Calculus (es) thomas 12th

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  • THOMAS

    UNA VARIABLECLCULO

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    UL

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    ecimosegu

    nda

    edicinDecimosegunda edicin

    WEIRHASS

    ISBN 978-607-32-0164-3

    Vistenos en:www.pearsoneducacion.net

    En la nueva ediicin del reconocido libro de Thomas se ha conservado la estructura bsica de la edicin anterior. Tambin se han atendido las peticiones y sugerencias de los usuarios y los revisores, al colocar la introduccin de ecuaciones paramtri-cas despus de explicar las coordenadas polares, y al presentar el tema de la regla LHpital despus de las funciones trascendentes.

    Cada nuevo tema se plantea mediante ejemplos claros y sencillos; adems, los temas se refuerzan mediante aplicaciones a problemas del mundo real y de inters inmediato para los estudiantes. Una caracterstica distintiva del libro son las apli-caciones a la ciencia y la ingeniera.

    Por su importancia en el aprendizaje del clculo, se continuaron mejorando las figuras de este texto y se incluy un nmero significativo de figuras nuevas.

    La tecnologa puede incorporarse de acuerdo con el criterio de cada profesor, ya que cada seccin contiene ejercicios que requieren su uso.

    El dominio de un tema con aplicaciones prcticas al mundo ser una recompensa para el estudiante, pero el verdadero regalo ser la habilidad para pensar y gene-ralizar. Estamos seguros de que este libro brindar respaldo y apoyo para ambas cuestiones.

    La pgina Web www.pearsoneducacion.net/thomaswww.pearsoneducacion.net/thomasofrece apoyos importantes al profesor

    Addison-Wesleyes una marca de

    Addison-Wesley

  • George B. Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology

    Revisada por

    Maurice D. WeirNaval Postgraduate School

    Joel Hass University of California, Davis

    Traduccin

    Vctor Hugo Ibarra MercadoEscuela de Actuara

    Universidad Anhuac - Mxico Norte

    Revisin tcnica

    Carlos Bosch GiralCsar Luis Garca Garca

    Claudia Gmez WulschnerDepartamento de Matemticas

    Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico

    Manuel Robles BernalInstituto Politcnico Nacional

    THOMAS

    CLCULODecimosegunda edicinUNA VARIABLE

  • Datos de catalogacin bibliogrficaTHOMAS

    Clculo una variableDecimosegunda edicin

    PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2010

    ISBN: 978-607-32-0164-3 rea: Matemticas

    Formato: 21.5 3 27.5 cm Pginas: 800

    Authorizeded translation from the English language editions, entitled THOMAS CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12th Edition by GEORGE THOMAS;MAURICE WEI; JOEL HASS, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright 2010. All rights reserved.ISBN 9780321637420

    Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12 ed. Por GEORGE THOMAS; MAURICE WEI; JOEL HASS,publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright 2010. Todos los derechos reservados.

    Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

    Edicin en inglsEditor-in-Chief: Deirdre Lynch Software Development: Mary Durnwald and Bob CarrollSenior Acquisitions Editor: William Hoffman Executive Marketing Manager: Jeff WeidenaarSenior Project Editor: Rachel S. Reeve Marketing Assistant: Kendra BassiAssociate Editor: Caroline Celano Senior Author Support/Technology Specialist: Joe VetereAssociate Project Editor: Leah Goldberg Senior Prepress Supervisor: Caroline FellSenior Managing Editor: Karen Wernholm Manufacturing Manager: Evelyn BeatonSenior Production Supervisor: Sheila Spinney Production Coordinator: Kathy DiamondSenior Design Supervisor: Andrea Nix Composition: Nesbitt Graphics, Inc.Digital Assets Manager: Marianne Groth Illustrations: Karen Heyt, IllustraTechMedia Producer: Lin Mahoney Cover Design: Rokusek Design

    Edicin en espaolEditor: Rubn Fuerte Rivera

    e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernndez CarrascoSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo

    DECIMOSEGUNDA EDICIN, 2010

    D.R. 2010 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco 500-5o. pisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

    Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031.

    Addison-Wesley es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

    Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqu-mico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

    El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

    ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-0164-3ISBN E-BOOK: 978-607-32-0165-0ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0166-7

    Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 13 12 11 10

  • REVISIN TCNICA

    Adelia CopasEnrique SantillnESIME, Zacatenco-Instituto Politcnico Nacional

    Javier Mosqueda LafargaInstituto Tecnolgico de Culiacn

    Elio Csar RamosInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Aguascalientes

    Mara Guadalupe Lomel PlascenciaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Guadalajara

    Daniel Flores BarrigaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Morelia

    Eduardo Soberanes LugoInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Sinaloa

    Roberto Nez Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente

    Enrique Fernndez DazGabriel Martnez ChvezInstituto Tecnolgico de Hermosillo

    Socorro del Rivero Jimnez Instituto Tecnolgico Superior de Cajeme

    Mario MesinoUniversidad Autnoma de Guadalajara

    Cutberto Romero MelndezUniversidad Autnoma Metropolitana-Unidad Azcapotzalco

    Luca Gonzlez RendnUniversidad de Guadalajara

  • AGRADECIMIENTOS

    ArgentinaEmilio SurezInstituto Tecnolgico de Buenos Aires

    Haydee CastellettiSilvia Adriana MamoneUniversidad de Belgrano

    Viviana Niselman Universidad de Buenos Aires

    Gladis Beatriz AstargoHoracio DayUniversidad Nacional de Cuyo

    Isabel WeinbergUniversidad Nacional de la Matanza

    ngela MaldonadoAugusto MelgarejoDelicia TiseraDiego VallejoJos SurezLaura LangoniMara Ins OteguiMara Teresa GuardarucciMariel LavaaMercedes TrpoliMiguel SanservinoNstor BucariUniversidad Nacional de la Plata

    Anglica ArnulfoBeatriz IntrocasoEmilio SastreJos BottoMara Susana MontelarMnica CaseroUniversidad Nacional de Rosario

    Elena ArlauskasGabriela RighettiUniversidad Tecnolgica Nacional Regional Avellaneda

    ColombiaBernardo Aldana GmezNstor Ral PachnEscuela Colombiana de Ingeniera-Bogot

    Elas CardonaICESI

    Antonio MerchnFernando NovoaGerardo ToleHctor LinaresIrina ReyesIsmael GarcaJaime GmezJuan Carlos QuinteroLiliana BarretoMoiss ArandaNazly Esmeralda SalasRafael CastroPontificia Universidad Javeriana

    Laureano ValenciaOswaldo Rodrguez DazUniversidad Autnoma de Occidente-Cali

    Mario BravoUniversidad de San Buenaventura-Cali

    Jos VilladaUniversidad Distrital Francisco Jos de Caldas

    ChileJuan DuarteUniversidad de Antofagasta

    Pearson Educacin agradece a los centros de estudio y profesores usuarios de esta obra por su apoyo y retroalimentacin, elemento fundamental para esta nueva edicin de Clculo, una variable.

