Russell Fundamentos de La Verdad

8/11/2019 Russell Fundamentos de La Verdad

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Cuadernos de FilosofaDUERERAS / SerieHistoria de la Filosofa

Bertrand Russell:

un viaje a los

fundamentos de

la verdad


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Sebastin Salgado Gonzlez

Bertrand Russell:un viaje a los

fundamentos dela verdad

A.C. DUERERASSeptiembre 2011


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Indice

Russell en el contexto de la filosofa analtica [p.4]

Lgica y realidad: [p.13]

Aristteles y Leibniz: las bases de la lgica [p.18]

La influencia de Frege y Cantor en la lgica de

Russell [p.27]

Las paradojas de Russell [p.32]

La "teora de los tipos" de Russell. [p.38]

De Russell a Gdel [p.40]

Del realismo matemtico al atomismo lgico: Russelly Wittgenstein. [p.45]

La teora de las descripciones [p.49]

La crtica de Russell al idealismo [p.53]

Apndices [p.56]


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Russell en el contexto de lafilosofa analtica

Bertrand Russell (Gales, 1872-1970),filsofo, lgico, matemtico, activista poltico,

premio Nobel, prestigioso alumno y profesor en laUniversidad de Cambridge Su obsesin no eratanto dar con la verdad como hallar el fundamentode lo verdadero. No importa tanto la verdad comoel descubrimiento del camino seguro que nosconduce hasta ella. Pero lo verdadero no puede

surgir de la creencia, sino de la certeza; ahorabien, la certeza no se consigue con la simplecertidumbre, sino que es necesaria la seguridad:algo es verdadero no cuando opinamos que lo es,ni cuando creemos que lo es, sino cuando

podemos estar seguros de que efectivamente lo es,es decir, cuando es cierto que lo es, cuando

necesariamente es lo que es.Ya vemos que, para Russell, el camino

hacia lo verdadero es la lgica. Pero, cul es elpapel de la lgica en los asuntos humanos, ya que,por desgracia, hay demasiada irracionalidad en laconducta humana.


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De su inters por la lgica, la matemtica yla filosofa surgira una de sus obras ms

importantes: Principia Mathematica, escrita encolaboracin de su amigo y tambin filsofo A.Whitehead. En esta obra se expone la tesis de laidentidad entre lgica y matemtica, en definitiva,la exigencia de fundamentacin lgica de lamatemtica.

Pero adems de su inters por la lgica y lamatemtica, Russell expres durante toda su vidaun profundo compromiso poltico y moral enfavor de la libertad, la justicia social y la pazcomo pilares de una sociedad democrtica y

progresista. Sus ideas tico-polticas podemosencontrarlas en ttulos suyos como: Por qu no

soy cristiano?, Matrimonio y Moral, La conquista

de la felicidad, Teora y prctica del bolchevismo

-obra esta ltima en la que se muestra muy crticocon esta corriente poltica- .

Entre sus numerosas obras de filosofapodemos citar: Los problemas de la filosofa(1912), Anlisis de la mente (1921), Anlisis de lamateria (1921), Un esbozo de filosofa (1927),

Investigacin sobre el significado y la verdad

(1940), El Conocimiento humano: su alcance y

limitaciones (1948)y, por supuesto, su magnficaHistoria de la Filosofa Occidental, publicada a


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partir de 1945, y que constituira la base de susconferencias en EE.UU sobre la historia de la

filosofa entre las dcadas de los aos treinta ycuarenta del siglo XX.

Precisamente en este pas encontrara, porun lado, sustento econmico, pues era profesor defilosofa, lgica y matemtica en diversasuniversidades norteamericanas, relevancia

internacional, ya que Russell se mantena muyactivo en la comunicacin pblica de sus ideas

polticas y morales, lo que le llevara a denunciarlos peligros de la guerra nuclear y, ya en 1966,denunciar la intervencin norteamericana enVietnam y fundar el llamado TribunalInternacional de Crmenes de Guerra o TribunalRussell (del cual formaba parte tambin elfilsofo y literato de origen francs Jean-PaulSartre), pero tambin Russell hallara en EE.UUlitigios judiciales, expulsiones y un fuerte rechazohacia sus ideas por parte de estamentos polticose instituciones educativas y religiosas del pas.

Russell mora el 2 de febrero de 1970 enPenrhyndeudraeth, Pas de Gales, a los 98 aos deedad.

La filosofa de Russell cabe encuadrarla enel contexto histrico y filosfico de la llamada


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Filosofa Analtica, escuela filosfica que agrupa adistintos autores y corrientes, pero todos ellos bajo

unas directrices tericas y metodolgicascomunes:

E m p i r i s m o : t odos los au to re spertenecientes a la corriente de la filosofaanaltica consideran que el conocimiento no

puede obviar la experiencia porque los hechos

son el suceder emprico de los fenmenos delmundo natural.

Realismo: la filosofa analtica se muestrasiempre muy crtica con el idealismo y afirma laindependencia de los objetos respecto al sujetocognoscente.

Positivismo: cualquier filsofo analticoconsiderar la ciencia natural como el modelo

por excelencia de conocimiento y albergarserias dudas sobre la metafsica llegandomuchos de ellos a considerarla como unconjunto de proposiciones sin sentido, una

pseudociencia sin valor alguno.Logicismo: para los filsofos analticos

cabe fundamentar la verdad en la lgica y cabela posibilidad de reducir los saberes msseguros, como la matemtica, a principioslgicos capaces de servir de su fundamentacinltima.


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Atomismo lgico: el mundo es la totalidadde los hechos, dir Wittgenstein, y esos hechos,

de naturaleza atmica, es decir, singulares,individuales (los hechos son sucesos oacontecimientos particulares que existen demanera independiente), son reflejados por ellenguaje lgico en las proposiciones, siendo el

pensamiento la representacin lgica de los

hechos. Para que esa operacin de figuracin delos hechos en las proposiciones pueda tenerlugar es necesario que lenguaje y realidadcompartan una misma forma, sean isomorfas.

Pero a la cabeza de estas caractersticas

propias de la filosofa analtica hay que situar elllamado "giro lingstico": el centro de lareflexin filosfica es el lenguaje y, de maneramuy especial, el lenguaje lgico, porque segn lafilosofa analtica el objetivo de la filosofa es laclarificacin lgica de los pensamientos. Y paraello el mtodo correcto de la filosofa sera

propiamente ste: no decir nada ms que lo que sepuede decir, o sea, proposiciones de la ciencianatural. As, debe delimitar lo pensable y con ellolo impensable: De lo que no se puede hablar hayque callar , deca Wittgenstein en su Tractatus.La filosofa, por tanto, no es considerada una


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doctrina, sino una actividad; una actividadpuramente descriptiva: la filosofa no transforma

la realidad; slo analiza nuestra forma de hablardel mundo: La filosofa es un hablar sobre la

forma de hablar, deca Ayer. Esta actividaddescriptiva que es la filosofa quedadedicada a lacrtica lingstica, porque esencialmente, comoadverta Wittgenstein, "los problemas filosficos

son problemas del lenguaje". En definitiva, lafilosofa se circunscribe, pues, al anlisis delsentido y valor de las proposiciones, siendoespecficamente una actividad de clarificacin dellenguaje.

Russell, sin negar lo precedente, ampliara,no obstante, la labor de la filosofa hasta destinarlaa:

La Liberacin de nuestros prejuicios y lasuperacin del llamado "hombre instintivo",quien vive atado a sus intereses privados; segnRussell, "la vida del hombre instintivo se hallaencerrada en el crculo de sus intereses privados:

la familia y los amigos pueden incluirse en ella,pero el resto del mundo no entra enconsideracin, salvo en lo que puede ayudar oentorpecer lo que forma parte del crculo de losdeseos instintivos. Esta vida tiene algo de febrily limitada. En comparacin con ella, la vida del


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filsofo es serena y libre. El mundo privado, delos intereses instintivos, es pequeo en medio de

un mundo grande y poderoso que debe, tarde otemprano, arruinar nuestro mundo peculiar.Salvo si ensanchamos de tal modo nuestrosintereses que incluyamos en ellos el mundoentero, permanecemos como una guarnicin enuna fortaleza sitiada, sabiendo que el enemigo

nos impide escapar y que la rendicin final esinevitable. Este gnero de vida no conoce la paz,sino una constante guerra entre la insistencia deldeseo y la importancia del querer. Si nuestravida ha de ser grande y libre, debemos escapar,de uno u otro modo, a esta prisin y a estaguerra" (Russell, Bertrand:Los problemas de la

filosofa,CAP XV). Hacernos Ciudadanos del universo: "la

contemplacin (se refiere Russell al saberfilosfico) no slo amplia los objetos de nuestro

pensamiento, sino tambin los objetos denuestras acciones y afecciones; nos hace

ciudadanos del Universo, no slo de una ciudadamurallada, en guerra con todo lo dems. Enesta ciudadana del Universo consiste laverdadera libertad del hombre, y su liberacindel vasallaje de las esperanzas y los temoreslimitados. como dice en su obra" (Los

problemas de la filosofa, XV).


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Dotarnos del Conocimiento de la unidad ysistema de las ciencias.

