.60

0.00

6

0.04

0 0.12

1 0.21

5

0.25

1

0.20

1

0.11

1

0.04

2

0.01

1

0.00

2

0.00

0

0.00

6

0.04

00.12

1

0.21

5

0.25

1

0.20

1

0.11

1

0.04

2

0.01

1

0.00

2

0.00

0

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

0.4

0.3

0.2

0.1

0

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

p = 0.50

0.00

1

0.01

0

0.04

4 0.11

7 0.20

5

0.24

6

0.20

5

0.11

7

0.04

4

0.01

0

0.00

1

1�0 Estadística y probabilidad

4. Unexamenconstade20preguntasdeverdaderoyfalso.Unestudiantequenosehapreparadodecidelanzaralaireunamonedapararesponder;anotaverdaderosilacaradelamonedaessolyfalsosiescaraáguila.

a) siparaaprobarelexamentienequecontestarporlomenos70%delaspreguntascorrectamente,calculalaprobabilidaddequepaseelexamen

b) calcula la probabilidad de que conteste a lo más la mitad de las preguntascorrectamente

5. Deciertapoblación10%sufrediabetes.Siseseleccionan20personasalazar

a) calculalaprobabilidaddequealmenosdosdeestaspersonasseandiabéticas b) calculalacantidaddepersonasqueseesperaseandiabéticas

6.2 Modelo geométrico

Elmodelobinomialqueseanalizóproporcionarespuestaaunagrancantidaddeproblemasconpruebasindependientes.Sinembargo,enlaprácticacongranfrecuenciaseencuentranotrotipodeproblemas(tambiéndeensayosindependientes)que,adiferenciadelmodelobinomial,notienenunacantidadfinitadepruebasporrealizarsinoqueelexperimentoseterminahastaqueseobtieneelprimeréxito.Aestetipodemodeloselellamageométrico(debidoasufórmulaparacalcularsusprobabilidades).

Un experimento aleatorio se llama geométrico si cumple con cuatro condiciones

1. El experimento consta de ensayos independientes.2. Cada ensayo tiene sólo dos resultados: éxito y fracaso.3. La probabilidad de éxito en un ensayo es p y la de fracaso q = 1 – p, y se mantienen constantes

de ensayo en ensayo.4. El experimento termina cuando se obtiene el primer éxito en un ensayo.

Despuésdedefinirelexperimento,seproporcionaunadefiniciónparalavariablealeatoriacorrespondiente.

Se llama variable aleatoria geométrica a la variable aleatoria discreta X, definida en un experimento geométrico, que representa la cantidad de pruebas necesarias hasta obtener el primer éxito.

Acontinuaciónsepresentanalgunosejemplosdevariablealeatoriageométrica.

1. Allanzarunamonedasedefinelavariablealeatoria

X:“cantidaddelanzamientoshastaqueresultecaraáguila”

2. Si35%deunapoblaciónestáafavordeuncandidato,sepuededefinirlavariablealeatoria

X:“cantidaddepersonasquesevaaentrevistaralazarhastaobtenerlaprimeraqueestéafavordelcandidato”

Definición 6.5

Definición 6.6

Ejemplo 3

1�1Unidad 6 • ModElos discrEtos dE probabilidad

3. Siunamáquinaderefrescossuministraunpocomásde200mlporvasoyderrama5%derefresco,sedefinelavariablealeatoriacomo

X:“cantidaddevasosdespachadoshastaobtenerunoquesederrame”

SesimbolizaporG(k;p)=P(X=k)a laprobabilidaddequeelprimeréxitoocurra en el ensayo k. La fórmula para calcular las probabilidades de un modelogeométricoestádadaenelsiguienteteorema.

Dada una variable aleatoria geométrica X, con éxito p y fracaso q = 1 – p, entonces

G k p P X k q p kk( ; ) ( ) , , , ,= = = =−1 1 2 3

Conelusodeladefinicióndevariablealeatoriageométrica,setienequelasprimerask –1pruebassonfracasoseindependientesconprobabilidadesq=1–p.Mientrasquelak–ésimapruebaeselprimeréxito,ytambiénesindependienteconprobabilidaddeéxitop.Donde

P X k q q q p q pk

k( )= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

−. . .1

1

veces

Despuésdeencontrar la fórmulaparael cálculodeprobabilidades, sedefine ladistribucióndeprobabilidadescorrespondiente.

Se llama distribución de probabilidad de una variable aleatoria geométrica X con éxito p, a las parejas (k, G(k; p)), para k=1,2,...

Deladefinicióndevariablealeatoriacondistribucióngeométricasedebeobservarqueelrangodelavariable,adiferenciadelabinomial,comienzaenunoynotermina,esdecir,esinfinito.

Después de definida la distribución geométrica, se verifica que la definición serefiereaunadistribucióndeprobabilidad.

Dada una variable aleatoria geométrica X con distribución (k, G(k; p)) para k=1,2,..., con éxito p y fracaso q=1–p, entonces

G k p q pk

k

k

( ; )=

∞−

=

∞

∑ ∑= =1

1

1

1

Seobtieneconelusodelaprogresióngeométrica

11

1

1

+ + + =−

−

+q q

q

qk

k

,yellímite lím

k

kq→∞

= 0 ,para0≤q<1

Teorema 6.4

Definición 6.7

Nota

Teorema 6.5

Demostración

Demostración


G k p q p p lím q p límq

qp

k

k

k N

k

k

N

N

N

( ; )=

∞−

=

∞

→∞

−

= →∞∑ ∑ ∑= = =

−−

= ⋅1

1

1

1

1

1

1

1

11

11

−= ⋅ =

qp

p

Finalmente, se obtienen las fórmulas correspondientes a los cálculos del valoresperadoylavarianzadeunavariablecondistribucióngeométrica,estoúltimoconeluso del siguiente teorema, el cual no se demostrará, debido a que es necesario tenerconocimientodeseriesnuméricasconvergentes.

Dada una variable aleatoria discreta X con distribución geométrica, con éxito p y fracaso q = 1 – p, entonces se cumple

E Xp

V Xp

p

( )

( )

=

=−

1

12

Enlosmodelos geométricossepresentanconfrecuenciaprobabilidadesdelostipos:P X k( )≤ o P X k( )≥ +1 ,por loque es conveniente tener fórmulas adecuadaspara suscálculos.

Dada una variable aleatoria discreta X con distribución geométrica, éxito p y fracaso q=1–p, entonces

P X k qk( )≤ = −1 , P X k P X k qk( ) ( )≥ + = > =1 , para k=1,2,...

Laprimerfórmula,P(X≤k),sededucedelasdefinicionesdedistribucióngeométrica,ylasumatoriadeunaprogresióngeométrica

P X k pqi p q p q pq

qqk

i

ki

i

ki

i

k kk( )≤ = = = =

−−

= −−

=

−

= =

−

∑ ∑ ∑1

1

1

1 0

1 1

11

Lasegundafórmulaseobtieneporelcomplementodelaprimera

P X k P X k P X k q qk k( ) ( ) ( ) ( )≥ + = > = − ≤ = − − =1 1 1 1

Para el cálculo de probabilidades de un modelo geométrico se verificarán las trescondicionesdeBernoulliobinomiales.