  • Clarita BalbontnUniversidad de los Andes

    Julio Hugo RamrezUniversidad de Via del Mar

    EcuadorEduardo AlbaUniversidad San Francisco de Quito

    EspaaPatricia Barral RodioUniversidad de Santiago de Compostela

    MxicoAlicia Ordez SeguraCelerino Federico Navarrete CruzFernando Arenas GarcaIsidro Rodrguez MontoroJess Solano RoanoJorge Almanza PrezJos Luis Almanza PrezJulio Ernesto Hoyos OchoaSalvador Hoyos OchoaInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Jalapa

    Miguel Hernndez de la TorreOmar Olmos LpezInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey - Campus Toluca

    Mauricio Cirilo Mndez CansecaRal ChvezUniversidad Anhuac - Mxico Sur

    Anglica Tovar GmezBertha Alicia Arellano SilvaElvia Loera HernndezJavier Cant RodrguezKarla Guajardo CosoUniversidad Autnoma de Nuevo Len

    Ramiro Garza MolinaUniversidad Autnoma de Tamaulipas

    David Elizarraraz MartnezJaime Grabinsky SteiderJos Ventura Becerril EspinosaJudith Omaa PulidoMarina Salazar AntunezUniversidad Autnoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco

    Mauro Ernesto Espinoza GarcaUniversidad Cristbal Coln - Veracruz

    Ana Mara Gonzlez PiaJavier Barrn Karla Violeta Martnez FacundoMaribel Fuentes DvilaPatricia GonzlezUniversidad de Monterrey

    Alma Rosa Griselda Zetina VlezMartn Cruz CuevasMiriam LemusRoberto Bautista AtengenesSandra Chimal GarmaUniversidad La Salle

    Dolores Vera DectorFelipe Hernndez HernndezRicardo Victoria CarreraUniversidad Veracruzana

    PerLuis Daz BazurcoWilber Ramos LovnUniversidad Catlica de Santa Mara-Arequipa

    Jos Cuevas GonzlezUniversidad Peruana de Ciencias Aplicadas

    Venezuela Elvira SabalMilagros BosquettiUniversidad Catlica Andrs Bello

    Jess HernndezJos Luis QuinterosMara de ArmasMara Luisa VonnaMarienma SnchezUniversidad Central de Venezuela

  • vii

    Prefacio xiii

    1 Funciones 11.1 Las funciones y sus grficas 11.2 Combinacin de funciones; traslacin y cambio de tamao de funciones 141.3 Funciones trigonomtricas 221.4 Graficacin por medio de calculadoras y computadora 30

    PREGUNTAS DE REPASO 34EJERCICIOS DE PRCTICA 35EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 37

    2 Lmites y continuidad 392.1 Tasas de cambio y tangentes a curvas 392.2 Lmite de una funcin y leyes de los lmites 462.3 La definicin formal de lmite 572.4 Lmites laterales 662.5 Continuidad 732.6 Lmites que incluyen al infinito; asntotas de grficas 84

    PREGUNTAS DE REPASO 96EJERCICIOS DE PRCTICA 97EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 98

    3 Derivadas 1023.1 Tangentes y la derivada en un punto 1023.2 La derivada como una funcin 1063.3 Reglas de derivacin 1153.4 La derivada como una tasa de cambio 1243.5 Derivadas de funciones trigonomtricas 1353.6 La regla de la cadena 142

    CONTENIDO

    VOLUMEN I

  • 3.7 Derivacin implcita 1493.8 Tasas relacionadas 1553.9 Linealizacin y diferenciales 164

    PREGUNTAS DE REPASO 175EJERCICIOS DE PRCTICA 176EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 180

    4 Aplicaciones de las derivadas 1844.1 Valores extremos de funciones 1844.2 El teorema del valor medio 1924.3 Funciones montonas y el criterio de la primera derivada 1984.4 Concavidad y trazado de curvas 2034.5 Optimizacin aplicada 2144.6 Mtodo de Newton 2254.7 Antiderivadas 230

    PREGUNTAS DE REPASO 239EJERCICIOS DE PRCTICA 240EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 243

    5 Integracin 2465.1 rea y su estimacin mediante sumas finitas 2465.2 Notacin sigma y lmites de sumas finitas 2565.3 La integral definida 2625.4 El teorema fundamental del clculo 2745.5 Integrales indefinidas y el mtodo de sustitucin 2845.6 Sustitucin y rea entre curvas 291

    PREGUNTAS DE REPASO 300EJERCICIOS DE PRCTICA 301EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 304

    6 Aplicaciones de las integrales definidas 3086.1 Clculo de volmenes por medio de secciones transversales 3086.2 Clculo de volmenes por medio de cascarones cilndricos 3196.3 Longitud de arco 3266.4 reas de superficies de revolucin 3326.5 Trabajo y fuerza de fluidos 3376.6 Momentos y centros de masa 346

    PREGUNTAS DE REPASO 357EJERCICIOS DE PRCTICA 357EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 359

    viii Contenido

  • 7 Funciones trascendentes 3617.1 Funciones inversas y sus derivadas 3617.2 Logaritmos naturales 3697.3 Funciones exponenciales 3777.4 Cambio exponencial y ecuaciones diferenciales con variables separables 3877.5 Formas indeterminadas y la regla de LHpital 396 7.6 Funciones trigonomtricas inversas 4047.7 Funciones hiperblicas 4167.8 Razones relativas de crecimiento 424

    PREGUNTAS DE REPASO 429EJERCICIOS DE PRCTICA 430EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 433

    8 Tcnicas de integracin 4358.1 Integracin por partes 4368.2 Integrales trigonomtricas 4448.3 Sustituciones trigonomtricas 4498.4 Integracin de funciones racionales por medio de fracciones parciales 4538.5 Tablas de integrales y sistemas de lgebra por computadora (SAC) 4638.6 Integracin numrica 4688.7 Integrales impropias 478

    PREGUNTAS DE REPASO 489EJERCICIOS DE PRCTICA 489EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 491

    9 Ecuaciones diferenciales de primer orden 4969.1 Soluciones, campos direccionales y el mtodo de Euler 4969.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 5049.3 Aplicaciones 5109.4 Soluciones grficas de ecuaciones diferenciales autnomas 5169.5 Sistemas de ecuaciones y planos fase 523

    PREGUNTAS DE REPASO 529EJERCICIOS DE PRCTICA 529EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 530

    10 Sucesiones y series infinitas 53210.1 Sucesiones 53210.2 Series infinitas 54410.3 Criterio de la integral 55310.4 Criterios de comparacin 55810.5 Criterios de la raz y de la razn 563

    Contenido ix

  • 10.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 56810.7 Series de potencias 57510.8 Series de Taylor y de Maclaurin 58410.9 Convergencia de series de Taylor 58910.10 La serie binomial y aplicaciones de las series de Taylor 596

    PREGUNTAS DE REPASO 605EJERCICIOS DE PRCTICA 605EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 607

    11 Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares 61011.1 Parametrizacin de curvas planas 61011.2 Clculo con curvas paramtricas 61811.3 Coordenadas polares 62711.4 Grficas en coordenadas polares 63111.5 reas y longitudes en coordenadas polares 63511.6 Secciones cnicas 63911.7 Secciones cnicas en coordenadas polares 648

    PREGUNTAS DE REPASO 654EJERCICIOS DE PRCTICA 655EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 657

    12 Los vectores y la geometra del espacio 66012.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 66012.2 Vectores 66512.3 El producto punto 67412.4 El producto cruz 68212.5 Rectas y planos en el espacio 68812.6 Cilindros y superficies cudricas 696

    PREGUNTAS DE REPASO 701EJERCICIOS DE PRCTICA 702EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 704

    13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio 70713.1 Curvas en el espacio y sus tangentes 70713.2 Integrales de funciones vectoriales; movimiento de proyectiles 71513.3 Longitud de arco en el espacio 72413.4 Curvatura y vectores normales de una curva 72813.5 Componentes tangencial y normal de la aceleracin 73413.6 Velocidad y aceleracin en coordenadas polares 739

