Robotica matematica

7/25/2019 Robotica matematica

1/11

Matemticas y robtica

Leopoldo Acosta Snchez y Marta Sigut SaavedraCatedrtico y Profesora Asociada Doctora de Ingeniera de Sistemas y Automtica

Departamento de Fsica Fundamental y Experimental, Electrnica y Sistemas,Universidad de La Laguna

Introduccin

Un robot es cualquier estructura mecnica que opera con un cierto grado deautonoma, bajo el control de un computador, para la realizacin de una tarea, y que disponede un sistema sensorial ms o menos evolucionado para obtener informacin de su entorno.Tradicionalmente la robtica se suele dividir en dos grandes reas: la robtica demanipulacin y la robtica mvil. La robtica de manipulacin ha trascendido el campoindustrial y, junto con la robtica mvil, ha dado lugar a infinidad de aplicaciones en reasmuy diversas, que van desde los robots quirrgicos a los robots humanoides o las mascotasrobticas diseadas y construidas por grandes multinacionales japonesas.

Un robot est compuesto por una serie de elementos hardware, como son: unaestructura mecnica, un sistema de actuacin, un sistema sensorial interno, un sistemasensorial externo y un ordenador. Adems, debe haber un software que gestione el sistemasensorial y mueva la estructura mecnica para la realizacin de una determinada tarea.

Nosotros nos centraremos en las herramientas matemticas bsicas que se utilizan enrobtica. A modo de resumen de lo que ms adelante se explicar con mayor detalle, diremosque el problema ms bsico que debe resolverse es obtener un modelo geomtrico de laestructura que permita relacionar los grados de libertad (las variables generalizadas) con lascoordenadas cartesianas de todos y cada uno de los puntos que constituyen el robot. Esto seconoce como elproblema cinemtico directo, y para robots tpicos tiene una solucin sencillay universal. Sin embargo, el problema que aparece cuando se pretende posicionar un brazo

robtico o una pierna de un humanoide es justo el inverso, es decir: se parte de las posicionescartesianas como valores de entrada y lo que se debe encontrar son los valores de lasvariables generalizadas. El problema cinemtico inverso slo puede resolverse de formaanaltica en casos muy sencillos, y puede tener 0, 1, 2, infinitas soluciones. En algunoscasos particulares es posible hacer un planteamiento relativo basado en matrices jacobianas.

Debe observarse que el planteamiento cinemtico no es vlido cuando se pretendemanipular objetos en movimiento. Es necesario entonces plantear modelos dinmicos dondeintervenga el tiempo. Debe tambin tenerse en cuenta que un robot debe moverse en tiemporeal, por lo cual es necesario plantear soluciones de baja complejidad computacional. Esto

1Curso Interuniversitario Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2005


2/11

Matemticas y robtica Mdulo 2: Una panormica de las matemticas, hoy

hace que, por ejemplo, se prefiera la formulacin de Newton-Euler antes que otras ms

elegantes como la lagrangiana.

I. Morfologa y cinemtica del robot

I.1. Estructura mecnica de un robot.

Mecnicamente, un robot est formado por una serie de elementos o eslabones unidosmediante articulaciones que permiten un movimiento relativo entre cada dos eslabonesconsecutivos. La constitucin fsica de la mayor parte de los robots industriales guarda ciertasimilitud con la anatoma del brazo humano, por lo que, en ocasiones, para hacer referencia alos distintos elementos que componen el robot se emplean trminos como cuerpo, brazo,codo y mueca.

Los movimientos posibles para las articulaciones son: un desplazamiento (articulacinde tipo prismtico), un giro (articulacin de rotacin o de revolucin), o una combinacin deambos, siendo stos ltimos menos habituales. Las dos primeras son las ms usadas en laprctica.

Cada uno de los movimientos independientes que puede realizar cada articulacin conrespecto a la anterior se denominagrado de libertad(GDL). El nmero de grados de libertaddel robot viene dado por la suma de los grados de libertad de las articulaciones que locomponen. Puesto que, como se acaba de comentar, las articulaciones empleadas en laprctica son nicamente las de rotacin y prismtica, con un solo GDL cada una, el nmero deGDL del robot suele coincidir con el nmero de articulaciones de que se compone.