1. Si25%deunapoblaciónestáafavordeuncandidatoparalaseleccionespresidenciales,almomentoderealizarentrevistas

a) seobtienelaprobabilidaddequelaprimerpersonaqueestéafavordelcandidatoseencuentredespuésdelaquintapersonaentrevistada

b) calcular cuántaspersonas seesperaentrevistarhastaencontrar laprimeraqueestéafavordelcandidato

Teorema 6.6

Teorema 6.7

Ejemplo 4

Demostración



X:“cantidaddepersonasquesevaaentrevistaraleatoriamentehastaobtenerlaprimeraqueestéafavordelcandidato”

II.Identificacióndelmodelo.Yasellevóacabopuestoqueenelejemplo3,numeral2,seobtuvoqueXcumpleconunavariablegeométricacon p=0.25y q=0.75.

III.Aplicacióndelasfórmulas

a) delteorema6.7,P(X>5)=q5=(0.75)5=0.2373b) delteorema6.6,E(X)=1/p=1/0.25=4

2. Unjugadordebaloncestoacierta80%desuslanzamientosdetiroslibresalacanasta,porpartido.Secalculalaprobabilidaddequeensólounodelossiguientescincopartidosanotesuprimercanastadetiroslibresdespuésdelsegundolanzamiento.Sesuponequelascondicionesdejuego,departidoenpartido,sonindependientes

Sedefinelavariablealeatoria

X:“cantidaddelossiguientescincopartidosenqueanotaunacanastadespuésdelsegundolanzamiento”

Delacondicióndeindependencia,Xtieneunadistribuciónbinomialcon n=5yéxitop.Paraencontrarelvalordepesnecesariorecordarsusignificado:prepresentaeléxitodeX,esdecirqueenunpartidoeljugadoranotaunacanastadespuésdelsegundolanzamiento.

Paracalcularelvalordep,primerosedefinelavariablealeatoria

Y:“cantidaddelanzamientosenunpartidohastaanotarsuprimercanasta”

Como se puede observar, Y tiene distribución geométrica con pY = 0.80 (elsubíndiceseempleaparadiferenciarladeléxitodeX).

p P Y q pY Y= > = = − = − =( ) ( ) ( . ) .2 1 1 0 80 0 042 2 2

Finalmente,pordefinicióndevariablebinomial

P X C p q( ) ( . )( . )= = = =1 5 0 04 0 9615 1 4 4 0.16987

Paraconcluirelestudiode ladistribucióngeométrica,seanalizaqueéstaessesgadahacialaderecha

Procedimiento

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0 1 2 3 4 5 6 7

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

p = 0.80

0.80

0

0.16

0

0.03

2

0.00

6

0.00

1

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0 1 2 3 4 5 6 7

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

p = 0.50

0.50

0

0.25

0

0.12

5

0.06

3

0.03

1

0.01

6

0.00

8

0.00

4


Ejercicio 2

1. Unamáquinaderefrescossuministraunpocomásde20mlporvasoyderrama5%delosvasosdespachados.Definimosalavariablealeatoria

X:“cantidaddevasosdespachadoshastaobtenerelprimeroquesederramará”

Consideraquelamáquinadespachaellíquidodemaneraindependientevasoconvasoycalculalaprobabilidaddequeelprimervasoquesederrameseadespuésdelquinceavo.

2. Trespersonasenunacafetería lanzanmonedasalaire; lacaraqueresultedistintapagará lacuenta.Si los tresresultadossoniguales, se lanzan lasmonedasnueva-mentehastaqueresulteunadistinta.

a) calculalaprobabilidaddequesenecesitenmásdecuatrointentosparaobtenerunperdedorquepaguelacuenta

b) determinaenquéintentoseesperateneralperdedor

3. Uninspectorencontróqueenseisdedieztiendasquevisitósepresentanirregula-ridades.Sielinspectorvisitaunaseriedetiendasalazar,calculalaprobabilidaddeque

a) seencuentrelaprimeratiendaconirregularidadesdespuésderevisarlacuartatienda

b) determinacuántastiendasseesperaquevisiteparaencontrar laprimeraconirregularidades

4. Enunlotedeartículoshay3%dedefectuosos.Sisetomanartículosalazar,unotrasotro,hastaencontrarunodefectuoso,calculalaprobabilidaddeencontrarunodefectuosodespuésdeinspeccionarcinco.

5. Seestimaque70%deunapoblacióndeconsumidoresprefiereunamarcaparticulardepastadedientes,A,calculalaprobabilidaddequealentrevistaraungrupodeconsumidores

a) setengaqueentrevistarexactamenteatrespersonasparaencontrarelprimerconsumidorqueprefierelamarcaA

b) setengaqueentrevistarporlomenosadiezpersonasparaencontrarelprimerconsumidorqueprefierelamarcaA

6.3 Modelo de Pascal o binomial negativo

ElmodelodePascaleslacombinaciónentrelosmodelosbinomialygeométrico.EnelmodelodePascallosensayosdelexperimentoserealizanhastaobtenereln-ésimoéxito.

Elmodeloseformalizaconlasiguientedefinición.


Un experimento aleatorio se llama de Pascal o binomial negativo, cuando cumple las cuatro condiciones siguientes

1. El experimento consta de ensayos independientes.2. Cada ensayo tiene sólo dos resultados; éxito y fracaso.3. La probabilidad de éxito en un ensayo es p y la de fracaso q=1– p, y se mantienen constantes

de ensayo en ensayo.4. El experimento termina cuando ocurre el n-ésimo éxito.

A la variable aleatoria discreta X, definida en un experimento de Pascal que representa la cantidad de pruebas necesarias hasta obtener el n-ésimo éxito, se le llama variable aleatoria de Pascal o binomial negativa.

1. Allanzarunamonedasedefinealavariablealeatoria

X:“cantidaddelanzamientoshastaqueresultencincocaraságuila”

2. Enunapoblación,35%estáafavordeuncandidatoparalaseleccionespresidenciales.Sedefinelavariablealeatoria

X:“cantidaddepersonasqueseentrevistaránalazarhastaobtenerladécimaqueestéafavordelcandidato”

3. Unamáquinaderefrescossuministrapocomásde20mlporvasoyderrama5%.Sedefinelavariablealeatoria

X =“cantidaddevasosdespachadoshastaobtenerelterceroderramado”

Sesimbolizalaprobabilidaddequeeln-ésimoéxitoocurraenelk-ésimoensayo,Pas k n p P X k( ; , ) ( )= = .

Dada una variable aleatoria de Pascal X, con éxito p y fracaso q=1–p, entonces

Pas k n p P X k C p qnk n k n( ; , ) ( ) ,= = = −

− −11 k=n, n+1, n+2, n+3,...