    PREGUNTAS DE REPASO 742EJERCICIOS DE PRCTICA 743EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 745

    x Contenido

    VOLUMEN II

  • 14 Derivadas parciales 74714.1 Funciones de varias variables 74714.2 Lmites y continuidad en dimensiones superiores 75514.3 Derivadas parciales 76414.4 Regla de la cadena 77514.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 78414.6 Planos tangentes y diferenciales 79114.7 Valores extremos y puntos de silla 80214.8 Multiplicadores de Lagrange 81114.9 Frmula de Taylor para dos variables 82014.10 Derivadas parciales con variables restringidas 824

    PREGUNTAS DE REPASO 829EJERCICIOS DE PRCTICA 829EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 833

    15 Integrales mltiples 83615.1 Integrales dobles e iteradas sobre rectngulos 83615.2 Integrales dobles sobre regiones generales 84115.3 reas por doble integracin 85015.4 Integrales dobles en forma polar 85315.5 Integrales triples en coordenadas rectangulares 85915.6 Momentos y centros de masa 86815.7 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas 87515.8 Sustitucin en integrales mltiples 887

    PREGUNTAS DE REPASO 896EJERCICIOS DE PRCTICA 896EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 898

    16 Integracin en campos vectoriales 90116.1 Integrales de lnea 90116.2 Campos vectoriales e integrales de lnea: Trabajo, circulacin y flujo 90716.3 Independencia de la trayectoria, campos conservativos y funciones

    potenciales 92016.4 Teorema de Green en el plano 93116.5 Superficies y reas 94316.6 Integrales de superficie 95316.7 Teorema de Stokes 96216.8 El teorema de la divergencia y una teora unificada 972

    PREGUNTAS DE REPASO 983EJERCICIOS DE PRCTICA 983EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 986

    Contenido xi

  • 17 Ecuaciones diferenciales de segundo orden 98917.1 Ecuaciones lineales de segundo orden 98917.2 Ecuaciones lineales no homogneas 99617.3 Aplicaciones 100517.4 Ecuaciones de Euler 101117.5 Soluciones en series de potencias 1014

    Apndices AP-1

    A.1 Los nmeros reales y las rectas reales AP-1A.2 Induccin matemtica AP-6A.3 Rectas, circunferencias y parbolas AP-10A.4 Demostraciones de los teoremas de lmites AP-18A.5 Lmites que aparecen con frecuencia AP-21A.6 Teora de los nmeros reales AP-23A.7 Nmeros complejos AP-25A.8 La ley distributiva para el producto vectorial cruz AP-35A.9 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-36

    Respuestas a los ejercicios con nmero impar A-1

    ndice I-1

    Crditos C-1

    Breve tabla de integrales T-1

    xii Contenido

  • Revisamos exhaustivamente esta edicin de Clculo de Thomas con la finalidad de cubrir lasnecesidades de los profesores y los estudiantes actuales. El resultado es un libro con ms ejem-plos, ms ejercicios de nivel medio, mayor cantidad de figuras y mejor flujo conceptual, ademsde mayores claridad y precisin. Al igual que las ediciones anteriores, esta nueva edicin ofreceuna introduccin moderna al clculo que apoya la comprensin conceptual, pero conserva los elementos esenciales de un curso tradicional. Tales mejoras se relacionan estrechamente con unaversin ampliada del texto de MyMathLab (al que nos referiremos ms adelante), el cual brin-da apoyo adicional a los estudiantes y flexibilidad a los profesores.

    Muchos de nuestros alumnos estuvieron expuestos a la terminologa y los aspectos compu-tacionales del clculo durante el bachillerato. A pesar de la familiaridad con el lgebra y la tri-gonometra, sus habilidades en estas materias con frecuencia son insuficientes para alcanzar elxito en el clculo universitario. Con este texto buscamos equilibrar la escasa experiencia delos estudiantes con el clculo y el desarrollo de habilidades algebraicas que podran necesitar,todo sin socavar o minar su confianza. Adems, hemos tenido cuidado de presentar suficientematerial, soluciones detalladas paso a paso y ejercicios que apoyen una comprensin completapara alumnos de todos los niveles.

    Animamos a los estudiantes a ir ms all de la memorizacin de las frmulas para genera-lizar conceptos conforme stos se presenten. Nuestro deseo es que despus de cursar clculo,ellos tengan confianza en sus habilidades para razonar y resolver problemas. El dominio de untema maravilloso con aplicaciones prcticas al mundo ser su recompensa, pero el verdaderoregalo ser la habilidad para pensar y generalizar. Creemos que este libro brindar respaldo yapoyo para ambas cosas.

    Cambios en la decimosegunda edicin

    CONTENIDO En la preparacin de esta edicin hemos conservado la estructura bsica de la ta-bla de contenido de la edicin anterior. Hemos puesto atencin a las peticiones de los usuariosy los revisores de posponer la introduccin de ecuaciones paramtricas hasta despus de expli-car las coordenadas polares, y de presentar el tema de la regla de LHpital despus de las fun-ciones trascendentes. Realizamos numerosas revisiones a la mayora de los captulos, como sedetalla a continuacin.

    Funciones Condensamos este captulo an ms para centrarnos en la revisin de los con-ceptos sobre funciones. El material de requisito que cubre nmeros reales, intervalos, incre-mentos, lneas rectas, distancias, circunferencias y parbolas se presenta en los apndices 1 a 3.

    Lmites Para mejorar la continuidad en este captulo, combinamos las ideas de lmites queincluyen infinito y su relacin con las asntotas en las grficas de las funciones, colocn-dolas juntas al final de la ltima seccin del captulo.

    Derivadas Aunque utilizamos tasas de cambio y tangentes a curvas como motivacin para elestudio del concepto de lmite, ahora presentamos el concepto de derivada en un solo cap-tulo. Reorganizamos e incrementamos el nmero de ejemplos de tasas relacionadas y agre-gamos nuevos ejemplos y ejercicios sobre graficacin de funciones racionales.

    xiii

    PREFACIO

  • Antiderivadas e integracin Conservamos la organizacin de la decimoprimera edicin alcolocar las antiderivadas como el ltimo tema referente a las aplicaciones de las derivadas.Nuestro objetivo es exponer la forma de recuperar una funcin a partir de su derivada,como la solucin del tipo ms sencillo de una ecuacin diferencial de primer orden. Las integrales, como lmites de sumas de Riemann, estudiadas sobre todo a la luz del pro-blema de determinar reas de regiones generales con fronteras curvas, son un nuevo temaque forma la parte sustancial del captulo 5. Despus de un cuidadoso desarrollo del con-cepto de integral, pusimos nuestra atencin en su evaluacin y su relacin con las anti-derivadas, relacin que se plasma en el teorema fundamental del clculo. Las aplicacionescorrespondientes definen diversas ideas geomtricas de rea, volumen, longitudes de tra-yectorias y centroides, todas como lmites de sumas de Riemann que dan lugar a integralesdefinidas que pueden evaluarse determinando una antiderivada del integrando. Posterior-mente, regresamos al tema de resolver ecuaciones diferenciales de primer orden ms com-plicadas; despus de ello, definimos y establecemos las funciones trascendentes y suspropiedades.

    Ecuaciones diferenciales Algunas universidades prefieren que este tema se incluya en uncurso aparte de clculo. Aunque nosotros tratamos las soluciones de ecuaciones diferencia-les con variables separables, cuando tratamos las aplicaciones de crecimiento y decaimientoexponenciales en el captulo de funciones trascendentes, organizamos todo nuestro materialen dos captulos (que pueden omitirse para seguir la secuencia de clculo). En el captulo 9damos un tratamiento introductorio a las ecuaciones diferenciales de primer orden. El cap-tulo incluye una nueva seccin sobre sistemas y planos fase, con aplicaciones a modelos que incluyen presas y depredadores. En el captulo 17 presentamos una introduccin a ecua-ciones diferenciales de segundo orden, que se incluye en MyMathLab, as como en el sitioWeb del texto, www.pearsoneducacion.net/thomas.

