Lic/Msc Santiago Montenegro Canario2012- II UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONOMICAS Y FINANCIERASUSO DE PROBABILIDADES PARA EL ANLISIS Y LA GESTIN

EGRESADO DE LA UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRESLIC. EN ESTADISTICA MATEMATICA USMPMSc. FINANZAS Y COMERCIO INTERNACIONAL-USMP.DIPLOMADO EN SEGURIDAD Y DEFENSA NACIONAL USMP. ESTUDIOS DE POST GRADO: - METODOS CUANTITATIVOS RUSIA - ESTADISTICAS DE GESTION DESASTRES JAPON.COMISIONADO POR EL GOBIERNO PERUANO PARA BRINDAR ASESORAMIENTO SOBRE MANEJO ESTADISTICO EN DEFENSA CIVIL EN LOS PAISES:NICARAGUAECUADORBOLIVIA Y EL SALVADOR.ACTUALMENTE ES JEFE DE ESTADISTICA DEL INDECI.EJERCE LA DOCENCIA EN LA UNIVERSIDAD DESDE 1985.ASESOR ESTADISTICO EN EL INSTITUTO DE INVESTIGACION DE LA FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES ECONOMICAS Y FINANCIERAS USMP CUENTA CON DIVERSAS CAPACITACIONES EN LA ESPECIALIDAD. REPRESENTANDO AL PERU EN QUITO ECUADOR EN SEMINARIO SOBRE ESTADISTICA DE DESASTRES EN LA COMUNIDAD ANDINA DE NACIONES-JUNIO 2009HOJA DE VIDA

EVALUACIONESPRIMERA PRACTICA CALIFACADA: DEL 22 AL 29 DE AGOSTO 2012.EXAMEN PARCIAL DEL 26 DE SETIEMBRE 2012. (SUSPENSION DE CLASES).SEGUNDA PRACTICA CALIFACADA: 24 AL 31 DE OCTUBRE. EXAMEN FINAL: DEL 18 AL 25 DE OCTUBRE DE 2012. (SUSPENSION DE CLASES).

EXAMEN PARCIALPESO 1EXAMEN FINALPESO 1TAREA ACADEMICAPESO 1

NOTA FINAL = (EXP+EXF+TA)/3

OBLIGATORIO ENTREGAR PROMEDIO DE TAREAS ACADEMICAS UNA SEMANA ANTES DEL EXAMEN FINALEVALUACIONES Y PONDERACIONES

LA ESCALA DE CALIFICACIONES: 0 20NO TIENE DERECHO DE RENDIR EXAMEN FINAL: - ALUMNOS CON 70% DE FALTAS EN LA TEORIA- 90% DE FALTAS EN LA PRACTICA.LOS ALUMNOS QUE NO RINDIERON EXAMENES EXAMENES PARCIALES EN LAS FECHAS, NI CUMPLIERON CON LAS TAREAS, TENDRAN CEROLOS ALUMNOS QUE TENGAN 30% DE INASISTENCIA TENDRN CERO DE NOTALOS ALUMNOS QUE ESTAN DE ACUERDO CON SUS CALIFICACIONES PODRAN PRESENTAR RECLAMO DE LAS 48 HORAS, EL CUAL SE RESUELVE DENTRO LAS 48 HORAS SIGUIENTES.TIENEN DERECHO A EXAMEN DE APLAZADOS LOS QUE TENGAN NOTA MINIMA DE 08DIRECTIVAS ACADEMICAS

Correos del Profesor del Curso

smontenegro@indeci.gob.pe

mocasa_03@hotmail.com

smontenegroc@usmp.pe

BIBLIOGRAFIAESTADISTICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIAAUTORES :LIND, MARCHAL, MASON EDITORIAL :ALFAOMEGA - 11va EDICIONESTADISTICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIAAUTORES:ANDERSON, SWEELY, WILLIANSS EDITORIAL :THOMPSON 8va EDICION.ESTADISTICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIAAUTORES:LEVIN, RUBIN, BALDERAS.EDITORIAL : PEARSON 7va EDICION.WEBSTER, ALLEN. ESTADSTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMIA. EDITORIAL:IRWIN MAG GRAW HILL. TERCERA EDICION 2008.TEXTOS OPCIONALES.4.ANALISIS ESTADISTICO AUTOR:YA LUN CHOUEDITORIAL:INTERAMERICANA5.ESTADISTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL AUTOR:MANUEL CRDOVA ZAMORA.

SUMARIO

UNIDAD III.Medidas de Dispersin y Medidas de Sesgo y Apuntamiento, Frmulas de Clculo, propiedades y aplicaciones.Varianza, Desviacin Estndar, Desviacin Cuartlica, desviacin Media, Formulas de Clculo, propiedades y aplicaciones. UNIDAD IV. Introduccin a la Teora de ProbabilidadesTeoremas probabilsticasIndependencia ProbabilsticaTeorema de BayesVariable AleatoriaFunciones de Probabilidad.Funciones de Probabilidad Discreta y ContinuaProblemas y Aplicaciones.Funciones Acumuladas de Probabilidad ContinuaProblemas y Aplicaciones.

UNIDAD IIMEDIDAS DE DISPERSION

Objetivos1.Conocer la importancia de las medidas de dispersin y su aplicacin en el campo estadstico.2.Calcular e interpretar las medidas de dispersin: Rango, varianza, desviacin estndar para datos no agrupados.

Miden la variacin o dispersin de un conjunto de datos alrededor del valor central o valor medio.Estas medidas completan la informacin a las medidas de tendencia central dando una mejor interpretacin a los datos.Las medidas de dispersin pueden ser:Medidas de dispersin absolutas: Se expresan en unidades de la variable en estudioMedidas de dispersin Relativas: Se expresan en unidades porcentuales.

MEDIDAS DE DISPERSIONMEDIDASRELATIVASABSOLUTASDESVIACIONESTANDARCOEFICIENTE DE VARIACIONCOEFIC. DE APUNTAMIENTODESVIACION CUARTILICA

COEFICIENTEDE ASIMETRIA

RANGOVARIANZADESV. MEDIA

Tienen las siguientes caractersticas;A mayor valor habr mayor dispersin Slo se comparan distribuciones con iguales unidades de las variables. Tenemos:El Rango,La Desviacin MediaLa Desviacin CuartlicaLa Desviacin intercuartilicaLa Varianza La Desviacin Estndar

Tenemos las siguientes medidasEl Coeficiente de Variacin (Cv).Coeficiente de Asimetra o de Sesgo, los cuales pueden ser:PearsonFisherCoeficiente de Apuntamiento o Curtsis.NOTADe estas medidas, la mas importante es el coeficiente de variacin.

La Desviacin Media (DM) Es una medida de dispersin que se define como: Formulasa) Datos OriginalesDM = | x - x | / n 1.AgrupadosDM = | x - x |fi / n - 1.La Varianza V(X)Es una medida que expresa el grado de dispersin de las observaciones respecto a la media aritmtica elevada al cuadrado.La varianza como tal no se interpreta pues est expresada en unidades cuadradas, permite calcular la desviacin estndar la cual tiene interpretacin.MEDIDAS DE DISPERSIN ABSOLUTAS

Datos Originalesa) MuestralS2 = ( x -x ) 2/n 1= (x2 - nx 2)/n 1 b) Poblacional 2 = ( X - U ) 2 / N.Datos AgrupadosS2=( x - x )2 fi /n 1= (x2f - nx 2)/n1

Sean (a, b y c son constantes, x variable)V(c) = 0.V(cx) = c2 V(x)V( c + x ) =V( c ) + V(x) = V( x ) = S2V(cx + b) = V(cx) + V(b) = c2 v(x)

VARIANZA V(x) = (S2)S2 =VAR(A1:An)

DESVIACION ESTNDAR (S)S = Desvest(A1:An)

Llamada tambin desviacin tpica, es la raz cuadrada de la varianza, medida de dispersin mas utilizada en la estadstica descriptiva e inferencial, en la econometra, en la Bolsa para medir el riesgo, etc. Importancia de la Desviacin Estndar.Nos permite determinar con un buen grado de precisin, donde estn localizados los valores de una distribucin de frecuencias con relacin al promedio; ello de acuerdo con un teorema establecido por el matemtico ruso Chebyshev (1821-1894) el cual establece que Para Cualquier Distribucin:Al menos el 75% de los valores en estudio caen dentro de s = +- 2 a partir de la media de la distribucin. Al menos el 89% de los valores en estudio caen dentro de s = +- 3 a partir de la media de la distribucin. Para Distribuciones Simetricas1.Aproximadamente el 68% de los valores de la poblacin caen dentro de s = +- 1 a partir de la media de la distribucin.2.Aproximadamente el 95% de los valores de la poblacin caen dentro de s = +- 2 a partir de la media de la distribucin.3.Aproximadamente el 99% de los valores de la poblacin caen dentro de s = +- 3 a partir de la media de la distribucin.