Entre los autores ms significativos de lafilosofa analtica cabe citar, adems de a Russelly Wittgenstein, por supuesto, a filsofos brillantesen el terreno de la lgica como Frege, perotambin a los autores situados en la rbita del"Crculo de Viena" y el "positivismo lgico",

como Carnap, y a quienes, como Popper,partiendo de la filosofa analtica y centrndose en

Elpositivismo lgico, corriente perteneciente a la filosofaanaltica, nacera a principios del siglo XX en el contexto

cultural de la Viena de fin de siglo, la cual reuna unaactividad artstica y cientfica muy intensa, con nombres

como los de Boltzmann y Mach en el terreno de la Fsica,Mahler y Schnberg en el panorama de la msica clsica,Musil en el campo de la literatura, Kokoscha y Klimt en

pintura, etc.La preocupacin fundamental del positivismo lgico era lademarcacin y fundamentacin de la ciencia, estableciendocomo principio de significacin y verdad la "verificacin",

consistente en contrastar el sentido y verdad de unaproposicin por medio de su cotejo con los hechos, siendolos hechos atmicos los nicos verificables. La verificacin

exiga de las proposiciones cientficas empiricidad y

descripcin lgica. Aquellas proposiciones que resultaranimposibles de verificar eran consideradas carentes desentido pues no referan hecho alguno. Este era el caso de

las proposiciones de la metafsica.


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el contexto de una nueva filosofa de la cienciasituaron finalmente su campo de reflexin y

conclusiones ms all de la filosofa analtica.


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Lgica y realidad

La geometra enseara a Russell, ya desdenio, a ver que la razn era la nica forma vlida

de abordar la realidad, porque la razn progresapor medio de demostracin lgica y da concertezas bien asentadas. Y este proceder conducehasta la morada de la ciencia como saber que

puede ofrecer un conocimiento fiable del mundo.Ah est la fsica, por ejemplo, para entender yexplicar racionalmente la naturaleza. Pero la fsicamisma se apoya en las matemticas. Pero, y lasmatemticas, en qu se apoyan? En axiomas, esdecir, en principios indemostrables que adoptamoscomo verdaderos; y a partir de ellos podemosdeducir otras verdades. Pero, entonces, qu tienefinalmente de racional la matemtica si necesita

postulados que no somete a la demostracinlgica?

De esta forma Russell haba dado con elproblema fundamental del conocimiento racional,a saber: el problema de su propia fundamentacin.


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Russell comienza a estudiar matemticas enCambridge -se graduara en esa disciplina en

1893- con la esperanza de hallar ese fundamento,pero pronto descubre que las matemticas caenmuchas veces en demostraciones circulares,

porque en sus definiciones incluyen lo definido;por ejemplo, el concepto de infinitesimal podradefinirse como lo infinitamente pequeo, pero esta

definicin incluye de suyo el concepto a definir,infinito, luego se convierte en una definicincircular, pues define el trmino usndolo en ladefinicin. Russell quera acabar con estasvaguedades y contradicciones propias de lasmatemticas. Russell quera regimentar lasmatemticas hasta encontrar en ellas el

fundamento de la verdad. Crea que lasmatemticas le llevaran hasta la verdad, hasta elfundamento de la verdad, pero, desgraciadamente,las matemticas no eran del todo lgicas:contenan afirmaciones no demostradas ydefiniciones circulares; adems, las matemticasque Russell estudia en la universidad no tenan loque finalmente buscaba: la naturaleza de laverdad. Las matemticas no se preguntan por lanaturaleza de la verdad matemtica; simplementela dan por establecida. Entonces, qu saber se

pregunta por la naturaleza de la verdad, de laverdad matemtica o de cualquier otro tipo? Sin


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duda la filosofa. As que Russell pronto seinteresara por ella y en 1894, en la universidad de

Cambridge, obtendra su graduacin en estamateria.

Russell estudiar y asimilar en seguida lahistoria de la filosofa, pero de nuevo ladesconfianza le embarga: los filsofos secontradicen entre s demasiadas veces. Por

ejemplo, para unos, los platnicos, las ideas soncosas reales, para otros, los aristotlicos,simplemente contenidos mentales; para unos, loscartesianos, existen ideas innatas, para otros, losempiristas, en absoluto. Y no dentro de la mismaescuela los filsofos se muestran de acuerdo entodo. Por ejemplo, en el racionalismo, paraDescartes, mente y materia son cosas distintas eincluso opuestas; en cambio, Spinoza niega taldualismo.

Russell haba encontrado en la matemticacierta irracionalidad, pero al menos contaba conalgunos principios slidos, como el de no-

contradiccin. La matemtica contaba con unEuclides, por ejemplo, quien a partir de axiomasdemostraba los principios bsicos de la geometray de todas las ciencias.


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Russell intentaba encontrar elEuclidesde lafilosofa, es decir, alguien que dotara a la filosofade pilares fuertes, esto es, de un lenguajelgicamente preciso. Y, en esa bsqueda, halla aLeibniz, el gran filsofo y matemtico racionalistaalemn del siglo XVII, quien crea haber dado conun clculo lgico que le permitira clarificar todoel saber.

Si Descartes hubo de anunciar la necesidadde un mtodo preciso, matemtico, seguro, para

EUCLIDES

Axiomas comunes Axiomas propios

Cosas iguales a la misma cosason iguales entre s.

Es posible trazar una lnearecta desde un punto a otrocualquiera.

Si a iguales se suman iguales,los resultados son iguales.

Una lnea recta finita puedeprolongarse continuamente enlnea recta.

Si iguales se restan de iguales,los restos son de iguales. Se puede trazar unacircunferencia con un puntocualquiera como centro ycualquier distancia comoradio.

Cosas que coinciden una conotra son iguales entre s.

Todos los ngulos rectos soniguales.

El todo es mayor que la parte. Por un punto exterior a unarecta solo puede trazarse una

nica paralela.

axiomas


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hallar las certezas bsicas sobre las que edificar eledificio del saber a ese mtodo lo llam duda

metdica-, Leibniz, por su parte, nos ofrece unalista de principios [vase: Apndice III] entre losque destacan: el Principio de identidad y de nocontradiccin, el Principio de razn suficientey de la identidad de los indiscernibles o principiode diferenciacin y, por supuesto tratndose de

Leibniz, el Principio de lo mejor o de Armonapreestablecida. Solo a partir de estos principios en opinin de Leibniz- cabra pensar con

propiedad.

Hasta ese momento, Russell se mova entrela filosofa y la matemtica: era mitad matemticoy mitad filsofo, notaba que necesitaba ambas,

pero que ninguna le vala por s misma. En lafilosofa de Leibniz, sin embargo, Russell haba deencontrar su camino: la lgica. Definitivamente aRussell no le bastaban ni la matemtica ni lafilosofa; precisaba algo ms radical, ms simple,ms fundamental: la lgica.

Pero, qu es eso de la lgica? SegnAristteles, uno de sus principales artfices, la

propedutica de todas las ciencias, el caminonecesario por el que han de circular todas lasciencias, la base de preparacin necesaria para

pensar cientficamente; en definitiva, los pilares


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del saber racional, su herramienta bsica: surganon.

La lgica es puro razonamiento, la lgica esargumentacin necesaria, demostrativa. Comociencia, la lgica es puramente formal, su objetode estudio es la forma de las proposiciones, lacadena de argumentacin con la que stas vanunidas. A esas cadenas Aristteles las llam

silogismos; un ejemplo de silogismo es elsiguiente:

Todos los hombres son mortales.Scrates es un hombre.Luego, Scrates es mortal

Aristteles y Leibniz: las bases de lalgica

El silogismo nos dice que partiendo de dosenunciados verdaderos podemos concluir, inferirdeductivamente, un nuevo y necesario enunciadoque se deduce de la verdad de los anteriores, loscuales actuarn de premisas de la nuevaconclusin.


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Pero para llegar a construir el silogismo,Aristteles necesitaba, primero, esclarecer qu

tipos de oraciones seran posibles; as, Aristtelesdistingua entre oraciones singulares (porejemplo, Scrates es hombre), universales(Todos los hombres son mortales) yparticulares(Algunos hombres son mortales). Con estoAristteles estaba poniendo no solo los cimientos

de la lgica, al referir que en cada uno de estostipos de enunciados lo que se lleva a cabo es unaasignacin de objetos cuando aqu se habla deobjeto no se refiere a una cosa material yexistente, sino a una funcin nominal, es decir, acualquier nombre u otro tipo de designador, comoun pronombre o un adjetivo, que va a ser tomado

como objeto de referencia y que puede serc a r g a d o d e p r o p i e d a d e s , f u n c i o n e s ,caractersticas, acciones, etc., esto es, puede serobjeto de clasificacin- a clases, sino tambin dela gramtica, porque Aristteles distribua las

partes de la oracin ensujeto, aquel objeto del quehablamos (por ejemplo: Scrates, Algunos,Todos) y predicado, aquello que decimos delsujeto (siguiendo con los ejemplos precedentes:hombre, mortal).

Pues bien, a partir de esta distribucinlgico-gramatical de nuestro decir de las cosas,Aristteles llegara a la conclusin de que todo


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cuanto decimos puede ser estructuradolgicamente en un cuadrado de oposiciones. Por

ejemplo:1. Todos los hombres son mortales

2. Ningn hombre es mortal

3. Algunos hombres son mortales

4. Algunos hombres no son mortales

Veamos las oposiciones posibles:

Los enunciados 1 y 2 no pueden ambas a lavez ser verdaderas: o lo es una o lo es la otra. Si esverdadero que todos los hombres son mortales,entonces ser siempre falso que ningn hombre

es mortal.A los enunciados 2 y 3 les pasa lo mismo.Se encuentran en el mismo tipo de relacin deoposicin o contradiccin y exclusin: si ningnhombre es mortal es verdadero, entonces no

puede darse el caso de que algunos hombres sonmortales. Y lo mismo sucede tambin con losenunciados 1 y 4.

En cuanto a la relacin entre los enunciados1 y 3. Entre ellos no cabe establecer una relacinde contradiccin, ya que ambas pueden serverdaderas al unsono: si todos los hombres sonmortales es verdadero, est claro que algunos


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hombres son mortales tambin es verdadero.Ahora bien, a la inversa no sucede lo mismo: si

algunos hombres son mortales es verdadero, esono supone necesariamente que todos los hombresson mortales sea verdadero. Es decir, que el todorige sobre la parte, pero no a la inversa. Lo mismosucede con las oraciones 2 y 4.

