RESUMEN DE ELASTICIDAD

INSTRUCCIONES PARA EL USO DE ESTE MATERIAL:

oDESCÁRGALO EN TU COMPUTADORA

oOBSÉRVALO EN EL MODO DE PRESENTACIÓN CON DIAPOSITIVAS Y CON BOTÓN PRIMARIO DEL MOUSE O LAS FLECHAS DE DIRECCIÓN DEL TECLADO AVANZA EN EL DESARROLLO DE LOS PROBLEMAS.

oANTES DE VER LOS RESULTADOS REALIZA TUS PROPIOS CÁLCULOS Y POSTERIORMENTE COMPRUÉBALOS CON LOS QUE SE MUESTRAN. ESTO ES IMPORTANTE POR QUE TE PERMITIRÁ SABER SI ESTÁS APRENDIENDO EL PROCEDIMIENTO.

PROFR. MARCO ANTONIO VÁZQUEZ MONTES

ELASTICIDADEs la propiedad que tienen los cuerpos para recuperar su forma y tamaño original cuando deja de actuar sobre ellos la fuerza que los ha deformado.Ejemplos COMUNES de cuerpos elásticos: balones, resortes, trampolines, inflables, ligas de hule látex.

A los cuerpos que no recuperan su forma después de que la fuerza deformante desaparece, se llaman cuerpos inelásticos o sustancias plásticas

0.5 kg

1.0 kg

1.5 kg

5 cm

10 cm15 cm

Las variables que intervienen en esta experimentación se pueden escribir una tabla de valores como la siguiente

Fuerza (kg) Alargamiento (cm)

0.5 5

1.0 10

1.5 15

Es importante conocer la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo elástico y el efecto que éstas tienen en su longitud como se muestra en figura siguiente en la que se observa un resorte que modifica su longitud en forma proporcional ala fuerza que se le aplica.

La relación anterior fue expuesta primeramente por ROBERT HOOKE mediante su ley:

LEY DE HOOKEE: Mientras no se exceda el límite elástico de un material, la fuerza F que actúa sobre un resorte produce en el un alargamiento s que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza

La ley anterior se expresa por medio de la ecuación

𝐹=𝑘𝑠Para el ejemplo del resorte mostrado en la Figura anterior La constante k se puede calcular con los datos mostrados

DATOS𝐹=0.5 𝑘𝑔=4.9𝑁𝑠=0.05𝑚

FÓRMULA

𝑘=𝐹𝑠

SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝑘=4.9𝑁0.05𝑚

𝑘=98𝑁𝑚

A la constante k se le llama

constante del resorte

La ley de Hooke se puede aplicar a cualquier material, para ello es necesario definir dos nuevos conceptos: Esfuerzo y DeformaciónESFUERZO: Es la relación entre la fuerza aplicada y el área en la que actúa. En esta sección estudiaremos matemáticamente el esfuerzo longitudinal E. Que podemos calcular por medio de la ecuación.

𝐸=𝐹𝐴

La fuerza F y el área A se localizan como se muestra en la figura

A

F

Ejemplo No. 2: el alambre de la figura anterior tiene un diámetro de un milímetro y el peso que carga es de 5 kilogramos, ¿Cuál es la magnitud del esfuerzo al que está sometido?

DATOS

𝑫=𝟏𝒎𝒎

𝒓=𝟎 .𝟎𝟎𝟎𝟓𝒎𝑭=𝟓𝒌𝒈

( 𝟏𝒎𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎 )

Realizamos la transformación de unidades correspondiente

¿𝟎 .𝟎𝟎𝟏𝒎FORMULA

𝑬=𝑭𝑨

SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝑬=𝟒𝟗𝑵

𝝅 (𝟎 .𝟎𝟎𝟎𝟓𝒎 )𝟐

𝑬=𝟔𝟐𝟑𝟖𝟖𝟕𝟑𝟕 .𝟔𝑵𝒎𝟐

(𝟗 .𝟖𝑵𝟏𝒌𝒈 )¿𝟒𝟗𝑵

𝑬=?Como un Newton sobre metro cuadrado es igual a un

pascal, el resultado anterior se puede escribir de la forma:

𝑬=𝑭𝝅𝒓 𝟐

El radio r es igual a la mitad del diámetro D Para calcular el área A utilizamos la tan conocida ecuación

𝑬=𝟔𝟐𝟑𝟖𝟖𝟕𝟑𝟕 .𝟔𝑷𝒂

A partir del concepto de esfuerzo se define el LÍMITE ELÁSTICO y el LIMITE RUPTURA como se muestra a continuaciónLÍMITE ELÁSTICO: Es el esfuerzo máximo que soporta un cuerpo antes de perder sus propiedades elásticas (significa que se deforma permanentemente)