ConladefinicióndevariablealeatoriadePascalsetienequeenlasprimerask–1pruebashayn–1éxitosyk–nfracasos,mientrasquelak-ésimapruebaeseln-ésimoéxito,todasellas son independientesconprobabilidaddeéxitop y fracasoq=1–p.Delmodelobinomial,sesabequelasprimerask–1pruebaspuedenocurrirde

C p qnk n k n

−− − −

11 1

Envistadequelak-ésimapruebadebeseréxito,setiene

Pas k n p C p q p C p qnk n k n

nk n k n( ; , ) = =−

− − −−− −

11 1

11

Definición 6.�

Definición 6.�

Ejemplo 5

Teorema 6.�

Demostración


Se llama función de probabilidad de Pascal o binomial negativa a

p xPas k n p x n n n

x n n n( )

( ; , ) , , ,

, , , ,=

= + +≠ + +

1 2

0 1 2

y a las parejas correspondientes (k, p(k)), para k = n, n+1, n+2,..., se les llama distribución de probabilidad de una variable aleatoria binomial negativa.

A continuación, se enuncia, sin demostración, el teorema que muestra queefectivamentelasparejasanterioresserefierenaunadistribucióndeprobabilidad.

Dada una variable aleatoria discreta X con distribución binomial negativa (k, p(k)), para k = n, n+1, n+2,..., con éxito p y fracaso q=1–p, entonces

Pas k n p C p qk n

nk n k n

k n

( ; , )=

∞

−− −

=

∞

∑ ∑= =11 1

Deformasimilar,seformularáelteoremaquemuestrelasfórmulasparacalcularelvaloresperadoylavarianzadeunadistribuciónbinomialnegativa.

Lademostracióndelteorematambiénseomitirádadasuextensión.

Dada una variable aleatoria discreta X con distribución binomial negativa (k, p(k)), para k = n, n+1, n+2,..., con éxito p y fracaso q=1–p, entonces

E Xn

p

V Xn p

p

( )

( )( )

=

=−12

1. Enunapoblación,35%estáafavordeuncandidatoparalaseleccionespresidenciales:

a) secalculalaprobabilidaddequelatercerpersonaqueestéafavordelcandidatosealaquintapersonaentrevistada

b) secalculacuántaspersonasseesperaentrevistarparaencontrarlaterceraqueestéafavordelcandidato

Sedefinelavariablealeatoria

X:“cantidaddepersonasquesevaaentrevistaralazarhastaobtenerlaterceraqueestéafavordelcandidato”

XtienedistribucióndePascal;portanto,delosteoremas6.8y6.10,setiene

a) Pas C p q( ; , . ) ( . ) ( . )5 3 0 35 6 0 35 0 6524 3 2 3 2= = = 0.1087

b) E(X)= n/p=3/0.35=8.57

Definición 6.10

Teorema 6.�

Teorema 6.10

Ejemplo 6


2. Unamáquinade refrescos suministraunpocomásde20mlpor vaso yderrama5%. Se calcula la probabilidad de que el segundo vaso derramado sea el décimodespachado.

Sepuededefinirlavariablealeatoria

X:“cantidaddevasosdespachadoshastaobtenerelsegundoderramado”

Pas C p q( ; , . ) ( . ) ( . )10 2 0 05 9 0 05 0 9519 2 8 2 8= = = 0.0149

Ejercicio 3

1. Uncontadorencontróquenuevedediezauditoríasacompañíascontienenerroresimportantes.Sielcontadorrevisalacontabilidaddeunaseriedecompañías,calculalaprobabilidaddeque:

a) laterceracontabilidadconerroressustancialessealaoctavarevisadab) lasegundacontabilidadconerroresimportantesseencuentredespuésderevisar

latercera

2. Unexploradorperforaráunaseriedepozospetrolerosenciertaáreahastaencontrarunoproductivo.Laprobabilidaddequetengaéxitoes0.2,calculalaprobabilidaddequeelsegundopozoproductivoseencuentrehastaeldécimopozoperforado.

3. Delosaspirantesparaciertotrabajoindustrial30%tieneentrenamientoavanzadoenprogramación.Losaspirantessonentrevistadosunotrasotroyseleccionadosalazar.Siunaempresanecesitatresaspirantesconunentrenamientoavanzadoenprogra-mación,calculalaprobabilidaddeencontrarelterceraspiranteconunentrenamientoavanzadoenprogramaciónhastalaveinteavaentrevista.

4. Sesabequeunamonedaestácargadadeformatalque,laprobabilidaddequesalgacaraáguilaescuatrovecesladequesalgacarasol.Silamonedaselanzavariasveces,calculalaprobabilidaddequesenecesitenmenosdecincolanzamientosparaobtenerlasegundacaraáguilaycuántoslanzamientosseesperarealizarparaobtenerlaterceracarasol.

6.4 Modelo hipergeométrico

Losdosmodelosestudiadoshastaahoraserefierenapruebasindependientes;pero,quépasacuando laspruebasde losexperimentosnoson independientes.Porejemplo,enunaempresaesnecesarioefectuarchequeosconstantesdelaproducciónconelfindellevarunbuencontroldecalidad.Alrealizarseelmuestreo,éstetendráquehacersesinreemplazo;deestemodo,sedeterminaquelaspruebassondependientes.Portanto,noesposibleaplicarningunodelosmodelosestudiados.Elproblemaanteriorsesolucionaconunanuevavariablealeatoriaalaquesellamavariable aleatoria hipergeométrica.

UnmodeloprobabilísticoserádetipohipergeométricocuandolosexperimentosqueserealizanconrespectoauneventoEsontales,quesus pruebas no son independientes.En estos modelos se consideran lotes de artículos, los cuales están constituidos deelementosdivididosendosclases.Elexperimentoconsisteenelegirunamuestradellote

1�� Estadística y probabilidad

sin reemplazoycalcularlasprobabilidadescuandosuselementospertenezcanaunadelasclases.Paraformalizarelmodelo,setienelasiguientedefinición.

Un experimento aleatorio se llama hipergeométrico si cumple las siguientes tres condiciones:

1. El experimento se realiza considerando un lote de tamaño N, en el cual sus elementos están divididos en dos clases de tamaños m y N – m.

2. Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazo del lote.3. Se calculan las probabilidades de que k elementos de una de las clases estén en la muestra de

tamaño n.

A las clases se les llama éxitos y fracasos, para conservar la terminología de losmodelosanteriores.

Alintroducirunmodelonuevoesnecesarionombrarlasvariablesaleatoriasqueseannecesariasparasuestudio.

La variable aleatoria discreta X definida en un experimento hipergeométrico que representa a la cantidad de elementos que se encuentran en la muestra perteneciente a la clase de éxitos, se llama variable aleatoria hipergeométrica.

Acontinuaciónsepresentandosejemplosdevariablesaleatoriashipergeométricas.

1. Unaurnacontienequinceesferas,cincorojasydiezazules.Setomaunamuestrasinreemplazodecuatroesferas.Esposibledefinirlavariablealeatoria

X:“cantidaddeesferasazulesdelamuestra”

2. Enunlotede20autosusadossetienencincodescompuestos.Setomaunamuestrasinreemplazodetresautos.Esposibledefinirlavariablealeatoria

X:“cantidaddecarrosdescompuestosenlamuestra”

Se simboliza por H(k; N, n, m) = P(X = k) la probabilidad de que existan kéxitosenlamuestradetamañon,tomadasinreemplazodeunapoblaciónconstituidaúnicamentededosclases(éxitosyfracasos),ydetamañoNenlaqueseencuentranmelementosdelaclasedeéxitos.

