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Respuestas a los problemas de los Ejercicios 200425 (*) Grupo 4117 Cálculo III

(*) Capítulo 2 del texto Calculus on Manifolds por Michael Spivak, Brandais University

1.- Demuestra que si f : A ⊆ ℝn → ℝm es diferenciable en x0 ∈ intA , entonces f es continua en x0 .

R.- f : A ⊆ ℝn → ℝm es diferenciable en x0 ∈ intA , entonces existe df (x0) ( ∈ ℒ ( ℝn , ℝm ),

y existe lím x → x0 || f (x) – f (x0) - [df(x0)] (x - x0 ) ||m / || x - x0 ||n = 0 ;

ahora, dado que también existe lím x → x0 || x - x0 ||n = 0 , entonces

existe lím x → x0 || f (x) – f (x0) - [df(x0)] (x - x0 ) ||m = 0 ; esto es:

para toda ε > 0 existe δ > 0 tal que: || x - x0 ||n < δ ⇒ || f (x) – f (x0) - [df(x0)] (x - x0 ) ||m < ε .

Ahora bien, como || f (x) – f (x0) ||m - || [df(x0)] (x - x0 ) ||m ≤ || f (x) – f (x0) - [df(x0)] (x - x0 ) ||m ,

entonces || f (x) – f (x0) ||m ≤ || f (x) – f (x0) - [df(x0)] (x - x0 ) ||m + || [df(x0)] (x - x0 ) ||m ;

también sabemos que || [df(x0)] (x - x0 ) ||m ≤ || [df(x0)] ||m⨯n || (x - x0 ) ||n ,

así que, si tomamos cualquier ε > 0 , y hacemos ε’ ≡ ε /2 , y tomamos δ < ε’ || [df(x)] ||m⨯n ,

tenemos: || f (x) – f (x0) ||m ≤ || f (x) – f (x0) - [df(x0)] (x - x0 ) ||m + || [df(x0)] ||m⨯n || (x - x0 ) ||n <

< ε’ + || [df(x0)] ||m⨯n || (x - x0 ) ||n < ε’ + || [df(x0)] ||m⨯n ε’ / || [df(x0)] ||m⨯n = 2 ε’ = ε .

Recapitulando:

dada cualquier ε > 0 existe δ > 0 tal que, si || (x - x0 ) ||n < δ , entonces || f (x) – f (x0) ||m < ε ,

o bien : existe lím x → x0 f (x) = f (x0) ; i.e. f es continua en x0 .

2.- Se dice que una función f : ℝ2 → ℝ es independiente de la segunda variable si para toda x ∈ ℝ se tiene: f(x , y) = f(x , y’) para cualesquiera y, y’ ∈ ℝ . Muestra que f es independiente de la segunda variable si y sólo si existe una función g : ℝ → ℝ tal que , para toda x ∈ ℝ , se tenga: f(x , y) = g(x) para cualquier valor de y ∈ ℝ . ¿Cómo es la diferencial de f en (a, b) , df (a, b) en términos de la diferencial de g, dg ?

R.- ⇒ ) f : ℝ2 → ℝ es independiente de la segunda variable, así que, para toda x ∈ ℝ se tiene:

f(x , y) = f(x , y’) para cualesquiera y, y’ ∈ ℝ . Entonces, si hacemos g ⊂ ℝ ⨯ ℝ con

g ≡ { (x, f(x , y)) | x, y ∈ ℝ , y cualquiera } se tiene que si y cualquiera,

y si (x, f(x , y)), (x, f(x , y’)) ∈ g , entonces, como f(x , y) = f(x , y’) ; esto es, g es función.

⇐) si f : ℝ2 → ℝ , y si la relación g ≡ { (x, f(x , y)) | x, y ∈ ℝ , y cualquiera } es función,

esto es, si dados (x, f(x , y)), (x, f(x , y’)) ∈ g , forzosamente se tiene f(x , y) = f(x , y’) ,

entonces, como y, y’ son cualesquiera, por definición, f es independiente de la segunda variable.

Ahora, si siendo f : ℝ2 → ℝ , independiente de la segunda variable, y siendo g : ℝ → ℝ con

g(x) ≡ f(x , y) = f(x , y’) para todas y, y’ ∈ ℝ , y si f es diferenciable en (x0, y0) y df (x0, y0)

es la diferencial de f en (x0, y0), entonces existe

lím (x, y) → (x0, y0) | f (x, y) – f (x0, y0) - [df(x0 , y0)] ( (x, y) - (x0 , y0)) | / || (x, y) - (x0 , y0)||2 = 0 ,

o bien: lím (x, y) → (x0, y0) | g(x) – g (x0) - [df(x0 , y0)] (x - x0, y - y0) | / || (x – x0 , y - y0)||2 = 0 ;

donde [df(x0 , y0)]1⨯2 = [ D1 f(x0 , y0) , D2 f(x0 , y0) ] = [ D1 f(x0 , y0) , 0 ] , pues

D2 f(x0 , y0) = lím (x, y) → (x0, y0) | f (x0 , y) – f (x0 , y0) | / || (x0, y) - (x0 , y0)||2 = 0 ,

ya que f (x0 , y) = f (x0 , y0) ; entonces

[df(x0 , y0)] (x - x0, y - y0) = [ D1 f(x0 , y0) , 0 ] * (x – x0 , y – y0) = (D1 f(x0 , y0) ) (x – x0 )

y el límite de arriba puede escribirse:

lím x → x0 | g(x) – g (x0) - (D1 f(x0 , y0) ) (x – x0 ) | / |x – x0 | = 0 ; esto es, la diferencial de g

en x0 es la función lineal L : ℝ → ℝ con L(t) ≡ λ t para todo t ∈ ℝ , con

λ ≡ (D1 f(x0 , y0) ) = (D1 f(x0 , y’) ) = (D1 f(x0 , 0) ) .

3.- Define a una función f : ℝ2 → ℝ independiente de la primera variable, y encuentra su diferencial df (a, b) . ¿Cuáles son las funciones independientes de la primera variable y tambiénindependientes de la segunda variable?

R.- Definición: f : ℝ2 → ℝ independiente de la primera variable, ssi f(x’ , y) = f(x , y) para cualesquiera x, x’ ∈ ℝ . En este caso, análogo al del problema 2:

[df(x0 , y0)]1⨯2 = [ D1 f(x0 , y0) , D2 f(x0 , y0) ] = [ 0 , D2 f(x0 , y0) ] .

Ahora, si una función f : ℝ2 → ℝ es independiente de ambas variables, entonces D1 f(x0 , y0) = D2 f(x0 , y0) = 0 , y la función es constante.

4.- Sea g : C2 ⊂ℝ2 → ℝ , donde C2 ≡ { (x, y) ∈ ℝ2 | x2 + y2 = 1 } , el círculo unitario, tal que:g (0, 1) = g (1, 0) = 0 , y g (- (x, y)) = - g (x, y) para todo (x, y) ∈ C2 .

Sea f : ℝ2 → ℝ dada por: || (x , y) || g ( || (x , y) ||-1 (x, y) ) para (x , y) ≠ (0, 0)

f(x , y) ≡ 0 para (x , y) = (0, 0)

i) Si (x0, y0) ∈ ℝ2 , y h : ℝ → ℝ se define como h (t) ≡ f( t(x0 , y0) ) , muestra que h es diferenciable.

ii) Muestra que f no es diferenciable en (0,0), a menos que g = 0 -la función constante cero-.

Sugerencia: muestra que df (0, 0) debe ser la función constante cero considerando primero a (u,v), con u = 0, y después con v = 0 .

R.- i) h : ℝ → ℝ se define como :

|t| || (x , y) || g ( || t(x , y) ||-1 t(x, y) ) para (x , y) ≠ (0, 0) , t ≠ 0 .h (t) ≡ f( t(x0 , y0) ) ≡

0 para (x , y) = (0, 0), o t = 0

Como g ( || t(x , y) ||-1 t(x, y) ) = g (|t|-1 || (x , y) ||-1 t(x, y) ) = g (t|t|-1 || (x , y) ||-1 (x, y) )

= g ( + - || (x , y) ||-1 (x, y) ) = g (|| (x , y) ||-1 (x, y) )

pues g (- (x, y)) = - g (x, y) para todo (x, y) ∈ C2 , y |t|-1 || (x , y) ||-1 t(x, y) ∈ C2 ;

entonces

|t| || (x0 , y0) || g ( || (x0 , y0) ||-1 (x, y) ) para (x0 , y0) ≠ (0, 0) , t ≠ 0 .h (t) ≡ f( t(x0 , y0) ) ≡

0 para (x0 , y0) = (0, 0), o t = 0

por tanto: h (t) - h (t0) = f( t(x0 , y0) ) - f( t0(x0 , y0) ) =

= |t - t0| || (x0 , y0) || g ( || (x0 , y0) ||-1 (x0, y0) ) para (x0 , y0) ≠ (0, 0) ,

ó 0 , si (x0 , y0) = (0, 0) ,

y de aquí: h ( t ) - h ( t 0) = + - || (x0 , y0) || g ( || (x0 , y0) ||-1 (x0, y0) ) , t – t0

o bien: | h ( t ) - h ( t 0) - || ( x 0 , y 0) || g ( || ( x 0 , y 0) || -1 ( x 0, y 0) ) ( t – t 0 ) | = 0 | t – t0 |

y por último: lím t → t0 | h ( t ) - h ( t 0) - || ( x 0 , y 0) || g ( || ( x 0 , y 0) || -1 ( x 0, y 0) ) ( t – t 0 ) | = 0 | t – t0 |

h es diferenciable en t0 , y dh (t0) : ℝ → ℝ es

[dh (t0) ] ( s) = || (x0 , y0) || g ( || (x0 , y0) ||-1 (x0, y0) ) s para todo s ∈ ℝ ,

ii) Por otro lado: f(x , y) - f(0 , 0) = || (x , y) || g ( || (x , y) ||-1 (x , y) ) ,

y | f ( x , y ) - f (0 , 0) | = g ( || (x , y) ||-1 (x , y) ) ; || (x , y) ||

en la aproximación a (0, 0) en la dirección básica (1, 0):

| f ( x , 0) - f (0 , 0) | = g ( || (x , 0) ||-1 (x , 0) ) , y como || (x , 0) || = | x | , || (x , 0) ||

| f ( x , 0) - f (0 , 0) | = g ( | x |-1 (x , 0) ) = g ( + - 1 , 0) = 0 ; | x |

por lo cual: existe D1 f (0, 0) = lím x → 0 | f ( x , 0) - f (0 , 0) | = 0 ; | x |

análogamente: existe D2 f (0, 0) = lím y → 0 | f (0 , y) - f (0 , 0) | = 0 . | y |

Por tanto, en caso de existir, la diferencial debería estar representada por la matriz 1⨯2 :

[L]1⨯2 ≡ [ D1 f (0, 0) , D2 f (0, 0) ] = [ 0 , 0 ] , y tenerse que

lím (x, y) → (0, 0) | f ( x , y ) - f (0 , 0) - L ( x , y ) | = 0 ; esto es, que || (x , y) ||

lím (x, y) → (0, 0) g ( || (x , y) ||-1 (x , y) ) = 0 (pues L (x, y) = 0 ) ,

pero esto sólo es posible si g = 0 , pues el vector || (x , y) ||-1 (x , y) es un vector en el círculo unitario, cualquiera, independientemente de si (x, y) → (0, 0) .

5.- Sea f : ℝ2 → ℝ dada por: || (x , y) ||-1 (x | y | ) para (x , y) ≠ (0, 0)

f(x , y) ≡ 0 para (x , y) = (0, 0)

Muestra que esta función es del tipo de la del problema anterior, y que por tanto no es diferenciable en (0,0) .

R.- Se tiene: | f ( x , 0) - f (0 , 0) | = || ( x , 0) || -1 ( x | 0 | ) = 0 , || (x , 0) || || (x , 0) ||

y por tanto existe D1 f (0, 0) = lím x → 0 | f ( x , 0) - f (0 , 0) | = 0 ; | x |

y, análogamente, existe D1 f (0, 0) = lím x → 0 | f (0 , y ) - f (0 , 0) | = 0 ; | y |

de nuevo, en caso de existir, la diferencial de f en (0, 0) , ésta tendría que ser la función constante cero, y por tanto, tenerse que

lím (x, y) → (0, 0) | f ( x , y ) - f (0 , 0) - L ( x , y ) | = 0 ; esto es, que || (x , y) ||

lím (x, y) → (0, 0) | || ( x , y ) || -1 ( x | y | ) - f (0 , 0) - L ( x , y ) | = 0 , o bien: || (x , y) ||

lím (x, y) → (0, 0) | || ( x , y ) || -1 ( x | y | ) | = 0 , o bien: || (x , y) ||

lím (x, y) → (0, 0) | x y | = 0 , lo cual es falso, pues, por ejemplo, || (x , y) ||2

para x = y ≠ 0 : | x y | = x 2 = ½ , y en este caso: || (x , y) ||2 x2 + x2

lím (x, y) → (0, 0) | x y | = ½ . Por tanto, f no es diferenciable en (0, 0) . || (x , y) ||2

6.- Sea f : ℝ2 → ℝ dada por: f(x , y) ≡ √|xy| ; demuestra que f no es diferenciable en (0,0) .

R.- De nuevo: es claro que f(0, 0) = 0 , y como también f(x , 0) = f(0 , y) = 0 , entonces debe

ser claro también que f ( x , 0) - f (0 , 0) = 0 , así como || (x , 0) ||

f (0 , y ) - f (0 , 0) = 0 , por lo cual : || (0 , y) ||

existen D1 f (0, 0) = lím x → 0 f ( x , 0) - f (0 , 0) = 0 , y || (x , 0) ||

D2 f (0, 0) = lím y → 0 f (0 , y ) - f (0 , 0) = 0 , por lo cual, || (0 , y) ||

si f fuera diferenciable en (0, 0), la matriz asociada a la diferencial de f en (0, 0) debería ser:

[L]1⨯2 ≡ [ D1 f (0, 0) , D2 f (0, 0) ] = [ 0 , 0 ] , y tenerse que

lím (x, y) → (0, 0) f ( x , y ) - f (0 , 0) - L ( x , y ) = 0 , pero || (x , y) ||

f ( x , y ) - f (0 , 0) - L ( x , y ) = f ( x , y ) = √ | xy | , y de nuevo, por ejemplo, || (x , y) || || (x , y) || || (x , y) ||

si x = y ≠ 0 : √ | xy | = | x | = | x | = 1/√2 ≠ 0 ; || (x , y) || √2 x2 √2 |x|

Por lo tanto, f no es diferenciable en (0, 0).

7.- Sea f : ℝn → ℝ tal que: |f(v)| ≤ ||v||2 ; demuestra que f es diferenciable en 0 .

R.- Para empezar, se tiene: |f(0)| ≤ ||0||2 = 0 , lo que implica que |f(0)| = 0 ;

entonces: |f(v) - f(0)| = |f(v)| ≤ ||v||2 , y por tanto:

|f(v) - f(0)| / ||v|| = |f(v)| / ||v|| ≤ ||v||2 / ||v|| = ||v|| , así que

existe lím v → 0 |f(v) - f(0)| / ||v - 0 || = 0 para toda dirección v ∈ ℝn

entonces, si hacemos L ( ∈ ℒ ( ℝn , ℝ ) como: L (v ) ≡ 0 para todo v ∈ ℝn

(la función constante cero, la única constante lineal), podemos escribir:

lím v → 0 |f(v) – f(0) - L (v ) | / ||v - 0 || = 0 ; esto es, f es diferenciable en 0, y df (0) = L = 0 .

