REVISTA DE ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Volumen 3 Y … · Revista de Administraci´on, Finanzas y...

Volumen 3 Número 2 Julio-Diciembre

2009

REVISTA DE

ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Y ECONOMÍA

(Journal of Management, Finance and Economics)

Artículos

Director

Directores Adjuntos

Editora de Producción

Comité Editorial

José Antonio Núnez Mora

Carlos Manuel Urzúa Macías

Enrique R. Cásares Gil

Martha F. Carrillo Urbina

Alberto Hernández Baqueiro

Edgar Ortiz Calisto

Elvio Accinelli Gamba

José Luis de la Cruz Gallegos

José Carlos Ramírez Sánchez

Anabella Dávila Martínez

Frank Dellman

Raúl Moncarz

Víctor Manuel García de la Vega y Antonio Ruíz Porras

Modelos Estocásticos para el Precio Spot y del Futuro de

Commodities con Alta Volatilidad y Reversión a la Media

Nicolás Chaves Monroy y Alejandro Segundo Valdés

Efectos de la Negociación Asincrónica en el Mercado de

Acciones de México

Guillermo Benavides Perales

Price Volatility Forecasts for Agricultural Commodities:

An Application of Volatility Models, Option Implieds and

Composite Approaches for Future Prices of Corn and Wheat

Francisco García Castillo

Una Contribución a la Valuación de los Synthetic CDO

Humberto Valencia Herrera y Eduardo Enrique Gándara Martínez

Relación entre Incertidumbre e Inversión en México, enfoque

de opciones Reales

Ana María Gil Lafuente y Mauricio Ortigosa Hernández

El Valor del Cliente en Relaciones Contractuales con Estimaciones

Inciertas

TECNOLÓGICO DE MONTERREY

CAMPUS CIUDAD DE MÉXICO

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Comité Editorial

Revista de Administración, Finanzas y Economía(Journal of Management, Finance and Economics)

José Antonio Núnez Mora Tecnológico de Monterrey

Carlos Manuel Urzúa Macías Tecnológico de MonterreyEnrique R. Cásares Gil Universidad Autónoma Metropolitana

Martha F. Carrillo Urbina Tecnológico de Monterrey

Alberto Hernández Baqueiro Tecnológico de MonterreyEdgar Ortiz Calisto Universidad Nacional Autónoma de MéxicoElvio Accinelli Gamba Facultad de Economía de la UASLPJosé Luis de la Cruz GallegosJosé Carlos Ramírez Sánchez

Tecnológico de MonterreyUniversidad Anáhuac

Anabella Dávila Martínez Tecnológico de MonterreyFrank Dellman Universidad de Münster, AlemaniaRaúl Moncarz Universidad Internacional de Florida, USA

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Revista de Administración, Finanzas y Economía

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Artıculos

Pagina

Vıctor Manuel Garcıa de la Vega y Antonio Ruız PorrasModelos Estocasticos para el Precio Spot y del Futuro deCommodities con Alta Volatilidad y Reversion a la Media..........................1

Nicolas Chaves Monroy y Alejandro Segundo ValdesEfectos de la Negociacion Asincronica en el Mercado deAcciones de Mexico ....................................................................................25

Guillermo Benavides PeralesPrice Volatility Forecasts for Agricultural Commodities:An Application of Volatility Models, Option Implieds andComposite Approaches for Future Prices of Corn and Wheat.....................40

Francisco Garcıa CastilloUna Contribucion a la Valuacion de los Synthetic CDO.............................60

Humberto Valencia Herrera y Eduardo Enrique Gandara MartınezRelacion entre Incertidumbre e Inversion en Mexico, enfoquede opciones Reales......................................................................................74

Ana Marıa Gil Lafuente y Mauricio Ortigosa HernandezEl Valor del Cliente en Relaciones Contractuales conEstimaciones Inciertas................................................................................91

Revista de Administracion, Finanzas y Economıa (Journal of Management, Finance and

Economics), vol. 3, num. 2 (2009), pp. 1-24.

Modelos Estocasticos para el Precio Spot y del

Futuro de Commodities con Alta Volatilidady Reversion a la Media

Vıctor Manuel Garcıa de la Vega∗

Antonio Ruiz Porras∗∗

Recibido 14 de mayo de 2009, Aceptado 27 de julio de 2009

Resumen

La valuacion de derivados de commodities (materias primas) requiere modelar elsubyacente con reversion a la media y alta volatilidad. Desarrollamos formulaspara obtener precio spot del commodity, del futuro, y el valor de “call” europeosobre el spot y sobre el futuro, en mundo real y en mundo neutral al riesgo,utilizando modelo de un factor.

Abstract

The pricing of commodity derivatives requires that the underlying asset bemodelled with mean reversion and high volatility. We develop closed formulasto price the spot of the commodity, its future, and to price a call option on thespot and on the commodity future, in the real world and under risk neutrality,by using a 1 factor model. Keywords: real world, risk-neutral world, meanreversion.

Clasificacion JEL: G12, G13.

Palabras clave: Mundo Real, Mundo Neutral al Riesgo, Reversion a la Media.

∗ Director General de FINALITICA, S.A. de C.V. Av. Tecamachalco 159, piso 1 , Col.Reforma Social, Mexico, D.F. 11650, Mexico. Tel: (52-55) 5202 - 1834,

E-mail: [email protected]∗∗ Profesor-Investigador de la Universidad de Guadalajara, CUCEA. Periferico Norte 799,

Modulo M, 1er Nivel, Nucleo Universitario los Belenes, C.P. 45100, Zapopan, Jalisco, Mexico.

Tel: (52-33) 3770-3300, Ext. 5291, E-mail: [email protected]

2 Revista de Administracion, Finanzas y Economıa

1. Introduccion

Los precios de los commodities (materias primas) se comportan de manera es-tocastica, y modelarlos de esta manera es muy importante para poder valuarproductos financieros derivados cuyo activo subyacente es un commodity. Hacetiempo se asumıa que para valuar derivados de commodities se podrıan utilizarlos mismos supuestos que para valuar opciones sobre acciones. Sin embargo,se ha demostrado que los precios de los commodities presentan reversion a lamedia y altas volatilidades, caracterısticas que no presentan los precios de lasacciones. En este artıculo desarrollaremos un modelo de 1 factor de riesgo(variable de estado) ya que modelaremos el precio spot del commodity, in-corporando reversion a la media y volatilidades que pueden ser funciones deltiempo (deterministas), lo cual permite incorporar una amplia gama de formasfuncionales para la volatilidad. Adicionalmente, una de las contribuciones masimportantes de este trabajo es que los desarrollos matematicos se haran en elMundo Real (MR) y en el Mundo Neutral al Riesgo (MNR). El MNR incorporala aversion al riesgo que tiene un agente representativo del mercado (un inver-sionista). Adicionalmente, el MNR es el que nos permitira valuar derivadossobre commodities.

Como puede observarse en la Tabla 1, los commodities son en su mayorıaproductos que son utilizados como materias primas en procesos productivos.Por tanto, sus precios son funcion de la oferta y demanda, y es bien sabido queen el largo plazo, estos precios tienden a regresar a niveles promedio historicos,lo que se conoce como reversion a la media. Algunos autores como Brennan(1991), Gibson y Schwartz (1990), Cortazar y Schwartz (1994), Bessembinder,Coughenour, Seguin y Smoller (1995), y Ross (1995), ya han tomado en cuentala reversion a la media en los precios de los commodities.

Otra caracterıstica muy importante de los commodities es su alta volati-lidad. Segun la Futures Industry Association (2009), observese la Tabla 1 paraun comparativo de las volatilidades (anualizadas) en 2007 y 2008 de diferentescommodities agrıcolas (trigo, maız, soya), energeticos (gas natural, petroleo) ymetalicos (cobre, oro). Podemos observar que todos los commodities presen-taron una mayor volatilidad en el ano 2008 que en 2007. La volatilidad delmercado accionario (no mostrada en la Tabla 1) en 2007 se reporto en 15.2% yfue menor que la de cualquiera de estos commodities, y en 2008 fue de 35.6%,solamente superando a la volatilidad del oro. La mayorıa de los trabajos sobrecommodities han modelado la volatilidad como constante. En Jaillet, Ronn yTompaidis (2004) se modela el precio del gas natural en el MR (no se desarrollael MNR) con 1 factor y usando reversion a la media y volatilidad constante. Ennuestro artıculo hemos desarrollado nuestro modelo basado en el modelo de es-tos autores, ya que nos ha permitido incorporar volatilidad determinista, nos hapermitido incluir el desarrollo en el MNR, y es un modelo que no permite preciosspot negativos. Cabe notar que Geman y Nguyen (2003) han demostrado quela volatilidad de los commodities es variable. Eydeland y Geman (1998) pro-pusieron un modelo de 2 factores con volatilidad estocastica para el gas naturaly la electricidad. Desafortunadamente, este modelo resulta matematicamentemuy complejo ya que la volatilidad sigue procesos de Bessel. Por esta razon,para mantener los desarrollos matematicos accesibles y no tener que modelar2 factores, en este artıculo hemos propuesto nuestro modelo de 1 factor convolatilidad determinista.

Modelos Estocasticos para el Precio Spot 3

Tabla 1 Volatilidades de Commodities

Commodity 2007 2008Trigo 33.4% 50.5%

Maız 31.7% 41.4%

Soya 22.3% 42.8%

Gas Natural 45.1% 45.4%

Petroleo 29.2% 52.6%

Cobre 32.4% 42.1%Oro 16.6% 29.3%

El resto de este artıculo esta organizado de la siguiente manera. En laseccion 2 desarrollamos las formulas cerradas para el precio spot de cualquiercommodity, para la media y varianza condicional del spot, para el precio delfuturo, y del precio del “call” (opcion de compra) europeo sobre el precio spotdel commodity, en el MR. En la seccion 3 presentaremos las correspondientesformulas en el MNR, que es el mundo que nos permitira valuar correctamentederivados sobre commodities. Demostraremos que las formulas cerradas delprecio spot y del futuro en el MNR son identicas a las formulas del MR, exceptopor la aparicion de un termino constante. La seccion 4 concluye.

2. Valuacion en el Mundo Real

2.1 Proceso Propuesto para Obtener Precio Spot

El proceso propuesto para modelar el precio spot del gas natural esta basadoen el modelo de Jaillet, Ronn, y Tompaidis (2004). La diferencia fundamentales que estos autores modelaron su proceso en el MR y asumiendo volatilidadconstante, y en este artıculo desarrollamos el modelo tanto en el MR comoen el MNR, y asumiendo volatilidad determinista (dependiente del tiempo),lo cual nos permite incorporar un gama amplia de formas funcionales para lavolatilidad, sin necesidad de desarrollar un modelo de 2 factores con volatilidadestocastica, lo cual complica significativamente los desarrollos matematicos.

Por tanto, el proceso propuesto para modelar el precio spot del commodity,St, es el siguiente,

St = F (t)eYt (1)

donde St es el precio spot del commodity en cuestion, F (t) es el componentedeterminıstico, y Yt corresponde a la parte estocastica, misma que esta repre-sentada por el proceso,

dYt = α(0 − Yt)dt + σ(t)dWt = −αYtdt + σ(t)dWt (2)

La ecuacion (2) es un proceso con reversion a la media tipo Vasicek (Orn-stein - Uhlenbeck), cuyo valor de reversion a la media de largo plazo es cero,y con velocidad de reversion α > 0. Intuitivamente, la expresion (2) lo quesugiere es que si Yt es menor a cero, el cambio en el valor esperado de Yt serıapositivo, en otras palabras, dYt serıa positivo, y por tanto, Yt tenderıa a subir


hacia cero (su valor de largo plazo). Por el contrario, si Yt es mayor a cero, elcambio en el valor esperado de Yt serıa negativo, en otras palabras, dYt serıanegativo, y por tanto, Yt tenderıa a bajar hacia cero (su valor de largo plazo).Notemos de la ecuacion (1) que si Yt tiende a cero, St tiende a F (t).

Adicionalmente, un proceso de Ornstein-Uhlenbeck es el proceso de re-version a la media mas sencillo que existe de resolver matematicamente, ya quesu solucion es similar a la solucion de una ecuacion diferencial no homogeneade primer orden. La volatilidad determinista (dependiente del tiempo), estadada por σ(t), y dWt es el incremento de un movimiento browniano estandar.La funcion estocastica Yt describe la desviacion de St del nivel de equilibriodeterminista (dependiente del tiempo) F (t).1

Para obtener la solucion de St, utilizamos el lema de Ito,

dSt =

(

∂St

∂t− αYt

∂St

∂Yt

+1

2σ2(t)

∂2St

∂Y 2t

)

dt + σ(t)∂St

∂Yt

dWt

= St

(

dlnF (t)

dt− αlnSt + αlnF (t) +

1

2σ2(t)

)

dt + σ(t)StdWt (3)

asumiendo que Yt = lnSt − lnF (t), que se obtuvo de despejar Yt de la ecuacion(1), y que,

dlnF (t)

dt=

1

F (t)

∂F (t)

∂t

Si asumimos que ρ(t) = 1α

(

dlnF (t)dt

+ 12σ2(t)

)

+ lnF (t), la expresion (3)

queda ası,

dSt = α(ρ(t) − lnSt)Stdt + σ(t)StdWt (4)

Hacemos el siguiente cambio de variable rt = lnSt (notese que rt no es latasa de interes instantanea libre de riesgo, es simplemente una variable auxiliar),para poder aplicar el lema de Ito a la ecuacion (4),

drt = dlnSt =

(

∂lnSt

∂t+ α(ρ(t) − lnSt)St

∂lnSt

∂St

+1

2σ2(t)S2

t

∂2lnSt

∂S2t

)

dt

+σ(t)St

∂lnSt

∂St

dWt (5)

= [α(ρ(t) − rt) −1

2σ2(t)]dt + σ(t)dWt

1 Cabe notar que la forma funcional de la ecuacion (1) evita que se generen precios nega-

tivos del commodity, y nos permite utilizar una amplia gama de funciones para F(t), misma

que incluye los efectos de estacionalidad presentes en los precios de los commodities.


Para facilitar el desarrollo matematico para encontrar la solucion de St,

usamos β(t) = αρ(t) − 12σ2(t) = dlnF (t)

dt+ αlnF (t).

Por tanto, obtenemos,

drt = β(t)dt − αrtdt + σ(t)dWt

= [β(t) − αrt]dt + σ(t)dWt

Es importante notar que esta ultima expresion es el modelo de Vasicek, ypara proceder a su desarrollo matematico necesitamos transformar esta ex-presion a un proceso de Ornstein-Uhlenbeck, para lo cual, definimosmt = αrt − β(t) = −[β(t) − αrt].

Por tanto, dmt = αdrt − dβ(t), de donde obtenemos,

drt =1

α[dmt + dβ(t)] = −mtdt + σ(t)dWt

Despejando dmt obtenemos,

dmt = −(αmt + β′(t))dt + ασ(t)dWt (6)

Notese como la expresion drt = [β(t) −αrt]dt + σ(t)dWt, que es el modelode Vasicek, se transformo a la expresion (6), misma que se conoce como elproceso de Ornstein-Uhlenbeck.

La solucion a (6) es similar a la solucion de una ecuacion diferencial nohomogenea de primer orden. Por tanto, procedemos a hacer el siguiente cambiode variable, Xt = mte

αt, y aplicamos el lema de Ito a Xt utilizando el procesoestocastico de la ecuacion (6), a saber,

dXt = d(mteαt) =

(

∂Xt

∂t− (αmt + β′(t))

∂Xt

∂mt

+1

2α2σ2(t)

∂2Xt

∂m2t

)

dt

+ασ(t)∂Xt

∂mt

dWt

= −eαtdβ(t) + ασ(t)eαtdWt (7)

Integramos la ecuacion (7),

∫ t+h

t

d(mseαs) = −

∫ t+h

t

eαsdβ(s) +

∫ t+h

t

ασ(s)eαsdWs

= mt+heα(t+h) − mteαt

Despejando mt+h de la ecuacion anterior y recordando que mt = αrt−β(t),obtenemos,

mt+h = mte−αh −

∫ t+h

t

e−α(t+h−s)dβ(s) + α

∫ t+h

t

σ(s)e−α(t+h−s)dWs


= αrt+h − β(t + h)

Despejando rt+h de la ecuacion anterior, obtenemos,

rt+h = rte−αh +

∫ t+h

t


+1

α

[

β(t + h) − β(t)e−αh −∫ t+h

t

e−α(t+h−s)dβ(s)

]

= rte−αh +

∫ t+h

t

β(s)e−α(t+h−s)ds +

∫ t+h

t


= rte−αh + rt+h − rte

−αh +

∫ t+h

t

σ(s)e−α(t+h−s)dWs (8)

En consecuencia,

rt+h − rt+h = (rt − rt)e−αh +

∫ t+h

t


= lnSt+h − lnFt+h = (lnSt − lnFt)e−αh +

∫ t+h

t


Recordemos que en esta ultima expresion hemos utilizado que rt = lnSt yque rt = lnFt.

Despejando St+h de la ecuacion anterior encontramos que,

St+h = Ft+h

(

St

Ft

)e−αh

e

∫

t+h

tσ(s)e−α(t+h−s)dWs (9)

La integral en el exponente de la ecuacion (9) es estocastica. El hecho deque el incremento dWs siga una distribucion de probabilidad normal (dWs ∼N(0, ds)), nos indica que la integral estocastica tambien sigue una distribucionde probabilidad normal. Esto a su vez hara posible obtener una representacionmas explıcita de St+h. Empezamos por notar que esta integral estocastica esuna variable aleatoria que definimos ası,

X =

∫ t+h

t


Asimismo, definimos,

A(t + h, t) = Ft+h

(

St

Ft

)e−αh


Por tanto, la ecuacion (9) se puede reescribir de la siguiente manera,dandonos una representacion explıcita del precio spot del commodity,

St+h = A(t + h, t)eX (10)

Observemos de la ecuacion (10) que el precio spot del commodity St+h esuna variable aleatoria, lo cual nos permitira calcular su media condicional y suvarianza condicional haciendo uso de la funcion generatriz de momentos de ladistribucion de probabilidad normal, para lo cual primero deberemos calcularla esperanza y la varianza de X.

E(X) = E

[

∫ t+h

t


]

= 0

V ar(X) = V ar

[

∫ t+h

t


]

=

∫ t+h

t

σ2(s)e−2α(t+h−s)ds = v(t + h, t)

Como resultado, entonces sabemos que X ∼ N(0, v(t + h, t)).Para facilitar los calculos posteriores, asumimos que F (t), que es el compo-

nente que modela la estacionalidad presente en los precios de los commodities,y que se incluye en la ecuacion (1), y que σ(t), que es la volatilidad deterministadel proceso estocastico del precio spot del commodity, y que se incluye en laecuacion (2), son constantes, en otras palabras, asumimos que

F (t) ≡ F = constante

σ(t) ≡ σ = constante

y ası recalculamos A(t + h, t) y v(t + h, t)

A(t + h, t) = Ft+h

(

St

Ft

)e−αh

= F

(

St

F

)e−αh

= FSe−αh

t F−e−αh

= Se−αh

t F 1−e−αh

(11)

v(t + h, t) =

∫ t+h

t

σ2(s)e−2α(t+h−s)ds


= σ2e−2α(t+h)

∫ t+h

t

e2αsds

=σ2

2α(1 − e−2αh) = V ar(X) = v (12)

Por tanto, sustituyendo la expresion (11) en la ecuacion (10) obtenemos,

St+h = A(t + h, t)eX = Se−αh

t F 1−e−αh

eX (13)

donde sabemos que,

X ∼ N(0, v(t + h, t))

La ecuacion (13) es la formula cerrada para obtener el precio spot delcommodity en cuestion St+h en el mundo real. Notemos de la expresion (13)que para obtener el precio spot del commodity del perıodo de tiempo siguienteSt+h, debemos utilizar el precio spot del perıodo de tiempo anterior St, y asısucesivamente. Adicionalmente, no perdamos de vista que la varianza de lavariable aleatoria X se ha vuelto constante segun la expresion (12). Observemosque la varianza v(t + h, t) dejo de depender del tiempo porque hemos asumidoque la volatilidad determinista σ(t) es constante y porque el incremento en eltiempo h es constante.

2.2 Media Condicional y Varianza Condicional de St

La formula explıcita de la esperanza condicional de St+h se utilizara paraobtener la formula cerrada del precio del futuro del commodity en la seccion2.3 de este artıculo. Haciendo uso de la funcion generatriz de momentos de ladistribucion de probabilidad normal, en otras palabras, sabiendo que E[eX ] =

eE(X)+ 12V ar(X), y recordando las expresiones (11) y (12), la esperanza condi-

cional de St+h esta dada por,

E[St+h | St] = Se−αh

t F 1−e−αh

e12v (14)

La varianza condicional de St+h esta dada por,

V ar[St+h | St] =(

Se−αh

t F 1−e−αh)2

[e2v − ev] (15)

2.3 Precio del Futuro (o Forward) del Commodity

Asumiendo que la tasa de interes libre de riesgo instantanea r es constante, losprecios forward son iguales a los precios de los futuros, F(St, t, t + h).

El valor de un contrato futuro o forward se define ası,

Vt = [F(St, t, t + h) − K]e−rh = F(St, t, t + h)e−rh − Ke−rh

donde K es el precio de ejercicio del contrato futuro.


Tambien se define como esperanza condicional, ası,

Vt = E[St+h − K | St]e−rh = E[St+h | St]e

−rh − Ke−rh

donde St+h es el precio futuro del spot del commodity.Igualando ambas expresiones de Vt, obtenemos,

F(St, t, t + h)e−rh − Ke−rh = E[St+h | St]e−rh − Ke−rh

Por tanto,

F(St, t, t + h) = E[St+h | St] = A(t + h, t)e12v(t+h,t)

= Se−αh

t F 1−e−αh

e12v(t+h,t) (16)

En la ecuacion (16) hemos demostrado que el precio del futuro del commo-dity es igual a la esperanza condicional del precio futuro del spot del commodity.Esta ecuacion valida la hipotesis de eficiencia en el mercado, lo cual significa quees imposible obtener ganancias sin riesgo (arbitraje) en el mercado de los spoty futuros de commodities. Si la relacion en (16) tuviera signo de desigualdad enlugar de igualdad, los especuladores podrıan comprar el activo (spot o futuro)barato y vender el activo caro, obteniendo una utilidad libre de riesgo. Estono podrıa durar mucho tiempo y los precios del spot y del futuro tenderıana igualarse y cumplir la ecuacion (16). En otras palabras, esta expresion nosindica que el precio del futuro es un estimador insesgado del precio esperadodel spot en el futuro, o que podemos predecir correctamente el precio spot enel futuro utilizando el mercado de los futuros.

2.4 Calculo del Precio del Call Europeo sobre el Precio Spot delCommodity

Utilizando la metodologıa de Black & Scholes (1973), a continuacion desarro-llamos una formula cerrada para valuar una opcion europea de compra (“call”)sobre el precio spot del commodity.

Sabemos que por definicion, el precio de un call europeo se calcula de lasiguiente manera,

c(St, t, t + h) = e−rhE[max(St+h − K, 0) | St]

donde, K es el precio de ejercicio y se asume constante, r es la tasa de in-teres instantanea libre de riesgo y se asume constante, y St+h esta dado por laecuacion (13).

c(St, t, t + h) = e−rhE[max(Aex − K, 0) | St]

= Ae−rhE[max(ex − K

A, 0) | St]

= Ae−rh

∫

∞

ln K

A

ex 1√2πv

e−12

x2

v dx− Ae−rh K

A

∫

∞

ln K

A

1√2πv

e−12

x2

v dx


= I1 − I2 (17)

Cabe notar que los lımites de integracion de arriba se obtuvieron ası,

ex − K

A> 0 ⇒ ex >

K

A⇒ x > ln

K

A

Ahora resolvemos I1 e I2, de la siguiente manera,

I2 = Ae−rh K

A

∫

∞

ln K

A

1√2πv

e−12

x2

v dx

= Ke−rh

∫ d2

−∞

1√2πv

e−12

x2

v dx

= Ke−rhN(d2) (18)

donde hemos utilizado las siguientes expresiones,

x > lnK

A⇒ −x < −ln

K

A⇒ −x < ln

A

K

⇒ −∞ < x < lnA

K, d2 = ln

A

K

I1 = Ae−rh

∫

∞

ln K

A

ex 1√2πv

e−12

x2

v dx

= Ae−rh

∫

x−v>ln K

A−v

ex−v+v 1√2πv

e−12

x2

v dx

Hacemos el siguiente cambio de variable, u = x − v, por tanto, du = dx,x = u + v, ademas,

x − v > lnK

A− v ⇒ u > ln

K

A− v ⇒ −u < −ln

K

A+ v

⇒ −u < lnA

K+ v ⇒ −∞ < u < ln

A

K+ v,

d1 = lnA

K+ v

Entonces,

I1 = Ae−rh

∫

u>ln K

A−v

eu+v 1√2πv

e−12

(u+v)2

v du

= Ae−rh

∫ ln A

K+v

−∞

eu+v− 12

u2+2uv+v

2

v

1√2πv

du


= Ae−rhe12v

∫ d1

−∞

e−12

u2

v

1√2πv

du

= Ae−rhe12vN(d1) (19)

Como consecuencia de estos calculos, finalmente obtenemos la formula ce-rrada para valuar un call europeo cuyo activo subyacente es el precio spot delcommodity modelado con un factor con reversion a la media,

c(St, t, t + h) = I1 − I2

= Ae12 v−rhN(d1) − Ke−rhN(d2) (20)

con,

d1 = lnA

K+ v (21)

d2 = lnA

K(22)

donde debemos tomar en cuenta que,

N(y) =

∫ y

−∞

1√2πb

e−(x−a)2

2b dx

es la distribucion normal acumulada con media a = 0 y varianza b = v.

3. Valuacion Neutral al Riesgo

3.1 Proceso Propuesto para Obtener Precio Spot

Recordemos que la ecuacion (1), dada por St = F (t)eYt , es la expresion quehemos utilizado para modelar el precio spot del commodity. La ecuacion (2),misma que hemos repetido abajo, es el proceso seguido por Yt en el Mundo Real(MR), y ademas es una variable de estado que no representa ningun instrumentofinanciero que cotice en los mercados. El proceso seguido por Yt es un procesoestocastico con reversion a la media tipo Vasicek (Ornstein-Uhlenbeck), cuyovalor de reversion a la media de largo plazo es cero, y con velocidad de reversionα > 0. La volatilidad determinista (dependiente del tiempo), esta dada porσ(t), y dWt es el incremento de un movimiento browniano estandar. La funcionestocastica Yt describe la desviacion de St del nivel de equilibrio determinista(dependiente del tiempo) F (t). Cabe notar que F (t) incluye los efectos deestacionalidad presentes en los precios de los commodities.

La teorıa de valuacion de derivados originada en la metodologıa de Black& Scholes (1973), dice que debemos utilizar argumentos de no arbitraje paraencontrar el precio del derivado en el Mundo Neutral al Riesgo (MNR). Adi-cionalmente, Cox y Ross (1976), y Harrison y Kreps (1979), profundizaron enla metodologıa para valuar derivados bajo neutralidad al riesgo. Por tanto,


tecnicamente, debemos transformar la ecuacion (2) del MR al MNR, y ası po-dremos valuar correctamente cualquier derivado dependiente de St, como elvalor esperado (bajo el MNR) de su funcion de pago, descontado al presente ala tasa de interes libre de riesgo r.

