Vibraciones Forzadas y Amortiguadas

INSTITUTO POLITECNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica

Unidad Azcapotzalco

Ingeniera Robtica Industrial

ALUMNOMUOZ RIVERA ALONSO

PROFESORING. GERARDO VERA

ASIGNATURA Vibraciones Mecnicas TRABAJO DE INVESTIGACINVibraciones Forzadas y Amortiguadas

6RM3

Fecha: 18/04/12

INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA UNIDAD AZCAPOTZALCO

Vibraciones AmortiguadasEn anlisis vibratorio considerado hasta ahora no ha incluido el efecto de la friccin o el amortiguamiento del sistema y como resultado de ello, las soluciones obtenidas son solo una aproximacin cercana al movimiento real. Debido a que todas las vibraciones se disipan con el tiempo, la presencia de fuerzas amortiguadoras debe incluirse en el anlisis. Se dice que un sistema tiene amortiguamiento cuando posee elementos que disipan energa. Existen varios tipos de amortiguamiento: a) Amortiguamiento viscoso lo experimentan los cuerpos que se mueven con una velocidad moderada en el interior de fluidos. b) Amortiguamiento de superficies secas. Coulomb producido por el movimiento relativo de

c) Amortiguamiento estructural es producido por la friccin interna del material elstico. AMORTIGUAMIMENTO VISCOSO Este tipo de amortiguamiento se presenta en forma natural cuando sistemas mecnicos oscilan en el interior de un medio fluido. Tambin aparece en sistemas mecnicos utilizados para regular la vibracin. Este tipo de amortiguador est formado por un pistn el cual se mueve en el interior de un cilindro el cual contiene un fluido viscoso como el aceite. Al moverse el mbolo se opone el fluido el cual debe atravesar pequeos orificios practicados en el mbolo.

Vibraciones Forzadas y Amortiguadas


Para nuestro estudio vamos a utilizar los amortiguadores lineales, en este caso la fuerza de friccin debido al amortiguamiento es directamente proporcional a la velocidad lineal siendo la constante de proporcionalidad el llamado coeficiente de amortiguamiento (c). Esta fuerza se expresa:

VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS Consideremos una partcula de masa sujeta a un resorte ideal de rigidez k y a un amortiguador tal como se muestra en la figura. Si el movimiento descrito por m es vertical, la vibracin amortiguada es de un solo grado de libertad. Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene:

----(1) Si ahora se desplaza a m un desplazamiento xm menor que st desde la posicin de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial la partcula se mover describiendo una oscilacin libre amortiguada Para determinar las ecuaciones que gobiernan a la vibracin consideremos a la partcula en una posicin arbitraria x medida a partir de la posicin de equilibrio como se muestra en la figura:



Aplicando la segunda direccin x resulta:

ley

de

Newton

en

(Al remplazar resulta:

) ecuacin la

----(2)

(1)

en

(2),

----(3)

Esta ecuacin diferencial es de segundo orden lineal homognea con coeficientes constantes. Su solucin es: ----(4) Remplazando la ecuacin (4) conjuntamente con sus derivadas en la ecuacin (3) se obtiene la ecuacin caracterstica expresada por: ----(5) Las races de esta ecuacin son:

----(6)

La solucin general de la ecuacin diferencial es: ----(7)

Coeficiente de amortiguamiento crtico Es el valor del coeficiente de amortiguamiento para el cual se hace cero la cantidad subradical de la ecuacin (6), en consecuencia:



----(8)

El coeficiente de amortiguamiento crtico representa la cantidad mnima de amortiguamiento requerida para que el movimiento no sea vibratorio. Movimiento Sobreamortiguado En este caso c > ccr, entonces las dos races de la ecuacin caracterstica son reales y diferentes. Por tanto la solucin puede escribirse:

Movimiento Crticamente Amortiguado Aqu c = ccr, en este caso las dos races son iguales. La solucin general ser:

(

)

Movimiento Subamortiguado En este caso la solucin es de la forma:

(

)



El movimiento descrito por la ecuacin se dice que es peridico en el tiempo de amplitud decreciente tal como se muestra en la figura. En donde se observa que el perodo es el tiempo entre dos valles o picos.