8.- Sea f : ℝ → ℝ2 ; prueba que f es diferenciable si y sólo si f1 , f2 : ℝ → ℝ lo son,

[df1 (t)]1⨯1

y que [df (t)]2⨯1 =

[df2 (t)]1⨯1

R.- ) ⇒ f : ℝ → ℝ2 es diferenciable si es diferenciable en t para todo t ∈ ℝ ; esto es, si

para todo t ∈ ℝ ; existe df (t) ( ∈ ℒ ( ℝ , ℝ2 ) tal que

existe lím h → 0 || f(t + h) – f(t) - [df (t)] (h) || | / |h| = 0

Ahora bien, como f = θ12 ◦ f1 + θ2

2 ◦ f2 , siendo θ12 , θ2

2 : ℝ → ℝ2 con

θ12 (s) ≡ (s, 0) , y θ2

2 (s) ≡ (0, s) para todo s ∈ ℝ , y f1 , f2 : ℝ → ℝ ; esto es,

f(t) = ( f1 (t) , f2 (t) ) ∈ ℝ2 para todo t ∈ ℝ ;

Por tanto, el límite arriba puede escribirse como:

lím h → 0 || ( f1 (t + h) , f2 (t + h) ) – ( f1 (t) , f2 (t) ) - [df (t)] (h) || | / |h| = 0 ,

y como df (t) : ℝ → ℝ2 , entonces también existen L1 , L2 : ℝ → ℝ lineales, con

[df (t)] (h) = (L1 (h) , L2 (h)) para todo h ∈ ℝ ;

por lo que, de nuevo, el límite de arriba se escribe:

lím h → 0 || ( f1 (t + h) , f2 (t + h) ) – ( f1 (t) , f2 (t) ) - (L1 (h) , L2 (h)) || | / |h| = 0 ,

o bien, en función de la suma de vectores en ℝ2 :

lím h → 0 || ( f1 (t + h) - f1 (t) - L1 (h) , f2 (t + h) - f2 (t) - L2 (h)) || | / |h| = 0 ,

por lo que, necesariamente, existen los límites

lím h → 0 | f1 (t + h) - f1 (t) - L1 (h)| / |h| = 0 , y lím h → 0 | f2 (t + h) - f2 (t) - L2 (h) | / |h| = 0 ,

lo que significa, respectivamente, que fi es diferenciable en t, y que dfi (t) = Li , para i {1, 2}.∈

Por último, la representación matricial de df (t), es claro que debe ser :

[df1 (t)]1⨯1

[df (t)]2⨯1 =

[df2 (t)]1⨯1

⇐) Si f : ℝ → ℝ2 , y f1 , f2 : ℝ → ℝ son diferenciables en t, siendo f = θ12 ◦ f1 + θ2

2 ◦ f2 ,

es claro que existen df1 (t) , df2 (t) : ℝ → ℝ lineales, tales que existen los límites

lím h → 0 | f1 (t + h) - f1 (t) - [df1 (t)] (h)| / |h| = 0 ,

lím h → 0 | f2 (t + h) - f2 (t) - [df2 (t)] (h) | / |h| = 0 ,

y como f(t) = ( f1 (t) , f2 (t) ) ∈ ℝ2 para todo t ∈ ℝ , entonces:

dada cualquier ε > 0 , existen δ1 , δ2 > 0 tales que, si |h| < δ1 , o |h| < δ2 , se tiene,

respectivamente, que | f1 (t + h) - f1 (t) - [df1 (t)] (h)| / |h| < ε , y

| f2 (t + h) - f2 (t) - [df2 (t)] (h) | / |h| < ε , así que, si tomamos

cualquier ε > 0 , y hacemos ε’ ≡ ε /√2 > 0 , existen δ’1 , δ’2 > 0 tales que,

si |h| < δ1 , o |h| < δ2 , se tiene,

respectivamente, que | f1 (t + h) - f1 (t) - [df1 (t)] (h)| / |h| < ε’ , y

| f2 (t + h) - f2 (t) - [df2 (t)] (h) | / |h| < ε’ , por lo que entonces, si

|h| < δ ≡ mín { δ1 , δ2 } > 0 , se tendrá

( | f1 (t + h) - f1 (t) - [df1 (t)] (h)| / |h| )2 < ε’2 ,

( | f2 (t + h) - f2 (t) - [df2 (t)] (h) | / |h| )2 < ε’2 , y por tanto:

( | f1 (t + h) - f1 (t) - [df1 (t)] (h)| / |h| )2 + ( | f2 (t + h) - f2 (t) - [df2 (t)] (h) | / |h| )2 < 2 ε’2 ,

y entonces, la raíz cuadrada de la desigualdad anterior puede escribirse como:

|| ( f1 (t + h) - f1 (t) - [df1 (t)] (h) , f2 (t + h) - f2 (t) - [df2 (t)] (h)) || | / |h| < √2 ε’ = ε

En conclusión, dada cualquier ε > 0 existe δ > 0 tal que, si |h| < δ , entonces

|| ( f1 (t + h) - f1 (t) - [df1 (t)] (h) , f2 (t + h) - f2 (t) - [df2 (t)] (h)) || | / |h| < ε ; o bien:

|| ( f1 (t + h) , f2 (t + h) ) – ( f1 (t) , f2 (t) ) - ([df1 (t)] (h) , [df2 (t)] (h)) || | / |h| < ε , o:

|| f (t + h) – f (t) - ([df1 (t)] (h) , [df2 (t)] (h)) || | / |h| < ε , o, lo que es lo mismo:

existe lím h → 0 || f (t + h) – f (t) - ([df1 (t)] (h) , [df2 (t)] (h)) || | / |h| = 0 , lo cual significa

que f es diferenciable en t, y que df (t) = θ12 ◦ df1 (t) + θ2

2 ◦ f2 (t) ; por tanto, en términos de la representación matricial de la diferencial:

[df1 (t)]1⨯1

[df (t)]2⨯1 =

[df2 (t)]1⨯1 , que es lo que se quería demostrar.

9.- Se dice de dos funciones, f, g : ℝ → ℝ , que son iguales hasta el orden n en x0 , si:

f ( x 0 + h ) - g ( x 0 + h ) existe el límite lím h→ 0 hn = 0 ;

i) muestra que una función f : ℝ → ℝ , es diferenciable en x0 , si y sólo si existe una

función g : ℝ → ℝ , de la forma g (x) ≡ a0 + a1 (x – x0) , tal que f y g son iguales hasta el

orden 1 en x0 .

ii) Si existen las derivadas D f (x0 ) , D(2) f (x0 ) , D(3) f (x0 ) , … D(n) f (x0 ) , muestra que f

y la función g : ℝ → ℝ , definida por : g (x) ≡ Σj = 0n (1/j!) D(j) f (x0 ) (x – x0)j son iguales

hasta el orden n. Nota: en la expresión de arriba, debe entenderse que D(0) f (x0 ) ≡ f (x0 ) .

Sugerencia: busca y estudia la demostración del Teorema de l’Hôpital, y úsalo para evaluar el

límite : f ( x ) - Σ j = 0n (1/ j !) D ( j ) f ( x 0 ) ( x – x 0) j

lím h→ 0 (x – x0)n

Sugerencia alternativa: usa, sucesivamente, el Teorema de Taylor, el teorema de valor medio para integrales, y la forma del residuo de Lagrange.

R.- i) f : ℝ → ℝ es diferenciable en x0 ; entonces existe L ( ∈ ℒ ( ℝ , ℝ ) tal que

existe lím h → 0 | f( x0 + h) – f (x0) - L (h) | | / |h| = 0 .

Siendo L lineal, necesariamente existe un único real λ tal que L (h) = λ h (el producto),así que el límite de arriba puede escribirse como:

lím h → 0 | f( x0 + h) – f (x0) - λ h | | / |h| = 0 .

Haciendo g : ℝ → ℝ , con g (x) ≡ a0 + a1 (x – x0) , con a0 ≡ f (x0) , y a1 ≡ λ , se tiene:

f( x0 + h) - g( x0 + h) = f( x0 + h) - (a0 + a1 ( x0 + h – x0)) = f( x0 + h) - f (x0) - λ h ,

por lo cual, en efecto:

lím h → 0 | f( x0 + h) – g( x0 + h) | | / |h| = 0 ; esto es, f y g son iguales hasta el orden 1 en x0 .

ii) Sea f : ℝ → ℝ , derivable al orden n + 1 en x0 en el intervalo abierto (a, b) ⊂ , ℝ a < b ;

esto es, existen las derivadas D f (x0 ) , D(2) f (x0 ) , D(3) f (x0 ) , … D(n+ 1) f (x0 ) , y son continuas, para x0 ∈ (a, b); entonces (teorema de Taylor): para todo x ∈ (a, b) :

f(x) = Σj = 0n (1/j!) D(j) f (x0 ) (x – x0)j + Rn (x),

siendo Rn (x) = 1/n! ∫x0x D(n+ 1) f (t ) (x-t)n dt .

Demostración.- Sea Rn : (a, b) → dada por: ℝ Rn (x) ≡ f(x) - Σj = 0n (1/j!) D(j) f (x0 ) (x – x0)j

para toda x ∈ (a, b) ; si, para x fija -de momento- se define a φ : (a, b) → como:ℝ

φ (t) ≡ Σj = 0n (1/j!) D(j) f (t ) (x – t)j ,

entonces φ (x) = f (x ) (pues se conviene en escribir D(0) f (t ) ≡ f (t ), y 00 ≡ 1 ) ,

y φ (x0) = Σj = 0n (1/j!) D(j) f (x0 ) (x – x0)j ; esto es, Rn (x) = φ (x) - φ (x0) = ∫x0

x D φ ,

-por el teorema fundamental del cálculo-, y donde D φ es continua en (a, b) .

Ahora bien: D φ (t) = D [ Σj = 0n (1/j!) D(j) f (x – Iℝ )j ] (t) ,

siendo Iℝ la función idéntica en , y ℝ x la función constante de valor x . Entonces:

D φ (t) = D [ Σj = 0n (1/j!) D(j) f (x – Iℝ )j ] (t) = D [ f + Σj = 1

n (1/j!) D(j) f (x – Iℝ )j ] (t)

= D f (t) + D [ Σj = 1n (1/j!) D(j) f (x – Iℝ )j ] (t) =

= D f (t) + Σj = 1n (1/j!) D [ D(j) f (x – Iℝ )j ] (t) =

= D f (t) + Σj = 1n (1/j!) [ (D D(j) f (t) ) ([(x – Iℝ )j ] (t) ) + D(j) f (t) (D[(x – Iℝ )j ] (t) ) ] =

(usando la Regla de Leibniz para la derivada del producto)

= D f (t) + Σj = 1n (1/j!) [ ( D(j+1) f (t) ) ([(x – Iℝ )j ] (t) ) + D(j) f (t) (j (x – Iℝ )j-1 (t) )( -1) ] =

= D f (t) + Σj = 1n [ (1/j!) ( D(j+1) f (t) ) ((x – t )j ) - D(j) f (t) (1/(j-1)!) (x – t )j-1 ] =

= D f (t) + Σj = 1n [ - D(j) f (t) (1/(j-1)!) (x – t )j-1 + (1/j!) ( D(j+1) f (t) ) ((x – t )j ) ] =

= D f (t) - D f (t) - Σj = 2n D(j) f (t) (1/(j-1)!) (x – t )j-1 + Σj = 1

n (1/j!) ( D(j+1) f (t) ) ((x – t )j ) =

= - Σj = 2n D(j) f (t) (1/(j-1)!) (x – t )j-1 + Σj = 1

n (1/j!) ( D(j+1) f (t) ) ((x – t )j ) =

= - Σj = 2n D(j) f (t) (1/(j-1)!) (x – t )j-1 + Σj = 2

n+1 (1/(j-1)!) ( D(j) f (t) ) ((x – t )j-1 ) =

= Σj = 2n+1 (1/(j-1)!) ( D(j) f (t) ) ((x – t )j-1 ) - Σj = 2

n D(j) f (t) (1/(j-1)!) (x – t )j-1 =

= 1/n! D(n+1) f (t) ) (x – t )n = D(n+1) f (t) ) (x – t )n / n!

Esto es : D φ (t) = D(n+1) f (t) ) (x – t )n / n!, y por tanto:

Rn (x) = ∫x0x D φ = ∫x0

x D φ(t) dt = ∫x0x D(n+1) f (t) ) (x – t )n / n! dt ,

que es lo que se quería demostrar; esto es (Teorema de Taylor), que

f(x) = Σj = 0n (1/j!) D(j) f (x0 ) (x – x0)j + 1/n! ∫x0

x D(n+ 1) f (t ) (x - t)n dt .

Ahora bien, si hacemos g : (a, b) → dada por: ℝ g (x) ≡ Σj = 0n (1/j!) D(j) f (x0 ) (x – x0)j ,

entonces f (x0 + h) - g (x0 + h) = 1/n! ∫x0x0 + h D(n+ 1) f (t ) ( x0 + h - t)n dt

ahora, aplicando el teorema generalizado de valor medio para integrales de Riemann

(F, G continuas en [a, b], G(x) ≥ 0 , entonces existe c ∈ (a, b) tal que ∫ab FG = F(c) ∫a

b G )

con F ≡ D(n+ 1) f , y G ≡ ( x0 + h – Iℝ)n en el esquema anterior, tenemos:

Rn (x) = 1/n! ∫x0x0 + h D(n+ 1) f (t ) ( x0 + h - t)n dt = D(n+ 1)f (c )/n! ∫x0

x0 + h ( x0 + h - t)n dt =

= D(n+ 1)f (c )/(n+1)! ( x0 + h - x0 )n+1 = D(n+ 1)f (c )/(n+1)! hn+1 (la forma de Lagrange),

por lo que, entonces:

( f (x0 + h) - g (x0 + h) ) /hn = 1/hn n! ∫x0x0 + h D(n+ 1) f (t ) ( x0 + h - t)n dt =

= (1/hn ) D(n+ 1)f (c )/(n+1)! hn+1 = h D(n+ 1)f (c )/(n+1)! , y por tanto, existe

f ( x 0 + h ) - g ( x 0 + h ) el límite lím h→ 0 hn = lím h→ 0 h D(n+ 1)f (c )/(n+1)! = 0 .

Recapitulando: f y g son iguales hasta el orden n en x0 , como había que probar.

10.- Encuentra la diferencial df (x) para las siguientes funciones:

i) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z ) ≡ xy

ii) f : ℝ3 → ℝ2 , con f (x, y, z ) ≡ ( xy , z)

iii) f : ℝ2 → ℝ , con f (x, y) ≡ sen (x sen (y))

iv) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ sen (x sen (y sen (z)))

v) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (x) exp (ln (y) z))

vi) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (x) (y + z))

vii) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (x + y) z))

viii) f : ℝ2 → ℝ , con f (x, y) ≡ sen (x y)

ix) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (sen (x y) ) cos (z) )

x) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (x + y) z))

xi) f : ℝ2 → ℝ3 , con f (x, y) ≡ ( sen (xy), sen (x sen (y)), exp (ln (x ) y) )

R.-i) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z ) ≡ xy = exp (ln (x) y)

D1f (x, y, z) = exp (ln (x) y) (y) (1/x) = xyy /x = yxy-1 ,

D2f (x, y, z) = exp (ln (x) y) (ln (x)) = ln (x) xy

D3f (x, y, z) = 0

entonces: [df (x, y, z) ]1⨯3 = [ xy, yxy-1 , 0]

ii) f : ℝ3 → ℝ2 , con f (x, y, z ) ≡ ( xy , z)

D1f1 (x, y, z) = exp (ln (x) y) (y) (1/x) = xyy /x = yxy-1 ,

D2f1 (x, y, z) = exp (ln (x) y) (ln (x)) = ln (x) xy

D3f1 (x, y, z) = 0

D1f2 (x, y, z) = 0

D2f2 (x, y, z) = 0

D3f2 (x, y, z) = 1

entonces: [df (x, y, z) ]2⨯3 = [ xy, yxy-1 , 0]

[0 , 0 , 1]


D1f (x, y) = cos (x sen (y)) sen (y) = sen (y) cos (x sen (y))

D2f (x, y) = cos (x sen (y)) x cos (y) = x cos (y) cos (x sen (y))

entonces: [df (x, y) ]1⨯2 = [ sen (y) cos (x sen (y)), x cos (y) cos (x sen (y))]


D1f (x, y, z) = sen (y sen (z)) cos (x sen (y sen (z)))

D2f (x, y, z) = x sen (z) cos (y sen (z)) cos (x sen (y sen (z)))

D3f (x, y, z) = xy cos (z) cos (y sen (z)) cos (x sen (y sen (z)))entonces:

[df (x, y, z) ]1 3⨯ = [ sen (y sen (z)) cos (x sen (y sen (z))), x sen (z) cos (y sen (z)) cos (x sen (y sen (z))), xy cos (z) cos (y sen (z)) cos (x sen (y sen (z)))]

[df (x, y, z) ]1 3⨯ = [D1f (x, y, z) , D2f (x, y, z), D3f (x, y, z) ]


D1f (x, y, z) = exp (ln (x) exp (ln (y) z)) exp (ln (y) z) (1/x) =

= exp (ln (y) z) exp (ln (x) (exp (ln (y) z) – 1)

D2f (x, y, z) = exp (ln (x) exp (ln (y) z)) ln (x) exp (ln (y) z) (z) (1/y) =

= exp (ln (x) exp (ln (y) z)) ln (x) exp (ln (y) (z -1)) (z)

D3f (x, y, z) = exp (ln (x) exp (ln (y) z)) ln (x) exp (ln (y) z) ln (y).

[df (x, y, z) ]1 3⨯ = [D1f (x, y, z) , D2f (x, y, z), D3f (x, y, z) ]

vi) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (x) (y + z)) = x(y + z)

D1 f (x, y, z) = exp (ln (x) (y + z)) (y + z) (1/x) = (y + z) exp (ln (x) (y + z -1)) = = (y + z) x(y + z -1)

D2 f (x, y, z) = exp (ln (x) (y + z)) ln (x) = ln (x) x(y + z)

D3 f (x, y, z) = exp (ln (x) (y + z)) ln (x) = ln (x) x(y + z)

por tanto: [df (x, y, z) ]1 3⨯ = [(y + z) x(y + z -1) , ln (x) x(y + z) , ln (x) x(y + z) ]

vii) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (x + y) z)) = (x + y) z

D1 f (x, y, z) = exp (ln (x + y) z)) (z) (1/(x + y)) = z (x + y) z-1

D2 f (x, y, z) = exp (ln (x + y) z)) (z) (1/(x + y)) = z (x + y) z-1

D3 f (x, y, z) = exp (ln (x + y) z)) ln (x + y) = ln (x + y) (x + y) z

por tanto: [df (x, y, z) ]1 3⨯ = [z (x + y) z-1 , z (x + y) z-1, ln (x + y) (x + y) z ]


D1 f (x, y) = cos (x y) (y) = y cos (xy)

D2 f (x, y) = cos (x y) (x) = x cos (xy)

por tanto: [df (x, y) ]1 2⨯ = [y cos (xy) , x cos (xy) ]

ix) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (sen (x y) ) cos (z) ) = (sen (x y))cos (z)

D1 f (x, y, z) = exp (ln (sen (x y) ) cos (z) ) cos (z) (1/sen (x y)) cos (x y) (y) = = y cos (z) cos (x y) (sen (x y))cos (z)-1

D2 f (x, y, z) = exp (ln (sen (x y) ) cos (z) ) cos (z) (1/sen (x y)) cos (x y) (x) = = x cos (z) cos (x y) (sen (x y))cos (z)-1

D3 f (x, y, z) = exp (ln (sen (x y) ) cos (z) ) ln (sen (x y) ) (-sen (z)) =

= -sen (z) ln (sen (x y) ) (sen (x y))cos (z)

por tanto: [df (x, y, z) ]1 3⨯ = [D1 f (x, y, z) , D2 f (x, y, z) , D3 f (x, y, z) ]

x) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (x + y) z)) = (x + y)z

D1 f (x, y, z) = exp (ln (x + y) z)) (z) (1/(x + y)) = z(x + y)z-1

D2 f (x, y, z) = exp (ln (x + y) z)) (z) (1/(x + y)) = z(x + y)z-1

D3 f (x, y, z) = exp (ln (x + y) z)) ln (x + y) = ln (x + y) (x + y)z

por tanto: [df (x, y, z) ]1 3⨯ = [z(x + y)z-1 , z(x + y)z-1, ln (x + y) (x + y)z ]

xi) f : ℝ2 → ℝ3 , con f (x, y) ≡ ( sen (xy), sen (x sen (y)), exp (ln (x ) y) ) =

= ( sen (xy), sen (x sen (y)), xy ) ;

D1 f1 (x, y) = y cos (xy) D2 f1 (x, y) = x cos (xy)