Acontinuación sepresentauna fórmulapara calcular lasprobabilidadesdevariables aleatorias hipergeométricas.

Dada una variable aleatoria hipergeométrica X, con m éxitos en una población de tamaño N, de la cual se elige una muestra al azar de tamaño n, entonces

H k N n m P X kC C

Cn m N k n mk

mn kN m

nN( ; , , ) ( ) ,máx , mín ,= = = + −{ }≤ ≤ { }−

−0

Definición 6.11

Definición 6.12

Ejemplo 7

Teorema 6.11

1��Unidad 6 • ModElos discrEtos dE probabilidad

Paraobtenerlafórmula,seemplealadefiniciónclásicadeprobabilidad.Paralacantidaddeelementosdelespaciomuestralsetienequeunamuestrade

tamañonsepuedetomarsinreemplazodeunlotedetamañoNdeCnN maneras.

Igualmente, la toma de k elementos de la clase de éxitos se puede realizar de Ckm

maneras,yfinalmentelosrestantes n–kelementosdelamuestrasetomandelaclasedefracasosde Cn k

N m−− maneras.Portanto,delprincipiodemultiplicación,lamuestraque

contengakéxitosyn–kfracasossepuedeobtenerdeC Ckm

n kN m

−− maneras.

Conladefiniciónclásicadeprobabilidadydividiendoambosresultados,setiene

H k N n m P X kC C

Ckm

n kN m

nN( ; , , ) ( )= = = −

−

Paraconcluirlademostraciónfaltaverificarqueksólopuedetomarvaloresenelrangomáx , mín ,n m N k n m+ −{ }≤ ≤ { }0 .

Laacotaciónanterioresválidapuestoqueknopuedesermayoraltamañodelamuestrannitampocomayoralacantidaddeelementosdelaclasedeloséxitosm.Portanto,seconcluye k n m≤ { }mín , .

Laacotaciónsiguienteseobtienepuestoqueknopuedesernegativonimenoracero.Cuandon >N –m,knopuedesermenoralacantidadn –(N – m)=n + m – N.Portanto,seconcluyemáx ,n m N k+ −{ }≤0 .

Alcombinarlasdosacotacionesanterioresquedademostrado

máx , mín ,n m N k n m+ −{ }≤ ≤ { }0

Despuésdeencontrarlafórmulaparaelcálculodeprobabilidadesdelasvariablesaleatoriashipergeométricas,sedefinirásudistribucióndeprobabilidades.

Dada una población de tamaño N con m éxitos y de la cual se toma una muestra de tamaño n sin reemplazo, se llama distribución de probabilidad de una variable aleatoria hipergeométrica

a las parejas (k, H(k; N, n, m)), donde

máx , mín ,n m N k n m+ −{ }≤ ≤ { }0

Deladefinicióndevariablealeatoriacondistribución hipergeométrica,sedebeobservarqueelrangodelavariablenonecesariamenteiniciaencerooenuno.

Despuésdedefiniraladistribuciónhipergeométricaparacomprobarsisetratadeunadistribucióndeprobabilidad,seanalizaráelsiguienteteorema.Sudemostraciónserealizaconbaseenlascombinatoriasyelprincipiodemultiplicación;aquíseomitirápornotenermayortrascendencia.

Dada una variable aleatoria hipergeométrica X con distribución (k, G(k; p)) con m éxitos, en un lote de tamaño N en el cual se elige una muestra sin reemplazo de tamaño n, entonces

H k N n mC C

Ck n m N

n mkm

n kN m

nN

k

( ; , , ),

,

= + −{ }

{ }−−

=∑ =

máx

mín

m0 ááx

mín

n m N

n m

+ −{ }

{ }

∑ =,

,

0

1

Definición 6.13

Nota

Teorema 6.12

Demostración


Finalmente,sepresentanlasfórmulasparacalcularelvaloresperadoylavarianzadeunavariablealeatoriacondistribución hipergeométrica, lascualesseencuentranenelsiguienteteorema,dondetambiénseomitirásudemostración.

Dada una variable aleatoria hipergeométrica X con distribución (k, G(k; p)) y con m éxitos, en un lote de tamaño N en el cual se elige una muestra sin reemplazo, de tamaño n, entonces

E X nm

N

V X nm

N

m

N

N n

N

( )

( )

=

=

−

−−

11

Enlasolucióndeproblemas,adiferenciadelasotrasdosdistribuciones,esmássencillo identificar a los modelos hipergeométricos por la condición de la toma sinreemplazo.Perolospasosaseguirenlasolucióndeproblemassonlosmismos:definición de la variable,identificaciónyaplicación de fórmulaspara los cálculos.

1. Unacajacontiene20discosdurosparacomputadora,colocadosenformaverticalysinencimarse.Sesuponequehaytresdefectuosos;sisetomanalazarcuatrodeellos,secalculaladistribucióndeprobabilidadpara

X:“cantidaddedefectuososenlamuestra”.

I. Definicióndelavariable.Xyaestádelimitada.II. Identificacióndelmodelo.Lamuestrasetomasinreemplazoylasclasesenquese

divideellotedediscossondos:buenosydefectuosos.Portanto,Xtienedistribuciónde tipohipergeométrico con N=20y cantidaddediscosdefectuosos m=3.Lamuestraelegidaesdetamaño n=4.

III. Aplicacióndelasfórmulas.Setiene ParaelrangodeX,setomaencuenta

máx , mín ,n m N k n m+ −{ }≤ ≤ { }0

Portanto,

máx mín4 3 20 0 4 3+ −{ }≤ ≤ { }, ,k estoes0≤k≤ 3

Lasprobabilidadessecalculanconlosresultadosdelteorema6.11

P XC C

CP X

C C

C( ) . , ( )= = = ≈ = = =0

2 380

4 8450 4912 1

203

417

420

13

317

420

0040

4 8450 4211

2408

4 8450 0842 32

3217

420

≈

= = = ≈ = =

.

( ) . , ( )P XC C

CP X

CC C

C33

117

420

17

4 8450 0035= ≈

.

2. Enunlotedediezcomponenteselectrónicosenbuenestadoseagregantresdefectuosos.Unapersonacompracuatrodetalescomponentesparareparartelevisores,secalculalaprobabilidaddequelapersonatengaqueregresarareclamaralvendedorporhaberobtenidocomponentesdefectuosos.

Teorema 6.13

Ejemplo �

Procedimiento


I. Definicióndelavariable.

X:“cantidaddecomponentesdefectuososenlamuestra”

II. Identificacióndelmodelo.Porlascondicionesdelproblemasededucequelamuestrasetomósinreemplazo;ademásdequeeltamañodelloteesfinitoeigualatreceysólosetienendosclasesdecomponentes,buenosydefectuosos.Deesto,sededucequeXesunavariablehipergeométricacon N=13,n=4,m=3.

