DETERMINACION DE LA FUERZA Y EL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ENTRE DOS SUPERFICIES DE DIFERENTE MATERIAL

M.Cabrera1, F.Guzman2, A.Russi3

Laboratorio de Física Experimental I, Depto. De Física, Universidad Nacional, BogotaNoviembre 1 de 2005

RESUMEN

El presente informe, tiene como finalidad determinar el coeficiente de rozamiento existente entre una superficie de madera sobre una de aluminio, combinando datos experimentales, con desarrollos teóricos. Se realiza la experiencia en un plano horizontal y en un plano, inclinado cierto grado con respecto a la horizontal, con el fin de obtener la relación entre variables, como lo son la fuerza normal que ejerce la superficie sobre el cuerpo, y la fuerza tensora que ejerce la masa que pende de la cuerda, para así llegar a establecer un modelo matemático que describa la relación entre fuerza tensora y normal, para luego, por medio de modelos teóricos poder llegar a determinar el coeficiente de rozamiento para el caso estático (en el que la masa rompe su estado de reposo dependiendo del ángulo o de la fuerza tensora) y cinético (que es el caso en el que el bloque de madera se mueve con aceleración constante sobre el plano inclinado u horizontal),

INTRODUCCION;

Como sabemos dentro de los cuerpos existen una serie de fuerzas que actúan sobre el, la física se a encargado del estudio de las misma y como consecuencia de ello, existió un científico de nombre Isaac Newton quien postulo tres leyes que nos permiten estudiar el movimiento de los cuerpos a partir de las fuerzas que actúan sobre ellos. Es necesario que conozcamos cuáles son las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Vamos a comentar brevemente las principales fuerzas que podemos encontrarnos al estudiar el movimiento de un cuerpo.

1.- El peso: es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que hay sobre ella. En la mayoría de los casos se puede suponer que tiene un valor constante e igual al producto de la masa, m, del cuerpo por la aceleración de la gravedad, g, cuyo valor es 9.8 m/s2 y está dirigida siempre hacia el suelo.

2.- Cuando un cuerpo está apoyado sobre una superficie ejerce una fuerza sobre ella cuya dirección es perpendicular a la de la superficie. De acuerdo con la Tercera ley de Newton, la superficie debe ejercer sobre el cuerpo una

fuerza de la misma magnitud y dirección, pero de sentido contrario. Esta fuerza es la que denominamos Normal y la representamos con N.

 Dentro de nuestro estudio, esta también una fuerza extra llama fuerza de fricción o rozamiento y como esta es el tema de nuestro estudio la abordaremos de una manera más amplia:

FUERZA DE FRICCIÓN O ROZAMIENTO

Se define a la fricción como una fuerza resistente que actúa sobre un cuerpo, que impide o retarda el deslizamiento de este respecto a otro o en la superficie que este en contacto. Esta fuerza es siempre tangencial a la superficie en los puntos de contacto con el cuerpo, y tiene un sentido tal que se opone al movimiento posible o existente del cuerpo respecto a esos puntos. Por otra parte estas fuerzas de fricción están limitadas en magnitud y no impedirán el movimiento si se aplican fuerzas lo suficientemente grandes.

Esta fuerza es la causante, por ejemplo, de que podamos andar. (cuesta mucho más andar sobre una superficie con poco rozamiento, hielo, por ejemplo, que por una superficie con rozamiento como, por ejemplo, un suelo rugoso).

La experiencia nos muestra que:

la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos no depende del tamaño de la superficie de contacto entre los dos cuerpos, pero sí depende de cual sea la naturaleza de esa superficie de contacto, es decir, de que materiales la formen y si es más o menos rugosa.

la magnitud de la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos en contacto es proporcional a la normal entre los dos cuerpos, es decir:

Fr = μ·N [1]

Donde μ es lo que conocemos como coeficiente de rozamiento.

Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con laque empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez que el

cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza de rozamiento cinética. Esta fuerza de rozamiento, es menor que la fuerza de rozamiento estática., podemos así establecer que hay dos coeficientes de rozamiento: el estático, me, y el cinético, mc, siendo el primero mayor que el segundo:

e > c [2]

Fuerza peso, dirigida hacia el suelo, tal como se muestra en la figura. La fuerza peso siempre está dirigida hacia el suelo.

Fuerza Normal, en dirección perpendicular al plano inclinado, que es la superficie de apoyo del cuerpo, tal como se puede ver en el dibujo.

Fuerza de rozamiento , paralela al plano inclinado (la superficie de contacto) y dirigida hacia arriba del plano ya que estamos suponiendo que el cuerpo se mueve hacia abajo.

