REVISTA DE ADMINISTRACIÓN, FINANZAS 2 Y ECONOMÍA · 2015. 6. 4. · Revista de Administraci´on,...

Volumen 2

Número 2

Julio-Diciembre

2008

REVISTA DE

ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Y ECONOMÍA

(Journal of Management, Finance and Economics)

Artículos Francisco Venegas-Martínez y Francisco J. Sánchez-Torres Sobre la convergencia del modelo GARCH(1,1)-M al movimiento geométrico browniano con reversión a la media Héctor Montiel Campos y Francesc Solé Parellada

Existencia, descubrimiento y explotación de oportunidades tecnológicas

Linda Margarita Medina Herrera y Ricardo Mansilla Corona

Teoría de matrices aleatorias y correlación de series financieras: El caso

de la Bolsa Mexicana de Valores

Guillermo Einar Moreno Quezada

Aplicación de procesos poisson-gaussianos a los activos nacionales:

desechando la distribución normal

Elvio Accinelli, Juan G. Brida y Edgar Carrera

A Good Policy of Sustainable Tourism

Benjamín García Martínez y Arturo Lorenzo Valdés

La matriz de covarianzas de residuales en la asignación y valuación de

activos

TECNOLOGICO DE MONTERREY

CAMPUS CIUDAD DE MEXICO

Revista de Administracion, Finanzas y Economıa(Journal of Management, Finance and Economics)

Director

Dr. Jose Antonio Nunez Mora Tecnologico de Monterrey

Editor de Produccion

Dr. Fernando Cruz Aranda Tecnologico de Monterrey

Directores Adjuntos

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Comite Editorial

Alberto Hernandez Tecnologico de MonterreyAntonio Ruiz-Porras Universidad de GuadalajaraEdgar Ortiz Universidad Nacional Autonoma de MexicoElvio Accinelli Facultad de Economıa de la UASLPJose L. de la Cruz Tecnologico de MonterreyAnabella Davila Tecnologico de MonterreyFrancisco Venegas-Martınez Escuela Superior de Economıa, IPN

Revista de Administracion, Finanzas y Economıa

Escuela de Graduados en Administracion y Direccion de Empresas, EGADE

Division de Negocios

Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad de Mexico

Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C. P. 14380, Mexico D. F.

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Artıculos

Pagina

Francisco Venegas-Martınez y Francisco J. Sanchez-TorresSobre la convergencia del modelo GARCH(1,1)-M al movimientogeometrico browniano con reversion a la media....................................................92

Hctor Montiel Campos y Francesc Sol ParelladaExistencia, descubrimiento y explotacion de oportunidades tecnologicas ...........104

Linda Margarita Medina Herrera y Ricardo Mansilla CoronaTeora de matrices aleatorias y correlacion de series financieras:El caso de la Bolsa Mexicana de Valores.............................................................125

Guillermo Einar Moreno QuezadaAplicacion de procesos poisson-gaussianos a los activos nacionales:desechando la distribucion normal.......................................................................136

Elvio Accinelli, Juan G. Brida y Edgar CarreraA Good Policy of Sustainable Tourism................................................................150

Benjamın Garcıa Martınez y Arturo Lorenzo ValdesLa matriz de covarianzas de residuales en la asignacion y valuacionde activos.............................................................................................................162

Revista de Administracion, Finanzas y Economıa (Journal of Management, Finance and

Economics), vol. 2, num. 2 (2008), pp. 92-103.

Sobre la convergencia del modelo GARCH(1,1)-M

al movimiento geometrico browniano

con reversion a la media

Francisco Venegas-Martınez†Francisco J. Sanchez-Torres††

Recibido 11 de abril 2008, Aceptado 30 de septiembre 2008

ResumenEsta investigacion muestra, bajo ciertas condiciones, la convergencia del modeloGARCH(1,1)-M al movimiento geometrico Browniano con reversion a la media(proceso de difusion GARCH). La importancia de este resultado radica en queel problema de inferencia sobre los parametros de modelos de valuacion de op-ciones con volatilidad estocastica puede ser reducido a la estimacion del modeloGARCH(1,1)-M. Asimismo, se lleva a cabo una discusion sobre los supuestosque garantizan la existencia y unicidad del proceso lımite. Por ultimo, se pre-senta una prueba rapida de convergencia menos formal, pero mas intuitiva yfacil de recordar.AbstractThis paper shows, under certain conditions, the convergence of the GARCH(1.1)-M model to the geometric Brownian motion with mean reversion (diffu-sion GARCH process). The importance from this result is that the problem ofinference on the parameters of the valuation models of options with stochas-tic volatility can be reduced by estimating the model GARCH (1.1)-M. It isalso carried out a discussion on the assumptions that ensure the existence anduniqueness of the limit process. Finally, it is provided a quick demonstration ofthe convergence, which is less formal, but more intuitive and easy to remember.

Clasificacion JEL : G13, C13, y C22.

Palabras clave: Convergencia de procesos estocasticos, valuacion de derivados, volatilidad

estocastica

1. IntroduccionEsta investigacion muestra, bajo ciertas condiciones, la convergencia de unaecuacion en diferencias estocastica del tipo GARCH(1,1)-M a una ecuacion

† Profesor-Investigador de la Escuela Superior de Economıa del Instituto Politecnico Na-

cional. Correo electronico: [email protected]

†† Escuela Superior de Economıa del Instituto Politecnico Nacional.

Sobre la convergencia del modelo GARCH(1,1)-M 93

diferencial estocastica del tipo del movimiento geometrico Browniano con re-version a la media; este ultimo, por simplicidad sera llamado proceso de di-fusion GARCH. La importancia de esta convergencia radica en que el problemade inferencia sobre los parametros de modelos de valuacion de opciones convolatilidad conducida por procesos de difusion GARCH puede ser reducido ala estimacion del modelo GARCH(1,1)-M. Por ejemplo, los parametros de losmodelos de valuacion de opciones de Engle y Lee (1996), Lewis (2000) y Hull yWhite (1987), podrıan ser estimados por metodos muy simples.

En los ultimas decadas, los modelos ARCH (modelos autorregresivos deheteroscedasticidad condicional) han sido ampliamente aplicados en la litera-tura financiera y particularmente en la literatura de valuacion opciones. Eldesarrollo de los modelos ARCH se debe a Engle (1982) y su version generaliza-da conocida como GARCH se debe a Bollerslev (1986). Estos modelos suponenrendimientos distribuidos normalmente con una varianza condicional dependi-ente del tiempo y tienen la caracterıstica de describir de manera mas adecuadalas series de tiempo de rendimientos que los modelos tradicionales. El exito ini-cial de los modelos ARCH al capturar no linealidades de las series de tiempo hallevado a muchas extensiones del modelo original. Al mismo tiempo se observafrecuentemente el la literatura especializada el replanteamiento de los modelosde valuacion de opciones que incorporan procesos ARCH a la dinamica de la var-ianza. Los modelos propuestos que explican la leptocurtosis son dos: aquellosrealacionades con las leyes de estabilidad de Pareto (sugerido por Mandelbrot(1963)) y los modelos autorregresivos generalizados de heteroscedasticidadconstante (GARCH) (debidos a Engle y Bollerslev (1986)).

El enfoque de tiempo discreto sobre valuacion de opciones se debe a Bren-nan (1979) y Rubinstein (1976), el cual considera combinaciones de distribu-ciones y preferencias. Una conexion entre el enfoque de tiempo discreto y lasinnovaciones heteroscedasticas de los precios logarıtmicos fue presentada porDuan (1995), en donde la dinamica del precio del activo es conducida por unproceso Gaussiano GARCH del tipo Bollerslev (1986). Duan indico que debidoa este ajuste se requiere una forma nueva de neutralidad al riesgo, a saber, larelacion de valuacion local neutral al riesgo (LRNVR), la cual se mantiene bajorequerimientos muy restrictivos en las preferencias del inversionista y de lossupuestos distribucionales. La principal desventaja en los modelos mas popu-lares de precios de activos, incluyendo el de valuacion de opciones GARCH deDuan, es el supuesto de lognormalidad en los rendimientos, pues al examinarla informacion del mercado claramente se contradice la hipotesis Gaussiana,ademas de que la valuacion de la opcion necesita de simulacion numerica.

Cuando se quieren contrastar un conjunto de modelos de valuacion conla realidad, en un marco de volatilidad estocastica, se requiere de formulascerradas para obtener los precios activos. Afortunadamente, los modelos deHull y White (1987), y Heston (1993) tienen, respectivamente, formulas deaproximacion analıticas y semi-analıticas para valuar opciones europeas. Esimportante destacar que para muchos modelos de volatilidad estocastica se en-cuentran disponibles en la literatura varios metodos numericos. Sin embargo,estos procedimientos son computacionalmente intensivos y cuando hay portafo-lios grandes que tienen que ser valuados rapido y frecuentemente, esto no re-sulta practico. Si una formula cerrada de solucion estuviera disponible para un

94 Revista de Administracion, Finanzas y Economıa

modelo GARCH, se podrıa combinar informacion de corte transversal de lasopciones con informacion en series de tiempo del activo subyacente.

El desarrollo de la presente investigacion es como sigue. En la siguienteseccion se presentan y discuten los resultados preliminares para garantizar laconvergencia. A traves de la seccion 3 se muestra la convergencia del modeloGARCH(1,1)-M a un proceso de difusion GARCH. En la seccion 4 se lleva acabo una demostracion rapida (mas intuitiva y menos formal). Por ultimo, enla seccion 5 se presentan las conclusiones.

2. Resultados preliminares para garantizar convergenciaLa presente seccion toma como marco de referencia a las opciones europeassobre divisas, ya que tıpicamente la volatilidad de estas presenta reversion a lamedia. Sea S = (St)t≥0 el precio de una divisa subyacente y V = (Vt)t≥0 suvarianza instantanea. Suponga que (St, Vt)t≥0 satisface el modelo de difusionGARCH bidimensional (veanse, al respecto, los trabajos de Wong (1964) yNelson (1990)):

dSt = μStdt +√

VtStdBt,

dVt = (c1 − c2Vt)dt + c3VtdWt,

donde c1, c2 y c3 son constantes positivas y Bt y Wt son movimientos brow-nianos unidimensionales independientes en un espacio filtrado de probabilidad(Ω,F ,Ft, IP) con IP como medida objetivo. En lo que sigue se fijan el tiempoinicial t = 0 y el vector (S0 , V0) ∈ IR+ × IR+.

Como puede observarse, el proceso de V presenta reversion a la mediacon c1/c2 como el valor medio de largo plazo y c2 como la tasa de reversion.Para un parametro c2 de valor pequeno, la velocidad de reversion es debil y Vt

tiende a permanecer por arriba (o por abajo) del valor medio de largo plazo porperıodos largos, generando clusters de volatilidad. El parametro c3 determinael comportamiento aleatorio de la volatilidad: para c3 = 0 el proceso de lavolatilidad es determinista y para c3 > 0 la curtosis de la distribucion de losrendimientos logarıtmicos es mayor a 3. Cuando c1 = c2 = 0, el proceso dedifusion GARCH se reduce al proceso lognormal sin tendencia del modelo devolatilidad estocastica de Hull y White (1987). A continuacion se presentan lascondiciones generales para que una serie en tiempo discreto de dimension finitade procesos markovianos {hXt}h↓0 converja debilmente a un proceso de Ito.

2.1 Especificacion de supuestosSea D([0,∞), IRn) el espacio que mapea [0,∞) en IRn y suponga que es con-tinuo por la derecha con lımite izquierdo finito y sea B(IRn) la σ-algebra de losconjuntos de Borel en IRn. D es un espacio metrico cuando esta dotado con unametrica del tipo de Skorohod (vease, por ejemplo, Billingsley (1968)). Para cadah > 0, sea Mkh la σ-algebra generada por kh, es decir, hX0, hXh, hX2h, ..., hXkh,y sea vh una medida de probabilidad en (IRn, B(IRn)). Para cada h > 0 y cadak = 0, 1, 2, ..., sea

∏h,kh(x, ·) un proceso de transicion Markoviano en IRn, es

decir,(a)

∏h,kh (x, ·) es una medida de probabilidad en (IRn, B(IRn)) para toda x ∈

IRn,


(b)∏

h,kh (·, Γ) es B(IRn) medible para toda Γ ∈ B(IRn).

Para cada h > 0, sea IPh la medida de probabilidad en D([0,∞), IRn) tal que

IPh[hX0 ∈ Γ] = νh(Γ) para cualquier Γ ∈ B(IRn), (1)IPh[hXt =h Xkh, kh ≤ t < (k + 1)h] = 1, (2)

IPh[hX(k+1)h ∈ Γ |Mkh ] =∏

h,kh(hXkh, Γ) casi seguramente bajo IPh

para toda k ≥ 0 y Γ ∈ B(IRn). (3)

Para cada h > 0, (1) especifica la distribucion del punto inicial aleatorio y (33)las probabilidades de transicion de los procesos de Markov en tiempo discreton-dimensional hXkh. Se define el proceso en tiempo continuo hXt a partir delos procesos en tiempo discreto hXkh mediante la ecuacion (2), al definir hXt

como una funcion de pasos en tiempos discretos h, 2h, 3h, y asısucesivamente.La notacion en la funcion de pasos considera tres tipos distintos de procesos:

(a) la sucesion de procesos en tiempo discreto hXkh que depende tanto de h co-mo del ındice tiempo (discreto) kh, k = 0, 1, 2, ...,

(b) la sucesion de procesos en tiempo continuo {hXt} formado como funcionesde pasos del proceso en tiempo discreto en (a) utilizando (2) (este procesotambien depende de h y de un ındice de tiempo (continuo) t, t ≥ 0),

(c) un proceso lımite de difusion Xt al cual, bajo condiciones dadas abajo, lasucesion de procesos {hXt}h↓0 converge debilmente.

Si A′ denota la transpuesta de la matriz (vector) A, se define la norma de A,denotada por ‖A‖ como

‖A‖ ={

[A′A]1/2 cuando A es un vector columna,[traza(A′A)]1/2 cuando A es una matriz. (4)

Para cada h > 0 y cada ε > 0, se define

ah(x, t) ≡ h−1

∫‖y−x‖≤1

(y − x)(y − x)′∏

h,h[t/h](x, dy), (5)

bh(x, t) ≡ h−1

∫‖y−x‖≤1

(y − x)∏

h,h[t/h](x, dy), (6)

Δh,ε(x, t) ≡ h−1

∫‖y−x‖≥ε

∏h,h[t/h]

(x, dy), (7)

donde [t/h] es la parte entera de t/h, es decir, el entero mayor k ≤ t/h. La in-tegracion en (5)-(6) es tomada sobre ‖y − x‖ ≤ 1 mas que sobre IRn porque losmomentos condicionales usuales pueden no ser finitos1. Las funciones ah(x, t)y bh(x, t) son medidas (truncadas) del segundo momento y de la tendencia

1 Por ejemplo, Xt=exp[exp(Wt)], con Wt como movimiento Browniano, es una difusion

pero no tiene momentos de ningun orden sobre cualquier intervalo de tamano positivo.


por unidad de tiempo, respectivamente. Los resultados de convergencia que sepresentan a continuacion requieren que ah(x, t) y bh(x, t) converjan a lımitesfinitos, y que Δh,ε(x, t) tienda a cero para todo ε > 0. Asimismo, Δh,ε(x, t) esuna medida de la probabilidad por unidad de tiempo de un salto de tamano εo mayor. Dado que los procesos de difusion tienen trayectorias muestrales queson continuas con probabilidad uno, no deberıa sorprender que la probabilidadde los saltos discretos de cualquier tamano fijo ε (ε > 0) o mayor tienda a cero.El primer resultado que se presentara sobre la convergencia en cuestion requierede los siguientes supuestos:

Supuesto 1. Existe un mapeo continuo, medible a(x, t) de IRn ×[0,∞) en elespacio de matrices de n × n definidas no negativas y simetricas y un mapeomedible continuo b(x, t) de IRn × [0,∞) en IRn tal que para todo R > 0, T > 0y ε > 0

limh↓0

sup‖x‖≤R,0≤t≤T

‖ah(x, t) − a(x, t)‖ = 0, (8)

limh↓0


‖bh(x, t) − b(x, t)‖ = 0, (9)

limh↓0


Δh,ε(x, t) = 0. (10)

Las ecuaciones (8) y (9) requieren que el segundo momento y la tendenciapor unidad de tiempo converjan uniformemente en conjuntos compactos parafunciones de tiempo bien comportadas y variables de estado x. La ecuacion(10) requiere que la probabilidad por unidad de tiempo de un salto de tamanoε o mayor se desvanezca uniformemente en conjuntos compactos para todaε > 0, por lo que las trayectorias muestrales del proceso lımite son continuascon probabilidad uno. Otro supuesto necesario es que

Supuesto 2. Existe un mapeo continuo y medible σ(x, t) de IRn × [0,∞) en elespacio de matrices de n × n, tal que para todo x ∈ IRn y todo t ≥ 0,

a(x, t) = σ(x, t)σ(x, t)′. (11)

El supuesto anterior requiere que la funcion a(x, t), que determina el segundomomento por unidad de tiempo del proceso lımite, tenga una matriz raızcuadrada bien comportada σ(x, t). El siguiente supuesto requiere que la me-dida de probabilidad vh de los puntos aleatorios iniciales hX0 converjan a unamedida lımite v0 conforme h ↓ 0, de tal forma queSupuesto 3. Conforme h ↓ 0, hX0 converge en distribucion a una variablealeatoria X0 con medida de probabilidad v0 en (IRn, B(IRn)).

En resumen, se ha especificado una medida de probabilidad v0 para el valorinicial del proceso lımite Xt, una funcion instantanea de tendencia b(x, t), unamatriz instantanea de covarianzas2 a(x, t), que garantizan que el proceso lımite

2 Conforme h↓0, la diferencia entre la matriz de covarianzas condicional y la matriz de

segundos momentos condicionales se disminuye, por lo que en el lımite en tiempo continuo

las dos son identicas.


exista y que tenga trayectorias muestrales que sean continuas con probabilidaduno. En este punto, hay dos cosas que requieren de una aclaracion adicional:primero, un proceso lımite puede no existir, porque cuando se consideran juntasv0, a(x, t), y b(x, t) puede ser que el proceso explote (con probabilidad positiva)a infinito en tiempo finito. Segundo, v0, a(x, t), y b(x, t) puede no definirunicamente un proceso lımite. Por ejemplo, se podrıa requerir informacionadicional en forma de condiciones frontera3. Existen algunas investigacionesen la literatura sobre la condiciones bajo las cuales v0, a(x, t) y b(x, t) de-finen unicamente una difusion lımite (vease, por ejemplo, Stroock y Varadhan(1979)). Al respecto se adopta el siguiente supuesto.

Supuesto 4. Las funciones v0, a(x, t) y b(x, t) determinan unicamente la dis-tribucion del proceso de difusion Xt, con distribucion inicial v0, matriz de di-fusion a(x, t) y vector de tendencia b(x, t).

2.2 Planteamiento del teorema de convergenciaUna vez que se han planteado los supuestos necesarios para garantizar la ex-istencia y unicidad del proceso lımite, a continuacion, se presenta el primerresultado:

Teorema 1. Bajo los Supuestos 1 al 4, la sucesion de los procesos hXt definidospor (1)-(3) converge debilmente (es decir, en distribucion) conforme h ↓ 0 alproceso Xt definido por la ecuacion integral estocastica

Xt = X0 +∫ t

0

b(Xs, s)ds +∫ t

0

σ(Xs, s)dWn,s, (12)

donde Wn,t es un movimiento Browniano estandar n-dimensional4, independi-ente de X0 y donde para cualquier Γ ∈ B(IRn) se cumple que IP(X0 ∈ Γ) =v0(Γ). El proceso Xt es unico. La distribucion de Xt no depende de la eleccionde σ(·, ·) hecha en el Supuesto 2. Por ultimo, Xt permanece finita en intervalosfinitos de tiempo casi seguramente, es decir, para toda T > 0,

IP[ sup0≤t≤T

‖Xt‖ < ∞] = 1. (13)

La convergencia en distribucion en el Teorema 1 no es meramente una conver-gencia en distribucion de {hXt} para un valor fijo de t: aun mas para cualquierT , 0 ≤ T < ∞, las leyes de probabilidad que generan las trayectorias muestralescompletas {hXt}, 0 ≤ T < ∞ convergen a la ley de probabilidad que generala trayectoria muestral de Xt, 0 ≤ T < ∞. De ahora en adelante, se denotaraeste tipo de convergencia en distribucion mediante el sımbolo ⇒, mientras qued→ denotara la convergencia en distribucion de las variables aleatorias en IR1 oIRn.

3 Para ejemplos de explosion y no unicidad, vease Stroock y Varadhan (1979).4 Es decir, Wn,t es un movimiento Browniano n-dimensional tal que para toda t, IE[Wn,t]=

Wn,0=0n y dWn,tdW ′n,t=In,ndt, donde In,n es la matriz identidad de n×n.


2.3 Un conjunto alternativo de condiciones para convergenciaEl Supuesto 1 es complicado de verificar, dado que las integrales son tomadassobre ‖y − x‖ ≤ 1 y sobre ‖y − x‖ ≥ ε. De alguna manera esto limita lautilidad del Teorema 1. Por lo tanto, es importante contar con una alternativamas simple, aunque de alguna forma menos general que el Supuesto 1. Primero,para cada i, i = 1, ..., n, cada δ > 0 y cada h > 0 se define

ch,i,δ(x, t) ≡ h−1

∫IRn

|(y − x)i|2+δ∏

h,h[t/h](x, dy), (14)

donde (y − x)i es el i-esimo elemento del vector y − x. Si para algun δ > 0 ytodo i, i = 1, ..., n, ch,i,δ(x, t) es finito, entonces las siguientes integrales estanbien definidas y son finitas:

a∗h(x, t) ≡ h−1

∫IRn

(y − x)(y − x)′∏

h,h[t/h](x, dy), (15)

b∗h(x, t) ≡ h−1

∫IRn

(y − x)∏

h,h[t/h](x, dy). (16)

En virtud de que a(·, ·), b(·, ·), a∗(·, ·) y b∗(·, ·) son medidas del segundo momentoy de la tendencia por unidad de tiempo, la diferencia ahora es que las integralesson tomadas sobre IRn en lugar de ‖y − x‖ ≤ 1. A continuacion se establece elsiguiente supuesto alternativo al supuesto 1:

Supuesto 5. Existe una δ > 0 tal que para cada R > 0, cada T > 0 y cadai = 1, ..., n,

limh↓0


ch,i,δ(x, t) = 0. (17)

Ademas, existe una mapeo continuo a(x, t) de IRn × [0,∞) en el espacio dematrices de n×n definidas no negativas simetricas y un mapeo continuo b(x, t)de IRn × [0,∞) en IRn tal que

limh↓0


‖a∗h(x, t) − a(x, t)‖ = 0, (18)

limh↓0


‖b∗h(x, t) − b(x, t)‖ = 0. (19)

De esta forma, se tiene que

Teorema 2. Bajo los Supuestos 2 al 5, las conclusiones del Teorema 1 semantienen.5

Los Teoremas 1 y 2 proveen una forma relativamente simple de garantizarla convergencia a un proceso lımite de Ito. En esencia, el Teorema 2 dice que sila tendencia y el segundo momento de hXkh por unidad de tiempo convergena lımites bien comportados, y si las primeras diferencias de hXkh tienen un

5 vease, por ejemplo, Arnold (1974).


momento absoluto mayor a dos que se colapsa a cero a una tasa apropiada deh ↓ 0, entonces los procesos hXt convergen en distribucion a la solucion delsistema de la ecuacion integral estocastica (12).

