FISICA IIFISICA IIVIBRACIONES FORZADASVIBRACIONES FORZADASPRESENTADO PORPRESENTADO POROPTACIANO VSQUEZ GARCAOPTACIANO VSQUEZ GARCADocente de la Facultad de Ciencias Docente de la Facultad de Ciencias de la UNASAMde la UNASAM2010OBJETIVOSOBJETIVOSDespusdefinalizadaestaunidadel Despusdefinalizadaestaunidadel alumno ser capaz dealumno ser capaz deResolverejerciciosyproblemasdevibraciones Resolverejerciciosyproblemasdevibraciones forzadasforzadasAplicarlasleyesdeNewtonalestudiodelas AplicarlasleyesdeNewtonalestudiodelas vibraciones forzadas con y sin amortiguamientovibraciones forzadas con y sin amortiguamientoComprender el efecto de resonanciaComprender el efecto de resonanciaII.II.INTRODUCCININTRODUCCIN HemosvistoquelaenergadeunosciladoramortiguadoHemosvistoquelaenergadeunosciladoramortiguado disminuye con el tiempo debido a la fuerza disipativa. disminuye con el tiempo debido a la fuerza disipativa. EsposiblecompensarlaprdidadeenergaaplicandounaEsposiblecompensarlaprdidadeenergaaplicandouna fuerza externa, la cual hace trabajo positivo sobre el sistema. fuerza externa, la cual hace trabajo positivo sobre el sistema. Encualquierinstante,sepuedeagregarenergaalsistemaEncualquierinstante,sepuedeagregarenergaalsistema aplicando una fuerza que acte en la direccin del movimientoaplicando una fuerza que acte en la direccin del movimiento del oscilador. del oscilador. Porejemplounnio,enuncolumpiopuedemantenerseePorejemplounnio,enuncolumpiopuedemantenersee movimientopormediodeimpulsossincronizadosdemaneramovimientopormediodeimpulsossincronizadosdemanera apropiada. apropiada. LaamplituddelmovimientopermanecerconstantesilaLaamplituddelmovimientopermanecerconstantesila energadeentradaencadaciclodelmovimientoesenergadeentradaencadaciclodelmovimientoes exactamente igual a la energa que pierde por la friccinexactamente igual a la energa que pierde por la friccin II.II.INTRODUCCININTRODUCCINExisten varios tipos de vibraciones forzadas, Existen varios tipos de vibraciones forzadas, destacando las siguientes:destacando las siguientes:(a)Vibracionesforzadassin (a)Vibracionesforzadassin amortiguamiento. amortiguamiento. Aquellasvibraciones Aquellasvibraciones enlascualesnoexiste enlascualesnoexiste amortiguamientode amortiguamientode ningntipoperoson ningntipoperoson producidaspor producidaspor fuerzas externas fuerzas externas (b)Vibracionesforzadascon (b)Vibracionesforzadascon amortiguamiento.amortiguamiento. Aquellasvibraciones Aquellasvibraciones producidas o fuerzas producidas o fuerzas externas y en el cual externas y en el cual existeamortiguamiento existeamortiguamiento porejemplo porejemplo viscosoviscosoIII.III.VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacinFuerza armnica de excitacin. . ConsideremosunapartculademasaConsideremosunapartculademasammunidaaununidaaun resorteidealderigidezresorteidealderigidezk kyalacualseaplicaunayalacualseaplicauna fuerza externafuerza externaF = F F = Fo o Sen Sen( ( t t) )tal como se muestra ental como se muestra en lafigura.Dondelafigura.DondeF Fo oeslaamplituddelavibracineslaamplituddelavibracin armnica yarmnica y es la frecuencia de la vibracin externa es la frecuencia de la vibracin externaIII.III.VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacinFuerza armnica de excitacin. . Aplicando las segunda ley de Newton se tiene Aplicando las segunda ley de Newton se tiene00 (1)*x xF maF sen t kx mxmx kx F sen t + &&&&III.III.VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacin Fuerza armnica de excitacin.. LaecuacinesunaecuacindiferencialdesegundoordennoLaecuacinesunaecuacindiferencialdesegundoordenno homogneaconcoeficientesconstantes.Susolucinestcompuestahomogneaconcoeficientesconstantes.Susolucinestcompuesta por:por: i)i) una solucin complementaria;una solucin complementaria; yyii) una solucin particular ii) una solucin particular. . LaLasolucincomplementariasolucincomplementariasedeterminahaciendoigualaceroelsedeterminahaciendoigualaceroel segundo trmino de la ecuacin y resolviendo la ecuacin homognea,segundo trmino de la ecuacin y resolviendo la ecuacin homognea, es decir. es decir. La solucin de esta ecuacin es de la forma La solucin de esta ecuacin es de la forma0(2) mx kx + &&( ) (3)m nx x sen t +III.III.VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacin Fuerza armnica de excitacin.. Como el movimiento es peridico laComo el movimiento es peridico la solucin particularsolucin particular es de la forma es de la formaDeterminandodosvecesestaecuacinyremplazandoenlaecuacin(1)seDeterminandodosvecesestaecuacinyremplazandoenlaecuacin(1)se tiene tieneDespejando el valor de la constanteDespejando el valor de la constante B B resulta resulta (4)Px Bsen t ( )20Bm sen t k bsen t F sen t + 0 02 2/ / (5)*1 ( )nFm FkBkm III.III.VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacin Fuerza armnica de excitacin.. Remplazando (5) en (4) resulta Remplazando (5) en (4) resultaLa solucin general ser La solucin general ser02/ (6)1PnFkx sen t| ` . ,( )02/(7)1C P nnF kx x x Asen t sen t + + +| ` . ,III.III.VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacin Fuerza armnica de excitacin.. De la ecuacin (7) se observa que la oscilacin total est compuestaDe la ecuacin (7) se observa que la oscilacin total est compuesta pordostiposdemovimiento.Unavibracinlibredefrecuencia pordostiposdemovimiento.Unavibracinlibredefrecuencian n figura a, y una vibracin forzada causada por la fuerza exterior figurafigura a, y una vibracin forzada causada por la fuerza exterior figura b. De esto se observa que la vibracin libre se extingue quedando lab. De esto se observa que la vibracin libre se extingue quedando la vibracin permanente o particular como lo muestra la figura c. vibracin permanente o particular como lo muestra la figura c.III. III. VIBRACIONES FORZADAS SINVIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO AMORTIGUAMIENTOFactor de amplificacin Factor de amplificacinEnlaecuacin(6)seobservaquelaamplituddelavibracinparticulardependedelaraznEnlaecuacin(6)seobservaquelaamplituddelavibracinparticulardependedelarazn entrelasfrecuenciasforzadaynatural.Sedefinecomoentrelasfrecuenciasforzadaynatural.Sedefinecomofactordeamplificacin factordeamplificacinalcocientealcociente entre la amplitudde la vibracin estable y la deflexin esttica. entre la amplitudde la vibracin estable y la deflexin esttica.DeestaecuacinpuedeobservarsequeaparecelaresonanciacuandolasdosfrecuenciassonDeestaecuacinpuedeobservarsequeaparecelaresonanciacuandolasdosfrecuenciasson aproximadamenteigualesestoesaproximadamenteigualesestoes / / n n=1.Elfenmenode=1.Elfenmenoderesonancia resonancia noesdeseableenlasnoesdeseableenlas vibraciones de elementos estructurales porque producen esfuerzos internos que pueden producirvibraciones de elementos estructurales porque producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso de la estructura. el colapso de la estructura.max20( ) 1/1PnxMFFk | ` . ,III.III.VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTODesplazamiento excitador peridico Desplazamiento excitador peridicoLasvibracionesforzadastambinpuedensurgiraLasvibracionesforzadastambinpuedensurgira parirdelaexcitacinperidicadelacimentacindeparirdelaexcitacinperidicadelacimentacinde unsistema.Elmodeloindicadoenlafigura,unsistema.Elmodeloindicadoenlafigura, representa la vibracin peridica de un bloque que esrepresenta la vibracin peridica de un bloque que es originada por el movimiento armnico = originada por el movimiento armnico = 0 0sent. sent.III.III.VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTODesplazamiento excitador peridico Desplazamiento excitador peridico En la figura, se muestra el DCL y cintico del bloque.En la figura, se muestra el DCL y cintico del bloque. EnestecasolacoordenadaEnestecasolacoordenadaxxsemideapartirdelsemideapartirdel puntodedesplazamientocerodelsoporteesdecirpuntodedesplazamientocerodelsoporteesdecir cuandoelradiovectorOAcoincideconOB.PorlocuandoelradiovectorOAcoincideconOB.Porlo tanto el desplazamiento general del resorte ser ( tanto el desplazamiento general del resorte ser (x x 0 0sent) sent)III.III.VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTODesplazamiento excitador peridico Desplazamiento excitador peridicoAplicandolaecuacindemovimientosegnlaAplicandolaecuacindemovimientosegnla direccin horizontal se tiene direccin horizontal se tiene( )00x xF mak x sen t mxmx kx k sen t + &&&&IV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSOParadeterminarlasecuacionesquela Paradeterminarlasecuacionesquela gobiernanaestemovimientoconsideremos gobiernanaestemovimientoconsideremos unsistemamasa,resorteyamortiguador unsistemamasa,resorteyamortiguador sometidoaunafuerzaperidicaexterna sometidoaunafuerzaperidicaexterna P P =P=P0 0sensen, tal como se muestra en la figura., tal como se muestra en la figura.IV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSOAplicandoalDCLlasegundaleydeNewton,seAplicandoalDCLlasegundaleydeNewton,se obtiene. obtiene.00 (1)x xF maP sen t kx cx mxmx cx kx P sen t + + & &&&& &IV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSOLaecuacindiferencial(1)*esunaecuacinLaecuacindiferencial(1)*esunaecuacin diferencial lineal, de segundo orden, no homognea ydiferencial lineal, de segundo orden, no homognea y concoeficientesconstantes.Susolucinseobtieneconcoeficientesconstantes.Susolucinseobtiene sumando unasumando una solucin complementaria solucin complementaria y unay una solucinsolucin particular particular. .LasolucincomplementariasatisfacealaLasolucincomplementariasatisfaceala ecuacinhomogneaylasolucinparticularesunaecuacinhomogneaylasolucinparticularesuna funcincualquieraquesatisfacelaecuacinfuncincualquieraquesatisfacelaecuacin diferencial. Por lo tanto, la solucin total se escribe diferencial. Por lo tanto, la solucin total se escribeLasolucincomplementariadependedelcoeficienteLasolucincomplementariadependedelcoeficiente deamortiguamiento.Assielmovimientoesdeamortiguamiento.Assielmovimientoes subamortiguado subamortiguado( ) ( ) ( )(2)C Px t x t x t +( )0 (3)tdx x e Sen t +IV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81IV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSOLasolucincomplementariaestudiadaLasolucincomplementariaestudiada anteriormente,seextinguerpidamentesegnelanteriormente,seextinguerpidamentesegnel valordelcoeficientedeamortiguamiento.Porelvalordelcoeficientedeamortiguamiento.Porel