LÍMITE DE RUPTURA: Es el esfuerzo máximo que soporta un cuerpo antes de romperse

𝐿𝐸=𝐹𝑚

𝐴𝐿𝑅=

𝐹𝑚

𝐴

Generalmente el límite elástico y de ruptura son valores obtenidos experimentalmente y que se encuentran en los libros, es más útil calcular las fuerzas que pueden soportar los materiales como se muestra en los siguientes dos ejemplos siguientesEjemplo No. 3: ¿Cuál es la fuerza máxima (peso máximo) que puede soportar un alambre de cobre de un milímetro de diámetro antes de deformarse permanentemente?. El límite elástico del cobre es de 159 MPa (159 megapascales)

DATOS

𝑫=𝟏𝒎𝒎

𝒓=𝟎 .𝟎𝟎𝟎𝟓𝒎𝑳𝑬=𝟏𝟓𝟗𝑴𝑷𝒂

( 𝟏𝒎𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎 )

Realizamos la transformación de unidades correspondiente

¿𝟎 .𝟎𝟎𝟏𝒎FORMULA

𝑳𝑬=𝑭𝑴

𝑨

SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝑭𝑴=𝝅 (𝟎 .𝟎𝟎𝟎𝟓𝒎 )𝟐(𝟏𝟓𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑵𝒎𝟐 )

𝑭𝑴=𝝅 (𝟐 .𝟓×𝟏𝟎−𝟕𝒎𝟐 )(𝟏𝟓𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑵𝒎𝟐 )

(𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝑷𝒂𝟏𝑴𝑷𝒂 )¿𝟏𝟓𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑷𝒂

𝑭𝑴=?

𝑭𝑴=𝑨 𝑳𝑬El radio r es igual a la mitad del diámetro D

Recordemos que 𝑭𝑴=𝟏𝟐𝟒 .𝟖𝟕𝑵𝑭𝑴=𝝅 𝒓𝟐𝑳𝑬

𝑭𝑴=𝟏𝟐 .𝟕𝟒𝒌𝒈

Si utilizamos como unidades a los kilogramos fuerza el resultado queda expresado como:

Ejemplo No. 4: ¿Cuál es la fuerza máxima (peso máximo) que puede soportar un alambre de cobre de un milímetro de diámetro antes de romperse?. El límite de ruptura del cobre es de 338 MPa

DATOS

𝑫=𝟏𝒎𝒎

𝒓=𝟎 .𝟎𝟎𝟎𝟓𝒎𝑳𝑬=𝟑𝟑𝟖𝑴𝑷𝒂

( 𝟏𝒎𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎 )

Realizamos la transformación de unidades correspondiente

¿𝟎 .𝟎𝟎𝟏𝒎FORMULA

𝑳𝑹=𝑭𝑴

𝑨

SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝑭𝑴=𝝅 (𝟎 .𝟎𝟎𝟎𝟓𝒎 )𝟐(𝟑𝟑𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑵𝒎𝟐 )

𝑭𝑴=𝝅 (𝟐 .𝟓×𝟏𝟎−𝟕𝒎𝟐 )(𝟑𝟑𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑵𝒎𝟐 )

(𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝑷𝒂𝟏𝑴𝑷𝒂 )¿𝟑𝟑𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑷𝒂

𝑭𝑴=?

𝑭𝑴=𝑨 𝑳𝑹El radio r es igual a la mitad del diámetro D

Recordemos que 𝑭𝑴=𝟐𝟔𝟓 .𝟒𝟔𝑵𝑭𝑴=𝝅 𝒓𝟐𝑳𝑹

𝑭𝑴=𝟐𝟕 .𝟎𝟖𝒌𝒈

Si utilizamos como unidades a los kilogramos fuerza el resultado queda expresado como:

Es importante diferenciar los tres tipos de esfuerzo que mencionaremos en nuestro curso:

ESFUERZO DE TENSIÓN: Cuando las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se alejan entre sí

𝐹

𝐹

ESFUERZO DE COMPRESIÓN: Cuando las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se acercan entre sí

𝐹

𝐹

ESFUERZO DE CORTE: Cuando las fuerzas son paralelas y se alejan entre sí

𝐹

𝐹

DEFORMACIÓN: Es la relación entre el incremento o cambio de la longitud y la longitud inicial de un material. Para calcularla emplearemos la ecuación:

𝐷=∆ 𝑙𝑙0

El incremento en la longitud se puede obtener al restar la longitud inicial de la longitud final, como se muestra en la siguiente ecuación: ∆ 𝑙=𝑙− 𝑙0Ejemplo No. 5: ¿cuál es la deformación que sufre el resorte que se muestra a continuación si su longitud inicial es de 15 centímetros y después de aplicar la fuerza su longitud final es de 20 centímetros?

15 cm

20 cm

DATOS

𝒍𝟎=𝟏𝟓𝒄𝒎𝒍=𝟐𝟎𝒄𝒎

FORMULA

𝑫=∆ 𝒍𝒍𝟎

SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝑫=𝟐𝟎𝒄𝒎−𝟏𝟓𝒄𝒎

𝟏𝟓𝒄𝒎

𝑫=?