3. Convergencia de GARCH(1,1)-M a un proceso de difusionGARCHEn esta seccion se demuestra la convergencia de modelo GARCH(1,1)-M a unproceso de difusion GARCH. l proceso GARCH(1,1)-M de Engle y Bollerslev(1986) para el logaritmo de rendimientos de los excedentes acumulativos Yt enun portafolio esta dado por

Yt = Yt−1 + cσ2t + σtZt, (20)

σ2t+1 = ω + σ2

t (β + αZ2t ), (21)

donde Zt son variables aleatorias independientes identicamente distribuidasN (0,1). A continuacion se consideran las propiedades del sistema de ecuacionesestocasticas en diferencia (20)-(21) conforme se una particion del intervalo detiempo del modelo GARCH(1,1)-M se hace cada vez mas y mas fina. Sin perdidade generalidad, se permite que los parametros del sistema α, β y ω dependande h, y se supone que tanto el termino de tendencia en (20) como la varianzade Zt sean proporcional a h, es decir:

hYkh = hY(k−1)h + h · c · hσ2kh + hσkh · hZkh, (22)

hσ2(k+1)h = ωh + hσ2

kh(βh + h−1αh · hZ2kh), (23)

yIP[(hY0, hσ2

0) ∈ Γ] = νh(Γ) para cualquier Γ ∈ B(R2), (24)

donde {hZkh} son variables aleatorias independientes identicamente distribui-das N (0,h). Tambien se supone que la sucesion de medidas {νh}h↓0 satisface elSupuesto 3, y que para h ≥ 0, νh((Y0, σ

20) : σ2

0 > 0) = 1. Para concluir, se creael proceso en tiempo continuo hYt y hσ2

t por

hYt ≡ hYkh y hσ2t ≡ hσ2

kh para kh ≤ t < (k + 1)h. (25)

Se permite que ω, α y β dependan de h a fin de descubrir que sucesiones{ωh}, {αh} y {βh} hacen que los procesos {hσ2

t } y {hYt} (en donde ahorahσ2

t representa la varianza por unidad de tiempo y c · hσ2t la prima de riesgo

por unidad de tiempo) converjan en distribucion a un lımite de proceso de Itoconforme h tiende a cero. Asimismo, se requiere que para toda h, ωh, αh y βh

sean no negativas, lo cual asegura que el proceso σ2t permanezca positivo con

probabilidad uno (vease Bollerslev (1986)).El proceso de tiempo discreto (22)-(24) es claramente Markoviano y la

tendencia por unidad de tiempo (condicionada en la informacion al tiempo(k − 1)h) esta dada por

IE[h−1(hYkh −h Y(k−1)h) |M kh] = c ·h σ2kh, (26)

IE[h−1(hσ2(k+1)h −h σ2

kh) |M kh] = h−1ωh + h−1(βh + αh − 1)hσ2kh, (27)


donde Mkh es la σ-algebra generada por kh, hY0, ...,h Y(k−1)h, y hσ20 , ...,h σ2

kh.Para que la tendencia por unidad de tiempo converja como es requerido por elSupuesto 5, los lımites

limh↓0

h−1ωh = ω ≥ 0, (28)

limh↓0

h−1(1 − βh − αh) = θ, (29)

deben existir y ser finitos. Observe que se requiere que ω sea no negativo ydonde θ puede ser de cualquier signo. El segundo momento por unidad detiempo esta dado por

IE[(hσ2(k+1)h − hσ2

kh)2/h |M kh]

= h−1ω2h + 2h−1ωh(βh + αh − 1)hσ2

kh

+ h−1(βh + αh − 1)2hσ4kh + 2h−1α2

hhσ4kh, (30)

IE[h−1(hYkh −h Y(k−1)h)2 |M kh] = hc2hσ4

kh + hσ2kh, (31)

IE[h−1(hYkh −h Y(k−1)h)(hσ2(k+1)h − hσ2

kh) |M kh]

= c · hσ2kh · ωh + c · hσ4

kh(βh + αh − 1). (32)

Si se sustituyen (28)-(29) en (30)-(32) y se supone que

limh↓0

2h−1α2h = α2 > 0, (33)

existe y es finito, entonces se tiene que

E[h−1(hσ2(k+1)h − hσ2

kh)2 |M kh] = α2hσ4

kh + o(1), (34)

E[h−1(hYkh −h Y(k−1)h)2 |M kh] = hσ2kh + o(1), (35)

E[h−1(hYkh −h Y(k−1)h)(hσ2(k+1)h − hσ2

kh) |M kh] = o(1), (36)

donde el termino o(1) disminuye uniformemente en conjuntos compactos. Noes difıcil encontrar sucesiones de {ωh}, {αh} y {βh} que satisfagan (28), (29) y(33), basta tomar ωh = ωh, βh = 1 − α(h/2)1/2 − θh y αh = α(h/2)1/2. Ahorabien, se puede verificar en forma directa, aunque resulta tedioso, que los lımitesde

IE[h−1(hσ2(k+1)h − hσ2

kh)4 |M kh] y IE[h−1(hYkh −h Y(k−1)h)4 |M kh]

existen y convergen a cero, por lo que con δ = 2,

b(Y, σ2) ≡[

c · σ2

ω − θσ2

],

a(Y, σ2) ≡[

σ2 00 α2σ4

],


y si ademas ωh, αh y βh satisfacen (28), (29) y (33), entonces el Supuesto 5se mantiene. Si se hace que σ(·, ·) en el Supuesto 2 sea igual elemento porelemento a la raız cuadrada de a(Y, σ2), entonces se mantiene el Supuesto 2.Las ecuaciones (37)-(38) sugiere un proceso de difusion lımite de la forma:

dYt = c · σ2t dt + σtdW1,t, (39)

dσ2t = (ω − θσ2

t )dt + ασ2t dW2,t, (40)

IP[(Y0, σ20) ∈ Γ] = ν0(Γ) para cualquier Γ ∈ B(IR2), (41)

donde W1,t y W2,t son movimientos Brownianos estandar estocasticamente in-dependientes e independientes de sus valores iniciales (Y0, σ

20).

4. Prueba rapida de convergenciaEn esta seccion se presenta una prueba rapida de convergencia que aunque esmenos formal es muy intuitiva. Considere el modelo GARCH(1,1)-M:

Yt = Yt−1 + cσ2t + σtZt,

σ2t+1 = ω + σ2

t (β + αZ2t ),

Zt ∼ N(0, 1); ωh, αh, βh ≥ 0. Considere una particion con kh ≤ t ≤ (k + 1)hy h = 1/N , de la forma tk = hk, es decir,

t0 = 0

t1 = h

t2 = 2h = 2/N

tN = Nh = 1

Para el proceso Yt, se define

hYkh = hY(k−1)h + c · hσ2kh + hσkh · hZkh,

hYkh − hY(k−1)h = c · hσ2kh + hσkh · hZkh.

Esta ultima expresion converge a

dYt = c · σ2t dt + σtdW1,t.

Asimismo, para σt se tiene que

hσ2(k+1)h = ωh + hσ2

kh[βh + αh · hZ2kh],

lo cual implica que

hσ2(k+1)h − hσ2

kh = ωh + hσ2kh · βh − hσ2

kh + hσ2kh · αh · hZ2

kh + αh · hσ2kh

− αh · hσ2kh,

= ωh − (1 − αh − βh)hσ2kh + αh · hσ2

kh(hZ2kh − 1),

= ωh − θhσ2kh + αh · hσ2

kh(hZ2kh − 1).


Si se utiliza ahora la aproximacion ln(x) ≈ x − 1 valida cuando x ≈ 1, se tieneque la ecuacion anterior puede ser aproximada de la siguiente forma:

hσ2(k+1)h − hσ2

kh = ωh − θhσ2kh + αh · hσ2

kh · ln(hZ2kh).

Observe que las variables aleatorias ln(hZ2kh) toman valores entre −∞ y ∞.

Como las variables aleatorias ln(hZ2kh) son independientes con varianza finita,

por el teorema del lımite central se tiene que ln(hZ2kh) → Y donde Y ∼ N (0, t),

siempre y cuando el numero de subintervalos se vaya a infinito. Si se escribeahora Y = dW2,t, se obtiene que

dσ2t = (ω − θσ2

t )dt + ασ2t dW2,t

donde se ha supuesto que

limh↓0

h−1ωh = ω ≥ 0,

limh↓0

h−1(1 − βh − αh) = θ.

5. Conclusiones

Este trabajo ha mostrado, bajo ciertas condiciones (Supuestos (1)-(2) o (2)-(6)),la convergencia del modelo GARCH(1,1)-M al movimiento geometrico Browni-ano con reversion a la media (proceso de difusion GARCH). Con este resultadoel problema de inferencia sobre los parametros de modelos de valuacion de op-ciones europeas con volatilidad estocastica (como los de Engle y Lee (1996),Lewis (2000) y Hull y White (1987)) puede ser reducido a la estimacion delmodelo GARCH(1,1)-M. Asimismo, se lleva a cabo una discusion detallada so-bre los supuestos que garantizan la existencia y unicidad del proceso lımite. Porultimo, se desarrollo una prueba rapida de convergencia menos formal, pero masintuitiva y facil de recordar.

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Existencia, descubrimiento y explotacion de

oportunidades tecnologicas

Hector Montiel Campos∗Francesc Sole Parellada∗∗

4 de octubre 2007, Aceptado 9 de septiembre 2008

ResumenIdentificar y seleccionar las oportunidades correctas para la creacion de nuevasempresas es un tema central en el campo de investigacion sobre creacion deempresas. El objetivo de este trabajo es el mejorar la comprension del pro-ceso de descubrimiento y explotacion de oportunidades tecnologicas mediantela creacion de empresas en un ambito especıfico de creacion de conocimientocomo lo son las universidades. Para esto se siguio una propuesta metodologicapost-positivista. El resultado es un modelo que se encuentra apoyado en laevidencia de los casos y nos muestra el proceso de desarrollo de la oportunidadtecnologica.AbstractThe central topic in the field of research on entrepreneurship is to identify andto select the right opportunities for the creation of new companies. The aimof this work is to improve the comprehension of the process of the discoveryand exploitation of technological opportunities, through the creation of newventures in the specific area of knowledge creation, like in the universities. Inthis regard, a methodological post-positivist proposal was followed. The resultis a model that is supported in the evidence of the cases and shows the processof development of the technological opportunity.

Clasificacion JEL: M13

Palabras clave: Oportunidades tecnologicas, empresas derivadas de la universidad, teorıa

fundada, estudio del caso

1. Introduccion¿Como las oportunidades tecnologicas que crean nuevas empresas son descubier-tas y explotadas por algunas personas y no por otras? Esta es una preguntaque no ha sido completamente respondida por el campo de investigacion desdeel cual se estudia la creacion de empresas (Shane y Venkataraman, 2000; Shook

∗ Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Puebla. VıaAtlixcayotl 2301, 72800, San Andres Cholula, Puebla, Mexico. Tel.: +52 222 303 2092; fax:

+52 222 303 2087. E-mail: [email protected]∗∗ Universidad Politecnica de Cataluna. C/ Jordi Girona, 31. 08034 Barcelona, Espana.

Existencia, descubrimiento y explotacion 105

et al., 2003; Eckhardt y Shane, 2003). Consecuentemente, explicar como lasoportunidades se descubren y se desarrollan es un problema sustancial de in-vestigacion dentro de este campo cientıfico y al que los anglosajones llamanentrepreneurship (Shane y Venkataraman, 2000). Algunos trabajos han estu-diado temas relacionados con este proceso y aunque han contribuido a su com-prension, estos no ofrecen una descripcion completa del proceso principalmentepor dos motivos. El primero de ellos se debe a que cada uno de estos trabajosse concentra en solo uno de los varios aspectos del proceso. Mientras estos enfo-ques sobre perspectivas especıficas resultan en analisis de factores individuales,esto lleva a ignorar otros factores igualmente importantes. El unico estudio queha intentado explıcitamente proponer un modelo, es el trabajo de Ardichvili etal (2003), sin embargo, este modelo no ha sido probado empıricamente.

En segundo lugar, es importante mencionar que en la comunidad cientıficaaun no existe un acuerdo general sobre los principales conceptos utilizados paradefinir y hacer operativo este proceso. Por lo que, todavıa estamos lejos de de-sarrollar una teorıa integral sobre la identificacion y desarrollo de oportunidades.En esencia, es indispensable investigar como una combinacion de factores influyeen la identificacion de oportunidades para explicar por que algunas personas yno otras identifican y explotan oportunidades tecnologicas de negocio mediantela creacion de una empresa. Por lo tanto, el objetivo de este estudio es el demejorar la comprension del proceso de descubrimiento y explotacion de opor-tunidades tecnologicas. A esto nosotros agregamos como hipotesis de partidaque la universidad como organizacion es un ambito especıfico de creacion deconocimiento en el que se facilita el surgimiento de oportunidades tecnologicas.

Esta comunicacion se presenta como sigue: despues de la introduccion, sedesarrolla la propuesta metodologica que se siguio en este trabajo. En esteapartado se aborda la perspectiva teorica en la que se apoyo la investigacion,asıcomo el diseno, recoleccion y analisis de los datos. En tercer lugar se pre-sentan los resultados, en donde se muestra el modelo del proceso de desarrolloy explotacion de oportunidades tecnologicas mediante la creacion de una em-presa. En una cuarta parte se discuten los resultados, lo que marca la pautapara la parte final de este trabajo, abordando en un quinto y sexto apartadolas limitaciones e implicaciones de la investigacion. Por ultimo, se presentan lasconclusiones del trabajo.

2. Metodologıa de la investigacionCon el objetivo de comprender mejor el fenomeno, se utilizo un paradigmapost-positivista, especıficamente la teorıa fundada y el estudio del caso (Glasery Strauss, 1967; Strauss y Corbin, 1998; Miles y Huberman, 1994; Yin, 2002),para examinar los factores que influyen en el proceso de la identificacion yexplotacion de oportunidades tecnologicas. Esta metodologıa se circunscribeen el interes senalado por algunos autores por desarrollar trabajos de ordencualitativo (Gartner y Birley, 2002). Como tal, los resultados fueron sustentadosen los datos (Eisenhardt, 1989), y estos a su vez fueron revisados con la teorıacontinuamente en un modelo de investigacion que podrıa ser concebido comoespiral mas que lineal en su progreso (Berg, 1995). Dado que resulta inutil eltratar de explicar lo que en el propio campo de la creacion de empresas no se hadescrito con un grado razonable de precision, el objetivo de este trabajo fue el deobtener amplias explicaciones sobre el proceso ya mencionado, y ası identificar


la convergencia de temas comunes y patrones a traves de los casos (Glaser yStrauss, 1967; Miles y Huberman, 1994; King et al., 1994; Yin, 2002). Esdecir, la investigacion es del tipo exploratorio. La investigacion exploratoria sepuede concebir en un amplio sentido como una investigacion que es intencional,sistematica y que tiene un diseno que garantiza maximizar el descubrimientode generalizaciones que permitan la descripcion y comprension de un fenomeno(Stebbins, 2001), que no es lo suficientemente claro y que permite desarrollarideas para futura investigacion (Yin, 2002).

2.1 Perspectiva teoricaYin (2002) nos dice que en un trabajo del tipo exploratorio, la teorıa se utilizacomo un referente, mas no para contrastarla. En enfoque teorico que damos eneste trabajo viene desde los supuestos de la Teorıa de Recursos y Capacidades(TRC), especıficamente la propuesta de Alvarez y Busenitz (2001) que puedehacer importantes contribuciones al estudio del entrepreneurship. En los tra-bajos iniciales de la TRC, se reconoce que la creacion de empresas es una partecompleja en su marco conceptual (Conner, 1991; Rumelt, 1987). Por ejemplo,Conner senala: “Desde la perspectiva de la TRC, elegir los inputs adecuadoses de hecho un problema de vision empresarial e intuicion, el acto creativo quesubyace en dicha vision es un tema que no ha sido central en el desarrollo dela teorıa de recursos y capacidades” (Conner, 1991). Mientras que la TRC hallegado a ser un paradigma dominante en el campo de la direccion estrategica(Barney, 2001a; Peteraf, 1993; Collis y Montgomery, 1995), su interfase con elcampo de la creacion de empresas ha ido aumentando (Gregoire et al, 2001).Alvarez y Busenitz (2001) mencionan que las acciones empresariales puedenbeneficiar a la TRC, al sugerir usos alternativos de recursos que no se han des-cubierto anteriormente y que conducen a recursos heterogeneos, es decir, que laaccion empresarial, que supone la creacion y combinacion de recursos (Penrose,1959), es esencial en el proceso de creacion de nuevos recursos mas complejos ydiferenciados.

Las oportunidades empresariales surgen porque distintos agentes tienendiferentes creencias del valor relativo de los recursos en el proceso de su con-version de inputs a outputs (Schumpeter, 1934; Kirzner, 1979; Shane yVenkataraman, 2000). Siguiendo las ideas de Alvarez y Busenitz (2001), laheterogeneidad es un atributo comun a la TRC y a la teorıa de la creacion deempresas. Estos mismos autores nos dicen que, la TRC se centra en la hetero-geneidad de los recursos, mientras que la teorıa de la creacion de empresas seha fijado mas en las diferentes creencias sobre el valor de los recursos. No ob-stante, cuando se reconoce que las creencias sobre el valor de los recursos son ensı mismas recursos, el aparente conflicto se resuelve (Alvarez y Busenitz, 2001).Por lo tanto, el recurso para ambos campos es la unidad de analisis. Alvarezy Busenitz (2001) amplıan los lımites de la TRC al introducir dos conceptosrelacionados con el campo de la creacion de empresas: el primero de ellos, elreconocimiento empresarial, que lo definen como un recurso que consiste en lacapacidad de buscar e identificar oportunidades; y, el segundo, la capacidadde combinar y organizar recursos, como un recurso en sı. La propuesta deampliacion que estos autores hacen de la TRC hacia la creacion de empresas,se hace alrededor de las cuatro condiciones subyacentes para alcanzar ventajascompetitivas sostenibles senaladas por Peteraf (1993): heterogeneidad, lımites


ex post a la competencia, movilidad imperfecta y lımites ex ante a la compe-tencia.

La propuesta de Alvarez y Busenitz (2001) muestra que cuando se utilizauna teorıa especıfica fuera de su ambito se desafıan sus lımites. La utilizacionde perspectivas teoricas complementarias es una herramienta util para cono-cer mejor un fenomeno complejo, ya que favorecen la fertilizacion cruzada(Davidsson et al., 2001). Estas complementariedades teoricas adquieren mayorimportancia, porque como mencionan Astley and Van de Ven (1983), los para-digmas no tienen por que considerarse estancos. En ambos enfoques se resaltael concepto de oportunidad. Para los fines de este trabajo, las oportunidadesempresariales son aquellas situaciones en las cuales nuevos productos, servicios,procesos, materias y metodos de organizacion pueden ser introducidos y vendi-dos en el mercado a mas de su costo de produccion (Casson, 1982). Si definimosuna oportunidad tecnologica como aquella oportunidad empresarial que surgecon el desarrollo o avance de la tecnologıa, e involucra el stock cientıfico y tec-nologico, entonces, esta se define mas por el tipo de ”solucion” que por el tipode ”necesidad” (Shane, 2001; Katila y Mang, 2003).

2.2 Diseno del estudio del casoCon base en la muestra teorica (Yin, 2002), fueron seleccionados 16 empresasderivadas de la universidad (university spin-offs). La seleccion se apoyo en lainformacion que dieron informantes claves a traves del Programa Innova de laUniversidad Politecnica de Cataluna (UPC). 10 empresas (TSS, Visiometrics,SIOP, Sensofar, CSC, Fractus, Maths for More, Inetsecur, Aleasoft, Rededia)fueron identificadas con la ayuda del Director de dicho programa mientras que6 empresas (IBQ, Compass, Crystax, Aiguasol, Aularius, Aluvial) fueron en-contradas mediante la tecnica del efecto de bola de nieve (Patton, 2001). Loscriterios de seleccion de los casos fueron los siguientes: empresa derivada dela universidad, ubicacion geografica, diversidad de areas tecnologicas y de ac-tividad economica. Ademas, que las empresas tenıan que estar vigentes en elmercado (resultado), durante un periodo de tiempo no mayor a tres anos desdeque llevaron a cabo la primera venta (antigedad).

En un estado final de la investigacion, se incluyeron 4 casos (Mossa Tech,Openwired, Baolab, Abvancare) que se identificaron por no estar comerciali-zando su producto/servicio. Estos casos, segun Patton (2001) se consideraroncomo confirmatorios o no confirmatorios. Este tipo de casos desde la perspectivacualitativa se pueden catalogar como de segundo orden, en tanto que se realizasobre patrones que ya han emergido en etapas previas de la investigacion y loque se pretende es enriquecer, profundizar y mejorar la credibilidad de los datosobtenidos hasta ese momento (Patton, 2001). Los criterios de seleccion de estoscasos fue el mismo, excepto que todavıa no realizaban la primera venta.

2.3 Recoleccion de datosLa primera de recoleccion de datos implico hacer 2 pruebas piloto de la entre-vista antes de ser utilizada con la muestra final. Esta fase incluyo la revision dedocumentos relevantes (webs oficiales, prensa, informacion de productos, docu-mentos de clientes y proveedores, copias de los planes de negocio y patentes)de los casos que finalmente estarıan en la muestra final. La segunda etapaconsistio en una entrevista en profundidad a cada uno de los 16 empresarios,


es decir, quien descubrio y tuvo el papel protagonico en la explotacion de laoportunidad tecnologica. La entrevista tuvo un formato mas parecido a unaconversacion guiada, que a un interrogatorio estructurado. En otras palabras,aunque se estaba siguiendo una lınea de investigacion especıfica, las preguntasque se plantearon en la entrevista tendieron a ser mas fluidas que rıgidas (Rubiny Rubin, 1995; Holstein y Gubrium, 1995). Una vez realizadas las entrevistasa los 10 primeros casos, se empezaron a agregar mas casos, analizando susarchivos y realizando las entrevistas en profundidad, alcanzando la saturacionteorica con un total de 16.

En la tercera etapa se llevaron a cabo dos actividades. La primera tuvo lu-gar despues de la entrevista, ya que los empresarios resolvieron un cuestionariode 14 planteamientos, con el fin de corroborar los resultados obtenidos de lasentrevistas en profundidad. La escala de evaluacion que se siguio fue de 1 a5, en donde 1 era complemente es desacuerdo y 5 completamente de acuerdo.La segunda, se hicieron entrevistas a personajes claves en la investigacion, talescomo el Director del Programa Innova, el Director de la empresa de capitalriesgo que financio a algunas empresas de nuestra investigacion, la Directora dela empresa de consultorıa quien trabajaba para el Programa Innova y ademashabıa asesorado a todos los casos de nuestra investigacion, el Director del Centrode Innovacion y Desarrollo Empresarial en Barcelona, quien habıa coordinadoel comite de evaluacion de los planes de negocio de los empresarios, para recibirincentivos por parte del gobierno, y finalmente, el Director del Centro de Trans-ferencia de Tecnologıa de la UPC, ya que habıa asesorado a varios empresariosen el tema relacionado con la proteccion de sus desarrollos tecnologicos. Enla cuarta y ultima etapa, el mismo cuestionario aplicado a los 16 casos de lamuestra teorica, se aplico a los 4 casos confirmatorios o no confirmatorios quetodavıa no llevaban a cabo su primera venta, pero que estaban proximos ahacerlo.

2.4 Analisis de datosLa estrategia general para el procesamiento de los datos estuvo apegada a lapropuesta de codificacion de Strauss y Corbin (1998) para generar teorıa. Elanalisis de los datos fue iterativo con su recoleccion y esto facilito la generacionde temas, patrones y modelos teoricos, los cuales fueron modificados conti-nuamente para incorporar nuevos datos, temas, asıcomo las ideas emergentesde los investigadores (Miles y Huberman, 1994). La organizacion de los datosdisponibles paso por las tres etapas planteadas por Strauss y Corbin (1998): unaprimera meramente descriptiva, donde se hizo acopio de toda la informacionobtenida de una manera textual. Una segunda, en la que se segmento eseconjunto inicial de datos, a partir de unas categorıas descriptivas que emergieronde los mismos y que permitieron una reagrupacion y una lectura distinta deesos mismos datos. Una tercera, en la cual a partir de la interrelacion de lascategorıas descriptivas identificadas y la construccion de categorıas de segundoorden o axiales, se estructura la presentacion sintetica y conceptualizada delos datos. Yin (2002) nos habla de 4 aspectos para asegurar la calidad de lainvestigacion. La fiabilidad se consiguio a traves del desarrollo de un protocoloy una base de datos de la investigacion. La validez se logro al utilizar variasfuentes de evidencia, la creacion de una cadena de evidencia, y de informantesclaves quienes revisaron los resultados (Yin, 2002). La informacion de los casos


fue comparada con las proposiciones que iban emergiendo para determinar elgrado en el cual ellas eran consistentes, siguiendo la logica de la comparacionconstante (Miles y Huberman, 1994).

