PRODUCTO CARTESIANO Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B.

Simbólicamente se expresa así:

A x B = {(x, y) / x Î A Ù y Î B}.

En consecuencia:

(x, y) Î A x B Û x Î A Ù y Î B 

(x, y) Ï A x B Û x Ï A Ú y Ï B

Para entender la idea de producto cartesiano debemos saber que se trata de una operación entre dos conjuntos, de tal modo que se forma otro conjunto con

todos los pares ordenados posibles.

Por ejemplo, dado los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden, recibe el nombre de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por coma.

Ejemplo 2

Definidos los conjuntos :

A= {1,4,6}B= {2,3,5}

Obtenemos el producto cartesiano de A por B, colocando en una tabla los elementos del conjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos los pares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar se coloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical.

La enumeración de los elementos del conjunto de pares ordenados, sería el siguiente:

A x B= {(1,2),(1,3),(1,5),(4,2),(4,3),(4,5),(6,2),(6,3),(6,5)}

Representación Gráfica .

PROPIEDADESEl conjunto vacío actúa como el cero del producto cartesiano, pues no posee elementos para construir pares ordenados:

Un producto cartesiano donde algún factor sea el conjunto vacío es vacío. En particular:

El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo en general, salvo en casos muy especiales. Lo mismo ocurre con la propiedad asociativa.En general:

Probar que el producto cartesiano no es conmutativo

A={3}B={2}

A x B = {(3,2)}

A x B ≠ B x AB x A = {(2,3)}

Probar que el producto cartesiano no es asociativo

A = {7}B = {8}C = {5}

(A x B) x C ≠ A x (B x C)

A x B {(7,8)}(A x B) x C = {(7,8), 5}

Ahora hagamos :

B x C = {(8,5)} Así; A x (B x C)= {[7,(8,5) ])} Finalmente:

( A x B) x C ≠A x (B x C) 

Puesto que el producto cartesiano puede

representarse como una tabla o un plano cartesiano, es fácil

ver que el cardinal del conjunto producto es el

producto de los cardinales de cada factor:

El producto cartesiano de un número finito de

conjuntos finitos es finito a su vez. En particular, su

cardinal es el producto de los cardinales de cada

factor:

El producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos que incluya algún conjunto infinito es infinito a su vez.

EJEMPLOS

1) Exprese gráficamente el producto de los siguientes pares

ordenados:

A= [2,4] B= [-1,2 ]

  Soluciones

2) Sean :

A = {x / x  e N ^ 1 <= x < 4} B = {x / x e R ^ 1 <= x <= 3}. 

Representar A x B en el plano cartesiano. 

1) 2)

3) Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B

será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

  Soluciones:

3)

4) Sean: A = {x / x  e R ^ 1 < x  <=  3 } 

        B = {x / x e R ^ -2 <= x < 2 }. 

4)

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.

EJERCICIOS 1.- Muestre con un ejemplo que si A y B son conjuntos arbitrarios

entonces no es siempre cierto que A×B = B ×A. ¿Bajo qué condiciones es cierta esta igualdad?2.- Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de: A x B y B x A.  3.- El primer elemento de cada par ordenado de un producto cartesiano: Conteste (V) si es verdadero o (F) si es falso.

 a)Pertenece al segundo conjunto. ( )b)Pertenece al primer conjunto . ( )c)Puede pertenecer a cualquiera de los dos conjuntos . ( ) 4.- Realice el producto cartesiano de: y

5.- ¿Cuántas pares ordenados tendría el producto cartesiano? de F = (8,9,7,5) y G= (1,2,3,4,5) 

“No basta tener un buen ingenio, lo principal es aplicarlo bien” René Descartes.

RELACIONES Sea un ejemplo de la vida diaria:

A = {x /x es mujer} B = {x /x es hombre}A x B = {(x, y) / x es mujer ; y es hombre}

Análogamente: (María, Juan)

De todos los pares de A x B, sólo algunos cumplirán con este “vínculo” entre una mujer y un hombre. Se dice entonces que se tiene definida una relación entre las mujeres y los hombres, o sea entre A y B.

De este conjunto se diferencian algunos pares ordenados, por ejemplo:(Ana, Pedro) de forma que....”Ana es novia de Pedro”..... 

En este caso se indica que: Ana R Pedro ó que (A, P) e RMaría R Juan ó que (M, J) e R

Sin embargo el par (J, P) No e R.

De esta manera, es posible definir el concepto de relación “R” es una relación de A en B si y sólo si R es un subconjunto de A x B.

Notación:

1.- (a, b) e R indica que a e A está en relación con b e B por medio de R. Se indica con: aRb. (a, b) e R ó aRb.

2.- Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada.

Ejemplo:

Sea A = {1; 2; 3} , B = {2; 4}A x B = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (3, 2); (3, 4)}R1 = {(x, y) e A x B / x ³ y} = {(2, 2); (3, 2)}R2 = {(x, y) e A x B / x÷ y} = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4)}R3 = {(x, y) e A x B / y = x+1 } = {(1, 2); (3, 4)} 

REPRESENTACION GRAFICA.

