ResumenMatemticaparadecisionesempresarias

UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN Y TEORÍA MATEMÁTICA DEL INTERÉS

OPERACIONES FINANCIERAS

Definición: se denomina operación financiera a toda acción que produzca, por desplazamiento en el tiempo, una variación cuantitativa del capital. Se dice entonces que dicho capital está sometido a un régimen financiero, constituyendo el estudio de sus leyes y la valuación de sus efectos cuantitativos, el objeto del cálculo financiero. Clasificación: las operaciones financieras se pueden clasificar según: Duración: se podrán clasificar por su duración, según sea inferior o superior a un año, se denominará de corto o largo plazo. De término cierto o actuarial: se distinguirán las operaciones financieras a término cierto, cuya realización está sujeta al transcurso del tiempo, de la actuarial (o contingente), cuya verificación posterior está supeditada a que se realicen determinados hechos dependientes del azar. Un ejemplo de término cierto estaría dado por los plazos fijos, y un ejemplo de la actuarial estaría dado por el momento de la muerte de un contratante de un seguro de vida. Según la variación cuantitativa del capital: se trata de una operación financiera simple si lo que deseamos determinar es la variación cuantitativa del capital, y será compleja si el objeto de estudio es la transformación de una sucesión de capitales de otro u otros, por desplazamiento en el tiempo, de sus elementos.

En otras palabras, se hablará de una operación financiera simple si la variación cuantitativa tiene que ver con un capital. Y se llamará operación financiera compleja a aquella que a lo largo del tiempo va a medir la variación cuantitativa de una sucesión de valores. Capitalización: todo capital sometido a un régimen de capitalización sufre una variación de su valor con el transcurso del tiempo; por lo tanto, el capital debe ser considerado como una función del tiempo f(n), función que constituye la ley de variación del valor del capital. Principio de equivalencia financiera: para que puedan realizarse operaciones de tipo complejas, el capital o los capitales que se sustituyan deben tener el mismo valor que su transformado o transformando. No se puede hablar de una operación financiera sin definir una ley financiera y un punto de referencia. De esta manera, establecido un punto de referencia P y una ley financiera aplicable, los capitales que se transforman tienen que tener un valor equivalente.

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Matemática para decisiones empresarias 2

)1(CM ni

Suponiendo que una operación se inicia con un capital C1 en el momento n1, la

función f(n1) expresa el valor del capital inicial. El valor de este capital en un momento P representa el incremento sufrido por el transcurso del tiempo. Así, en C’1 la ley financiera que se aplica es la ley de capitalización. La variación que existe desde C1 a C’1 corresponde a la tasa de interés.

Suponiendo ahora que se quiere saber cuál es el valor de un capital C2 en un momento P. La función f(n2) representa la actualización de dicho capital. Así, en C’2 la ley financiera que se aplica es la ley de actualización. La variación que existe desde C2 a C’2 corresponde al descuento.

RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE

Operaciones financieras simples: son operaciones financieras en las que los intereses producidos al término de cada período de capitalización se retiran, quedando de esa forma el capital inicial constante hasta la fecha en que haya sido convenido su reembolso. El interés que produce el capital es directamente proporcional al tiempo al cual estuvo expuesto y al capital que le dio origen a los intereses. Notación: i = tasa de interés expresada en tanto por uno. C = capital original. I = intereses del período de duración. n = plazo de la operación. M = monto.

Para un capital de C pesos, el valor I del interés estará dado por:

I (0,n) = C · i · n (1)

el monto o capital final a interés simple está dado por:

M = C + I (2)

reemplazando (1) en (2) tenemos:

M = C + C · i · n

(3)



Marcha progresiva del interés simple: Símbolos utilizados: C: capital inicial. n: período de capitalización (año). i: tasa anual de interés. C(0,n) = C(n): monto final. I(p-1,p): interés del período p. I(0,n): interés acumulado de cero a n. Período

p Capital inicial

C(p-1) Intereses periódicos

I(p-1,p) Monto C(p)

1

2

C

C

I(0,1) = C · i

I(1,2) = I(0,1) = C · i

C(1) = C + I(0,1) = C + C · i

= C (1 + i)

C(2) = C(1) + I(1,2) = C + I (0,2) = C + 2 C i = C(1 + 2 i)

p

C

I(p-1,p) = I(p-2,p-1)=…= I(0,1) = C · i

C(p) = C(p-1) + I(p-1,p) = C + I(0,p)

= C + pCi = C( 1 + pi)

n

C

I(n-1,n) = I(n-2,n-1)=…=

I(0,1) = C · i

C(n) = C(n-1) + I(n-1,n) = C + I(0,n)

= C + nCi = C(1 + ni)

Fórmulas derivadas:

De (1) y (3) podemos deducir las siguientes fórmulas:

I(0,n) niCni

ninC

1

)(

ninC

ninC

1

)(),0(

nininnC

1

),0()(

CnCnC

nnCnn

Cnni

)(

),0()(

),0(),0(

CiCnC

nnCin

Cinn

)(

),0()(

),0(),0(




Año civil y año comercial:

En la práctica, casi todos los problemas de interés simple implican alguna fracción de año, obligando a modificar las fórmulas anteriores, para expresarlas en meses o días.

Si la duración viene expresada en días la fórmula será:

3651)(

niCnC

Sin embargo, la práctica comercial supone el año dividido en doce meses de treinta

días cada uno, resultando entonces la fórmula del interés comercial:

3601)(

niCnC

Ley financiera del interés simple: la ley financiera del interés simple para un peso es:

ninf 1)(

Análisis y representación gráfica de la función f(n) = 1 + i · n:

Es una función lineal, creciente, de la forma: bxay

Tasa media a interés simple: es la tasa a la que debieran haberse colocado ciertos capitales para que al cabo del período produzcan un monto igual a la suma de los montos producidos por cada uno de ellos.

)1(...)1()1()1()1()...( 332211321 niCniCniCniCniCCCC ttt

n

t

n

tttt niCniC

1 1

)1()1(

n

t

n

t

n

t

n

tttttt niCCniCC

1 1 1 1

n

t

n

t

n

t

n

tttttt iCnCniCC

1 1 1 1



n

t

n

tttt iCiC

1 1

n

tt

n

ttt

C

iCi

1

1

La tasa madia sirve para poder determinar el rendimiento que se obtiene al colocar diferentes capitales a diferentes tasas. Tiempo necesario para que dos capitales distintos colocados a diferentes tasas produzcan igual monto:

)1()1( 2211 niCniC

nini

CC

1

2

2

1

1

1

Al capital mayor le tienen que corresponder los intereses menores, ya que de lo

contrario la igualdad no se cumple. Tiempo necesario para que un capital se convierta en múltiplo de sí mismo:

CKnC )( )1()( niCnC

igualando tenemos:

)1( niCCK

niK 1

iKn 1

RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN A INTERÉS COMPUESTO

Operaciones financieras compuestas: la ley de interés compuesto se verifica si al término del período al que se refiere la tasa, los intereses se adicionan al capital, es decir, que se capitalizan.

Es decir, que el capital tiene un crecimiento que es proporcional a su valor durante




el período anterior. La constante de proporcionalidad es la razón entre el valor de un período y el período anterior (1 + i). El resultado no es otra cosa que la progresión geométrica del tipo xaxf )( .

La capitalización del interés puede tener lugar en cualquier intervalo de tiempo. De acuerdo con el convenio que ha servido de base para el préstamo, si el interés vence al final de cada año y no es pagado en esta fecha, sino que se añade al capital, se dice que el interés se ha capitalizado anualmente. En este caso el período de capitalización es de un año. Si el interés se añade al capital cada seis meses, se dice que capitaliza semestralmente. Análogamente, el período puede ser trimestral, mensual o cualquier otro período. Marcha progresiva del interés compuesto: Período

p Capital inicial

C(p-1) Intereses periódicos

I(p-1,p) Monto C(p)

1

C(0) = C

I(0,1) = Ci C(1) = C + I(0,1) = C + C i = C(1+i)

2

C(1) = C(1+i)

I(1,2) = C(1)i = [C+I(0,1)]i =

C(1+i)i = I(0,1)+I(0,1)i = I(0,1) (1+i)

C(2) = C(1) + I(1,2) = C(1+i) + C(1+i) i = C(1+i) (1+i) =

C (1+i)2

p C(p-1) = C(1+i)p-1

I(p-1,p) = C(p-1)i =

[C+I(0,p-1)]i = C(1+i)p-1 i = I(0,1) (1+i)p-1 = I(p-2,p-1) +

I(p-2,p-1)i = I(p-2,p-1) (1+i)

C(p) = C(p-1) + I(p-1,p) = C(1+i)p-1 + C(1+i)p-1 i =

C(1+i)p-1 + (1+i) = C(1+i)p

n C(n-1) = C(1+i)n-1

I(n-1,n) = C(n-1)i =

[C+I(0,n-1)]i = C(1+i)n-1 i = I(0,1) (1+i)n-1 = I(n-2,n-1) +

I(n-2,n-1)i = I(n-2,n-1) (1+i)

C(n) = C(n-1) + I(n-1,n) = C(1+i)n-1 + C(1+i)n-1 i =

C(1+i)n-1 + (1+i) = C(1+i)n

1)1(1)1(

)1()1,0(),0(1

0

nn

ns

iCiiiC

in




n

nnn

nn

nnn

n

iinCvnCvnCnCCnCn

iCCiCCnCn

vnCinCinCC

iCnC

)1(

1)1()()1()()()()(),0(

1)1()1()(),0(

)()1()()1(

)(

)1()(

)(

),0(1

)(

),0()(

)(

),0(1

,0()()1(

nCn

nCnnC

nCCv

Cn

CnC

CnCi

n

n

1)( n

CnCi

Cálculo y fórmula del monto a interés compuesto: el cálculo del monto a interés compuesto exigiría al menos dos operaciones. La primera, implicaría multiplicar el capital original por el tipo de interés; y la segunda, añadir al capital el resultado así obtenido.

Pero, en lugar de realizar éstas operaciones por separado, pueden combinarse en una sola. Dado que el monto al comienzo del segundo período de capitalización es igual al capital al comienzo del primer período más el interés del primero sobre el mismo, se puede verificar la siguiente regla: para obtener el monto de cualquier cantidad, el interés durante un año, multiplíquese el capital por uno más el tanto por uno anual.

nn iCC )1(0

Notación: i = tasa de interés expresada en tanto por uno. C0 = capital original. n = plazo de la operación. Cn = capital transformado o monto compuesto. Significación del exponente: se observará que el exponente corresponde al número de años por los que se calcula el interés. El exponente representa la manera abreviada de indicar cuántas veces se ha de usar como factor un número determinado. Cuando no se contenga ningún exponente se sobrentenderá que le exponente es uno.




Factor de capitalización: la expresión (1 + i)n recibe el nombre de factor de capitalización o factor de acumulación, ya que el monto a interés compuesto indica la acumulación del interés. Cuando se multiplica el factor de capitalización por un capital cualquiera se obtiene el monto del capital acumulado a interés compuesto durante un tiempo especificado. Análisis y representación gráfica de la función f(n) = (1 + i)n:

La función monto compuesto es una función exponencial de la forma xay . Es una función creciente, cóncava y cuyo límite se alcanza cuando n tiende a .

Tiempo necesario para que un capital se convierta en múltiplo de sí mismo:

CKnC )( niCnC )1()(

niCCK )1(

simplificando C tenemos:

niK )1(

aplicando logaritmos:

)1log(log in

despejando:

)1log(

log

in

Tiempo que tardan los capitales distintos colocados a tasas diferentes en producir igual monto:



niCnC )1()(

niCnC )1()(

nn iCiC )1()1(

n

n

n

ii

ii

CC

1

1

)1(

)1(

aplicando logaritmos:

)1log()1log(loglog iinCC

)1log()1log(

loglog

iiCCn

Como n debe ser forzosamente positivo el numerador y el denominador deben tener

igual signo: Si CC debe ser ii Si CC debe ser ii Tasa media:

ntt

nnnnt iCiCiCiCiCCCC )1(...)1()1()1()1()... 332211321

n

t

n

t

ntt

nt iCiC

1 1

)1()1(

n

t

n

t

nttt

n iCCi1 1

)1()1(

n

tt

n

t

ntt

n

C

iCi

1

1

)1()1(

n

t

n

tt

ntt CiCin

1 1

log)1(log)1log(

n

CiCi

n

t

n

tt

ntt

1 1

log)1(log)1log(

1log)1(log

log 1 1

n

CiCantii

n

t

n

tt

ntt




TASAS DE INTERÉS

Definición: puede determinarse una tasa de interés cuando un agente económico cede a otro un capital “C0” durante un cierto tiempo “n” con la condición de reembolso de la suma “Cn”.

Existen cuatro razones que justifican la existencia de las tasas de interés:

Fisher Sacrificio del consumo actual: al desprenderse de recursos ahora, el individuo debe reducir su consumo presente. Si prefiere ese consumo inmediato, sólo aceptará la posposición si recibe por su espera una cantidad mayor a la otorgada. Costo de oportunidad: si el individuo tiene posibilidades de colocaciones de fondos a una cierta tasa i, sea esa la inversión en unidades monetarias o en unidades de producción, el individuo exigirá que se le devuelva por un monto mayor o igual a i. Riesgo: todo préstamo lleva implícito el riego de no pago. Ese riesgo sólo se va a aceptar si la persona recibe una cantidad suficiente. Inflación: ante la posibilidad de que exista erosión al poder de compra (inflación) el individuo intenta protegerse ante las posibles devaluaciones. Tasas nominal y efectiva de interés: el interés puede capitalizarse a intervalos distintos al año, tales como semestralmente, trimestralmente, el primer día de cada mes o a algún otro intervalo regular. Cualquiera que sea la frecuencia de este proceso de capitalización, el intervalo correspondiente recibe siempre el nombre de período de capitalización.

La frecuencia de capitalización es el número de veces que en el año los intereses se suman al capital, es decir, se capitalizan. El número máximo que podría tener es 365.

Las tasas proporcionales son aquellas que se obtienen dividiendo la tasa anual por la frecuencia de capitalización:

Tasa de interés proporcional al tiempo mi

Cuando el interés se capitaliza más de una vez por año, el tipo de interés anual

declarado recibe el nombre de tasa nominal. Ejemplo:

¿Qué monto se obtendrá al cabo de un año colocando $1 a una tasa nominal del 12% anual con capitalización semestral? C0 = $1. n = 1 año. i = 0,12. m = 2

06,12

12,011)1(11

iCn 1236,1

2

12,0106,1)1(06,12

iCn



Con una tasa subperiódica (6%), puedo obtener el mismo monto que con una tasa

periódica. En el ejemplo se observa que si se coloca un capital en una institución que paga un

interés del 12% nominal y que capitaliza semestralmente, los depositantes no reciben exactamente el 12%. En realidad, reciben un poco más del 12%, ya que cada saldo se aumenta algo cada semestre al abonarle el interés sobre el mismo. Equivalencia de factores de capitalización:

Tasa efectiva anual (TEA): .1236,0i

Tasa equivalente (subperiódica): 06,02

12,0mi semestral.

Tasa nominal anual (TNA): 12,0)( mj anual.

im es equivalente a i (tasa efectiva anual) y proporcional a una tasa j(m) que se denomina nominal (TNA).

TEA = T equivalente = TNA m

mm m

mjii

)(1)1()1(

22

2

12,01)06,01()1236,01(

Se observa entonces, que una tasa del 12% anual, produce el mismo resultado que

una tasa del 6% con capitalización semestral. Por consiguiente, el capital inicial de $1 ganó $0,1236 de interés en un año. La tasa nominal del 12% significó que en un año, el capital ganó la tasa efectiva del 0,1236. Por lo tanto, durante el año se ganó efectivamente la tasa de 12,36%, y ésta se conoce con el nombre de tasa efectiva anual. Estos números parten del ejemplo de más arriba… Definición de tasa efectiva anual (TEA): la tasa de interés efectiva anual puede definirse como aquella a la que efectivamente está colocado el capital debido a no ser anual el período de capitalización. El hecho de capitalizar el interés un determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Así, por ejemplo, a la tasa nominal del 12% capitalizando semestralmente, le corresponde, como se ha visto, una tasa efectiva del 12,36% con capitalización anual.




mm ii 1)1(1

)(1)1(1

mjmi m

Tasas nominal y efectiva equivalentes: las tasas nominal y efectivas son equivalentes cuando producen la misma cantidad de dinero al final del año.

Es evidente que, cuando la tasa nominal por año es j y se capitaliza m veces por año,

la tasa de interés por cada período es m1

de j, o sea mjj

m

1. Así,

mj

tasa de interés por

período de capitalización. Y, el monto de 1 por un año a la tasa j capitalizada m veces por

año es igual a m

mj

1 . Donde por definición, i, la tasa efectiva anual, es equivalente a j,

tasa nominal anual, cuando ambas tasas producen la misma cantidad de dinero en un año. Por lo que se concluye con la siguiente igualdad:

m

mmji

)(1)1(

Vale aclarar, que cuando se desea obtener una fórmula para el monto de $1 a interés

compuesto j, capitalizado m veces por año, la fórmula queda expresada como:

nm

n mmjC

)(1

Estudiando esta relación se está en condiciones de decir que la expresión (1 + i) es

simplemente un caso especial de m

mmj

)(1 en la que m es igual a 1.

EQUIVALENCIA DE TASAS DE INTERÉS

Dada i, hallar im y j(m):

mmii )1()1(

Tasa de interés equivalente subperiódica en función de la tasa de interés efectiva anual.

m

mmji

)(1)1(

Tasa de interés nominal anual en función de la tasa de interés efectiva anual. Dada im, hallar i y j(m):

)1()1( ii mm



ii mm 1)1(

mimj m )(

1)(

1

m

mmji

mmjim

)(

Tasa de interés efectiva anual en función de la tasa de interés equivalente subperiódica.

mm

m

immj

)1()(

1

1)1()(

mm

mimmj

mimj m 1)1()(

Tasa de interés nominal anual en función de la tasa de interés equivalente subperiódica. Dada j(m), hallar i e im:

m

mmji

)(1)1(

Tasa de interés efectiva anual en función de la tasa de interés nominal anual.

mm

m mmji

)(1)1(

1)(

1

mmjim

Tasa de interés equivalente subperiódica en función de la tasa de interés nominal anual.

RÉGIMEN DE ACTUALIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE

El valor actual y el monto pueden considerarse como puntos distintos sobre una recta o una curva. Por ejemplo, la longitud de una escalera es la misma tanto si se la cuenta de arriba a abajo como de abajo a arriba. El monto puede considerarse como la cima vista de abajo, y el valor actual como el fondo visto de arriba. Definición: el valor actual de una suma que vence en el futuro es aquel capital que a un tipo de interés dado y período de tiempo determinado ascenderá a la suma futura.

Se ha visto que disponiendo de un capital f(n0) en un momento n0, este capital,




niV

1

capitalizado durante n unidades de tiempo a una tasa i se convertirá en f(n). De esta manera, la disponibilidad del capital f(n) al momento n es equivalente a la disponibilidad del capital f(n0) al momento n0. Por lo tanto, se le puede atribuir un nombre especial a f(n0) en relación con f(n) que será valor actual.

Por todo lo expuesto, el valor actual de un capital f(n) disponible dentro de n unidades de tiempo, es un capital f(n0) el cual sujeto a un régimen de capitalización después de n unidades de tiempo dará un monto igual a f(n).

La diferencia entre f(n) � f(n0) considerada anteriormente como el aumento producido por los intereses, se interpreta ahora como la diferencia entre el capital disponible dentro de n unidades de tiempo y su valor actual.

Esta diferencia se denomina descuento y se define como la compensación o el precio que debe pagarse por la disponibilidad inmediata de un capital antes de su vencimiento dentro de n unidades de tiempo. Fórmula del valor actual: ya se ha mencionado que )1(0 niC . Si se conoce el

monto para un tiempo y tasa dados, el problema será entonces hallar el capital, que en realidad no es otra cosa que el valor actual del monto.

)1(0 niC

por lo que: Fórmula del valor actual del capital a interés simple.

En ella se observa que “V” es un símbolo que representa, bien el capital de una transacción de interés simple, bien el valor actual de un monto. Valor actual de una deuda que devenga interés: en todos aquellos casos en que se desea hallar el valor actual de una cantidad a pagar en el futuro, es necesario primero conocer el monto total de la cantidad a pagar. Cuando se desea hallar el valor actual de una deuda que no devenga interés, es evidente que el monto total a pagar es el valor nominal de la deuda. Si lo que se busca es el valor actual de una deuda que devenga interés, en ese caso el monto total a pagar es igual al valor nominal de la deuda más el interés acumulado.

Este tipo de interés puede ser igual o distinto del que devenga la deuda en sí misma. Cuando el tipo de interés fijado para obtener el valor actual es el mismo que el que devenga la deuda, es evidente que el valor actual será el valor nominal de la deuda en cuestión.

Cuando el tipo de interés señalado para obtener el valor actual es diferente del que devenga la deuda, es evidente que su valor actual será diferente del valor nominal de la deuda. En esos casos, el procedimiento a seguir consiste en efectuar dos operaciones separadas y distintas: Primero, hallar el monto; a través de la fórmula )1( ni .

Segundo, hallar el valor actual de esa cantidad. Clasificación: se pueden identificar tres operaciones de descuento:



DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO

La operación que consiste en hallar el valor de una cantidad a pagar en el futuro, tal como se acaba de exponer, se conoce técnicamente con el nombre de descuento. La diferencia entre la cantidad a pagar y su valor actual recibe el nombre de descuento racional o matemático. Definición: es el interés simple del valor actual.




Como ya se mencionó, a través de la fórmula )1(0 niC es posible conocer

cuál es el valor futuro de un capital, pero si se quiere conocer cuál es el capital original, es decir, el valor actual de ese monto, a una tasa de interés i y a un tiempo dado n, resulta:

Vni

1

V 1)1( ni

NV )1( ni

Notación: N = valor nominal, anteriormente referenciado como “monto”. V = valor actual, anteriormente referenciado como “C0”.

Entre el valor nominal y el valor actual existe una diferencia cuantitativa que se denomina descuento.

D V

Dni

1

Dnini

1

)1(

Dnini

1

Como ni

1

es igual a V:

DV ni

DESCUENTO COMERCIAL O BANCARIO

Definición: el descuento bancario es el interés pagado por adelantado. Son dos las razones por las que los prestamistas de dinero implantaron la costumbre de utilizar este descuento. Primero, porque resulta fácil de calcular, y segundo, porque este tipo de descuento les proporciona mayores ingresos, hecho que suelen desconocer los que toman prestado el dinero.

Este descuento se calcula sobre el valor nominal, y además, obtiene un beneficio adicional, ya que se calcula un interés sobre una cantidad superior a la que anticipa.

DN nd donde d es la tasa de descuento comercial.

La diferencia con la fórmula de descuento racional es que en la fórmula de descuento racional aparece V, mientras que en la comercial aparece N.

Por otro lado también se observa que: Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com). Please register to remove this message.


D V N D V V D V nd V Factor de actualización.

0)1( nd

01 nd

dn 1 Caso extremo donde el descuento comercial anularía al capital.

Comparación entre el descuento bancario y el descuento racional: el descuento bancario, a cualquier tipo de descuento, es siempre una cantidad mayor que el descuento racional al mismo tipo de interés. Es fácil, ver el por qué de esto: el descuento bancario se obtiene multiplicando el valor de la deuda por el tipo de descuento, mientras que el descuento racional se obtiene multiplicando el valor actual por el tipo de interés. El valor actual es siempre, claro está, menor que el valor nominal y que el monto nominal de la deuda. Un porcentaje dado de una cantidad es siempre mayor que el mismo porcentaje de una cantidad más pequeña. Duración del período de descuento: rara vez se calcula el descuento para un período mayor de un año y, en la gran mayoría de los casos, se calcula para alguna fracción de un año. ¿Pero qué sucede si el período es mayor de un año?. Es fácil de ver que si se usa el descuento bancario para un número de años suficientemente grande se obtienen resultados absurdos. Pues el valor líquido (valor nominal menos el descuento, esto es la cantidad de dinero que recibe efectivamente el prestatario) llegaría a ser negativo, lo que significa que el prestatario no recibiría nada y tendría que pagar al banco por el descuento. Como luego se verá, cuando el período abarcado por una transacción de descuento es mayor que un año, puede usarse el descuento compuesto para obtener resultados correctos.

RELACIONES ENTRE LAS TASAS i Y d

Un tipo de descuento y una tasa de interés con los cuales se obtienen resultados iguales, se dice que son equivalentes. Claro está que los tipos equivalentes nunca son iguales. El problema consiste en averiguar qué tipo de interés es equivalente a un tipo dado de descuento, o viceversa. Fórmula para la tasa de interés equivalente a un tipo de descuento dado: se busca una fórmula general que abarque todos los casos, por medio de la cual puede hallarse la tasa de interés equivalente a cualquier tipo dado de descuento. Y que también, permita obtener el tipo de descuento equivalente a una tasa dada de interés.

Tomando en cuenta la línea del tiempo, el capital se desplaza entre 0 y n.




1

1

1

1 nind

nind

1

1

1

1

1

1

1

1 nind

nind

11

1

nind

nd

1

ind

d

1

Ésta es la fórmula para una tasa de interés simple, i, equivalente a un tipo de

descuento simple dado, d. Esto es en términos de un período de capitalización o

actualización; lo que hace que la relación que se utilice habitualmente sea: id

d

1.

nind

1

11

ndni

1

11

ndni

ni

1

11

ndni

ni

1

dni

i

1

Ésta es la fórmula para calcular un tipo de descuento simple, d, equivalente a una

tasa dada de interés, i. Al tratarse de un solo período, la relación es: di

i

1.

Para determinar el costo de una operación financiera interesa la tasa i para comparar Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com). Please register to remove this message.


en el momento de la toma de decisión con otra tasa que determine el costo del financiamiento.

¿La tasa i debe ser mayor, menor, o igual a la tasa d?. La tasa i siempre es mayor que la tasa d.

RÉGIMEN DE ACTUALIZACIÓN A INTERÉS COMPUESTO

Definición: el valor actual a interés compuesto de un valor futuro conocido será aquel capital que al aplicarle el factor de capitalización a interés compuesto me devuelve la suma que se adeude.

Basándonos en la ley de interés compuesto podemos aplicar la ley de descuento conjugado del mismo y el factor de capitalización ni)1( se nos convierte en el factor de

descuento nn vi )1( que nos permite hallar el valor actual con sólo multiplicar al capital nominal, exigible en el futuro, por el mencionado factor de descuento, elevado al tiempo que falta hasta el vencimiento. Fórmula para el valor actual a interés compuesto: ya es sabido que la fórmula para calcular el monto a interés compuesto es:

nn iCC )1(0

Los problemas relativos al valor actual implican hallar el valor de C0 en la fórmula

dada arriba. Para darle una forma en la que C0 quede expresada directamente en función de Cn, n e i, se reemplaza y se obtiene:

nn

iCC

)1(0 ó n

n iCC )1(0

Ejemplo:

¿Cuál será el valor actual, según las diferentes fechas, de $1000, que vence el 01- 01-2004, siendo el tipo de interés del 6% anual?.

En el ejemplo se puede observar que cuando menos tiempo falta para el




vencimiento, mayor es el valor actual del monto que se adeuda, y, en la fecha del vencimiento de ésta, el valor actual se convertirá en la cantidad que se adeuda. Valor actual de la unidad de moneda: en la fórmula para calcular el valor actual a interés

compuesto, el dividir por ni)1( equivale a multiplicar por nn)1(

1

, esto es:

nn

iCC

)1(0

puede escribirse:

nn iCC

)1(

10

El símbolo vn: es evidente que la fracción nn)1(

1

es el valor actual de 1. Si la cantidad

que se debe es Cn = 1, no se utiliza como incógnita el símbolo C0, sino que en su lugar se emplea el símbolo vn, que representa el valor actual de $1 a pagar dentro de n años. O sea:

nn

n ii

v

)1()1(

1

Aplicándose también:

nn iCC )1(0

nn iCC )1(0 Factor de actualización a interés compuesto = vn.

nn vCC 0

V nv Notación: N = valor nominal futuro conocido. V = valor actual a descuento compuesto.

D V D nv D )1( nv

V nd )1(

D V



D nd )1(

D nd )1(1

nd )1( Factor de actualización del descuento compuesto. Tiempo necesario para que dos documentos distintos con distintos valores nominales descontados a diferentes tasas tengan el mismo valor actual: Con tasa i:

21

21 ii V1 V2

?n

nn ii )1()1( 2

2

1

1

n

n

ii

)1(

)1(

2

1

2

1

n

ii

2

1

2

1

1

1

)1log()1log(loglog 2121 iin

nii

)1log()1log(

loglog

21

21

Si 2121 ii

Si 1212 ii

Al capital mayor le corresponde la tasa de interés mayor.

Con tasa d:

nn dd )1()1( 21




n

n

dd

)1(

)1(

2

1

n

dd

)1(

)1(

2

1

)1log()1log(loglog 21 ddn

)1log()1log(

loglog 21

ddn

Si dd 21

Si dd 12 Comparación del interés simple y del compuesto para calcular el valor actual: ya se ha visto que el monto a interés compuesto es mayor que el monto a interés simple cuando se trata de más de un período de interés. En consecuencia, para obtener una cantidad determinada de dinero en el futuro hay que invertir actualmente una suma mayor a interés simple que a interés compuesto.

Por lo tanto, se puede decir, que para más de un período de interés a la misma tasa, el valor actual a interés compuesto es menor que el valor a interés simple.

Matemáticamente, para valores de n mayores de 1, se verifica que:

nii n 1)1( o sea, que nii n

1

1

)1(

1

TASAS DE DESCUENTO

Valor nominal de un pagaré: el valor nominal de un pagaré es el capital de la deuda. Si el pagaré no devenga interés, la cantidad a pagar al vencimiento es idéntica al valor nominal. Monto nominal de un pagaré: si se considera el caso en que el pagaré devenga interés, llamaremos monto nominal del pagaré a la suma del capital y el interés acumulado al vencimiento del documento. Tipo de descuento compuesto: el tipo de descuento compuesto es la razón del descuento correspondiente al último período al monto nominal de la deuda al vencimiento. Valor líquido: el valor líquido es el que el prestatario recibe después de haberse deducido el descuento compuesto del valor nominal del pagaré (si éste no devenga interés) o del monto nominal del pagaré (si éste devenga interés). Se llama también producto líquido. Descuento: es el pago hecho por adelantado por el uso de dinero o crédito. Descuento compuesto: el descuento compuesto es la diferencia entre el monto de una deuda a su vencimiento y el valor líquido cuando se descuenta la deuda a un tipo de descuento compuesto periódicamente. El descuento compuesto puede también definirse como interés compuesto a pagar por anticipado. Significado del descuento compuesto: se ha definido al descuento simple como el procedimiento para deducir interés por adelantado. El descuento compuesto es también



interés deducido por adelantado por el uso de dinero o crédito y la operación de hallar el descuento compuesto consiste, en esencia, en una serie de cálculos de descuento simple. Primero, se descuenta por el período final el monto nominal de la deuda. Después se descuenta el monto así obtenido (menor que el anterior) para el penúltimo período, y así sucesivamente para todos los períodos que comprenda el intervalo entre la fecha de descuento y la del vencimiento de la deuda. Ejemplo:

¿Cuál será el valor actual de la unidad de capital colocada al 12% anual de descuento con actualización semestral? N = 1 u.m. d = 0,12 anual. m = 2. n = 1 año. V = ?.

Valor actual del primer semestre: V 94,02

12,01 .

Valor actual del segundo semestre: V 8836,02

12,0194,0

.

Se observa que el descuento efectivo de la unidad de capital en la unidad de tiempo

no fue 0,12 sino 0,1164, surge de haber utilizado la tasa del 0,06 en el semestre. Es decir que ambas tasas son equivalentes, o sea que da lo mismo descontar

semestralmente al 6% que anualmente al 11,64%. Equivalencias de factores de actualización:

Tasa de descuento efectiva anual: d = 0,1164. Descuento equivalente o subperiódico: dm = 0,06. Tasa de descuento nominal anual: f(m) = 0,12.

mm

m mmfdd

)(1)1()1(




)()1(11

mfmd m

dd mm )1(1

)(mfmdm

Fórmula: el valor líquido al comienzo de cualquier período de descuento es igual al monto final de ese período menos el monto multiplicado por el tipo de descuento. La relación existente entre el producto líquido y el monto puede expresarse por medio de símbolos.

dCCC nn 0

n

n dCC )1(0

Que es la fórmula para calcular el valor actual de una deuda descontada anualmente

al tipo d por n años.

EQUIVALENCIA DE TASAS DE DESCUENTO

Dada d, hallar dm y f(m):

mmdd )1()1(

Tasa de descuento equivalente subperiódica en función de la tasa de descuento efectiva anual.

m

mmfd

)(1)1(

mmfd m )(

)1(11

Tasa de descuento nominal anual en función de la tasa de descuento efectiva anual. Dada dm, hallar d y f(m):

mmdd )1()1(

Tasa de descuento efectiva anual en función de la tasa de descuento equivalente subperiódica.

mm

m mmfd

)(1)1(

)()1(1 mfmdm

Tasa de descuento nominal anual en función de la tasa de descuento equivalente subperiódica. Dada f(m), hallar d y dm:

mm dd 1

)1(1



dmmf m

)(11

mdmmf

)(

m

mmfd

)(1)1(

Tasa de descuento efectiva anual en función de la tasa de descuento nominal anual.

mm

m mmfd

)(1)1(

m

mm

dmmf

)(11

Tasa de descuento equivalente subperiódica en función de la tasa de descuento nominal anual.

TASAS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES

Se ha visto que si se tiene $1 al principio de un período, al final del mismo tendremos 1 + i. Pero si en cambio deseamos obtener el valor actual de $1 en el futuro:

donde las relaciones fundamentales son:

di

i

1 i

dd

1

Definición: se puede definir la tasa de descuento d como lo que ese descuenta a la unidad a la unidad de capital en la unidad de tiempo, es decir, que se entrega (1 � d), que capitalizado a la tasa i debe reconstruir el peso.

1)1()1( id

1)1()1( idi

1)1(

)1()1(

iiii




vid

)1( idi

diiddiddidiviviidi

)11()1(

)1(

ddi

1

iid

1

1)1( 1 di

11 ii

Asimismo se puede verificar que:

La tasa de descuento es igual al valor actual de la tasa de interés.

La tasa de interés es igual al monto de la tasa de descuento.

La diferencia entre ambas tasas puede sintetizarse como el interés del descuento o el descuento del interés.

A veces es necesario saber qué tasa de interés compuesto corresponde a una tasa dada de descuento, o, recíprocamente, hallar la tasa de descuento compuesto que corresponde a otra dada de interés compuesto. Cuando una tasa de interés corresponde a una tasa de descuento, o viceversa, se dice que son equivalentes. Dos tasas de interés y descuento son equivalentes cuando producen el mismo resultado.

La relación existente entre una tasa de interés i y otra equivalente de descuento d, puede establecerse de la siguiente manera:

Por definición, una tasa de interés es la razón del pago a efectuar por el uso del dinero al dinero realmente recibido.

La unidad de tiempo es casi siempre el año. En una operación de descuento por un año, sobre $1, cuando la tasa de descuento es d, el pago a efectuar por el uso del dinero es d. El valor líquido del préstamo, 1 � d, es el dinero realmente recibido, de modo que el tipo de interés, i, es igual a la razón de d a (1 � d), esto es: Fórmula para hallar una tasa efectiva de interés, equivalente a otra dada de descuento compuesto.

Por definición, una tasa de descuento es la razón del pago por el uso del dinero al dinero devuelto al liquidar la operación.

Al liquidar el préstamo, hay que hacer un pago de 1 + i, de modo que la tasa de descuento, d, es igual a la razón de i a 1 + i, esto es: Fórmula para hallar una tasa efectiva de descuento equivalente a otra dada de interés compuesto.

EQUIVALENCIA ENTRE TASAS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO

Dada d, hallar i, im y j(m):

1)1()1( di Tasa de interés efectiva anual en función de la tasa de descuento efectiva anual.

1)1()1( di mm



1)1(1

mm di

mdmj m

1)1()(

1

1)1( mmdi

1)1( 1 mm di

mdmj m 1)1()( 1

1)(

1

m

mmfi

Tasa de interés equivalente subperiódica en función de la tasa de descuento efectiva anual.

1)1()(

1

d

mmj m

Tasa de interés nominal anual en función de la tasa de descuento efectiva anual. Dada dm, hallar i, im y j(m):

mmdi )1()1(

Tasa de interés efectiva anual en función de la tasa de descuento equivalente subperiódica.

mmm di )1()1(

Tasa de interés equivalente subperiódica en función de la tasa de descuento equivalente subperiódica.

mm

m

dmmj

)1(

)(1

Tasa de interés nominal anual en función de la tasa de descuento equivalente subperiódica. Dada f(m), hallar i, im y j(m):

m

mmfi

)(1)1(

Tasa de interés efectiva anual en función de la tasa de descuento nominal anual.

mm

m mmfi

)(1)1(




1)(

11

mmfim

mmmfmj

1)(

1)(1

1)1(1 id

mm id

1

)1(1

mimf m

1

)1(1)(

mmid )1(1

1)1(1 mm id

Tasa de interés equivalente subperiódica en función de la tasa de descuento nominal anual.

mm

mmf

mmj

)(1

)(1

Tasa de interés nominal anual en función de la tasa de descuento nominal anual. Dada i, hallar d, dm y f(m):

1)1()1( id Tasa de descuento efectiva anual en función de la tasa de interés efectiva anual.

1)1()1( id mm

Tasa de descuento equivalente subperiódica en función de la tasa de interés efectiva anual.

1)1()(

1

i

mmf m

Tasa de descuento nominal anual en función de la tasa de interés efectiva anual. Dada im, hallar d, dm y f(m):

mmid )1()1(

Tasa de descuento efectiva anual en función de la tasa de interés equivalente subperiódica.

mm

mm id )1()1(

Tasa de descuento equivalente subperiódica en función de la tasa de interés equivalente subperiódica.



mimf m 1)1(1)(

m

mmjd

)(11

1)(

11

mmjdm

mmmjmf

1)(

11)(

mm

m

immf

)1(

)(1

Tasa de descuento nominal anual en función de la tasa de interés equivalente subperiódica. Dada j(m), hallar d, dm y f(m):

m

mmjd

)(1)1(

Tasa de descuento efectiva anual en función de la tasa de interés nominal anual.

mm

m mmjd

)(1)1(

Tasa de descuento equivalente subperiódica en función de la tasa de interés nominal anual.

mm

mmj

mmf

)(1

)(1

Tasa de descuento nominal anual en función de la tasa de interés nominal anual.

CAPITALIZACIÓN CONTINUA

En la capitalización subperiódica, a medida que aumenta la frecuencia de las capitalizaciones aumenta el monto obtenido.

Si suponemos que entre dos capitalizaciones sucesivas existe un lapso infinitamente pequeño, ello implica que estamos tomando un valor de m muy grande, ya que a medida que aumenta m disminuye la diferencia de tiempo que hay entre dos capitalizaciones sucesivas.

Entonces, si m aumenta indefinidamente, la diferencia entre esas dos capitalizaciones sucesivas tiende a ser nula o, lo que es lo mismo, si m aumenta indefinidamente es porque estamos capitalizando intereses continuamente. De acuerdo con lo dicho, la capitalización continua es aquella en la cual la cantidad de subperíodos aumenta indefinidamente o sea, cuando m .




Si bien es cierto que a medida que aumenta la frecuencia de las capitalizaciones aumenta el monto obtenido, corresponde demostrar que, a pesar que m , el valor del monto no aumenta indefinidamente, sino que el mismo aumenta hasta un cierto límite. Para saber cuál es el límite de ese incremento del monto (cuando se capitaliza indefinidamente) procedemos así: teniendo:

nm

n miCC

10

si multiplicamos y dividimos el exponente por i:

inim

n miCC

10

dividiendo por i el numerador y el denominador de la fracción mi

resulta:

in

im

n

imii

CC

10

in

im

n

im

CC

1

10

o bien:

in

im

n

imCC

1

10 (1)

si observamos la expresión encerrada en el corchete vemos que la misma es un binomio

cuyo valor límite, para im

es el número e.

Por lo tanto, si en la expresión:



im

im

1

1

consideramos que m (esto es, que se capitaliza en forma continua) entonces, también

im

, con lo cual llegamos a la conclusión de que el mayor valor que dicha expresión

puede tomar es e. Por lo tanto:

e

im

im

im

11lim

dado que el valor del corchete es e cuando m tiende a infinito, en (1) nos queda:

inn eCC 0

expresión que indica el valor del monto con capitalización continua.

TASA INSTANTÁNEA DE INTERÉS

Según lo visto, si se capitaliza en forma continua con la tasa i, se obtiene un valor del monto que resulta mayor que cualquier otro valor que se obtiene al capitalizar subperiódicamente con tasa proporcional en las mismas condiciones. Entonces, también podemos afirmar que el monto con capitalización continua con la tasa i resulta mayor que el monto con tasa efectiva, ya que el monto con tasa efectiva es igual al monto con tasa proporcional, y éste era menor que el monto continuo.

Es decir, que siendo:

nmin

miCeC 100 m positivo

y dado que:

nnm

iCmiC )1(1 00

resulta:

nin iCeC )1(00




nn eCC 0

nn iCC )1(0

Si capitalizando en forma continua se desea obtener un monto igual al que se obtiene con la tasa efectiva, entonces debe tomarse una tasa de interés menor que i. Esa tasa es la llamada tasa instantánea de interés y se indica con la letra �.

Por lo tanto, se dice que la capitalización continua se hace con tasa instantánea cuando el monto que la misma produce es igual al monto que produce la tasa efectiva de interés (o la tasa nominal capitalizada proporcionalmente). Obtención de la tasa instantánea:

Teniendo:

Monto con tasa instantánea.

y Monto con tasa efectiva. es, por definición de monto con tasa instantánea:

nn iCeC )1(00

si C0 = $1 y n = 1 período, resulta:

ie 1

aplicando logaritmos, es:

)1log(log ie

ei

log

1)1log(

y como:

4343,0log e

será:

4343,0

1

log

1

e

o sea:

3026,2log

1

e



reemplazando este valor en (1) es:

3026,2)1log( i

ACTUALIZACIÓN CONTINUA Al tender a crecer la frecuencia de actualización (o lo que es lo mismo, que el

período de actualización tienda a cero), tenemos la actualización continua.

nn eCC

TASA APARENTE Y TASA REAL

Si existe pérdida en el poder adquisitivo de la moneda (inflación), los capitales

considerados en pesos corrientes, pasado cierto tiempo, no permiten adquirir la misma cantidad de bienes previstos oportunamente. Si al cálculo financiero le adosamos el análisis económico debemos tomar en cuenta la inflación y analizar qué sucede con un capital en función de los bienes que se pueden adquirir con él.

En una economía sujeta a inflación (o deflación), varían los conceptos enunciados sobre tasas de interés y surgen otros nuevos. Tasa de interés aparente (ia): es la tasa que representa el interés que ha producido la unidad capital en una unidad de tiempo. El capital sobre el que se aplica es nominal y no toma en cuenta la pérdida de valor de la moneda.

En una economía sin inflación se confundiría con la tasa efectiva.

Tasa de interés real (ir): se la define en términos de poder adquisitivo y refleja la mayor o menor cantidad de bienes que se poseen al final de la operación. Por lo tanto, puede ser positiva o negativa. Tasa de inflación (φ): se la define como el aumento producido, durante un período determinado en el nivel de los precios, o como un índice apropiado para medir la disminución del poder adquisitivo de la moneda en ese período.

De acuerdo con la definiciones anteriores, en cado de que la tasa aparente sea igual a la tasa de inflación, la tasa real será nula.

Recordando que un capital C en un período se convierte en pesos corrientes en C · (1 + ia) y en función de los bienes que pueden adquirirse con él, en C · (1 + �), en este supuesto, siendo ia = �, debe ser:




En el caso de que ello no ocurra y se pueda adquirir una mayor (o menor) cantidad

de bienes al fin del período, el cociente sería 1 y la fórmula (1) se transforma en:

de la cual se obtiene la fórmula de la tasa real:

RELACIONES ENTRE LOS FACTORES DE CAPITALIZACIÓN Y DE ACTUALIZACIÓN

Factores de capitalización:

mm

m

mm

m mmfdde

mmjii

)(1)1()1(

)(1)1()1( 1

Factores de actualización:

mm

m

mm

m mmfdde

mmjii

)(

1)1()1()(

1)1()1( 1



UNIDAD 2: VALUACIÓN DE SUCESIONES FINANCIERAS

RENTAS

Definición: en un sentido amplio, corresponde a un conjunto de prestaciones con vencimientos diversos, cada una de las cuales se denomina término de la renta.

En un sentido más restringido, las definimos como una sucesión de pagos con vencimientos en épocas equidistantes y fijas. De allí surge el concepto de período, como el intervalo de tiempo que media entre dos pagos consecutivos.

La palabra renta se utiliza para indicar el pago de una suma fija a intervalos regulares de tiempo, incluso para períodos inferiores a un año. Son ejemplos de rentas: los salarios, los sueldos, los fondos de amortización de depreciación, los fondos de fideicomiso, los pagos a plazo y todo el asunto de la amortización en general.

Asimismo cabe tener presente otros conceptos como:

Época de inicio (EI): momento en que se inician los pagos o se origina la renta. Época de valuación (EV): momento en el cual se calcula la renta. Ley financiera: hace referencia a la ley financiera adoptada para el cálculo de sus valores actuales y finales. Valor actual (VA): se refiere al momento inicial, siendo igual a la suma de los valores actuales de cada uno de los términos. Valor final (VF): se refiere al momento de su último pago, siendo igual a la suma de los valores finales de cada uno de sus términos.

Debe tenerse presente que si se utilizan leyes financieras de interés y descuento compuesto, dado el carácter de escindible y conjugados de las mismas, después de calcular el valor de una renta en un momento dado que se puede calcular en otro momento cualquiera, anterior o posterior, utilizando solamente el correspondiente factor de actualización o capitalización respectivo. Duración de la renta: es el número de términos (no siempre ello es igual a la diferencia entre el primer y el último vencimiento). Clasificación de las rentas: De acuerdo a la aleatoriedad de su duración: Rentas ciertas: su duración está prevista y depende sólo del transcurso del tiempo. Rentas inciertas (o contingentes): dentro del plazo de duración, para que se efectúe

el pago, debe verificarse un hecho aleatorio. De acuerdo al importe de los términos: Rentas constantes: cuando son iguales. Rentas variables: cuando se sujetan a una ley de variabilidad (progresión aritmética,

progresión geométrica, polinómica, etc.) o ninguna; pero no son iguales. Rentas unitarias: si el importe de cada término es igual a la unidad de capital.




De acuerdo con los períodos: Rentas discretas: si todos ellos son finitos. Rentas continuas: cuando el intervalo entre ellas es un infinitésimo y por lo tanto el

período tiende a cero. De acuerdo con la duración de los períodos: Rentas temporarias: si la duración es finita. Rentas perpetuas: si es infinito el número de términos. De acuerdo con la ley financiera: Rentas a interés simple. Rentas a interés compuesto. De acuerdo con el momento en que se hace cada pago: Rentas adelantadas: al principio del período. Rentas vencidas: al final del período. De acuerdo con la relación entre la frecuencia de los pagos y el período de las capitalizaciones: Rentas periódicas: hay coincidencia entre ellas. Son sincrónicas. Rentas fraccionadas (o subperiódicas): la frecuencia de los pagos y las

capitalizaciones no coinciden. Son asincrónicas. De acuerdo con la relación entre la época de origen y la época de valuación: Rentas inmediatas: cuando ambas coinciden. Rentas diferidas: cuando la valuación es anterior a la iniciación de los pagos. Rentas anticipadas: cuando la valuación es posterior a la iniciación de los pagos. Cálculo de una renta: el valor de una renta dependerá de si se calcula: Al terminar la serie de pagos. Al empezar la serie de pagos. En algún punto intermedio.

Cuando se calcula una renta a su terminación se obtiene el valor final de la misma. Cuando se valúa a su comienzo se obtiene su valor actual. Cuando se valúa una renta en algún punto intermedio se deben efectuar dos operaciones por lo menos. Primero, se halla el valor final de la parte vencida de la renta y después se le suma el valor actual de la parte no vencida de la misma.

Es evidente que el cálculo de una renta no sólo dependerá de la época en la que se calcula su valor, sino también depende del período, de la duración de la renta y de la tasa de interés usada para calcular el valor final o bien el valor actual.

En consecuencia, las cuatro variables que intervienen son la época de valuación, el Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com). Please register to remove this message.


período, la duración y la tasa de interés. Valor final de una renta: hallar el valor final de una renta significa determinar al comienzo de la misma, cuál será su valor en la fecha de expiración o finalización. El cálculo del valor final consiste en hallar los montos (o valores finales) de cada pago y luego sumarlos. Este procedimiento puede ser representado a través de la fórmula Sni. Valor actual de una renta: el valor actual de una renta significa determinar el valor de un cierto capital al comienzo del plazo que, a interés compuesto, montará en el tiempo dado a la suma a pagar. El cálculo del valor actual consiste en hallar los valores actuales de cada pago y luego sumarlos. Este procedimiento puede ser representado a través de la fórmula Vni.