Partimos de la ecuacion (2), la cual esta representada en el MR, y mismaque repetimos aquı,

dYt = −αYtdt + σ(t)dWt

Aun cuando Yt sea una variable de estado que no cotice en los mercados, pode-mos construir un derivado que tenga como subyacente a Yt, en otras palabras,construimos una opcion de compra o “call”, c = c(Yt, t), y utilizando el lemade Ito, obtenemos,

dc =

(

∂c

∂t− αYt

∂c

∂Yt

+1

2σ2(t)

∂2c

∂Y 2t

)

dt + σ(t)∂c

∂Yt

dWt (23)

Otra manera de expresar dc que nos ayudara en los calculos posteriores es,

dc = µccdt + σccdWt (24)

Por tanto, de las ecuaciones (23) y (24) podemos obtener las siguientesequivalencias,

µc =1

c

(

∂c

∂t− αYt

∂c

∂Yt

+1

2σ2(t)

∂2c

∂Y 2t

)

(25)

y

σc =1

cσ(t)

∂c

∂Yt

(26)

Siguiendo los argumentos de no arbitraje, debemos formar un portafo-lio con dos activos para poder eliminar dWt, que es el unico factor de riesgopresente en el portafolio. Debemos construir un portafolio con 2 activos, loscuales seran 2 opciones de compra, c1 = c1(Yt, t), y c2 = c2(Yt, t). Asimismo,debemos escoger el numero de unidades que tendremos de cada activo en elportafolio. Hemos llamado θ1 al numero de unidades que tendremos del activoc1 = c1(Yt, t), y hemos llamado θ2 al numero de unidades que tendremos delactivo c2 = c2(Yt, t) en el portafolio. El valor actual del portafolio esta dadopor Πt. En otras palabras,

Πt = θ1c1 + θ2c2

Por tanto, el cambio en el valor del portafolio durante el instante dt, debido afluctuaciones del mercado, esta dado por,

dΠt = θ1dc1 + θ2dc2

= θ1(µ1c1dt + σ1(t)c1dWt) + θ2(µ2c2dt + σ2(t)c2dWt)

= (θ1µ1c1 + θ2µ2c2)dt + (θ1σ1(t)c1 + θ2σ2(t)c2)dWt


donde hemos definido que

dc1 = µ1c1dt + σ1(t)c1dWt

y que

dc2 = µ2c2dt + σ2(t)c2dWt

Para poder eliminar el riesgo de mercado de nuestro portafolio Πt, debemoseliminar el factor de riesgo dWt de la ecuacion dΠt = (θ1µ1c1 + θ2µ2c2)dt +(θ1σ1(t)c1 + θ2σ2(t)c2)dWt. Por tanto, debemos encontrar los valores de θ1

y θ2 que hagan que la expresion que multiplica a dWt se haga cero, en otraspalabras, debemos resolver θ1σ1(t)c1 + θ2σ2(t)c2 = 0. Una eleccion factible devalores para θ1 y θ2 es,

θ1 =σ2(t)

c1(σ1(t) − σ2(t)); θ2 =

σ1(t)

c2(σ1(t) − σ2(t))

Por tanto, sustituyendo estas definiciones de θ1 y θ2 en la expresion previa dedΠt, logramos que desaparezca el factor de riesgo dWt, lo cual nos arroja unaexpresion para dΠt donde solo aparecen terminos de tendencia, o sea, terminosmultiplicados por dt. Esto es equivalente a decir que el portafolio Πt ahoragenera un rendimiento dΠt libre de riesgo, o en otras palabras, que dΠt =Πtrtdt, donde rt es la tasa de interes instantanea libre de riesgo. Continuandocon el desarrollo matematico, obtenemos,

dΠt =µ1c1σ2(t)dt

c1(σ1(t) − σ2(t))− µ2σ1(t)c2dt

c2(σ1(t) − σ2(t))

= Πtrtdt

=σ2(t)c1rtdt

c1(σ1(t) − σ2(t))− σ1(t)c2rtdt

c2(σ1(t) − σ2(t))

Eliminando terminos iguales de los cocientes anteriores, llegamos a la si-guiente expresion,

µ1σ2(t) − σ1(t)µ2 = σ2(t)rt − σ1(t)rt,

de donde se obtiene que,

µ1 − rt

σ1(t)=

µ2 − rt

σ2(t)= λ

Como estas fracciones son claramente independientes de la fecha devencimiento, podemos generalizar λ de la siguiente manera,

λ =µc − rt

σc

(27)


Sustituyendo las expresiones (25) y (26) en la ecuacion (27), obtenemos,

λ =

1c

(

∂c∂t

− αYt∂c

∂Yt+ 1

2σ2(t) ∂2c∂Y 2

t

)

− rt

1cσ(t) ∂c

∂Yt

Despejando la expresion anterior, obtenemos la siguiente ecuacion diferen-cial parcial de segundo orden,

∂c

∂t− αYt

∂c

∂Yt

− λσ(t)∂c

∂Yt

+1

2σ2(t)

∂2c

∂Y 2t

− rtc = 0

Reordenando terminos obtenemos,

∂c

∂t+ α

(

−Yt −λσ(t)

α

)

∂c

∂Yt

+1

2σ2(t)

∂2c

∂Y 2t

− rtc = 0

Ahora definimos,

γ = −λσ(t)

α(28)

Por tanto, sustituyendo la expresion (28) en la ecuacion diferencial parcialprevia, obtenemos la siguiente ecuacion diferencial parcial de segundo orden,

∂c

∂t+ α (γ − Yt)

∂c

∂Yt

+1

2σ2(t)

∂2c

∂Y 2t

− rtc = 0 (29)

De aquı deducimos que la ecuacion (2), misma que repetimos aquı,

dYt = −αYtdt + σ(t)dWt

se transforma en la siguiente expresion en el MNR,

dYt = α(γ − Yt)dt + σ(t)dW ∗

t (30)

Notemos que hay dos nuevas variables que aparecen en la ecuacion (30)que no estaban presentes en la ecuacion (2), γ y dW ∗

t . La expresion de γ estadefinida en la ecuacion (28) y podemos observar que esta expresion incluye aλ, misma que hemos definido en la ecuacion (27). Debemos aclarar que λ sedefine como el precio de mercado por unidad de riesgo de la variable de estadoYt. Generalmente λ podrıa ser una funcion de Yt y de t, pero para facilitarlos calculos posteriores, asumiremos que λ es constante. La variable dW ∗

t es elincremento de un movimiento browniano estandar en el MNR, razon por la cualle hemos incluido el ∗, para distinguirlo de la variable dWt que corresponde alMR.

Para poder obtener una formula explıcita para el precio spot del commo-dity, St, en el MNR, utilizaremos el lema de Ito y las expresiones (1) y (30).


dSt =

(

∂St

∂t+ α(γ − Yt)

∂St

∂Yt

+1

2σ2(t)

∂2St

∂Y 2t

)

dt + σ(t)∂St

∂Yt

dW ∗

t

= αSt

(

1

α

dlnF (t)

dt+ γ − lnSt + lnF (t) +

1

α

1

2σ2(t)

)

dt + σ(t)StdW ∗

t (31)

asumiendo que Yt = lnSt − lnF (t), que se obtuvo de despejar Yt de la ecuacion(1), y que,

dlnF (t)

dt=

1

F (t)

∂F (t)

∂t

Si asumimos que ρ(t) = 1α

(

dlnF (t)dt

+ 12σ2(t)

)

+ lnF (t), la expresion (31)

queda ası,

dSt = αSt[ρ(t) + γ − lnSt]dt + σ(t)StdW ∗

t (32)

Hacemos el siguiente cambio de variable rt = lnSt para poder aplicar ellema de Ito a la ecuacion (32),

drt = dlnSt =

(

∂lnSt

∂t+ αSt[ρ(t) + γ − lnSt]

∂lnSt

∂St

+1

2σ2(t)S2

t

∂2lnSt

∂S2t

)

dt

+σ(t)St

∂lnSt

∂St

dW ∗

t

= [α(ρ(t) + γ − rt) −1

2σ2(t)]dt + σ(t)dW ∗

t (33)

Para facilitar el desarrollo matematico para encontrar la solucion de St,

usamos β(t) = α[ρ(t) + γ] − 12σ2(t) = dlnF (t)

dt+ αlnF (t) + αγ.

Por tanto, obtenemos,

drt = β(t)dt − αrtdt + σ(t)dW ∗

t

= [β(t) − αrt]dt + σ(t)dW ∗

t

Es importante notar que esta ultima expresion es el modelo de Vasicek,y para proceder a su desarrollo matematico necesitamos transformar esta ex-presion a un proceso de Ornstein-Uhlenbeck, para lo cual, definimos mt =αrt − β(t) = −[β(t) − αrt].

Por tanto, dmt = αdrt − dβ(t), de donde obtenemos,

drt =1

α[dmt + dβ(t)] = −mtdt + σ(t)dW ∗

t


Despejando dmt obtenemos,

dmt = −(αmt + β′(t))dt + ασ(t)dW ∗

t (34)

La solucion a (34) es similar a la solucion de una ecuacion diferencial nohomogenea de primer orden. Por tanto, procedemos a hacer el siguiente cambiode variable, Xt = mte

αt, y aplicamos el lema de Ito a Xt utilizando el procesoestocastico de la ecuacion (34), a saber,

dXt = d(mteαt) =

(

∂Xt

∂t− (αmt + β′(t))

∂Xt

∂mt

+1

2α2σ2(t)

∂2Xt

∂m2t

)

dt

+ασ(t)∂Xt

∂mt

dW ∗

t

= −eαtdβ(t) + ασ(t)eαtdW ∗

t (35)

Integramos la ecuacion (35),

∫ t+h

t

d(mseαs) = −

∫ t+h

t

eαsdβ(s) +

∫ t+h

t

ασ(s)eαsdW ∗

s

= mt+heα(t+h) − mteαt

Despejando mt+h de la ecuacion anterior y recordando que mt = αrt−β(t),obtenemos,

mt+h = mte−αh −

∫ t+h

t

e−α(t+h−s)dβ(s) + α

∫ t+h

t

σ(s)e−α(t+h−s)dW ∗

s

= αrt+h − β(t + h)

Despejando rt+h de la ecuacion anterior, obtenemos,

rt+h = rte−αh +

∫ t+h

t


s

+1

α

[

β(t + h) − β(t)e−αh −∫ t+h

t

e−α(t+h−s)dβ(s)

]

= rte−αh +

∫ t+h

t

β(s)e−α(t+h−s)ds +

∫ t+h

t


s

= rte−αh + rt+h − rte

−αh + αe−α(t+h)

∫ t+h

t

γ(s)eαsds


+

∫ t+h

t


s (36)

donde γ(s) = −λσ(s)α

.En consecuencia,

rt+h − rt+h = (rt − rt)e−αh + αe−α(t+h)

∫ t+h

t

γ(s)eαsds

+

∫ t+h

t


s

= lnSt+h − lnFt+h = (lnSt − lnFt)e−αh + αe−α(t+h)

∫ t+h

t

γ(s)eαsds

+

∫ t+h

t


s

Recordemos que en esta ultima expresion hemos utilizado que rt = lnSt yque rt = lnFt.

Despejando St+h de la ecuacion anterior encontramos que,

St+h = Ft+h

(

St

Ft

)e−αh

eαe−α(t+h)

∫

t+h

tγ(s)eαsds

e

∫

t+h

tσ(s)e−α(t+h−s)dW∗

s (37)

La integral en el segundo exponente de la ecuacion (37) es estocastica. Elhecho de que el incremento dW ∗

s siga una distribucion de probabilidad normal(dW ∗

s ∼ N(0, ds)), nos indica que la integral estocastica tambien sigue unadistribucion de probabilidad normal. Esto a su vez hara posible obtener unarepresentacion mas explıcita de St+h. Empezamos por notar que esta integralestocastica es una variable aleatoria que definimos ası,

X =

∫ t+h

t


s

Asimismo, definimos,

A(t + h, t) = Ft+h

(

St

Ft

)e−αh

Por tanto, la ecuacion (37) se puede representar de la siguiente manera,

St+h = A(t + h, t)eαe−α(t+h)

∫

t+h

tγ(s)eαsds

eX (38)

Observemos de la ecuacion (38) que el precio spot del commodity St+h esuna variable aleatoria, lo cual nos permitira calcular su media condicional y suvarianza condicional haciendo uso de la funcion generatriz de momentos de la


distribucion de probabilidad normal, para lo cual primero deberemos calcularla esperanza y la varianza de X.

E(X) = E

[

∫ t+h

t


s

]

= 0

V ar(X) = V ar

[

∫ t+h

t


s

]

=

∫ t+h

t

σ2(s)e−2α(t+h−s)ds = v(t + h, t)

Como resultado, entonces sabemos que X ∼ N(0, v(t + h, t)).Para facilitar los calculos, asumimos que F (t), que es el componente que

modela la estacionalidad presente en los precios del commodity en cuestion, yque se incluye en la ecuacion (1), St = F (t)eYt , y que σ(t), que es la volatilidaddeterminista del proceso estocastico del precio spot del commodity, y que seincluye en la ecuacion (30), dYt = α(γ − Yt)dt + σ(t)dW ∗

t , son constantes.Ahora recalculamos la expresion (28), a saber,

γ = −λσ(t)

α

= −λσ

α(39)

ası como A(t + h, t) y v(t + h, t) que podemos observar en las expresiones (11)y (12), respectivamente.

Ahora podemos proceder a simplificar la ecuacion (38). Notese que al haberasumido que σ(t) es constante, entonces segun la expresion (39), γ = −λσ

α.

Esto nos permite hacer la siguiente simplificacion en el primer exponente de laecuacion (38),

eαe−α(t+h)

∫

t+h

tγ(s)eαsds

= eγ(1−e−αh)

Por tanto, la ecuacion (38) se puede simplificar de la siguiente manera,

St+h = A(t + h, t)eαe−α(t+h)

∫

t+h

tγ(s)eαsds

eX

= A(t + h, t)eγ(1−e−αh)eX

= Se−αh

t F 1−e−αh

eγ(1−e−αh)eX (40)

La ecuacion (40) es la formula explıcita del precio spot del commodity en elMNR. Asimismo, observemos que la ecuacion (40) es identica a la expresion (13)que representa el precio spot del commodity en el MR, St+h = A(t + h, t)eX =

Se−αh

t F 1−e−αh

eX , excepto que en la expresion (40) ha aparecido el termino

constante eγ(1−e−αh).


3.2 Media Condicional y Varianza Condicional de St

La formula explıcita de la esperanza condicional de St se utilizara para obtenerla formula cerrada del precio del futuro del commodity en la seccion 3.3 deeste trabajo. Haciendo uso de la funcion generatriz de momentos de la dis-tribucion de probabilidad normal, en otras palabras, sabiendo que E[eX ] =

eE(X)+ 12V ar(X), recordando que E(X) = 0, V ar(X) = v(t + h, t), haciendo uso

de la expresiones (37) y (11), ası como de la ecuacion eαe−α(t+h)

∫

t+h

tγ(s)eαsds

=

eγ(1−e−αh), entonces la esperanza condicional de St+h esta dada por,

E[St+h | St] = Se−αh

t F 1−e−αh

eγ(1−e−αh)e12v(t+h,t) (41)

Por tanto, la varianza condicional de St+h esta dada por,

V ar[St+h | St] =(

Se−αh

t F 1−e−αh)2

e2γ(1−e−αh)[e2v − ev] (42)

No olvidemos de la ecuacion (39) que γ = −λσα

, y de la expresion (12) que

v(t + h, t) = v = σ2

2α(1 − e−2αh).

3.3 Precio del Futuro (o Forward) del Commodity

En el MNR, los precios de los futuros son iguales a la esperanza del precio spoten el futuro, bajo el proceso neutral al riesgo, y asumiendo que la tasa de intereslibre de riesgo instantanea r es constante, los precios forward son iguales a losprecios de los futuros.

Por tanto, utilizando la expresion (41), obtenemos la formula explıcita paracalcular el precio del futuro del commodity en el MNR, a saber,

F(St, t, t + h) = E[St+h | St] = Ft = Se−αh

t F 1−e−αh

eγ(1−e−αh)e12v(t+h,t) (43)

Observemos que la ecuacion (43) es identica a la expresion (16) que repre-senta el precio del futuro del commodity en el MR, F(St, t, t + h) = E[St+h |St] = Se−αh

t F 1−e−αh

e12v(t+h,t), excepto que en la expresion (43) ha aparecido el

termino constante eγ(1−e−αh).

3.4 Calculo del Call sobre el Futuro con Formula de Black

Sabemos que St+h sigue una distribucion de probabilidad lognormal y queF(St, t, t + h) = E[St+h | St] = Ft, por tanto el precio del futuro Ft tambiensigue un proceso lognormal. En un proceso lognormal, sabemos que ln Ft sigueuna distribucion de probabilidad normal. La formula de Black (1976) para va-luar un call (en el tiempo 0, que vence en t) sobre el futuro Ft cuya vida va det a t + h, aplicada a nuestro caso, quedarıa de la siguiente manera,

c(0, t) = e−r(t−0)E[max(Ft − K, 0) | F0]

= e−r(t−0)[F(0, t + h)N(d1) − KN(d2)] (44)


Para poder desarrollar los calculos siguientes hemos utilizado una expresionalternativa a la ecuacion (43) para F(St, t, t + h) = Ft. La expresion siguientenos facilitara el uso de logaritmos, a saber,

F(St, t, t + h) = A(t + h, t)eαe−α(t+h)

∫

t+h

tγ(s)eαsds

e12v(t+h,t)

= Ft+h

(

St

Ft

)e−αh

eαe−α(t+h)

∫

t+h

tγ(s)eαsds

e12v(t+h,t)

= elnFt+h+e−αh(lnSt−lnFt)+αe−α(t+h)

∫

t+h

tγ(s)eαsds+ 1

2v(t+h,t)(45)

donde, K es el precio de ejercicio, r es la tasa de interes instantanea libre deriesgo, F(0, t + h) esta dada por la ecuacion (45), N(d) es la distribucion deprobabilidad normal estandar acumulada, F0 es la informacion en 0, y d1 y d2

estan dadas por,

d1 =ln

[

F(0,t+h)K

]

+σ21(t+h)

2

σ1

√t + h

=ln

[

F(0,t+h)K

]

σ1

√t + h

+σ1

√t + h

2(46)

d2 =ln

[

F(0,t+h)K

]

− σ21(t+h)

2

σ1

√t + h

=ln

[

F(0,t+h)K

]

σ1

√t + h

− σ1

√t + h

2

= d1 − σ1

√t + h (47)

Notemos que σ21 es la varianza anual del rendimiento de los precios de los

futuros Ft. La formula de Black asume que ln Ft sigue una distribucion deprobabilidad normal, cuya varianza esta dada por σ2

1(t + h). Para efectos declaridad, esta ultima expresion es el producto de σ2

1 por (t + h). Podemosobservar que la raız cuadrada de σ2

1(t + h) entra en el calculo de d1 y de d2, asıque utilizaremos la ecuacion (45) para calcular,

σ21(t + h) = V ar[lnF(t, t + h) | F0] (48)

Para calcular V ar[lnF(t, t+h) | F0], necesitamos primero calcular E[lnFt |F0]. Por tanto,

E[lnFt | F0] = lnFt+h + e−αhE[lnSt | F0] − e−αhlnFt

+αe−α(t+h)

∫ t+h

t

γ(s)eαsds +1

2v(t + h, t)


De la expresion (38) y de la ecuacion A(t + h, t) = Ft+h

(

St

Ft

)e−αh

, obte-nemos que,

St = Ft

(

St−h

Ft−h

)e−αh

eαe−α(t)

∫

t

t−hγ(s)eαsds

eX

Por tanto,

E[lnSt | F0] = lnFt + e−αh(lnSt−h − lnFt−h)

+αe−α(t)

∫ t

t−h

γ(s)eαsds + E[X | F0]

De aquı obtenemos,

E[lnFt | F0] = lnFt+h+

+e−αh

{

lnFt + e−αh(lnSt−h − lnFt−h) + αe−α(t)

∫ t

t−h

γ(s)eαsds

}

−e−αhlnFt + αe−α(t+h)

∫ t+h

t

γ(s)eαsds +1

2v(t + h, t) (49)

Por tanto,

V ar[lnFt | F0] =

= E

[

lnFt+h + e−αh(lnSt − lnFt) + αe−α(t+h)

∫ t+h

t

γ(s)eαsds +1

2v(t + h, t)

−lnFt+h − e−αh

{

lnFt + e−αh(lnSt−h − lnFt−h) + αe−α(t)

∫ t

t−h

γ(s)eαsds

}

+e−αhlnFt − αe−α(t+h)

∫ t+h

t

γ(s)eαsds− 1

2v(t + h, t) | F0

]2

= E[e−αhX | F0]2

= e−2αhE[X2 | F0]

= e−2αhV ar[X | F0] (50)

Sabemos que V ar[X] = v(t + h, t) =∫ t+h

tσ2(s)e−2α(t+h−s)ds. Asumimos

que σ(s) es constante, y dado que la informacion esta disponible en 0, calculamoslo siguiente,


V ar[lnFt | F0] = σ21(t + h) = e−2αhv(t, 0) = e−2αh

∫ t

0

σ2e−2α(t−s)ds

= e−2αh σ2

2α[1 − e−2αt] (51)

Al principio de esta seccion mencionabamos que la formula de Black (1976)nos iba a permitir valuar un call europeo (en el tiempo 0, que vence en t) sobreel futuro Ft cuya vida va de t a t + h. Debemos recalcar que las opciones sobrefuturos de commodities de tipo europeo que regularmente se valuan, general-mente venceran en la misma fecha que el futuro subyacente. Por tanto, paraaplicar las formulas descritas arriba a este caso, la fecha de vencimiento de laopcion t serıa igual a la fecha de vencimiento del futuro (t + h). En otras pa-labras, t = t + h y por tanto h = 0. Esto nos lleva a que la expresion (51) sesimplificarıa para quedar ası,

V ar[lnFt | F0] = σ21(t) =

σ2

2α[1 − e−2αt]

No olvidemos que la expresion σ21(t) es el producto de σ2

1 por t.

4. Conclusiones

Como mencionabamos al inicio de este artıculo, el proceso propuesto para mo-delar el precio spot del commodity esta basado en el modelo propuesto porJaillet, Ronn y Tompaidis (2004). La diferencia fundamental es que estos au-tores modelaron su proceso en el MR, asumiendo un valor de regresion a lamedia de largo plazo constante, y volatilidad constante, y en este artıculo de-sarrollamos nuestro modelo tanto en el MR como en el MNR, y asumiendovolatilidad determinista (dependiente del tiempo). El desarrollo en el MNR esel que nos permitira valuar derivados sobre commodities. En la Tabla 2 pode-mos observar las principales diferencias entre el modelo de JRT y el modeloutilizado en este artıculo.

Tabla 2 Cuadro Comparativo de Modelos de 1 Factor

Modelo Reversion MR MNR Volat. Reversion LP

Artıculo Sı Sı Sı Determinista 0JRT (2004) Sı Sı No Constante Constante

Las principales contribuciones de este artıculo a la literatura financieraradican en que hemos desarrollado formulas cerradas para el precio spot decualquier commodity, el precio del futuro, el precio de la opcion europea decompra “call” sobre el spot del commodity, ası como el precio de la opcion eu-ropea de compra sobre el futuro del commodity. Hemos podido desarrollar estasexpresiones usando un modelo de un factor de riesgo que incorpora reversion ala media y volatilidad determinista.


Una debilidad del modelado del precio de los commodities con un factor,

es que como podemos deducir de la ecuacion (51), σ21 = 1

t+he−2αh σ2

2α[1−e−2αt],

la varianza anual de los precios de los futuros, σ21 , tiende a cero conforme

el vencimiento de la opcion, t, tiende a infinito. La intuicion atras de estefenomeno es que en el largo plazo, la reversion a la media domina y la varianzade los futuros tiende a la varianza del valor de reversion a la media de largoplazo, que en nuestro modelo de un factor, es cero, como puede observarse enla ecuacion (2). Esta caıda en la varianza σ2

1 a largo plazo, es una debilidadimportante de los modelos de un factor, ya que el modelo serıa inapropiadopara valuar opciones sobre futuros de largo plazo.

Otra limitacion importante de los modelos de un factor es que implican quelos cambios en los precios spot y en los precios de los futuros y forwards para to-dos los vencimientos, estan perfectamente correlacionados. Esto significarıa quetodos los precios se mueven siempre en la misma direccion, lo cual claramentecontradice los datos del mercado. Esta limitacion se puede evitar si permiti-mos que los cambios en los precios spot dependan de mas de un factor. Se hademostrado que los modelos de dos y tres factores tienen un mejor desempenoque los de un factor cuando se ha modelado el precio de commodities como elcobre y el petroleo. Esto se puede ver en Schwartz (1997).


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Efectos de la Negociacion Asincronicaen el Mercado de Acciones de Mexico

Nicolas Chaves Monroy ∗

Alejandro Segundo Valdes ∗∗

Recibido 22 de enero de 2009, aceptado 17 de mayo 2009

Resumen

Este estudio presenta una investigacion empırica sobre la negociacion asincroni-ca entre portafolios de igual ponderacion. Se utiliza informacion diaria de laBolsa Mexicana de Valores y se muestra que existe algun grado de prediccionde corto plazo sobre los rendimientos de los portafolios tras analizar la auto-correlacion y la correlacion cruzada entre ellos.

Abstract

This study presents an empirical research on negotiation asynchronous betweenequal-weight portfolios. Uses daily information on the Mexican Stock Exchangeand shows that there is some degree of short-term prediction on the yields ofthe portfolio after analyzing the autocorrelation and cross correlation betweenthem.

Clasificacion JEL: G14, N26.

Palabras clave: negociacion asincronica, rendimiento, autocorrelacion, correlacion cruzada.

1. Introduccion

Desde hace varios anos se viene estudiando los efectos que tienen los factoresde microestructura de los mercados financieros, aun mas, los fenomenos que segeneran en la negociacion de acciones de la bolsa de valores; esto se debe a queen muchos casos el comportamiento de los precios de las acciones no correspondea los supuestos del modelo econometrico implementado, por lo tanto es posibletener resultados poco consistentes.

La microestructura de los mercados es la disciplina que se interesa porla forma en que las demandas de los inversionistas se convierten en transac-ciones y ası en precios, se ha orientado al estudio de los cambios estructurales,tecnologicos y de regulacion que afectan el mercado de acciones, analizando

∗ Estudiante del Doctorado en Ciencias Financieras en el Tecnologico de Monterrey, Cam-pus Ciudad de Mexico. Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, C.P. 14380, Tlalpan,

Mexico, D.F. Telefono: +52(55)5483-2254. Correo electronico: [email protected].∗∗ Profesor Investigador de Planta de la Universidad Autonoma Metropolitana, Unidad

Azcapotzalco. Av. San Pablo No. 180 Col. Reynosa Tamaulipas, C.P. 02200, Mexico, D.F.Telefono: +52 (55)53189000. Correo electronico: [email protected].


factores como los costos de transaccion, el volumen de negociacion, y el margenbid-ask , entre otros. 1 Una de estas caracterısticas se denomina negociacionasincronica o problema de no-negociacion 2, provocando una extrana depen-dencia serial de corto plazo entre los rendimientos de las acciones y de igualforma en los portafolios.

Los modelos teoricos de microestructura suponen que la muestra de datoses continua, pero los estudios empıricos del mercado de acciones utilizan datosdiscretos, es decir, toman los precios de cierre de las acciones de la bolsa devalores como resultado diario, pero en realidad estos precios se obtuvieron envarios puntos del tiempo para diferentes acciones durante la jornada, luego noson precios simultaneos, incluso hay acciones que no se negocian durante un dıao mas.

Para reconocer el efecto que produce este fenomeno de no-negociaciontomemos los rendimientos de dos acciones independientes A y B, donde lanegociacion de A es mas frecuente que la de B. Como se espera, la llegada denueva informacion publica provoca una variacion en los precios de ambas ac-ciones, pero A tendra una respuesta mas rapida que B, mientras que esta ultimatendra un respuesta tardıa, incluso si la informacion llega cerca del cierre deldıa es posible que no cambie el precio de B sino hasta el dıa siguiente. Tambienpuede ocurrir que la accion si se haya negociado pero al cierre de la jornadapresente el mismo precio.

Este comportamiento crea una correlacion espuria de corto plazo entrelos rendimientos de A y B, ası mismo, un portafolio que contenga estas dosacciones tambien exhibira una dependencia serial. La asincronıa provoca que elprecio de cierre de todas las acciones no refleje toda la informacion publica alfinalizar la jornada, por lo tanto, los problemas econometricos pueden aumentaral no tener en cuenta el comportamiento estadıstico de la muestra de datos,ocasionando inferencias sesgadas al analizar el rendimiento de las acciones o delos portafolios.

En este documento se exponen dos tipos de modelos estadısticos que es-timan las auto-correlaciones espurias en los portafolios de acciones de igualponderacion debido al fenomeno de no-negociacion o negociacion asincronicadesarrollados por Lo y Mackinlay (1999). El objetivo de este estudio consisteen presentar el efecto que produce la asincronıa de la negociacion en el mercadomexicano de acciones a traves de portafolios caracterizados por su probabili-dad de no-negociacion, segun Lo y Mackinlay3, la no-negociacion se hace masevidente en los rendimientos del portafolio y no a traves de las acciones indi-viduales, comparativamente el rendimiento diario esperado es muy bajo. Lamuestra de datos estuvo constituida por los precios de cierre diarios notificadosen la Bolsa Mexicana de Valores.

El contenido del documento es el siguiente. La seccion anterior definio el

1 Madhavan (2000) hace una exposicion de varios factores de microestructura enfocandose

en el tema de la informacion.2 En los documentos en ingles sobre microestructura de mercados financieros, a este fe-

nmeno se le denomina como nonsynchronous trading o no-trading.3 Lo y Mackinlay (1999). A Non-Random Walk Down Wall Street. Stock Market Prices

Do Not Follow Random Walks. Cap. 2, pp.34 38.

Ibid. An Econometric Analysis of Nonsynchronous Trading. Cap. 4, pp.85 113.

Efectos de la Negociacion Asincronica en el Mercado de Acciones de Mexico 27

problema de la negociacion asincronica y el interes por corregirlo, como intro-duccion. La segunda parte presenta dos modelos estadısticos de no-negociaciony sus resultados empıricos sobre la autocorrelacion entre portafolios. Luegonos enfocamos en la correlacion cruzada entre dos de los portafolios analiza-dos, resaltando la existencia de la relacion lıder-rezago. Finalmente, se ofrecennuestras conclusiones y se presenta un anexo con las emisoras incluidas en elestudio y algunos datos relevantes.

2. La no-negociacion como una fuente de la auto-correlacion espuriaMuchas publicaciones previas acerca del comportamiento del precio de las ac-ciones examinaban los rendimientos observados, en este caso se aplica un pro-ceso generador de rendimientos no visible como base. Lo cual permite que elmecanismo de no-negociacion este compuesto por una censura aleatoria de losrendimientos, donde las observaciones que son censuradas se van agregando,ası que al tener un rendimiento observado sera resultado de los rendimientosconsecutivos que fueron censurados. En esta seccion se considera el supuestoen que la negociacion asincronica induce una correlacion espuria significante enlos rendimientos de las acciones.