A partir de este cuadrado de oposiciones,

Aristteles ya puede construir el silogismo ycertificar su autenticidad o verdad (validez, entrminos lgicos) y su falsedad. Basta conconstruir un primer enunciado, al que llamaremos

premisa, por ejemplo todos los hombres sonmortales, para tomar despus el sujeto de eseenunciado como predicado de un enunciadosiguiente, que tambin har las veces de premisa,

por ejemplo Scrates es hombre; lo que resta,esto es, la conclusin estar compuesta de lostrminos que hasta entonces no haban participadoen la relacin, es decir, el predicado de la primera

premisa y el sujeto de la segunda premisa,

quedando organizado de la siguiente manera: en laconclusin el predicado de la primera premisaser el predicado de la conclusin y el sujeto de lasegunda premisa ser el sujeto de la conclusin;as, Scrates es mortal ser una conclusinverdadera, y el silogismo ser vlido.


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Por tanto, si las premisas son verdaderas, laconclusin tambin lo ser.

Pero los silogismos no eran muy giles yfiables en argumentos ms extensos, enargumentos que comprendieran ms de un

predicado. Se necesitaba, pues, un clculo, unaregla, un mtodo que actuara de nuevo rganonyque reglamentara el pensamiento todo. Eseclculo haba de ser un sistema simblico yLeibniz, en el siglo XVII, haba de ser su autor.

Segn Leibniz las relaciones entreenunciados son como ecuaciones algebraicas. Porejemplo, si tomamos dos enunciados podemos

establecer entre ellos una igualdad: a = b. Doscosas son idnticas cuando todo lo que puededecirse de una se puede decir de la otra. Ahora

bien, si a = b y b = c, entonces a = c. Pero,adems, a = no (no a)y a = bes, a su vez, igual ano b = no a. Vemoslo con un ejemplo:

Si todos los hombres son mortales yScrates es un hombre, entonces Scrates esmortal. Adems, si Scrates es mortal, entoncesScrates no es inmortal, y, finalmente, siScrates es un hombre, entonces si no eres unhombre no puedes ser Scrates.


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As pues, con estas cuatro reglas bsicas [a= b (en ejemplo: ser Scrates es igual a ser

hombre); si a = b y b = c, entonces a = c (siScrates es un hombre y ser hombre es ser mortal,entonces Scrates es mortal); a = no (no a) (siScrates es mortal, entonces no puede serinmortal); si a = b, entonces no b = no a (siScrates, que es un hombre, es mortal, entonces

no ser mortal es igual a no ser hombre)], Leibnizestaba seguro de poder probar la validez decualquier silogismo. El conjunto de estas reglasconstituira la serie de leyes fundamentales detodo razonamiento. Ya tenamos, as, un sistemalgico del que partir.

Aristteles haba proporcionado la urdimbre(los tipos de enunciados y sus relaciones bsicas),Leibniz haba sistematizado simblicamente laforma lgica de relacin entre enunciados. Esaforma lgica servira para demostrarla validez delos razonamientos.

Este mtodo demostrativo de Leibniz est

formado por cuatro reglas fundamentales:A) una cosa es idntica a s misma; se trata

del principio de identidad: (a=a).

B) ningn enunciado puede ser verdadero yfalso al mismo tiempo; se trata del principio de nocontradiccin: "noes cierto pyno-p".


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C) todo enunciado solo puede admitir unsolo valor de verdad lgica: o bien es verdadero o

bien es falso; se trata del principio de tercioexcluido: "p ono-p".

D) por ltimo la ley de sustitucin, la cualnos permite sustituir una expresin por otramanteniendo las mismas condiciones de verdad;

por ejemplo, "si a es igual a b y b es igual a c,

entonces aes igual a c".Pero adems existe una herramienta bsica

muy empleada por Leibniz: la reduccin alabsurdo (reductio ad absurdum). Con estaherramienta suponemos la verdad de un enunciadoy sacamos conclusiones a partir de l, si esas

conc lus iones nos conducen a a lgunacontradiccin, entonces ese enunciado, tomadoinicialmente como verdadero, ser finalmentefalso. As pues, lo que demuestra esta herramientaes que un enunciado es verdadero si no encierracontradiccin.

Con las lecciones de lgica proporcionadaspor Aristteles y Leibniz, ya podemos ver engeneral cmo trabaja la lgica.

Supongamos una senda dentro de unlaberinto. Esperamos saber si esa senda es la


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verdadera, es decir, si es la correcta, la queconduce a la salida del laberinto. Lgicamente

slo disponemos de dos posibilidades o valores: oesa senda llammosla X- es correcta o no lo es(en terminologa simblica lgica: 1 o 0).Comenzamos a desandar esa senda y pronto nosencontramos con una bifurcacin: la senda, ahora,se bifurca en otras dos: Y, Z. Estamos ante el

mismo problema: cul es la correcta? Si X = 1(es decir, si la senda es verdadera), entonces Y o Z= 1. As, X = 1 si Y = 1 o Z = 1 o bien si Y y Z =1. En cambio, X = 0 si tanto Y como Z = 0.

Lo que se enuncia en este clculo podemosexpresarlo con un par de tablas de verdad. Enconcreto, la tabla de verdad de la disyuncin y dela conjuncin, respectivamente:

Las tablas de verdadson invencin deWittgenstein, que plasma en su obra Tractatus

logico-philosophicus, para representar grfica ysimblicamente las conectivas lgicas (y, o,no, si entonces, si y solo si), es decir, esossmbolos que a modo de funciones lgicas

establecen las relaciones de validez entre losenunciados que forman un razonamiento. Portanto, una tabla de verdad sirve para

representar la verdad de un razonamiento,entendiendo por tal una serie lgicamente

conectada de proposiciones.


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Tabla de verdad de la disyuncin

p q p !q

1 0 1

0 1 1

1 1 1

0 0 0

Tabla de verdad de la conjuncin

p q p !q

1 0 0

0 1 0

1 1 1

0 0 0

Este conocimiento del funcionamiento de lalgica va a ser esencial para entender la filosofade Russell, porque con la lgica Russell pretendaobtener conocimiento cierto sobre la realidad.Pero necesitaba conocer bien la lgica. Por ello seembarcara en un viaje en el que conocer a los

principales lgicos del momento, la mayora deellos alemanes: a Frege, el autor de laConceptografa (Begriffsschrift), que intentabaelaborar un lenguaje completamente lgico,exacto, sin contradicciones, siguiendo el esfuerzoinicial de Leibniz; a Cantor, con su hotel infinitoy su teora de conjuntos. Todos ellos grandes


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lgicos, excelentes matemticos y filsofosanalticos.

La influencia de Frege y Cantor en la

lgica de Russell

De Frege Russell aprendera que el fin de lalgica no es tanto calcular como modelar larealidad, porque solo por medio de un lenguajetotalmente lgico podremos comprender larealidad. Esta idea la plasmara despus

Wittgenstein en su famoso Tractatus lgico-philosophicus, donde afirmaba que no se puedepensar nada ilgico y que el pensamiento (lgico)es la figura (lgica) de los hechos, los cuales, ensu conjunto, componen el mundo: el mundo, decaWittgenstein, es la totalidad de los hechos, siendoun hecho la expresin de un estado de cosas, yestos pueden ser dichos, esto es, pensados,referidos proposicionalmente, por el lenguajelgico, ya que la proposicin lgica, es decir, ellenguaje lgico, es la figura de la realidad.Lenguaje (lgico) y realidad comparten la mismaforma: isomorfa. Russell compartira estas tesis,


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las cuales, a la postre, componen el llamadoatomismo lgico, del joven Wittgenstein, de

origen austraco y que sera alumno y despusprofesor en Cambridge.

Pero, volvamos a Frege y su influencia enRussell. Para Frege, el lenguaje lgico perfectosera el adecuado para descubrir los fundamentosde las matemticas. Frege introducira un nuevo

clculo proposicionalque combinaba la teora dela demostracin de Leibniz con el uso de lasconectivas lgicas (no, y, o, si...entonces, si y solosi); en este clculo proposicional de Fregedestacan los llamados cuantificadores (todos,algunos, ninguno, al menos uno, etc.) que van aser tratados como entidades lgicamenteindependientes. De esta manera Frege intentabaevitar caer en absurdos como los sealados consuave irona y gran destreza lgica por LewisCarroll en suAlicia en el pas de las maravillas:

"- A nadie veo en el camino, dijo Alicia.

- ojal tuviera unos ojos as! -coment el rey-.

Ser capaz de ver a nadie!".

Frege no habra escrito nunca esta obra a untiempo de lgica y de literatura, porque en elclculo proposicional de Frege el enunciado "Anadie veo en el camino" se convertira en este:


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"Para todas las personas, no puedo verlas en elcamino", o bien en este otro: "no hay al menos

una persona que pueda verla en el camino". Fregequera evitar a toda costa las imprecisiones,confusiones y ambigedades en el uso dellenguaje: buscaba un lenguaje lgicamente

perfecto, en el que su unidad sera la proposicin -de ah que fuera denominado como clculo

proposicional- la cual es un enunciado compuestode sujeto y predicado y que solo cuando loconsideramos como un todo podemos conocer lossignificados de las palabras que lo componen. As

pues, el significado de las palabras no hay quebuscarlo en s mismas sino en el contexto de laproposicin de la que forman parte.

