Resumen: Geometría Básica de San Carlos de Guatemala Escuela de Formación de Profesores de...

Universidad de San Carlos de Guatemala Escuela de Formación de Profesores de Enseñanza Media –EFPEM-

Pienso, Luego existo- Renato Descartes Ronald Oliverio Chubay Gallina 1

Resumen: Geometría Básica

Geometría Euclidiana Se refiere a la geometría inicial que fue propuesta por Euclides en su libro Los Elementos, en este libro Euclides propone los elementos primitivos y un sistema axiomático, la idea principal de esto es que las definiciones utilizan otros conceptos que deben ser definidos anteriormente y esto produce que todos deban ser definidos previamente, si continuamos llegaremos a tener una contradicción, pues los conceptos se autodefinen, debido a ello Euclides propone un sistema basado en elementos primitivos que tenemos de forma intuitiva o entes no definidos, para que a través de ellos se puedan definir los otros conceptos. Asimismo con las propiedades de estos elementos, por ello Euclides propuso las propiedades elementales o Axiomas o Postulados que según él son propiedades evidentes que no necesitan demostración, esto hace que partamos de estos elementos primitivos y estos postulados y todo aquello que se pueda explicar con esto es parte de la teoría. Elementos Primitivos Para Euclides es el punto, la recta, la relación de mediación y la relación de congruencia. Postulados de Euclides

En su libro Elementos Euclides propone 5 Axiomas o Postulados que caracterizan a esta geometría de las otras.

1. Dados dos puntos A y B existe una única recta AB que los contiene.

2. Dado un segmento de longitud “r” y un punto O llamado centro se puede construir una circunferencia de radio “r” y

centro O denotada con C(o,r).

3. Todo segmento AB se puede prolongar indefinidamente en cada uno de sus extremos.



4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Sean l1 y l2 dos rectas, si se pasa una recta l3 que atraviese a ambas formando ángulos interiores iguales a dos

ángulos rectos, entonces l1 es paralela a l2.

Las rectas son paralelas ssi 𝛼 + 𝛽 = 2 90° O su equivalente

Ángulos opuestos por el vértice.

Sean l1 y l2 dos rectas, entonces si no son paralelas se intersectan en exactamente un único punto. Formando ángulos

opuestos por el vértice de igual magnitud.



Triángulos.

Sean l1, l2 y l3 tres rectas no concurrentes (que no llegan a intersectarse en un único punto), se define un triángulo con

estos tres puntos de intersección.

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos (180°).

Por el quinto postulado y ángulos opuestos por el vértice se puede hacer la siguiente construcción:

De donde se aprecia que 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 2 90° = 180° Para todo triángulo.

Para una demostración del teorema de suma de ángulos: http://www.walter-fendt.de/m14s/anglesum_s.htm Para una demostración del teorema de Pitágoras: http://www.walter-fendt.de/m14s/pyththeorem_s.htm Construcción de triángulos.

a. Dados los lados del triángulo. (LLL)

http://www.walter-fendt.de/m14s/anglesum_s.htm

http://www.walter-fendt.de/m14s/pyththeorem_s.htm



Para que un triángulo sea construible dados sus tres lados debe cumplir la desigualdad del triángulo:

𝒂 + 𝒃 > 𝑐

𝒂 + 𝒄 > 𝑏

𝒃 + 𝒄 > 𝑎

Si no se cumplen las tres el triángulo no es construible.

b. Dados un ángulo, un lado y el otro ángulo. (ALA)

Dados 𝛼,𝛽 y c es posible construir el triángulo de forma simple.

c. Dados lado-ángulo-lado. (LAL), es decir dos lados y el ángulo entre ellos.



Dados b, c y 𝛼. En los tres casos los triángulos son únicos.

Semejanza de triángulos

Se dice que dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son iguales, o bien, cuando se cumple una relación de

proporcionalidad entre lados correspondientes.

Ejemplo: Consideremos dos triángulos rectángulos.