contrariolacontrariolasolucinparticularopermanenteodesolucinparticularopermanenteode estadoestacionaria estadoestacionariaeslaquesemantiene,siendoeslaquesemantiene,siendo esta de carcter armnico y viene expresada por esta de carcter armnico y viene expresada porDerivando esta ecuacin se obtiene Derivando esta ecuacin se obtiene( )(4)P mx x sen t ( )( )2cos(5)(6)P mP mx x tx x sen t &&&IV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSORemplazando (4), (5) y (6), resulta Remplazando (4), (5) y (6), resultaHaciendoHaciendo(t-)(t-)sucesivamenteigualasucesivamenteigualacero cero yy /2 /2,, resulta resultaElevandoalcuadradoambosmiembrosdelasdosElevandoalcuadradoambosmiembrosdelasdos ecuaciones anteriores y sumndolos, resulta ecuaciones anteriores y sumndolos, resulta( ) ( ) ( )20cosm m mm x sen t c x t kx sen t P sen t + + 0 (7)mc x Psen ( )20cos(8)mk m x P ( )( )222 2 20 mk m c x P ] + ] ]IV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSODe la ecuacin se obtiene la amplitud la misma queDe la ecuacin se obtiene la amplitud la misma que est dada por est dada porEl desfasaje est dado porEl desfasaje est dado por ( )( )0222mPxk m c+2ctgk mIV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSOBajoestascircunstanciaslasolucinparticularseBajoestascircunstanciaslasolucinparticularse escribe escribePero la frecuencia natural est dada por,Pero la frecuencia natural est dada por, = k/m= k/m,, y el valor del coeficiente crtico de amortiguamientoy el valor del coeficiente crtico de amortiguamiento es esc ccr cr = 2m = 2mn n, el factor de amplificacin ser , el factor de amplificacin ser( )( )( )0222Px sen tk m c +( ) ( ) ( )22201/1 / 2 / /mn cr nxMFPkc c ] + ] ] ]( ) ( )( )22 / /1 /cr nnc ctgIV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSOEn la figura, se muestra el factor de amplificacin en funcinEn la figura, se muestra el factor de amplificacin en funcin dela raznde frecuencias para distintosvalores dela razndela raznde frecuencias para distintosvalores dela razn de amortiguamiento.de amortiguamiento. IV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSOIV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSOIV.IV.VIBRACIONES FORZADAS PARA VIBRACIONES FORZADAS PARA MOVIMIENTO DE ROTORES MOVIMIENTO DE ROTORES DESEQUILIBRADOSDESEQUILIBRADOSIV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: ResonanciaResonanciaIV.IV.VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: ResonanciaResonanciaV. EJEMPLOS DE APLICACINV. EJEMPLOS DE APLICACINUnbloquequetieneunpeso Unbloquequetieneunpeso W=20lb W=20lb es es unidoaunresortedeconstante unidoaunresortedeconstante k=20 k=20 lb/pielb/pie.Siunafuerza .Siunafuerza F=FoCosF=FoCost t es es aplicadaalbloque,determinelamxima aplicadaalbloque,determinelamxima velocidaddelbloqueparaoscilaciones velocidaddelbloqueparaoscilaciones pequeas.DesprecielafriccinsiFo=6lb pequeas.DesprecielafriccinsiFo=6lb y y = 2 rad/s y g = 32,2 pies/s= 2 rad/s y g = 32,2 pies/sV. EJEMPLOS DE V. EJEMPLOS DE APLICACINAPLICACINUnbloquequetieneunaUnbloquequetieneuna masamasam mesunidoaunesunidoaun resortedeconstanteresortedeconstantek k.Si.Si una fuerzauna fuerza F = F =FoCos FoCos ttesaplicadaalesaplicadaal bloque,determinelabloque,determinela ecuacindiferencialdelasecuacindiferencialdelas vibraciones.Culserlavibraciones.Culserla solucingeneraldeestasolucingeneraldeesta ecuacin ecuacinV. EJEMPLOS DE V. EJEMPLOS DE APLICACINAPLICACINUnbloquede5kgestsuspendidoUnbloquede5kgestsuspendido