1.Los siguientes datos representa el registro de tardanzas (minutos) de trabajadores de una entidad del Estado, los cuales han sido tomados aleatoriamente durante 10 das laborales en un mes del presente ao 6, 5, 11, 4, 8, 5, 7, 9, 10, 5 Hallar:La DmVarianzaSDSolucin: Clculos en el siguiente cuadro

xVARIANZA Desviacin Media[ x x ]2| x x |6(6-7) 2 = 115(5-7) 2 = 4211(11-7) 2 = 1644(4-7) 2 = 938(8-7) 2 = 115(5-7) 2 = 427(7-7) 2 = 009(9-7) 2 = 4210(10-7) 2 = 935(5-7) 2 = 42[ x m(x)]2 = 52| x m(x) | = 20

Desviacin MediaDm = | x x ) | /n-1 = 20/9Dm = 2.22Interpretacin: Los trabajadores de la empresa tienen una desviacin Media de 2.22 minutos en tardanzaDESVIACION ESTANDARDesviacin Estndar S = [x x ]2/(n-1) = 52/9 = 5.77 S = 2.40Interpretacin: Los trabajadores de la empresa tienen una tardanza estndar de 2.40 minutos.

Por el mtodo Abreviado: S2 = ( x2 - nx 2 )/n 1

Variable (X)X263652511121416864512574998110100525SUMA X2 = 542

Reemplazando y Realizando Clculos, tenemosS2 = (x2 - nx 2)/n 1S2 = (542 10*72)/9S2 = 5.77S = 5.77.S = 2.40.ConclusinPor ambos mtodos (general y reducido o abreviado, se obtiene el mismo resultado.

VARIANZA EN DATOS AGRUPADOS

Intervalo[Xi Xi+1)Xf150 - 1007552100 150125103150 200175204200 250 225305250 300275206300 350325107350 - 4003755

S2 = [ x x ]2fi /(n-1)S2 = 525,000/99S2 = 5,303.03S = 5,303.03 S = 72.82.Calculo de la varianza v(x).

S2 = ( fx2 - nx 2 )/n-1S2 = (5587500-5062500)/99S2 = 5,303.03S = 72.82

m[Xi Xi+1)Xfxf[ x x ]2fi 150 - 100755375(75-225)252100 150125101250(125-225)210 3150 200175203500(175-225)2204200 250 225306750(225-225) 2305250 300275205500(275-225) 2206300 350325103250(325-225) 2107350 - 40037551875(375-225) 25n=100[x-x ]2fi /(n-1)

Medida de dispersin se expresa en unidades independientes de la naturaleza de la variable, el valor se puede expresar en trminos porcentuales.Cvx = (S/ x ) %Diseada por Karl Pearson (1857-1936). Este estadgrafo se utiliza para comparar dos o mas distribuciones cuando las unidades de medida de las variables estn expresadas en unidades diferentes o escalas de medida.NotaComparando dos o mas distribuciones, es mas homognea, aquella distribucin que tiene el menor coeficiente de variacin.Se dice que la distribucin es aceptable en trminos de dispersin cuando el coeficiente es menor al 15%

Una Empresa generadora de energa, quiere saber el comportamiento sobre el consumo de energa elctrica entre los fines de semana, feriados y das particulares, para lo cual se presenta la siguiente informacin referente a 8 familias (consumo en S/.)

Domingos y feriados (x)Dias Particulares (y)503080501007070401506012080180100160120

Calcule el coeficiente de variacin

EDADPERUANOS0 - 9907510 191662220 294805330 396219540 495282250 593196960 691384070 79478880 - +1251

2.Se quiere comparar que grupo familiar tiene el consumo de caf mas uniforme (entre familias de zona Urbana y zona rural), los datos fueron los siguientes:X: Consumo de caf en zona urbanaY: Consumo de caf en zona rural10 x = 4812 y = 60x2 = 235 y2 = 316

3. El promedio de ingreso de 100 trabajadores de un compaa de servicios se 1500 nuevos soles con una desviacin estndar de 100 nuevos soles. Ante un reclamo de los trabajadores, la empresa, propone un reajuste en dos alternativas:a) Un aumento general del 30% de los salarios adicionando una bonificacin de 150 nuevos soles a cada trabajador.b) Un aumento general de 40% de los salarios y una bonificacin adicional de 40 nuevos soles a cada trabajador.Cul de las alternativas propuestas le conviene otorgar a la empresa? Utilice el mtodo de media y varianza y Coef. de variabilidad

3a. En una empresa, la distribucin de salarios es una media aritmtica de 300 dlares y una desviacin estndar de 60 dlares. Como solucin a un conflicto laboral, se propone un reajuste en dos alternativas:a) Un aumento general del 60% de los salarios:b) Un aumento general de 40% de los salarios y una bonificacin adicional de 60 dlares a cada trabajador.Cul de las alternativas propuestas le conviene aceptar al Sindicato? Utilice el mtodo de media, varianza y coeficiente de variacin.

Por el mtodo de la mediaPrimera Alternativam(cx) = c m(x) [(1.60)(300)] = S/. 480Segunda Alternativam(cx+ k)=cm(x) + k [(1.40)(300)+60]=S/. 480.Por lo Tanto por el mtodo de la media da lo mismo.

Por el Mtodo de la VarianzaPrimera AlternativaV(cx) = c2 v(x) [(1.6)2(60)2] = 9216 S = 96Segunda Alternativav(cx+ k) = c2 v(x) + V(k) [(1.40)2(60)2 + 0] = 7056 S = 84Por el mtodo de la varianza se usa la segunda alternativa por ser menor la DS.Por del Mtodo del Coeficiente de VariacinPrimera AlternativaCv = [S / m(x)]% [96)(300)]% = 32%Segunda AlternativaCv = [S / m(x)]% [84)(300)]% = 28%Por el mtodo del Coeficiente de Variacin, se elige la segunda alternativa, por tener una menor dispersin

4.Los siguientes datos muestran los calificativos de 20 personas sometidas a una prueba de conocimientos, los 20 estudiantes fueron divididos en dos grupos, al grupo 1, se calific de 0 a 100 y al Grupo 02 de 0 a 20:Grupo 01: 86 - 81 79 73 95 86 - 94 90 86 - 88.Grupo 02:16 19 13 20 14 16 19 18 - 17 - 15. Cual de los grupos tiene la nota mas Uniforme.

5.El gerente de personal preocupado por las tardanzas de sus trabajadores y ha planeado realizar un ciclo de charlas, las mismas que deben ser dadas por personal del mismo sexo, para ello quiere saber en que grupo humano el comportamiento de tardanzas es mas homogneo, los datos se consignan en el siguiente cuadro:

MUJERESHOMBRESNTiempoNTiempo15172823310344642585661168712758983910961012104

En el cuadro se tiene el ingreso semanal de trabajadores de las Empresas A y B, determine en cual de ellas tiene el ingreso mas Homogneo.