[df (x, y) ]3 2⨯ = D1 f2 (x, y) = sen(y) cos (x sen (y)) D2 f2 (x, y) = x cos (x sen (y)) cos(y)

D1 f3 (x, y) = y xy-1 D2 f3 (x, y) = ln (x ) xy

11.- Encuentra df (v) para las siguientes funciones, donde g : ℝ → ℝ , continua.

i) f : ℝ2 → ℝ , con f (x, y) ≡ ∫ax+y g v = (x, y)

D1 f (x, y) = g (x+y) – g(a) D2 f (x, y) = g (x+y) – g(a)

[df (x, y) ]1 2⨯ = [g (x+y) – g(a) , g (x+y) – g(a)]

ii) f : ℝ2 → ℝ , con f (x, y) ≡ ∫axy g v = (x, y)

D1 f (x, y) = y (g (xy) – g(a)) D2 f (x, y) = x (g (xy) – g(a))

[df (x, y) ]1 2⨯ = [y (g (xy) – g(a)) , x (g (xy) – g(a)) ]

iii) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ ∫xysen (x sen (y sen (z))) g v = (x, y, z)

D1 f (x, y, z) = (g(sen (x sen (y sen (z)))) – g(xy)) (Dg(sen (x sen (y sen (z))) sen (y sen (z)) cos (x sen (y sen (z)) – y Dg(xy))

D2 f (x, y, z) = (g(sen (x sen (y sen (z)))) – g(xy)) (Dg(sen (x sen (y sen (z))) sen (z) cos(y sen (z) cos (x sen (y sen (z)) – x Dg(xy))

D3 f (x, y, z) = (g(sen (x sen (y sen (z)))) – g(xy)) (Dg(sen (x sen (y sen (z))) cos (x sen (y sen (z)) (x cos (y sen (z))) (y cos(z)))

[df (x, y, z) ]1 3⨯ = [D1 f (x, y, z) , D2 f (x, y, z) , D3 f (x, y, z) ]

12.- Una función f : ℝn × ℝm → ℝp es bilineal, si para cualesquiera v, x, x’ ∈ ℝn ,

w, y, y’ ∈ ℝm , y r ∈ ℝ , se tiene:

f (r v , w) = f (v , r w) = r f (v , w)

f (x + x’ , y) = f (x , y) + f ( x’ , y)

f (x , y + y’) = f (x , y ) + f (x , y’)

i) Prueba que si f es bilineal, entonces existe el límite:

lím (h, k)→ (0, 0) || f ( h , k ) || p = 0 ; || (h, k) ||n+m

R.- f : ℝn × ℝm → ℝp bilineal, entonces, si (h, k) = ( Σj = 1n hj δj

n , Σi = 1m ki δi

m ) (en términos de las bases canónicas en ℝn y ℝm , respectivamente) , se tiene:

f (h, k) = f (Σj = 1n hj δj

n , k) = Σj = 1n hj f (δj

n , k) = Σj = 1n hj f (δj

n , Σi = 1m ki δi

m ) =

= Σj = 1n hj (Σi = 1

m ki f (δjn , δi

m )) = Σj = 1n Σi = 1

m hj ki f (δjn , δi

m ) ; así que:

|| f (h, k) ||p = || Σj = 1n Σi = 1

m hj ki f (δjn , δi

m ) ||p ≤ Σj = 1n Σi = 1

m | hj ki | || f (δjn , δi

m ) ||p =

= Σj = 1n Σi = 1

m | hj | |ki | || f (δjn , δi

m ) ||p ≤ Σj = 1n Σi = 1

m || (h, k) ||2n+m || f (δjn , δi

m ) ||p =

= nm || (h, k) ||2n+m || f (δjn , δi

m ) ||p , por lo que

0 ≤ || f ( h , k ) || p ≤ nm || ( h , k ) || 2 n+m || f ( δ jn , δ i

m ) || p = nm || (h, k) ||n+m || f (δjn , δi

m ) ||p , || (h, k) ||n+m | hj |, | ki |

y como existen lím (h, k)→ (0, 0) 0 = 0 , y lím (h, k)→ (0, 0) nm || (h, k) ||n+m || f (δjn , δi

m ) ||p = 0,

se concluye que existe lím (h, k)→ (0, 0) || f ( h , k ) || p = 0 ; || (h, k) ||n+m

ii) Prueba que si f es bilineal, entonces es diferenciable, y que :

[df (x, y)] (a, b) = f (x, b) + f (a, y)

R.- Dada f : ℝn × ℝm → ℝp bilineal, entonces: dados (x, y) , (u, v) ∈ ℝn × ℝm , h ∈ ℝ,

se tiene: f ((x, y) + h (u, v)) - f (x, y) = f (x + hu, y + hv) - f (x, y) =

= f (x, y) + f (x, hv) + f (hu, y) + f (hu, hv) - f (x, y) = f (x, hv) + f (hu, y) + f (hu, hv) =

= h f (x, v) + h f (u, y) + h2 f (u, v) = h ( f (x, v) + f (u, y) + h f (u, v) ) , así que,

(1/h) ( f ((x, y) + h (u, v)) - f (x, y) ) = ( f (x, v) + f (u, y) + h f (u, v) ) ; entonces

existe lím h→ 0 (1/h) ( f ((x, y) + h (u, v)) - f (x, y) ) =

= lím h→ 0 ( f (x, v) + f (u, y) + h f (u, v) ) = f (x, v) + f (u, y) ;

esto es, existe la derivada direccional D(u, v) f (x, y) de f en (x, y), en la dirección (u, v),

para toda dirección (u, v) ∈ ℝn × ℝm , y D(u, v) f (x, y) = f (x, v) + f (u, y) ,

y además es continua, pues f lo es (*); entonces (teorema) f es -continuamente- diferenciable en (x, y), y falta verificar que su diferencial tenga la forma propuesta:

entonces : || f (x + h, y + k) - f (x, y) - ( f (x, k) + f (h, y)) ||p =

= || f (x , y) + f (x , k) + f (h, y ) + f (h, k) - f (x, y) - f (x, k) - f (h, y) ||p =

= || f (h, k) ||p , así que , como existe el límite (inciso i)), se tiene:

lím (h, k)→ (0, 0) || f ( x + h , y + k ) - f ( x , y ) - ( f ( x , k ) + f ( h , y )) || p = lím (h, k)→ (0, 0) || f ( h , k ) || p = 0; || (h, k) ||n+m || (h, k) ||n+m

esto es, f es diferenciable (continuamente), y [df (x, y)] (a, b) = f (x, b) + f (a, y)

para todo (x, y), (a, b) ∈ ℝn × ℝm .

iii) Muestra que la Regla de Leibniz -la fórmula de la derivada de un producto para funciones reales de variable reales un caso particular de la igualdad anterior.

R.- La Regla de Leibniz establece (teorema) que, si f, g : C ⊆ ℝ → son derivables en ℝ x0 ∈ int C, entonces la función producto f g: C ⊆ ℝ → ℝ dada por fg (x) ≡ (f(x))(g (x)) para toda x ∈ C, es derivable en x0 , y D [fg ] (x) = Df (x) g (x) + f (x) Dg (x).

Bueno, consideremos entonces a los espacios vectoriales (*)

𝒟 ≡ { F : DomF ⊆ ℝ → | F derivable en ℝ int DomF }

y 𝒞(0) ≡ { F : DomF ⊆ ℝ → | F continua en ℝ DomF }

(*) si los interiores de los dominios coinciden, la suma de derivables es derivable, y el producto por un escalar es derivable; si los dominios coinciden, la suma de continuas es continua, y el producto por un escalar es continua.

Entonces, pueden definirse a los operadores D : 𝒟 → 𝒞(0) donde DF es la función derivada de F ,y Ṗ : 𝒟 × 𝒟 → 𝒟 , donde Ṗ (F, G) ≡ FG es el producto de las funciones F con G .

Se tiene: la composición D ∘ Ṗ : 𝒟 × 𝒟 → 𝒞(0) es bilineal. Demostremos esto:

Sean F: DomF ⊆ ℝ → ℝ , G: DomG ⊆ ℝ → , con ℝ DomF ⋂ DomG ≠ ∅ ; entonces:

D ∘ Ṗ (F , G ) = D ( Ṗ (F , G ) ) = D ( F G ) = DF G + DG F

13.- Se ha definido el producto interno en ℝn como la función

< , > : ℝn × ℝn → ℝ definida por: <x , y> ≡ < , > (x, y) ≡ Σj = 0n xjyj ;

i) Encuentra la diferencial d < , > (x, y) ∈ ( ℒ ( ℝn+n , ℝ ) , y su matriz asociada.

R.- Es claro que el producto interno es una función bilineal, así que, con base en el resultado delproblema 12, ii), la diferencial de < , > es:

[d < , > (x, y) ] (a, b) = < x , b > + < a , y >

ii) Si f , g : ℝ → ℝn , son diferenciables, y definimos a h : ℝ → ℝ como:

h (t) ≡ <f (t) , g (t)> para t ∈ ℝ ; muestra que :

D h ( a ) = <D f (a) , g (a)> + <f (a) , D g (a)>

R.- Si hacemos Θi , Θd : ℝn → ℝn × ℝn como:

Θi (x) ≡ (x , 0 ) , Θd (x) ≡ (0 , x ) ∈ ℝn × ℝn para todo x ∈ ℝn , entonces:

h = < , > (∘ Θi ∘ f + Θd ∘ g ) ,

y como sabemos que [df(t)] (s) = s D f (t) , [dg(t)] (s) = s D g (t) ; esto es: (la diferencial es la función lineal que multiplica al real s por el vector constante la derivada de la función)

df(t) = Iℝ D f ( t ) , dg(t) = Iℝ D g ( t )

y como Θi , Θd son lineales, tenemos, usando la regla de la cadena:

dh (t) = d [< , > (∘ Θi ∘ f + Θd ∘ g ) ] (t) =

= [d < , > (f(t) , g(t))] [d [ ∘ Θi ∘ f] (t) + d [ Θd ∘ g] (t) ] =

= [d < , > (f(t) , g(t))] [d [ ∘ Θi (f (t))] ∘ [df(t)] + d [ Θd (g (t))] ∘ [dg(t)] ] =

= [d < , > (f(t) , g(t))] [∘ Θi ∘ [df(t)] + Θd ∘ [dg(t)] ] =

= [d < , > (f(t) , g(t))] [∘ Θi ∘ Iℝ D f ( t ) + Θd ∘ Iℝ D g ( t ) ] =

Entonces: [dh (t) ] (s) = [d < , > (f(t) , g(t))] [∘ Θi ∘ Iℝ D f ( t ) + Θd ∘ Iℝ D g ( t ) ] (s) == [d < , > (f(t) , g(t))] (s D f (t) , s D g (t) ) =

= <f(t) , s D g (t) > + < s D f (t), g(t)> = s <f(t) , D g (t) > + s < D f (t), g(t)> =

= s (<f(t) , D g (t) > + < D f (t), g(t)> )

Recapitulando: [dh (t) ] (s) = s (<f(t) , D g (t) > + < D f (t), g(t)> ) , por lo cual:

D h (t) = <f(t) , D g (t) > + < D f (t), g(t)> , que es lo que se quería demostrar.(recordando que, en el caso de funciones ℝ → , la diferencial es multiplicar por la derivada)ℝ

pues [d < , > (x, y) ] (a, b) = < x , b > + < a , y > .

iii) Si f : ℝ → ℝn , es diferenciable, y || f (t) ||n = 1 para todo t ∈ ℝ ,

muestra que <D f (t) , f (t)> = 0

R.- Sabemos que la norma en ℝn , || ||n : ℝn → ℝ+0 se ha definido como

|| v ||n ≡ √(Σj = 1n vj

2) = √<v , v > , así que || v ||n2 = < v , v > ;

por tanto, si f : ℝ → ℝn , es diferenciable, y || f (t) ||n = 1 para todo t ∈ ℝ ,

entonces , como || f (t) ||n2 = < f (t) , f (t) > = 1 para todo t ∈ ℝ , tendremos:

< f (t) , f (t) > = [< , > (∘ Θi ∘ f + Θd ∘ f )] (t) = 1 para todo t ∈ ℝ , o bien:

< , > (∘ Θi ∘ f + Θd ∘ f ) = 1 la función constante “uno” ;

por último, entonces, del resultado en 13. ii) :

D [< , > (∘ Θi ∘ f + Θd ∘ f )] (t) = <f(t) , Df (t) > + < Df (t) , f(t)> = D1 (t) = 0

para todo t ∈ ℝ , y como < , > es simétrico, la expresión de arriba dice:

2 < Df (t) , f(t)> = D1 (t) = 0 , y por fin: < Df (t) , f(t)> = 0 para todo t ∈ ℝ .

iv) Exhibe una función diferenciable f : ℝ → ℝ , tal que | f | no sea diferenciable.

Nota: | f | es la función valor absoluto del valor de f .

R.- La función Iℝ -la identidad en ℝ – es derivable en todo ℝ , pero | Iℝ | no lo es en x = 0 ;

La función sen es derivable en todo ℝ , pero |sen| no lo es en x = n π ;

14.- Dados números naturales n1, n2 , … , nk , … , nK , con K ∈ ℕ , y poniendo

Ek ≡ ℝ × ℝ × …. × ℝ , nk veces para cada k { 1, 2, … ∈ K } ,

y haciendo E ≡ E1 × E2 × , … × Ek × … × EK el producto cartesiano de K

espacios, cada uno de los cuales de dimensión n1, n2 , … , nk , … , nK , respectivamente,

decimos que una función F : E → ℝn , es multilineal ssi dada cualquier k { 1, 2, … ∈ K } ,

y dados arbitrarios -pero fijos- xj ∈ Ej para todo j { 1, 2, … ∈ K } con j ≠ k , se tiene

que la función Φ : Ek → ℝn , definida por : Φ (x) ≡ F (x1, x2, … xk-1, x , xk+1, … , xK) para

toda x ∈ Ek , es lineal.

i) Si F : E → ℝn es multilineal , y j ≠ k , muestra que, para h ≡ (h1, h2, … , hK) ∈ E

( con al ∈ El fijos, para l { 1, 2, … ∈ K } , con l ≠ j , k ) , se tiene:

lím h→ 0 || F ( a 1, …, h j , … , h k , ... , a K) ||n = 0 ; || h ||N

Sugerencia: nota que la función G : Ej × Ek → ℝn , dada por

G ( hj , hk ) ≡ F (a1, …, hj , … , hk , ... , aK) es bilineal.

R.- El problema es muy claro: F es lineal en cada una de sus variables, así que, quedando fijas todas menos dos cualesquiera de ellas, la función resultante es claramente bilineal y, por tanto, dicho límite es el mismo que el ya demostrado en 12. i) , pues es claro que hj , hk → 0 , 0 cuando h→ 0 . La demostración del siguiente inciso sí amerita una prueba, aúnsiendo análoga a la ya dada en 12. ii).

ii) Prueba que [d F (v1, …, vK) ] (x1, …, xK) = Σk = 1K F (v1, …, vk-1 , xk , vk+1… , vK)

R.- Veamos primero cómo es la diferencia F (v1 + h1, …, vK+ hK) - F (v1, …, vK) :

F (v1 + h1, …, vK+ hK) - F (v1, …, vK) =

= F (v1 , v2 + h2, …, vK+ hK) + F ( h1, v2 + h2, …, vK+ hK) - F (v1, …, vK) =

= F (v1 , v2 , …, vK+ hK) + F (v1 , h2, …, vK+ hK) +

+ F ( h1, v2 , …, vK+ hK) + F ( h1, h2, …, vK+ hK) - F (v1, …, vK) =

= F (v1 , v2 , v3+ h3, …, vK+ hK) + F (v1 , h2, v3+ h3, …, vK+ hK) +

+ F ( h1, v2 , v3+ h3, …, vK+ hK) + F ( h1, h2, v3+ h3, …, vK+ hK) - F (v1, …, vK) =

= F (v1 , v2 , v3 , …, vK+ hK) + F (v1 , v2 , h3, …, vK+ hK) +

+ F (v1 , h2, v3 , …, vK+ hK) + F (v1 , h2, h3, …, vK+ hK) +

+ F ( h1, v2 , v3 , …, vK+ hK) + F ( h1, v2 , h3, …, vK+ hK) +

+ F ( h1, h2, v3 , …, vK+ hK) + F ( h1, h2, h3, …, vK+ hK) - F (v1, …, vK) =

= F (v1 , v2 , v3 , v4+ h4 , …, vK+ hK) + F (v1 , v2 , h3, v4+ h4 , …, vK+ hK) +

+ F (v1 , h2, v3 , v4+ h4 , …, vK+ hK) + F (v1 , h2, h3, v4+ h4 , …, vK+ hK) +

+ F ( h1, v2 , v3 , v4+ h4 , …, vK+ hK) + F ( h1, v2 , h3, v4+ h4 , …, vK+ hK) +

+ F ( h1, h2, v3 , v4+ h4 , …, vK+ hK) + F ( h1, h2, h3, v4+ h4 , …, vK+ hK) - F (v1, …, vK) =

… etc.

= F (v1 , v2 , v3 , …, vK) + …. + F ( h1, h2, h3, …, hK) - F (v1, …, vK) ;

se trata de 2K + 1 términos, siendo el último el término negativo - F (v1, …, vK) ,

mientras que los 2K son todas las posibles combinaciones de ocupar de 2 maneras distintas K

lugares, desde todos v -y cero h-, hasta cero v y todos h . El primer elemento se cancela con el

último, y los restantes tienen al menos una h (una h y K-1 v, o dos h y K-2 v, etc, hasta K h y

cero v) .

Ahora bien, al restar el término propuesto (Σk = 1K F (v1, …, vk-1 , hk , vk+1, … , vK)), es decir, los K

términos que contienen una h y K-1 v , quedan los términos que contienen dos o más h ; por

último, como ya se ha hecho ver, el límite de cada una de estas expresiones -esto es, de los

términos de la forma || F (v1, …, hj , … , hk , ... , vK)||n - divididos por || h ||N cuando h→ 0

es cero esto es, en efecto, la diferencial de F en (v1, … , vK) es la función lineal :

Σk = 1K F ∘ (v1, …, vk-1 , Θk ∘ Πk , vk+1, … , vK) : E → ℝn , donde

Πk : E → Ek , con Πk (x1, … , xK) ≡ xk la proyección k-ésima,

Θk : Ek → E , con Θk (xk) ≡ (01, …, 0k-1 , xk, 0k+1, … , 0K)) la inyección k-ésima,

vk : E → Ek , con vk (x1, … , xK) ≡ vk la función constante, para todo k { 1, 2, … ∈ K } .