La posibilidad de combinar articulaciones de un tipo u otro viene dada por la funcinque debe realizar el robot. As por ejemplo, si se desea posicionar un objeto de cualquiermanera en el espacio se requerirn 6 GDL (se debe tener en cuenta tanto la posicin como laorientacin), como los que ofrecen los robots manipuladores PUMA de Unimation o de ASEA.En cambio, si lo que pretende es recoger un objeto en una superficie plana, har falta unaconfiguracin tipo SCARA; mientras que para el posicionamiento de una placa solar sernecesaria una configuracin esfrica. En la Figura 1 se observa el manipulador SCORBOT.

Figura 1. Fotografa del manipulador SCORBOT ER-VPlus en la que se observan los distintos elementosque componen la estructura mecnica y las articulaciones que las unen.

2 Curso Interuniversitario Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2005


3/11

Mdulo 2: Una panormica de las matemticas, hoy Matemticas y robtica

En definitiva, la realizacin de una tarea implica que el efector final del manipulador

ejecute un movimiento determinado. Para ello es necesaria la presencia de un sistema decontrol que garantice la correcta ejecucin del movimiento del efector final, para lo cualdebe ser capaz de encontrar el comportamiento temporal de las fuerzas y torques que seaplicarn a los actuadores a fin de garantizar que se recorran las trayectorias de referencia.Para poder llevar a cabo el control del movimiento del efector final es necesario disponer deun modelo que represente el comportamiento del robot. Dicho modelo debe contemplar tantola cinemtica del manipulador, entendiendo como tal la descripcin del movimiento delmanipulador con respecto a un sistema de referencia cartesiano fijo, como la dinmica, esdecir, el comportamiento del robot en funcin de las fuerzas y momentos aplicados.

I.2. Modelo cinemtico.

La cinemtica del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistemade referencia. As, la cinemtica se interesa por la descripcin analtica del movimientoespacial del robot como una funcin del tiempo, y en particular por las relaciones entre laposicin y orientacin del extremo final del robot y los valores que toman sus coordenadasarticulares.

Existen dos problemas fundamentales a resolver en la cinemtica del robot (ver Figura2): uno es el que se conoce como elproblema cinemtico directo, que consiste en determinarcul es la posicin y orientacin del extremo final del robot con respecto a un sistema decoordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y losparmetros geomtricos de los elementos del robot; el segundo, denominado problemacinemtico inverso, resuelve la configuracin que debe adoptar el robot para una posicin yorientacin del extremo conocidas.

Posicin yorientacin del

efector final

Cinemticadirecta

Variablesarticulares(Variables

generalizadas) (Variablescartesianas)(q1(t) , q2(t) , ... , qn(t))

T

Cinemticainversa

Figura 2: Los dos problemas fundamentales a resolver en la cinemtica del robot.

I.2.1. El problema cinemtico directo.La cinemtica directa consiste en obtener la posicinen el espacio de la estructura a partir de los valores de las variables generalizadas. stasestn asociadas a las articulaciones y definen sus propiedades de movimiento, por lo quepara las articulaciones de revolucin la variable generalizada ser un ngulo, y para lasprismticas un desplazamiento. En general las variables generalizadas se denotan por q, conel subndice correspondiente al nmero de articulacin.



4/11


Por ejemplo, un problema cinemtico directo, en este caso en dos dimensiones,

podra ser calcular el puntopen funcin del ngulo (Figura 3):p

Figura 3.

En general, habr que numerar tanto las articulaciones como los links o eslabonespara poder identificarlos y poder expresar su rotacin o traslacin con respecto al anterior.

La cinemtica directa es un problema de cambio de sistema de coordenadas, que seilustra grficamente de la siguiente manera (Figura 4):

a2 a3

d1

11

Figura 4.

Considrense ahora dos sistemas de coordenadas dextrgiros dados por los subndices0 y 1. Las coordenadas de un punto en el sistema 0 podrn obtenerse a partir de lascoordenadas de ese mismo punto en el sistema 1 por medio de la multiplicacin por una

matriz de paso que, en este caso, se denotar por .0 1TPara representar la transformacin de un sistema de coordenadas con respecto al

anterior se utilizan matrices de transformacin homogneas que, en el caso ms general,tienen la forma siguiente:

3 3 3 1

1 3 1 1

matriz de vector de

rotacin traslacin

transformacin

de perspectiva escalado

x x

x x

R pT

f

= =



5/11


Se tiene entonces que la matriz i relaciona los sistemas de dos eslabones

consecutivos, por lo que para un robot de 6 eslabones la posicin y orientacin del eslabnfinal viene definida por:

1

iT

0 0 1 2 3 4 5

6 1 2 3 4 5 6T T T T T T T = ,

donde para el clculo de i , que tiene la forma siguiente:1 iT

1

cos cos sin sin sin cos

sin cos cos sin cos sin

0 sin cos

0 0 0 1

i i i i i i

i i i i i ii

i

i i

a

aT

d

=

i

i

i

se emplea el algoritmo de Denavit-Hartenbeng. Este algoritmo permite obtener los valores de

los parmetros ( ), , ,d a (parmetros de Denavit-Hartenberg) para cada una de lasarticulaciones.

I.2.2. El problema cinemtico inverso.El objetivo del problema cinemtico inverso consisteen encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot

[ ]1 2, , ,T

nq q q q= para que su extremo se posicione y oriente segn una determinada

localizacin espacial.

As como es posible abordar el problema cinemtico directo de una manerasistemtica a partir de la utilizacin de matrices de transformacin homogneas, eindependientemente de la configuracin del robot, no ocurre lo mismo con el problemacinemtico inverso. En este caso el procedimiento de obtencin de las ecuaciones esfuertemente dependiente de la configuracin del robot.

Se han desarrollado algunos procedimientos genricos susceptibles de serprogramados de modo que un computador pueda, a partir del conocimiento de la cinemticadel robot, obtener la n -upla de valores articulares que posicionan y orientan su extremo. Elinconveniente de estos procedimientos es que se trata de mtodos numricos iterativos, cuyavelocidad de convergencia e incluso su convergencia en s no est siempre garantizada. Noobstante, a pesar de estas dificultades, la mayor parte de los robots poseen cinemticas

relativamente simples que facilitan en cierta medida la resolucin del correspondienteproblema cinemtico inverso.

Los mtodos geomtricos normalmente permiten obtener los valores de las primerasvariables articulares, que son las que consiguen posicionar el robot (prescindiendo de laorientacin de su extremo). Para ello utilizan relaciones trigonomtricas y geomtricas sobrelos elementos del robot. Se suele recurrir a la resolucin de tringulos formados por loselementos y articulaciones del robot que, en ocasiones, dan lugar a un nmero infinito desoluciones.



6/11


II. Dinmica del robot

La dinmica se ocupa de la relacin entre las fuerzas que actan sobre un cuerpo y elmovimiento que en l se origina como resultado de las mismas. Por lo tanto, el modelodinmico de un robot tiene por objeto conocer la relacin entre el movimiento del robot y lasfuerzas aplicadas.

La obtencin de este modelo para estructuras de uno o dos grados de libertad noresulta excesivamente compleja, pero a medida que el nmero de grados de libertad aumentael planteamiento y obtencin del modelo dinmico se complica enormemente. Por estemotivo no siempre es posible obtener un modelo dinmico expresado de una forma cerrada,es decir, mediante una serie de ecuaciones, normalmente diferenciales de segundo orden,cuya integracin permita conocer qu movimiento surge al aplicar unas determinadas fuerzaso qu fuerzas hay que aplicar para obtener un movimiento determinado. El modelo dinmico

debe ser entonces resuelto de manera iterativa mediante la utilizacin de un procedimientonumrico.

El problema de la obtencin del modelo dinmico de un robot es, por lo tanto, uno delos aspectos ms complejos de la robtica, que lo ha llevado a ser obviado en numerosasocasiones. Sin embargo, el modelo dinmico es imprescindible para implementar tareas comola simulacin del movimiento del robot, el diseo y la evaluacin de la estructura mecnicadel robot, el dimensionamiento y la eleccin de los actuadores, y el diseo y la evaluacin delcontrol dinmico del robot.

La obtencin del modelo dinmico de un determinado mecanismo, y en particular deun robot, se basa fundamentalmente en el planteamiento del equilibrio de fuerzasestablecido en la segunda ley de Newton, o su equivalente para movimientos de rotacin, ladenominada ley de Euler. Del planteamiento del equilibrio de fuerzas y pares que intervienensobre el robot se obtienen los denominados modelos dinmicos directo e inverso, queconsisten en lo siguiente:

Modelo dinmico directo expresa la evolucin temporal de las coordenadasarticulares del robot en funcin de las fuerzas y pares que intervienen.