III. Aplicacióndelasfórmulas.Porlascondicionesdelproblema,sesabequelapersonareclamarásiuncomponenteresultadefectuoso.Portanto,laprobabilidadquesedebecalculares

P X P XC C

C( ) ( ) . .≥ = − = = − ≈ − =1 1 0 1 1 0 2937 0 70630

3410

413

Esteresultadoindicaqueprobablementeelcompradorregresaráareclamar.

3. Unadelasmáquinasparaelaborartornillosmilimétricossedescompuso,porloqueunagrancantidaddetornillosresultódefectuosa.Paratratardeevitarpérdidas,encadacajade30tornillossecolocancincodefectuosos(25sindefectos).Elvendedorde tornillos comienza a recibir reclamos debido a las piezas defectuosas y decidecambiardeproveedorsialinspeccionaraleatoriamenteseistornillosdelasiguientecajaresultandosomásdefectuosos.Secalculalaprobabilidaddequeelvendedorcambiedeproveedor.

I. Definicióndelavariable

X:“cantidaddedefectuososenlaseleccióndeseistornillos”

II. Identificación del modelo. Por las condiciones del problema, se deduce que lamuestrasetomósinreemplazo;ademásdequeeltamañodelloteesfinitoeiguala30ysólosetienendosclasesdecomponentes,conysindefectos.Portanto,Xesunavariablehipergeométrica,conN=30,n=6ym=5.

III. Aplicacióndelasfórmulas.Secalculalaprobabilidaddequeenunacajaseencuentrendosomásdefectuososenlainspecciónaleatoriadeseisdeellos.

P X P X P XC C

C

C C

C( ) ( ) ( )≥ = − = + =[ ]= − +

2 1 0 1 1 05

625

630

15

525

630 == 0.25435

eslaprobabilidaddequeenunatomaaleatoriadeseistornillosdeunacajaresultendosomásdefectuosos.

Ejercicio 4

1. Supónqueunradiorreceptorcontieneseis transistores,de loscualesdossondefec-tuosos.Sepruebantrestransistorestomadosalazar.DadaY=“cantidaddedefectuososencontrados”,calculaladistribucióndeprobabilidadparaY.

Procedimiento

Procedimiento


2. Enunlotedediezproyectilessedisparancuatroalazar.Siellotecontienecincopro-yectilesquenodisparan

a) calcula la probabilidad de que los cuatro disparencalculalaprobabilidaddequeloscuatrodisparen b) calculacuántosdeloscuatroseesperaquedisparen

3. Parahacerunreportedecontroldecalidadsobrelafabricacióndevideos,deunlotede25setomaunamuestraalazardecincodeellosyseprueban,encasodequenoseencuentrenelementosdefectuosos,elreportesedeterminacomosatisfactorio.Calculalaprobabilidaddequeelreporteresultesatisfactoriosienelloteseencuentrancuatrovideosdefectuosos.

4. Enlaaduanadeunaeropuerto,debidoalagranafluenciadepasajeros,sóloserevisaa10%deellosalasalida.Sideungrupode20turistas,docetienencomprasmuyporarribadelacantidadpermitida,calculalaprobabilidaddequedospersonasrevisadastenganquepagarlosimpuestoscorrespondientesporexcesodecompraspermitidas.

5. Setomansinreemplazoochoobjetosdeunloteconquincesindefectosyseiscondefectos.

a) calcula laprobabilidaddeque se encuentrendosdefectuosos entre losochoobjetosdelamuestra

b) calculacuántosseesperaquenotengandefectos

6.5 Modelo de Poisson

Elúltimodelosmodelosprobabilísticosdiscretoqueseanalizaráeselmodelo de Poisson.1Este modelo estudia los experimentos cuyos resultados tienen lugar en intervaloscontinuos,2de tiempo, áreas, volúmenes, etc.Antesde seguir, cabemencionarqueelmodelo de Poisson es de variable aleatoria discreta, puesto que en sus experimentossólo interesa la cantidad de resultados quepuedenocurrir enun intervalo (de los antesmencionados),mas no la continuidad del intervalo.

ElmodelodePoissontienemuchasaplicaciones:seempleageneralmentecuandosedeseaoptimarlostiempos,tantodeesperacomodeservicio;aestetipodeproblemasselesllamalíneas de esperaoteoría de colas.

LaformalizacióndelmodelodePoisson,desdenuestropuntodevista,esunadelasmáscomplicadas(delosmodelosdiscretos),yaquehacereferenciaala teoría infinitesimal,porloqueseomitiránalgunasdesusdemostraciones.

ParaejemplificarladefinicióndeexperimentodePoissonalhablardeintervalo,seharáreferenciaaltiempo(tomandoencuentaqueenlugardetiemposepodríatratardeunárea,unvolumen,etcétera).

Nota

1EnhonoralmatemáticofrancésSiméon-DenisPoisson,quiennacióenPithiviers,en1781,ymurióenParis,en1840.Fueunodeloscreadoresdelafísica-matemáticayautordeunaseriedetrabajossobremecánicaceleste,elasticidad,capilaridad,cálculodeprobabilidadesymagnetismo.

2DebidoalosintervaloscontinuosenlosqueocurrenlosmodelosdePoisson,éstostienenestrecharelaciónconlosmodeloscontinuosdetipoexponencial;estoseanalizaráenlaunidad8.


Un experimento de Poisson debe cumplir las siguientes tres condiciones:

1. Los resultados de intervalos que no tienen puntos en común son independientes. Esto es, los resultados que ocurren en (t1, t2) son independientes de los que transcurran en el intervalo (t3, t4), cuando los intervalos son disjuntos. Se dice que el experimento de Poisson, en su ejecución no tiene memoria.

2. La probabilidad de que un resultado ocurra en un intervalo de tiempo mucho muy pequeño (t, t+∆t) es una cantidad de orden ∆t. Esto es, la probabilidad de obtener exactamente un resultado en un intervalo pequeño es proporcional a la longitud del intervalo.

3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en el transcurso del intervalo (t, t+∆t) es una cantidad mucho más pequeña que ∆t. Esto significa que la probabilidad de obtener dos o más resultados en un intervalo pequeño es mínima.

Deacuerdoconlametodologíaquesehaadoptado,sepasaaladefinicióndelavariablealeatoriacorrespondiente,ylosexperimentosoprocesosdePoisson.

A la variable aleatoria X definida en un experimento de Poisson que representa la cantidad de resultados que ocurren en el intervalo de tiempo (t0, t), se le llama variable aleatoria de Poisson.

EnestascondicionesresultaqueXesdiscretaconvalores:0,1,2,3, . . .Losintervalosdependendelexperimentoypuedenser:

• unminuto,undía,unasemana,unaño,etcétera.• unmetrocuadradoocúbico,unahectárea,etcétera.

AcontinuaciónsepresentanalgunosejemplosdeexperimentosaleatoriosqueseconsiderandentrodeunmodelodePoisson.