    Series Conservamos la estructura organizacional de la decimoprimera edicin para los temasde sucesiones y series. Agregamos nuevas figuras y nuevos ejercicios a diversas secciones,pero adems revisamos algunas de las demostraciones relacionadas con la convergencia deseries de potencia para mejorar la accesibilidad del material a los estudiantes. Uno de losusuarios del texto nos dijo que cualquier modificacin que hiciramos para que este ma-terial resultara ms sencillo para los estudiantes sera bienvenida en su facultad; ese co-mentario nos gui para hacer las revisiones de este captulo.

    Ecuaciones paramtricas Varios usuarios pidieron incluir este tema en el captulo 11, don-de tambin se tratan coordenadas polares y secciones cnicas. Lo hicimos luego de com-prender que muchos departamentos eligen cubrir tales temas al inicio de Clculo III, comopreparacin para tratar el clculo con vectores y de varias variables.

    Funciones de variables vectoriales Redujimos los temas de este captulo para dar mayornfasis a los conceptos que fundamentan el material sobre derivadas parciales, el vector gra-diente y las integrales de lnea. Compactamos el anlisis del marco de Frenet y las tres leyesde Kepler acerca del movimiento de los planetas.

    Clculo de varias variables En estos tres captulos resaltamos el diseo, adems de aadirmuchas figuras, ejemplos y ejercicios nuevos. Reorganizamos el material inicial sobre inte-grales dobles. Combinamos en una sola seccin las aplicaciones de integrales dobles y tri-ples a masas y momentos; se presentan casos tanto de dos como de tres dimensiones. Dichareorganizacin permite una mejor exposicin de los conceptos clave, junto con sus propie-dades y sus aspectos computacionales. Al igual que en la edicin anterior, en sta conti-nuamos haciendo las conexiones de las ideas de varias variables con sus anlogos de unavariable que se estudian antes en el texto.

    Campos vectoriales Dedicamos un considerable esfuerzo para mejorar la claridad y pre-cisin matemtica de nuestro estudio de clculo integral vectorial, incluyendo ejemplos,figuras y ejercicios adicionales. Los teoremas y los resultados importantes se enuncian conmayor claridad y en forma completa; se incluyen explicaciones amplias de sus hiptesis y consecuencias matemticas. El rea de una superficie ahora se organiza en una sola sec-cin, mientras las superficies definidas, explcita o implcitamente, se tratan como casos especiales de la representacin paramtrica ms general. Las integrales de superficie y susaplicaciones se estudian en una seccin separada. El teorema de Stokes y el teorema de la divergencia se siguen presentando como generalizaciones del teorema de Green a tres dimensiones.

    xiv Prefacio

  • EJERCICIOS Y EJEMPLOS Sabemos que los ejercicios y los ejemplos son componentes funda-mentales en el aprendizaje del clculo. En virtud de tal importancia, actualizamos, mejoramosy ampliamos el nmero de ejercicios en casi todas las secciones del libro. En la presente edicinincluimos ms de 700 nuevos ejercicios. Continuamos nuestra organizacin y la agrupacin deejercicios por tema, como en las ediciones anteriores, pasando de problemas computacionales aproblemas aplicados y tericos. Los ejercicios que requieren del uso de sistemas de cmputo(como Maple o Mathematica) se colocaron al final de cada seccin de ejercicios con el t-tulo Exploraciones con computadora. La mayora de los ejercicios aplicados tienen un sub-ttulo para indicar la clase de aplicacin adecuada del problema.

    Muchas secciones incluyen ejemplos nuevos para clarificar y profundizar en el significadodel tema que se estudia, as como para ayudar a los estudiantes a comprender las consecuenciasmatemticas o las aplicaciones a la ciencia y la ingeniera. Al mismo tiempo, eliminamos ejem-plos que repetan material presentado con anterioridad.

    DISEO Por su importancia en el aprendizaje del clculo, continuamos con la mejora de figurasexistentes en este texto e incluimos un nmero significativo de nuevas figuras. Continuamoscon el uso del color de manera consistente y pedaggica para resaltar la idea conceptual que se ilustra. Tambin revisamos todas las leyendas de las figuras, poniendo mucha atencin a laclaridad y precisin en los enunciados cortos.

    Prefacio xv

    MYMATHLAB Y MATHXL El aumento en el uso y la demanda de sistemas de tareas en lnea ha llevado a cambios en MyMathLab y MathXL para el texto. El curso MyMathLab ahoraincluye muchos ms ejercicios de todo tipo. Los nuevos applets JavaTM se agregan a la ya sig-nificativa coleccin, para ayudar a los estudiantes a visualizar los conceptos y generalizar elmaterial.

    Otras caractersticas destacadas

    RIGOR El nivel de formalidad es consistente con el de las ediciones anteriores. Seguimos dis-tinguiendo entre anlisis formal e informal, y sealamos sus diferencias. Consideramos queiniciar con una idea ms intuitiva y menos formal ayuda a los estudiantes a comprender un con-cepto nuevo y difcil, de manera que luego ellos puedan apreciar cabalmente su precisinmatemtica y los resultados. Ponemos atencin en definir las ideas de una manera detallada

    x

    yNo importa qu nmero positivo sea , la grfica se encuentra en esta banda en x y ah permanece.

    1

    y

    M 1

    N 1

    y 0

    Sin importar qu nmero positivo sea , la grfica se encuentra en esta banda en x y ah permanece.

    1

    y 1x

    FIGURA 2.50 La geometra dentro delargumento del ejemplo 1.

    z

    x

    y

    FIGURA 16.9 Una superficie, como unared o un paracadas, en un campo vectorialque representa los vectores velocidad delflujo de agua o aire. Las flechas muestran ladireccin y sus longitudes indican la rapidez.

  • y en probar los teoremas adecuados para estudiantes de clculo, aunque mencionamos temasms profundos o sutiles que ellos estudiarn en un curso ms avanzado. Nuestra organizacin y las distinciones entre tratamiento informal y formal dan al profesor un considerable grado deflexibilidad en la cantidad y la profundidad de cobertura de los diferentes temas. Por ejemplo,no demostramos el teorema del valor intermedio ni el teorema del valor extremo para funcionescontinuas en a # x # b, pero enunciamos dichos teoremas de manera muy precisa, ilustramossu significado en numerosos ejemplos y los utilizamos para demostrar otros resultados impor-tantes. Adems, para aquellos profesores que deseen una mayor profundidad, en el apndice 6estudiamos la validez de tales teoremas con base en la completez de los nmeros reales.

    EJERCICIOS DE ESCRITURA Los ejercicios de escritura colocados en todo el texto piden a losestudiantes explicar una variedad de conceptos y variaciones del clculo. Adems, al final decada captulo se incluye una lista de preguntas para que revisen y sinteticen lo que aprendieron.Muchos de estos ejercicios son buenas tareas de redaccin.

    REPASO Y PROYECTOS DE FINAL DE CAPTULO Adems de los problemas que aparecen encada seccin, cada captulo termina con preguntas de repaso, ejercicios de prctica que cubrentodo el captulo, y una serie de ejercicios adicionales y avanzados que sirven para incluir pro-blemas ms desafiantes o que sintetizan el conocimiento. La mayora de los captulos tambinincluyen descripciones de varios Proyectos de aplicacin tecnolgica, que pueden desarro-llarse de manera individual o por grupos en un periodo ms prolongado. Dichos proyectos re-quieren el uso de una computadora con Mathematica o Maple, y de material adicional, el cualest disponible en Internet en www.pearsoneducacion.net/thomas y en MyMathLab.