VALOR FINAL DE UNA RENTA TEMPORARIA INMEDIATA DE PAGOS VENCIDOS

Eligiendo a n como el momento de valuación, la ecuación que represente el valor adquirido por una serie de pagos será:

1

0

4321 1)1(...)1()1()1()1()1(n

t

nnnnt iCiCiCiCiCiC

Cambiando el orden y considerando un capital de 1 unidad monetaria tenemos:

1

0

1432 )1(...)1()1()1()1(1)1(n

t

nt iiiiiiC

La suma de estos capitales finales de 1 unidad monetaria se designará por medio del

símbolo:




Que se lee como: el valor final de una renta de n cuotas vencidas, de 1 unidad

monetaria, capitalizando a la tasa i por período. La fórmula de este valor final, representada por el símbolo descrito, se obtendrá mediante el siguiente razonamiento:

1

0

1432 )1()1(...)1()1)1()1(1n

t

tnin iCiiiiis (1)

si se multiplican por (1 + i) ambos miembros se obtiene:

nnin iiiiiisi )1()1(...)1()1()1()1()1( 1432 (2)

restando miembro a miembro, es decir (1) (2):

ninin isis )1(1)1(

sacando factor común en el primer miembro:

nin iis )1(1)1(1

n

in iis )1(1)(

multiplicando por (1) en ambos miembros se obtiene:

1)1( nin iis

por último se despeja i, obteniéndose así la expresión buscada:

iis

n

in1)1(

Este procedimiento para la obtención de la fórmula del valor final puede analizarse

también de la siguiente manera: dado que:

1

0

1432 )1()1(...)1()1()1()1(1n

t

tnin iCiiiiis

es una progresión geométrica creciente de razón (1 + i), se puede aplicar la fórmula de las progresiones geométricas:

1

1

q

qaSn



donde: a = primer término; q = razón; S = Sni. Luego, reemplazando los valores se obtiene:

ii

iis

nn

in1)1(

1)1(

1)1(1

Ejemplo:

Si se deposita $1 en una institución que paga una tasa del 0,05 anual, durante 10 años; al final del período el valor final de esta renta será:

Como se mencionó anteriormente, el cálculo del valor final consiste en hallar los montos (o valores finales) de cada pago y luego sumarlos. A los efectos de simplificar este procedimiento se utiliza la fórmula:

58,1205,0

163,1

05,0

1)05,01(1)1( 10

iis

n

in

La aplicación de esta fórmula corresponde a cuotas de 1 unidad monetaria, entonces,

cuando las cuotas son de C unidades monetarias, el valor final correspondiente estará dado por:

inin sCS




VALOR FINAL DE UNA RENTA TEMPORARIA INMEDIATA DE PAGOS

ADELANTADOS

Eligiendo a n como el momento de valuación, la ecuación que represente el valor adquirido por una serie de pagos de n cuotas adelantadas de 1 unidad monetaria será:

nnn

t

t iiiiiiiC )1()1(...)1()1()1()1()1( 1

1

432

La suma de estos capitales finales se designará por medio del siguiente símbolo:

Que se lee como: valor final de una renta de n cuotas adelantadas, de 1 unidad monetaria, capitalizando a la tasa i por período. La fórmula de este valor final estará representada por:

n

t

tnin iCiiiiis

1

432 )1()1(...)1()1()1()1(

sacando factor común en el segundo miembro:

132 )1(...)1()1()1(1)1( nin iiiiis

si observamos que lo que se encuentra entre corchetes es Sni, se puede escribir:

inin sis )1(

También se puede hallar aplicando la fórmula de las progresiones geométricas:

1

1

q

qaSn



donde: a = primer término = (1 + i); q = (1 + i); S = ins . Luego, reemplazando los valores

se obtiene:

in

nn

in siiii

iiis

)1(1)1(

)1(1)1(

1)1()1(

La aplicación de esta fórmula corresponde a cuotas adelantadas de 1 unidad

monetaria, entonces, cuando las cuotas son de C unidades monetarias, el valor final correspondiente estará dado por:

inin sCS

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA TEMPORARIA INMEDIATA DE PAGOS VENCIDOS

Siendo:

EV = EI (época de valuación = época de inicio). v = (1 + i)-1 = valor actual de $1, pagadero dentro de 1 año. v2 = (1 + i)-2 = valor actual de $1, pagadero dentro de 2 años. v3 = (1 + i)-3 = valor actual de $1, pagadero dentro de 3 años. v4 = (1 + i)-4 = valor actual de $1, pagadero dentro de 4 años. vn-1 = (1 + i)-(n-1) = valor actual de $1, pagadero dentro de n-1 años. vn = (1 + i)-n = valor actual de $1, pagadero dentro de n años.

Ya se mencionó que el valor actual de una renta es igual a la suma de los valores actuales de sus términos, por lo cual se puede escribir:

n

t

nnt vvvvvv1

132 ...




Siendo ésta, la suma de una progresión geométrica decreciente, variable y de razón

v = (1 + i)-1. Esta suma estará dada por la siguiente fórmula (de las progresiones geométricas decrecientes):

qqaS

n

1

1

donde a = primer término = v; q = razón = v.

La suma de estos capitales de 1 unidad monetaria en el momento cero se designará por medio del siguiente símbolo:

Que se lee como: valor actual de una renta de n cuotas vencidas, de 1 unidad monetaria, capitalizando a la tasa i por período. La fórmula de este valor actual, representada por el símbolo descrito, se obtendrá reemplazando los valores de la ecuación:

vvva

n

in

1

1

recordando las relaciones que existen entre las tasas de interés y las tasas de descuento se puede identificar en la ecuación que (1 v) es igual a i · v:

iv

vivva

nn

in

11

reemplazando a v por su valor se obtiene:

ii

i

ii

iva

n

n

nn

in)1(

1)1(

)1(

11

1

n

n

in iiia

)1(

1)1(

Ejemplo:

Se quiere saber cuál será el valor actual de una renta de cuotas vencidas de $1, dada una tasa de interés del 0,05 anual, durante 10 años. En el momento cero el valor actual de la renta estará dado por:



Como se mencionó anteriormente, el cálculo del valor actual consiste en hallar el valor actual de cada pago y luego sumarlos. A los efectos de simplificar este procedimiento se utiliza la fórmula:

72,705,0

61,01

05,0

)05,01(1)1(1 10

iia

n

in

La aplicación de esta fórmula corresponde a cuotas vencidas de 1 unidad monetaria,

entonces, cuando las cuotas son de C unidades monetarias, el valor actual correspondiente estará dado por:

V n

nn

inin iiiC

ivCaC

)1(

1)1(1

Otra forma de poder hallar el valor actual de una renta de pagos vencidos en un

momento cero, es cuando se conoce el valor final de la misma. En otras palabras, cuando el valor final de la renta nos resulta conocido, sólo se necesita “traer” o descontar ese valor final:

iii

ii

is

isva n

nn

ninninn

in

)1(

1)1(1)1(

)1(

1

)1(

1

De esta manera, se puede verificar, recordando el ejemplo:

72,758,12)05,1(

1

)1(

110

inninn

in si

sva




VALOR ACTUAL DE UNA RENTA TEMPORARIA INMEDIATA DE PAGOS ADELANTADOS

Comparándola con el valor actual de una renta de pagos vencidos se observa que, como cada pago se satisface un período antes, su valor actual es el correspondiente a un período menos, y por lo tanto, el exponente v está disminuido en una unidad:

1

0

1232 ...1n

t

nnt vvvvvv

Esta ecuación continúa siendo la suma de una progresión geométrica decreciente,

variable y de razón v. Esta suma se hallará siguiendo los pasos anteriores, aplicando la fórmula de las progresiones decrecientes. Así el valor actual de las rentas de pagos adelantados se presenta:

qqaS

n

1

1

La suma de estos capitales de 1 unidad monetaria en el momento cero se designará

por medio del siguiente símbolo:

Que se lee como: valor actual de una renta de n cuotas adelantadas, de 1 unidad monetaria, capitalizando a la tasa i por período. La fórmula de este valor actual, representada por el símbolo descrito, se obtendrá remplazando los valores en la ecuación:

vva

n

in

1

11

pero como (1 v) es igual a )1( i

i

:



ivia

n

in

1

)1(

de esta manera, puede escribirse:

inin aia )1(

De donde se deduce que le valor actual de una renta de pagos adelantados es igual a

una renta de pagos vencidos capitalizada un período. Ya que la aplicación de esta fórmula corresponde a cuotas adelantadas de 1 unidad monetaria, para cuotas de C unidades monetarias el valor actual será:

Vi

iiCiviCaC

nn

inin

)1(1)1(

1)1(

ANÁLISIS DE LOS COMPONENTES DE LAS FÓRMULAS DE LAS RENTAS

Cálculo de la cuota:

inin s

SC

1

Ésta es la fórmula que da la cuota de una renta vencida por n años a una tasa

efectiva, i, cuando se conoce el monto de la renta.

Analizando el caso de una renta cuyo monto asciende a la unidad monetaria, se puede identificar que, si Sni = 1:

1)1(

1

n

in ii

sC

donde ins

1 recibe el nombre de factor del fondo de amortización.

Esta fórmula responde a la pregunta: ¿qué sume debe invertirse al final de cada año,

durante n años, para que al cabo de n períodos el total del monto sea 1?.

C Vin

in a

1




Ésta es la fórmula que permite obtener la cuota de una renta vencida de n años a una tasa efectiva de interés, i, cuando se conoce el valor actual de la renta.

Analizando el caso de una renta cuyo valor actual asciende a la unidad monetaria, se puede identificar que, si Vni = 1:

nn

n

in ii

iii

aC

)1(11)1(

)1(1

donde ina

1 recibe el nombre de factor de amortización.

Relación entre ambas fórmulas:

isa inin

11 i

sa inin

11

El símbolo ina

1 representa la renta cuyo valor actual es 1. El monto de

ina 1

será,

evidentemente, el monto compuesto de 1 a la tasa i por n años, o sea (1 + i)n. Por

consiguiente, ina

1 es la renta cuyo monto será (1 + i)n.

El monto de (1 + i)n se compone de dos elementos, a saber, el capital y el interés. Si

deducimos el capital del monto, se obtiene el interés compuesto correspondiente a toda la duración de la deuda.

Es evidente que cada pago de ina

1, es igual al pago correspondiente de una

anualidad cuyo monto es 1 (esto es ins

1) más i. En otros términos:

isa inin

11

Que es la fórmula que muestra la relación existente entre el factor de amortización y

el factor del fondo de amortización para cualquier número de años a un tipo cualquiera de interés, i. Otra relación:

ninin ias )1(

ninin isa )1(

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA TEMPORARIA DIFERIDA DE PAGOS

VENCIDOS



Una renta será diferida por “m” años cuando deban transcurrir “m” años antes del origen de la renta, es decir, la denominada época de iniciación de los pagos. El valor actual de esta renta diferida de pagos vencidos se determina de la siguiente manera:

nm

mt

nmnmmmmt vvvvvv1

1321 ...

sacando factor común y recordando que se trata de cuotas de una unidad monetaria:

nm

mt

nnmt vvvvvvv1

132 )...( (1)

La suma de estos capitales actuales diferidos de 1 unidad monetaria se designará por

medio del siguiente símbolo:

Que se lee como: valor actual de una renta de n cuotas vencidas, de 1 unidad monetaria, diferida m años, capitalizando a la tasa i por período, La fórmula de este valor actual diferido, se obtendrá mediante el siguiente razonamiento:

Observando la ecuación (1) se puede identificar que lo que se encuentra entre paréntesis es el valor actual de una renta de pagos vencidos (ani). Por lo que se puede escribir que:

inm

in avam




Para cuando las cuotas sean de C unidades monetarias:

m Vni min

m vaCv Vni

El monto de una renta diferida no se diferencia en nada del monto de una renta no

diferida que tenga las mismas características en cuanto a la tasa de interés, el plazo, el importe y la fecha de los pagos. Esto es evidente dado que, durante el intervalo de aplazamiento no se gana ningún interés, ya que no se hace ningún pago durante el mismo. Una vez que ha pasado el intervalo de aplazamiento, la renta no puede distinguirse de cualquier otra renta cuyo otro plazo ha empezado.

El valor actual de una renta vencida diferida es diferente del de una renta vencida no diferida que tenga las mismas características en cuanto a la tasa de interés, el plazo, el importe y la fecha de los pagos. Esta diferencia se debe al hecho de que el valor actual de la renta diferida es el valor de la renta calculado al comienzo del intervalo de aplazamiento, en tanto que el valor actual de una renta no diferida se calcula al comienzo del plazo de la misma.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA TEMPORARIA DIFERIDA DE PAGOS ADELANTADOS

En esta renta, como cada pago se satisface un período antes, el valor actual de esta renta diferida de pagos adelantados se determina de la siguiente manera:

1

1321 ...nm

mt

nmmmmmt vvvvvv

sacando factor común y recordando que se trata de cuotas de una unidad monetaria:

1

132 )...1(nm

mt

nmt vvvvvv (1)



La suma de estos capitales actuales diferidos de 1 unidad monetaria se designará por

medio del siguiente símbolo:

Que se lee como: valor actual de una renta de n cuotas adelantadas, de 1 unidad monetaria, diferida m años, capitalizando a la tasa i por período. La fórmula de este valor actual diferido, se obtendrá mediante el siguiente razonamiento:

Observando la ecuación (1) se puede identificar que lo que se encuentra entre paréntesis es el valor actual de una renta de pagos adelantados (ani). Por lo que se puede escribir que:

)1( iavam inm

in

Para cuando las cuotas sean de C unidades monetarias:

m Vni min

min

m viaCvaCv )1( Vni

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA DE PAGOS

VENCIDOS

/ m Vni mi)1( Vni inm aCi )1(




Ésta es la fórmula para hallar el valor actual de una renta de n cuotas vencidas, de C unidades monetarias, anticipada en m años, capitalizando a la tasa i por período.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA DE PAGOS ADELANTADOS

/ m Vni mi)1( Vni inm aCi )1(

Ésta es la fórmula para hallar el valor actual de una renta de n cuotas adelantadas, de

C unidades monetarias, anticipada en m años, capitalizando a la tasa i por período.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA INMEDIATA DE PAGOS VENCIDOS

Definición: una renta perpetua es aquella cuyo plazo no tiene fin. Puesto que los pagos de este tipo de renta han de continuar para siempre, es imposible calcular el valor final de los mismos. No obstante, el valor actual de una renta perpetua tiene un significado muy preciso y puede expresarse por medio de fórmulas.

1

1132 ......t

nnnt vvvvvvv



Siendo ésta, la suma de una progresión geométrica decreciente de infinitos números

de términos. Esta suma estará dada por la siguiente fórmula:

qaS

1

donde: a = primer término = v; q = razón = v.


Que se lee como: valor actual de una renta perpetua de cuotas vencidas, de 1 unidad monetaria, capitalizando a la tasa i por período. La fórmula de este valor actual, representada por el símbolo descrito, se obtendrá reemplazando los valores en la ecuación:

iviv

vva i

1

1

Haciendo un razonamiento financiero se nota que pagando hoy i1

se adquiere el

derecho a retirar 11

ii

a perpetuidad.

Si la renta fuera de $C, se obtendría:

ViC

iCaC ii

1

Que es la fórmula del valor actual de una renta perpetua de cuotas vencidas, de $C,

capitalizando a la tasa i por período.




VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA INMEDIATA DE PAGOS ADELANTADOS

1

1132 ......1t

nnnt vvvvvvv

Siendo ésta, la suma de una progresión geométrica decreciente de infinitos números

de términos. Ésta suma estará dada por la siguiente fórmula:

qaS

1

donde a = primer término = v; q = razón = v.


Que se lee como: valor actual de una renta perpetua de cuotas adelantadas, de 1 unidad monetaria, capitalizando a la tasa i por período. La fórmula de este valor actual, representada por el símbolo descrito, se obtendrá reemplazando los valores en la ecuación:

iii

vivqaa i

11

11

1

1

1

Otra manera para hallar la fórmula:

1

1132 ......1t

nnnt vvvvvvv

Si se observa detenidamente la sumatoria, se puede identificar que lo que se



encuentra a continuación de “1 + …” no es otra cosa que ia . Por lo tanto, se puede

expresar que:

iaa ii

111


V

i

CaC ii1

1

Que es la fórmula del valor actual de una renta perpetua de cuotas adelantadas, de

$C, capitalizando a la tasa i por período.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DIFERIDA DE PAGOS VENCIDOS

La suma de estos capitales actuales diferidos de 1 unidad monetaria se designará por medio del siguiente símbolo:

Que se lee como: valor actual de una renta perpetua de cuotas vencidas, de 1 unidad monetaria, diferida m años, capitalizando a la tasa i por período.

mi

mi iavam )1(

i1





m V m

i v Vi

CiaCv mi

mi

1)1(

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DIFERIDA DE PAGOS

ADELANTADOS

La suma de estos capitales actuales diferidos de 1 unidad monetaria se designará por medio del siguiente símbolo:

Que se lee como: valor actual de una renta perpetua de cuotas adelantadas, de 1 unidad monetaria, diferida m años, capitalizando a la tasa i por período.

iiavam m

im

i1

1)1(


m V m

i v V

iCiaCv m

im

i1

1)1(



VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA ANTICIPADA DE PAGOS VENCIDOS

La suma de estos capitales actuales anticipados de 1 unidad monetaria se designará

por medio del siguiente símbolo:

Que se lee como: valor actual de una renta perpetua de cuotas vencidas, de 1 unidad monetaria, anticipada m años, capitalizando a la tasa i por período.

m/ ia ii m 1)1(


m/ Vi

Ci mi

1)1(




VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA ANTICIPADA DE PAGOS ADELANTADOS

La suma de estos capitales actuales anticipados de 1 unidad monetaria se designará por medio del siguiente símbolo:

Que se lee como: valor actual de una renta perpetua de cuotas adelantadas, de 1 unidad monetaria, anticipada m años, capitalizando a la tasa i por período.

m/ ia ii m 1)1( 1


m/ Vi

Ci mi

1)1( 1



CUADRO RESUMEN DE RENTAS TEMPORARIAS Y PERPETUAS Rentas temporarias:

Pagos vencidos Pagos adelantados

Valor actual

n

nn

in iii

iva

)1(

1)1(1

)1( iaa inin

Inmediata

Valor final

iis

n

in1)1(

iiis

n

in1)1(

)1(

Diferida

Valor actual

minin iaam )1( 1)1( m

inin iaam

Anticipada

Valor actual

m/ minin iaa )1( m/ 1)1( m

inin iaa

Rentas perpetuas:


Inmediata

Valor actual

ia i

1 )1(

1 ii

a i

Diferida

Valor actual

m mi i

ia )1(

1 m 1)1(

1 m

i ii

a

Anticipada

Valor actual

m/ mi i

ia )1(

1 m/ 1)1(

1 m

i ii

a

Definición: las rentas variables son aquellas en las cuales la cuota de amortización C no es constante a lo largo del período de vigencia de la renta, sino que cada una varía respecto de la anterior de acuerdo a una cierta relación que puede mantenerse constante o no. En el primer caso, la variación (en términos absolutos o relativos) de una cuota respecto a su




precedente es la misma siempre, mientras que, en el segundo caso, no es posible determinar una cierta relación, porque la misma no se mantiene constante.

Lo anterior permite realizar la siguiente clasificación:

Rentas cuyas cuotas mantienen cierta relación constante: Rentas en progresión geométrica. Rentas en progresión aritmética.

Rentas cuyas cuotas no mantienen relación alguna.

RENTAS EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Definición: son aquellas en las cuales las cuotas de amortización de las mismas, si bien, varían respecto de las otras, son factibles de determinar debido a que guardan una cierta relación en términos relativos que se mantiene a lo largo del período de vigencia de la renta. Es decir, que esa relación está dada por un porcentaje de aumento o disminución de una cuota respecto de la anterior.

De esta manera, se intenta establecer de antemano que cada cuota variaría respecto de su precedente en un porcentaje fijo, de manera tal que siempre que se multiplique la cuota por una razón “q” (que incluye esa cuota el porcentaje de variación) se obtendrá la cuota posterior. Dicho de otra forma:

pp CqC 1 donde q = 1 tanto por uno de variación.

La razón q puede ser creciente o decreciente. Será creciente cuando sea mayor que

uno (q > 1) ya que por lo expresado anteriormente Cp deberá ser mayor que Cp-1. En este caso q = 1 + tanto por uno de aumento. Será decreciente cuando sea menor que uno (q < 1) ya que Cp deberá ser menor que Cp-1. En este caso q = 1 tanto por uno de disminución.

Por ejemplo: si la razón es creciente en un 5% entonces q = 1,05; si la razón es decreciente en un 3% entonces q = 0,97. Carácter de la renta en valores corrientes: en este caso, si la razón de la progresión es creciente (o decreciente) entonces la renta será creciente (o decreciente) respectivamente. Ejemplo: q = 1,10; C = 100 y n = 5.

00,1001 qCC .

00,11012 qCC .

00,12123 qCC .

10,13334 qCC .

40,14645 qCC .

Carácter de la renta en valores constantes actuales: en este caso, los valores de cada cuota deben actualizarse para homogeneizarse y poder compararlos. Por esa razón, ahora es posible decir que si la razón de la progresión es creciente, ello no significa necesariamente que la renta sea creciente. Esto es así, ya que la razón actualizada al multiplicar una cuota deberá lograr una cuota posterior mayor valuada al momento cero. Por lo tanto, deberá



cumplirse además que 1 vq . Por el contrario, si 1 vq entonces la renta es decreciente, y si 1 vq entonces la renta es constante. Caso 1: q = 1,10; C = 100; n = 5 e i = 0,15.

15,1

1v

En este ejemplo q · v = 1,10 · 1,15-1 = 0,96. En este caso, por definición, la renta es

decreciente en valores constantes actuales, y esto se comprueba observando la escala del gráfico precedente.

Si bien, q > 1 la renta es decreciente porque no cumple que q · v = 1.

Caso 2: q = 1,10; C = 100; n = 5 e i = 0,05.

05,1

1v

En este supuesto q · v = 1,10 · 1,05-1 = 1,05, entonces, por definición, la renta es creciente, afirmación que es posible verificar en la escala del gráfico precedente.

En este caso, además de cumplirse q > 1 se da que q · v > 1, por lo tanto, la renta es creciente.




Caso 3: q = 1,10; C = 100; n = 5 e i = 0,10.

10,1

1v

En este caso q · v = 1,10 · 1,10-1 = 1 y, por definición, la renta es constante,

pudiéndose verificar en la escala del gráfico precedente. En este caso, si bien q > 1 la renta es constante porque no se cumple que q · v > 1. Volviendo a la relación entre las cuotas de una renta en progresión geométrica, cabe

realizar la siguiente aclaración:

Si bien ese porcentaje de aumento (o disminución) en el tiempo durante todo el período de vigencia de la renta, esto originará aumentos (o disminuciones) en términos absolutos cada vez mayores (o menores) respectivamente, a medida que nos movemos desde el momento “0” hasta el momento “n”, debido a que la razón “q” multiplicará valores cada vez mayores (o menores) respectivamente de las cuotas.

En el único caso en que esto no ocurre es cuando q = 1, ya que no existe variación en términos relativos, pero, por lo tanto, tampoco en términos absolutos. Caso a: Renta creciente con q = 1,10 y C = 10. Caso b: Renta decreciente con q = 0,90 y C = 10.



Caso c: Renta constante con q = 1 y C = 10.

Ahora bien, con estas especificaciones es posible determinar cuál es el valor actual y final de una renta en progresión geométrica, ya sea creciente o decreciente. Para su determinación nos vamos a basar en la renta inmediata de pagos vencidos y, a partir de la misma, hallaremos el valor de las restantes (inmediata adelantada, diferida vencida y adelantada, anticipada vencida y adelantada y valor final vencido y adelantado) basándonos en los conceptos aprendidos de rentas.

Vni 34322 ... nn vqCvqCvqCvC nnnnnn vqCvqCvqC 11223

Vni )...( 1122334322 nnnnnnnn vqvqvqvqvqvqvC (1)

Lo que se expresa entre paréntesis en la fórmula anterior es la sumatoria de “n”

términos que siguen una progresión geométrica decreciente de razón “q · v” (vale decir, que para llegar a un determinado término debemos multiplicar al anterior por “q · v”).

La fórmula que permite calcular esa sumatoria es:

Por lo tanto, reemplazando en la fórmula:




Vni

vqvqvqvC

nn

1

1

(2)

vqii

qii

qvq

)1(

1

)1(

1

11)1(

Vni

])1[(

)(1

qivvqvC

n

Para todo q (1 + i). (3)

El problema se suscita cuando q = (1 + i), vale decir, cuando el factor de capitalización es igual a la razón; ya que si reemplazamos en la fórmula final C se originará un resultado indeterminado del tipo 0:0.

En este caso, tenemos que recalcular esa fórmula, teniendo en cuenta esta circunstancia. Para ello, partimos de la serie (1) y sacamos factor común al término “v”.

Vni ])()()()(...)(1[( 12342 nnnn vqvqvqvqvqvqvC

Pero como q · v es igual a 1 debido a que q = (1 + i) la sumatoria dentro del corchete es “n” veces 1 y, por lo tanto, es igual a “n”.

De esta forma se obtiene:

Cálculo de la razón de la progresión (q):

Partiendo del supuesto de que q · v = vº. De tal manera:

i

qi

vqv1º1

1º

)º1(

)1(

iiq

(5)

Ahora, si se reemplaza en la fórmula (2) se observa que:



º1

º

º1

1º1

º1

11)º1(

ii

ii

iv

Vni = C · v · a niº

Vni = C · v · ( º1 ina + 1)

Por lo tanto:

1V

º1

vCa in

in

A partir de esta fórmula hallamos el valor de iº, con lo cual se calcula la razón q

(razón de la progresión) de la fórmula (5). Cálculo de la primera cuota de servicio (C):

Partiendo de la fórmula (3) si q (1 + i):

nin

vqqiC

)(1

])1[(V

Partiendo de la fórmula (4) si q = (1 + i):

nvC in

V

Cálculo de las cuotas posteriores:

qCC 2

223 )( qCqqcqCC

1 p

p qCC

1 n

n qCC

Cálculo del número de cuotas o términos de la renta (n):

Partiendo de la fórmula (3) si q (1 + i):




Vni ])(1[])1[( nvqCqi

Cqivq inn ])1[(V

1)(

Cqi

vqn in ])1[(V1log)log(

)log(

])1[(V1log

vqC

qi

n

in

Cuadro de rentas temporarias en progresión geométrica:


Valor actual

qivqC

n

in

)1(

])(1[V )1(VV iinin

Inmediata

Valor final

ninin i)1(VS S )1( is inin

Diferida

Valor actual

minin im )1(VV 1)1(VV m

inin im

Anticipada

Valor actual

m/ minin i)1(VV m/ 1)1(VV m

inin i

Cuadro de rentas perpetuas en progresión geométrica:


Inmediata

Valor actual

qiCi 1

1V )1(VV iii

Diferida

Valor actual

mii im

)1(VV 1)1(VV m

ii im

Anticipada

Valor actual

m/ mii i)1(VV m/ 1)1(VV

mii i



RENTAS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Definición: son aquellas, al igual que las rentas en progresión geométrica, cuyas cuotas son posibles de determinar debido a que las mismas guardan una relación constante con otras que se mantienen a lo largo del período de vigencia de la renta; pero la diferencia en cuanto a las anteriores es que en este caso la relación se da en valores absolutos, no relativos. Vale decir, las variaciones se dan en cantidades fijas de aumentos o disminuciones de una cuota respecto a la anterior.

Es decir que cada cuota aumentará o disminuirá respecto de su precedente en una razón r que es una suma fija, de manera tal que siempre que se le sume a cada cuota esa razón r se obtendrá la cuota posterior.

Cabe aclarar, que el término r puede ser positivo (si la renta es creciente) o negativo (si la renta es decreciente). Esto es lógico ya que si la renta va creciendo Cp deberá ser mayor que Cp-1, y si va decreciendo, por el contrario, Cp deberá ser menor que Cp-1. Dicho en otros términos: Cp-1 + r = Cp Si la renta es creciente. Cp-1 + ( r) = Cp Cp-1 – r = Cp Si la renta es decreciente.

Por ejemplo: si la renta crece a razón de $500, entonces r = +500, y si la renta disminuye a razón de $100, entonces r = -100.

Cabe aclarar, aquí también, que si bien los valores absolutos de aumentos (o disminuciones) se mantienen a lo largo de toda la renta, esto originará disminuciones (o aumentos) respectivamente en los valores relativos (porcentajes), ya que a medida que la cuota crece (o decrece) la suma fija r representa cada vez porcentajes menores (o mayores) respectivamente sobre esa cuota. Caso a: Renta creciente con C = 10 y r = +1.

Caso b: Renta decreciente con C = 10 y r = -1.

Con lo antedicho, ahora es posible determinar el valor actual y final de este tipo de




renta, para lo cual nos basamos en el análisis de la renta inmediata de pagos vencidos, a partir de la cual se calculará el resto de las modalidades de rentas. Renta en progresión aritmética inmediata vencida:

...)3()2()(V 432 vrCvrCvrCvCin nn vrnCvrnC ])1([])2([ 1

C · v + C · v2 + C · v3 + C · v4 + … + C · vn-1 + C · vn = C · ani

r · v2 + r · v3 + r · v4 + … + r · vn-1 + r · vn = ina

r

1

1

+ r · v4 + … + r · vn-1 + r · vn = ina

r

2

2

r · vn-1 + r · vn = ia

nr

2

)2(

r · vn = ia

nr

1

)1(

C · v + (C + r) · v2

+ (C +2· · r) · v3

+ (C +3· · r) · v4

+ … + [C +(n – 2) ·r] · vn-1

+ [C +(n – 1) ·r]

· vn

Si se observa detenidamente este resultado se podrá identificar que es igual al

expresado en la serie (1). De tal manera, el valor actual de una renta en progresión aritmética inmediata será igual a la sumatoria de las rentas expresadas a la derecha del signo igual en la serie anterior. De tal forma:

iiinininin a

nranr

ar

araC

1221

12...

21V



inranr

irC inin

V

inranr

irC inin

V

nrira

inrC inin

1V

ivv

ivv

ivv

ivvraC nn

nn

inin11

...11

V 12

22

21

)...(V 122 nnnnnnnninin vvvvvvvvvv

iraC

)...(V 122 nnnninin vnvvvvv

iraC

)(V nininin vna

iraC

ivnra

iraC

n

ininin

V

ivnra

irC

n

inin

V

iva

n

in1

inn aiv 1

Ahora reemplazando lo antedicho en la expresión anterior:

iainr

airC in

inin)1(

V

ininin anrinra

irC

V

Renta variable en progresión aritmética creciente.

Renta variable en progresión aritmética decreciente.

Nota: la fórmula de la renta decreciente se obtiene reemplazando r por – r.

Cálculo de la primera cuota de servicio (C):

Partiendo de la fórmula (2): Cuota de amortización de la renta creciente.




nrira

inrC inin

1V

Ésta es la fórmula que permite calcular la primera cuota de amortización en una

renta en progresión aritmética creciente. Si la misma fuese decreciente se remplazará r por – r quedando:

Cuota de amortización de la renta decreciente. Cálculo de la razón de la progresión (r):

Partiendo de la fórmula (3):

inranra

iraC inininin

V

inan

ia

raC inin

ininV

inan

ia

aCrin

in

inin

V

Si el resultado de esta fórmula da un número positivo, ello significa que la renta

sigue una progresión creciente. Si por el contrario, el resultado fuese un número negativo, entonces la renta sigue una progresión decreciente.

CASOS PARTICULARES DE RENTAS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Increasing (crecimiento constante): es un caso particular de renta en progresión aritmética creciente, tal que la primera cuota de amortización (C) y la razón (r) son iguales a 1.

C = r = 1

De tal forma que: C = = 1. C2 = C + r = 2. C3 = C2 + r = 3.

= = Cn = Cn-1 + r = n.

Para el cálculo del valor actual de una renta de estas características, partiendo de la fórmula (2) y reemplazando en ella C = r = 1, se obtiene:



inan

i inin

11V

Es decir que esta expresión es el modo de calcular el valor actual de una renta de

crecimiento constante, siendo equivalente a la siguiente expresión:

nnin vnvnvvv 132 )1(...321V

Decreasing: este es un caso particular de renta en progresión aritmética decreciente, tal que la última cuota de amortización (Cn) y la razón (– r) son igual a 1.

Cn = – r = 1

De tal forma que: C = = n. C2 = C – r = n – 1. C3 = C2 – r = n – 2.

= = Cn = Cn-1 – r = 1.

Para el cálculo del valor actual de una renta de estas características, se actualizan cada una de las cuotas (según las particularidades anteriores) y se suman, obteniendo la siguiente expresión:

nnin vvvnvnvn 12...)2()1(VD 132 (4)

Ahora bien, no es posible reemplazar en la fórmula (2) porque no se conoce el valor

actual de C sino de Cn, por lo tanto, se utilizará el mismo análisis aplicado para el cálculo de una renta en progresión aritmética de tipo general:

v + v2 + v3 + … + vn-1 + vn = ani + v + v2 + v3 + … + vn-1 + = an-1i

+ v + v2 + v3 = a3i + v + v2 = a2i

+ v = a1i n · v + (n – 1) · v2 + (n – 2) · v3 + … + 2 · vn-1 + 1 · vn

Si se observa el resultado anterior se verá que es igual al expresado en la serie (4).

De tal manera, el valor actual de esta renta será igual a la sumatoria de las rentas expresadas a la derecha del signo igual en la serie anterior. De tal forma:




iiiinininin aaaaaa 12321 ...VD

iv

iv

iv

iv

iv

iv nnn

in

111

...111

VD2321

]111...111[1

VD 2321 vvvvvvi

nnnin

ordenando los términos dentro de los corchetes se tiene:

][1

VD inin ani

Cuadro de rentas temporarias en progresión aritmética (caso general y casos particulares de increasing y decreasing):




Valor actual

inrianr

irC nin

V

inan

i inin

11V

][1

VD inin ani

)1(VV iinin

)1(VV iinin

)1(VDVD iinin Inmediata

Valor final

n

inin i)1(VS

n

inin i)1(VS

n

inin i)1(VDSD

S )1( is inin

SI )1( is inin

SD )1(D is inin

Diferida

Valor actual

m

inin im )1(VV

m

inin im )1(VV

m

inin im )1(VDVD

1)1(VV minin im

1)1(VV m

inin im

1)1(VDVD m

inin im

Anticipada

Valor actual

m/ m

inin i)1(VV

m/ m

inin i)1(VV

m/ m

inin i)1(VDVD

m/ 1)1(VV minin i

m/ 1)1(VV m

inin i

m/ 1)1(VDVD m

inin i

Cuadro de rentas perpetuas en progresión aritmética:





Inmediata

Valor actual

iirCi

1V

)1(VV iii

Diferida

Valor actual

mii im

)1(VV 1)1(VV m

ii im

Anticipada

Valor actual

m/ mii i)1(VV m/ 1)1(VV

mii i

RENTAS CUYAS CUOTAS NO MANTIENEN RELACIÓN ALGUNA

En estos casos, como no es posible hallar una relación constante entre las cuotas de

la renta, porque ésta no existe, la única manera de hallar el valor actual de la misma es analizar cada cuota y sumar. Es decir:

nn

nnin vCvCvCvCvC

11

33

221 ...V

Siendo C1 C2 C3 … Cn-1 Cn, y no manteniendo ninguna relación

constante entre ellas.

Se denomina renta fraccionada, asincrónica o subperiódica, aquella en la cual el período de capitalización no coincide con el de pago.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA FRACCIONADA DE PAGOS VENCIDOS

Sea:

p = número de pagos en el año. m = número de capitalizaciones en el año. n = duración de la renta expresada en años. n · p = número total de pagos en “n” años.

p1

importe de cada pago fraccionado.

i = tasa de interés efectiva anual. j (m) = tasa de interés nominal cuando la capitalización se hace “m” veces al año.

m

mmji

)(1)1(



pm

mmj

p

)(1

1

m

m mmj

mmj

)(1

)(1

1

Valor actual de $1 en “n” años.

Valor actual de $p1

en

“n” años.

Valor actual de $p1

en

p1

fracción de año.

El corchete encierra la suma de los términos de una progresión geométrica

decreciente de razón pm

mmj

)(1 y de n · p términos.

Dividiendo numerador y denominador por pm

mmj

)(1 :




1)(

1

)(11

1)(

pm

nm

inm

mmj

mmj

pa

Ésta es la fórmula del valor actual de una renta vencida de $1 por año, pagaderos

“p” veces al año, durante “n” años a la tasa “j (m)” capitalizable “m” veces al año.

CÁLCULO DE LAS OTRAS MODALIDADES DE RENTAS FRACCIONADAS

Nota: para las rentas diferidas y anticipadas se usó la letra “h” para el plazo de aplazamiento o anticipación, ya que la letra “m” (usada anteriormente para estas rentas) se usa para la frecuencia de capitalización en este caso. Rentas fraccionadas temporarias:


Val

or a

ctua

l

1)(

1

)(11

1)(

pm

nm

inm

mmj

mmj

pa

inmp

m

inm a

mmja

)()( )(1

Inm

edia

ta

Val

or f

inal

1)(

1

1)(

1)(

pm

nm

inm

mmjp

mmj

s

inmp

m

inm s

mmjs

)()( )(1

Dif

erid

a

Val

or

actu

al

inm

mh

inm a

mmjah

)()( )(

1 inm

mh

inm a

mmjah

)()( )(

1

Ant

icip

ada

Val

or a

ctua

l

inm

mh

inm a

mmjah

)()( )(

1 / inm

mh

inm a

mmjah

)()( )(

1 /

Rentas fraccionadas perpetuas:




Inm

edia

ta

Val

or a

ctua

l

1)(

1

1)(

pmi

m

mmjp

a

imp

m

im a

mmja

)()( )(1

Dif

erid

a

Val

or a

ctua

l

im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1 im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1

Ant

icip

ada

Val

or a

ctua

l

im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1 / im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1 /

Rentas fraccionadas temporarias en progresión geométrica:


Val

or a

ctua

l

qmmj

mmjq

Capm

nmp

inm

)(1

)(11

)(

inmp

m

inm a

mmja

)()( )(1

Inm

edia

ta

Val

or f

inal

qmmj

qmmj

spm

npnm

inm

)(1

)(1

)(

inmp

m

inm s

mmjs

)()( )(1

Dif

erid

a

Val

or a

ctua

l

inm

mh

inm a

mmjah

)()( )(

1 inm

mh

inm a

mmjah

)()( )(

1

Ant

icip

ada

Val

or a

ctua

l

inm

mh

inm a

mmjah

)()( )(

1 / inm

mh

inm a

mmjah

)()( )(

1 /




Rentas fraccionadas perpetuas en progresión geométrica:

Pagos vencidos Pagos adelantados In

med

iata

Val

or a

ctua

l

qmmj

Capmi

m

)(

1

)(

imp

m

im a

mmja

)()( )(1

Dif

erid

a

Val

or a

ctua

l

im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1 im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1

Ant

icip

ada

Val

or a

ctua

l

im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1 / im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1 /

Rentas fraccionadas temporarias en progresión aritmética:




Val

or a

ctua

l

rpn

mmj

rCpmin

m

1)(

1

V )(

1)(

1

)(

pmin

m

mmj

rpna

inmp

m

inm a

mmj

)()( )(1V

Inm

edia

ta

Val

or f

inal

1)(

1

S )(

pmin

m

mmj

rC

1)(

1

)(

pmin

m

mmj

rpns

inmp

m

inm

mmj

)()( S

)(1S

Dif

erid

a

Val

or a

ctua

l

inm

mh

inm a

mmjh

)()( )(

1V inm

mh

inm a

mmjh

)()( )(

1V

Ant

icip

ada

Val

or a

ctua

l

inm

mh

inm a

mmjh

)()( )(

1V / inm

mh

inm a

mmjh

)()( )(

1V /

Rentas fraccionadas perpetuas en progresión aritmética:




Pagos vencidos Pagos adelantados In

med

iata

Val

or a

ctua

l

1(

1

)(

pmi

m

mmj

rCa

1)(

1

1

pm

mmj

imp

m

im a

mmja

)()( )(1

Dif

erid

a

Val

or a

ctua

l

im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1 im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1

Ant

icip

ada

Val

or a

ctua

l

im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1 / im

mh

im a

mmjah

)()( )(

1 /

Cuando en una renta pagadera por fracciones de año, tanto los subperíodos de

capitalización como el número de pagos dentro del año, tienden a infinito, estamos en presencia de una renta continua, es decir, una renta de $1 anual, pagadera por fracciones infinitamente pequeñas de año, que es diferente de la renta de $1 pagadera por año y con capitalización continua. Valor actual de una renta continua inmediata:

in

n

in aii

iia

)1(1

Valor actual de una renta continua diferida:

Valor actual de una renta continua perpetua:

1

ia

Valor actual de una renta continua perpetua diferida:



Valor final de una renta continua:

in

n

in sii

iis

1)1(

Si bien estas rentas deben ser analizadas para períodos cortos, pueden hallarse los

casos generales analizados con interés compuesto, o sea: Valor final: se considera la ley de interés simple cuyo monto es 1 + i · n. Valor actual: en este caso puede usarse:

La ley conjugada ni 1

1 (descuento racional), o

La ley de descuento comercial (1 – d · n). En este caso, debe recordarse la limitación

cuando d

n 1 .

En lo que a los períodos se refiere, utilizaremos la letra n para diferenciarlos, aunque

pueden ser meses dadas las limitaciones señaladas.

VALOR FINAL DE UNA RENTA TEMPORARIA, INMEDIATA DE PAGOS VENCIDOS




El valor final será:

inniinins in ])1(...321[1]1[...])2(1[])1(1[*

Siendo el segundo término del segundo miembro una progresión aritmética de (n –

1) términos cuya suma:

naa n

2

S 1

reemplazando:

innns in

)1(

2

11*

innns in

2

)1(*

inns in 2

11*

La fórmula anterior está en función de la tasa periódica i. Si deseáramos trabajar con

la tasa anual, tendríamos:

im

nns in 2

11*

VALOR FINAL DE UNA RENTA TEMPORARIA, INMEDIATA DE PAGOS

ADELANTADOS

El valor final será:

inniininins in ]...321[)1(...])2(1[])1(1[]1[*

Siendo el segundo término del segundo miembro una progresión aritmética de n términos. Aplicando la fórmula de la suma tenemos:



innns in

2

1*

inns in 2

11*

Para trabajar con tasa anual tenemos:

im

nns in 2

11*

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA TEMPORARIA, INMEDIATA DE PAGOS

VENCIDOS, VALUADA CON DESCUENTO COMERCIAL

El valor actual de la renta será:

dnnndndndda in ])1(...321[]1[])1(1[...)21()1(*

Aplicando la fórmula de la suma, tenemos:

dnnna in

2

1*

dnna in 2

11*

O para el caso de tasa anual:




dm

nna in 2

11*

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA TEMPORARIA, INMEDIATA DE PAGOS

ADELANTADOS, VALUADA CON DESCUENTO COMERCIAL

El valor actual de la renta será:

dnndndda in ])1(...321[])1(1[...)21()1(1*

Aplicando la fórmula de la suma, tenemos:

dnnna in

)1(

2

11*

dnna in 2

11*

O para el caso de tasa anual:

dm

nna in 2

11*


VENCIDOS, VALUADA CON DESCUENTO COMERCIAL

nm

mtin dta

1

)1(*

Aplicando a los términos de la sumatoria la fórmula de la suma, tenemos:

ndnmdma in

2

])(1[])1(1[*

ndndmddma in

2

)11(*

nnmmda in

2

)1(2*



ndmna in

2

2)1(1*


ADELANTADOS, VALUADA CON DESCUENTO COMERCIAL

)1(*1

nm

mtin dta

Aplicando la fórmula de la suma a los términos de la sumatoria:

ndnmdma in

2

])1(1[]1[*

ndnddmdma in

2

11*

nnmmda in

2

)1(2*

ndmna in

2

2)1(1*

Cabe observar, que tanto en el caso de pagos vencidos como adelantados, si

hacemos m = 0 estamos ante el caso de las rentas inmediatas.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, INMEDIATA DE PAGOS VENCIDOS

n

ttin tdc

1

)1(*V donde ct = c + (t – 1) · r

n

tin tdrrtc )1()(*V

n

tin tdrrdrtrttdcc ][*V 2

n

tin dttrtdrtdc ])()1()1([*V 2




n

tin dttrtdrc ])()1()[(*V 2

n

t

n

t

n

tin dttrtdrc 2)1()(*V

dnnnnnrarc inin 6

)12()1(

2

)1(*)(*V

3

121

2

)1(*)(*V

ndnnrarc inin

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA,

INMEDIATA DE PAGOS ADELANTADOS

1

0

)1(*Vn

tin tdc siendo ct = c + t · r

1

0

)1()(*Vn

in tdrtc

1

0

2 ][*Vn

in drtrttdcc

1

0

])1()1([*Vn

in tdrttdc

1

0

1

0

1

0

2)1(*Vn n n

in tdtrtdc

6

)12()1(

2

)1(**V

nnndnnrac inin

3

121

2

)1(**V

ndnnrac inin

VALOR FINAL DE UNA RENTA EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, INMEDIATA

DE PAGOS VENCIDOS



1

0

)1(*n

tin ticS siendo ct = c + (n – 1 – t) · r

1

0

)1(])1([*n

in tirtncS

1

0

])1()1()1()1([*n

in tirttirnticS

1

0

2 ])1()1()1([*n

in trirttirnticS

1

0

1

0

2 )(])1([)1(*n n

in titrrnctiS

1

0

1

0

1

0

2)1(])1([*n n n

in titrtirncS

6

)12()1(

2

)1(*])1([*

nnninnrsrncS inin

3

121

2

)1(*])1([*

ninnrsrncS inin

VALOR FINAL DE UNA RENTA EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, INMEDIATA

DE PAGOS ADELANTADOS

n

tin ticS1

)1(* donde ct = c + (n – t) · r

n

in tirtncS1

)1(])([*

n

in irtrttirnrnticS1

2 ])1([*

n

in titrtirnticS1

2 ])()1()1([*

n

in titrtirncS1

2 ])()1()[(*




2

1

)1(

1

11

1*V

qqq

qqnd

qqq

qc nnn

in

n n n

in titrtirncS1 1 1

2)1()(*

6

)12()1(

2

)1(*)(*

nnninnrsrncS inin

3

121

2

)1(*)(*

ninnrsrncS inin

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA,

INMEDIATA DE PAGOS VENCIDOS

n

tin tdc1

)1(*V donde ct = c · qt-1

n

tin tdqc

1

1 )1(*V

n

in tdcqq 1

)1(1

*V

n

tin tdq

qc

1

)1(*V

n ntt

in tqdqqc

1 1

*V

(1)

2)1(

1

11

1*V

qqq

qqnqd

qqq

qc nnn

in

(1) 2

1

1 )1(

1

1

qqq

qqntq

nnnt por ser el producto de una progresión

geométrica por una aritmética.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, INMEDIATA DE PAGOS ADELANTADOS



1

0

)1(*Vn

tin tdc donde ct = c · qt

1

0

)1(*Vn

tin tdqc

1

0

)1(*Vn

tin tdqc

1

0

1

0

*Vn n

ttin tqdqc

2

1

)1(

1

1)1(

1

1*V

qqq

qqnqd

qqq

qc nnn

in

VALOR FINAL DE UNA RENTA EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA,

INMEDIATA DE PAGOS VENCIDOS

1

0

)1(*n

tin ticS donde ct = c · qn-1-t

1

0

1 )1(*n

tnin tiqcS

1

0

1

0

11*n n

tntnin tqiqcS

1

0

)1(1

1*

nt

n

in tnqiq

qcS

1

0

1

0

)1(1

1*

n ntt

n

in tqqniq

qcS

2

1

)1(

1

1

)1(

1

1)1(

1

1*

qqq

qqn

qqnqi

qqq

qcS

nnnn

in




VALOR FINAL DE UNA RENTA EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, INMEDIATA DE PAGOS ADELANTADOS

n

tin ticS1

)1(* donde ct = c · qn-t

n

tnin tiqcS

1

)1(*

n ntntn

in tqiqcS1 1

*

n

tn

in tnqiq

qcS1

1 )1(1

1*

n n

ttn

in tqqniq

qcS1 1

11)1(1

1*

n

tnn

in tqqq

qniq

qcS1

1

1

1)1(

1

1*

2

1

)1(

1

1

1

1

1)1(

1

1*

qqq

qqn

qqqni

qqcS

nnnn

in

2)1(

1

11

1)1(

1

1*

qq

qqn

qqnqi

qqq

qcS

nnnn

in



UNIDAD 3: REEMBOLSOS DE PRÉSTAMOS

FONDOS DE AMORTIZACIÓN

Definición: un fondo de amortización es la cantidad que se va acumulando mediante pagos periódicos que devengan interés y que se usa principalmente con el objeto de pagar una deuda a su vencimiento o de hacer frente a otra clase de compromisos futuros. Por ejemplo: se crean fondos de amortización para cancelar una hipoteca, para remplazar activos desgastados, etc.

Cuando las contribuciones al fondo de amortización se hacen a intervalos regulares y por idéntico importe, la serie de contribuciones constituye una renta cierta, así pues, un fondo de amortización es una de las muchas aplicaciones de las relaciones entre valor actual, el monto, el plazo y el tipo de interés, ya vistas. Inversiones del fondo de amortización: el dinero que se acumula en un fondo de amortización puede ser invertido en los mismos títulos para cuyo retiro se crea el fondo. En estos casos se considera que los valores se encuentran aun en circulación, cuando, en realidad, la deuda total se está reduciendo por fragmentos con cada adición al fondo de amortización.