3. Resultados3.1 Fuente de la oportunidad tecnologica

Nuestros resultados nos conducen a que una oportunidad tecnologica, tienesu origen en diferentes actividades realizadas dentro de la universidad. En loscasos de las empresas TSS, Visiometrics, Crystax, CSC, Fractus y Compass lafuente predominante de la oportunidad se encuentra en resultados de investi-gacion, fruto del trabajo realizado en la universidad por los empresarios. Porotra parte, los convenios de transferencia de tecnologıa tambien se mostraroncomo fuentes de oportunidades para los casos de Sensofar, IBQ y Rededia. Enel caso de SIOP, la fuente de oportunidad se puede atribuir a una combinacionde resultados de investigacion y convenios de transferencia de tecnologıa. Otrafuente de oportunidad fue a lo que nos referimos como formacion academica,es decir, el conocimiento especializado que adquirieron los empresarios durantesus estudios y por trabajos realizados durante su estancia en la universidad,y a partir de este, se desarrolla la oportunidad. Los casos de Aleasoft, Mathsfor More, Aiguasol, Aularius y Aluvial se encuentran en esta situacion. Fi-nalmente, consideramos que existe otra fuente de oportunidad, a la que nosreferimos como servicios especializados, es decir, servicios que ofrece la univer-sidad a la sociedad en general. En el caso de Inetsecur la demanda de serviciosde seguridad en Internet excedıa a la respuesta que se podıa ofrecer desde launiversidad. El analisis de los casos y la valoracion promedio (4.3) que da el em-presario a la afirmacion de que su oportunidad de negocio proviene de resultadosde investigacion, convenios de transferencia de tecnologıa, formacion academicao servicios especializados, nos conduce a plantear la siguiente proposicion:P1: El resultado de diferentes actividades llevadas a cabo en el ambito de launiversidad, tales como resultados de investigacion, convenios de transferenciade tecnologıa (o la combinacion de ambos), formacion academica y serviciosespecializados, son fuentes de potenciales oportunidades tecnologicas.

Por otra parte, los resultados nos llevan a plantear que el origen de laoportunidad se puede presentar en un continuo con los siguientes extremos:necesidad en el mercado y recursos que no se emplean o son subempleados.Con respecto a las oportunidades que presentan una mayor tendencia haciauna necesidad en el mercado representan un valor buscado. Por la otra parte,los recursos desempleados o subempleados representan una capacidad de crearvalor. Ante esta propuesta, se le plantea al empresario que tan de acuerdoesta en que su oportunidad surgiera con una mayor tendencia a cubrir unanecesidad en el mercado o aprovechar recursos desempleados y subempleados.Su valoracion (4.0) nos lleva a plantear la siguiente proposicion:P2: Las condiciones iniciales de la fuente de oportunidad, influyen para que laposible oportunidad tecnologica surja con una tendencia hacia una necesidad enel mercado (valor buscado), y/o hacia recursos desempleados o subempleados(capacidad de crear valor).


3.2 Fases de desarrollo de la oportunidad tecnologica

3.2.1 La fase de percepcion

En esta primera fase, lo que posteriormente se puede llamar una oportunidadtecnologica, puede aparecer por un valor buscado y/o por la capacidad de crearvalor. Nuestro planteamiento es que en esta fase el empresario genera una ideade negocio, producto de la percepcion. Timmons (1999) menciona que una ideano es mas que una herramienta en las manos del empresario, quien a travesde la creatividad la convierte en una oportunidad. No obstante, la gestionempresarial por sısola ya implica creatividad (Henry, 1991). La evidencia nosconduce a plantear que la percepcion de la oportunidad, en algunos casos, talescomo TSS, SIOP, Compass e Inetsecur se presenta de forma mas directa. Porejemplo, el empresario de TSS comento: “el simulador se estaba utilizando porquienes participaron en el proyecto, por lo que nosotros estabamos enterados desu alcance y limitaciones. En algun momento se nos ocurrio que el simuladortenıa mas potencial de uso del que se le estaba dando”.

Los casos de Aiguasol, Rededia, Sensofar, IBQ, Aleasoft, Maths for More,Aularius y Aluvial, fueron mas sensibles con una necesidad en el mercado (pro-blema), por lo que percibieron una posibilidad para nuevos productos/servicioso soluciones. Se podrıa decir que la percepcion a los problemas o posibilidades,en esta fase, no necesariamente se extendio a la generacion de ideas para solu-ciones a problemas especıficos. Por otra parte los empresarios de Visiometrics,CSC, Crystax y Fractus, fueron mas sensibles para identificar recursos desem-pleados o subempleados. Sin embargo, una vez que han identificado dichos re-cursos, no pudieron ser capaces de definir usos o usuarios especıficos a los cualeslos recursos pudieran crear valor. En esta fase, la percepcion solo lleva a plantearla existencia de una necesidad en el mercado que no esta siendo aprovechaday/o que existen recursos desempleados o subempleados. Cualquiera que sea elmatiz de la percepcion, hasta esta fase no se tiene la solucion al problema o nose conoce la forma exacta en que los recursos pueden ser aprovechados. La ideaque se genera en esta fase tiene la caracterıstica de ser incipiente, de no estarestructurada, y de estar fundamentada en una impresion de los acontecimien-tos. A partir de estos resultados y de la evaluacion al planteamiento sobre laconcepcion de la idea de negocio y sus caracterısticas (3.9), se establece que:

P3: La percepcion de una necesidad en el mercado y/o de recursos desemplea-dos o subempleados, conduce al empresario a concebir una idea de negocio.

Una vez que el empresario tiene una idea de negocio, durante esta fase lasomete a un periodo de maduracion en el cual se cristaliza. Durante este tiempose generan dos aspectos: la percepcion de una factibilidad y de una convenien-cia. La combinacion de estos dos aspectos influyo en el posterior desarrollo dela oportunidad. Por factibilidad percibida, nos referimos al grado en que elempresario cree que su idea puede ser una realidad. Por ejemplo, en los ca-sos de TSS, SIOP, Compass e Inetsecur, los empresarios al estar practicamenteoperando entre los problemas y soluciones, argumentaron haber tenido mas con-fianza en la idea. El empresario de SIOP comento: “De alguna forma nosotrosya estabamos ofreciendo el servicio y era aceptado, por lo que esto nos dabaalgo de confianza”. En los casos de Sensofar, IBQ, Aleasoft, Maths for More,Aularius, Aluvial, Aiguasol y Rededia, a pesar de su inclinacion hacia percibirun problema, los empresarios mostraron percibir que su idea tenıa cualidades


de ser factible. En los casos de Crystax, Fractus, Visiometrics y CSC, los em-presarios percibieron que sus resultados de investigacion podıan tener un mayoruso o aplicacion. Krueger (1993) encuentra una correspondencia significativaentre la conveniencia y posibilidad practica que percibieron estudiantes paracrear una empresa y su disposicion hacia esta actividad.

En relacion a la conveniencia percibida, nos referimos al atractivo que elempresario percibe en la idea. Son varios los factores que intervienen para queel empresario perciba a su idea como atractiva. Por ejemplo, en los casos deVisiometrics, CSC, Crystax, Fractus, TSS, SIOP y Compass, uno de los aspec-tos resaltados es la aplicacion de los resultados de investigacion. El empresariode Visiometrics dijo: “Para alguien que trabaja en investigacion, yo creo que lesera importante ver que su trabajo tiene alguna aplicacion”. En el resto de loscasos (Sensofar, IBQ, Aleasoft, Maths for More, Aularius, Aluvial, Aiguasol,Rededia e Inetsecur), uno de los aspectos resaltados por el empresario es elde poner en practica su capacidad. A partir del analisis de los casos se puedeinducir que la combinacion de una factibilidad percibida con una convenienciapercibida, influyo en la propension a actuar por parte del empresario, es de-cir, en sus intenciones. Bird (1992) en sus trabajos define la intencion comoun estado de la mente el cual dirige la atencion de la persona, su experienciay su comportamiento hacia objetivos especıficos o formas de comportamiento.Krueger (2000) menciona que ante la ausencia de intencion, la accion es pocoprobable. Los resultados presentados, ası como la evaluacion que los empresa-rios hicieron al planteamiento sobre la intencion empresarial (3.9), ası como laevaluacion de planteamientos a partir de las entrevistas con personajes claves,nos lleva a establecer en terminos mas formales que:P4: La percepcion de una factibilidad y de una conveniencia sobre la ideade negocio inicialmente concebida, influyen para que el empresario genere laintencion de continuar con el desarrollo de dicha idea.

3.2.2 La fase de descubrimientoUna vez que el empresario tuvo la intencion de seguir la posible trayectoria desu idea, esta lo conduce a descubrir una correlacion entre un valor buscado yla capacidad de crear valor. El estudio de los casos nos dice que la correlacionentre el valor buscado y la capacidad de crear valor implica tener una mayoraproximacion con la percepcion de la factibilidad. Ademas, es importante men-cionar que en esta fase el descubrimiento de la correlacion pudo no haber sidorealizado por el propio empresario. Este resultado se ajusta a la propuesta deKlein (1999), quien habla de dos tipos de descubrimiento. Al primero lo de-fine como “respuesta” y se apoya en que el empresario busca y adquiere nuevoconocimiento, que en realidad es nueva informacion. El segundo tipo de des-cubrimiento lo define como “casualidad”, el cual es completamente inesperado yprovoca un replanteamiento significativo de las cosas. Los casos de Visiometricsy Aularius se ajustan al segundo tipo. La evaluacion al planteamiento sobre eldescubrimiento de la correlacion entre una necesidad del mercado en particulary recursos desempleados o subempleados especıficos, nos lleva a proponer que:P5: La cristalizacion de la idea de negocio, conduce al empresario a descubriruna correlacion entre el valor buscado y la capacidad de crear valor. No ob-stante, dicho descubrimiento puede no ser realizado por el mismo empresario.


En los casos de TSS, SIOP, Compass e Inetsecur la percepcion se pre-senta de forma casi simultanea con el descubrimiento de la correspondencia.Sus condiciones iniciales influyeron en esto. En esta fase los empresarios deCrystax, Fractus, Visiometrics y CSC descubren una aplicacion mas concretaa sus resultados de investigacion, es decir, conocen con una mayor precisionel problema que pueden resolver. Por otra parte, los empresarios de Sensofar,IBQ, Aleasoft, Maths for More, Aularius, Aluvial, Aiguasol y Rededia tienenuna mejor aproximacion hacia la solucion al problema. En el transcurso de estafase y durante un periodo de tiempo, los empresarios maduran la correlacionque descubren entre el valor buscado y capacidad de crear valor. Duranteesta maduracion el empresario perfecciona la correlacion hasta que alcanza elgrado de oportunidad. Nuestro planteamiento se encuentra en la perspectivade DeBono (1980), quien argumenta que una verdadera oportunidad no es unasituacion de alto riesgo y que ademas es obvia en sus beneficios. Kirzner (1999)va mas alla manifestando que “una verdadera oportunidad no necesita audaciay liderazgo para eliminar los riesgos. Si esta lo requiere, entonces el empresarioaun no ha descubierto una oportunidad que se pueda aprovechar y que seaatractiva para la innovacion”. Los empresarios, a traves de la evaluacion delplanteamiento que senala una maduracion de la correlacion inicial y lograndouna maduracion de esta, a tal grado que se vuelve obvia en sus beneficios, nosconduce a concluir que:P6: La maduracion de la correlacion entre el valor buscado y la capacidadde crear valor, provoca que dicha correlacion alcance el grado de oportunidadtecnologica.

A partir de que el empresario tiene una oportunidad, las decisiones adquie-ren mayor relevancia. En esta fase el empresario toma la decision de explotarlacomercialmente, asıcomo el mecanismo para hacerlo. En la decision que tomael empresario influye la acumulacion de evidencia (principalmente informacion)que confirma o rechaza sus expectativas. Por otra parte, el Responsable delPrograma Innova y la Directora de la empresa consultora, argumentan que elapoyo que recibe por parte de la universidad, a traves del Programa Innova,influye indirectamente en su decision de explotar la oportunidad. Lo anteriornos lleva a determinar la siguiente proposicion:P7: La decision de explotar economicamente la oportunidad tecnologica medi-ante la creacion de una empresa, es provocada por la acumulacion de evidencia(principalmente informacion) que reafirma o rectifica las expectativas del em-presario.

Otro aspecto esencial de esta fase, es que el empresario tiene que soportaruna tension temporal. En las explicaciones de los empresarios esto se mostrorelevante dadas las condiciones y circunstancias por las que mencionan que esnecesario pasar para crear una empresa. La Directora de la empresa consultoramenciono que la creacion de una empresa no es nada facil. Por ello, este esel principal aspecto que influye para que una persona decida crear o no unaempresa, ya que muchas personas no tienen el interes de pasar varios momentosdifıciles y conflictivos. Por ejemplo, el empresario de Crystax comento: “Sonvarias cosas las que se tienen que hacer, hay que hablar con mucha gente yconvencerles de tu proyecto, esto es una actividad que desgasta”.

Otro aspecto esencial en esta fase para el desarrollo de la oportunidades la vision del empresario, es decir, el analisis de lo que podrıa ser y las ac-


tuales condiciones. En esta fase la perspectiva que plantea el empresario parasu proyecto adquiere mayor importancia ya que es previo a la siguiente fase.Las explicaciones del empresario de TSS fueron: “Nuestro proposito fue el deabrirnos mercado en el ambito internacional, el proyecto de investigacion eraun buen punto de partida”. Por ultimo, en las decisiones y la vision que desa-rrolla el empresario en su proyecto, aunado a la tension que esto conlleva, debemantener un enfoque estrategico. En todos los casos la postura estrategicade los empresarios fue fundamental y es la pauta para posteriores decisionesy acciones. Por ejemplo, el empresario de Visiometrics comento: “Siempre setuvo presente cual era la mejor forma de aprovechar la oportunidad, tanto paraquienes participamos en el proyecto como para la empresa en sımisma”. Aunadoa lo anterior, el Director de la Sociedad de Capital Riesgo evalua positivamentelas propuestas de futuro del empresario, asıcomo su capacidad de solucion deproblemas. Todos estos argumentos y la evaluacion al planteamiento de laposicion del empresario ante la decision de explotar una idea de negocio, noslleva a proponer que:P8: El empresario debe soportar una tension temporal entre lo que podrıaser y las condiciones actuales (vision), al mismo tiempo tiene que mantener unenfoque estrategico para el buen desarrollo de la oportunidad tecnologica.

3.2.3 La fase de creacionUna vez que el empresario toma la decision de explotar economicamente laoportunidad, la maduracion de esta, lo conduce a realizar las acciones nece-sarias para continuar con su implantacion. La fase de creacion implica que elempresario tenga que encauzar los principales elementos de la oportunidad (elvalor buscado y la capacidad de crear valor), hacia un mejor planteamiento conel fin de crear un valor superior al actual. Es decir, los empresarios creen quela configuracion actual de los recursos se debe ajustar a configuraciones masprometedoras desde un punto de vista comercial y tecnologico. La Directorade la empresa consultora considero que el principal elemento de la oportunidadque se tiene que reencauzar, es el de la capacidad de crear valor, es decir, los re-sultados de investigacion deben tener un matiz mas comercial. El resultado quese espera obtener al inicio de esta fase, es lograr una version mas comercial delproducto o servicio, asıcomo crear un prototipo cuando lo que ofrecen las em-presas es un producto o una propuesta de servicio cuando no hay un producto.La creacion de dicho prototipo o propuesta, resalta la importancia de contar conlas facilidades tecnicas (predominantemente laboratorios para algunos casos),asıcomo el tiempo necesario para su creacion. Por otra parte, el financiamientopara esta creacion es fundamental en el desarrollo de la oportunidad.

Los resultados anteriores en conjunto con la evaluacion al planteamientosobre el encauce de los elementos de la oportunidad (3.8), asıcomo la evaluaciona planteamientos a partir de entrevistas con el Responsable del Programa Innovay la Directora de la Empresa Consultora sobre la necesidad de buscar un matizmas comercial de las propuestas, nos inducen a plantear que en el inicio deesta fase, el empresario realiza acciones que suponen algunas modificaciones ala oportunidad. Estos cambios son fundamentales en el futuro desarrollo de laoportunidad, ya que implica afinar la percepcion lograda para el descubrimientode la oportunidad hacia rumbos mas prometedores. En terminos mas formalesse propone que:


P9: Una vez que el empresario ha decidido explotar la oportunidad tecnologica,encauza los elementos de esta (valor buscado y capacidad de crear valor), ha-cia una configuracion mas prometedora desde un punto de vista comercial ytecnologico, con la finalidad de crear un valor superior al actual.P10: Las oportunidades tecnologicas que tienen su origen en situaciones dondeel valor buscado no es identificado o la capacidad de crear valor es indefinida(o ambas), implican un mayor desarrollo de la oportunidad para crear unaempresa, a diferencia de las oportunidades en donde ambas situaciones sonconocidas.

El estado futuro que pretende lograr el empresario, le permite canalizar loselementos de la oportunidad, de tal forma que los empresarios provocan que laoportunidad se desarrolle y empiece a surgir un concepto de negocio. El con-cepto de negocio contiene la nocion basica de como aprovechar la necesidad enel mercado con los recursos correspondientes. El concepto de negocio consideraque sera ofrecido (producto/servicio), a quien sera ofrecido (mercado) y comoel producto/servicio sera entregado en el mercado (suministro). El Directorde la sociedad de capital riesgo, menciono que un requisito indispensable en laevaluacion de una propuesta de participacion con capital riesgo, es la existenciaclara y evidente de un producto diferenciado, asıcomo de los compradores dedicho producto. Al no existir principalmente estos dos aspectos, se toma ladecision de no invertir.

El empresario de Sensofar comento: “El instrumento que se iba a ofrecer almercado tenıa la cualidad de estar actualizado. . .La naturaleza de los clientesque nosotros considerabamos era diversa y la facilidad que se nos presento fueque ya tenıamos canales de acceso a los clientes por medio del socio aleman”.Los argumentos presentados anteriormente, la evaluacion al planteamiento so-bre la nocion basica de explotar la oportunidad de negocio (3.9), asıcomo laevaluacion que el Director del Programa Innova, El Director de la Sociedad deCapital Riesgo y el Responsable de la seccion emprendedores del Estado sobreproducto diferenciado y cliente con acuerdo de compra, nos conducen a plantearla siguiente proposicion:P11: Una mayor precision en el valor buscado y en la capacidad de crear valor,influye en el surgimiento de un concepto de negocio, el cual contiene la nocionbasica de como aprovechar la oportunidad tecnologica. Para ello el empresariodebe identificar el producto/servicio que se ofrecera, el mercado y la forma desuministrarlo.

La suma de nuevas caracterısticas al concepto, provoca que este se vuelvamas detallado y diferenciado. La adicion de un analisis financiero, el cual estimael valor creado y como los rendimientos pueden ser distribuidos entre los socios,adquiere mayor relevancia. Esta adicion permite al concepto de negocio evolu-cionar a un plan de negocios, cuyo objetivo es analizar las bases para la creacionde valor tanto para el cliente como para los inversores de la nueva empresa, susobjetivos, los recursos a utilizar para alcanzarlos y reducir riesgos. Zacharakis(2004) menciona que el plan de empresa comunmente se identifica o se relacionacon un documento escrito, el cual ayuda al empresario a configurar su visionoriginal en una mejor oportunidad al plantearse preguntas crıticas y buscandolas respuestas a las mismas. El estudio de los casos nos muestra que el plan denegocios tiene una utilidad interna y externa. Internamente ayuda al empresarioa verificar si los aspectos analizados de forma separada, siguen siendo factibles


en conjunto. Esto conduce al empresario a realizar un analisis sistematico delproyecto y le ayuda a disenar una estrategia coherente. Con relacion a la utili-dad externa, el plan de negocios es util para presentar de manera estructurada,la forma en la cual se tiene proyectado explotar economicamente los recursos.

El analisis de los casos nos muestra que llegados a este estado de desarrollode la oportunidad, dos tipos de recursos fueron importantes para iniciar la ac-tividad comercial: el recurso financiero y fısico. Por medio del plan de empresa,los empresarios recurren a solicitar financiamiento a instituciones publicas y pri-vadas. Para ello fue necesario que la empresa ya se encontrara constituida bajolos estatutos legales correspondientes. En lo que se refiere al financiamientopublico, en los casos de Visiometrics, SIOP, Crystax, Sensofar e IBQ, fue otor-gada una subvencion publica. En los casos de CSC, Fractus y Aleasoft, fueconcedido un prestamo (publico) en condiciones favorables para el empresario.En los casos de TSS, Compass, Maths for More, Aiguasol, Inetsecur, Aularius,Rededia y Aluvial, no fue concedida una ayuda financiera para que la empresainiciara operaciones, por lo que fue aportado por los mismos socios fundadores.No obstante, posterior al inicio de operaciones, en el caso de TSS fue concedidauna subvencion publica, y en los casos de Maths for More y Aiguasol, fue con-cedido un prestamo (publico) en condiciones favorables. En lo que se refiere afinanciamiento privado, los casos de Visiometrics, Crystax y Fractus recibieroninversion de capital riesgo.

En lo que respecta a los recursos fısicos, principalmente el contar con unainfraestructura de apoyo y espacio fısico para llevar a cabo las operacionesdiarias de la empresa, la tendencia en los empresarios no fue el adquirir talesrecursos, sino tener acceso a ellos por lo que, esto influyo en la relacion quese establece entre la universidad y la nueva empresa derivada. Dicha relaciontiene un caracter de colaboracion y puede ser a nivel institucional (entre launiversidad y la empresa derivada) y a nivel personal (entre la universidad y elempresario). En lo referente a la relacion institucional (universidad-empresa),se presentan cuatro principales motivos por el cual la vinculacion entre am-bas partes se genera. Segun los comentarios realizados por los empresarios, enalgunos casos se presenta un acuerdo marco, en el cual se establece un con-venio de colaboracion entre la universidad y la nueva empresa. Aunque no sepudo tener acceso a dicho documento para su analisis, se deduce (segun susmismas explicaciones) que en el convenio sobresale la actividad de I+D. Losresultados anteriores en combinacion con la evaluacion al planteamiento sobreel plan de empresa (3.2) en el que este permitio analizar de forma integral elproyecto, plantear la estrategia y conseguir los recursos, nos conduce a plantearla siguiente proposicion:P12: La adicion de un analisis financiero al concepto de negocio, permiteevolucionar hacia un plan de empresa, el cual tiene una doble utilidad: interna(analizar de forma integral el proyecto y disenar la estrategia tecnologica), yexterna (conseguir los recursos necesarios para llevar a cabo la primera venta,predominantemente financieros y fısicos).

Finalmente, previo a la primera venta, fue necesario que se definiera laforma en la cual se protegerıa el concepto de producto/servicio. En todos loscasos, los empresarios hicieron referencia al nivel tecnologico del producto oservicio. Para los empresarios, este grado de innovacion, les permitıa teneruna ventaja tecnologica por un periodo considerable de tiempo. A este tipo


de proteccion nos referimos como proteccion natural. No obstante, en algunoscasos esta proteccion natural no ofrecıa las suficientes barreras a la imitacion,por lo que fue necesario recurrir a una proteccion artificial. El Especialista delCentro de Transferencia de Tecnologıa comenta que el inventor esta obligado decomunicar a la universidad sobre cualquier invento que sea susceptible de serpatentado. En el caso de los productos/servicios que no tengan una proteccionde patente, se puede recurrir a una proteccion de marca o nombre comercial.Una vez constituida la empresa y definida la proteccion del producto/servicio,el empresario conduce las actividades necesarias para llevar a cabo la primeraventa. Para ello se formaliza dicha operacion con uno de los posibles clientesque haya contactado previamente. En esencia, la primera venta se realiza conun previo acuerdo. A partir de los resultados presentados y de la evaluacional planteamiento sobre la proteccion del producto/servicio (3.4), se llega a lasiguiente proposicion:P13: Debidamente constituida la empresa y antes de llevar a cabo la primeraventa, el empresario debe definir la forma en la cual protegera comercialmenteel concepto de producto/servicio.

En resumen, el proceso que se acaba de describir se presenta en una formaordenada, secuencial y modulada, con el fin de comprender el desarrollo quesigue la oportunidad. No obstante, las fases no son independientes sino queson completamente dependientes uno del otro. Cada una de las fases presentadiferentes actividades de reflexion, que puede sugerir durante todo el proceso, oal menos, tiene la autoridad para volver a consultar o retroalimentarse de masinformacion. Este planteamiento y su evaluacion (promedio 4.4), nos lleva adecir en terminos mas formales que:P14: El proceso de desarrollo de la oportunidad tecnologica es cıclico e ite-rativo, ya que el empresario lleva a cabo varias reflexiones en cualquiera delas diferentes fases, y estas le pueden conducir a reconocer oportunidades adi-cionales y/o ajustes a la vision anterior.