1. Lacantidaddellamadastelefónicasaunconmutadorenunintervalodecincominutos.

2. Lacantidaddeaccidentesautomotoresmensualesenuncrucerodeterminado.3. Lacantidaddecarrosquelleganaunestacionamientoenunahoradeterminada.4. Elnúmerodepartículasquepasanatravésdeuncontadorenunmilisegundo.5. Lacantidaddeerroresdecapturaporpáginaenundocumento.6. Cantidaddeárbolesinfectadosporciertosgusanosenunáreadeterminada.7. Llegadasdeclientesaunatiendaduranteundeterminadointervalodetiempo.

Sesimbolizapor P k t P X k( ; ) ( )λ = = :“laprobabilidaddequeenelexperimentodePoissonocurrankresultadosenunintervalo(t0, t)”(dondeλesunparámetroqueserádefinidoalfinaldelteorema6.15).

EnelsiguienteteoremaseproporcionalafórmulaparacalcularprobabilidadesdemodelosdePoisson;sinembargo,debidoasucomplejidadnoseharálademostración.

Dada X como una variable aleatoria de Poisson en el intervalo (t0, t) y RX = {0, 1, 2,...}, (representando por t la longitud del intervalo (t0, t)), entonces

P k t P X kt e

k

k t

( ; ) ( )!

λλ λ

= = =( ) −

k =0,1,2,...

Definición 6.14

Definición 6.15

Ejemplo �

Teorema 6.14


Deacuerdoconlametodologíaadoptada,acontinuaciónsedefineladistribucióndeprobabilidadcorrespondiente.

Se llama distribución de probabilidad de Poisson a las parejas (k, P(k; λt)), para k igual a 0, 1, 2, 3,...

En el siguiente y último teorema de la unidad se verifica que efectivamente ladefiniciónanteriorserefiereaunadistribucióndeprobabilidad.Ademássededucenlasfórmulascorrespondientesalvaloresperadoylavarianzadelavariable.

Dada X como una variable aleatoria de Poisson en un intervalo de longitud t y RX ={0,1,2,...}, con parámetro λ, entonces

P k t

E X t

V X t

k

( ; )

( )

( )

λ

µ λ

σ λ

=

∞

∑ =

= =

= =

0

2

1

Lasumatoriasededucedemanerainmediatadelaserie

ex

kx

k

k

==

∞

∑ !0puestoque

P k tt

ke e

t

ke e

k

k

k

t tk

k

t t( ; )( )

!

( )

!( )λ

λ λλ λ λ λ

=

∞

=

∞− −

=

∞−∑ ∑ ∑= = = =

0 0 0

1

Paraelvaloresperadoseemplearálaserie

ex

kx

k

k

==

∞

∑ !0

yelcambiodevariablek–1=m.

E X kt

ke

t

ke

tkt

k

kt

k

m

( )( )

!

( )

( )!

( )=

=−

=−

=

∞−

=

∞ +

∑ ∑λ λ λλ λ

0 1 1

11

0 0me te

t

mte e tt

m

tm

m

t t

!

( )

!( )−

=

∞−

=

∞−∑ ∑= = =λ λ λ λλ

λλ λ

Paralavarianzaseemplearáelteorema5.2

V X E X E X E X X E X E X( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − = −( )+ −2 2 21

CalculandoE(X(X–1))delamismaformaenqueserealizóenelvaloresperado

E X X k kt

ke

t

ke

kt

k

kt

k

( ( )) ( )( )

!

( )

( )!− = −

=−

−

=

∞−

=∑1 1

20

λ λλ λ

22

2

0

2

0

2

∞ +−

=

∞

−

=

∞−

∑ ∑

∑

= =

=

( )

!

( )( )

!( ) (

λ

λλ

λ

λ

λ λ λ

t

me

t et

mt e e

mt

m

tm

m

t tt t) ( )= λ 2

Definición 6.16

Teorema 6.15

Demostración


Porconsiguiente

Enelteorema6.14sepresentóelparámetroλ,elcualsepuedeinterpretarahora,puestoqueenelteorema6.15sedemostróqueE(X)=λt;portanto,

λ =E X

t

( )

representalarazónesperadaderesultadosenelintervalodeestudio.En caso de quet=1(unahora,undía,unmetro,etc.),lafórmulaanteriorsereduce

aλ=E(X),yse emplea la fórmula simplificadaparaelcálculodeprobabilidades

P ke

k

k

( , )!

λλ λ

=−

1. EnunatiendalosclienteslleganalmostradorconformeunadistribucióndePoissonconunpromediodediezcadahora.Enunahoradada,secalculalaprobabilidaddequelleguenalmenoscincoclientes.


X:“cantidaddeclientesquelleganalatienda”

II.Clasificacióndelmodelo.Elpromedioesdediezclientescadahora

λ = 10clientes

hora

enunintervalodeunahoradada,esdecir,t=1hIII.Aplicacióndelasfórmulas.Seemplea

P ke

k

k

( , )!

λλ λ

=−

conk≥5ysecalcula

P X P X P X P X P X P X P X

e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )≥ = − ≤ = − = + = + = + = + =[ ]=

−

5 1 4 1 0 1 2 3 4

1−− − − − −

+ + + +10 0 10 1 10 2 10 3 10 410

0

10

1

10

2

10

3

10

4

( )

!

( )

!

( )

!

( )

!

( )e e e e

!!. .

= − =1 0 0293 0 9707

Laprobabilidadesbastantegrande,puestoquealconsiderarunvaloresperadodediezclientesserámuyprobablequecincoomásclientesllegueneneltranscursodeunahora(verloshistogramascondiferentesvaloresdeE(X)alfinaldelejerciciosiguiente).

2. Alrevisarlacalidadenelpulidodeunlente,ciertacompañíaacostumbradeterminarelnúmerodemanchasenlasuperficieconsiderandoellentedefectuosositresomásdetalesmanchas,asperezasyotrotipodedefectosaparecenenél.Sielpromedioesdosdefectosporcm2,calculalaprobabilidaddequeunlentedecuatrocm2noseaconsideradodefectuoso.

Ejemplo 10

Procedimiento

V X E X X E X E X t t t t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= −( )+ − = + − =1 2 2 2λ λ λ λ


I.Definicióndelavariablealeatoria

X:“cantidaddedefectosqueaparecenenellente”.

II.Identificacióndelmodelo.Elpromedioesdosdefectosporcm2;esdecir,

λ = 2defectos

cm2

Paraqueunlentede4cm2searevisado,setienequet=4cm2.III.Aplicacióndelasfórmulas.Setiene,portantoE(X)= λt=8defectos. Paraqueunlentenoseaconsideradodefectuosodebetenermenosdetresdefectos.

Portanto,laprobabilidadquesedebecalcularesqueunlentede4cm2tengamenosdetresdefectos(esdecir,estéenbuenestado)

P X P X P X P X

e e e

( ) ( ) ( ) ( )

( )

!

( )

!

( )

!

< = = + = + = =

+ + =− − −

3 0 1 2

8

0

8

1

8

2

8 0 8 1 8 2

00 0138.