Modelo dinmico inversoexpresa las fuerzas y pares que intervienen en funcin dela evolucin de las coordenadas articuladas y sus derivadas.

El planteamiento del equilibrio de fuerzas en un robot real de 5 6 grados de libertades bastante complejo y debe tenerse en cuenta que, junto con las fuerzas de inercia ygravedad, aparecen fuerzas de Coriolis debidas al movimiento relativo existente entre los

distintos elementos, as como fuerzas centrpetas que dependen de la configuracininstantnea del manipulador.

Como planteamiento alternativo para la obtencin del modelo dinmico est laformulacin lagrangiana, basada en consideraciones energticas. Este planteamiento es mssistemtico y ms elegante desde el punto de vista matemtico que el anterior y, por lotanto, facilita enormemente la formulacin de un modelo tan complejo como el de un robot.Sin embargo, el coste computacional de la formulacin lagrangiana es muy superior al de laformulacin newtoniana, tal y como se ilustra en la tabla 1:



7/11


Lagrange-Euler Newton-Euler

Multiplicaciones nnnn3

160

3

739

3

512

3

128 234+++ 132 n

Sumas nnnn3

160

3

739

3

512

3

128 234+++ 111 n 4

Representacinde la cinemtica

Matrices homogneas 4x4Matrices de rotacin yvectores de posicin

Tabla 1. Comparacin del coste computacional asociadoa las formulaciones lagrangiana y newtoniana.

Es precisamente el gran coste computacional de la formulacin de Lagrange-Euler loque hace que en la prctica, donde la dinmica del robot debe ser resuelta en un tiemporazonablemente corto, se emplee la formulacin de Newton-Euler.

La ecuacin que establece el modelo dinmico inverso de un robot, dando los pares yfuerzas que deben proporcionar los actuadores para que las variables articulares sigan unadeterminada trayectoria q(t)es la siguiente:

( ) ( , ) ( ) vD q q H q q C q F q= + + + ,

dondeD(q)es la matriz de inercias, es la matriz que da cuenta de las aceleraciones

centrfuga y de Coriolis, C q es la matriz de gravedad y

( , )H q q

( )v

F es la matriz de rozamientoviscoso.

Se trata, por tanto, de una expresin no lineal, por lo que no es trivial obtener apartir de ella el modelo dinmico directo que proporciona la trayectoria seguida comoconsecuencia de la aplicacin de unos pares determinados .

III. Control cinemtico

El control cinemtico establece cules son las trayectorias que debe seguir cadaarticulacin del robot a lo largo del tiempo para lograr los objetivos fijados por el usuario(punto de destino, trayectoria cartesiana del efector final del robot, tiempo invertido por el

usuario, etc.). Estas trayectorias se seleccionarn atendiendo a las restricciones fsicaspropias de los accionamientos y a ciertos criterios de calidad en la trayectoria, como suavidaden los movimientos o precisin de la misma.

III.1. Funciones de control cinemtico.

La Figura 5 muestra de manera esquemtica el funcionamiento del controlcinemtico. Recibe como entradas los datos procedentes del programa del robot escrito porel usuario (punto de destino, precisin, tipo de trayectoria deseada, velocidad o tiempoinvertido, etc.) y, apoyndose en el modelo cinemtico del robot, establece las trayectorias



8/11


para cada articulacin como funciones del tiempo. Estas trayectorias deben ser muestreadas

con un perodo T a decidir, generndose en cada instante de tiempo kT un vector dereferencias articulares para los algoritmos de control dinmico.

Especificaciones

Punto finalTiempo de tareaPerfil de velocidadesPrecisin

Planificador detrayectorias

CinemticaLigadurasinversa

Trayectorias para las

articulaciones qi(KT)

ControlDinmico

Figura 5.Funcionamiento del control cinemtico.

III.2. Tipos de trayectorias.

Para realizar una tarea determinada, el robot debe moverse desde un punto inicialhasta un punto final. Este movimiento puede realizarse siguiendo un nmero infinito detrayectorias espaciales. De todas ellas hay algunas que, bien por su sencillez deimplementacin por parte del control cinemtica, bien por su utilidad y aplicacin en diversastareas, son las que incorporan en la prctica los robots comerciales. As, puede ocurrir que losrobots dispongan de trayectorias punto a punto, coordinadasy continuas.

