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Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales

1 de 26 (Versión 18/4/10)

RESPUESTAS FORZADAS Y RESPUESTA FRECUENCIAL

1. Uso de las transferencias Supongamos una transferencia cualquiera

Se resuelve hallando las componentes naturales y la forzada. Para la respuesta natural planteo la ecuación homogénea:

Propongo la solución exponencial y reemplazo en la ecuación homogénea

Así obtengo las n raíces de la ecuación (s1, s2,…, sn), las cuales pueden ser reales o complejas(los n exponentes y las n soluciones), entonces la respuesta natural será:

tS

n

tStS

nneAeAeA +++=Ω ...21

21

La ecuación característica es

Podemos decir entonces que toda la información de la respuesta natural está en el denominador de la función transferencia.

011

1

011

1

...

...

)(

)()(

apapapa

bpbpbpb

rdenominado

numerador

pD

pNpT

n

n

n

n

m

m

m

m

++++

++++===

−−

−−

)p(T)JpB)(LpR()k(

k

)t(u

)t(2

=+++φ

φ=

Ω

)t(u)bpb...pbpb()t()apa...papa( 011m

1mm

m011n

1nn

n ⋅++++=Ω⋅++++ −−

−−

4444 34444 214444 34444 21)t(f

01m

m

m

)t()p(D

01n

n

n ubdt

dub...

dt

udba

dt

da...

dt

da +++=Ω+

Ω++

Ω

Ω⋅

)t(f)t()p(D =Ω⋅

)t(0adt

da...

dt

da n01n

n

n Ω⇒=Ω+Ω

++Ω

stn Ae)t( =Ω

0... 01 =+++ stststn

n AeasAeaAesa

0)s(D0)p(D =⇒=


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Para la respuesta forzada con valores constantes de excitación:

Para excitación exponencial:

Para excitación armónica:

Supongamos una excitación

)cos()( αω +⋅= tUtu max ⇒ α∠= maxUU&

)cos()( βω +⋅Ω=Ω tt max ⇒ β∠Ω=Ω max&

βαθ ∠Ω=∠⋅∠=⋅=Ω maxmaxUTUT &&&

⇒ maxmax UT ⋅=Ω , θαβ +=

de manera que:

011

1

011

1

...

...)(

apapapa

bpbpbpbpT

n

n

n

n

m

m

m

m

++++

++++=

−−

−−

y, para excitación exponencial será:

))...()((

))...()((

...

...)(

2101

01

n

mba

n

n

m

m

ssssss

ssssssK

asasa

bsbsbsT

−−−

−−−=

+++

+++=

Donde: K= factor de escala s1, s2, ..., sn son raíces de la ecuación característica, polos de la función transferencia sa, sb, ..., sm son ceros de la función transferencia Suponiendo los siguientes polos y ceros:

01 =s α−=2s ''43 ωα jss ±−==

0≠as

)0(D

)0(N)0(T =

)s(D

)s(N)s(T =

θω

ωω ∠=== TT

jD

jNjT &

)(

)()(


3 de 26 (Versión 18/4/10)

Analizando la constelación de polos y ceros se puede determinar la característica de la respuesta a excitación armónica viendo cómo varían para

distintos jω (desplazándose por el eje imaginario) los módulos |jω -si| y sus

ángulos αi de las raíces y se podrá graficar el módulo |T| y ángulo θ de la

función transferencia en función de ω.

Figura N°1 Suponiendo una transferencia con 2 polos y 2 ceros:

))((

))(()(

21 sjsj

sjsjKTT ba

−−

−−==

ωω

ωωθ&

si αn son los ángulos de (jω-sn) y β los de (jω-sm)

444 3444 21

&

Módulo

ba

sjsj

sjsjKT

21 −⋅−

−⋅−=

ωω

ωω21 ααββ −−+∠ ba

Se puede hallar θ gráficamente. 1.1. Ejemplo

CpLpRpZ

1)( ++=

)(

)(1

1

111

)(2

2 tu

ti

LCp

L

Rp

p

LLCpRCp

Cp

CpLpR

pY =

++

⋅=++

=

++

=

σ

jω

S1

S4

S3

S2 α2

α4

α3

jω-S3

jω-S4

jω-S1

Sa

βa


4 de 26 (Versión 18/4/10)