    ESCRITURA Y APLICACIONES Como siempre, este texto contina siendo fcil de leer, puestiene un estilo conversacional al tiempo que es rico matemticamente. Cada nuevo tema seplantea mediante ejemplos claros y fciles de comprender; adems, el tema se refuerza me-diante aplicaciones a problemas del mundo real y de inters inmediato para los estudiantes. Unsello distintivo del libro han sido sus aplicaciones del clculo a la ciencia y la ingeniera. Estosproblemas aplicados se han actualizado, mejorado y ampliado de manera continua durante lasltimas ediciones.

    TECNOLOGA En un curso que utilice el texto, la tecnologa puede incorporarse de acuer-do con el criterio de cada profesor. Cada seccin contiene ejercicios que requieren el uso detecnologa; si es pertinente el uso de una calculadora o una computadora, se incluye un sm-bolo en los ejercicios, o bien, stos se agrupan bajo el ttulo Exploraciones con compu-tadora si se requiere del uso de un sistema algebraico computacional (SAC, como Maple oMathematica).

    Complementos multimedia y apoyo en lnea

    MANUALES DE RECURSOS TECNOLGICOSMaple Manual de James Stapleton, North Carolina State University Mathematica Manual de Marie Vanisko, Carroll CollegeTI-Graphing Calculator Manual de Elaine McDonald-Newman, Sonoma State UniversityEstos manuales cubren Maple 13, Mathematica 7 y las TI-83 Plus/TI-84 Plus y TI-89, respec-tivamente. Cada manual ofrece una gua detallada para integrar un paquete especfico o unacalculadora graficadora a lo largo de todo el curso, incluyendo sintaxis y comandos. Los ma-nuales estn disponibles para profesores calificados a travs del Centro de Recursos para elProfesor de Pearson, www.pearsonhighered/irc y MyMathLab.

    SITIO WEB www.pearsoneducacion.net/thomas El sitio Web de Clculo de Thomas contiene el captulo sobre ecuaciones de segundo orden, incluyendo las respuestas a problemas de nmero impar; adems, presenta las biografas his-tricas ampliadas y los ensayos a que hace referencia el texto. Tambin est disponible unacoleccin de mdulos en Maple y Mathematica, as como los Proyectos de aplicacin tecno-lgica, que pueden usarse como proyectos para los alumnos, ya sea que trabajen de manera in-dividual o por grupos.

    T

    xvi Prefacio

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    Prefacio xvii

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    Diapositivas de clases en PowerPointEstas diapositivas de presentaciones de clases fueron diseadas especficamente para la secuen-cia y filosofa de la serie de Clculo de Thomas. Se incluyen grficas clave del libro para ayudara hacer vvidos los conceptos en el saln de clases.

    Manual de soluciones para el profesorEl Manual de soluciones para el profesor, de William Ardis, Collin County Community College,contiene soluciones completamente desarrolladas de todos los ejercicios del texto.

    Agradecimientos

    Queremos expresar nuestro agradecimiento a las personas que hicieron muchas e invaluables contribuciones a esta edicin conforme se de-sarrollaba en sus diferentes etapas:

    RevisoresBlaise DeSesa Kathleen Pellissier Sarah StreettPaul Lorczak Lauri Semarne Holly Zullo

    Revisores de la decimosegunda edicinMeighan Dillon, Southern Polytechnic State UniversityAnne Dougherty, University of ColoradoSaid Fariabi, San Antonio CollegeKlaus Fischer, George Mason UniversityTim Flood, Pittsburg State UniversityRick Ford, California State University, ChicoRobert Gardner, East Tennessee State UniversityChristopher Heil, Georgia Institute of TechnologyJoshua Brandon Holden, Rose-Hulman Institute of TechnologyAlexander Hulpke, Colorado State UniversityJacqueline Jensen, Sam Houston State UniversityJennifer M. Johnson, Princeton UniversityHideaki Kaneko, Old Dominion UniversityPrzemo Kranz, University of MississippiXin Li, University of Central Florida

    xviii Prefacio

    Maura Mast, University of Massachusetts, BostonVal Mohanakumar, Hillsborough Community College, Dale Mabry CampusAaron Montgomery, Central Washington UniversityCynthia Piez, University of IdahoBrooke Quinlan, Hillsborough Community College, Dale Mabry CampusRebecca A. Segal, Virginia Commonwealth UniversityAndrew V. Sills, Georgia Southern UniversityAlex Smith, University of Wisconsin, Eau ClaireMark A. Smith, Miami UniversityDonald Solomon, University of Wisconsin, MilwaukeeBlake Thornton, Washington University in St. LouisDavid Walnut, George Mason UniversityAdrian Wilson, University of MontevalloBobby Winters, Pittsburg State UniversityDennis Wortman, University of Massachusetts, Boston

  • 11FUNCIONES

    INTRODUCCIN Las funciones son fundamentales en el estudio del clculo. En este captulorepasamos lo que son las funciones, cmo se dibujan sus grficas, cmo se combinan y setransforman, as como las formas en las que se pueden clasificar. Adems, revisamos las fun-ciones trigonomtricas y analizamos las representaciones errneas que pueden ocurrir cuandose utilizan calculadoras o computadoras para obtener la grfica de una funcin. En los apn-dices se revisa el sistema de los nmeros reales, as como las coordenadas cartesianas, laslneas rectas, las parbolas y las circunferencias. En el captulo 7 se tratan las funciones inver-sas, exponenciales y logartmicas.

    1.1 Las funciones y sus grficasLas funciones son una herramienta para describir el mundo real en trminos matemticos. Una funcin puede representarse mediante una ecuacin, una grfica, una tabla numrica omediante una descripcin verbal; a lo largo de este texto utilizaremos las cuatro representa-ciones. Esta seccin revisa tales ideas de funcin.

    Funciones: Dominio y rango

    La temperatura a la cual hierve el agua depende de la altitud sobre el nivel del mar (el punto de ebullicin es ms bajo conforme se asciende). El inters que se paga por una inversin de-pende del tiempo que sta se conserve. El rea de un crculo depende de su radio. La distanciaque recorre un objeto a una rapidez constante a lo largo de una trayectoria recta depende deltiempo transcurrido.

    En cada caso, el valor de una cantidad variable, digamos y, depende del valor de otra can-tidad variable, que podramos llamar x. Decimos que y es una funcin de x, lo que en formasimblica escribimos como

    y 5 f (x) (y es igual a f de x).

    En esta notacin, el smbolo f representa a la funcin, la letra x es la variable independienteque representa el valor de entrada de f, mientras que y es la variable dependiente o variable desalida de f en x.

    DEFINICIN Una funcin f de un conjunto D a un conjunto Y es una regla que asignaa cada elemento xP D un solo o nico elemento f (x) P Y.

    El conjunto D de todos los valores posibles de entrada se denomina dominio de la funcin.El conjunto de todos los valores de f (x) cuando x vara por todos los valores de D se denominarango de la funcin. El rango podra no incluir a todos los elementos del conjunto Y. El dominioy el rango de una funcin pueden ser cualquier conjunto de objetos, aunque en clculo con fre-cuencia se trata de conjuntos de nmeros reales, los cuales se interpretan como puntos de unarecta coordenada. (En los captulos 13 a 16 encontraremos funciones para las que los elementosson puntos en el plano coordenado o en el espacio).