AcontinuaciónsepresentanalgunoshistogramasparaladistribucióndePoisson.Enellossepuedeapreciarqueladistribucióndeprobabilidadesseconcentraalrededordelvaloresperado.Esdecir,convaloresesperadospequeños,ladistribucióndeprobabilidadse concentraen lospuntos iniciales,posteriormente, lasprobabilidades se aproximanacero.Enloshistogramasdeabajoseapreciaque,alaumentarelvalordeµ,ladistribuciónseaproximaaunmodelosimétrico:

Procedimiento

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

= t = 0.5

0.60

7

0.30

3

0.07

6

0.01

3

0.00

2

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

= t = 1

0.36

8

0.36

8

0.18

4

0.06

1

0.01

5

0.00

3

0.00

1

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.00

0

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

= t = 2

0.13

5

0.27

1

0.27

1

0.18

0

0.09

0

0.03

6

0.01

2

0.00

3

0.00

1

0.00

0

0.00

0

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

= t = 5

0.00

7

0.03

4

0.08

4 0.14

0

0.17

5

0.17

5

0.14

6

0.10

4

0.06

5

0.03

6

0.01

8

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Pro

babi

lidad

Variable aleatoria

= t = 10

0.00

0

0.00

0

0.00

2

0.00

8

0.01

9

0.02

2

0.01

3

0.00

7

0.00

4

0.00

2

0.03

8

0.03

5

0.06

3

0.09

0

0.11

3

0.12

5

0.12

5

0.11

4

0.09

5

0.07

3

0.05

2


Ejercicio 5

1. Una secretaria promedia dos errores al escribir una página. Si los errores sonindependientes y siguen un proceso de Poisson, calcula la probabilidad de quecometaunoomáserroresenlasiguientepáginaqueescriba.

2. SielnúmerodecochesquelleganaunestacionamientoesdeochocadahoraysullegadasigueelprocesodePoisson,calculalaprobabilidaddequeenunperiododediezminutoslleguenalestacionamiento(comentaelresultadoobtenido)

a) entretresyseisautomóviles b) másdedosautomóviles

3. Alrevisarlacalidadenelpulidodeunlente,ciertacompañíaacostumbradeterminarel número de manchas en la superficie, considerando el lente defectuoso si treso más de tales manchas, asperezas y otro tipo de defectos aparecen en él. Si elpromedioesdedosdefectosporcm2,condistribucióndePoisson

a) calculalaprobabilidaddequeunlentede1cm2noseaconsideradodefectuoso b) calculalaprobabilidaddequeunlenteredondoconundiámetrode1cmnose

lecataloguecomodefectuoso

4. Desde 1996, el cierre de empresas por problemas financieros ha ocurrido, enpromedio,arazónde5.7cierresporaño.SupónqueelnúmerodecierresporañotienedistribucióndePoisson,calculalaprobabilidaddequeningunaempresacierreduranteunperiododecuatromeses.

5. Supónqueuna cajeradeunbancoatiende enpromedio a4.5 clientespor cadadiezminutosyquelacantidaddepersonasatendidassigueunprocesodePoisson,calculalaprobabilidaddequeunacajeraatiendaasólodosclienteseneltranscursodelossiguientesdiezminutos.

Ejercicios propuestos

1. Laprobabilidaddequeunmotor,reciénajustado,tireaceiteenlosprimeros100kmporlosretenesesde0.05.Sidiezautomóvilesseajustanenuntallermecánico

a) calculalaprobabilidaddequeporlomenosdostirenaceiteporlosretenesb) de los siguientes 200 automóviles que se ajustaron en dicho taller, calcula

cuántosseesperaquetirenaceiteporlosretenes

2. Segúnlasestadísticasdeunaciudad,enciertazonasecometenenpromediodiezasaltosdiariosaconductoresdeautos.SilosasaltossonindependientesyseapeganaunprocesodePoisson

a) calculalaprobabilidaddequeenundíasecometanmásdediezasaltos b) calculalaprobabilidaddequeentrelas6:00y12:00AMnosecometanasaltos

3. Laprobabilidaddequeunestudiantedeaviaciónapruebeelexamenescritoparaobtenersulicenciadepilotoes0.6,calculalaprobabilidaddequeapruebeelexameneneltercerintento.

1�� Estadística y probabilidad

4. Sielcostodepasajeporpersonaeneltransportepúblicoes$2.50ycadavehículotransportaenpromediodocepasajeroscada30minutos,suponiendoquelacantidaddepersonastransportadassigueunadistribucióndePoisson

a) calculaelingresoesperadopordíadetrabajodeunchofer(undíadetrabajoequivaleadiezhoras),siinvierte200pesosdiariosengasolina

b) calculalaprobabilidaddequeenunintervalode30minutos,transportealomáslamitaddelpromediodadoanteriormente

5. Unacajacontienecuatronaranjasydosmanzanas.Setomantresfrutassinreem-plazo. Si X es la variable aleatoria definida como el número de naranjas que setomaron

a) calculalaprobabilidaddequeP(X≥2) b) calculalaprobabilidadanteriorsisepermiteelreemplazo

6. Enunalmacén losclientes lleganalmostradordecajaenpromediodesieteporhora,deacuerdounadistribucióndePoisson.Enunahoradada,calculalaproba-bilidaddeque

a) nolleguenmásdetresclientes b) lleguenexactamentecincoclientes

7. Enunapoblación40%esfumador.Sisetomaunamuestrade20personasalazar

a) calculalaprobabilidaddequediezseanfumadores b) calculalaprobabilidaddequemásdesieteseanfumadores

8. Laprobabilidaddequeunclienteacudaalmostradordeunatiendadeabarrotesencualquierperiododeunsegundoes0.1.Supónquelosclientesllegandemaneraaleatoriay,portanto,lasllegadasencadaintervalodeunsegundosonindependientes

a) calculalaprobabilidaddequelaprimerllegadaocurraduranteeltercerintervalodeunsegundo

b) calcula la probabilidad de que la primer llegada ocurra después del tercerintervalodeunsegundo

9. Trespersonaslanzanunamonedaalaire,eldueñodelamonedaqueresulteconcara distinta pagará la comida. Si los tres resultados son iguales las monedas selanzannuevamente,calculalaprobabilidaddequesenecesitenmásdedosintentosparadeterminaralperdedor.

10. Un lotede25 cinescopiosde color se somete aunprocedimientodepruebadeaceptación.Ésteconsisteentomarcincocinescopiossinreemplazoyprobarlos;sidosomenoscinescopiosfallanseaceptaellote,encasocontrarioserechaza.Supónqueellotecontienecuatrocinescopiosdefectuosos

a) calculalaprobabilidaddequeellotepaselaprueba b) calculacuántosdeloscincocinescopiosseesperaquenoresultendefectuosos

1��Unidad 6 • ModElos discrEtos dE probabilidad

11. Unexamendeopciónmúltipleconstade15preguntasconcincorespuestasposiblescadauna,delascualessolamenteunaescorrecta.Supónqueunodelosestudiantescontestaelexamenalazar,calculalaprobabilidaddequecontestecorrectamentealmenosdiezpreguntas.¿Quéteindicaelvalordelaprobabilidadobtenido,conrespectoalasposibilidadesdepasardelestudiante?

12. Deungrupodeaspirantesparaciertotrabajoindustrial30%tieneentrenamientoavanzadoenprogramación.Losaspirantessonentrevistadosunotrasotro,alazar.Calculalaprobabilidaddequeseencuentrealprimeraspiranteconentrenamientoavanzadoenprogramaciónhastalaquintaentrevista.