)()(

)0(11

1

)(

)(

212 ssss

s

L

LCs

L

Rs

s

LsU

sI

−⋅−

−⋅=

++

=

Figura N°2

21

1)(

ll

l

LjY a

⋅⋅=ω 21 ααβ −−∠ a

Si varía ω a lo largo del eje imaginario y se van midiendo la, l1, l2 y βa, α1, α2 se

podrá graficar fase y modulo de Y(jω) en función de ω. 2. Representación de Bode 2.1. Introducción Sea un cuadripolo como el de la figura N°3, cuya transferencia de tensión V2/V1 es T(p):

Figura N°3 Supongamos que a la entrada de este cuadripolo tengamos aplicada una tensión del tipo

tVtV ωsen)( 11 ⋅=

La respuesta al estado estacionario (si el cuadripolo es estable) esta dada por:

)sen()sen()()( 212 θωθωω +⋅=+⋅⋅= tVtVjTtV

Donde

T(p) V1 V2

I1 I2

σ

jω

Sa

S2

S1

α2

α1

βa l2

la

l1


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]1[)()(1

221 ωω jT

V

VVVjT =⇒=⋅ Función módulo

]2[)(arg ωθ jT= Función fase

T(jω) se determina de T(p) reemplazando p=jω. Ahora bien, de lo expuesto debe asimilarse correctamente que la función módulo representa la relación entre las magnitudes que componen la transferencia, y la función fase representa el desfasaje entre ellas.

Figura N°4 También es importante saber que ambas funciones son dependientes de la frecuencia. Las representaciones de Bode consisten en dos gráficos que corresponden a las variaciones de módulo y fase de la función transferencia,

usando como variable ω. 2.2. Diagramas de Bode 2.2.1. Diagrama de módulo Como sabemos una transferencia que corresponda a un bloque circuital, toma la forma de una función racional de coeficientes positivos, la cual puede ser factoreada en raíces del numerador y denominador:

01

01

...

...)(

apapa

bpbpbpT

n

n

m

m

+++

+++=

))...()((

))...()(()(

21

00201

pnpp

m

pppppp

ppppppKpT

−−−

−−−=

donde:

)(.min,...,

)(.,...,

min,

2,1

02,01

pTdePolosadordenodelraíceslassonpp

pTdeCerosnumeradordelraíceslassonpp

escaladefactoradodenob

aK

pp

m

n=

Para p=jω

]3[.)())...()((

))...()(()( )(

21

00201 ωωωωω

ωωωω Φ=

−−−

−−−= j

Módulo

pnpp

m ejTpjpjpj

pjpjpjKjT

876

Se define atenuación en decibeles como

V2

V1 θ

Comentario [A1]: rev 18-4-10


6 de 26 (Versión 18/4/10)

]4[)(log20)( ωω jTTdB =

El diagrama de módulo de Bode gráfica TdB en función de la frecuencia ω. Tanto las escalas verticales como las horizontales son logarítmicas. La escala

horizontal es logarítmica de ω, y la vertical logarítmica de T(jω).

Figura N°5

Vemos que

Cuando ω2/ω1=2 se dice que correspondió un salto en frecuencia de una

octava. Cuando ω2/ω1=10 correspondió un salto de una década. Aplicando [4] en [3] obtengo:

−−−

−−−⋅=

pnpp

m

dBpjpjpj

pjpjpjKT

ωωω

ωωωω

......

......log20)(

21

00201

∑∑==

−−−+=n

jpji

m

idB pjpjKT

10

1

log20log20log20)( ωωω

Como se puede observar 20 log |K| es una constante y todos los demás

términos son una suma algebraica de factores TidB=20 log |jω-pi| . Veamos los distintos casos que podemos encontrar: 2.2.1.1. Ceros o polos sobre el eje real (no en el origen) Tomemos un TdB correspondiente a un cero simple, para estudiar su variación

con respecto a la frecuencia ω, teniendo en cuenta que para un polo se tienen las mismas consideraciones pero el TdB es negativo. O sea:

iipj 0dB log20T −= ω 00 ≠ipcon

1

21212 logloglog

ω

ωωω =−=− uu

ΤdB

u=log ω ω=1 u=0

para ω1=a para ω2=b

u1=log a

u2=log b

u=-∞⇒ω=0


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Figura N°6

Se toma como referencia p0i y se analiza la variación de Ti para valores de

ω>>p0i y ω<<p0i.