  • Con frecuencia una funcin se expresa mediante una frmula que describe cmo calcularel valor de salida a partir de la variable de entrada. Por ejemplo, la ecuacin A 5 pr2 es unaregla que permite calcular el rea A de un crculo de radio r (as, r se interpreta como una lon-gitud, que en esta frmula slo puede ser positiva). Cuando definimos una funcin y 5 f (x)mediante una frmula, y el dominio no se establece de forma explcita o se restringe por el con-texto, se supondr que el dominio ser el mayor conjunto de nmeros reales x para los cuales la frmula proporciona valores reales para y, el llamado dominio natural. Si de alguna maneraqueremos restringir el dominio, debemos establecerlo. El dominio de y5 x2 es todo el conjuntode los nmeros reales. Para restringir el dominio de la funcin, digamos a valores positivospara x, escribiramos y 5 x2, x . 0.

    Por lo regular, al cambiar el dominio para el que aplicamos una frmula, se modifica tam-bin el rango. El rango de y 5 x2 es [0, `). El rango de y 5 x2, x $ 2, es el conjunto de todoslos nmeros reales que se obtienen al elevar al cuadrado nmeros mayores o iguales a 2. En lanotacin de conjuntos (vase el apndice 1), el rango es {x2ux $ 2} o {y uy $ 4} o [4, `).

    Cuando el rango de una funcin es un subconjunto de nmeros reales, se dice que la fun-cin tiene valores reales (o que es real valuada). Los dominios y rangos de muchas funcio-nes con valores reales de una variable real son intervalos o combinaciones de intervalos. Losintervalos pueden ser abiertos, cerrados y semiabiertos, as como finitos o infinitos. El rangode una funcin no siempre es sencillo de determinar.

    Una funcin f es como una mquina que produce el valor de salida f (x) en su rango, siem-pre que le demos el valor de entrada x de su dominio (figura 1.1). Las teclas de funciones enuna calculadora ofrecen un ejemplo de una funcin vista como una mquina. Por ejemplo, latecla en una calculadora da el valor de salida (la raz cuadrada) siempre que se introduceun nmero no negativo x y se presiona la tecla .

    Una funcin tambin se puede representar como un diagrama de flechas (figura 1.2).Cada flecha asocia un elemento del dominio D con un nico elemento en el conjunto Y. En lafigura 1.2 las flechas indican que f (a) est asociada con a, f (x) est asociada con x y as suce-sivamente. Observe que una funcin puede tener el mismo valor en dos elementos de entradadiferentes en el dominio [como ocurre con f (a) en la figura 1.2], pero a cada elemento de en-trada x se le asigna un solo valor de salida f (x).

    EJEMPLO 1 Verifique los dominios naturales y los rangos asociados de algunas funcionessencillas. En cada caso, los dominios son los valores de x para los que la frmula tiene sentido.

    Funcin Dominio (x) Rango ( y)

    y 5 x2 (2`, `) [0, `)

    y 5 1yx (2`, 0) x (0, `) (2`, 0) x (0, `)y 5 [0, `) [0, `)

    y 5 (2`, 4] [0, `)

    y 5 [21, 1] [0, 1]

    Solucin La frmula y 5 x2 da un valor real y para cualquier nmero real x, as que el do-minio es (2`, `). El rango de y 5 x2 es [0, `), ya que el cuadrado de cualquier nmero real es no negativo y todo nmero no negativo y es el cuadrado de su raz cuadrada, y 5para y $ 0.

    La frmula y 5 1yx ser un valor real y para toda x, excepto para x 5 0. De acuerdo conlas reglas aritmticas, no podemos dividir un nmero entre cero. El rango de y 5 1yx, el con-junto de los recprocos de todos los nmeros reales distintos de cero, es precisamente el conjunto de todos los nmeros reales distintos de cero, ya que y 5 1y (1yy). Esto es, para y Z 0, el nmero x 5 1yy es la entrada asignada al valor de salida y.

    La frmula y 5 da un valor real de y slo si x $ 0. El rango de y 5 es [0, `),porque cada nmero no negativo es la raz cuadrada de algn nmero (es decir, es la raz cua-drada de su propio cuadrado).

    En y 5 la cantidad 4 2 x no puede ser negativa. Es decir, 4 2 x $ 0 o x # 4. La frmula da valores reales de y para todas las x # 4. El rango de es [0, `), el conjunto de todos los nmeros no negativos.

    14 - x14 - x

    1x1x

    A2y B221 - x224 - x2x

    2x2x

    2 Captulo 1: Funciones

    Entrada(dominio)

    Salida(rango)

    x f (x)f

    FIGURA 1.1 Diagrama que muestra unafuncin como una especie de mquina.

    x

    a f (a) f (x)

    D conjunto dominio

    Y conjunto que contiene al rango

    FIGURA 1.2 Una funcin del conjunto D aun conjunto Y asigna un nico elemento de Ya cada elemento en D.

  • 1.1 Las funciones y sus grficas 3

    La frmula y 5 da un valor real de y para toda x en el intervalo cerrado de 21 a 1. Fuera de este dominio, 1 2 x2 es negativo y su raz cuadrada no es un nmero real.

    Los valores de 1 2 x2 y sus races varan de 0 a 1 en el dominio dado. El rango de es [0, 1].

    Grficas de funciones

    Si f es una funcin con dominio D, su grfica consiste en los puntos del plano cartesianocuyas coordenadas son las parejas de entrada-salida de f . En notacin de conjuntos, la gr-fica es

    {(x, f (x)) u x P D}.

    La grfica de la funcin f (x) 5 x 1 2 es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y) para los que y 5 x 1 2. Su grfica es la lnea recta que se bosqueja en la figura 1.3.

    La grfica de una funcin f es una representacin til de su comportamiento. Si (x, y) es un punto en la grfica, entonces y 5 f (x) es la altura de la grfica en el punto x. La alturapuede ser positiva, negativa o cero, lo cual depende del valor de f (x) (figura 1.4).

    21 - x221 - x2

    x

    y

    2 0

    2

    y x 2

    FIGURA 1.3 La grfica de f (x) 5 x 1 2 esel conjunto de puntos (x, y) para los cuales ytiene el valor x 1 2.

    y

    x0 1 2

    x

    f (x)(x, y)

    f (1)f (2)

    FIGURA 1.4 Si (x, y) pertenece a la grfica de f , entonces el valor de y5 f (x) es la altura dela grfica arriba de x (o abajo de x si f (x) esnegativa).

    EJEMPLO 2 Trace la grfica de la funcin y 5 x2 en el intervalo [22, 2].

    Solucin Elabore una tabla de parejas xy que satisfagan la ecuacin y 5 x2. Trace los pun-tos (x, y) cuyas coordenadas aparecen en la tabla y dibuje una curva suave por los puntos tra-zados (rotule la curva con su ecuacin) (vase la figura 1.5).

    Cmo sabemos que la grfica de y 5 x2 no ser como una de estas curvas?

    x y5 x2

    22 4

    21 1

    0 0

    1 1

    2 4

    94

    32

    y x2?

    x

    y

    y x2?

    x

    y

    0 1 212

    1

    2

    3

    4(2, 4)

    (1, 1) (1, 1)

    (2, 4)

    32

    94

    ,

    x

    y

    y x2

    Q R

    FIGURA 1.5 Grfica de la funcin en elejemplo 2.

  • 4 Captulo 1: Funciones

    Para averiguarlo, podramos tabular ms puntos. Pero, cmo los conectamos? La pregunta ori-ginal se sostiene: de qu manera sabremos con certeza cul es el aspecto de la grfica entrelos puntos que tabulamos? El clculo responde esta pregunta, como veremos en el captulo 4.Mientras tanto, nos conformaremos con tabular puntos y conectarlos lo mejor que sea posible.