Suponga que se tiene un conjunto de N acciones representadas por i, cadauna con un proceso generador de rendimientos descrito de la siguiente forma,

Rit = RMt + εit (1)

donde RMt representa un factor comun entre las acciones, como la variaciondel ındice de la bolsa de valores o el mercado. Suponemos que RMt es unavariable aleatoria independiente e identicamente distribuida (IID) con mediaµM y varianza constante σ2

M . El termino εit representa el componente idio-sincrasico (intrınseco) del rendimiento de cada accion i, se supone independientee identicamente distribuida (IID) para cada una, y para cada fecha t, ademastiene una distribucion con media cero y varianza constante σ2

M .Para calcular la magnitud de la correlacion inducida por el fenomeno de

no-negociacion se debe especificar la probabilidad que gobierna este evento, pi

es la probabilidad de que la accion i sea negociada durante cada periodo t.Esta probabilidad se puede ajustar como un experimento de Bernoulli, ası queen cada periodo y para cada accion hay una probabilidad p de negociacion yuna probabilidad 1−p de no negociacion. Se supone que si la accion se negociao no en algun periodo t, no tendra efecto en la probabilidad de negociacion delsiguiente periodo o en otro futuro, por lo tanto el mecanismo de no-negociaciones independiente e identicamente distribuido entre cada accion y cada unidadde tiempo. Sea Xit(j), para j = 1, 2, 3, un indicador que muestra el numerode periodos consecutivos antes del momento j en que no se negocio la accion,entonces Xit(j) son variables aleatorias que se comportan de la siguiente forma,

Xit(0) ={

1 si i se negocia en el momento t0 otro caso

Xit(1) ={

1 si i no se negocia en el momento t − 1, pero si en t0 otro caso


Xit(2) ={

1 si i no se negocia en el momento t − 1, ni en t − 2, pero si en t0 otro caso

...Por lo tanto el rendimiento observado para cada accion, R0

it, se puede expresarcomo

R0it = Xit(0)Rit + Xit(1)Ri,t−1 + Xit(2)Ri,t−2 + ... (2)

Ahora, si se toma un conjunto de acciones y se forma un portafolio con elmismo peso para cada accion, el rendimiento observado del portafolio R0

t es elsiguiente:

R0t =

1

N

N∑

t

R0it (3)

Reemplazando 2 en la ecuacion anterior se obtiene que

R0t =

1

N

N∑

t

Xit(0)Rit +1

N

N∑

t

Xit(1)Ri,t−1 +1

N

N∑

t

Xit(2)Ri,t−2 + ... (4)

Debido a que el componente idiosincrasico de cada accion, εit, tiene una espe-ranza nula y suponiendo que el portafolio esta compuesto por una gran cantidadde acciones, es decir que N sea suficientemente grande, es posible obtener lasiguiente aproximacion

R0t ≈

1

N

N∑

t

Xit(0)RMt +1

N

N∑

t

Xit(1)RM,t−1 +1

N

N∑

t

Xit(2)RM,t−2 + ... (5)

De igual manera, para un N grande, los promedios (1/N)∑

Xit(j) tienden aser cercanos, casi el mismo numero, ası que la probabilidad de que j periodosde no-negociacion esten seguidos por uno de negociacion es

plimN→∞

1

N

N∑

t

Xit(j) = p(1 − p)j (6)

Esta probabilidad se puede ser definir como la fraccion del numero total de Nacciones que se negocian en promedio en algun periodo determinado. Por lotanto el rendimiento observado, para un portafolio de igual ponderacion entrelas acciones, esta dado por la siguiente aproximacion.

R0t ≈ pRMt + p(1 − p)RM,t−1 + p(1 − p)2RM,t−2 + ... (7)

Usando esta expresion, el coeficiente de autocorrelacion de orden j, ρ(j), puedeser facilmente estimado como

ρ(j) ≡Cov(R0

t , R0t−j)

V ar(R0t )

= (1 − p)j (8)


Si se asume que el intervalo de tiempo que corresponde a nuestro periodo deanalisis es de un dıa de transaccion, es posible calcular el coeficiente de auto-correlacion semanal (S) de primer orden para algun portafolio como

ρS(1) ≡ρ(1) + 2ρ(2) + ... + 5ρ(5) + 4ρ(6) + 3ρ(7) + 2ρ(8) + ρ(9)

5 + 8ρ(1) + 6ρ(2) + 4ρ(3) + 2ρ(4)(9)

ρS(1) ≡ (1 − p)j

Para evaluar la correlacion serial se tomo una muestra acciones de treintaempresas mexicanas que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV) conel unico requisito de que existieran durante todo el periodo analizado, esteconjunto es relevante ya que forma parte del grupo de acciones con mayorbursatilidad dentro de la BMV.

La base de datos fue obtenida de la informacion reportada en Reuters yesta conformada por los precios de cierre diarios de las treinta empresas entre el3 de Enero del 2000 y el 31 de marzo de 2008, en total son 2150 observacionespor cada accion.

Los rendimientos utilizados son continuamente compuestos, y se definencomo la diferencia logarıtmica entre el precio actual y el precio anterior de laaccion, es decir,

rt = log

(

Pt

Pt−1

)

= log(Pt) − log(Pt−1)

donde Pt es el precio de la accion en la fecha t y Pt−1 es el precio en la fechaanterior; una de las ventajas de utilizar esta definicion es que permite deducircomodamente las propiedades de las series de tiempo descritas 4 . Fama (1965)tambien senala dos razones para utilizar la variacion del logaritmo del precio yno el cambio en los precios, primero, la variacion en los precios para una acciondeterminada es funcion creciente del nivel de precios de la accion, mientras quela transformacion logarıtmica parece contrarrestar el efecto de los precios, ysegundo, para cambios mayores o menores al 15%, los rendimientos continua-mente compuestos son cercanos al cambio en el precio.

Para este ejercicio se constituyo un portafolio (INDIC30) con las treintaacciones de la muestra, cuyo rendimiento se calcula segun la ecuacion (3), luegoel rendimiento del portafolio en la fecha t es el promedio del rendimiento de lasacciones. De igual forma y a modo de comparacion se crearon otros dos portafo-lios, el primero (MAS) compuesto por las diez acciones con mayor bursatilidad,y el otro (MAS 3) estuvo compuesto de siete de las acciones mas negociadas conlas tres menos negociadas de todo el grupo. De acuerdo a esta informacion se hadeducido la probabilidad semanal por trimestre de no-negociacion, ası como laauto-correlacion causada por este fenomeno para los tres portafolios descritos.

La tabla 1 presenta el calculo de la auto-correlacion semanal de primerorden por trimestre para los tres portafolios, segun la ecuacion 9. Para los tresportafolios la autocorrelacion provocada por la no-negociacion es positiva, en el

4 Campbell, Lo, and MacKinlay (1996). The Econometrics of Financial Markets. Prince-

ton University Press. pp. 11


caso de INDIC30 la auto-correlacion se encuentra alrededor del 2.5% y el 4.5%,aunque en tres trimestres supera el valor de 5%, con 5.2%, 5.4% y 5.1%, dandola posibilidad de obtener alguna ganancia al cubrir los costos de transaccion.

Ademas, durante estos mismos periodos se alcanza la mayor probabilidadde no-negociacion con un valor de 0.23 en el tercer trimestre del 2001 e indicaque el 23% de las acciones que componen el portafolio INDIC30 presentaronrendimientos nulos o no fueron negociadas.

Tambien es posible observar que al tomar solo las diez acciones mas nego-ciadas (MAS) la auto-correlacion se reduce casi tres veces respecto al portafolioINDIC30, alcanzando su maximo valor de 2.4% en el tercer trimestre del 2000,por lo tanto, la correlacion creada entre las acciones mas negociadas es mınimade acuerdo al total de acciones utilizadas.

Se debe advertir el aumento de la auto-correlacion en el portafolio MAS 3,que incluye tres de las acciones menos negociadas, debido a que su valor se llegaa duplicar. Luego el fenomeno de negociacion asincronica provoca gran partede la correlacion espuria en los portafolios.

Sin embargo, serıa importante observar cual es el proceso estadıstico que seencuentra detras del comportamiento asincronico, y comprobar sus propiedadesde serie de tiempo.

3. Modelo de Negociacion AsincronicaEn este apartado se presenta un modelo estocastico que se ajusta al fenomenode negociacion asincronica o problema de no-negociacion desarrollado por Lo yMackinlay (1999) 6.

Al igual que el primer modelo, esta propuesta captura la particularidad dela no-negociacion, pero ahora permite un calculo explıcito de algunas propieda-des relevantes como serie de tiempo, dada la caracterıstica de no simultaneidaden los precios de cierre entre las diferentes acciones.

El mecanismo de no-negociacion es modelado a traves de una censuraaleatoria de rendimientos, donde las observaciones censuradas son acumuladas ylos rendimientos observados son la suma de los rendimientos previos que fueroncensurados consecutivamente.

Se tiene una lista de rendimientos continuamente compuestos para N ac-ciones representadas por i = 1, 2, , N , las cuales tienen rendimientos “virtuales”no observables Rit hasta la fecha t, y son generados por el siguiente modeloestocastico,

Rit = µt +1

N

N∑

t

R0it (10)

El componente Λt es algun factor comun entre las acciones, con media ceroy varianza σ2

λ. εit es el termino idiosincrasico del rendimiento de cada acciony se supone que es independiente e identicamente distribuido (IID) entre cadaaccion i y en cualquier fecha t, con media 0 y varianza σ2

ε .

6 Lo y Mackinlay (1999). A Non-Random Walk Down Wall Street, An Econometric

Analysis of Nonsynchronous Trading. pp. 85-113.


Tabla 1. Estimacion de la auto-correlacion semanal y probabilidad deno-negociacion para tres portafolios, 2000-2008.

Debido a que el objeto de analisis es la no-negociacion como origen de laautocorrelacion, tambien se va a suponer que el factor Λt es independiente eidenticamente distribuido entre las acciones y es independiente de los εi,t−kparatoda i, t, y k.

Si la accion i se negocia en el periodo t + 1 y no se negocio en el periodot, suponemos que su rendimiento observado, R0

i,t+1 en t + 1, es la suma de losrendimientos virtuales Ri,t+1 y Ri,t, y de los rendimientos virtuales de todoslos periodos pasados consecutivos en los cuales i no se negocio. Por lo tanto,el rendimiento observado en cualquier periodo es simplemente la suma de los


rendimientos virtuales de los periodos pasados consecutivos en los cuales no senegocio la accion. Lo cual captura la caracterıstica de la no-negociacion comofuente de la autocorrelacion espuria: las noticias afectan primero a las accionesque son negociadas con mayor frecuencia y afectan con un rezago a las accionesmoderadamente negociadas. En esta estructura, el impacto de las noticias sobrelos rendimientos es capturado por el proceso de rendimientos virtuales (10), yel rezago inducido por la asincronıa es modelado por el proceso de rendimientosobservados R0

it.Ademas, si la accion no se negocia en un periodo t su rendimiento observado

es cero, pero su rendimiento virtual Rit esta descrito por (10) e indica queen cada periodo hay una oportunidad de que la accion no se negocie con unprobabilidad pi. Se supone que si la accion se negocia o no en un periodo, notiene influencia en la probabilidad del siguiente periodo, asıque el mecanismo deno-negociacion es independiente e identicamente distribuido para cada accioni.

Para exponer el proceso de rendimientos observados y deducir sus propieda-des como serie de tiempo se introducen dos procesos estocasticos:

Definicion 1. Sean δit y Xit(k) variables aleatorias de tipo Bernoulli donde

δit =

{

1 con probabilidad pt

0 con probabilidad 1 − pt(11)

Luego

Xit(0) = 1 − δit

Xit(k) = (1 − δit)δi,t−1δi,t−2...δi,t−k

es decir,

Xit(k) =

{

1 con probabilidad (1 − pt)pkt

0 con probabilidad 1 − (1 − pt)pkt

(12)

Aquı se asume que δit, para i = 1, 2, ..., N , es una secuencia aleatoria conuna distribucion identica e independiente entre las acciones, δit es uno cuandola accion i no se negocia en el momento t y cero en otro caso. Xit(k) toma elvalor de uno cuando la accion i se negocia en el momento t pero no se negocioen ninguno de los k periodos anteriores, y es cero en otro caso. Ahora es posibleformular una expresion para los rendimientos observados.

Definicion 2. El comportamiento de los rendimientos observados para cadaaccion R0

it esta dado por el siguiente proceso estocastico:


R0it =

∞∑

k=0

Xit(k)Ri,t−k (13)

para i = 1, 2, ...,N . Esta expresion indica que si la accion i no se negocia enel momento t, entonces δit = 1, por lo tanto Xit(k) = 0 para todo k, luegoR0

it = 0, ası que en presencia de la no-negociacion, los rendimientos observadosson un proceso estocastico de los rendimientos anteriores.

Agrupando las acciones segun su frecuencia o probabilidad de no-negocia-cion y formando portafolios con la misma ponderacion para cada accion se tienepara un portafolio H compuesto por Nh acciones con una probabilidad de no-negociacion similar ph. Sea R0

ht los rendimientos observados hasta la fecha t deeste portafolio, entonces se tiene que:

R0ht =

1

N

N∑

i

Xit(0)Rit +1

N

N∑

i

Xit(1)Ri,t−1+1

N

N∑

i

Xit(2)Ri,t−2 + ... (14)

es decir, R0ht = 1

Nh

∑

i∈IhR0

it, donde Ih representa el conjunto de acciones que

componen el portafolio H . Las propiedades de serie de tiempo de (14) puedenobtenerse por medio de una aproximacion asintotica que utiliza la independenciaentre las perturbaciones εit a traves de las acciones 7

Proposicion 1. Como el numero de acciones en el portafolio H (expresadopor NH) aumenta sin lımite, es posible obtener las siguientes ecuaciones

R0H = µH + (1 − pH)βH

∞∑

k=0

pkHΛt−k, (15)

donde

µH ≡1

NH

∑

i∈IH

µi, βH ≡1

NH

∑

i∈IH

βi. (16)

La distribucion del proceso de rendimientos del portafolio tiene como primerosmomentos,

E[R0Ht]

a

=µH (17)

V [R0Ht]

a

=β2

H

1 − pH

1 + pH

σ2λ (18)

Cov[R0Ht, R

0Ht+n]

a

=β2

H

1 − pH

1 + pH

pnHσ2

λ (19)

7 Esta condicion es para poder aplicar la Ley de los Grandes Numeros al promedio delas perturbaciones, para que el riesgo “idiosincrasico” desaparezca al aumentar el numero de

acciones.


Corr[R0Ht, R

0Ht+n]

a

=pn

H (20)

Corr[R0At, R

0Bt+n]

a

=

(1 − pa)(1 − pb)

1 − papb

βaβbσ2λpn

b (21)

El sımbolo a=

indica que la ecuacion se obtiene solo de manera asintotica yH = A, B con A 6= B. Mediante la ecuacion (17) se observa que los rendimien-tos observados tienen el mismo promedio que los rendimientos virtuales. Laautocorrelacion inducida por no-negociacion en (20) se reduce geometricamenteal aumentar el numero de periodos y tambien se tiene que la probabilidad deno-negociacion para un portafolio H esta dada por el coeficiente autorregresivode orden uno, luego, es posible estimar facilmente todas las probabilidades deno-negociacion usando los coeficientes de autocorrelacion de primer orden paracada portafolio.

El periodo analizado comprende entre el 3 de Enero de 2000 hasta el 31de Marzo de 2008 y los datos utilizados corresponden a los precios de cierrediarios de la Bolsa Mexicana de Valores. Para estimar el modelo presentado seorganizaron treinta acciones de menor a mayor de acuerdo a su probabilidadde no-negociacion y se constituyeron cuatro portafolios, el primero conformadopor las acciones menos negociadas (MENOS), seguido por un portafolio con lasacciones de negociacion moderada (MEDIO), y el tercero esta conformado porlas acciones mas comercializadas (MAS); para finalizar se incluyeron todas lasacciones en un solo portafolio denominado INDIC30 8.

El rendimiento diario de cada accion es continuamente compuesto y elrendimiento diario del portafolio es el promedio del rendimiento de las accionesque conforman el portafolio segun la ecuacion 14. Un resumen estadıstico paracada portafolio se exhibe en la tabla 2.

Tabla 2. Estadısticos descriptivos para los rendimientosdiarios de cuatro portafolios con precios de cierre de la

BMV, 2000 a 2008.

MENOS MEDIO MAS INDIC30

Minimo −0.0703 −0.0657 −0.0794 −0.0546Maximo 0.0375 0.0554 0.0749 0.0424Media 0.0002 0.0007 0.0006 0.0005

Desv.tip 0.0102 0.0127 0.0139 0.0106N 2150 2150 2150 2150

Examinando la tabla anterior es posible observar que las acciones que componenlos portafolios MENOS, MEDIO y MAS se relacionan de forma coherente,tanto por su frecuencia de negociacion, como por su maximo rendimiento y ladesviacion estandar, crecen a medida que aumenta el rendimiento del portafolio.Se aprecia que el portafolio MAS se compone de las acciones con el rendimiento

8 El portafolio MAS se conformo con nueve acciones, mientras que el MEDIO se ajustocon once acciones debido a que dos tuvieron la misma probabilidad de no-negociacion. El

portafolio MEDIO estuvo conformado por las diez acciones restantes.


mas alto pero tambien con el mas bajo, presentando la mayor volatilidad en-tre los portafolios, lo que se confirma al tener la mayor desviacion estandar,seguida por el portafolio MEDIO. Asıque las acciones con grandes rendimien-tos son aquellas que estan asociadas a un mayor riesgo, hasta el punto en queel portafolio MAS llega a tener el menor rendimiento (−0.079).

Ahora bien, de acuerdo con la ecuacion 20 se puede calcular la auto-correlacion de primer orden, y es posible obtener los siguientes resultados.

Tabla 3. Matriz de correlaciones de primer orden entrecuatro portafolios de la BMV, 2000 a 2008.

MENOS MEDIO MAS INDIC30MENOS(−1) 0.1242 0.0668 0.0210 0.0799MEDIO(−1) 0.1262 0.1183 0.0608 0.1220MAS(−1) 0.1342 0.1192 0.0981 0.1367INDIC30(−1) 0.1483 0.1202 0.0703 0.1326

La tabla 3 muestra que la auto-correlacion provocada por la no-negociacionpara el portafolio con las acciones mas negociadas llega a ser de 9.8%, valorque aumenta cuanto mayor es la probabilidad de no-negociacion que tienenlas acciones que componen cada portafolio hasta llegar a ser de 12.4% en elportafolio MENOS. La auto-correlacion mas alta que se presenta es paratodo el conjunto de acciones (INDIC30) de 13.2%, aunque haya una mayordiversificacion, al incluir acciones que son moderadamente negociadas aumentala posibilidad de pronosticar el rendimiento del portafolio. Confirmando elprimer resultado, en el cual la asincronıa de la negociacion es un componentede prediccion sobre el rendimiento de los portafolios de igual ponderacion paralas acciones de la Bolsa Mexicana de Valores.

Verificando los valores entre los modelos anteriores se tiene que la auto-correlacion diaria de la tabla 3 es mucho mayor que la autocorrelacion semanalcalculada para el primer modelo, tomando solo los valores para los portafoliosMAS e INDIC30, esto indica que al agregar los datos por semana, por meseso periodos mayores, se puede ir reduciendo el efecto de la asincronıa pero con elcosto de perder gran cantidad de informacion, entre mas grande sea la unidadde tiempo analizada se ira reduciendo la posibilidad que alguna accion no seanegociada.

Otro hecho que es posible observar en la tabla 3 es que las entradas pordebajo de la diagonal principal de la matriz de correlacion son mayores queaquellas que estan por encima (sin incluir el portafolio INDIC30), esta ca-racterıstica revela que los rendimientos del portafolio MENOS estan correla-cionados con los rendimientos del portafolio conformado por las acciones masnegociadas, pero no en sentido contrario.

4. Analisis de la correlacion cruzada entre portafoliosUna de las principales razones para la existencia de la correlacion cruzada esla conducta de lıder-rezago (lead-lag pattern) y se debe a que los precios dealgunas acciones se ajustan mas lentamente a la llegada de nueva informacion


publica, ası que la negociacion asincronica tambien puede explicar parte de estacorrelacion9. Esto implica que las acciones de menor valor reaccionan de formarezagada a los impactos de la informacion, ya que esta informacion se reflejapreviamente en las acciones de mayor valor.

Esta seccion analiza la correlacion cruzada entre los rendimientos de losportafolios descritos y se estima la relacion lıder-rezago entre las acciones masnegociadas (MAS) y las menos negociadas (MENOS) a traves del metodo deRegresiones Aparentemente No Relacionadas (Seemingly Unrelated Regressions- SUR) implementado por Li, Greco y Chavis (2002), y Altay (2003).

Este metodo determina los estimadores de manera simultanea y suponeque las ecuaciones no tienen ninguna relacion aparente, su vınculo se debe a laexistencia de una correlacion contemporanea entre sus terminos de error, incor-porando la informacion contenida en estas correlaciones al realizar la estimacion,luego la variabilidad de los estimadores sera menor, produciendo resultados maseficientes que el ajuste por Mınimos Cuadrados Ordinarios 10.

El sistema de ecuaciones simultaneas que se quiere ajustar a traves delmetodo SUR y analizar la correlacion cruzada en la BMV es el siguiente,

RE,t = aE + aEERE,t−1 + aEARA,t−1 + εE,t

RA,t = aA + aAERE,t−1 + aAARA,t−1 + εA,t

donde RE,t representa el rendimiento del portafolio compuesto por las accionesmenos negociadas en la fecha t y RA,t es el rendimiento del portafolio MASen la misma fecha, los coeficientes aE y aA son los estimadores para cada unode los portafolios, respectivamente, mientras que aEE es la autocorrelacionde primer orden para los rendimientos del portafolio MENOS y aAA es laautocorrelacion de primer orden entre los rendimientos del portafolio MAS,aEA es la sensibilidad entre los rendimientos del portafolio MENOS con elportafolio MAS rezagado un periodo, de igual forma, aAE es la sensibilidadentre los rendimientos del portafolio MAS con el portafolio MENOS rezagadoun periodo, εE,t y εA,t son los terminos de error de cada uno de los portafolios.Agregar al sistema de ecuaciones el rendimiento rezagado permite relacionar elefecto que producen las autocorrelaciones.

La tabla 4 presenta los resultados de la estimacion para el sistema de ecua-ciones entre los rendimientos de los portafolios MENOS (RE,t) y MAS (RA,t).La evidencia estadıstica revela que los rendimientos del portafolio MAS tieneun efecto positivo y estadısticamente significativo, para un dıa de rezago, alcan-zando un valor del 7% sobre los del primer portafolio, ademas la sensibilidad delrendimiento de este portafolio MENOS sobre si mismo tambien es significativa(aEE = 7.6%), sealando la lenta reaccion de esta clase de acciones a la nuevainformacion.

En cuanto a los rendimientos del portafolio MAS, su autocorrelacion esdel 11.5% y es significativa, mientras que la influencia de los rendimientos delportafolio MENOS son pequeos y no llegan a ser estadısticamente significa-tivos. Los resultados empıricos apoyan la hipotesis de la relacion lıder-rezago,

9 Atchinson, Butler y Simonds (1987), y Chordia y Swaminathan (2000) muestran que la

no-negociacion no es la unica fuente de autocorrelacion.10 Castro y Rivas-Llosa (2003). Econometrıa Aplicada. pp 519-530.


con un periodo de diferencia, en este caso la relacion se obtiene por la asincronıade las transacciones en la Bolsa Mexicana de Valores dada la construccion delos portafolios, los rendimientos del portafolio MAS asumen la posicion de lıderal poder explicar el comportamiento del portafolio MENOS, lo que no ocurreen el caso contrario.

Tabla 4. Relacion lıder-rezago entre portafoliosde menor y mayor negociacion en la BMV11.

Aunque se debe ser prudente con estas conclusiones, segun la agrupacion deacciones por su probabilidad semejante de no-negociacion para cada portafo-lio y a los resultados de la tabla 2, es posible observar que las acciones masnegociadas tambien son las de mayor rendimiento, asıque se podrıa lograr unacorrelacion similar seleccionando las acciones a traves del rendimiento o el pre-cio 12. Varias investigaciones muestran que es posible alcanzar esta clase deresultados analizando otros factores, Kadlec y Patterson (1999) seleccionan lasacciones por su precio, mientras que Chordia y Swaminathan (2000) organi-zan las acciones de acuerdo al volumen de negociacion obteniendo una relacionlıder-rezago significativa.

5. Conclusiones

Una de las caracterısticas mas estudiadas dentro de la microestructura de losmercados financieros son los efectos que produce la negociacion asincronica, estainvestigacion muestra que hay algun grado de prediccion de corto plazo sobre losrendimientos de los portafolios de igual ponderacion. Este estudio presenta unainvestigacion empırica acerca de la autocorrelacion y la correlacion cruzada en-tre portafolios de igual ponderacion con informacion diaria de la Bolsa Mexicanade Valores. Le evidencia muestra la existencia de una autocorrelacion positivaentre los portafolios, luego, hay un grado de prediccion para cada portafolio a

11 Los niveles de significancia son 1%, 5% y 10% y se representan mediante los sımbolos

*,** y ***, respectivamente.12 En el anexo se advierte que la mayor parte de las acciones menos negociadas tambien

tienen el menor precio.


traves de los rendimientos previos, consistente con el modelo presentado por Loy Mackinlay (1999).

Como un segundo resultado se explora la correlacion cruzada entre losportafolios conformados por las acciones de mayor y menor negociacion, comoconsecuencia se obtiene una relacion lıder-rezago positiva y significativa entreel portafolio de mayor negociacion hacia el de menor negociacion, pero no sepudo encontrar evidencia suficiente en sentido contrario, sugiriendo que la a-sincronıa es una de las fuentes principales de pronostico dentro del mercado deacciones. Serıa recomendable realizar otros estudios que permitan separar lasdiferentes fuentes de correlacion, propia y cruzada, para reconocer su efecto enla Bolsa Mexicana de Valores. Boudoukh, Richardson y Whitelaw deducen quela asincronıa tiene un efecto mucho mas grande que el presentado, casi del 30%para portafolios de Estados Unidos.

Aunque es posible reducir el efecto asincronico analizando datos con unamayor periodicidad, como semanales o mensuales, se debe sacrificar gran canti-dad de informacion. A traves de la estructura presentada es posible incluir estefenomeno dentro de las propiedades de serie de tiempo y lograr resultados masconsistentes en el analisis empırico, pero es evidente que ignorar esta asincronıaprovoca inferencias sesgadas en el comportamiento de los rendimientos de lasacciones o portafolios.

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Castro y Rivas-Llosa (2003). Econometra aplicada. Centro de Investigacin dela Universidad del Pacfico. Lima, Per.

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Madhavan, Ananth (2000). Market microstructure: A survey. Journal ofFinancial Markets, pp.205 258.


AnexoMuestra de 30 emisoras de acciones de la Bolsa Mexicana

de Valores para la estimacion de los modelos.

Empresa Frecuencia Rendimiento P recioEmisora de no promedio final

negociacion

ALFAA 0.0488 0.000329 69.9ARA 0.0823 0.000487 10.84BACHOCO 0.6088 0.000773 26.13BIMBO 0.0763 0.000580 64CEL 0.1991 −0.000374 121.54CEMEX 0.0433 0.000579 28.12CIEB 0.1884 −0.000216 23CIY DSASAA 0.6102 0.000069 9.98COMERCIUBC 0.0912 0.000478 29.39CONTAL 0.1628 0.000541 25.57ELEKTRA 0.0670 0.000919 290.58FEMSAUBD 0.0498 0.000771 44.77GCARSO 0.0586 0.000579 44.97GEOB 0.0758 0.000719 33.95GFINBUR 0.0833 0.000575 31.93GFNORTE 0.0577 0.001250 46.14GIGANTE 0.6619 0.000185 20.26GISSA 0.3977 −0.000047 17.74GMEXICOB 0.0660 0.000833 70.66GMODELOC 0.0609 0.000338 46.6GRUMAB 0.2586 0.000541 25.4HOGARB 0.4437 −0.000143 4.5ICA 0.1084 0.000478 63.26KIMBERA 0.0730 0.000365 47.21PEOLES 0.1200 0.001254 321.79SORIANA 0.0660 0.000379 31.21TELMEXL 0.0605 0.000522 20.07TLEV ISA 0.0493 0.000318 51.85V ITROA 0.1233 0.000229 19.16WALMEXV 0.0460 0.000758 45.06



Price volatility forecasts for agricultural commodities:

an application of volatility models,

option implieds and composite approaches for

futures prices of corn and wheat

Guillermo Benavides ∗

Recibido 29 de septiembre de 2008, Aceptado 2 de mayo de 2009

Resumen

Se ha hecho un gran esfuerzo en investigaciones destinadas a pronosticar lasvolatilidades en los rendimientos futuros de los activos y commodities del mundofinanciero. Una parte de esta investigacion se centra en la realizacion de mo-delos de series temporales (en particular los modelos ARCH) frente a la opcionimplıcita de modelos de volatilidad. Gran parte de la literatura relacionada eneste tema muestra que la precision en los pronosticos de la volatilidad no es facilde estimar, independientemente del modelo aplicado. Este documento examinala precision de los modelos de prediccion de volatilidad para los rendimientosfuturos de los precios del trigo y del maız. Los modelos aplicados aquı sonGARCH univariado, un ARCH multivariado (el modelo de BEKK), uno deopcion implıcita y un modelo de pronostico compuesto. El modelo compuestoincluye las series temporales (historicas) y el pronostico de la volatilidad en laopcion implıcita. Los resultados muestran que el modelo de opcion implıcitaes superior a los modelos historicos en terminos de precision y que el modelode pronostico compuesto fue el mas preciso (en comparacion a los modelosalternativos) teniendo la menor media cuadratica de los errores. Dados estosresultados, se recomienda utilizar un modelo de pronostico compuesto si ambostipos de datos estan disponibles, es decir la serie de tiempo (historica) y el deopcion implıcita. Ademas, los resultados de este estudio son consistentes conla parte de la literatura que resalta la dificultad de ser precisa acerca de laprediccion de la volatilidad en el rendimiento de los precios de los activos. Estoes porque el poder explicativo (coeficiente de determinacion), calculado en lasregresiones de pronostico era relativamente bajo.

Clasificacion JEL : C22, G12, G13, Q13.

Palabras clave: Agricultural commodities, BEKK model, multivariate GARCH, Samuelson

hypothesis, theory of storage.

∗ Banco de Mexico y Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad de Mexico, Cinco deMayo No. 18, Col. Centro, Mexico D.F. Telefono 52372000 Ext. 3877. C.P. 06059 CorreoElectronico: [email protected] ideas expressed in this paper are those of the author only and does not necessarily reflect

the point of view of Banco de Mexico (Central Bank of Mexico).

Price volatility forecasts for agricultural commodities 41

Abstract

There has been substantial research effort aimed to forecast futures price re-turn volatilities of financial and commodity assets. Some part of this researchfocuses on the performance of time-series models (in particular ARCH models)versus option implied volatility models. A significant part of the literature re-lated to this topic shows that volatility forecast accuracy is not easy to estimateregardless of the forecasting model applied. This paper examines the volatilityaccuracy of volatility forecast models for the case of corn and wheat futuresprice returns. The models applied here are a univariate GARCH, a multivari-ate ARCH (the BEKK model), an option implied and a composite forecastmodel. The composite model includes time-series (historical) and option im-plied volatility forecasts. The results show that the option implied model issuperior to the historical models in terms of accuracy and that the compositeforecast model was the most accurate one (compared to the alternative models)having the lowest mean-square-errors. Given these findings it is recommendedto use a composite forecast model if both types of data are available i.e. thetime-series (historical) and the option implied. In addition, the results of thispaper are consistent to that part of the literature that emphasizes the difficultyon being accurate about forecasting asset price return volatility. This is becausethe explanatory power (coefficient of determination) calculated in the forecastregressions were relatively low.