El objetivo final de Frege era reducir toda lamatemtica a pura lgica. Y como la lgicatradicional no serva para este propsito, se vioobligado a crear una nueva lgica, ms potente ala vez que ms flexible, introduciendo loscuantificadores y presentando el anlisis de las

conectivas lgicas, es decir, analizando cundo larelacin entre dos o ms enunciados unidosconjuntiva, disyuntiva y condicionalmente eslgicamente verdadera, esto es, en qu casosestamos ante un argumento vlido.


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Cantor, por su parte, ofrecera a lamatemtica una nueva manera de comprender el

concepto de infinito. Cantor abordaba el problemade la siguiente manera: consideremos, primero, unhotel con un nmero finito de habitaciones. Sillega un nuevo husped y el hotel est lleno, no

podremos darle habitacin. Sin embargo,consideremos ahora un hotel con un nmero

infinito de habitaciones. Si llega un nuevohusped, aunque el hotel est lleno, siemprepodremos albergarlo: bastara con hacer pasar acada cliente a la habitacin siguiente a la suya yas tendramos una habitacin libre para nuestronuevo husped. As pasaramos al cliente de lahabitacin 1 a la habitacin nmero 2 y al que all

resida a la n 3 y as sucesivamente; de estamanera, ya tendramos una habitacin libre, la

primera. En resumen, en el infinito siempre hayalgo ms, siempre cabe posibilidad.

Por otra parte, Cantor fue el creador de lallamada teora de conjuntos. Los conjuntos son las

entidades matemticas ms bsicas: son grupos deelementos, que bien pueden tener elementoscomunes o no. Por ejemplo, entre el conjunto A yel conjunto B podemos establecer sus elementoscomunes; as, diremos que A y B comparten loselementos x, z, w. Pero tambin podemos advertirque x, z, w obien son miembros de A obien son


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miembros de B, pero no de ambos. Finalmente,podemos pensar en todos aquellos elementos quenoson miembros de A o que noson miembros deB. Es decir que con tan solo tres conectivas(y, o,no) podemos expresar toda proposicin lgica

posible. Por ejemplo:

si a entonces bes lo mismo que no puededarse a y no darse b.

Es decir,

si la bella princesa me besa -dice la rana-entonces me convertir en prncipe.

O bien,

no puede darse el caso que la bella princesame bese -dice la rana- y yo no me convierta en

prncipe. En terminologa lgica,

AB

_________

(A " B)

O bien, expresado en la tabla de verdad del

condicional:p q p "q

1 0 0

0 1 1

1 1 1

0 0 1


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Por tanto, los conjuntos, segn Cantor,seran agrupaciones de objetos definidas por una

propiedad comn.

Con esto la matemtica daba un saltoconsiderable al pasar de estudiar simpleselementos individuales (nmeros, funciones,formas geomtricas) a elementos agrupados, es

decir, conjuntos de elementos.Frege, por su parte, tratara de aunar su

esfuerzo por crear un lenguaje lgicamenteperfecto con la teora de conjuntos de Cantor paraobtener una base slida para las matemticas.Pero, en ese punto, Russell halla las famosas

paradojas de Russell.

Las paradojas de Russell

Con todo este bagaje lgico-matemtico(Frege, Cantor), Russell emprende la escritura dela que sera una de sus principales obras:

Principia Mathematica. En ella Russell abordabala fundamentacin lgica de las matemticas, pero


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en vez de partir de la nocin de nmeropartira dela nocin de conjunto, porque un nmero es la

expresin de un conjunto. Por ejemplo, el nmero3 no es ms que la expresin de todos losconjuntos que tienen ese nmero de elementos;

por tanto, los conjuntos son la base de laaritmtica.

Pero, segn Russell, el problema de los

conjuntos es su paradojicidad (vase: Apndice II- texto 1): un conjunto puede contener a otrosconjuntos o incluso a s mismo y, a la vez, no serigual a s mismo. Por ejemplo, supongamos elconjunto de todas las aves. Este conjunto puedecontener otros conjuntos, como el conjunto detodas las aves de pico corto o el conjunto de todaslas aves de pico largo, etc. Pero, no obstante, elconjunto de todas las aves no es un ave.

Russell explicaba este tipo de paradojas conun ya famoso ejemplo: supongamos un pueblo enel que gobierna una estricta ley: todo varnadulto ha de afeitarse a diario. A quienes no se

afeiten a s mismos, los afeitar un barbero. Portanto, el barbero es aquel que afeita a quienes nose afeitan a s mismos. Pero, entonces, surge la

pregunta: quin afeitar al barbero? Y larespuesta nos conduce a una paradoja: si el

barbero se afeita a s mismo, entonces deja de ser


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barbero, porque la propiedad del barbero es afeitara los que no se afeitan a s mismos; a la vez, si el

barbero va al barbero para ser afeitado, entoncesse estara afeitando a s mismo, con lo que yahemos regresado al problema anterior: el barberose afeitara a s mismo y, por tanto, ya no afeitaraa los que no se afeitan a s mismos, luego el

barbero no sera barbero.

Esta paradoja es similar a la paradoja delmentiroso: si alguien dice que miente, entoncesest diciendo la verdad, pero si dice la verdad,entonces miente. Esta ya famosa paradoja,enunciada primeramente por Zenn de Elea(495-430 a.C.) para demostrar el fracaso de larazn en su bsqueda del conocimiento absoluto,

pone de manifiesto que si una oracin del tipo"Esta oracin es falsa" es verdadera, entonces esfalsa y si es falsa entonces es verdadera. Esta

paradoja la encontramos tambin en el "DoctorHouse", ese mdico de la serie televisivahomnima, cuando repite: "todo el mundo

m i e n t e " . Pero cuandoalguien le hace ver sucontradiccin al argir queen ese caso l mismotambin estara mintiendo(ya que todo el mundo

miente), entonces hbilmente responde: "yo no he


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dicho que todo el mundo mienta todo el tiempo",con lo que su juicio quedara a salvo de la

paradoja. Es importante esta matizacin porque loque est haciendo House es anular la posibilidadde los enunciados universales, que son, en el decirde Russell, uno de los tipos de enunciados quellevan al lenguaje hasta el lmite abocndolo ashacia la paradoja; por ejemplo, la proposicin

"todos los cuervos son negros" trata de expresarun hecho general, pero no hay, ni puede haber,hechos generales: todos los hechos son atmicos,

particulares, singulares -segn el atomismo lgicoque el propio Russell reivindica, como se ver enel apartado anterior-, con lo que los enunciadosgenerales, universales, no pueden referir hechos y,

por otra parte, la simple enumeracin conjunta dehechos singulares no establece axiomticamente

proposiciones generales referidas a hechos, puespara que eso fuera posible habra que tenerposibilidad de un acceso emprico a todas lasinfinitas apariciones singulares de los hechos, yeso, como dej bien establecido Hume, resultaimposible: si una proposicin ha de referir o ha de

poder referir un hecho, y por definicin los hechosson singulares o atmicos, si pretendemos, porejemplo, saber si es verdadero que "todos loscuervos son negros" recurriendo a la experiencia,tendramos que tener experiencia infinita, es decir,


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experiencia de todos los cuervos, absolutamentetodos, los del presente y el pasado y, lo que resulta

ms difcil y paradjico, tambin de los del futuro,pero no hay experiencia de los hechos futuros,sencillamente porque no han acontecido. As quelo que est en juego -lo que queda referido- en unenunciado universal no es un hecho.

De la misma forma, dice Russell, lasproposiciones que tratan de expresar hechosnegativos (por ejemplo, "Napolen no existe")tambin caen en contradiccin porque losllamados hechos negativos no existen comohechos, ya que no es posible la existencia de la

no-existencia.Por ltimo, las proposiciones que expresan

creencias (por ejemplo, "Juan cree que la tierra esplana"), tampoco refieren hechos y es fcil quecaigan en contradiccin, no tanto porque sucontrastacin emprica las pueda invalidar, sino

Conviene aclarar que el concepto de "hecho" no tiene en Hume y

Russell el mismo significado: para Hume los hechos, sometidos aconocimiento fenomnico, son fenmenos que el sujeto vincula

psicolgicamente por medio de la costumbre en la observacin desu acontecer y la creencia de que entre ellos rige una conexin

causal. En cambio, para Russell, los hechos son tomos que ellenguaje refiere lgicamente (conocimiento lgico).


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porque las proposiciones que expresan creenciasson independientes de la verdad o falsedad de los

hechos: la verdad o falsedad de un hecho nodepende de una creencia.

Con estas paradojas (la del barbero, la delmentiroso), lo que se pone de manifiesto es,

primero, que debemos distinguir entreconoc imiento d i rec to y conoc imiento

proposicional (vase: Apndice II - texto 2), y quesi pensamos en el conjunto de todos los conjuntos,entonces si decimos que dicho conjunto secontiene a s mismo estaremos, paradjicamente,diciendo que no se contiene a s mismo y sidecimos que noen ese caso estaremos afirmandoquesse contiene a s mismo.

De esta forma, Russell pona en entredichola definicin de conjuntocomo grupo definido poruna propiedad comn. As, se desvanecan todoslos esfuerzos de Frege, Cantor, Hilbert, etc. porfundamentar la matemtica, pues todos ellos

partan de la endeble definicin de conjunto que

haba proporcionado el cura y matemticoBolzano: un conjunto es un grupo de elementosdefinidos por una propiedad comn.

Russell haba demostrado la imposibilidaddel conjunto de todos los conjuntos, porque eseconjunto no poda ser autorreferencial, es decir, no


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podra contenerse a s mismo sin hacer referenciaa otros conjuntos. El conjunto de todas las aves no

es un ave, pero guarda propiedades comunes conotros conjuntos, por ejemplo, con el conjunto delos animales que tienen patas, o con el conjunto delos animales no mamferos. Por tanto, el conjuntode todas las aves puede ser encerrado o formar

parte de otro mayor: el conjunto de todos los

animales, y ste, a su vez, puede formar parte delconjunto de todos los seres terrestres, y ste a suvez

Pero no hay manera de hallar el conjunto detodos los conjuntos. Esto quiere decir, en ltimainstancia, que no hay fundamento ltimo posible:no en las matemticas, no en la lgica.