deunresortedeconstantek=400deunresortedeconstantek=400 N/m.SielresortesesometeaunaN/m.Sielresortesesometeauna fuerza vertical dada por F = [5 sen8t]fuerza vertical dada por F = [5 sen8t] N,dondetsemideensegundos.N,dondetsemideensegundos. DeterminelaecuacinquedescribeDeterminelaecuacinquedescribe elmovimientodelbloquecuandoelmovimientodelbloquecuando estesejalahaciaabajo100mmaestesejalahaciaabajo100mma partir de la posicin de equilibrio y separtir de la posicin de equilibrio y se suelta desde el reposo en t = 0suelta desde el reposo en t = 0 V. EJEMPLOS DE APLICACINV. EJEMPLOS DE APLICACINUnaesferade25lbdepesoestfijaauna Unaesferade25lbdepesoestfijaauna barra que pesa 50 lb. La barra se encuentra barra que pesa 50 lb. La barra se encuentra sometida a la accin de una fuerza peridica sometida a la accin de una fuerza peridica F=[100sen15t]lbcomosemuestraenla F=[100sen15t]lbcomosemuestraenla figura. Determine la amplitud de la vibracin figura. Determine la amplitud de la vibracin deestadoestacionariodelaesfera. deestadoestacionariodelaesfera. Desprecie el tamao de la esfera.Desprecie el tamao de la esfera.V. EJEMPLOS DE APLICACINV. EJEMPLOS DE APLICACINLabarrauniformedemasamylongitudL LabarrauniformedemasamylongitudL tieneunejedeoscilacinensucentro.El tieneunejedeoscilacinensucentro.El resortedeconstantekdelaizquierdaest resortedeconstantekdelaizquierdaest sujeto a una superficie inmvil, pero el de la sujeto a una superficie inmvil, pero el de la derechatambindeconstantek,loesta derechatambindeconstantek,loesta unsoportesometidoaunmovimiento unsoportesometidoaunmovimiento armnicodadopor armnicodadopor yyBB =bSen =bSen t. t. Determinelapulsacinexcitadorade Determinelapulsacinexcitadorade resonanciaresonanciaV. EJEMPLOS DE APLICACINV. EJEMPLOS DE APLICACINDos barrasuniformes iguales cadaunade masa mDos barrasuniformes iguales cadaunade masa m estnsoldadasformandounngulorectoyestnestnsoldadasformandounngulorectoyestn suspendidas,talcomosemuestra,deunejesuspendidas,talcomosemuestra,deuneje horizontalquepasaporO:hallarlapulsacinhorizontalquepasaporO:hallarlapulsacin excitadoracrtica excitadoracrticaC C delbloqueBcapazdedelbloqueBcapazde producirenelsistemaunasoscilacionesdeproducirenelsistemaunasoscilacionesde amplitud excesiva. La masa del conjunto soldado esamplitud excesiva. La masa del conjunto soldado es m. m.V. EJEMPLOS DE V. EJEMPLOS DE APLICACINAPLICACINDosesferasdeDosesferasde2kg 2kgdemasacadademasacada unaestnsoldadasaunabarraunaestnsoldadasaunabarra ligera que est articulada en el puntoligera que est articulada en el punto B.UnasegundabarraligeraACestB.UnasegundabarraligeraACest soldadaalaanterior.Seaplicaunasoldadaalaanterior.Seaplicauna perturbacinenelpuntoAigualaperturbacinenelpuntoAiguala F=F F=F0 0Sent. En el otro extremo C, seSent. En el otro extremo C, se encuentraunmuellequecuandoACencuentraunmuellequecuandoAC esthorizontalnopresentaesthorizontalnopresenta deformacin.Silaamplituddeladeformacin.Silaamplituddela rotacinestacionariadelsistemaserotacinestacionariadelsistemase mantiene por debajo de20.10 mantiene por debajo de20.10-3 -3 rad,rad, QurangodefrecuenciasestQurangodefrecuenciasest permitido?.Utilizarlossiguientespermitido?.Utilizarlossiguientes datos:datos: L= 300 mm; K = 7000N/m;F L= 300 mm; K = 7000N/m;F0 0 = 10 N;a = 100 mm. = 10 N;a = 100 mm.SolucinSolucinEn la figura se muestra el DCL para un En la figura se muestra el DCL para un VII. EJEMPLOS DE APLICACINVII. EJEMPLOS