15.- Considera a una matriz de n × n como un elemento del espacio de n2 dimensiones

ℝn × ℝn × …. × ℝn , n veces , con cada renglón como un elemento de ℝn ;

i) Prueba que la función determinante, det : ℝn × ℝn × …. × ℝn → ℝ , es diferenciable, y que

v1

.[d det (v1, …, vn) ] (x1, …, xn) = Σj = 1

n det xj

.vn

ii) Sean φij : ℝ → ℝ derivables, para i , j { 1, 2, … ∈ n } (n2 funciones derivables) , y sea

f : ℝ → ℝ definida por :

φ11 (t) φ12 (t) … φ1j (t) … φ1n (t) φ21 (t) φ22 (t) … φ2j (t) … φ2n (t) … … …

f (t ) ≡ det φi1 (t) φi2 (t) … φij (t) … φin (t) = det [ φij (t) ]n×n

… … …φn1 (t) φn2 (t) … φnj (t) … φnn (t)

Prueba que f es derivable, y que

φ11 (t) φ12 (t) … φ1j (t) … φ1n (t) φ21 (t) φ22 (t) … φ2j (t) … φ2n (t) … … …

D f (t ) = Σi = 1n det Dφi1 (t) Dφi2 (t) … Dφij (t) … Dφin (t)

… … … ;φn1 (t) φn2 (t) … φnj (t) … φnn (t)

iii) Si det [ φij (t) ]n×n ≠ 0 para todo t ∈ ℝ ; si g1, g2, …, gi ... , gn : ℝ → ℝ son

derivables, para i { 1, 2, … ∈ n } ; y si s1, s2, …, sj ... , sn : ℝ → ℝ son funciones solución del

sistema de ecuaciones: Σj = 1n φij (t) sj (t) = gi (t) para todo i { 1, 2, … ∈ n } ;

entonces: demuestra que sj es derivable , y encuentra D sj (t) para todo i { 1, 2, … ∈ n } .

i) Prueba que la función determinante, det : ℝn × ℝn × …. × ℝn → ℝ , es diferenciable, y que

v1

.[d det (v1, …, vn) ] (x1, …, xn) = Σj = 1

n det xj

.vn

R.- En primer lugar, mostremos que detn es multilineal; esto se puede hacer por inducción sobre la dimensión del espacio, n:

n = 1 : es claro que este caso -en cierto sentido vacuo- cumple el aserto, pues,

para la matriz [a11] se tiene: det1 [a11] ≡ a11 (la función identidad) , por lo cual:

det1 [a11 + b11] = a11 + b11 = det1 [a11] + det1 [b11] , y también: det1 [λ a11 ] = λ a11 = λ det1 [a11];

esto es, det1 es lineal .

n = 2 : en este caso, se tiene: det2 [a11 a12] [a21 a22] ≡ a11 a22 - a21 a12 , así que

det2 [a11 + b11 a12 + b12] [ a21 a22 ] = ( a11 + b11 ) a22 - a21 (a12 + b12) =

= ( a11 a22 + b11 a22 ) - ( a21 a12 + a21 b12) =

= ( a11 a22 - a21 a12 ) + (b11 a22 - a21 b12) =

det2 [a11 a12 ] det2 [b11 b12] [a21 a22 ] + [a21 a22] ; también:

det2 [λ a11 λ a12] [a21 a22] = λ a11 a22 - a21 λ a12 = λ a11 a22 - λ a21 a12 =

= λ (a11 a22 - a21 a12 ) =

= λ det2 [a11 a12] [a21 a22] ; por tanto, det2 es lineal en su primera variable (primer renglón) ;

En cuanto a la segunda variable (segundo renglón), se tiene:

det2 [a11 a12 ] [ a21 + b21 a22 + b22 ] = a11 ( a22 + b22 ) - (a21 + b21 ) a12 =

= ( a11 a22 + a11 b22 ) - ( a21 a12 + b21 a12) =

= ( a11 a22 - a21 a12 ) + (a11 b22 - b21 a12) =

det2 [a11 a12 ] det2 [a11 a12] [a21 a22 ] + [b21 b22] ; también:

det2 [a11 a12] [λ a21 λ a22] = a11 λ a22 - λ a21 a12 = λ a11 a22 - λ a21 a12 =

= λ (a11 a22 - a21 a12 ) =

= λ det2 [a11 a12] [a21 a22] ; por tanto, det2 es lineal en su segunda variable;

En conclusión: det2 es bilineal.

n = 3 : en este caso, se tiene: [a11 a12 a13] det3 [a21 a22 a23] ≡

[a31 a32 a33]

≡ a11 det2 [a22 a23] - a21 det2 [a12 a13] + a31 det2 [a12 a13] [a32 a33] [a32 a33] [a22 a23] ; entonces:

para el primer renglón - primera variable de det3 -, se tiene:

[a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 ] det3 [a21 a22 a23 ] =

[a31 a32 a33 ]

= ( a11 + b11 ) det2 [a22 a23] - a21 det2 [a12 + b12 a13 + b13 ] + a31 det2 [a12 + b12 a13 + b13 ] [a32 a33] [ a32 a33 ] [ a22 a23 ] =

= a11 det2 [a22 a23] + b11 det2 [a22 a23] [a32 a33] [a32 a33 ] -

- a21 det2 [a12 a13 ] - a21 det2 [ b12 b13 ] [a32 a33 ] [a32 a33 ] +

+ a31 det2 [a12 a13 ] + a31 det2 [ b12 b13 ] [a22 a23 ] [a22 a23 ] = (aplicando la bilinealidad de det2 )

= a11 det2 [a22 a23] - a21 det2 [a12 a13 ] + a31 det2 [a12 a13 ] [a32 a33] [a32 a33 ] [a22 a23 ] +

+ b11 det2 [a22 a23] - a21 det2 [ b12 b13 ] + a31 det2 [ b12 b13 ] [a32 a33 ] [a32 a33 ] [a22 a23 ] =

= [a11 a12 a13] [b11 b12 b13] det3 [a21 a22 a23] + det3 [a21 a22 a23]

[a31 a32 a33] [a31 a32 a33] ; también:

[ λ a11 λ a12 λ a13] det3 [ a21 a22 a23 ] =

[ a31 a32 a33 ]

= λ a11 det2 [a22 a23] - a21 det2 [λ a11 λ a13] + a31 det2 [λ a11 λ a13] [a32 a33] [a32 a33] [a22 a23] =

= λ a11 det2 [a22 a23] - λ a21 det2 [ a11 a13] + λ a31 det2 [a11 a13] [a32 a33] [a32 a33] [a22 a23] =

= λ ( a11 det2 [a22 a23] - a21 det2 [ a11 a13] + a31 det2 [a11 a13] [a32 a33] [a32 a33] [a22 a23] ) =

[ a11 a12 a13] λ det3 [ a21 a22 a23 ] =

[ a31 a32 a33 ]

( habiendo usado la bilinealidad de det2 )

para el segundo renglón - segunda variable de det3 -, se tiene:

[a11 a12 a13 ] det3 [a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 ] =

[a31 a32 a33 ]

= a11 det2 [a22 + b22 a23 + b23] - (a21 + b21) det2 [a12 a13 ] + a31 det2 [ a12 a13 ] [ a32 a33 ] [ a32 a33 ] [ a22 + b22 a23 + b23 ]

= a11 det2 [a22 a23] + a11 det2 [b22 b23] [a32 a33] [a32 a33 ] -

- a21 det2 [a12 a13 ] - b21 det2 [ a12 a13 ] [a32 a33 ] [a32 a33 ] +

+ a31 det2 [a12 a13 ] + a31 det2 [ a12 a13 ] [a22 a23 ] [b22 b23 ] = (aplicando la bilinealidad de det2 )


+ a11 det2 [b22 b23] - b21 det2 [ a12 a13 ] + a31 det2 [ a12 a13 ] [a32 a33 ] [a32 a33 ] [b22 b23 ] =

= [a11 a12 a13] [a11 a12 a13] det3 [a21 a22 a23] + det3 [b21 b22 b23]

[a31 a32 a33] [a31 a32 a33] ; también:

[ a11 a12 a13] det3 [ λ a21 λ a22 λ a23 ] =

[ a31 a32 a33 ]

= a11 det2 [λ a22 λ a23] - λ a21 det2 [a11 a13] + a31 det2 [ a11 a13] [ a32 a33 ] [a32 a33] [λ a22 λ a23] =


= λ ( a11 det2 [a22 a23] - a21 det2 [ a11 a13] + a31 det2 [a11 a13] [a32 a33] [a32 a33] [a22 a23] ) =

[ a11 a12 a13] λ det3 [ a21 a22 a23 ] =

[ a31 a32 a33 ]

( habiendo usado la bilinealidad de det2 )

para el tercer renglón - tercera variable de det3 -, se tiene:

[ a11 a12 a13 ] det3 [ a21 a22 a23 ] =

[a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 ]

= a11 det2 [ a22 a23 ] - a21 det2 [a12 a13 ] + (a31 + b31 ) det2 [ a12 a13 ] [ a32 + b32 a33 + b33 ] [ a32 + b32 a33 + b33 ] [ a22 a23 ]

= a11 det2 [a22 a23] + a11 det2 [a22 a23] [a32 a33] [b32 b33 ] -

- a21 det2 [a12 a13 ] - a21 det2 [ a12 a13 ] [a32 a33 ] [b32 b33 ] +

+ a31 det2 [a12 a13 ] + b31 det2 [ a12 a13 ] [a22 a23 ] [a22 a23 ] = (aplicando la bilinealidad de det2 )


+ a11 det2 [a22 a23] - a21 det2 [ a12 a13 ] + b31 det2 [ a12 a13 ] [b32 b33 ] [b32 b33 ] [a22 a23 ] =

= [a11 a12 a13] [a11 a12 a13] det3 [a21 a22 a23] + det3 [a21 a22 a23]

[a31 a32 a33] [b31 b32 b33] ; también:

[ a11 a12 a13 ] det3 [ a21 a22 a23 ] =

[ λ a31 λ a32 λ a33 ]

= a11 det2 [ a22 a23] - a21 det2 [ a11 a13 ] + λ a31 det2 [ a11 a13] [ λ a32 λ a33 ] [λ a32 λ a33] [ a22 a23] =


= λ ( a11 det2 [a22 a23] - a21 det2 [a11 a13 ] + a31 det2 [a11 a13] [a32 a33] [a32 a33] [a22 a23] ) =

[ a11 a12 a13] λ det3 [ a21 a22 a23 ] ;

[ a31 a32 a33 ]

( habiendo usado la bilinealidad de det2 )por tanto, det3 es trilineal.

Hipótesis de inducción:

[ a11 a12 . . . a1j . . . a1n] [ a21 a22 . . . a2j . . . a2n] [ . . . . . . . . . ]

detn [ ai1 ai2 . . . aij . . . ain] [ . . . . . . . . . ]

[ an1 an2 . . . anj . . . ann] ≡ Σi = 1n (-1) (i+1) ai1 detn-1 Ai , donde

[ a12 . . . a1j . . . a1n] [ a22 . . . a2j . . . a2n]

[ . . . . . . . . . ] Ai ≡ [ai-12 . . . ai-1j . . ai-1n]

[ai+12 . . . ai+1j . . ai+1n] [ . . . . . . . . . ]

[ an2 . . . anj . . . ann]

para i { 1, 2, … ∈ n } ; entonces, bajo la hipótesis de que detn-1 es multilineal, tendremos que, para la i-ésima variable de detn :

[ a11 a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a21 a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . . . . ]

detn [ ai1 + bi1 ai2 + bi2 . . . aij + bij . . . ain + bin] = [ . . . . . . . . . ]

[ an1 an2 . . . anj . . . ann ]

[ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

= a11 detn-1 [ ai2 + bi2 . . . aij + bij . . . ain + bin] + [ . . . . . . ]

[ an2 . . . anj . . . ann ]

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a32 . . . a3j . . . a3n ] [ . . . . . . ]

- a21 detn-1 [ ai2 + bi2 . . . aij + bij . . . ain + bin] + [ . . . . . . ]

[ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … … … +

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

+ (-1)(i+1) (ai1 +bi-1) detn-1 [ ai-12 . . . ai-1j . . . ai-1n ] + [ ai+12 . . . ai+1j . . . ai+1n ]

[ . . . . . . ] [ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … … … +

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

+ (-1)(n+1) an1 detn-1 [ ai2 + bi2 . . . aij + bij . . . ain + bin] = [ . . . . . . ]

[ an-12 . . . an-1j . . . an-1n ]

[ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ a22 . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ] [ . . . . . . ]

= a11 detn-1 [ ai2 . . . aij . . . ain ] + a11 detn-1 [ bi2 . . . bij . . . bin ] + [ . . . . . . ] [ . . . . . . ] [ an2 . . . anj . . . ann ] [ an2 . anj . . . ann ]

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a32 . . . a3j . . . a3n ] [ a32 . . . a3j . . . a3n ]

[ . . . . . . ] [ . . . . . . ]- a21 detn-1 [ ai2 . . . aij . . . ain ] - a21 detn-1 [ bi2 . . . bij . . . bin ] +

[ . . . . . . ] [ . . . . . . ] [ an2 . . . anj . . . ann ] [ an2 . anj . . . ann ]

+ … + +

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . .] [ . . . . . ]

+ (-1)(i+1) ai1 detn-1 [ ai-12 . . . ai-1j . . .ai-1n ] + (-1)(i+1) bi1 detn-1 [ ai-12 . . ai-1j . . . ai-1n] [ ai+12 . . .ai+1j . . ai+1n ] [ ai+12 . . ai+1j . . .ai+1n] [ . . . . . . ] [ . . . . . . ] [ an2 . . . anj . . . ann ] [ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … + +

[ a12 . . . a1j . . . a1n] [ a12 . . a1j . . a1n] [ a22 . . . a2j . . a2n] [ a22 . . a2j . . a2n] [ . . . . . . ] [ . . . . . . ]

+ (-1)(n+1) an1 detn-1 [ ai2 . . . aij . . . ain ] + (-1)(n+1) an1 detn-1 [ bi2 . . . bij . . . bin] = [ . . . . . ] [ . . . . . . ] [ an-12 . . an-1j . . an-1n ] [ an-12 . . an-1j . an-1n ]

=

[ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

= a11 detn-1 [ ai2 . . . aij . . . ain ] [ . . . . . . ] [ an2 . . . anj . . . ann ]

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a32 . . . a3j . . . a3n ]

[ . . . . . . ] - a21 detn-1 [ ai2 . . . aij . . . ain ]

[ . . . . . . ] [ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … + +

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . .]

+ (-1)(i+1) ai1 detn-1 [ ai-12 . . . ai-1j . . .ai-1n ] [ ai+12 . . .ai+1j . . ai+1n ] [ . . . . . . ] [ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … + +

[ a12 . . . a1j . . . a1n] [ a22 . . . a2j . . a2n] [ . . . . . . ]

+ (-1)(n+1) an1 detn-1 [ ai2 . . . aij . . . ain ] [ . . . . . ] [ an-12 . . an-1j . . an-1n ]

[ a22 . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ] + a11 detn-1 [ bi2 . . . bij . . . bin ] +

[ . . . . . . ] [ an2 . anj . . . ann ]

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a32 . . . a3j . . . a3n ] [ . . . . . . ] - a21 detn-1 [ bi2 . . . bij . . . bin ] + [ . . . . . . ] [ an2 . anj . . . ann ]

+ … + +

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . ] + (-1)(i+1) bi1 detn-1 [ ai-12 . . ai-1j . . . ai-1n] [ai+12 . . ai+1j . . .ai+1n ] [ . . . . . . ] [ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … + +

[ a12 . . a1j . . a1n] [ a22 . . a2j . . a2n] [ . . . . . . ] + (-1)(n+1) an1 detn-1 [ bi2 . . . bij . . . bin] = [ . . . . . . ] [ an-12 . . an-1j . an-1n ]

(aplicando la hipótesis de inducción de linealidad en el i-ésimo renglón de detn-1 )

= [ a11 a12 . . . a1j . . . a1n] [ a11 a12 . . . a1j . . . a1n] [ a21 a22 . . . a2j . . . a2n] [ a21 a22 . . . a2j . . . a2n] [ . . . . . . . . . ] [ . . . . . . . . . ]

detn [ ai1 ai2 . . . aij . . . ain] + detn [ bi1 bi2 . . . bij . . . bin] [ . . . . . . . . . ] [ . . . . . . . . . ]

[ an1 an2 . . . anj . . . ann] [ an1 an2 . . . anj . . . ann]

esto es, detn distribuye la suma en su i-ésima componente (i-ésimo renglón) .