Los dos triángulos son proporcionales, es decir, al

dividir lados correspondientes se obtiene una

constantes igual para cada lado. Se cumple:

𝑨𝑪

𝑬𝑫=

𝑨𝑩

𝑬𝑭=

𝑪𝑩

𝑫𝑭= 𝒌

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 ∆𝐸𝐷𝐹

En este caso particular: 𝐴𝐶

𝐸𝐷=

1

2=

1

2=

1

2 , 𝑘 = 1/2

En caso de que la relación de proporcionalidad sea una constante igual a 1, se dice que los triángulos son congruentes

(como ejemplo clásico tenemos un triángulo isósceles)

𝑨𝑪

𝑬𝑫=

𝑨𝑩

𝑬𝑭=

𝑪𝑩

𝑫𝑭= 𝟏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 ∆𝐸𝐷𝐹

Otra forma de verlo es que sus ángulos sean iguales, entonces se cumple la semejanza, en el ejemplo de los triángulos

rectángulos:



Razones trigonométricas.

Sea C(A,1) una circunferencia de radio 1 y un ángulo central, las razones trigonométricas se pueden calcular de forma

gráfica. Ejemplo: Sea C(A,1) una circunferencia de radio 1 con centro en A y un ángulo central de 30°, se puede dibujar

este ángulo de la forma siguiente:

Demostración: En el diagrama consideramos C(A,1) y un ángulo central, por semejanza los triángulos

∆𝑨𝑩𝑪 𝒚 ∆𝑨𝑫𝑬 𝒔𝒐𝒏 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒋𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 debido a que sus ángulos son iguales (debido a que DE es paralela a BC y se cumple

el quinto postulado) entonces:

𝐴𝐶

𝐴𝐸=

𝐴𝐵

𝐴𝐷=

𝐵𝐶

𝐷𝐸= 𝑘

De esto nos interesa 𝐴𝐵

𝐴𝐷=

𝐵𝐶

𝐷𝐸



𝐴𝐵

𝐴𝐷=

𝐵𝐶

𝐷𝐸 →

𝐶𝑜𝑠 𝛼

1=

𝑆𝑒𝑛 𝛼

𝐷𝐸

Y despejando DE:

𝐷𝐸 =𝑆𝑒𝑛 𝛼

𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝑇𝑎𝑛(𝛼)

Con esto podemos calcular con regla, transportador y compás las razones trigonométricas de cualquier ángulo, tomando

en cuenta que son estimaciones debido a las limitaciones de espacio e incertezas en las mediciones.

Sucesiones Se puede considerar una sucesión como un arreglo ordenado de números. Así, el siguiente conjunto es una sucesión:

𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑,𝒂𝟒,… ,𝒂𝒏 Donde cada 𝒂𝒊 , 𝒊 = 𝟏,𝟐,𝟑,… ,𝒏 es un número (en el caso más simple un número entero), donde el subíndice “i” es un contador, y su expresión más general es para el 𝒂𝒏, que puede considerarse como una función de los naturales (Dominio) con o sin el cero y como contradominio los números enteros, racionales, reales, etc. Ejemplos: 𝟐,𝟒,𝟔,𝟖,𝟏𝟎,…

𝑆𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝒂𝒏 = 𝟐𝒏, ∀𝒏 ≥ 𝟏 Que no es otra cosa que la sucesión de número pares. Por convención se tomará como 1 el primer valor de n donde cada n es un número natural, por ejemplo:

𝟔,𝟖,𝟏𝟎,𝟏𝟐,… 𝒂𝒏 = 𝟐 𝒏 + 𝟐 , ∀𝒏 ≥ 𝟏

Por ejemplo para calcular los primeros términos de la sucesión: 𝒂𝒏 = 𝟐 𝒏 − 𝟏, ∀𝒏 ≥ 𝟏

𝟎,𝟐,𝟐 𝟐 ,𝟐 𝟑,𝟒,…

Pero si solo quisiéramos calcular unos cuantos términos de la sucesión: 𝒂𝒏 = −𝟏

𝟐 𝒏

, ∀𝒏 ≥ 𝟏

Podríamos considerarlo como un conjunto finito de la forma:

𝒂𝒊 = −𝟏

𝟐 𝒊

𝒊=𝟏

𝒏

= −𝟏

𝟐,

𝟏

𝟒,

−𝟏

𝟖,… , −

𝟏

𝟐 𝒏

Para los primeros 5 términos tendríamos:

𝒂𝒊 = −𝟏

𝟐 𝒊

𝒊=𝟏

𝟓

= −𝟏

𝟐,

𝟏

𝟒,

−𝟏

𝟖,

𝟏

𝟏𝟔,

−𝟏

𝟑𝟐

Es de que cada 𝒂𝒊 es un término de la sucesión que tiene la forma 𝒂𝒊 = −𝟏

𝟐 𝒊 empezando en el i=1 hasta parar al i=n, en

el caso anterior desde i=1 hasta i=5, es decir los términos de la sucesión cuando i=1, i=2, i=3, i=4, i=5.