AMORTIZACIÓN Definición: la amortización puede definirse como el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda (obligación) por medio de una serie de pagos periódicos al acreedor. Es decir, supone un programa de pagos o servicios periódicos, con el objeto de restituir el capital prestado y reconocer los intereses correspondientes. Cada pago incluye el interés sobre la deuda pendiente y un pago parcial sobre el capital de aquélla.

Si los pagos de la amortización son de igual importe forman una renta, cuyo valor actual es igual al valor actual de la deuda, esto es, el capital de la misma. La amortización es la aplicación del tema de las rentas. Diferencias entre fondos de amortización y la amortización propiamente dicha:

Fondo de amortización Amortización

El importe de los plazos sirve únicamente para el pago del capital.

El importe de los plazos son suficientes para pagar el capital y el interés sobre el

mismo. Los pagos periódicos que se invierten se

acumulan en un fondo hasta el vencimiento de la deuda.

Los pagos no se acumulan en un fondo sino que se entregan periódicamente al acreedor.

La deuda permanece constante hasta que se completa el fondo.

La deuda va siendo cada vez más pequeña con cada pago sucesivo.

No hace ninguna provisión para el pago de los intereses sobre la deuda.

Los intereses sobre el capital forman una parte de cada pago periódico.




inin aC V

1V inin aC

Se ha mencionado que amortizar una deuda es el proceso por el cual se la extingue, ya sea mediante un pago único o una sucesión de pagos en el tiempo. Pero para ello será necesario determinar: la tasa de interés, la forma del cálculo de las amortizaciones, la oportunidad de pago de las amortizaciones.

Dado que son varios los sistemas de amortización de préstamos se pueden distinguir entre los que utilizan como base: Intereses sobre saldos (sistema francés, sistema alemán, sistema americano, sistema

argentino z). Tasas directas (sistema argentino r ó s, sistema argentino t, sistema argentino u).

SISTEMA FRANCÉS

Denominación: sistema de amortización progresiva con interés sobre saldos. Definición: este sistema consiste en que el prestatario abona una cuota constante que es mayor que los intereses producidos por la suma adeudada en un período, existiendo un exceso destinado a amortizar el préstamo. A consecuencia, la deuda va disminuyendo y la suma dedicada a la amortización del préstamo va aumentando y la cuota de interés va disminuyendo, dado que ellos se calculan sobre saldos, condición que hace de éste, se lo llame un sistema normal.

Siendo la cuota total periódica constante, estos pagos constituyen una renta de pagos generalmente vencidos, cuyo valor actual ha de ser el valor del préstamo. Teniendo en cuenta las características anteriormente enunciadas es el sistema basado en la teoría general de rentas a interés compuesto y sigue todas sus relaciones. Características: Intereses sobre saldos adeudados. Abono periódico de intereses. Amortizaciones crecientes. Abono periódico de amortizaciones.

Fórmulas:

La deuda inicial se obtiene de la fórmula general de rentas:

Valor del préstamo al momento en que lo tomo. Valor actual de la cuota.



11 )1( p

p irr

La cuota de amortización es creciente, variable en progresión geométrica de razón igual a (1 + i). A través de ella se reconstruye el capital:

r1 < r2 < r3 < ... < rn

La amortización del primer año se puede obtener de dos formas:

11 Cr

iSCr 11

iCr in V1

ininSr V1

in

in

Sr

V

1

1

1 V inin Sr

in

in

SaCr

1

nvCr 1

Y, en general, es decir, para un período cualquiera, tenemos:

)1(12 irr

)1()1()1( 123 iirirr

Cuota de amortización.

)1(1 irr pp




Los intereses periódicos se calculan sobre el saldo de la deuda del período anterior,

por lo que serán decrecientes:

I1 > I2 > I3 > ... > In

iS ipp 1

pp rC

1

1 )1( pp irC

Los intereses del primer período se calculan sobre la deuda total:

iin V1

Los intereses del último período son:

)1( iCCp

Los intereses son variables y decrecientes:

pp C Tp

El total de los intereses:

inn Cn V

La cuota total es constante, ya que se forma sumando los intereses (decrecientes) y

las amortizaciones (crecientes):

ppp rC

1V inin aC

El total amortizado es:

ipp Sr 1T

pinp S VT



ipnp aCS

)(1 ipinp SSrS

El saldo de la deuda es:

pinpS TV

El saldo de la deuda hay dos formas de verlo: una es en forma prospectiva, en la que

veo el futuro del préstamo, en el que tengo las cuotas que no pagué; y otra es en forma retrospectiva, en la que veo lo que ya pagué. Método prospectivo.

ipinp SrSrS 11

Método retrospectivo.

Tasa de amortización: se define una tasa de amortización periódica como la relación (tanto por uno) entre la amortización del período y el respectivo saldo de la deuda.

p

pp S

r )1(

1 inp S

Ejemplo: deuda inicial = 10000; i = 0,10; n = 10 años.

Cuota Amortización Intereses Total pagado Saldo 0 10000,00 1 1627,45 627,45 1000,00 627,45 9372,55 2 1627,45 690,20 937,25 1317,65 8682,35 3 1627,45 759,22 868,23 2076,87 7923,13 4 1627,45 835,14 792,31 2912,01 7087,99 5 1627,45 918,66 708,80 3830,67 6169,33 6 1627,45 1010,52 616,93 4841,19 5158,81 7 1627,45 1111,57 515,88 5952,76 4047,24 8 1627,45 1222,73 404,72 7175,49 2824,51 9 1627,45 1345,00 282,45 8520,50 1479,50 10 1627,45 1479,50 147,95 10000,00 0,00

Total 16274,54 10000,00 6274,54




P Cuota Amortización Intereses Total pagado Saldo

0 — — — —

inaC V

1 111 rC

11 Cr

V1 iCr

11 V insr

11 rC

V1 i

11T r

isr 111T

11 TV S

11 V rS

inaCS 11

2 222 rC

22 Cr

1212 )1( irr

22 rC

122 Si

212T rr

isr 212T

22 TV S

inaCS 22

2122 rSS

3 333 rC

33 Cr

13

13 )1( irr

33 rC

133 Si

3213T rrr

isr 313T

33 TV S

inaCS 33

3133 rSS

ipp SrS 111 V

Gra

l.

inaC

V

ppp rC

11 )1( p

p irr

pp Cr

pp rC

1 pp Si

ipp sr 1T

ppS TV

ipnp aCS

ppp rSS 1

ipp srS 1V

n

inr V

V Cnn

pp C Tp

inn Sr 1T

SISTEMA ALEMÁN



Denominación: sistema de amortización constante con intereses sobre saldos adeudados. Definición: este sistema denominado “cuota capital constante” se caracteriza por tener una cuota de capital que divide la deuda proporcionalmente al plazo. Es decir, la parte de la cuota de servicio que amortiza la deuda es constante y proporcional a la deuda en cada período, de donde la cuota de servicio es decreciente. El cálculo de los intereses se realiza sobre saldos. Características: Intereses sobre saldos adeudados. Abono periódico de intereses. Amortizaciones constantes. Abono periódico de amortizaciones.

Fórmulas:

La cuota de amortización es constante:

r1 = r2 = r3 = ... = rn

nr in

p

V

Los intereses se calculan sobre el saldo de la deuda al fin del período anterior y se

pagan al fin del período. Los intereses son variables, decrecientes en progresión aritmética

(de razón igual a in

in

V

):

1 pp Si

ipinp )TV( 1




in

p ininp

V

)1(V

in

pinp

)1(1V

La suma de los intereses es igual a:

2

1V

ni inn

La suma parcial de los intereses sería:

nni inp

2

1)p(2pV)0(

2

hh1)p(2V)(

n

ni inhpp

La cuota es decreciente, variable en progresión aritmética (de razón igual a

in

in

V

):

ni

nC in

inp

)1p(1V

V

ni

nC inp

1p1

1V

)1p(1V

nin

C inp

El total amortizado es creciente en progresión aritmética con razón igual a in

in V

:

p

rpp r

1

T

pp r pT

nin

p

V

pT



El saldo es decreciente en progresión aritmética con razón igual a n

inV

:

pinpS TV

nS in

inp

V

pV

nS inp

p1V


Se puede obtener de la fórmula )1p(1V

nin

C inp :

Primera cuota:

i

nC inp

1V

Última cuota: )1(V i

nC in

n

Deuda original en función de las cuotas: )1(

Vi

Cn nin

Ejemplo: deuda inicial = 10000; i = 0,10; n = 10 años.


Total 15500,00 10000,00 5500,00





0 — — — —

nr V

1

111 rC

i

nC 1

V1

nr V1 V1 i

isr 111T

11 VT S

11 TV S

nS 1

1V1

2 222 rC

nr V

2

122 Si nV

2T2

22 VT S

22 2V rS

nS 2

1V2

3 333 rC

nr V

3

133 Si nV

3T3

33 VT S

33 3V rS

nS 3

1V3

11 TV ppS

n

S p1p

1V1

Gra

l.

ppp rC

ni

nC p

1p1

1V n

rpV

1 pp Si

Vip

n1p

1

npV

pT

11TT rpp

pp S VT

nS p

p1V

1)p( rnS p

nnrn

V

2

1V

nin

SISTEMA AMERICANO



Denominación: sistema de amortización mediante un pago único, con pago periódico de los intereses y con constitución de fondo de amortización. Definición: en este sistema (también conocido como sinking fund) el prestatario se compromete a abonar periódicamente sólo el interés del préstamo y en el último período se compromete a pagar, además de dicho interés, el total del capital prestado. El interés se calcula sobre el saldo de la operación al inicio del período. Por lo tanto, los pagos de los primeros períodos representan exclusivamente el interés, mientras que el efectuado en el último período comprende el capital más interés, y da lugar a la cancelación final de la operación.

Además, este sistema consiste en que el deudor, además de abonar periódicamente sus intereses al acreedor, procura constituir mediante imposiciones periódicas, el capital que se debe devolver. Es decir, podría suceder que fuera el mismo acreedor en vez de un tercero, quien reciba la cuota de formación de capital no considerándola como extinción parcial de la deuda, sino llevando una cuota separada a una tasa diferente i’.

En base a esto último, es posible llamar a éste, sistema de amortización a dos tasas. Características: Cálculo de los intereses sobre el valor total de la deuda (constantes). Abono periódico de intereses. Pago único de la amortización.

Fórmulas:

La cuota constante, está constituida sólo por intereses. La cuota de interés es obligatoria y es el interés simple a la tasa i:

iC ini V

Hay una cuota de amortización teórica, que indica cuánto dinero se debe ir juntando

por período para que cuando termine el plazo tenga el total del dinero para cancelar todo el préstamo.

La cuota de capital es facultativa y forma el capital a interés compuesto a la tasa i’:

1V1

ininc sC




La cuota total será la suma de la cuota de interés más la cuota de capital:

111 ciT CCC

1

'VV1

inininT siC

)(V 1'1

ininT siC

La deuda se paga en su totalidad al final del período.

El saldo de deuda es siempre la deuda total, pero como el total acumulado en el

fondo de constitución del capital es creciente, el desembolso del deudor para saldar la deuda es decreciente.

La tasa pagada será:

iC ini V

in

iCi

V

La tasa ganada será:

1V ininc SC

in

cin

CS

V1

c

inin C

S

V

Asimismo, puede ser determinada la verdadera tasa resultante (i’’). Para ello, se

relacionará:

''V intin aC

y de allí:

in

tin

Ca

V1

''

Y a través del método de interpolación, se obtiene el valor de (i’’).

Si i’ < i será i’’ > i.



Ejemplo: deuda inicial: 10000; i = 0,10; i’ = 0,05; n = 10 años.

Cuota total

Intereses pagados

Cuota al fondo

Intereses ganados

Fondo acumulado

Saldo Desembolso

neto p/ cancelar

0 10000,00 1 1795,05 1000,00 795,05 0,00 795,05 10000,00 9204,95 2 1795,05 1000,00 795,05 39,75 1629,84 10000,00 8370,16 3 1795,05 1000,00 795,05 81,49 2506,38 10000,00 7492,62 4 1795,05 1000,00 795,05 125,32 3426,75 10000,00 6573,25 5 1795,05 1000,00 795,05 171,34 4393,13 10000,00 5606,87 6 1795,05 1000,00 795,05 219,66 5407,83 10000,00 4592,17 7 1795,05 1000,00 795,05 270,39 6473,27 10000,00 3526,73 8 1795,05 1000,00 795,05 323,66 7591,98 10000,00 2408,02 9 1795,05 1000,00 795,05 379,60 8766,62 10000,00 1233,38 10 1795,05 1000,00 795,05 438,33 10000,00 10000,00 0,00

Total 17950,46 10000,00 7950,46 2049,55

En base a las fórmulas:

Tasa pagada = 0,10 = 10%. Tasa ganada = 0,0795 = 7,95%. Tasa verdadera = 0,1235 = 12,35%.




P Cuota total Intereses pagados

Cuota al fondo Intereses ganados

Fondo acumulado

Saldo Desembolso

neto p/ cancelar

1

111 ciT CCC

iCi 1

1'V

1

inc sC 0T01 i

11T cC V 1TV

2

12 TT CC

12 ii CC

12 cc CC i 12 T iSC 22T V 2TV

3

13 TT CC

13 ii CC

13 cc CC i 23 T iSC 33T V 3TV

P

1TT CCp

1ii CC

p

1cc CCp ipp 1T ipp SC T V pTV

VnCT

i

S in '

1

1ii CnCn

1cc CnC

n

1cn C

)( ' nS in

Relación entre el sistema americano y el sistema francés:

Partiendo de la fórmula para el cálculo de la cuota en el sistema americano:

11 ciT CCC

1'VV inininT SiC

Y dado que:

iSa inin

11 i

Sa inin

11

i

aiC

inininT

1VV



ia

iC inin

ininT

'

VV

Reordenando:

'

VVV

in

inininT a

iiC

'

V)(V

in

ininT a

iiC

Esta es la cuota del sistema americano. La relación muestra que la cuota es una

diferencial de la tasa aplicada a la deuda original, o sea:

)(V iiin

La deuda original más una cuota, igual a la que hubiera resultado de contratar el

préstamo por un sistema francés, a la tasa i’. Es decir:

'

V

in

in

a

Esto intenta interpretar el sistema americano como un francés más un término de

corrección.

¿Cómo decidir entre ambos?. Si el tomador del crédito tiene la libertad de elegir entre dos entidades financieras que le ofrecen; respectivamente: Tomar un sistema americano a la tasa i y cuota de servicio C.

Tomar un sistema francés a la tasa i’ y cuota de servicio 1'V inin a .

Entonces la toma de decisiones se basará en el siguiente análisis excluyente y

exhaustivo:

Si i > i’ 0)(V ii 1'V inin aC . Sistema francés.

Si i = i’ 0)(V ii 1'V inin aC . Indiferencia.

Si i < i’ 0)(V ii 1'V inin aC . Sistema americano.

Si el mercado es estable, lo común es que la tasa activa sea mayor que la tasa pasiva

)T(T pA . De no ser así )T(T pA se supone que tarde o temprano se producirá un

reacomodamiento en el mercado (dado que los competidores tratarían de adoptar o de ofrecer la misma tasa), mecanismo de ajuste que se llama arbitraje y que llevaría




nuevamente a la tasa activa a tender por sobre la pasiva. Cuando el mercado es inestable, está en la habilidad de los gerentes aprovechar estos diferenciales.

Para determinar el costo efectivo, debemos comparar la cuota de amortización del sistema francés con la cuota teórica del sistema americano:

inin

Ca

V1

SISTEMA ARGENTINO r Ó s

Se ha hecho práctica en nuestro país utilizar una tasa de interés llamada directa que

se calcula sobre el capital inicial en operaciones reembolsables en cuotas iguales. En general, cuando la devolución del préstamo se realiza en cuotas, lo justo es

calcular el interés sobre el saldo del capital. La tasa directa siempre genera mayores intereses, ya que el total de la deuda es

mayor que cualquiera de los saldos que se van produciendo. Por lo tanto, la tasa efectiva equivalente a una tasa directa siempre será mayor que igual tasa aplicada sobre saldos. Denominación: intereses directos sobre el capital total, acumulados al préstamo y pagados en cuotas constantes. Definición: este sistema utiliza una tasa directa cargada que consiste en que los intereses directos se acumulan al préstamo (obligación) y se reembolsan en cuotas constantes. Características: Cuotas uniformes. Intereses directos sobre préstamo. Amortización constante. Fórmulas:

Para hallar la cuota que amortiza el capital en n períodos, se calculan los intereses totales sobre la deuda inicial, se adicionan al capital y luego se los divide por el número de cuotas, obteniéndose así una cuota constante que contiene capital e interés:

sn

C inin

V

V

nnsC inin

VV

s

nC in

1V



Los intereses periódicos se calculan sobre el capital original y son constantes:

sin V

Y la suma de intereses:

nsin V

La cuota de amortización será:

nr in

V

El total amortizado será:

nin

p

V

pT

pp r pT

El saldo de la deuda es igual a la deuda original menos lo amortizado:

pinpS TV

nS in

inp

V

pV

nS inp

p1V

Tanto esta tasa (o coeficiente de cálculo) y otras que se utilizarán más adelante (t, u,

z), no expresan el verdadero rendimiento de la unidad de capital en el período. Son tasas ficticias que sólo sirven como recurso para establecer la cuota periódica o determinar la suma realmente prestada cuando ella no coincide con la solicitada. Si se desea obtener la tasa de la operación debe hallarse la tasa sobre saldos “i” equivalente y para que dicha tasa se cumpla, aun en los casos de cancelación anticipada, debe confeccionarse el cuadro de la marcha de la deuda con el sistema sobre saldos y la tasa equivalente obtenida. Ejemplo: deuda inicial: 10000; s = 0,10 años; n = 10 años.





Total 20000,00 10000,00 10000,00 P Cuota Amortización Intereses Total pagado Saldo

0 — — — —

inaC V

1

s

nC 1

V1

nr V1

111 Cr

s V1

11T r

11 TV S

nnS 1

V1

2 12 CC

nr V

2

222 Cr

s V2

nr V

22T 12

22 TV S

nnS 2

V2

3 13 CC

nr V

3

333 Cr

s V3

nr V

33T 13

33 TV S

nnS 3

V3

Gra

l.

s

nC 1

V

nr V

sp V

nrp

VppT 1

ppS TV

VV

nn

tn

in

nsn V

A efectos de homologar las distintas bases intervinientes en estos sistemas se Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com). Please register to remove this message.


sn

a in 11

nas in

11

vinculan a la tasa efectiva resultante de la aplicación del sistema de amortización francés a interés vencido sobre saldos.

Continuando con el ejemplo dado, ya se ha calculado: C = 2000; rp = 1000; Ip = 1000. Fórmulas de equivalencia financiera para hallar i en función de s: Para analizar desde el punto de vista del deudor. Para analizar desde el punto de vista del acreedor.

De esta manera se obtiene:

20,010,010

1110

ia

Y por interpolación lineal:

15,01 i 1992320625,0110

ia

¿?i 20,0110

ia

17,02 i 2146565966,0110

ia

)( 12110

110

110

110

1

12

1 iiaa

aaii

ii

ii




Saldo de la deuda

Intereses Interés % Cuota Amortización Total

Amortización 0 10000,00 1 9000,00 1000,00 10 % 2000,00 1000,00 1000,00 2 8000,00 1000,00 11 % 2000,00 1000,00 2000,00 3 7000,00 1000,00 13 % 2000,00 1000,00 3000,00 4 6000,00 1000,00 14 % 2000,00 1000,00 4000,00 5 5000,00 1000,00 17 % 2000,00 1000,00 5000,00 6 4000,00 1000,00 20 % 2000,00 1000,00 6000,00 7 3000,00 1000,00 25 % 2000,00 1000,00 7000,00 8 2000,00 1000,00 33 % 2000,00 1000,00 8000,00 9 1000,00 1000,00 50 % 2000,00 1000,00 9000,00 10 0,00 1000,00 100 % 2000,00 1000,00 10000,00

)15,017,0(1992320625,02146565966,0

1992320625,020,015,0

i

02,0015404534,0

000747937,015,0 i

150971061,0i

Como se puede observar en el cuadro, la verdadera tasa de interés no permanece

constante sino que va aumentando a medida que se amortiza la deuda. Este crecimiento es exagerado (ya que el interés va desde el 10 % al 100 % en el

último período). Por lo tanto, al prestatario le convendrá cancelar antes del vencimiento, con lo que puede llegar a obtener una tasa efectiva inferior a la pactada, ya que logra omitir los intereses de aquellas cuotas en las que la tasa es mayor.

Para evitar esta circunstancia (cancelación anticipada), la única solución es la conversión del préstamo a la tasa sobre saldos, equivalente a la tasa directa pactada.

Saldo de la deuda

Intereses Interés % Cuota Amortización Total

Amortización 0 10000,00 1 9509,81 1509,71 15,0971 % 1999,90 490,19 490,19 2 8945,62 1435,71 15,0971 % 1999,90 564,19 1054,38 3 8296,24 1350,53 15,0971 % 1999,90 649,37 1703,76 4 7548,84 1252,49 15,0971 % 1999,90 747,41 2451,16 5 6688,59 1139,66 15,0971 % 1999,90 860,24 3311,41 6 5698,48 1009,78 15,0971 % 1999,90 990,12 4301,52 7 4558,88 860,30 15,0971 % 1999,90 1139,60 5441,12 8 3247,24 688,26 15,0971 % 1999,90 1311,64 6752,76 9 1737,58 490,24 15,0971 % 1999,90 1509,66 8262,42 10 0,00 262,32 15,0971 % 1999,90 1737,58 10000,00

9999,00 19999,00 10000,00

Como se puede ver, los saldos adeudados son siempre superiores y la tasa por Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com). Please register to remove this message.


período es constante. Si se los compara, resulta el siguiente gráfico:

Del gráfico se desprende que debe existir un momento óptimo para reemplazar el préstamo con tasa directa por otro con tasa sobre saldos. Gráficamente, esto queda ubicado cerca de la quinta cuota. Lo que también es posible hallarlos de manera analítica.

Como sugiere el gráfico, el momento del reemplazo será cuando coincidan las tasas. Para lo cual se llamará “h” a ese momento:

isin

1h

s = tasa que el acreedor dice cobrar. i = tasa que el acreedor realmente cobra.

150971061,0

10,0150971061,0101h

376214002,4h

SISTEMA ARGENTINO t

Denominación: intereses directos sobre el capital total, deducidos del préstamo y pagado en cuotas constantes.




Definición: este sistema utiliza una tasa directa descontada que consiste en que los intereses directos se descuentan del préstamo (obligación) y se reembolsan en cuotas constantes. En otras palabras, se utiliza la tasa directa descontada y en base a la deuda nominal N el deudor recibe:

DNV

Características: Cuota uniforme. Intereses descontados por adelantado. Amortización constante. Fórmulas:

El descuento se calcula sobre la deuda nominal:

ND tn

Cntn D

Ctn 2D

El préstamo real es:

DNV

nt NNV

)1(NV nt

y por lo tanto:

)1(

VN

nt

La cuota es constante y contiene sólo la amortización del capital:

nC N

y por lo tanto:

Cn N



Las amortizaciones son constantes:

r1 = r2 = r3 = ... = rn

Cn

rp N


pp r pT

npN

pT

El saldo de deuda es:

ppS TN

nS p

NpN

nS p

p1N

)( pnCS p

A los efectos de homologar las distintas bases intervinientes en estos sistemas se

vinculan a la tasa efectiva resultante de la aplicación del sistema de amortización francés a interés vencido sobre saldos. Formula de equivalencia para hallar i en función de t:

ntt

na in

1

11

2

1 1

ntnntnta in




2

1 1

ntna in

2ntna in

inannt 2

2nant in

2

1

na

nt in

na

nt in1

1

Ejemplo: deuda inicial = 10000; t = 0,10; n = 10 años.

Cuota Amortización Intereses Total

amortizado Saldo de la

deuda 0 10000,00 10000,00 1 1000,00 1000,00 1000,00 9000,00 2 1000,00 1000,00 2000,00 8000,00 3 1000,00 1000,00 3000,00 7000,00 4 1000,00 1000,00 4000,00 6000,00 5 1000,00 1000,00 5000,00 5000,00 6 1000,00 1000,00 6000,00 4000,00 7 1000,00 1000,00 7000,00 3000,00 8 1000,00 1000,00 8000,00 2000,00 9 1000,00 1000,00 9000,00 1000,00 10 1000,00 1000,00 10000,00 0,00

10000,00 10000,00 10000,00

Si se tienen que pagar los intereses de un préstamo que dura n períodos, en el momento n es mucho más costoso dado el valor tiempo del dinero (t es más caro que r ó s). P Cuota Amortización Intereses Total pagado Saldo



0 — — Ctn 2D —

inaC V

1

nC V

1

Cn

r V

1

—

11T r

CV1 S

nnS 1

V1

2 12 CC

Cn

r V

2

—

nr V

22T 12

CS 12 S

nnS 2

V2

3 13 CC

Cn

r V

3

—

nr V

33T 13

CS 23 S

nnS 3

V3

Gra

l.

nC p

V

Cn

rp V

—

nrp

VppT 1

CSS pp 1

nnS p

pV

V Cnrn

in

SISTEMA ARGENTINO u

Denominación: intereses acumulados al préstamo, pagadero en cuotas periódicas iguales con intereses promediados.




Características: Cuota uniforme. Intereses promediados constantes sobre saldo adeudado. Amortización constante. Fórmulas:


r1 = r2 = r3 = ... = rn

nrp

V

Los intereses periódicos se calculan sobre los saldos al final del período anterior:

uS p 1

nu 1p

1V

)1p(V

nn

u

Son variables decrecientes en progresión aritmética, y a los efectos de su cobro se

suman y se promedian ( p constante):

nt

p

n

nup

2

1V

nnup

2

1V

La cuota es constante y se forma con la cuota de amortización y la cuota de intereses

promedio:

ppp rC



nnu

nC p

2

1V

V

n

nun

C p 2

11V


npV

pT

El saldo de deuda es:

ppS TV

nS p

p1V

npnS p

V

A efectos de homologar las distintas bases intervinientes en estos sistemas se

vinculan a la tasa efectiva resultante de la aplicación del sistema de amortización francés a interés vencido sobre saldos. Fórmula de equivalencia financiera para hallar i en función de u:

nnu

na in

2

111

Cabe destacar que la tasa u debe ser mayor que i para amortizar idéntico préstamo,

ya que no permanece constante a través del tiempo.

1

211

nn

nau in

y sacando factor común:

1

2)1(

1 1

nnan

nu in

1

2)1( 1

nanu in





0 — — — —

uuu

n

C

2

111

V

1

111 rC

nr V1

uV1

nn

2

1

11T r

11 TV S

nnS 1

V1

2 12 CC

nr V

2

12

nr V

22T 12

22 TV S

nnS 2

V2

3 13 CC

nr V

3

13

nr V

33T 13

33 TV S

nnS 3

V3

Gra

l.

ppp rC

n

nun

C p 2

11V

nrp

V

up V

nn

2

1

nrp

VppT 1

1TV ppS

nnS p

pV

V Cnrn

in

un V

2

1

n



Ejemplo: deuda inicial: 10000; u = 0,10; n = 10 años.

Cuota Amortización Intereses Tasa % Total


deuda 0 10000,00 1 1550,00 1000,00 550,00 5,50 % 1000,00 9000,00 2 1550,00 1000,00 550,00 6,11 % 2000,00 8000,00 3 1550,00 1000,00 550,00 6,88 % 3000,00 7000,00 4 1550,00 1000,00 550,00 7,86 % 4000,00 6000,00 5 1550,00 1000,00 550,00 9,17 % 5000,00 5000,00 6 1550,00 1000,00 550,00 11,00 % 6000,00 4000,00 7 1550,00 1000,00 550,00 13,75 % 7000,00 3000,00 8 1550,00 1000,00 550,00 18,33 % 8000,00 2000,00 9 1550,00 1000,00 550,00 27,50 % 9000,00 1000,00

10 1550,00 1000,00 550,00 55,00 % 10000,00 0,00 15500,00 10000,00 5500,00

Observando el cuadro se puede ver fácilmente que la tasa no permanece constante y

hasta en cierto momento, es inferior a la pactada, por lo que convendría, en dicho momento, cancelar el préstamo.

En este préstamo, la tasa sobre saldos sería:

nnu

na in

2

111

102

11010,0

10

1110

ia

155,0110

ia

3420980888028820,0i < 10,0u

Por lo tanto, para evitar ese perjuicio, el acreedor debe cobrar una tasa mayor, que

en este caso sería partiendo de:

nnu

na in

2

111

1

2)1( 1

nanu in

110

2)110( 13420980888028820,010

au




10,0u

Para verificar su exactitud se construye el cuadro de amortización sobre saldos:

110,01010000 aC

45,1627C

Cuota Amortización Intereses Tasa % Total

amortizado Saldo de la deuda

0 10000,00 1 1627,45 627,45 1000,00 10,10 % 627,45 9372,55 2 1627,45 690,20 937,25 10,10 % 1317,65 8682,35 3 1627,45 759,22 868,23 10,10 % 2076,87 7923,13 4 1627,45 835,14 792,31 10,10 % 2912,01 7087,99 5 1627,45 918,66 708,80 10,10 % 3830,67 6169,33 6 1627,45 1010,52 616,93 10,10 % 4841,19 5158,81 7 1627,45 1111,57 515,88 10,10 % 5952,76 4047,24 8 1627,45 1222,73 404,72 10,10 % 7175,49 2824,51 9 1627,45 1345,00 282,45 10,10 % 8520,50 1479,50

10 1627,45 1479,50 147,95 10,10 % 10000,00 0,00 16274,54 10000,00 6274,54

Como se observa en el cuadro, la tasa por período es constante y la cancelación

anticipada no perjudicaría al acreedor.

Por otra parte, si se comparan los cuadros de amortización de los sistemas: “alemán y tasa u” se puede observar que el sistema argentino u es un sistema alemán ponderado: Cuota Amortización Intereses

0 1 1550,00 1000,00 550,50 2 1550,00 1000,00 550,50 3 1550,00 1000,00 550,50 4 1550,00 1000,00 550,50 5 1550,00 1000,00 550,50 6 1550,00 1000,00 550,50 7 1550,00 1000,00 550,50 8 1550,00 1000,00 550,50 9 1550,00 1000,00 550,50 10 1550,00 1000,00 550,50

15500,00 10000,00 5500,50

Cuota Amortización Intereses 0 1 2000,00 1000,00 1000,00 2 1900,00 1000,00 900,00 3 1800,00 1000,00 800,00 4 1700,00 1000,00 700,00 5 1600,00 1000,00 600,00 6 1500,00 1000,00 500,00 7 1400,00 1000,00 400,00 8 1300,00 1000,00 300,00 9 1200,00 1000,00 200,00 10 1100,00 1000,00 100,00

15500,00 10000,00 5500,00



SISTEMA ARGENTINO z

Denominación: intereses deducidos por adelantado del préstamo, pagadero en cuotas constantes con intereses promediados. Definición: este sistema consiste en que los intereses promedios se deducen (por adelantado) del préstamo (obligación) y se reembolsan cuotas constantes de amortización.

Se utiliza la tasa correspondiente sobre saldos y en base a la deuda nominal N deudor recibe:

DNV

Características: Cuota uniforme. Intereses descontados por adelantado (sobre los saldos adeudados). Amortización constante. Fórmulas:

La cuota es constante y contiene sólo amortización del capital:

nC N

y por lo tanto:

Cn N

Los intereses se calculan sobre la deuda nominal: se calculan sobre los saldos, y la suma de los mismos se deduce del préstamo.


r1 = r2 = r3 = ... = rn

Cn

rp V

Este esquema en base a la deuda nominal, puede transformarse y hacerse en base a

la deuda real, con lo cual se van imputando los descuentos a cada período:

El préstamo real es:

DNV

en donde:




2

1ND

nz

Reemplazando queda:

2

1NNV

nz

2

11NV

nz

y por lo tanto:

2

11

VN

nz

Así, la cuota total se formaría por:

Cuota total = nn

descuentocapital

Reemplazando N por V (y luego sacando común denominador):

n

nz

nC 2

1N

V

n

nznz

nC

2

1

2

11

V

V

2

112

)1(VV

nz

nzn

C

)1(2

)1(VV

nz

nnz

nC

)1(2

)1(1

Vnz

nnz

nC



A efectos de homologar las distintas bases intervinientes en estos sistemas se

vinculan a la tasa efectiva resultante de la aplicación del sistema de amortización francés a interés vencido sobre saldos. Fórmula de equivalencia financiera para hallar i en función de z:

)1(2

)1(11

nz

nnz

na in

2

11

VN

nz

nC N

y por lo tanto:

Cn N

Sustituyendo N por su equivalente:

2

11

V

nznC

2

11

V1

nznC

Se igualan las cuotas del sistema francés y este sistema:

2

11

111

nzna in

2

11

nzna in

2

11

nzn

a in




znn

a in

1

21

Multiplico y divido por n:

1

21

1

nn

na

nz in

Ejemplo: amortizar un préstamo en 10 cuotas anuales, aplicando intereses descontados promedio del 10 % anual. Determinar la cuota que debe abonarse y la tasa efectiva resultante.

)1(2

)1(1

Vnz

nnz

nC

)110(10,02

)110(10

10,0

10

110000C

1500C

Relacionando:

)1(2

)1(11

nz

nnz

na in

)110(10,02

)110(10

10,0

10

11

ina

15,01 ina

0815,0i



Tasa z: deuda inicial = 10000; z = 0,10; n = 10 años.



deuda 0 5000,00 10000,00 1 1500,00 1000,00 1000,00 9000,00 2 1500,00 1000,00 2000,00 8000,00 3 1500,00 1000,00 3000,00 7000,00 4 1500,00 1000,00 4000,00 6000,00 5 1500,00 1000,00 5000,00 5000,00 6 1500,00 1000,00 6000,00 4000,00 7 1500,00 1000,00 7000,00 3000,00 8 1500,00 1000,00 8000,00 2000,00 9 1500,00 1000,00 9000,00 1000,00 10 1500,00 1000,00 10000,00 0,00

15000,00 10000,00 5000,00 Sistema francés: deuda inicial = 10000; i = 0,0815; n = 10 años.



deuda 0 10000,00 1 1500,39 685,39 815,00 685,39 9314,61 2 1500,39 741,25 759,14 1426,65 8573,35 3 1500,39 801,67 698,73 2228,31 7771,69 4 1500,39 867,00 633,39 3095,31 6904,69 5 1500,39 937,66 562,73 4032,97 5967,03 6 1500,39 1014,08 486,31 5047,05 4952,95 7 1500,39 1096,73 403,67 6143,78 3856,22 8 1500,39 1186,11 314,28 7329,89 2670,11 9 1500,39 1282,78 217,61 8612,67 1387,33 10 1500,39 1387,33 113,07 10000,00 0,00

15003,93 10000,00 5003,93

REEMBOLSO DEL CAPITAL Y LOS INTERESES MEDIANTE UN PAGO ÚNICO

Siendo C el capital recibido en préstamo, corresponde devolver en la fecha determinada:

nn CC

niCCCn




)1( niCCn

Ejemplo: ¿Cuánto debe devolverse en 5 períodos por un préstamo de $1.000.000 al 10 %?

)510,01(10000005 C

000.500.15 C

REEMBOLSO DEL CAPITAL MEDIANTE PAGO ÚNICO CON DEDUCCIÓN

ANTICIPADA DE LOS INTERESES

Con descuento comercial:

Habiendo recibido )1(V dnC al final del plazo establecido devuelve C, o sea:

dnC

1

V

también:

DV C

dnCdnCC )1(

dnCdnCCC

CC

Ejemplo: para recibir $1000000 5 meses antes de su vencimiento, ¿cuánto deberá devolverse?.

10,0d .

10,051

1000000

C

50,0

1000000C

2000000C



Con descuento racional:

Habiendo recibido ni

C

1

V al final del plazo establecido devuelve C, o sea:

)1(V niC

también:

DV C

niCC

1

niniCC

1

niniCC

1

)1(

CC

Ejemplo: para recibir $1000000, 5 meses antes de su vencimiento, ¿cuánto debe devolverse?

10,0i .

)510,01(1000000 C

1500000C

Se va a tratar el caso del sistema francés con cuotas variables en progresión aritmética y en progresión geométrica.

CUOTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Cuota total vencida:

La suma de las cuotas será:

n

rnCnrsnC1 2

)1(])([




Intereses periódicos:

Se calculan sobre el saldo de deuda del período anterior:

)]1([)1(V 111

),1(

psrsiCii ppp

pp

Cuota de amortización:

iri

irtt p

p

1

1 )1(

Total amortizado:

irs

irt pp

pT 1

Saldo de deuda:

En función prospectiva:

irnarn

irCS pnp

)p(

En función retrospectiva:

)p()(1

n

irss

irtS pnp

CUOTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Cuota total vencida:

La suma de las cuotas será:

n n

s qqCC

1 1

1



Intereses periódicos:

Se calculan sobre el saldo de deuda del período anterior:

)1()()1(

1)( 11

111),1(pnp

pnpnpp qqssqqi

Cssti

Cuota de amortización:

2

2211

1 11

)1()1( p

pppp

p siqiqiqiqCitt

Total amortizado:

)]1(1[1

T 1

qsqqi

Cst pn

pp

Saldo de deuda:

En función prospectiva:

qivqqcS

pnp

p

1

)(1

En función retrospectiva:

)]1()()1[(1

)(1pnp

pnpnp qqssqqi

CsstS

El riesgo inflacionario es un factor de contexto que para el cálculo financiero no

puede dejarse de lado. Así como bajo el supuesto de estabilidad monetaria necesariamente las evaluaciones financieras se basan o en ellas subyacen ciertas tasas que es necesario pronosticar o determinar en el futuro (costo del capital, tasa i, TIR), cuando pasamos a un contexto inflacionario se presenta el requerimiento ineludible de agregar una nueva tasa a pronosticar: la inflación.

La inflación se define como la tasa de cambio esperado en el comportamiento de un índice de precios predeterminado para un período y que, a juicio del decididor, es el más apropiado para tomar en cuenta según su decisión, por los efectos de un continuado (aunque disímil) crecimiento en los precios de bienes y servicios sujetos a transacciones económicas.

Por lo expuesto, está claro que consideramos a la tasa de inflación una variable aleatoria cuyo comportamiento sólo podemos predecir probabilísticamente y por ende en la mayoría de los casos nos encontramos, a posteriori, con una discrepancia entre la tasa




pronosticada y la real de inflación por ese período. A pesar de las dificultades comentadas, quien decide cuenta normalmente con una serie de elementos de pronóstico que por lo menos para períodos cortos permiten estimar el nivel de la tasa: la experiencia histórica (evolución de los índices de precios en el pasado), comportamiento de las causas o variables que influyen sobre el nivel general de precios (creación de medios de pago, déficit fiscal, etc.) y similares.

La corrección monetaria puede referirse: Al capital:

)1()1()1( iCiCiCCCiCC

donde ii . Al capital y sus intereses:

)1()1()1()1( iCiiCiC

donde iii

La iii es pequeña si los son las tasas, pero al aumentar éstas toman significación.



UNIDAD 4: MÉTODOS CUANTITATIVOS RELATIVOS AL ANÁLISIS Y RENTABILIDAD DE

INVERSIONES

CONCEPTOS

Empresa: desde el punto de vista económico la empresa puede ser definida como un conjunto de factores productivos coordinados, cuya función es producir, y cuya finalidad está determinada por el sistema de organización social en el que se encuentra inmersa.

Desde el punto de vista de la fenomenología económica, una empresa es una sucesión en el tiempo de proyectos de inversión y financiamientos. Nace para hacer frente a una demanda insatisfecha, por lo que es menester hacer inversiones. Toda empresa tiene un presupuesto de capital (capital propio más capacidad crediticia) limitado, lo que limita sus posibilidades de inversión, pero a su vez si la empresa dispone de oportunidades de inversión rentables, el presupuesto de capital (al aumentar la capacidad de endeudamiento de la empresa) puede ser ampliado.

En el activo, que es donde se encuentran las inversiones de la empresa, hay que distinguir dos partes fundamentales: Activo fijo: son inversiones a largo plazo que comprometen a la empresa durante un largo período de tiempo y se van recuperando lenta y gradualmente a través del proceso de amortización. Activo circulante: son inversiones a corto plazo porque se recuperan al final del ciclo “dinero – mercancías – dinero”. Economía de empresas: la economía de la empresa tiene por objetivo el estudio de los problemas que se presenten en la misma, generando leyes de equilibrio, pero no en sentido general y abstracto, ya que en consideración de equilibrio es estudiada por la teoría de la producción, sino en sentido susceptible de aplicaciones concretas en el orden microeconómico de la empresa.

Para captar la realidad del orden microeconómico, el análisis marginal resulta insuficiente, de allí la necesidad de una metodología más adecuada. Esta nueva metodología es llamada “investigación operativa” o “metodología operativa”. Definiciones de inversión: Formación o incremento neto de capital. Es la adición corriente al valor del equipo productivo que resulta de la actividad

productiva del período considerado (J. M. Keynes). Es un acto por medio del cual se cambia una satisfacción inmediata y cierta a la que se

renuncia, contra una esperanza que se adquiere y de la cual el bien invertido es el soporte.

Elementos: el acto de invertir requiere de cuatro elementos: El “sujeto” que invierte ya sea persona física o jurídica. El “objeto” que se invierte (naturaleza diversa). El “costo” (supone la renuncia a una satisfacción en el presente).




La “esperanza de una recompensa en el futuro”. Puntos de vista: los conceptos de inversión y capital están estrechamente relacionados y se puede hablar de ellos desde tres puntos de vista: Jurídico: Capital: todo aquello que puede ser objeto de un derecho de propiedad y ser susceptible

de formar parte del patrimonio de una persona física o jurídica. Inversión: adquisición o apropiación de todo aquello que puede ser objeto de un

derecho de propiedad. Financiero: Capital: toda suma de dinero que no ha sido consumida por su propietario, sino que ha

sido ahorrada y colocada en el mercado financiero con el fin de obtener una renta. Inversión: colocación en el mercado financiero de los excedentes no consumidos. Económico: Capital: conjunto de bienes que sirven para producir otros bienes. Inversión: afectar bienes económicos a tareas productivas.

Toda inversión económica es a su vez inversión jurídica, pero no viceversa. Toda inversión financiera es a su vez una inversión jurídica, pero no viceversa. Existen inversiones financieras que son a su vez inversiones económicas, pero no todas las inversiones financieras son al mismo tiempo económicas, ni viceversa. Clasificación de las inversiones: Según su función: De innovación: determinadas por investigaciones de la empresa. De expansión:

Cualitativa: nuevos productos. Cuantitativa: mayor cantidad de productos.

De renovación: Factores internos: desgastes, averías, etc. Factores externos: obsolescencia.

Estratégicas: Defensivas: integración vertical. Eliminación de suministros defectuosos. Ofensivas: mantenerse a la vanguardia. Sociales: recursos humanos de la empresa.

Según su duración: De corto plazo: si coinciden con un ciclo de fabricación. Interpolares: cuando la inversión y des-inversión coinciden. De largo plazo: si comprometen a la empresa por más de un período.



Según su relación entre sí: Complementarias: la realización de una facilita la realización de otra. Sustitutivas: la realización de una de ellas dificulta la realización de otra. Independientes: no guardan ninguna relación entre sí. Según su origen: Inducidas: determinadas por los factores del sistema económico. Autónomas: por decisión de la empresa. Según la corriente de cobros y pagos: Inversiones con un solo pago o input y un solo cobro o output. Inversiones con varios pagos o inputs y un solo cobro o output. Inversiones con un solo pago o input y varios cobros o outputs. Inversiones con varios pagos o inputs y varios cobros o outputs.

PROYECTO DE INVERSIÓN

Un proyecto de inversión es el estudio completo de una idea debidamente identificada. Como es el análisis de una idea no interesan las inversiones ni las fuentes de financiamiento.

Para que exista un proyecto de inversión se deben dar las siguientes circunstancias: Constará de una visión futura. Flujos de fondos positivos y negativos. Tasa de interés dada o determinada. Existencia de riesgos. Fases de un proyecto de inversión: Formulación. Evaluación. Decisión.

Decisiones de inversión tomadas en condiciones de certeza: cuando conozco el comportamiento de todas las variables.

Decisiones de inversión tomadas en condiciones de riesgo: si bien no se conoce acabadamente el comportamiento de las variables, puedo determinar la probabilidad de ocurrencia.

Decisiones de inversión tomadas en condiciones de incertidumbre: no puedo predecir el comportamiento de las variables ni puedo determinar probabilidades, debo recurrir a otros modelos.




Flujo neto de caja por unidad monetaria comprometida o desembolsada. Flujo neto de caja medio anual por unidad monetaria comprometida o desembolsada. Plazo de recupero. Tasa contable de ganancia. Valor actual neto (VAN). Tasa interna de retorno (TIR). Índice de rentabilidad. Tasa real de reinversión.

Los primeros cuatro métodos (conceptos contables) no toman en cuenta el valor tiempo del dinero. Los cuatro últimos (conceptos de flujos de fondos) si lo consideran.

FLUJO NETO DE CAJA POR UNIDAD MONETARIA COMPROMETIDA O DESEMBOLSADA

Definición: este método consiste en sumar todos los flujos de caja de cada inversión y luego dividir el total por el desembolso inicial correspondiente, obteniendo así el flujo neto total medio por unidad monetaria comprometida o desembolsada en la inversión. Fórmula:

01

Ftr

Donde:

r1 = tasa de rendimiento. Ft = flujo de fondos netos. I0 = inversión inicial. Regla de decisión: las mejores inversiones serán aquellas que proporcionan una tasa r1 mayor. Una inversión interesa realizarla en cuanto r1 sea superior a la unidad, ya que de lo contrario la inversión no permitiría recuperar el capital invertido. Ejemplo:

A una tasa del 7 % anual reconocer el flujo neto de fondos de cada inversión y su orden de preferencia.



1F

01

tr

Flujos netos de fondos

Proyecto de

inversión

Desembolso inicial 1F 2F 3F 4F 5F 6F 7F

Total flujos netos

de caja

1r Orden de preferencia

A 2000 1000 1000 1000 3000 1,50 2 B 10000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 14000 1,40 3 C 4000 3000 1000 2000 6000 1,50 2 D 6000 1000 500 500 3000 3000 8000 1,33 4 E 3000 2000 2000 1000 500 5500 1,83 1

Desventajas: No tiene en cuenta el momento en que son obtenidos los diferentes flujos netos de

fondos, agregando de este modo cantidades heterogéneas. En realidad, sólo la parte de 1r que excede la unidad es rentabilidad en sentido estricto,

porque la otra parte es recuperación del capital invertido. Teniendo esto en cuenta se deberá rectificar la fórmula ya vista en el siguiente sentido:

La ecuación debe llevar el ( 1 ) ya que se debe deducir la inversión inicial. Es decir, sólo sirve la porción de 11 r porque si 11 r no se ganaría nada, simplemente se recuperaría. La rentabilidad de las inversiones se expresa refiriéndola a una base temporal anual. Sin

embargo, las dos fórmulas vistas proporcionan una rentabilidad referida a toda la vida de la inversión.

FLUJO NETO DE CAJA MEDIO ANUAL POR UNIDAD MONETARIA

COMPROMETIDA O DESEMBOLSADA

Definición: a diferencia del criterio anterior, que relaciona el flujo neto de fondos con el desembolso inicial, este segundo criterio relaciona el flujo neto de fondos medio anual con el desembolso inicial, es decir:

02

F1

tnr

La diferencia con el primer método es que se toma en cuenta una base temporal que

está dada por el año. Desventajas:

Este criterio adolece de los mismos defectos que el criterio anterior, excepto el




tFP 0

tercero, ya que ahora la rentabilidad viene referida a la base anual. Aunque esta ventaja es más aparente que real ya que lleva a preferir inversiones de corta duración y elevados flujos de fondos. Ejemplo:

A la tasa del 7 % anual reconocer el flujo neto medio anula de cada inversión y su orden:

Flujos netos de fondos Proyecto

de inversión

Desembolso inicial 1F 2F 3F 4F 5F 6F 7F

Total flujos netos

de caja

1r Orden de preferencia

A 2000 1000 1000 1000 3000 0,50 1 B 10000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 14000 0,20 4 C 4000 3000 1000 2000 6000 0,50 1 D 6000 1000 500 500 3000 3000 8000 0,27 3 E 3000 2000 2000 1000 500 5500 0,46 2

Si la inversión (como es habitual) origina desembolsos no sólo en el momento

presente, sino también en los primeros años de vida (los primeros flujos de fondos son negativos) se debe tomar como desembolso o tamaño de la inversión la suma de estos flujos negativos.

PLAZO DE RECUPERO O “PAYBACK”

Definición: el plazo de recupero o payback (también llamado paycash, payout o payoff) de una inversión, es el tiempo que tarda en recuperarse (amortizarse) el desembolso inicial 0 .

Cuando los flujos de fondos son constantes, el plazo de recuperación o payback estará dada por dicha fórmula.