3.3 Hacia un modelo del proceso de desarrollo y explotacion de laoportunidad tecnologica mediante la creacion de una empresaNuestro objetivo inicial era mejorar la comprension del proceso de descubri-miento y explotacion de oportunidades tecnologicas, mediante la creacion deempresas en un ambito especıfico de creacion de conocimiento como lo son lasuniversidades. El resultado es un modelo teorico de caracter exploratorio, enel cual se agrupan y relacionan las proposiciones previamente elaboradas.Langley (1999) nos dice que la interaccion de un numero relativamente pequenode simples elementos determinantes pueden generar complejidad, si ellos tienenen consideracion al mismo tiempo en el estudio de un fenomeno. Con esto,existe la esperanza de que formulaciones teoricas relativamente parsimoniosaspuedan hacer sentido de la complejidad observada en el procesamiento de losdatos. Es aquıdonde se encuentra el reto central de la investigacion: moversedesde una diversidad de datos hacia algun tipo de comprension teorica, que nolleva la riqueza, dinamismo y complejidad de los datos, pero que es entendibley potencialmente util para otros. Con base en estos argumentos, se ha buscadoque el modelo se enmarque entre la especificidad, la generalidad y la simplicidad(Langley, 1999). Una expectativa poco razonable sobre el modelo, es que su


contenido sea igual de rico que las experiencias de los empresarios. Todo modelodescribe un enfoque, que es una simplificacion de la experiencia real (Fiet, 1996).

La universidad como organizacion, es un ambito particular de creacion deoportunidades y de explotacion de las mismas. La oportunidad tecnologicainicia siendo indeterminada y se vuelve mas precisa conforme se desarrolla atraves del tiempo. Este proceso de desarrollo que presenta la oportunidad, in-volucra la existencia de una fuente de oportunidad, a partir de la cual y con laparticipacion del empresario, la oportunidad pasa por una fase de percepcion,de descubrimiento y de creacion, para finalizar con la primera venta de unproducto/servicio (Figura 1). En su forma mas elemental, lo que posterior-mente se puede llamar una oportunidad tecnologica, puede tener su origen enel resultado de diferentes actividades llevadas a cabo dentro del ambito de launiversidad, por ejemplo: resultados de investigacion, convenios de transferen-cia de tecnologıa (o la combinacion de ambos), formacion academica o serviciosespecializados (Proposicion 1). Las condiciones iniciales de estas fuentes deoportunidades, influyen para que la posible oportunidad surja con una ten-dencia hacia una necesidad en el mercado (valor buscado) y/o hacia recursosdesempleados o subempleados (capacidad de crear valor) (Proposicion 2).

Cualquiera que sea la tendencia de la posible oportunidad, esta tiene queser percibida por un empresario. La percepcion por parte del empresario de quehay una necesidad en el mercado que no se esta aprovechando, y/o que existenrecursos desempleados o subempleados, lo conduce a concebir una idea de nego-cio (Proposicion 3). La idea que se genera en esta fase, a la que se denomina depercepcion, tiene la caracterıstica de ser incipiente, no estructurada, y de estarfundamentada en una impresion de los acontecimientos. Durante un periodo detiempo el empresario cristaliza esta idea, de la cual percibe que puede llegar aser una realidad (factibilidad) y que es atractiva (conveniencia). La percepcionde estas caracterısticas, influyen para que el empresario genere la intencion decontinuar con el desarrollo de esta idea de negocio (Proposicion 4). Una vez queel empresario tiene la intencion de seguir la posible trayectoria de su idea denegocio, la cristalizacion de esta lo conduce a descubrir una correlacion entreun valor buscado y la capacidad de crear valor (aquı inicia la fase de descu-brimiento). Esta correspondencia se presenta de una forma general y tienela caracterıstica de no ser muy bien elaborada, por lo que, el descubrimientoinduce al empresario a una primera exploracion de un espacio para un posi-ble producto/servicio en el mercado. No obstante, dicho descubrimiento puedeno ser realizado por el mismo empresario (Proposicion 5). Esta correlacion sesomete a un periodo de maduracion, en el cual el empresario la perfeccionahasta que logra el grado de oportunidad tecnologica (Proposicion 6), es decir,cuando para el empresario es obvia en sus beneficios a tal grado que merece lapena continuar con su desarrollo (DeBono, 1980).


Figura 1El proceso de desarrollo de la oportunidad tecnologica*


A partir de que se tiene una oportunidad, las decisiones adquieren mayornotoriedad e importancia, principalmente la referente a la explotacion comer-cial, ası como el mecanismo para hacerlo, siendo este el de la creacion de unaempresa. Estas decisiones son provocadas por la acumulacion de evidencia(principalmente informacion), la cual reafirma o rectifica las expectativas delempresario (Proposicion 7). Para el logro de esto, el empresario debe manteneruna actitud que le permita soportar una tension temporal entre las actuales yfuturas condiciones (vision), al mismo tiempo que tiene que mantener un en-foque estrategico (Proposicion 8). La decision de explotar comercialmente laoportunidad por parte del empresario lo conduce a realizar las acciones que en-caucen los principales elementos de la oportunidad (con estas acciones se iniciala fase de creacion), es decir, el valor buscado y la capacidad de crear valor,hacia una configuracion mas prometedora desde un punto de vista comercial ytecnologico, con la finalidad de crear un valor superior al actual (Proposicion 9).En el encauce de estas acciones, las oportunidades que tienen su origen en situa-ciones donde el valor buscado no es identificado o la capacidad de crear valores indefinida (o ambas), implican un mayor desarrollo de la oportunidad paracrear la empresa, a diferencia de las oportunidades en donde ambas situacionesson conocidas (Proposicion 10). Conforme las necesidades que se presentan enel mercado llegan a ser mas precisas en terminos de los beneficios, y los recursosllegan a ser mas precisos en terminos de sus potenciales usos, los empresariosprovocan que la oportunidad evolucione y empiece a surgir el concepto de ne-gocio. Este concepto contiene la nocion basica de como aprovechar la necesidaden el mercado con los recursos correspondientes. Para el logro de ello, el em-presario debe identificar el producto/servicio que se ofrecera, el mercado y laforma de suministrarlo (Proposicion 11).

La adicion de un analisis financiero al concepto de negocio, le permiteevolucionar hacia un plan de negocios, el cual ayuda al empresario a analizar:sus objetivos, los recursos a utilizar para alcanzarlos, la reduccion de riesgos, ylas bases para la creacion de valor tanto para el cliente como para los inversoresde la nueva empresa. Este plan de negocios tiene una doble utilidad: internay externa (Proposicion 12). Internamente permite al empresario verificar si losaspectos analizados de forma separada, siguen siendo factibles en su conjunto, almismo tiempo que se plantea la estrategia tecnologica a seguir. Externamentepermite presentar de manera estructurada, la forma en la cual se tiene proyec-tado explotar economicamente los recursos. El principal proposito de esto esconseguir los recursos necesarios, principalmente financieros y fısicos para llevara cabo la primera venta. En estos ultimos, la tendencia del empresario no esadquirirlos, sino tener acceso a ellos, dando la pauta para establecer relacionescon la universidad. Una vez que la empresa ha sido debidamente constituida yprevio a la primera venta, el empresario debe definir la forma en la cual pro-tegera el concepto de producto/servicio, es decir, lo que sera ofrecido al cliente(Proposicion 13). La presentacion de una forma ordenada, secuencial y modu-lada de este proceso de desarrollo de la oportunidad tecnologica, no significaque las fases sean compartimentos independientes, sino que son completamentedependientes uno del otro. Este proceso es cıclico e iterativo, y en cada una desus fases el empresario realiza reflexiones, que le pueden conducir a reconoceroportunidades adicionales o ajustes a la vision anterior (Proposicion 14).


4. DiscusionAl ser nuestro resultado un modelo que se fundamenta en la evidencia de loscasos, la discusion de nuestros resultados se centra en la parte conceptual. Elprimer punto es lo que llamamos la metamorfosis de la oportunidad, que esun constructo al que recurrimos para describir la complejidad de la transfor-macion que sigue la oportunidad tecnologica, que inicialmente es indeterminaday en su parte final es mas precisa. Para describir este desarrollo recurrimos alos conceptos de idea, correlacion, oportunidad, concepto de negocio, plan deempresa y finalmente, empresa derivada de la universidad. La primera ventaes un suceso conceptual importante en la creacion de una empresa. En nu-estro modelo la nueva empresa se considera creada hasta que se lleva a cabola primera venta. Esto lo consideramos asıporque cuando se hace la primeraventa, el empresario materializa el plan de negocio y establece por vez primerauna relacion de intercambio con el cliente. Las actividades posteriores a esto,obedecen a otra dinamica que tiene que ver con la supervivencia de la empresaen el mercado, y no necesariamente con su creacion. El proceso de desarrollode la oportunidad tecnologica nos lleva a sugerir que el contenido empresarialde una empresa creada, puede ser definido como una funcion de la innovacionque esta introduce en el mercado. Esto nos lleva a otro aspecto relevante, alsugerir que las empresas se pueden clasificar o agrupar de acuerdo a sus aspec-tos innovadores, en comparacion con aspectos tradicionales, es decir, empresasfısicamente diferentes en industrias diferentes, pueden tener una novedad com-parable y por lo tanto, tener aspectos mas en comun que entre empresas de lamisma industria. La relevancia de esto se manifiesta porque pueden enfrentaraspectos de mercado y estrategicos comparables, a diferencia de empresas de lamisma industria que aunque fısicamente son similares, pueden enfrentar aspec-tos estrategicos divergentes.

Otro concepto clave en nuestro modelo, es el papel de las oportunidadestecnologicas en el proceso empresarial. En la fase inicial del proceso empresariallo crucial es la identificacion y adquisicion de recursos, mas que la distribuciono asignacion de actividades. Los empresarios toman decisiones sobre cualesrecursos son mas o menos apropiados basados en sus expectativas sobre el futurode la empresa. Ademas, conforme la oportunidad se mueve a traves de las tresfases descritas en el modelo, es necesario desarrollar o transformar los recursos,o en su caso, derivar los recursos inapropiados. De esta forma, los cambios en lostipos y combinaciones de recursos tambien son caracterısticos en el crecimiento ydesarrollo de las nuevas empresas. Si estos se llevan bien, podrıan incrementarla ventaja competitiva, de la misma forma que influirıa en los recursos quenecesitan ser identificados, adquiridos o desarrollados, como un medio paralograr una mejora en los resultados de la empresa. A pesar de la importanciaque tiene el conocer lo que sucede en la primera etapa del proceso empresarial,se ha estudiado muy poco sobre el tema y nuestro modelo hace aportaciones eneste sentido. Finalmente, este modelo pone de manifiesto la importancia de lafertilizacion cruzada. La investigacion sobre direccion estrategica sugiere quelos recursos son la base de la estrategia, y que un paquete de recursos generaventajas competitivas y a su vez la creacion de valor. Estas estrategias empiezancon la premisa de que las organizaciones ya existen. Lo que se olvida en ladiscusion, es el origen de la fortaleza de los recursos, y como estos contribuyeno determinan las actividades de creacion de valor en la empresa. En el campo


del entrepreneurship se manifiesta que el principal recurso en la empresa es elempresario y sus expectativas sobre el futuro de la empresa son centrales ensu direccion estrategica. El proceso de construir una base inicial de recursos esuna tarea compleja a la que raramente se dedica atencion en la literatura sobredireccion estrategica y del entrepreneurship. Construir esta base inicial en unaempresa que apenas va a ser creada, requiere que los recursos sean identificados,reunidos y adquiridos para aprovechar la oportunidad percibida. En esencia,como funciona este proceso?, el modelo que se presenta como resultado de estainvestigacion, ofrece una contribucion para mejorar el conocimiento sobre elfuncionamiento de este proceso.

5. LimitacionesAunque el diseno de la investigacion siguio un enfoque constructivista, cabemencionar algunos aspectos que se deben tener presentes. Los resultados de esteestudio necesitan ser vistos en su contexto y deben ser tratados con cuidado. Lateorıa sustantiva se construye en torno a ambitos muy delimitados o particularesde la realidad social o cultural. En nuestro modelo se debe tener en cuenta quela creacion de empresas derivadas de la universidad es en torno a un ambitoespecıfico, como la universidad y por lo tanto, el modelo adquiere particula-ridades. En segundo lugar, hay diferencias al realizar un estudio transversala uno longitudinal. En el primero, a diferencia del segundo, no se facilita ellograr una mayor profundidad en los acontecimientos que rodean el fenomenoque se estudia, ya que estos son hechos que han ocurrido con anterioridad.Este aspecto puede influir principalmente porque el empresario: puede olvidaraspectos relevantes, muestra dificultad para articular su experiencia (sobre todosi es por primera vez que lo hace de una forma ordenada e integral), y puede darcierto sesgo a sus comentarios. Por otra parte, se reconoce que cada uno de losplanteamientos que se formaron a lo largo de la investigacion, fueron evaluadosbasados en la percepcion de los empresarios (escala de Likert) mas que a travesde una medida objetiva y cuantificable. Los resultados deben ser tratados comoopiniones subjetivas de los empresarios entrevistados y encuestados y no comouna fuente objetiva y cuantificable. Finalmente, los resultados se obtienen de ungrupo de empresas que operan en Barcelona, Espana, por lo que los resultadostampoco pueden ser generalizables mas alla del dominio inmediato (Yin, 2002).

6. Implicaciones para futura investigacionEsta investigacion constituye la fase inicial de un proyecto de investigacion masamplio. A partir de este trabajo se plantean diferentes frentes. Con la finalidadde dar una mejor solucion a las limitaciones de esta investigacion, se proponellevar a cabo una investigacion longitudinal. Las categorıas conceptuales, lossubprocesos y las interrelaciones identificadas en esta investigacion resaltan laconveniencia y la prudencia de utilizar metodologıas etnograficas. Un estudiolongitudinal ademas de admitir las fuentes de informacion utilizadas en estainvestigacion, tambien admitirıa otras fuentes tales como la observacion parti-cipativa y la no participativa, que podrıan hacer aportaciones interesantes a lainvestigacion. En este sentido se recomienda el estudio de un numero menorde casos, siendo no mayor de seis. La comprobacion de la precision, integridade importancia relativa de los conceptos y subprocesos se mantiene como unproyecto futuro. Esto necesariamente nos lleva a plantear que el modelo tiene


que ser validado, pero para esto, se tiene que recurrir a otra propuesta y modelode investigacion, ya que la generacion y validacion de teorıas, tradicionalmentese han considerado con objetivos de investigacion diferentes (Dubin, 1978).Para la validacion del modelo se proponen dos formas: por una parte, se puedehacer recurriendo a un numero mayor de empresas y siguiendo un enfoquecuantitativo; y por la otra, se puede recurrir a un enfoque cualitativo del caso,siguiendo un estudio de caracter explicativo (Yin, 2002). Aunque la propuestainicial es la de hacer un estudio holıstico, el modelo no impide llevar a cabo unainvestigacion de solo una parte de este. En este sentido, cobran importancia deforma particular cada una de las proposiciones generadas. Cada proposicion oun conjunto de estas, puede representar una lınea de investigacion futura.

7. Conclusiones

El resultado de esta investigacion nos da la pauta para argumentar en futurasinvestigaciones, que son elementos de las oportunidades los que pueden ser re-conocidos, por lo que las oportunidades se crean o se construyen usando las ideasy la creatividad empresarial, mas no se encuentran ya estructuradas. Las ideasy la creatividad interactuan con las condiciones del contexto en tiempo real.El producto de esta interaccion es una oportunidad alrededor de la cual unaempresa puede ser creada. Una cuidadosa investigacion y sensibilidad a necesi-dades en el mercado, asıcomo una habilidad para identificar recursos desem-pleados o subempleados, pueden ayudar al empresario a empezar a desarrollaruna oportunidad. Pero el desarrollo de esta oportunidad involucra el trabajocreativo del empresario, por lo que nuestro enfoque es el desarrollo de la opor-tunidad, mas que el reconocimiento de la oportunidad. La competitividad es unelemento esencial en las empresas derivadas creadas. Su competitividad en elcorto plazo se deriva de los atributos precio-prestaciones del producto/serviciocon el que fue creada la empresa. No obstante, es posible que estos atributos nosean suficientes en el futuro. Siguiendo los postulados de la version dinamicade la teorıa de recursos y capacidades, la competitividad en el largo plazo deestas empresas, se puede derivar de la posibilidad de crear, a menor costo ymas rapidamente que los competidores, tecnologıas, competencias y aptitudesesenciales que generen productos/servicios innovadores. Finalmente, el modelomuestra un proceso de desarrollo de la oportunidad y explotacion de la misma.Para el empresario este proceso representa un aprendizaje que le permite per-feccionarse en tiempo real y para futuros acontecimientos. Por lo que el modeloreafirma la existencia de una retroalimentacion operativa y estrategica.

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Teorıa de matrices aleatorias y correlacion de

series financieras: El caso de laBolsa Mexicana de Valores

Linda Margarita Medina Herrera∗Ricardo Mansilla Corona∗∗

6 de febrero 2007, Aceptado 1 de julio 2008

ResumenEn este artıculo aplicamos la teorıa de matrices aleatorias (TMA) al analisisde una matriz de correlacion C formada con los rendimientos diarios de 65acciones comercializadas en la Bolsa Mexicana de Valores en un periodo de 8anos. Encontramos que las estadısticas de la mayorıa de los valores propiosen el espectro de C coinciden con las predicciones de la TMA, pero que haydesviaciones para algunos de los valores propios mas grandes. Demostramosque C satisface las propiedades universales del conjunto gausiano ortogonal dematrices aleatorias. Mas aun, analizamos los vectores propios de C a travesde su cociente inverso de participacion, tal analisis nos permite senalar que lamatriz C tiene una estructura de banda aleatoria.AbstractIn this paper we apply random matrix theory (RMT) to the analysis of cross-correlation matrix C constructed from daily returns of 65 stocks traded at theBolsa Mexicana de Valores during a 8-year trading period. We find that thestatistics of most of the eigenvalues in the spectrum of C agrees with the pre-diction of RMT, but there are deviations for a few of the larger eigenvalues. Weshow that C has the universal properties of the Gaussian orthogonal ensembleof random matrices. Furthermore, we analyze the eigenvectors of C throughtheir inverse participation ratio, such analysis allow us to indicate matrix C hasa random band structure.

Clasificacion JEL: : C16,C65, G11

Palabras clave: Matrices aleatorias, matrices de correlacion financieras

∗ Departamento de Matematicas, Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad de Mexico,Calle del Puente 222, Oficinas 1, Piso 2, Col. Ejidos de Huipulco, Del. Tlalpan, 14380 Mexico,

D.F., Telefono +52(55)54832191, E-mail: [email protected]∗∗ Centro de Investigaciones Interdisciplinarias. Torre II de Humanidades, 4to piso.UNAM,

Mexico 04510 D.F. E-mail: [email protected]


1. IntroduccionCuantificar la correlacion entre diferentes variables es un topico de interes nece-sario no solo para entender la economıa como un sistema dinamico complejo,sino tambien por razones mas practicas como la administracion de riesgos y laasignacion de activos.El estudio de matrices de correlacion tiene una historia larga en finanzas y esuna piedra angular de la teorıa de optimizacion de portafolios de Markowitz, sinembargo, es difıcil determinar de una manera confiable una matriz de correlacionempırica.

Si se tienen N acciones con precio Pi(t) para el activo i en el tiempo t, con,t = 0, 1, . . . , T, el logaritmo de los rendimientos de los activos Si(t) es:

Si(t) = lnPi(t) − ln Pi(t − 1).

Puesto que los niveles de volatilidad (desviacion estandar) son diferentes paracada activo, se define el rendimiento normalizado

gi(t) =Si(t) − 〈Si(t)〉

σi.

Donde σi es la desviacion estandar de Si y 〈·〉 la media. Los elementos de lamatriz de correlacion empırica C son

Cij =1T

T∑t=1

gi(t)gj(t).

La dificultad para construir una matriz de correlacion empırica confiable sedebe a varias razones, entre las cuales se encuentran:

• Las condiciones del mercado cambian con el tiempo y la correlacion queexiste entre un par de activos puede no ser permanente.

• La longitud de las series de tiempo disponible para estimar la correlaciones finita y por lo tanto puede generar informacion falsa (ruido).

Por esto, la forma en que se mide la correlacion empıricamente contiene con-tribuciones aleatorias, y en general es un problema difıcil poder estimar de Cla correlacion que no es producto de la aleatoriedad. En particular, se ha de-mostrado que los valores propios mas pequenos de la matriz C son los massensibles al ruido, sus correspondientes vectores propios son precisamente aque-llos que determinan los portafolios menos riesgosos [Laloux]. Es esta la razonpor la cual los metodos que permiten distinguir senales de ruidos, esto es, dife-renciar los valores y vectores propios que contienen informacion real, de aquellosque contienen informacion inutil o inestable en el tiempo, han adquirido unagran importancia.

Con este fin, es importante comparar las propiedades de una matriz decorrelacion C contra la “hipotesis nula” de una matriz de correlacion aleatoria,esto es una matriz de correlacion construida con series de tiempo de activosestrictamente independientes. Si las propiedades de C se asemejan a aquellas dela matriz de correlacion aleatoria, entonces se sigue que el contenido de la matrizC es aleatorio. Recıprocamente, si las propiedades de las dos matrices difieren,

Teorıa de matrices aleatorias y correlacion 127

la correlacion es genuina. Asıpues, la meta es comparar las propiedades de unamatriz empırica C con las de una matriz de correlacion aleatoria y separar elcontenido de C en dos grupos: la parte de C que tiene propiedades semejantesa las de la matriz aleatoria (“ruido”) y la parte de C que difiere de la matrizaleatoria (“informacion”).

En este trabajo examinaremos una matriz de correlacion C construida apartir de las series de tiempo de las principales acciones que cotizan en la BolsaMexicana de Valores (BMV) con el objetivo de separar la informacion real delruido y usaremos el concepto de “cociente inverso de participacion” (CIP) paraanalizar los vectores propios que contienen mas informacion.

1.1 AntecedentesEl estudio de las propiedades estadısticas de las matrices aleatorias tiene susorıgenes historicos en la fısica nuclear. El problema data de los anos cincuenta;los modelos existentes no explicaban de manera adecuada los niveles de energıade un nucleo complejo. La Teorıa de Matrices Aleatorias (TMA) desarrollada enese contexto fue presentada por Wigner, Dyson y Mehta. Estudios recientes hanmostrado que estos resultados tienen aplicaciones importantes en el contextofinanciero.

Stanley, Amaral y otros (1999) usan la metodologıa de TMA para analizarla correlacion cruzada entre los precios de las acciones de New York StockExchange, American Stock Exchange y de Nasdaq. Potters, Cizeau y Laloux(2002) muestran que los resultados de la TMA son de gran interes para enten-der la estructura estadıstica de las matrices de correlacion empıricas; usandoseries de tiempo de diferentes acciones de S& P500, encuentran que hay unasimilitud importante entre las predicciones teoricas (basadas en que la ma-triz de correlacion es aleatoria) y los datos empıricos. En este mismo artıculoPotters, Cizeau y Laloux muestran que este metodo puede ser implementadoen la administracion de riesgos. Maslov (2001) utiliza la TMA para medir laglobalizacion usando la matriz de correlacion de los ındices de mercado de 37paıses, mostrando que hay fuertes interacciones entre las economıas individua-les. Burda, Gorlich, Jarosz y Jurkiewicz (2004) determinan, usando la TMA,una relacion exacta entre el espectro de los valores propios de la matriz decorrelacion y sus estimaciones.

Estos estudios muestran que un porcentaje alto de los vectores propios deC coinciden con las predicciones de la TMA, sugiriendo que hay un alto gradode aleatoriedad en la medicion de la correlacion y que alrededor de un 2% delos vectores propios estan por encima de las predicciones de la TMA.

Lo que nos lleva a preguntarnos en el caso mexicano como podemos in-terpretar los valores y vectores propios que se desvıan de la prediccion de laTMA? Que se puede inferir acerca de la estructura de nuestra matriz C deestos resultados?

Referente a estas preguntas, veremos que el vector propio mas grande deC representa la influencia de todo el mercado que es comun a todos los activosdel estudio. Nuestro analisis del contenido del resto de los vectores propios quedifieren de TMA muestra correlaciones entre activos del mismo sector economicoy las 32 acciones que tienen las mayores capitalizaciones en el mercado. Paraprobar que los vectores propios que se desvıan de las predicciones de la TMA sonlos unicos que contienen informacion genuina de C, comparamos las propiedades


estadısticas de los vectores propios de C con las propiedades universales de lasmatrices reales, simetricas y aleatorias, y encontramos un muy buen ajuste conlos resultados de la TMA. El cociente inverso de participacion alcanza valoresimportantes en los extremos del espectro de los valores propios, sugiriendo unaestructura de “banda aleatoria” para la matriz C.