Donde se puede hacer una analogía con que i es la variable independiente y 𝒂𝒊 es la imagen o variable dependiente de la función. Sucesiones Alternantes: Son aquellas que tienen una “alternación” de signos entre cada término de la sucesión.

𝒂𝒏 = −𝟏

𝟐 𝒏

, ∀𝒏 ≥ 𝟏, 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

La sucesión: 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2,…. Es una sucesión alternante pues se puede escribir como:

𝒂𝒏 = 𝟏 + −𝟏 𝒏+𝟏,∀𝒏 ≥ 𝟏 Asimismo se pudo haber escrito la sucesión anterior como

𝒂𝒏 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝅 , ∀𝒏 ≥ 𝟎 Pues los valores de 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝅 van alternando entre 1 y -1 según n sea par o impar, pues n es un natural no un número real. (Los ejercicios se encuentran en la última parte) Series Se define una serie como un tipo de sucesión, específicamente como una sucesión de sumas parciales denotada como

𝒔𝟏, 𝒔𝟐, 𝒔𝟑, 𝒔𝟒,… , 𝒔𝒏 Donde cada 𝒔𝒊 es una suma de los términos de la sucesión 𝒂𝒊, de la forma siguiente:

𝒔𝟏 = 𝒂𝟏 𝒔𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐

𝒔𝟑 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 𝒔𝟒 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 + 𝒂𝟒

Es decir: 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 + 𝒂𝟒 + ⋯+ 𝒂𝒏

𝑺𝒏 = 𝒂𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

Ejemplos: Sea 𝒂𝒏 = 𝒏 , ∀𝒏 ≥ 𝟏 La sucesión es:

𝒂𝒊 𝒊=𝟏𝒏 = 𝟏,𝟐,𝟑,𝟒,𝟓,… ,𝒏

La serie es entonces: Como serie tiene una forma expandida

𝑺𝒊 𝒊=𝟏𝒏 = 𝟏,𝟏 + 𝟐,𝟏 + 𝟐 + 𝟑,𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟒,𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟒 + 𝟓,… , 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

Donde cada 𝑺𝒊 está coloreado de distinta forma, si consideramos su sucesión tendríamos.

𝑺𝒊 𝒊=𝟏𝒏 = 𝟏,𝟑,𝟔,𝟏𝟎,𝟏𝟓,… ,

𝒏(𝒏 + 𝟏)

𝟐



Sea la sucesión de los números impares: 𝒂𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟏, ∀𝒏 ≥ 𝟏

La serie:

𝑺𝒏 = 𝟐𝒊 − 𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

Es decir la sucesión formada por la suma de números impares es:

𝟏,𝟒,𝟓,𝟗,𝟏𝟔,𝟐𝟓,… ., 𝒏𝟐 Puesto que son los números: 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, … Demostración: Partimos de las definiciones que se demostraron anteriormente:

𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

=𝒏(𝒏 + 𝟏)

𝟐 𝒚 𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝒏

Con esto y por propiedades de la suma (asociatividad, conmutatividad, etc.). En analogía con las propiedades de la integral, que son de hecho, series.

𝟐𝒊 − 𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟐𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

+ −𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟐 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

− 𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

𝟐𝒊 − 𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏)

𝟐− 𝒏 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 − 𝒏 = 𝒏𝟐 + 𝒏 − 𝒏 = 𝒏𝟐

Entonces:

𝟐𝒊 − 𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝒏𝟐

Productos Al igual que las series (suma) los productos (multiplicación de números) es la sucesión formada por productos parciales, así:

𝑖 =

1

𝑖=1

1 = 1

𝑖 =

2

𝑖=1

1 ∗ 2 = 2

𝑖 =

3

𝑖=1

1 ∗ 2 ∗ 3 = 6

𝑖 =

4

𝑖=1

1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 = 24



𝒊 =

𝒏

𝒊=𝟏

𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝟑 ∗ 𝟒 ∗ …∗ 𝒏 − 𝟏 ∗ 𝒏 = 𝒏!