1. Introduction

Forecasts of price return volatilities are useful for persons involved in risk-management decisions. For example forecasting agricultural commodity pricevolatility could help decision makers to take decisions, which involve long-termcommitments of resources e.g. agricultural producers, businesses that requireagricultural products as inputs in production processes, financial institutionsinvolved in portfolio-risk management, among others. It is known that themore accurate the forecast is, the more the benefits (in terms of greater utility)a decision-maker can obtain from it (Brooks: 2002). Thus, an accurate fore-cast model in finance is a useful tool for individuals involved in these types offinancial risk taking decisions.

Nowadays it is widely known in the forecasting-volatility-literature thatthe implied volatilities obtained from options prices are accurate estimators ofprice volatility of their underlying assets traded in financial markets (Clementsand Hendry: 1998, Fleming: 1998, Blair, Poon and Taylor: 2001, Manfredo et.al.: 2001). The forward-looking nature of the implied volatilities is intuitivelyappealing and theoretically different to the well-known conditional volatilityARCH models estimated using backward-looking historical characteristics oftime series approaches and which are also applied to forecast volatility.

Considering the existing debate in the academic literature related to thevolatility forecasting accuracy between the aforementioned models and giventhat there are no conclusive answers about which is the most accurate modelto use, in this research paper the accuracies of the implied volatility estimatesand the volatility forecasts from a restricted version of the Engle and Kroner(1995) multivariate ARCH model (henceforth the BEKK model) are comparedagainst each other to see which model performs better. The BEKK model(named like this after an earlier working paper by Baba, Engle, Kraft and


Kroner (Baba et. al.: 1992) is used in order to estimate the historical volatilitiesof the commodities under study. In addition a composite forecast model is alsoestimated following Manfredo et. al.: 2001. The composite forecast modelincludes the estimates of the implied volatilities as well as the estimates fromthe BEKK model for both commodities. Thus, in this research both methods(implied and the BEKK models) are used in a composite forecast model inorder to forecast the daily volatility of the commodities under study. This isdone specifically for the case of the futures price return volatilities of corn andwheat.

2. Academic literature of volatility forecast models

2.1 Historical volatility models

Historical volatility is described by Brooks (2002) as simply involving calcula-tion of the variance or standard deviation of returns in the usual statistical wayover some historical period (time frame) and this may become a forecast forall future periods. Historical volatility was traditionally used as the volatilityinput to options pricing models although there is growing evidence that theuse of volatility predicted from relatively more sophisticated time series models(ARCH models) may give more accurate option valuations (Akgiray: 1989, Chuand Freund: 1996). It is well documented that ARCH models can provide accu-rate estimates of commodity price volatility (see for example, Bollerslev et. al.:1992, Ng and Pirrong: 1994, Susmel and Thompson: 1997, Wei and Leuthold:1998, Manfredo et. al.: 2001). However, there is less evidence that ARCHmodels give reliable forecasts of commodity price volatility for out-of-sampleevaluation (Park and Tomek: 1989, Schroeder et. al.: 1993, Manfredo et. al.:2001). All of them found that the explanatory power of these out-of-sampleforecasts is relatively low. In most cases the R2

t are below 10%. Therefore, theforecasting ability of these models may be questionable.

2.2 Option implied volatility models

Within the academic literature there is evidence that the information contentof the estimated implied volatilities from options could be superior to thoseestimated by time series approaches. The aforementioned evidence is sup-ported by Jorion (1995), Xu and Taylor (1995) for foreign exchange, Chris-tensen and Prabhala (1998), Figlewski (1997), Fleming (1998), Clements andHendry (1998), Blair, Poon and Taylor (2001) for stocks, Manfredo et. al.(2001) for agricultural commodities. On the other hand in several research pa-pers there is skepticism about the forecasting accuracy of the aforementionedimplied volatilities (Day and Lewis: 1992, 1993; Figlewski: 1997, Lamoureuxand Lastrapes: 1993). The latter type of research papers have increased thealready existing controversy regarding which is the best method or model to usein order to obtain the most accurate volatility forecast in financial markets i.e.implied volatility against time series approaches. This is because, as yet, thereare no conclusive answers about which is the best (and consistent) volatilityforecast model for forecasting price returns volatilities (Manfredo et. al.: 2001;Brooks: 2002). For out-of-sample volatility evaluation, forecasting price returnvolatilities has been a very difficult task given that most of the reported resultsin the academic literature, generally have very low explanatory power i.e. R2

t

below 10% (Brooks: 2002).


2.3 Composite forecast models

It is known in the academic literature related to composite forecasting modelsthat several hypotheses have been created in order to test the accuracy of thesemodels as explained by Bates and Granger (1969), Granger and Ramanathan(1984), Park and Tomek (1989), Clemen (1989), Makridakis (1989), Kroneret. al. (1994) and Fang (2002). It is known that the main motivation tocreate a composite forecast model is to create a superior forecast model, whichcan be a more accurate model when compared to different types of volatilityforecast models not being combined. The fact that individual forecast modelsgenerally have less than perfectly correlated forecast errors, has motivated se-veral researchers to combine them in order to improve the forecast accuracy ofthese models. Decreasing measurement errors by averaging them with severalforecast models could also improve forecasting (Makridakis: 1989). It is alsoknown in this literature that the variance of post-sample errors can be reducedconsiderably with composite forecast models (Clemen: 1989).

Composite forecast models applied to agricultural commodities are rela-tively scarce. Bessler and Brandy (1981) combined ARIMA and simple histo-rical average models, and they found that for quarterly hog prices, the resultswere superior when these models were combined1. They created the weightsfor the composite forecast model based upon the forecast ability of each indivi-dual model in terms of their Mean-Squared-Errors (MSE). Along the same linesPark and Tomek (1989) evaluated several forecast models (including ARIMA,Vector-Autoregression and OLS for their variances) and concluded in favor ofthe composite approach. Combining several forecast models gave the lowestMSE when compared to the same models not being combined. In an oppo-site finding Schroeder et. al. (1993) reported that forecasting cattle feedingprofitability gave conflicting results. Their results show that there was no fore-cast model consistent enough to consider a reliable forecast model (includingthe composite model). Finally, Manfredo et. al. (2001) attempted to forecastagricultural commodity price volatility using several models which includedARIMA, ARCH and implied volatility from options on futures contracts. Theyfound that there was no superior model to forecast volatility (based on theirMSE) however they recognized that composite approaches, which included op-tion implied volatilities performed marginally better than forecast models notbeing combined. They recognized that their models R2

t were significantly low(below 10%) thus, they did not find conclusive answers. They also recognizedthat composite approaches are now increasingly being used among researchersespecially when these data (time series and option implied volatilities) are avai-lable.

In this research paper the idea of combining conditional and implied volati-lity forecasts aims specifically to test the accuracy in terms of volatility informa-tion of the composite forecast model against individual forecast models i.e. theBEKK model and the implied volatilities models. The aforementioned BEKKand implied volatilities models are explained in Subsection 5.1. In Subsection5.3 below the composite forecast model, similar to the one used by Manfredo et.al. (2001) that combines conditional volatility forecast with implied volatility is

1 Bessler and Brandy analysed quarterly hog prices for the sample period from 1976:01

until 1979:02.


explained. Again, this model is intuitively appealing given the combination ofthe forward-looking nature of implied volatility against the backward-lookinghistorical characteristic of time series approaches.

3. Motivation

The motivation for conducting these volatility forecasts with the models ex-plained above (the multivariate ARCH model, the option implied volatilitiesmodel and the composite forecast model) is to extend the existing literature onagricultural commodity price returns forecasting using composite forecast mo-dels. This is conducted by comparing these individual models among each otherand then by evaluating their forecast performance when these models are com-bined within a composite forecasting approach. The evaluation is performed forboth in-sample and out-of-the-sample time periods. Previous research on thesecommodities price volatility forecasts has ignored the early exercise privilege ofthe options when the option implied volatilities are calculated (see for exampleManfredo et. al.: 2001) thus, by ignoring the early exercise privilege of theAmerican options these implied volatilities series are potentially flawed (Blair,Poon and Taylor: 2001). In this research paper the Barone-Adesi and Whaley(1987) approximation formula to find the price of an American option is use inorder calculate the implied volatilities of the commodities under analysis. Thus,the early exercise privilege of these American options is taken into considerationin the present study.

In addition, combination of a multivariate ARCH model with an optionimplied volatility model to develop a composite forecast model for futures pricesof corn and wheat has not been done before. Thus, these findings contributewith new knowledge to the existing academic literature on composite forecastmodels applied to agricultural commodities futures markets. It also could be forthe interest of groups of persons involved in making risk management decisionsrelated to these agricultural commodities or related products. These groups ofpersons could be agricultural policy makers, agricultural producers, commoditytraders, central banks, academic researchers among others.

4. Contribution

This paper extends the work made by Manfredo et. al. (2001) in several diffe-rent ways. First, a larger sample period is used. The sample period under studyin this research project is twenty-five years (from 01/01/1975 until 01/10/1999)of corn and wheat futures price data including seven years (from 01/01/1993until 01/10/1999) of option data for each of the aforementioned agriculturalcommodities. On the other hand they used fourteen years (1984-1997) of fedcattle, feeder cattle and corn futures data. Second, in this research projecthigher frequency data is used given that daily futures and options prices areused for obtaining the results. On the other hand they used weekly data.Third, the agricultural commodities under study are different in each of theprojects. In this project storable agricultural commodities are analysed i.e.corn and wheat. On the other hand they used non-storable commodities (fedcattle and feeder cattle) and one storable commodity (corn). Fourth, in thisresearch a multivariate ARCH model (the BEKK model) is used to provide theconditional volatility forecast in the composite forecast model. On the otherhand they used only univariate conditional volatility models in the composite


forecast model thus the forecast volatility examination they performed was onlyconsidering univariate ARCH modeling. Finally, the option implied volatilitiescalculated in this chapter are calculated with an option valuation model, whichconsiders the early exercise privilege of the American options (the Barone-Adesiand Whaley: 1987 model). They used the Black-Scholes model to calculatetheir implied volatilities from American options thus, their implied volatilitiesare mis-measured because they use an option valuation model for Europeanoptions that does not considers the early exercise privilege of the Americanoptions (Harvey and Whaley: 1992).

The inclusion of the multivariate ARCH conditional volatility estimatesin the composite forecast model could be a novelty to the volatility forecastingliterature. This is because the findings after applying the aforementioned modelwill contribute to the current debate in the academic literature related to whichcould be the most accurate forecasting volatility model in terms of volatilityforecasting of asset returns. Nowadays there is strong evidence that multivariateARCH models are more accurate than univariate ARCH models in terms ofvolatility forecasting of asset returns (Engle : 2000, Haigh and Holt: 2000,Pojarliev and Polasek: 2000). Thus combining the aforementioned estimateswith the estimated implied volatilities could provide useful information and arigorous examination on the performance of these volatility models i.e. theBEKK model, the implied volatilities and the composite forecast model for theagricultural commodities under study.

5. The models

5.1 Historical volatility models

The historical models under analysis are an univariate GARCH(1,1) and theBEKK model. The former estimates the conditional variances. The latter,in addition to estimating the conditional variances, it also estimates the con-ditional covariances of the series under study using a multivariate GARCHmethod. The BEKK model can be useful to test economic theories which in-volve price volatility analysis like for example price uncertainty influences toemployment (Engle and Kroner: 1995). In the present paper the univariateGARCH(1,1) model is estimated applying the standard procedure as explainedin Bollerslev (1986) and Taylor (1985). The procedure to obtain the aforemen-tioned BEKK model is explained in Equations (1) to (3) below.

Let yt be a vector of returns at time t (in this research paper the dimensionof this vector is 2 x 1 given that there are two series under analysis, spot andfutures prices series, but in any different case it could be extended to a n x nvector),

yt = µ + εt, (1)

Where µ is a constant mean vector and the heteroskedastic errors εt aremultivariate normally distributed (µ = greek-small-letter-mu and ε = greek-small-letter-epsilon)

εt|It−1 ∼ N(0, Ht)

Each of the elements of Ht depends on p lagged values of the squares andthe cross products of εt as well as they on the q lagged values of Ht (H =greek-capital-letter-eta).


Considering a multivariate model setting it is convenient to stack the non-redundant elements of the conditional covariance matrix into a vector i.e. thoseelements on and below the main diagonal. The operator, which performs theaforementioned stacking, is known as the vech operator. Defining ht = vech(Ht)and ηt = vech(εtε

′t) the parameterization of the variance matrix is (η = greek-

small-letter-eta).

ht = α0 + α1ηt−1 + ... + αpηt−p + β1ht−1 + ... + βqht−q, (2)

Equation (2) above is called the vech representation. Bollerslev et. al.(1988) have proposed a diagonal matrix representation, in which each elementin the variance matrix hjk,t depends only on past values of itself and pastvalues of the cross product εj,tεk,t. In other words, the variances depend ontheir own past squared residuals and the covariances depend on their own pastcross products of the relevant residuals. A diagonal structure of the matrices αi

and βi is assumed in order to obtain a diagonal model in the vech representationshown in Equation (2) above (α = greek-small-letter-alpha and β = greek-small-letter-beta).

In the representations explained above it is difficult to ensure positive de-finiteness in the estimation procedure of the conditional variance matrix. Toensure the condition of a positive definite conditional variance matrix in theoptimization process Engle and Kroner (1995) proposed the BEKK model. Thismodel representation can be observed below in Equation 3.

Ht = ωω′ +

p∑

i=1

α(εt−iε′

t−iα′ +

q∑

i=1

βHt−iβ′, (3)

In Equation (3) above ωω′ is symmetric and positive definite and the se-cond and third terms in the right-hand-side of this equation are expressed inquadratic forms (ω = greek-small-letter-omega). This ensures that Ht is posi-tive definite and no constraints are necessary on the αi and βi parameter ma-trices. As a result, the eigen values of the variance-covariance matrix will havepositive real parts which satisfy the condition for a positive definite matrix.

For an empirical implementation and without loss of generality the BEKKmodel can be estimated in a restricted form having ω as a 2 x 2 lower triangularmatrix, α and β being 2 x 2 diagonal matrices. Thus, for the bivariate case theBEKK model can be expressed in the following vector form.

(

H11,t H12,t

H12,t H22,t

)

=

(

ω1 0ω2 ω3

) (

ω1 ω2

0 ω3

)

+

(

α1 00 α2

)(

ε21,t−1 ε1,t−1ε2,t−1

ε1,t−1ε2,t−1 ε22,t−1

)(

α1 00 α2

)

+

(

β1 00 β2

)(

H11,t−1 H12,t−1

H12,−1t H22,t−1

) (

β1 00 β2

)

(4)

or


H11,t = ω21 + α2

1ε21,t−1 + β2

1H11,t−1

H12,t = H21,t = ω1ω2 + α1α2ε1,t−1ε2,t−1 + β1β2H12,t−1

H22,t = ω22ω

23 + α2

2ε22,t−1 + β2

2H22,t−1

For this model maximum likelihood methodology and the BHHH (Bernd-tand, Hall, Hall, and Hausman) algorithm of Berndt et. al. (1974) was used inthe estimation procedure.

5.2 The option implied volatilities model

The option implied volatility of an underlying asset is the markets forecast ofthe volatility of that asset and this is obtained with the options written onthat underlying asset. To calculate an option implied volatility of an assetan option valuation model is needed as well as the inputs for that model, likethe risk free rate of interest, time to maturity, price of the underlying asset,the exercise price and the price of the option (Blair, Poon and Taylor: 2001).Using an inappropriate valuation model will produce pricing errors and theoption implied volatilities will be mis-measured (Harvey and Whaley: 1992).For example using a valuation model that does not considers the early exerciseprivilege of an American option to find the option implied volatilities fromAmerican options will produce errors in the calculations i.e. using the Black andScholes (1973) model (henceforth, the Black-Scholes model) to find the optionimplied volatilities from American options. 2 Hence, in this research paper anoption valuation model for American options developed by Barone-Adesi andWhaley (1987) is used given that this valuation model takes into considerationthe early exercise privilege of American options thus, mis-measurement errorsfrom an early exercise are avoided. The approximation to obtain the value ofan American option in this model follows a geometric Brownian motion. Thisis described in detail in Barone-Adesi and Whaley (1987, pgs: 301 312) andthe equations (5) to (6) below summarizes this model.

C(S, T ) = c(S, T ) + A2

(

S

S∗

)q2

when S < S∗, andC(S, T ) = S − X, (5)

when S ≥ S∗, where

A2 =

(

S∗

q2

)[

1 − e(b−r)T N [d1(S∗)]

]

, (6)

and,

d1(S∗) =

[

ln[S∗

X] + (b + 0.5σ2)T

]

σ√

T

2 The Black-Scholes option valuation model is for European options. These options do

not have the early exercise privilege that American options have.


The variables in the formulae above represent the following: C is equalto the American call option price, c is equal to the Black-Scholes value foran European call, the variable S is the commodity spot price, T represents thetime to maturity of the option, S∗ is the value of the exercise boundary (exercisenow only if S ≥ S∗). q2 is an eigen value obtained (mathematically) from anearly exercise premium differential equation as explained in Barone-Adesi andWhaley (1987, pg: 306). The variable b is equal to the cost of carry, r is theriskless rate of interest, N [.] is the cumulative univariate normal distribution,σ2 is the instantaneous variance and σ is the instantaneous standard deviation,which is a proxy for the commoditys price volatility (σ = greek-small-letter-sigma). S∗ is found with an algorithm which is described in detail in Barone-Adesi and Whaley (1987, pg: 309). In this research paper S is equal to thecommodity futures price given that the option implied volatilities under analysisare those of the commodities futures prices.

For each trading day the aforementioned implied volatilities are derivedfrom nearby to expiration futures options contracts (at least fifteen tradingdays prior to expiration) by taking the at-the-money (or the closest to at-the-money) call options price for corn and wheat. In other words, the futurescontract exercise price is matched against the call option futures price, whichis at-the-money (equal) or the closest to at-the-money (almost equal). Thisis done for every trading day until the option contract is fifteen trading daysclose to expiration. When the option is fifteen trading days to expiration theimplied volatilities are calculated with the next (in calendar) futures optioncontract. This is done in order to avoid volatility bias due to time to expirationphenomena (Figlewski: 1997). The interest rate is used for each trading day inorder to calculate these implied volatilities.

5.3 The composite forecast model

Considering that the time variable in the option price formula for the commodi-ties under study is measured in years the estimates of the implied volatilitiesare calculated on an annualized basis. In order to include the implied volatili-ties estimates in the composite forecast model they must be transformed intodaily trading-days estimates and then extended to a desired forecast horizon.Following Manfredo et. al. (2001) the formula to transform the aforementionedannualised estimates into daily trading-days implied volatilities which then canbe extended to a desired forecast horizon can be observed in Equation 7 below.

σt,hr,i = IVt,i.

√hr

252, (7)

In Equation (7) above σt,hr,i represent the hr-period volatility forecast forthe agricultural commodity i at time t. The symbol IVt,i represent the impliedvolatility estimate (annualised) for the agricultural commodity i at time t. Thehr represents the desired forecast horizon. Again, considering that the dailyimplied volatilities estimates are obtained on an annualized basis with dailydata the numerator in Equation (7) above is one, which represents one-trading-day and the denominator (the number 252) represent the number of tradingdays in one year.

In order to create the composite forecast model it is necessary to use asimple averaging technique where the composite forecast is merely the average


of individual forecasts at time t. It follows that weights for each of the volati-lity forecasts are generated by an OLS regression of past realized volatility onthe respective volatility forecasts. This procedure to create the weights forthe aforementioned composite volatility forecast is explained in more detail inGranger and Ramanathan (1984). This can be observed in Equation 8 below.

σt,i = α0 + β1σ1,t,i + β2σ2,t,i + ... + εt,i, (8)

In Equation (8) above σt,i represent the realized volatility at time t forcommodity i and represent the individual volatility forecast (k) correspondingto the realized volatility at period t for commodity i. As it can be observed inthis equation the composite forecast model includes the average of the individualvolatility forecasts at time t in which the weights for each of the individualvolatility forecasts are estimated with an OLS regression. Following Blair, Poonand Taylor (2001) the realized volatility can be calculated in the following way,

σ2t,h,i =

hr∑

j=1

R2t+j,i, (9)

In Equation (9) above σt,h,i represents the realized (total) volatility of co-mmodity i at time t over the forecast horizon hr. The R2

t represents the squaredreturn at time period t of commodity i. Thus, the resulting composite volatilityforecast can be observed in Equation (10) below.

σt,1+i = α0 + β1σ1,t+1,i + β2σ2,t+1,i + ... + βkσk,t+1,i, (10)

In Equation (10) above the variables are the same as expressed previously.The composite forecast model of this equation is a one-day volatility forecast. Inorder to create a composite volatility forecast of more than one day i.e. hr > 1the estimated one-day composite volatility forecast (from Equation (10) above)

is multiplied by√

hr. The aforementioned method for obtaining a compositevolatility forecast of more than one day (h > 1) is a common practice in theacademic literature however, it is important to emphasize that an alternativeis to obtain predictions of volatility for each period in the forecast interval (e.g. from an ARCH model).

The MSE obtained from each of the estimates of all the volatility forecastmodels are compared to each other. The formula to obtain the MSE is presentedin Equation 11 below.

MSE =1

n

n∑

i=1

(σ2t,hr,i − σt−1,hr,i)

2, (11)

In Equation (11) above n is equal to the number of observations and theother variables are the same as described previously. These MSE comparisonsare performed in order to provide a robust analysis of the accuracy of the afore-mentioned composite volatility forecast model against the alternative models(the conditional and implied volatilities models). The model with the smallerMSE is considered the most accurate volatility forecasting model of the returns


of the agricultural commodities under study. Ranking models in terms of theirMSE is a common practice in the forecasting volatility literature.

6. Data

6.1 Futures and spot data

The data for the agricultural commodities consists of daily spot and futuresprices of corn (CN) and wheat (WC) obtained from futures contracts tradedat the Chicago Board of Trade (CBOT). The sample period under analysisis twenty-five years from 01/01/1975 to 01/10/1999 supplied by The FuturesIndustry Institute (FII). The sample size is 6,243 observations. The sample pe-riod was chosen considering that it covers sufficient numbers of years includingimportant agricultural U.S. legislation passages of 1985, 1990 and 1996.

6.2 Options data

The options data for the agricultural commodities under study consists of dailyoptions prices for futures contracts of corn and wheat traded at the CBOT. Thesample period under analysis is seven years from 01/01/1993 to 31/12/1999supplied by the CBOT. The sample size is 1,703 observations. The data for theinterest rates consists of daily 30-day and 91-day interest rates of Certificates ofDeposit (CDs) obtained from the FED web page3. The options data is necessaryin order to estimate the implied volatilities for the commodities under study.The procedure to obtain the aforementioned implied volatilities is performed byapplying an approximating American option price formula, which is describedin Barone-Adesi and Whaley (1987) and is presented in Section 5.2 above.

6.3 Data transformation

In order to avoid unrealistic jumps when creating a time-series of futures pricesfrom different contracts (Wei and Leuthold: 1998), synthetic futures priceswere created. These were calculated by a roll-over procedure that is basicallyan interpolation of futures prices from different maturity futures contracts ofeach commodity. This procedure creates a constant maturity weighted averagefutures price based upon the futures prices and the days to maturity of the twonear-by-expiration contracts4 . The formula used to obtain the synthetic futuresprice is shown below in Equation (12).

SY NT = Fj

[

(T − Ti)

(Tj − Ti)

]

+ Fi

[

(Tj − T )

(Tj − Ti)

]

, (12)

Where: SY NT = Synthetic futures price for delivery at T , Fj = Contractj futures price expiring at j, Fi = Contract i futures price expiring at i, T =91, the chosen constant maturity in number of days, Ti = Contract i expirationin days remaining, Tj = Contract j expiration in days remaining, j = i + 1,with Ti ≤ T ≤ Tj .

3 The web page is http://www.federalreserve.gov/4 The futures contracts for the aforementioned agricultural commodities have the follo-

wing delivery months: March, May, July, September and December.


The time to expiration of the synthetic futures prices calculated is T = 91days. This is considered an appropriate time-to-expiration given that a shortertime-to-expiration will give higher expected volatility. This situation is observedin empirical research papers, which have found that volatility in futures pricesincreases, as a contract gets closer to expiration (Samuelson: 1965). A higherexpected volatility due to time-to-expiration could have biased the results ofthis analysis. Thus, 91-day synthetic futures prices were considered appropriateusing this method in order to avoid high volatility estimates due to time-to-expiration causes. In addition this will always allow finding a shorter andlonger contract, if necessary.

7. Descriptive statistics

This subsection presents the descriptive statistics for the volatility forecastingmodels and the realized volatilities for commodities under analysis. The samplesizes for the GARCH(1,1) and BEKK(1,1) models are from 01/01/1975 until01/10/1999 and the sample sizes of the option implied, the composite forecastmodels and the realized volatilities are from 02/01/1993 until 01/10/1999. Thesample sizes for the historical models (autoregressive models) are larger as it isdescribed in Section 6.1 above. Tables 1 - 2 show the descriptive statistics forthe volatility forecasting models and the realized volatility for corn and wheatrespectively.

As it can be observed in Tables 1 to 2 the means of the option impliedand the variances of the realized volatilities are the ones with higher values forboth commodities under study. These findings are consistent with Christensenand Prabhala (1998) who found that the means of the option implieds werehigher than the means of the realized volatilities and that the variances of therealised volatilities were higher than the variances of the option implieds. Thedistributions in those tables are highly skewed and leptokurtic for the volatilityforecasting models and the realized volatilities of the commodities. This isconsistent with the work of Wei and Leuthold (1998) who had similar findingswith daily futures prices volatility data of agricultural commodities.

8. Results

8.1 In sample evaluation

The OLS estimates for the weights of the composite forecast model (Equation8 above) and the results of the MSE for the commodities under study can beobserved in Tables 3 - 4, respectively. As it can be observed in Table 3 the OLSestimates show that the implied volatilities contain more of the informationcontent of the realized volatility for the returns of both commodities whenthey are compared with the other forecast models. However, it is difficult tofind conclusive answers about their statistical power because the adjusted R2

are remarkably low i.e. 0.1810 for corn and 0.1491 for wheat. In Table 4it can be observed that the most accurate model for forecasting the returnsvolatilities of the commodities under study is the composite forecast modelgiven that it has the lowest MSE. These results are consistent with Kroneret. al. (1994) and Manfredo5 et. al. (2001) who found the most accurate

5 In Manfredo et. al. (2001) the forecast time horizon was a one-week volatility forecast

for the case of corn.


volatility forecasts using composite forecast models for commodity markets.The second best returns volatilities forecasts are the implied volatilities whichagain the results are consistent with Manfredo et. al. (2001) for the case ofcorn. The differences of the MSE among the models in Table 4 are statisticallysignificant at the 1% level. The p-values rejected the null hypothesis of equalityof forecast accuracy between the forecast models at the 1% level. The nullhypothesis included the composite forecast model against the remaining models.The procedure applied to obtain these statistical significances is the same asthe one described in Diebold and Mariano (1995)6.

8.2 Out-of-the-sample evaluation

The sample period under analysis is partitioned in order to evaluate the out-of-the-sample forecasts. The estimates of the BEKK(1,1) model are obtainedfrom 01/01/1975 until 03/01/1996 and the estimates of the option implied andthe composite forecast models are obtained from 02/01/1993 until 03/01/1996.The jump-off period is 04/01/1996, thus the out-of-the-sample evaluation iffrom 04/01/1996 until 01/10/1999 for all the forecasting models. The estimatesof the OLS regressions (Equation (10) above) and the out-of-the-sample resultsof the MSE for the commodities under study can be observed in Table 5 to 6respectively.

It can be observed in Table 6 that for the out-of-the-sample evaluationthe composite forecast model has the lowest MSE thus, is the most accuratemodel for forecasting futures returns of the commodities under analysis. TheMSE differences in this table are statistically significant at the 5% level. Forthe case of wheat the option implied has the same MSE than the compositemodel thus, the option implied volatility for that commodity is as accurate asthe composite model in terms of volatility forecasting. For the case of corn theoption implied is the second best model. According to the estimated parametersfor both commodities it is possible to observe that the option implied containmore information of the realized volatility compared to the historical volatilitymodels (BEKK, GARCH). The out-of-the-sample evaluation shows that theresults are qualitatively similar to the in-sample evaluation (Table 4), in otherwords the composite forecast models are the most accurate models and theoption implied are the second best in terms of the relevant information aboutthe realized volatility i.e. out performing the BEKK(1,1) and the GARCH(1,1)models.

10. Conclusions

The on-going debate related to which is the most accurate model to forecastvolatility of price returns of financial assets or commodities has led academicresearchers to foster empirical research on the aforementioned topic. A consi-derable amount of research projects have compared time-series models against

6 This method requires generating a time series, which is the differential of the squared-

forecast errors from two different forecast models i.e. dt = (σ2t −σ1,t−1)

2−(σ2t −σ2,t−1)

2

, where dt is the differential of the series and σi is the forecast of the i model. The t-statistic

is obtained in the following way, d√sd

n

where d is the sample mean and sd is equal to the

standard deviation of the series. The other variables are the same as described previously.


option implied volatilities and for instance composite forecast models in order tofind the most accurate model to forecast price return volatility for specific assets.Albeit part of the literature advocates the use of option implied volatilities asthe most accurate alternative to forecast price returns volatilities of financialassets there are still no conclusive answers in terms of finding one superior modelespecially for the case of forecasting price returns volatilities of agriculturalcommodities. This is because the coefficients of determination are relativelylow for all models.