2. Predicciones de la Teorıa de Matrices Aleatorias (TMA)El conjunto mas simple de matrices aleatorias es el conjunto de matrices si-metricas R de tamano N × N , cuyos elementos son variables aleatorias inde-pendientes e identicamente distribuidas. Este conjunto de matrices es conocidocomo matices aleatorias Wishart o el conjunto Laguerre de la TMA [Mehta].En notacion matricial R se puede escribir como R = 1

N AAT, donde A es unamatriz de tamano N × T y AT es la matriz transpuesta de A.

2.1 Predicciones de la TMA sobre el comportamiento de los valorespropiosUn resultado interesante se obtiene cuando la matriz R tiene un tamano muygrande (N → ∞), en este caso la distribucion de sus valores propios tienepropiedades universales, que son independientes de la distribucion de los ele-mentos de la matriz. Para el caso N �= T existe una formula [Mehta] para ladensidad ρ(λi) de los valores propios λi de R. En el lımite N, T → ∞, con uncociente fijo Q = T

N ≥ 1, se tiene:

ρ(λi) =Q

2πσ2i

√(λ− − λi)(λi − λ+)

λ, λi ∈ [λ−, λ+].

Donde λ−, el valor propio mas pequeno y λ+, el valor propio mas grande satis-facen

λ± = σ2

(1 +

1Q

± 2√

1Q

)(1.2)

es σ2

Tla varianza de los elementos de A, o de manera equivalente σ2 es el

promedio de los valores propios de R.La ecuacion (1.2) da una medida estrictamente cuantitativa para decidir

cuando un valor propio particular de una matriz de correlacion empırica Crefleja una senal de correlacion real presente en los datos, o si es simplementeun efecto de ruido causado en particular por la finitud T de la serie de datos.En principio, cualquier valor propio que sea significativamente mayor que λ+

debe ser tratado como una senal.Para aceptar o rechazar la hipotesis de aleatoriedad de una matriz C no

es suficiente comparar la distribucion de los valores propios de C con ρ(λi).Hay matrices aleatorias que tienen unas diferencias drasticas en la distribucionde los valores propios que comparten una estructura similar de correlacion ensus valores propios debida unicamente a la simetrıa de las matrices. Por otraparte, matrices con la misma distribucion de sus valores propios tienen difer-encias drasticas en la correlacion de los valores propios. Asıpues, una pruebade aleatoriedad de C debe involucrar una investigacion de la correlacion en losvalores propios λα.


Sea S una matriz real, aleatoria y simetrica de tamano M × M cuyoselementos fuera de la diagonal Sij con i < j son independientes e identicamentedistribuidos. Se ha conjeturado, basado en evidencias analıticas y numericasextensivas [Plerou] que en el lımite M → ∞, sin considerar la distribucion delos elementos Sij, esta clase de matrices presenta las propiedades universales(funciones de correlacion de los valores propios) del conjunto de las matricescuyos elementos estan distribuidos de acuerdo a una medida de probabilidadGausiana llamado el conjunto gausiano ortogonal o simplemente GOE (de sussiglas en ingles Gaussian ortogonal ensemble) [Mehta].

Las pruebas estadısticas para los valores propios de C que se deben usar,son precisamente las pruebas universales de correlacion de los valores propiosde matrices aleatorias reales simetricas.

En resumen, las propiedades universales de las matrices GOE son:1. La distribucion de las diferencias de los valores propios de acuerdo al vecino

mas cercano S ≡ ξk+1 − ξk esta dada por la ecuacion:

PGOE(S) =πS

2exp

(−π

4S2

)

donde ξk = f(λk) es una transformacion que convierte los valores propiosλi en nuevas variables llamadas “valores propios desplegados” [Mehta]. Losvalores propios desplegados tienen un valor promedio uniforme a traves delespectro. A menudo se refieren a esta distribucion como “la conjetura deWigner”.

2. La distribucion de las diferencias de los valores propios de acuerdo al si-guiente vecino mas cercano u = ξk+2 − ξk es:

PGSE(u) =218

36π3S4 exp

(− 64

9πu2

).

3. Correlaciones entre valores propios de rango largo.Para probar correlaciones entre pares de valores propios en rangos largos,se usara el estadıstico

∑2 conocido como “varianza numero”, que estadefinido como la varianza del numero de valores propios desplegados enintervalos de longitud l alrededor de cada ξi

∑2 ≡⟨[n(ξ, l) − l]2

⟩ξ

donde n(ξ, l) es el numero de valores propios desplegados en el intervalo[ξ − 1/2, ξ + 1/2] y 〈〉ξ es el promedio sobre todos los ξ. Si los valorespropios no estan correlacionados,

∑2 ≈ l. En el extremo opuesto, cuandoel espectro de los valores propios es rıgido,

∑2 es una constante. En lasmatrices aleatorias, para valores largos de l, la varianza numero

∑2 tieneun comportamiento intermedio

∑2 = ln l.Es importante notar que estas tres propiedades son independientes entre si.


2.2 Predicciones de la TMA sobre el comportamiento de losvectores propiosDespues de analizar el comportamiento de los valores propios, las conclusionesmas importantes se obtendran del estudio de las componentes de los vectorespropios. Los componentes {uk

l ; l = 1, . . . , N} del vector propio uk de una matrizaleatoria de correlacion R estan distribuidos normalmente con media cero yvarianza uno.

Para cuantificar el numero de componentes que participan significativa-mente en cada vector propio, se usara el cociente inverso de participacion (CIP),una nocion aplicada a menudo en la teorıa de localizacion.

El CIP de un vector propio normalizado uk esta definido como

Ik =N∑

l=1

(uk

l

)4.

Donde N es el numero de series de tiempo (empresas en nuestro caso) y porlo tanto el numero de componentes. La i−esima componente uk

i del vector uk

corresponde a la contribucion de la i−esima serie de tiempo a tal vector propio.Es importante notar que si todas las componentes son identicas y uk

l =1/

√N se tiene que Ik = 1/N ; si solo hay una componente diferente de cero uk

l =1, Ik = 1. De esta manera, el CIP es el recıproco del numero de componentesdel vector que contribuyen significativamente al mismo.

3. Construccion y analisis de la matriz CLas series de tiempo que conforman la base de datos para este estudio estanformadas por los precios de cierre diario de 65 empresas que cotizan en la BMV,en un periodo de 8 anos. Para la eleccion de las empresas y la longitud de laserie se tuvo en cuenta la bursatilidad, capitalizacion y mantenimiento de lasmismas. La longitud final de las series es de 1598. Dentro de las 65 empresasseleccionadas para el estudio se encuentran representados todos los sectoreseconomicos, las empresas elegidas tienen la mayor bursatilidad de cada sector yjuntas representan mas del 85% de participacion en el IPC y el 100% del ındiceMexico (INMEX). Todas las acciones incluidas han permanecido activas en elperiodo seleccionado para el estudio.

Ahora, queremos comparar las distribuciones empıricas de los valores pro-pios y las estadısticas de los vectores propios de la matriz C construida a partirde estos datos con sus predicciones teoricas, asumiendo que la matriz de corre-lacion es puramente aleatoria.

Tenemos, pues, N = 65 acciones con precio Pi(t) para la accion i en eltiempo t, con t = 0, 1, . . . , 1598. Despues de considerar el logaritmo de losrendimientos de los activos y estandarizar cada una de las series, se calcula lamatriz de correlacion estandarizada Cij que tiene un tamano de 65 × 65.

El valor Q = TN = 1597

65 = 24.57 > 1 garantiza que la matriz de correlaciones definida positiva y permitira la aplicacion de la TMA. Ademas, λ+ = 1.4441y λ− = 0.63720.

En el histograma de la distribucion de los valores propios de C (Figura 1)se puede observar que tres valores propios se alejan visiblemente del grueso del


espectro. Estos tres valores propios son mayores que λ+. La teorıa asegura quesi la matriz satisface las propiedades universales de la TMA, se podra obtenerinformacion sustancial de estos tres valores propios. Hay tambien una cantidadimportante de valores propios por debajo de λ−, que de acuerdo a la literatura,son mas susceptibles al ruido. Los valores entre [λ−, λ+] representan la partede la matriz sin informacion alguna.

Las diferencias entre las distribuciones empırica y teorica que se muestraen Figura 2 se deben precisamente a la existencia de valores propios por encimade λ+ y por debajo de λ−. Si la matriz C fuera completamente aleatoria, lasdos curvas coincidirıan y no se tendrıa informacion relevante. En la interseccionde las dos curvas se encuentran los valores propios del intervalo [λ−, λ+]. Losvalores propios por encima de λ+, que contienen informacion real, estan a laderecha de la curva roja, en azul. Y se puede ver que hay una cantidad im-portante de valores propios por debajo de λ− en el intervalo (0, λ−]. 24 valorespropios estan por debajo de [λ−, 38 en el intervalo (λ−, λ+) y 3 son mayoresque λ+ (los tres rectangulos que se ven separados en la Figura 1).

El valor propio mas grande 14.166 es mas de 9 veces mayor que λ+, sepuede entonces atribuirle informacion real. El segundo mas grande valor propio3.13 es mas del doble de λ+, tambien proporcionara informacion importante, elsiguiente valor propio 1.8615 es apenas un poco mayor que λ+ sin embargo esposible hallar en el informacion importante.

Es indispensable recordar que la informacion que se puede obtener delespectro solo sera valida si se prueba que los valores propios que pertenecen alintervalo [λ−, λ+] satisfacen las propiedades universales de la TMA. Despuesde transformar los valores propios en ξ = f(λi) con el desplegado, se obtienenlos siguientes resultados para la matriz C:Las Figuras 2.3, 2.4 y 2.5 muestran que las graficas de las distribuciones teoricasse ajustan muy bien a las empıricas. La hipotesis de la igualdad de las distribu-ciones es confirmada por el resultado de la prueba de bondad de ajuste deKolmogorov-Smirnov. Permitiendonos concluir que el espectro de C satisfacelas dos primeras propiedades universales de la TMA.

La tercera propiedad se cumple al analizar la Figura 2.6. A medida que laumenta,

∑2 se acerca a la funcion ln l, esto es justamente lo que sucede en elespectro de las matrices aleatorias.

El primer resultado interesante es que todas las componentes del vectorpropio asociado al mayor valor propio son positivas, lo que significa que no hayacciones con correlacion inversa. Puesto que los vectores propios correspon-dientes a valores propios diferentes son ortogonales entre ellos, otros vectorespropios contienen componentes negativas. El vector propio asociado al mayorvalor propio u65 tiene fuertes componentes en WalmexC, GFBBB, Cemex CPO,GcarsoA1, Televisa CPO, TV Azteca CPO y TelmexL. Las componentes maspequenas corresponden a Cid Mega Resort, y Sab.

Al analizar los otros dos vectores propios que se desvıan de RMT u64 yu63 se encuentra que las componentes significativas pertenecen a industrias si-milares o relacionadas. El vector propio u64 esta dominado significativamentepor empresas de comunicacion: Telmex , CEL y Telecom A1 con componentesnegativas. En el vector propio u63 dominado por empresas de comercio, se en-cuentra que las componentes negativas significativas corresponden a Waltmart,Soriana y Elektra mientras que las positivas corresponden a Herdez y Gigante.


En cuanto a los vectores propios correspondientes a los valores propios maspequenos, se encuentra que estan localizados, esto es, dan informacion de unasola empresa: la lıder en su sector. Por ejemplo, la mayor componente de u1

corresponde a Telmex con Cij = 0.87291, la mayor correlacion de la muestra.Las mayor componente de u2 es Walmex con Cij = 0.85832, la segunda mayorcorrelacion de la muestra.

El cociente inverso de participacion (CIP) ayuda a cuantificar el numerode componentes que participan significativamente en cada vector propio.

La Figura 2.7 muestra el cociente inverso de participacion (CIP) Ik comouna funcion de los valores propios λk de la matriz C. La region en el rectangulorojo muestra el intervalo [λ+, λ−].

Se puede decir que practicamente los valores en intervalo [λ+, λ−] per-manecen en una banda o rango (el recuadro rojo), mientras que el CIP mınimose obtiene en el valor propio mas grande y los valores de CIP mas altos, cor-responden a los valores propios mas pequenos. I65 tiene un valor de 0.024, sitodas las componentes fueran iguales a 1√

N= 1√

65, el cociente serıa 0.015 el

cual representarıa la influencia de todo el mercado. El hecho de que algunascomponentes dominen este vector da una idea de las empresas lıderes en el mer-cado y justifica el hecho de que el cociente de participacion inverso sea mayorque 0.015. El vector propio u65 contiene aproximadamente 1/I65 = 40 partici-pantes significativos, que son precisamente las acciones con mayor capitalizacionen el mercado.

En la grafica se observa que el cociente de participacion inverso de losvalores propios menores que λ− son considerablemente mayores, de hecho sonde tres a cinco veces el promedio del CIP, lo que sugiere que los vectores estanlocalizados, esto es, solo algunas acciones contribuyen a ellos. Por ejemplo elvector propio u1 contiene 1/I1 = 2 acciones que contribuyen a el: Telmex A yL.

Este mismo estudio se realizo en matrices construidas a partir de series delongitud 400 y 800, encontrandose que dichas matrices no cumplıan las propie-dades universales de las matrices aleatorias.

4. ConclusionesSe ha encontrado que la mayorıa de los valores propios en el espectro de la matrizde correlacion C coinciden notablemente bien con las predicciones universalesde la Teorıa de Matrices Aleatorias. En particular, se ha encontrado que lamatriz C satisface las propiedades universales del conjunto gaussiano ortogonalde matrices simetricas aleatorias, lo cual nos permite distinguir los valores yvectores propios de la matriz que contienen informacion real de aquellos quetienen informacion inutil e inestable en el tiempo.

La matriz tiene 3 valores propios mayores que λ+, 24 valores propios estanpor debajo de λ− y 38 en el intervalo (λ−, λ+). El cociente inverso de par-ticipacion soporta la idea de que algunas acciones dominan el mercado y masespecficamente nos dice que el vector propio u65 contiene aproximadamente1/I65 = 40 participantes significativos, que son precisamente las acciones conmayor capitalizacion en el mercado. Tal parece que las componentes del valorpropio mas grande pueden ayudar en la eleccion de las empresas y los pesos delas mismas en la construccion de un ındice. Los vectores propios correspondi-entes a los valores propios mas pequenos estan localizados, esto es cada


Figuras


uno de ellos da informacion de una empresa lıder de un sector, por ejemplou1 esta fuertemente dominado por Telmex. El analisis del CIP nos permiteconcluir que la matriz C tiene una estructura de banda aleatoria.

La longitud de las series (1598), entre otras cosas, ha permitido que lamatriz C satisfaga las condiciones de la TMA. Pero se ha probado que paralongitudes menores (800 y 400) las matrices C1 y C2 correspondientes no satis-facen todas las propiedades universales de la TMA (Figura 8).

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Aplicacion de procesos poisson-gaussianos a los

activos nacionales: desechandola distribucion normal.

Guillermo Einar Moreno Quezada∗19 de junio 2008, Aceptado 26 de septiembre 2008

ResumenLa administracion de riesgos actual se divide en tres grandes temas: el calculode productos derivados, la modelacion de las tasas de interes y el area de ries-gos financieros y economicos. Especıficamente, desde los trabajos realizadospor Bachelier (1900), la modelacion financiera ha involucrado la presencia delmovimiento Browniano. Lo anterior nos conduce a mantener supuestos que in-cluyen desde comportamientos log normales por parte de los rendimientos delos activos hasta varianzas que no son proporcionales al tiempo. Este trabajopropone el uso de una distribucion diferente a la distribucion normal para lateorıa financiera utilizando los rendimientos de un grupo de activos nacionales.Se trata del uso del modelo Poisson-Gaussiano. Se aplica una aproximacionpropuesta por Sanjiv Das (1998) en la obtencion de la funcion de verosimilitudpara el caso de once activos pertenecientes a la BMV y sus series correspondi-entes del 1 de enero del 1994 al 31 de diciembre del 2004.AbstractRisks management nowadays is divided into three great topics: calculation ofderivate products, interest rate modelling and the financial and economics risksarea. From the works made by Bachelier (1900), financial modeling haveinvolved Brownian motion. This leads us to keep suppositions that includefrom log normal behaviors of the asset’s prices to variances that are notproportional to time. This paper suggests the utilization of another distributionrather than normal for financial theory using the profits of a group of elevennational assets. It involves utilization of a Poisson-Gaussian distribution anduses an approximation suggested by Sanjiv Das (1998) to obtain the functionof Log-likelihood for the group of eleven assets belonging to the Mexican StockExchange and their series from January 1st, 1994 to December 31st, 2004.

Clasificacion JEL: G12

Palabras clave: Tasas de interes

∗ Direccion de Administracion y Finanzas, Tecnologico de Monterrey, Campus Santa Fe.

Carlos Lazo # 100, Colonia Santa Fe, Alvaro Obregon, CP01389, Mexico Distrito Federal

Tel: +52(55)91778241 E-mail: [email protected]

Aplicacion de procesos poisson-gaussianos 137

1. IntroduccionSi revisamos los modelos de derivados que usan como supuesto basico el uso delmovimiento geometrico Browniano podrıamos comenzar revisando el de FisherBlack y Myron Scholes (1973) donde se presenta una de las ecuaciones difer-enciales parciales de segundo orden mas populares del sector financiero, mismaque es la base para valuar diversos productos derivados. Recordemos entonceslos supuestos basicos del modelo Black & Scholes:

i) el activo subyacente es una accion que no paga dividendos durante la vidadel contrato,

ii) el precio del activo subyacente es conducido por el movimiento geometricobrowniano, es decir, el precio es lognormal,

iii) la volatilidad del precio en el activo subyacente se mantiene constante enel tiempo,

iv) las ventas en corto del subyacente son permitidas,v) el mercado subyacente es liquido y divisible lo que significa que el subya-

cente se puede comprar o vender en cualquier fraccion del tıtulo,vi) no existen los costos de transaccion,vii) el mercado opera en forma continua,viii) existe un mercado de credito, un sistema bancario, en el que los agentes

pueden prestar y pedir prestado a una tasa de interes constante para todoslos plazos y libre de riesgo,

ix) todos los agentes comparten exactamente la misma informacion (infor-macion simetrica) y

x) los mercados estan en equilibrio lo que equivale a que no existen oportu-nidades de arbitraje.

Es precisamente en los puntos ii) y iii) donde debido a la dinamica de nues-tros activos nacionales no podemos acatar los supuestos del modelo propuestopor Black & Scholes. Ası, observamos como el movimiento supone un compor-tamiento normal con media cero y varianza constante a traves del tiempo. Elconcepto de distribucion normal o gaussiana por si mismo ha sido el eje para eldesarrollo de la teorıa financiera. Historicamente todos los trabajos realizadosmas conocidos se han hecho bajo la hipotesis de normalidad. Sabemos que losprecios de un activo no pueden ser normales, simplemente porque estos nuncason negativos. Por lo anterior se trabaja con rendimientos de activos y nocon precios de subyacentes. Se ha vuelto una practica comun pensar que losrendimientos de un activo siguen una distribucion normal. Claro que sabemosque si los rendimientos se observan de alta frecuencia diarios o inclusive intradıa las condiciones cambian y no se comportan normalmente. Si compararamoslas distribuciones empıricas de los rendimientos diarios de varios de los tıtulosque cotizan en los mercados de capitales contra las distribuciones teoricas obser-vamos que las primeras presentan, casi siempre, sesgo, curtosis excesiva y colasanchas o pesadas lo que nos impide ajustar las series con las distribucionesteoricas.

Ahora, vayamos a los modelos de tasas que tambien involucran supuestosde normalidad en el comportamiento de las tasas de interes. La mayor parte delos modelos que se tienen disponibles para la valuacion de bonos cupon cero seconcentran en el calculo de la llamada tasa spot, tasa instantanea o tasa corta.El calculo de la tasa corta nunca se ha podido usar para pronosticar el futuro,


por el contrario el reto esta en poder explicar su comportamiento en el mer-cado. Se trata de lograr explicar sus propiedades estadısticas como su preciospromedio, probabilidades de ocurrencia, tendencia, sesgo, reversion y claro sucurtosis y sus colas anchas. Al igual que el precio de un subyacente, para el casode la tasa corta no podemos aceptar que su comportamiento esta determinadopor una funcion conocida en el tiempo ya que esta tiene un comportamientoimpredecible. Lo anterior se explica debido a que su nivel depende de la ofertay demanda de los tıtulos de deuda al plazo mas corto disponible en el mercado.Debido a que no es posible predecir la dinamica de la tasa corta, se ha vistola posibilidad de modelarla a traves de un proceso estocastico. Efectivamente,estamos hablando de que existen muchos modelos de tasa corta vinculados conel movimiento geometrico Browniano.

Robert C. Merton, en 1973, propuso uno de los primeros modelos paraexplicar la tasa corta. Para muchos, este trabajo representa uno de los artıculosmas fascinantes sobre matematicas financieras ya que contiene muchos detallesimportantes de la teorıa de tasas de interes en tiempo continuo. Este modelocuenta con varias limitaciones. Entre ellas esta que la curva de rendimiento yla tasa forward decrecen sin cota conforme el tiempo aumenta, que la esperanzay la varianza condicionales de la tasa corta crecen sin lımite al transcurrir eltiempo, que no presenta reversion a la media y que existe una probabilidadde que la tasa tome valores negativos. A pesar de estas limitaciones propiasdel modelo nuestro interes radica en la forma en que se propone la dinamicaestocastica de la tasa corta. Con este modelo observamos como los supuestosde normalidad conducen todo el proceso en la obtencion del precio de un bonocupon cero.

Hemos mencionado un par de modelos representativos de las areas dederivados y tasas, eso no significa que no existan otros que podrıamos usarcomo ejemplos. Para el area de derivados podrıamos revisar los modelos deHeston, Hull y White, Barone-Adesi y Whaley, Goldman-Sosin y Gatto entreotros. Para el area de tasas el de Vasicek, Cox, Ingersoll, Ross (CIR), Ho-Lee, yBlack, Derman, Toy. Revisar estos modelos es muy importante para realmentedimensionar la cantidad de modelos que usan supuestos de normalidad comocondiciones basicas en sus propuestas. Si bien es cierto que en el desarrollo dela teorıa financiera era mas importante el contar con desarrollos que nos per-mitieran saber como calculas productos derivados y modelar tasas de interesen la actualidad se requieren herramientas que permitan ofrecerle al mercadocalculos correctos.

2. El modeloRetomamos el artıculo de Sanjiv R Das (maxima verosimilitud) “Poisson-Gaussian Processes and the Bond Markets” publicado en julio de 1998. Elartıculo propone y estima una clase de procesos poisson-gaussianos que permitetener saltos en las tasas de interes. La estimacion se realiza usando estimadorespara tiempo continuo y tiempo discreto. Se encuentra que los procesos consaltos tienen caracterısticas especiales que los modelos de difusion no llegan acapturar. Se desarrolla la funcion caracterıstica, momentos y densidad de lafuncion de difusion de saltos estocastica. Ası, se encuentra evidencia de queexisten modelos de difusion que pueden modelar bastante bien los procesos consaltos. Desafortunadamente para Sanjiv Das pero afortunadamente para nu-


estros fines el modelo aplicado a las tasas de interes tiene una limitante. Losposibles resultados en la modelacion incluıan valores positivos y negativos paralas tasas, hecho que no es posible en la realidad de los mercados financieros.Ahora bien, si es cierto que no existen tasas de interes negativas si podemosaceptar rendimientos positivos y negativos. Es aquı donde toma mucha relevan-cia el trabajo previo de Das. ¿Por que deberıamos esperar que un modelo queincluya saltos sea mas satisfactorio? ¿Sera posible que en nuestros mercados losniveles de bursatilidad, consecuencia de la oferta y demanda de los activos, seantan altos que mantengan continuidad en los precios? Existen crudas evidenciasestadısticas que sugieren que lo anterior no sucede. La modelacion con saltosnos ayuda a tener mejores aproximaciones en series que muestran excesiva cur-tosis y colas anchas. La volatilidad de las tasas de interes es muy alta sobretodo al termino del plazo y los cambios en las mismas demuestran considerablesesgo y curtosis. El proceso estocastico

2.1 El proceso estocasticoEn el apartado 2 del trabajo de Das se muestra el proceso estocastico base quese emplea de la siguiente forma:

dr = k(θ − r)dt + νdz + Jdπ(h).