Donde 𝒏! se llama n-factorial.

Nota: Este es solo un resumen de sucesiones, pues el verdadero propósito es aplicarlos a situaciones geométricas como se verá a continuación:

Ejemplo 1: Si tengo un segmento de longitud 1 y corto la mitad, luego tomo una mitad y la corto a la mitad nuevamente, tomo una parte de estas dos que salieron y la corto a la mitad nuevamente,…, cuál es la sucesión que define este comportamiento.

Para el primer corte tomamos una mitad del segmento: ½ Para el segundo corte tomamos la mitad de la mitad: ¼

Para el n-ésimo corte tomamos: 12𝑛−1

Es decir la sucesión de las partes que tomamos es:

𝒂𝒏 = 𝟏

𝟐 𝒏

, ∀𝒏 ≥ 𝟏

Pregunta: ¿Es posible llegar a cortar un número finito de veces de la misma forma hasta que las longitudes de los cortes sean cero? Respuesta: No, pues aún con cortes muy pequeños tenemos una longitud muy pequeña pero mayor a cero, por lo que con cortes finitos no es posible obtener longitudes de cero. Pero si consideramos cortes infinitos obtenemos una noción de límite y cuando los cortes son infinitos las longitudes obtenidas son cero. Ejemplo 2: Si sumo todas las partes que voy sacando (mitad, mitad de la mitad, etc) ¿Qué sucesión obtengo y cuál es la suma total de estas partes? Tenemos que la suma parcial del primer término es: 1/2 = 1/2 Al sumar la mitad y la mitad de la mitad: 1/2+1/4 = 3/4 Al tercer corte: 1/2 +1/4+1/8 = 7/8 De manera intuitiva tenemos que para la n-ésima suma:

𝑺𝒏 = 𝟏

𝟐 𝒊𝒏

𝒊=𝟏

=𝟐𝒏 − 𝟏

𝟐𝒏

Pregunta: Si consideramos sumar de forma infinita todos los pedazos obtenidos del segmento de longitud 1, es coherente pensar que al sumarlos todos obtengamos nuevamente 1. ¿Cómo se podría justificar dicha conjetura? Respuesta: Puesto que se tiene una sucesión de la sumatoria de los pedazos, al considerar sumar todos los pedazos hasta donde los pedazos miden cero de longitud, tenemos una suma infinita de términos (dado por el ejemplo 1). Entonces podemos considerar:



𝟏

𝟐 𝒊∞

𝒊=𝟏

= 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

𝟏

𝟐 𝒊𝒏

𝒊=𝟏

= 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

𝟐𝒏 − 𝟏

𝟐𝒏

Mediante cálculos sencillos de límites se puede mostrar que:

𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

𝟐𝒏 − 𝟏

𝟐𝒏= 𝟏

De esto, justificamos que al sumar todos los pedazos obtenidos al hacer los cortes nos dan el segmento inicial. Triángulo de Pascal.

Se puede iniciar este triángulo peculiar como un juego, sumando casillas superiores de la forma siguiente:

Tenemos varios elementos en este caso, observamos que las filas desde n=0 tienen n+1 elementos o círculos. Se observan

distintas sucesiones, como la cantidad de círculos en cada fila: 𝑎𝑛 = 𝑛 + 1.

La primera diagonal es la sucesión: 𝑎𝑛 = 1 (En analogía con la función constante)

La segunda diagonal es la sucesión: 𝑎𝑛 = 𝑛 (La aplicación identidad)

La tercera diagonal: 𝑎𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 = 𝑛(𝑛+1)

2 (Como una serie)

En el caso de las filas se pueden utilizar para los coeficientes de potencias de binomios.

Fila Binomio Expansión Coeficientes del binomio

𝒏 = 𝟎 (𝑥 + 𝑦)0 1 1



𝒏 = 𝟏 (𝑥 + 𝑦)1 𝑥 + 𝑦 1, 1

𝒏 = 𝟐 (𝑥 + 𝑦)2 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 1, 2, 1

𝒏 = 𝟑 (𝑥 + 𝑦)3 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3 1, 3, 3, 1

𝒏 = 𝟒 (𝑥 + 𝑦)4 𝑥4 + 4𝑥3𝑦 + 6𝑥2𝑦2 + 4𝑥𝑦3 + 𝑦4 1, 4, 6, 4, 1

Los coeficientes de la expansión del binomio corresponden a los valores en el triángulo de Pascal.