In this paper the aforementioned volatility forecast models i.e. time-series,option implied and composite forecast models were compared to each otheraiming to find the most accurate volatility forecasting model for the price re-turns of the agricultural commodities for corn and wheat. According to theresults the implied volatilities contained most of the information of the realizedreturns for both commodities. Similar findings can be found in the academicliterature for exchange rates, stock prices and stock indexes . The results showthat the composite forecast models were the most accurate models to forecastthe aforementioned price returns volatilities when they were compared to thealternative models not being combined. These findings are consistent with partof the academic literature, which states that composite approaches are the mostaccurate alternative to forecast price returns volatilities for commodities. In thisspecific case these findings are for the agricultural commodities under study.

Acknowledgements: I want to thank the Department of Accounting andFinance at Lancaster University and CONACYT (National Council of Scienceand Technology) Mexico, for the generous financial support given to me.

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Appendix

Table 1. Descriptive statistics for the volatility forecasting models and therealized volatility of the daily futures price returns for corn.

Statistic GARCH(1,1) BEKK (1,1) Option Composite Realized

model model implied forecast model volatility

Mean 0.000151 0.000137 0.000198 -3.47*10−8 0.000157

Variance 1.70*108 1.20*108 1.80*108 7.70*108 9.40*108

Skewness 3.4288 3.8899 2.1005 3.7206 4.2749

Kurtosis 20.6997 25.3797 10.0865 24.9194 27.4936

N 6,243 6,243 1,703 1,703 1,703

This table reports the descriptive statistics of the volatility forecasting modelsand the realised volatility for the daily futures prices returns for the case of corn.The daily option implied volatility is computed using an approximating Ame-rican option price formula as described in Barone-Adesi and Whaley (1987).The options data are call options at-the-money (or the closest to at-the-money)with at least fifteen days prior to expiration. The realised volatility used to ob-tain the composite forecast model is the annualised ex-post daily futures returnvolatility for the respective sample period under analysis. The sample size forthe BEKK(1,1) and the GARCH(1,1) models is 6,243 observations from 2ndJanuary 1975 to 1st October 1999. The sample size for the implied, compositemodels and the realised volatility is 1,703 observations from 2nd January 1993to 1st October 1999. N = Number of observations.

Table 2. Descriptive statistics for the volatility forecasting models and therealized volatility of the daily futures price returns for wheat.

Statistic GARCH(1,1) BEKK (1,1) Option Composite Realized

model model implied forecast model volatility

Mean 0.000181 0.000178 0.000210 3.20*10−6 0.000180

Variance 1.40*108 1.10*108 9*109 8.60*108 1.00*107

Skewness 2.9936 3.4310 2.0853 4.1606 4.9389

Kurtosis 16.2787 21.1956 9.9843 38.7625 45.0710

N 6,243 6,243 1,703 1,703 1,703

This table reports the descriptive statistics of the volatility forecasting modelsand the realised volatility for the daily futures prices returns for the case ofwheat. The daily option implied volatility is computed using an approxima-ting American option price formula as described in Barone-Adesi and Whaley(1987). The options data are call options at-the-money (or the closest to at-the-money) with at least fifteen days prior to expiration. The realised volatilityused to obtain the composite forecast model is the annualised ex-post dailyfutures return volatility for the respective sample period under analysis. Thesample size for the BEKK(1,1) and the GARCH(1,1) models is 6,243 obser-vations from 2nd January 1975 to 1st October 1999. The sample size for the


implied, composite models and the realised volatility is 1,703 observations from2nd January 1993 to 1st October 1999. N = Number of observations.

Table 3. In-sample OLS estimates for both of the commodities.

Agricultural Independent Variables Adj. R2 DW

Commodity

Intercept BEKK(1,1) Option

Implied

Corn -4.10*10−5 0.1771 0.8646 0.1810 1.9866

(1.24*10−5)” (0.0856)” (0.0714)

-3.3126 2.0695 12.1092

Wheat -8.72*10−5 -0.1047 1.3629 0.1491 1.8925

(1.77*10−5)” (0.1286) (0.1163)”

-4.9277 -0.8140 11.7163

This table presents estimates of OLS regressions of the variables in the se-cond row (independent variables) against the realised volatility of the respectivecommodity (dependent variable). Standard errors are shown in brackets. Italics= t-statistic. (”) Indicates the coefficient is statistically significant at the 5%confidence level; (’) indicates the coefficient is statistically significant at the10% confidence level. Adj. R2 = Adjusted coefficient of determination. DW= Durbin Watson statistic. The sample size for the BEKK(1,1) model is 6,243observations from 2nd January 1975 to 1st October 1999. The sample size forthe implied is 1,703 observations from 2nd January 1993 to 1st October 1999.The sample size for the estimates of the regressions is 1,703 observations from2nd January 1993 to 1st October 1999

Table 4. MSE for both commodities.

Agricultural GARCH(1,1) BEKK(1,1) Option Comp.

Commodity model model implied forecast-model

Corn 8.4035*10−8 8.3670*10−8 7.8784*10−8 7.6929*10−8

Wheat 9.2918*10−8 9.2416*10−8 8.7060*10−8 8.5688*10−8

This table reports MSE of the volatility forecasting models for the daily fu-tures prices returns for the commodities under study. The daily option impliedvolatility is computed using an approximating American option price formulaas described in Barone-Adesi and Whaley (1987). The options data are calloptions at-the-money (or the closest to at-the-money) with at least fifteen daysprior to expiration. The realised volatility used to obtain the MSE is the an-nualised ex-post daily futures return volatility for the sample period underanalysis. The sample size for the BEKK(1,1) and the GARCH(1,1) models is6,243 observations from 2nd January 1975 to 1st October 1999. The samplesize for the implied and the composite models is 1,703 observations from 2ndJanuary 1993 to 1st October 1999. The sample size to calculate the MSE is thesame as for the implied and the composite models i.e. 1,703 observations from2nd January 1993 to 1st October 1999. (’) Indicates the smallest value.


Table 5. In-sample OLS estimates for the out-of-the sample evaluation for bothof the commodities.

Agricultural Independent Variables Adj. R2 DW

Commodity

Intercept BEKK(1,1) Option

Implied

Corn -1.01*10−5 1.0735 0.1554 1.9405

(6.04*10−6)’ (0.0344)”

-1.6732 31.2320

-2.82*10−5 0.8991 0.1403 1.9785

(1.45*10−5)’ (0.0806)”

-1.9438 11.1440

-4.14*10−5 0.2985 0.7655 0.1446 2.0453

(1.57*10−5)” (0.1366)” (0.1011)”

-2.6372 2.1858 7.5743

Wheat -2.26*10−5 1.1308 0.1140 1.9120

(8.84*10−6)’ (0.0432)”

-2.5601 26.1247

-5.49*10−5 1.1237 0.1122 2.1151

(2.05*10−5)” (0.1144)”

-2.6784 9.8209

-3.98*10−5 -0.3486 1.3498 0.1137 2.0663

(2.28*10−5)’ (0.2324) (0.1892)”

-1.7434 -1.4997 7.1342

This table presents estimates of OLS regressions of the variables in the se-cond row (independent variables) against the realised volatility of the respectivecommodity (dependent variable). Standard errors are shown in brackets. Italics= t-statistic. (”) Indicates the coefficient is statistically significant at the 5%confidence level; (’) indicates the coefficient is statistically significant at the10% confidence level. Adj. R2 = Adjusted coefficient of determination. DW= Durbin Watson statistic. The sample size for the BEKK(1,1) model is 5,297observations from 2nd January 1975 to 3rd January 1996. The sample size forthe implied and the composite models is 757 observations from 2nd January1993 to 3rd January 1996.

Table 6. Out-of-the-sample MSE for both commodities.

Agricultural GARCH(1,1) BEKK(1,1) Option Composite

Commodity model model implied forecast model

Corn 1.05*10−7 1.06*10−7 9.70*10−8 9.60*10−8 ’

Wheat 1.29*10−7 1.27*10−7 1.18*10−7 ’ 1.18*10−7 ’


This table reports the out-of-the-sample MSE of the volatility forecasting mo-dels for the daily futures prices returns for the commodities under study. Thedaily option implied volatility is computed using an approximating Americanoption price formula as described in Barone-Adesi and Whaley (1987). Theoptions data are call options at-the-money (or the closest to at-the-money)with at least fifteen days prior to expiration. The realised volatility used toobtain the MSE is the annualised ex-post daily futures return volatility forthe sample period under analysis. The in-sample size for the BEKK(1,1) andthe GARCH(1,1) models is 5,297 observations from 2nd January 1975 to 3rdJanuary 1996. The in-sample size for the implied and the composite models is757 observations from 2nd January 1993 to 3rd January 1996. The out-of-the-sample forecast evaluation period consists of 947 observations from 3rd January1996 to 1st October 1999. The jump-off period is 4th January 1996. The samplesize to calculate the MSE for the out-of-the-sample forecast evaluation periodis 947 observations from 3rd January 1996 to 1st October 1999. (’) Indicatesthe smallest value.



Una Contribucion a la Valuacionde los Synthetic CDO

Francisco Garcıa Castillo ∗

Recibido 12 de abril 2009, aceptado 5 de julio 2009

Resumen

El derivado crediticio mas popular es el Credit Default Swap (CDS) y funcionacomo un seguro ante el potencial incumplimiento de una contraparte. Si secuenta con un portafolio de instrumentos de deuda con una estructura compleja,donde los flujos provenientes del portafolio se canalizan a distintas categorıas deinversionistas, se obtiene un Collaterized Debt Obligations, CDO. En caso deque el CDO se conforme por un portafolio de bonos o de creditos se denominacash CDO; si se conforma por un portafolio de CDS se denomina CDO sintetico.Un CDO sintetico es una transaccion que transfiere el riesgo de credito de unportafolio de CDS al mercado.

En este documento se describe el proceso de valuacion del CDO sinteticoy se propone un algoritmo para obtener el precio justo de los tranches quelo conforman. La contribucion del documento es ofrecer una alternativa a losmodelos existentes de valuacion del CDO sintetico (metodo de simulacion deMonte Carlo y de Copulas), ya que permite valuarlo incluso si los CDS que loconforman tienen distintos valores en sus nocionales.

Abstract

The Credit Default Swap (CDS) is the most popular credit derivative and itis used as an insurance against the risk of default by a particular company,known as a reference entity. If a portfolio of debt instruments is created witha complex structure where the cash flows from such portfolio are channeled todifferent categories of investors, we have a collateralized debt obligation (CDO).If the CDO is formed by a portfolio of CDS it is called a Synthetic CDO. Thesynthetic CDO transfers to market the credit risk of the portfolio.

In this paper I describe the synthetic CDO valuation process and I proposean algorithm in order to get the fair price of tranches that do not require MonteCarlo simulation or Copulas, even with different notional principal values.

Clasificacion JEL: C65, G13.

Palabras clave: Derivados de credito, riesgo de credito, collateralized debt obligation.

∗ Departamento de Economıa, Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores de Mon-terrey, Campus Ciudad de Mexico, Calle del Puente 222, Oficinas 3, Piso 2, Col. Ejidos de

Huipulco, Del. Tlalpan, 14380 Mexico, D.F., e-mail: [email protected]

Una Contribucion a la Valuacion de los Synthetic CDO 61

1. Introduccion

Los derivados crediticios han tenido un dinamico crecimiento entre toda la fa-milia de derivados: a diciembre de 2001 tenıan un valor sobre el nocional (elvalor nocional es el valor total de la posicion del activo y se utiliza en opcionesy futuros) equivalente a 632 mil millones de dolares a nivel mundial, mientrasque a mediados de 2008 esta cantidad se situo en 54.6 billones de dolares, loque implica un crecimiento anual promedio del 39% (International Swap andDerivatives Association, ISDA). Los derivados crediticios se clasifican en “sin-gle name” y “multiname”. El derivado crediticio mas popular tipo single esel Credit Default Swap (CDS) y funciona como un seguro ante el potencialincumplimiento de una contraparte (denominada entidad de referencia). Alportafolio conformado por CDS se le denomina Synthetic Collaterized DebtObligations (CDO sintetico); si el CDO se conforma por un portafolio de bonoso de creditos se denomina cash CDO. El CDO es el derivado de credito maspopular tipo “multiname”. Un CDO sintetico es una transaccion que transfiereel riesgo de credito de un portafolio de CDS. La mayor parte del riesgo que secomercializa en el mercado es a traves de estos instrumentos financieros. En elpresente documento se describe un proceso de valuacion del CDO sintetico, yse propone un algoritmo para obtener el precio justo de los tranches (tramoso porciones del portafolio) que lo conforman aun con valores diferentes en susnocionales.

Debido al crecimiento de los CDO en el mercado, existe una gran variedadde modelos para su valuacion. Uno de los mas populares es el de la valuacionneutral al riesgo desarrollado por Duffie y Garleanu (2001), en el cual se valuan,en el momento de contratacion, los flujos esperados y los flujos contingentes, uti-lizando probabilidades de incumplimiento neutrales al riesgo. En este metodolos autores encuentran que la correlacion de incumplimiento de las entidades dereferencia tiene un impacto significativo en el valor de mercado de los tranchesque conforman un CDO. Otro paradigma en la valuacion de los CDO es medi-ante el uso de la simulacion de Montecarlo, desarrollada por Galiani (2003) yPeixoto (2004), y los resultados que obtuvieron son similares a los del metodode la valuacion neutral al riesgo; sin embargo, este metodo se vuelve menoseficiente ante CDO complejos debido a la carga computacional que requiere,pero tiene la gran ventaja de poder realizar una gran cantidad de variacionesen los parametros utilizados. Otro metodo es el de las copulas, cuya ventaja esun menor tiempo para llevar a cabo la valuacion. Li (2000) incorporo la copulaGaussiana, a partir del cual se han desarrollado distintas variantes, como lacopula de correlacion estocastica (Andersen y Sidenius, 2005); copula de t Stu-dent (Andersen, Sidenius, y Basu, 2003); copula de Clayton (Schfionbucher ySchubert, 2001) y copula exponencial de Marshall-Olkin introducidas al analisisde credito por Duffie y Singleton en 1998 (Burtschell, Gregory y Laurent, 2008).

Hull y White (2004) proponen un procedimiento general para la generacionde copulas1 , encontrando que la copula de la doble distribucion t ofrece unbuen ajuste para los ındices iT raxx y CDX. Burtschell, Gregory y Laurent(2008) comparan estos metodos con el de la copula Gaussiana, en los cuales

1 Es un metodo muy popular para modelar dependencias. Matematicamente, una copulaes una funcion que permite combinar distribuciones univariadas para obtener una distribucion

multivariada con una estructura de dependencia particular.


los modelos de copulas de Student y de Clayton se asemejan a esta. En lapresente investigacion se llevo a cabo la valuacion del CDO sintetico con baseen la metodologıa propuesta por Gibson (2004), quien desarrolla una solucionanalıtica para la valuacion de los tranches del CDO sin utilizar simulacion deMonte Carlo. Gibson (2004) utiliza un metodo de valuacion del CDO para unportafolio cuyos nocionales son iguales; por lo que en el presente trabajo sepropone un algoritmo para valuar dichos instrumentos con diferentes valores enlos nocionales.

2. Descripcion del CDO sintetico

Existe una amplia gama de derivados crediticios, describiendose a continuacionalgunos de ellos:

Asset-Backed Securities (ABS). Es un tıtulo creado a partir de un portafo-lio de creditos, bonos, tarjetas de credito, hipotecas, creditos automotrices,arrendamiento de aviones u otro activo financiero. Estos creditos se clasificande acuerdo a su calidad crediticia en “prime” (excelente calidad crediticia), “nonprime” (calidad crediticia que no reune los requisitos de prime pero no es la masriesgosa) y “sub prime” (categorıa mas riesgosa del credito). Si una institucionbancaria tiene un portafolio conformado por 10 mil prestamos nonprime, puedetitulizar estos creditos a traves de un Special Purpose Vehicle (SPV) 2, quienemite los tıtulos para venderlos en el mercado de capitales a inversionistas. Estearreglo tiene el efecto de transferir el riesgo de credito hacia los inversionistas,ya que el rendimiento que estos reciban dependera unicamente de los flujos ge-nerados por los creditos que conforman el portafolio. El banco, por su parte,obtiene una prima como colocador de los creditos.

Existen diversas maneras de construir un ABS, pero generalmente se cons-truye a traves de tranches (tramos o porciones del portafolio). Suponga que unainstitucion bancaria tiene un portafolio de 10 mil creditos por un monto de 100millones de dolares, entonces podrıa crear un ABS sobre estos creditos por unplazo de 5 anos de la siguiente manera: i) el primer tranche, deno-minado equitytranche, representa el 5% del valor del portafolio (5 millones de dolares) y generaun rendimiento del 30% sobre el nocional residual. Generalmente no se emiteun tıtulo sobre este tranche por lo que no se califica, y lo retiene la institucionbancaria; ii) el segundo tranche, conocido como mezanine tranche, representael 20% del valor del portafolio (20 millones de dolares) y ofrece un rendimientodel 10% sobre su nocional residual. Este tranche normalmente tiene una califi-cacion entre AA y BB, y iii) el tercer tranche, conocido como senior tranche,representa el 75% del valor del portafolio (75 millones de dolares) y ofrece unrendimiento del 6% sobre su nocional residual. Este tranche normalmente tieneuna calificacion AAA. Los tenedores de los tranches reciben sus rendimientossiguiendo una relacion de acuerdo a la calidad crediticia adquirida: los flujosque genera el portafolio se destinan en primer lugar a los inversionistas queadquirieron el senior tranche; posteriormente, los flujos del portafolio se des-tinan a los inversionistas que adquirieron el mezanine tranche y, por ultimo,

2 Un Special Purpose Vehicle, SPV, es una entidad con participacion limitada establecidapor empresas para cumplir objetivos especifıcosde caracter temporal: las empresas transfierenactivos al SPV para su administracion para financiar un gran proyecto, estableciendose metas

sin poner en riesgo a toda la empresa.


los flujos residuales se destinan a los inversionistas del equity tranche. Al irsedando los incumplimientos, se afectan en primera instancia los flujos del equitytranche, y de continuar los incumplimientos se afecta al mezanine tranche, y si elnumero de incumplimientos se incrementa todavıa mas, se afecta el rendimientodel senior tranche. De esta manera, la construccion de un ABS es una manerade convertir un portafolio de 10 mil creditos riesgosos con un valor de 100 mi-llones de dolares en tres diferentes productos: uno por un valor de 75 millonesde dolares, con una calicacion crediticia AAA y con un rendimiento del 6%; unsegundo por 20 millones de dolares, con una calificacion crediticia BBB y conun rendimiento del 10%, y uno por 5 millones de dolares. Se dice que esta es-trategia agrega valor por la demanda de mercado no satisfecha de instrumentosfinancieros con calificacion AAA (Gibson, 2004).

Synthetic CDO (CDO Sintetico. Un CDO que se conforma por unportafolio de posiciones cortas de CDS se denomina CDO sintetico. Supongaque se tiene un portafolio de CDS con un nocional total de 100 millones dedolares, entonces se puede construir un CDO sintetico de la siguiente manera:i) un primer tranche al que se le asignan los primeros 5 millones del nocional (yde las perdidas) y que obtiene un rendimiento del 15% sobre este nocional; ii)un segundo tranche al que se le asignan los siguientes 20 millones y obtiene unrendimiento del 1% sobre este nocional, y iii) un tercer tranche responsable porlas perdidas en exceso a los 25 millones y que obtiene un rendimiento del 0.1%sobre el nocional remanente. El nocional de cada tranche se reduce al ir ocu-rriendo los incumplimientos y con ello se reduce tambien su rendimiento: porejemplo, en un inicio cuando aun no hay incumplimientos, el tranche 1 obtieneun rendimiento del 15% sobre un nocional principal de 5 millones de dolares;sin embargo, si en los siguientes 6 meses ocurren incumplimientos del orden de1 millon de dolares, el tranche 1 recibira el pago sobre el nocional remanente,es decir, el 15% de 4 millones de dolares. De continuarse dando los incum-plimientos, de tal manera que se excedan los 5 millones del primer tranche, estedesaparece y se cargaran las perdidas subsecuentes sobre el siguiente tranche;y ası sucesivamente.

Los tranches de un CDO sintetico se clasifican en “fondeados” o “no fondea-dos”. En el primer caso el inversionista deposita al inicio del contrato el equi-valente al valor del nocional del tranche para que, en caso de haber incumpli-mientos, se realicen los retiros de efectivo correspondientes. 3 Si no hay incum-plimientos, el inversionista recibe el pago por asumir el riesgo. En los tranchesno fondeados no existen flujos al inicio del contrato, sino que el inversionistarecibe el rendimiento del tranche y paga unicamente al darse los incumplimien-tos del tranche de su portafolio.

Ante mercados competitivos, el CDO no tendrıa razon de ser debido aque todos los participantes dispondrıan de informacion perfecta, por lo que elmercado castigarıa a aquellas empresas que tuvieran una probabilidad mayorde quebrar. Sin embargo, el mercado dista mucho de ser competitivo. De estamanera, el valor economico de los CDO radica en el hecho de que los spreadscompensan a los inversionistas de acuerdo a la calificacion que se le asigna acada tranche, el cual debe reflejar la calidad de los activos que lo conforman.

3 Los recursos depositados se invierten en tıtulos de bajo riesgo, como deuda guberna-

mental o tıtulos privados calificados AAA.


El crecimiento mostrado por este instrumento sugiere que su costo es menorque aquel en que incurrirıan los inversionistas en la creacion de un portafoliode bonos o de creditos que reunan los objetivos de diversificacion y retorno deriesgos.

3. La intensidad de incumplimiento

La estimacion de las probabilidades de incumplimiento es de gran importan-cia para la valuacion de los derivados de credito. El Cuadro 1 es un productotıpico de una agencia calificadora. En ella se presenta la experiencia de las tasasde incumplimiento acumulado promedio de bonos con calicaciones especıficas,ponderadas por emisor, de 1 hasta 10 anos para emisores globales. Con baseen esta informacion, se obtiene la probabilidad no condicional de incumplim-iento, que se define como la probabilidad de incumplimiento durante un ano enparticular visto desde el momento cero4 .

Por ejemplo, para un bono global calificado como Baa2, la probabilidadno condicional de que incumpla durante el tercer ano es de 0.00796−0.00426 =0.00370. Por otro lado, la probabilidad de que un bono Baa2 “sobreviva”hasta el final del segundo ano es 1 − 0.00426 = 0.99574; de esta manera,la probabilidad de que un bono con esta calificacion incurra en incumplim-iento durante el tercer ano dado que no habıa incumplido anteriormente es0.00370/0.99574 = 0.00371583. A estas probabilidades condicionadas se les de-nominan intensidad de incumplimiento anual o hazard rates, y se les denotacomo λ. En caso de requerir probabilidades para periodos mas pequenos, deuna longitud ∆t, la intensidad de incumplimiento λ(t) se define tal que λ(t)∆tes la probabilidad de incumplimiento entre el periodo t y t + ∆t dado que nose ha presentado el incumplimiento anteriormente.

Sea T una variable aleatoria continua que denota el tiempo que transcurrehasta el incumplimiento del tıtulo y cuya probabilidad es una medida de in-cumplimiento desde el tiempo cero (hoy) al tiempo t. Sea F (t) la funcion dedistribucion de T , es decir,

F (t) = P (T ≤ t) (1)

para toda t ≥ 0; con F (0) = 0. Si se define la funcion de sobrevivencia S(t)como la probabilidad de que un instrumento alcance la edad t, entonces

S(t) = 1 − F (t) = P (T > t). (2)

4 Existen otros mecanismos para el calculo de las probabilidades de incumplimiento: i)a partir de los precios de los bonos, en el cual la probabilidad de incumplimiento de unaempresa se estima con base en los precios de los bonos que emite; ii) aquellas que se obtienencon base en los spreads de los CDS y iii) aquellas que se obtienen con base en el modelo deMerton (1974), en el cual la probabilidad neutral al riesgo de que una empresa incumpla con

el pago de su deuda se expresa como N(−d2), con d2 =ln(V0/D)+(r−σ2

V /2)T

σV

√T

y V0 es el

valor de los activos de la empresa el dıa de hoy, D es la cantidad de deuda mas intereses dela empresa, pagadera en T ; σV es la volatilidad del precio de los activos (constante) y r es latasa libre de riesgo. Si bien el valor de los activos y su volatilidad no son observables, pueden

estimarse en caso de que la empresa sea publica (Hull, 2008).


Luego, la funcion de densidad de F (t) esta dada por

f(t) = F ′(t) =lim

∆t → 0+

P (t ≤ T ≤ t + ∆t)

∆t= −S(t) (3)

La hazard rate se obtiene de la siguiente manera

P (t ≤ T ≤ t + ∆t|T > t) =F (t + ∆t) − F (t)

1 − F (t)≈ f(t)∆t

1− F (t). (4)

Cuadro 1. Tasas de incumplimiento acumulado globalponderadas por emisor 1990 a 2008.

Fuente: Corporate Default and Recovery Rates, 1920-2008. Moodys.

El cociente f(t)/1 − F (t) es el valor de la probabilidad condicional T aedad exacta t, dado que sobrevivio a esa edad. Sea esta funcion h(t) (hazardrate), entonces se tienen las siguientes relaciones

h(t) =f(t)

1 − F (t)= −S′(t)

S(t)= −dln(S(t))

dt. (5)

Resolviendo la ecuacion diferencial S(t) = e−

∫

0

th(x)dx

y dado que F (t) = 1 −S(t), entonces

F (t) = 1 − e−

∫

0

th(x)dx

= 1 − e−λ(t)t (6)


donde λ(t) es la hazard rate promedio entre el tiempo cero y t. Esta es unaforma habitual para obtener la razard rate a partir de probabilidades historicasde incumplimiento

λ(t) = −1

tln(1 − F (t)). (7)

La hazard rate es de particular importancia porque se utiliza para obtener losprecios de los diferentes productos financieros, como los CDO sinteticos.

4. Valuacion del CDO sintetico

Para valuar los tranches del CDO sintetico se requiere calcular en primera in-stancia la distribucion de perdidas del portafolio de referencia. Para ello seseguira el modelo utilizado por Gibson (2004), quien supone que la correlacionde incumplimiento dentro del portafolio de referencia esta dirigido por un factorcomun: el estado de la naturaleza M , y se estima la distribucion de perdidasdada ese factor y posteriormente se integra sobre M a fin de obtener la dis-tribucion no condicional de perdidas. Para obtener el valor esperado de lasperdidas por los incumplimientos, Gibson (2004) supone que el valor del no-cional y la tasa de recuperacion son constantes para todas las entidades dereferencia que conforman el portafolio. En el mundo real, generalmente se tieneque las entidades presentan diferentes valores en su valor del nocional; por loque en la presente investigacion se propone una mejora al algoritmo propuestopor Gibson (2004) tomando en consideracion este hecho, al valuar los tranchescon diferentes valores en los nocionales de las entidades de referencia.

A cada empresa i, con i = 1, 2, ...,N , le corresponden los siguientes para-metros:

i). Ai es el valor del nocional de la empresa i. ii). qi(t) es la probabilidadde que la empresa i quiebre al tiempo t. iii). Ri es la tasa de recuperacion porla venta de los activos de la i-esima empresa.

Las probabilidades de quiebra se pueden obtener de las probabilidadeshistoricas de incumplimiento de Moody’s, y las tasas de recuperacion se supo-nen constantes y conocidas, aunque el modelo permite realizar un analisis desensibilidad para diferentes niveles de tasas de recuperacion.

Siguiendo el modelo lineal de un solo factor de Black y Cox (1976), supone-mos que la calidad crediticia de la entidad de referencia depende de un activonormalizado xi, el cual esta dirigido por un factor comun M y por un factoridiosincrasico Zi, de la siguiente manera5

xi =√

ρiM +√

1 − ρiZi (8)

donde xi, M y Zi son variables aleatorias con media cero y varianza unitaria, confunciones de distribucion Fi, G y Hi, respectivamente; tal que las variables My Z1, Z2, ..., ZN son independientes; y

√ρi esta entre cero y uno. La correlacion

del valor de los activos entre el banco i y el banco j es√

ρiρj . El incumplimientoocurre cuando xi cae por debajo de un umbral de ese activo, xi, por lo tanto,la probabilidad de incumplimiento condicional, qi(t|M), es

qi(t|M) = Prob{xi < xi|M} = Hi

[

xi − ρiM√1 − ρi

]

(9)

5 Cabe senalar que en algunos autores describen a xi como xi = ρM +√

(1 − ρ2i )Zi.


ya que qi(t|M) = Prob{√ρiM +√

1 − ρiZi < xi} = Prob{Zi < xi−ρiM√1−ρi

}, y el

umbral de incumplimiento xi se obtiene como F−1i [qi(t)].