Para ω>>p0i

uTidB 20log20 =≅ ω [5]

Para ω<<p0i

iidB pT 0log20≅ [6]

Para ω=0 (o sea u=-∞)

iidB pT 0log20=

En [5] y [6] se puede apreciar que para ω grandes Ti se confunde con una recta

de pendiente 20 y para ω chicos, con una cte. de valor 20Log|p0i|. Representado gráficamente obtenemos:

Figura N°7

Tomemos ω2/ω1=10. Para la recta 20u, a una variación desde ω1 hasta ω2,

corresponde una variación 20u2 – 20u1 = 20 log ω2 – 20 log ω1 = 20 log ω2/ω1 = 20 log 10 = 20 dB. O sea, que la recta 20u corresponde una variación de atenuación de 20 dB/década.

Si hubiera sido ω2/ω1=2 la variación de atenuación correspondería a 6 dB/octava.

jω

σ

P0i

ω=1

TdB

u=log ω ω=p0i

20dB

curva real

Recta de referencia

u1=Logω1 u2=Logω2

20u

20Log|p0i|

Para

ω2=10ω1


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2.2.1.2. Ejemplo 100−= ωjT

Figura N°8

El mayor apartamiento se produce en p0i. Hallaremos este valor:

idBi pjT 0log20 −= ω

20

20 ii ppj +=− ωω

2

02

02

02

0 2log102log20log20)(0

iip

iiidB ppppTi

⋅=⋅=+===ω

ωω

errordevalorrectadevalorppT iiidB +=+== 2log10log20)( 00ω

dB32log10 +==ε

El error ε es de 3dB positivos.

Todas estas consideraciones son también para un polo simple: 100

1

−=

ωjT

pjdBj pjT −= ωlog20

Figura N°9

jω

σ

ppj

ω=1

TdB

u=log ω ω=p0i=102

20dB

curva real

Recta de referencia

ω=103

20u

20Log 100=40dB

ε

Mayor apartamiento

ω=104


9 de 26 (Versión 18/4/10)

Figura N°10 2.2.1.3. Ceros o polos de orden n (no en el origen) Estos serían de la forma: Cero de orden n

( ) ajnajTn

a −⋅⋅=−= ωω log20log20

Polo de orden n

( ) bjnbjTn

b −⋅⋅=−= ωω log20log20

El mayor apartamiento será +n.3dB para cero de orden n y –n.3dB para un polo de orden n. Para el caso de n=2 el gráfico es:

Figura N°11a y b Una vez hecho este análisis, la atenuación total se obtiene como suma de todas las contribuciones de los ceros y de los polos. 2.2.1.4. Ejemplo

ΤdB

u=log ω ω=1 ω=ppj

curva real

Recta de referencia

ε=-3dB

-20dB/dec=-6dB/octava

-20Log|ppj|

Tdb

u=log ω ω=1

ω=a1

40dB/dec=12dB/oct curva real

ε=+6dB

Tdb u=log ω

ω=1

ω=b1

-40dB/dec=-12dB/oct

curva real

ε=-6dB 40Log|a1| -40Log|b1|


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Hallar el diagrama de módulo de:

1

)5,2(2)(

+

+=

p

ppH

Será:

|1|20|)5,2(|20220 +−++= ωω jLogjLogLogTdB

Figura N°12

Figura N°13

La representación total (TdBtotal) es suma de todas las contribuciones. Para hallarla, debe prestarse atención a las subidas o caídas de las pendientes de cada una de las contribuciones, así como también en sus valores constantes. 2.2.1.5. Ceros o polos sobre el origen

Figura N°14a y b

σ

jω

p0j=0

σ

jω

ppj=0

jω

-1 -2,5


11 de 26 (Versión 18/4/10)

Para este caso p0i=ppj=0 Tomemos primero un cero simple sobre el origen:

( ) ujpj ii 20log20log20log20 0 ===−= ωωωα

obtenemos como resultado una recta de pendiente 20 dB/década.