Donde θ es un parametro de tendencia central para la tasa de interes r querevierte a la tasa k. Por lo tanto la tasa de interes se explica con un driftde reversion a la media y dos terminos variables; el primero es un proceso dedifusion y el segundo es la incorporacion de un proceso Poisson con salto variableJ . Es importante senalar que el coeficiente la varianza en la difusion es ν2 y lallegada de los saltos esta gobernada por un proceso Poisson π con parametrode frecuencia dado por h que denota el numero de saltos por ano. Los procesosde difusion y Poisson son independientes, ademas de ser independientes de J almismo tiempo.

2.2 La funcion caracterısticaPara determinar el impacto de los saltos en las tasas de interes se requiere unanalisis de la distribucion de probabilidad sobre un proceso de difusion consaltos y los momentos de esa distribucion. La funcion caracterıstica de losprocesos de difusion con saltos ofrece la obtencion no solo de la funcion dedensidad sino tambien las funciones de los momentos. El ejercicio supone queal inicio estamos en t = 0 y que a continuacion estaremos en t = T . Se estainteresado en la distribucion de r(T ) dado que el valor de r se define en el tiempocero como r(0) = r0 = r. Se utiliza la ecuacion de Kolmogorov inversa para laobtencion de la funcion caracterıstica F (r; T = 0; s) sujeta a la condicion:

F (r; T = 0; s) = exp(isr) donde i =√

(−1).

La ecuacion inversa de Kolmogorov es:

0 =∂F

∂rk(θ − r) +

12

∂2F

∂r2ν2 − ∂F

∂T+ hE[F (r + J) − F (r)].


Obteniendo la solucion:

F (r; T = 0; s) = exp[A(T ; s) + rB(T ; s)]

A(T ; s) =∫ (

kθB(T ; s) +12ν2B(T ; s)2 + hE

[eJB(T ;s) − 1

])dt

B(T ; s) = is exp(−kT ).

Teniendo la funcion caracterıstica se procedio a obtener las funciones de ladensidad y momentos para cualquier seleccion en la distribucion de saltos.

2.3 Los MomentosPara obtener los momentos se diferencio la funcion caracterıstica sucesivamenterespecto de s para despues encontrar el valor de la derivacion cuando s = 0.Denotamos μn para cualquier enesimo momento y Fn sera la derivacion enesimade F con respecto de s por lo que Fn = ∂nF

∂rn entonces, μn = 1in [Fn|s = 0]. Ası

mismo, definimos E(Jn) con n = 1, 2, 3, 4 como el enesimo momento en el quese dan los saltos. Los cuatro primeros momentos son:

μ1 =(

θ +hE[J ]

k

) (1 − e−kT

)+ re−kT

μ2 =ν2 + hE

[J2

]2k

(1 − e−2kT

)+ μ2

1

μ3 = hE[J3

](1 − e−3kT

3k

)+ 3μ1

(ν2 + hE

[J2

]) (1 − e−2kT

2k

)+ μ3

1

μ4 = hE[J3

](1 − e−4kT

4k

)+ 3

((ν2 + hE

[J2

]) (1 − e−2kT

2k

))2

+ 4μ1hE[J3

](1 − e−3kT

3k

)+ 6μ2

1

((ν2 + hE

[J2

]) (1 − e−2kT

2k

))+ μ4

1.

Cualquier distribucion con saltos donde los momentos son conocidos es finita yadmisible.

2.4 La funcion de densidadLa estimacion con un proceso Poisson-Gaussiano en tiempo continuo requiere dela funcion de probabilidad densidad condicional correspondiente a la funcion delproceso de difusion de saltos. Si t es el dıa de hoy y τ es el tiempo del intervaloentonces el horizonte de tiempo al final se puede escribir como T = t + τ . Ası ,el autor aplicando la inversa de Fourier a la funcion caracterıstica F (r(t), τ ; s)obtiene la funcion de densidad f(r(t), τ ):

f [r(t + τ )|r(t)] =1

tau

∫ ∞

0

Re[exp(−isr(t + τ ))F (r(t), τ ; s)]ds.

La estimacion se obtiene usando maxima verosimilitud usando una serie detasas de interes discreta r(t), t = 0, . . . , T . Si a los intervalos entre las observa-ciones se les llama Δ entonces la funcion de maxima verosimilitud que debe ser


maximizada es:

L = maxk;θ;ν;h{E[Jn ]},∀n t=0

T−1∑t=0

log(f [r(t + Δ)|r(t)]).

Es decir,

maxk;θ;ν;h{E[Jn]},∀n

∑ 1π

∫ ∞

0

Re[exp(−isr(t + Δ))F (r(t), Δ; s)]ds

2.5 Aproximacion en tiempo discretoSe estima una tasa de interes Poisson-Gaussiana usando una aproximacion debernoulli que nos dice que en cada momento del tiempo puede o no ocurrir unsalto. Tenemos la expresion:

Δr = k(θ − r)Δt + νΔz + J(μ, γ2)Δπ(q)

donde Δr es el rendimiento del activo, k es la tasa de reversion del rendimiento,θ es un parametro de tendencia central, ν es la desviacion estandar, Δz es elmovimiento browniano estandar, J(μ, γ2) es el shock del salto y Δπ(q) es elincremento poisson dado por una distribucion bernoulli con parametro q =hΔ + O(Δt) cuando Δt → 0.

2.6 El modelo (tiempo discreto)

f [r(s)|r(t)] = q exp(−(r(s) − r(t) − k(θ − r(t))Δt − μ)2

2 (ν2Δt + γ2)

)1√

2π (ν2Δt + γ2)

+(1 − q) exp(−(r(s) − r(t) − k(θ − r(t))Δt)2

2ν2Δt

)1√

2πν2Δt, s > t.

Ahora, la aproximacion de Bernoulli se alcanza de la siguiente manera: defini-mos Yi = 1 si un salto ocurre y de lo contrario tenemos que Yi = 0 para todai = 1, 2, 3, . . . , N y donde Δt = T/N para la serie que pasa por T . Entoncestenemos que:

Pr[Yi = 0] = 1 − hΔt + O(Δt)

Pr[Yi = 1] = hΔt + O(Δt) Δt → 0

Pr[Yi > 1] = P (Δt).

Ahora, denotemos M =∑N

i=1 Yi done M es distribuida binomial y es la sumade las variables Bernoulli independientes. Para x eventos tenemos que,

Pr[M = x] = CNx (hT/N)x(1 − hT/N)N−x, ∀x

= limN→∞

Pr[M = x] =e−hT (hT )x

x!.


Entonces, tenemos que la aproximacion de Bernoulli converge con la densidaddel proceso de Poisson. El modelo descuida el hecho de que al trabajar contasas de interes que pueden en algun momento pueden para el modelo adquirirvalores negativos hecho que en la realidad no es posible. Ası, se corrige esteerror reemplazando los valores de tasas de interes por los rendimientos en activosnacionales mismos que si pueden llegar a presentar valores tanto positivos comonegativos. Claro que no queremos unicamente tener un punto de vista paraconfirmar la utilidad de una distribucion y es por eso que incorporaremos doscalculos mas. Primero incorporaremos a nuestro modelo base un componenteARCH para modelar la volatilidad:

ν(s + Δt)2 = a0 + a1[r(s) − E(r(s))]2

Ahora tenemos que estimar nuevos parametros a0 y a1. Finalmente, probaremoscomo nos ajusta un proceso ARCH Gaussiano puro y compararemos nuestrastres posibilidades.

3. Aplicacion empıricaSe escogieron 11 activos tomando de cada uno la serie comprendida a partirdel 1 de enero de 1994 hasta el 31 de diciembre del 2004. La hipotesis nula sedefine como que los activos nacionales seleccionados ajustan a modelos Poisson-Gaussianos con un 95% de confiabilidad.

La hipotesis alternativa es que las series ajusten los mejor para uno de losmodelos alternativos (Gaussiano, Poisson-Gaussiano ARCH o ARCH).

Veamos en el cuadro uno el comportamiento de los primeros cuatro mo-mentos de las series de rendimientos:

Cuadro 1Momentos de los incrementos de los rendimientos de los activos

Media Varianza Sesgo CurtosisMASECA 0.000144 0.000139 0.663113 7.946081VITRO -0.00018 0.000212 0.16907 4.612304ALFA 0.000346 0.00014 0.35862 6.274714

CEMENTOS CHI 0.000339 0.000156 0.623742 11.97588SORIANA 0.000458 0.00012 0.197454 2.395316BANORTE 0.000291 0.000206 -1.21452 29.31402INBURSA 0.000315 0.000103 0.210359 5.2599

CONTINEN 0.000398 0.000125 0.239374 2.424389DESC 0.000099 0.000170 0.352506 4.341103

PENOLES 0.000395 0.000143 0.12628 6.951944ELECTRA 0.000254 0.000194 0.084229 5.62941

Es importante ver como los valores en la columna del cuarto momentosuperan por mucho el valor correspondiente al de una distribucion normal.En el cuadro dos se muestran los resultados del modelo Poisson-Gaussiano.


Se incluye el valor de los parametros y sus errores estandar entre parentesis,ademas del valor de verosimilitud (log-likelihood).

Cuadro 2Estimacion del modelo Poisson-Gaussiano

κ θ ν μ

MASECA -0.0014 1.1786 8.0979 0.0009(.06931) (.005078) (.021611) (.18807)

VITRO -183.699 0.985 409.7319 -141.323(.019891) (.032312) (.019927) (.019871)

ALFA .0302 -46.9609 72.3008 3.1973(.007917) (.013328) (.011743) (.019855)

CEMENTOS CHI -0.0042 1.9413 9.7405 0.0016(.067837) (.013752) (.036278) (.027076)

SORIANA 0.0227 -117.202 147.9133 5.0552(.00975) (.019362) (.013902) (.020187)

BANORTE -178.744 0.9135 394.3696 -107.825(.023551) (.032815) (.021481) (.020918)

INBURSA -0.0003 -0.1699 10.7267 0(.015137) (.018513) (.009484) (.051273)

CONTINEN -0.0009 16.9366 18.7241 0.0139(.002797) (.012637) (.008859) (.04167)

DESC 0.1048 -187.536 147.0128 28.7696(.00672) (.018023) (.021626) (.019923)

PENOLES 0.0232 -52.2402 64.2077 4.2898(.006284) (.014196) (.012814) (.020209)

ELECTRA 0.0372 -128.917 156.4107 9.6107(.010295) (.019135) (.016534) (.020782)

Cuadro 2 (Continua)Estimacion del modelo Poisson-Gaussiano

γ q Log-LikelihoodMASECA -2.7449 0.1 0.00064

(.043594) (.020567)VITRO 87.4553 0.5 0.1

(.019867) (.019865)ALFA 2.4698 .4709 .0034

(.019856) (.0198)CEMENTOS CHI 2.5148 0.883 0.0004

(.031685) (.009312)


Cuadro 2 (Continua)Estimacion del modelo Poisson-Gaussiano

γ q Log-LikelihoodSORIANA 4.1334 0.5403 0.0010

(.020188) (.019934)BANORTE 75.0643 0.3 0.0802

(.020874) (.020851)INBURSA 1.3167 0.4 0.0002

(.020905) (.020912)CONTINEN 10.2461 0.9999 0.00004

(.001873) (0)DESC 22.7448 0.7 0.02710

(.019962) (.019973)PENOLES 2.8746 0.3 0.00710

(.020218) (.020228)ELECTRA 9.4877 0.5124 0.00280

(.020787) (.020801)

El cuadro tres contiene los resultados para el modelo ARCH Poisson-Gaussiano.

Cuadro 3Estimacion del modelo ARCH Poisson-Gaussiano

κ θ μ γ

MASECA -0.0001 -3.6415 -0.0002 4.8879(.004799) (.016431) (.022828) (.018184)

VITRO -0.0007 0.8425 -0.0008 38.0478(.165358) (.010301) (.16696) (.183086)

ALFA 0.0002 4.9373 0.0003 1.442(.016417) (.003184) (.050781) (.019889)

CEMENTOS CHI -0.153 -5.8137 -1.1788 134.2507(.001403) (.000202) (000482) (.)

SORIANA -0.0013 -11.4097 -0.0289 41.7938(.000103) (.000249) (.000234) (.000363)

BANORTE -0.0025 -0.5222 -0.0036 10.665(.000753) (.001321) (.001507) (.001136)

INBURSA 0.0004 -316.4096 0.4795 191.5677(0) (.000376) (0) (.000225)

CONTINEN 0 -81.2025 0.0012 29.9721(.007264) (.143663) (.617036) (.051674)

DESC 0.0162 -53.5109 0.9191 46.6795(.00002) (.00052) (.00005) (.00015)


Cuadro 3Estimacion del modelo ARCH Poisson-Gaussiano

κ θ μ γ

PENOLES 0.0003 4.8749 0 1.1899(.013646) (.009477) (.054577) (.022361)

ELECTRA -0.0001 5.5685 0.0004 6.3482(.031592) (.006933) (.111602) (.029981)

Cuadro 3 (Continua)Estimacion del modelo ARCH Poisson-Gaussiano

Q a0 a1 Log-Likelihood

MASECA 0.8573 7.1571 2.3965 0.00290(.004262) (.032129) (.020545)

VITRO 0.5 49.202 18.418 0.000023(.019863) (.136893) (.057445)

ALFA 0.2357 17.1615 8.2928 0.00023(.004873) (.013131) (.021239)

CEMENTOS CHI 1 44.555 41.1693 0.0000017(0) (.000662) (.000776)

SORIANA 0.9999 9.5173 25.9715 0.0000085(.00001) (.000204) (.000265)

BANORTE 0.9983 4.7278 3.378 0.0008(.000016) (.001693) (.0006928)

INBURSA 0.4 249.7866 235.6428(.000002) (.000291) (.0002761) 0.000010

CONTINEN 0.5 112.5202 33.6485(.020499) (.021704) (.034242) 0.00001

DESC 1 22.4288 116.7212 0.00000404(.00003) (.00009) (.00035)

PENOLES 0.1 15.8737 5.5144 0.00027(.02023) (.027674) (.076401)

ELECTRA 0.5 17.9397 32.3036 0.00008(.02082) (.051216) (.045644)


Cuadro 4Estimacion del modelo ARCH-Gaussiano

κ θ a0

MASECA -0.0011 0.3221 16.6557(.042203) (.003805) (.014989)

VITRO 0 -99.2026 100.877(0) (.001723) (.001665)

ALFA 0 -239.149 199.8691(.00273) (.015954) (.012985)

CEMENTOS CHI 0 0.0024 0.2498(0.00000209 ) (0.00000066) (0.00001481)

SORIANA 0 -221.9763 179.9072(.002586) (.016708) (.012885)

BANORTE -0.0027 0.7504 10.407(.023856) (.003388) (.021392)

INBURSA 0.0009 2.2066 12.1917(.038554) (.003455) (.039588)

CONTINEN -0.0001 -9.1785 23.1702(.00362) (.006532) (.00734)

DESC NA NA NA

PENOLES 0 -215.5053 187.4776(.002861) (.016176) (.013485)

ELECTRA 0.0001 7.1465 22.0021(.01276) (.005267) (.011539)

Cuadro 4 (Continua)Estimacion del modelo ARCH-Gaussiano

a1 Log-Likelihood

MASECA 23.8322 0.00023(.12224)

VITRO 64.0465 0.00000385(.00107)

ALFA 71.4545 0.0000003(.019651)

CEMENTOS CHI 3.9827 0.0000001(0.0002938)

SORIANA 179.9072 0.0000004(.012885)


Cuadro 4 (Continua)Estimacion del modelo ARCH-Gaussiano

a1 Log-Likelihood

BANORTE 2.5383 0.0013(.020708)

INBURSA 15.2003 0.000231(.062793)

CONTINEN 5.6549 0.00009(.0202)

DESC NA NA

PENOLES 65.7586 0.000000407(.020029)

ELECTRA 8.3656 0.00010(.020169)

Finalmente se presenta en el cuadro los resultados que corresponden al modeloARCH-Gaussiano, mismo que es el mas sencillo de los tres.

4. ConclusionesTenemos que de los 11 activos estudiados, 9 aceptan la hipotesis nula querecordemos decıa que: “Que los activos nacionales seleccionados ajustan a mo-delos poisson-gaussianos con un 95% de confiabilidad”. Por lo tanto aceptamosla hipotesis nula en un 81.81%. Ası, podemos decir que estamos ante un modeloque ciertamente funciona con las series de activos mexicanos. Estamos usandomodelos anidados lo que nos permite llegar a conclusiones previas a observardetenidamente cada uno de nuestros activos. Tenemos en primer lugar el mo-delo ARCH-Gaussiano-Poisson que es el modelo parteaguas de nuestro trabajo.De ahı se desprende el modelo Gaussiano-Poisson. Por otra de las ramas delmismo modelo se desprende el modelo ARCH-Gaussiano. Hemos comentadolos resultados de nuestros once activos y hemos visto como mas del 80% de losmismos ajustaron al modelo Poisson-Gaussiano por lo que aceptamos nuestrahipotesis nula. Claro que debido a lo anidado de los modelos tambien obtuvi-mos series que ajustaban con nuestros modelos alternativos. Ası, es importanteque veamos los casos de MASECA, INBURSA y CONTINENTAL que inclusivepara el segundo caso ajusto perfectamente para dos de los modelos propuestos.Hemos pasado por toda una reflexion de la teorıa financiera viendo como lossupuestos de normalidad prevalecen en todo momento. El hombre aun no escapaz de crear una serie de numeros aleatorios, sin embargo sigue buscandomodelar series de tiempo, series que contienen un componente aleatorio que nonecesariamente se distribuye normalmente. Tanto para el caso de los modelosde derivados como en los modelos de tasas hemos visto como todos los calculosse hacen con supuestos de normalidad, inclusive vimos como algunos modelosinvolucran en sus calculos distribuciones Ji-cuadrada no centrales (El modelode tasa corta de Cox, Ingersoll y Ross ) pero aun ası no resuelven el problemapara el caso mexicano. Lo anterior es un impedimento ya que solamente en la


medida en que seamos mas exactos con nuestros calculos para determinar elprecio de una opcion ya sea americana o europea o para explicar el compor-tamiento de la tasa corta, sera que el mercado confıe mas en usar productosfinancieros en su vida cotidiana.

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A Good Policy of Sustainable Tourism

Elvio Accinelli∗Juan G. Brida∗∗Edgar Carrera∗∗∗

28 de noviembre 2006, Aceptado 15 de abril 2008

AbstractWe consider an extensive form game to analyze the interdependence betweenenvironmental protection of resources, the activities related with the tourismand the behavior of a local population. We answer two questions: 1) Supposethat the central planner invest in tourist activities, has he incentives to doan aggressive propagandistic campaign to convince the tourist to come for thecountry? 2) How good is from the environmental point of view that the localinhabitants prefer to work in tourist activities? So we analyze the situationwhen it’s possible to obtain a sustainable tourism in a country such that thetourism is the main economic activity.ResumenEn este trabajo analizamos el comportamiento de una poblacion de un lugarde interes turıstico respecto al cuidado de la calidad ambiental o cultural de laregion. El mantenimiento de dicha calidad, puede ser amenazada por la exce-siva explotacion de los recursos naturales por parte de la poblacion local, queven en la actividad turıstica una posibilidad de incrementar su bienestar y porlos turistas que desean obtener el maximo disfrute de las atracciones del lugar.Intentamos contestar a dos preguntas, la primera de ellas es: ¿Hasta que puntoel planificador central tiene interes en desarrollar una campana propagandısticapara aumentar la afluencia de turistas al lugar? La segunda es: ¿Hastaque punto es bueno para la preservacion del interes turıstico de la region quelos habitantes locales se comprometan con la actividad turıstica? En defini-tiva, analizamos la posibilidad de desarrollar la actividad turıstica como unaactividad sustentable.

JEL Classification: C73, L83

Keywords: Imperfect information, mixed strategies, repeated game, sustainable tourism

∗ Facultad de Economıa de la UASLP, San Luis Potosi Mexico. e-mail:

[email protected] Tel.: (5255) 55947392, Fax: (5255) 55947392.∗∗ School of Economics and Management-Free University of Bolzano; Bolzano, Italy.

e-mail: [email protected] Tel.: +39 0471 013492, Fax: +39 0471 013 009∗∗∗ University of Siena, School of Economics Siena, Italy. e-mail: [email protected]

A Good Policy of Sustainable Tourism 151

1. IntroductionThe tourism as economic activity is a phenomenon that has come acquiring agrowing presence in the international economic dynamics. For many nationsand regions of the world the tourism constitutes one fundamental activity,generators of income, employment and development. But it’s necessary tounderstand the character of the tourist activity and its relations withthe environment, which will permit a harmonious contact between nature andtourism, such that the ecosystems doesn’t suffer alterations where this activityis developing, and implying to face the present tourist needs without puttingin risk the capacity of the future generations to attend its own needs. In thissense, Bramwell, B and Lane, B., (1993) mention that the sustainable tourismis an economic development model conceived to improve the quality of life forthe local community, and to facilitate for the visitor a high-quality experience ofthe environment, which both the host community as the visitors depends. Thesustainable tourism is related besides with a cultural aspect: it should protectthe cultural identity of local community, through assuring a relation betweenthe local community and the tourist.

Following this concept of sustainable tourism, in this paper we give throughthe game theory a model or explanatory game of the relationships among themain agents that has interactions in tourist activity. Thus, we present a tourismgame in which a central planner (CP ) must to choose between to invest or notin a tourist country. To invest is a very profitable decision if an important partof the flux of tourism that will arrive to the country in the high season choosesto stay for a long time, for instance a month, we denote by 0 < I the grossbenefit of this decision in this case. In other case, it is to say if the main part ofthis flux choose to stay for a short time, for instance a week, then to invest hasnot profits other than those related with environmental protection aspects, wedenote this by EP ; where 0 < EP < I ; and including in this case, the CP canhave immediate financial losses, the gross benefices in this case is EP −CF < 0.Where CF denotes the cost of the investment in infrastructure for a long timetourist season. The possibility that a large part of tourists choose to stay for along time depends strongly on their beliefs about the election done by for theCP . The tourist has not a priori total information about this election. Thedegree of conviction that the tourists have about the politic followed for theCP is important to their election. We assume that their believes about the CPelection can be raised by means a propagandist campaign developed for the CP ,and then to increase the probability that the most important part of touristschoose to stay for a long time. We assume that the tourist beliefs that, with aprobability equal to x, 0 ≤ x ≤ 1 the CP made the investment. To raise thesebeliefs has a cost for the central planner, we assume that this cost is linear anequal to cx. In the case where the CP invests and the tourist came for a longtime the profit is equal to I − cx. And if the tourist came for a short time theprofit of the CP is equal to EP − CF − cx. Observe that not necessarily theCP is interested in to convince all the possible tourists to come to the countrybecause depending on c if x is big enough then I − cx < 0.

If the central planner does not invest, and the flux of tourists that arriveto the country for a long time is big, then the damage environmental can beimportant. For the central planner it can be beneficial does not to invest ifhe is absolutely sure that the tourists will arrive in their majority for a brief


stay. In this case the environment damages to would be little and it wouldnot have losses by the little duration of the tourist season. On the other handwe assume that there exist local populations that can to choose to work inactivities related with tourism or not. These people know the election made forthe central planner. However they do not know the proportion of tourist thatwill arrive in the high season for a long time. If the flux of tourist that arrivesfor a long time is important the population prefers to work in tourist activitiesthe most part of their time of work. This decision has an important roll toconvince to the tourists to stay in the country for a long time. Therefore weconsider an extensive game with perfect recall and imperfect information. Fora characterization of this kind of games and some possible Nash equilibrium see(Van Damme, E., 1991).

For our purposes this paper has the following parts. In section two weshow a particularly example of a tourism game modeling the situation. Sectionthree is devoted to analyze the Nash equilibrium of the tourism game. Sectionfour the repeated game is shown, in which through the time a lostof the environment exists. Section five analyzes the discount factor and thefuture inside the sustainable tourism. Section six represents a numeric smallexample that makes an evaluation of the carried out theory. Finally we givesome conclusions to obtain a good policy of sustainable tourism.

2. The GameThe model of an extensive game with imperfect information allows a player,when taking an action, to have only partial information about the actions takenpreviously. Hence we will model this game as an extensive form game withperfect recall and imperfect information. In particular, we refer to games inwhich at every point player remembers whatever he knew in the past as gameswith perfect recall.