A continuacion se estima la funcion de distribucion del numero de in-cumplimientos condicionales al factor M mediante la siguiente forma recursiva(Gibson, 2004). Sea pK(l, t|M) la probabilidad de que ocurran exactamente lincumplimientos al tiempo t, condicionada al estado de la naturaleza M , de unportafolio compuesto por K entidades de referencia, y suponga que se conocela distribucion de incumplimiento para K entidades de referencia, pK(l, t|M)con l = 0, 1, 2, ...,K; si se agrega una entidad de referencia, con probabili-dad de incumplimiento condicionada qK+1(t|M), entonces la distribucion deincumplimiento de las K + 1 entidades de referencia es

pK+1(0, t|M) = pK(0, t|M)[1− qK+1(t|M)]pK+1(l, t|M) = pK(l, t|M)[1 − qK+1(t|M)] + pK(l − 1, t|M)[1 − qK+1(t|M)]pK+1(K + 1, t|M) = pK(K, t|M)[1− qK+1(t|M)]

(10)

con l = 1, 2, ..., K. Se parte de la funcion de distribucion de incumplimento conK = 0, p0(0, t|M) = 1, y se hace uso de las ecuaciones (10) para encontrar ladistribucion de incumplimientos del portafolio de referencia de N empresas con

pN(l, t|M) (11)

l = 0, 1, 2, ...,N. La probabilidad no condicional de que ocurran l incumpli-mientos en un sistema con N entidades de referencia se obtiene al integrar laecuacion (11) sobre todos los posibles estados de la naturaleza M

pN (l, t) =

∫ ∞

−∞pN (l, t|M)g(M)dM (12)

donde g es una funcion de densidad de M .Sea EK

t [L|l, M ] el valor esperado de las perdidas al tiempo t condicionadoa que ocurren exactamente l incumplimientos y condicionado al estado de la na-turaleza M para un portafolio conformado por K empresas (K = 1, 2, ...,N), yconsiderando una tasa de recuperacion de cero, EK

t [L|l, M ] se obtiene conformeal siguiente metodo recursivo, el cual es una contribucion para la valuacion delas perdidas esperadas 6

EKt [L|l, M ] = 0 para l = 0,

EKt [L|l, M ] =

{EK−1

t [L|l−1,M ]+AK}pK−1(l−1,t|M)qK(t|M)

pK−1(l−1,t|M)qK(t|M)+pK−1(l,t|M)[1−qK(t|M)]

+{EK−1

t [L|l,M ]}pK−1(l,t|M)[1−qK(t|M)]pK−1(l−1,t|M)qK(t|M)+pK−1(l,t|M)[1−qK(t|M)]

={EK−1

t [L|l−1,M ]+AK}pK−1(l−1,t|M)qK(t|M)pK(l,t|M)

6 Vease el Anexo para la demostracion de este algoritmo. El hecho de que LGD=100%

se puede relajar realizando distintos escenarios para este parametro.


+{EK−1

t [L|l,M ]}pK−1(l,t|M)[1−qK(t|M)]

pK(l,t|M)

(13)

para l = 1, 2, ...,K− 1, con ENt [L|N, M ] =

∑Ni=1 Ai y EN

t [L|N +1, M ] = 0. Laprimera restriccion implica que el valor esperado de la perdida por la quiebrade todas las empresas debe ser igual a la suma de los nocionales; mientrasque la segunda se refiere a la imposibilidad de presentar K + 1 quiebras de unportafolio compuesto por K entidades.

Una vez que se tienen los valores esperados condicionales al estado de lanaturaleza M y el numero de incumplimientos l, se calculan los valores espera-dos no condicionales, EK

t [L|l], integrando sobre M

EKt [L|l]) =

∫ ∞

−∞EK

t [L|l, M ]g(M)dM. (14)

Cabe senalar que para cada tiempo t se requieren de N +1 integrales numericas,que a su vez requieren cada una del uso de la formula (13) para diferentes valoresde M . El calculo de la distribucion del valor esperado de las perdidas tiene querepetirse para cada fecha t, este valor esperado es fundamental para la valuacionde cada tranche del CDO sintetico. Cabe senalar que se cumple con la condicionde que la perdida esperada en caso de que se presenten las quiebras de todaslas empresas es igual a la suma de los nocionales.

5. Valuacion del tranche CDO sintetico

Un tranche del CDO sintetico se define como el intervalo de perdidas [I, S] delcual el inversionista es responsable. El tranche de un CDO sintetico se valuacomo un contrato swap: el inversionista recibe un pago periodico por conceptode primas por parte del emisor (la pata fija) y realiza pagos contingentes alemisor cuando los incumplimientos afectan el tranche (la pata contingente). Sesupondra que todos los pagos (fijos y contingentes) ocurren en las mismas fechasde pago periodicas ti con ti = t1, t2, t3, ..., tn; sin embargo, supondremos queel inversionista realiza el pago en el periodo inmediato despues de que ocurreel incumplimiento y no en la fecha en que este ocurre. El valor del tranchedesde la perspectiva del inversionista es el valor presente del valor esperado dela pata fija menos el valor presente del valor esperado de la pata contingente.La valuacion de los tranches del CDO sintetico se realiza conforme a Gibson(2004). Sea ELj

tila perdida esperada del tranche j, con j = 1, 2, 3, 4 hasta la

fecha de pago ti, la cual se obtiene de la siguiente manera

ELjti

=

N∑

l=0

pN (l, ti)max{min(ENti

[L|l], Sj) − Ij , 0}. (15)

El valor esperado de la pata contingente es la suma descontada de los pagosrealizados por el inversionista del tranche j al ocurrir las quiebras que afectensu tranche

Contingente =n

∑

i=1

Dti[ELj

ti− ELj

ti−1] (16)


donde Dties el factor de valor presente con la tasa de interes libre de riesgo

descontada al tiempo ti; se supondra que la prima (par spread) que se pagaraal inversionista del j-esimo tranche, πj , es anual. La pata contingente estaafectada indirectamente por la probabilidad pK(l, ti) a traves de ELj

ti, por lo

que la diferencia ELjti− ELj

ti−1 representa la perdida esperada del j-esimotranche entre ti y ti−1.

El valor presente esperado de la pata fija es la suma descontada de lospagos que espera recibir el inversionista del tranche j:

F ija = πjn

∑

i=1

Dti∆ti

max{(Sj − Ij) − ELjti

, 0}, (17)

donde ∆ties el factor de pago acumulado por la fecha de pago ti (∆ti

≈ti − ti−1 = 1. El termino (Sj − Ij)−ELj

ties el valor del nocional del tranche j

en la fecha de pago ti y refleja su decremento al ir ocurriendo las quiebras quele afecten a este tranche.

El valor mark-to-market del j-esimo tranche, desde el punto de vista delinversionista (el que recibe la pata fija) es MTM = F ija − Contingente. Laprima justa πj se establece al momento en que se estipula el CDO sintetico (enel momento cero) y es aquella que hace cero el valor MTM del j-esimo tranche,es decir, es la que hace que F ija = Contingente:

πjn

∑

i=1

Dti∆ti

max{(Sj − Ij) − ELjti

, 0} =

n∑

i=1

Dti[ELj

ti− ELj

ti−1], (18)

por lo tanto

πj =

∑ni=1 Dti

∆timax{(Sj − Ij) − ELj

ti, 0}

∑ni=1 Dti

[ELjti− ELj

ti−1]. (19)

6. Conclusiones

Los derivados de credito han mostrado un gran dinamismo, tanto en su de-manda como en la variedad de instrumentos que se ofrecen. El Credit DefaultSwaps, CDS, es el mas popular de los derivados de credito y se utiliza como unseguro contra el riesgo de incumplimiento de una contraparte. Por su parte, elCollaterized Debt Obligation, CDO, se conforma por un portafolio de instru-mentos de deuda con una estructura compleja donde los flujos se cana-lizan adiferentes categorıas de inversionistas. En caso de que el portafolio se compongade CDS, se denomina CDO sintetico.

Este instrumento tiene la caracterıstica de transferir el riesgo de contra-parte hacia el mercado, en particular, a los inversionistas que hayan adquiridolos distintos tranches que conforman dicho portafolio. En este documento sepropuso un mecanismo alternativo a los existentes (metodo de simulacion deMontecarlo y de Copulas) para la valuacion de las pedidas esperadas de lostranches que conforman el CDO sintetico, a fin de obtener su precio justo. Elalgoritmo propuesto considera la posibilidad de valuar las perdidas esperadas


aun con diferentes valores en los nocionales de los CDS del portafolio, ası comotambien permite distintos niveles de perdida dado el incumplimiento. El prin-cipal beneficio de utilizar este metodo de valuacion radica en su sencillez paraser implementado.

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Anexo. Demostracion del algoritmo de la ecuacion (13)Sea EK

t [L|l, M ] el valor esperado de las perdidas dado que ocurren exactamentel incumplimientos en el estado de la naturaleza M al tiempo t de un portafolioconformado por K instituciones bancarias (K = 1, 2, 3, ..., ,N), cada una conun valor en su nocional de AK y considerando una tasa de recuperacion de cero.

Se obtiene EKt [L|l, M ] conforme al siguiente metodo recursivo:

EKt [L|l, M ] = 0 para l = 0,

EKt [L|l, M ] =

{EK−1

t [L|l−1,M ]+AK}pK−1(l−1,t|M)qK(t|M)pK−1(l−1,t|M)qK(t|M)+pK−1(l,t|M)[1−qK(t|M)]

+{EK−1

t [L|l,M ]}pK−1(l,t|M)[1−qK(t|M)]pK−1(l−1,t|M)qK(t|M)+pK−1(l,t|M)[1−qK(t|M)]

={EK−1

t [L|l−1,M ]+AK}pK−1(l−1,t|M)qK(t|M)pK(l,t|M)

+{EK−1

t[L|l,M ]}pK−1(l,t|M)[1−qK(t|M)]

pK(l,t|M)


para l = 1, 2, ..., K− 1, con EKt [L|l = K, M ] =

∑Ki=1 Ai y EK

t [L|l, M ] = 0 paratoda l > K, donde pK(l, t|M) es la la probabilidad de que ocurran exactamentel incumplimientos al tiempo t, condicionada al estado de la naturaleza M , deun portafolio compuesto por K entidades de referencia, y se obtiene conformeal metodo recursivo descrito en (10).

Demostracion. Sean

i) IKl = {i1, i2, ..., il} un subconjunto de l subındices tomados de un con-

junto de K subındices, con l ≤ K correspondientes a las l instituciones bancariasque incurrieron en quiebra de los K bancos.

ii) I′Kl = {i1, i2, ..., il, i

′

l+1, i′

l+2 , ..., i′

K} = IKl

⋃{i′l+1 , i′

l+2 , ..., i′

K} el sub-

conjunto formado por IKl y por los K − l subındices no considerados en IK

l ,es decir, los subındices tipo ij corresponden a los bancos que incurrieron en

quiebra y los tipos i′

j se refieren a los bancos que no quebraron.

iii) SKl = {I′K

l = {i1, i2, ..., il, i′

l+1 , i′

l+2, ..., i′

K}} para cada l = 1, 2, ..., K es

el conjunto de todas las posibles combinaciones del tipo I′Kl . La cardinalidad

de SKl es el numero de combinaciones de K en l, es decir, #SK

l =(

Kl

)

.

iv) SK+1l es el conjunto de todas las posibles combinaciones de l subındices

tipo de un conjunto K + 1, y los restantes subındices no considerados en lacombinacion, con l ≤ K + 1, y cuya cardinalidad es #SK+1

l =(

K+1l

)

.

Se hace una particion de SK+1l en dos subconjuntos, uno conteniendo todas

las combinaciones que incluyan al ındice K+1 en IKl y otro donde no se incluya,

entonces SK+1l se expresa de la siguiente manera:

SK+1l =

{

{i1, i2, ..., il, i′

l+1 , ..., i′

K+1|ij = K + 1}}

⋃{

{i1, i2, ..., il, i′

l+1 , ..., i′

K+1|ij 6= K + 1}}

La demostracion de (13) se hara por doble induccion7. Para mayor facilidad ensu seguimiento, la notacion se simplificara de la siguiente manera:

EKt [L|l, M ] = EK

t [L|l]pK−1

t (l, t|M) = pK−1(l)qK(t|M) = qK .

Probemos que se cumple para K = 1 y l = 1

E1[L|l = 0] ={E0[L|l=0]+A1}p0(l=0)q1+E0 [L|l=1]p0(l=0)[1−q1]

p1(l=1)

7 Sea una proposicion P en funcion de (a, b), P (a, b), donde (a, b) ∈ N × N . El

principio de doble induccin supone que se cumple P (1, 1) y P (k, l) para alguna (k, l)∈ N ×N , y se prueba que se cumple para P (k + 1, l) y P (k, l+1). Ası, se concluye que

P (a, b) es verdadera para (a, b) ∈ N ×N .


= {0+A1}q1+0q1

= A1.

Supongase que se cumple para K y l, entonces se tiene lo siguiente

EK [L|l] = {EK−1 [L|l−1]+AK}pK−1(l−1)qK+EK−1 [L|l]pK−1(l)[1−qK ]pK(l)

.

Por construccion se tiene que el valor esperado condicionado a M y l es

EK [L|l] =

∑

SKl

(Ai1+Ai2

+...+Ail)qi1

qi2...qil

[1−qi′

l+1

][1−qi′

l+2

]...[1−qi′

K

]

pK(l)

con l = 1, 2, ...,K. Por demostrar que para K + 1 y l se cumple

EK+1[L|l] ={EK [L|l−1]+AK+1}pK(l−1)qK+1+EK [L|l]pK (l)[1−qK+1 ]

pK+1(l) .

Por construccion se tiene lo siguiente

EK+1[L|l] =

∑

SK+1

l

(Ai1+Ai2

+...+Ail)qi1

qi2...qil

[1−qi′

l+1

]...[1−qi′

K

][1−qi′

K+1

]

pK+1(l) .

Separando la suma en terminos en los que ij = K +1 para algun j (por lo tantoque contienen a AK+1) y los que no lo tienen, se llega a

EK+1[L|l] =∑

SK+1

l|ij=K+1

(Ai1+...+Ail−1

+AK+1)qi1...qil−1

qiK+1[1−q

i′

l+1

]...[1−qi′

K

][1−qi′

K+1

]

pK+1(l)

+

∑

SK+1

l|ij 6=K+1

(Ai1+...+Ail−1

+Al)qi1...qil−1

qil[1−q

i′

l+1

]...[1−qi′

l

][1−qi′

K+1

]

pK+1(l),

reacomodando terminos

EK+1[L|l] =qK+1

∑

SKl−1

{Ai1+...+Ail−1

}qi1...qil−1

[1−qi′

l+1

]...[1−qi′

K+1

]

pK+1(l)

+qK+1AK+1

∑

SKl−1

qi1...qil−1

[1−qi′

l+1

]...[1−qi′

K+1

]

pK+1(l)

+[1−qK+1 ]

∑

SKl

{Ai1+...+Ail−1

+Ail}qi1

...qil−1qil

[1−qi′

l+1

]...[1−qi′

K

]

pK+1(l)

De la hipotesis de induccion se obtiene

EK+1[L|l] =qK+1EK [L|l−1]pK (l−1)+qK+1AK+1pK(l−1)+[1−qK+1 ]EK [L|l]pK (l)

pK+1(l)


con l = 1, 2, ...,K + 1. Por lo tanto,

EK+1[L|l] = {EK [L|l−1]+AK+1}pK(l−1)qK+1+EK [L|l]pK (l)[1−qK+1 ]pK+1(l)

.

Por demostrar que se cumple para K y l + 1, es decir, por demostrar que secumple

EK [L|l + 1] = {EK−1 [L|l]+AK}pK−1(l)qK+EK−1 [L|l+1]pK−1(l+1)[1−qK ]pK (l+1)

.

Por construccion, se tiene lo siguiente

EK [L|l + 1] =

∑

SKl+1

(Ai1+...+Ail

+Ail+1)qi1

...qilqil+1

[1−qi′

l+2

][1−qi′

l+3

]...[1−qi′

K

]

pK(l+1)

con l = 0, ..., K−1. Separando la suma en los terminos que contienen a ij = Kpara algun j (contienen a AK) de los que no lo tienen, se llega a lo siguiente

EK [L|l + 1] =

∑

SKl+1

|ij=K{Ai1

+...+AiK}qi1

...qilqK [1−q

i′

l+2

]...[1−qi′

K−1

][1−qi′

K

]

pK(l+1)

+

∑

SKl+1

|ij 6=K{Ai1

+...+Ail+1}qi1

...qilql+1 [1−q

i′

l+2

]...[1−qi′

K−1

][1−qi′

K

]

pK(l+1)

reacomodando terminos

EK [L|l + 1] =qK

∑

SK−1

l

{Ai1+...+Ail

}qi1...qil

[1−qi′

l+2

]...[1−qi′

K

]

pK(l+1)

+qK AK

∑

SK−1

l

qi1...qil

[1−qi′

l+2

]...[1−qi′

K

]

pK(l+1)

+[1−qK ]

∑

SK−1

l+1

{Ai1+...+Ail+1

}qi1...qil+1

[1−qi′

l+2

]...[1−qi′

K−1

]

pK(l+1)

Usando la hipotesis de induccion se obtiene

EK [L|l + 1] = qKEK−1 [L|l]pK−1(l)+qK AKpK−1(l)+[1−qK ]EK−1 [L|l+1]pK−1(l+1)pK(l+1)

con l = 1, 2, ...,K.

Por lo tanto,

EK [L|l + 1] ={EK−1 [L|l]+AK}pK−1(l)qK+EK−1 [L|l+1]pK−1(l+1)[1−qK ]

pK (l+1) .

q.e.d.



Relacion entre incertidumbree inversion en Mexico, enfoque

de opciones reales

Humberto Valencia Herrera∗

Eduardo Enrique Gandara Martınez∗∗

Recibido 11 de septiembre 2008, Aceptado 15 de mayo 2009

Resumen

Evaluando la significancia empırica de la incertidumbre sobre la inversion condatos panel de empresas de Mexico para el perıodo 1997-2007, se encuentranefectos ambiguos: el impacto en las inversiones de las empresas chicas y me-dianas es negativo, mientras que en las inversiones de empresas grandes espositivo. La relacion entre inversiones y utilidad operativa es positiva, mientrasque la relacion con el tipo de cambio real no es significativa.

Abstract

We evaluate the empirical significance of the effects of uncertainty on investmentanalizing panel data for public mexican companies from the 1997-2007 period,we found ambiguos effects: the impact on small and medium size companiesinvestments is negative, while at large companies, the effect is positive. Thereis a strong positive effect of earnings on investments, and the real exchangerate has not a significative impact. Keywords: investment, uncertainty, realoptions.

Clasificacion JEL: G31.

Palabras clave: inversion, incertidumbre, opciones reales.

1. Introduccion

En toda economıa uno de los principales problemas es la asignacion eficiente delos recursos para consumo e inversion. El ambiente que enfrentan los agentespara realizar estas asignaciones es de incertidumbre en variables como precios,demanda y costos y de situaciones de irreversibilidad que pueden implicar costoshundidos. 1

∗ Departamento de Contabilidad y Finanzas. Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad

de Mexico. e-mail: [email protected]. Tel: 54832241∗∗ Programa Doctoral en Ciencias Financieras. Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad

de Mexico. email: [email protected]. Tel: 525526841 La palabra incertidumbre proviene del prefijo latino in que indica negacion y de la voz

latina certitudo (o certinitis) que significa conocimiento seguro y claro. En consecuencia,

incertidumbre es desconocimiento.

Relacion entre incertidumbre e inversion en Mexico 75

Lo anterior implica que se requieren mecanismos adecuados para tomar de-cisiones optimas de inversion. Entre los instrumentos disponibles se encuentran,el modelo neoclasico, en el cual se supone reversibilidad y para las decisionesde inversion se consideran los criterios de ingreso marginal igual o mayor acosto marginal, que justifican medidas como el valor presente neto (VPN) ola q de Tobin, definida esta como la razon del valor de mercado entre el valoren libros, y las nuevas teorıas de valuacion como son las opciones reales, enlas que se incorpora la irreversibilidad, la incertidumbre y la flexibilidad opera-tiva. Teoricamente y de acuerdo a la evidencia empırica revisada, no es posibleestablecer una relacion incondicional positiva o negativa entre incertidumbree inversion y, ademas de la incertidumbre, existen otros factores de tipo mi-cro y macroeconomico que explican las decisiones de inversion de las empresas.Dada esta ambiguuedad, y la importancia de la inversion para inducir el cre-cimiento economico, el proposito de esta investigacion es probar empıricamentela relacion entre inversion y la incertidumbre y otras variables, ası como evaluarlas diversas teorıas de inversion a la luz de los resultados que se encuentren,mediante el analisis de la informacion de un conjunto de 104 empresas que coti-zan en la Bolsa Mexicana de Valores, para el perıodo 1997-2007. Las preguntasque se abordan son las siguientes: ¿cuales son las bases teoricas que justificanla relacion entre incertidumbre e inversion?, ¿cuales han sido las metodologıasde analisis de dicha relacion y sus resultados?, ¿como se podrıa complementarel analisis desde una perspectiva econometrica?, ¿que factores inciden en lasdecisiones de inversion de las empresas en Mexico?, ¿cual es la contribucion dela incertidumbre para dichas decisiones?, con base en dicha evidencia, ¿cualesson las conclusiones e implicaciones?

Este trabajo esta organizado como sigue: en la seccion dos, se presentael marco teorico, en la primera parte se contrasta inversion usando tecnicasde valuacion tradicional y la teorıa de opciones, en una segunda se dis-cuten diferentes teorıas que relacionan inversion e incertidumbre, y en la ter-cera, se mencionan otras teorıas que explican inversion, la seccion tres discutela metodologıa del trabajo, la seccion cuatro presenta los resultados y en elapartado final las conclusiones y recomendaciones.

2. Marco teorico

2.1 Inversion y valuacion.

Existen diversas tecnicas para analizar la viabilidad de los proyectos de in-version, las cuales segn Brennan y Trigeorgis (1999) se pueden clasificar en: (a)modelos mecanicos o estaticos, como el periodo de recuperacion (PR), la tasainterna de retorno (TIR) y el valor presente neto (VPN); (b) los modelos endonde los flujos son parcialmente controlables y la toma de decisiones respondea la incertidumbre sobre las condiciones exogenas que los afectan, y (c) los mo-delos dinamicos o de teorıa de juegos, en donde no solo las condiciones exogenasafectan la decision, sino tambien las reacciones de otros agentes economicos.

La metodologıa de valuacion de proyectos a traves de opciones reales esun ejemplo de los modelos con flujos parcialmente controlables, la cual permiteconsiderar el valor de los flujos y de la toma de decisiones futuros, en funcionde la realizacion de eventos y de la incorporacion de nueva informacion delmercado.


El comportamiento de un proyecto de inversion es muy similar al de las op-ciones financieras, ya que el inversionista tiene la opcion de tomar una decisioninmediatamente o esperar a que se revele nueva informacion, siendo el valor dela opcion el costo de oportunidad del inversionista, el cual es muy sensible ala incertidumbre sobre el valor futuro del proyecto, por lo que las condicionescambiantes que lo afectan pueden modificar la decision de inversion de hoy. Enel cuadro 1 se muestra la similitud de parametros entre una opcion real y unafinanciera.

Cuadro 1. Similitud de parametros entre las opciones

financieras y reales

Parametro Opcion real (financiera)

St Valor presente de los flujos de efectivo esperados en t(subyacente)

K Costo de inversion en T (precio de ejercicio)

Rf Tasa de interes libre de riesgo

σ Volatilidad del valor presente de flujos deefectivo del proyecto (volatilidad del subyacente)

T − t Tiempo en que la oportunidad de invertir desaparece(plazo a vencimiento)

Al igual que en las opciones financieras, el valor de una opcion real aumentacon el tiempo de maduracion y con la volatilidad del subyacente.

2.2 Incertidumbre e inversion

Las teorıas de inversion bajo incertidumbre se pueden clasificar en teorıas quese enfocan en la empresa y resaltan su sensibilidad a la incertidumbre y, lasteorıas que consideran a la empresa en relacion con otras empresas y enfatizanla covarianza de los rendimientos con el mercado. El efecto positivo o negativode la incertidumbre sobre la inversion depende de si el producto marginal delcapital es una funcion convexa o concava de un cambio subito de alguna varia-ble aleatoria. En el primer caso, un incremento en la varianza de la variablealeatoria incrementa los incentivos a invertir, mientras que en el segundo casoocurre lo contrario.

La principal clase de modelos que predicen una relacion concava de laincertidumbre sobre la inversion son los modelos de irreversibilidad en la in-version. Ası, como en el caso del Modelo de Valuacion de Activos de Capital(CAPM, por capital asset pricing model), mas incertidumbre hace a la inversionmenos deseable, sin embargo, con irreversibilidad, a diferencia del CAPM, laincertidumbre tiene un efecto directo en la inversion que es independiente dela correlacion con el mercado, la incertidumbre incrementa el riesgo sin nece-sariamente incrementar las ganancias deseadas, la tasa de retorno deseado nonecesariamente es mayor.

Si la inversion es irreversible, las empresas invierten despues de que elingreso marginal del capital ha alcanzado el nivel para inversion con certidumbre


y, bajo ciertos supuestos, dicho nivel se incrementa con la incertidumbre, MarcusMiller y Lei Zhang (1996) encuentran que al incrementarse la incertidumbre seincrementa el nivel mınimo de precio requerido para decidir explotar un campode petroleo y por ende se puede incrementar el diferimiento de inversiones yJohn V. Leahy y Toni M. Whited (1996) encuentran una relacion negativaentre incertidumbre e inversion para 600 empresas de manufacturas de EstadosUnidos para el perıodo 1981-1987, lo cual es consistente con las teorıas deirreversibilidad de la inversion, pero no encuentran evidencia de efectos positivosvıa el canal de convexidad del producto marginal del capital, ni de los efectosnegativos de la incertidumbre con base en el CAPM. Considerando el tamanode las empresas, Ghosal y Loungani (2000) encuentran una relacion negativaentre inversion e incertidumbre y que dicha relacion es sustancialmente mayoren industrias dominadas por empresas pequenas.

2.3 Otros factores que explican las decisiones de inversion

Ademas de la incertidumbre en ciertas variables, las decisiones de inversion delas empresas se basan en otros factores de ındole micro y macroeconomico comola disponibilidad de fondos, las utilidades y la posicion en el mercado, y la in-flacion, el tipo de cambio y el grado de desarrollo financiero, respectivamente,en particular: la inversion se encuentra relacionada con los recursos a explotary la tasa de conveniencia, en el caso de recursos naturales (Brennan y Schwartz,1985), las utilidades (Ueda y Yoshikawa, 1986), patentes, conocimiento tecnico,experiencia administrativa, infraestructura y posicion en el mercado (Pindyck,1988), el financiamiento interno, en el caso de empresas pequenas de alta tec-nologıa (Himmelberg y Petersen 1994) o en el caso de imperfecciones del mer-cado (Stenbacka y Tomback, 2002), precios, costos, niveles de produccion, flujode efectivo, depreciacion, tasa de interes, incertidumbre fiscal e irreversibilidad(Hubbard, 1994), capital fısico, recursos humanos y patentes (Kogut y Kulati-laca, 2001), gasto publico e infraestructura (Cuamatzin, 2006), la fuerza laboral,el rendimiento de mercado, la volatilidad y la liberacion financiera (Desrochesy Francis, 2007), la privada con el autofinanciamiento, en el caso de Mexicopara el perıodo 1988 a 2004, que se afecta con la deuda primaria gubernamen-tal (Alarco y del Hierro 2007). Con algunas variables no se le observa relacionsignificativa: la depreciacion del tipo de cambio, para empresas de la industriamanufacturera de Canada para el perıodo 1981-1997, (Harchaoui, Tarkhaniy Yuen, 2005). Respecto a la variabilidad de la inversion y otras variables:Beaudri, Caglayan y Schiantarelli (2001) encuentran evidencia de una relacionnegativa entre la varianza condicional de la inflacion y la varianza de la tasa deinversion.

3. Metodologıa

Este estudio se realiza con base en la metodologıa de los trabajos de JohnV. Leahy y Toni M. Whited (1996) y de Ghosal Vivek y Loungani Prakash(2000) con datos de panel de una muestra de empresas de Mexico. Tambien seconsidera la metodologıa de los otros estudios mencionados para controlar poralgunos de los factores adicionales a la medida de incertidumbre que influyen enlas decisiones de inversion, en particular: utilidades (Ueda y Yoshikawa, 1986),tamano de la empresa (Hubbard, 1994 y Kulatilaca 2001), riesgo sistematico,


capturado por la tasa de interes en Hubbard (1994) y tipo de cambio (Harchaoui,Tarkani y Yuen, 2005).

Un aspecto importante es la medicion de la incertidumbre, en este es-tudio se considera como medida ex post de incertidumbre la volatilidad delos rendimientos diarios de las empresas, medida a traves de su desviacionestandar. La volatilidad de los rendimientos puede capturar distintas fuentesde incertidumbre que pueden inducir a las empresas a posponer inversiones ypor lo tanto a reducir sus planes actuales de inversion. La desventaja es quelos rendimientos pueden ser muy ruidosos, reflejando no solo cambios en losfundamentales.

Debido a que los precios de las acciones en el mercado se basan en infor-macion hacia adelante (forward looking), los rendimientos reflejan expectativasacerca de una variedad de factores que afectan la rentabilidad esperada y, porlo tanto, sobre el valor que puede ser generado por las empresas a traves de susdecisiones de inversion: Rendimientos favorables del mercado estan asociadoscon mayor demanda de inversion.

3.1 Hipotesis y resultados esperados

En este estudio, la hipotesis alternativa principal es si la inversion disminuyecon aumentos en la volatilidad en la rentabilidad de la accion, lo cual da evi-dencia de irreversibilidad, (el producto marginal del capital es concavo) masque conforme a modelos de covarianza (medida convencional del riesgo) comoel CAPM (Leahy y Whited, 1996).

Por otro lado, se verifica la hipotesis de que el impacto negativo de la in-certidumbre sobre la inversion es distinto entre las empresas pequenas y lasempresas grandes. Se espera que sea mayor en las empresas pequenas debidoa que enfrentan mas restricciones para el acceso al financiamiento en los mer-cados de capital (Ghosal y Loungani, 2000). Asimismo, se verifica el impactode mecanismos de financiamiento interno como la utilidad de operacion y delentorno macroeconomico a traves del tipo de cambio real y el efecto de la cova-rianza de la incertidumbre de la empresa con el mercado, a traves de las betasde las empresas.

4. Analisis empırico y resultados

4.1 Muestra de empresas y definicion de variables

Se obtuvo de la base de datos Economatica la informacion de 104 empresasque cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores, correspondiente a las variablesactivo fijo, activo total, amortizaciones y depreciaciones, patrimonio neto, utili-dad de operacion, beta, volatilidad, cantidad de acciones, ingresos netos porexportacion, precios diarios de las acciones y cotizacion diaria del Indice de laBolsa Mexicana de Valores. Se obtuvo ademas de Banco de Mexico e INEGIinformacion sobre las variables tipo de cambio, inflacion, Cetes y ProductoInterno Bruto (PIB) de Mexico y el PIB de Estados Unidos del Federal ReserveBank.