𝑫=𝒍− 𝒍𝟎𝒍𝟎

Para emplear correctamente los datos sustituimos como se indicó anteriormente 𝑫=

𝟓𝒄𝒎𝟏𝟓𝒄𝒎

𝑫=𝟎 .𝟑𝟑La deformación, como se

muestra en este ejemplo, no tiene unidades (adimensional)

Una vez analizados los conceptos de ESFUERZO y DEFORMACIÓN, podemos ahora definir el concepto de MÓDULO DE ELASTICIDAD como se muestra a continuación

𝑀 ó𝑑𝑢𝑙𝑜𝑑𝑒𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑=𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜

𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Algunos autores consideran a esta ecuación como la forma mas general de la Ley de Hooke

Si en la ecuación del módulo de elasticidad se sustituyen el esfuerzo y la deformación con las ecuaciones utilizadas en los ejemplos 2 y 5 anteriores, entonces tenemos otro concepto conocido como MÓDULO DE YOUNG

𝑌=𝐸𝐷

Aplicamos las ecuaciones del esfuerzo E y la deformación D

𝑌=

𝐹𝐴∆ 𝑙𝑙0

Escrita mas correctamente la ecuación anterior queda finalmente de la forma:

𝑌=𝐹 𝑙0𝐴∆ 𝑙

Ejemplo No. 6: Un alambre de TV tiene un longitud de 20 metros y 5 milímetros de diámetro, se somete e una fuerza de 300 Newtons y se estira hasta llegar a 20.05 metros. Determina cuál es el valor del módulo de Young para el alambre.

DATOS

𝑫=𝟓𝒎𝒎

𝒓=𝟎 .𝟎𝟎𝟐𝟓𝒎𝑭=𝟑𝟎𝟎𝑵

( 𝟏𝒎𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎 )

Realizamos la transformación de unidades correspondiente

¿𝟎 .𝟎𝟎𝟓𝒎

FORMULA

𝒀=𝑭 𝒍𝟎𝑨∆ 𝒍

SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝒀=(𝟑𝟎𝟎𝑵 ) (𝟐𝟎𝒎 )

𝝅 (𝟎 .𝟎𝟎𝟐𝟓𝒎 )𝟐 (𝟎 .𝟎𝟓𝒎 )

𝒀=𝟔𝟏𝟏𝟏𝟓𝟒𝟗𝟖𝟏𝟓𝑵𝒎𝟐

𝒍𝟎=𝟐𝟎𝒎𝒍=𝟐𝟎 .𝟎𝟓𝒎

𝒀=?Como un Newton sobre metro cuadrado es igual a un

pascal, el resultado anterior se puede escribir de la forma:

El radio r es igual a la mitad del diámetro D

Recordemos que

𝑬=𝟔𝟏𝟏𝟏𝟓𝟒𝟗𝟖𝟏𝟓 𝑷𝒂

𝒀=𝑭 𝒍𝟎

𝝅𝒓 𝟐∆ 𝒍

∆ 𝑙=𝑙− 𝑙0

Necesitamos conocer el incremento

∆ 𝑙=20.05𝑚−20𝑚Primero obtenemos

¿0.05𝑚

Ejemplo No. 6: Un alambre tiene un longitud de 15 metros y 5 milímetros de diámetro, se somete a una fuerza de 250 Newtons y se estira hasta llegar a 15.1 metros. Determina cuál es el valor del módulo de Young para el alambre.

DATOS

𝑫=𝟓𝒎𝒎

𝒓=𝟎 .𝟎𝟎𝟐𝟓𝒎𝑭=𝟐𝟓𝟎𝑵

( 𝟏𝒎𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎 )

Realizamos la transformación de unidades correspondiente

¿𝟎 .𝟎𝟎𝟓𝒎

FORMULA

𝒀=𝑭 𝒍𝟎𝑨∆ 𝒍

SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝒀=(𝟐𝟓𝟎𝑵 ) (𝟏𝟓𝒎 )

𝝅 (𝟎 .𝟎𝟎𝟐𝟓𝒎 )𝟐 (𝟎 .𝟏𝒎 )

𝒀=𝟏𝟗𝟎𝟗𝟖𝟓𝟗𝟑𝟏𝟕𝑵𝒎𝟐

𝒍𝟎=𝟏𝟓𝒎𝒍=𝟏𝟓 .𝟏𝒎

𝒀=?Como un Newton sobre metro cuadrado es igual a un

pascal, el resultado anterior se puede escribir de la forma:

El radio r es igual a la mitad del diámetro D

Recordemos que

𝒀=𝑭 𝒍𝟎

𝝅𝒓 𝟐∆ 𝒍

∆ 𝑙=𝑙− 𝑙0

Necesitamos conocer el incremento

∆ 𝑙=15.1𝑚−15𝑚Primero obtenemos

¿0.1𝑚