13. Supón que la cajera de un banco atiende en promedio a 4.5 clientes cada diezminutosyquelacantidaddepersonasatendidasporlacajerasigueunprocesodePoisson.Supón,también,quelacajeraesobservadaduranteseisintervalosdediezminutosyseobtienenseisobservacionesindependientes,calculalaprobabilidaddequeenmenosdedosdedichosintervalos,lacajerasóloatiendaatresclienteseneltranscursodediezminutos.

14. En una tienda se encontró que la venta de cierto articulo sigue un proceso dePoissonconpromediodecincoventasaldía,calculalaprobabilidaddequeenundíaelartículo

a) seapedidomásdeseisvecesb) silospedidosdiariossesuponenindependientes,calculalaprobabilidaddeque

tenganquepasarmásdecuatrodíasparaquesolicitenmásdeseispedidos

Autoevaluación

1. Enunalmacén,losclienteslleganalmostradordecajaconformeunadistribucióndePoissonconpromediodesieteporhora.Enunahoradada,calculalaprobabilidaddequelleguenalmenosdosclientes.

a) 0.8716 b) 0.7415 c) 0.6781 d) 0.9927

2. Laprobabilidaddequeunmotor,reciénajustado,tireaceiteenlosprimeros100kmporlosretenesesde0.05.Sidiezautomóvilesseajustanenuntallermecánico,calculalaprobabilidadquemenosdecuatrotirenaceiteporlosretenes.

a) 0.001 b) 0.999 c) 0.20 d) 0.80

3. Unprofesorque imparte ecuacionesdiferenciales encuentraqueochode sus27alumnos no saben integrar por fracciones parciales. El coordinador académicoexaminaacuatroalumnosdeesegrupoalazar,calculalaprobabilidaddequealmenosdosalumnosdeestamuestranosepanintegrarpordichométodo.


a) 0.6626 b) 0.3374 c) 0.25 d) 0.476

4. Laprobabilidaddequeunestudiantedeaviaciónapruebeelexamenescritoparaobtenersulicenciadepilotoes0.6,calculalaprobabilidaddequeapruebeelexamenantesdelcuartointento.

a) 0.936 b) 0.1296 c) 0.064 d) 0.8704

5. Enuna ciudad se efectuaronencuestas aungrannúmerode amasde casaparasabersipor lanocheelaguadesucasasesalíade lascisternas,seencontróqueaproximadamente5%contestóafirmativamente.Calculalaprobabilidaddequealinspeccionar20casas,porlanoche,almenosenunadeellassetireelagua.

a) 0.3585 b) 0.4780 c) 0.6415 d) 0.5220

6. Unadelasmáquinasparaelaborartornillosmilimétricossedescompuso,porloqueungrannúmerodetornillosresultódefectuoso.Paratratardeevitarpérdidas,encadacajade30tornillossecolocancincodefectuosos(25sindefectos).Elvendedorde tornillos comienza a recibir reclamos por los defectuosos, y decide cambiardeproveedorsiantesdelcuartodelossiguientesenvíosrecibeunacajadondealrevisaraleatoriamenteseistornillosseencuentrandosomásdefectuosos.Calculalaprobabilidaddequeelvendedorcambiedeproveedor.

a) 0.5854 b) 0.4146 c) 0.167 d) 0.833

7. Parallevaracabounreportedecontroldecalidadsobrelafabricacióndevideos,se analizan lotes independientes de quince videos, cada uno. Si de cada uno deestoslotesseeligeunamuestraaleatoriadetresdeellosysepruebanconsiderandoqueelproductorhapuestoencadalotedosdefectuosos,eltotaldelosvideossecomprará,sidespuésdeanalizarunlotenosehanencontradodefectuosos.Calculalaprobabilidaddequebajoestascondicionessecompreeltotaldevideos.

a) 0.3714 b) 0.20 c) 0.6286 d) 0.80


8. De un grupo de aspirantes para cierto trabajo industrial 30% tiene entrenamientoDeungrupode aspirantes para cierto trabajo industrial 30% tiene entrenamientodeaspirantesparaciertotrabajoindustrial30%tieneentrenamientoavanzadoenprogramación.Losaspirantessonentrevistadosunotrasotro,alazar,calculalaprobabilidaddequeseencuentreelterceraspiranteconentrenamientoavanzadoenprogramaciónhastalasextaentrevista.

a) 0.917 b) 0.050 c) 0.093 d) 0.504

9. Unacompañíaquiereevaluarsusprocedimientosdeinspecciónenembarquesde50artículosidénticos.Elprocedimientoconsisteentomarunamuestradecincoy aceptar el embarque si no se encuentran más de dos defectuosos, calcula quéproporcióndeembarquescon20%deartículosdefectuososseráaceptada.

a) 0.0483 b) 0.897 c) 0.103 d) 0.9517

10. Elpromediodeautomóvilesqueentranaltúneldeunamontañaesdeuncochecadadosminutos.Si laentradade loscochesal túnel sigueunadistribucióndePoisson, calcula la probabilidad de que el número de coches que entra al túnelduranteunperiododedosminutosexcedadetres.

a) 0.981 b) 0.019 c) 0.568 d) 0.432

Respuestas de los ejercicios

Ejercicio 1

1. a) 0.2662 b) 0.9718 c) 10

2. a) 0.4557 b) 17

3. a) 0.0058 b) 47.5


4. a) 0.0577 b) 0.5881

5. a) 0.6083 b) 2

Ejercicio 2

1. 0.4633

2. a) 0.0039 b) teórico1.333

3. a) 0.0256 b) teórico1.67

4. 0.8587

5. a) 0.063 b) (0.3)9

Ejercicio 3

1. a) 0.00015 b) 0.028

2. 0.0604

3. 0.0107

4. a) 0.9728 b) 15

Ejercicio 4

1. P(Y=0)=0.2,P(Y=1)=0.6,P(Y=2)=0.2,

2. a) 0.0238 b) 2


3. 0.3830

4. 0.34737

5. a) 0.36894 b) teórico5.7,aproximado6

Ejercicio 5

1. 0.8647

2. a) 0.1502 b) 0.1506

3. a) 0.6767 b) 0.7909

4. 0.1496

5. 0.1125

Respuestas de los ejercicios propuestos

1. a) 0.0861 b) 10

2. a) 0.4170 b) 0.0821

3. 0.096 4. a) $400 b) 0.0458

5. a) 0.8 b) 0.7407


6. a) 0.0818 b) 0.1277

7. a) 0.1171 b) 0.5841

8. a) 0.081 b) 0.729

9. 0.06250.0625

10. a) 0.9838 b) 4.2

11. 0.00010.0001

12. 0.072030.07203

13. 0.73190.7319

14. a) 0.2378 b) 0.3375

Respuestas de la autoevaluación

1. d)

2. b)

3. b)

4. a)

5. c)

6. a)

7. c)

8. c)

9. d)

10. b)

S_3 Modelos Discretos de Probablidad. UTEL

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