According to this there are three players, the central planner (CP ), thetourists (T ) and the local inhabitants (L). The central planner chooses in theroot of the tree between two pure strategies, to invest (I) or not to invest(NI). The second information set (denoted by t) has two nodes (n1 and n2)and corresponds to the tourists. Tourists believe to stay in their node n1 withprobability x and in the node n2 with probability 1 − x. The node n1 comesafter the election to invest, and n2 comes after the election NI. This meansthat the tourist believes that with probability x the CP choose to invest. Theyhave two pure strategies: stay for a long time (LT ) or for a short time (ST ).The thirst player are the local inhabitants, they have two information sets, l1and l2 either with two nodes, l11 and l12 for the first one and the nodes l21,l22 for the second information set. l11 and l21 came after the decision LT ; thenodes l12 and l22 comes after ST . Inhabitants have two pure strategies, towork full time in activities related with tourism, FT or work only partial timein these activities PT . A convenient representation of this game is shown inthe next figure:


Figure

aI11

I21 aI

12 aI22

tI11 tI

21 tI12 tI

22

lI11 lI21 lI12 lI22

aI11

I21 aI

12 aI22

tI11 tI

21 tI12 tI

22

lI11 lI21 lI12 lI22

In this game CP carries out the first move, choosing I or NI. When the playerT’s turn to move, and when doing so she is not informed whether player CPchoose I or NI is a fact indicated in the figure by the dotted circle connectingthe ends of the histories after which player T has to move for the second time,choosing an action LT or ST . The real numbers (a, t, l) under the terminalhistories are the players’ payoff.

However from the second set of information the game can be representedby means of two normal form games, one corresponding to the election I andthe other to the election NI, we represented them by the matrices AI and ANI

respectively:

Election I and Election NI(1)

Al =LT ST

FT aI11, t

I11, l

I11 aI

12, tI12, l

I12

PT aI21, t

I21, l

I21 aI

22, tI22, l

I22

ANI =LT ST

FT aNI11 , tNI

11 , lNI11 aNI

12 , tNI12 , lNI

12

PT aNI21 , tNI

21 , lNI21 aNI

22 , tNI22 , lNI

22

Where the real numbers aihk, i ∈ {I, NI}, h, k ∈ {1, 2} represent the payoff

to the CP corresponding to the different strategy profiles. Analogously, tihk


and lihk represent the payoffs corresponding to the tourists and inhabitantsrespectively. The tourist assign probability x to play the game given by AI andprobability 1− x to play the game given by ANI .

So, given the strategies (q, 1 − q), 0 ≤ q ≤ 1 and (q′, 1 − q′), 0 ≤ q′ ≤ 1followed for the inhabitants if the central planner did the investment (node l1)or not (node l2) respectively, the expected value that the tourists assign to thestrategy LT is:

ET (LT/(q, q′)) = x[qtI11 + (1 − q)tI21] + (1 − x)[q′tNI11 + (1 − q′)tNI

21 ] (2)

and the corresponding value for the strategy ST is

ET (LST/(q, q′)) = x[qtI12 + (1 − q)tI22] + (1 − x)[q′tNI12 + (1 − q′)tNI

22 ] (3)

So, they choose LT if ET (LT/(q, q′)) ≥ ET (ST/(q, q′)) in other case they chooseST . It follows that this election depends on the values assigned to x. So, thetourist will choose this strategy if and only if x ≥ x(q, q′) where:

x(q, q′) = (tNI12 − tNI

11

)+

(tNI22 − tNI

12

)q(tI11 − tI12

)+ (1 − q)

(tI21 − tI22

) − q′(tNI11 − tNI

12

)+ (1 − q′)

(tNI21 − tNI

22

) (4)

is the least value of x such that the tourist chooses LT . This value depends, inhis turns, on the values of q and q′.

The social planner prefers to do the investment in environmentalpreservation and that the tourists come to the country for a long time. Hewill do a propagandistic campaign if and only if the cost to obtain the levelof credibility x such that the tourists choose this option, satisfy the inequalityECP(I) ≥ ECP(NI) where:

ECP (I) = Px(LT )[qaI

11 + (1 − q)aI21

]+ Px(ST )

[qaI

12 + (1 − q)aI22

] − cx (5)

ECP (NI) = Px(LT )[q′aNI

11 + (1 − q′)aNI21

]+ Px(ST )

[q′aNI

12 + (1 − q′)aNI22

](6)

The symbol Px(LT ) represents the probability that the tourist plays his strategyLT given that he believe that wit probability x the CP did the investment,Px(ST ) = 1−Px(LT ) these values could be positives if and only if x = x(q, q′)because only in this case that the tourists follow a mixed strategy make sense.

So the tourists choose LT if and only if they assign a value given by

Px(LT ) ≥ cx − qaI12 + (q − 1)aI

22 + q′aNI12 − (q′ − 1)aNI

22

qaI11 − qaI

12 + aI21 − qaI

21 − aNI21 − aI

22 + qaI22 − (q′ − 1)aNI

22 − q′aNI11

+q′aNI12 + q′aNI

21

. (7)


This means that x must be sufficiently large like so that the tourists decide tocome for a long time and sufficiently small like so that the cost of obtain thisvalue does not surpass the benefits associated with this level of credibility.

On the other hand, tourist prefer goods services, this means that theirdecisions also depends on the election done by the settlers.

3. The Nash equilibria of the tourism gameNow we can obtain the values of q, q′ and Px(LT ) such that the strategy

S∗(x) = ((1, 0); (P ∗x(LT ), P ∗

x (ST )); (q∗, 1− q∗, q′∗, 1− q

′∗))

is a Nash equilibrium. Note that the local inhabitants have completeinformation about the decision of the central planner, tourists have incompleteinformation about this decision and they make this believes from thepropagandistic campaign developed for the central planner. So this equilibriumdepends on the intensity of the campaign that the central planner be disposedto do.

The best scenario is that one in which the central planner invest,the population have an intense participation in the tourist activities, and thetourists came from a long time. The worst scenario, at least from theenvironmental point of view is those where the central planner choose does notto do the investment, and the tourists came for a long time. It can happenthat the local population decides to work in such strong way in the activitiesrelated to the tourism, that even in case when the central planner does notmake the investment, the tourists have interest in remaining in the place by along period. These possibilities can be represented by means of the followingpayoffs:

Consider for the central planner the following payoffs in AI and ANI givenin (1):

aI11 = I − cx, aI

12 = EP − CF − cx, aI21 = I − cx, aI

22 = EP − CF − cx,

aNI11 = −EP, aNI

12 = 0, aNI21 = −EP, aNI

22 = 0,(8)

the following relations between the payoffs for the tourists and for the localinhabitants are naturals:

tI11 > tI12, tI21 > tI22;

lI11 > lI12, lI11 > lI21, l

I12 < lI22, l

I21 > lI22.

tNI11 < tI12, t

NI21 < tNI

22 ;

lNI11 < lNI

12 , lNI11 > lNI

21 , lNI12 < lNI

22 , lNI21 < lNI

22 .

(9)

It is possible to obtain values for q and q′ such that the tourists prefer to camefor a long time independently of the value of x, this happen if q ≥ q and q′ ≥ q′where q and q′ verify the equation ETx(LT ) − ETx(ST ) = 0.

This is the case if:

0 ≤ q′ =tNI21 − tNI

22

tNI11 − tNI

21 − tNI12 + tNI

22

≤ 1


and

0 ≤ q =tNI21 − 2tNI

22 + tNI12

tI11 − 2tI21 + tI22

≤ 1

This means that if the settlers prefer to work hard, then the tourists can obtaina high level of pleasure independently of the action followed for the centralplanner. These are no necessarily good news, because if the central plannerchoose does not to invest and the tourists came for the country for a long timethen the environmental can suffer damage.

In this case the local population can obtain profits in the short time andthen to improve its social welfare however, this situation can revert in the longperiod, because if the central planner does not invest in environmentalprotection the welfare of the population can decrease with the lost inenvironmental quality.

If the Nash equilibrium has these characteristics, i.e. if q∗ > q and q′∗ > q′,

then it is Pareto dominated.

4. The repeated gameWhen the peoples play a normal form game in a repeated way, such that theydo not know the moment of the end of their interaction, the situation can bemodeled as an infinitely repeated game. In these cases it is possible to supportby means of rational strategies news payoff such that are rationally impossibleto obtain in one shot games or even in infinitely many repeated games. Thesegames capture the idea that the behavior of each player has effect in the futurebehavior of the others, and phenomena like cooperation, revenge, and threatsappear.

Suppose that the losses in environmental protection are related with thetime that the tourists remain in the country, with the quantity of tourists in thecountry and with the politic followed by the central planer and the intensitythat local inhabitants choose to work in tourists activities. Suppose that thisinteraction between tourists, central planner and local inhabitants is modeledby means of the before analyzed game (the stage game) which is repeated(infinitely) in each tourist season. We symbolize the losses in environmentalquality, in time t = 0, 1. . . . by LEi,j,t; i ∈ {I, NI}; j ∈ {LT, ST} suppose thatthe CP has a discount factor δ. The central planner must now decide howoften invests if the looses in environmental quality must be discounted of hisbenefits. For instance consider the strategy s for the central planner, he investsin time zero, and does not invest again until t = T so, the benefit until T arerepresented by:

πCP (s) = (I − cx) − LEI,j,0 −T−1∑t=1

(δ)tLENI,j,t + (δ)t[(I − cx) − LEI,j,T ].

depending on the strategy followed for the tourists. The strategy followed bythe tourist depends on the degree of satisfaction obtained in the country andthis depends on the policy of investment followed by the central planner andon the degree of participation of the local inhabitants in the tourist activities.The best response for the central planner, depends on the tourists election andon his discount factor.


How often the CP , need to invest in environmental protection dependson the intensity of the tourist activities. In this way, if the planner alreadymade his election on the strategy of the investment in environmental protection,it will have to coordinate with the local population so that they develop adegree of activity coincident with the central objective. The intensive use ofthe tourist resources, without a concordant policy of investment, can imply thedefinitive loss of these goods for all future. The degree of activity related to thetourist activities developed by the local population can be interpreted in termsof time or prices to that the local inhabitants rent their houses to the tourists.Corresponding to a each degree of activity, a time destined to let on hire thehouses for the tourists or a different rent for the same time.

5. The discounting factor and the futureThe models of infinitely repeated games capture a situation in which playersrepeatedly engage in a strategy game . In this kind of games it is possibleto obtain as result of a Nash equilibrium strategy high payoffs which are notresult of any rational strategy in finite repeated games. However to supportsuch outcomes each player must be deterred from deviating by being punishedin the cases when he deviated. In some cases this punishment implies that thepunisher is himself punished by his action, or in some cases when the gameinvolve public goods as environmental quality, punish can implies losses in thesocial welfare so, the CP must be able to implement a politic to convince thedeviant to follows the best social action, with the minimal cost of punishmentpossible.

Assume that the discounting factor δ of the CP , is coincident with theexpected discount factor of the whole society. Suppose that local inhabitantshave a discounting factor δl less than the social discount factor (they aremyope). In this case the local inhabitants can have interest in to deviate froman initial agreement between local inhabitants and the CP on the intensityof the tourist resource utilization. The CP must to punishes this deviationfor instance decreasing the level x of the propagandistic campaign, in othercase losses on environmental provoked by the intensive utilization of the touristresource can be never recovered. For instance, suppose that with the objectiveto preserve the natural resource the CP and the local inhabitants to agree into do not and intensive utilization of this resources. The CP agree in to investin environmental protection and local inhabitant agree in to work in touristactivity only partially. Suppose that however, in time T the local inhabitantchoose to deviate of this agreement and decide to work full time in touristactivities. The CP can punish this deviation of the local inhabitant choosingthe action not invest from the time in which the local inhabitants deviate andfor all the future, (this kind of strategy are called a trigger strategy), if andonly if the discounting factor of the local inhabitants is no so small. To see thisnote that if the local inhabitants do no deviate their profit are:

πL(I, PT ) =∞∑

t=0

δtl l

I21t = lI21t

11 + δl

. (10)

If the local inhabitants deviate and chose D = (PT, . . . , PT, FT, . . .) this meansplays the action PT until t = T − 1, and FT for all t ≥ T and the CP punishes


choosing: PT = (I, . . . I, I, NI, . . .) i.e. he plays I until t = T and NI for allt ≥ T + 1 then the profits for the settlers will be:

πl(P, D) =T−1∑t=0

δtl l

I21t + δT lI11T +

∞∑t=T+1

δtl l

NI11t. (11)

Suppose now that lI ijt = lIij and lNI ijt = lNIij : So this action is a punishment

for the local inhabitants if and only if π(I, PT ) = π(P, D), equivalently if andonly if

δl ≥ lI11 − lI21

lI11 − lNI11

.

In this case is better for the local inhabitants do not deviate.However if for to deterred the deviation it is necessary to repeat the

punishment for a long time (like in the case of a trigger strategy) it can implybig loses in social welfare. Strategies like trigger strategies imply a punitiveaction forever, and then to punish can be a non credible threat. Fortunatelythere exist convincing strategies no so harsh, such that the necessary time ofthe punishment is decreasing with the discount factor of the players. The beststrategies are those that render all possible deviation unprofitable, this meansthat the strategy implement a perfect subgame equilibrium. Some punitivestrategies are not subgame perfect, because they are supported in nocredible threat. Recall that a strategy profile is a subgame perfect equilibriumof the δ-discounted infinitely repeated game if and only if no player can gain bydeviating in a single period after any history, see [Osborne, M.J.; Rubinstein,A.]. This type of strategies implies the best policy of protection of theenvironmental quality. So to implement a strategy coincident with a subgameperfect equilibrium is a true challenge for the CP , and it is a problem ofinterest when some player are myope, this type of player can obtain profits inthe short time that are opposite to the social welfare, so is the social interestto deterred this deviation. To do this the CP , would be able to find a strategysuch that punishes the deviant in each time, such that it impliesthe minimal environmental damage possible. The result of this strategy mustbe the socially wished result. The perfect folk theorem shows that if thediscounting factor of the players is not very small, it is possible to build anstrategy such that the equilibrium path consists of the repetition of a single(strictly) enforceable outcome, and the punishment to the deviant is not toharsh like the trigger strategy, it is enough to punish only for a finite numberof periods, so the environmental damage is the minimal possible. In thesecases the threat is credible. In terms of our problem the central planer canpunish a myope behavior of the local population decreasing the investment inpropagandistic campaign, this means social losses because the flux of touriststhat arrive to the country decreases, but is better en terms of environmentalprotection if previously the central planner does not did the sufficient investmentin environmental protection.

In terms of the folk theorems this means that, if there exists a 0 < δ < 1,such that 1 > δ > δ, where δ is the discounting factor of the local inhabitants,then for each collection of strictly enforceable outcomes a∗ there exists an


strategy that is a perfect Nash equilibrium, such that the generates the pathat = a∗ for all t, (Osborne, M.J.; Rubinstein, A.). This strategy is supportedby the possibility that have the central planner to punish the local inhabitantsif they look for a possible immediate profit and they think to deviate.

6. A numerical exampleIn this section we show an illustration of the theory by means of a numeric briefexample that will correspond to give the results in that CP really makes theinvestment, this is, the corresponding value of x, this is between zero and one,so we generates a coherent such numeric matrix of payments. Considering theinequalities of (9), the corresponding payments are given by:

AI =LT ST

FT 4,3,3 2,2,1PT 4,2,2.5 2,1.5,2

and ANI =LT ST

FT -5,1/2,2 0,1,3PT -5,1/2,1 0,2/3,4

With these payments, we obtain the probabilities with which a workerdecides to work full time in tourist activities, this is:

q′ =tNI21 − tNI

22

tNI11 − tNI

21 − tNI12 + tNI

22

=12

and,

q =tNI21 − 2tNI

22 + tNI12

tI11 − 2tI21 + tI22

=13.

The value of q means that workers will be in charge of full time in touristactivities with a bigger probability or equal to 1/3 if there is a tourist investmentpolicy that it has carried out by the central planner. But when it didn’t havethe investment, with a probability of 1/2 the workers will be in charge of fulltime in tourist activities.

On the other hand, as we saw in section 2, the tourists play to takevacations for a long time if and only if x ≥ x(q, q′), this way considering (4)of the section 2 and with the obtained values q and q′, we canobtain the probability that the tourists assign to that central planner decidesto invest, this is x(q, q′) = 0.22 so they play its strategy LT . Also considering(7), the probability that the tourists play LT since they believe with probabilityx(q, q′) = 0.22 that CP made the investment is Px(LT ) = 0.22c−2

7 . It willdepend on the costs incurred in the propagandistic campaign. In this numericalexample, the costs of the propagandistic campaign, c, will be bigger at 10 andsmaller than 45, this way, the value of x assures that the tourists choose to makevacations for a long season. Also, this confirms that while a propagandisticcampaign of tourism is high then CP has security that tourists arrive for a longperiod, if c ≈ 45 this implies that Px(LT ) ≈ 1.

On the other hand, to sustain the agreement, explained in section 5,between CP and the local inhabitants on to invest and to work partially


respectively, CP can punish the deviation that the local inhabitants carries outin some period of the time, if and only if δl ≥ lI11−lI21

lI11−lNI11

= 12 , that which implies

that the better for the local inhabitants is not to deviate.

7. ConclusionsThe Game Theory is a suitable tool to analyze the utilization of touristresources, because this utilization is made by different human groups withinterest in conflict, and the result of this joint activity depends on the behaviorof each one, but no one has the control of the conflictive situation.

In some cases an excessive utilization of natural resources can be the resultof the behavior followed for tourist and local inhabitants, but this behaviorcan be myope, in the sense that the exhaustion of the natural resource impliesfuture and irreparable looses in social welfare. Game theory shows that thecentral planner can prevent this situation and to avoid it choosing a rationalstrategy which implies a credible threat, in this case do not make publicity onthe advantages of the place for the tourists. So in each season for the localinhabitants is profitable to dedicate a part of their time in other activities, sothis combination of strategies entails a diminution of the tourist flow. Thepossibility of obtain this social optima as a perfect subgame Nash equilibriumis a conclusion of the folk theorem see Fudenberg, D. and J. Tirole (1991).

We have analyzed the interdependency between the decisions that take themain agents of a tourist community. The best situation is given when the centralplanner invests in an environmental protection policy, the tourists arrive for along time (for example a month of holidays), and the settlers participate in thetourist economic activity. Therefore, we show that the best response for eachplayer (CP, T, L) offers a result as Nash equilibrium that is presented under theperspective of a sustainable tourism, so, it is the best aggregate response in atourist country.

The central planner, by means of an environmental protectionpolicy, should assure in the tourism a planning and to negotiate of sustainableform, with owed consideration to the protection and adequate economic use ofthe social and natural environment for the reception zones. The investmentshould have solid information, studies and diverse opinions on the tourismnature and its effects in the cultural and human traditions before andduring the development, especially as for the local population, so that thiscan participate and to influence in the development direction and alleviateits effects more harmful so much in own as collective interest. It should bestimulated to the local population and should be expected that her take theinitiative in planning and development with the aid of government, firms andother next financial interests. They should be carried out economic, social,and environmental analysis integrated, doing emphasis in the different types oftourist development and in the forms in which these types would be able toinsert with the ways of traditional life and the environmental factors. The keyof a sustainable tourism is to negotiate with efficacy the cultural and naturalapproach, with the object of contributing benefits to the society and to increasethe interest of the visitors.


References

Bramwell, B; Lane, B., (1993). Sustainable tourism: an evolving globalapproach; Journal of Sustainable Tourism; Vol. 1, pp. 1-5.

Fundenberg, D. and J. Tirole (1991). Game Theory. The Mit Press.Osborne, M. and A. Rubinstein (1994). Course in Game Theory. The Mit

press.Van Damme, E. (1991), Stability and Perfection of Nash Equilibria. New York:

Springer Verlag.



La matriz de covarianzas de residuales en laasignacion y valuacion de activos

Benjamın Garcıa Martınez∗Arturo Lorenzo Valdes∗∗

18 de Febrero 2008, Aceptado 6 de junio 2008

ResumenLa metodologıa de “portafolios Ortogonales” aplicada por Roll (1980) paraque, dado un ındice de mercado no eficiente en el sentido media-varianza, sepueda encontrar el portafolio ortogonal zero-beta que considere la informacionde αj �= 0 (sub/sobrevaluacion), es utilizada por MacKinley y Pastor (2000)para obtener un factor de riesgo no observado y seleccionar un portafolio queconsidere que la fuente de la ineficiencia es resultado de la omision de factoresde riesgo. La informacion contenida en la matriz de covarianzas residual (Σ)resultante de la relacion lineal de los rendimientos y un ındice no eficientees relacionada con el elemento de sub/sobrevaluacion (α) para encontrar unaestructura exacta de determinacion de los rendimientos esperados de los activosen base a un modelo lineal de factores de riesgo, dado un ındice no eficientey un conjunto de N−activos. Este trabajo aplica esta metodologıa a excesosde rendimiento de 25 acciones del mercado mexicano y utiliza como factorobservado a los excesos de rendimiento del Indice de Precios y Cotizaciones(IPC) durante el periodo enero de 2004 a julio de 2007.Abstract“Orthogonal portfolios” methodology applied by Roll (1980), in order to getan orthogonal zero-beta portafolio when we have a nonefficient market index inMean-Variance approach, is used by MacKinley and Pastor (2000) to obtaina non observed risk factor that considers the informationαj �= 0 (misspricing) and to select a portafolio that considers that the sourceof inefficiency is resulted from the omission of risk factors. The informationcontained in the residual covariance (Σ) resulting of the linear relation betweenthe returns and a nonefficient index is related to the sub/supervaluacion element(α) to find an exact structure of the determination of the expected returns ofthe assets on the basis of a linear model of risk factors, given a nonefficient

∗ Profesor del Departamento de Contabilidady Finanzas. Instituto Tecnologico y de Estu-dios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de Mexico. Calle del Puente No. 222, Ejidosde Huipulco, Tlalpan, C. P. 14380 Mexico, D. F. Telefono: 5483-2235 Correo electronico:

[email protected]∗∗ Profesor del Departamento de Contabilidad y Finanzas. Instituto Tecnologico y de Es-

tudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de Mexico. Calle del Puente No. 222, Ejidosde Huipulco, Tlalpan, C. P. 14380 Mexico, D. F. Telefono: 5483-2259 Correo electronico:

[email protected]

La matriz de covarianzas de residuales 163

Index and a N−active set. This work applies this methodology to 25 stockreturn excesses from the Mexican market and uses like observed factor thereturn excesses of the Indice de Precios y Cotizaciones (IPC) during the periodJanuary , 2004 to July, 2007.

Clasificacion JEL: G11, G12, C52

Palabras clave: Media-varianza, residuales, CAPM, eleccion de portafolio.

1. IntroduccionEn los modelos de valuacion de activos basados en factores de riesgo, la ma-triz de covarianzas de los errores, juega un papel fundamental, pues se sugierecontiene informacion tanto de factores omitidos, de una mala especificacion delportafolios de mercado, como de la propia correlacion contemporanea entre losrendimientos de los activos.

Las implicaciones de considerar que la matriz de covarianzas de los resid-uales contiene informacion relevante son: 1) el reconocimiento de que es im-portante incorporar un concepto multidimensional del riesgo para estimar losrendimientos de los activos y, 2) que dada la dificultad de identificar estos fac-tores de riesgo adicionales, se sugiere que estos pueden obtenerse a travs dematriz de covarianzas residual. De hecho se reconoce en la mayor parte de losautores que las covarianzas pueden ser mejor estimadas que los rendimientos,por lo que se puede mejorar la estimacion de los rendimientos utilizando la infor-macion contenida en estas covarianzas, especialmente la de los residuales. Estoclaramente asume el proceso de estimacion lineal de los rendimientos respectoa un proxy de mercado1.

La idea de que la matriz de covarianzas de los rendimientos de los activosy/o su inversa, pueda descomponerse en su parte sistematica y no sistematica,tiene como objetivo principal recuperar la informacion contenida en el com-ponente no sistematico del riesgo de los portafolios. Esto permitirıa no soloun mejor proceso de valuacion de los rendimientos esperados, sino mejorar elproceso de seleccion de portafolios. Cobra importancia en los modelos basa-dos en analisis de los rendimientos de factores de riesgo, utilizar como unarestriccion adicional la matriz de covarianzas residual y su relacion con loscomponentes adicionales no explicados por los factores, que constituyen un el-emento de sub/sobrevaluacion de los activos (mispricing).