Ahora bien, multiplicando el renglón i-ésimo por una constante real, λ :

[ a11 a12 . . . a1j . . . a1n] [ a21 a22 . . . a2j . . . a2n] [ . . . . . . . . . ]

detn [λ ai1 λ ai2 . . λ aij . . . λ ain] = [ . . . . . . . . . ]

[ an1 an2 . . . anj . . . ann]

[ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

= a11 detn-1 [ λ ai2 . . λ aij . . . λ ain] + [ . . . . . . ]

[ an2 . . . anj . . . ann ]

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a32 . . . a3j . . . a3n ] [ . . . . . . ]

- a21 detn-1 [ λ ai2 . . λ aij . . . λ ain] + [ . . . . . . ]

[ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … … … +

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

+ (-1)(i+1) λ ai1 detn-1 [ ai-12 . . . ai-1j . . . ai-1n ] + [ ai+12 . . . ai+1j . . . ai+1n ]

[ . . . . . . ] [ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … … … + [ a12 . . . a1j . . . a1n ]

[ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

+ (-1)(n+1) an1 detn-1 [ λ ai2 . . λ aij . . . λ ain] = [ . . . . . . ]

[ an-12 . . . an-1j . . . an-1n ]

[ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

= λ a11 detn-1 [ ai2 . . aij . . . ain ] + [ . . . . . . ]

[ an2 . . . anj . . . ann ]

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a32 . . . a3j . . . a3n ] [ . . . . . . ]

- λ a21 detn-1 [ ai2 . . aij . . . ain ] + [ . . . . . . ]

[ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … … … +

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

+ λ (-1)(i+1) ai1 detn-1 [ ai-12 . . . ai-1j . . . ai-1n ] + [ ai+12 . . . ai+1j . . . ai+1n ]

[ . . . . . . ] [ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … … … + [ a12 . . . a1j . . . a1n ]

[ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

+ λ (-1)(n+1) an1 detn-1 [ ai2 . . aij . . . ain ] = [ . . . . . . ]

[ an-12 . . . an-1j . . . an-1n ]

=

[ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

= λ ( a11 detn-1 [ ai2 . . aij . . . ain ] + [ . . . . . . ]

[ an2 . . . anj . . . ann ]

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a32 . . . a3j . . . a3n ] [ . . . . . . ]

- a21 detn-1 [ ai2 . . aij . . . ain ] + [ . . . . . . ]

[ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … … … +

[ a12 . . . a1j . . . a1n ] [ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

+ (-1)(i+1) ai1 detn-1 [ ai-12 . . . ai-1j . . . ai-1n ] + [ ai+12 . . . ai+1j . . . ai+1n ]

[ . . . . . . ] [ an2 . . . anj . . . ann ]

+ … … … + [ a12 . . . a1j . . . a1n ]

[ a22 . . . a2j . . . a2n ] [ . . . . . . ]

+ (-1)(n+1) an1 detn-1 [ ai2 . . aij . . . ain ] = [ . . . . . . ]

[ an-12 . . . an-1j . . . an-1n ] )

[ a11 a12 . . . a1j . . . a1n] [ a21 a22 . . . a2j . . . a2n] [ . . . . . . . . . ]

= λ detn [ai1 ai2 . . aij . . . ain] [ . . . . . . . . . ]

[ an1 an2 . . . anj . . . ann] ; esto es, detn distribuye el producto por un escalar

en su i-ésima variable (i-ésimo renglón); por tanto, detn es lineal en su i-ésima variable, para todo i { 1, 2, … ∈ n } ; esto es: detn es multilineal.

Por lo demostrado en 14. i), detn es diferenciable, y

[ d detn ( [a1 , a2 , . . . a1 . , . an ]T ) ] ((x1, …, xK)T ) =

[v1][. ]

[d detn (v1, …, vn) ] (x1, …, xn) = Σj = 1n det [xj]

[. ] [vn]

o, por último, en la notación que seguimos en la demostración:

[ a11 a12 . . . a1j . . . a1n] [ x11 x12 . . . x1j . . . x1n] [ a21 a22 . . . a2j . . . a2n] [ x21 x22 . . . x2j . . . x2n] [ . . . . . . . . . ] [ . . . . . . . . . ]

[d detn [ ai1 ai2 . . . aij . . . ain] ] ( [ xi1 xi2 . . . xij . . . xin] ) = [ . . . . . . . . . ] [ . . . . . . . . . ]

[ an1 an2 . . . anj . . . ann] [ xn1 xn2 . . . xnj . . . xnn]

[ a11 a12 . . . a1j . . . a1n] [ a21 a22 . . . a2j . . . a2n] [ . . . . . . . . . ]

= Σi = 1n detn [xi1 xi2 . . xij . . . xin]

[ . . . . . . . . . ] [ an1 an2 . . . anj . . . ann] , que es lo que se quería mostrar.

ii) Sean φij : ℝ → ℝ derivables, para i , j { 1, 2, … ∈ n } (n2 funciones derivables) , y sea

f : ℝ → ℝ definida por :φ11 (t) φ12 (t) … φ1j (t) … φ1n (t) φ21 (t) φ22 (t) … φ2j (t) … φ2n (t) … … …

f (t ) ≡ det φi1 (t) φi2 (t) … φij (t) … φin (t) = det [ φij (t) ]n×n

… … …φn1 (t) φn2 (t) … φnj (t) … φnn (t)

Prueba que f es derivable, y queφ11 (t) φ12 (t) … φ1j (t) … φ1n (t) φ21 (t) φ22 (t) … φ2j (t) … φ2n (t) … … …

D f (t ) = Σi = 1n det Dφi1 (t) Dφi2 (t) … Dφij (t) … Dφin (t)

… … … ;φn1 (t) φn2 (t) … φnj (t) … φnn (t)

R.- Sea N ≡ n2 ; sea ℝN ≡ ℝn × ℝn × …. × ℝn (n factores) ;

sean Θi : ℝn → ℝN , con Θi (xi) ≡ (01, …, 0i-1 , xi , 0i+1, … , 0n) para toda i { 1, 2, … ∈ n }

las inyecciones i-ésimas en ℝN ; sean θj : ℝ →ℝn , con θj (t) ≡ (0, …, 0 , t , 0, … , 0)

para toda j { 1, 2, … ∈ n } las inyecciones j-ésimas en ℝn ;

sean Φii : ℝ →ℝn , con Φii ≡ Σj = 1n θj ∘ φij , para toda i { 1, 2, … ∈ n } ;

y por último sea Φi : ℝ → ℝN con Φi ≡ Σi = 1n Θi ∘ Φii ; esto es:

Φi (t) ≡ [ Σi = 1n Θi ∘ Φii ] (t) = [ Σi = 1

n Θi [ ∘ Σj = 1n θj ∘ φij ]] (t) =

= Σi = 1n Θi ( Σj = 1

n θj ( φij (t) ) ) =

[φ11 (t) φ12 (t) … φ1j (t) … φ1n (t)] [φ21 (t) φ22 (t) … φ2j (t) … φ2n (t)] [… … … ]

= [φi1 (t) φi2 (t) … φij (t) … φin (t) ][… … … ][φn1 (t) φn2 (t) … φnj (t) … φnn (t) ] ;

y como φij derivable para toda i, j { 1, 2, … ∈ n } ; θj , Θi , lineales para toda i, para toda

j { 1, 2, … ∈ n } , esto es, Φi es diferenciable, y por tanto detn ∘ Φi : ℝ → ℝ , lo es , y:

d [ detn ∘ Φi ] (t) = d [ detn [[ ∘ Σi = 1n Θi [ ∘ Σj = 1

n θj ∘ φij ]]]] (t) =

= d detn ( Σi = 1n Θi ( Σj = 1

n θj ( φij (t)))) ∘ d [Σi = 1n Θi ( Σj = 1

n θj (φij (t)))] ∘ d [ Σj = 1n θj ] (φij (t))] d∘ φij (t)

= d detn ( Σi = 1n Θi ( Σj = 1

n θj ( φij (t)))) ∘ [Σi = 1n Θi ] ∘ Σj = 1

n θj d∘ φij (t) ;

(por la linealidad de las inyecciones)

la derivada de detn ∘ Φi en t , esto es, D[detn ∘ Φi ](t) es igual a [d [ detn ∘ Φi ] (t)] (1) ; esto es, la

aplicación de la diferencial en t, en x = 1 (*),

por lo que: D[detn ∘ Φi ](t) =

[φ11 (t) φ12 (t) . . φ1j (t) . . φ1n(t)] [ Dφ11(t) Dφ12(t) . . Dφ1j(t) . . Dφ1n(t)] [φ11 (t) φ12 (t) . . φ1j (t) . . φ1n(t)] [ Dφ21(t) Dφ22(t) . . Dφ2j(t) . . Dφ2n(t)] [ . . . . . . . . . ] [ . . . . . . . . . ]

[d detn [φi1(t) φi2(t) . . .φij(t) . . φin(t)] ] ( [Dφi1(t) Dφi2(t) . . Dφij(t) . . Dφin(t)] ) [ . . . . . . . . . ] [ . . . . . . . . . ]

[φn1(t) φn2(t) . . .φnj(t) . . φnn(t)] [ Dφn1(t) Dφn2(t) . . Dφnj(t) . . Dφnn(t)]

[φ11 (t) φ12 (t) . . φ1j (t) . . φ1n(t)] [φ11 (t) φ12 (t) . . φ1j (t) . . φ1n(t)] [ . . . . . . . . . ]

= Σi = 1n detn [Dφi1(t) Dφi2(t) . .Dφij(t) . Dφin(t)]

[ . . . . . . . . . ] [φn1(t) φn2(t) . . φnj(t) . . φnn(t)] , que es lo que se quería mostrar.

iii) Si det [ φij (t) ]n×n ≠ 0 para todo t ∈ ℝ ; si g1, g2, …, gi ... , gn : ℝ → ℝ son

derivables, para i { 1, 2, … ∈ n } ; y si s1, s2, …, sj ... , sn : ℝ → ℝ son funciones solución del

sistema de ecuaciones: Σj = 1n φij (t) sj (t) = gi (t) para todo i { 1, 2, … ∈ n } ;

entonces: demuestra que sj es derivable , y encuentra D sj (t) para todo j { 1, 2, … ∈ n } .

R.- Dado t ∈ ℝ fijo, de momento, se tiene que, si det [ φij (t) ]n×n ≠ 0 , entonces el sistema de ecuaciones lineales Σj = 1

n φij (t) sj (t) = gi (t) para todo i { 1, 2, … ∈ n } , tiene solución, y ésta puede expresarse mediante la Regla de Cramer. Esto es:

El sistema es:

[φ11 (t) φ12 (t) … φ1j (t) … φ1n (t)] [s1 (t)] [g1 (t)][φ21 (t) φ22 (t) … φ2j (t) … φ2n (t)] [s2 (t)] [g2 (t)][… … … ] ⨯ […. ] = [….. ]

[φi1 (t) φi2 (t) … φij (t) … φin (t) ] [sj (t)] [gi (t)][… … … ] […. ] [….. ][φn1 (t) φn2 (t) … φnj (t) … φnn (t) ] [sn (t)] [gn (t)]

El teorema de Cramer establece que, si

[φ11 (t) φ12 (t) … φ1j (t) … φ1n (t)] [φ21 (t) φ22 (t) … φ2j (t) … φ2n (t)] [… … … ]

detn [φi1 (t) φi2 (t) … φij (t) … φin (t) ] ≠ 0 ;[… … … ][φn1 (t) φn2 (t) … φnj (t) … φnn (t) ]

entonces el sistema tiene solución, y ésta es (Regla de Cramer) :

[φ11 (t) φ12 (t) … gj (t) … φ1n (t)] [φ21 (t) φ22 (t) … gj (t) … φ2n (t)] [… … … ]

detn [φi1 (t) φi2 (t) … gj (t) … φin (t) ] [… … … ][φn1 (t) φn2 (t) … gj (t) … φnn (t) ]

sj (t) = [φ11 (t) φ12 (t) … φ1j (t) … φ1n (t)] [φ21 (t) φ22 (t) … φ2j (t) … φ2n (t)] [… … … ]

detn [φi1 (t) φi2 (t) … φij (t) … φin (t) ] [… … … ][φn1 (t) φn2 (t) … φnj (t) … φnn (t) ] ;

la función solución sj es el cociente

entre el determinante de la matriz que resulta de sustituir la columna j de la matriz original por la columna de los términos independientes, y el determinante de la matriz de los coeficientes. En otros símbolos:

sj (t) = det n [ [ Σ i = 1n Θ i [ ∘ Σ k ≠ j

n θ k ∘ φ ik + θ j ∘ g j ] (t) ] detn [ Σi = 1

n Θi [ ∘ Σj = 1n θj ∘ φij ]] (t)

tal y como lo definimos arriba. En símbolos más sencillos:

sj (t) = det n [ Φi j’g (t) ] , y por tanto, puesto que las funciones involucradas son diferenciables, detn [Φi (t) ]

las funciones sj (para todo j { 1, 2, … ∈ n } ) son derivables, y :

Dsj (t) = D [detn ∘ Φi j’g ](t) ] ( det n [ Φi (t) ]) - det n [ Φi j’g (t) ] D [ det n ∘ Φi ](t) = (detn [Φi (t) ])2

=

16.- Sea f : ℝn → ℝn diferenciable, con inversa f-1 : ℝn → ℝn diferenciable; demuestra que:

d f-1 (u) = [ d f (f-1 (u)) ]-1

R.- f ∘ f-1 = Iℝ , y también f-1 ∘ f = Iℝ , así que, usando la regla de la cadena:

d [ f ∘ f-1 ] (u) = d f ( f-1 (u) ) ∘ d f-1 (u) = d Iℝ (u) = Iℝ ; esto es:

d f ( f-1 (u) ) ∘ d f-1 (u) = Iℝ ; así que : d f-1 (u) = [ d f (f-1 (u)) ]-1 .

17.- Encuentra las derivadas parciales de las siguientes funciones:

i) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z ) ≡ xy

D1f (x, y, z ) = yxy-1 ; D2f (x, y, z ) = ln(x) xy ; D3f (x, y, z ) = 0

ii) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z ) ≡ z

D1f (x, y, z ) = D2f (x, y, z ) = 0 ; D3f (x, y, z ) = 1


D1f (x, y ) = sen (y) cos (x sen (y)) D1f (x, y ) = x cos (y) cos (x sen (y))


D1f (x, y, z ) = sen (y sen (z)) cos (x sen (y sen (z))) ,

D2f (x, y, z ) = cos (x sen (y sen (z))) x cos (y sen (z)) sen (z) ,

D3f (x, y, z ) = cos (x sen (y sen (z))) x cos (y sen (z)) y cos (z) .


D1f (x, y, z ) = yz exp (ln (x) (exp (ln (y) z) -1))

D2f (x, y, z ) = zyz-1 ln (x) exp (ln (x) exp (ln (y) z))

D3f (x, y, z ) = exp (ln (x) exp (ln (y) z)) ln (x) exp (ln (y) z) ln (y)

vi) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (x) (y + z)) = xy + z

D1f (x, y, z ) = (y + z) xy + z – 1

D2f (x, y, z ) = exp (ln (x) (y + z)) ln (x) = ln (x) xy + z

D3f (x, y, z ) = exp (ln (x) (y + z)) ln (x) = ln (x) xy + z

vii) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (x + y) z)) = (x + y)z

D1f (x, y, z ) = z (x + y)z-1

D2f (x, y, z ) = z (x + y)z-1

D3f (x, y, z ) = ln (x + y) (x + y)z


D1f (x, y) = y cos (x y) , D2f (x, y) = x cos (x y)

ix) f : ℝ3 → ℝ , con f (x, y, z) ≡ exp (ln (sen (x y) ) cos (z) ) = (sen (x y) )cos (z)

D1f (x, y, z ) = y cos (z) (sen (x y) )cos (z)-1 cos(xy)

D2f (x, y, z ) = x cos (z) (sen (x y) )cos (z)-1 cos(xy)

D3f (x, y, z ) = -sen (z) sen (x y) )cos (z)

18.- Encuentra las derivadas parciales de las siguientes funciones, donde g : ℝ → ℝ , continua.

i) f : ℝ2 → ℝ , con f (x, y) ≡ ∫ax+y g

D1f (x, y) = g(x + y) – g(a) , D2f (x, y) = g(x + y) – g(a)

ii) f : ℝ2 → ℝ , con f (x, y) ≡ ∫yx g

D1f (x, y) = g(x + y) – g(a) , D2f (x, y) = g(x + y) – g(a)

iii) f : ℝ2 → ℝ , con f (x, y) ≡ ∫axy g

D1f (x, y) = y ( g(x y) – g(a)) , D2f (x, y) = x ( g(x y) – g(a))

20.- Encuentra las derivadas parciales de las siguientes funciones f : ℝ2 → ℝ , en términos de las

derivadas de g : ℝ → ℝ , y h : ℝ → ℝ :

i) f (x, y) ≡ g(x) h(y)

R.- D1f (x, y) = h(y) Dg(x) , D2f (x, y) = g(x) Dh(y)

ii) f (x, y) ≡ exp ( ln (g(x)) h(y) ) = g(x)h(y)

R.- D1f (x, y) = h(y) g(x)h(y)-1 Dg(x) , D2f (x, y) = g(x)h(y) Dh(y)

iii) f (x, y) ≡ g(x)

R.- D1f (x, y) = Dg(x) , D2f (x, y) = 0

iv) f (x, y) ≡ g(y)

R.- D1f (x, y) = 0 , D2f (x, y) = Dg(y)

v) f (x, y) ≡ g(x + y)

R.- D1f (x, y) = Dg(x + y) , D2f (x, y) = Dg(x + y)

21.- Sean φ , ψ : ℝ2 → ℝ continuas , y sea f :ℝ2 → ℝ definida por:

f (x, y) ≡ ∫0x φ (t, 0) dt + ∫0

y ψ (x, t) dt ;

i) Muestra que D2 f (x, y) = ψ (x, y)

R.- El primer término, ∫0x φ (t, 0) dt , no depende de la segunda variable, así que la derivada de f

sólo depende del segundo, ∫0y ψ (x, t) dt ; en este término el valor de x es fijo, así que bajo el

signo de la integral hay una función que sólo depende de la segunda variable, y la derivada con

respecto a dicha variable se hace como en el caso de una variable, y por tanto, se aplica la

segunda versión del Teorema Fundamental del Cálculo:

D2 f (x, y) = ψ (x, y) - ψ (x, 0) (que será igual a ψ (x, y) si ψ (x, 0) = 0 )

ii) ¿Cómo debería definirse a f para que D1 f (x, y) = φ (x, y) ?

R.- propuesta: f (x, y) ≡ ∫0x φ (t, 0) dt + ∫0

y ψ (0, t) dt , con φ (0, 0) = 0 .

iii) Define una función f tal que D1 f (x, y) = x , y D2 f (x, y) = y . Define una función f

tal que D2 f (x, y) = x , y D1 f (x, y) = y .

R.- propuesta: f (x, y) ≡ ∫0x φ (t, y) dt + ∫0

y ψ (x, t) dt , con φ (0, 0) = ψ (0, 0) = 0 ,

y ψ (x, y) = x , φ (x, y) = y .

22.- Muestra que si f : ℝ2 → ℝ cumple con que D2 f = 0 (la función constante cero) , entonces

f es independiente de la segunda variable; y que si D1 f = D2 f = 0 , entonces f es constante.