    Representacin en forma numrica de una funcin

    Vimos cmo puede representarse una funcin de forma algebraica mediante una frmula (lafuncin del rea de un crculo) y visualmente mediante una grfica (ejemplo 2). Otra manerade hacerlo es en forma numrica por medio de una tabla de valores. Los ingenieros y cientfi-cos con frecuencia utilizan las representaciones numricas. Con una adecuada tabla de valores,se obtiene la grfica de una funcin al aplicar el mtodo que se ilustr en el ejemplo 2, posible-mente con ayuda de una computadora. La grfica que consiste en slo los puntos de la tabla sedenomina diagrama de dispersin.

    EJEMPLO 3 Las notas musicales son ondas de presin en el aire. Los datos en la tabla 1.1 indican la variacin de presin registrada contra el tiempo en segundos de una nota musicalproducida por un diapasn. La tabla es una representacin de la funcin de presin a lo largodel tiempo. Si primero trazamos un diagrama de dispersin y luego conectamos los puntos (t, p) de la tabla, obtendremos la grfica que se muestra en la figura 1.6.

    La prueba de la recta vertical para una funcin

    No cualquier curva en el plano coordenado puede ser la grfica de una funcin. Una funcin fslo puede tener un valor f (x) para cada x en su dominio, por lo que ninguna recta vertical in-terseca ms de una vez a la grfica de una funcin. Si a est en el dominio de la funcin f , en-tonces la recta vertical x 5 a intersecar a la grfica de f en un nico punto (a, f (a)).

    Una circunferencia no puede ser la grfica de una funcin, ya que algunas rectas vertica-les intersecan a la circunferencia dos veces. Sin embargo, la circunferencia en la figura 1.7acontiene las grficas de dos funciones de x: la semicircunferencia superior, definida median-

    te la funcin f (x) 5 y la semicircunferencia inferior definida mediante la funcin

    g(x) 52 (figuras 1.7b y 1.7c).21 - x221 - x2

    TABLA 1.1 Datos del diapasn

    Tiempo Presin Tiempo Presin

    0.00091 20.080 0.00362 0.217

    0.00108 0.200 0.00379 0.480

    0.00125 0.480 0.00398 0.681

    0.00144 0.693 0.00416 0.810

    0.00162 0.816 0.00435 0.827

    0.00180 0.844 0.00453 0.749

    0.00198 0.771 0.00471 0.581

    0.00216 0.603 0.00489 0.346

    0.00234 0.368 0.00507 0.077

    0.00253 0.099 0.00525 20.164

    0.00271 20.141 0.00543 20.320

    0.00289 20.309 0.00562 20.354

    0.00307 20.348 0.00579 20.248

    0.00325 20.248 0.00598 20.035

    0.00344 20.041

    0.60.40.2

    0.20.40.60.81.0

    t (seg)

    p (presin)

    0.001 0.002 0.004 0.0060.003 0.005

    Datos

    FIGURA 1.6 La curva suave que pasa por los puntos trazadossegn la tabla 1.1 forma una grfica que representa a la funcinde presin (ejemplo 3).

  • 1.1 Las funciones y sus grficas 5

    1 10x

    y

    (a) x2 y2 1

    1 10x

    y

    1 1

    0x

    y

    (b) y V1 x2 (c) y V1 x2

    FIGURA 1.7 (a) La circunferencia no es la grfica de una funcin; no satisface el criterio de la recta ver-tical. (b) La semicircunferencia superior es la grfica de la funcin f (x) 5 . (c) La semicircun-ferencia inferior es la grfica de la funcin g (x) 52 .21 - x2

    21 - x2

    Funciones definidas por partes

    A veces una funcin se describe mediante el uso de frmulas diferentes en distintas partes desu dominio. Un ejemplo es la funcin valor absoluto

    cuya grfica se observa en la figura 1.8. El lado derecho de la ecuacin significa que la funcines igual a x si x $ 0, e igual a 2x si x , 0. A continuacin veremos algunos otros ejemplos.

    EJEMPLO 4 La funcin

    est definida en toda la recta real, pero sus valores estn dados por distintas frmulas, lo cual depende de la posicin de x. Los valores de f estn dados por y 5 2x, cuando x , 0, por y 5 x2 cuando 0 # x # 1, y por y 5 1 cuando x . 1. Sin embargo, la funcin es sim-plemente una funcin cuyo dominio es todo el conjunto de los nmeros reales (figura 1.9).

    EJEMPLO 5 La funcin cuyo valor en cualquier nmero x es el mayor entero menor o igual a x se denomina funcin mayor entero o funcin piso entero. Se denota :x;. La figura 1.10muestra la grfica. Observe que

    EJEMPLO 6 La funcin cuyo valor en cualquier nmero x es el menor entero mayor o igual a x se conoce como funcin menor entero o funcin techo entero. Se denota

  • Los nombres par e impar provienen de las potencias de x. Si y es una potencia par de x,como en y 5 x2 o en y 5 x4, es una funcin par de x, ya que (2x)2 5 x2 y (2x)4 5 x4. Si y es una potencia impar de x, como en y 5 x o en y 5 x3, es una funcin impar de x, por-que (2x)1 52x y (2x)3 52x3.

    La grfica de una funcin par es simtrica con respecto al eje y. Como f (2x) 5 f (x), el punto (x, y) est en la grfica si y slo si el punto (2x, y) lo est (figura 1.12a). Una reflexincon respecto al eje y deja a la grfica sin cambio.

    La grfica de una funcin impar es simtrica con respecto al origen. Como f (2x) 52f (x), el punto (x, y) est en la grfica si y slo si el punto (2x, 2y) tambin lo est (figura1.12b). De forma equivalente, una grfica es simtrica con respecto al origen si una rotacin de1808, en relacin con el origen, deja sin cambios a la grfica. Observe que las definiciones im-plican que tanto x como 2x deben estar en el dominio de f .

    EJEMPLO 8

    f (x) 5 x2 Funcin par: (2x)2 5 x2 para toda x; simetra con respecto al eje y.

    f (x) 5 x2 1 1 Funcin par: (2x)2 1 1 5 x2 1 1 para toda x; simetra con respecto al eje y (figura 1.13a).

    f (x) 5 x Funcin impar: (2x) 52x para toda x; simetra con respecto al origen.

    f (x) 5 x 1 1 No es impar: f (2x) 52x 1 1, pero f (x) 52x 2 1. No son iguales.No es par: (2x) 1 1 Z x 1 1, para toda x Z 0 (figura 1.13b).

    Funciones crecientes y decrecientes

    Si la grfica de una funcin asciende o sube cuando usted se mueve de izquierda a derecha,consideramos que la funcin es creciente. Si la grfica desciende o baja cuando se mueve deizquierda a derecha, la funcin es decreciente.

    6 Captulo 1: Funciones

    DEFINICIONES Sea f una funcin definida en un intervalo I y sean x1 y x2 cua-lesquiera dos puntos en I.

    1. Si f (x2) . f (x1), siempre que x1 , x2, entonces se dice que f es creciente en I.

    2. Si f (x2) , f (x1), siempre que x1 , x2, entonces se dice que f es decreciente en I.

    DEFINICIONES Una funcin y 5 f (x) es una

    para toda x en el dominio de la funcin.

    funcin par de x si s-xd = sxd,funcin impar de x si s-xd = -sxd,

    Es importante notar que las definiciones de funciones crecientes y decrecientes deben satisfacerse para toda pareja de puntos x1 y x2 en I, con x1 , x2. Puesto que utilizamos la desigualdad , para comparar los valores de la funcin, en lugar de #, en ocasiones se dice que f es estrictamente creciente o decreciente en I. El intervalo I puede ser finito (tambin se le llama acotado) o infinito (no acotado) y, por definicin, el intervalo nunca puede consistir de un solo punto (apndice 1).