Si los flujos de fondos no son constantes, el plazo de recuperación se calculará acumulando los sucesivos flujos de fondos hasta que su suma sea igual al desembolso inicial 0 . Pero cuando además del desembolso inicial 0 los flujos de fondos de los

primeros años son negativos, el plazo de recuperación vendrá definido por el tiempo que tarde en recuperarse la suma de esos flujos negativos. Regla de decisión: según este criterio, las mejores inversiones son aquellas que tienen un plazo de recuperación más corto. Es decir, si el período de recupero calculado resulta menor que un máximo previamente fijado, la propuesta se aceptará.



Beneficio contable después de deducir amortizaciones e impuestos.

Desventajas: No considera los flujos netos de fondos obtenidos después del plazo de recuperación. No tiene en cuenta la diferencia en los vencimientos de los flujos netos de fondos

obtenidos antes de alcanzar el plazo de recupero. Ejemplo:

A la tasa del 7 % anula reconocer el plazo de recupero de cada inversión y su orden:

Flujos netos de fondos Pro-yecto

de inver-sión

De-sem-bolso inicial

1F 2F 3F 4F 5F 6F 7F P

Orden de preferencia

A 2000 1000 1000 1000 2 años 2 B 10000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5 años 4 C 4000 3000 1000 2000 2 años 2 D 6000 1000 500 500 3000 3000 4 1/3 años 3 E 3000 2000 2000 1000 500 1 1/2 años 1

Este método puede ser muy valioso si se lo combina con alguno de los últimos

cuatro métodos (en especial VAN y TIR). Toma muy mínimamente el valor tiempo del dinero. La desventaja que presenta es que no hace mención a lo que sucede con los flujos de fondos a partir del momento de recupero.

TASA CONTABLE DE GANANCIA (O TASA DE RENDIMIENTO CONTABLE)

Definición: este método también “método contable” obedece a una terminología y metodología típicamente contable. Se ajusta a la información suministrada por la contabilidad y relaciona el beneficio contable anual, después de haber deducido la amortización y los impuestos, con el desembolso inicial de la inversión, en el cual se incluye no sólo la inversión en activo fijo, sino también la inversión complementaria en activo circulante (capital de trabajo). Es decir, mide las utilidades sobre el activo total.

Tasa contable de ganancia totalInversión

contable Ganancia

Ejemplo:

Para una inversión total de $12000 y una duración de 3 años:

Inversión en activos (fijo y circulante) que demanda el proyecto.




Año 1 Año 2 Año 3 Proyecto de

inversión

Ga-nan-cia

I Ga-nan-cia

I Ga-nan-cia

I Benefi-cio total

Benefi-cio

medio anual

Tasa de rendi-miento

A 6000 12000 5000 16000 4000 18000 15000 5000 0,417 B 5000 20000 5000 16000 5000 14000 15000 5000 0,417

Las dos propuestas tendrían la misma tasa de rendimiento contable.

Regla de decisión: comparar la tasa obtenida con una previamente fijada o tasa de corte y si resulta mayor a éste, la propuesta será aceptable. Ventajas: Es muy simple de calcular y existe facilidad en la obtención de los datos, dada su base

contable. Desventajas: Se basa en el concepto de beneficio y no en el de flujo de fondos. Un beneficio mientras

no se halla en forma líquida no se puede invertir en ningún activo productivo, ni tampoco puede ser dividido en forma de ningún dividendo.

No actualiza los beneficios, y considera igualmente deseable un beneficio del primer año que un beneficio de un año posterior.

VALOR ACTUAL NETO (VAN)

Definición: el valor actual neto de una inversión es igual al valor actualizado de todos los rendimientos esperados; es decir, es igual a la diferencia entre valor actualizado de los cobros futuros esperados y el valor, también actualizado, de los pagos previstos.

El valor actual neto, también llamado valor presente neto (VPN) consiste en determinar el valor actual de los flujos de fondos descontados a una tasa de costo o costo de capital. Fórmula: llamando i a los tipos de descuento o intereses calculatorios, 0 al desembolso

inicial o tamaño de la inversión, y tF al flujo neto de caja del año, el valor actual neto de la

inversión vendrá dado por la siguiente fórmula:

nn

iii )1(

F...

)1(

F

)1(

FVAN

221

0

n

tt

t

i10 )1(

FVAN



n

t

tt i

10 )1(FVAN

Es el valor que resulta la diferencia entre el desembolso inicial de la inversión y el valor de los futuros ingresos netos esperados.

Se habla de valor actual ya que los flujos de fondos son descontados a una tasa de interés que representa el costo de oportunidad del capital y comúnmente se la denomina como tasa de corte.

La tasa de corte podría ser el mínimo rendimiento requerido a la inversión, o sea, el rendimiento de otra alternativa de riesgo comparable; también (y como es un costo de oportunidad), es la tasa de la mejor alternativa de inversión posible frente al proyecto. Regla de decisión: sólo serán aceptadas las propuestas de inversión cuyo valor actual neto resulte positivo, pues estaría aumentando la riqueza de la empresa, mientras los que son menores que cero, se desechan. Cuando existan varias inversiones con un valor actual positivo, se debe dar prioridad a aquellas cuyo valor actual sea mayor.

Si los flujos de fondos son constantes la fórmula del VAN se convertirá en la fórmula de valor actual de una renta inmediata )F( 0 tv :

n

tt

t

i10 )1(

FVAN

n

ttt i1

0 )1(

1FVAN

int a FVAN 0

Si el número de años durante los cuales la inversión genera fondos es ilimitado, ntF , el VAN se convierte en el valor actual de una renta perpetua:

t

t

nt iii

)1(

)1(limFVAN 0

it1

FVAN 0

it a FVAN 0

Ventajas: Tiene en cuenta el valor del dinero, o sea la fecha de vencimiento de los diferentes

flujos de caja, tF . Evidentemente, una cantidad de dinero disponible hoy es más valiosa

que la misma cantidad de dinero disponible en el futuro, ya que el dinero disponible en el momento actual puede ser reinvertido y generar beneficios. Aparte de la preferencia por el tiempo presente y de los riesgos que toda promesa futura siempre entraña.




Desventajas: Dificultad para determinar el tipo de descuento correcto: en este método subyace la

hipótesis de perfección en el mercado financiero, donde cualquier empresa puede acudir en demanda de fondos sin limitación alguna del tipo de interés. Sin embargo, el mercado es imperfecto, se descompone según la naturaleza y las modalidades de los préstamos, por lo que no existe una única tasa de costo de capital para todos los casos.

Supuesto de reinversión de los flujos de fondos: en este método se supone que los flujos de fondos positivos son reinvertidos inmediatamente a un tanto o tipo de rendimiento i, que coincide con la tasa de descuento utilizada para hallar el VAN. Y también, que los flujos de fondos negativos son financiados con unos recursos cuyo costo es también i. Esta hipótesis sería cierta si el mercado financiero fuera perfecto.

Ejemplo:

A una tasa del 7 % anual reconocer el valor actual neto de cada inversión y su orden de preferencia.


de inver-sión

De-sem-bolso inicial

1F

2F 3F 4F 5F 6F VAN


A 10000 8000 4000 5000 0 0 0 5051,88 2 B 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 4533,08 3 C 8000 4000 6000 0 0 0 0 978,95 4 D 11000 0 2000 0 0 8000 19000 5617,51 1 E 4000 1000 1000 1000 1000 1000 0 100,20 5 F 4000 3000 1200 0 0 0 0 -148,14 X

A la empresa le interesa realizar las cinco primeras inversiones porque tiene un

valor actual positivo. No debe aceptar, sin embargo, el proyecto de inversión F porque originaría un descenso en el valor de la empresa de $148,14.

EL PLAZO DE RECUPERO O “PAYBACK” DESCONTADO

Se ha visto que el criterio del “plazo de recupero o payback” presentaba como principal crítica que no actualizaba los flujos netos de fondos y ponderaba de igual modo, los flujos de fondos más próximos y a los más alejados. Cuando la duración de las inversiones alternativas o mutuamente excluyentes son diferentes y los flujos de fondos son irregulares (no constantes) el método payback puede llevar a error. Ahora que se ha visto la aplicación de la actualización, puede verse como alternativa la utilización del payback “descontado”, el cual se define del siguiente modo.



Definición: es el número de años que se necesitan para que el valor actualizado del cashflow hasta entonces generado sea igual al desembolso inicial o tamaño de la inversión; es decir:

n

tt

td i1

0 0)1(

FP

n

tt

t

i10 )1(

F

en donde dP es el plazo de recuperación o payback descontado.

Sin embargo, el payback descontado sigue adoleciendo un importante defecto: el de

no tener en cuenta los flujos netos de fondos generados por la inversión a partir de dicha fecha.

Para el cálculo del payback descontado en el caso general, cuando la duración de la inversión es finita y los flujos netos de fondos son variables, habrá que utilizar el procedimiento de las “aproximaciones sucesivas” o de la “prueba y error”.

Cuando los flujos netos de fondos son constantes y la duración de la inversión es finita la determinación del plazo de recuperación vendrá dado por:

0FP 0 ipd a

F0ipa

en donde sub p es el plazo de recuperación o payback descontado.

En el caso de que además de ser constantes los flujos de fondos sea limitada la duración de la inversión, el problema se simplifica a:

0F

P 0 id

i1

PF0

el payback es igual al valor recíproco del tipo de descuento que iguala a cero el valor capital de la inversión, que corresponde con el concepto de tasa interna de retorno (TIR).




TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

Definición: la tasa interna de retorno de una inversión es definida habitualmente como aquella a la cual el valor actual neto (VAN) de los rendimientos derivados de una inversión iguala al importe de dicha inversión. En términos matemáticos, es el valor de I que cumple la siguiente condición:

nn

iiii )1(

F...

)1(

F

)1(

F

)1(

F3

32

210

Pasando todos los términos, se deriva de esta definición la siguiente que es

totalmente equivalente a la primera:

0)1(

F...

)1(

F

)1(

F

)1(

FVAN

33

221

0

nn

iiii

Esto es, la tasa a la cual el valor actual de los flujos de fondos de un proyecto de

inversión se anula. Es decir, aquel tipo de actualización o descuento, i, que hace igual a cero el valor actual neto.

En el método del valor actual neto, la tasa i era un dato que de una u otra forma, y con mayor o menos imperfección, nos proporcionaba el mercado. En este criterio, la tasa, es precisamente la incógnita del problema. Fórmula:

n

tt

t

i10 )1(

F

El cálculo de la tasa de retorno presenta mayores dificultades que la determinación

del valor actual neto. Para resolver la ecuación, dado que se trata de una ecuación de grado n, suele utilizarse el procedimiento de “prueba y error”.

Si los flujos netos de fondos son constantes en los n períodos, la TIR viene dada por la siguiente expresión:

int a F0

Y si además la duración de la inversión es ilimitada, la tasa de retorno vendrá

definida por la ecuación:



0

F

ti

En este criterio será necesario conocer el “suelo” mínimo de rentabilidad de i, para

poder decidir si conviene llevar a cabo la inversión. Regla de decisión: sólo interesará realizar aquellos proyectos de inversión cuya tasa de retorno i sea superior que el costo de obtener los fondos, que es la llamada condición de “efectuabilidad de una inversión”. Cuando existan varias alternativas de inversión efectuables, se dará prioridad a aquella cuya tasa de retorno sea mayor. TIR > tasa de corte invertir. TIR = tasa de corte indiferencia. TIR < tasa de corte no invertir. Supuestos incluidos en TIR: en el criterio de TIR se supone que los flujos netos de fondos positivos son reinvertidos, mientras dure la inversión, a la misma tasa (TIR), y que los flujos netos de fondos negativos son financiados con capital cuyo coste es también igual a la tasa i (TIR).

Partiendo de la ecuación principal se observa que, para que al inversor le fuera indiferente percibir los flujos netos de fondos positivos o para pagar los flujos de fondos negativos en las fechas que indican, o al final del año n, los flujos positivos tendrían que ser reinvertidos a un tipo de interés igual a i y los flujos de fondos negativos deberían ser financiados a un coste también igual, i.

En definitiva, este supuesto tiene dos importantes corolarios. Uno de ellos supone que los tipos de reinversión y los costes futuros de capital son iguales. El segundo supone que permanecen constantes mientras dura el proyecto. Es muy posible que en ciertas circunstancias estos corolarios no se ajusten la realidad. Ejemplo:

Reconocer la tasa interna de retorno de cada inversión y su orden de preferencia.


de inver-sión

Desem-bolso inicial

1F

2F 3F 4F 5F 6F TIR


A -10000 8000 4000 5000 0 0 0 0,3628 1 B -5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 0,3266 2 C -8000 4000 6000 0 0 0 0 0,1514 3 D -11000 0 -2000 0 0 8000 19000 0,1445 4 E -4000 1000 1000 1000 1000 1000 0 0,0793 5 F -4000 3000 1200 0 0 0 0 0,0388 6

Para un coste de capital del 7 %, la inversión F tendría que ser descartada del

análisis.




Concepto: en 1932, Keynes presentó formalmente el concepto de eficiencia marginal del capital (TIR) concebida como una medida de la rentabilidad prospectiva de los proyectos empresarios de inversión.

Keynes aplicó en concepto de la tasa efectiva del costo de un préstamo a la edición del rendimiento prospectivo de una inversión, de modo que dicho rendimiento que estaba medido, en los mismos términos que la tasa de interés de un préstamo, pero relacionando el importe de la inversión con los rendimientos esperados en lugar de con los pagos comprometidos.

De esa manera, resultaba no sólo posible cuantificar la rentabilidad esperada de los proyectos de inversión, sino también compararlos directamente con la tasa de costo financiero de los fondos requeridos para su financiación. Dicho de otra forma, así como un préstamo puede expresarse como un flujo de fondos, en el cual los ingresos representan el o los importes recibidos, y los egresos los pagos comprometidos para su cancelación, Keynes entendió que un proyecto de inversión podía formalizarse también bajo la forma de un flujo de fondos, considerando como egresos las inversiones y como ingresos los rendimientos esperados de su realización.

La tasa interna de retorno, denominada por Keynes como eficiencia marginal del capital, se generaliza como la tasa a la cual el valor actual de los rendimientos esperados de un proyecto igualan a la inversión requerida para llevarlo a cabo. Proyectos de inversión y financiación “simples” y “no simples”: una inversión se dice que es simple cuando es positivo el signo de todos los flujos netos de fondos y negativo el signo del desembolso inicial. O por el contrario, cuando el signo del desembolso inicial es positivo y el de los flujos netos de fondos es negativo.

Cuando el desembolso inicial es negativo y alguno de los flujos de fondos también son negativos, mientras que otros son positivos, se dice que la inversión es no simple. Diferencias y analogías entre VAN y TIR: Se trata de dos criterios que se apoyan en supuestos distintos y que miden aspectos

diferentes de una misma inversión. Ambos utilizan flujos de fondos netos de impuestos. Ambos tienen en cuenta el valor tiempo del dinero. La TIR es una incógnita del proyecto que emerge de las condiciones propias del mismo;

mientras que en el VAN, la tasa de corte utilizada es un dato desde el exterior. El criterio del VAN mide la rentabilidad de la inversión en términos absolutos, mientras

que el criterio de la TIR mide la rentabilidad de la inversión en términos relativos, señalando el porcentaje de rendimiento del proyecto.

El VAN supone la reinversión de los fondos a la tasa de corte, mientras que la TIR lo hace a la misma tasa.

Se trata de dos criterios más bien complementarios que sustitutivos. Ranking de proyectos cuando no existe igualdad entre los criterios: observando los ejemplos planteados anteriormente para ambos criterios, se tiene que: Proyecto de

inversión VAN


TIR Orden de

preferencia A 5051,88 2 0,3628 1 B 4533,08 3 0,3266 2 C 978,95 4 0,1514 3



D 5617,51 1 0,1445 4 E 100,20 5 0,0793 5 F -148,14 Rechazada 0,0388 Rechazada

Esta disparidad entre los resultados obedece a que ambos criterios se apoyan en supuestos diferentes y miden aspectos distintos de la inversión. Dado que el VAN representa la rentabilidad del proyecto en términos absolutos, se identificará que existe una conexión más directa entre el objeto general de la empresa (maximizar su valor actual) y el VAN, que entre este objeto y la TIR que mide la rentabilidad en términos relativos. Caso A: elección entre los criterios VAN – TIR:

Flujos Netos

Proyecto de inversión

Desembolso inicial

Año 1 VAN


TIR Orden de

preferencia

A -50000 65000 10747,66 2 30 % 1 B -100000 120000 12149,53 1 20 % 2

Tasa de corte = 0,07 = 7 %.

¿Qué criterio de selección se debe adoptar? Según el criterio del VAN será preferible la inversión B a la A. Según el criterio de la TIR será preferible la inversión A a la B.

Pero si la empresa cuenta con $150000:

Llevará a cabo las dos inversiones cualquiera sea el criterio utilizado. Si la empresa sólo cuenta con $100000 (es decir, son mutuamente excluyentes):

La empresa debe elegir la inversión B, porque es la que contribuye en mayor medida al objetivo general de la misma (maximizar el valor actual).

Realizando los cálculos correspondientes se comprobará que a la empresa no le conviene realizar la inversión A, y de manera a conjunta, invertir los restantes $50000 en el mercado financiero (al 7 %) ya que arrojaría una TIR del 18,5 %, teniendo ya de por sí un VAN inferior al de B. Si la inversión B fuera fraccionable (no suele ocurrir en la realidad):

La política óptima consistiría en realizar la inversión A y la mitad de la inversión B, con lo que la rentabilidad media de los $100000 sería inferior al 30 %, pero superior al 20 %. Si la empresa dispusiera de dos inversiones como la A:

Invertiría en ellas los $100000, y obtendría un VAN de 21495,32




( 66,107472 ) y una TIR del 30 %. Si la empresa dispusiera de más de $50000 pero menos de $100000:

Ya no existiría problema de elección, pues sólo se podría realizar la inversión A.

Si se tienen dos inversiones, Irvin Fisher denomina “tasa de retorno sobre el coste” a aquella tasa que iguala al VAN de ambas inversiones. Así, para las inversiones A y B, la tasa de retorno sobre el coste será:

VANA = VANB

)1(

120000100000

)1(

6500050000

ii

%1010,0 i

Conclusiones: respecto a la disputa entre tasa interna de retorno versus el valor actual neto como parámetros de selección y evaluación de inversiones, se puede decir que tal discusión no tiene solución, dado que se trata de parámetros que ponen de manifiesto aspectos distintos de la rentabilidad prospectiva de los proyectos considerados: en el primer caso en términos relativos y en el segundo en términos absolutos.

También se debe desechar del análisis la posibilidad de adoptar reglas mecánicas para la decisión de inversión, considerando tanto a la TIR como al VAN como simples indicadores de una rentabilidad prospectiva (por no decir conjetural), pudiendo llegar fácilmente a la conclusión de que la decisión de inversión es un proceso mucho más complejo que la simple comparación entre dos o más valores.

La respuesta es que se trata de un simple indicador, tan convencional como los demás que se han propuesto a tal fin, y cuya utilización debe hacerse aplicando una sola regla: la del sentido común.

La evaluación de un proyecto de inversión considera a la tasa interna de retorno



como un punto de partida, y en modo alguno como la culminación del proceso de análisis, en el cual seguramente será tomada en cuenta como dato del problema, pero no como pauta de su resolución. Caso B: existencia de tasas de retornos múltiples:

Una clara situación de inconsistencia del criterio de la tasa de retorno de presenta cuando nos encontramos con inversiones con varias tasas de retornos positivas o sin ninguna tasa de retorno real. En estos casos se dice que dicho criterio no es consistente.

La tasa de retorno de una inversión es una medida de su rentabilidad, al igual que el precio de un determinado bien es una medida de su valor, y por lo tanto debería venir expresada siempre por un valor real único.

¿Cómo es posible que existan inversiones con varias tasas de retorno?. Tal posibilidad no debe sorprender si se ha de considerar que la TIR viene definida por una ecuación de grado n, y que existe un teorema de álgebra según el cual “toda ecuación de grado n tiene siempre n raíces o soluciones”. Por ello, la que normalmente se hace es tomar la raíz positiva (cuando existe) y descartar las restantes soluciones negativas, nulas o imaginarias, por carecer de sentido económico.

El problema se presenta cuando existen varias tasas de retorno positivas y ninguna tasa de retorno real. Estas situaciones paradójicas sólo se dan en algunas inversiones “no simples”.

La regla de los signos de Descartes establece que en toda ecuación de grado n puede haber tantas raíces positivas como cambios de signo existen en los valores de 0 y tF . Por

lo tanto, las inversiones “simples”, en las que existe un único cambio de signo, tienen siempre una única solución positiva.

Se observa en el gráfico que la inversión tiene dos tasas de retorno positivas. Esta paradójica situación sólo puede darse en determinados tipos de inversiones “no simples”, concretamente en las inversiones “mixtas” (éstas, como son en parte inversiones y en parte financiaciones, la rentabilidad del proyecto suele estar relacionada funcionalmente con el coste del capital y ésta es la causa de la existencia de tasas de retorno múltiples).

En estos casos se dice que el criterio de la tasa de retorno no es consistente, porque




conduce a resultados que no concuerdan con la lógica, o al menos no concuerdan con el concepto intuitivo que se tiene del tipo de interés. Al igual que a toda inversión se le puede asociar un único VAN, también se le debe asociar una única tasa de retorno. Consideraciones finales del caso planteado: el concepto de saldo de un proyecto se define tanto para inversiones “simples” como para inversiones “no simples”, pero en cualquier caso, el saldo del proyecto puede ser positivo, negativo o nulo. Cuando el saldo del proyecto es positivo: la empresa está endeudada con el proyecto,

porque éste ha generado hasta ese momento una rentabilidad superior a la rentabilidad esperada i.

Cuando el saldo del proyecto es negativo: el proyecto está endeudado con la empresa por haber generado hasta ese momento una rentabilidad inferior a la normal, y la empresa ha obtenido del proyecto unos fondos inferiores a los esperados.

Cuando el saldo del proyecto es nulo: la rentabilidad obtenida coincide con la esperada, y la cuenta entre el proyecto y la empresa se halla saldada en ese momento.

Por lo tanto, en el caso de una inversión “mixta”, la empresa se comporta con

relación al proyecto como si fuera un banco. Cuando el saldo es negativo, el proyecto le adeuda a la empresa, dado que en ese momento las transferencias del proyecto a la empresa han sido inferiores a las esperadas. Por el contrario, cuando el saldo es positivo, es la firma quien adeuda al proyecto en ese momento y la empresa tiene que acreditarle al proyecto ese saldo positivo, y pagarle un tipo de interés k, que será lógicamente inferior a i, al igual que un banco cobra a sus clientes por los créditos concedidos un tipo de interés superior al que abona por las imposiciones que éstos hacen.

Este tipo de interés k debe ser igual justamente al coste de capital de la firma. No debe ser superior, porque entonces la financiación interna le saldría a la empresa más cara que la externa. Pero tampoco debe ser inferior, porque entonces, la empresa estaría infravalorando los recursos financieros suministrados por el proyecto de inversión, con relación a los obtenidos en el mercado financiero.

Los sucesivos saldos de un proyecto de inversión “mixta” deben formularse, pues, en función de los dos tipos de interés i y k, existiendo una relación funcional entre la rentabilidad del capital invertido i y el coste del capital k. Cuanto más elevado es el coste del capital para la empresa, mayor es el valor de los saldos positivos para el proyecto, y por lo tanto mayor será la rentabilidad del capital invertido en el mismo. Existe pues una relación funcional creciente entre i y k.

ÍNDICE DE RENTABILIDAD (O RATIO GANANCIA – COSTE)

Definición: se obtiene dividiendo el valor actualizado de los flujos netos de fondos o cashflow de la inversión por el desembolso inicial o tamaño de la misma, es decir:

0

1R

)1(F

n

t

tt i



Regla de decisión: sólo serán aceptadas aquellas propuestas de inversiones cuyo 1R , y conduce al mismo resultado que el criterio del VAN (pero si las inversiones son mutuamente excluyentes, es preferible el VAN).

Este criterio es el mismo que aquel que anteriormente se denominó “criterio de flujo neto de fondos total por unidad monetaria comprometida”, si bien es más perfeccionado al actualizar el cashflow de la inversión, sigue adoleciendo del defecto de proporcionar una medida de la rentabilidad referida a toda la vida de la inversión y no a una base temporal anual.

TASA REAL DE REINVERSIÓN (TRR)

Definición: segrega los componentes que se pueden reinvertir, para ello se descomponen los flujos de fondos después de impuestos en los siguientes conceptos: CFt = cargas financieras del período t: por el capital ajeno utilizado en la financiación

de la inversión inicial. Dt = dividendos del período t: que retribuyen el capital propio empleado en la

financiación de la inversión inicial. rt = cuota de amortización del período t: que es un concepto teórico que se podría

descomponer en la parte correspondiente al capital propio y ajeno. PRt = previsión y reservas del período t.

Dado que CFt y Dt deben pagarse en cada período, no son susceptibles de reinversión, mientras que PRt y rt sí constituyen una fuente de financiamiento, y por ende la TRR es la rentabilidad media de esos montos.

La rentabilidad total de los fondos en un período t, será:

t

tttt P

CFTGRT

Gt = ganancia contable del período. Tt = impuestos directos sobre ganancia del período t. Pt = pasivo total del período t.

Si se desdobla la expresión anterior en costos financieros y rentabilidad, se obtiene:

tt

ttttt FAFP

kFFAFPPRRT

FPt = fondos propios del período t. FAt = fondos ajenos del período t. kFt = costo financiero del período t.

O sea que:




ttt FAFPP

t

ttt FP

TGPR

t

tt FA

CFkF

t

ttt FP

TGPRTRR

PRt = previsiones y reservas del período t. FPt = fondos propios del período. Gt = ganancia contable del período. Tt = tasa de impuestos directos sobre ganancia del período.

Luego el VAN resulta:

n

t

n

tttt

tm

ii1 10 )1(

)TRR1(F

)1(

FVAN

Corrección por riesgo de la tasa de descuento. Criterio del valor esperado. Equivalentes a la certeza. Método Hiller.

CORRECCIÓN POR RIESGO DE LA TASA DE DESCUENTO

Si asumo que el proyecto tiene riesgo, el valor de la tasa de interés que voy a utilizar como costo del capital será mayor. En otras palabras, se aumenta la tasa de descuento en función del grado de riesgo del proyecto en cuestión; cuanto mayor sea éste, mayor será la tasa de interés.

CRITERIO DEL VALOR ESPERADO

Si existe una propuesta o proyecto “A” de inversión, supongo que A se puede asociar a una variable aleatoria que puede asumir distintas probabilidades de ocurrencia, por lo existen resultados monetarios asociados a esa probabilidad de ocurrencia.

n

t 11 1PVE



Se optará por aquel proyecto de inversión cuyo valor esperado sea mayor.

EQUIVALENTES A LA CERTEZA

Ajusta en función del riesgo a los flujos de los fondos esperados por un coeficiente t’ cuyo valor estará comprendido entre 0 y 1, e indican que al decididor le es indiferente asumir Ft en condiciones de riesgo o )F( tt en condiciones de certeza.

tperíodo elen inciertos fondos de Flujo

tperíodo elen ciertos fondos de Flujo

t

t

F

F

t

ttF

F

MÉTODO HILLER

Sabiendo que los flujos de fondos )(Ft y la inversión inicial )( 0 son variables

aleatorias a las que se le asocian probabilidades de ocurrencia y desvíos. De las que se conocen sus esperanzas matemáticas y varianza. Es un método de simulación.

Criterio de Bayes o principio de la razón insuficiente. Criterio maximin. Criterio maximax. Criterio Hurwick. Criterio minimax (Savage). Análisis de sensibilidad. Teoría de los juegos.

CRITERIO DE BAYES O PRINCIPIO DE LA RAZÓN INSUFICIENTE

Este método establece que si se carece de información sobre las probabilidades asociadas con los flujos de fondos, se deben asignar probabilidades iguales a cada uno de ellos en el cómputo del valor esperado de cada curso de acción alternativo. Dadas sus desventajas, este criterio se interpreta a veces en el sentido de que no hay razón alguna para tomar un curso de acción el lugar de otro, no se ha de realizar acción alguna. Puesto que la falta de acción es en sí un curso de acción (basado en la insuficiencia de razones) es difícil atribuir racionalidad a esta interpretación.




CRITERIO MAXIMIN O DE WALD

Este método consiste en maximizar la ganancia mínima posible, es decir, minimizar el valor de las ganancias esperadas y de esas mínimas ganancias tomar el mayor. Es un criterio altamente conservador.

CRITERIO MAXIMAX

Considera la alternativa que ofrece el beneficio más atractivo y rechaza otra contingencia. Toma las máximas ganancias y asume la mejor.

CRITERIO HURWICK

Consiste en realizar un promedio ponderado entre los valores mínimos y máximos de cada alternativa.

CRITERIO MINIMAX (SAVAGE)

Se centra en el costo de oportunidad. A tal efecto se construye una matriz de aflicción a partir de la matriz de pagos de cada alternativa. El objetivo de este criterio es la protección al decididor de los costos de oportunidad excesivos, y para lograrlo aplica el método Minimax a la matriz de aflicción. En otras palabras, consiste en determinar el costo de oportunidad de cada alternativa. Se construye: frente al proyecto A dejo de hacer B y por no hacer B pierdo tanto, y en función de esa construcción de las que son positivas la más chica (de las máximas, la más chica).

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Este método implica la revisión de estimaciones inciertas de flujos prospectivos de fondos y la investigación de la medida del mérito de la inversión en relación con tales revisiones de las estimaciones. En computación se arma el modelo de simulación (hago una construcción matemática, sobre la realidad y se hace variar cada uno de los componentes del modelo y en función de esto veo cómo se comporta la simulación). Se adopta el modelo con menos sensibilidad.

MODELO DE SHACKLE

Este método se considera como una exposición de los factores psicológicos implícitos en la toma de decisiones bajo incertidumbre. No tiene aplicación práctica.

TEORÍA DE LOS JUEGOS

La teoría de los juegos es un enfoque matemático del conflicto de intereses (ejemplo: conflicto laboral). Busca lograr un punto de equilibrio en un conflicto de intereses.

En estos procesos dinámicos y adaptativos de inversión cobra especial interés el concepto de “árbol de decisión” o “diagrama de flujos”.



El grafo: podemos definirlo como un conjunto de elementos relacionados de algún

modo. El árbol: es un tipo particular de grafo o red. El árbol es una red o grafo conexo sin

ciclos, de modo tal que al suprimir un arco cualquiera ya deja de serlo.

Su utilidad se presenta en la toma de decisiones de inversión en condiciones de riesgo.

DEFINICIONES PREVIAS

Modelo: es una representación simplificada. Simulación: es esencialmente una analogía, o sea una similitud de propiedades o de relaciones, sin que haya identidad.

ETAPAS A SEGUIRSE EN UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN




Definición: es el efecto modificatorio de la rentabilidad de los capitales del inversor producida por la financiación parcial de un proyecto de inversión. Alternativa A: proyecto de inversión con financiación parcial mediante un préstamo de $3000, obtenido a la tasa del 12 % en el momento cero y que deberá ser devuelto en el momento tres, abonándose los intereses al concluir cada período.

Períodos Ft. Proyecto

puro Ft. De

financiación Ft.

Modificado 0 -5000 3000 -2000 1 2000 -360 1640 2 1000 -360 640 3 1500 -3360 -1860 4 1800 1800 5 1600 1600

TIR 17,59 % 12,00 % 25,81 %

Efecto palanca: 8,21 % de la renta adicional. Alternativa B: proyecto de inversión con financiación parcial mediante un préstamo de $3000, obtenido en el momento cero sin especificar la tasa de interés por el que se devolverán %5000, en el momento tres.

Períodos Ft. Proyecto

puro Ft. De

financiación Ft.

Modificado 0 -5000 3000 -2000 1 2000 2000 2 1000 1000 3 1500 -5000 -3500 4 1800 1800 5 1600 1600

TIR 17,59 % 25,91 % 15,49 %



Efecto palanca: -2,10 % de renta para el inversor.

Variables que definen la palanca financiera: Tipo de interés. Cuantía de la financiación. Plazo de la financiación.

En general, los bonos muestran ser sensibles o reaccionan frente a expectativas de baja o suba de los tipos de interés, de acuerdo al plazo (maturity) y al importe de los cupones. Aquellos de menor cupón y mayor plazo son más sensibles a las variaciones de las tasas de mercado, es decir, reaccionan con mayor fuerza frente a la suba o baja de los tipos de interés.

Existen métodos sencillos que permiten completar el análisis y valuación de títulos, captando los cambios en los precios de los bonos por variaciones en los tipos de interés.

La estrategia de cobertura y gestión de una cartera de bonos obliga a tener en cuenta y comprender la utilidad de ciertas técnicas como: Duración. Convexidad. Volatilidad. Duración (inmunización):

El concepto de duración fue desarrollado por Macaulay y constituye una medida de madurez y del riesgo de un bono. Es la media aritmética ponderada de los cashflow actualizados. Su fórmula de cálculo es la siguiente:

n

t

tt

t1 P

)R1(

CF

D

donde: D = duración del bono. t = número de períodos hasta cada pago. R = TIR del bono o tasa efectiva del período. CFt = es el pago de cupón y/o valor par (cashflow) recibido por el inversor en el período t. P = precio del bono.

La duración aparece como una técnica importante a la hora de analizar la conveniencia de comprar o vender bonos. Al construir los distintos escenarios con variaciones en las tasas de interés durante la vida del título, se genera lo que se conoce como horizonte inmunizador.




Duración modificada:

Se utiliza como medida más precisa del riesgo, y su fórmula de cálculo es la siguiente:

)R1(

DDM

Desde el punto de vista financiero, permite prever precios ante expectativas de

variaciones de los tipos de interés e inmunizar balances sensibles al riesgo. Asimismo, se la puede utilizar para el cálculo de la sensibilidad del precio de un

bono ante cambios en la TIR de mercado o tipos de interés (elasticidad precio – TIR), de la forma:

RDMP

P

Convexidad:

Cuando se pretende realizar comparaciones de la convexidad entre distintos bonos con la misma duración, es necesario disponer de una expresión estandarizada de la misma.

Es indicadora de la aceleración del precio con respecto al tipo de interés, se puede definir entre el precio real y el precio del bono estimado por la línea de duración modificada. Es la tasa de variación de la duración ante variaciones en la tasa. Volatilidad:

La volatilidad de los bonos está directamente relacionada con su duración. Es una medida resumen del posible efecto del cambio del tipo de interés en una cartera de deuda. La fórmula de cálculo sería:

)R1(

DMl)(porcentua dVolatilida

VALUACIÓN DE UN BONO

El valor del bono se fija a través de un precio que se calcula como la suma de los

valores actuales de los servicios de renta y amortización que se esperan recibir en el futuro.

n

tt

t

1 )R1(

CP



donde: P = precio del bono. R = TIR. Ct = Ft en el momento t. T = período de tiempo comprendido desde el momento de la valuación hasta el momento de pago de cada cupón.

Se deduce de lo expuesto que la relación entre el precio de un bono y la TIR es inversa, es decir, si la tasa aumenta, el precio disminuye y viceversa. Principios que afectan el precio de los bonos y su riesgo: El precio de los bonos está inversamente relacionado con el Yield de los mismos. O sea

cuando las tasas de interés de mercado caen, el precio de los bonos sube y viceversa. Para una tasa de cupón dada, cuanto mayor sea el plazo del bono, mayor será la

variación porcentual del precio ante un cambio determinado en las tasas de interés. Para un plazo determinado, cuando menor sea la tasa del cupón mayor será la variación

porcentual del precio ante una variación determinada en las tasas de interés. Para una determinada tasa de cupón y un determinado plazo, el incremento de precio

debido a una reducción en las tasas de interés va siempre a exceder la baja del precio para un incremento de la tasa equivalente. O sea habrá incentivos para construir un portafolio más convexo que uno menos convexo, pues se obtendrá un mayor rendimiento tanto en un mercado con baja de tasas o en uno de suba de tasas.

LAS SEIS IDEAS MÁS IMPORTANTES EN FINANZAS

1- Valor actual neto:

Entendemos por tal al valor actual de los flujos netos de fondos futuros esperados. El criterio es muy importante pensando en este sentido: “permite a muchos

inversores que pueden tener muy diferentes niveles de riqueza y actitudes hacia el riesgo, participar en la misma empresa y delegar su administración en un profesional dando una simple instrucción: maximizar el valor actual (agregar valor a la empresa)”. 2- Modelo de equilibrio de activos financieros:

Proporciona una vía flexible sobre la rentabilidad exigida a una inversión con riesgo.

Hay dos clases de riesgo: el que se puede diversificar; y el de mercado (no diversificable), que indica el grado en que afecta al valor de la inversión un cambio en el valor agregado de todos los activos de la economía. 3- Mercados de capitales eficientes:




Los precios de los títulos reflejan cuidadosamente la información disponible y

responden con rapidez a la nueva información tan pronto está disponible. 4- La actividad del valor y la ley de conservación del valor:

El principio de actividad de valor establece que el valor del conjunto es igual a la suma de los valores de las partes. Esto implica, entre otras ideas, que no se puede aumentar el valor mediante la unión de dos empresas a menos que con ello se incremente el flujo total de caja, no hay beneficio en las fusiones sólo por la diversificación (base de la teoría de Modigliani – Miller: si todo lo demás permanece igual, los cambios en la estructura de capital no afectan el valor de la empresa). 5- Teoría de opciones:

Significa la oportunidad de realizar una operación en el futuro de acuerdo con las condiciones fijadas hoy, o sea: con frecuencia vale la pena pagar hoy por la opción de comprar o vender un activo mañana. 6- Teoría de agencia:

La idea que conlleva es que una corporación es un conjunto que incluye directores, empleados, dueños y obligacionistas, limitados en conjunto por una serie de contratos formales e informales para asegurar que todos trabajen hombro con hombro por el bien común.

LOS DIEZ PROBLEMAS NO RESUELTOS POR FINANZAS

1- ¿Cómo se adoptan las principales decisiones financieras?

Planificación estratégica: intenta detectar las líneas de negocio en las que la empresa tiene las mayores oportunidades a largo plazo, así como desarrollar un plan para alcanzar el éxito en el negocio. A pesar de ello, no todas las empresas logran realizarlo acabadamente. 2- ¿Qué determina el valor actual y el riesgo de un proyecto?

Decimos que una buena inversión de capital es aquella que tiene un VAN positivo, pero, ¿por qué algunas empresas consiguen rentas económicas mientras que otras en la misma actividad no?, ¿por qué algunos activos reales tienen riego y otros son relativamente seguros?. Para muchas cuestiones tenemos respuesta, pero por ejemplo la estimación del riesgo es todavía más bien un asunto en buena medida fruto del instinto. 3- Rentabilidad y riesgo: ¿nos hemos olvidado de algo?

Enigma: si preocupa a los inversores el riego diversificable, entonces las empresas deberías ser capaces de aumentar su valor simplemente diversificado, no obstante, hay evidencia de que las inversiones no pagan más por empresas que diversifican, es difícil ver por qué habrían de pagar más, ya que habitualmente las inversiones pueden diversificar mejor que las empresas. Tal vez el riego diversificable únicamente parezca importante porque está correlacionado con otra variable X que determina verdaderamente las tasas de



rentabilidad esperadas que exigen los inversores. Esto resolvería el enigma, pero no podemos identificar aún la variable X y probar que es relevante. 4- ¿Hay excepciones importantes a la teoría de los mercados eficientes?

Por ejemplo: ¿por qué las acciones de pequeñas empresas parecen tener rendimientos medios mayores que aquellos de grandes empresas con betas comparables?

Mientras esta evidencia permanezca, deberíamos ser cautos suponiendo que las acciones están necesariamente correlacionadas correctamente. 5- ¿Es la dirección de la empresa un pasivo fuera del balance?

¿Por qué una compañía de fondos de inversión o cualquiera de las demás empresas, se venden con un descuento sobre el valor de mercado de sus activos?. Una explicación es que el valor agregado de la dirección de la empresa es menor que el costo de la dirección, por eso se sugiere que la gestión debería ser un pasivo fuera del balance. 6- ¿Cómo podemos explicar el éxito de los nuevos títulos y los nuevos mercados?

En los últimos veinte años las empresas y los mercados de títulos han creado una enorme cantidad de nuevos títulos – opciones, futuros, opciones sobre futuros, bonos a tipo variable, etc.

La verdad es que no se entiende por qué algunas innovaciones tienen éxito en los mercados y otras nunca consiguen despegar. 7- ¿Cómo podemos explicar la estructura de capital?

Modigliani y Miller han manifestado que el valor de la empresa depende de variables reales y que las decisiones de financiación afectan simplemente al modo en que los flujos de caja se empaquetan para su distribución entre los inversores. Ahora bien: ¿no es importante realmente en cuánto se endeuda la empresa?. Y así saber si las diferencias en la estructura de capital reflejan diferencias en la importancia relativa de las oportunidades de crecimiento. 8- ¿Cómo podemos resolver la controversia sobre los dividendos?

Hay mucha discusión en torno a la política de dividendos, algunos creen que son buenos, otros piensan que son malos, y también hay quienes los consideran irrelevantes, pero lo cierto es que sobre este asunto no se ha pasado del dominio de la teoría financiera.

acciónpor Ganancia

acciónpor efectivoen Dividendospayout o efectivoen Dividendos

Dividendos en efectivo = 1 Toda la ganancia se distribuye en efectivo. 9- ¿Cuál es el valor de la liquidez?

A diferencia de las inversiones financieras, el dinero en caja no rinde interés. Quien




mantiene tesorería tiene que creer que esta liquidez adicional compensa la pérdida de intereses. En equilibrio, el valor marginal de la liquidez adicional debe ser igual al tipo de interés de las inversiones.

Obviamente cualquier empresa tiene que ser capaz de obtener dinero en muy poco tiempo, pero no existe una buena teoría sobre cuánto dinero potencial es suficiente o a qué velocidad debería ser capaz la empresa de conseguirlo. 10- ¿Cómo se pueden explicar las fusiones?

No hay una única hipótesis que sea a la vez plausible y general y que tenga visos de explicar la actual corriente de fusiones. Puede haber una especial para cada fusión, pero necesitamos una general que explique las oleadas de fusiones.

UNIDAD 5: OPERACIONES BURSÁTILES Y MERCADO DE CAPITALES

CONCEPTOS PREVIOS

Algunas variables que intervienen en el Mercado de Capitales son: Sistema financiero:

Entendemos que un sistema es un conjunto de partes independientes que interactúan en pos de un objetivo común.

El sistema financiero está constituido por las siguientes partes: Demandantes y oferentes de fondos. Intermediarios financieros. Diferentas órganos de fiscalización

La interacción de estas partes está dada por: Diversos instrumentos financieros. Un conjunto de normas legales. El funcionamiento del mercado financiero.

El cumplimiento de alcanzar un objetivo común se logra a través de: Las normas legales vigentes en la materia.



Los diferentas órganos de fiscalización, regulación y control. Activos financieros:

Se denomina así, a un depósito de valor que promete a su tenedor un rendimiento o rédito.

También se definen como aquellos títulos que incorporan derechos sobre activos reales. Instrumentos financieros:

Es toda declaración de derechos futuros sobre recursos reales, de tal manera que se espera, hasta el momento del vencimiento, la producción de intereses a su tenedor. Intermediarios financieros:

Se denomina así, a los actores que efectúan habitualmente la vinculación de oferentes y demandantes de fondos, creando a tal fin, sus propios instrumentos financieros. Mercado financiero:

Es el ámbito donde se desarrolla la actividad de los intermediarios financieros, esto es, la toma y colocación de fondos por medio de los diversos instrumentos financieros.

A pesar de que siempre se considera la existencia de un solo mercado, en la toma y colocación de fondos, es posible distinguir entre: Mercado de divisas: es el ámbito en el cual se desarrollan las transacciones de compra y

venta, presente y futura de divisas, esto es unidades de moneda extranjera y asimismo los títulos de corto o largo plazo que se corresponden a las transacciones con divisas.

Mercado de dinero: es el ámbito en el que se “transan” instrumentos financieros de muy corto plazo y en la denominada moneda doméstica.

Mercado de Capitales: es el ámbito en donde se “transan” instrumentos financieros de más largo plazo, como las acciones y títulos, y pueden estar emitidos en moneda doméstica o divisas.

FUNCIONAMIENTO DEL MERCADO DE VALORES

Operaciones:

La legislación nacional regula en su totalidad el mercado de títulos valores abarcando la oferta pública de dichos valores, como así también la organización y funcionamiento de las instituciones bursátiles y la actuación de los agentes de bolsa y demás personas dedicadas al comercio de títulos valores.

Los diferentes mercados de valores operan en títulos valores públicos o privados, en virtud de las condiciones que en cada caso fije la reglamentación respectiva.

La ley exige que para proceder a la oferta pública de títulos valores privados,




representativos de deuda, las empresas deberán presentar obligatoriamente dos calificaciones de riesgo de los títulos que pretendan ofertar, por sociedades calificadoras distintas e independientes habilitadas a tal fin, a excepción de las pequeñas y medianas empresas.

Las calificaciones deben ser periódicamente revisadas por las sociedades que las efectúan, debiendo informarse tal circunstancia a la autoridad contralor y publicar sus dictámenes en la forma y oportunidad que fije la Comisión Nacional de Valores.

Las calificaciones de los títulos deben actualizarse trimestralmente, hasta la amortización total del mismo; y de tratarse de la calificación de una emisión de obligaciones negociables convertibles, hasta que todas ellas se rescaten o hubieran sido convertidas.

Las calificaciones de riesgo de los títulos de deuda son necesarias para quienes deben tomar decisiones referentes a transacciones en valores mobiliarios como así también para potenciales tomadores.

Además, debe tenerse en cuenta que la calificación se refiere a un título determinado y no al emisor del mismo o a su deuda en conjunto, lo cual implica que hay tantas calificaciones diferentes como títulos del mismo ente emisor.

La ley establece dos atributos de los títulos valores a tenerse en cuenta:

Calidad. Riesgo.

Los entes que desean efectuar las calificaciones de riesgo aludidas precedentemente deben cumplir los siguientes requisitos: Estar constituida como sociedad anónima. Tener como objeto social exclusivo la calificación de títulos valores u otros riesgos. Incluir en su denominación la expresión “calificadora de riesgo”. Contar con el patrimonio mínimo que a tal fin fija la Comisión Nacional de Valores. Capital constituido por acciones nominativas no endosables o escriturales. Poseer una infraestructura adecuada para prestar un servicio eficiente y acorde con la

metodología de calificación aplicable. Estar inscripto en el registro especial que mantiene la Comisión Nacional de Valores,

para lo cual es necesario: Presentar para su aprobación la metodología de calificación y el manual de

procedimiento correspondiente, de los que deben resultar los elementos y criterios que se tienen en cuenta para realizar la calificación.

Registrar las firmas de los integrantes del “Consejo de Calificación” que son los responsables de suscribir los dictámenes de la sociedad.

Para proceder a la calificación de los distintos títulos, debe tenerse en cuenta:

La solvencia, la rentabilidad y la calidad gerencial y de organización del emisor. El contexto económico en el cual opera. Las características del instrumento, incluyendo su liquidez y las garantías del caso. Otros antecedentes provistos por el ente emisor, por ejemplo sus estados contables. Otros antecedentes obtenidos por las sociedades calificadoras de riesgo, en un todo de

acuerdo a la metodología y al manual de procedimientos.



Las calificaciones de los títulos se expresan referenciadas a distintas categorías identificadas con letras A, B, C, D y E, según el siguiente detalle: A: corresponde a títulos de mejor calidad y más bajo riesgo. D: corresponde a títulos de menor calidad y mayor riesgo. E: corresponde a títulos cuyos emisores no hayan cumplido con los requisitos

necesarios para la calificación de su título, en rigor no es una calificación sino que implica una abstención.

En general se usan combinaciones de tres letras para expresar las calificaciones de

los “papeles”, a saber: AAA: muy alta calidad: presupone la más alta capacidad de pago del capital y del interés, en tiempo y forma conforme a las condiciones de emisión. AAA: muy alta calidad: presupone una muy alta capacidad de pago, pero algunos indicadores vinculados con sus posibles variaciones ante cambios en variables de importancia relativamente secundaria no muestran la máxima robustez. A: alta calidad: presupone una alta capacidad de pago, vulnerable frente a cambios muy importantes en el mercado específico del emisor, en los mercados financieros o en las condiciones económicas generales. BBB: alta calidad: presupone una alta capacidad de pago que podría debilitarse ante cambios importantes en el mercado específico del emisor, en los mercados financieros o en las condiciones económicas generales. BB: calidad media: presupone una adecuada capacidad de pago actual, no completamente salvaguardada ante cambios relativamente importantes en el mercado específico del emisor, en los mercados financieros o en las condiciones generales económicas. B: calidad media: presupone una adecuada capacidad de pago actual, que puede verse bastante afectada ante cambios no excesivamente importantes en variables económicas generales y eventualmente mucho ante cambios en variables específicas. CCC: calidad regular: situación de una baja capacidad o incumplimiento de pago, pero ella puede mejorar sensiblemente ante cambios relativamente pequeños en el mercado específico del emisor, en los mercados financieros o en las condiciones económicas generales. CC: calidad baja: indica que hay problemas o retrasos actuales en los pagos, cuya regularización requiere cambios relativamente importantes en el mercado específico del emisor, en los mercados financieros o en las condiciones económicas generales. C: calidad baja: indica serios problemas o retrasos actuales en los pagos y perspectivas muy pobres. D: default: indica situación de no pago.