La "teora de los tipos" de Russell

Los callejones sin salida a los que lasparadojas -en las que el pensamiento incurre amenudo en su esfuerzo por referir la realidad-conducen, trataron de ser esquivados por Russellcon su teora de los tipos, segn la cual unaclase es una funcin proposicional cuyo


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significado depende del dominiode objetos que lahacen verdadera. Segn Russell una clase no

puede ser una cosa; por ejemplo, la clase oconjunto de los hombres no es un hombre. Portanto, si una clase es una cosa, entonces llegadosal extremo de la clase de todas las cosastendramos que esa clase es tambin una cosa, conlo que, de esa manera, existiran ms clases de

cosas que cosas, lo cual es paradjico y absurdo,porque estaramos afirmando que dado que lasclases son tambin cosas y que una clase puedeser o no miembro de s misma (para cada conjunto

pueden darse dos posibilidades: o que seaautorreferencial o que no lo sea, es decir, que hayclases que s son miembros de s misma, por

ejemplo: la clase de todas las clases es una clase,y a la vez hay clases que no son miembros de smisma, por ejemplo: la clase de todos los pecesno es un pez), entonces habra ms cosas que elconjunto de todas las cosas. Absurdo: hay mscosas que cosas. Y paradjico: si lo es, entoncesno lo es y si no lo es, entonces lo es.

Para intentar solucionar este problema al que lanocin tradicional de clase nos ha abocado,Russell crea su teora de los tipos. Segn estateora, hay tipos de clases y no es posible enningn caso que una clase sea miembro de smisma: existen clases cuyos miembros son


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individuos (la clase de los perros), pero tambinclases cuyos miembros son clases de individuos

(el conjunto de las propiedades de los perros decaza), pero tambin clases de las clases deindividuos (el conjunto de las clases que renenen clases a los perros segn ciertas propiedades),etc. Pero no puede existir una clase de todas lasclases, es decir, en terminologa ontolgica que

nos es ms afn- no puede existir lo Uno, es decir,que no es posible contemplar todos los objetoscomo pertenecientes a un mismo nivel de realidad.

De Russell a Gdel

Las matemticas siempre han sido el resorteepistemolgico su fundamento ltimo en esostrminos- de las ciencias debido a suesquematismo lgico y a su capacidad predictivay demostrativa.

Pues bien, en la Antigua Grecia, lamatemtica de Euclides consigui, por un lado,sintetizar la geometra de la poca en unos pocos(diez en total) principios bsicos incuestionables,y, por otro lado, articular los principios lgicossobre los que fundar el razonamiento cientfico.Segn Euclides, resultaba imposible esgrimir


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enunciado cientfico alguno si ste no respetaba elprincipio de no contradiccin: no es lgico afirmar

y negar simultneamente lo mismo.Siguiendo este requisito de axiomatizacin

de la ciencia, Russell y Whitehead intentaron, aprincipios del siglo XX, desarrollar un programade axiomatizacin de las matemticas que sirvierano slo para aseverar su propia validez como

sistema lgico-deductivo, sino, a su vez,fundamentar la certeza lgica de toda proposicincientfica.


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Pero el matemtico y lgico Kurt Gdelcertificara que ningn conjunto, ningn sistema,

puede ser autorreferencial sin ser incoherente, esdecir, que si cabe afirmar su coherencia, no se

puede afirmar su completitud, pues en ltima

instancia no hay teora o sistema que sirva de

Cabe entender por sistema axiomticoaquel conjunto de

condiciones que ha de cumplir un sistema para ser garantade verdad de todas las proposiciones que contiene. Comobien saba Aristteles, y tendra muy en cuenta Euclides ala hora formular susPrincipios, cualquier sistema parte de

unos principios o axiomas; esos axiomas son sufundamento y han de hacer posible que dicho sistema sea

consistente (no contener contradiccin), completo eindependiente. As, la axiomatizacin de un sistema

consiste en verificar de ste a la vez su:Consistencia: un sistema basado en axiomas no puede

encerrar contradiccin. As pues, de esos axiomas nopodrn deducirse proposiciones contradictorias

Completitud: del conjunto que forman los axiomas han depoder derivarse todas las posibles expresiones del sistema.Independencia: los axiomas no son deducibles de ninguna

otra proposicin previa.

Quiz se entienda mejor todo esto con un ejemplo,entresacado de la geometra: los ngulos internos de un

tringulo suman 180. El primer requisito (consistencia)nos dir que de este axioma no podemos deducir lasiguiente proposicin: los ngulos internos de un tringulo

cualquiera no suman 180; el segundo principio(completitud), nos dir que de todos los posibles tringulosque podamos formar los ngulos de un tringulo habrn

de sumar 180; por ltimo, el tercer principio(independencia) nos advertir de que el axioma antes

enunciado no es deducible de ningn otro.


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fundamento para todas las dems en un campodado y una teora o un sistema no puede dar

cuenta de s mismo. As, Gdel demostraba quecualquier sistema que se buscara comofundamento absoluto (por ejemplo, un sistemacomplejo para dar cuenta o para fundamentar todala aritmtica) sera finalmente incompleto.

Gdel puso en duda la validez de un

sistema axiomtico argumentando que resultaimposible demostrar todas las condiciones deaxiomatizacinde un sistema, es decir, que de unsistema podremos asegurar que cumple el

principio o condicin de completitud eindependencia pero no podremos aseverar quecumple tambin la condicin de consistencia:segn Gdel un sistema no puede por s mismodemostrar su consistencia; para hacerlo tendr querecurrir a otro sistema (con lo cual est rompiendoel requisito de independencia) y, a su vez, stenuevo sistema para demostrar su consistenciatendr que remitirse a otro, y de esta manera hasta

el infinito. Pero el recurso al infinito no es garantade demostracin, como ya dej establecido Humeen su crtica a la idea de causalidad. Por otra

parte, si, siguiendo el principio de completitud, delos axiomas de un sistema habr de ser posiblededucir toda la serie completa de enunciados,entonces tambin tendr que deducirse una


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proposicin contradictoria, con lo cual estaremosrompiendo el principio de consistencia. Por tanto,

es imposible afirmar al mismo tiempo laconsistencia y completitud de un sistema.

As pues, si, de acuerdo con el llamadoTeorema de Gdel, no hay razn para demostrardesde s mismo la axiomatizacin de un sistema,las matemticas -recordemos, fundamento lgico

de la veracidad de las proposiciones cientficas-han de abandonar su pretensin de absolutacerteza.

La conexin entre lgica y realidad, unaconstante en el pensamiento de Russell, se hacaexplcita definitivamente en la potencia filosficade dos teoras fundamentales en la filosofa deRussell: el realismo matemtico y el atomismolgico, respectivamente.

El Teorema de Gdel en realidad son dos teoremas propuestos por KurtGdel. El primer teorema de Gdel establece que cualquier teora

matemtica coherente T que incluya los nmeros naturales 0, 1, 2... esincompleta: T contiene proposiciones S tales que ni S ni su negacin (noS) son demostrables en T. El segundo teorema de Gdel afirma que tal

teora T no puede contener la demostracin de su propia coherencia(ausencia de contradicciones); la coherencia se puede demostrar en otrateora mayor T, pero para demostrar que T es coherente se necesita otrateora extendida T, lo que da lugar a una secuencia infinita de teoras.


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Del realismo matemticoalatomismo lgico:Russell y

Wittgenstein

En 1911 Russell tiene por alumno enCambridge al brillante joven austraco LudwigWittgenstein, quien demuestra entender

perfectamente los Principia Mathematica deRussell y se obstina en refundar la lgicaacudiendo a lo ms esencial de la misma y Russelllo invita a que lime los argumentos expuestos enesa obra suya, los Principia Mathematica. Peroentre ellos reinaba todava un abismo terico quelos separaba: Russell defenda la existencia de unarealidad objetiva de naturaleza matemtica;Russell defenda la tesis del llamado realismo

matemtico. Podemos resumir esta tesis en lossiguientes principios:

1. Nivel ontolgico:

1. Los nmeros constituyen la estructura realdel universo (pitagorismo y Frege enRussell)


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2. Nominalismo:

1. Conocer es nombrar o designar2. Los hechos se es tablecen enproposiciones

3. Slo hay hechos atmicos o singulares(el universal no existe fuera de alma,que dira Ockham)

4. Las proposiciones pueden ser atmicasy moleculares

3. Atomismo lgico:

1. Isomorfismo realidad-lenguaje

1. La realidad se compone de partculas

(tomos) independientes2. Esos tomos son referidos en el

lenguaje proposicional

1. Nivel epistemolgico

1. El Conocimiento se compone de lgica yexperiencia

2. La matemtica puede y debe explicartanto el mundo matemtico o lgico comoel de la experiencia o emprico

3. Giro lingstico de la filosofa: la tarea dela filosofa es aclarar el lenguaje lgico,determinar su uso correcto.


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2. Nivel metodolgico

1. Mtodo de anlisis del lenguaje lgicopara sealar los elementos individuales deque se compone toda realidad significativao proposicin con sentido

El realismo matemtico de Russell era una

apuesta de superacin tanto del idealismo comodel empirismo. Superacin del empirismo porqueel fundamento del conocimiento -al contrario delo que opina esta corriente filosfica- no se puedereducir simplemente a la experiencia: hay algoms que la experiencia o conocimiento emprico;tenemos la lgica. Superacin del idealismo

porque esta teora filosfica se obstinaba enafirmar la tesis de que no es posible conocer unacosa sin conocer el todo; de ah que, en palabrasde Hegel, lo verdadero es el todo.