DE APLICACINHallarlaamplitudXdelmovimiento HallarlaamplitudXdelmovimiento estacionario de la masa de 10 kg si (a) estacionario de la masa de 10 kg si (a) c = 500 N.s/m y (b) c = 0.c = 500 N.s/m y (b) c = 0.VII. EJEMPLOS DE APLICACINVII. EJEMPLOS DE APLICACINELelementodefijacinBrecibeunmovimientoELelementodefijacinBrecibeunmovimiento horizontalx horizontalxB B =bcost.DeducirlaEcuacin=bcost.DeducirlaEcuacin diferencialdelmovimientodelamasadiferencialdelmovimientodelamasam m ydefinirydefinir la pulsacin crtica la pulsacin crtica C C para la cual las oscilacionespara la cual las oscilaciones de la masa se hacen excesivamente amplias. de la masa se hacen excesivamente amplias.VII. EJEMPLOS DE APLICACINVII. EJEMPLOS DE APLICACINEl bloque de El bloque de 20 kg 20 kg est sometido a la fuerza est sometido a la fuerza armnica armnica F=(90Cos6t)NF=(90Cos6t)N.Escribala .Escribala ecuacindiferencialquedescribeel ecuacindiferencialquedescribeel movimientodelbloque.Considereque movimientodelbloque.Considereque k= k= 400 N/m 400 N/m y y c = 125 N.s/mc = 125 N.s/mVII. EJEMPLOS DE APLICACINVII. EJEMPLOS DE APLICACINLosdosbloquesmostradosenlafigurapende,enLosdosbloquesmostradosenlafigurapende,en unplanovertical,deunabarrademasaunplanovertical,deunabarrademasa despreciablequeesthorizontalenlaposicindedespreciablequeesthorizontalenlaposicinde equilibrio.SiseaplicaalpuntoDdelabarraunaequilibrio.SiseaplicaalpuntoDdelabarrauna fuerzaP(t)=20sen(t),determinelamximafuerzaP(t)=20sen(t),determinelamxima amplitud de la oscilacin estacionaria del bloque deamplitud de la oscilacin estacionaria del bloque de 50 N. 50 N.VII. EJEMPLOS DE APLICACINVII. EJEMPLOS DE APLICACINElbloquequepesa12NsedeslizaporElbloquequepesa12Nsedeslizapor unasuperficiesinfriccintalcomoseunasuperficiesinfriccintalcomose indicaenlafigura.Elresortetieneunaindicaenlafigura.Elresortetieneuna longitudnaturalcuandolabarraABlongitudnaturalcuandolabarraAB est vertical y BC horizontal. Las masasest vertical y BC horizontal. Las masas delasbarrassondespreciables.delasbarrassondespreciables. Suponiendopequeasoscilaciones,Suponiendopequeasoscilaciones, determine:(a)Eldominiodedetermine:(a)Eldominiode pulsacionespulsaciones paraelcualelparaelcualel movimientoangularestacionariodelamovimientoangularestacionariodela barraABesinferiorabarraABesinferiorat t5 5o o (b)La(b)La posicindelbloqueenfuncindelposicindelbloqueenfuncindel tiemposisedesplaza5cmhacialatiemposisedesplaza5cmhaciala derechaysesueltaapartirdelreposoderechaysesueltaapartirdelreposo cuando t = 0 ycuando t = 0 y = 25 rad/s. = 25 rad/s.VII. EJEMPLOS DE APLICACINVII. EJEMPLOS DE APLICACINEl motor de 3 kg descansa El motor de 3 kg descansa sobreunresorte(k=150 sobreunresorte(k=150 kN/m)yunamortiguador kN/m)yunamortiguador (c = 120 N. s/m) segn se (c = 120 N. s/m) segn se indicaenlafigura.Enel indicaenlafigura.Enel bordedelapoleadel bordedelapoleadel motor(e=25cm)est motor(e=25cm)est fija una pequea masa (m fija una pequea masa (m =0,5kg).Determinela =0,5kg).Determinela mximaamplituddela mximaamplituddela vibracin vibracinforzadaresultanteforzadaresultante del motor. del motor.VII. EJEMPLOS DE APLICACINVII. EJEMPLOS DE APLICACINLasdosmasasdelafigurasedeslizanpor Lasdosmasasdelafigurasedeslizanpor superficieshorizontaleslisas.LabarraABC superficieshorizontaleslisas.LabarraABC es de masa despreciable y est vertical en la es de masa despreciable y est vertical en la posicindeequilibrio.SialpuntoDdela