E: abstención: por no haber proporcionado el emisor información representativa del período mínimo exigido o durante la vigencia de la emisión. Clasificación de las operaciones bursátiles: Al contado: esto significa que las operaciones se liquidan el mismo día o en plazos que

determine el Directorio del Mercado, comprendidos dentro de los cinco días hábiles posteriores al que se concierten. En estos casos corresponde fijar siempre su vencimiento.

Plazo firme: son aquellas en las que el comprador y el vendedor quedan definitivamente obligados, fijando un plazo para su vencimiento.

De pase: estas operaciones, a su vez, pueden ser: Un solo contrato instrumentado en una o más liquidaciones, que consiste en la

compra o venta al contado o para un plazo determinado y la simultánea operación inversa de venta o compra de un mismo cliente, para un vencimiento posterior.

Un solo contrato instrumental en una liquidación, que consiste en diferir la liquidación de una compra o venta a plazo firme.

Una compra o venta a plazo que sea consecuencia de una compra o venta al contado efectuada en la misma rueda o sesión, con distintas contrapartes y por cuenta del mismo cliente.

Caución bursátil: estas operaciones son las que consisten en un pase en el cual el precio de la venta al contado es inferior al de cotización y resulta de los aforos que fija periódicamente el Mercado, siendo además el precio de la venta a plazo superior al de la venta al contado. Las especies objeto del contrato permanecen depositadas en el Mercado durante su vigencia.

De opción: son aquellas en las que una de las partes, el lanzador, se obliga frente a la otra, el tomador, a venderle o comprarle cantidades tipificadas de una especie, al precio fijado y dentro del plazo máximo convenido.

El precio de lanzamiento de la operación se llama “prima” y es pagado al contado por el tomador al lanzador.

El tomador puede ejercer la opción de compra o venta hasta el último día hábil bursátil del plazo de vigencia de aquélla.

El ejercicio implica un nuevo contrato y en ningún caso la prima es deducible del precio.

La constitución de las garantías se dispone de acuerdo a lo establecido en el reglamento operativo del Mercado de Valores. De opción adicional: son aquéllas en las que el comprador o vendedor a plazo firme

adquiere, mediante el pago de una prima, el derecho de pedir o entregar al vencimiento una cantidad adicional de la especie negociada, al precio que se hubiere convenido.

El tomador de la opción deberá ejercerla como máximo, con un día hábil bursátil de anticipación al último día que se pueda operar al contado normal para liquidar en la fecha de vencimiento de la operación a plazo firme.

La constitución de las garantías se dispone de acuerdo a lo establecido en el reglamento operativo del Mercado de Valores. De índice: son aquéllas que tienen por objeto la negociación de una cantidad expresada

en unidades de una cartera de valores cotizados en Bolsa cuyo valor se determina diariamente.

La constitución de las garantías se dispone de acuerdo a lo establecido en el reglamento operativo del Mercado de Valores.



Estas operaciones se liquidan los días que fije la autoridad del Mercado de Valores o en el inmediato anterior bursátil. Funcionamiento de la Caja de Valores S.A.:

La Caja de Valores está constituida por las Bolsas de Comercio y Mercados de Valores del país y sus accionistas.

Las actividades desarrolladas por la Caja de Valores S.A. son: Recibir en custodia títulos valores públicos o privados nominativos no endosables,

cartulares o escriturales con oferta pública autorizada. Efectuar la apertura de subcuentas a nombre de los comitentes y a la orden de los

depositantes respectivos, y asimismo, a pedido del depositante y en forma conjunta, es decir, que se hace necesaria la firma del depositante y comitente para efectuar cualquier movimiento o el retiro de los títulos.

Percibir y acreditar puntualmente dividendos, revalúos, renta, amortización, etc., como así también el canje de acciones dispuestas por los emisores.

Emitir certificados para concurrencia a asambleas y tenencia en custodia. Enviar directamente a los comitentes trimestralmente, un resumen en el que constan los

movimientos registrados en su cuenta. Actuar como agente pagador del Banco Central de la República Argentina para los

títulos de deuda emitidos por el Estado Nacional. Llevar y mantener al día el registro de accionistas y obligacionistas de las empresas con

cotización bursátil. Liquidar por cuenta de los Mercados de Valores de Buenos Aires, Rosario, Córdoba,

Mendoza y el Mercado Regional de Capitales S.A. con asiento en la ciudad de La Plata, la totalidad de las operaciones concretadas en rueda.

Imputar directamente por orden de los agentes de bolsa, las compras o ventas realizadas en los saldos de los comitentes que operaron.

Creación de los fondos comunes de inversión:

Se denomina fondo común de inversión al patrimonio integrado por valores mobiliarios con oferta pública, metales preciosos, divisas, derechos y obligaciones derivados de operaciones de futuros y opciones, instrumentos emitidos por entidades financieras autorizadas por el Banco Central de la República Argentina y dinero, pertenecientes a diversas personas a las cuales se reconocen derechos de copropiedad representados por cuotapartes carturales o escriturales. Estos fondos no constituyen sociedades y carecen de personería jurídica.

La dirección y administración de los fondos comunes de inversión está a cargo de una sociedad anónima habilitada para esta gestión que actuará con la designación de sociedad gerente o por una entidad financiera autorizada para actuar como administradora de cartera de títulos valores por la Ley de Entidades Financieras.

Son obligaciones de la sociedad gerente:




Ejercer la representación colectiva de los copropietarios indivisos en lo concerniente a sus intereses y respecto a terceros, conforme a las reglamentaciones contractuales concertadas.

Tener para ejercer su actividad, un patrimonio de pesos cincuenta mil ($ 50000), el que nunca podrás ser inferior al equivalente de cincuenta mil dólares estadounidenses (U$S 50000).

Las sociedades gerentes de fondos comunes de inversión no podrán tener, en ningún

caso, las mismas oficinas que la sociedad depositaria, debiendo ser éstas totalmente independientes. Fideicomiso:

El negocio fiduciario se define como una declaración de volunta a través de la cual el fiduciante inviste a otro, el fiduciario, de una posición jurídica frente a terceros como medio que excede al fin práctico tenido en vista por las partes, con la obligación de devolver el derecho estando su realización limitada por la convención fiduciaria establecida entre los dos sujetos.

Los negocios fiduciarios se clasifican en: Administración o garantía. Puros o impuros. Universales o particulares. Formales o no formales. Onerosos o gratuitos. Puros o condicionales. Fideicomiso ordinario público:

Se denomina fideicomiso ordinario público cuando una persona, denominada fiduciante, transmite la propiedad fiduciaria de bienes determinados a otra llamada fiduciario, quien se obliga a ejercerla a favor de quien se designe en el contrato, denominada beneficiario, al cumplimiento de los plazos o condiciones previstos en el contrato. Fideicomiso financiero:

Se denomina así, a un contrato en el cual el fiduciario es una entidad financiera o una sociedad especialmente autorizada por la Comisión Nacional de Valores para actuar como fiduciario financiero, siendo los beneficiarios los titulares de certificados de participación en el dominio fiduciario o de títulos representativos de deuda garantizados con los bienes así transmitidos.

Se encuentra prohibido por la ley, la constitución de fideicomisos por acto unilateral, entendiéndose por tal aquéllos en los que coincidan las personas del fiduciante y del fiduciario.

El destino del fideicomiso financiero es el de servir a operaciones propias del



Mercado de Capitales, por lo cual la ley prevé que la Comisión Nacional de Valores sea la autoridad de aplicación respecto de los mismos, a la vez que la faculta para dictar las normas que lo reglamenten.

Los certificados de participación son emitidos por el fiduciario y los títulos representativos de deuda garantizados por bienes fideicomitidos pueden ser emitidos por el fiduciario o por terceros. Obligaciones negociables:

Las sociedades por acciones, las cooperativas y las asociaciones civiles, pueden contraer empréstitos mediante la emisión de obligaciones negociables.

Es un instrumento financiero a ser utilizado para la financiación de operaciones financieras de mediano y largo plazo.

Tienen las siguientes características: Pueden emitirse diversas clases, con derechos diferentes, dentro de cada clase se

otorgarán los mismos derechos. La emisión puede dividirse en series. No pueden emitirse nuevas series de la misma clase mientras las anteriores no estén totalmente suscriptas.

Pueden emitirse con garantía flotante, especial o común. La emisión cuyo privilegio no se limite a bienes inmuebles determinados se considera realizada con garantía flotante.

Pueden contener cláusulas de de reajuste del capital conforme a pautas objetivas de estabilización y otorgar un interés fijo o variable.

Se permite la emisión en moneda extranjera. La suscripción, así como los servicios de renta y amortización, se adecuarán a las normas que rijan en el mercado cambiario.

La salida de las obligaciones del país y su reingreso se podrá efectuar libremente. Las sociedades por acciones pueden emitir obligaciones convertibles a opción del

obligacionista en acciones de la emisora. Los títulos representativos de las obligaciones otorgan acción ejecutiva a sus tenedores

para reclamar el capital, actualizaciones e intereses y para ejecutar las garantías otorgadas.

CONCEPTOS PREVIOS

Dentro de las operaciones de crédito público, la ley de administración financiera

prevé el endeudamiento originado por la emisión y colocación de títulos, bonos u obligaciones de largo y mediano plazo, constitutivos de un empréstito.

Un título público emitido por el Estado Nacional o Provincial, es un instrumento financiero por el cual el Estado capta recursos del Mercado de Capitales y se compromete a su devolución en determinadas condiciones que se fijan en la emisión del mismo.

TIPOS DE TÍTULOS PÚBLICOS

De acuerdo a su estructura financiera, los títulos públicos existentes en los mercados




pueden clasificarse básicamente en los siguientes tres tipos de títulos: Amortizing:

Son títulos por los cuales el gobierno se compromete a pagar periódicamente servicios de renta y de capital. Por ejemplo: el BONEX 92 a 10 años de plazo denominado en dólares, que luego de 2 años de gracia amortiza anualmente un 12,5 % del capital por un período de 8 años y paga una tasa LÍBOR semestral en U$S cada seis meses. Bullet (bala):

Son títulos por los cuales el gobierno se compromete a pagar periódicamente servicios de renta, pero amortizan integralmente al vencimiento. Por ejemplo: una Euroletra denominada en libras esterlinas, que paga semestralmente una tasa de 8,25 % anual, y amortiza integralmente en el año 2002. Bonos de cupón cero:

Son títulos por los cuales el gobierno se compromete a pagar renta y capital

integralmente al vencimiento (generalmente son títulos a descuento), tienen una estructura financiera muy sencilla, siendo común su utilización para obligaciones de largo plazo y con un elevado descuento y en el caso particular de los bonos de cupón cero del Tesoro de los Estados Unidos son utilizados como referencia, ya que se los considera inversión sin riesgo para evaluar distintas calidades crediticias que ofrecen los emisores en los mercados.

Así, sobre la base de la diferencia entre el precio de emisión (valor actual) y el valor nominal al vencimiento (face value) del bono de cupón cero, se calcula el rendimiento esperado del mismo. Por ejemplo: un bono de cupón cero con valor nominal de $130000 y con un plazo de 10 años, justipreciado para rendir un 10 % anual capitalizable, tendría un precio a la emisión de $50.121.

CONDICIONES DE EMISIÓN EN EL MERCADO PRIMARIO DE UN TÍTULO PÚBLICO

Se definen a continuación los principales elementos que configuran un título público

según se establece en la documentación de misión del instrumento financiero. Las condiciones establecidas se mantienen invariantes durante la vida o maduración del mismo, dado que constituyen los derechos del poseedor del papel de deuda: 1- Fecha de emisión:

Es la fecha en la cual se emite el título. Indica el momento a partir del cual tiene vigencia el instrumento de deuda. Ejemplo: el 15/09/1992 es la fecha de emisión del BONEX 92. 2- Plazo:

Indica el tiempo de vida o madurez del título que se emite, rige a partir de la fecha de misión hasta la total extinción de las obligaciones asumidas por el emisor. Ejemplo: el plazo del BONEX 92 es de 10 años.



3- Moneda de emisión:

Corresponde a la moneda de denominación del título. Ejemplo: la moneda del BONEX 92 es el dólar. 4- Valor nominal:

Es el valor por el cual fueron emitidos los títulos. También es llamado face value o valor facial. 5- Monto autorizado a emitir:

Es el monto máximo autorizado a emitir hasta el cual se puede endeudar el Estado mediante la colocación en el Mercado de Capitales del título emitido. Ejemplo: el valor nominal autorizado a emitir del BONEX 92 es V. N. 2500 millones de dólares estadounidenses. 6- Período de gracia:

En los títulos amortizing se define como período de gracia al período en el cual el título no devenga cupones de amortización del capital. Ejemplo: el período de gracia del BONEX 92 es de dos años. 7- Cupones de renta:

Consisten en el calendario de pagos y fórmula y tasa de interés aplicable correspondientes a la renta de capital. Los intereses representan la ganancia que percibe el tenedor del bono, y se calculan sobre el saldo de deuda, aplicando la tasa de interés y el margen que se fijan en las condiciones de emisión. Ejemplo: el BONEX 92 paga un total de 20 cupones de renta semestrales a partir del 15/03/93, y devenga la tasa LIBOR para depósitos en eurodólares a 180 días. 8- Cupones de amortización:

Consisten en el calendario y porcentual de vencimientos de amortización de principal (capital). La amortización representa el reintegro o reembolso del capital; el porcentaje que se aplica para el pago de la amortización depende del plazo del título, del período de gracia y de la regularidad del pago. La regularidad con que los títulos de deuda pública pagan los servicios tanto de renta como de amortización puede ser mensual, trimestral, semestral o anual. Ejemplo: el BONEX 92 tiene un período de gracia de 2 años y a partir de entonces, paga 8 cuotas anuales de 12,5 % del capital en septiembre de cada año. 9- Flujo de pagos:

El conjunto de cupones de renta y amortización integran el flujo de pagos comprometido por el gobierno según condiciones de emisión. Ejemplo: en la siguiente tabla se observa el flujo de pagos del BONEX 92 al 15 de septiembre de 1992 (fecha de emisión del título).




Cupón N° Vencimiento Período (años)

Valor nominal

Amortiza- ción (U$S)

Valor residual

Renta (U$S)

Cupón (U$S)

1 (r) 15/03/93 0,5 100 — 100 1,78 1,78 2 (r) 15/09/93 1 100 — 100 1,66 1,66 3 (r) 15/03/94 1,5 100 — 100 1,66 1,66 4 (r) 15/09/94 2 100 — 100 2,05 2,05 5 (r) 15/03/95 2,5 100 — 100 2,66 2,66 6 (r + a) 15/09/95 3 100 12,5 100 3,25 15,75 7 (r) 15/03/96 3,5 100 — 87,5 2,58 2,58 8 (r + a) 15/09/96 4 100 12,5 87,5 2,31 14,81 9 (r) 15/03/97 4,5 100 — 75 2,22 2,22 10 (r + a) 15/09/97 5 100 12,5 75 2,14 14,64 11 (r) 15/03/98 5,5 100 — 62,5 1,83 1,83 12 (r + a) 15/09/98 6 100 12,5 62,5 1,80 14,30 13 (r) 15/03/99 6,5 100 — 50 1,42 1,42 14 (r + a) 15/09/99 7 100 12,5 50 1,29 13,79 15 (r) 15/03/00 7,5 100 — 37,5 0,99 0,99 16 (r + a) 15/09/00 8 100 12,5 37,5 1,04 13,54 17 (r) 15/03/01 8,5 100 — 25 0,70 0,70 18 (r + a) 15/09/01 9 100 12,5 25 0,73 13,23 19 (r) 15/03/02 9,5 100 — 12,5 0,37 0,37 20 (r + a) 15/09/02 10 100 12,5 12,5 0,38 12,88 10- Precio de emisión:

Es el precio que se fija a la colocación del título (en muchos casos como consecuencia de un proceso licitario) que determina el monto a desembolsar por el acreedor por cada 100 de valor nominal del título emitido. El mismo puede ser bajo la par, sobre la par o a la par (100 %). 11- Monto colocado:



El monto efectivamente colocado de un título puede ser igual o inferior al monto

autorizado a emitir, pero nunca puede superarlo. Ejemplo: el monto colocado del BONEX 92 fue de V. N. 2500 millones de dólares estadounidenses. 12- Títulos escriturales y carturales:

Los títulos escriturales tienen la característica de que son títulos cuyas planchas no se imprimen. La titularidad de los mismos está registrada en “cajas de valores”, razón por la cual sus titulares acreditan su tenencia mediante certificados de depósito emitidos por dichas instituciones. A su vez los títulos carturales son aquéllos cuyas planchas son impresas y sus cupones son cortados físicamente para su cobro. Ejemplo: según condiciones de emisión, el BONEX 92 es un título cartural, ya que en las mismas se estableció que la Casa de Moneda S.E. procederá a imprimir los Bonos que se emitan, según la distribución y la numeración que indique el Banco Central de la República Argentina. Sin embargo, dicho título nunca llegó a imprimirse y sus tenedores acreditan su titularidad mediante certificados emitidos por las respectivas cajas de valores o entidades de registro. 13- Condiciones de registro y de transacción del título en los mercados secundarios:

Son las condiciones definidas en la documentación de emisión del título; establecen qué entidades tendrán la responsabilidad de registrar a los titulares de los títulos públicos en cuestión y emitir los correspondientes certificados de depósito, como así también registrar las transacciones que se operen en los mercados secundarios.

Asimismo, en la emisión se establecen en qué plazas locales e internacionales y bajo qué modalidades se producirán las transacciones en el mercado.

NEGOCIACIÓN Y VALUACIÓN DE UN TÍTULO PÚBLICO EN MERCADOS SECUNDARIOS

Una vez emitido el título y colocado en el mercado primario, el mismo se cotiza en

forma permanente en los mercados secundarios previstos en su emisión, los que le confieren liquidez al papel de deuda.

A continuación se definen una serie de indicadores, los que junto con la cotización diaria del título emitido, permite durante el período de maduración del mismo, valuar el pasivo asumido por el gobierno y efectuar el seguimiento de la percepción del riesgo que el mercado le asigna al título en circulación. 1- Precio de mercado:

Es el precio que surge del libre juego de la oferta y la demanda establecida en la cotización del M.A.E. (Mercado Abierto Electrónico), la Bolsa u otros mercados. Ejemplo: el precio de mercado del BONEX 92 al 30/04/99 ascendía a U$S 48,65 por cada 100 de valor nominal.

El precio de cotización diaria, expresa el rendimiento que el inversor pretende para ingresar al mercado en contraprestación por un flujo de pagos comprometido por el gobierno en las condiciones de emisión, condiciones que no varían en el tiempo. A mayor




precio menor rendimiento del inversor y a menor precio mayor rendimiento del inversor, dado que le flujo de pagos del gobierno, es independiente de la cotización diaria en los mercados.

Dicho rendimiento requerido por el inversor, es una medida del riego país en el “spread” (diferencial de tasa de rendimiento con respecto a otra inversión equivalente de referencia). 2- Intereses corridos (o cupón corrido):

Son los intereses devengados entre la fecha de emisión o de inicio del cupón corriente y la fecha de referencia. Ejemplo: el interés corrido del BONEX 92 desde el inicio del período de renta 14 (del 15/03/99 hasta el 30/04/99), equivale a U$S 0,33 por cada 100 de valor nominal. 3- Valor residual (capital no amortizado):

Es el valor que resulta de descontar a los valores nominales las amortizaciones que se van produciendo y en aquellos casos particulares en los que se capitalizan intereses, sumarle los intereses capitalizables a la fecha. Ejemplo: el BONEX 92 durante el período comprendido entre marzo del 99 y septiembre del 99, tiene un valor residual de U$S 50 por cada U$S 100 de valor nominal, esto significa que el título amortizó un 50 % de su capital. 4- Valor residual técnico:

Es el que resulta de adicionar al valor residual los intereses corridos a la fecha. Ejemplo: el valor residual técnico del BONEX 92 al 30 de abril de 1999 asciende a U$S 50,33 por un monto de U$S 100 en valor nominal, esto significa sumarle los intereses corridos al capital remanente del título (valor residual) desde el inicio del período hasta la fecha de cálculo. Donde, V.R.T. = 50 + 0,33 = 50,33. 5- Paridad:

Es el cociente entre el precio de mercado y el valor residual técnico de un título. Se utiliza para saber si un título cotiza a la par, sobre la par o bajo la par. Ejemplo: la paridad del BONEX 92 al 30 de abril de 1999 es 48,65/50,33 = 97 %. 6- Circulación:

Es el monto de títulos públicos en poder del sector privado. Generalmente se calcula sobre la base del valor residual. Ejemplo: el monto en circulación del BONEX 92 al 30/04/99 asciende a V.R. 3422147 millones. 7- Cartera del sector público:

Es el monto de títulos públicos en poder del Sector Público (en manos, por ejemplo, del BCRA, ANSES, etc.). Ejemplo: el monto en cartera del Sector Público del BONEX 92 al 30/04/99 asciende a V.R. 519464 millones. 8- Cartera del gobierno (monto no colocado):

Es el monto autorizado a emitir menos la circulación al público y la cartera del



Sector Público. 9- Rescate anticipado:

El Tesoro tiene la facultad de retirar de circulación un título antes de su fecha de vencimiento. Como ejemplo, podemos citar los rescates anticipados cuando se utilizan los títulos para adquirir activos del Sector Público (privatizaciones) o cancelar pasivos frente al mismo (como en el caso de moratorias impositivas o provisionales). Ejemplo: al rescate anticipado de BONEX 92 al 30/04/99 alcanzó a V.N. 776638 millones.

INDICADORES USUALES PARA EL ANÁLISIS DE INSTRUMENTOS FINANCIEROS

1- Flujo de pagos a la fecha de análisis:

Representa el flujo de pagos de los servicios que resta atender desde la fecha de análisis hasta la extinción de las obligaciones a cargo del gobierno. 2- Valor presente (VP):

Representa el valor actual de un flujo futuro de fondos a cierta tasa de interés, la cual opera como una tasa de descuento. 3- Tasa interna de retorno efectiva anual o rendimiento (TIREA):

Es la tasa de descuento que determina que el valor actual del flujo de fondos previsto en las condiciones de emisión sea igual al precio de mercado, con lo cual se determina el rendimiento del inversor o la tasa de descuento que iguala el cashflow a cero.

La tasa interna de retorno variará en función del precio del bono y de la eventual variación de la tasa de interés de los flujos futuros en caso de tratarse de un bono a tasa flotante.

Respecto al precio, diremos que si el mismo cotiza a la par, la TIREA será igual a la tasa de interés del título o bono que corresponda; si cotiza sobre la par la TIREA será menos a la tasa de interés; y si cotiza bajo la par la TIREA será mayor que la tasa de interés.

La TIREA ha sido utilizada como el indicador más relevante, hasta que se generalizó el uso del rendimiento semianual. La TIREA supone la reinversión anual de cada flujo a la misma tasa de rendimiento. 4- Rendimiento semianual:

El rendimiento semianual representa una tasa nominal anual en base semestral. Se obtiene a partir de la TIREA.

El rendimiento semianual se utiliza para obtener los “spreads” sobre los rendimientos que se tomen como referencia, ya que en el mercado norteamericano y en parte del euromercado los rendimientos se expresan sobre esta base. 5- Vida promedio:




Es el promedio ponderado del tiempo que resta para amortizar íntegramente el título, o lo que es lo mismo, es el tiempo promedio en el que el inversor tarda en recuperar el capital de su inversión. La vida promedio se mide a partir de la fecha de análisis, ya que la misma va disminuyendo desde la fecha de emisión hasta el vencimiento del título, fecha en la que se hace cero. 6- “Duration”:

Se define como “duration” de un bono al plazo promedio ponderado del flujo de fondos, integrado por los pagos formados por capital más intereses. La “duration” es un mejor estimador que la vida media del tiempo que resta para la cancelación de la obligación por parte del gobierno, como así también de la inmovilización de la inversión por parte del inversor, puesto que la vida promedio considera solamente el flujo de capital que resta amortizar.

Por sus características, la duration es siempre menor que la vida promedio de un título, salvo en los bonos con estructura financiera asimilable a “bonos de cupón cero”, en cuyo caso la duration coincide con la vida promedio del mismo.

Otra visión permite asimilar el valor de la duration de un bono con otro bono teórico asociado de igual rendimiento y de “cupón cero” cuyo plazo de vencimiento es precisamente igual a la duration. 1- Spread:

Es la diferencia entre el rendimiento de un bono y el rendimiento de otro bono que es tomado como referencia. Dicha diferencia es expresión del riesgo – país. Habitualmente se comparan rendimientos de bonos de similar vida promedio. Los spreads se expresan en “puntos básicos”, siendo éstos un centésimo de un uno por ciento. Así, un spread de 1,56 % es igual a 156 puntos básicos. 2- Curva de rendimiento:

Es la relación funcional entre los rendimientos y la vida promedio de una cartera de bonos de un emisor. Generalmente tiene pendiente positiva, lo que implica a mayor plazo, mayor riesgo y por ende mayor rendimiento, como es el caso de los bonos del Tesoro de los Estados Unidos, pero también puede asumir diversas formas en relación con la situación económico financiera del emisor.




ÓRGANOS DE CONTROL DEL SISTEMA FINANCIERO

Los órganos de control del sistema financiero son: Banco Central de la República Argentina. Comisión Nacional de Valores.

Las normas del Banco Central de la República Argentina para preservar la liquidez del sistema financiero son: Efectivo mínimo. Requisitos mínimos de liquidez. Efectivo mínimo y requisitos mínimos de liquidez:

El efectivo mínimo y los requisitos mínimos de liquidez constituyen una reserva de las entidades financieras para atender en tiempo y forma sus compromisos, en especial ante situaciones críticas de liquidez de carácter sistémico.

Ambos requisitos incluirán las reservas de liquidez sistémicas necesarias tanto para afrontar el retiro de los depósitos así como la exigencia técnica para seguir operando al día siguiente de finalizado dicho proceso.

Esta normativa consiste en que por cada depósito, ya sea a la vista (cuenta corriente y caja de ahorros) o a plazo (plazo fijo en sus distintas modalidades), el banco receptor de dichos depósitos tendrá que hacer una reserva en el BCRA, o un corresponsal en el exterior, en concepto de efectivo mínimo o requisito mínimo según corresponda.

Los porcentajes correspondientes a dichas reservas son los siguientes:

Cuentas a la vista. 15,5 % Plazo fijo.

Hasta 89 días. 22 % De 90 a 179 días. 15 % De 180 a 365 días. 10 % Más de 365 días. 0 %

Lo anteriormente mencionado se puede ver más fácilmente en el siguiente ejemplo:



CANALES DE FINANCIACIÓN

Financiación propia: Dinero o bienes como parte interviniente en el capital social, recurso habitual de la

PyME. Acciones: vehículo característico de la sociedad anónima. Retención de utilidades. Financiación ajena: Pasivos corrientes o no corrientes, tales como:

Deudas: que son obligaciones ciertas, determinadas o determinables. Previsiones: que por su naturaleza son estimaciones contingentes.

Canales de financiación no institucionales: Atraso en los pasos. Toma de fondos en el mercado interempresario. Toma de fondos en circuitos marginales.

INSTITUCIONES DEL MERCADO DE CAPITALES ARGENTINO




DINÁMICA DEL MERCADO DE CAPITALES

INFORMACIÓN AL PÚBLICO INVERSOR

Información puntual: Prospecto. Calificación de riesgo (obligaciones negociables). Oferta pública de adquisición de acciones.



Información periódica: Contable. Régimen general. Obligaciones negociables PyMEs. Calificación de riesgo (actualización trimestral). Información ocasional: Sobre cualquier hecho no habitual que por su importancia pueda incidir sustancialmente

en el curso de la cotización de los valores. Convocatorias y resoluciones de asambleas. Aprobación de estados de ejercicio y propuesta destino utilidades (acciones).

FUNCIONES ECONÓMICAS DE LAS BOLSAS DE VALORES

Una Bolsa eficiente lleva a cabo varios cometidos económicos de gran importancia, los cuales son: Fomenta la liquidez de la inversión mobiliaria. Canaliza el ahorro hacia la inversión, convirtiendo el dinero en capital, y contribuye así

al proceso de desarrollo económico. Le permite a los ahorradores participar en la gestión del desarrollo económico. La Bolsa es por ahora el mejor instrumento de valoración de activos financieros. Facilita la circulación y movilidad de la riqueza mobiliaria. La Bolsa es (o debe ser) el barómetro de todo acontecer económico y social, facilitando

una información de carácter general y particular muy importante. Protege al ahorro de la erosión monetaria.

A continuación se analizan una por una todas estas funciones económicas de la Bolsa de Valores. 1- Función de liquidez:

Una función muy importante de las Bolsas de Valores es la de ofrecer a los tenedores de valores mobiliarios la posibilidad de convertirlos en dinero en el momento que lo deseen.

En realidad, la Bolsa se comporta como un gran banco. Unas personas colocan el dinero en ellas y otras lo retiran, y durante el tiempo en que los ahorros están invertidos en la Bolsa los valores mobiliarios suelen producir una rentabilidad no inferior a la obtenida si los ahorros se hubieran colocado en un banco. 2- Función de inversión:

La Bolsa cumple un cometido económico fundamental en cuanto analiza el ahorro




hacia la inversión. A la Bolsa acuden, por un lado, las empresas en busca de capital, que ofrecen a los ahorradores la posibilidad de convertirse en sus socios o en sus acreedores, y por otro lado, a la Bolsa acude el público en general ofreciendo sus excedentes de ahorro. De esta forma, la Bolsa conecta a los actores de la actividad económica o empresas con los ahorradores, con la finalidad de que se produzca un trasvase de capital entre éstos y aquéllas. 3- Función de participación:

La Bolsa les permite a los ahorradores participar en la gestión del desarrollo económico a través de la participación en la gestión de las empresas, ya que al comprar acciones adquieren la condición de socios de las mismas. 4- Función de valoración:

El problema de valoración de los activos financieros está lejos de resolverse, y sólo con unas Bolsas de Valores eficientes se podrá hacer frente a este importante problema. Además, la Bolsa de Valores permite determinar indirectamente (al determinar el valor de las acciones) el valor de las empresas, que también es un importante problema a resolver en los países con economía de mercado. El valor bursátil de una empresa viene definido por el producto del valor de una acción en Bolsa por el número de acciones de la empresa en circulación, y este valor objetivo o de mercado debe servir de base o punto de partida a la hora de vender o comprar una empresa, ya que los mercados de empresas están todavía muy poco desarrollados. 5- Función de circulación:

La Bolsa facilita la circulación y la movilidad de la riqueza mobiliaria, y esta función es muy importante en el mundo actual.

En el mundo moderno se ha producido una mutación o cambio de la riqueza inmobiliaria en mobiliaria, y de ahí la importancia de la función de circulación y movilidad de los valores mobiliarios. La función de circulación se complementa con la función de participación de todos los ciudadanos en el quehacer económico, y también con las funciones de liquidez, valoración e información. 6- Función de información:

Para los responsables de la gestión de una empresa, la marcha de sus acciones en la Bolsa constituye la mejor prueba de su buena o mala gestión, y les advierte a los accionistas de dicha empresa del acierto o desacierto en la elección de los directivos. Por otra parte, La Bolsa le proporciona a los directivos de las empresas una información de inapreciable valor para la toma de decisiones. 7- Función de protección del ahorro frente a la inflación:

La inversión en Bolsa en títulos de renta variable permite sustraer al ahorro de la erosión monetaria. Pues tales títulos representan partes alícuotas de activos reales, y al haber inflación el valor monetario de tales bienes crece (y por lo tanto también aumenta el precio de las acciones) de forma paralela al índice general de precios, En cambio, si el ahorrador coloca sus ahorros en una cuenta corriente bancaria, ya sea en forma de depósitos



a la vista o a plazo, al cabo de pocos años se encontrará con el mismo valor nominal de su dinero, pero con un valor real o poder adquisitivo inferior.

FACTORES DETERMINANTES DE LA EFICIENCIA DEL MERCADO DE VALORES

Una Bolsa eficiente es aquella en la que los precios que se forman en la misma son

efectivamente representativos del valor real de los activos financieros en ella negociados. El buen funcionamiento o eficiencia de un Mercado de Valores depende, entre

otros, de los siguientes factores: 1- La continuidad y densidad de las negociaciones:

El buen funcionamiento del mercado bursátil requiere cierta regularidad y un volumen mínimo de contratación. 2- La información económica, tanto en lo relativo a las empresas como a los

pormenores del mercado bursátil:

La publicidad de la situación económica y financiera de las empresas, tanto en lo relativo a su situación actual como a sus planes futuros, constituye una de las condiciones fundamentales para estimular el ahorro hacia la inversión, y para que los precios que se formen en el mercado sean efectivamente “representativos” de la sanidad económico – financiera de las empresas. La información sobre las empresas debe completarse con abundante información sobre la Bolsa. Todos los posibles inversores deben conocer debidamente el funcionamiento de la Bolsa, para que puedan acudir a la misma en igualdad de condiciones. 3- La lista de los valores cotizables:

Debe ser lo más amplia posible, con la finalidad de que los inversores tengan más en donde elegir. 4- La transferibilidad de los títulos:

Facilita considerablemente la agilidad de las transacciones. Como es sabido, los títulos al portador son más fácilmente transferibles que los nominativos. 5- La distribución en el mercado de los títulos que se cotizan en Bolsa:

Cuando los títulos están muy concentrados en unas pocas manos, las cotizaciones son más frágiles, porque se prestan mejor a los manejos especulativos. Por consiguiente, en estas condiciones la inversión bursátil lleva aparejado un mayor riesgo. 6- La estandarización o tipificación de las operaciones:

La intervención de los agentes de cambio y la bolsa es enormemente provechosa, en cuanto que al tener que intervenir en todas las operaciones se logra una homogeneización de las mismas, y también de los actuantes, dado que los agentes no




pueden dar el nombre de sus clientes. De esta forma, al homogeneizar los intercambios y los actuantes, las operaciones se simplifican y el mercado alcanza mucho mayor tamaño. 7- La existencia de una moderada especulación:

Si las operaciones bursátiles se limitaran a los contratos de inversión y desinversión duradera, la Bolsa difícilmente podría desempeñar su función de liquidez, ya que sería muy difícil que toda petición encontrara su correspondiente contrapartida. La especulación activa los intercambios y mantiene viva la oferta y la demanda de valores mobiliarios. Una especulación elevada desbarata el funcionamiento del mercado bursátil. En cambio, una especulación moderada realiza una función de compensación muy importante.

Los empréstitos son una forma de financiamiento de gran envergadura que utilizan tanto el gobierno (nacional, provincial, municipal) como las empresas privadas.

CONDICIONES DE EMISIÓN

En toda operación deben distinguirse condiciones fundamentales, que hacen a la esencia de la misma, de aquellas otras particulares que la caracterizan en especial. Condiciones fundamentales: Tasa de interés. Forma de pago de los intereses. Duración del préstamo. Forma de reembolso del capital. Condiciones particulares: Modalidades de la emisión. Modalidades del reembolso. Exenciones impositivas. Cláusulas esenciales. Gastos (emisión, pago de servicios, reembolso). Indexación del capital y/o de la renta.

Las condiciones señaladas traen aparejados una serie de conceptos que se aplican a casi todos los tipos de empréstitos. Estas condiciones son: 1- Valor nominal:

Es el valor inscripto en el título. Representa la deuda reconocida por el emisor y sirve de base para el cálculo de los intereses. 2- Tasa nominal:

Es la fijada en las condiciones de emisión y se relaciona con el valor nominal. Si se



fracciona el pago de los intereses se utiliza generalmente la tasa proporcional correspondiente. 3- Plazo del préstamo:

En general se fija en las condiciones de emisión aunque han existido empréstitos “perpetuos” en los que los Estados no se obligaban a su reembolso en forma y fecha determinada. 4- Pago de los intereses:

Usualmente se efectúa por períodos de años (o semestres) en forma de cupones vencidos. También pueden descontarse por anticipado en el momento de la suscripción. 5- Reembolso del capital:

Al margen de los empréstitos perpetuos ya mencionados el reembolso puede realizarse: Amortización única al final del plazo señalado. Amortizaciones con reembolsos periódicos.

Cuotas iguales de capital. Reembolsando una cierta cantidad de obligaciones por su capital total

(sorteo). Reembolsando una cuota parte del capital de cada una de las

obligaciones emitidas. Amortizaciones progresivas (cuotas crecientes de capital). Se reembolsan un

cierto número de obligaciones, determinadas por sorteo, por su capital total. 6- Modalidades de emisión:

Por distintas circunstancias un empréstito puede emitirse por un valor diferente a su valor nominal. Es decir que si el valor es inferior la emisión es bajo la par y si es superior es sobre la par. 7- Valor efectivo:

Es el valor de emisión, distinto del nominal, que puede generar la denominada prima de emisión. 8- Tasa efectiva:

Los diferentes valores mencionados producen un rendimiento real, distinto del nominal, tanto para el suscriptor, que adquiere la obligación por un valor diferente del nominal, como para el emisor. 9- Modalidades del reembolso:

Se puede convenir, aunque no sea lo más común, adicionar determinados importes




en el momento del rescate (primas de reembolso) o beneficiar a determinados títulos con sorteos especiales (lotes). Estos importes pueden ser fijos o variables. El reembolso puede hacerse por sorteo así como por licitación. 1- Exenciones impositivas:

Generalmente los Estados liberan a los suscriptores de sus empréstitos de una serie

de impuestos al capital, a la renta, a la transferencia, etc. 2- Cláusulas especiales:

En determinadas circunstancias, el emisor se puede reservar ciertas liberalidades

tales como: acelerar la amortización, extinción anticipada y/o conversión del empréstito. 3- Indexación:

La indexación se realiza con el fin de garantizar a los suscriptores contra el riesgo

de la desvalorización monetaria. Para ello pueden utilizarse índices oficiales o en el caso de empresas industriales,

índices relacionados con las mismas (producción, variación del salario – hora, evolución de sus utilidades, etc.).

Esta indexación suele ser total o parcial, ya que puede comprender los intereses y el reembolso del capital o sólo alguno de ellos (ya sea en forma total o parcial).

En general las condiciones de emisión estipulan que los valores de los cupones ajustados no podrán llegar a tener un valor inferior al nominal.

En ciertas ocasiones la indexación consiste en la simple adecuación periódica de la tasa de interés nominal con la efectiva vigente en el mercado en la fecha de los respectivos vencimientos.

FORMAS DE EMITIR UN EMPRÉSTITO

Un empréstito puede emitirse de las siguientes tres formas: A la par: cuando el título se emite a un precio de emisión igual al valor nominal del

mismo. Bajo la par: cuando el título se emite a un precio de emisión inferior al valor nominal

del mismo. Sobre la par: cuando el título se emite a un precio de emisión superior al valor nominal

del mismo.

Cuando es bajo la par se configura lo que se llama prima de reembolso. El título va a pagar amortización y renta (intereses), que se calculan sobre el valor nominal. Entonces voy a pagar menos que el valor nominal pero me van a pagar en base al valor nominal. Así se configura la prima de reembolso. Cuando es sobre la par hay una prima de emisión.

VIDA MEDIA, VIDA PROBABLE Y VIDA MATEMÁTICA



Al tiempo que media entre la emisión y la extinción de un empréstito lo podemos

denominar vida del título, y al tiempo transcurrido entre la emisión y un momento cualquiera de esa vida lo podemos llamar edad del título.

A partir de estos principios se pueden definir los siguientes conceptos: 1- Vida media:

Es la media aritmética de la vida de los títulos. Se calcula en un momento cualquiera de la vigencia de la emisión como el cociente entre el tiempo en que estarán con vida todos los títulos que se hallan en vigor y el total de dichos títulos. 2- Vida probable:

Es el tiempo que debe pasar para que el número de títulos en vigor, en un momento determinado, se vea reducido a la mitad. 3- Vida matemática:

Fijada una tasa de interés i’, es el vencimiento medio de los títulos, o sea el momento en que el reembolso único de todos los títulos en circulación fuese equivalente a la suma de reembolsos periódicos que amortiza el empréstito.

PARIDAD

Se denomina paridad entre dos títulos a la relación que establece el valor de uno de ellos calculado con la tasa efectiva del otro.

Es decir que ambos tienen igual tasa de rendimiento inmediato.

CONVERSIÓN

La conversión no es otra cosa que la modificación de algunos de los elementos constitutivos de un empréstito.

Por ejemplo, en los empréstitos perpetuos (no amortizables) cuyos títulos se rescatan por comprar en la Bolsa, se coloca una cláusula que permite al emisor, a su voluntad, convertirlos en amortizables.

Asimismo, el Estado puede decidir retirar una emisión de circulación y sustituirla por una nueva (generalmente en las condiciones de emisión se reserva el derecho al rescate anticipado). Ello generalmente sucede en los casos de baja de la tasa de interés.

También puede producirse una amortización extraordinaria.

TÍTULOS VALORES REAJUSTABLES

Un empréstito indexado es aquel en que los cupones de intereses y el reembolso del capital son valores que no están determinados de manera definitiva en su emisión sino que dependen del valor que alcance, en cada vencimiento, el índice elegido.




Entre ellos nos referimos a las acciones como parte fraccionaria del capital de una

sociedad anónima.

En ellas, al igual que en los títulos públicos tenemos: Valor nominal: es el establecido en la acción y que según sea su clase (ordinaria,

privilegiada, de goce) representa la forma como se participa en la distribución de utilidades y en la eventual liquidación de la sociedad.

Valor real: es el precio de cotización por el que se está negociando en la Bolsa o por el cual puede haber interesados.

Puede presentarse el caso en que no exista cotización bursátil y sea necesario

conocer el valor de la acción. Un método utilizado para valuarla es tomar como valor real la semisuma del valor

contable y del valor rentístico de la acción (este método vale también para acciones cotizables en Bolsa). Valor contable: es el cociente entre el patrimonio neto de la empresa y el número de

acciones en circulación. Valor rentístico o rentabilidad: su determinación es compleja, ya que se mezclan la

experiencia de los últimos años debidamente ponderados con dividendos pendientes (efectivo, acciones, saldos de revalúos, derechos de suscripción, etc.) con la tasa de mercado y los dividendos de empresas similares.

Se observa que cuando el valor contable es bajo (alto) produce deterioro (aumento)

en su valor de rentabilidad y viceversa. Sin embargo, no hay que olvidarse que el valor contable que en realidad representa

una porción del total de la empresa, para hacerse efectivo debe producirse la liquidación de la sociedad y la factibilidad de obtener dichos valores, depende de muchas circunstancias ajenas a la empresa.

En cambio, el inversor da mayor peso al valor rentístico por ser más inmediato.

Otro índice utilizable es el coeficiente sobre utilidad, que es igual al cociente entre la última cotización y la utilidad. El mismo indica aproximadamente la cantidad de años que le llevaría al comprador de una acción a recuperar su inversión con las utilidades que genera la empresa en la actualidad. Cuanto más bajo es el índice mayor es la rentabilidad.

Se considera fondo común de inversión al patrimonio integrado por valores mobiliarios y dinero perteneciente a diversas personas a las cuales se les reconoce derechos de copropiedad indivisa representada por los certificados. Estos fondos no constituyen sociedades y carecen de personería jurídica.

CARACTERÍSTICAS DE LA INVERSIÓN COLECTIVA



La tenencia de acciones administradas por personas con conocimientos calificados

(gestión profesional) y ajenas a la propiedad del fondo, buscan obtener el máximo de rentabilidad (a través de la división de los riesgos) y no el control de las empresas en las que invierten.

ORGANIZACIÓN

En la organización de los fondos puede notarse que en general comenzaron como sociedades de capital fijo (cerrados) y que fueron evolucionando hacia sociedades de capital variable (abiertos).

En poco tiempo se notó que ello tampoco daba la necesaria elasticidad y nació el moderno fondo de inversión en el que la característica es la copropiedad de la cartera por una masa indivisa y cuyos objetivos, en general, se cubren por intermedio de tres entes: La sociedad gerente que dirige el fondo. La sociedad custodia, generalmente una entidad bancaria que controla y garantiza. El fondo propiamente dicho formado por los inversores copropietarios de la cartera.

DIFERENCIAS ENTRE SOCIEDADES DE INVERSIÓN Y FONDOS DE INVERSIÓN

Concepto Sociedad Fondo

Capital – Monto Fijo (sujeto a posibles aumentos)

Variable – Sin límite

Capital – Composición Acciones Participación – Cuota partes Patrimonio Propiedad de los accionistas Condominio de los suscriptores

Ingresos – Egresos Por la suscripción de acciones Por la compra venta de cuotas partes

Valor de la participación

El de cotización de las acciones

El valor neto contable diario

Dividendos Lo que fija el directorio Todos los beneficios (neto de gastos)

Oferta pública Cada emisión de acciones Permanentemente

ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LAS ACCIONES Y LAS CUOTA – PARTES

Analogías: Son partes proporcionales de un capital. Son transferibles. Dan derecho a participar en las utilidades. Diferencias: La cuota – parte, no tiene como la acción, un valor nominal fijo. La cuota – parte no da derecho a participar en la administración y dirección.




Las cuotas – partes pueden integrarse y rescatarse en cualquier momento a la sola voluntad del poseedor.

CLASIFICACIÓN DE LOS FONDOS

Según su cartera: Fondos de renta fija: integrado por títulos públicos, debentures, acciones preferidas. Se

caracterizan por una rentabilidad pareja pero con escasa posibilidad de valorización. Son poco atractivos.

Fondos de renta variable: son los más comunes y están compuestos de acciones (puede haber algunos valores de renta fija).

Fondos especializados: ya sea por sectores económicos, tipos de inversiones o áreas geográficas.

Fondos de valores no mobiliarios: a pesar de que hay autores que los excluyan (inmobiliarios, de oro, filatélicos, obras de arte, etc.).

Según sus objetivos: Fondos de rentabilidad: busca como su principal fin obtener y distribuir la mayor renta

posible. Fondos de crecimiento: busca especialmente la valorización de sus tenencias más que la

distribución de beneficios. Son típicamente especulativos. Fondos mixtos: es el fondo ideal, permite la defensa contra la inflación conservando

rentabilidad.

VENTAJAS PARA LOS INVERSORES

Las mismas son: 1- Gestión profesional:

Los fondos están manejados por especialistas que en su política de inversiones (selección y análisis) están más capacitados que el ahorrista común. 2- Variedad de inversiones:

No sólo es una ventaja sino su principal característica. 3- Liquidez:

La opción de recuperar su inversión a voluntad le da atractivo a la misma. 4- Rentabilidad y seguridad:

La rentabilidad se logra con la obligación legal de distribuir sus beneficios. En cuanto a la seguridad está legalmente garantizada en su faz jurídica no así en su aspecto económico, ya que por diversas circunstancias el valor de su cuota parte puede descender. 5- Franquicias impositivas:



Están difundidas en todos los países como incentivo y promoción.

Por la ley se estableció que las sociedades por acciones, las cooperativas y las

asociaciones civiles, podrán contraer empréstitos mediante la emisión de obligaciones negociables, que es un instrumento financiero para el uso empresario de mediano y largo plazo.

La sociedades por acciones pueden emitir obligaciones convertibles a opción del obligacionista, en acciones de la emisora. El valor de conversión no puede afectar la integridad del valor nominal del capital social.

Los títulos deben contener: Denominación, domicilio, fecha y lugar de constitución, duración y datos de su

inscripción en el Registro Público de Comercio u organismo correspondiente del emisor.

Número de serie y de orden de cada título, y el valor nominal que representa. Monto del empréstito y moneda en que se emite. Naturaleza de la garantía. Condiciones de conversión, en su caso. Condiciones de amortización. Tipo y época de pago de intereses.

Las entidades financieras podrán emitir títulos valores representativos de deuda, según lo dispuesto por el Banco Central de la República Argentina, que en una comunicación menciona: Características de los títulos: Convertibles en acciones de la emisora. No podrán emitirse con garantía flotante. Podrán encontrarse subordinados a los demás pasivos de la entidad. Estarán excluidos del sistema de garantía de los depósitos. Condiciones de las emisiones: Plazo mínimo. Amortización. Moneda. Importe mínimo. Intereses. Instrumentación. Colocación:




Mediante oferta pública. Mediante oferta privada. Suscripción e integración. A través de otras entidades. Participaciones: Por importes de $100000 o superiores. Negociación secundaria: Plazo mínimo. Adquisición de emisiones propias. Límites. Excesos de recompra. Aplicación de los fondos: Según las políticas de crédito de la entidad de carácter general. Publicidad: Deberá dejarse expresa constancia de las disposiciones relativas a las garantías que

cuentan.

TRATAMIENTO FISCAL

Impuesto de sellos:

Están exentos los actos, contratos y operaciones relacionadas a la emisión, suscripción, colocación y transferencia de las obligaciones negociables. Impuesto a las ganancias:

Están exentos de este tributo los resultados provenientes de la compraventa, cambio, permuta y disposición de las obligaciones negociables, así como sus intereses, cuando sean emitidos por entidades oficiales. Impuesto al valor agregado:

Están exentas las operaciones financieras y prestaciones relativas a la emisión, suscripción, colocación, transferencia, amortización, intereses y cancelaciones de las obligaciones negociables y sus garantías, emitidas por entes oficiales o colocadas por oferta pública.

OBLIGACIONES NEGOCIABLES PARA PyMEs

El talón de Aquiles de este tipo de empresas, es el financiamiento de sus



operaciones. Por sus características, este tipo de emprendimiento carece de atractivo para la banca comercial privada, no está en condiciones de aportar ganancias suficientes como para justificar un endeudamiento acorde con su evaluación.