INGRESO50-9090-130130-170170-210210-250

EMPRESA A71020149

EMPRESA B91215168

Se tiene el ingreso de 8 trabajadores de dos empresas, una de ellas paga en soles y la otra en dlares, se pide determinar en cual de las empresas los ingresos son mas uniformes.Rpta: Ingreso en soles

EmpleadosIngreso (S/.)A1500B1800C2500D1900E1750F2800G2000H2300

EmpleadosIngreso ($/.)1120021100315004200051800625007160082200

S431,72205m(x) = x 2068,75cv0,2086874

S483,846198m(x) = x 1737,5cv0,27847263

7. En una industria el jornal diario de sus obreros tiene una media de $ 10, una desviacin estndar de $ 2. Si se hace un incremento de 20% en cada jornal y una bonificacin adicional de $ 3. En que porcentaje cambi la variabilidad de los jornales?Sol: datos Inicialesx = 10Sx = 2 Cvx = (S/x )*100Cv = (2/10)*100 = 20%Nuevos datos contempla:Incremento 20% K1 = 1.2, bonificacin k2 = 3.Nuevo Promedio m(y) = m(k1x+k2) = 1.2*10 + 3 = 15 = m(y)Nueva Varianza: V(y) = V(k1x+k2) = (k1)2*V(x) + 0V(y) = 1.22 *22 + 0 = 5.76Sy = 5.76 = 2.4.Nuevo Coeficiente de Variacin Cvy = Sy/m(y) = 2.4/15 = 16%Rpta: El porcentaje de variabilidad cambi en 20%-16% = 4%.

8. Se realizaron 10 mediciones con cada uno de los termmetros A y B. Las medias de las medidas es 38 grados centgrados en cada caso y los coeficientes de variacin son 1% y 2% respectivamente. cual de los termmetros es el mas confiable?.9. Una prueba de conocimientos A se calific sobre 20 puntos, que dio una media de 12 y una desviacin estndar de 2 puntos. Para otra prueba de aptitud B, se calific sobre 100 puntos, dando una media de 70 puntos y una desviacin de 5.a) En que prueba los puntajes son ms homogneos.b) Si Juan tiene 14 en A y Lus 73 en B quien tiene mejor rendimiento.10.En el mes de enero el sueldo promedio de los trabajadores del sector industrial era de $ 200. Para el mes de Julio se considera un aumento del 30% al sueldo del mes de enero con un adicional de $ 50. Si el coeficiente de variacin en enero era de 0.25, se puede concluir que la distribucin de los sueldos en el mes de julio es mas homognea?

Solucin:En el mes de enero el sueldo promedio de los trabajadores del sector industrial era de $ 200. Para el mes de Julio se considera un aumento del 30% al sueldo del mes de enero con un adicional de $ 50. Si el coeficiente de variacin en enero era de 0.25, se puede concluir que la distribucin de los sueldos en el mes de julio es mas homognea? solucin:Sueldo en enero: m(x) =x = 200Cvx = 0.25calculo de la desv. estandar Sx = x* Cvx = 0.25*200 = 50. Sueldo para Julio y m(y)V(y)CvyAumento 30%, K1 = 1.3Adicional de $50, K2 = 50La media:m(y) = m(k1X+k2) = 1.3*200+50 = 310La Varianza: S2y= V(y)=V(k1X+k2) = (1.3)2*502 + 0 = 4225 S2y= 4225 = 65.El Coef. Variacin Cvy = m(y)/Sy = 65/310*100 = 20.96%

DESVIACION CUARTILICA QD Medida de dispersin que se define como la diferencia entre el tercer y primer cuartil.QD = (Q3- Q1)Esta medida considera la dispersin en la zona intermedia central que contiene el 50% de los datos.Esta medida tiene la ventaja de no ser influenciada por la presencia de valores extremos DESVIACION INTERCUARTILICA QDQD = (Q3- Q1)/ Q2Es una medida de dispersin en la zona intermedia central que contiene el 50% de los datos.Esta medida tiene la ventaja de no ser influenciada por la presencia de valores extremos

INDICE DE ASIMETRIAUna distribucin de frecuencias es simtrica, si los intervalos equidistantes del intervalo central tienen iguales frecuencias.Dos distribuciones pueden tener la misma media y la misma desviacin estndar, pero puede diferir en el grado de asimetra.Existen varias medidas de Asimetra, una de ellas es el Coeficiente o Indice de Asimetra de Pearson.Primer Coeficiente de Pearson:As = (x Mo)/sSegundo Coeficiente de Pearson: As = 3(x Me)/sSiendo:s = desviacin estndarMo = moda.Me = Mediana-3 As 3InterpretacinAs = 0, entonces la distribucin es simtricaAs > 0, entonces la distribucin es asimtrica positiva.As < 0, entonces la distribucin es asimtrica negativa.

MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTSIS.

La Curtsis es la propiedad de una distribucin de frecuencias por la cual se compara la dispersin de los datos observados con la distribucin normal.Est referida a la punta que genera la distribucin.Frmula basada en Percentiles.K = [P75 P25/ P90 P10] 1/2 Interpretacin:K 0 entonces la distribucin es Mesocrtica o simtrica K = 1/2, la distribucin es Leptocrtica o puntiaguda.K = -1/2, la distribucin de Platicrtica o achatada.

MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTSIS POR EL METODO DE MOMENTOSOtra manera de calcular las medidas de apuntamiento es por el mtodo de momentos mj = ( x -x ) j Siendo j el momento de orden n.Coefic de Apuntamiento de Fisher K = [ (m4/n )/S4] - 3Siendo m4, momento de cuarto orden.m4 = ( x -x ) 4S4 = (S2)2,varianza elevada al cuadrado.S2 = ( x -x ) 2/n 1= (x2 - nx 2 )/n 1Interpretacin:K = 0, entonces la distribucin es Mesocrtica o simtrica K > 0, la distribucin es Leptocrtica o puntiaguda.K < 0, la distribucin de Platicrtica o achatada.

m(x) = x 12V(x) = S22,5S46,25

x( x -`x ) 412010161111416131

Los ingresos semanal en Euros (miles) de 35 empleados de una empresa se dan en el siguiente cuadro de frecuencias:

Se pide calcular:a) El Coeficiente de Sesgo, por el 1er Coeficiente de Pearson =b) El Indice de Asimetra por el 2do Coeficiente de Pearson =c) El Coeficiente de Apuntamiento con el uso de los Percentiles =d) El Coeficiente de Apuntamiento mediante el mtodo de Momentos.

SUELDO6-1010-1414-1818-2222-2626-30

EMPLEADOS4510654

Los sueldo en dlares de los empleados de dos empresas A y B, se dan en la siguiente tabla de frecuencias:

a. Calcule la asimetra de las distribuciones A y B.b. Calcule las medidas de apuntamiento de las distribuciones A y B

INGRESO60-8080-100100-120120-140140-160

EMPRESA A8101278

EMPRESA B7121065

Permite clasificar variables que se relacionan, a esto se le dice que son series estadsticas dobles, que generan frecuencias marginales.UsosEl uso de las frecuencias marginales permite descomponer una serie de estadstica doble en serie estadstica simple.Permite analizar en forma conjunta las dos variables.

Consideremos una poblacin de N elementos, en donde cada uno de ellos presenta dos caracteres que deseamos estudiar de forma conjunta y que representamos mediante las variables X e Y.X:x1, x2, x3, x4,xi,..xk.Y:y1, y2, y3,y4...yj...yp.Siendo k las modalidades que presenta la variable XSiendo p las modalidades que presenta la variable Y.Luego construimos una tabla formada por p.k casillas, organizadas por k filas y p columnas.Los Sub-indices ij, har referencias a los elementos de la muestra que presentan simultneamente las modalidades xi e yi Las ltima fila y a la ltima columna del cuadro se les llama frecuencias Marginales y su representacin son ni. y n.j respectivamente.

yy1y2y3..yj.ypni.xx1n11n12n13.n1jn1pn1.x2n21n22n23.n2j.n2pn2.x3n31n32n33.n3j.n3pn3...xinipni...xknk1nk2nk3.nkjnkpnk.n.jn.1n.2n.3.n.jn.pN

Frecuencia marginal: N=kni.=pn.j=nij

PESO EDAD 3 - 6 6 - 9 9 - 12Total (Dist Marginal)MENOS DE 15198532 15 - 2032211265 20 - 253182849 25 - 30271019 Total (Dist. Marginal)565455165

UNIDAD IIIINTRODUCCION A LA TEORIA DE PROBABILIDADES

CONCEPTOS BSICOS1.Experimento Aleatorio (ei).Son operaciones que se realizan con la finalidad de generar eventos o sucesos.Son pruebas que se realizan en condiciones fundamentalmente iguales con un propsito determinado. Es todo proceso que consiste en la ejecucin de un acto (o prueba) una o ms veces, cuyo resultado en cada prueba depende de Pueden ser;Experimento DeterministicoExperimento Probabilstico

EXPERIMENTOALEATORIOPROBABILISTICODETERMINISTICO

Experimento determinstico:- son aquellos en los cuales los resultados estn completamente determinados y se pueden describir mediante una frmula matemtica, se le llama modelo determinstico.