posicindeequilibrio.SialpuntoDdela barraseaplicaunafuerza barraseaplicaunafuerza P(t)=[50sent] P(t)=[50sent] NN,determinelamximaamplituddela ,determinelamximaamplituddela oscilacin estacionaria del bloque de oscilacin estacionaria del bloque de 10 kg10 kg..VII. EJEMPLOS DE APLICACINVII. EJEMPLOS DE APLICACIN El sistema representado en la figura seEl sistema representado en la figura se ajustaparaqueseencuentreenajustaparaqueseencuentreen equilibrio cuando AB est horizontal yequilibrio cuando AB est horizontal y x xE E seaigualacero.LamasadelcuerpoBseaigualacero.LamasadelcuerpoB es25kg,laconstantedelresorteeses25kg,laconstantedelresortees 1200N/myelvalordelcoeficientede1200N/myelvalordelcoeficientede amortiguamientoesc=300N.s/m.Laamortiguamientoesc=300N.s/m.La posicindelpuntoEvaradeacuerdoposicindelpuntoEvaradeacuerdo conlaecuacinconlaecuacinx xE E =0,125sen5t, =0,125sen5t, dondedondex xE E yyt tseexpresanenmetrosyseexpresanenmetrosy segundos,respectivamente.Determinesegundos,respectivamente.Determine laamplituddelmovimientodeBysulaamplituddelmovimientodeBysu velocidad mxima. velocidad mxima.VII. EJEMPLOS DE APLICACINVII. EJEMPLOS DE APLICACINLos dos bloques de la figura penden,Los dos bloques de la figura penden, en un plano vertical, de una barra deen un plano vertical, de una barra de masadespreciablequeestmasadespreciablequeest horizontalenlaposicindehorizontalenlaposicinde equilibrio.Siequilibrio.Sia=15cm a=15cmyseyse suponenoscilacionesdepequeasuponenoscilacionesdepequea amplitud, determine: (a) La ecuacinamplitud, determine: (a) La ecuacin diferencialdelmovimiento;(b)Ladiferencialdelmovimiento;(b)La razndeamortiguamiento;(c)Elrazndeamortiguamiento;(c)El tipodemovimiento;(d)Elperodotipodemovimiento;(d)Elperodo delavibracinresultante(sidelavibracinresultante(si procede)y(c)Elvalordeaparaelprocede)y(c)Elvalordeaparael amortiguamiento crtico amortiguamiento crticoVII. EJEMPLOS DE APLICACINVII. EJEMPLOS DE APLICACINEl movimiento del bloque E de la figura es armnicoEl movimiento del bloque E de la figura es armnico y lo define la ecuaciny lo define la ecuacin y yE E =0,15 sen10t,=0,15 sen10t, donde donde y yE E yy t t seexpresanenmetrosysegundos,seexpresanenmetrosysegundos, respectivamente. La constante de R respectivamente. La constante de R1 1 eses 150 N/m150 N/m y lay la constantedeR constantedeR2 2 eses250N/m 250N/m.Seconsidera.Seconsidera despreciablelamasadelasbarrasquesoportanaldespreciablelamasadelasbarrasquesoportanal cuerpoWde15kg.HallelasolucinestablequecuerpoWde15kg.Hallelasolucinestableque describe el movimiento del sistema. describe el movimiento del sistema.VII. EJEMPLOS DE APLICACINVII. EJEMPLOS DE APLICACINLapoleacilndricamacizayhomogneatieneunaLapoleacilndricamacizayhomogneatieneuna masam masam1 1 yunradior.SielpuntodefijacinBestyunradior.SielpuntodefijacinBest sometidoaldesplazamientoarmnicoindicado,sometidoaldesplazamientoarmnicoindicado, escribirlaecuacindiferencialdelmovimientodelescribirlaecuacindiferencialdelmovimientodel sistemaenfuncindelavariablesistemaenfuncindelavariablex x.Lacuerdaque.Lacuerdaque enlaza la masa m enlaza la masa m2 2 al resorte superior no resbala enal resorte superior no resbala en la polea. la polea.http://abelgalois.blogspot.com/2009/07/el-universo-mecanico-mechanical.htmlhttp://abelgalois.blogspot.com/2009/07/el-universo-mecanico-mechanical.htmlhttp://video.google.es/videoplay?docid=8589231194310447773#http://video.google.es/videoplay?docid=8589231194310447773#