Las operaciones de futuros son compromisos mediante los cuales una de las partes contratantes se obliga a facilitar a la otra en una fecha o dentro de un plazo futuro una cierta cantidad de producto a un determinado precio. Un contrato de futuros no es más que un contrato de compraventa anticipada (a plazo) más perfeccionado. Se diferencian de los contratos de compraventa a término en que los contratos de futuros son contratos normalizados en cuanto a cantidad, fecha y lugar de entrega de la mercancía intercambiada y, en particular, en que pueden ser negociados en mercados secundarios organizados. Entre el comprador y el vendedor se interpone en estos mercados la Cámara de Compensación, que hace las veces de vendedor para el comprador y de comprador para el vendedor.

Los activos reales sobre los que suelen recaer los contratos de futuros son productos como el trigo, maíz, soja, algodón, café, azúcar, cacao, caucho, cobre, madera, plomo, mercurio, níquel, oro, platino, etc.

Sin embargo, sólo se tratará el caso de los futuros financieros, es decir, aquellos contratos de futuros cuyo activo primario o subyacente es un activo financiero. Cuando se habla de futuros financieros se suele hacer referencia a futuros de tipos de interés, a futuros de divisas y a futuros sobre índices bursátiles. Los mercados de futuros financieros funcionan de manera similar a los mercados de futuros de mercancías.

Los futuros financieros que más se negocian en el mundo son los de tipo de interés, los cuales permiten proteger a las empresas no financieras, a los bancos y a las sociedades y fondos de inversión mobiliaria de las variaciones del precio del dinero.

Los futuros de divisas permiten negociar pequeñas cantidades de este producto a un costo razonable. El sistema de compensación le permite al inversor cubrir posiciones en cualquier momento por medio de contratos de futuros en sentido contrario. Los futuros de divisas se utilizan para cubrir el riesgo de las variaciones del tipo de cambio (riesgo cambiario).

Los futuros sobre índices son contratos relacionados con algún índice del mercado, generalmente de acciones, hecho público. Su principal característica es que el activo primario o activo subyacente (activo financiero de referencia) no existe como tal en la realidad, y de ahí que las liquidaciones de este tipo de futuros se realicen siempre por diferencia.

Los contratos de futuros financieros cubren dos propósitos básicos: Permiten a los inversores cubrir el riesgo de los movimientos de precios adversos en el

mercado de dinero. Permiten a los especuladores respaldar sus previsiones con un alto grado de

apalancamiento.

CARACTERÍSTICAS DE LOS MERCADOS DE FUTUROS FINANCIEROS

Su principal característica es la normalización de los contratos sobre activos




financieros, lo que implica que los contratos negociados corresponden todos a la misma cantidad y tipo, así como al mismo rango de fechas futuras.

Aún cuando el intercambio de bienes y dinero sucediera obligatoriamente en el futuro, cada una de las partes deberá depositar una cantidad en concepto de garantía de que llevara a cabo su obligación. De esta manera cualquier inversor puede participar en el mercado sin que sea necesario obtener información alguna sobre su solvencia.

Las ganancias y pérdidas se obtienen como márgenes diarios, lo cual tiene una influencia sobre la liquidez del inversor. A este proceso de ajuste diario se lo conoce como ajuste al mercado.

Resumiendo, las principales características de un mercado de futuros financieros suelen ser: Se suelen contratar a “viva voz” en un parqué determinado. En algunos casos la

contratación se hace a través de terminales de ordenador. Los contratos están normalizados y se realizan en una serie de fechas determinadas para

unas cantidades de activos financieros predeterminadas. Los títulos subyacentes (divisas, bonos, etc.) son entregados a través de una Cámara de

Compensación, la cual garantiza el cumplimiento de los contratos realizados entre sus miembros.

La entrega del instrumento financiero subyacente en la fecha del vencimiento del contrato de futuros suele ser bastante rara, por lo general suelen ser liquidados antes de dicha fecha.

Para un determinado contrato de futuros financieros la liquidez deberá ser alta, o el contrato desaparecerá.

Los costos de transacción en un mercado “viva voz” suelen ser bajos.

En cualquier publicación especializada sobre mercados financieros aparecerán siempre los siguientes datos: El precio de apertura, al que se hizo la primera transacción. Los precios más alto, más bajo y el de cierre del día. El precio de liquidación, que es un precio representativo (media del más alto y el más

bajo, por ejemplo) durante el período en que el mercado está cerrado. Puede coincidir con el precio de cierre.

El volumen abierto, es decir, el número de contratos pendientes durante el día.

DIFERENCIAS ENTRE LOS CONTRATOS A PLAZO Y LOS CONTRATOS DE FUTUROS



Contrato de futuros Contrato a plazo 1. Estandarizados. 1. No estandarizados. 2. A través de la Cámara de Compensación. 2. Privados entre dos partes.

3. Posibilidad de abandonar una posición antes del vencimiento del contrato.

3. Imposibilidad de abandonar la posición antes del vencimiento, sin la autorización de la contraparte.

4. Para abandonar una posición basta con la operación contraria.

4. El contrato se anula en la fecha de vencimiento.

5. Existencia de un mercado secundario. 5. No hay mercado secundario. 6. Poca importancia de la entrega física. 6. La entrega física es esencial. 7. No hay riesgo de impago de la contraparte.

7. Existe riesgo de impago de la contraparte.

8. Los inversores deben depositar una garantía.

8. No existe garantía. Los pagos se realizan en la fecha de vencimiento.

USUARIOS DEL MERCADO DE FUTUROS FINANCIEROS

Las dos clases principales de usuarios de los mercados de futuros financieros son los

coberturistas (buscan la cobertura de alguna operación en la que están implicados) y los especuladores (toman posiciones en la esperanza de obtener una ganancia futura al moverse los precios en el sentido que ellos esperan).

Los coberturistas pretenden reducir el riesgo de los movimientos adversos en los tipos de interés futuros, o en los precios de las divisas, que afectarían a sus inversiones en el mercado de dinero, por ello toman una posición en el mercado de futuros que les permita protegerse de dichas variaciones.

Entre los coberturistas que operan en el mercado de futuros se pueden señalar: Detallistas: para fijar los tipos de interés de cara a un posible excedente estacional de

tesorería. Empresas: para proteger los tipos de interés en el caso de un posible excedente

temporal de tesorería, y fijar el tipo de los préstamos de una emisión planeada de commercial paper.

Fondos de pensiones: para proteger el rendimiento de una inversión planeada en bonos del Tesoro o de Deuda Pública, así como aislar una cartera de títulos de posibles descensos del mercado.

Exportadores: con objeto de proteger el tipo de cambio de los pagos para los embarques esperados.

Bancos de inversión: para vender una gran cantidad de activos a corto plazo, que no parece probable que el mercado de dinero acabe absorbiendo a los precios actuales.

Bancos hipotecarios: para proteger sus bonos hipotecarios contra movimientos adversos en los tipos de las hipotecas.

Por otra parte, los especuladores buscan situarse apropiadamente para beneficiarse

de los movimientos en los tipos de interés, en los precios de las divisas o en los precios de las acciones.

Este tipo de negociadores abarca tres áreas:




Arbitraje: buscan beneficiarse de los desequilibrios entre las valoraciones realizadas por el mercado de dinero y las realizadas por el mercado de futuros. Las operaciones de arbitraje carecen de riesgo (por ello no son propiamente una operación especulativa aunque los especuladores operen también en ella).

Diferencial: observan la diferente evolución de los precios de diversos futuros financieros o intentan beneficiarse de ella.

Especulación: toman una posición en el mercado de futuros apostando sobre una tendencia determinada en el precio de un instrumento financiero concreto.

Ambos tipos de operadores son necesarios para garantizar la eficiencia del mercado

de futuros (y de cualquier mercado financiero en general). Los especuladores proporcionan liquidez al mercado, lo que permite a los coberturistas comprar o vender futuros sin importarles el volumen de los contratos.

CONSECUENCIAS DE LA CREACIÓN DE UN MERCADO DE FUTUROS FINANCIEROS

La razón de ser un mercado de futuros financieros es la posibilidad que confiere los

inversores de transferir el riesgo de los tipos de interés a otros agentes. Sin embargo, el aspecto negativo de la creación de un mercado de futuros

financieros es su carácter potencialmente desestabilizador del mercado al contado correspondiente. Ello es debido a las siguientes causas: La posibilidad de cubrir el riesgo puede afectar al comportamiento de los agentes que,

anteriormente a la creación del mercado, tenían una actitud más prudente. Esto es, si el mercado no existe, los gestores de carteras de renta fija procurarán tener diferentes emisiones con diferentes combinaciones de rentabilidad y riesgo con objeto de inmunizarlas lo más posible de las variaciones de los tipos de interés. Pero si el mercado existe, podrán tener títulos de alto rendimiento y riesgo, puesto que este último lo cubrirán a través del mercado de futuros financieros.

Existen técnicas de gestión de carteras que pueden generar la inestabilidad en los mercados de futuros y al contado. Ellas consisten en tener una mayor cobertura de una cartera cuando el mercado baja y, al contrario, una menor cobertura al ascender el mercado. Todo esto implica la venta de futuros cuando el mercado cae (reforzando así la cobertura), o su adquisición cuando el mercado asciende (debilitación de la cobertura). Claro que si cuando el mercado cae, encima se vende más de lo normal para reforzar la cobertura, el mercado acelerará su caída, es decir, se producirá un “efecto bola de nieve”.

LA CÁMARA DE COMPENSACIÓN

Todo mercado de futuros tiene una Cámara de Compensación asociada, que hace de

“comprador del vendedor” y de “vendedor del comprador”. La Cámara es responsable ante cada uno de los agentes y tiene una posición neta nula al haber comprado exactamente el número de contratos vendidos. Al número de contratos existentes en un momento dado se le denomina volumen abierto y es una medida del volumen de actividad en dicho mercado.

Puede verse su funcionamiento a través de un ejemplo. Un comprador, X, decide adquirir un contrato de futuros de 500000 dólares a cambio de entregarle al vendedor, Y, 60 millones de pesos dentro de seis meses, esto es, en el mes de junio.



La Cámara aparece inmediatamente separando en dos partes la transacción. Ahora ella tiene la obligación de entregar los dólares a X y aceptar la entrega de los pesos por parte de X. En este momento hay un volumen abierto de 500000 dólares de junio, dado que existe un contrato para entregarlos y, por supuesto, para adquirirlos.

Después de transcurridos unos días, X encuentra un comprador, Z, el cual le paga por los dólares que recibirá en junio 65000000 de pesos (Z está comprando la divisa americana a un tipo de cambio de 130 pesos por dólar), lo que representa un beneficio de 5 millones. Desde luego, X podría esperar a junio para comprarle los dólares a Y y vendérselos inmediatamente a Z, con lo que obtendría su ganancia.

Al realizar X esta operación contraria con Z, hace entrar en acción a la Cámara, la cual se interpone entre ambos.

Ahora es cuando se observan los beneficios de una Cámara de Compensación, con su posibilidad de separar a las partes y despersonalizar los acuerdos entre ellas. En la siguiente figura se observa la situación hasta este momento:




En teoría, X recibirá medio millón de dólares en junio por parte de la Cámara, los

cuales procederá a devolvérselos inmediatamente. Por otro lado, X pagará en junio 60 millones de pesos a la Cámara, recibiendo inmediatamente 65 millones de pesos. Con el fin de ahorrar gastos la Cámara compensa la operación directamente pagando a X cinco millones de pesos y se olvida de los dólares. Estos cinco millones de pesos le serán pagados inmediatamente y no en junio, como parecería lógico.

Una vez que X ha desaparecido entre bastidores con su beneficio bien sujeto, Y sigue obligado a entregarle los dólares a la Cámara a cambio de 60 millones de pesos, y ésta, a su vez, a pasárselos a Z a cambio de 65 millones de pesos.

Aunque Y y Z no negociaron entre ellos inicialmente, pueden ser emparejados por la Cámara en la forma vista en la figura anterior. El procedimiento se simplifica por la regla de que cada posición es ajustada al mercado, es decir, el día anterior Y tenía un contrato para entregar dólares en junio: 60 millones de pesos, pero hoy ha sido reemplazado por un contrato semejante a razón de 65 millones de pesos. Dado que este contrato mejora al anterior, Y deberá pagar, inmediatamente, la diferencia a la Cámara (5 millones de pesos, cantidad idéntica a la que la Cámara había pagado a X).



En efecto, un contrato de futuros es un contrato a plazo, que es liquidado cada día y reemplazado con un nuevo contrato, con un precio de entrega idéntico al precio de liquidación del día anterior. Este proceso de liquidación diaria asegura que la Cámara de Compensación esté nivelada en todo momento. Sólo los brokers pertenecen a la misma y son sus cuentas las que son liquidadas al final de cada día. Cada broker actúa, a su vez, como cámara de compensación para sus propios clientes.

Al día siguiente Y y Z deciden evitar la entrega de los dólares en junio, para lo cual negocian entre ellos en sentido contrario y, nuevamente, la Cámara de Compensación hace acto de presencia.

Se ha producido un cierre de las operaciones, reduciéndose el volumen abierto en medio millón de dólares. El resultado final ha sido que X ha ganado 5 millones de pesos al apreciarse el dólar en el contrato de futuros: Y ha perdido dicha cantidad de dinero, pues había vendido sus dólares a cambio de 60 millones de pesos, pero ahora valen más y, por tanto, al hacer la operación contraria debe pagar 65 millones de pesos por la misma cantidad de dólares: total cinco millones de pesos perdidos. Z queda como estaba.

Lo que debe comprenderse es que X, Y y Z nunca negociarán directamente entre sí, de hecho ni siquiera sabrán que existen, puesto que ellos sólo negocian con la Cámara a través de sus brokers.

POSICIONES

Un inversor que compra un contrato de futuros de dólares en junio, dispone de una posición larga y se dice que tiene un contrato largo de futuros en dólares en junio (X y Z, en el ejemplo anterior). Una posición abierta creada por la venta de un activo financiero futuro se denomina posición corta, pues está corto de contratos de futuros (Y, en el ejemplo anterior). Resumiendo, el que posee el activo, el contrato, el dinero, etc., tendrá una posición larga sobre él; mientras que el que no lo tiene, porque lo ha vendido, dispone de una posición corta.

El precio de liquidación de cada contrato es alterado diariamente por el sistema de ajuste al mercado, de tal forma que cuando aquél aumenta, los inversores que tengan posiciones largas obtendrán beneficios en la misma cuantía que dicho incremento, mientras que los que tengan posiciones cortas, tendrán pérdidas. Si el precio de liquidación desciende, la situación es justo la inversa.




COBERTURA DEL RIESGO

Empresas, exportadores, fondos de pensiones, bancos de inversión, etc., fuertemente expuestos a posibles oscilaciones en el precio de los instrumentos financieros, desearán pagar a otros para controlar en alguna medida, o en su totalidad, el riesgo asociado; por ello reciben el nombre de coberturistas. Esos “otros” reciben el nombre de especuladores. Ahora bien, esto no siempre es así y los coberturistas pueden negociar para protegerse del riesgo, tanto con especuladores como con otros coberturistas. Al mismo tiempo, los especuladores también operan con otros especuladores.

LA GARANTÍA

La garantía se crea debido a la necesidad de garantizar que las personas con posiciones sobre futuros cumplan con sus obligaciones llegado el momento.

El cálculo de las pérdidas y ganancias se realiza rutinariamente por los brokers a través de las cuentas de mercancías (cuentas de efectivo, en los contratos de futuros financieros) de sus clientes. El saldo neto de esta cuenta se obtiene sumando el dinero líquido o similar más las ganancias de las operaciones abiertas menos las pérdidas de las mismas.

La garantía se establece para asegurar que una cuenta de efectivo tiene un saldo suficiente con relación al tamaño de las posiciones abiertas, de tal manera que la probabilidad de alcanzar un saldo negativo sea muy pequeña. La garantía inicial que se asigna a una posición recién abierta, oscila entre el 5 – 10 % del valor del contrato. La garantía de mantenimiento por debajo del cual no se permite que caiga el saldo de la cuenta sin tomar medidas correctoras, suele ser del 75 – 80 % de la garantía inicial. Cuando dicho saldo cae por debajo de la garantía de mantenimiento, los clientes reciben una reclamación de garantía, de tal manera que si el cliente no pone dinero adicional para cubrir lo que falta, el broker comenzará a cerrarle posiciones hasta que el saldo alcance los niveles estipulados.



OPCIONES

Las inversiones en opciones, al igual que las inversiones en futuros, son inversiones apalancadas. Los contratos de opciones y futuros son utilizados por distintos agentes económicos con una doble finalidad: para cubrir riesgos, unos, y con fines especulativos, otros.

Una opción es un derecho a comprar o vender un activo a un precio y en una fecha (o dentro de un plazo) señalados previamente en un contrato. Los contratos de opciones pueden recaer sobre los más diversos activos: edificios, solares, fincas rústicas, muebles, valores mobiliarios, etc. Aquí se tratarán las opciones sobre acciones ordinarias.

Son dos los tipos principales de opciones:

Opción de compra o “call”: confiere a su poseedor (comprador) el derecho (pero no la obligación) a comprar un determinado número de acciones de una determinada sociedad al vendedor (emisor) de la opción a un precio fijado previamente (denominado precio de ejercicio) y en una fecha o dentro de un plazo estipulados también previamente, según que se trate de una opción europea o de una opción americana, respectivamente.

Opción de venta o “put”: confiere a su titular (comprador) el derecho (pero no la obligación) de vender un determinado número de acciones al vendedor (emisor) de la opción a un precio establecido también previamente (denominado precio de ejercicio) y en una fecha (opción europea) o dentro de un plazo (opción americana) convenidos.

El activo en el que la opción está denominada se denomina activo primario o activo subyacente; la opción es un activo derivado o activo contingente. Tampoco se debe confundir el precio de ejercicio de la opción (precio del activo subyacente) con el precio de costo de la opción, lo que su comprador paga en el momento de la adquisición. El vencimiento de la opción es su fecha de término o expiración, más allá de la cual la opción carece de valor. A diferencia del contrato de futuros, de obligado cumplimiento para ambas partes (aunque se puede anular la obligación suscribiendo otro contrato de sentido contrario o liquidarlo por la diferencia, antes incluso de que llegue su vencimiento), el contrato de opción es un derecho y no una obligación, que se ejercerá, en el caso de una call, cuando el precio del activo subyacente sea superior a su precio de ejercicio, y en el caso de una put, cuando se dé la situación contrario. El propietario de una opción puede también dejarla expirar o emitir otra que deje sin efecto la primera.

Las opciones sobre divisas, tipos de interés e índices bursátiles permiten cubrir, respectivamente, los riesgos de las fluctuaciones del tipo de cambio, las variaciones del tipo de interés y los movimientos de los precios bursátiles en su conjunto.

El emisor (vendedor) de la opción y el comprador de la misma no se conocen, actuando como intermediarios la Cámara de Compensación, los brokers y los creadores de mercado.




LA GARANTÍA

El comprador de una opción deseará asegurarse de que el vendedor puede entregarle las acciones o el dinero (según que aquélla sea de compra o de venta) cuando así se lo requiera. Para ello y aunque la Cámara de Compensación garantiza dicha entrega, al vendedor se le requiere que proporcione algún tipo de garantía con objeto de asegurar la realización de su obligación.

OPERACIONES ELEMENTALES

Se denominan operaciones elementales o básicas en el negocio de las acciones y opciones a las siguientes operaciones: compra de una acción, venta de una acción, compra de una call, venta de una call, compra de una put, venta de una put.

En las siguientes dos figuras se ilustran los resultados de las dos operaciones con acciones (compra y venta, respectivamente), en función de la evolución del precio de mercado de la acción. Se llamará S al precio del activo subyacente (la acción). 0S al precio

de compra (o venta) de la acción, y b al beneficio de la operación:

El inversor que compra espera que el precio de la acción suba (juega al alza), y el que vende piensa lo contrario (juega a la baja). Puede observarse que el primero de dichos inversores puede obtener una ganancia ilimitada frente a una pérdida cuyo valor máximo no puede exceder de 0S , mientras que al inversor que vende le ocurre justamente lo contrario,

pérdidas ilimitadas (pérdida de ganar o lucro cesante) y ganancias que nunca pueden exceder del valor de 0S en el caso de que la acción deje de tener valor en el mercado (caiga

su precio por los suelos, como se dice vulgarmente). También puede observarse que la recta que representa la evolución del beneficio en función del precio de la acción tiene una pendiente de 45° (positiva en el primer caso y negativa en el segundo), porque el beneficio crece (o decrece) en la misma proporción que el precio de la acción. Dicha recta corta al eje de abscisas en el punto 0SS , el precio de adquisición o venta de la acción.

Las otras operaciones con opciones se explican en los siguientes títulos:



OPCIONES DE COMPRA

Punto de vista del comprador:

Supóngase que un inversor desea adquirir una acción de la empresa X porque piensa que su cotización va a subir, pero por algún motivo no puede, o no quiere, pagar los $980 que el mercado le demanda, en este caso podría adquirir una opción de compra sobre la misma.

Al adquirir una opción de compra se podrá beneficiar de un aumento en el precio del activo subyacente sin haberlo comprado. Así que el inversor adquiere una opción de compra sobre una acción de la empresa X con un precio de ejercicio de, por ejemplo, $1000. El precio de mercado de dicha opción (la prima) en ese momento es de $50.

El poseedor de la opción de compra sobre la acción podrá decidir si ejerce o no la opción. Obviamente, la ejercerá cuando la cotización supere el precio de ejercicio. Por el contrario, si llegada la fecha de vencimiento de la opción, el precio de ejercicio sigue siendo superior a la cotización, la opción no será ejercida, debido a que se puede adquirir el activo directamente en el mercado a un precio inferior al de la opción. Si la opción no se ejerce, la pérdida máxima será de $50.

Los comentarios posteriores se basan sobre el siguiente ejemplo hipotético: supóngase que el precio de una acción de la empresa X, en el momento de emitir la opción, es de $980 en el Mercado de Valores. El precio de ejercicio de la opción de compra elegida es de $1000. El comprador de la opción paga una prima de $50. La transacción tiene lugar en enero y el contrato expira en junio.

Resumiendo: Precio de la acción (S): $980. Precio de ejercicio de la opción de compra (E): $1000. Prima (C): $50. Vencimiento del contrato: junio.

El inversor que adquiere una opción de compra sobre dicho activo adquiere el derecho a adquirirlo a un precio de ejercicio especificado ($1000), pero no tiene la obligación de ejercerlo, en la fecha de vencimiento. Por dicho derecho, él paga una prima ($50).

En la fecha de vencimiento del contrato el comprador se puede encontrar, por ejemplo, ante los siguientes casos (por razones de sencillez no se tienen en cuenta en los cálculos posteriores los costos de transacción, ni los impuestos, así como tampoco el valor tiempo del dinero): 1- El precio de la acción es S – $1500:

El inversor ejerce la opción adquiriendo la acción al precio de ejercicio de $1000 y revendiéndola seguidamente en el mercado al precio de $1500. Obteniendo los siguientes resultados:




Precio de compra Prima Costo real Ingreso total Beneficio de la operación 2- El precio de la acción es S = $1020:

El inversor ejerce la opción al precio de ejercicio de $1000, y revende el activo al precio de mercado de $1020. Obteniendo los siguientes resultados: Precio de compra $1000 Prima Costo real Ingreso total Beneficio de la operación

Claro que si no ejerciese la opción, perdería el costo de la misma, es decir, $50, lo que sería, sin duda, pero. 3- El precio de la acción es de S = $900:

El inversor no ejercería la opción y su pérdida sería el valor de la prima, es decir, $50. Si la ejerce, la pérdida sería aún mayor ($150, es decir, $900 $1050).

El siguiente gráfico es representativo del beneficio que puede obtenerse a través de una opción de compra y que numéricamente se ha analizado previamente:

$1050

$50

$450

$1500

1000$

$1050

$50

30$

$1020



La principal atracción de esta operación es el alto apalancamiento que proporciona al inversor, puesto que se pueden obtener fuertes ganancias con pequeños desembolsos iniciales y, además, el riesgo está limitado a una cantidad fija: el precio de la opción.

En resumidas cuentas, la máxima pérdida de la estrategia consistente en adquirir una opción de compra, queda limitada al pago de la prima (C). Mientras que el beneficio, que en teoría puede ser ilimitado, se calculará restándole al precio de mercado en la fecha de vencimiento el precio de ejercicio y la prima (Máx [S – E; 0] – C).

En el siguiente cuadro se comparan las decisiones de ejercer, o no, la opción de compra de la acción a los tres precios indicados anteriormente o, por el contrario, adquirirla directamente al precio de mercado:

Precio de venta $1500 $1020 $900

$50 $1000 $1500

$50 $1000 $1020

$50 $0 $0

1- Opción de compra Prima

Precio de ejercicio Precio de venta Resultados netos Rendimiento

$450 900%

– $30 – 60%

– $50 – 100%

$980 $1500

$980 $1020

$980 $900

2- Compra de acciones Costo de las acciones Precio de venta Resultados netos Rendimiento

$520 53%

$40 4%

– $80 – 8%

El cuadro anterior nos indica las tres diferencias básicas entre ambas decisiones:

El desembolso inicial requerido de la inversión, a través de la compra de opciones, es

inferior al de la compra de acciones ($50 es menor que $980). El riesgo en términos monetarios absolutos es más pequeño en el caso de la opción (lo

más que se puede perder es su precio, es decir, $50; mientras que si el precio de la acción desciende por debajo de $930, la pérdida sería mayor en el segundo caso).

El porcentaje de ganancia, o pérdida, dado por el rendimiento del período es mayor en el caso de la opción de compra, que en el de la adquisición de la acción, lo que nos indica que la inversión en opciones es más arriesgada que si fuese directamente en el activo subyacente. De aquí precisamente su alto apalancamiento (el 900% de rendimiento, que puede ser superado si el precio de venta fuese aún mayor y, por el contrario, el mayor rendimiento negativo será del 100%).

Hay que recordar que la opción de compra tiene un período de vida limitado,

durante el que puede ser ejercida. Se incurre en una pérdida irreversible en la fecha del vencimiento si el valor del activo subyacente no se ha movido en dirección favorable. Por otra parte, una posición basada en la compra directa de la acción subyacente no implica la realización de pérdidas, y existe siempre la posibilidad de una subida de los precios.

También hay que hacer notar la necesidad de gestionar dinámicamente una opción debido al riesgo incorporado y al ser un instrumento de vida limitada. El poseedor de una opción no suele mantener su posición hasta la fecha de vencimiento, por lo que hay que estar preparado para entrar o salir del mercado cuando sea necesario.




Punto de vista del emisor:

El inversor que emite, o vende, una opción de compra espera que la cotización de la acción subyacente se va a mantener estable, o va a tender a la baja, durante los próximos meses. Su único cobro será el valor de la prima, mientras que sus pagos dependerán de si el precio de ejercicio es inferior, o no, al de mercado en la fecha de cotización. Si el precio del mercado supera al de ejercicio, en dicha fecha, el propietario de la opción reclamará la acción a la que tiene derecho, lo que redundará en una pérdida (o menor ganancia) para el emisor. Si ocurre lo contrario, la opción no será ejercida y no habrá que entregar la acción.

Está claro que el emisor de una opción de compra se encuentra en una posición corta en ellas, pero puede estar en posición larga o corta en acciones, según que disponga, o no, de ellas. Si posee la acción subyacente y ésta le es reclamada por el propietario de la opción, no tendrá más que entregarla. Pero si no la posee (posición corta) deberá adquirirla en el mercado y después venderla a un precio inferior al comprador de la opción; cuando se emite una opción de compra sin estar respaldada por el activo subyacente se denomina opción de compra al descubierto.

Así que el emisor de una opción de compra no puede determinar si la misma será ejercida o no. Él asume un papel pasivo en espera de la decisión del comprador de la misma. Por todo lo cual, él recibe una prima (el precio de la opción), mejora su rendimiento. Por otra parte, deberá estar preparado para entregar las acciones que le sean solicitadas por parte del poseedor de las opciones en el caso de que este último desee ejercer su derecho.

Se verá a continuación, a través del mismo ejemplo del punto de vista del comprador, el caso de la emisión de una opción de compra al descubierto, en la fecha de vencimiento de la misma: 1- El precio de la acción es S = $1500:

El comprador ejerce la opción al precio de ejercicio de $1000. El vendedor de la opción obtendrá los siguientes resultados: Precio de venta $1000 Prima Ingreso total Precio de mercado de la acción Resultado de la operación

Así que si el vendedor no posee la acción perderá $450. Puede observarse, que si la

poseyese y la hubiese comprado el mismo día que emitió la opción le habría costado $980, y en la fecha de vencimiento le habrían pagado por ella $1000, que sumados a la prima, darían una ganancia para el emisor de $70. Aunque, claro está, dejaría de ganar $450 más. 2- El precio de la acción es S = $1020:

El comprador ejerce la opción al precio de ejercicio de $1000. El vendedor de la opción obtendrá los siguientes resultados:

$1050

$50

450$

$1500



Precio de venta $1000 Prima Ingreso total Precio de mercado de la acción Resultado de la operación

Si el emisor no posee la acción deberá comprarla a $1020 y venderla a $1000, pero como en su día recibió una prima de $50, su ganancia será de $30 (que es lo que pierde el comprador, según se vio en el punto de vista del comprador). Ahora bien, si la poseyese habría obtenido una ganancia total de $70, si la opción fuera ejercida, o de $40, si no lo fuese, y el emisor vendiese dicha acción en el mercado. En este caso, el comprador debe ejercer el derecho para recuperar parte del precio pagado por la opción, como ya se vio en el punto de vista del comprador. Por regla general, éste es el tipo de transacción más interesante para el emisor de opciones de compra y suele ocurrir cuando el mercado permanece estable. 3- El precio de la acción es S = $900:

El comprador no ejercerá la opción. El vendedor de la opción obtendrá los siguientes resultados, si posee el activo subyacente: Precio inicial de la acción $980 Precio de mercado de la acción Pérdida Ingreso por la venta de la opción Resultado

Así que si el vendedor de la opción desea vender sus acciones en el mercado, en conjunto obtendrá una pérdida final de $30, en vez de una pérdida de $80, si no hubiese emitido la opción pertinente. Así es como se protege del riesgo de pérdidas, teniendo activos (posición larga) y emitiendo, al mismo tiempo, opciones de compra sobre los mismos (posición corta); en cuyo caso el precio de estas últimas reducirán sus pérdidas en el caso de una caída del valor de aquéllos. Si no tuviese el activo subyacente, su ganancia sería de $50, que es lo más que puede ganar, tanto si está al descubierto como si no.

En el siguiente gráfico se muestra el resultado de una opción de compra antes de su vencimiento, desde el punto de vista del vendedor:

$1050

$50

$30

$1020

$80

$900

30$

$50




Como se puede apreciar en el gráfico anterior la máxima ganancia del emisor

vendrá dada por la prima de la operación (C). Mientras que la pérdida dependerá de la diferencia entre el precio de mercado el día del vencimiento y el precio de ejercicio (C – Máx [S – E; 0]) siempre que dicha diferencia no sea negativa, pues, si así fuera, se tomaría un valor nulo para la misma, dado que el beneficio máximo para el emisor de la opción es el valor de la prima. Pero si la máxima ganancia está limitada no ocurre lo mismo con las pérdidas que pueden ser ilimitadas, al menos en teoría.

Resumiendo, en esta posición la prima que recibe el emisor aumenta la rentabilidad de su inversión, además, en el caso de que los precios de la acción subyacente suban, la prima reduce la pérdida que el vendedor de la opción hubiese tenido.

OPCIONES DE VENTA

Punto de vista del comprador:

Cuando se espera una bajada en los precios de las acciones, la adquisición de una opción de venta puede aportar ingresos con un riesgo limitado. La compra de dicha opción sobre una acción subyacente asegura contra una caída inesperada de los precios de ésta, aunque también puede ser utilizada con fines especulativos, como puede ser la obtención de ingresos con un mercado a la baja.

Los comentarios posteriores se basan sobre el siguiente ejemplo hipotético: supóngase que el precio de una acción de la empresa X, en el momento de emitir la opción, es de $980 en el Mercado de Valores. El precio de ejercicio de la opción de venta elegida es de $1000. El comprador de la opción paga una prima de $40. La transacción tiene lugar en enero y el contrato expira en junio.

Resumiendo: Precio del activo (S): $980. Precio de ejercicio de la opción de venta (E): $1000. Prima (P): $40. Vencimiento del contrato: junio.



El comprador de una opción de venta tiene el derecho a vender la acción al precio de ejercicio ($1000) indicado en el contrato o dejar que la opción expire sin ejercerla, dependiendo de la evolución del mercado. Se supondrá que el inversor no posee el activo subyacente, así que de interesarle venderlo, previamente deberá adquirirlo al precio de mercado y, seguidamente, se deshará de él a cambio del precio de ejercicio. 1- El precio de la acción es S = $1500:

El dueño de la opción la dejará expirar sin ejercerla, siendo sus pérdidas de $40, es decir, el costo de la misma: 2- El precio de la acción es S = $990:

El poseedor de la opción de venta la ejercerá, puesto que si no perderá la totalidad del costo de la misma: $40. Precio de venta de la acción (E): $1000 Precio pagado por la opción Ingreso total Precio de costo de la acción Resultado de la operación 3- El precio de la acción es S = $900:

El poseedor de la opción de venta la ejercerá, puesto que si no perderá la totalidad del costo de la misma: $40. Precio de venta de la acción (E): $1000 Precio pagado por la opción Ingreso total Precio de costo de la acción Resultado de la operación

El siguiente gráfico es representativo del beneficio que puede obtenerse a través de la posesión (compra) de una opción de venta y que numéricamente se ha analizado previamente (P indica el precio de la opción de venta):

$960

$40

$960

$40

$60

$900

$30

$990




En resumen, la máxima pérdida para el comprador de la opción de venta vendría determinada por el costo de la misma (P). Mientras que los resultados de su posición irán mejorando cuanto más descienda el precio de mercado de la acción subyacente (Máx [E – S; 0] – P), hasta llegar a la máxima ganancia que se obtiene cuando la cotización sea nula (E – P). Punto de vista del emisor:

El emisor de una opción de venta cree que la tendencia del precio de la acción subyacente será neutra o ligeramente alcista y la emisión de este tipo de opción le ofrece la oportunidad de obtener un ingreso en forma de prima.

El vendedor o emisor de una opción de venta deberá adquirir la acción subyacente al precio de ejercicio estipulado ($1000), si el comprador de la opción la ejerce dentro del plazo al que tiene derecho. Por incurrir en este riesgo recibirá una prima (el precio de la opción de venta: $40). 1- El precio de la acción es S = $1500:

La opción no será ejercida. La acción no le será entregada por el comprador de la opción y el emisor de ésta habrá ganado la prima de $40.

2- El precio de la acción es S = $990:

El propietario de la opción de venta la ejercerá, por lo que entregará al vendedor de la misma su acción al precio de ejercicio de $1000, lo que tendrá los siguientes resultados para el emisor de la misma: Precio de compra de la acción (E) $1000 Precio cobrado por la opción Gasto total Precio de mercado de la acción Resultado de la operación

$960

$40

$30

$990



3- El precio de la acción es S = $900:

El comprador de la opción de venta la ejercerá, por lo que entregará al vendedor de la misma su acción al precio de ejercicio de $1000, lo que tendrá los siguientes resultados para el emisor de la misma: Precio de compra de la acción (E) $1000 Precio cobrado por la opción Gasto total Precio de mercado de la acción Resultado de la operación

El siguiente gráfico muestra las ganancias o pérdidas de una opción de venta ejercida antes de su fecha de vencimiento:

La máxima ganancia para el vendedor de la opción de venta vendrá determinada por el costo de la misma (P). Mientras que los resultados de su posición irán empeorando cuanto más descienda el precio de mercado de la acción subyacente (P – Máx [E – S; 0]), hasta llegar a la máxima pérdida que se obtendrá en el hipotético caso de que la cotización sea nula.

RESUMEN DE LAS POSICIONES SIMPLES CON OPCIONES SEGÚN LAS EXPECTATIVAS QUE TENGA EL INVERSOR SOBRE EL PRECIO DEL

ACTIVO SUBYACENTE

En el siguiente gráfico se muestra la utilización de las estrategias simples de las opciones financieras:

$960

$40

$60

$900




Así, cuando se espera un fuerte ascenso del valor del activo subyacente se adquirirán opciones de compra y si se esperase un fuerte descenso del mismo se deberían adquirir opciones de venta. Si el valor del activo subyacente va a permanecer estable o ligeramente a la baja, se venderán opciones de compra; y si fuese ligeramente al alza, se venderían opciones de venta.

POSICIONES LARGA Y CORTA (EN CALL)

En la jerga del negocio de los futuros y las opciones, el inversor que compra se dice que adopta una posición a largo (alcista) y el que vende adopta una posición a corto (bajista). Cuando el precio del activo subyacente sube, gana la posición larga y pierde la posición corta, mientras que si el precio del activo subyacente desciende, ocurre justamente lo contrario. El inversor que compra una opción de compra sobre una acción ordinaria tiene una visión optimista del mercado y piensa que el precio de la acción (S) va a subir. El inversor que vende una opción de compra sobre una acción tiene una visión pesimista del mercado y piensa que el precio de la acción (S) va a descender. El inversor a largo limita sus pérdidas a la prima pagada por la opción mientras que sus ganancias pueden ser ilimitadas. El inversor a corto tiene limitado el beneficio máximo que puede obtener al valor de la prima percibida por la venta de la opción; su pérdida (pérdida de ganar), en cambio, puede ser ilimitada cuando el precio futuro de la acción crece de forma extraordinaria. Existe, por tanto, una asimetría entre las posibles ganancias y pérdidas de una y otra estrategia inversora.



UNIDAD 6: INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Se puede definir a la investigación operativa como la aplicación de métodos

científicos para estudiar las alternativas frente a una situación que presente problemas, con el objeto de administrar una base cuantitativa que nos permita llegar a una solución óptima, en función de los objetivos perseguidos.

INTRODUCCIÓN

La programación lineal es una técnica matemática de optimización. Por técnica de “optimización” se entiende un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo; por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar los costos. La programación lineal es un subconjunto de un área más extensa de procedimientos de optimización matemática, llamada programación matemática. Su interés principal es tomar decisiones óptimas.

En todo problema de programación lineal hay que tomar ciertas decisiones. Éstas se representan con variables de decisión xj que se utilizan en el modelo de programación lineal. La estructura básica de un problema de este tipo es maximizar o minimizar la función objetivo, satisfaciendo al mismo tiempo un grupo de condiciones restrictivas o restricciones. Dicha función es una representación matemática de la meta global formulada en función de las variables de decisión xj. Puede representar metas como el nivel de utilidades, los ingresos totales, el costo total, los niveles de contaminación y el rendimiento porcentual sobre la inversión. El conjunto de restricciones, también formulado en función de xj, representa condiciones que es preciso satisfacer cuando se determinan los niveles de las variables de decisión. Así, al procurar maximizar las utilidades obtenidas de la producción y venta de un grupo de productos, las restricciones muestra podrían reflejar los escasos recursos de mano de obra, las pocas materias primas y la limitada demanda de los productos. Las restricciones de un problema de programación lineal pueden representarse con ecuaciones o desigualdades (de tipo y/o ).

A estos problemas se les da el nombre de problemas de programación lineal porque la función objetivo y las restricciones son lineales. A continuación se plantea un problema simple de este tipo:

Maximice 21 24 xxz

Sujeta a 242 21 xx (1)

3034 21 xx (2)

El objetivo es maximizar z, que se formula como función lineal de las dos variables de decisión x1 y x2. Al escoger los valores de esas dos variables, hay que satisfacer dos restricciones. Éstas se representan con dos desigualdades lineales (1) y (2). Ejemplo:

Este es un ejemplo sobre mezcla de productos. Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2. En la siguiente tabla se resumen las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento. También se incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos




departamentos y los márgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los dos productos:

Producto A Producto B Capacidad de

trabajo semanal Departamento 1 3 h por unidad 2 h por unidad 120 h Departamento 2 4 h por unidad 6 h por unidad 260 h Margen de utilidad $5 por unidad $6 por unidad

El trabajo consiste en determinar el número de unidades que hay que fabricar de cada producto, con objeto de maximizar la aportación total a los costos fijos y a las utilidades.

Si se supone que x1 y x2 son el número de unidades fabricadas y vendidas, respectivamente, de los productos A y B, entonces puede calcularse la aportación a las utilidades totales sumando las contribuciones de ambos productos. Lo que hace cada uno se obtiene al multiplicar el margen de utilidad por unidad por el número de unidades producidas y vendidas. Si z se define como la aportación a los costos y utilidades totales, se tendrá:

21 65 xxz

Según la información suministrada en el planteamiento del problema, las únicas restricciones al decidir el número de unidades que deben fabricarse son las capacidades de trabajo semanal en los dos departamentos. Estas restricciones son representables por las siguientes desigualdades:

12023 21 xx departamento 1

26064 21 xx departamento 2

Si bien no hay una expresión formal de la restricción, se sabe implícitamente que x1 y x2 no pueden ser negativas. Hay que explicar esta clase de restricción en la formulación del modelo.

Al cambiar la función objetivo y las restricciones, el modelo de programación lineal que representa el problema se formula así:

Maximice 21 65 xxz

Sujeta a 12023 21 xx (3)

26064 21 xx (4)

01 x (5)

02 x (6)

Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad:

El modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar una función objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones: restricciones estructurales; y restricciones de no negatividad, una para cada variable de decisión. Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitación de recursos y otras condiciones que impone la situación del problema. Las desigualdades (3) y (4) son restricciones estructurales. Las restricciones



de no negatividad garantizan que ninguna variable de decisión sea negativa. Las restricciones (5) y (6) son restricciones de no negatividad.

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Además de los problemas de mezcla de productos, como el que se vio anteriormente, la programación lineal tiene otras aplicaciones, que se verán a continuación. Modelos de dieta balanceada:

El problema clásico de mezcla dietética requiere determinar los alimentos que deberán incluirse en una comida para minimizar su costo y, al mismo tiempo, cumplir con ciertas necesidades nutricionales. Éstas suelen ser raciones diarias de vitaminas, restricciones que estimulan la variedad de alimentos y restricciones que tienen en cuenta el sabor y los alimentos que suelen acompañar al plato principal. Ejemplo:

Un dietista está planeando el menú de la cena de un comedor universitario. Se servirán tres alimentos principales, todos ellos con distinto contenido nutricional. El dietista quiere suministrar por lo menos la ración mínima diaria de tres vitaminas en la cena. En la siguiente tabla se sintetiza el contenido vitamínico por onza de cada tipo de alimento, el costo de una onza de cada alimento y la ración diaria mínima de las vitaminas.

Vitamina Alimento 1 2 3

Costo por onza, $

1 50 mg. 20 mg. 10 mg. 0,10 2 30 mg. 10 mg. 50 mg. 0,15 3 20 mg. 20 mg. 20 mg. 0,12 Ración diaria mínima (RDM) 290 mg. 200 mg. 210 mg.

Puede seleccionarse cualquier combinación de los tres comestibles a condición de que el tamaño de la porción total sea de 9 onzas por lo menos.

El problema radica en determinar el número de onzas de cada alimento que ha de incluirse en la comida. El objetivo es minimizar el costo de cada alimento a fin de satisfacer las raciones diarias mínimas de las tres vitaminas, así como la restricción impuesta al tamaño mínimo de cada porción.

Para formular el modelo de programación lineal es este problema, supóngase que xj sea el número de onzas del alimento j. La función objetivo deberá representar el costo total de la comida. Expresado en pesos, dicho costo es igual a la suma de los costos de los tres alimentos, o sea:

321 12,015,010,0 xxxz

Se desea proporcionar por lo menos por lo menos la ración diaria mínima (RDM)

cada una de las tres vitaminas, por lo cual habrá tres restricciones de “mayor o igual”. La restricción de cada vitamina será así:




Miligramos de ingestión de vitaminas RDM

o bien:

Miligramos del alimento 1 + miligramos del alimento 2 + miligramos del alimento 3 RDM

Las restricciones son, respectivamente:

290203050 321 xxx

200301020 321 xxx

210205010 321 xxx

La restricción de que el tamaño de la porción sea por lo menos 9 onzas se expresa

así:

9321 xxx

La formulación íntegra del problema es la siguiente:

Minimice 321 12,015,010,0 xxxz

Sujeta a 290203050 321 xxx

200301020 321 xxx

210205010 321 xxx

9321 xxx

0,, 321 xxx

Puede notarse que la restricción de no negatividad ha quedado incorporada a la

formulación. Con ello se garantiza que no se recomienden cantidades negativas de ninguno de los alimentos. Modelos de transporte:

Son los modelos de programación lineal más común. El ejemplo clásico de un problema de transporte es el embarque de un producto homogéneo de m fuentes de suministro u orígenes, a n puntos de demanda o destino.

En el problema clásico, cada origen puede abastecer a cualquiera de los destinos, Y la demanda de un destino puede ser satisfecha conjuntamente por una combinación de orígenes o en forma total por uno. Cada origen suele contar con determinada capacidad que representa el número máximo de unidades que puede suministrar. Los destinos presentan una demanda específica, la cual constituye el número de unidades que se necesitan.

Suponiendo que cada origen esté en condiciones de abastecer unidades a los destinos, para cada combinación de origen – destino se especifica alguna medida del costo o esfuerzo del envío de una unidad. A veces esto se traduce en un costo monetario, en la distancia entre los dos puntos o en el tiempo necesario para pasar de un punto a otro. Un problema común se refiere a calcular el número de unidades que deberían enviarse de cada punto al destino. Con ello se pretende minimizar los costos totales del transporte o la



entrega, garantizando al mismo tiempo que el número de unidades suministradas desde un origen no rebase la cantidad de las unidades disponibles en ese origen y que quede satisfecha la demanda en los destinos. Ejemplo:

Una ciudad de tamaño mediano cuenta con dos lugares donde se mantienen reservas de sal y arena que se utilizan durante las tormentas de nieve y la congelación del agua. Cuando sobreviene una tormenta, la sal y la arena se distribuyen de esos sitios a cuatro zonas de la ciudad. En ocasiones se necesita mayor cantidad de sal y arena. Sin embargo, por lo regular es imposible conseguir suministros adicionales durante una tormenta, puesto que están amontonados en un sitio central, un poco fuera de la ciudad. Los funcionarios municipales confían en que no habrá tormentas consecutivas.

El director de obras públicas desea determinar el costo mínimo de asignar suministros de sal y arena durante una tormenta. En la siguiente tabla se sintetiza el costo de enviar a cada zona de la ciudad 1 tonelada de sal o arena de cada reserva. Además, están indicados (en toneladas) las capacidades de las reservas y los niveles normales de la demanda en cada zona:

Zona 1 2 3 4

Oferta máxima, toneladas

Reserva 1 $2,00 $3,00 $1,50 $2,50 900 Reserva 2 $4,00 $3,50 $2,50 $3,00 750 Demanda, toneladas 300 450 500 350

Al formular el modelo de programación lineal para este problema, hay ocho decisiones que tomar: cuántas toneladas deben enviarse de cada reserva a las zonas. En algunos casos, la decisión más acertada puede ser no enviar unidades de una reserva particular a determinada zona. Se definirán las variables de decisión de una manera un poco diferente. Supóngase que xij es el número de toneladas abastecidas a la zona j desde la reserva i. Por ejemplo, x1i es el número de toneladas suministradas a la zona i de la reserva 1. En forma análoga, x23 denota el número de toneladas suministradas de la reserva 2 a la zona 3. Esta variable de dos subíndices transmite más información al usuario que el simple hecho de definir las variables en el problema como x1, x2,..., x3. Con esta definición de las variables de decisión, el costo total de distribuir la sal y la arena presenta la forma (que es la función que se desea minimizar):

Costo total 2423222114131211 35,25,345,25,132 xxxxxxxx

Una clase de restricciones se ocupa de las capacidades de distintas pilas. Para cada

reserva habría que formular una restricción que especifique que los embarques totales no exceden el suministro o existencias disponibles. En el caso de la reserva 1, la suma de los embarques a todas las zonas no debe ser mayor que 900 toneladas, es decir:

90014131211 xxxx




La restricción de la reserva 2 es:

75024232221 xxxx

La clase final de restricciones deberá garantizar que cada zona reciba su cantidad

demandada. Para la zona 1, la suma de los embarques de las reservas 1 y 2 deberá ser igual a 300 toneladas, o sea:

3002111 xx

Las restricciones de las otras tres zonas son, respectivamente:

4502212 xx

5002313 xx

3502414 xx

La formulación completa del modelo de programación lineal es la siguiente:

Minimice 2423222114131211 35,25,345,25,132 xxxxxxxxz

Sujeta a 90014131211 xxxx

75024232221 xxxx

3002111 xx

4502212 xx

5002313 xx

3502414 xx

0,,,,,,, 2423222114131211 xxxxxxxx

Modelos de elaboración de presupuesto de capital:

En las decisiones de elaboración (racionamiento) de capital se asignan fondos limitados de inversión a un conjunto de opciones contrarias de inversión. Las opciones de que se dispone en un período se caracterizan por un costo de inversión y una utilidad estimada. Suele ser bastante fácil la determinación de estos costos. Es un poco más difícil calcular las utilidades, sobre todo cuando los proyectos se caracterizan por rendimientos menos tangibles (por ejemplo, los programas que aportan beneficios sociales). El problema radica en seleccionar un grupo de alternativas que maximice las utilidades globales sujetas a restricciones presupuestarias y a otras que pueden afectar la elección de proyectos. Ejemplo:

Una oficina federal cuenta con un presupuesto de mil millones de pesos para otorgarlos como subsidio destinado a la investigación innovadora en el campo de la búsqueda de otras formas de producir energía. Un equipo gerencial integrado por científicos y economistas efectuó una reseña preliminar de 200 solicitudes, reduciendo los candidatos a seis finalistas. Los seis proyectos han sido evaluados y calificados en relación



con los beneficios que se espera conseguir de ellos en los próximos 10 años. Los beneficios estimados se dan en la siguiente tabla:

Proyecto Clasificación de

proyectos Utilidad neta

por $ invertido Nivel solicitado de

financiamiento, en millones de $ 1 Solar 4,4 220 2 Solar 3,8 180 3 Combustibles sintéticos 4,1 250 4 Carbón 3,5 150 5 Nuclear 5,1 400 6 Geotérmico 3,2 120

Los beneficios estimados representan la utilidad neta por peso invertido en cada

opción. Así, el valor de 4,4 asociado a la opción 1 indica que con cada peso que se invierta en ella se obtendrá una utilidad neta (después de restar la inversión) de $4,4 durante los 10 años próximos.