Trayectorias punto a punto.En este tipo de trayectorias cada articulacin evoluciona desde

su posicin inicial a la final sin realizar consideracin alguna sobre el estado o evolucin delas dems articulaciones. Normalmente, cada actuador trata de llevar a su articulacin alpunto de destino en el menor tiempo posible, pudindose entonces distinguir dos casos:movimiento eje a eje y movimiento simultneo de ejes.

Trayectorias coordinadas o iscronas.Para evitar que algunos actuadores trabajen forzandosus velocidades y aceleraciones, teniendo que esperar despus la conclusin del movimientode la articulacin ms lenta, puede hacerse un clculo previo, averiguando cul es estaarticulacin y qu tiempo invertir. Se ralentizar entonces el movimiento del resto de losejes para que inviertan el mismo tiempo en su movimiento, acabando todos ellos



9/11


simultneamente. Se tiene as que todas las articulaciones se coordinan comenzando y

acabando su movimiento a la vez, adaptndose todas a la ms lenta.Trayectorias continuas. Cuando se pretende que la trayectoria que sigue el extremo delrobot sea conocida por el usuario (trayectoria en el espacio cartesiano o de la tarea), espreciso calcular de manera continua las trayectorias articulares.

IV. Control dinmico

El control cinemtico selecciona trayectorias que idealmente deber seguir el robotpara, teniendo en cuenta sus limitaciones, ajustarse lo mejor posible a las especificacionesdel movimiento dadas por el usuario. En la prctica, este ajuste del movimiento del robot alas especificaciones del usuario no ser del todo posible, pues las caractersticas dinmicas

del robot (inercias, rozamiento, holguras, etc.) impiden, en general, que las trayectorias realy deseada coincidan.

El control dinmico tiene como objetivo procurar que las trayectorias realmenteseguidas por el robot q(t) sean lo ms parecidas posible a las propuestas por el controlcinemtico como trayectorias deseadas qd(t). Para llevar a cabo esa tarea hace uso delconocimiento del modelo dinmico del robot y de las herramientas de anlisis y diseoaportadas por la teora del servocontrol (estabilidad de Lyapunov, control PID, controladaptativo, etc.).

El modelo dinmico de un robot es fuertemente no lineal, multivariable, acoplado yde parmetros variantes, por lo que, en general, su control es extremadamente complejo. Enla prctica se llevan a cabo ciertas simplificaciones, que resultan aceptables para un gran

nmero de los robots comerciales, las cuales facilitan el diseo del sistema de controlproporcionando unos resultados razonablemente buenos, aunque limitan en ciertassituaciones la calidad de sus prestaciones.

Una posibilidad para controlar el movimiento articular es considerar un modelo derobot compuesto por la superposicin de articulaciones totalmente independientes unas deotras, sin tener en cuenta la interaccin entre ellas, que sin duda existe y condiciona elmovimiento global. Por tanto, en esta situacin el modelo dinmico empleado esdirectamente el correspondiente al accionador de una articulacin. Este modo de control seconoce como control desacoplado o monoarticular. Su principal ventaja es su mayorsimplicidad de clculo y es habitual implementar controladores PID, controladores PID conprealimentacin y controladores PD con compensacin de gravedad. La principal desventajasurge en aquellas ocasiones en las que existe una gran influencia del movimiento de unaarticulacin sobre el de otras, y, por ende, sobre el movimiento global.

El control acoplado o multiarticular se basa en un modelo de robot en el que seconsidera el modelo dinmico global del mismo, es decir, se tiene en cuenta la influencia delos movimientos de las articulaciones entre s. Est claro que, desde el punto de vistaanaltico, este planteamiento resulta ms complejo. Las tcnicas de control utilizadas son lasbasadas en control PID y control por prealimentacin, ampliamente extendidas, utilizndosetambin en ocasiones la linealizacin por inversin del modelo. Tambin se emplean tcnicasde control ms potentes, como el control adaptativo.



10/11


V. Robots mviles

El desarrollo de robots mviles responde a la necesidad de extender el campo deaplicacin de la robtica, restringido en sus inicios al alcance de una estructura mecnicaanclada en uno de sus extremos. Se trata tambin de incrementar la autonoma limitandotodo lo posible la intervencin humana. Dicha autonoma se basa en el sistema de navegacinautomtica. En estos sistemas se incluyen tareas de planificacin, percepcin y control.