Ejemplo: la cada de una pelota desde una altura dada, que representa la aceleracin de la gravedad. a = f/m

Experimento no determinstico.- Cuando los resultados del experimento no pueden determinarse o predecirse con exactitud antes de realizar el experimento , llamado tambin experimento aleatorios probabilsticos. tenemos:e1 : Lanzar una moneda y observar su resultadoe2 : Lanzar un dado y observar su resultado

CARACTERISTICAS DE TODO EXPERIMENTO ALEATORIO.

1.Cada experimento se puede repetir indefinidamente sin cambiar esencialmente las condiciones2.Cada experimento no es determinstico3.Cada experimento tiene varios posibles resultados que se pueden describir con precisin.4.Como los resultados se repiten un nmero indefinido de veces, su espacio muestral es casi imposible describir por lo que es posible describir un modelo estadstico.

Evento Suceso o Acontecimiento (Ai).- Son los posibles resultados del experimento aleatorio, es un sub conjunto del espacio muestral.Ejemplo: Lanzar un dado: (ei)El resultado es par: (Ai)Espacio Muestral (S): Son todos los resultados posibles del experimento aleatorio.Ejemplo:Lanzar un dado, determine su espacio muestralLanzar dos monedas, determine su espacio muestralNota: El nmero de elementos del espacio muestral en todo experimento aleatorio se determina por la siguiente frmula:N(S) = xnSiendo: X Elemento que favorece la realizacin del experimento aleatorio.n: total de ensayos. CONCEPTOS BSICOS

La teora de conjuntos es aplicada en la teora de sucesos o eventos. Unin de Sucesos (AUB)Interseccin de Sucesos (AB)Diferencia Relativa (AB).Sucesos Complementarios A' = AC

ENFOQUES PROBABILISTICOSEnfoquesprobabilisticosSUBJETIVAOBJETIVAFRECUENCIASRELATIVAS OAPOSTERIORI(Observacin Histricos)Se basa en la Apreciacin Personal del investigado, con criterio lgicoCLASICA O A PRIORI.(Cientfico)

1. Probabilidad objetiva2. Probabilidad subjetiva.La Probabilidad Objetiva, se subdivide en:Probabilidad clsica y Probabilidad Emprica.

La Probabilidad Clsica. Llamada tambin mtodo de LAPLACE, consideracin de que los resultados de los experimento son igualmente posibles. P(A) = n(A) /n(S) La Probabilidad Emprica, llamada tambin Probabilidad de Frecuencia Relativa. La probabilidad de que un evento ocurra se determina observando en que fraccin de tiempo sucedieron eventos semejante en el pasado. P(A) = N veces que ocurri el evento en el pasado/N total de Observaciones. ENFOQUES PROBABILISTICOS

ENFOQUES PROBABILISTICOS

Probabilidad Subjetiva.- Se aplica cuando los resultados experimentales no son equiprobables, es una apreciacin subjetiva del investigador o estudioso. Es la probabilidad de que suceda un evento especfico, la cual es asignada por una persona basndose en cualquier informacin que se tenga disponible

PROBABILIDAD P(A)La Probabilidad de un evento es el cociente del nmero de elementos que favorece el evento entre los elementos que conforman el espacio muestral. (La Place).P(A) = n(A) /n(S)

PROPIEDADES:P(A) > 0P(S) = 10 P(A) 1

Teoremas ProbabilsticosSi es el suceso imposible, la probabilidad de es igual a cero, P() = 0Si A y B son dos sucesos cualesquiera pertenecientes al mismo espacio muestral (S), P(A-B) = P(B ) = P(B) - P(AB)Sea A un suceso cualquiera, entonces es el suceso contrario de A, P() = 1 P(A).Si A y B son dos sucesos cualesquiera pertenecientes al mismo espacio muestral, adems son mutuamente incluyentes, la P(AUB) = P(A)+P(B) - (PAB).Sean A, B y C 3 eventos mutuamente incluyentes pertenecientes al mismo espacio muestral, la P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

TECNICAS DE CONTEOSon tcnicas que permiten simplificar las operaciones estadsticas, entre las mas usuales tenemos:REGLA DE MULTIPLICACION * FACTORIAL * PERMUTACION * PERMUACION CIRCULAR* LA COMBINACINREGLA DE MULTIPLICACION Se utiliza para calcular el nmero de arreglos posibles de dos o mas grupos.Si se tiene m formas de hacer una cosa, y n formas de hacer otra, entonces existen: (m*n) formas de hacer ambas cosas. Luego el total de arreglos ser TA = m*n.SiendoTA : Total de Arreglos. m y n : Total de grupos existentes en el problema.

TECNICAS DE CONTEO

REGLA DE MULTIPLICACION EjemploUn vendedor de autos desea anunciar que por US $ 20,000 dlares, se puede comprar un modelo de auto convertible, un auto sedan de dos puertas o un auto de 4 puertas, adems puede elegir por el tipo clsicos o deportivos, cuantos arreglos diferentes de modelos y tipos puede ofrecer el comerciante? TA = 3*2 = 6 arreglos. Hallar el nmero de elementos que tiene el espacio muestral del experimento aleatorio lanzar una moneda y un dado a la vez.TA = 2*6 = 12 elementosUna persona puede ir de A hacia B de 5 formas y de B hacia C de 6 formas. De cuantas maneras puede ir A hacia C pasando por B.TA = 5*6 = 30 maneras

TECNICAS DE CONTEOFACTORIAL (n!)El factorial de un nmero (n!), se define como el producto de todos los enteros consecutivos desde 1 hasta n inclusive.n! = 1*2*3*4.n-1(n)n! = n(n-1)(n-2).5*4*3*2*1

Adems se define que: 0 ! = 11 ! = 1Hallar 6! = 6x5x4x3x2x16! = 6x5!Determine el valor de 8!

TECNICAS DE CONTEOPERMUTACION (nPr)Se utiliza para determinar el posible nmero de arreglos de todos o una parte de solo grupo de objetos.a) Permutacin Total (n en n). Consiste en el arreglo o disposicin de n objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles.nPn = n! n : Es el nmero total de objetos.Un ingeniero inspecciona 6 mquinas diferentes en un da, con la finalidad de hacer un operativo sorpresa, vara el orden de las visitas de cuantas maneras puede hacerlo?Rpta 720 maneras.En una competencia de 100 metros planos intervienen 8 deportistas, de cuantas maneras diferentes se pueden adjudicar los los lugares de partida.Rpta 40,320

TECNICAS DE CONTEOPERMUTACIONb. Permutacin Parcial (n en r) o (nPr).Consiste en el arreglo o disposicin de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles.nPr = n!/(n-r)!n : Es el nmero total de objetosr : Es el nmero de objetos seleccionados. 1. Se van a ensamblar 3 partes electrnicas en una unidad modular para un receptor de televisin. Las partes se pueden ensamblar en cualquier orden. de cuantos modos diferentes pueden ensamblarse las 3 partes.Sol.Rpta nPr = 6n = 3 hay 3 partes por ensamblar.R = 3, las 3 partes se van a colocar en la unidad modular.

TECNICAS DE CONTEO2.Un grupo est formado por 5 personas y se desea formar una comisin integrada por un presidente y un secretario, de cuantas manera se puede formar la comisin. Rpta. 20 maneras.3.Un mapa regional consta de 4 pases, el cual se desea pintar con colores diferentes. Si se dispone de 6 colores diferentes, de cuantas maneras se puede pintar el mapa. Rpta. 360 maneras.

Permutacin Circular (n-1)!.Es cuando las permutaciones ocurren en arreglos de objetos formando un crculo.1.De cuantas maneras diferentes se puede sentar el Presidente del Banco y su directorio compuesto de 5 miembros.