La tabla anterior muestra además el nivel requerido de financiamiento (en millones de pesos). Esas cifras representan la cantidad máxima de que se dispone para cada proyecto. La oficina del gobierno puede conceder a cada proyecto una suma que no rebase esa cifra. Observando estas disposiciones, el presidente ha ordenado financiar el proyecto nuclear por lo menos en 50% de la suma solicitada. El administrador de la dependencia gubernamental tiene mucho interés en el proyecto solar y ha pedido que la cantidad combinada que se conceda a estos proyectos sea como mínimo $300 millones de pesos.

El problema consiste en determinar las sumas de dinero que se otorgarán a cada proyecto con objeto de maximizar los beneficios netos medidos en pesos. Si xj es el número de pesos (en millones) otorgados al proyecto j, la función objetivo será:

Maximice 654321 2,31,55,31,48,34,4 xxxxxxz

Entre las restricciones estructurales figuran los siguientes tipos. Primero, el

presupuesto es de mil millones de pesos y la suma total no debe exceder esa cifra. Esto se expresa matemáticamente así:

1000654321 xxxxxx

En cada proyecto debe existir una restricción que refleje la concesión máxima

posible. En el caso del proyecto 1 la restricción es:

2201 x

Hay que incluir cinco restricciones más para el resto de los proyectos. A fin de asegurarse de que el presidente se interese en el proyecto nuclear se incluirá la siguiente restricción:

4005,05 x

2005 x




Por último, el interés del administrador en los proyectos solares se obtiene mediante la siguiente restricción:

30021 xx

La formulación íntegra de este problema es la siguiente:

Maximice 654321 2,31,55,31,48,34,4 xxxxxxz

Sujeta a 1000654321 xxxxxx

2201 x

1802 x

2503 x

1504 x

4005 x

1206 x

2005 x

30021 xx

0,,,,, 654321 xxxxxx

Modelos de mezclado:

La programación lineal se presta a muchas aplicaciones en un área denominada modelos de mezclado. Éstos se formulan para determinar la combinación óptima de los componentes que deben mezclarse para obtener un producto final. Esos modelos se han usado para mezclar productos de petróleo, fertilizantes, licores, etc. El objetivo de los modelos casi siempre es reducir al mínimo el costo de la mezcla. Entre las restricciones habituales se cuentan los requerimientos de tamaño de cada mezcla, las exigencias tecnológicas (o receta) y la escasez de los ingredientes. a) El componente 2 deberá consumir no más de 40% del volumen de la mezcla 1. b) El componente 3 deberá consumir por lo menos 25% del volumen de la mezcla 2. c) El componente 1 deberá ser exactamente 30% de la mezcla 3. d) Los componentes 2 y 4 deberán constituir, juntos, por lo menos 60% del volumen de la

mezcla 1.

Hay poca disponibilidad de los componentes 2 y 3: 1500000 y 1000000 de litros, respectivamente. El gerente de producción desea mezclar un total de 5000000 de litros. De este total, un mínimo de 2000000 de litros de la mezcla final 1 deberán producirse. El precio al mayoreo por litro en la venta de cada mezcla final es de $0,26; $0,22 y $0,20; respectivamente. El costo de los insumos componentes es de $0,15; $0,18; $0,12 y $0,14 por litro, respectivamente. El problema radica en determinar el número de litros de cada componente que se utilizará en las mezclas finales, de manera que se maximice la aportación de la utilidad total de la corrida de producción.

Al plantear el problema se usará la variable con dos subíndices xij para representar el número de litros del componente i empleado en la mezcla final j. Una suposición fundamental en este modelo es que no se pierde volumen durante el proceso de mezclado.



Es decir, si se combinan 3 litros de los productos componentes, el resultado de la mezcla final será exactamente 3 litros.

La función objetivo tiene la siguiente forma:

Contribución a la utilidad total = ingresos totales de las 3 mezclas – costo total de los 4 componentes

Contribución a la utilidad total = contribución a la utilidad de la mezcla 1 + contribución a

la utilidad de la mezcla 2 + contribución a la utilidad de la mezcla 3 – costo del componente 1 – costo del componente 2 – costo del componente 3 – costo del

componente 4

Contribución a la utilidad total = $0,26 ∙ (número de litros de la mezcla 1) + $0,22 ∙ (número de litros de la mezcla 2) + $0,20 ∙ (número de litros de la mezcla 3) – $0,15 ∙

(número de litros del componente 1) – $0,18 ∙ (número de litros del componente 2) – $0,12 ∙ (número de litros del componente 3) – $0,14 ∙ (número de litros del componente 4)

Por lo tanto, la función objetivo es:

)(20,0)(22,0)(26,0 433323134232221241312111 xxxxxxxxxxxxz

)(14,0)(12,0)(18,0)(15,0 434241333231232221131211 xxxxxxxxxxxx

que puede simplificarse al combinarse términos semejantes para obtener:

31232221131211 14,002,004,008,005,007,011,0 xxxxxxxz

4342413332 0,008,012,008,010,0 xxxxx

Por lo que respecta a las restricciones estructurales, la corrida de la producción total

habrá de ser de 5000000 de litros, o sea:

5000000434241333231232221131211 xxxxxxxxxxxx

La restricción de la fórmula a) está representada por la desigualdad:

Cantidad del componente 2 usada en la mezcla 1 40% de la cantidad de la mezcla final

1

o bien:

)(40,0 4131211121 xxxxx

Esa restricción se simplifica y adquiere la siguiente forma:

04,04,06,04,0 41312111 xxxx

La restricción de la fórmula (receta) b) se expresa como:




Cantidad del componente 3 usada en la mezcla 2 25% de la cantidad de la mezcla final

2 o:

)(25,0 4232221232 xxxxx

o bien:

025,075,025,025,0 42322212 xxxx

La restricción c) está representada de modo semejante por la ecuación siguiente:

)(3,0 4333231313 xxxxx

o bien:

03,03,03,07,0 43332313 xxxx

La restricción d) está representada por la desigualdad siguiente:

)(6,0 413121114121 xxxxxx

o bien:

04,06,04,06,0 41312111 xxxx

Las disponibilidades limitadas de los componentes 2 y 3 se indican con las

siguientes desigualdades:

1500000232221 xxx

1000000333231 xxx

Por último, la necesidad mínima de producción de la mezcla final 1 se representa

mediante:

200000041312111 xxxx

La formulación íntegra de este modelo de mezclado es la siguiente:

Maximice 31232221131211 14,002,004,008,005,007,011,0 xxxxxxxz

4342413332 06,008,012,008,010,0 xxxxx



Sujeta a 5000000434241333231232221131211 xxxxxxxxxxxx

04,04,06,04,0 41312111 xxxx

025,075,025,025,0 42322212 xxxx

03,03,03,07,0 43332313 xxxx

04,06,04,06,0 41312111 xxxx

1500000232221 xxx

1000000333231 xxx

200000041312111 xxxx

5000000434241333231232221131211 xxxxxxxxxxxx

Sugerencias para formular modelos de programación lineal: Leer con mucho cuidado el planteamiento del problema. Identificar las variables de decisión. Identificar el objetivo. Identificar las restricciones estructurales. Formular por escrito el modelo matemático.

SOLUCIONES GRÁFICAS

Cuando un modelo de programación lineal se expresa en términos de dos variables de decisión, puede resolverse con procedimientos gráficos. Gráficos de desigualdades lineales:

Cuando una desigualdad lineal contiene dos variables, el conjunto solución puede describirse de manera gráfica. Así, la desigualdad:

2434 yx

Tiene un conjunto solución representado por el medio espacio sombreado del siguiente gráfico:




El conjunto puede dividirse en dos subconjuntos. Uno de ellos consta de todos los pares de valores (x, y) que satisfacen la parte de la igualdad o la ecuación 2434 yx . Este subconjunto está representado por la línea recta en la figura anterior. El otro subconjunto consta de todos los pares de valores (x, y) que satisfacen la parte de desigualdad, o sea la desigualdad 2434 yx . El subconjunto está representado por el área sombreada situada debajo y a la derecha de la recta en la figura anterior.

La conclusión es ésta: las desigualdades lineales que contienen dos variables son susceptibles de representación gráfica en dos dimensiones por medio de un medio espacio del plano cartesiano; el medio espacio está compuesto por la línea que representa la parte de igualdad de la desigualdad y todos los puntos situados en un lado de la recta (que representa a la desigualdad estricta). He aquí cómo se determina el medio espacio apropiado: 1- Se grafica la línea que representa la ecuación. 2- Se determina el lado de la que satisface la desigualdad estricta. Para hacer esta

determinación, puede escogerse un punto arbitrariamente en cualquiera de los lados de la línea y sustituir sus coordenadas en la desigualdad (el origen es una opción adecuada si no se encuentra sobre la línea). Si las coordenadas satisfacen la desigualdad, ese lado de la línea queda incluido en el medio espacio permisible. Si no la satisfacen, ese espacio se hallará en el otro lado de la línea.

Ejemplo:

Una empresa fabrica dos productos. Éstos han de procesarse en un departamento. El producto A requiere 4 horas por unidad y el producto B requiere 2 horas por unidad. El tiempo total de producción con que se cuenta para la semana entrante es de 60 horas. Por tanto, una restricción al planear el programa de producción es que las horas totales usadas en la fabricación de ambos productos no deben ser mayores que 60; o bien, si x1 es el número de unidades elaboradas del producto A y x2 denota el número de unidades fabricadas del producto B, la restricción se representa con la siguiente desigualdad:

6024 21 xx



Existen otras dos restricciones implicadas en las definiciones de las variables. Cada variable representa una cantidad de producción, y por ello ninguna de las dos podrá ser negativa. Estas restricciones se indican con las desigualdades 01 x y 02 x .

El conjunto solución de la desigualdad original representa distintas combinaciones de los dos productos que pueden fabricarse, sin rebasar las 60 horas. En el siguiente gráfico se da la solución gráfica del conjunto solución:

Los puntos que satisfacen la desigualdad 6024 21 xx serán el medio espacio que incluye todos los puntos situados en la línea y a su izquierda. Sin embargo, la restricción de que ambas variables no sean negativas nos confina a la parte del medio espacio en el primer cuadrante. Así pues, el área sombreada representa las combinaciones de los productos A y B que pueden fabricarse. Es posible hacer una distinción ulterior en la figura anterior.

Todas las combinaciones de los productos denotados por los puntos en AB consumirán las 60 horas. Los puntos situados en el interior del área sombreada representan combinaciones de los dos productos que requerirán menos de 60 horas. Sistemas de desigualdades lineales:

En los problemas de programación lineal, se utilizan sistemas de desigualdades lineales. Se debe determinar el conjunto solución que satisfaga todas las desigualdades dentro del sistema de restricciones. Ejemplo:

Supóngase que los productos del ejemplo anterior necesitan también ser procesados en otro departamento, además del departamento original. Y supóngase que el producto A requiere 3 horas por unidad y el producto B requiere 5 horas por unidad. Si el segundo departamento dispone de 75 horas cada semana, la desigualdad que describe las posibilidades de producción de este departamento será la siguiente:

7553 21 xx




El conjunto solución de esta desigualdad se muestra en el siguiente gráfico:

Igual que en el caso del gráfico del ejemplo anterior, el área sombreada representa todas las combinaciones de los productos A y B que pueden fabricarse en el segundo departamento, sin rebasar las 75 horas disponibles.

Si el objetivo es determinar las combinaciones de los dos productos que pueden procesarse en ambos departamentos, estaremos buscando el conjunto solución del siguiente sistema de desigualdades lineales:

6024 21 xx

7553 21 xx

01 x

02 x

El siguiente gráfico contiene la combinación de los dos conjuntos solución de los dos gráficos anteriores. El conjunto solución del sistema incluye el grupo de puntos que son comunes a esos dos conjuntos en esos gráficos:



En el gráfico anterior el conjunto solución del sistema es el área sombreada ABCD. Ejemplo:

Se debe determinar con procedimientos gráficos el conjunto solución del siguiente sistema:

2052 21 xx (1)

2422 21 xx (2)

102 21 xx

01 x (3)

02 x (4)

El siguiente gráfico muestra el sistema:

Hay que hacer varias observaciones. En primer lugar, el tercer miembro del sistema




es una ecuación cuyo conjunto solución está representado por una línea. En segundo lugar, las desigualdades (3) y (4) han sido explicadas al graficarlas en el primer cuadrante. En tercer lugar, las desigualdades (1) y (2) no tienen puntos comunes. Por consiguiente, tampoco el conjunto solución tiene elementos. No hay puntos (x1, x2) que satisfagan todas las relaciones del sistema. Área de soluciones factibles:

El siguiente es el problema de programación lineal de mezcla de productos con dos variables que ya se formuló anteriormente y que aquí se rescribe:

Maximice 21 65 xxz Sujeta a 12023 21 xx (5)

26064 21 xx (6)

0, 21 xx (7) donde x2 y x1 representan el número de unidades fabricadas de los productos A y B. Puesto que el problema contiene dos variables de decisión, es posible determinar gráficamente la solución óptima. El primer paso en el procedimiento gráfico es identificar el conjunto solución del sistema de restricciones. Al conjunto a veces se le da el nombre de área de soluciones factibles. Incluye todas las combinaciones de las variables de decisión que satisfacen las restricciones estructurales y de no negatividad. Dichas combinaciones pueden considerarse candidatos de la solución óptima. El conjunto solución de las desigualdades (5), (6) y (7) está indicado en el siguiente gráfico:

Ésa es el área de las soluciones factibles del problema de programación lineal. Cada punto dentro del área de las soluciones factibles en el gráfico anterior

representa una combinación de los dos productos que puede elaborarse. El problema radica en determinar la combinación o combinaciones que maximicen el valor de la función objetivo.



Incorporación de la función objetivo:

El procedimiento de solución de la programación lineal exige una búsqueda del área de soluciones factibles para encontrar la solución óptima. Antes de presentar el procedimiento de búsqueda, se examinarán algunas características de las funciones objetivo. En el problema de la mezcla de productos, se identificarán las combinaciones de los dos productos que generen un nivel de utilidades previamente establecido. Por ejemplo, si se quisiera obtener las combinaciones de los dos productos que aportan una utilidad de $120, habría que hacer que la función objetivo fuera 120:

12065 21 xx

Si se quiere determinar las combinaciones que generen una utilidad de $180, habrá que determinar el conjunto solución de la ecuación:

18065 21 xx

Si se grafican estas ecuaciones, el resultado serán las líneas de utilidades de $120 y $180, respectivamente, que aparecen en el siguiente gráfico. De manera análoga, la línea de utilidades de $240 está indicada en el mismo gráfico:

(a) 12065 21 xx (b) 18065 21 xx (c) 24065 21 xx (d) 28065 21 xx

Esas tres líneas de utilidades reciben a menudo el nombre de líneas de utilidades iguales, porque cada punto en una línea dada representa una utilidad idéntica.

Puede notarse que en el caso de estas tres líneas de utilidades, se desea conocer las partes que se hallan dentro del área de las soluciones factibles. Para la línea de $240 existen algunas combinaciones de los dos productos que aportarían una utilidad combinada de $240, pero no se encuentran en el interior del área de las soluciones factibles. Un ejemplo




de tales combinaciones son las 48 unidades del producto A y la ausencia de unidades del producto B. Aún cuando esta combinación generaría una utilidad de $240, no se cuentan con suficientes horas (en el departamento 1) para producir esas cantidades.

Puede observarse desde las tres líneas de utilidades que los niveles de utilidad aumentan a medida que las líneas salen de su origen. También se advierte que son paralelas entre sí. Esto puede verificarse rápidamente al rescribir la función utilidad:

21 65 xxz (8)

en la forma de pendiente – intersección. En el gráfico anterior, x2 equivale a y (si a las variables se les hubiera dado el nombre de x e y). Al resolver la ecuación (8) para x2, se obtendrá:

66

512

zxx

La pendiente de la función objetivo es – 5/6, y no recibe el influjo del valor de z. Se

determina exclusivamente por los coeficientes de las dos variables de la función objetivo.

La intersección con el eje x2 (o y) está definida por (0, z/6). Desde ella se advierte que, al cambiar el valor de z, lo mismo sucede con la intersección con el eje x2. Si z aumenta de valor, también lo hace la intersección con el eje x2, lo cual significa que la línea de utilidades iguales se desplaza hacia arriba y hacia la derecha. Si quisiéramos maximizar las utilidades, tendríamos que desplazar la línea de utilidades lo más fuera posible, sin dejar de tocar un punto dentro del área de las soluciones factibles. Al deslizarse hacia fuera de la línea de $240, el último punto que debe tocarse es B, con las coordenadas (20, 30). Este punto se encuentra en la línea de utilidades de $280. Conclusión: la utilidad se maximiza en un valor de $280 cuando se fabrican 20 y 30 unidades, respectivamente, de los productos A y B. Ejemplo:

Hay que determinar la solución óptima del siguiente problema de programación lineal:

Minimice 21 63 xxz Sujeta a 204 21 xx

2021 xx

1021 xx

0, 21 xx

En el siguiente gráfico se muestra el área de las soluciones factibles para el conjunto de restricciones:



Con el propósito de obtener la solución óptima, se determinará la orientación de la función objetivo. Supóngase un valor arbitrario de z, digamos 60. La ecuación:

6063 21 xx

se grafica en el siguiente gráfico:

(a) 3063 21 xx (b) 6063 21 xx

Para determinar la dirección del movimiento de la función objetivo, puede

escogerse un punto a uno u otro lado de la línea y calcular el valor correspondiente de z. Si se seleccionara el origen, se observa que le valor de la función objetivo en (0, 0) es:

0)0(6)0(3 z




El valor de z en el origen es menor que 60, y nuestra conclusión es que el movimiento de la función objetivo hacia el origen produce valores más bajos de z. Se desea minimizar z, por lo cual se querrá acercar la función objetivo, paralela a sí misma, lo más posible al origen, logrando al mismo tiempo que toque un punto en el área de soluciones factibles. El último punto tocado antes de que la función abandone totalmente el área de las soluciones posibles es D, es decir (10, 0). El valor mínimo de z se encuentra en (10, 0), de manera que el valor mínimo se calcula como:

30)0(6)10(3 z

Soluciones de punto en la esquina:

El procedimiento de búsqueda puede simplificarse si se aprovechan las características del área de las soluciones factibles y la función objetivo. El conjunto convexo es un grupo de puntos tales que, si dos de ellos seleccionados arbitrariamente dentro del conjunto se conectan mediante una recta, todos los elementos del segmento de línea serán también miembros del conjunto. En las siguientes figuras se aprecia la diferencia entre un conjunto convexo y uno no convexo, la primera figura representa un conjunto no convexo y la segunda figura un conjunto convexo:

Conjunto no convexo Conjunto convexo

En el conjunto convexo, si dos puntos cualesquiera del conjunto se unen por medio de un segmento de línea, cada punto del segmento de línea será también miembro del conjunto. En contraste con esto, en el conjunto no convexo, hay muchos pares de puntos como A y B en que el segmento de línea conector contiene los puntos que no son miembros del conjunto.

De aquí se deducen los siguientes enunciados que son de fundamental importancia en la programación lineal: El conjunto solución de un grupo de desigualdades lineales es un conjunto convexo. Por

tanto, el área de soluciones factibles (si es que existe) para un problema de programación lineal será un conjunto convexo.

Tratándose de una función objetiva lineal en un problema de programación lineal, la solución óptima incluirá siempre un punto en la esquina dentro del área de las soluciones factibles. Esto sucede sin importar la pendiente de la función objetivo ni los problemas de maximización o minimización.



El segundo enunciado simplemente implica que, cuando una función objetivo se traslada a través del área convexa de soluciones factibles, el último punto que se toca antes de abandonar enteramente el área abarcará por lo menos un punto en la esquina.

Así pues, el método de punto en la esquina con que se resuelven los problemas de programación lineal es como sigue: 1- Se identifica gráficamente el área de las soluciones factibles. 2- Se determinan las coordenadas de cada punto en la esquina en el área de las soluciones

factibles. 3- Se sustituyen las coordenadas de los puntos en la esquina en la función objetivo, a fin

de determinar el valor correspondiente de z. 4- Se presenta una solución óptima en un problema de maximización en el punto en la

esquina que produce el valor más alto de z, y en un problema de minimización en el punto en la esquina que produce el valor más bajo de z.

Ejemplo:

En el ejemplo de mezcla de productos que ya se ha visto, la función objetivo a maximizar es 21 65 xxz . Los puntos en la esquina dentro del área de soluciones factibles fueron (0, 0); (0; 43,3); (20, 30) y (40, 0). Al sustituirlos en la función objetivo, se llega a las cifras de la siguiente tabla:

Puede notarse que la solución óptima ocurre en x1 = 20 y en x2 = 30, lo que produce

un valor máxima de 280 para z. Ejemplo:

En el anteúltimo ejemplo visto, su gráfico indica cuatro puntos en la esquina dentro del área de soluciones factibles. Al emplear el método de puntos en la esquina, los valores de éstos y los valores respectivos de la función objetivo se resumen en la siguiente tabla:

Punto en la esquina (x1, x2) 21 65 xxz

A (0, 0) 0)0(6)0(5

B (0; 43,3) 260)3,43(6)0(5

C (20, 30) 280)30(6)20(5

D (40, 0) 200)0(6)40(5


A (3,3; 6,6) 50)6,6(6)3,3(3

B (0, 20) 120)20(6)0(3

C (20, 0) 60)0(6)20(3

D (10, 0) 30)0(6)10(3




Dado que el objetivo es minimizar z, la solución óptima se presenta en el punto en la esquina D cuando x1 = 10, x2 = 0 y z = 30.

Si el objetivo hubiera sido maximizar z en este problema, el valor máximo de 120 habría producido el punto en la esquina B cuando x1 = 0 y x2 = 20. Soluciones óptimas alternativas:

Al hablar del método del punto en la esquina se dijo que una solución óptima ocurrirá siempre en un punto en la esquina dentro del área de soluciones factibles. Existe la posibilidad de más de una solución óptima en los problemas de programación lineal. En el siguiente gráfico se incluye un caso en que la función objetivo tiene la misma pendiente que la restricción (b):

Si la función se mejora al salir y abandonar el origen, los últimos puntos tocados

antes de que la función abandone el área de las soluciones factibles son los puntos en AB . En esta situación existirá un número infinito de puntos, produciendo cada uno el mismo valor máximo de z. En casos como éste, se dice que el problema tiene soluciones óptimas alternativas.

Hay que satisfacer dos condiciones si se quiere que exista ese tipo de soluciones: la función objetivo debe ser paralela a una restricción que forma un borde o límite en el área de las soluciones factibles en dirección del movimiento óptimo de la función objetivo; es decir, la restricción será una restricción limitante que impida el mejoramiento ulterior del valor de la función. Esta segunda condición se violaría en el gráfico anterior, si el problema fuera de minimización, o sea si se deseara cambiar la función objetivo en otra dirección. Aún cuando ésta sea paralela a la restricción (b), la restricción no nos impide desplazarnos hacia el origen.

Cuando se utiliza el método de punto en la esquina, conviene recurrir a las soluciones óptimas alternativas si hay un empate del valor óptimo de la función objetivo. Este tipo de soluciones ocurre en los puntos en la esquina “empatados”, así como a lo largo de todo el segmento de línea que une los dos puntos. Ejemplo:

Debe resolverse por el método de punto en la esquina el siguiente problema de programación lineal:



Maximice 21 1520 xxz Sujeta a 6043 21 xx (9)

6034 21 xx (10)

101 x (11)

121 x (12)

0, 21 xx

El área de las soluciones factibles aparece en el siguiente gráfico:

Y en la siguiente tabla se resumen los puntos en la esquina y sus respectivos valores para z:


A (0, 0) 0)0(15)0(20

B (0, 12) 180)12(15)0(20

C (4, 12) 260)12(15)4(20

D (8,6; 8,6) 300)6,8(15)6,8(20

E (10; 6,6) 300)6,6(15)10(20

F (10, 0) 200)0(15)10(20

Puede notarse que hay un empate entre D y E respecto al valor de z. La pendiente de

la función objetivo es la misma que la restricción (10). En el gráfico visto existe un número

infinito de soluciones óptimas alternativas a lo largo de DE .




Ausencia de solución factible:

El sistema de restricciones en un problema de programación lineal quizá no tenga puntos que cumplan con todas ellas. En tales casos no habrá puntos en el conjunto solución, y entonces se dice que el problema carece de una solución factible. El siguiente gráfico muestra un problema que no tiene una solución factible:

La restricción (a) es de tipo “menor o igual”, ya la restricción (b) es de tipo “mayor o igual”. Un problema puede presentar ambos tipos de restricción. En este caso el conjunto de puntos que satisfagan una no comprende ninguno de los puntos que cumplen con la otra. Soluciones no acotadas:

El siguiente gráfico contiene lo que se conoce con el nombre de espacio de soluciones no acotadas:

Las dos restricciones parecen ser del tipo , y el espacio de la solución resultante se extiende una distancia infinita hacia fuera, sin tener límite alguno. En un espacio de solución no acotada, el valor óptimo de la función objetivo puede estar acotado o sin acotar. Si en el gráfico anterior la dirección del mejoramiento de la función objetivo es hacia el origen (casi siempre un objetivo de minimización), habrá un límite en el valor z, y se realizará en el punto en la esquina A, B o C. Pero si la dirección del mejoramiento es hacia fuera, lejos del origen (generalmente un objetivo de maximización), la función objetivo puede ser llevada hacia fuera en una distancia infinita. Así pues, el valor de z carece de límite y se dice que el problema tiene una solución no acotada.

Por eso debe recordarse que un espacio de solución no acotada constituye una condición necesaria pero no suficiente para la aparición de una solución no acotada.



El método símplex es el procedimiento no gráfico de mayor uso. Se trata de una técnica algebraica para resolver los sistemas de ecuaciones en que ha de optimizarse la función objetivo. Es un proceso iterativo que identifica la solución factible inicial. A continuación busca la posible existencia de una mejor solución. “Lo mejor” se mide según que pueda o no mejorarse el valor de la función objetivo. Si se encuentra una solución más satisfactoria, se reanudará la búsqueda. Para generar cada solución sucesiva se requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales. La búsqueda continúa hasta que la función objetivo ya no admite mejoramiento.

REQUISITOS DEL MÉTODO SÍMPLEX

La solución de un problema de programación lineal por el método símplex incluye tres requisitos o condiciones: Todas las restricciones deben formularse como ecuaciones. El miembro derecho de una restricción no puede ser negativo. Todas las variables están restringidas a valores no negativos. Primer requisito:

En lo referente al primer requisito, el método símplex es una rutina especial para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La mayor parte de estos problemas contienen restricciones que son desigualdades. Antes de resolverlos por el método símplex, es preciso reformular como ecuaciones dichas desigualdades. La transformación de desigualdades a ecuaciones varía según la naturaleza de la desigualdad. Para cada restricción de tipo “menor o igual” ( ), al lado izquierdo de la restricción se

le añade una variable no negativa, denominada variable de holgura. Esta variable cumple la función de equilibrar ambos miembros de la ecuación.

Ejemplo:

Considérese las dos restricciones siguientes:

5032 21 xx (departamento 1)

6024 21 xx (departamento 2)

donde x1 y x2 denotan, respectivamente, el número de unidades fabricadas de los productos A y B. Supóngase que las dos restricciones representan la disponibilidad limitada de mano de obra en ambos departamentos; los coeficientes en las variables indican el número de horas necesarias para elaborar una unidad de cada producto, y los lados derechos de las restricciones denotan el número de horas de que se dispone en cada departamento.

El tratamiento que se da a tales restricciones consiste en añadir una variable de holgura al miembro izquierdo de ellas. Otra opción consiste en rescribir las restricciones así:




5032 121 Sxx (departamento 1)

6024 221 Sxx (departamento 2)

Las variables de holgura S1 y S2 mantienen en equilibrio ambos miembros de sus respectivas ecuaciones. También poseen un significado que es fácil de entender. En este problema representan el número de horas que no se emplean en los departamentos. Por ejemplo, x1 = 5 y x2 =10 sugiere fabricar 5 unidades del producto A y 10 del producto B. Si esos valores se sustituyen en ambas restricciones, se tendrá:

50)10(3)5(2 1 S

60)10(2)5(4 2 S

o bien:

5040 1 S (departamento 1)

6040 2 S (departamento 2)

En otras palabras, se utilizarán 40 horas en la fabricación en cada departamento. Las variables de holgura deberían adoptar, respectivamente, los valores de S1 = 10 y S2 = 20 para equilibrar las ecuaciones. Las interpretaciones de esos valores es que, si se elaboran 5 unidades del producto A y 10 unidades del producto B, sobrarán 10 horas en el departamento 1 y 20 en el departamento 2.

Puede advertirse que las variables de holgura se convierten en variables adicionales en el problema y han de tratarse como cualquier otra. Ello significa que están sujetas al tercer requisito, o sea que no pueden asumir valores negativos. Por cada restricción de tipo “mayor o igual” ( ), al lado izquierdo de la restricción se le

sustrae una variable no negativa, denominada variable de demasía. Esta variable cumple la misma función que la de holgura: conserva en equilibrio ambos miembros de la ecuación.

Ejemplo:

Supóngase, en el ejemplo anterior, que la producción combinada de los dos productos ha de ser de 25 unidades como mínimo. La restricción que representa la tercera condición es:

2521 xx

Antes de resolver la ecuación por el método símplex, habrá que transformar la desigualdad en la ecuación equivalente:

25321 Exx

El subíndice de la variable de demasía indica el número de restricciones; no indica

que sea la tercera variable de demasía. Si x1 = 20 y x2 =35, la variable de demasía E3 ha de ser igual a 30 para que se satisfaga la ecuación. La interpretación de la variable de demasía es que la producción combinada excede la cantidad mínima en 30 unidades.



Por cada restricción “mayor o igual” ( ) y por cada restricción “igual” (=), al miembro izquierdo de la restricción se le añade una variable no negativa llamada variable artificial.

La variable artificial carece de significado real en el problema; su única función

consiste en ofrecer un punto de arranque adecuado (solución inicial) para el método símplex. Ejemplo:

Debe transformarse el siguiente conjunto de restricciones en la forma estándar requerida por el método símplex:

10021 xx

4032 21 xx

252 21 xx

0, 21 xx

El conjunto transformado de restricciones es:

100121 Sxx

4032 2221 AExx

252 321 Axx

0,,,,, 322121 AAESxx

Puede observarse que a cada variable complementaria (artificial, de demasía, de

holgura) se le asigna un subíndice que corresponde al número de restricciones.

A las variables de holgura y de demasía se les asignan coeficientes 0 en la función objetivo. Esto suele ser lógico cuando se considera su significado, aunque a veces se dan excepciones. Las variables artificiales carecen de significado real en el problema, y por ello casi siempre se les asignan coeficientes de la función objetivo que las hace extremadamente inconvenientes. En los problemas de maximización, a las variables artificiales debería asignárseles esos coeficientes de – M. La contribución muy grande negativa (positiva) en un problema de maximización (minimización) no crea incentivos para que la variable artificial sea positiva. De hecho existe un enorme incentivo para hacerla 0. Ejemplo:

Si la función objetivo original en el ejemplo anterior hubiera sido:

Maximice 21 105 xxz Entonces habría sido revisada para que adoptara la forma:

Maximice 322121 00105 AAESxxz




Si la función objetivo original hubiera sido:

Minimice 21 105 xxz

se habría escrito así:

Minimice 322121 00105 AAESxxz

Segundo requisito:

El segundo requisito (o condición) del método símplex establece que el miembro derecho de cualquier ecuación de restricciones no sea negativo. Si una restricción tiene un miembro derecho negativo, la restricción puede multiplicarse por – 1 para hacer positivo el miembro derecho. Ejemplo:

En las siguientes restricciones, hacer positivo el miembro derecho: a) 1052 21 xx

b) 1006 21 xx

c) 2825 21 xx a) Al multiplicar la restricción por –1 se obtiene: 1052 21 xx b) Al multiplicar la restricción por –1 se obtiene: 1006 21 xx c) Al multiplicar la restricción por –1 se obtiene: 2825 21 xx Tercer requisito:

La tercera condición del método símplex señala que se restrinjan todas las variables a valores no negativos. Se cuenta con técnicas especializadas para ocuparse de variables capaces de adoptar valores negativos; sin embargo, no se examinarán aquí. Lo único que se mencionará es que las variables de holgura, de demasía y artificiales pueden restringirse también a que no sean negativas.

SOLUCIONES FACTIBLES BÁSICAS

Una vez que los problemas de programación lineal han sido convertidos en la forma estándar en que todas las restricciones se reformulan como igualdades y que se han agregado variables complementarias, el sistema resultante de ecuaciones tiene más variables que ecuaciones. Supóngase el caso de un problema generalizado de este tipo que



posea m restricciones de tipo y n variables de decisión. Una vez transformado en la forma estándar, habrá m restricciones estructurales, n variables de decisión y m variables de holgura. Por tanto, el sistema de restricciones puede considerarse un sistema )( mnm donde m < n + m. Es decir, el número de ecuaciones es menor que el de variables. Si existe una solución para ese sistema de ecuaciones, habrá un número infinito de ellas.

A continuación se citan algunas definiciones que son importantes. Supóngase la forma estándar de un problema de programación lineal que tiene m restricciones estructurales y n’ variables reales complementarias. Solución factible:

Es cualquier conjunto de valores de n’ variables que satisfacen tanto las restricciones estructurales como las no negativas. Solución básica:

Es cualquier solución que se obtiene al hacer igual a 0 las variables (n’ – m) y al resolver el sistema de ecuaciones para los valores de las variables m restantes. Las variables m resueltas reciben el nombre de variables básicas. Se dice que éstas constituyen una base. Las variables restantes (n’ – m), o aquéllas a las que se han asignado valores de 0, se llaman variables no básicas. Solución factible básica:

Es una solución básica que además cumple con las restricciones de no negatividad. Ejemplo:

Se examinará otra vez el problema de la mezcla de productos con dos variables, ya visto en la solución gráfica:

Maximice 21 65 xxz Sujeta a 12023 21 xx

26064 21 xx

0, 21 xx

Se centrará la atención en un conjunto de restricciones estructurales por un momento. Cuando se convierten en una forma estándar, éstas se escribirán como:

12023 121 Sxx (1)

26064 221 Sxx (2)

El conjunto reescrito de restricciones es un sistema de ecuaciones (2 × 4). A continuación se dan ejemplos de los conceptos de una solución factible, una solución básica y una solución factible básica para este sistema.




a) La solución factible es cualquier conjunto de valores de las cuatro variables que satisfaga las dos ecuaciones. Por ejemplo, si x1 y x2 se hacen igual a 5, estos valores pueden sustraerse a (1) y (2) para despejar los valores correspondientes de S1 y S2.

120)5(2)5(3 1 S

260)5(6)5(4 2 S

12025 1 S

26050 2 S

o bien:

S1 = 95 S2 = 210

Así pues, una solución factible del sistema es x1 = 5, x2 = 5, S1 = 95 y S2 = 210. b) Una solución básica se encontrará al hacer igual a 0 dos variables cualesquiera y al

resolver para las otras dos. Por ejemplo, si se hacen igual a cero S2 y x2, con la sustitución se obtiene:

120)0(23 11 Sx

260)0()0(64 1 x

Al despejar x1 en la segunda ecuación y al sustituir esta variable en la primera ecuación se obtiene:

651 x

120)65(3 1 S

751 S

Por tanto, una solución básica del sistema es x1 = 65, x2 = 0, S1 = –75 y S2 = 0. Las variables hechas igual a cero (x2 y S2) se consideran variables no básicas en esta solución. Las que han sido despejadas (x1 y S1) son las variables básicas. Se advierte que esta solución básica en particular no es factible, por no cumplir con la restricción de no negatividad. c) La solución factible básica es cualquier solución básica que satisfaga la restricción de

no negatividad. Por ejemplo, si se hacen igual a cero x1 y x2, al sustituir en las dos ecuaciones nos da:

120)0(2)0(3 1 S

260)0(6)0(4 2 S



o bien:

1201 S

2602 S

Así pues, otra solución básica del sistema es x1 = 0, x2 = 0, S1 =120 y S2 =260. Las variables x1 y x2 son no básicas, y S1 y S2 son variables básicas. Se trata de una solución factible básica porque las cuatro variables satisfacen la restricción de no negatividad.

Puede demostrarse que la solución óptima de un problema de programación lineal está incluida en el conjunto de soluciones factibles básicas. Y así se llega a la solución óptima efectuando una búsqueda del conjunto de soluciones factibles básicas. Esto es precisamente lo que se consigue con el método símplex. Comienza con una solución factible básica formada por dos grupos de variables: m variables básicas y (n’ – m) variables no básicas. El método símplex determina si la función objetivo puede mejorarse intercambiando una variable básica y una no básica. Si con el intercambio se logra la mejora, una variable básica actual se hace igual a 0 (convirtiéndose con ello en variable no básica), una variable no básica se incluye en el grupo de variables básicas y el sistema de ecuaciones vuelve a resolverse con el nuevo conjunto de variables básicas para alcanzar una nueva solución factible básica. Vuelve a realizarse una determinación sobre si existe o no una solución más satisfactoria. En caso de que la haya, se lleva a cabo otro intercambio y el proceso se repite de nuevo. Al método símplex se le da el nombre de proceso iterativo, porque un conjunto especificado de pasos de solución se repiten hasta llegar a una solución óptima.

SOLUCIÓN POR ENUMERACIÓN

Supóngase el caso de un problema que tenga m restricciones y n variables. Antes de resolverlo aplicando el método símplex, las m restricciones han de ser convertidas en ecuaciones sumando m variables de holgura. Esta reformulación da origen a un conjunto de restricciones que consta de m ecuaciones y m + n variables.

Anteriormente se estudió el siguiente problema de programación lineal:

Maximice 21 65 xxz

Sujeta a 12023 21 xx

26064 21 xx

0, 21 xx

Antes de resolver este problema, el conjunto de restricciones ha de ser transformado en el conjunto equivalente:

12023 121 Sxx

26064 221 Sxx

0,,, 2121 SSxx

El conjunto de restricciones contiene dos ecuaciones y cuatro variables. Puede




notarse que las variables de holgura, junto con las variables reales, presentan la restricción de ser no negativas.

Entre todas las posibles soluciones del conjunto de restricciones, puede demostrarse que se obtiene una solución óptima cuando dos de las cuatro variables de este problema se hacen iguales a cero y el sistema se resuelve para las otras dos variables. Surge entonces la pregunta: ¿cuáles dos variables deberán hacerse iguales a 0 (deberían ser variables no básicas)?. Enseguida se enumeran las posibilidades. Si S1 y S2 se ponen iguales a 0, las ecuaciones de restricciones serán:

12023 21 xx

26064 21 xx

Al despejar las variables básicas correspondientes x1 y x2 se obtiene x1 =20 y x2 = 30.

Si S1 y x1 se hacen igual a 0, el sistema será:

1202 2 x

2606 22 Sx

Si se despejan las variables básicas correspondientes x2 y S2, se obtiene x2 = 60 y S2 = –100.

La siguiente tabla sintetiza las soluciones básicas, es decir, todas las posibilidades de solución suponen que a dos de las cuatro variables se les asignen valores de 0:

Se ha prestado atención especial a las soluciones 2 y 5 (marcadas con flechas)

porque no son factibles. Cada uno contiene una variable que tiene una valor negativo, violando así la restricción de no negatividad. Sin embargo, las soluciones 1, 3, 4 y 6 son soluciones factibles básicas del problema de programación lineal y son candidatos a la solución óptima.

El siguiente gráfico es la representación del conjunto de restricciones:

Solución Variables no básicas Variables básicas 1 S1, S2 x1 = 20, x2 = 30 2 x1, S1 x2 = 60, S2 = –100 3 x1, S2 x2 = 43,3; S1 = 33,3 4 x2, S1 x1 = 40, S2 = 100 5 x2, S2 x1 = 65, S1 = –75 6 x1, x2 S1 = 120, S2 = 260



En el gráfico anterior, los puntos de intersección (A, B, C, D, E, F) entre las líneas de restricciones estructurales y las restricciones de no negatividad (los ejes x1 y x2) representan el conjunto de soluciones básicas. Las soluciones 1, 3, 4 y 6 en la tabla vista anteriormente son las soluciones factibles básicas y corresponden a los cuatro puntos en la esquina dentro del área de soluciones factibles en el gráfico anterior. En concreto, la solución 1 corresponde al punto en la esquina C, la solución 3 al punto en la esquina B, la solución 4 al punto en la esquina D y la solución 6 al punto en la esquina A. Las soluciones 2 y 5, que no son factibles, corresponden a los puntos E y F en el gráfico.

El punto importante que conviene destacar es que, al hacer todas las combinaciones de dos variables diferentes iguales a 0 y al despejar las variables restantes, se identificó un conjunto de posibles soluciones (soluciones básicas) para el problema de programación lineal. Automáticamente se excluyó un subconjunto de estas soluciones por contener soluciones no factibles (2 y 5). No obstante, el resto de las soluciones básicas factibles correspondían a los puntos de esquina dentro del área de las soluciones factibles. Se sabe que habrá una solución óptima por lo menos en uno de esos puntos, por lo cual se obtendrá una solución óptima si se examina más a fondo.

En el caso de un problema de maximización que presente m restricciones y n variables, la adición de m variables de holgura produce m ecuaciones de restricción que contienen m + n variables. Puede conseguirse una solución óptima a este problema al hacer igual a 0 n de las variables y al despejar para las demás m variables. En el proceso de seleccionar varias combinaciones de n variables para hacerlas 0, el método símplex nunca escogerá una combinación que produzca una solución no factible; y garantizará que cada nueva combinación seleccionada aportará una solución que posea un valor de función objetivo por lo menos tan bueno como el de la solución actual.

PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO SÍMPLEX

Se explicará el método símplex para un problema de maximización con todas las restricciones del tipo a través del siguiente ejemplo: se tiene el siguiente problema de programación lineal:




Maximice 21 34 xxz


100002 21 xx

1200022 21 xx

1000021 xx

0, 21 xx

Transformando las desigualdades en igualdades tenemos:

Maximice 654321 000034 xxxxxxz

Sujeta a 150003 321 xxx

100002 421 xxx

1200022 521 xxx

10000621 xxx

siendo x3, x4, x5 y x6 las variables de holgura.

En un problema de maximización que tenga todas las restricciones de tipo , la solución inicial tendrá un conjunto de variables básicas integradas por las variables de holgura del problema.

El primer cuadro del símplex queda constituido de la siguiente manera:

Cj 4 3 0 0 0 0 Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x3 15000 1 3 1 0 0 0 0 x4 10000 2 1 0 1 0 0 0 x5 12000 2 2 0 0 1 0 0 x6 10000 1 1 0 0 0 1 Zj 0 0 0 0 0 0 0

Zj – Cj – 4 – 3 0 0 0 0

Para poder formar este primer cuadro que es una solución factible pero no óptima, debe existir una matriz unitaria (el área sombreada en el cuadro anterior). Para eso se deben tener m incógnitas con coeficiente + 1 que aparezcan una sola vez y en ecuaciones distintas.

Xk son las variables básicas, mientras que Ck son los coeficientes de dichas variables en la función objetivo, y B son los términos independientes de las restricciones. Los demás números en la parte horizontal central del cuadro son los coeficientes de las variables en las distintas restricciones.



Zj es la suma de los productos de los términos de la columna Ck por cada una de las columnas de cada incógnita. Por ejemplo: 0100000120000100000150000 ; y así para cada columna.

El Zj representa lo que se pierde al fabricar una unidad de la incógnita correspondiente por dejar de fabricar las de la matriz unitaria.

Cj son los coeficientes de las variables en al función objetivo. El Cj representa lo que se gana al vender una unidad de la incógnita

correspondiente.

Zj – Cj es la diferencia entre una pérdida y una ganancia. El signo de los valores en este renglón es el contrario de la dirección del cambio en el valor actual de la función objetivo. Es decir, un valor negativo indica un incremento del valor de z; un valor positivo denota un decremento.

Una vez obtenido el primer cuadro se prosigue de acuerdo a las siguientes reglas: Regla 1: comprobación de optimización en un problema de maximización: en un

problema de maximización, se habrá encontrado la solución óptima si todos los valores en el renglón Zj – Cj son mayores o iguales a 0. Si cualesquiera de los valores en el renglón Zj – Cj son negativos, puede obtenerse una mejor solución asignándoles una cantidad positiva.

Regla 2: nueva variable básica en el problema de maximización: en un problema de maximización la variable no básica que sustituirá una variable básica es la que tiene el valor en el renglón Zj – Cj más negativo. Los “empates” pueden deshacerse en modo arbitrario.

Regla 3: variable básica de salida: la variable básica que se sustituirá se obtiene determinando el renglón i asociado a:

mínika

B

donde B es el término independiente y aik es el término de la columna que entra. Además de identificar la variable básica de salida, el valor mínimo de B/aik es el número máximo de unidades que pueden introducirse en la variable básica de entrada.

En la intersección de la columna de la variable que entra con la fila de la variable que sale se marca el pivote, que sirve de arranque para la próxima iteración.

Para obtener el siguiente cuadro se divide la fila del pivote por el pivote; la columna del pivote se llena con ceros, excepto la casilla del pivote; y los demás elementos se obtienen con la regla del pivote, la cual es la siguiente:




E’ (elemento nuevo) = E Pivote

BA

En el primer cuadro visto pueden observarse marcadas con flechas la columna de la

variable que entra y la fila de la variable que sale. También puede verse en negrita el pivote.

El segundo cuadro del ejemplo queda así:

Cj 4 3 0 0 0 0 Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x3 10000 0 5/2 1 – 1/2 0 0 4 x1 5000 1 1/2 0 1/2 0 0 0 x5 2000 0 1 0 – 1 1 0 0 x6 5000 0 1/2 0 – 1/2 0 1 Zj 20000 4 2 0 2 0 0

Zj – Cj 0 – 1 0 2 0 0

Se comprobó que la solución no es óptima y se aplicaron las reglas para determinar la variable de entrada y la variable de salida (que están marcadas con flechas) y se obtuvo el nuevo pivote (marcado en negrita).

Al dividir la fila del pivote por el pivote, llenar con ceros la columna del pivote y aplicar al regla del pivote, se obtiene el siguiente cuadro del símplex: Cj 4 3 0 0 0 0

Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 X3 5000 0 0 1 2 – 5/2 0 4 x1 4000 1 0 0 1 – 1/2 0 3 x2 2000 0 1 0 – 1 1 0 0 x6 4000 0 0 0 0 – 1/2 1 Zj 22000 4 3 0 1 1 0

Zj – Cj 0 0 0 1 1 0

Al comprobar si la solución es óptima, se advierte que sí lo es, ya que todos los valores en el renglón Zj – Cj son mayores o iguales a 0.

La solución del problema es: x1 = 4000, x2 = 2000, x3 = 5000, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 4000, y el valor de la función objetivo es z = 22000. Problemas de maximización con restricciones mixtas:

En un problema de maximización que tenga una mezcla de restricciones de tipo ( , y =), el método símplex propiamente dicho no cambia. El único cambio consiste en

transformar las restricciones en la forma estándar de las ecuaciones, con las variables complementarias correspondientes. Se agrega una columna más a la tabla del símplex para las variables de demasía y artificiales. Y además a esas variables hay que asignarles los coeficientes apropiados de la función objetivo en Cj.



Base inicial en el método símplex: En cualquier problema de programación lineal, el conjunto inicial de las variables básicas estará constituido por todas las variables de holgura y todas las variables artificiales que aparezcan en el problema.

Problemas de minimización:

El método símplex cambia ligeramente cuando se resuelven los problemas de minimización. Además de asignar a las variables artificiales coeficientes de función objetivo de + M, la única diferencia se relaciona con la interpretación de los valores en el renglón Zj – Cj. Las dos reglas siguientes son modificaciones de las reglas 1 y 2 vistas en los problemas de maximización, pero que se aplican a los problemas de minimización: Regla 1A: comprobación de optimización en un problema de minimización: en un

problema de minimización, se habrá encontrado la solución óptima si todos los valores en el renglón Zj – Cj son menores o iguales a 0. Si cualesquiera de los valores en el renglón Zj – Cj son positivos, puede obtenerse una mejor solución asignándoles una cantidad negativa.