Ejemplo: Para desarrollar la potencia 2𝑥 − 3𝑦2 4 se puede desarrollar con el producto normal que es un proceso

extenso o al utilizar el triángulo de pascal obtenemos:

𝑥 + 𝑦 4 = 1𝑥4 + 4𝑥3𝑦 + 6𝑥2𝑦2 + 4𝑥𝑦3 + 1𝑦4

2𝑥 − 3𝑦2 4 = 1 2𝑥 4 + 4 2𝑥 3 −3𝑦2 + 6 2𝑥 2 −3𝑦2 2 + 4 2𝑥 −3𝑦2 3 + 1 −3𝑦2 4

2𝑥 − 3𝑦2 4 = 16𝑥4 − 96𝑥3𝑦2 + 216𝑥2𝑦4 − 216𝑥𝑦6 + 81𝑥8

Se sustituye x por 2x y +y por -3y2 y se calculan los productos. Que para el nivel medio es más práctico que memorizar

una “fórmula” de productos notables.

Las razones geométricas para el primer caso (𝑥 + 𝑦)2 se deben al siguiente diagrama:

Otra propiedad importante de este triángulo es sobre el conjunto potencia:

Sea X un conjunto de cardinalidad n ( 𝑋 = 𝑛). El conjunto potencia 𝑃 𝑥 es el conjunto (o familia) formada por todos los

subconjuntos posibles de X, la cardinalidad del conjunto potencia es 2n ( 𝑃 𝑥 = 2𝑛). 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛:

Para X de 0 elementos, 𝑋 = ∅



Subconjuntos de: Subconjuntos Cantidad Suma ( 𝑃 𝑥 )

0 elementos ∅ 1 1 Para X de 1 elemento, 𝑋 = 𝑎


0 elementos ∅ 1 1+1

1 elemento 𝑋 1 Para X de 2 elementos, 𝑋 = 𝑎, 𝑏


0 elementos ∅ 1 1+2+1 1 elemento 𝑎 , 𝑏 2

2 elementos 𝑋 1 Para X de 3 elementos, 𝑋 = 𝑎, 𝑏, 𝑐


0 elementos ∅ 1

1+3+3+1 1 elemento 𝑎 , 𝑏 𝑐 3 2 elementos 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑐 , 𝑏, 𝑐 3

3 elementos 𝑋 1

La cardinalidad del conjunto potencia resulta de sumar los coeficientes del triángulo de pascal, así para la fila “n” la

suma de sus coeficientes será la cardinalidad del conjunto potencia de X con n elementos, es decir, es el desarrollo del

binomio en el caso particular de x=y=1. Entonces para un conjunto X de cardinalidad n se cumple.

𝑃 𝑥 = 𝑥 + 𝑦 𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 𝑦 = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝑃 𝑥 = (1 + 1)𝑛 = 2𝑛

Se pudo haber demostrado por inducción y con el teorema del binomio, pero esta forma intuitiva de ver el conjunto

potencia es muy acertada y muy acercada a la demostración real que se basa en elementos de combinatoria e inducción

matemática.

Tangrama

Es una técnica para desarrollar las habilidades de construcción espacial, se recomienda hacer el material de papel de

colores grueso, dar las instrucciones a los estudiantes y si todas las piezas son del mismo tamaño cambiar piezas

equivalentes para tener las 7 piezas de distintos colores.



Donde los puntos:

E es el punto medio del segmento AC (mitad).

F es el punto medio del segmento BE.

K es el punto medio del segmento EC.

J es el punto medio del segmento AE.

HG es paralela a AC.

La técnica consiste en tener estas 7 piezas y con ellas formar una figura teniendo solo la silueta.



Ejercicios Propuestos

1. Dibuje lo que se le solicita a continuación utilizando únicamente regla y compás.

a. Un triángulo de longitudes 4 cm, 5 cm, 6 cm.

b. Un triángulo rectángulo con un cateto de 6 cm y el otro cateto de 5 cm.

c. Un cuadrado de longitud 5 cm.

d. Un triángulo isóceles de base 8 cm y altura 4 cm. (suponiendo los lados faltantes iguales)

e. Un triángulo equilátero de 4 cm.

f. El siguiente dibujo, donde c es el punto medio del segmento AB.