Por su parte, Wittgenstein compartira conRussell algunos de los principios del logicismo,que haban de ser expuestos sistemtica ysingularmente en una obra que, a la postre,revolucionara la filosofa en el siglo XX:Tractatus logico-philosophicus.


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En esta obra, Wittgenstein apostaba por la tesisdel atomismo lgico: la isomorfa entre lenguaje y

realidad, la clarificacin del lenguaje lgico comotarea exclusiva de la filosofa. Y aada su teora

figurativa del significado: el lenguaje es unaimagen de la realidad, las proposiciones sonmodelos lgicos de los hechos representados porel pensamiento, as que el mundo es modeladopor

el lenguaje; lo que una proposicin hace esconstruir una figurade la realidad; la realidad serefleja lgicamente en el lenguaje, se representa

figurativamente en el lenguaje, porque esasfiguras proposicionalesde la realidad son figuraslgicas. Por tanto, segn Wittgenstein la lgica esla forma misma del lenguaje.

LOGICISMO

Cabe entender por logicismo aquella filosofa de la matemtica que considera asta enteramente reducible a la lgica.

La tesis logicista afirma que:1. Todos los conceptos matemticos son definibles a partir de conceptos puramente

lgicos.2. Todos los teoremas matemticos son deducibles a partir de principios lgicos.Este programa logicista fue llevado a cabo por Russell, junto con su amigo A.Whitehead, en la obra que ambos escribieron juntos: "Principia Mathematica".

Pero, en cierto modo, las afirmaciones de Gdel sobre la incompletud, quesostienen la imposibilidad de formalizar completamente la aritmtica en un

sistema coherente de axiomas y principios lgicos, arruinaba el proyecto logicistade Russell, porque demostraba la imposibilidad de reducir la matemtica a pura

lgica.


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La teora de las descripciones

El realismo matemtico nos ha conducidohasta la idea de que cabe fundamentar lamatemtica -la cual a su vez era ya fundamento

para el resto de las ciencias gracias a su capacidadde certeza y de demostracin, adems de

prediccin; matemtica que el propio Descarteshaba tomado como base segura de su propiomtodo filosfico: la "duda metdica"- en lalgica y el atomismo lgico ha hecho

precisamente hincapi en que la lgica es el

lenguaje del mundo, en la medida en que loshechos, que son los que componen el mundo a lamanera de sus tomos, son referidos o figuradosen las proposiciones lgicas.

Pero, en el lenguaje comn o lenguajeordinario, es decir, sumidos en eso que llamaba

Hume "las cuestiones de hecho", es posible ybastante comn sustituir un nombre propio poruna descripcin , porque, segn Frege, elsignificado de un nombre es aquello a lo que serefiere. Por ejemplo, tanto vale decir 'Robert

Humedistingua entre relaciones de ideas ycuestiones de hecho:aquellas admitan demostracin y, por tanto, no puedenalbergar contradiccin entre sus enunciados, que serntautolgicos; en cambio, estas ltimas, las cuestiones dehecho slo admiten prueba y por tanto pueden contenerenunciados contradictorios entre s.


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Musil' como 'el autor de la novela: El hombre sinatributos'.

Ahora bien, Russell advierte de un problema:qu ocurre con aquellas proposiciones quedescriben algo inexistente?, es decir, qu hacer ocmo considerar una proposicin que sea elenunciado de una descripcin referida a unaentidad inexistente?. Por ejemplo: el actual rey

de Francia es calvo . Estamos ante unaproposicin falsa o simplemente carente desentido? Cabe reducir la verdad o falsedad de unenunciado a su significado?.

Para entender esto correctamente Russellpropona, en primer lugar, distinguir en el

conocimiento de objetos dos tipos deconocimiento: el conocimiento directo y elconocimiento por descripcin (vase: Apndice II- texto 3) y, en segundo lugar, descomponer todolo posible los enunciados. As, el enunciadoanterior constara de, al menos, tres descripciones:

a) para algn X, X es el actual rey de Francia b) para todo Y, si Y es rey de Francia, entonces Y esigual a X, o bien, ninguna otra cosa excepto X es un actual rey

de Francia

c) X es calvo

De esta forma, fcilmente se podr observardnde reside la falsedad del enunciado. As pues,


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el enunciado 'el actual rey de Francia es calvo' esfalso porque su primera descripcin es falsa

(Francia es una repblica y, por tanto, no hay rey).En definitiva, como ya dira Frege, el valor deverdad del todo depende del valor de verdad decada una de las partes. Pero, todava existe otro problema, el problemade la paradoja: si es falso que el actual rey de

Francia es calvo , entonces su contraria ha de serverdadera; es decir, habr de ser verdadero que el actual rey de Francia no es calvo . Y, sinembargo, esta segunda proposicin tambin esfalsa.

Para solucionar esta aparente paradoja, debemostener en cuenta, como hace Russell, que una

oracin contiene:

1. una afirmacin de existencia2. una afirmacin de unicidad

3. el predicado o la referencia del nombre que es sujeto

gramatical, en trminos fregeanos: la funcin.

Si las tres descripciones son verdaderas,

entonces la oracin tambin lo es. Pero, si ladescripcin que hace referencia al objeto existenteen realidad est haciendo referencia a un objetoque no existe o si tal objeto no es nico, entoncesde esa oracin no se dice que sea verdadera nifalsa, sino slo carente de sentido. Y esto es lo que


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sucede, segn Russell, con las proposiciones de lametafsica.


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La crtica de Russell al idealismo

En los aos en los que Russell estudiaba enCambridge, a finales del siglo XIX, el idealismoera la corriente filosfica ms influyente enAlemania, por supuesto, ya que este pas era su

cuna, y en Inglaterra, aqu de la mano del filsofoBradley.El idealismo de Hegel afirmaba que el todo

es lo verdadero, que una cosa no cobra sentido yno resulta cognoscible sin presentarla imbricadaformando parte del Sistema, de la Totalidad, y queese Todo es Espritu, Conciencia. La razn estara

llamada a conocer la experiencia de esaconciencia constituyendo el Saber Absoluto, elSistema de la Ciencia: la Lgica.

Russell haba, por supuesto, ledo a Hegel,especialmente su Ciencia de la Lgica, peroconsideraba que lo que all se deca sobre lasmatemticas era un completo sinsentido y que, engeneral, el sistema hegeliano era, como decaMoore, "inaplicable a las mesas y las sillas", esdecir, inaplicable a la realidad, incapaz dedescribir los hechos, incapacitado para referirlgicamente la estructura del mundo.


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Pero, Cul era la causa de este fracaso delidealismo? Su propia consideracin de lo real.

Para el idealismo todo cuanto existe, lo real, escontenido mental. Pero, Cmo era posible queincluso la materia fuera reducida a contenido de lamente? El idealismo caa en este reduccionismoabsurdo porque era incapaz de comenzar por lascosas y parta de las condiciones que deben

cumplir las cosas para ser conocidas por la menteo espritu. As, como indicaba Berkeley,seresserpercibido, las cosas no son ms que ideas, lo realno es independiente de mi mente. Losargumentos del idealismo caan una y otra vez,segn Russell, en el mismo error: confundir lacosa con la actividad de comprensin de la cosa,

presuponer que por el hecho de poder serconocidos por un espritu o mente los objetoseran, en ltimo trmino, contenidos de esa mente,ya que una cosa cualquiera no puede ser conocidasin estar ante un espritu.

Para superar el idealismo bastara, enprincipio, con distinguir entre la cosa y la cosacomo objeto de percepcin o conocimiento por unsujeto, es decir, bastara con ser un poco realista yno negarse, pues, a reconocer la independencia delos objetos respecto de la mente. Y esta simplemedida cautelar es la que propone Russell parasuperar el idealismo.


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No obstante, el propio Russell se percata deque el idealismo puede seguir latente en el caso

del conocimiento de verdades, porque adems decosas y el conocimiento que tenemos de ellashemos de contar con el problema de la verdad: esverdad que hay cosas que llamamos hombres, sonverdaderos algunos de los enunciados con los quereferimos propiedades de esas cosas llamadas

hombres, pero en qu medida se puede hablarcon verdad del universal "hombre"? Se puededecir que este hombre es alto, pero tambin se

puede afirmar que elhombre es un animal. Acasolos universales o ideas abstractas no pueden serconocidas? Russell admite que s, que no todo loque es conocido o puede ser conocido ha de ser

estrictamente un ser particular; es posible hablarcon verdad de los conceptos, de esas ideas ouniversales. Pero el conocimiento que podemostener de los mismos no puede ser directo, sino quese tratar de un conocimiento por referencia odescripcin.


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Apndice IPROPUESTA DE LECTURA Y COMENTARIO DE TEXTO:

Bertrand Russell: "Los problemas de la filosofa", CAP XV

En este texto de 1912, Russell expresa con sencillez su

concepcin de la filosofa (especialmente en los captulos14 y 15): el alcance, valor y tarea de la filosofa, as comosu crtica al idealismo (captulo 4) sealando laslimitaciones y paradojas que lo envuelven. Tambin, enesta obra, Russell aclara el significado del concepto derealidad y materia: este ltimo precisando su naturaleza yexistencia (captulos 2 y 3) y aquel primero superando

tanto las teoras que confunden apariencia y realidad comolas que establecen entre esos trminos un irreducibledualismo (captulo 1). Por ltimo hay que tener en cuentaque en esta obra Russell coloca en el centro de su reflexinel problema del conocimiento, distinguiendo entreconocimiento directo y conocimiento por referencia(captulo 5), mostrando de qu manera es posible un

conocimiento de los principios generales (captulos 7 y 8)y de los "universales" (captulos 9 y 10), analizandocrticamente la induccin y el conocimiento intuitivo(captulos 6, 7 y 11), para desembocar en la presentacinde su teora de la verdad esclareciendo qu entendemospor verdad y falsedad (captulo 12) y de qu manera


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podemos relacionar y distinguir entre verdad, opinin ycreencia (captulo 13).