R.- Se ha dicho que f : ℝ2 → ℝ es independiente de la segunda variable si, dada cualquier x0 ,∈ ℝ

se tiene que f (x0 , y) = f ( x0 , y’) para cualesquiera valores de y y y’ . En este caso:∈ ℝ

para cualquier h , se tiene: ∈ ℝ f (x0 , y + h) = f ( x0 , y) , o bien:

f (x0 , y + h) - f ( x0 , y) = 0 , así que existe lím h → 0 (1/h) ( f (x0 , y + h) - f ( x0 , y) ) = 0 :

esto es, existe D2 f (x0 , y) = 0 para toda y , ∈ ℝ para toda x0 ; esto es: ∈ ℝ D2 f = 0 .

Ahora, si f : ℝ2 → ℝ y D2 f = 0 , entonces para toda y , ∈ ℝ para toda x0 , existe∈ ℝ

lím h → 0 (1/h) (f (x0 , y + h) - f ( x0 , y)) = 0 ; pensemos en x0 fijo, de momento, y en∈ ℝ

φ ≡ f [∘ θ1 ( x 0 ) + θ2 ]: ℝ → ℝ , siendo θ1 y θ2 las inyecciones a ℝ2 , y

θ1 ( x 0 ) la función constante θ1 ( x 0 ) : ℝ → ℝ2 , con [θ1 ( x 0 )] (y) = x0 , para todo y , por lo∈ ℝ

cual, φ (y) = f (x0 , y) para todo y ; es claro que ∈ ℝ φ es derivable en todo y , y que∈ ℝ

Dφ (y) = D2 f (x0 , y) = 0 para toda y ; entonces, del ejercicio 1, sabemos que ∈ ℝ φ es

continua, y que por tanto, dadas y, y’ , cualesquiera (digamos ∈ ℝ y < y’ ), se tiene:

φ continua en [y , y’] , y derivable en ( y , y’), así que, aplicando el teorema del valor medio:

existe y* ( ∈ y , y’) tal que φ (y’) - φ (y) = (y’ - y) Dφ (y*) = 0 , y por tanto:

φ (y’) = φ (y) para cualesquiera y, y’ ; esto es, ∈ ℝ φ es constante; pero también:

f (x0 , y) = f (x0 , y’) para cualesquiera y, y’ : ∈ ℝ f es independiente de su segunda variable.

Ahora bien, si D1 f = D2 f = 0 , entonces f es independiente de ambas variables, o

f (x , y) = f (x’ , y’) para cualesquiera x , x’, y, y’ : ∈ ℝ f es constante.

23.- Sea A ≡ { (x, y) ∈ ℝ2 | x < 0 , ó x ≥ 0 y y ≠ 0 } ;

i) demuestra que si f : A → ℝ cumple con : D1 f = D2 f = 0 , entonces f es constante.

Sugerencia: nota que cualesquiera dos puntos en A pueden conectarse mediante segmentos de recta paralelos a alguno de los ejes.

R.- La solución es la misma que en el ejercicio anterior, pues para cualesquiera dos puntos en el conjunto A se tienen las siguientes posibilidades dadas por la sugerencia; esto es, consideremos tres regiones componentes en las que se divide dicho conjunto:

Ai ≡ { (x, y) ∈ ℝ2 | x < 0 } ;

Ad+ ≡ { (x, y) ∈ ℝ2 | x ≥ 0 y y > 0 } ;

Ad- ≡ { (x, y) ∈ ℝ2 | x ≥ 0 y y < 0 } ;

es claro que Ai ∪ Ad+ ∪ Ad- = A , y que Ai ∩ Ad+ = ∅ , Ai ∩ Ad- = ∅ , Ad+ ∩ Ad- = ∅ .

Se tienen las siguientes posibilidades:

a) v ≡ (x , y) y v’ ≡ (x’ , y’) ∈ Ai , lo cual implica que el segmento

{ tv’ + (1-t) v | t (0, 1) } ∈ ⊆ Ai , pues, si x < 0 y x’ < 0 , entonces

t x’ < 0 , y (1 - t ) x < 0 , lo que implica que t x’ + (1 - t ) x < 0 ;

por lo cual, los segmentos { (t x’ , y ) + ((1 - t ) x , y) | t (0, 1) } ∈ ⊆ Ai ,

{ (t x’ , y’ ) + ((1 - t ) x , y’ ) | t (0, 1) } ∈ ⊆ Ai ,

{ (x’ , ty’ ) + (x’ , (1 - t ) y ) | t (0, 1) } ∈ ⊆ Ai ,

{ (x , ty’ ) + (x , (1 - t ) y ) | t (0, 1) } ∈ ⊆ Ai ,

-los dos primeros paralelos al Eje X, los dos últimos paralelos al Eje Y-

y aplicar en cada uno de ellos lo análogo a lo realizado en la primera parte del Ejercicio 22, para concluir -por ejemplo- que f(x , y ) = f(x’, y); después, concluir que f(x’ , y ) = f(x’, y’), y por tanto, que f(x , y ) = f(x’, y’)

b) la siguiente situación es que v ≡ (x , y) y v’ ≡ (x’ , y’) ∈ Ad+ , lo cual implica que el

segmento { tv’ + (1-t) v | t (0, 1) } ∈ ⊆ Ad+ ;

c) la tercera situación es que v ≡ (x , y) y v’ ≡ (x’ , y’) ∈ Ad- , lo cual implica que el

segmento { tv’ + (1-t) v | t (0, 1) } ∈ ⊆ Ad- ;

en las condiguraciones b) y c) el razonamiento es análogo al de a), para concluir que :

f(x , y ) = f(x’, y’) en ambos casos,

d) los casos v ≡ (x , y) ∈ Ai , y v’ ≡ (x’ , y’) ∈ Ad+ , o

f) v ≡ (x , y) ∈ Ai , y v’ ≡ (x’ , y’) ∈ Ad- ,

se requiere también el uso de sólo dos segmentos de recta paralelos a los ejes para conectar a ambos puntos, y llegar a la misma conclusión;

g) por último, en el caso de que v ≡ (x , y) ∈ Ad+ , y v’ ≡ (x’ , y’) ∈ Ad- , se requiere el uso de tres de tales segmentos para conectar a tales puntos, y llegar a la misma conclusión.

ii) encuentra una función φ : A → ℝ tal que D2 φ = 0 , pero que φ no sea independiente de la segunda variable.

0 para x < 0

f(x , y) ≡ x para x ≥ 0 y y > 0

- x para x ≥ 0 y y < 0

24.- Sea f : ℝ2 → ℝ definida por:x y (x2 – y2) / (x2 + y2) para (x , y) ≠ (0, 0)

f(x , y) ≡ 0 para (x , y) = (0, 0)

i) Muestra que D2 f (x, 0) = x para toda x , y D1 f (0, y) = -y para toda y .

D2 f (x, 0) = lím h → 0 (1/h) (f (x , 0 + h) - f ( x , 0)) = lím h → 0 (1/h) (f (x , h) - f ( x , 0)) =

= lím h → 0 (1/h) (x h (x2 – h2) / (x2 + h2) ) = lím h → 0 (x (x2 – h2) / (x2 + h2) ) =

= lím h → 0 (x (x2 – h2) / (x2 + h2) ) = x3 / x2 = x ;

D1 f (0, y) = lím h → 0 (1/h) (f (0 + h , y) - f ( 0 , y)) = lím h → 0 (1/h) (f (h , y) - f ( 0 , y)) =

= lím h → 0 (1/h) (hy (h2 – y2) / (h2 + y2) ) = lím h → 0 y (h2 – y2) / (h2 + y2) =

= – y3 / y2 = – y

ii) Muestra que D2,1 f (0, 0) ≠ D1,2 f (0, 0) .

D2 f (0, 0) = lím h → 0 (1/h) (f (0 , 0 + h) - f ( 0 , 0)) = lím h → 0 (1/h) f (0 , h) =

= lím h → 0 (1/h) f (0 , h) = lím h → 0 (1/h) 0 h (02 – h2) / (02 + h2) = 0 ; entonces:

D2,1 f (0, 0) = lím h → 0 (1/h) (D2 f (h, 0) - D2 f (0, 0) ) = lím h → 0 (1/h) ( h – 0) = 1 ;

D1 f (0, 0) = lím h → 0 (1/h) (f (0 + h , 0) - f ( 0 , 0)) = lím h → 0 (1/h) f (h , 0) =

= lím h → 0 (1/h) f (h , 0) = lím h → 0 (1/h) (h 0 (h2 – 02) / (h2 + 02) ) = 0 ; entonces:

D1,2 f (0, 0) = lím h → 0 (1/h) (D1 f (0, h) - D1 f (0, 0) ) = lím h → 0 (1/h) ( -h – 0) = -1 ;

por tanto: D2,1 f (0, 0) ≠ D1,2 f (0, 0) .

25.- Sea f : ℝ → ℝ definida por:

exp (-x-2 ) para x ≠ 0f(x) ≡

0 para x = 0

Muestra que f es infinitamente derivable, y que D(n) f (0) = 0 .

Sugerencia: el límite Df (0) = lím h→ 0 exp (-h-2 ) / h = lím h→ 0 (1/h) /exp (h-2 )

se puede calcular usando la regla de l’Hôpital. Es fácil calcular Df (x) para x ≠ 0 , y

D(2) f (0) = lím h→ 0 Df (h) / h también se puede calcular usando la regla de l’Hôpital.

R.- D f (0) = lím h→ 0 (f (h) - f (0))/ h = lím h→ 0 f (h) / h = lím h→ 0 exp (-h-2 ) / h =

= lím h→ 0 1/(h exp (h-2 )) .

Teorema (Regla de l’Hôpital) .-

Dadas F: A ⊆ ℝ → ℝ , G: B ⊆ ℝ → ℝ , continuas y derivables en [a, b] ⊆ int(A ∩ B),

con F(a) = G(a) = 0, G(x) ≠ 0 para x ≠ a; entonces, existe lím x→ b F(x) /G(x) = DF(b)/DG(b).

dem) ambas funciones cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [a, x] esto es: existen elementos x* y x** ∈ (a, x), tales que:

F(x) – F(a) = DF(x*) (x – a) ; y G(x) – G(a) = DG(x**) (x – a) ; y como F(a) = G(a) = 0 :

entonces: F(x) /G(x) = DF(x*)/DG(x**) ; y si ambas derivadas son continuas en [a, b],

se tiene: existen los límites lím x→ b F (x) / G(x) = lím x→ b DF (x) / DG(x) = DF (b) / DG(b), pues existen todos los límites involucrados.

Ahora bien, en nuestro caso (b ≡ 0) , F(x) ≡ 1 , G(x) ≡ x exp (x-2 ) ; por lo cual:

DF (x) = 0 ; DG(x) = exp (x-2 ) + x exp (x-2 ) (-2x-3) = exp (x-2 ) (1 – 2x-2), así que

lím h→ 0 1/(h exp (h-2 )) = lím h→ 0 0 / exp (x-2 ) (1 – 2x-2) = 0 ; esto es, D f (0) = 0 .

Df (x) = exp (-x-2 ) (2x-3) = (2x-3) exp (-x-2 ) , D(2)f (x) = (-6x-4) exp (-x-2 ) + exp (-x-2 ) (4x-6) , etc.

(1/h) (Df (h) - D f (0)) = (1/h) (exp (-h-2 ) (2h-3) – 0) = exp (-h-2 ) (2h-4) = 2/(exp (h-2 ) (h4)), y

aquí también puede apelarse al teorema de l’Hôpital, para tener, de nuevo, que:

lím h→ 0 (1/h) (Df (h) - D f (0)) = lím h→ 0 2/(exp (h-2 ) (h4)) = 0 por razones análogas.

26.- Sea f : ℝ → ℝ definida por:

exp (-(x - 1)-2 ) exp (-(x + 1)-2 ) para x (-1, 1)∈ f(x) ≡

0 para x ∉ (-1, 1)

i) Muestra que f es infinitamente derivable, que es positiva en el intervalo abierto (-1, 1) , y cero fuera de éste.

R.- Es claro, a partir de la definición, que f(x) = 0 para x ∉ (-1, 1) ; además, la función exp toma valores positivos en todo , y es estrictamente creciente, así que:ℝ

para x (-1, 0) : ∈ x – 1 < – 1 (⇒ x – 1 )2 > 1 0 < (⇒ x – 1 )-2 < 1 ,

-1 < ⇒ -(x - 1)-2 < 0 0 < ⇒ exp (-(x - 1)-2 ) < 1 ;

además, cuando x → -1 , se tiene : exp (-(x - 1)-2 ) → 1/e1/4 ;

también: 0 < x + 1 < 1 0 < (⇒ x + 1 )2 < 1 1 < (⇒ x + 1 )-2 ,

⇒ -(x + 1)-2 < -1 0 < ⇒ exp (-(x + 1)-2 ) < e-1 = 1/e ,

y cuando x → -1 , se tiene : x + 1 → 0 ⇒ (x + 1 )2 → 0

⇒ (x + 1 )-2 → ∞ , -⇒ (x + 1 )-2 → - ∞ , y exp (-(x + 1)-2 ) → 0 .

para x (0, 1) : -1 < ∈ x – 1 < 0 0 < (⇒ x – 1 )2 < 1 1 < (⇒ x – 1 )-2 ,

⇒ -(x - 1)-2 < -1 0 < ⇒ exp (-(x - 1)-2 ) < e-1 = 1/e ;

además, cuando x → 1 , se tiene : x – 1 → 0 , (⇒ x - 1 )2 → 0 ;

(⇒ x - 1 )-2 → ∞ , - (⇒ x - 1 )-2 → - ∞ , , y exp (-(x - 1)-2 ) → 0 .

también: 1 < x + 1 < 2 1 < (⇒ x + 1 )2 < 4 , ¼ < (⇒ x + 1 )-2 < 1 ,

⇒ -1 < - (x + 1)-2 < - ¼ 0 < 1/⇒ e = exp (- 1) < exp (-(x + 1)-2 ) < e- ¼ ;

y cuando x → 1 , se tiene : x + 1 → 2 , (⇒ x + 1 )2 → 4 , ⇒ (x + 1 )-2 → ¼

⇒ - (x + 1)-2 → - ¼ ⇒ exp (-(x + 1)-2 ) → e- ¼ ;

Resumiendo:

para x (-1, 0) :∈ 0 < exp (-(x - 1)-2 ) < 1 , y 0 < exp (-(x + 1)-2 ) < e-1 = 1/e ,

lo que implica : 0 < exp (-(x - 1)-2 ) exp (-(x + 1)-2 ) < 1/e ;

para x (0, 1) : 0 < ∈ exp (-(x - 1)-2 ) < e-1 = 1/e , y 0 < exp (-(x + 1)-2 ) < e- ¼ ,

lo que implica : 0 < exp (-(x - 1)-2 ) exp (-(x + 1)-2 ) < e- 5/4

por último, para x = 0 : exp (-(x - 1)-2 ) exp (-(x + 1)-2 ) = exp (-(0 - 1)-2 ) exp (-(0 + 1)-2 ) =

= exp (-(- 1)-2 ) exp (-(1)-2 ) = exp (-1 / (- 1)2 ) exp (- 1 /(1)2 ) =

= exp (-1 / (- 1)2 ) exp (- 1 /(1)2 ) = exp (-1 / 1 ) exp (- 1 1 ) = e- 1 e- 1 = e- 2 = 1/ e2

Por lo tanto: exp (-(x - 1)-2 ) exp (-(x + 1)-2 ) > 0 para x (-1, 1) .∈

Ahora bien, todas las funciones involucradas son continuas, y se tiene que existen los límites:

lím x→ -1 exp (-(x - 1)-2 ) exp (-(x + 1)-2 ) =

= ( lím x→ -1 exp (-(x - 1)-2 ) ) ( lím x→ -1 exp (-(x + 1)-2 ) ) = (1/e1/4 ) (0) = 0 ;

y lím x→ 1 exp (-(x - 1)-2 ) exp (-(x + 1)-2 ) =

= ( lím x→ 1 exp (-(x - 1)-2 ) ) ( lím x→ 1 exp (-(x + 1)-2 ) ) = (0 ) (1/e1/4 ) = 0 :

y como f(x) = 0 para x ∉ (-1, 1), se tiene la continuidad de f en x = -1, y en x = 1.

Veamos ahora la derivada de f : en primer lugar, aplicamos la regla de Leibniz:

D f (x) = D [ ( exp ∘ (-(Iℝ - 1)-2 )) ( exp ∘ (-(Iℝ + 1)-2 ) ) ] (x) =

= D [ exp ∘ (-(Iℝ - 1)-2 )] (x) [ exp ∘ (-(Iℝ + 1)-2 ) ] (x) +

+ [ exp ∘ (-(Iℝ - 1)-2 )] (x) D [ exp ∘ (-(Iℝ + 1)-2 ) ] (x) =

= exp (-(x - 1)-2 ) (2(x – 1)-3 ) exp (-(x + 1)-2 ) +

+ exp (-(x - 1)-2 ) exp (-(x + 1)-2 ) (2(x + 1)-3 ) =

= 2 exp (-(x - 1)-2 ) exp (-(x + 1)-2 ) ((x – 1)-3 + (x + 1)-3 ) =

= 2 f (x) ((x – 1)-3 + (x + 1)-3 ) ;

Tenemos el producto de una función evidentemente derivable, f , por una función racional ,

(Iℝ – 1)-3 + (Iℝ + 1)-3 , también derivable ; además, se ha demostrado -en el curso de

sucesiones reales- que existe el límite lím h→ 0 exp (-h ) h-n = 0 para toda n ; eso basta ∈ ℕ

para inferir que f es infinitamente derivable en todo ℝ .

ii) Muestra que existe una función infinitamente derivable g : ℝ → [0, 1] tal que

g(x) = 0 para x ≤ 0 , g(x) = 1 para x ≥ ε . Sugerencia: si f fuera una función

infinitamente derivable, con valores positivos en (0, ε ) y cero fuera de este intervalo,

entonces haz g (x) ≡ ( ∫0x f ) / ( ∫0

ε f ) (el cociente)

R.- De acuerdo con la sugerencia, y teniendo en mente a la función del inciso i), intentaremos lo siguiente:

exp (-x-2 ) exp (- (x – ε )-2 ) para x (0, ∈ ε )Sea f : ℝ → , con ℝ f(x) ≡

0 para x ∉ (0, ε )

Se tiene:

para x → 0 , ⇒ x 2 → 0 ⇒ x-2 → ∞ , - ⇒ x-2 → - ∞ , y exp (-x-2 ) → 0 , y para

x → ε , ⇒ (x – ε )2 → 0 ⇒ (x – ε )-2 → ∞ , - ⇒ (x – ε )-2 → - ∞ , y exp (-(x – ε )-2 ) → 0 .