Figura N°15 Si el cero fuera de orden n sería:

unnjTn

i ⋅=⋅== 20log20log20 ωω

Para n=2, Ti= 40u, que corresponde a una recta de pendiente 40 dB/década. Graficando:

Figura N°16a y b Para polos es el mismo tratamiento:

unnjTn

j ⋅−=−=−= 20log20log20 ωω

jω Cero Doble

σ

ΤdB

u=log ω ω=1

ω=10

40dB/dec 40

20Log|jω|2

u=log ω ω=1

ω=10

20dB/dec

20

20Logω

TdB


12 de 26 (Versión 18/4/10)

Figura N°17a y b 2.2.1.6. Polos o ceros complejos conjugados:

Los polos o ceros que no están sobre el eje real σ se presentan de a pares y son complejos conjugados.

Figura N°18

Hagamos el análisis para ceros conjugados y extendamos los resultados a los polos conjugados:

*00

*00 20)()()( iidBii pjpjLogTpppppT −⋅−=⇒−⋅−= ωω

−±=

+±=

11*0

110

jbap

jbap

i

i

Desarrollando la transferencia:

bapppppppppppp iiiiii ++=⋅++−=−⋅− 2*00

*00

2*00 )()()(

de donde:

+=

⋅±=2

12

1

12

bab

aa

La atenuación es para p=jω:

σ

jω p0i

p*0i -b1

b1

-a1

jω Polo Simple n=1 σ

Tdb

u=log ω

ω=1

ω=10

-40dB/dec

40 -20dB/dec

20 -20Log|jω|

-20Log|jω|2


13 de 26 (Versión 18/4/10)

( ) ( )bajbjajTdB ++−=+⋅+= ωωωω 22 log20log20

Para ω grandes:

uTdB 40log40log20 2 ==≅ ωω

Para ω pequeños:

bTdB log20≅

Esto nos indica que la pendiente para ω grande se aproxima a 40 dB/déc o 12 dB/oct. El mayor error se comete en:

b=ω b es el Módulo de p0i ó p0i*

Este valor puede ser negativo o positivo. Su representación será

Figura N°19

El valor en dB de la curva real en b=ω será:

bababjbTdB ⋅=+⋅+−= log20log20

Luego

bbbabba log20log20log20log20log20.log20 −−+=−=ε

21

21

12log20log20

ba

a

b

a

+−==∴ε

Ahora bien, si:

ΤdB

u=log ω

ω=1 ω=b

1/2

40dB/dec=12dB/oct.

curva real Representación con

Error ε=0

Representación con

ε>0

Representación con

ε<0 20Log|b|


14 de 26 (Versión 18/4/10)

ε+⇒>⇒> 01 Logb

a

ε−⇒<⇒< 01 Logb

a

Como caso particular veremos los complejos conjugados que están sobre el eje

jω para ω grandes. O sea, el caso en que a1≈0.

−∞==

∴=⇒=

=

b

a

b

a

bb

alog200

021

ε

El gráfico será:

Figura N°20

Figura N°21

Para polos conjugados lo expuesto anteriormente es igual, salvo el signo menos:

*20 pjpjdB pjpjLogT −⋅−−= ωω

En la última página, figura 40 se muestra el gráfico detallado del caso de polos complejos conjugados. Cada una de las TdB se dan como función de un

parámetro ξ de forma que 0≤ξ≤1 (ξ=1/2 a/√b).

Tdb

u=log ω

ω=1

ω=b1/2

=b1

40dB/dec

curva real

20 log b

ω=0

jω Cero Conjugado Simple

σ

b1

-b1




15 de 26 (Versión 18/4/10)

Este gráfico detallado puede extenderse a ceros complejos conjugados, con la salvedad de que estas representaciones se invierten. 2.2.1.7. Ejemplo Hallar el diagrama de módulo de Bode de:

)1040)(10(10)(

)9820)(9820)(10(

10

)1040)(10(

10)(

425

5

42

5

++−+=

++−++=

+++=

ωωω

ωω

jj

jjH

jpjpp

p

ppp

ppH

Puede verse la “constelación de polos y ceros en la Figura N°26. Luego:

44444 344444 21444 3444 2143421434214321

|)1040(|20|)10(|20||201020)( 425

TTTT

dB jLogjLogjLogLogT ++−−+−+= ωωωωω

Analicemos cada término por separado: Término T1:

→= dB10010log20 5recta cte. que pasa por 100dB:

Figura N°22 Término T2:

→=== decdBjT /20log20log202 ωω un cero en el origen introduce una

asíntota recta de pendiente 20dB/dec.