Nuestro objetivo aqu es comentar someramente soloel captulo 15 a modo de presentacin del mismo einvitacin a su lectura.

Dicho captulo se inicia con la advertencia de cmo elmundo de la ciencia, por un lado, y el de los negociosprcticos o vida cotidiana, coinciden sospechosamente a la

hora de juzgar a la filosofa, pues desde ambasperspectivas la filosofa es considerada intil, inocente ysuperflua.

Ante este severo y equivocado juicio lanzado sobre lafilosofa desde la ciencia y el mbito de la vida cotidiana,Russell se pregunta por qu es considerada de ese modo.Y, segn Russell, tal dislate se produce porque no se ha

comprendido la finalidad de la vida ni mucho menos se hacomprendido la funcin de la filosofa.

En opinin de Russell la funcin ltima de la filosofaes de carcter crtico, pues consiste en liberarnos denuestros prejuicios (y un serio prejuicio es elantifilosfico) proporcionando bienes al espritu, es decir,

alimentndolo, pues de lo contrario el hombre quedarprisionero:

"El hombre que no tiene ningn barniz de filosofa, va porla vida prisionero de los prejuicios que derivan del sentidocomn, de las creencias habituales en su tiempo y en su pas yde los que se han desarrollado en su espritu sin la cooperacinni el consentimiento de su razn.


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Este primer acercamiento al problema de la filosofaevidenciando su funcin frente a quienes la tratan de intil

e inocente, acerca a Russell a los planteamientos deDescartes y Kant, quienes respectivamente dotaban a lafilosofa de un carcter netamente antidogmtico yemancipatorio haciendo de la filosofa el uso crtico de larazn. Si, segn Descartes, la filosofa es el ejercicioracional de la duday tal empresa nos hace libres y sabios,en opinin de Kant esa liberacin, esa emancipacin

("mayora de edad", le gustaba decir al filsofo prusiano)supone nuestra ilustracin.

Pero en el texto que estamos analizando Russell no seconforma en coincidir con tan grandes filsofos ni en tratara la filosofa como mera actividad. Para Russell la filosofaes sobre todo conocimiento. Ahora bien, conocimiento dequy conocimiento cmo.

Desde un punto de vista terico, la filosofa se lanza aconocer la unidad y el sistema del cuerpo de las ciencias y,desde un punto de vista prctico, la filosofa se preocupapor conocer el fundamento de nuestras convicciones,opiniones y creencias.

Este doble mbito del conocimiento filosfico (del que

tambin hablara Kant cuando se refera al doble uso de larazn: el uso terico, centrado en el conocimiento denuestro conocimiento cientfico de la naturaleza, y el usoprctico, versado en el conocimiento de nuestras accionesy principios morales) surge porque, como dice Russell, lacontemplacin (Russell llama as al saber filosfico,rescatando en cierto modo la denominacin ya otorgada


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por Aristteles cuando se refera al grado mas alto de lasciencias: el saber terico o contemplativo) no slo amplia

los objetos de nuestro pensamiento, sino tambin losobjetos de nuestras acciones y afecciones.

Tanto el conocimiento terico como el prctico exigenun mismo tratamiento, suponen un idntico proceder: lacrtica, la interrogacin permanente, la puesta en cuestin,la duda, la liberacin de los prejuicios. Este es el sencillopero potente mtodo de la filosofa, esta es la manera queella tiene de llevar a cabo su labor de conocimiento. Y, deesta manera, la filosofa consigue ampliar el conocimientoen general y de hacerlo ms slido.

Se puede argir que esto tambin lo lleva a cabo laciencia, pero, como dice Russell (de manera muy similar anuestro Ortega y Gasset), la ciencia es un conocimiento

completo, preciso, pero de partes, y que nos colma decertidumbres sobre las mismas, sin embargo la filosofa esacaso un conocimiento ms impreciso e incompleto, peronos proporciona al menos una visin del todo y nos avisacontinuamente de la incertidumbre de nuestrascertidumbres. De esta forma, para Russell, como paraOrtega y Gasset, la filosofa es un saber general

preocupado por ofrecer una visin de las cosas todas en suconjunto, es decir, un conocimiento de naturalezauniversal.

Pero, adems de su universalidad, el conocimientofilosfico presenta otro par de notas distintivas: suabstraccin y su imparcialidad. Para mantener esta ltima,el saber filosfico tiene que renunciar a puntos de partida


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subjetivistas; as, la filosofa -al contrario de lo queopinaba Descartes- ya no puede partir del yo, sino del no-

yo, porque la contemplacin filosfica no intenta probarque el resto del universo sea afn al hombre [] sino queel yo se adapta a los caracteres que halla en los objetos,escribe Russell en el captulo XV de Los problemas de lafilosofa. Y esta posicin antiantropocntrica nos haceparticipar del infinito del universo, nos convierte, diceRussell, en "ciudadanos del universo".

Russell finaliza este texto que venimos comentandoaludiendo a la necesidad de mantener viva la llama de lafilosofa. La filosofa, piensa Russell, debe ser estudiada,no por las respuestas concretas a los problemas queplantea sino ms bien por el valor de los problemasmismos que toma en consideracin, siendo sus tareasbsicas:

Presentar los objetos familiares en un aspecto nofamiliar, mostrndonos as posibilidades insospechadas.

Plantear los problemas que son cotidianos, vitales, deuna manera amplia, antidogmtica, crtica, racional,liberadora.

Ensanchar los lmites del yo para albergar toda lagrandeza del alma. Una grandeza que coincide con lavida racional, esto es, con la capacidad para realizarracionalmente los problemas vitales. Esta grandeza delalma no tiene cabida en la vida del "hombre instintivo",es decir, de aquel que vive preso de los prejuicios de sutiempo y de los suyos propios, de aquel que vive

refugiado en los asuntos e intereses privados. Por eso,


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afirma Russell, la filosofa es la superacin del hombreinstintivo:

"La vida del hombre instintivo se halla encerrada en el crculode sus intereses privados: la familia y los amigos puedenincluirse en ella, pero el resto del mundo no entra enconsideracin, salvo en lo que puede ayudar o entorpecer loque forma parte del crculo de los deseos instintivos. Esta vidatiene algo de febril y limitada. En comparacin con ella, la vidadel filsofo es serena y libre. El mundo privado, de los interesesinstintivos, es pequeo en medio de un mundo grande y

poderoso que debe, tarde o temprano, arruinar nuestro mundopeculiar. Salvo si ensanchamos de tal modo nuestros interesesque incluyamos en ellos el mundo entero, permanecemos comouna guarnicin en una fortaleza sitiada, sabiendo que elenemigo nos impide escapar y que la rendicin final esinevitable. Este gnero de vida no conoce la paz, sino unaconstante guerra entre la insistencia del deseo y la importanciadel querer. Si nuestra vida ha de ser grande y libre, debemosescapar, de uno u otro modo, a esta prisin y a esta guerra.


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Apndice II

TEXTO 1

Resultaba que, de premisasque todos los lgicos, noimporta de qu escuela,haban aceptado siempre,de sde l o s t i e mpos deAristteles, podan deducirsec o n t r a d i c c i o n e s ,demostrndose con ello quealgo estaba fuera de lugar,

pero sin hacer indicacin decmo podan enderezarse lascosas. Fue el descubrimientod e u n a d e t a l e scontradicciones lo que pusofin, en la primavera de 1901, a

la luna de miel lgica quehaba venido disfrutando.Comuniqu la desgracia aWhitehead, que no pudoconsolarme citando nunca denuevo una maana alegre yconfiada.

Llegu a esta contradiccin al

considerar la prueba de

Cantor de que no existe unnmero cardinal mayor quetodos. Yo pensaba, en miinocencia, que el nmero detodas las cosas que existen enel universo debe ser el nmeroms grande posible, y apliqusu prueba a este nmero parave r qu oc u r r a . Es t aope ra c i n me l l e v aconsiderar una clase muy

peculiar. Pensando dentro dela lnea que hasta entonceshaba parecido adecuada, me

pareca que una clase es a

veces, y a veces no es,miembro de s misma. Laclase de las cucharillas, porejemplo, no es otra cucharilla,

pero la clase de las cosas queno son cucharillas s que esuna de las cosas que no soncucharillas. Pareca habere jemplos que no e ran


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negativos; por ejemplo, laclase de todas las clases esuna clase. La aplicacin delargumento de Cantor me lleva considerar las clases que noson miembros de s mismas; ystas, al parecer, deben formaruna clase. Me pregunt si estaclase es un miembro de smisma o no. Si es un miembrode s misma, debe poseer la

propiedad definitoria de laclase, que es no ser miembrode s misma. Si no esmiembro de s misma, nodebe poseer la propiedaddefinitoria de la clase y portanto debe ser miembro de smisma. As, cada alternativaconduce a la contraria, y hay

una contradiccin.Al principio pens que debade haber algn error trivial enmi razonamiento. Examinc a d a p a s o b a j o u n

microscopio lgico, pero nop u d e d e s c u b r i r n a d aincorrecto. Escrib a Fregeacerca de ello, y me replicq u e l a a r i t m t i c a s etambaleaba y que ahora veaque su ley V era falsa. Fregequed tan desasosegado poresta contradiccin que dio delado el intento de deducir laaritmtica de la lgica, al cual,

h a s t a e n t o n c e s , h a b adedicado principalmente suvida. Como los pitagricoscuando tropezaron con losinconmensurables, buscrefugio en la geometra y al

parecer consider que eltrabajo de su vida hasta aquelmomento haba estado mal

orientado. Por mi parte, me dicuenta de que la dificultadresida en la lgica ms queen las matemticas, y era lalgica lo que haba dereformarse.