Una vez que tenemos todas las fuerzas que actuad sobre el cuerpo, el siguiente paso consiste en dibujar el Diagrama de cuerpo libre, aunque en este caso, al haber sólo un cuerpo, podemos usar como diagrama el dibujo anterior en el que hemos dibujado todas las fuerzas.

Pasamos ahora a elegir el sistema de referencia. Para facilitar el cálculo conviene elegir unos ejes de coordenadas de manera que uno de ellos tenga la dirección del movimiento. En este caso vamos a tomar el eje x paralelo al plano inclinado y el eje y perpendicular al plano inclinado. Como sentido positivo del eje x tomaremos el sentido hacia abajo del plano inclinado (normalmente se toma el sentido del movimiento del cuerpo) y para el eje y hacia arriba de la superficie del plano inclinado.

Una vez elegido los ejes de coordenadas que vamos a utilizar, vamos a escribir la Segunda ley de Newton para cada uno de los ejes. En este caso, tal como podemos ver en los dibujos, la fuerza peso tiene componentes, tanto en el eje x como en el eje y. En el dibujo vemos como determinar las componentes del peso.

El ángulo que forma el peso con el eje y es el ángulo del plano inclinado. De esta manera, la componente y del peso se obtiene multiplicando el módulo del vector por el coseno del ángulo y la componente x se obtiene multiplicando por el seno del ángulo.

En la experimentación, el registro de desplazamientos, tiempos, etc., hace que podamos establecer posibles relaciones entre las variables que componen la situación física o un fenómeno, estableciendo así, una ecuación que logre describir dicho comportamiento de la naturaleza.

La ecuación que describa la relación entre la fuerza de rozamiento (estático o cinético) en función de la normal quedara expresada de la siguiente forma:

)().(, aaNmmf ce [3]

la cual será descrita seguidamente mediante otras ecuaciones.La obtención de la ecuación, requiere el método de mínimos cuadrados, que también depende del comportamiento de la grafica que puede ser potencial o lineal. Se define la pendiente de la ecuación (para el caso lineal) como:

[4]

en donde N es el numero de datos, ix es la variable independiente (fuerza normal), iy es la variable dependiente (fuerza rozamiento (cinético o estático)).Como es de suponer, la pendiente también tendrá incertidumbre, la cual se calculará mediante la siguiente ecuación:

[5]

en donde yS esta determinado mediante;

[6]

en el que representa la diferencia entre el valor teórico y el experimental.

Como es de esperarse, este valor también tiene incertidumbre, la cual se calcula mediante;

[7]

De donde:aSb [8]

Es importante notar que para obtener los valores teóricos del comportamiento, primero debe establecerse una ecuación con los datos ya conocidos, de la forma;

amNf ce , [9]

[10]

en donde a representa el valor obtenido en la ecuación [10], m es el valor obtenido en la ecuación [4] pero hay que tener en cuenta que, para el cálculo de incertidumbres que ser reflejaran en la grafica, es necesario utilizar las medidas de dispersión, de las cuales usaremos:

ntn

.1 [11]

22 x [12]

En donde es el error cuadrático medio, n corresponde a la cantidad de medidas, equivale al error sistemático, y 1nt es igual a 4,6.

Pero en esta experiencia se ha de tener en cuenta, resultados que son teóricos con el fin de determinar los coeficientes de rozamiento, por lo tanto se relacionaran las ecuaciones que se han de usar en el transcurso del informe.

Para el caso estático en el plano horizontal:

0111 yamgmN [13]

De donde se deduce que:

gmN 1 [14]

Ff er )( [15]

Nf cer .),( [16]

y para el caso cinético en el plano horizontal se tiene que:

Ff cr )( [17]

Si contrastamos estas ecuaciones con las que se determinan, para el caso del plano inclinado notamos que estas ultimas están en forma de componentes, y haciendo uso de los ángulos para expresar sus lados.Luego las ecuaciones para el caso de fuerza de rozamiento estática en el plano inclinado, serán:

cosmgN [18]

senmgf er . [19]

eeeer mgsenmgf cos.. [20]

e

sen

tancos

.

[21]

Pero, el estudio de la fricción cinética requiere un poco mas de manipulación algebraica, con el fin de determinar su respectivo coeficiente, para ello se utilizan las siguientes ecuaciones que conducirán a determinar el valor de c .