Esta función cumple con lo requerido: f(x) > 0 para x (0, ∈ ε ), f(x) = 0 para x ∉ (0, ε ), y es infinitamente derivable en todo .ℝ

Siguiendo la sugerencia, sea g : ℝ → [0, 1] , como g (x) ≡ ( ∫0x f ) / ( ∫0

ε f ) para todo x .∈ ℝ

La definición tiene sentido, pues, como f(x) > 0 para x (0, ∈ ε ), entonces ∫0ε f > 0 ; además,

∫0x f = 0 para x < 0 , ∫0

x f < ∫0ε f para x (0, ∈ ε ) con x < ε , y ∫0

x f = ∫0ε f para x ≥ ε ,

así que en efecto: g (x) [0, 1]∈ para todo x , con ∈ ℝ g infinitamente diferenciable.

iii) Si a ∈ ℝn -fijo- , definamos a G : ℝn → ℝ como:

G (x) ≡ f((x1 – a1) / ε ) * f((x2 – a2) / ε ) * … * f((xn – an) / ε ) (producto de reales)

Muestra que G es infinitamente diferenciable, positiva en el conjunto (producto cartesiano):

(a1 - ε , a1 + ε ) × (a2 - ε , a2 + ε ) × … × (an - ε , an + ε ) , y cero en otro lado.

R.- Si tomamos a la función f definida al principio, esto es, a:

exp (-(x - 1)-2 ) exp (-(x + 1)-2 ) para x (-1, 1)∈

f(x) ≡ 0 para x ∉ (-1, 1) ,

entonces tendremos, para x ∈ ℝn , y para su componente i, con i {1, 2, …, ∈ n} :

f((xi – ai) / ε ) = exp (-(((xi – ai) / ε) - 1)-2 ) exp (-(((xi – ai) / ε) + 1)-2 )

para (xi – ai) / ε (-1, 1); esto es, para ∈ xi (∈ ai – ε , ai + ε) , y por tanto,

f((xi – ai) / ε ) = 0 para xi ∉ (ai – ε , ai + ε) .

Ahora bien, cuando xi → ai – ε , xi – ai → – ε , y entonces (xi – ai) / ε → – 1 , y entonces

f((xi – ai) / ε ) → 0, como ya vimos en el inciso i)

En otros símbolos: existe límxi → ai – ε f((xi – ai) / ε ) = 0 ;

Análogamente, cuando xi → ai + ε , xi – ai → ε , y entonces (xi – ai) / ε → 1 , y entonces

f((xi – ai) / ε ) → 0, como ya vimos en el inciso i)

En otros símbolos: existe límxi → ai + ε f((xi – ai) / ε ) = 0 .

Si, dado i {1, 2, …, ∈ n}, definimos a Fi : ℝn → ℝ como Fi ≡ f [ (1/∘ ε)(πni - ai )],

donde πni : ℝn → ℝ es la proyección i-ésima , πn

i (x) = xi para toda x ∈ ℝn , y

ai : ℝn → ℝ es la función constante, ai (x) = ai para toda x ∈ ℝn , siendo ai ≡ πni (a),

con a ∈ ℝn ;

esto es: Fi (x) = f((xi – ai) / ε ) para toda x ∈ ℝn , para toda i {1, 2, …, ∈ n}.

Entonces, ahora hagamos G: ℝn → ℝ como G (x) ≡ [ Πi=1n Fi ] (x) =

f((x1 – a1) / ε ) * f((x2 – a2) / ε ) * … * f((xn – an) / ε ) > 0 para toda x ∈ ( α , β ),

siendo ( α , β ) ≡ { x ∈ ℝn | xi ( ∈ αi , βi ) para toda i {1, 2, …, ∈ n} }, siendo

( αi , βi ) ≡ (ai – ε , ai + ε) para toda i {1, 2, …, ∈ n} ; también: G (x) = 0 para x ∉ ( α , β ),

pues cada factor (cada Fi ) vale cero fuera del correspondiente intervalo componente.

Por último, G es infinitamente diferenciable pues se trata del producto de funciones infinitamente diferenciables (las Fi ), que a su vez son infinitamente diferenciables pues se trata de la composición de una función infinitamente diferenciable (f) con la suma de funciones lineales (las πn

i ) y funciones constantes (las ai ).

iv) Si A ⊂ ℝn es abierto, y C ⊂ A compacto, muestra que existe una función no negativa

f : A → ℝ tal que 0 < f (x) para todo x ∈ C , y f (x) = 0 para x fuera de un

conjunto cerrado contenido en A .

R.-Siendo C compacto, podemos invocar a un número finito de celdas abiertas del tipo ( α , β ), considerado arriba, cuya unión contiene a C y está contenida en A; esto puede hacerse llamandoal conjunto de bolas abiertas con centro en cada elemento de A (puntos interiores) contenidas enA , y para cada una de las cuales puede considerarse a una de tales celdas ( α , β ), en su interior -conteniendo al punto interior correspondiente-, por lo cual la unión de tales celdas debeser igual al conjunto abierto A. Es claro que la familia de tales celdas constituye una cubierta abierta del compacto C, y de ahí que pueda extraerse un número finito de ellas cuya unión contenga a C, precisamente por la compacidad. Para cada una de tales celdas puede definirse una función del tipo G considerada arriba, y por último, considerar a la función “suma” de todaslas G, que tendrá un valor estrictamente positivo en cada una de las celdas, y por tanto en todo

C. Como las funciones G valen cero fuera de su correspondiente celda abierta, la función “suma” de todas ellas será cero fuera de la cerradura de la unión de ellas, que es un conjunto cerrado que contiene a C y que está contenido en A.

v) Muestra que podemos elegir tal f de manera que f : A → [0, 1] ,

con f (x) = 1 para x ∈ C . Sugerencia: si la función f dada en iv) satisface que

f (x) ≥ ε para x ∈ C , considera la composición g ◦ f , con g la función dada en ii).

R.- De nuevo, este último inciso del problema 26 puede ser resuelto de manera implícita; esto es: precisamente como se mostró en el inciso ii), puede invocarse -construirse- una función con dominio en ℝn (la suma de las G, que son producto de las Fi) cuya imagen esté contenida en el intervalo cerrado [0, 1] , mediante la consideración de funciones del tipo g -el cociente de integrales de Riemann- para cada Fi , lo que implica que su producto (las G) será también un número entre 0 y 1; ahora bien, la función final, la suma de las G, hasta aquí, toma valores no negativos, pero no necesariamente menores a 1. Para resolver esto, podemos tomar el valor supremo de la función suma -que existe, pues se trata del supremo del conjunto imagen de una función continua sobre un conjunto compacto-, definamos la función última como aquella sumade las G modificadas, dividida por este valor supremo; el resultado será siempre un número positivo menor o igual a uno.

28.- Para los siguientes incisos, halla expresiones para las derivadas parciales de F. Todas las funciones involucradas son derivables en todo su dominio.

i) F , f : ℝ2 → , ℝ g, h, k : ℝ → ℝ ; F (x, y) ≡ f (g(x) k(y) , g(x) + h(y))

R.- En primer lugar, F = f ◦ [ θ12 ◦ [(g ◦ π1

2)( k ◦ π22)] + θ2

2 ◦ [(g ◦ π12) + ( h ◦ π2

2)] ] , donde

θ12 y θ2

2 son las inyecciones canónicas ℝ → ℝ2 , es decir: θ12 (t) = (t, 0) ; θ2

2 (t) = (0, t) ,

π12 y π2

2 son las proyecciones canónicas ℝ2 → , es decir: ℝ π12 (a, b) = a ; π2

2 (a, b) = b ;

ambos tipos de funciones son muy claramente lineales, por lo que sus diferenciales en un punto son ellas mismas; esto es, por ejemplo: d π1

2 (a, b) = π12 para todo (a, b) ∈ ℝ2 , etc. ; por

último, hay que recordar que las derivadas parciales se pueden obtener aplicando la función diferencial en el punto, al vector básico correspondiente; esto es:

D1F(x, y) = [dF(x, y)] (1, 0) , D2F(x, y) = [dF(x, y)] (0, 1) .

Procedamos entonces, usando los teoremas de que disponemos:

dF(x, y) = df ( [ θ12 ◦ [(g ◦ π1

2)( k ◦ π22)] + θ2

2 ◦ [(g ◦ π12) + ( h ◦ π2

2)] ] (x, y) ) ◦

◦ [d θ12 ( [(g ◦ π1

2)( k ◦ π22)](x, y) ) ◦ d [(g ◦ π1

2)( k ◦ π22)](x, y)

+ d θ22 ( [(g ◦ π1

2) + ( h ◦ π22)] (x, y) ) ◦ d [(g ◦ π1

2) + ( h ◦ π22)] (x, y) ] =

(habiendo usado la regla de la cadena)

= df (g(x) k(y) , g(x) + h(y)) ◦ [ θ12 ◦ d [(g ◦ π1

2)( k ◦ π22)](x, y) + θ2

2 ◦ d [(g ◦ π12) + (h ◦ π2

2)](x, y)

(usando el hecho de que las inyecciones son lineales)

= df (g(x) k(y) , g(x) + h(y)) ◦ [ θ12 ◦ [d (g ( π1

2 (x, y) ) ◦ d π12 (x, y)] [( k ◦ π2

2)](x, y) +

[d (k ( π22 (x, y) ) ◦ d π2

2 (x, y)] [( g ◦ π12)](x, y) ] +

+ θ22 ◦ [d (g ( π1

2 (x, y) ) ◦ d π12 (x, y)+ d (k ( π2

2 (x, y) ) ◦ d π22 (x, y)] =

(habiendo usado la regla de Leibniz, así como la de la linealidad de la diferencial)

= df (g(x) k(y) , g(x) + h(y)) ◦ [ θ12 ◦ [[d g (x) ◦ π1

2] [k ( y)] + [d k ( y) ◦ π22 ] [ g (x) ] ]+

+ θ22 ◦ [d g (x) ◦ π1

2 + d k ( y) ◦ π22 ] =

(usando el hecho de que las proyecciones son lineales)

= df (g(x) k(y) , g(x) + h(y)) ◦ [ [k ( y)] θ12 ◦ [[d g (x) ◦ π1

2] + [ g (x) ] θ12 ◦ [d k ( y) ◦ π2

2 ] ]+

+ [ θ22 ◦ d g (x) ◦ π1

2 + θ22 ◦ d k ( y) ◦ π2

2 ] ;

(usando de nuevo la linealidad de las inyecciones)

entonces , las derivadas direccionales:

D1F(x, y) = [dF(x, y)] (1, 0) = [ df (g(x) k(y) , g(x) + h(y)) ◦ [ [k ( y)] θ12 ◦ [[d g (x) ◦ π1

2] + [ g (x) ] θ12

◦ [d k ( y) ◦ π22 ] ]+ [ θ2

2 ◦ d g (x) ◦ π12 + θ2

2 ◦ d k ( y) ◦ π22 ] ] (1, 0) =

= [ df (g(x) k(y) , g(x) + h(y)) ] ( [ [k ( y)] θ12 ◦ [[d g (x) ◦ π1

2] + [ g (x) ] θ12 ◦ [d k ( y) ◦ π2

2 ] ]+ [ θ22 ◦

d g (x) ◦ π12 + θ2

2 ◦ d k ( y) ◦ π22 ] ] (1, 0) =

= [df (g(x) k(y) , g(x) + h(y)) ] (( k ( y)) ([d g (x)](1)) + (g (x)) ([d k (y)](0)) , [d g (x)](1) + [d k( y)] (0) )

= [df (g(x) k(y) , g(x) + h(y)) ] (k( y) Dg (x) , Dg (x) )

Análogamente, y usando la simetría del problema:

D2F(x, y) = [dF(x, y)] (0, 1) = [df (g(x) k(y) , g(x) + h(y)) ] (g( x) Dk (y) , Dk (y) )

ii) F : ℝ3 → ℝ , f : ℝ2 → ℝ , g, h : ℝ → ℝ ; F (x, y, z) ≡ f (g(x + y) , h(y + z))

R.- En este caso: F = f ◦ [ θ12 ◦ g ◦ ( π1

3 + π23 ) + θ2

2 ◦ h ◦ ( π23 + π3

3 ) ] , así que, de nuevo, como

D1F(x, y, z) = [dF(x, y, z)](1, 0, 0) ,

D2F(x, y, z) = [dF(x, y, z)](0, 1, 0) ,

D3F(x, y, z) = [dF(x, y, z)](0, 0, 1) , entonces

dF(x, y, z) = d [ f ◦ [ θ12 ◦ g ◦ ( π1

3 + π23 ) + θ2

2 ◦ h ◦ ( π23 + π3

3 ) ] ] (x, y, z) =

= d f ( [ θ12 ◦ g ◦ ( π1

3 + π23 ) + θ2

2 ◦ h ◦ ( π23 + π3

3 ) ] (x, y, z) ) ◦

◦ d [ θ12 ◦ g ◦ ( π1

3 + π23 ) + θ2

2 ◦ h ◦ ( π23 + π3

3 ) ] (x, y, z)

= d f ( g ( x + y ) , h (y + z) ) ◦ d [ θ12 ◦ g ◦ ( π1

3 + π23 ) + θ2

2 ◦ h ◦ ( π23 + π3

3 ) ] (x, y, z) =

= d f ( g ( x + y ) , h (y + z) ) ◦ [ d θ12 (g ( x + y )) ◦ [ d g (x + y ) ◦ d [ π1

3 + π23 ] (x, y, z)) +

+ d θ22 ( h ( y + z )) ◦ d h ( y + z) ◦ d [ π2

3 + π33 ] (x, y, z)] =

= d f ( g (x+y) , h (y+z) ) ◦ [ θ12 ◦ [d g (x + y ) ◦ [ π1

3 + π23 ] + θ2

2 ◦ d h (y + z) ◦ [ π23 + π3

3 ] ] ;

por tanto:

D1F(x, y, z) = [dF(x, y, z)](1, 0, 0) =

d f ( g (x+y) , h (y+z) ) ◦ [ θ12 ◦ [d g (x + y ) ◦ [ π1

3 + π23 ] + θ2

2 ◦ d h (y + z) ◦ [ π23 + π3

3 ] ] (1, 0, 0) =

= d [f ( g (x+y) , h (y+z) )] ( D g (x + y ) (1 + 0) , D h (y + z) ( 0 + 0) ) =

= d [f ( g (x+y) , h (y+z) )] ( D g (x + y ) , 0 ) ;

D2F(x, y, z) = [dF(x, y, z)](0, 1, 0) =

d f ( g (x+y) , h (y+z) ) ◦ [ θ12 ◦ [d g (x + y ) ◦ [ π1

3 + π23 ] + θ2

2 ◦ d h (y + z) ◦ [ π23 + π3

3 ] ] (0, 1, 0) =


= d [f ( g (x+y) , h (y+z) )] ( D g (x + y ) , D h (y + z) ) ;

D3F(x, y, z) = [dF(x, y, z)](0, 0, 1) =

d f ( g (x+y) , h (y+z) ) ◦ [ θ12 ◦ [d g (x + y ) ◦ [ π1

3 + π23 ] + θ2

2 ◦ d h (y + z) ◦ [ π23 + π3

3 ] ] (0, 0, 1) =


= d [f ( g (x+y) , h (y+z) )] ( 0 , D h (y + z) ) =

iii) F , f : ℝ3 → ℝ ; F (x, y, z) ≡ f (exp( ln (x) y) , exp( ln (y) z) , exp( ln (z) x) )

= f ( xy, yz, zx)

R.- F ≡ f ◦ [ θ13 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π1

3 ) π23 ] + θ2

3 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π23 ) π3

3 ] + θ23 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π2

3 ) π33 ] ] ,

así que:

d F (x, y, z) =

= d f ([ θ13 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π1

3)π23] + θ2

3 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π23)π3

3] + θ23 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π2

3)π33] ] (x, y, z) ◦

◦ d [ θ13 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π1

3)π23] + θ2

3 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π23)π3

3] + θ23 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π2

3)π33] ] (x, y, z) =

= d f ( xy, yz, zx) ◦ [ d [ θ13 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π1

3)π23] ] + d [ θ2

3 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π23)π3

3] ] +

+ d [ θ23 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π2

3)π33] ] ] (x, y, z) =

= d f ( xy, yz, zx) ◦ [ d [ θ13 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π1

3) π23] ](x, y, z) +

+ d [ θ23 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π2

3)π33] ] (x, y, z) + d [ θ3

3 ◦ exp ◦ [(ln ◦ π33)π1

3] ] (x, y, z) ] =

= d f ( xy, yz, zx) ◦ [ d θ13 ( exp ( ln (x) y)) ◦ d exp ( ln (x) y) ◦ d [(ln ◦ π1