COMBINACION Cn xPermite la seleccin de x objetos tomados de un total de n, donde el orden no se tiene en cuenta. Cn x = n! / x!(n-x)!Una clase consta de 7 nios y 3 nias. De cuantas maneras el profesor puede escoger un comit de 4 personas.C10 4 = 10! / 4!(10 - 4)! = 10x9x8x7x6! / 6! = 10x9x8x7 =1. El directorio de una empresa consta de 2 damas y 3 caballeros, de cuantas maneras se formar en comit de disciplina formado por 2 personas.2. A un dpto. de mercadotecnia, se le ha solicitado que disee cdigo de colores para 42 lineas de CD que comercializa la empresa Goody. Pero una combinacin de 3 colores que se utilizan en una lnea, no puede reordenarse y utilizarse para identificar a otra lnea diferente. Sern adecuados 7 colores tomados 3 a la vez para codificar adecuadamente las 42 lneas?.Rpta. 35.

En una empresa hay 35 personas y se va a elegir un comit de tres personas para organizar la fiesta de fin de ao. De cuntas maneras diferentes se puede elegir dicho comit?Una persona realiza una jugada de la Tinka, que es un juego de lotera que consiste en elegir 6 nmeros de 45 nmeros posibles. De cuntas maneras diferentes puede elegir esa jugada?

INDEPENDENCIA PROBABILSTICADos o ms eventos son independientes, cuando cumple las siguientes condiciones:P(A/B) = P(A)P(B/A) = P(B)Por lo tantoP(A.B) = P(A).P(B). PROBABILIDAD CONDICIONAL.La Probabilidad condicional, est referida a la ocurrencia de un evento, el mismo que est condicionado a la ocurrencia de otro evento.Se clasifica en:a.Para dos eventosb.Para n eventos, se aplica el Teorema de Bayes.

Sean A un evento cualquiera perteneciente a un espacio muestral, y sea B otro evento que representa la condicin del primer evento, se dice que el evento A es condicionado por el evento B cuando cumple:P(A/B) = P(AB)/P(B)

PROBABILIDAD CONDICIONAL PARA n EVENTOSCuando la ocurrencia de mas de 2 eventos est condicionada a la ocurrencia de otro evento, se soluciona por Bayes.TEOREMA DE BAYESPermite calcular la probabilidad de un evento, el cual est condicionado por la ocurrencia de dos o ms eventos.Definicin: Sean A1, A2, A3, ...........An sucesos mutuamente excluyentes, de los cuales al menos uno de los Ai ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6........n ) debe ocurrir, y sea B un suceso cualquiera en el mismo espacio muestral S, entonces la Probabilidad condicional de la ocurrencia de los Ai, cuando el evento B ocurri se define:P(Ai/B)=P(Ai).P(B/Ai) P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+...................+P(An)P(B/An)P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+.........+P(An)P(B/An)

Problemas de Probabilidad1Se lanza dos monedas, hallar la probabilidad de obtener:a. 2 carasb.slo una cara.c.A lo mas un sello.Se lanza un dado, sabiendo que el resultado es par. Hallar la probabilidad que el nmero sea mayor a 3.Si lanzan dos dados, si el resultado es mayor a 6,hallar la probabilidad de obtener un numero par.3.Suponga que A, B y C son eventos para los cuales:P(A)=P(B)=P(C)=1/4P(AB)=P(CB)=0P(AC)=1/8Calcular la probabilidad que al menos unos de los eventos ocurra.4.De un grupo de personas, el 30% practica futbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas el 50% juega ajedrez. Se selecciona aleatoriamente una persona, cual es la probabilidad que:a. Juega Ftbol o ajedrez.Rpta. 0.55b. practica solo uno de los deportesRpta. 0.40c. no practica ni el ftbol ni el ajedrez. Rpta. 0.45

Durante un mes cualquiera, se estima que la probabilidad del precio de una accin aumente, se mantenga igual o se reduzca es 0.30, 0,20 y 0.50 respectivamente.a) Cual es la probabilidad de que el precio de la accin aumente o permanezca sin cambiosb) Cual es la probabilidad de que el precio de la accin cambie durante el mes. La probabilidad que aumente las ventas de autos para el presente mes es de 0.40, de que aumente las ventas de reparaciones es de 0.50, la probabilidad de que ambas industrias aumenten las ventas es de 0.10, hallar la probabilidad A) que hayan aumentado las ventas durante el mes, dado que aumentaron las ventas por reparaciones.B) aumentaron las ventas de reparaciones dado que aumentaron las ventas de autos en el mes.

Problemas de Probabilidad6.En una Universidad el 50% habla ingls, el 20% francs y el 5% los dos idiomas. Cul es la probabilidad de encontrar alumnos que hablen al menos un idioma. Rpta. 0.65.7.De 100 personas que solicitaron empleo en finanzas en las diversas entidades financieras del pas, 40 tenan experiencia anterior, y 30 tenan certificado profesional de especializacin. Sin embargo 20 de los solicitantes tenan experiencia anterior y un certificado y se les incluye en ambos conteos. a. cual es la probabilidad que un solicitante escogido aleatoriamente tenga experiencia o certificado pero no ambosb. cual es la probabilidad que un solicitante escogido aleatoriamente tenga experiencia o certificado (o ambos).

8.Un club consiste en 150 socios. Del total, 3/5 son hombres y 2/3 son profesionales. Adems, 1/3 de las mujeres son no profesionales. a) Se elige al azar un socio hallar la probabilidad que sea hombre y profesionalb) Calcular la probabilidad que sea hombre, dado que es profesional.c) Calcular la probabilidad que sea profesional o mujer. 9.La probabilidad de que un alumno trabaje es 1/2, que estudie es 1/4, que estudie y trabaje es 1/8. se pide calcular:a) Al menos haga una de las dos cosas.b) Que estudie, pero que no trabaje 10Un sistema est formado por dos componentes A y B, cuyas probabilidades de falla son 1/6 y 2/15 respectivamente. Si la probabilidad de que al menos una de las dos componentes falle es 7/30, calcular la probabilidad de que:a) Ninguno de los componentes falle Rpta 2/3b) Solo una de las componentes falleRpta 1/6

11.En una alacena hay 3 tarros de pera, 6 de conserva de durazno, 4 de mango y 5 de ciruela. Determine la probabilidad de que al elegir 3 tarros los 3 sean de la misma fruta.12.Juan se presenta a 2 universidades A y B, la probabilidad que ingrese a la universidad A es 0.8; a la universidad B es 0.75, al menos una de ellas es 0.95. Cul es la probabilidad que ingrese a ambas universidades.13.En una ciudad se publican tres revistas: A, B y C, en una encuesta se tiene: el 20% lee A, 30% lee B, 25% lee C, 10% lee A y B, 8% A y C y el 12% lee B y C, adems el 3% leen las tres revistas.Se elige aleatoriamente una persona cual es la probabilida que lea al menos una de estas revistas. Rpta. 0.48

Se selecciona un trabajador en forma aleatoria, hallar la probabilidad de:a. Sea Nombrado y trabaje en Limab. Sea contratado o trabaje en provinciasc. Si el trabajador es nombrado, cual es la probabilidad que sea de Lima.14.Una entidad del estado cuenta con 400 trabajadores distribuidos de: nombrados, contratados y por el proyecto PNUD, clasificados por lugar de ubicacin, se indica en el cuadro siguiente:

CategoraLimaProv.TotalNombrado6040100Contratado14080220Proyecto PNUD503080Total250150400

15.El siguiente cuadro se presenta informacin estadstica procesada referente a la preferencia del pblico ante la aparicin de una nuevahamburguesa que se desea lanzar al mercado de comida rpida. Se selecciona una persona en forma aleatoria calcular la probabilidadElija el Sandwich de tipo A o la presentacin sea en Plato.Si prefiere papel, cual es la probabilidad que elija el sndwich de tipo B.

SANDWICHPRESENTACIONTOTAL

PLATOPAPELTIPO A9589184TIPO B11585200TOTAL210174384

16.La Probabilidad de que una persona viva 10 aos mas es 1/3, La Probabilidad de que su esposa viva 10 aos ms es 1/4, determine la probabilidad de:a.ambos estn vivos dentro de 10 aos b.Slo la esposa vive.c.Ninguno vive. 17.La probabilidad que Juan viaje al Cusco es. 0.4, la probabilidad que su amigo tambin viaje es 0.3, la probabilidad de que la esposa del amigo viaje es apenas 0.2.Hallar la probabilidad de que las tres personas viajen a la ciudad del Cuzco.