Existen numerosos mtodos de planificacin de caminos para robots mviles. Una vezrealizada la planificacin de la trayectoria, es necesario planificar movimientos concretos ycontrolar dichos movimientos para mantener al vehculo en la trayectoria planificada. Porotro lado, el sistema de percepcin de un robot mvil o vehculo autnomo tiene un tripleobjetivo: permitir una navegacin segura detectando y localizando obstculos y situacionespeligrosas en general, modelar el entorno construyendo un mapa o representacin de dicho

entorno, y estimar la posicin del vehculo de forma precisa.

V.1. Planificacin de trayectorias.

El problema bsico de la robtica mvil se podra resumir como encontrar la mejortrayectoria para desplazarse de un origen a un destino recorriendo la menor distancia, opasando por determinados puntos intermedios. Ante una direccin destino, el robot es capazde determinar el camino a seguir mediante el guiado planificado. Sin embargo, a lo largo desu recorrido, el robot puede encontrarse con obstculos que interrumpan su camino.

Estas circunstancias son advertidas por el robot gracias a su sistema sensorial y, comoresultado de estos eventos, el robot debe ser capaz de cambiar su conducta para evitar el

obstculo, o incluso replanificar su camino para llegar al destino, lo que se denomina guiadoreactivo. Para realizar esta tarea el robot puede estar dotado de una amplia variedad desensores que van desde los ms comunes, como los ultrasonidos, infrarrojos o lseres, a otrosms complejos o especficos para la tarea a realizar, como los tctiles, de luz, de sonido osistemas GPS.

El problema de la planificacin de caminos puede abordarse con aproximacionesclsicas, como los campos de potencial, o con aproximaciones ms modernas, como lastcnicas fuzzy.

El mtodo de campos de potencialse basa en considerar el movimiento en un campode fuerzas donde los obstculos generan fuerzas repulsoras y la posicin objetivo una fuerzaatractora. Este procedimiento presenta problemas cuando el robot encuentra obstculos en

forma de U, ya que queda atrapado en un mnimo de potencial, y tambin cuando lasposiciones de los obstculos no son conocidas.

Las tcnicas de control borroso o difuso, por su parte, se basan en aplicar la lgicaborrosa, que surge para representar magnitudes imprecisas o difusas. Estas tcnicas se hanaplicado a la robtica en sistemas en los que son dficilmente aplicables las tcnicas clsicas yen sistemas en los que no se conoce con exactitud el modelo. De hecho, la motivacin parautilizar esta teora en el control surge de la idea de modelar las imprecisiones en elconocimiento del comportamiento del sistema a travs de conjuntos borrosos y de reglasdefinidas de una manera vaga o poco precisa. Definiendo las variables del sistema como



11/11



variables lingsticas, de tal manera que los valores que puedan tomar son tambin trminos

lingsticos (modelados como conjuntos borrosos), y estableciendo las reglas en funcin dedichas variables, se puede establecer un mtodo general para el control de estos sistemas: elcontrol borroso. Frente a otros planteamientos, como las redes neuronales, el control borrosopermite realizar estudios de estabilidad de una manera relativamente sencilla, y por lo tantodefinir las condiciones en las cuales no se producir un mal funcionamiento del sistema.

Referencias

R.C. Arkin:Behaviour based robotics. MIT Press, 1997.

A. Barrientos, L.F. Pen, C. Balaguer, F. Aracil: Fundamentos de robtica. McGraw-Hill,1997.

J. Canny: The complexity of robot motion planning. MIT Press, 1988.J. Craig: Introduction to robotics, mechanics and control. Addison Wesley, 1985.

K.S. Fu, R.C. Gonzlez, C.S.G. Lee: Robtica: Control, deteccin, visin e inteligencia.McGraw-Hill, 1988.

A. Ollero: Robtica: Manipuladores y robots mviles. Marcombo, 2001.

R.P. Paul: Robot manipulators: Mathematics, programming and control. MIT Press, 1982.

M.W. Spong, M. Vidyasagar: Robot dynamics and control. John Wiley and Sons, 1989.

F. Torres, J. Pomares, P. Gil, S.T. Puente, F. Aracil:Robots y sistemas sensoriales. PrenticeHall, 2002.

Matematica

Robotica matematica

Documents

Transcript of Robotica matematica