Decremento Logartmico Es una cantidad que nos permite medir la velocidad de decaimiento de una oscilacin, se expresa como el logaritmo de la razn entre cualquier par de amplitudes sucesivas positivas (o negativas). Esto es: ( La razn de amplitudes es: ) )

(

)

El decremento logartmico es:

(

)



Vibraciones ForzadasLas seales determinanticas peridicas estudiadas anteriormente, son un caso hipottico de comportamiento de un sistema mecnico, porque ningn sistema real puede mantener el movimiento por s slo una vez que cesa la excitacin. Los sistemas mecnicos para trabajar normalmente precisan de la accin de un agente externo. Si los sistemas estn perfectamente alineados y balanceados no surgirn fuerzas excitadoras y por lo tanto no habr vibracin. Pero estas condiciones son muy difciles de lograr por lo que se establecen criterios de control de esos parmetros que dan como resultado que el sistema funcione bajo los efectos de las vibraciones forzadas. Cuando el sistema est sometido a vibraciones forzadas su respuesta ser a la frecuencia que le fue impuesta por la fuerza excitadora. Luego, es imprescindible conocer la relacin que guarda esta frecuencia con la frecuencia natural del sistema y cul es su comportamiento en esos casos.

Para obtener las caractersticas fundamentales de los sistemas con oscilaciones forzadas, inicialmente se considerar un sistema forzado sin amortiguamiento de donde sern extradas las conclusiones ms generales que servirn de base al anlisis de sistemas ms complejos. Vibraciones Forzadas no amortiguadas



Las fuerzas excitadoras pueden ser de diversa naturaleza influyendo esta caracterstica en el comportamiento del sistema sobre el cual acta. Por ejemplo, las mquinas rotatorias como las turbinas, bombas hidrulicas, etc., estn sometidas a una frecuencia de rotacin de acuerdo a su diseo. Si existe cierto desplazamiento del centro de masa respecto al centro de giro, sobre el rotor surgir una fuerza excitadora que ser proporcional a la frecuencia de rotacin. En la figura se muestra una rueda unida a un rotor con una frecuencia de rotacin igual a . En la misma, el centro de masa (b) y el centro geomtrico (a) se encuentran desplazados del centro de giro (o) entre otras causas por curvatura del eje. Esta situacin provocar que en el centro de masa surja una fuerza Fe que tratar de sacar al sistema de su posicin de equilibrio, por lo que surgir otra fuerza, en sentido contrario aplicada sobre el centro geomtrico, que tratar de retornarlo a su posicin inicial. Las condiciones a la que est sometido ese sistema pueden ser llevado al modelo simplificado de masa resorte con un grado de libertad, al que se le aade la accin de la fuerza excitadora Fe. Este modelo, el cual prescinde del amortiguamiento, permitir determinar las propiedades fundamentales de los sistemas mecnicos con vibraciones forzadas.

Aplicando la segunda ley de Newton, de la figura 2.16 se tendr lo siguiente:



de donde dividiendo por la masa del sistema se tendr:

Como se aprecia de la ecuacin (2.61) ahora estn presentes dos frecuencias, la propia del sistema y la impuesta por la fuerza excitadora. Luego, de la relacin que guarden estas frecuencias entre s depender el comportamiento del sistema bajo la accin de la fuerza excitadora

(F cos.t).0

Vibraciones forzadas amortiguadas



Para el estudio de estos sistemas ser tomado como modelo el sistema masa resorte con amortiguamiento mostrado en la figura (2.9) al que se le aplicar una fuerza externa excitadora. De esta forma la ecuacin que caracteriza el comportamiento dinmico del sistema estar dada por una ecuacin diferencial de segundo grado no homognea como sigue:

De donde se tiene que:

Donde forzadas.

es el coeficiente de amortiguamiento del sistema con vibraciones


Vibraciones Forzadas y Amortiguadas

Documents

Transcript of Vibraciones Forzadas y Amortiguadas