3) π23] (x, y, z) +

+ d θ23 ( exp ( ln (y) z)) ◦ d exp ( ln (y) z) ◦ d [(ln ◦ π2

3) π33] (x, y, z) +

+ d θ33 ( exp ( ln (z) x)) ◦ d exp ( ln (z) x) ◦ d [(ln ◦ π3

3) π13] (x, y, z) ] =

= d f ( xy, yz, zx) ◦ [ θ13 ◦ exp ( ln (x) y) d [(ln ◦ π1

3) π23] (x, y, z) +

+ θ23 ◦ exp ( ln (y) z) d [(ln ◦ π2

3) π33] (x, y, z) +

+ θ33 ◦ exp ( ln (z) x) d [(ln ◦ π3

3) π13] (x, y, z) ] =

= d f ( xy, yz, zx) ◦ [ θ13 ◦ exp ( ln (x) y) ([d ln (x)y ◦ [d π1

3] (x, y, z)) π23(x, y, z)+ [(ln ◦ π1

3) d π23](x, y, z) +

+ θ23 ◦ exp ( ln (y) z) ([d ln (y)z ◦ [d π2

3] (x, y, z)) π33(x, y, z)+ [(ln ◦ π2

3) d π33](x, y, z) +

+ θ33 ◦ exp ( ln (z) x) ([d ln (z)x ◦ [d π3

3] (x, y, z)) π13(x, y, z)+ [(ln ◦ π3

3) d π13](x, y, z) ] =

= d f ( xy, yz, zx) ◦ [ θ13 ◦ exp ( ln (x) y) ([D ln (x)y π1

3 ) π23(x, y, z)+ (ln (x)) π2

3 +

+ θ23 ◦ exp ( ln (y) z) ([D ln (y)z π2

3 ) π33(x, y, z)+ (ln (y)) d π3

3 +

+ θ33 ◦ exp ( ln (z) x) ([D ln (z)x π3

3) π13(x, y, z)+ (ln (z) d π1

3 ] =

= d f ( xy, yz, zx) ◦ [ θ13 ◦ xy (y/x ) π1

3 y + (ln (x)) π23 +

+ θ23 ◦ yz (z/y ) π2

3 z + (ln (y)) π33 +

+ θ33 ◦ zx (x/z ) π3

3 x + (ln (z)) π13 ] ; por tanto:

D1F (x, y, z) = [d F (x, y, z)] (1, 0, 0) =

= d f ( xy, yz, zx) ◦ [ θ13 ◦ [xy (y/x ) π1

3 y + (ln (x)) π23 ] +

+ θ23 ◦ [yz (z/y ) π2

3 z + (ln (y)) π33 ] +

+ θ33 ◦ [zx (x/z ) π3

3 x + (ln (z)) π13 ] ] (1, 0, 0) =

= d f ( xy, yz, zx) ◦ [ θ13 ◦ [xy (y/x ) (1) y + (ln (x)) (0) ] +

+ θ23 ◦ [yz (z/y ) (0) z + (ln (y)) (0) ] +

+ θ33 ◦ [zx (x/z ) (0) x + (ln (z)) (1) ] ] (1, 0, 0) =

[d f ( xy, yz, zx)] (xy (y/x ) , 0 , ln (z)) = [d f ( xy, yz, zx)] (yxy-1, 0 , ln (z))

D2F (x, y, z) = [d F (x, y, z)] (0, 1, 0) =

= d f ( xy, yz, zx) ◦ [ θ13 ◦ [xy (y/x ) π1

3 y + (ln (x)) π23 ] +

+ θ23 ◦ [yz (z/y ) π2

3 z + (ln (y)) π33 ] +

+ θ33 ◦ [zx (x/z ) π3

3 x + (ln (z)) π13 ] ] (0, 1, 0) =


+ θ23 ◦ [yz (z/y ) (1) z + (ln (y)) (0) ] +

+ θ33 ◦ [zx (x/z ) (0) x + (ln (z)) (0) ] ] =

[d f ( xy, yz, zx)] (ln (x), yz (z/y ) , 0) = [d f ( xy, yz, zx)] (ln (x), zyz-1 , 0) ;

D3F (x, y, z) = [d F (x, y, z)] (0, 0, 1) =

= d f ( xy, yz, zx) ◦ [ θ13 ◦ [xy (y/x ) π1

3 y + (ln (x)) π23 ] +

+ θ23 ◦ [yz (z/y ) π2

3 z + (ln (y)) π33 ] +

+ θ33 ◦ [zx (x/z ) π3

3 x + (ln (z)) π13 ] ] (0, 0, 1) =


+ θ23 ◦ [yz (z/y ) (0) z + (ln (y)) (1) ] +

+ θ33 ◦ [zx (x/z ) (1) x + (ln (z)) (0) ] ] =

[d f ( xy, yz, zx)] (0 , ln (y) , zx (x/z )) = [d f ( xy, yz, zx)] (0 , ln (y), xzx-1 ) ;

En resumen:

D1F (x, y, z) = [d f ( xy, yz, zx)] (yxy-1, 0 , ln (z)) ,

D2F (x, y, z) = [d f ( xy, yz, zx)] (ln (x), zyz-1 , 0)

D3F (x, y, z) = [d f ( xy, yz, zx)] (0 , ln (y), xzx-1 )

iv) F , h : ℝ2 → ℝ , f : ℝ3 → ℝ , g : ℝ → ℝ ; F (x, y) ≡ f (x, g(x) , h(x, y))

R.- F ≡ f ◦ [θ13 ◦ π1

2 + θ23 ◦ g ◦ π1

2 + θ33 ◦ h ] , así que :

d F (x, y) = d [ f ◦ [θ13 ◦ π1

2 + θ23 ◦ g ◦ π1

2 + θ33 ◦ h ] ] (x, y) =

= d f (x, g(x) , h(x, y) ◦ d [θ13 ◦ π1

2 + θ23 ◦ g ◦ π1

2 + θ33 ◦ h ] ] (x, y) =

= d f (x, g(x) , h(x, y) ◦ [d [θ13 ◦ π1

2 ] (x, y) + d [ θ23 ◦ g ◦ π1

2 ] (x, y) + d [θ33 ◦ h ] (x, y) ] =

= d f (x, g(x) , h(x, y) ◦ [θ13 ◦ π1

2 + θ23 ◦ d [g ◦ π1

2 ] (x, y) + θ33 ◦ dh (x, y) ] =

= d f (x, g(x) , h(x, y) ◦ [θ13 ◦ π1

2 + θ23 ◦ d g (x) ◦ π1

2 + θ33 ◦ dh (x, y) ] ;

por tanto:

D1F (x, y, z) = [d f (x, g(x) , h(x, y) ◦ [θ13 ◦ π1

2 + θ23 ◦ d g (x) ◦ π1

2 + θ33 ◦ dh (x, y) ] (1, 0) =

= [d f (x, g(x) , h(x, y) ] (1, Dg(x), D1h (x, y)) ;

D2F (x, y, z) = [d f (x, g(x) , h(x, y) ◦ [θ13 ◦ π1

2 + θ23 ◦ d g (x) ◦ π1

2 + θ33 ◦ dh (x, y) ] (0, 1) =

= [d f (x, g(x) , h(x, y) ] (0, Dg(x), D2h (x, y))

29.- Sea f : ℝn → ℝ ; dado v ∈ ℝn -fijo- , si existe el límite

lím h→ 0 (1/ h) (f (x+ hv) - f (x) ) ,

se define a dicho límite como la derivada direccional de f en x , en la dirección v, y se denota por Dv f (x) ;

esto es: Dv f (x) ≡ lím h→ 0 (1/ h) (f (x+ hv) - f (x) ) .

i) Muestra que Dδi f (x) = Di f (x) (que la derivada direccional en la dirección del vector básico δi es la derivada parcial i-ésima)

ii) Muestra que Dtv f (x) = t Dv f (x)

iii) Muestra que, si f es diferenciable en x , Dv f (x) = [d f (x)] (v) , y que, por lo tanto:

Dv+w f (x) = Dv f (x) + Dw f (x) .

30.- Sea f la misma que en el problema 4 . Muestra que existe Dv f (0, 0) para todo v ,

pero que si g ≠ 0 , entonces la igualdad Dv + w f (0, 0) = Dv f (x) + Dw f (x) no es verdadera

para todo v y w .

31.- Sea f definida como en el problema 26; muestra que existe Dv f (0, 0) para todo v , aunque f ni siquiera es continua en (0, 0) .

32.- i) Sea f : ℝ → ℝ definida por:

x2 sen (1/x) para x ≠ 0f(x) ≡

0 para x = 0

Muestra que f es derivable en 0 , pero que Df no es continua en 0 .

R.- Df (x) = 2x sen (1/x) + x2 cos (1/x) (-1/x2) = 2x sen (1/x) - cos (1/x) para x ≠ 0 ;

Df (0) = lím h→ 0 (1/ h) (f(x) - f(0) ) = lím h→ 0 (1/ h) (h2 sen (1/h) – 0) =

= lím h→ 0 h sen (1/h) = 0 , pues, dado cualquier ε > 0 , puede hallarse δ > 0

-con δ = ε - tal que, si 0 < | h | < δ , entonces | h sen (1/h) | ≤ | h | < δ = ε .

Esto es, existe Df (0) = 0 ;

Por otro lado, como Df (x) = 2x sen (1/x) - cos (1/x) para x ≠ 0 , así que, si x → 0 ,

se tiene -como ya se ha visto-: existe lím x→ 0 x sen (1/x) = 0 , por lo que también

existe lím x→ 0 2x sen (1/x) = 0 , pero no existe lím x→ 0 cos (1/x) , pues como:

1/x → ∞ cuando x → 0+ , y 1/x → -∞ cuando x → 0- , entonces, para cualquier δ > 0

se tiene: existe x = 1/2Nπ < δ , tal que cos (1/x) = cos (2Nπ) , con | cos (2Nπ) | = 1 > ε ,

para ε < 1 ; de hecho, cos (1/x) toma todos los valores entre -1 y 1 un número infinito de veces entre x = 1/2π y x = 0 .

ii) Sea f : ℝ2 → ℝ definida por:

(x2 + y2) sen (1/ (√(x2 + y2)) para (x, y) ≠ (0, 0)f (x, y) ≡

0 para (x, y) = (0, 0)

Muestra que f es diferenciable en (0, 0), pero que Dj f no es continua en (0, 0), j { 1, 2 } . ∈

R.- Se tiene: (1/h) ( f (h , 0) - f (0, 0) ) = (1/h) (h2 + 02) sen (1/ (√(h2 + 02)) =

= (1/h) (h2) sen (1/ (√(h2)) = h sen (1/h) , así que:

existe D1f (0, 0) = lím x→ 0 (1/h) ( f (h , 0) - f (0, 0) ) = lím h→ 0 h sen (1/h) = 0 ;

análogamente, por simetría: existe D2f (0, 0) = lím h→ 0 h sen (1/h) = 0 ; y se tiene

que la función lineal L : ℝ2 → ℝ dada por: L (x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ ℝ2 cumple:

(1/||h||) | f (h1 , h2) - f (0, 0) + L (h1 , h2) | = (1/||h||) | f (h1 , h2) | =

= (1/||h||) | (h12 + h2

2) sen (1/ (√(h12 + h2

2)) | =

= | (1/ (√(h12 + h2

2)) | | (h12 + h2

2) sen (1/ (√(h12 + h2

2)) | =

= |√(h12 + h2

2) sen (1/ (√(h12 + h2

2)) | = ||h|| |sen (1/||h||) | ;

esta última expresión es equivalente a ésta : h sen (1/h) , así que de manera análoga a como se vio arriba, es fácil mostrar que existe

lím h→ 0 (1/||h||) | f (h1 , h2) - f (0, 0) + L (h1 , h2) | = lím h→ 0 ||h|| |sen (1/||h||) | = 0 ;

esto es, f es diferenciable en (0, 0), y df (0, 0) = 0 , la función constante cero.

No obstante, se tiene:

D1f(x, y) = 2x sen (1/ (√(x2 + y2)) + (x2 + y2) cos (1/ (√(x2 + y2)) (-1/2) (x2 + y2)-3/2 (2x)

= 2x (sen (1/ (√(x2 + y2)) -(1/2) (x2 + y2) cos (1/ (√(x2 + y2)) (x2 + y2)-3/2 ) =

= 2x (sen (1/ (√(x2 + y2)) -(1/2) (x2 + y2)-1/2 cos (1/ (√(x2 + y2))) =

= 2x (sen (1/ (√(x2 + y2)) -(1/2)(1/ √(x2 + y2)) cos (1/ (√(x2 + y2))) =

= 2x sen (1/ (√(x2 + y2)) - x (1/ √(x2 + y2)) cos (1/ (√(x2 + y2))) =

El primer término claramente converge a cero cuando (x, y) → (0, 0) ; sin embargo, el segundo término, - x (1/ √(x2 + y2)) cos (1/ (√(x2 + y2))) , no necesariamente, pues, por ejemplo,

si (x, y) → (0, 0) a lo largo de la recta x = y , se tendría:

- x (1/ √(x2 + y2)) cos (1/ (√(x2 + y2))) = - x (1/ √(2x2)) cos (1/ (√(2x2))) = - (1/√2 ) cos (1/x√2), que claramente no tiene límite cuando x →0 . Por tanto, no existe lím (x, y) →(0, 0) D1f(x, y); esto es:

D1f no es continua en (0, 0).

Por simetría en la definición de f, con respecto a los papeles de x y y, lo análogo puede decirse con respecto a la derivada con respecto a la segunda variable: D2f no es continua en (0, 0).

34.- Una función f : ℝn → ℝ es homogénea de grado m ssi f (tx) = tm f(x) para toda x.

Prueba que si f es homogénea de grado m, y además es diferenciable, entonces

Σi = 1n xi Di f (x) = m f (x)

Sugerencia: si, para x ∈ ℝn -fijo- si definimos a gx : ℝ → ℝ como gx (t) ≡ f (tx)

para todo t ∈ ℝ , entonces encuentra Dgx (1) .

R.- Sea f : ℝn → ℝ homogénea de grado m ; esto es, f (tx) = tm f(x) para toda x ∈ ℝn , t ,∈ ℝ

y diferenciable; entonces existen las derivadas direccionales Dvf(x) para toda x , v ∈ ℝn ;

sea x ∈ ℝn cualquiera -fija, de momento- , y sea gx : ℝ → ℝ con gx (t) ≡ f (tx)

para todo t ∈ ℝ ; se tiene: gx (1+ t) - gx (1) = f ((1+ t) x) - f (x) = (1+ t)m f(x) - f(x) =

= ( Σi = 0m (m

i) 1m-i ti) f(x) - f(x) = ( Σi = 1m (m

i) 1m-i ti) f(x) , así que:

(1/t) ( gx (1+ t) - gx (1) ) = ( Σi = 1m (m

i) ti-1) f(x) = m f(x) + ( Σi = 2m (m

i) ti-1) f(x) , así que

existe lím t → 0 (1/t) ( gx (1+ t) - gx (1) ) = f(x) , esto es, existe Dgx (1) = m f(x)

Ahora, siendo f : ℝn → ℝ diferenciable, entonces su matriz asociada debe tener la forma:

[d f (x)]1⨯n = [D1 f (x) , D2 f (x) , … , Di f (x) , … , Dn f (x)] , por lo que, si multiplicamos esta

matrix por la matriz columna [x]T1⨯n = [x1 , x2 , … , xi , … , xn ]T , obtenemos precisamente la

expresión: [d f (x)] (x) = [d f (x)]1⨯n ⨯ [x]T1⨯n = [d f (x)]1⨯n ⨯ [x]n⨯1 = Σi = 1

n xi Di f (x) ;

y sabemos que , precisamente, [d f (x)] (v) = Dv f (x) , tenemos: Dx f (x) = Σi = 1n xi Di f (x) ,

y puesto que se ha mostrado que Dv f (x) = lím h→ 0 (1/ h) (f (x+ hv) - f (x) ) , podemos

escribir: lím h→ 0 (1/ h) (f (x+ hx) - f (x) ) = Dx f (x) = Σi = 1n xi Di f (x) , pero entonces

como sabemos que f (x+ hx) = f ( (1+ h) x) = (1+ h)m f (x) , lo que implica -como hemos visto-

que lím h→ 0 (1/ h) (f (x+ hx) - f (x) ) = m f(x) ; esto es, en efecto:

Σi = 1n xi Di f (x) = m f(x) .

35.- Si f : ℝn → ℝ es diferenciable y f (0) = 0 , prueba que para todo i { 1, 2, …, ∈ n }

existe φi : ℝn → ℝ tales que f (x) = Σi = 1n xi φi (x)

Sugerencia: si, para x ∈ ℝn -fijo- si definimos a hx : ℝ → ℝ como hx (t) ≡ f (tx)

para todo t ∈ ℝ , entonces f (x) = ∫01 Dhx (t) dt .

R.- Siguiendo la sugerencia, se tiene: sea f : ℝn → ℝ diferenciable, con f (0) = 0 ; ahora,

dado x ∈ ℝn -cualquiera, pero fijo, de momento- definamos a hx : ℝ → ℝ como

hx (t) ≡ f (tx) para todo t ∈ ℝ ; entonces, es claro que hx es derivable para todo t ∈ ℝ ,

y que Dhx (t) = lím k→ 0 (1/ k) ( hx (t + k) - hx (t) ) = lím k→ 0 (1/ k) ( f ((t + k) x) - f (tx)) =

= lím k→ 0 (1/ k) ( f (t x+ k x) - f (tx)) = Dxf (tx) ; esto es: Dhx (t) = Dxf (tx) ;

si añadimos la hipótesis de que Dhx es Riemann integrable -o incluso continua-,

entonces existe ∫01 Dhx (t) dt , y por el (segundo) teorema fundamental del cálculo:

∫01 Dhx (t) dt = hx (1) - hx (0) = f (1x) - f (0x) = f (x) - f (0) = f (x) , en efecto;

Ahora bien, sabemos que [df (tx) ] (x) = Dxf (tx) que es igual a Dhx (t), pero también se

expresa como [df (tx) ] (x) = Σi = 1n xi Di f(tx) , así que podemos escribir:

Dhx (t) = Σi = 1n xi Di f(tx) ; es decir, la función Riemann integrable Dhx se puede escribir

como la suma de otras funciones, que -hipotetizamos- también son Riemann integrables ;

se tiene, para i {1, 2, …, ∈ n} : Di f(tx) = [df (tx) ] (δi) , y podemos definir a Φi: ℝ → ℝ

como Φi (t) ≡ Di f(tx) , y entonces, con la hipótesis dada, y usando de nuevo el segundo

teorema fundamental del cálculo, definir a φi : ℝn → ℝ como :

φi (x) ≡ ∫01 Φi (t) dt = ∫0

1 Di f(tx) dt , por lo que se tiene, al final:

f (x) = ∫01 Dhx (t) dt = ∫0

1 [Σi = 1n xi Di f(tx)] dt = Σi = 1

n xi ∫01 Di f(tx) dt = Σi = 1

n xi φi (x) ,

como se pedía demostrar.

calculuscienciasunam.files.wordpress.com · Respuestas a los problemas de los Ejercicios 200425 (*)...

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