[22] [23]

[24] [25]

[26] [27]

[28] [29]

[30] [31]

Siguiendo la secuencia de las ecuaciones, se puede ver como se deduce la ecuación [30] PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

La practica realizada se dividió en dos partes en la primera se usó un riel, una polea, masas graduadas, una cuerda, un bloque de madera.El riel se colocó en forma completamente horizontal, luego se puso sobre este, el bloque de madera previamente pesado, por la cara en la que estaba destapado, luego se ató a una cuerda, que en su otro extremo estaba atada a un gancho que contenía masas, el cual estaba en una posición, completamente vertical, gracias a una polea.

Figura 1. Arreglo experimental para el estudio de la fricción en un plano horizontal

Para el caso estático, se determino la masa necesaria para tan solo hacer mover lo mas mínimo la masa m1, y en el cinético, la masa necesaria para hacer que el bloque se moviera con velocidad constante, consignando así, en el

cuaderno, el valor de esta masa con su respectiva masa m2, de la cual, posteriormente se elaboro una tabla de datos, tanto para cinético como estático.

La segunda parte de la practica, se utilizaron, además de los anteriores elementos, los fotosensores que se usan para medir tiempos.Para este caso, el riel se coloco en una posición en la que tenia un ángulo considerable. Para esta parte, el bloque no estaba halado por ninguna masa, sino por el incremento de la altura y el ángulo.En el cuaderno se tomo, el respectivo ángulo para el cual el bloque perdía su estado de reposo, y la altura a la cual el bloque se movía con un movimiento acelerado.

Figura 2. Arreglo experimental para el estudio de la fricción en un plano inclinado.

RESULTADOS Y DISCUSIONANALISIS DE DATOS (1ra parte)

La tabla 1 muestra la relación de la fuerza de rozamiento estática para el caso en el que el plano es horizontal al igual que la tabla 2, que muestra la fuerza de rozamiento cinética, ambas relacionadas con la fuerza normal.La figura 1 muestra la grafica de la fuerza de rozamiento estática , como función de la normal (N). Mientras que la figura 2 muestra la fuerza de rozamiento cinética como función de la normal (N). (Para el caso del plano horizontal).

).(0001,0.... Kgagregadamasa .0001,0N (N) ).(0001,02 Kgm erf (N)0,0000 0,13031 0,0170

0,0169

0,01700,01690,0170

0,1000 0,23031

0,03280,03280,03270,03280,0328

0,2000 0,33031

0,04600,04600,04590,04600,0459

0,3000 0,43031

0,05840,05930,05830,05840,0584

0,4000 0,53031

0,08340,08310,08330,08320,0833

0,5000 0,63031

0,09280,09270,09200,09230,0924

0,6000 0,73031

0,11250,11200,11200,11200,1121

Tabla 1. Muestra la relación entre la normal y la fuerza de rozamiento estática.

).(0001,0.... Kgagregadamasa .0001,0N (N) ).(0001,02 Kgm erf (N)0,0000 0,13031 0,0165 0007,00163,0

0,0165

0,01650,01570,0163

0,1000 0,23031

0,0308

0004,00302,0 0,03020,03010,03010,0300

0,2000 0,33031

0,0458

0013,00455,0 0,04520,04650,04500,0450

0,3000 0,43031

0,0565

0005,00562,0 0,05600,05610,05600,0564

0,4000 0,53031

0,0825

0009,00820,0 0,08250,08190,08160,0817

0,5000 0,63031

0,0928

0011,00919,0 0,09190,09150,09160,0916

0,6000 0,73031

0,1105

0026,01097,0 0,11000,10750,11030,1102

Tabla 2. Muestra la relación entre la normal y la fuerza de rozamiento cinética.

Al hacer el análisis grafico de cada una de estas dependencias, se puede observar que hay un comportamiento lineal, que puede ser reproducido, usando el método de mínimos cuadrados, relacionando a la fuerza de fricción, tanto estática como cinética, como una función de la fuerza normal.

De este análisis se obtuvieron las siguientes ecuaciones:

[32]

[33]En las que podemos hacer comparaciones con la ecuación [16] (la cual relaciona a la fuerza de rozamiento, tanto estática como cinética, como una dependencia proporcional a la fuerza normal, claro esta, que multiplicada por una constante, que en este caso equivaldría a ).Nos podemos dar cuenta, de que si asumimos que la constante que acompaña a la normal en la ecuación [22] y [23], es el coeficiente de rozamiento, se observa que para el caso en que la fuerza de rozamiento es estática, se presenta un coeficiente mayor al que tiene la fuerza de fricción cinética.