100dB

logω

TdB


16 de 26 (Versión 18/4/10)

Figura N°23

Término T3: Aquí debemos analizar qué sucede con T3 para frecuencias muy grandes

)( ∞→ω y para frecuencias pequeñas )0( →ω por lo que tendremos 2

asíntotas de diferente pendiente. La pendiente cambiará en el llamado “punto de quiebre”, que en este caso es el polo (en escala logarítmica)

1log,10 == ωω .

entonces:

Si ∞→ω : decdBTT /20log20 33 −=⇒−→ ω

Si 0→ω : dBTT 2010log20 33 −=⇒−→

Figura N°24

Término T4:

424 1040log20 ++−−= ωω jT

de la misma manera:

Si ∞→ω : decdBTT /40log20 42

4 −=⇒−→ ω

Si 0→ω : dBTT 8010log20 44

4 −=⇒−→

Ahora, el “punto de quiebre” será el módulo de los polos complejos conjugados:

1 2

-20

-40

logω TdB

1 2

20dB

logω

TdB

ω=1

logω=0


17 de 26 (Versión 18/4/10)

2102log1029820)9820( 2222 ≅⇒=+=+

Figura N°25

el error entre la curva real y la asíntota será, en este caso (p=20±j98):

dBba

adB 84.0log204.0

100

40221

21

1 ==⇒==+

= εε (Ver la figura 27)

En realidad, el error real para nuestro caso es un poco menor que 8dB (analice por qué). El gráfico de Bode será entonces:

Figura 26: Constelación de Polos y Ceros

2 3

-80

-120

logω TdB

jω

-10

0

+j98

--j98

-20 σ


18 de 26 (Versión 23/04/11)

FIGURA 27


19 de 26 (Versión 23/04/11)

2.2.2. Diagrama de fase Hallaremos para cada caso el diagrama de fase correspondiente 2.2.2.1. Ceros o polos simples (no en el origen)

Sea un cero simple (sobre σ negativo):

Figura N°28

Para ω>>p0i :

( ) °== 90arg ωφ j

Para ω=0:

( ) °=−= 0arg 0ipφ

Si se gráfica la variación de φ=f(ω) se obtiene:

Figura N°29

)pjarg()j(Targ i0−ω=ω=φ

φ(ω)

u=log ω

ω=1

ω=p0i ω2=10 p0i

curva real (φ=arg(jω-p0i) con p0

sobre el eje σ<0)

Recta de referencia

ω1=p0i/10

90º

0º

45º

σ

jω

p0i

jω - p0i

φ

Vector que se desplaza sobre el eje


20 de 26 (Versión 23/04/11)

Detalle: se muestran los apartamientos de la asíntota en p0i/10 (-5,7º), los máx apartamientos positivo y negativo (-6º y +6º) y en 10 p0i (+5,7º)

Figura N°30

Para un polo simple es:

)(

1arg

pjpj −=

ωφ

Para ω>ppj °−= 90φ

Para ω=0 °= 0φ

Los apartamientos en 0°, -32°, -58° y 90° son los mismos que en el caso del cero. El gráfico es:

Figura N°31

φ(ω)

u=log ω ω=1 ω=ppj ω2=10 ppj

Recta de referencia

ω1=ppj/10

-45º

0º

-90º

curva real (φ=arg1/(jω-ppj con ppj

sobre el eje σ<0

6°

5,7°

58°

5,7°

32°

6°

45°


21 de 26 (Versión 23/04/11)

2.2.2.2. Cero o polo de orden n (no en el origen) Para el caso que sean polos o ceros de orden n los gráficos de Bode son:

Figura N°32

Figura N°33 2.2.2.3. Polos o ceros sobre el origen Para el caso de un cero sobre el origen es:

.90)arg( ctej =°== ωφ

Representando:

Figura N°34

u=log ω

φ(ω)

curva real 90º

0º

φ(ω)

u=log ω ω=1 ω=ppj ω2=10 ppj

curva real

Recta de referencia

ω1=ppj/10

-n.45º

0º

-n.90º

Polos de orden n

φ(ω)

u=log ω

ω=1

ω=p0i ω2=10 p0i

curva real Recta de

referencia

ω1=p0i/10

n.90º

0º

n.45º

Ceros de orden n

n 5,7°


22 de 26 (Versión 23/04/11)

Si fuera de orden n sería:

Figura N°35 Para un polo sobre el origen es lo inverso:

°⋅−== 90)(

1arg n

j nωφ

Figura N°36 2.2.2.4. Complejos conjugados:

Figura N°37 Para ceros conjugados es:

21 φφφ +=

Para jω=0: 021 =⇒≠= φφφ signodesoncomoy

Para jω grande:

°=⇒°== 1809021 φφφ

El gráfico está dado en función del siguiente valor

10 ≤≤ ξ

φ(ω)

u=log ω

curva real

n.90º

0º

φ(ω)

u=log ω

curva real

-n.90º

0º

σ

jω p0i

φ1

φ2

p*0i



23 de 26 (Versión 23/04/11)

21

21

1

2

1

ba

a

b

a

+==ξ

Cuando ε=0, los complejos conjugados estarán sobre el eje imaginario jω:

Figura N°38 Para polos conjugados el gráfico de fase detallado se da en la figura 40 Este gráfico detallado puede extenderse a polos complejos conjugados con la salvedad que estas representaciones se inviertan. 2.2.2.5. Ejemplo Hallar el diagrama de fase de Bode de :

)3)(1(

)2(2)(

++

+=

pp

ppT

El valor de la constante “2” también contribuye en el diagrama de fase.

Si k>0 ⇒ recta cte. de 0°

Si k<0 ⇒ recta cte. de 180° Como vimos en el caso del diagrama de módulo, aplicaremos aquí el mismo criterio, o sea:

∑= onescontribucilastodastotal)(ωφ

entonces:

)3)(1(

)2(2)(

++

+=

ωω

ωω

jj

jjH

Ver gráfico en la página siguiente (Figura 39) .

ω=1

φ(ω)

u=log ω ω=b1/2

ω2=10 b1/2

ω1=b1/2

/10

180º

0º

90º

ξ=0 ξ=0.2

ξ=0.5

ξ=0.7


24 de 26 (Versión 23/04/11)

Figura N°39


25 de 26 (Versión 23/04/11)

Figura N°40

Gráfico superior: Diagrama de módulo para polos conjugados con el ξ como parámetro

Gráfico inferior: Diagrama de fase para polos conjugados con ξ como parámetro


26 de 26 (Versión 23/04/11)

3. Indice

1. USO DE LAS TRANSFERENCIAS ....................................................................................................1

1.1. EJEMPLO ................................................................................................................................................3

2. REPRESENTACIÓN DE BODE .........................................................................................................4

2.1. INTRODUCCIÓN .....................................................................................................................................4 2.2. DIAGRAMAS DE BODE...........................................................................................................................5 2.2.1. Diagrama de módulo .................................................................................................................5

2.2.1.1. Ceros o polos sobre el eje real (no en el origen)............................................................................. 6 2.2.1.2. Ejemplo .......................................................................................................................................... 8 2.2.1.3. Ceros o polos de orden n (no en el origen) ..................................................................................... 9 2.2.1.4. Ejemplo .......................................................................................................................................... 9 2.2.1.5. Ceros o polos sobre el origen ....................................................................................................... 10 2.2.1.6. Polos o ceros complejos conjugados: ........................................................................................... 12 2.2.1.7. Ejemplo ........................................................................................................................................ 15

2.2.2. Diagrama de fase .....................................................................................................................19 2.2.2.1. Ceros o polos simples (no en el origen)........................................................................................ 19 2.2.2.2. Cero o polo de orden n (no en el origen) ...................................................................................... 21 2.2.2.3. Polos o ceros sobre el origen ........................................................................................................ 21 2.2.2.4. Complejos conjugados: ................................................................................................................ 22 2.2.2.5. Ejemplo ........................................................................................................................................ 23

3. INDICE ...................................................................................................................................................26

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