Algunos autores buscan identificar factores desde la matriz de covarianzasde los residuos usando analisis de factores o de componentes principales (Roll& Ross, 1980). Fama y French (1992), asignan por grupos los activos a partirde ciertas caracterısticas para encontrar diferencias entre los rendimientos delos grupos y, por tanto, tener un factor adicional. MacKinlay y Pastor (2000),establecen una liga explicita entre los rendimientos promedio y la matriz decovarianzas de los residuos para encontrar factores no observados a partir dela informacion de una muestra de activos. Guy Stevens (1998), incorpora, demanera explicita, los resultados de las regresiones en la inversa de la matrizde covarianzas. Es de resaltar la importancia que todos estos esfuerzos han

1 La busqueda de explicaciones de las aparentes violaciones de los modelos de equilibriose puede dividir en aquellas basadas en encontrar factores adicionales de riesgo y/o detectarproblemas con la identificacion del portafolio de mercado de aquellas que parten de que los

supuestos de racionalidad y existencia de mercados sin fricciones no se cumplen.


realizado para incorporar las matrices de covarianzas de los residuos a partirdel modelo de factores.

Este trabajo se basa en la aplicacion que hacen MacKinlay y Pastor de lametodologıa de portafolios ortogonales para encontrar un factor de riesgo noobservado que permita mejorar la explicacion y pronostico de los rendimientosesperados y la asignacion de activos en un portafolio optimo (tangencia).

2. Modelos de Factores y portafolios ortogonales

La metodologıa de “portafolios Ortogonales” aplicada por Roll (1980) estableceque, dado un ındice de mercado no eficiente en el sentido media-varianza,se puede encontrar el portafolio ortogonal zero-beta que considere la infor-macion de αj �= 0 (sub/sobrevaluacion). MacKinley y Pastor (2000) utilizanla metodologıa de Roll para obtener un factor de riesgo no observado y selec-cionar un portafolio que considere que la fuente de la ineficiencia es resultadode la omision de factores de riesgo. La informacion contenida en la matriz decovarianzas residual (Σ) resultante de la relacion lineal de los rendimientos yun ndice no eficiente es relacionada con el elemento de sub/sobrevaluacion (α)para encontrar una estructura exacta de determinacion de los rendimientos es-perados de los activos en base a un modelo lineal de factores de riesgo, dado unındice no eficiente y un conjunto de N−activos.

Si partimos de portafolios eficientes, el zero-beta de mınima varianza esunico para el ındice dado. Cuando el ındice no es eficiente, se tiene un vector(α) definido por

αj = E[Rj]− E[RZ] − βjE[Rm − RZ ] �= 0 (1)

donde Rj es el rendimiento del acivo j y Rz es el rendimiento del portafoliozero-beta. Este vector (α) puede interpretarse como la medida de ineficiencia oresultado de la omision de factores de riesgo. De esta manera, si el ındice es efi-ciente o incorporamos factores de riesgo no observados, no solo αj se desvanecepara todo j, sino que el precio del riesgo de cada activo sera equivalente al preciodel riesgo de cada factor por la cantidad de riesgo medido por sus sensibilidades(βj) respectivas.

La relacion riesgo-rendimiento propuesta en el modelo CAPM, muestraque en analisis de corte transversal los excesos de rendimiento esperados de losactivos financieros deben estar relacionados en forma lineal con las betas delmercado y donde el valor del intercepto sera igual a cero.

Se han realizado una gran cantidad de estudios empıricos presentando evi-dencia que contradice lo sugerido por el CAPM. Se busca rechazar estadıstica-mente la hipotesis de que el intercepto de la regresion de excesos de rendimientosobre el exceso de rendimiento del mercado es cero.

Entre muchas de las posibles explicaciones, el presente trabajo se basaen el analisis de factores de riesgo. Esta lınea de argumentacion consideramodelos multifactoriales de valuacion de activos construidos bajo los supuestosde racionalidad de los inversionistas y mercados de capital perfectos. Estosignifica, que las posibles desviaciones observadas desde el CAPM se deben tantoa factores de riesgo no observados o a una mala identificacion del portafolio demercado (Roll, 1977).


Como resume Roll (1977): a) La unica implicacion sujeta a prueba desde elCAPM es si el portafolio de mercado es eficiente en el sentido media-varianza, b)Si el portafolio de Mercado es eficiente entonces la relacion riesgo-rendimiento(SML) es lineal, c) dado que el portafolio de mercado no es observable, losvastos portafolio de mercado (ındices) ofrecen un numero infinito de portafolioseficientes ex post, y d) el uso de un Proxy de mercado crea dos problemas: 1)no representan al mercado, aun siendo eficientes y 2) aun si no fuera eficiente,el portafolio verdadero puede ser eficiente.

El hecho de que el intercepto se desvıe de cero ha llevado a considerarmodelos de valuacion multifactoriales como el APT y el modelo CAPM in-tertemporal.

Al introducir factores adicionales en forma de excesos de rendimiento enrelacion con los portafolios construidos se muestra que, efectivamente el in-tercepto se aproxima a cero, lo que sugiere que es precisamente la existenciade otros factores de riesgo no observados o considerados los que explican lasdesviaciones del CAPM.

Sin embargo, como senalan los autores, estos resultados deben interpre-tarse con cautela. Cuando se analizan datos ex post y se agrupan los activos,probablemente la desviacion del CAPM sea producida porque los activos tienenuna fuente comun de trmino de error, lo que sugiere que es estadısticamentesignificativa. Al introducir factores adicionales de riesgo que les son comunesresultaran, en este sentido, favorables para corregir dichas desviaciones2 .

Existe controversia sobre si las desviaciones del CAPM son o no debidas afactores de riesgo no considerados u observados ya que empıricamente es difıcildistinguir entre varias hipotesis, entre las que destacan:1) en un analisis ex post, siempre es posible encontrar factores de riesgo que

hagan que el intercepto sea cero;2) sin una teorıa especıfica de identificacion de los factores de riesgo, siempre

es posible explicar en un corte transversal los rendimientos esperados conmodelos multifactoriales.

En ausencia de teorıas alternativas especıficas que permitan distinguir entrelos diferentes modelos de valuacion de la relacion riesgo-rendimiento y la faltade disponibilidad de largas series de tiempo, es limitado lo que se pueda deciracerca de la relacion riesgo-rendimiento entre los activos financieros.

Este trabajo evalua desde una perspectiva diferente la utilidad de los mod-elos basados en factores. Se asume que los rendimientos de los activos tienenuna estructura de factores exacta, pero uno de los factores no es observado.

Bajo este supuesto, se desarrollan las implicaciones para la estimacion derendimientos esperados y la seleccion de portafolios. Cuando un factor de riesgoes omitido desde un modelo de valuacion, la resultante sub/sobrevaluacion estarelacionada con la matriz de covarianzas.

Se propone imponer una relacion entre los elementos de la sub/sobreva-luacion (α) y la matriz de covarianzas residual (Σ) como una restriccion paraestimar el componente que origina la sub/sobrevaluacion de los rendimientosesperados, ası como considerar esta informacion en la seleccion del portafolio.

Cuando un factor de riesgo es omitido (missing) desde un modelo de valu-acion, la resultante sub/sobre valuacion esta relacionada a la matriz de covar-

2 Data snooping


ianzas. En ausencia de tal relacion, los activos sub/sobrevaluados podrıan seragrupados para formar oportunidades de arbitraje asintoticas. La relacion en-tre sub/sobre valuacion y la matriz de covarianzas residual se impone comouna restriccion en la estimacion del componente de sub/sobrevaluacion delrendimiento esperado y en la seleccion del portafolio.

3. El modelo de valuacion lineal basado en factores de riesgoConsidere un modelo lineal de factores para los rendimientos de N activos. Seazt el vector de excesos de rendimientos de estos N activos en el periodo t, conuna media μ y una matriz de Covarianzas V. Para un conjunto de K factoresde riesgo, podemos expresar la relacion lineal entre los excesos de rendimientode los activos y los rendimientos de los factores de riesgo, como:

zt = α + BzKt + εt (2).

E[εt] = 0, E[εtε

Tt

]= Σ, cov[zKt + εt] = 0. (3)

B es la N × K matriz de sensibilidades al factor zKt, el cual es el K−vectorde rendimientos de factores de riesgo en el periodo t, α es el N−vector desub/sobrevaluacion y εt es el N−vector de errores. Asumimos que los rendi-mientos de los factores de riesgo no son combinaciones lineales de los N activos,ası que Σ es de rango completo.

Una relacion de valuacion exacta con K−factores implica que cada ele-mento del vector (α) es igual a cero. Si la valuacion exacta no se mantienedebido a un factor no observado, entonces (α) no es cero y el factor no obser-vado esta contenido en la matriz de covarianzas residual (Σ). La relacion entre(α) y (Σ) puede ser desarrollada usando el “portafolio ortogonal optimo”.

Este es un portafolio unico construido desde una poblacion de activos elcual es optimo, puesto que puede ser combinado con los portafolios de los fac-tores para formar el portafolio tangencia y que satisfaga la condicion de serortogonal a los factores de riesgo considerados. El portafolio ortogonal es de-notado por h.

La utilidad del portafolio h viene del hecho que cuando es anadido al modelode factores (K) en la ecuacion (2), el intercepto (α) se desvanece y la matriz desensibilidades B no es alterada.

Las propiedades de optimalidad llevan a desvanecer el intercepto y lacondicion de ortogonalidad lleva a que B no cambie. Puesto que el elementode sub/sobrevaluacion se desvanece cuando h es anadido a los K−factores; hpuede ser pensado como un factor omitido en un modelo de valuacion lineal.Al adicionar el factor omitido,

zt = BzKt + βhzht + ut (4).

E[ut] = 0, E[utu

Tt

]= Φ. (5)

cov[zKt, ut] = 0, cov[zht, ut] = 0. (6)

E[zht] = μh, E[(zht − μh)2

]= σ2

h. (7)

βh es el N−vector de sensibilidades de los activos al factor omitido h y zht

denota el rendimiento del portafolio h en el tiempo t. La liga entre α y Σ resulta


de comparar las ecuaciones (2) y (4). Tomando las esperanzas no condicionalesen ambas ecuaciones,

α = βhμh (8)

y por igualar la varianza de εt con la varianza de βhzht + ut

Σ = βhβTh σ2

h + Φ

= ααT 1S2

h

+ Φ.

Donde Sh denota μh

σh, la razon de Sharpe del portafolio h. La ecuacion (9)

liga el modelo de sub/sobrevaluacion a a la matriz de covarianzas residual Σ.En general, si Σ no esta relacionada a α, existirıan oportunidades de arbitrajeasintoticas.

4. Los rendimientos esperados y la seleccion de portafolio

4.1 El caso de un factor de riesgoUn modelo estadıstico en el cual los rendimientos de los activos son generadospor un factor ha sido utilizado comunmente en finanzas desde la introducciondel modelo diagonal de Sharpe (1963) y su aplicacion por Treynor y Black(1973). Si asumimos que los rendimientos de los activos son generados por unmodelo de un solo factor de riesgo, pero el factor h se asume no observado, estemodelo corresponde al que se presenta en la ecuaciones (4)-(7) para K = 0:

zt = βhzKt + ut, (10)

E[ut] = 0, E[utuT

t

]= Φ, cov[zht, ut] = 0. (11)

Puesto que zht es no observado, el modelo usado en en el analisis corre-sponde al que se presenta en las ecuaciones (3) y (4) para K = 0

zt = α + εt, (12)

E[εt] = 0, E[εtε

Tt

]= Σ (13)

Siguiendo el argumento presentado en las ecuaciones (10)-(13) esto implica queΣ = ααT 1

S2h

+Φ. De esta manera la media α aparece en matriz de covarianzas delos rendimientos. Esta observacion es usada en la estimacion de los rendimientosesperados y en la seleccion del portafolio. Para obtener las ponderaciones delportafolio en la estructura media varianza con un activo libre de riesgo, elportafolio optimo de activos con riesgo, el “portafolio tangencia, es el portafoliocon el maximo cociente de Sharpe entre todos los portafolio de N activos.Sea xN∗ el N−vector de ponderaciones del portafolio tangencia. El resultadoestandar de las matematicas de media-varianza es que:

xN∗ =(1T V−1μ

)−1V−1μ. (14)


Como se muestra en las ecuaciones (11) y (12), en el modelo de factores noobservados, la media μ de los excesos de rendimientos de los activos z, es iguala α y la matriz de covarianzas V es igual Σ. Por lo tanto

xN∗ =(1T Σ−1α

)−1Σ−1α. (15)

En el caso de multiples factores, existe una relacion exacta un (K + 1) factorcon K factores observados.

4.2 Dos factores de riesgo y uno no observadoEn nuestro analisis se presenta el caso de dos factores (K = 1). Sea p el factorde riesgo observado, y zPt su rendimiento en el tiempo t. El modelo lineal dedos factores es:

zt = α + βzPt + εt. (16)

E[εt] = 0, E[εtε

Tt

]= Σ = ααT /S2

h + Φ. (17)

Recordando que el segundo factor puede ser pensando como el portafolio optimoortogonal h que desvanece α al adicionarlo al modelo.

El rendimiento esperado para los N activos es

μ = α + βμP . (18)

El rendimiento esperado tiene dos componentes, el vector de sub/sobrevaluacioncon respecto al modelo de K−factor, α, y el componente relacionado al factorobservado, βμP . Para la seleccion del portafolio debemos considerar lo sigu-iente: cuando el factor de riesgo observado (portafolio-factor) cae dentro delconjunto eficiente construido con los N activos, el proceso de liga de los α conΣ, puede realizarse mediante la ecuacion (16). De esta manera, estas pon-deraciones optimas nos permiten construir las ponderaciones xN∗ para estimardesde la matriz de covarianzas residual el factor no observado μh y βh. Tal quese satisfaga α = βhμh + μ.

En el caso de que el ındice utilizado como factor de riesgo se adicione paraformar el portafolio tangencia. El objetivo de la seleccion del portafolio de estesera conformado de N +1 activos. En este caso, el proceso de seleccion se puededescomponer en dos etapas, tal como lo han propuesto Treynor y Black (1973)y Gibbons, Ross y Shanken (1989), entre otros.

En la primera etapa, conformar el portafolio “activo” de N activos. En lasegunda etapa, este portafolio activo es combinado con el portafolio del factorde riesgo para formar el portafolio tangencia. Los autores modifican esta versionpara modificar la vision del portafolio activo como el portafolio ortogonal optimoen el universo de N + 1 activos. De esta manera, las ponderaciones en elportafolio activo dependeran del elemento de sub/sobrevaluacion y no de lamedia y varianza del factor de riesgo observado. La mezcla optima del portafolioactivo y el factor de riesgo dependeran de la media y la varianza del factor deriesgo o ındice seleccionado.

La solucion a este problema es xN+ vector N + 1 de ponderaciones delportafolio tangencia, donde los primeros N elementos representan las pondera-ciones de los N activos y el (N + 1)−esimo elemento representa el peso del


factor de riesgo:

xN++ = c1

⎡⎣ Σ−1α

−βT Σ−1α +μP

σ2P

⎤⎦

Donde c1 es una constante normalizada tal que 1T xN+ = 1.

5. Analisis empırico

5.1 Seleccion de la muestra y periodos de estudioPara implementar el modelo lineal de factores cuando existen factores no ob-servados, se consideraron los excesos de rendimientos de una muestra de 25acciones del mercado de valores mexicano, ası como el exceso de rendimientodel IPC.

Se considero el periodo de analisis de enero de 2004 a julio de 2007, para loque se utilizaron observaciones diarias (ajustadas por derechos)3 . Para obtenerlos excesos de rendimiento se tomaron las tasas diarias de CETES del mercadosecundario de 28 dıas4 .

Se realiza una division en periodos anuales, utilizando ventanas con untrimestre de diferencia. De esta manera se conformaron 11 subperiodos y secomparan los resultados entre ellos y respecto al periodo total.

Figura 1La grafica muestra el IPC de enero de 2004 a julio de 2007. Las flechas

indican los subperiodos anuales seleccionados

Como se puede observar en la Figura 1, el periodo total muestra una ten-dencia a la alza combinando periodos de alto y bajo crecimiento. Resaltan las

3 Economatica4 Reuters


medias y desviaciones estandar de los subperiodos desde julio de 2005 a abrilde 2007 como de mayores rendimientos y volatilidad. El exceso de rendimientopromedio del ındice de mercado es 33.14%, con una desviacion estandar de18.47%.

5.2 Un factor no observadoEn la Tabla 1 se muestran los resultados del analisis de un factor no observado(K = 0), es decir, cuando hay un solo factor y no es observado. Se presentanlas ponderaciones de los activos de los portafolios tangencia para cada uno delos subperiodos y el periodo total.

Tabla 1

La tabla muestra las ponderaciones de los portafolios tangencia formadoscon los excesos de rendimiento de los 25 activos. Los altos rendimientos es-perados asumen un alto nivel de ventas en corto de algunos de los activos.Al observar el periodo completo, entre 5 activos se encuentra practicamente el100% de la inversion.

La relacion lineal entre los excesos de rendimiento y los portafolios tangen-cia en cada subperıodo es exacta. Este resultado implica que las αj son cero noexistiendo el elemento de sub/sobrevaluacion.

Aun cuando las betas obtenidas a partir de los portafolios tangencia sonbajas, la excepcion son los activos que mantienen ponderaciones positivas enpromedio en los diferentes subperiodos.

La Tabla 2 muestra las betas obtenidas y la Figura 2 muestra el ajustelineal entre los excesos de rendimiento y las betas obtenidas para el periodo


completo (esta situacion se repite en cada subperıodo).

Tabla 2

La tabla muestra las betas obtenidas a partir de los portafolios tangencia.Las betas cambian entre subperiodos para los activos. Este resultado implicaque la pendiente de la SML es cambiante. El resultado se puede observar en laTabla 1, donde se muestran los rendimiento de los portafolios tangencia.

5.3 Introduciendo al IPC como factor ObservadoComo se muestra en la Tabla 3, las betas calculadas a partir de los excesos derendimiento del IPC, muestran un patron relativamente mas estable entre lossubperiodos y respecto al periodo completo. Esto muestra que la COV (zi, zipc),es decir, la contribucion marginal del activo al riesgo de cada activo a la varianzade los excesos de rendimiento del IPC se mantiene en cada subperıodo.

Como se observa en los analisis de corte transversal no solo cambian larelacion del risk-Premium del ındice del mercado, sino que se observa el prob-lema de las alfas y la ordenada al origen diferentes de cero. Resultado quese describe en la primera parte del trabajo. El problema de disponibilidad dedatos historicos y muestras pequenas, repercute en el bajo nivel de significanciaestadıstica de las alfas estimadas. Sin embargo, como se aprecia en el calculode las alfas anualizadas, estas pueden representar rendimientos aun superioresa las tasas libres de riesgo de cada uno de los subperiodos.


Figura 2

La figura muestra el ajuste lineal entre los excesos de rendimiento de los activos y el

portafolio tangencia. El mismo ajuste se repite para cada subperiodo; el Risk-premium del

portafolio tangencia muestra una relacion exacta con los rendimientos promedio esperados.

Tabla 3

Esta tabla muestra los resultados de las betas estimadas respecto a los excesos de

rendimiento del IPC para cada subperıodo. A diferencia de las betas estimadas cuando

solo hay un factor no observado en la Tabla 2.

La pendiente de las SML estimada en el analisis de corte transversal difierede la μipc calculada en cada uno de los subperiodos, mientras que las ordenadasal origen tienden a ser diferentes de cero.


Las figuras 3 y 4 muestran el analisis de corte transversal para cada uno delos subperiodos y el periodo completo. Para cada subperıodo la relacion linealentre los excesos de rendimiento de los activos y las betas no se satisface demanera exacta.

Figura 3


Figura 4

Con base en estos resultados se estima el factor no observado h, ası comolas ponderaciones para la asignacion de este portafolio ortogonal. Este modelose presenta en las ecuaciones 16-17,

zt = α + βzpt + εt (16)

E[εt] = 0, E[εtεTt ] = Σ = ααT/S2

h + Φ (17)

Al tomar los valores esperados tenemos

μ = α + βμP (18)


Donde a partir de la relacion entre α y Σ se el factor no observado para cadasubperıodo tal que se satisface

α = βhμh + u (19)

La solucion a las ponderaciones del portafolio ortogonal que permite resolver laestimacion de βh y μh sigue siendo1:

xh∗ =(1T Σ−1α

)−1Σ−1α.

Con base en esta informacion se obtienen las βh asociadas a este factor de riesgono observado. La informacion contenida en la matriz de covarianzas residual esutilizada con las ponderaciones xh, de tal manera que

βh =Σxh

xTh Σxh

(20)

El factor de riesgo no observado ?h muestra que para el todo periodo implicaun exceso de rendimiento del 7.38%. El rendimiento esperado de un activo conbetas cercanas a uno implica que el exceso de rendimiento esperado del activopaga aproximadamente un 40%.

5.4 Analisis de corte transversal en el modelo de factoresLos resultados en corte transversal reflejan el ajuste de los rendimientos almodelo de factores de manera exacta.

zt = γ0 + γ1βh + γ2βIPC + ut (21)

El resultado obtenido para todos y cada uno de los subperiodos y el periodocompleto ajustan de manera exacta.

Al tomar el valor esperado obtenemos

μ = γ1βh + γ2βIPC . (22)

Como se observa en la Figura 5, la relacion entre los excesos de rendimiento delos activos y las betas de los factores de riesgo muestra una relacion multidi-mensional del riesgo.

1 Cuando el exceso de rendimiento del ındice se encuentre dentro del conjunto de oportu-

nidades de inversion de los N activos seleccionados.


Figura 5

La grafica muestra varias curvas de nivel. Para cada nivel de exceso de rendimiento

existen diferentes combinaciones de βh y βipc .

5.5 Asignacion de activos en el portafolioEn cuanto a la asignacion de activos en el portafolio tangencia, dada el modelode factores, cuando se utilizan las ponderaciones xh para formar el portafolioμ(xh) para cada subperıodo y el periodo completo, se puede observar que conmınimas diferencias en las desviaciones estandar, se incrementan los rendimien-tos esperados, por lo que el desempeno mejora ajustado por riesgo.

6. ConclusionesEl trabajo esta basado en la idea de que los rendimientos de los activos son de-terminados por factores de riegos. Aun cuando siempre es posible encontrar enanalisis de corte transversal los factores de riesgo que permitan una estructuraexacta, esto no significa que puedan determinarse facilmente desde un punto devista teorico.

Al tomar un conjunto de activos siempre es posible obtener un factor deriesgo no observado que permita construir una estructura exacta de factores enla determinacion de los excesos de rendimiento de los activos. Sin embargo, niel factor de riesgo ni las betas asociadas a l son constantes en el tiempo, lo quede alguna manera corrobora la dificultad de identificarlos aun para un conjuntode activos en diferentes periodos.

Utilizar muestras relativamente largas para la estimacion de esta estruc-tura de factores de riesgo ayudarıa a mejorar la significancia estadıstica de losparametros, asıcomo del elemento de sub/sobrevaluacion, mejorando la esti-macion del factor de riesgo no observado y por tanto, un mejor pronostico delos excesos de rendimiento de los activos.


La asignacion de activos para mejorar la seleccion del portafolio, muestramejores resultados en rendimientos esperados dentro y fuera del periodo demuestra. Ademas, esto evita los altos rendimientos, resultado de un alto nivel deapalancamiento que se obtienen de la maximizacion de Sharpe sobre el conjuntode N activos seleccionados.

En este sentido cabe resaltar que la asignacion en el portafolio optimo,no solo considera el rendimiento y riesgo de los activos sino que considera elcomponente del rendimiento no relacionado con el factor de riesgo observado ylas covarianzas residuales generadas.

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Casar, J. I., G. Rodrıguez y J. Ros (1985). Ahorro y balanza de pagos: unanalisis de las restricciones al crecimiento economico de Mexico. EconomıaMexicana, num. 7, pp. 21-33.

Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). An Intertemporal GeneralEquilibrium Model of Asset Prices. Econometrica, 53(2), pp. 363-384.

Fuller, W. A. (1996). Introduction to Statistical Time Series. 2nd ed., JohnWiley, New York.

Granger, C. W. (1980). Long Memory Relationships and the Aggregation ofDynamics Models. Journal of Econometrics, 14(1), pp. 227-238.

The Trouble with Rational Expectations and the Problem of InflationStabilization, en R. Fredman y E. S. Phelps (comps.).

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Casar, J. I., G. Rodrıguez y J. Ros (1985). Ahorro y balanza de pagos: unanalisis de las restricciones al crecimiento economico de Mexico. EconomıaMexicana, num. 7, pp. 21-33.

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The Trouble with Rational Expectations and the Problem of InflationStabilization, en R. Fredman y E. S. Phelps (comps.).

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