ANÁLISIS DE DATOS (2do. Parte)(Plano inclinado):

Los datos de la tabla 3 se tomaron con base en el ángulo en el que se rompía el estado de reposo de la masa de madera, tomándolo en diferentes partes del riel, con el fin de compensar cualquier tipo de rugosidad que no sea propia del aluminio. Luego de tomar el ángulo en 5 partes diferentes del riel, se sabe por medio de la ecuación [21], el valor del coeficiente de rozamiento estático en el plano inclinado, es igual a la tangente del ángulo que forma el plano inclinado, con la horizontal.La incertidumbre se calculo, mediante las ecuaciones [11] y [12].

14 0,24915 0,26814 0,24912 0,21313 0,231

Tabla 3. Muestra los ángulos máximos a los que el bloque permanece en reposoY por medio de la ecuación [21] se determina estático (plano inclinado)

En donde para el caso estático (plano inclinado) es: [34]

Luego se hace el estudio del coeficiente de rozamiento cinético en el plano inclinado, teniendo en cuenta el desarrollo algebraico usado en las ecuaciones [22]-[31].

según ecuación [31] Promedio 0,347 0,10250,319 0,10320,305 0,17070,298 0,15340,286 0,1369

Tabla 4. Muestra las alturas máximas para las cuales el bloque empieza deslizarse, y el tiempo que tarda, también se determina cinético(Plano inclinado)

Para obtener los anteriores resultados, fue necesario basarnos en la ecuación [31], la cual se obtuvo a partir de procesos algebraicos.Esta ecuación nos permite encontrar para cada altura, con su respectivo tiempo, el coeficiente de fricción cinético, asociado a dicha relación. Para luego sacar un promedio, que seria presentado como el definitivo. En donde para el caso estático (plano inclinado) es: [35]Luego, de encontrar el coeficiente de rozamiento para el caso cinético en el plano inclinado, se procedió a graficar, según figura 3 y también a determinar

una relación, con el fin de encontrar una ecuación que relacione a como

función de , usando el método de mínimos cuadrados, según la tabla 5.

0,347 3,37 0,9869 2,150,319 3,69 1,2845 1,900,305 3,87 1,7791 1,600,298 3,97 1,5513 1,360,286 4,15 1,5679 1,42

Tabla 5. Relación entre el tiempo, la altura, y combinaciones de estas con el tiempo.

Esta expresión nos queda de la siguiente forma:

[36]

Conclusiones:

Podemos obtener la descripción de un fenómeno físico, apartir de una ecuación matemática, pero teniendo en cuenta que el uso de postulados teóricos, sirve en gran cantidad para el experimentador.La experimentación y la teoría están estrechamente ligadas, y tanto la una depende de la otra en gran medida.De la practica realizada, se puede concluir que el coeficiente de rozamiento depende de si el sistema esta en reposo o hay desplazamiento, pues se observo que para el caso estático, el coeficiente de rozamiento era mayor que para el caso cinético.También se concluyo que la fuerza de rozamiento, ya sea en el caso estático o cinético, guarda una relación lineal con la fuerza normal, claro esta que multiplicada por una constante, que para nuestro caso seria el mismo coeficiente de rozamiento.Para determinar unas medidas adecuadas del experimento, es necesario contar con un riel completamente homogéneo, pues una pequeña partícula puede ocasionar grandes variaciones en el experimento, conduciéndonos a datos erróneos.Es importante considerar las unidades en que están los datos iniciales para poder operar, pues se pueden cometer errores al no realizar las conversiones que se requieren.

Bibliografía

1. D.C. Baird, Experimentation, 3ª Ed. (Prentice Hall, Nueva York, 1999).

2. J. Miranda, Evaluación de la Incertidumbre en Datos Experimentales (Instituto de Física, UNAM, México, 2000).

Anexos:1) Cálculos usados para el cálculo de la ecuación [33] que relaciona a la fuerza de rozamiento cinética, como función de la normal.

n 0,157835714A -0,004754delta n 0,006111921delta A 0,002900213

Teóricos  X Y0,0162 0,01581357

0,0302 0,031597140,0455 0,047380710,0562 0,06316429

0,082 0,078947860,09195 0,09473143

0,1097 0,110515

Cálculos usados para el cálculo de la ecuación [32] que relaciona a la fuerza de rozamiento estática, como función de la normal

Teóricos  X Y

0,13031 0,015813570,23031 0,031597140,33031 0,047380710,43031 0,063164290,53031 0,07894786

  1,57616687   0,03349365   

  0,02718022   

  0,1851667   

  0,2251667     0,00323412   

  5,2298E-05

  1,57616687

  0,03349365   

  0,02718022   

  0,1851667   

  0,2251667     0,00323412   

  5,2298E-05

0,63031 0,094731430,73031 0,110515

n 0,157835714A -0,004754

delta n 0,006111921delta A 0,002900213