Regla 2A: nueva variable básica en el problema de minimización: en un problema de minimización la variable no básica que sustituirá una variable básica es la que tiene el valor en el renglón Zj – Cj más positivo. Los “empates” pueden deshacerse en modo arbitrario.

En cuanto a la tercera regla sobre la variable básica de salida, la misma es

exactamente igual a la utilizada en los problemas de maximización. Ejemplo:

El siguiente problema sirve para ejemplificar tanto el caso de restricciones mixtas como el caso de los problemas de minimización. Resolver el siguiente problema:

Minimice 21 85 xxz

Sujeta a 2448 21 xx

403010 21 xx

0, 21 xx

Transformando las desigualdades en igualdades queda:

Minimice 654321 0085 xxxxz


403010 6421 xxx

siendo x3 y x4 las variables de demasía; y λ5 y λ6 las variables artificiales.




Los siguientes son dos cuadros del símplex para este ejemplo, en los cuales se marcan con flechas la columna de la variable de entrada y la fila de la variable de salida, y el pivote en negrita, hasta llegar a la solución óptima:

Cj 5 8 0 0 M M Ck Xk B x1 X2 x3 x4 λ5 λ6 M λ5 24 8 4 – 1 0 1 0 M λ6 40 10 30 0 – 1 0 1 Zj 64M 18M 34M – M – M M M Zj – Cj 18M – 5 34M – 8 – M – M 0 0

Cj 5 8 0 0 M M Ck Xk B x1 x2 x3 x4 λ5 λ6 M λ5 56/3 20/3 0 – 1 2/15 1 1/30 8 x2 4/3 1/3 1 0 – 1/30 0

– 2/15M + 4/15

Zj 56/3M + 32/3

20/3M + 8/3

8 – M 2/15M – 4/15 M M

Zj – Cj 20/3M – 7/3

0 – M 2/15M – 4/15 0 – 17/15M

+ 4/15 Cj 5 8 0 0 M M

Ck Xk B X1 x2 x3 x4 λ5 λ6 5 x1 2,8 1 0 – 3/20 1/50 3/20 – 1/50 8 x2 0,4 0 1 1/20 – 1/25 – 1/20 1/25 Zj 17,2 5 8 – 7/20 – 11/50 7/20 11/50 Zj – Cj 0 0 – 7/20 – 11/50 7/20 – M 11/50 – M

Como todos los valores en el renglón Zj – Cj son menores o iguales a 0, la solución

es óptima.

La solución del problema es: x1 = 2,8; x2 = 0,4; y el valor de la función objetivo es z = 17,2.

FENÓMENOS ESPECIALES

Cuando se vieron las soluciones gráficas, se expusieron ciertos fenómenos que pueden ocurrir cuando se resuelven problemas de programación lineal. Se explicaron los fenómenos de soluciones óptimas alternativas, solución no factible y soluciones no acotadas. En los siguientes títulos se describe cómo se presentan esos fenómenos al resolver un problema con el método símplex.



Soluciones óptimas alternativas:

Esta situación, también llamada infinitas soluciones determinadas, se presenta cuando la función objetivo es paralela a una restricción que impone la dirección de la optimización.

Si se aplica el método símplex, las soluciones óptimas alternativas están indicadas cuando se ha identificado una solución óptima y el valor en el renglón Zj – Cj es cero para una variable no básica; o lo que es lo mismo, hay más ceros en la base (en el renglón Zj – Cj) que variables en la base (variables básicas). Ejemplo:

Maximice 21 3xxz

Sujeta a 821 xx

123 21 xx

42 21 xx


Maximice 54321 0003 xxxxxz

Sujeta a 8321 xxx

123 421 xxx

42 521 xxx

siendo x3, x4 y x5 las variables de holgura.

Los siguientes son los cuadros del símplex para este ejemplo, en los cuales se marcan con flechas la columna de la variable de entrada y la fila de la variable de salida, y el pivote en negrita, hasta llegar a la solución óptima:

Cj 1 3 0 0 0 Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 8 1 1 1 0 0 0 x4 12 1 3 0 1 0 0 x5 4 – 1 2 0 0 1 Zj 0 0 0 0 0 0 Zj – Cj – 1 – 3 0 0 0




Cj 1 3 0 0 0 Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 6 3/2 0 1 0 – 1/2 0 x4 6 5/2 0 0 1 – 3/2 3 x2 2 – 1/2 1 0 0 1/2 Zj 6 – 3/2 3 0 0 3/2 Zj – Cj – 5/2 0 0 0 3/2

Cj 1 3 0 0 0

Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 12/5 0 0 1 – 3/5 2/5 1 x1 12/5 1 0 0 2/5 – 3/5 3 x2 12/5 0 1 0 1/5 1/5 Zj 12 1 3 0 1 0 Zj – Cj 0 0 0 1 0

Como puede verse, se ha llegado a la solución óptima; y hay cuatro ceros en el

renglón Zj – Cj, y tres variables básicas; o lo que es lo mismo, en el renglón Zj – Cj hay un cero para la variable no básica x5. Ausencia de solución factible:

Un problema carece de solución factible si las variables no tienen valores que cumplan con todas las restricciones.

La ausencia de solución factible se manifiesta en el método símplex cuando una variable artificial aparece con carácter óptimo en un nivel positivo (valor). También se puede decir que hay ausencia de solución factible cuando no se puede continuar, y si el problema es de maximización, el funcional da infinitamente negativo. Ejemplo:

Maximice 212 xxz

Sujeta a 1535 21 xx

421 xx

102 21 xx




4421 xxx

102 521 xxx



siendo x3 la variable de demasía; λ1 la variable artificial; y x4 y x5 las variables de holgura.


Cj 2 1 0 0 0 – M Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5 λ1

– M λ1 15 – 5 3 – 1 0 0 1 0 x4 4 1 1 0 1 0 0 0 x2 10 2 1 0 0 1 0 Zj – 15M 5M – 3M M 0 0 – M

Zj – Cj 5M – 2

– 3M – 1

M 0 0 0

Cj 2 1 0 0 0 – M Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5 λ1

– M λ1 3 – 8 0 – 1 – 3 0 1 1 x2 4 1 1 0 1 0 0 0 x5 6 1 0 0 1 1 0

Zj – 3M + 4

8M + 1

1 M 3M + 1

0 – M

Zj – Cj 8M – 1

0 M 3M + 1

0 0

Como puede verse, no se puede seguir; y el coeficiente infinitamente negativo de la

variable artificial aparece en el valor del funcional. Soluciones no acotadas:

La soluciones no acotadas, también llamadas infinitas soluciones indeterminadas, existen cuando hay un espacio de solución no acotada, y el mejoramiento de la función objetivo ocurre con movimiento en dirección de la parte no acotada del espacio de solución.

En el método símplex, la solución no acotada se presenta cuando todos los valores de la columna de la variable que entra son negativos, de tal manera que al dividir los términos independientes por dichos valores para encontrar la variable que sale, esas divisiones dan todas negativas y no se puede elegir ninguna variable (ya que tanto en los problemas de maximización como de minimización debía elegirse el menor entre los positivos).




Ejemplo:

Maximice 21 24 xxz

Sujeta a 42 21 xx

22 21 xx

321 xx



Sujeta a 42 321 xxx

22 421 xxx

3521 xxx

siendo x3, x4 y x5 las variables de holgura.


Cj 4 2 0 0 0 Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 4 – 2 1 1 0 0 0 x4 2 1 – 2 0 1 0 0 x5 3 1 – 1 0 0 1 Zj 0 0 0 0 0 0 Zj – Cj – 4 – 2 0 0 0

Cj 4 2 0 0 0 Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 8 0 – 3 1 2 0 4 x1 2 1 – 2 0 1 0 0 x5 1 0 1 0 – 1 1 Zj 8 4 – 8 0 4 0 Zj – Cj 0 – 10 0 4 0



Cj 4 2 0 0 0 Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 12 0 0 1 – 1 3 4 x1 4 1 0 0 – 1 2 2 x2 1 0 1 0 – 1 1 Zj 18 8 2 0 – 6 10 Zj – Cj 0 0 0 – 6 10

Como puede verse, luego de determinar la variable que entra, todos los valores en su columna son negativos, por lo que cuando se dividen los valores de B por dichos valores las divisiones dan todas negativas y no se puede elegir ninguna para determinar la variable que sale.

PRECIOS SOMBRA

La solución de un problema de programación lineal se basa en ciertas suposiciones y estimaciones. Una vez obtenida la solución, debe ser analizada detenidamente a la luz de estas estimaciones y suposiciones. Esta fase del proceso de solución recibe el nombre de análisis de postoptimización. Un tipo muy importante de él es el examen de los precios sombra.

Un precio sombra es el grado en que cambiaría el valor óptimo de la función objetivo si el miembro derecho de una restricción aumentara en una unidad.

Muchas restricciones de tipo reflejan la escasez de recursos, y por eso a menudo los precios sombra se consideran como representantes del valor económico de contar con una unidad adicional de un recurso.

Los precios sombra serán positivos para cualquier restricción que haya sido satisfecha como igualdad en la solución óptima (no existe holgura). La solución óptima llevó estas restricciones a su límite, lo cual revela un valor potencial derivado de la capacidad de incrementar los límites. Los precios sombra serán cero para cualquier restricción que no se satisfaga como igualdad en la solución óptima (hay holgura). La solución óptima no llevó estas restricciones a sus límites respectivos. Al ampliarse estos últimos no se logra un mejoramiento mayor en la función objetivo.

Los precios sombra representan rendimientos marginales. Reflejan el cambio del valor óptimo de la función objetivo, pues hay un aumento unitario en la constante del miembro derecho de la restricción correspondiente. El precio sombra es válido para determinado intervalo de cambios en dicha constante. El intervalo (rango) válido de cada precio sombra puede determinarse con otro tipo de análisis de postoptimizaciones que se aplicará en el siguiente título.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Los parámetros (constantes) que se utilizan en un modelo de programación lineal a menudo constituyen las mejores estimaciones de sus valores reales. Por ejemplo, el margen de utilidad que se supone para un producto puede estar basado en las mejores estimaciones del precio de venta y del costo variable por unidad, lo cual supone ciertas tarifas salariales, tiempos esperados de procesamiento y costos de materiales. Otro ejemplo sería: las estimaciones de disponibilidad de mano de obra en varios departamentos tal vez no reflejan las incertidumbres asociadas al ausentismo y a los cambios de personal. El punto es que los




parámetros con que se obtiene una solución óptima frecuentemente no pueden determinarse con certidumbre.

Por tanto, una vez derivada una solución por medio de esos valores “supuestos”, habría que examinarla para conocer los efectos si los parámetros adoptan otros valores que no sean los utilizados en la formulación original. Este análisis posterior a la solución recibe el nombre de análisis de sensibilidad. Si el análisis revela que la base óptima y el valor de la función objetivo son afectados ligeramente por importantes cambios en los valores de los parámetros, se dice que la solución es insensible. Por si uno y otro varían de manera significativa con cambios relativamente pequeños de los parámetros, se juzga que la solución es sensible y, probablemente, merece un estudio más detenido.

El análisis de sensibilidad puede hacerse para los coeficientes de la función objetivo de todas las variables reales y para las constantes del miembro derecho de las restricciones estructurales. El análisis de sensibilidad dará un límite inferior y un límite superior, es decir, hasta cuánto pueden disminuir (límite inferior) o aumentar (límite superior) los coeficientes de la función objetivo o las constantes del miembro derecho de las restricciones.

En el caso de los coeficientes de la función objetivo, con el análisis de sensibilidad se determina el grado en que cada coeficiente puede cambiar y hacerse que la base actual permanezca inalterada, es decir, el mismo grupo de variables básicas permanece óptimos y sus valores no cambian. Otra forma de concebir esto es decir que nos interesa hasta qué punto dichos coeficientes pueden cambiar y no obstante lograr que el mismo punto en la esquina dentro del área siga siendo óptimo.

En el caso de las constantes del miembro derecho, con el análisis de sensibilidad se determina cuánto puede cambiar cada valor y se mantiene factible la base óptima. Además, con este tipo de sensibilidad se consigue un segundo tipo de información: el intervalo de la variación permisible de la constante del miembro derecho indica asimismo el rango en que es válido el precio sombra correspondiente.

EL PROBLEMA DUAL

Todo problema de programación lineal tiene un problema relacionado con él, al cual se le llama problema dual o, simplemente, el dual. En un problema original de programación lineal, denominado problema primario o, simplemente, primario, el dual puede formularse con la información contenida en el primario. El problema dual es importante por muchas razones teóricas y, además, por motivos prácticos. Una de sus propiedades es que, al ser resuelto, suministra información indispensable sobre la solución del problema primario. De manera análoga, la solución del primario da toda la información esencial relativa a la solución del problema dual. En un problema de programación lineal, su solución puede determinarse resolviendo el problema original o su dual. Las propiedades estructurales de los dos problemas pueden provocar una decidida preferencia por cuál problema solucionar. Formulación del problema dual:

Los parámetros y estructura del problema original proporcionan toda la información necesaria para formular su dual. La siguiente figura describe la formulación de un problema de maximización y su dual:



A continuación se hacen algunas observaciones acerca de las relaciones entre el problema primario y su dual de la figura anterior, y junto a ellas (en cursiva) también se formulan las mismas observaciones pero en sentido general para cualquier problema: 1- El problema primario es un problema de maximización y el dual es un problema de

minimización. El sentido de la optimización es siempre el opuesto de los correspondientes problemas primarios y duales.

2- El problema primario consta de dos variables y tres restricciones, mientras que el dual tiene tres variables y dos restricciones. El número de variables en el primario siempre es igual al de las restricciones que hay en el dual. El número de restricciones en el problema primario siempre es igual al de las variables del dual.

3- Los coeficientes de la función objetivo para x1 y x2 en el problema primario son iguales a las constantes del miembro derecho para las restricciones (1) y (2) en el dual. El coeficiente de la función objetivo para la j – ésima variable del problema primario es igual a la constante del miembro derecho para la restricción j – ésima del dual.

4- Las constantes del miembro derecho para las restricciones (1) a (3) en el problema primario son iguales a los coeficientes de la función objetivo para las variables del dual y1, y2 e y3. La constante del miembro derecho para la i – ésima restricción del problema primario es igual al coeficiente de la función objetivo para la i – ésima variable del dual.

5- Los coeficientes de las variables para la restricción (1) del problema primario son iguales a los de columna para la variable del dual y1. Los coeficientes de las variables para las restricciones (2) y (3) del problema primario son iguales a los coeficientes de columna de las variables del dual y2, y3. Los coeficientes de aij en el problema primario son la transpuesta de los del dual. Es decir, los coeficientes de renglón del problema primario se convierten en los coeficientes de columna en el dual y a la inversa.

Si bien este problema tiene un problema primario que es un tipo de maximización,

el primario puede ser un problema de minimización. Las reglas de transformación en realidad deberían enunciarse según la forma de hacer la transformación de un problema de




maximización en el correspondiente de minimización o a la inversa. La siguiente tabla sintetiza la simetría de los dos tipos de problema y sus relaciones: Problema de maximización Problema de minimización 1 Número de restricciones Número de variables 2 Restricción Variable no negativa 3 Restricción Variable no positiva 4 Restricción Variable no restringida 5 Número de variables Número de restricciones 6 Variable no negativa Restricción 7 Variable no positiva Restricción 8 Variable no restringida Restricción

9 Coeficiente de la función objetivo para la j – ésima variable

Constante del miembro derecho para la restricción j – ésima

10 Constante del miembro derecho para la i – ésima restricción

Coeficiente de la función objetivo para la variable i

11 Coeficiente en restricción i para la variable j

Coeficiente en restricción j para la variable i

Las relaciones 4 y 8 indican que una restricción de igualdad en un problema

corresponde a una variable sin restricción en el otro. Esta última puede adoptar un valor positivo, negativo o cero. De manera análoga, las relaciones 3 y 7 denotan que un problema puede tener variables no positivas (por ejemplo, xj 0). Las variables sin restricción y no positivas violan al parecer la tercera condición del método símplex: la restricción de no negatividad. Aunque eso es cierto, en el caso de problemas que contenga cualquiera de esos tipos especiales de variables se cuenta con métodos que nos permiten ajustar la formulación para cumplir con la tercera condición. Ejemplo:

A partir del siguiente problema primario formular su dual:

Maximice 21 120100 xxz


60065 21 xx

540812 21 xx

El dual queda de la siguiente manera:

Minimice 321 540600480 yyyz

Sujeta a 1001254 321 yyy

120868 321 yyy



En el caso de que las restricciones del primario no sean todas del mismo tipo, antes de formular el dual debe lograrse que las mismas sean todas del mismo tipo ( , ), para lo cual se cambiará el signo de la restricción multiplicando por (– 1) toda la restricción. Soluciones al problema primario y dual:

Como se vio, la solución al problema primario puede obtenerse de la que se dio al problema dual y a la inversa. A continuación se explica esto con el problema primario y su dual vistos en el ejemplo anterior, pero sólo se muestra la última tabla (la solución óptima) para cada problema.

Para el problema primario la tabla es la siguiente:

Cj 100 120 0 0 0 Ck Xk B x1 x2 x3 x4 x5

120 x2 225/4 0 1 3/16 0 – 1/16 0 x4 225 1 0 – 1/2 1 – 1/4

100 x1 15/2 0 0 – 1/8 0 1/8 Zj 7500 100 120 10 0 5 Zj – Cj 0 0 10 0 5

Puede observarse que z se maximiza en un valor de 7500 cuando x1 =15/2, x2 =

225/4 y x4 = 225.

Para el dual la tabla es la siguiente:

Cj 480 600 540 0 0 M M Ck Xk B y1 y2 y3 y4 y5 λ6 λ7

540 y3 5 0 1/4 1 – 1/8 1/16 1/8 – 1/16 480 y1 10 1 1/2 0 1/8 – 3/16 – 1/8 3/16

Zj 7500 480 375 540 – 15/2 – 225/4 15/2 225/4 Zj – Cj 0 – 225 0 – 15/2 – 225/4 15/2 – M 225/4 – M

Puede observarse que z se minimiza en un valor de 7500 cuando y1 = 10 e y3 = 5. A continuación se ofrece un ejemplo de cómo la solución de cada problema puede

obtenerse de la tabla se soluciones óptimas del dual correspondiente. Propiedad 1 del problema primario – dual: si tanto el problema primario como el dual

tienen soluciones factibles, entonces ambos problemas tienen una solución óptima para la cual son iguales los valores de la función objetivo. Una relación periférica consiste en que, si un problema tiene una solución no acotada, su problema dual carecerá de solución factible.

En este par de problemas primario y dual, los valores óptimos de sus respectivas

funciones objetivo son iguales a 7500.




Propiedad 2 del problema primario – dual: los valores óptimos de las variables de decisión en un problema se obtienen del renglón Zj – Cj de la tabla de soluciones óptimas del otro problema.

Los valores óptimos x1 =15/2, x2 = 225/4 y x4 = 225, se extraen de la segunda tabla

como los valores negativos en el renglón Zj – Cj para las variables y4, y5 e y2, respectivamente. Estos valores pueden leerse en forma alternativa, bajo sus variables artificiales respectivas, como la parte (término) de los valores en el renglón Zj – Cj que no contiene a M. Los valores óptimos y1 = 10 e y3 = 5 se obtienen de la primera tabla como los valores en el renglón Zj – Cj para las variables x3 y x5, respectivamente.

El problema de transporte consiste en transportar desde centros en los que hay disponibilidades a lugares en los cuales hay requerimientos. Hay que satisfacer los requerimientos con las disponibilidades que existen al menor costo posible.

A, B = disponibilidades 1, 2, 3 = requerimientos

Los datos del problema son: Disponibilidades en el origen: Di. Requerimientos en los destinos: Rj. Matriz de costos unitarios: Cij.

El objetivo es hallar las cantidades Xij que hagan óptimo el funcional:

ijijz XC

La siguiente es la matriz de cantidades:

1 2 3

A CA1 CA2 CA3 DA B CB1 CB2 CB3 DB R1 R2 R3

Y la siguiente es la matriz de costos unitarios:



1 2 3 A XA1 XA2 XA3 B XB1 XB2 XB3

Los Xij son cantidades de productos que cumplen las siguientes condiciones: Por filas: iij DX para i = 1, 2, ..., m.

Por columnas: jij RX para j = 1, 2, ..., n.

Condición de borde: la suma de las disponibilidades debe ser igual a la suma de los requerimientos.

ji RD

Si no fueran iguales se agrega una columna o una fila ficticia, y en la matriz de

costos esa columna o fila ficticia se completa con valores grandes si el costo total se minimiza o con valores pequeños si el costo total se maximiza.

Como ji RD son válidas m + n – 1 ecuaciones ya que la última para llegar

a m + n sería combinación de las otras. Luego se van a tener m + n – 1 incógnitas distintas de cero en la solución (positivas).

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TRANSPORTE

Para resolver un problema de transporte deben realizarse los siguientes pasos: Búsqueda de la solución básica. Optimización.

Para la búsqueda de la solución básica se pueden utilizar los siguientes métodos: Regla del noroeste. Mínimo de filas. Mínimo de columnas. Mínimo de matriz. Balas – Hammer.

Para la optimización se utiliza el siguiente método: Steapping – Stone. Regla del noroeste:

En este método se van llenando los requerimientos de arriba abajo y de izquierda a derecha. Se va a explicar este método y los demás con el siguiente ejemplo:

La matriz de costos es la siguiente (es decir, el dato del problema):




1 2 3 4 5 A 10 20 5 9 10 90 B 2 10 8 30 6 40 C 1 20 7 10 4 80 30 50 40 60 30

La última fila muestra los requerimientos de 1, 2, 3, 4 y 5; y la última columna

muestra las disponibilidades de A, B y C.

Se puede comprobar que se cumple la condición de borde, ya que la suma de los requerimientos es igual a la suma de las disponibilidades.

A continuación se muestra nuevamente la matriz de costos; y a la derecha la matriz de asignación, luego de aplicar la regla del noroeste: 1 2 3 4 5

A 10 20 5 9 10 90 60 10 B 2 10 8 30 6 40 10 C 1 20 7 10 4 80 30 30 50 40 60 30

30 50

Puede observarse que en la matriz de asignación la suma de cada fila es igual a las disponibilidades y que la suma de cada columna es igual a los requerimientos.

Una vez obtenida la matriz de asignación se multiplica cada cantidad de dicha matriz por el costo correspondiente a su casilla en la matriz de costos y se suman para obtener el valor de la función objetivo. En este ejemplo la función objetivo queda así:

25104301050301083051020501030 z

En la regla del noroeste, si los costos mínimos están en posición oblicua (de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha) esta solución va a estar muy cerca de la óptima. Mínimo de filas:

En este método, los requerimientos se van llenando eligiendo primero los casilleros con el menor costo por fila, y así sucesivamente.

A continuación se muestra la matriz de costos, y a la derecha la matriz de asignación, luego de aplicar el mínimo de filas: 1 2 3 4 5

A 10 20 5 9 10 90 50 B 2 10 8 30 6 40 10 C 1 20 7 10 4 80 50 40 30 50 40 60 30

40 10

1 2 3 4 5 A 30 50 10 B 30 10 C 50 30

1 2 3 4 5 A 40 50 B 30 10 C 50 10 20



La función objetivo queda así:

195042010102050610230950540 z

Mínimo de columnas:

En este método, los requerimientos se van llenando eligiendo primero los casilleros con el menor costo por columna, y así sucesivamente.

A continuación se muestra la matriz de costos, y a la derecha la matriz de asignación, luego de aplicar el mínimo de columnas: 1 2 3 4 5

A 10 20 5 9 10 90 50 B 2 10 8 30 6 40 C 1 20 7 10 4 80 50 20 30 50 40 60 30

10 10


1500430101020101301040950540 z Mínimo de matriz:

En este método, los requerimientos se van llenando eligiendo primero el casillero con el menor costo de la matriz, y así sucesivamente.

A continuación se muestra la matriz de costos, y a la derecha la matriz de asignación, luego de aplicar el mínimo de matriz: 1 2 3 4 5

A 10 20 5 9 10 90 50 B 2 10 8 30 6 40 C 1 20 7 10 4 80 50 20 30 50 40 60 30

10 10


1500430101020101301040950540 z Balas – Hammer:

En este método, para minimizar se elige la fila o columna que tenga la máxima diferencia entre el menor costo y el que le sigue, y la asignación se hace a la casilla con el menor costo en esa fila o columna elegida, y así sucesivamente.

En el caso de maximizar, se elige la máxima diferencia entre el mayor costo y el que

1 2 3 4 5 A 40 50 B 40 C 30 10 10 30

1 2 3 4 5 A 40 50 B 40 C 30 10 10 30




le sigue, y la asignación se hace a la casilla con el mayor costo en esa fila o columna elegida, y así sucesivamente.

A continuación se muestra la matriz de costos, y abajo la matriz de asignación, luego de aplicar el método Balas – Hammer: 1 2 3 4 5

A 10 20 5 9 10 90 50 B 2 10 8 30 6 40 C 1 20 7 10 4 80 50 20 30 50 40 60 30

10 10

1 2 3 4 5

A 40 50 B 40 C 30 10 10 30


1500430101020101301040950540 z

Generalmente el mínimo de matriz y Balas – Hammer dan la solución básica más cercana a la óptima. Método Steapping – Stone:

Se utiliza luego de haber encontrado la solución básica por cualquiera de los métodos anteriores.

El método consiste en calcular los coeficientes ij para cada una de las casillas

vacías en la matriz de asignación. Cada coeficiente ij se calcula a partir de una casilla desocupada y moviéndose por

las filas y columnas con rebote perpendicular en las llenas hasta cerrar el recorrido (con signos alternados).

Se explicará este método con el ejemplo ya visto. Se recuerda a continuación la matriz de costos del problema: 1 2 3 4 5

A 10 20 5 9 10 90 B 2 10 8 30 6 40 C 1 20 7 10 4 80 30 50 40 60 30



Y a continuación se vuelve a mostrar la matriz de asignación luego de aplicar el método Balas – Hammer: 1 2 3 4 5

A 40 50 B 40 C 30 10 10 30

El primer coeficiente se calcula para la casilla A1 y se procede así: 1 2 3 4 5

A 40 -50 B 40 C 30- 10 +10 30

10110910A1 .

Los números que se suman y restan en el coeficiente anterior son los costos correspondientes a las casillas en que rebota el camino de dicho coeficiente, y se suman o restan según en esas casillas haya quedado un signo positivo o negativo al haber realizado el camino del coeficiente.

Los coeficientes se calculan para cada casilla vacía en la matriz de asignación. A continuación se muestran dichos coeficientes, incluyendo el ya calculado para la casilla A1:

10110910A1 .

12010920A2 .

7910410A5 .

11102012B1 .

12591020108B3 .

3010201030B4 .

12102046B5 .

110957C3 .

En este método, en caso de minimización, el proceso finaliza y la solución es

óptima cuando ningún ij es negativo. Si algún ij es negativo hay que redistribuir.

En caso de maximización, el proceso finaliza y la solución es óptima cuando ningún ij es positivo. Si algún ij es positivo hay que redistribuir.

En el ejemplo visto, como es de minimización y no hay ningún ij negativo, la

solución es óptima, y el valor de la función objetivo es el ya visto.

Ahora se verá un ejemplo en el cual hay que redistribuir. A continuación se muestra la matriz de costos del problema y a su derecha la matriz de asignación luego de que se aplicó uno de los métodos para hallar la solución básica:




1 2 3 4 5 A 4 1 2 6 9 B 6 4 3 5 7 C 5 2 6 4 8

Los coeficientes para cada una de las casillas vacías son los siguientes:

02541A2 .

34546A4 .

4454579A5 .

05456B1 .

12454B2 .

1545423B3 .

35426C3 .

24578C5 .

Como es un problema de minimización y hay un ij negativo, hay que redistribuir.

En el caso de que hubiera más de un ij negativo, se elige el más negativo, ya que

ese ij representa lió que se puede bajar el costo.

La forma de redistribuir es la misma tanto en los problemas de minimización como

de maximización, y es la siguiente: en el camino con el coeficiente negativo (en caso de minimización) o positivo (en caso de maximización) se elige de las casillas con signo negativo la de menor valor. Ese valor se suma a las casillas con signo positivo en el camino en cuestión y se resta a las casillas con signo negativo en ese camino.

Luego de redistribuir la matriz de asignación queda así: 1 2 3 4 5

A 40 60 B 10 20 90 C 50 70

A partir de esta nueva matriz de asignación deben calcularse los coeficientes ij para

la misma, y se procederá como en el paso anterior, hasta que se encuentre la solución óptima, y se deberá calcular el valor de la función objetivo. Casos en que no se cumple la condición de borde:

En el caso en que las disponibilidades sean mayores que los requerimientos se debe agregar una columna ficticia a cuyas casillas se darán valores de costos altos en relación a los otros cuando el problema es de minimizar o valores de costos bajos en relación a los otros cuando el problema es de maximizar.

Cuando los requerimientos son mayores que las disponibilidades se debe agregar una fila ficticia y hacer lo mismo que en el caso anterior para llenar sus casillas.

1 2 3 4 5 A 30 70 B 30 90 C 10 50 60



Luego de encontrar la solución básica, antes de aplicar el método de Steapping – Stone debe verificarse lo siguiente en la matriz de asignación:

m + n – 1 = número de casillas ocupadas

Si esto no se cumple; se dice que el sistema es un sistema degenerado. Para solucionar este problema se debe proceder de la siguiente manera:

Sumar 0,1 a cada una de las disponibilidades. Sumar m ∙ 0,1 a la última restricción. Modificar la matriz para que la suma de cada fila sea igual a las disponibilidades y la

suma de cada columna sea igual a los requerimientos.

Se puede mostrar esta situación con un ejemplo de un problema en el cual se agregó una columna ficticia para que se cumpliera la condición de borde. La siguiente es la matriz de asignación de dicho problema luego de encontrada la solución básica (también se muestran en la última fila los requerimientos y en la última columna las disponibilidades): 1 2 3 4 5 6

A 150 100 50 300 B 75 175 250 C 150 150 D 75 125 200 150 100 75 250 200 125

En esta matriz se observa que 91641 nm , y las casillas ocupadas son

18, por lo que el sistema es un sistema degenerado. Luego de aplicar el procedimiento ya mencionado para resolver este problema la

matriz de asignación queda de la siguiente forma: 1 2 3 4 5 6

A 150 100 49,9 0,2 300,1 B 75 175,1 250,1 C 150,1 150,1 D 74,9 125,2 200,1 150 100 75 250 200 125,4

Ahora sí se puede aplicar el método Steapping – Stone. Una vez encontrada la

solución óptima, para calcular el valor de la función objetivo no se considerará la columna ficticia (o fila si fuera el caso); y al multiplicar los valores de la matriz por los costos se considerarán los valores redondeados y no con decimales (por ejemplo, 50 en lugar de 49,9).

Si se tiene una serie de máquinas para ser trabajadas por varias personas se presenta un problema si además hay un matriz de costos asociada.




Se obtiene la matriz de asignación Xij donde cada Xij va a ser 0 o 1. Además como cada persona realiza una tarea solamente, se cumplirá que:

n

i

n

jijij

1 1

1XX

se debe encontrar un z (mínimo) ijij CX .

Para realizar la asignación siempre se debe partir de una matriz cuadrada. Por

ejemplo, si tengo 3 tareas y 4 operarios debe crearse una tarea ficticia. A las casillas que no tienen tareas se les asigna un valor alto. Método húngaro para minimizar: 1- En cada columna de la matriz de costos se resta el menor valor. 2- En cada fila de la matriz de costos se resta el menor valor. 3- En la fila con menor cantidad de ceros se encuadra un cero y se tacha los de su fila y

columna correspondiente. 4- Se repite el paso 3 para todas las filas. 5- Si queda un cero encuadrado por fila y columna la solución es óptima, sino se debe

continuar. 6- Se marcan con una cruz las filas sin cero encuadrado. 7- Se marcan con una cruz las columnas que tengan ceros tachados en las casillas

correspondientes a las filas marcadas en el paso 6. 8- Se marcan con una cruz las filas que tengan ceros encuadrados en las columnas

marcadas en el paso7. 9- Se repiten los pasos 7 y 8 hasta que no se puedan marcar más filas y columnas. 10- Se traza una línea sobre cada fila no marcada y sobre cada columna marcada. 11- De los números de la matriz no tachados se elige el menor. 12- Ese número se resta a las columnas no tachadas y se lo suma a las filas tachadas. 13- Sobre la nueva tabla se repite el proceso a partir del paso 3.

En caso de que haya que maximizar hay que restar a toda la matriz el valor más grande y luego hay que cambiar el signo a todos los negativos. Luego resuelvo como un caso de minimización. Ejemplo:

Se debe minimizar el costo al asignar las tareas a los operarios. La tabla de costos es la siguiente: 1 2 3 4 5

A 7 3 5 7 10 B 6 8 7 C 6 5 1 5 D 11 4 11 15 E 4 5 2 10

Primero se asigna a las casillas vacías un valor alto, por ejemplo 20:



1 2 3 4 5 A 7 3 5 7 10 B 6 20 20 8 7 C 6 5 1 5 20 D 11 4 20 11 15 E 20 4 5 2 10

A continuación se aplica el método húngaro: 1- En cada columna de la matriz de costos se resta el menor valor: 1 2 3 4 5

A 1 0 4 5 3 B 0 17 19 6 0 C 0 2 0 3 13 D 5 1 19 9 8 E 14 1 4 0 3 2- En cada fila de la matriz de costos se resta el menor valor: 1 2 3 4 5

A 1 0 4 5 3 B 0 17 19 6 0 C 0 2 0 3 13 D 4 0 18 8 7 E 14 1 4 0 3 3- En la fila con menor cantidad de ceros se encuadra un cero (en este caso está sombreada

la celda) y se tacha los de su fila y columna correspondiente. 4- Se repite el paso 3 para todas las filas. 5- Si queda un cero encuadrado por fila y columna la solución es óptima, sino se debe

continuar: 1 2 3 4 5

A 1 0 4 5 3 B 0 17 19 6 0 C 0 2 0 3 13 D 4 0 18 8 7 E 14 1 4 0 3 6- Se marcan con una cruz las filas sin cero encuadrado:




1 2 3 4 5 A 1 0 4 5 3 B 0 17 19 6 0 C 0 2 0 3 13 D 4 0 18 8 7 X E 14 1 4 0 3 7- Se marcan con una cruz las columnas que tengan ceros tachados en las casillas

correspondientes a las filas marcadas en el paso 6: X 1 2 3 4 5

A 1 0 4 5 3 B 0 17 19 6 0 C 0 2 0 3 13 D 4 0 18 8 7 X E 14 1 4 0 3 8- Se marcan con una cruz las filas que tengan ceros encuadrados en las columnas

marcadas en el paso 7. 9- Se repiten los pasos 7 y 8 hasta que no se puedan marcar más filas y columnas: X 1 2 3 4 5

A 1 0 4 5 3 X B 0 17 19 6 0 C 0 2 0 3 13 D 4 0 18 8 7 X E 14 1 4 0 3 10- Se traza una línea sobre cada fila no marcada y sobre cada columna marcada:

11- De los números de la matriz no tachados se elige el menor. 12- Ese número se resta a las columnas no tachadas y se lo suma a las filas tachadas.

Debe aclararse que primero se resta ese número a las columnas no tachadas; y luego, cuando se suma a las filas tachadas se hace sobre la matriz que se obtiene al hacer la mencionada resta y no sobre la misma matriz sobre la que se hizo la resta. Por eso a continuación hay dos matrices (primero para la resta y luego para la suma):

X 1 2 3 4 5

A 1 0 4 5 3 X B 0 17 19 6 0 C 0 2 0 3 13 D 4 0 18 8 7 X E 14 1 4 0 3



1 2 3 4 5 A 0 0 3 4 2 B – 1 17 18 5 – 1 C – 1 2 – 1 2 12 D 3 0 17 7 6 E 13 1 3 – 1 2 1 2 3 4 5

A 0 0 3 4 2 B 0 18 19 6 0 C 0 3 0 3 13 D 3 0 17 7 6 E 14 2 4 0 3 13- Sobre la nueva tabla se repite el proceso a partir del paso 3: 1 2 3 4 5

A 0 0 3 4 2 B 0 18 19 6 0 C 0 3 0 3 13 D 3 0 17 7 6 E 14 2 4 0 3

Como queda un cero encuadrado por fila y por columna, la solución es óptima. La solución al problema es que se asigna A a 1, B a 5, C a 3, D a 2 y E a 4. Para

obtener el costo total de esta asignación se suman los valores en la matriz de costos original correspondiente a cada una de las casillas que quedaron en la solución óptima. Para este ejemplo es: 7 + 7 + 1 + 4 + 2 = 21.

Sirve para tratar problemas de carácter combinatorio que aparecen en dominios económicos, sociológicos o tecnológicos. Puntos y arcos: considérese un conjunto de puntos, número finito o no, pero distintos y numerables, como los puntos A, B, ..., F, G. En la siguiente figura, estos puntos llamados “vértices” están unidos por líneas orientadas llamadas “arcos”:




Se pueden representar estructuras muy diversas mediante una red, como por ejemplo: Un sistema de caminos o calles. Un sistema eléctrico. Un grupo humano con relaciones psicosociales. Circulación de información en un sistema. Relación de parentesco entre individuos. Operaciones de montaje o desarmado de un conjunto, etc.

Observando la figura anteriormente mostrada, se ve que a cada uno de los objetos del conjunto le corresponde 0, 1, 2 o más objetos del mismo conjunto. Si se llama τ a la ley que realiza estas correspondencias, se define una red para el conjunto y su ley de correspondencia. En el conjunto visto la ley de correspondencia es la siguiente: τ (A) = {B, D, E}. τ (B) = {A, C}. τ (C) = {E}. τ (D) = {D, E, F, G}. τ (E) = {D, E}. τ (F) = {C, F, G}. τ (G) = Ø. Conceptos orientados: Camino: es una sucesión de arcos adyacentes que permiten pasar de un vértice a otro

siguiendo los arcos. Circuito: es un camino en el cual el vértice inicial coincide con el final. Longitud de un camino o circuito: es el número de arcos en el camino o circuito. Lazo: es un circuito de longitud l. Red simétrica: si un vértice X está conectado a un vértice Y, entonces Y debe estar

conectado con X. Red antisimétrica: si un vértice X está conectado a un vértice Y, entonces Y no debe

estar conectado con X. Red fuertemente conectada: cualquiera que sean los vértices X e Y (X Y)

considerados, existe un camino de X a Y. Arista: existe una arista entre dos vértices X e Y si existe un arco de X a Y y/o de Y a

X. Cadena: es una secuencia de aristas consecutivas. Ciclo: es una cadena cerrada. Red conectada: cualesquiera que sean los vértices X e Y considerados, existe una

cadena entre X e Y. Red completa: cualesquiera que sean los vértices X e Y considerados, existe una arista

entre ellos. Red parcial: si en una red se suprimen uno o más arcos se obtiene una red parcial de la

red de referencia. Sub – red: si en una red se suprimen uno o más puntos, así como los arcos que ahí

llegan o de ahí parten, la red resultante es una sub – red de la red original.



CAMINO ECONÓMICO

Se utiliza el algoritmo de Ford. Se explicará mediante un ejemplo cómo resolver un problema de camino económico.

Los números que están al lado de cada flecha indican el costo de pasar de un punto a otro (por ejemplo, el costo de pasar de 1 a 2 es de 20). El objetivo es minimizar el costo total de pasar de 1 a 7.

Se suman los valores de los arcos desde un punto hasta el otro para cada arco. Como en algunos puntos va a haber más de un valor porque allí llegan más de una flecha, debe elegirse el menor de esos valores ya que se está minimizando. Así se procede para cada arco hasta llegar al final. El número que queda al final es el costo total. Este procedimiento puede verse en la siguiente figura:

Una vez obtenido el menor costo debe hallarse cuál es el camino para llegar a dicho costo. Para esto se comienza por el costo total del final, y a éste se le resta por separado el costo de cada camino que llega a él. En el ejemplo las restas son: 70 – 30 = 40 y 70 – 20 = 50. Los resultados de esas restas se comparan con el costo al que se llegó en el punto correspondiente, y en el punto en que coincide significa que ese tramo es parte del camino económico buscado. En el ejemplo la resta de 70 y 30 da 40, lo cual no coincide con el costo de 80 del punto 6, correspondiente a ese tramo; en cambio, la resta de 70 y 20 da 50, lo cual coincide con el costo de 50 del punto 5. Una vez encontrado este punto debe hacerse el mismo procedimiento a partir del mismo, y así sucesivamente hasta llegar al comienzo y haber identificado todo el camino económico. Si se realiza todo el procedimiento en este ejemplo, se llega a que el camino económico es: 1, 3, 4, 5, 7.




ÁRBOL DE CONEXIÓN

Una red conectada que no contiene ningún ciclo es un árbol. Estos tipos de problemas pueden ser los de una tubería de agua o gas, o el de una red de repetidoras de televisión que se diagrama de acuerdo a minimizar el costo total. Estos problemas se resuelven con el algoritmo de Kruskal. Se explicará mediante un ejemplo la resolución de este tipo de problema:

Se tienen seis ciudades: A, B, C, D, E y F; y se quiere dar electricidad a todas a través de una usina. Por lo tanto, se debe determinar cuál es la longitud de cable necesario. La distancia entre cada par de ciudades está expresada en kilómetros en la siguiente tabla: B C D E F

A 50 65 58 80 30 B 60 68 100 40 C 55 95 62 D 70 35 E 75

Para conectar todos los puntos primero se elige el valor más chico de la tabla, y se une los puntos que corresponden a dicho valor, luego se sigue con el valor que le sigue al más chico, y así sucesivamente. De haber un empate puede decidirse arbitrariamente. No deben formarse ciclos, es decir que so por ejemplo se unió A con D y D con F no puede unirse A con F, ya que para llegar de A a F ya existe un camino (de A a D y de D a F), y de unir A con F se estaría gastando extra. Para saber el costo total (o la longitud, en este caso) se suman todos los costos que quedaron en el árbol de conexión.

El árbol de conexión queda así:

La longitud de cable que se utilizará, en kilómetros es: 30 + 35 + 40 + 55 +70 = 230.

FLUJO A TRAVÉS DE UNA RED

Se utiliza el algoritmo de Ford – Fulkerson. Este tipo de problema se presenta cuando hay que transportar un caudal de algo (agua, gas, etc.). Se debe lograr el máximo flujo posible a través de la red. Lo que entra tiene que ser igual a lo que sale y cada arco va a tener una capacidad máxima disponible. En ninguno de los nodos se produce nada. Se debe lograr un flujo completo o compatible.



Se utilizará un ejemplo para explicar la solución de estos problemas.

Los números en negrita indican la capacidad de cada arco. Se debe lograr el máximo flujo desde 1 hasta 11. Lo máximo que puede llegar a destino, según se ven las capacidades de los arcos que llegan allí, es de 16. Se supone en este ejemplo que lo máximo que se puede generar en el origen es 17. Pero como sólo pueden llegar 16 como máximo a destino, no se mandará más de 16. De todas maneras, no se empezará con los 16, sino que se comenzará con un número inferior en el origen, para luego optimizar. Se comenzará enviando 10:

Los números comunes (que no están en negrita) representan cuánto se manda por cada arco. Los arcos en los que lo que se manda es igual a la capacidad se llaman arcos saturados, y se indican en la figura con una doble raya que corta al arco. Equilibrio de vértice: debe verificarse que las cantidades enviadas en el único punto de

entrada coincide con la cantidad que se recibe en el único punto se salida, es decir, que en cada vértice no se consume, genera, ni almacena cantidad alguna.

Esto se cumple en el ejemplo que se está viendo, ya que se envía 10 y se recibe 10.




Flujo completo: cuando todos los caminos entre el origen y el destino tienen el menos un arco saturado.

En el ejemplo, queda un camino con un arco sin saturar, por lo que no hay flujo

completo.

Cuando no se da el flujo completo se procede de la siguiente manera: se suma a los

flujos de los arcos del camino sin saturar la mínima de las capacidades ociosas o remanentes de los arcos que forman el camino, logrando así, que al menos un arco del camino quede saturado. La capacidad ociosa es la diferencia entre la capacidad del arco y lo que se mandó por él. En el ejemplo, esto se hace así:

1110841 Camino que quedó sin saturar.

2 3 3 5 Capacidades ociosas. 1110841 2 2 1 5 Lo que se mandó. + 2 + 2 + 2 + 2 La mínima capacidad ociosa. 4 4 3 6 Lo que se puede mandar ahora.

Ahora se puede mandar 12. Por lo tanto, la red queda así:

Observando la figura se advierte que todos los caminos tienen al menos un arco saturado, por lo que el flujo es completo. Optimización: cuando se marcan vértices y no se llega al destino.

La marcación de vértices se realiza de la siguiente manera:



1- Se marca con 0 el vértice de entrada. 2- A partir de un vértice marcado se denota + i si se va en sentido origen – destino, siendo

i la capacidad ociosa. 3- A partir de un vértice marcado se denota – i si se va en sentido destino – origen.

Si de esta manera se llega a marcar el vértice de salida, el flujo no es el óptimo, y se debe mejorarlo, para lo cual se trabaja sobre la cadena de vértices marcados.

A continuación se muestra la red con la marcación de vértices:

Los números subrayados, con su correspondiente signo, corresponden a la marcación de vértices. Como puede observarse se llegó a marcar el vértice final, por lo que el flujo no es óptimo y el camino marcado puede mejorarse.

Para mejorar el camino se busca en el mismo la mínima capacidad ociosa y se la suma a los flujos de los arcos del camino orientados de origen a destino y se la resta a los flujos de los arcos orientados de destino a origen, cuidando que los flujos no se transformen en negativos. En el ejemplo esto se hace así: 1195231 5 1 1 4 1 Capacidades ociosas 1195231 3 2 3 2 5 Lo que se mandó. + 1 – 1 + 1 + 1 + 1 La mínima capacidad ociosa. 4 1 4 3 6 Lo que se puede mandar ahora.

Ahora se puede mandar 13. Por lo tanto, la red queda así:




Ahora sí el flujo es óptimo, en la cantidad de 13.

Cualquier problema de este tipo incluye: Una demanda de ciertos artículos que, en general, es aleatoria siendo una función del

tiempo, pero que también puede conocerse y determinarse. La existencia de esos artículos para satisfacer la demanda, esta exigencia se agota y

debe haber reaprovisionamiento. Éste puede ser continuo, periódico o inclusive realizarse a cualquier intervalo.

Costos asociados a estas operaciones: inversiones, depreciaciones, seguros, riesgos diversos, almacenamiento, etc. Estos costos forman una función económica que se debe optimizar.

Objetivos por alcanzar o restricciones que intervienen en razón de la naturaleza misma del problema.

REAPROVISIONAMIENTO

Partiendo del supuesto de que el intervalo de tiempo que transcurre entre la emisión

de una orden de reaprovisionamiento y la recepción es nulo, se pueden identificar dos métodos de reaprovisionamiento: Tipo I: igual período, distinta cantidad. Tipo II: igual cantidad, distinto período. Tipo I:

En este método el reaprovisionamiento se hace a intervalos regulares de tiempo, y en cada período se compran distintas cantidades. Gráficamente puede verse de la siguiente manera:



Tipo II:

En este método el reaprovisionamiento se hace por cantidades iguales en cada período, pero los períodos son de distinto tiempo cada uno. Gráficamente puede verse de la siguiente manera:

LOTE ECONÓMICO

El lote económico es la cantidad a comprar que tiene como meta lograr el mínimo costo de gestión de inventarios.

El modelo de lote económico se basa en las siguientes premisas: Demanda del mercado constante. Tasa de oportunidad. Esta tasa es aquélla con la que se va a castigar o penalizar la

inmovilización de capital. Es la tasa a la que se colocaría el capital si no estuviera inmovilizado en inventarios. La tasa debe ser positiva.




Los costos que se tendrán son: Costo de mantener: es lo que cuesta mantener el inventario. Está expresado en

porcentaje. Costo de ordenar: es el costo de ordenar un producto y colocarlo en el inventario. Está

expresado en pesos.

El costo de mantener es decreciente, ya que a medida que se tiene más inventario el costo se va reduciendo. El costo de ordenar es creciente, ya que siempre es el mismo sin importar cuánto se compre, y por lo tanto, siempre crecerá el total de este costo. Esto puede verse en el siguiente gráfico, junto con el costo total resultante de sumar ambos costos:

El costo de mantener es:

2

LeCUCM s

donde: s = tasa de mantenimiento (costo de oportunidad). CU = costo unitario. Le = lote económico.

El costo de ordenar es:

kLe

DCO

donde: k = costo de orden de compra. D = demanda.



El costo total es:

COCMCT

ks Le

D

2

LeCUCT

Para obtener el lote económico se igualan los dos costos (CM y CO) y se despeja el

lote económico:

ks Le

D

2

LeCU

ks D

Le

2

LeCU

ks D2CULe2

sk

CU

D2Le2

sk

CU

D2Le

PUNTO DE REORDEN Y STOCK DE SEGURIDAD

El punto de reorden es el punto en que se va a tener que comprar, antes de que se

acabe el inventario, ya que el proveedor tardará en entregar la mercadería desde que se hace la orden de compra.

El stock de seguridad es la cantidad adicional que se debe mantener en el inventario para hacer frente, por ejemplo, a que los productos se acaben antes de lo previsto, o que el proveedor tarde más de lo previsto en entregarlos.

Estos dos conceptos pueden graficarse de la siguiente manera:



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