18Los 500 clientes de crdito de la tienda de WONG se clasifican por el nmero de aos en la cuenta de crdito y por su promedio de saldo en crdito. De estos clientes, 210 han tenido saldos menores a $ 1000; otros 260 han tenido cuenta de crdito cuando menos 5 aos y 80 han tenido saldos mayores de $1000 y han tenido cuenta de crdito por menos de 5 aos. Se selecciona al azar un cliente o clienta de crdito hallar la probabilidad de:Tenga un saldo de crdito mayor a $1000.Tenga un saldo de crdito menor a $1000 o haya tenido cuenta de crdito cuando menos de 5 aos.Tenga un saldo de crdito menor a $1000 y haya tenido cuenta de crdito a lo mas 5 aosSi tiene un saldo mayor a $ 1000 Cul es la probabilidad de que tenga por lo menos 5 aos en cuenta de crdito.

19.En una empresa trabajan 2000 personas, hay 600 hombres que ganan ms de 1000 soles. Se sabe que en dicha empresa trabajan 800 mujeres de las cuales 600 ganan menos de 1000 soles. Determinar la probabilidad:a) sea mujer y gane menos de 1000 solesb) Sea hombre o gane mas de 1000 soles.c) si gana mas de 1000 soles cual es la probabilidad que sea una dama?

20. A un hotel del Cusco ingresan diario 350 turistas, el gerente del hotel los clasifica por forma de realizar el viaje y forma de pago; los clientes que llegan por Agencia de Viaje que son 110, los clientes que viajan independientemente suman 90 personas, y el resto por negocio, de todos los clientes 250 usan tarjeta de crdito y el resto usa efectivo; adems se sabe que los hombres de negocios que usan tarjeta de crdito son 100, independientes y pagan en efectivo son 20 personas, se elige al azar un turista, hallar la probabilidad que:Sea de negocios o use tarjeta de crdito Use efectivo o vaya con bolsa de viaje.Sabiendo que usa efectivo, cual es la probabilidad que sea hombre de negocios.

1.La probabilidad que Juan estudie para el examen final de Estadstica es 0.50, que apruebe el curso estudiando es 0.40, Cul es la probabilidad que apruebe el curso sabiendo que estudia para su examen final de estadstica?2.En una ciudad ubicada en el norte del pas, la posibilidad que llueva el da primero de Junio es de 0.50 y la probabilidad que llueva los dos primeros das de Junio es 0.40. Sabiendo que llovi el da primero. Cual es la probabilidad que llueva al da siguiente. 3.Se lanza dos dados hallar la probabilidad de obtener un nmero impar, sabiendo que el resultado es mayor o igual que 9.

ProductosPERIODO

JULIO 2011JULIO 2012TotalCobre124140264Oro172124296Ha Pescado130110240Total426374800

Seleccionados un extranjero, hallar la probabilidad:Que haya ingresado al pas en el mes de eneroQue haya hecho su ingreso al Per en 2011.Que haya ingresado en Marzo, si corresponde al 2011.

MESAOTOTAL201020112012ENERO250290309849FEBRERO225284288797MARZO197248259704TOTAL6728228562.350

1.En una empresa privada, del total de trabajadores, se tiene que el 50% son Profesionales, 30% son Tcnicos y el resto personal de Servicio; Adems se sabe que el 8% de los Profesionales, 9% de los Tcnicos y el 10 % del Personal de Servicio son provincianos. Supongamos que se selecciona un trabajador al azar y resulta ser provinciano:a) Hallar la probabilidad que el trabajador sea Profesional. Rpta. 46%.b) Hallar la Probabilidad que el trabajador sea Provinciano. PROBLEMAS SOBRE BAYES

2.La IBM est considerando la incursin de una Nueva Computadora Personal. De Acuerdo con una Investigacin hecha en el mercado, la probabilidad de que el producto tenga xito es de 0.80 si la competencia no introduce un producto similar en el mercado, en tanto que la probabilidad de xito es de 0,30 si la competencia ofrece un producto similar. Adems, la IBM estima que hay una probabilidad de 0,40 de comercializar el producto. Dado que el producto de la IBM tuvo xito, Cul es la probabilidad de que la competencia comercialice el producto?

3.La Toyota se ha presentado a una licitacin para ensamblar un nuevo modelo de automvil. La Probabilidad de que la CIA gane la licitacin es 0,90 si una firma competidora VOLVO no se presenta a ella, en tanto que solo estima que hay una probabilidad de 0,20 si la VOLVO se presenta. El Sr. TONG Presidente y dueo de la TOYOTA, estima que hay una probabilidad de 0,80 de que la VOLVO se presente.Se sabe que la TOYOTA gan la Licitacin, a) Cual es la probabilidad de que la VOLVO se haya presentado a ella. Rpta. 16/34.b) Hallar la Probabilidad de que la TOYOTA gane la Licitacin.4.Tres mquinas (A, B y C) tienen produccin Uniforme, se sabe adems que la produccin de desperfectos de las mquinas son 3%, 4% y 5% respectivamente.Si se selecciona al azar un artculo.b).Si el artculo seleccionado es defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artculo defectuoso fue producido por la mquina A. a).Hallar la probabilidad de que sea defectuoso.

5.Una empresa compra cierto tipo de computadora que es suministrada por tres proveedores: el 45% de las computadoras son compradas al primer proveedor, resultando defectuoso el 1%, el segundo proveedor suministra el 30% y de ellas es defectuoso el 2%, las restantes provienen del tercer proveedor, siendo defectuosas el 3% de las mismas. Se selecciona una computadora al azar y es defectuosa,a. Calcular la probabilidad que haya suministrado el segundo proveedor b. Calcular la probabilidad que la Computadora sea defectuosa

6. Un monedero A contiene 5 monedas de oro y 3 de plata, un monedero B contiene 4 monedas de plata y 6 de oro; se extrae una moneda y resulta que es de oro,a.Cual es la probabilidad que la moneda provenga del primer monedero. b.Hallar la probabilidad que la moneda sea de platacHallar la probabilidad que la moneda sea de oro.6. Una urna A contiene 4 bolitas blancas y 2 rojas, la urna B contiene 6 bolitas blancas y 4 rojas. a. Se extrae una bolita y es roja, hallar la probabilidad que provenga de la urna B. b. Hallar la probabilidad que la bolita sea roja.

7.A, B y C, licitan por un contrato para la construccin de un Puente, las probabilidades que A, B y C obtengan el contrato son 0.5, 0.3 y 0.2 respectivamente. Si lo obtiene A escoger a E como sub-contratista con probabilidad de 0.8, si lo Obtiene B o C ser escogido E con probabilidad de 0.4 y 0.1 respectivamente. Antes de Ser concedido el contrato principal. Cual es la probabilidad de que E obtenga finalmente el contrato.8.Hay 50% de probabilidad de que la empresa X, haga una propuesta para la construccin de un Palacio Municipal; la empresa Y hace una propuesta y la probabilidad de que obtenga la obra es de 2/3, siempre que la empresa X no proponga a su vez; Si la empresa X hace una propuesta sin embargo la probabilidad de que la empresa Y obtenga la obra es solo de 1/5.a) Determine la probabilidad de que la empresa Y obtenga en contrato la obra.Si X hace una propuesta, cual es la probabilidad de que Y obtenga el contrato?