Posteriormente se formo la base de datos con la cual se llevo a cabo elanalisis. Incorpora la informacion de las variables de interes en los modelos quese proponen, de las 104 empresas para el perıodo 1997 2007. La composicion


final de la muestra arroja un panel de datos no balanceado con un total de 1,040registros de datos. El panel de datos no balanceado se debe principalmente aque algunas empresas solo se muestran para algunos anos porque son nuevas ointerrumpieron sus operaciones durante el perıodo de analisis.

Se estimaron modelos utilizando cuatro variables dependientes distintascomo medidas de inversion: (DAT/PN) definida como la razon del cambio en elactivo total neto, mas amortizaciones y depreciaciones, sobre el patrimonio netocomo una proxy del capital de la empresa; (DAF/PN) definida como la razondel cambio en el activo fijo neto, mas amortizaciones y depreciaciones, sobreel patrimonio neto; (DAF/AT) definida como la razon del cambio en el activofijo neto, mas amortizaciones y depreciaciones, sobre el activo total; (DAT/AT)definida como la razon del cambio en el activo total neto, mas amortizacionesy depreciaciones, sobre el activo total.

Para probar la teorıa de irreversibilidad se considero como variable indepen-diente y medida de incertidumbre a la volatilidad, medida como la desviacionestandar de los rendimientos diarios ajustada al periodo.

Para incorporar el efecto de otras variables se incluyeron: la razon de lautilidad de operacion mas las amortizaciones y depreciaciones entre el patri-monio neto, como una medida del impacto de los resultados de la empresa enlas decisiones de inversion. El tipo de cambio real y la tasa de interes real seincluyeron para capturar el efecto de las variables macroeconomicas en las de-cisiones de inversion.4 Para considerar el efecto del mercado exterior sobre lasempresas, con los ingresos por exportacion de cada empresa como proporcion delos ingresos totales se construyo una variable dummy y se identificaron empresasexportadoras y no exportadoras.

La ecuacion general del modelo usado en el analisis es el siguiente:

DEPit = αit + β1V OLit + β2UTOPit + β3TASAREALit + β4TCREALit

+β5DEXPORTit + β6DBAJOit + β7DMEDIOit + εit

Donde, i identifica a la empresa, t indica el perıodo de tiempo en anos yait se refiere al termino constante. DEPit , se refiere a la variable dependienteutilizada en cada caso: DAT/PN, DAF/PN, DAF/AT y DAT/AT, medidas enporcentaje. La variable VOLit, es la desviacion estandar anual de los rendimien-tos diarios, medida en porcentaje. UTOPit, es la razon entre la utilidad deoperacion, mas amortizaciones y depreciaciones, y el patrimonio neto, medidaen porcentaje.

TCREALit corresponde al tipo de cambio real, estimado como el cocientedel tipo de cambio nominal por el nivel de precios en Estados Unidos entreel nivel de precios en Mexico. DEXPORTit es la dummy que identifica si laempresa es exportadora (si sus ingresos por exportacion son mayores o iguales al25% de los ingresos totales). DBAJOit identifica si la empresa es de bajo riesgo

4 Se considero inicialmente como variables la variacion porcentual real de Producto InternoBruto (PIB) de Mexico y la de Estados Unidos, la tasa real, medida a partir de los Certificadosde la Tesorerıa de la Federacion (CETES) a un plazo de 360 dıas y la inflacion, pero dadasu alta correlacion con la variable de tipo de cambio real, 0.344, 0.7036, 0.3952 y 0.9556,

respectivamente, se omitieron del analisis para evitar la colinealidad.


sistematico conforme al nivel de la beta, beta menor o igual a 0.6, DMEDIOitidentifica si la empresa es de riesgo medio conforme al nivel de la beta, mayora 0.6 y menor o igual a 1.6 y e it es la perturbacion estocastica.

Por tamano, la clasificacion de las empresas se realizo con base en losactivos totales de 2007, chica, activos menores a 8 mil millones, mediana activosmayores o iguales a 8 mil millones y menores a 20,000 millones y grande, mas oigual a 20,000 millones de pesos, teniendose 40 empresas pequenas, 31 medianasy 33 grandes.

4.2 Estimacion del Panel

La matriz de correlaciones entre las variables independientes, en el cuadro 2,muestra una alta correlacion entre la covarianza con el mercado (COVAR) ylas variables volatilidad (VOL) y tipo de cambio real (TCREAL), por lo quese decidio usar variables dummy DBAJO y DMEDIO para considerar el riesgosistematico y evitar la colinealidad.

Cuadro 2. Correlacion entre variables independientes

Variables UTOP VOL COVAR TCREAL

UTOP 1

VOL -0.0245 1

COVAR -0.0562 0.5262 1

TCREAL -0.1026 0.3873 0.5557 1

Con objeto de dar un tratamiento adecuado a la existencia de los efectos fi-jos individuales o de efectos aleatorios, se hizo la prueba de Hausman, cuyoresultado se reporta en los cuadros 3 a 6.5

Se corrieron regresiones para las cuatro medidas de inversion considerandocomo variables independientes, ademas de la volatilidad, a la utilidad operativa,el tipo de cambio real, la orientacion exportadora de las empresas, y el nivel deriesgo sistematico de acuerdo al nivel de beta de las empresas. Las estimacionesse realizaron en forma conjunta para todas las empresas y para cada categorıade empresas chicas, medianas y grandes, definidas conforme al tamano de susactivos. Con estas estimaciones se probo la hipotesis de una relacion negativaentre inversion e incertidumbre a traves de la teorıa de irreversibilidad.

4.3 Resultados

Los resultados, incluyendo la prueba de Hausman, se muestran en los cuadrostres a seis: en el cuadro tres se muestran los resultados de las estimacionespara el conjunto de empresas y en los siguientes tres, los de las empresas chi-cas, medianas y grandes, respectivamente; en cada tabla, se muestra el modelocompleto y el final.

5 Adicionalmente, se realizaron pruebas de autocorrelacion y heteroscedasticidad y deefectos temporales. Los resultados que se presentan son los correspondientes a los modelosde panel no balanceado estimados con el metodo de Errores Estandar Corregidos para Panel(Panel Corrected Standard Errors o PCSE), cuando se detecto incumplimiento de la condicion

de errores independientes e identicamente distribuidos con varianza constante.


Respecto a la irreversibilidad, se observa el signo negativo de la volatilidadsobre la inversion solo para las empresas chicas y medianas: en el modelo dos delas empresas chicas (considerando como medida de inversion DAT/PN) y en losmodelos uno y tres de las empresas medianas (considerando como medidas deinversion DAF/PN y DAF/AT, respectivamente), existe un efecto negativo y

significativo de la incertidumbre sobre las decisiones de inversion. Esta relacionnegativa se puede explicar por las teorıas relacionadas con la irreversibilidad delas inversiones, las restricciones al financiamiento de las empresas medianas ypequenas, las preferencias al riesgo y los costos hundidos.

El signo negativo y el tamano del impacto de la volatilidad sobre la in-version son congruentes con los resultados de Ghosal y Loungani (2000), dondese encuentran un efecto negativo mayor de la volatilidad sobre la inversion enlas empresas de menor tamano. La literatura senala que las empresas medianasy pequenas enfrentan mas restricciones al financiamiento. Si el tamano de laempresa se considera como una proxy del acceso de estas empresas al mercadode capitales los resultados encontrados son consistentes con la teorıa.

El efecto de la incertidumbre sobre la inversion se encuentra invertido paralas empresas grandes, pero solo en un caso, en el modelo cuatro (DAT/AT), seencuentra evidencia de un coeficiente positivo y significativo.

Estos resultados indican efectos en ambos sentidos, concavidad o negativosy convexidad o positivos, de la incertidumbre sobre las decisiones de inversion yque es conveniente diferenciar a las empresas conforme a su tamano para medirel impacto de la volatilidad sobre la inversion. Tambien permiten senalar queen entornos o ambientes con mayor volatilidad, las inversiones de las empresaschicas y medianas pueden verse afectadas o reducirse, mientras que las inver-siones de las empresas grandes no se alteran o incluso podrıan incrementarse.Una explicacion a este fenomeno es que, posiblemente, las empresas grandescuentan con recursos, instrumentos o mecanismos que les permiten enfrentarla mayor volatilidad, sin tener que sacrificar sus inversiones. Otra aseveracionpara las empresas chicas y medianas es lo conveniente de incorporar elementosque les hagan posible atenuar o reducir los efectos de la mayor volatilidad parauna optima ejecucion de sus planes de inversion.

De manera consistente, sin importar el tamano de las empresas, la utilidadoperativa tiene un efecto positivo y significativo en el nivel de inversion de lasempresas. Los resultados encontrados son de acuerdo a lo esperado, es decir,existe una fuerte asociacion positiva entre utilidad operativa y la inversion, locual es consistente con el hecho que las empresas, al tener un buen desempenoo mayor disponibilidad de fondos internos en cierto perıodo, deciden ampliarsus activos como proporcion del capital, conforme a los estudios de Hubbard(1994) y Stenbacka y Tomback (2002).

Al considerar el nivel de riesgo sistematico de las empresas, diferenciandolascon variables dummy de acuerdo al tamano de sus betas, se encuentra un im-pacto negativo sobre la inversion en todos los modelos para las empresas chi-cas, que tienen un nivel de riesgo medio; lo mismo ocurre en el modelo uno(DAF/PN) para las empresas medianas con nivel de riesgo bajo. Tambien losresultados para estas empresas sugieren que es conveniente analizar la combi-nacion optima de las fuentes de recursos para la realizacion de sus inversiones,dado que el impacto de la utilidad operativa puede ser distinto de acuerdo alnivel de riesgo, ası como las medidas para atenuar el mayor impacto negativo


de la volatilidad en la inversion.

Cuadro 3. Resultados para todas las empresas

Modelo 1 (DAF/PN) Completo

1 const UTOP VOL DBAJO DMEDIO DEXPORT TCREAL

2 1.548 3.038 -0.007 -0.264 -0.566 -0.236 -0.129

3 0.352 0.000* 0.362 0.590 0.086** 0.431 0.309

Efectos aleatorios

Modelo 1 (DAF/PN) Final


2 -0.726 3.023 0.002

3 0.008* 0.000* 0.542

Efectos aleatorios

Modelo 2 (DAT/PN) Completo


2 0.263 4.743 0.007 -0.326 -0.611 0.264 -0.097

3 0.881 0.000* 0.484 0.562 0.081** 0.484 0.481

Efectos aleatorios

Modelo 2 (DAT/PN) Final


2 -1.348 4.740 0.008

3 0.049* 0.000* 0.421

Efectos aleatorios

Modelo 3 (DAF/AT) Completo


2 0.247 1.764 0.003 -0.165 -0.233 0.028 -0.046

3 0.625 0.000* 0.406 0.394 0.060** 0.834 0.245

Efectos aleatorios


Modelo 3 (DAF/AT) Final


2 -0.409 1.763 0.002

3 0.046* 0.000* 0.502

Efectos aleatorios

Modelo 4 (DAT/AT) Completo


2 0.287 2.763 0.004 -0.246 -0.361 0.047 -0.064

3 0.722 0.000* 0.412 0.430 0.071** 0.829 0.312

Efectos aleatorios

Modelo 4 (DAT/AT) Final


2 -0.653 2.761 0.003

3 0.045* 0.000* 0.470

Efectos aleatoriosNota: *Coeficientes significativos al 95%, **Coeficientes significativos al 90%

Cuadro 4. Resultados para las empresas chicas



2 1.548 3.038 -0.007 -0.264 -0.566 -0.236 -0.129

3 0.352 0.000* 0.362 0.590 0.086** 0.431 0.309

Efectos aleatorios



2 -0.424 3.036 -0.006

3 0.260 0.000* 0.445

Efectos aleatorios




2 0.906 4.761 -0.016 -0.400 -1.015 -0.439 -0.052

3 0.587 0.000* .059** 0.413 0.002* 0.124 0.685

Efectos aleatorios



2 0.125 4.761 -0.018 -0.971

3 0.784 0.000* .035* 0.000*

Efectos aleatorios



2 0.937 1.770 -0.004 -0.179 -0.330 -0.096 -0.079

3 0.320 0.000* 0.396 0.519 0.076** 0.572 0.268

Efectos aleatorios



2 -0.259 1.769 -0.003

3 0.223 0.000* 0.500

Efectos aleatorios



2 1.192 2.773 -0.009 -0.203 -0.498 -0.498 -0.094

3 0.427 0.000* 0.222 0.646 0.094** 0.094** 0.408

Efectos aleatorios




2 -0.313 2.772 -0.007

3 0.354 0.000* 0.299


No se encuentra evidencia de efectos significativos de factores macroe-conomicos, como el tipo de cambio real, sobre las decisiones de inversion de lasempresas, lo que es congruente con los resultados de estudios recientes, comoel de Harchaoui, Tarkhani y Yuen (2005), para empresas de la industria man-ufacturera de Canada para el periodo 1981-1997 y es consistente con la teorıa,la cual no preve una indicacion clara sobre el efecto depreciaciones del tipode cambio sobre la inversion. El efecto neto depende del tamano de diversosimpactos, por un lado, si todos los insumos son producidos domesticamente,la depreciacion afecta la demanda domestica y extranjera y se preve un au-mento en la inversion dado que mejora su beneficio marginal. Por otro lado, siel impacto en los bie-nes importados es alto, las empresas cuya produccion esintensiva en el uso de insumos importados reduciran sus inversiones.

Cuadro 5. Resultados para las empresas medianasModelo 1 (DAF/PN) Completo


2 0.307 -0.007 -0.240 -0.049 -0.108 -0.025

3 0.010* 0.001* 0.023* 0.331 0.231 0.273

Efectos fijos



2 0.299 -0.007 -0.215

3 0.013* 0.001* 0.017*

Efectos fijos



2 -0.329 0.950 -0.003 0.058 0.043 -0.090 0.025

3 0.489 0.000* 0.132 0.712 0.673 0.349 0.540

Efectos aleatorios




2 -0.058 0.951 -0.003

3 0.524 0.000* 0.179

Efectos aleatorios



2 0.081 0.003 -0.001 -0.030 -0.330 0.005 0.000

3 0.565 0.812 .097** 0.513 0.262 0.850 0.996

Efectos aleatorios



2 -0.185 -0.001

3 0.186 0.04*

Efectos fijo



2 0.166 -0.012 -0.002 -0.034 -0.030 -0.046 -0.002

3 0.363 0.431 0.044* 0.571 0.441 0.211 0.916

Efectos aleatorios



2 0.087 2.772 -0.001

3 .028* .000* 0.121


Finalmente, no se encuentra evidencia de efectos significativos en las deci-siones de inversion atribuibles a la variable que mide la orientacion exportadora


de las empresas (DEXPORT), lo que es consistente con el encontrado para eltipo de cambio real, ya que en ambos casos no existe evidencia que confirmela prediccion teorica en el sentido de que una mayor exposicion exportadorade las empresas es congruente con una mayor sensibilidad de la inversion antemovimientos en el tipo de cambio.

Cuadro 6. Resultados para las empresas grandes



2 1.368 0.007 0.015 -0.063 0.126 -0.055

3 0.000* 0.363 0.942 0.783 0.459 0.320

Efectos fijos



2 1.343 0.003

3 0.000* 0.546

Efectos fijos



2 0.316 0.462 0.012 0.020 -0.183 0.156 -0.058

3 0.772 0.000* 0.140 0.971 0.540 0.407 0.547

Efectos aleatorios




2 -0.336 0.460 0.009

3 0.230 0.000* 0.190

Efectos aleatorios



2 0.182 0.001 0.006 -0.024 -0.038 -0.010

3 0.000* 0.246 0.909 0.538 0.195 0.252

Efectos fijos



2 0.184 0.001

3 0.000* 0.279

Efectos fijos



2 0.165 0.004 -0.132 -0.047 0.016 -0.012

3 0.012* 0.011* 0.159 0.460 0.760 0.418

Efectos fijos



2 -0.037 0.129 0.002

3 0.508 0.000* 0.115



5. Conclusiones

Conforme a la literatura reciente, la relacion entre incertidumbre e inversionesta determinada por las teorıas de concavidad y convexidad. La primera con-sidera una relacion negativa entre el producto marginal del capital y la medidade incertidumbre, mientras que la segunda considera una relacion positiva. Laevidencia empırica revisada muestra resultados a favor de ambas teorıas, uti-lizando diversas medidas de incertidumbre. En este estudio, se encuentran efec-tos ambiguos de la incertidumbre sobre las decisiones de inversion en Mexico,la evidencia consiste en efectos negativos para las empresas chicas y medianasy efectos positivos para las empresas grandes. Estos resultados son congruentescon los estudios revisados e indican que es conveniente diferenciar a las em-presas conforme a su tamano para medir el impacto de la volatilidad sobre lainversion.

De manera consistente, sin importar el tamano de las empresas, la utilidadoperativa tiene un efecto positivo y significativo en el nivel de inversion de lasempresas. Los resultados encontrados son de acuerdo a lo esperado, es decir,existe una fuerte asociacion positiva entre utilidad operativa y la inversion.

Al considerar el riesgo sistematico de las empresas se observa un impactonegativo sobre la inversion para las empresas chicas que tienen un nivel de riesgomedio y para las empresas medianas con nivel de riesgo bajo, lo que sugiere quees conveniente analizar la combinacion optima de las fuentes de recursos deestas empresas para la realizacion de sus inversiones, dado que el impacto delriesgo sistematico puede ser distinto de acuerdo al nivel de riesgo.

No se encuentra evidencia significativa de efectos sobre las decisiones deinversion de las empresas provenientes de movimientos en el tipo de cambio realy en la variable que mide la orientacion exportadora de las empresas, lo cual escongruente con los resultados de estudios recientes.

Respecto a la utilidad operativa, toda vez que es significativa independien-temente de la relacion o modelo que se estime, con independencia del tamano delas empresas o de efectos fijos o aleatorios, es conveniente evaluar su tratamientoeconometrico en analisis futuros.

Como posibles extensiones a este trabajo, se pueden considerar medidasde volatilidad exante, usando tecnicas de vectores autorregresivos, incluir otrasmedidas de volatilidad, como son volatilidad de los ingresos, ventas, utilidad,etc., hacer un analisis por sectores o diferenciando en activos tangibles e intan-gibles o hacer analisis comparativos con otros paıses.

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El valor del cliente en relaciones contractualescon estimaciones inciertas

Ana Marıa Gil Lafuente ∗

Mauricio Ortigosa ∗∗

Recibido 21 de enero de 2009, aceptado 15 de mayo de 2009

Resumen

El valor del consumidor ha sido un concepto clave en el estudio de docentes einvestigadores en las areas de marketing. Sin embargo, en la literatura sobreeste tema, a pesar de que se han desarrollado una gran cantidad de modelosque responden a diferentes circunstancias, la mayorıa de ellos estan basadosen supuestos deterministas o aleatorios a la hora de medir las magnitudes oeventos que intervienen en el calculo del valor del cliente.

Cuando hablamos de modelos del valor del consumidor donde se involu-cran magnitudes que hacen referencia al futuro, a menudo se obvia el caractermutable e incierto del entorno en el cual queda afectado el modelo que se deseaconstruir. Es por ello que en muchas ocasiones dichos modelos no reflejan larealidad. Hay una frase mencionada por Kaufmann y Gil Aluja, dos de losprecursores e investigadores mas notables en Europa en las tecnicas operativasde gestion en la que decıan: “lo impreciso, lo borroso, no tiene por que ser in-exacto”: podemos trabajar modelos que tradicionalmente se utilizan con cifrasprecisas, pero no son necesariamente exactos. Por estos motivos en la presenteinvestigacion proponemos las aportaciones necesarias para utilizar cifras im-precisas, borrosas, pero mas adecuadas a la realidad; presentando para ello unmodelo del valor del cliente (CLV ) con numeros borrosos triangulares (NBT ).

Abstract

The Customer Lifetime Value (CLV ) concept has been highly purposed in manyresearches in the marketing area since long time ago. Almost all trends towardsdeterminist or stochastic bases when measuring magnitudes o events which haveto do with CLV estimates.

Clasificacion JEL: C13, C51.

Palabras clave: valor del cliente, valor del consumidor, relaciones contractuales, subconjuntos

borrosos, numeros borrosos triangulares, incertidumbre.

∗ Universidad de Barcelona, Facultad de Ciencias Economicas y Empresariales Depar-tamento de Economıa y Organizacion de Empresas. Av. Diagonal 690, 08034, Barcelona,

Espana.∗∗ Profesor en la Universidad de Barcelona, Facultad de Ciencias Economicas y Empre-

sariales Departamento de Economıa y Organizacion de Empresas. Av. Diagonal 690, 08034,

Barcelona, Espana.


Often the Customer Lifetime Value (CLV ) involves magnitudes that link to thefuture by the running environment, its mutability and uncertainty. And thisturn out the results to be too accurate. Kaufman and Gil Aluja (1986) who arethe two most well known European investigators, have carried out researchesinto several operative management techniques, stood by the following statement“Most of our traditional tools for formal modeling, reasoning, and computingare crisp, deterministic and precise in character”. Then traditional modelingwith precised data can not necessarly mean to be accurate.

In this study the authors will deal with some useful directions for uncer-tainty data, fuzzy data to stand out more accurate according to the reality. ACLV estimation with triangular fuzzy numbers (TFN) will be introduced.

1. Introduccion

Las investigaciones en marketing han sufrido considerables avances desde elinicio de los anos ochenta; diferentes autores se refieren a dichos cambios comoel nuevo paradigma del marketing, y al igual que el concepto de marketing,ha sido estudiado desde diferentes angulos. Uno de los pioneros en utilizarel termino de marketing relacional fue Leonard Berry en 1983 con estudiosen marketing de servicios en Estados Unidos. Kandampully y Duddy (1999)describen la definicion inicial de L. Berry acerca del marketing relacional deforma muy simple:

atraer, desarrollar y retener las relaciones con los consumidores.Esto supone ir mas alla del marketing convencional, ya que no solo se limita

en atraer clientes y efectuar intercambios, esta definicion plantea un enfoquedirigido a consolidar relaciones a largo plazo.

Otros autores como Morgan y Hunt (1994), Gronroos (1994), Gummensson(1996), Alet (2004) y varios mas, contemplan en sus definiciones de marketingrelacional tres elementos comunes a todos ellos:

1. El concepto de relacion, que se halla presente en todos.2. La interactividad, que se genera en base al entramado de las relacionesentre las distintas figuras que intervienen en los procesos.3. El caracter temporal o a largo plazo que se atribuye a toda relacion.Elementos clasicos tan estudiados como la participacion en el mercado, el

volumen de ventas, las medidas financieras normalmente a corto plazo, entreotros mas, dejan paso a nuevos indicadores como son: la tasa de retencion declientes, el coste de adquisicion de nuevos clientes, la vida media de un cliente,el valor del cliente para la empresa (customer lifetime value = CLV) entre otros.

Con el objetivo de atraer y retener consumidores rentables con una pers-pectiva de relacion a largo plazo con cada cliente, el valor del cliente (CLV )ha sido un concepto que ha llamado la atencion para ser estudiado desde hacetiempo por diversos investigadores en el area de marketing.

El valor economico del cliente es, en ultima instancia, la mejor fuente definanciacion de cualquier empresa. Entre los primeros investigadores que re-alizaron estudios sobre el impacto economico que genera la fidelidad del clientese encuentran Reichheld y Sasser (1990). Reichheld (2002) en su nueva ediciondel clasico libro escrito en 1996 “The Loyalty Effect”, menciona que para tratara los clientes como activos economicos, es necesario cuantificar y predecir laduracion o permanencia del cliente con la empresa y el ciclo de flujo de fondosdel cliente.

El valor del cliente en relaciones contractuales con estimaciones inciertas 93

Pyne y Holt (2001), mencionan que la lınea de investigacion del CLV es im-portante por tres razones: (1) Los diferentes segmentos de consumidores tienendiferente beneficio potencial para la empresa y el patron de beneficio puedevariar dependiendo del periodo en que se encuentre el ciclo de vida del cliente yotras consideraciones. (2) Cuidar al grupo de consumidores que representan losmas valiosos clientes durante largos periodos, puede incrementar significativa-mente el beneficio para la empresa. (3) Finalmente, algunos estudios enfatizanla vinculacion entre el clima de servicio interno y el impacto sobre la satisfacciondel empleado y la retencion del consumidor.

En la presente investigacion, se muestra una propuesta teorica-metodologi-ca para calcular el CLV , aplicables a ciertos contextos. La contribucion prin-cipal se centra en abordar el tratamiento de la incertidumbre en la obtenciondel valor del consumidor. Muchos modelos propuestos se enfrentan a la incer-tidumbre con herramientas dentro de la teorıa de la probabilidad, entendiendola incertidumbre de manera diferente a como la definimos en el presente trabajo.

En el prologo de unos de los libros de Kaufmann y Gil Aluja (1987), Ray-mond Barre, en ese momento profesor de Economıa Polıtica de Parıs, mencionaque los citados autores han mostrado que los hechos imprecisos y los numerosinciertos no pueden ser tratados segun los mismos principios que los hechos pre-cisos y los numeros ciertos o que las variables aleatorias. Los autores Kaufmanny Gil Aluja han sabido transformar instrumentos ya empleados en el ambito dela certeza o de lo probable para aplicarlos a la incertidumbre. En esta mismadireccion, vamos a mostrar cuales son dichas adaptaciones al estudio del CLVbajo la incertidumbre.

2. Elementos previos al desarrollo del modelo propuesto

Podemos decir que el estudio del valor del cliente (CLV) a traves de sus diversaslıneas de investigacion, tiene en la actualidad una gran importancia para losdocentes e investigadores. Los modelos del CLV se han ido presentando atraves de varios autores reconocidos en esta lınea de investigacion. Como esnatural pensar, los modelos tienen sus propias limitaciones ya que funcionanbajo ciertos supuestos. Por tanto, consideramos oportuno presentar algunos deesos modelos para que sean adaptados a nuevos entornos.

Pasemos a mostrar los modelos del valor del cliente mas representativosdentro de esta lınea de investigacion, de esta forma podemos proponer comoaportacion, el tratamiento de la incertidumbre como elemento adicional en estecamino.

Seleccionamos 4 modelos de entre los muchos que nos ofrece la literaturasobre el tema: El modelo estructural basico hace referencia al valor presenteneto de los flujos futuros de los consumidores. Su formulacion se representacomo sigue:

Modelo estructural bsico del CLVFuente: Jain y Singh (2002)

CLV =(R1 − C1)

(1 + D)+

(R2 − C2)

(1 + D)2+ ...

(Rn − C2)

(1 + D)n=

n∑

i=1

(Ri − Ci)

(1 + D)i


Es el modelo mas simple pero que muestra la estructura central del valor delcliente aplicando las herramientas utilizadas en matematicas financieras o masen general de la teorıa financiera: nos referimos al Valor Actual Neto (VAN).

Podemos afirmar que dos de los autores que han realizado un excelenteconjunto de escenarios bajo la optica del modelo estructural basico son Bergery Nasr (1998). En ese artıculo, muestran una serie de modelos para determinarel valor del cliente en base a una taxonomıa sistematica teorica y un conjuntode suposiciones sobre el comportamiento del cliente o consumidor.

El modelo de migracion ha sido propuesto por Dwyer (1997). El autorhace mencion a una clasificacion hecha por Barbara Jackson donde divide a loscompradores industriales en dos grandes categorıas:(1) Los clientes que comparten vendedores o proveedores y pueden ajustar sucartera de gasto entre ellos. Los autores anteriores hacen referencia a ellos conel nombre “always-a-share”.(2) Los clientes que se han comprometido con el vendedor o empresa por unlargo periodo, donde el cambio a otra empresa le implica un alto coste, pero siel cliente decide dejar al proveedor, la cuenta es cancelada para siempre. Encierta forma es una relacion de cautiverio. Los autores se refieren a estos clientescomo “lost-for-good”. En este caso, menciona Dwyer (1997), el problema pararesolver el valor del cliente puede ser tratado como un problema de retencion ypropone una ligera variacion al modelo estructural basico del CLV.

Por tanto si consideramos la contribucion bruta (CB) de cada periodo alfinal y los costes de promocion o retencion (M) a la mitad de cada periodo, elautor propone la siguiente expresion, que no es mas que el valor presente de losbeneficios de cada periodo y los costes de retencion tambien en valor presente.En esencia se trata de aplicar nuevamente el significado del modelo estructuralbasico con ciertas variantes de importancia. La expresion queda:

Modelo del migracion del CLVFuente : Dwyer (1997)

CLV =

{

CV

[

C0 +

n∑

i=1

Ci

(1 + d)i

]

−

[

MC0

(1 + d)0.5

]

+

n∑

i=1

Ci

(1 + d)i+0.5

}/

C0

Valor presente de los beneficios Valor presente de los costes de retencion

donde C0 es la base de clientes iniciales en el momento de calcular el CLV.

Dwyer (1997) al igual que los modelos de Berger y Nasr (1998) no contemplanlos costes de adquisicion, solo consideran en su jerarquıa de costes: los costes deretencion o promocion, y los que entran en la contribucion bruta (CB) utilizada.

El modelo de asignacion de los mejores recursos resulta util cuando laoptimizacion de los recursos monetarios tiene especial importancia en la relacioncon el cliente. Blattberg y Deighton (1996) incorporan en su modelo los costesde adquisicion: proponen una forma para encontrar un balance entre los costesde adquisicion y de retencion con la finalidad de maximizar el CLV.

En un artıculo de Berger y Nasr (2001) muestran en un cuadro, el desarrolloutilizado por Blattberg y Deighton (1996) para obtener la expresion final delvalor del cliente quedando de la siguiente forma:


Calculo del valor del consumidorFuente: Blattberg y Deighton (1996)

CLV = a$m− $A + a

(

$m−$R

r

)[

r′

(1 − r′)

]

VPN de los gastos de adquision (ano de inicio) y VPN de los gastos de retenciondonde r′ = r/(1 + d)

Maximizando el CLV en la igualdad anterior, es el mejor balance en dichosgastos. Para ello, recomiendan los autores, se busca un valor $R tal que alsustituir en la expresion permita obtener el CLV mas grande, determinandoası el gasto de adquisicion $A. Este resultado, es el valor del cliente esperadode un consumidor promedio adquirido con gastos $A y retenido con gastos de$R para cada ano.