______________________________________________

Russell, Bertrand: La evolucin de mi pensamiento filosfico,

Alianza, Madrid 1982, 2 ed., p. 76-78.


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TEXTO 2

La palabra conocer se usaen dos sentidos diferentes: 1

En la primera acepcin es

aplicable a la clase de

conocimiento que se opone al

error, en cuyo sentido es

verdad lo que conocemos. As

se aplica a nuestras creencias

y convicciones, es decir, a loque denominamos juicios. En

este sentido de la palabra

sabemos que algo es el caso.

Esta clase de conocimiento

puede ser denominada

conocimiento de verdades. 2En la segunda acepcin de la

palabra conocer, se aplica

al conocimiento de las cosas,que podemos denominar

conocimiento directo. En este

sentido conocemos los datos

de los sent idos. (Estad i s t i n c i n c o r r e s p o n d e

aproximadamente a la que

existe entre savoir y connaitre

en francs, o entre wissen y

kennen en alemn).

As la proposicin que pareca

u n a x i o m a , u n a v e z

restablecida, se convierte en

la siguiente: No podemos

enunciar un juicio verdaderosobre la existencia de algo si

n o l o c o n o c e m o s

directamente. Lo cual no esen modo alguno un axioma,

s ino, a l cont rar io , una

palpable falsedad. No tengo

e l h o n o r d e c o n o c e r

directamente al emperador de

China, pero juzgo, con razn,

que existe. Se puede decir,

naturalmente, que lo juzgo asporque otros lo han conocido

directamente. Pero sera una

observacin i r re levante,

porque si el principio fuese

verdadero, no podra saber

q u e o t r o s t i e n e n u nconocimiento directo de l. Es

ms: no hay razn alguna

para que no conozca laexistencia de algo que nadie

haya conocido de un modo

di rec to . Este punto es

importante y exige unaexplicacin.

Si conozco directamente que

algo existe, este conocimiento

directo me proporciona elconocimiento de que algo

existe. Pero no es verdad,

recprocamente, que para que

pueda saber que a lgo

determinado existe, yo o

alguien deba haber conocidodirectamente la cosa. Lo que

ocurre, cuando enuncio un


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j u i c i o v e r d a d e r o s i n

conocimiento directo, es que

la cosa me es conocida por

descripcin o referencia

[conocimiento proposicional],

y que, en virtud de algn

principio general, la existencia

de la cosa correspondiente a

esta descripcin puede ser

inferida de algo que conozco

directamente.

__________________________________________________

Russell, Bertrand: Los problemas de la filosofa, Labor,

Barcelona 1978, 5 ed., p. 43-45.

TEXTO 3

Empezamos por distinguir dosclases de conocimientos de

o b j e t o s , a s a b e r ,

conoc im ien to d i rec to y

conocimiento por descripcin.

De stos slo el primero lleva

el propio objeto ante la mente.

Tenemos conoc im ien todirecto de datos sensibles, de

m u c h o s u n i v e r s a l e s y

posiblemente de nosotros

mismos, pero no de objetos

fsicos o de otras mentes.

Tenemos conoc im ien to

descriptivo de un objetocuando sabemos que es el

objeto que tiene alguna

propiedad o propiedades del a s q u e t e n e m o s

conocimiento directo; es decir,

cuando sabemos que la

propiedad o propiedades en

cuestin pertenecen a un

objeto y a ninguno ms, se

nos d ice que tenemosconocimiento de este objeto

nico por descripcin, tanto si

tenemos conocimiento directo

del objeto como si no.

Nuestro conocimiento de

objetos fsicos y de otras

mentes es slo conocimientopor descripcin, estando

implicadas las descripciones


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normalmente como datos

s e n s i b l e s . T o d a s l a s

proposiciones inteligibles para

nosotros, tanto si se refieren

originariamente, como si no, a

cosas que slo conocemospor desc r i pc in , es tn

enteramente formadas por

componentes de los que

t e n e m o s c o n o c i m i e n t o

directo, pues un componente

d e l q u e n o t e n e m o s

conocimiento directo esininteligible para nosotros.

______________________________________________

Russell, Bertrand: Misticismo y lgica, Edhasa, Barcelona,

1987, p. 228-229.


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Apndice III

Si, como recuerda Ortega, el filsofo es el hombrede los principios, Leibniz es el filsofo de los principiospor excelencia, ya que es el filsofo que mayor nmero deprincipios explicita en su discurso e introduce en su

reflexin y, no obstante, se quejar Ortega, parece que norespeta los principios, pues parece jugar con ellos yadems exige probarlos, cuando si algo caracteriza a unprincipio es su innecesaria y acaso imposible- prueba;por otra parte, a pesar de utilizar una larga serie deprincipios, Leibniz nunca se ocup de ordenarlos yjerarquizarlos.

Precisamente sobre el principialismo de Leibnizresulta estimulante la lectura de este texto de Ortega:

Formal o informalmente, el conocimiento es siemprecontemplacin de algo a travs de un principio. En la cienciaesto se formaliza y se convierte en mtodo o procedimientodeliberado: los datos del problema son referidos a un principioque los explica. En filosofa esto se lleva al extremo, y nosolo se procura (explicar) las cosas desde sus principios, sino

que se exige de estos principios que sean ltimos, esto es, ensentido radical (principios). El hecho de que a estos principiosradicales, a estos (principsimos), acostumbremos llamarlos(ltimos), revela que en el estado habitual de nuestra vidacognoscente nos movemos dentro de una zona intermedia queno es el puro empirismo o ausencia de principios, pero tampocoes estar en los principios radicales, sino que estos nos aparecenremotos, situados en el extremo del horizonte mental, comoalgo a que hay que llegar y junto a lo cual an no se est. Otras


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reflejos una mirada de enorme delicia, como aquella que se leescap a Aquiles, disfrazado de mujer, cuando Ulises,disfrazado de mercader, sac del arca una espada. Cuarto,

porque, como veremos, el conocimiento depende de losprincipios, para Leibniz, en un sentido ms grave -y msparadjico- de cuanto antes de l se haba supuesto.Hagmonos presentes en una lista los principios de Leibniz:

1. El principio de los principios.2. Principio de identidad.3. Principio de contradiccin.4. Principio de la razn suficiente.

5. Principio de la uniformidad o principio de Arlequn.6. Principio de la identidad de los indiscernibles oprincipio de la diferenciacin.7. Principio de continuidad.8. Principio de lo mejor o de la conveniencia. l9. Principio del equilibrio o ley de justicia (principio Ide simetra en la actual matemtica).10. Principio del mnimo esfuerzo o de las formasptimas.

Si se exceptan los principios segundo y tercero, todos losdems de esta lista han sido instaurados originalmente porLeibniz, lo cual no quiere decir que no tengan en el pasadofilosfico su prehistoria. Todas las cosas humanas, al serhistricas, tienen su prehistoria.Al conjunto de los hechos anteriores podemos llamar el

principialismo de Leibniz. Pero ahora es cuando el casocomienza a complicarse. Porque a ese conjunto de hechos

tenemos que oponer estas contrapartidas. Primera: Leibniz sueleencontrar para enunciar sus principios frmulas llenas de gracia,de eficacia verbal; pero el hecho de que emplee diversas para unmismo principio, y que casi nunca los trminos sean rigorosos,cuando en el resto de sus conceptos lo es en tan alto grado,

produce en el estudioso de su obra una inquietud peculiarsima,cuya primera -y claro est, informal, pero sincera expresinsera esta: Leibniz juega con los principios, los quiere pero nolos respeta. Segunda: siendo para Leibniz lo constitutivo del


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conocimiento el orden en los pensamientos, no se ocup nuncaen serio de ordenar el convoluto de sus principios

jerarquizndolos, subordinndolos, coordinndolos. Merced aesto flotan en altitudes indeterminadas del sistema terico, y noaparece nunca claro su rango relativo, cosa tan decisiva para un

principio como tal. Tercera, y de mayor sustancia: Leibnizinsiste una y otra vez en que es conveniente y es preciso probaro intentar probar los principios. Ahora bien, sola entenderse por

principio lo que ni puede ni necesita ser probado, sino que esprecisamente lo que hace posible bajo s toda prueba. Nosignifica todo esto que Leibniz desdeaba los principios y que

h a s i d o , e n t r e t o d o s l o s fi l s o f o s , e l m e n o sprincipialista? (ORTEGA Y GASSET, Jos: La idea deprincipio en Leibniz y la evolucin de la teora deductiva; 1. Elprincipialismo de Leibniz).


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BIBLIOGRAFA

UTILIZADA

Apostolos Doxiadis y Christos H. Papadimitriou: Logicomix: unabsqueda pica de la verdad; ilustraciones Alecos Papadatos,editorial Sinsentido, Madrid, 2011

Cryan, Dan (et al.): Lgica para todos;editorial Paidos, Barcelona,2005.

Deao, Alfredo: Introduccin a la lgica formal;Alianza editorial,Madrid,1996.

Russell, Bertrand: Los principios de la matemtica; traduccin deJos Barrio Gutirrez ; prlogo de Jess Mostern,editorial Crculo de Lectores, 1995

Los problemas de la filosofa; ed. Labor, 1991

La evolucin de mi pensamiento filosfico, Alianza,Madrid, 1982,

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