9. En una universidad el 50% de los estudiantes son del Norte, 30% del Sur y 20% del Centro, el 5% de los estudiantes del Norte, 10 del Sur y 12 del Centro usan corbata Cual es la probabilidad que el estudiante sea del Norte si se sabe que usa corbata.Cual es la probabilidad que el estudiante use corbata.10.Existen 3 monederos, el primero contiene 3 monedas de plata y 2 de oro, el segundo monedero contiene 5 de plata y 3 de oro y el tercer monedero contiene 6 de oro y 8 de plata. Se elige una moneda, y resulta ser de plata, cual es la Probabilidad que provenga del segundo monedero. Cual es la probabilidad que la moneda sea de plata. Cual es la probabilidad que la moneda sea de oro

11.Se estima que la probabilidad de que una compaa B tenga xito al comercializar un producto es de 0.95 si su competidora la compaa A no interviene en el mercado, y es de 0.15 si la compaa A interviene en el mercado. Si se estima que A intervendra en el mercado con probabilidad de 0.7.a) Cual es la probabilidad de que la Compaa B tenga xito ?b) si la compaa B no tuviera xito. en cuanto se estima la probabilidad de que A intervenga en el mercado ?12.La Probabilidad de que un alumno estudie para su examen final de estadstica es de 0,40. Si estudia la probabilidad de que apruebe el examen es 0,80 en tanto que si no estudia la probabilidad es de slo 0,50. Dado que el alumno aprob el examen, Cual es la probabilidad de que haya estudiado.

13.Sean A, B y C, 3 eventos pertenecientes al mismo espacio muestral, determinar grficamente los siguiente:a) Al menos uno de los sucesos ocurreb) Slo un evento ocurrec) Exactamente dos eventos ocurren.14.En una ciudad del pas, la experiencia indica que en las navidades hay sol el 15% de los das. Por otro lado, se ha calculado que cuando un da es soleado, hay una prob de 20% que al da siguiente tambin lo sea. Calcular la probabilidad de que en navidades, un fin de semana completo haya sol.Rpta 3%.15.Para ocupar un cargo directivo en una importante empresa se presentan 20 profesionales con doctorado y maestra, de los cuales el 40% son de la UPC, y la diferencia en igual proporcin para las universidades de San Martn y San Ignacio, el 2%, 5% y 8% respectivamente de las universidades tienen doctorado, se elige un trabajador y no tiene doctorado, Halle la probabilidad que el trabajador que gane el puesto sea de la Universidad San Martn ?

UNIDAD IV

VARIABLE ALEATORIA

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCION DE PROBABILIDAD

OBJETIVOS

Determinar los trminos de distribucin y variable aleatoria.Diferenciar entre una distribucin de probabilidad discreta y una distribucin de probabilidad continua.Calcular la media, varianza y desviacin estndar de una distribucin de probabilidad discreta.

DATOS CUANTITATIVOSDISCRETA.- Proceso de conteoCONTINUA.- Proceso de Medicin

DATOS CUALITATIVOSATRIBUTOS PORCENTAJES

DATOS ESTADISTICOS

DISCRETA.- Proceso de conteoCONTINUA.- Proceso de Medicin

VARIABLE ALEATORIA CLASIFICACION

Una variable aleatoria es una funcin valorada numricamente, cuyo valor esta regida por factores en los que interviene el azar, definida en un espacio muestral.Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio.

CLASIFICACIN VARIABLE ALEATORIA DISCRETAVARIABLE ALEATORIA CONTINUA

VARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria es una funcin valorada numricamente, cuyo valor esta regida por factores en los que interviene el azar, definida en un espacio muestral.Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio.

CLASIFICACIN: Discreta y Continua

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Es aquella que slo puede tomar un nmero finito, o infinito pero numerable de valores. X : E NNmero de accidentes que ocurren en un da Nmero de llamadas telefnicas a una OficinaCantidad de libros de Estadstica en la BibliotecaTotal de vehculos que Ingresan a la Ciudad Univ.VARIABLE ALEATORIA

VARIABLE ALEATORIA CONTINUAEs aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo (a b).

Donde X (a, b) / (a, b) R

X : E R

Peso de las cajas de una frutaDuracin en minutos de llamadas telefnicasTalla de los alumnos de la clasePago de horas extras de las Tiendas METROConsumo de combustible por da.

VARIABLE ALEATORIA

SON NUMEROS ENTEROSSE USA LA SUMATORIAS

SE ENCUENTRAN EN INTERVALOSSE USAN INTEGRALES

VA CONTINUAVARIABLE ALEATORIA VA DISCRETA

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Son expresiones matemticas que estn regidas por las leyes del azar y para ser funciones de probabilidad debe cumplir ciertas propiedades. Una distribucin de probabilidad es una distribucin de frecuencias tericas, es decir es una distribucin de probabilidades que describe la forma en que se espera varen los resultados.

CLASIFICACINFuncin de Probabilidad Discreta

Funcin de probabilidad Continua

X RX N

FUNCION DE PROBABILIDAD DISCRETALa distribucin de probabilidad de una variable aleatoria describe cmo se distribuyen las probabilidades de losdiferentes valores de la variable aleatoria discreta.

Llamada tambin funcin masa o funcin de cuanta y Debe cumplir las siguientes condiciones:1.P(xi) 0Para todo valor de x2. P(xi) = 1Para todo valor de x

Nota:En algunas funciones de probabilidad discreta infinitas numerables, la Suma tienden a la siguiente expresin: P(xi) = SSiendoS = a/(1 r)S = suma de una progresin Geomtricaa = Primer Trmino de la serier = la razn ( r = x/x-1) x = Un elemento cualquiera de la seriex-1= Elemento anterior al seleccionado.

Sea la siguientes funciones, verificar si son de Probabilidad discreta:1. f(x) = C 3 x (1/2)x (1/2) 3 x X = 0,1,2,3

2. f(x) = C 4 x (2/3)x (1/3) 4 x X = 0,1,2,3,4

3. f(x) = 1/2x X = 1,2,3, 4 .........

4. f(x) = C(1/3)x X= 0,1,2,3,4.....Rpta C = 2/3

5. f(x) = C 3 x C 7 4-x / C 10 4 X= 0,1,2,3

6. f(x) = (2x 1)/36 X= 0,1,2,3,4,5,6.

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD DISCRETA

7. f(x) = C 2 x C 6 4-x / C 8 4X= 0,1,2

8. Para cada una de las siguientes funciones, determine el valor de k para que f(x) satisfaga las condiciones de una funcin de probabilidad para una variable aleatoria x:

x/k x = 1, 2, 3, 4.kx x = 1, 2, 3, 4, 5, 6K(1/5)x x = 0, 1, 2, 3, 4 . . . . . K(x+1) 2 x = 1,2, 3.9. Hallar el valor de c para f(x) = C/4x X= ,1,2,3,4..... sea funcin de prob. Discreta

10. Sea f(x) = C 4 x / 16, X = 0, 1, 2, 3, 4.

Variable Aleatoria Continua: Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo (a b).

Donde X (a, b) / (a, b) R

X : E R

Peso de las cajas de una frutaDuracin en minutos de llamadas telefnicasTalla de los alumnos de la clasePago de horas extras de las Tiendas METROConsumo de combustible por da.

VARIABLE ALEATORIA

Proviene del proceso de seleccionar una variable aleatoria continua, debe cumplir las siguientes condiciones:

1.f(x) 0evaluada en las cotas2. xf(x) dx = 1 para x / x (a, b)

FUNCIONES DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Funciones de probabilidad ContinuaProbar si las siguientes funciones son de probabilidad continua:a.f(x) = 1, -1/2 x 1/2 b.f(x) = ()x(2-x), 0 x 2c.f(x) = 4x3 ,0 < x < 1d.f(x) = x/2,0 < x < 2e.f(X) = e- x ,- < x < 02. Hallar el valor de a para que f(x) sea de probabilidad continua: f(x) = a(3x-x2) 0 x 3f(x) = ax2 0 x < 1 = a(2 - x) 2 0 x < 2c) f(x) = ax 0 x < 2= a(4-x) 2 x 4.3. Sabiendo que f(x) = (1-x2 )si, -1 < x < 1, es funcin de probabilidad continua, halle la probabilidad que x sea mayor .