Con esto podemos ver que el modelo usa el CLV como base para tomardecisiones sobre la asignacion de recursos, a diferencia de los otros modelospresentados en los parrafos anteriores, donde el objetivo habıa sido solamentecalcular el CLV. Ademas, este modelo sı toma en cuenta los gastos de adquisicionpara calcular el CLV. A pesar de sus respetables atributos, el modelo continuaconservando algunas de las debilidades que otros modelos ya tienen: periodici-dad y frecuencia constante en relacion a los flujos de caja, no considera de formaconjunta o simultanea la adquisicion y retencion para maximizar el CLV, y eneste caso por simplicidad, tambien se asume que todos los flujos de caja ocurrenal inicio de cada ano. Los autores muestran con este modelo, la intencion deasignar de la mejor manera los recursos buscando la maximizacion del valor delcliente. En esta misma direccion, Berger y Nasr (2001) han continuado estu-diando en especial, la asignacion de los recursos de promocion a traves de dosconceptos: calculo de decision y valor del consumidor. Ademas comentan lasposibles sinergias entre diferentes vehıculos promocionales.

Los autores muestran con este modelo, la intencion de asignar de la mejormanera los recursos buscando la maximizacion del valor del cliente. En estamisma direccion, Berger y Nasr (2001) han continuado estudiando en especial,la asignacion de los recursos de promocion a traves de dos conceptos: calculo dedecision y valor del consumidor. Ademas comentan las posibles sinergias entrediferentes vehıculos promocionales.

Los modelos de relaciones de clientes tienden a generalizar las propuestasde los autores anteriores. Estos modelos se desarrollan a traves de las llamadasCadenas de Markov. En este sentido, Pfeifer y Carraway (2000) proponenuna clase de modelos matemticos llamados “Modelos de cadenas de Markov”(MCM), que son apropiados para modelar las relaciones con los clientes y cal-cular el CLV.

La principal ventaja de estos modelos es su flexibilidad, y pueden ajustarsea la gran mayorıa de las situaciones representadas en los modelos propuestospor Berger y Nasr (1998), Dywer (1997) y Blattberg y Deighton (1996), loque significa que pueden ser utilizados para clientes en esquemas de migracioncomo en situaciones de retencion, asıcomo, en situaciones con clientes actualeso bien prospectos. Pfeifer y Carraway (2000) mencionan que su flexibilidadpermite adaptar los MCM para algunos escenarios no cubiertos en los modelospreviamente mostrados.


Otra ventaja de los MCM, es que se fundamentan en una solida teorıaestocastica o probabilıstica, ademas de la teorıa de los procesos de decisionesde Markov. Con estas herramientas, segun los autores, hacen frente a la incer-tidumbre que rodea la relacion con el cliente, haciendo la aclaracion por nuestraparte que dicho termino, no tiene el mismo significado que el utilizado en el pre-sente artıculo. En este caso, la probabilidad y el valor esperado permiten hablarsobre la relacion futura con un cliente individual.

Los Modelos de cadenas de Markov (MCM), en su version amplia, traba-jan de forma sutil con una metrica llamada “Recency, Frequency, Monetaryvalue” (RFM). Autores tales como Reinartz y Kumar (2000), mencionan queen la actualidad muchas empresas utilizan dicha metrica para determinar laasignacion del gasto a los consumidores en sus bases de datos. Otros autoresmencionan que la metrica RFM es de las mas fiables para el pronostico de lasventas. No obstante, los MCM reciben una particular crıtica: Jain y Singh(2002) mencionan que los periodos de tiempo de compra para todos los clientesnuevamente se asumen como iguales y fijos. Ademas, el calculo de las proba-bilidades de transicion de un periodo a otro es un elemento crıtico para el exitode tales modelos y dichas probabilidades no son faciles de calcular, agregandopor nuestra parte que esas medidas estan limitadas a informaciones objetivas.

En el modelo mas simple, en lugar de tomar los tres componentes de lametrica RFM (Recency, Frequency, Montary value), se considera solamente elprimer elemento R: el numero de periodos desde que el cliente realizo la ultimacompra. Al obtener las probabilidades de transicion de un estado a otro, cuyoresumen se muestra en la matriz P llamada matriz de transicion de un paso(“one-step”), y al calcular la matriz P t que resume la probabilidad de comprapronosticada y la matriz R que resume los flujos de efectivo, ambas elaboradasdependiendo del numero de periodos desde la ultima compra (R). Pfeifer yCarraway (2000) llegan a una propuesta del valor presente esperado:

V T =

T∑

t=0

[(1 + d)−1P ]tR

El vector V T es el equivalente al CLV y representa el valor presente esperado deun cliente en particular con una relacion de duracion T y una tasa de descuentod.

Los autores muestran que si se considera un horizonte infinito, la expresionresulta ser la siguiente:

Modelo de Cadena de MarkovSituacion de migracion con probabilidades de compra en funcion del numero

de periodos desde la ultima compra (Recency)Fuente: Pfeifer y Carraway (2000)

V = limT→∞V T = (I − (1 + d)−1P )−1R = CV L

donde I es la matriz identidad

Recordemos que el anterior modelo puede ser caracterizado como unasituacion de migracion con el cliente, cuando la probabilidad de compra de-pende del numero de periodos transcurridos desde la ultima compra (R).


Si asumimos que ademas de las probabilidades de compra, tambien losgastos de marketing (M) y la contribucion neta (CN) depende del numero deperiodos transcurridos desde la ultima compra (R), el modelo se va sofisticandocada vez mas. De esta forma, podemos construir MCM donde la probabilidad decompra, los gastos de marketing y la contribucion neta (CN) dependen tambiende la frecuencia y del valor monetario, en definitiva, se hace uso de la metricaRecency, Frequency, Monetary value (RFM) para llegar a una categorizacionde clientes, mostrando esa flexibilidad que se comento anteriormente.

Hemos visto hasta este momento cuatro modelos del valor del cliente. Sindejar de admirar el especial merito que representa cada uno de ellos, aparecensituaciones en donde los datos historicos no existen por tratarse de clientesnuevos o bien, el hecho de asignar unas probabilidades a esos clientes en basea la historia de otros, es como suponer que todos los anteriores clientes secomportan de la misma manera, segun las leyes de las probabilidades. Incluso,Pfeifer y Carraway (2000) mencionan que con la aplicacion de las probabilidadesse hace frente a la incertidumbre que envuelve la relacion futura entre cliente yempresa.

Es precisamente el concepto de incertidumbre el que va a protagonizar elmodelo del CLV propuesto en la presente investigacion bajo la optica del modeloestructural basico. Considerando el termino incertidumbre de forma distinta alos anteriores autores, pasamos a presentar un modelo del valor del cliente conmagnitudes expresadas en terminos borrosos.

3. Propuesta del modelo del CLV con numeros borrosostriangulares (NBT)

A pesar de la gran variedad de modelos existentes relacionados con el valordel cliente (CLV) y con animos de aportar valor anadido a cada uno de ellos,se observa que ninguno de los modelos presentados hacen referencia a la in-certidumbre inherente a la estimacion de magnitudes futuras propias de dichosesquemas. En muchos casos las estimaciones se basan en datos historicos, loque implica de alguna forma, un grado de estabilidad en el sistema economicode las empresas, inexistente en el contexto actual. En otros casos, se estableceun marco de probabilidades o de procesos estocasticos como herramienta paraapoyar el pronostico de eventos futuros que resultan muy necesarios al medirel valor del cliente. En este caso se suele confundir aleatoriedad o azar conincertidumbre.

Kaufmann y Gil Aluja (1990) indican claramente que, el azar posee leyesy su medida esta asociada con la probabilidad, en cambio la incertidumbre noposee leyes y se explica de manera subjetiva. Los mismos autores describen unhecho incierto cuando hace referencia al futuro, donde no puede situarse en eltiempo (¿cuando?) ni en el espacio (¿donde?), y el pasado no aporta nada o muypoca informacion para la prevision del acontecimiento. Este es el significadoque vamos a adoptar en la presente investigacion al termino incertidumbre.No se pretende reemplazar la teorıa de la probabilidad en la medicion de laaleatoriedad, sino proporcionar una manera natural de trabajar con problemasen los que la fuente de la imprecision radica en la ausencia de criterios estrictosmas que en presencia de variables aleatorias o de datos ciertos.

Uncles, Dowling y Hammond (2003) han demostrado que los consumidoresno son 100% fieles o leales a las empresas. El movimiento de clientes es cada


vez mas volatil o se comparte entre mas empresas. Las organizaciones convivenen un entorno de mayor incertidumbre comparado con epocas pasadas. Ladificultad de predecir o estimar magnitudes involucradas con el valor del clientese incrementa en un clima de incertidumbre: tasas de descuento, niveles deventas, compras, tiempo de duracion del cliente, entre otras magnitudes.

Al contemplar al cliente como un activo fundamental para la vida financierade la empresa en un clima de incertidumbre, nos obliga a buscar una vıa alternao adaptar los desarrollos ya existentes, con instrumentos y tecnicas que permitanla convivencia en ese nuevo entorno. Kaufmann y Gil Aluja (1986) mencionanque la teorıa de los subconjuntos borrosos es una parte de las matematicas quese halla perfectamente adaptada al tratamiento tanto de lo subjetivo como delo incierto.

El presente trabajo tiene como finalidad mostrar un modelo del valor delcliente (CLV) con magnitudes en la incertidumbre bajo la optica del modeloestructural basico, haciendo uso de los NBT. Se partira del esquema mas sen-cillo y propio del ambito de la certeza, para llegar a dicho modelo donde laincertidumbre juega un papel protagnico en las magnitudes involucradas.

A pesar de la gran variedad de trabajos referentes al valor del cliente quese han publicado en las revistas cientıficas y en libros sobre la materia, existeun vacıo referente al tratamiento de la incertidumbre a la hora de contemplarlas magnitudes que intervienen en la estimacin del beneficio.

La posibilidad de introducir estimaciones inciertas mediante intervalos deconfianza, tripletas de confianza o numeros borrosos, va a resultar de utilidadpara los responsables de Marketing o Ventas.

En el modelo del CLV en la certeza, asumimos que: 1) Existe una relacioncontractual con la empresa por n periodos (meses, anos, etcetera) 2) Se conocentodos los datos con certeza: ventas, costes, tasa de descuento. 3) Los flujos decostes e ingresos por ventas, se asumen en el mismo punto en el tiempo parasimplificar los calculos. 4) No hay colapsos significativos entre los costes deventas, costes de retencion y costes de captacion. Esto puede ser el caso deestar suscrito en alguna revista con publicaciones peridicas, o algo similar.Si consideramos que:

Vt =Ventas en cada periodoCVt = CPt + CSt = Coste de venta en cada periodo, incluye: costes delproducto y costes de servicios adicionales.CBt = Contribucion bruta por consumidor en cada periodo: Vt − CVt

CC = Coste de captacion (publicidad, comunicacion, etc.)n = numero de periodos (anos, meses, etc.)i = tasa de actualizacion (o de descuento) anual (apropiada para lasinversiones de marketing).Bajo condiciones de certeza, si se quiere obtener el valor del cliente, es

suficiente con calcular el valor presente de los flujos futuros de ingresos porventas y coste de venta a una tasa determinada de actualizacion menos loscostes de captacion realizados al inicio. Otra forma equivalente es calcularla contribucion bruta marginal por consumidor en cada periodo y despues,actualizar dichas magnitudes al ano cero menos los costes de captacion. Portanto, el valor del cliente bajo estas condiciones de certeza se puede expresarcomo:


CLV =

n∑

t=1

CBt

1

(1 + i)t− CC

Una vez que hemos considerado el esquema mas clasico, sin profundizaren estos momentos en todas las posibles combinaciones que se pueden realizarcomo lo muestra Berger y Nasr (1998), vamos a hacer uso de un elemento dela teorıa de la incertidumbre: los numeros borrosos triangulares (NBT), que esun caso particular de un subconjunto borroso para calcular algunas magnitudesinvolucradas en el CLV.

3.1 Modelo del valor del cliente (CLV) con tasas, costes y ventasestimadas a traves de numeros borrosos triangulares.

Gil Aluja (2002) menciona que, todo problema situado en el ambito de la incer-tidumbre es susceptible de ser tratado a traves de la teorıa de los subconjuntosborrosos y sus multiples variantes. Asimismo menciona que un subconjuntoborroso es el resultado de asignar a los valores de cierta variable un nivel depresuncion o posibilidad, que no es otra cosa mas que los valores de la funcioncaracterıstica de pertenencia.

Con los conceptos de subconjuntos borrosos y numeros borrosos, podemosavanzar en la estructuracion del tratamiento de la incertidumbre para calcularel CLV bajo el esquema del modelo estructural basico.

Un numero borroso, es un caso particular de un subconjunto borroso. Esdecir, es un subconjunto borroso con tres propiedades. 1. El conjunto refe-rencial o variable objeto de estudio toma valores en los reales. 2. La funcioncaracterstica de pertenencia es normal. 3. La funcion de pertenencia es convexa.

En general en el ambito continuo, un numero borroso quedara definido atraves de una funcion que relaciona los valores del referencial x con los valores dela funcion caracterıstica de pertenencia. Se acostumbra identificar a la funcioncomo:

µ = µ(x), donde x ∈ <; µ ∈ [0, 1]

Es muy comun emplear una simplificacion de los numeros borrosos si con-sideramos o asumimos linealidad entre el aximo de presuncion y los valoresextremos. De esta forma, se construyen los denominados numeros borrosostriangulares (N.B.T) y se pueden expresar de 3 formas distintas:

1) Con notacion de forma ternaria, expresando los 3 extremos representados

en las abcisas de cada una de las coordenadas respectivas: ˆNBT = (a1; a2; a3)La representacion grafica queda como:


2) Una segunda forma es, expresarlo en terminos de la funcion caracterısticade pertenencia con sus cuatro ecuaciones perfectamente identificadas.

3) Una tercera forma de expresar los numeros borrosos triangulares es bajola forma llamada de α - cortes.

Con este breve recordatorio sobre los numeros borrosos triangulares, pasa-mos a mostrar un modelo del valor del cliente con magnitudes en la incertidum-bre expresados con dichos numeros.

Ejemplo. Supongamos que deseamos obtener el valor de un consumidor,donde firma un contrato por cuatro anos para una revista especializada que sepublica anualmente con suplementos que pueden modificar tanto el importe delas ventas como el importe de los costes requeridos. Para ello, el responsable demarketing o ventas en la empresa, una vez hecha una profunda reflexion sobresus costes, ventas y tasas de actualizacion (o descuento) en los proximos cuatroanos, maximo y otro de maxima presuncion. Como vemos hay incertidumbreen estas magnitudes.

En la practica habitual podemos suponer que dichas estimaciones siguenuna tendencia proporcional entre el maximo de presuncion y ambos extremos.Con este supuesto mencionado, podemos tratar dicha informacion como nume-ros borrosos triangulares (NBT) en forma ternaria.

Las estimaciones que proporciona el responsable para costes y ventas son:

V1 = [45, 70, 100]; V2 = [50, 70, 120]; V3 = [80, 110, 140]; V4 = [75, 85, 120]

C1 = [20, 35, 40]; C2 = [25, 35, 50]; C3 = [30, 45, 55]; V4 = [25, 30, 35]

Supongamos que sus estimaciones para las tasas de actualizacion son:

Para el ano 1: [2%, 3%, 4%] = i1Para el ano 2: [3%, 4%, 6%] = i2Para el ano 3: [3%, 5%, 7%] = i3Para el ano 4: [4%, 6%, 9%] = i4

Consideremos tambien que hay unos costes de captacion de 80 u.m. soloen el momento inicial (ano cero).

En primer lugar se hace preceptivo encontrar los coeficientes de actua-lizacion. No obstante, hay un problema que es necesario matizar. Los datosanteriores son numeros borrosos triangulares pero al realizar los cocientes comolo indica la aritmetica propia de la incertidumbre, el resultado deja de ser unnumero borrosos triangular al estar sometidos los datos iniciales a una operacionno lineal. Esto nos lleva a tener que transformar los NBT de forma ternaria ala forma llamada, lo cual permite disponer de todas las estimaciones en funcionde los valores que se desee asignar a α. Los cocientes simples quedan en formade α - cortes como:

1/(1(+)i1) = [1/(1.04− 0, 01α); 1/(1.02+ 0, 01α)]

1/(1(+)i2) = [1/(1.06− 0, 01α); 1/(1.03+ 0, 01α)]

1/(1(+)i3) = [1/(1.07− 0, 02α); 1/(1.03+ 0, 02α)]

1/(1(+)i4) = [1/(1.09− 0, 03α); 1/(1.04+ 0, 02α)]


Con la informacion anterior, pasamos a construir los coeficientes de actua-lizacion inciertos, recordando que tienen la forma para cada ano de:

Ano 1: 1/(1(+)i1)

Ano 2: 1/(1(+)i1)(1(+)i2)

Ano 3: 1/(1(+)i1)(1(+)i2)(1(+)i3)

Ano 4: 1/(1(+)i1)(1(+)i2)(1(+)i3)(1(+)i4)

De esta forma obtenemos los coeficientes de actualizacion para cada ano:

Ano 1:[

11.04−0.01α

, 11.02+0.01α

]

Ano 2:[

11.04−0.01α

∗1

1.06−0.01α, 1

1.02+0.01α)∗

11.03+0,01α

]

Ano 3:[

11.04−0.01α

∗1

1.06−0.01α∗

11.07−0.02α

, 11.02+0.01α

∗1

1.03+0.01α∗

11.03+0.02α

]

Ano 4:[

11.04−0.01α

∗1

1.06−0.01α∗

11.07−0.02α

∗1

1.09−0.03α, 1

1.02+0.01α) ∗1

1.03+0.01α

∗1

1.03+0.02α∗

11.04+0.02α

]

Observemos dos cuestiones: la primera es que con las expresiones ante-riores, cualquier cantidad de u. m. estimadas en forma cierta o incierta, situ-ada en cualquier parte de los cuatro periodos, se traslada al origen con solomultiplicar dicha estimacion por el coeficiente de actualizacion de acuerdo alano donde se encuentran las u.m.. La segunda reflexion es que, si bien lastasas de actualizacion se estimaron en su inicio como numeros borrosos trian-gulares, los coeficientes de actualizacion, al haber estado sometidos en el procesoa operaciones no lineales como el producto y el cociente, su resultado deja decomportarse como numero borroso triangular. Pese a esto, en nuestro casovamos a considerar asumible la perdida de informacion que ello supone.

Uno de los propositos de trabajar con numeros borrosos en su forma de α- cortes, radica en construir una tabla en donde se puede visualizar la parejanivel de presuncion e intervalo de confianza, de forma mas sencilla. Utilizamospara ello, el sistema endecadario dando 11 valores a α, desde α = 0; 0.1; 0.2;0.3;...;0.9 y 1. De esta manera construimos los coeficientes de actualizacion paracada ano.

En la practica, senala Gil Aluja (2002), se puede realizar un camino mascorto tratando a los numeros borrosos triangulares como si fueran tripletasde confianza y despues de hallado el resultado, volver a unir el maximo depresuncion con los dos extremos. A este proceso se le denomina “aproximaciontriangular”.


Coeficiente de actualizacion para el ano 1 en el sistema endecadario. I1 =

α 1/(1.04-0.01 α) 1/(1.02+0.01 α)

1 0.971 0.971

0.9 0.970 0.972

0.8 0.969 0.973

0.7 0.968 0.974

0.6 0.967 0.975

0.5 0.966 0.976

0.4 0.965 0.977

0.3 0.964 0.978

0.2 0.963 0.978

0.1 0.962 0.979

0 0.962 0.980


α [1/(1.04-0.01 α)][1/(1.06-0.02 α)] [1/(1.02+0.01 α][1/(1.03+0.01 α)]

1 0.934 0.934

0.9 0.931 0.935

0.8 0.928 0.937

0.7 0.925 0.939

0.6 0.923 0.941

0.5 0.920 0.943

0.4 0.918 0.944

0.3 0.915 0.946

0.2 0.912 0.948

0.1 0.910 0.950

1 0.907 0.952


α [1/(1.04-0.01 α)][1/(1.06-0.02 α)] [1/(1.02+0.01 α][1/(1.03+0.01 α)]

[1/(1.07-0.02 α)] [1/(1.03+0.02 α]

1 0.889 0.889

0.9 0.885 0.892

0.8 0.881 0.896

0.7 0.876 0.899

0.6 0.872 0.903

0.5 0.868 0.906

0.4 0.864 0.910

0.3 0.860 0.913

0.2 0.856 0.917

0.1 0.852 0.921

1 0.848 0.924


Coeficiente de actualizacion para el ano 4 en el sistema endecadario. I4 =α [1/(1.04-0.01 α)][1/(1.06-0.02 α)] [1/(1.02+0.01 α][1/(1.03+0.01 α)]

[1/(1.07-0.02 α)][1/(1.09-0.03 α)] [1/(1.03+0.02 α][1/(1.04-0.02 α)]

1 0.839 0.889

0.9 0.885 0.892

0.8 0.881 0.896

0.7 0.876 0.899

0.6 0.872 0.903

0.5 0.868 0.906

0.4 0.864 0.910

0.3 0.860 0.913

0.2 0.856 0.917

0.1 0.852 0.921

1 0.848 0.924

Solo para comprobar los calculos anteriores desarrollamos los coeficientesde actualizacion, como si fueran tripletas de confianza.

Ano 1: 11+i1

=[0.962, 0.971, 0.980]= β1

Ano 2: 11+i1

∗1

1+i2=[0.907, 0.934, 0.952]= β2

Ano 3: 11+i1

∗1

1+i2∗

11+i3

=[0.848, 0.889, 0.924]= β3

Ano 4: 11+i1

∗1

1+i2∗

11+i3

∗1

1+i4=[0.778, 0.839, 0.889]= β4

La igualdad de los extremos y el maximo de presuncion confirman estaaproximacion.

Debemos ahora calcular la contribucion por ano, descontando de las ventaso ingresos, los costes pero no como tripletas de confianza, ya que tendrıamosuna aproximacion, lo haremos bajo la hipotesis inicial de tratar a las cifras comonumeros borrosos triangulares (NBT), por tanto se expresan las cifras en α -cortes.

V1 = [45, 70, 100] = [45 + 25α, 100− 30α]

V2 = [50, 70, 120] = [50 + 20α, 120− 50α]

V3 = [80, 110, 140] = [80 + 30α, 120− 50α]

V4 = [75, 85, 120] = [75 + 10α, 120− 35α]

C1 = [20, 35, 40] = [20 + 15α, 40− 5α]

C2 = [25, 35, 50] = [25 + 10α, 50− 15α]

C3 = [30, 45, 55] = [30 + 15α, 55− 10α]

C4 = [25, 30, 35] = [25 + 5α, 35− 5α]

La contribucion bruta por ano es:

CB1 = V1 − C1 = [5 + 30α, 80− 45α]


CB2 = V2 − C2 = [35α, 95− 60α]

CB3 = V3 − C3 = [25 + 40α, 110− 45α]

CB4 = V4 − C4 = [40 + 15α, 95− 40α]

Las anteriores contribuciones expresadas en el sistema endecadario quedancomo:

Para el ano 1. CB1:

α [5+30 α) 80+45 α

1 35.0 35.0

0.9 32.0 39.5

0.8 29.0 44.0

0.7 26.0 48.5

0.6 23.0 53.0

0.5 20.0 57.5

0.4 17.0 62.0

0.3 14.0 66.5

0.2 11.0 71.0

0.1 8.0 75.5

1 5.0 80

Para el ano 2. CB2:

α [35 α) 95-60 α

1 35.0 35.0

0.9 31.5 41.0

0.8 28.0 46.0

0.7 24.5 53.0

0.6 21.0 59.0

0.5 17.5 65.0

0.4 14.0 71.0

0.3 10.5 77.0

0.2 7.0 83.0

0.1 3.5 89.5

1 0.0 95.0


Para el ano 3. CB3:

α [25+40 α) 110-45 α1 65.0 65.0

0.9 61.0 69.5

0.8 57.0 74.0

0.7 53.0 78.5

0.6 49.0 83.0

0.5 45.0 87.5

0.4 41.0 92.0

0.3 37.0 96.5

0.2 33.0 101.0

0.1 29.0 105.5

1 25.0 110.0

Para el ano 4. CB4:

α [40+15 α) 95-40 α

1 55.0 55.0

0.9 53.5 59.0

0.8 52.0 63.0

0.7 50.5 67.0

0.6 49.0 71.0

0.5 47.0 75.0

0.4 46.0 79.0

0.3 44.5 83.0

0.2 43.0 87.0

0.1 41.5 91.0

1 40.0 95.0

Se trasladan las contribuciones brutas al ano cero con los coeficientes deactualizacion obtenidos anteriormente:


I1 ∗ CB1 = contribuciones brutas actualizadas del ano 1





Finalmente se suman las contribuciones actualizadas y se restan los costesde captacion, que a pesar de ser el unico numero preciso en nuestro ejemplo,se expresa como numero borroso triangular en la forma de siendo constanteen todos los niveles. De esta forma encontramos el valor del consumidor enterminos de numeros borrosos triangulares bajo la forma de α - cortes durantelos 4 periodos.

CLV = [I1 ∗CB1 + I2 ∗

CB2 + I3 ∗CB3 + I4 ∗

CB4] − CC

CLV =

[ 4∑

n=1

In ∗ CBn

]

− CC

Sin perdida de generalidad podemos expresar la ecuacion anterior para Nperiodos quedando:

CLV =

[ N∑

n=1

In ∗ CBn

]

− CC

Ecuacion: Valor del consumidor expresado con numeros borrosos triangulares(NBT) las tasas, costes y ventas inciertas en forma de α - cortes

De esta forma el valor del cliente (CLV) expresado en forma de α - cortesqueda como:


Vayamos a la interpretacion del resultado, mencionando que el valor delconsumidor en el ambito de la incertidumbre, tiene un valor negativo no menorde 22.9 u.m. ni tampoco superior a 274.9 u.m. con un maximo de presuncionde 90.6 u.m. lo que indica que el consumidor es un cliente potencial rentable. Siobservamos el numero borroso triangular que representa el valor del consumidorresulta ser:

En este caso, aun cuando existe la posibilidad de perdida, esta es pequena.Si observamos el grafico hay dos figuras separadas por el eje CLV ≡ 0. Sitomamos en cuenta las areas de cada figura, podemos llamar al cociente entrela parte positiva del lado derecho y el total del triangulo el “ındice de valor delcliente” (IVC). Obtenemos dicho ındice como: IV C = (148.9 − 2.3)/148.9 =0.9846

Los resultados hablan por si solos, el 98.5% del area del numero borroso,deja ganancias en mayor o menor grado, pero no perdidas, lo que representaque este cliente es un consumidor atractivo a pesar de la incertidumbre queexiste en sus niveles de venta y de las otras magnitudes consideradas. Ademas,una ventaja al tener representado el CLV en forma de α - cortes , es que no tansolo tenemos el valor economico con tres niveles: un valor mınimo -22.9 u.m.,un valor maximo 274.9 u.m. y un valor economico de maxima presuncion de90.6 u.m., tambien tenemos el valor economico del cliente en forma de intervalode confianza para cada nivel de la funcion caracterıstica de pertenencia entre el0 y el 1, bajo el supuesto de proporcionalidad entre el maximo de presuncion ylos valores extremos.

Recordemos que el modelo que hemos mostrado esta bajo el supuesto deuna relacion contractual con la empresa, es decir, una relacion que dura nperiodos.

4. Consideraciones de interes

La utilizacion de numeros borrosos triangulares permite, por su propia natu-raleza, proporcionar al modelo estructural basico ciertas cotas que ayudan altratamiento de la incertidumbre. Al ser la matematica de la incertidumbre unageneralizacion de las matematicas mecanicistas y aleatorias, se cumple la cono-cida proposicion segun la cual lo general es cierto para lo particular, pero loparticular no siempre es cierto en un supuesto general.

La intencion del modelo presentado, inspirado en el modelo estructuralbasico del valor del consumidor (CLV), pretende incorporar la incertidumbre


en las diferentes magnitudes involucradas. Como se comento al inicio del do-cumento con esa frase muy acertada de los profesores Kaufmann y Gil Aluja(1986): “lo impreciso, lo borroso, no tiene por que ser inexacto”, con estomostramos que al utilizar magnitudes borrosas o imprecisas, estamos quizasmas cerca de la realidad, que suponer cifras precisas pero que reflejan de formaimperfecta la realidad.

En conclusion, con el tratamiento de las herramientas de la teorıa de laincertidumbre, damos lugar a la elaboracion de un modelo capaz de calcular elvalor del cliente en situaciones donde no hay informacion suficiente para expre-sar las magnitudes de manera precisa. En este caso, abordamos las relacionescontractuales con compras periodicas.

Hemos optado por iniciar el estudio del valor del cliente partiendo del mo-delo estructural basico. No obstante hay una variable muy importante que estapresente en todos los modelos: estamos hablando del tiempo de duracion delcliente con la empresa. Hasta este momento no ha sido de suma importanciaya que como suponemos relaciones contractuales entre ellos, existe poca incer-tidumbre en dicha variable. Pero en relaciones no contractuales donde abar-camos una gran cantidad de casos en la vida real, existe gran incertidumbre enrelacion a la duracion del cliente con la empresa.

Existen otros modelos que fueron estudiados al inicio en la revision biblio-grafica sobre el tema del CLV. Dichos modelos son algo mas sofisticados como elde migracion, asignacion de los mejores recursos o aquellos basados en cadenasde Markov, que tambien estan siendo estudiados a traves de la optica de laincertidumbre avanzando con las maximas precauciones al cruzar la barreraque separa lo aleatorio de lo incierto.

Cabe mencionar por ultimo, que cuando existe poca informacion o la in-formacion es incompleta, resulta suficiente para impedir la correcta utilizacionde los esquemas ya conocidos en el ambito de la certeza o del azar.

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