Diagrama de Venn Sistema Cartesiano Sistema Matricial

Se llama Dominio de una relación, al conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación. Se indica con: Dom R ó DR

Dominio de una relación

Imagen de una relación Se llama Imagen de una relación, al conjunto de las segundas

componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación. Se indica con: Im R ó IR

Ejemplo:

El dominio e imagen para cada una de las relaciones definidas en el ejemplo anterior es:

Dom R1 = { 2; 3}Im R1 = {2}

Dom R2 = {1; 2}Im R2 = {2; 4}

Dom R3 = {1; 3}Im R3 = {2; 4}

EJEMPLOS

A={3,4,5} B={1,3,5,7}

El producto cartesiano de estos conjuntos es:

A x B={(3,1),(3,3),(3,5),(3,7),(4,1),(4,3),(4,7),(5,1),(5,3),(5,5),(5,7)}

Establecemos condiciones para relacionar pares de estos conjuntos. Se formarán subconjuntos con las características precisas siguientes:

Que a = b. De este modo (3,3) y (5,5) son dos pares ordenados que configuran una relación “R” de pares ordenados cuyos elementos son iguales y están incluidos en el producto A x B. Luego, R = {(3,3), (5,5)} es una relación de A en B.

A) Sean los conjuntos A y B

b) Sean A = {Pablo, Pedro, Luis} y B = {Peugeot, Chevrolet, Fiat, Renault} y R sea definida del siguiente modo

aRb = “a prefiere marca b”

Entonces la enumeración de los elementos podría ser R = {(Pablo, Fiat), (Pedro, Peugeot), (Luis, Renault)}

c) Sea R definida en N por medio de la condición:

a R n ↔ a =  b²

Entonces R = {(1,1), (4,2), (9,3), (16,4)…..} Es un conjunto infinito, por lo tanto conviene escribirlo por comprensión o propiedad {(a,b) e N x N / a= b²} 

COMPOSICION DE LAS RELACIONESSean R: X ↔ Y y S :Y ↔ Z dos relaciones. La composición de R y S, que se deno ta como R o S, contiene los pares ( x, z ) si y sólo si existe un objeto intermedio y tal que ( x, y ) está en R y ( y, z )está en S. 

Por consiguiente,  x(R oS)z =Ǝy (xRy a yRz) 

Esta definición implica que (x, ) está en la composición de las relaciones hermana y padre, si existe un individuo y tal que x es hermana de y e y es un padre de z. Esto es exactamente la relación tía. De esto se sigue, que la relación tía es la composición de la relación hermana y padre como hemos afirmado. En general, para determinar si (x, z) está en la relación R o S, se necesita siempre un intermediario y la hermana, en el caso de la relación tía, tal que sean válidas xRy e yRz. 

EJEMPLO:

Se tienen cinco personas A, B, C, D y E. C es dueño del camión llamadoMachakito y E es dueño del camión llamado Imperioso. A es amigo de B y D, B es amigo de C y C es amigo de E. Sea R la relación "x es amigo de y" y sea S la relación "y es dueño del camión z".“ Calcular la relación R o S. SOLUCIÓN:

Si R es la relación "x tiene a y como amigo" y si S es la relación "y  es el dueño del camión z " entonces el par ( x, z ) está en R o S si existe un intermediario y tal que x tiene a y como amigo e y es dueño del camión z. Las relaciones R y S están dadas por 

R={ (A, B), (A, D), (B, C), (C, E)} 

 S = {(C, Machakito), (E, Imperioso)} 

Ahora bien:  R o S - {(B, Machakito), (C, Imperioso)} 

B tiene acceso a un camión a través del intermediario C, que es dueño de Machakito y C tiene acceso a un camión a través de intermediario £, que es dueño de Imperioso. 

La composición de dos relaciones se puede representar mediante un grafo. Sean R : X ↔ Y y S : Y ↔ Z. Ahora se dibujan todos los nodos de X a la izquierda, todos los nodos de Z a la derecha, y todos los nodos del conjunto intermediario Y en el medio. Asumimos que los miembros de X van desde xl

hasta x4,, los miembros de Y van desde y1 hasta y4, y los miembros de Z van desde z1 hasta z5. De acuerdo con lo que hemos dicho antes, el par (x i, z k)está en R o S si y sólo si existe un intermediario y j. tal que hay un arco que va, desde xj. hasta yi y desde éste a z k. Por ejemplo, (x1, z4) está en R o S porque existe un arco desde x1 hasta y2, y desde éste existe un arco a z4. Por otra parte (x1, z3) no está en R o 5, porque no existe y j a través del cual x1pueda acceder a z3. A continuación se enumeran sistemáticamente todos los pares

de R o S: 

(x1, z2 ) € S o R a través del intermediario y1 

(x1, z1) € S o R a través del intermediario y2 

(x1, z4) € S o R a través del intermediario y2 

(x4, z3) € S o R a través del intermediario y3 

La relación resultante entonces es 

R o S = {(x1, z2), (x1, z2), (x1, z4), (x4, z3)} 

Ejemplo

Sean y

Determinemos y

Solución

Ejercicios

1) Sean A = { x N / 1 x 5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R A x B mediante (x,y) R x + y 5.

i) Definir R por extensión. ii) Representar A x B y R. iii) Determinar R-1.

2) se consideran a = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; b={ 1; 4; 6; 16 } ; c = {2 ;3 ;8 ;10} y las relaciones r a x b ; s b x c,

definidas por : (x,y) r y = x2 y (y,z) s z = y/2

se pide : i) determinar r y s por extensión.

ii) definir la composición s º r a x c por extensión.iii)determinar los dominios e imágenes de las tres

relaciones.