2. Dibuje lo que se le solicita a continuación utilizando regla, compás y transportador.

a. Un triángulo de 8 cm en un lado, 4 cm en otro y un ángulo que los separa de 35°. (Según este criterio LAL es

posible utilizar la ley del coseno para averiguar el tercer lado)

b. Un triángulo isóceles cuyos lados iguales de 5 cm son separados por un ángulo de 55°. Muestre que este

triángulo tiene una solución complicada con la ley del seno, mientras que con la ley del coseno es factible.

c. Muestre que los triángulos de tipo ALA (ángulo-lado-ángulo) como el triángulo de ángulo 30°, lado 6 cm y ángulo

50° son difíciles de resolver con la ley del coseno, mientras son factibles para la ley del seno.

d. El segmento que representa la tangente de 35°, luego compare el valor obtenido con el valor proporcionado por

la calculadora.

3. Resuelva los problemas que se le plantean a continuación.

a. Del diagrama en 1-f, calcule el área de la figura si AB=10 cm.

b. Del diagrama en 1-f, calcule el perímetro de la figura si AB=10 cm.

c. Del diagrama en 1-f, obtenga una expresión algebraica para el área total si AB=(x-1) cm.

d. Calcule el área de la siguiente figura de dos formas:

d.1 Por separación de la figura compuesta en figuras

básicas (triángulos, rectángulos, etc.)

Cada separación del plano es de 1 unidad.

d.2 Contando la mitad de los puntos donde la orilla de



la figura toca un punto (x,y) exacto (puntos rojos), sumándole los puntos que están en el

interior de la figura (puntos azules) y restándole 1.

Con esto las áreas son iguales, por dos métodos distintos.

4. Encuentre los términos que le indica la sucesión:

a. 𝑎𝑖 =𝑖+1

𝑖−1 𝑖=1

4

b. 𝑎𝑖 =𝑖

𝑖+1 𝑖=1

6

c. cos(𝑛𝜋) 𝑖=1𝑛

d. 𝑖2 𝑖=37

e. 𝑖2 − 1 𝑖=2

6

f. cos(𝑛𝜋

4)

𝑖=1

5

g. 𝑆𝑛 = 2𝑖 + 1 𝑛𝑖=1 , los primeros3 términos.

h. 𝑆4 = 3𝑖 4𝑖=1

i. 𝑆𝑛 = 1

𝑖𝑛𝑖=1 , los primeros 4 términos

j. 𝑆4 = 1

𝑖!

4𝑖=0 , compárelo con el valor de 𝒆 que

proporciona la calculadora. (0!=1)

5. Encuentre una expresión para las siguientes sucesiones (tome n=1 como inicio)

a. 0, 1, 0, 1, 0,…

b. 8, 12, 16, 20, 24,…

c. 1

2,

2

3,

3

4,

4

5,…

d. 1,−1

2,

1

3,−1

4,…

e. 0, 1, 0,−1, 0, 1, 0,−1,…

f. −1, 2,−3, 4,−5,…

g. 3, 6, 11, 18, 27,…

h. 𝑥, 2𝑥2 , 3𝑥3 , 4𝑥4 ,…

i. −1

2,𝑥

3,−𝑥2

4,𝑥3

5,…

Problemas variados

a. El promedio aritmético se define como

𝑥 = 𝑥𝑖𝑛

𝑛

𝑖=1

=𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑛

𝑛



Con esta definición encuentre el promedio edades de los siguientes valores obtenidos en

una encuesta:

15, 16, 18, 19, 17, 17, 18, 20, 17, 16, 18, 18, 15.

b. Sume los números de 1 hasta 100. (Utilizar series y sucesiones reduce el trabajo)

c. Encuentre: 1+3+5+…+ 13+15

d. Si tengo un círculo, luego añado 2 formando un triángulo, luego 3 siguiendo la forma del triángulo, luego 4, así

sucesivamente. ¿Cuál es el total de círculos al agregar 7 círculos?

e. Si a un cuadrado de Longitud x le quitamos la mitad de cada lado, luego a lo que sobró le quitamos nuevamente

la mitad de cada lado. ¿Qué sucesión representa el perímetro de las figuras que quedan? Y ¿Cuál sucesión

representa el área que queda?

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