4. f(x) = kx 0 < X < 2 = k(4 X) 2 < X < 45. Probar que la siguiente funcin es de Prob. continua f(x) = 1/ (b a) a < x < b 6. Hallar el valor de c en la funcin para que sea de probabilidad continua:f(x) = cx3 0 < X < 17. En la siguiente funcin: f(x) = cx,si 0 x < 1 = c,si 1 x < 2 = -cx+3c,si 2 x 3Determine el valor de la constante c (Rpta c= ) 8. Sea f(x) = a(3x - x2)0

9. Un agricultor encuentra que el peso en kgs de un meln es una variable aleatoria X con funcin de densidad siguiente: f(x)=2/3 x3/12 0 < x < 2a).Cual es la probabilidad que un meln pese menos de un kilogramob). Si el agricultor cosecha 20000 melones,cuntos pesan menos de un Kg.c) Cual es la probabilidad que el meln pese mas de 1.25 Kilos10. El dimetro de un cable elctrico es una variable aleatoria con funcin de densidad siguiente f(x) = 6x(1-x)0 < x < 1Determine la probabilidad que la resistencia sea superior al 50%.PROBLEMAS DE PROBABILIDAD CONTINUA

11. Para cierto negocio de mensajera la proporcin de mensajes procesados (atendidos) en 24 horas tiene la funcin de probabilidad f(x) = 20x3( 1 x )0 < x < 1 Cual es la probabilidad que en un periodo relativamente largo: a. Al menos 80% de los mensajes sean atendidos dentro de las 24 horas ? b.Menos del 30% de todos los pedidos sean procesados dentro de las 24 horas ? c.Entre el 50% y 60% de todos los servicios sean procesados dentro las 24 horas ?. PROBLEMAS DE PROBABILIDAD CONTINUA

12. Una estacin de suministro recibe gasolina una vez por semana. Si su volumen de ventas, en miles de galones se distribuye como una funcin de densidad.f(x) = 5(1-x)4 0 < x < 1= 0 en otros casos.Hallar la probabilidad de que la capacidad de la supere el 50%.13. en cierto pas, el ingreso familiar tiene funcin de densidad de probabilidad f(x) = 2x/(1 + x2)2, x 0x en miles de dlares. Que proporcin de familias:a) Tiene ingresos menores o iguales a $ 6,000b) Tiene ingresos $ (2,000 x 8,000)c) Tiene ingresos sobre los $ 1000. PROBLEMAS DE PROBABILIDAD CONTINUA

14.Sea la funcin de densidad de probabilidad de la variable aleatoria x 15.f(x) = a seno x, si 0 x = 0 , en otros casos.16.La duracin en minutos de un Cd grabado por una Disquera Nacional es una variable aleatoria X con una funcin de densidadf(x) = (1/3)x x2/36 3/4Si 3 x 9 17.Cual es la probabilidad que la duracin de un disco a) Exceda en 6 minutos.b) Si la compaa graba 1000 discos, cuantos de ellos tiene una duracin superior a 5 minutos.

PROBLEMAS DE PROBABILIDAD CONTINUA

18.Suponga que el ingreso familiar mensual en miles de $ en una ciudad es una variable aleatoria X con funcin de densidad de probabilidad de :f(x) = 4ksi 0 x 1= k(5-x), si1 x 5.a). Determine el valor del constante k.b). Calcular el porcentaje de familias con ingresos mensuales a lo mas de 2 mil $.19. En una tienda comercial, el volumen de ventas de juguetes en el mes de Diciembre tiene la funcin de densidad:f(x) = x/4e-x/2x >0X en miles de docenas. Calcular la probabilidad de que se vendan: a) menos de 10 mil docenasb) al menos 1500 docenasPROBLEMAS DE PROBABILIDAD CONTINUA

El tiempo de espera (minutos) de un pasajero en un paradero de mnibus en el intervalo [0, 5], es una variable aleatoria continua X, cuya funcin de probabilidad es:f(x) = c/5si 0 x 5= 0en otro caso.Hallar el valor de cCalcular la probabilidad que el pasajero espere al menos 2 minutos.21. El porcentaje de personas que contestan una encuesta por correo electrnico, es una variable aleatoria continua X, con funcin de probabilidad:f(x) = c(2x+1)Si 0 < x < 1= 0, en otro caso.Hallar el valor de cSi contestan el 25%, Que probabilidad hay que contesten a lo mas el 75%. PROBLEMAS DE PROBABILIDAD CONTINUA

21. Suponga que la demanda diaria de azcar en un supermercado es una variable aleatoria X con funcin de densidad de probabilidad: f(x)= kx0 x 500= k(1000-x), 500 x 1000Determinar el valor de la constante k. Rpta. k = 500-2 Calcular la probabilidad de que en un da cualquiera el supermercado venda entre 250y 750kgs.Rpta.0.75.22. Suponga que el ingreso familiar mensual en miles de soles en una empresa manufacturera es una variable aleatoria x con funcin de densidad de probabilidad:f(x) = 4ksi 0 x 1 = k(5-x)si 1 x 5Determine el valor de la constante k.Calcular el porcentaje de familias con ingresos mensuales de a los ms 2 mil soles.PROBLEMAS DE PROBABILIDAD CONTINUA

ESPERANZA MATEMATICA (x ) = x DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUAPara el caso de las funciones de probabilidad continua, este valor se obtiene a partir de la siguiente expresin: (x ) = x = Para el caso Continuo ser: (x2 ) = xf(x) dx a < x < b Siendo X Variable aleatoria f(x)Probabilidad de Ocurrenciaa3 - b3 = (a b)(a2+ab+b2)

VARIANZA V(x ) Y DESVIACION ESTANDAR DE UNA FUNCION DE PROBABILIDAD CONTINUAMide las dispersiones o variaciones de la variable aleatoria respecto a la media. Es un valor terico srve para de base para hallar la desviacin estndar. Se obtiene a partir de la siguiente expresin:V(X) = [ x - (x) ] 2 = (x2 ) - [ (x)] 2 Siendo: (x) = x un valor conocido. (x2 ), un valor que se obtiene: Para el caso continuo: (x2 ) = x2f(x) dx, a < x < b Siendo X2 Variable aleatoria elevada al cuadrado f(x)Probabilidad de Ocurrencia

PROBLEMAS SOBRE MEDIA Y VARIANZA PROBAB. CONTINUASea f(x) = 1/ ( b - a )a < x < b a) Encuentre Ud. su esperanza Matemticab) Calcule su varianza2.Un agricultor encuentra que el peso en kilos de una pia es una variable aleatoria X con funcin de densidad:f(x) = (x2 -10x + 25) / 390 < x < 3a). Se pide hallar el peso medio de la fruta en esta cosecha.b) Hallar su desviacin estndar 3.Para cierto negocio la proporcin de ventas tiene la siguiente funcin de probabilidad continua:f(x) = 20x3 (1 x) 0 < x < 1Hallar las ventas promedio.

Una empresa realiza obras cuyo tiempo (dias) en que tarda es el siguiente:Determine el valor esperado o esperanza matemtica de realizar otro trabajo.b. Determine el error de estimacin

ContratoTiempo DuracinProbabilidad P(x)A100.20B150.30C200.25D220.25

El Promedio ser: (x ) = x p(x) = x = 17 dias.El error de estimacin ser:S= V(x) = (x2 ) - [ (x)] 2 = 308.5 - (17)2S= V(x) = 19.5 =S= 4.42 dias.Solucin.

(X) = Media (X2)= x2*p(x)X*p(x)X2 * p(x)2204.567.551005.5121x*p(x) = 17x2*p(x) = 308.5

Una caja contiene 3 bolitas negras y 7 blancas, se saca una bolita, si es negra usted gana S/ 20, pero si es blanca usted pierde S/.10 cual es la esperanza matemtica de este juego. Rpta Pierde S/. 10

Una compaa textil quiere comprar 10 mquinas para utilizarlas en su proceso de tejido. Basadas en experiencias anteriores la compaa haba comprado este tipo de mquinas a dos proveedores diferentes, cuyos datos se consignan a continuacin.Qu maquina debe comprar la compaa si el costo de ambas es el mismo?b.Determine la desviacin estndar y confirme el resultado de la pregunta a.

MAQUINA AMAQUINA BVida Util estimada en horasProbabilidad de vida p(x)Vida Util estimada en horasProbabilidad de vida p(x)20000.6020000.5030000.3030000.4040000.1040000.10

CONTINUODISCRETAVARIABLECONTINUODISCRETOFuncinProbabil.CONTINUODISCRETOMedia (x)Varianza V(x)CONTINUODISCRETODATORESUMEN FUNCIONES DE PROBABILIDAD