    EJEMPLO 7 La funcin que se grafic en la figura 1.9 es decreciente en (2`, 0] y es creciente en [0, 1]. La funcin no es creciente ni decreciente en el intervalo [1, `), a con-secuencia de que, en las definiciones, se utilizaron desigualdades estrictas para comparar losvalores de la funcin.

    Funciones pares y funciones impares: Simetra

    Las grficas de funciones pares y de funciones impares tienen las propiedades caractersticasde la simetra.

    x

    y

    112 2 3

    2

    1

    1

    2

    3 y x

    y x

    FIGURA 1.11 La grfica de la funcinmenor entero y 5

  • 1.1 Las funciones y sus grficas 7

    (a) (b)

    x

    y

    0

    1

    y x2 1

    y x2

    x

    y

    01

    1

    y x 1

    y x

    FIGURA 1.13 (a) Cuando sumamos el trmino constante 1 a la funcin y 5 x2, la funcin resultante y 5 x2 1 1 sigue siendo par y su grfica siguesiendo simtrica con respecto al eje y. (b) Cuando sumamos el trmino cons-tante 1 a la funcin y 5 x, la funcin resultante y 5 x 1 1 ya no es impar. Se pierde la simetra con respecto al origen (ejemplo 8).

    Funciones comunes

    Con frecuencia, en clculo aparecen una variedad de tipos importantes de funciones. Vamos aidentificarlas y a describirlas brevemente.

    Funciones lineales Una funcin de la forma f(x) 5 mx 1 b, para constantes m y b, se de-nomina funcin lineal. La figura 1.14a muestra un arreglo de rectas f(x) 5 mx donde b 5 0,por lo que tales rectas pasan por el origen. La funcin f(x) 5 x donde m 5 1 y b 5 0, se de-nomina funcin identidad. Las funciones constantes se presentan cuando la pendiente m 5 0(figura 1.14b). Una funcin lineal con pendiente positiva cuya grfica pasa por el origen se denomina relacin de proporcionalidad.

    x

    y

    0 1 2

    1

    2 y 32

    (b)FIGURA 1.14 (a) Rectas con pendiente m que pasan por el origen. (b) Una funcinconstante con pendiente m 5 0.

    0x

    ym 3 m 2

    m 1m 1y 3x

    y x

    y 2x

    y x

    y x12

    m 12

    (a)

    DEFINICIN Dos variables y y x son proporcionales (una con respecto a la otra) si una siempre es un mltiplo constante de la otra; esto es, si y 5 kx para alguna constante k distinta de cero.

    Si la variable y es proporcional al recproco 1yx, entonces algunas veces se dice que y es in-versamente proporcional a x (puesto que 1yx es el inverso multiplicativo de x).

    Funciones potencia Una funcin f (x) 5 xa, donde a es una constante, se denomina funcinpotencia. Existen varios casos importantes a considerar.

  • (b) a 521, o bien, a 522.

    Las grficas de las funciones f (x) 5 x21 5 1yx y g (x) 5 x22 5 1yx2 se muestran en la fi-gura 1.16. Ambas funciones estn definidas para toda x Z 0 (nunca se puede dividir entre cero).La grfica de y 5 1yx es la hiprbola xy 5 1, la cual tiende al eje de las abscisas cuando sealeja del origen. La grfica de y 5 1yx2 tambin tiende al eje de las abscisas. La grfica de lafuncin f es simtrica con respecto al origen; f es decreciente en el intervalo (2`, 0) y tam-bin en el intervalo (0, `). La grfica de la funcin g es simtrica con respecto al eje y; g es creciente en (2`, 0) y decreciente en (0, `).

    8 Captulo 1: Funciones

    1 0 11

    1

    x

    y y x2

    1 101

    1

    x

    y y x

    1 101

    1

    x

    y y x3

    1 0 11

    1

    x

    y y x4

    1 0 11

    1

    x

    y y x5

    FIGURA 1.15 Grficas de f (x) 5 xn, n 5 1, 2, 3, 4, 5, definidas para 2` , x , `.

    (a) a 5 n, un entero positivo.

    La grfica de f (x) 5 xn, para n 5 1, 2, 3, 4, 5, se muestra en la figura 1.15. Dichas funcionesestn definidas para todos los valores reales de x. Observe que cuando la potencia n crece, en elintervalo (21, 1), las curvas se aplanan hacia el eje x y tambin crecen cada vez ms rpida-mente para uxu . 1. Cada curva pasa por el punto (1, 1) y por el origen. Las grficas de las fun-ciones con potencia par son simtricas con respecto al eje y, mientras que aquellas con potenciaimpar son simtricas con respecto al origen. Las funciones con potencia par son decrecientesen el intervalo (2`, 0] y crecientes en [0, `), en tanto que las funciones con potencia impar soncrecientes en toda la recta real (2`, `).

    x

    y

    x

    y

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    y 1x y 1x2

    Dominio: x Z 0Rango: y Z 0

    Dominio: x Z 0Rango: y . 0

    (a) (b)FIGURA 1.16 Grficas de las funciones potencia f (x) 5 xa para el inciso (a) a521 y para el inciso (b) a522.

    (c) a 5

    Las funciones f (x) 5 x1y2 5 y g (x) 5 x1y3 5 son las funciones raz cuadrada y razcbica, respectivamente. El dominio de la funcin raz cuadrada es [0, `), pero la funcin raz cbica est definida para todo real x. Sus grficas se muestran en la figura 1.17 junto con las grficas de y 5 x3y2 y y 5 x2y3. (Recuerde que x3y2 5 (x1y2)3 y x2y3 5 (x1y3)2).

    Funciones polinomiales Una funcin p es polinomial si

    p(x) 5 anxn 1 an21xn21 1 ) 1 a1x 1 a0

    donde n es un entero no negativo, y los nmeros a0, a1, a2, , an son constantes reales (de-nominados coeficientes del polinomio). Todos los polinomios tienen dominio (2`, `). Si elcoeficiente principal an Z 0 y n . 0, entonces a n se le llama el grado del polinomio. Las fun-

    23 x2x

    12

    , 13

    , 32

    y 23

    .

  • 1.1 Las funciones y sus grficas 9

    y

    x0

    1

    1

    y x32

    Dominio:Rango:

    0 x 0 y

    y

    x

    Dominio:Rango:

    x 0 y

    0

    1

    1

    y x23

    x

    y

    0 1

    1

    Dominio:Rango:

    0 x 0 y

    y Vx

    x

    y

    Dominio:Rango:

    x y

    1

    1

    0

    3y Vx

    FIGURA 1.17 Grficas de las funciones potencia f (x) 5 xa para a 5 y 23

    .12

    , 13

    , 32

    ciones lineales con m Z 0 son polinomios de grado 1. Los polinomios de grado 2 por lo regularse escriben como p(x) 5 ax2 1 bx 1 c y se conocen como funciones cuadrticas. De lamisma forma, las funciones cbicas son polinomios, p(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d, de grado 3.La figura 1.18 muestra las grficas de tres polinomios. En el captulo 4 se estudian tcnicaspara graficar polinomios.

    x

    y

    0

    y 2x x3

    3x2

    213

    (a)

    y

    x1 1 2

    2

    2468

    1012

    y 8x4 14x3 9x2 11x 1

    (b)

    1 0 1 2

    16

    16

    x

    yy (x 2)4(x 1)3(x 1)

    (c)

    24 2 4

    4

    2

    2

    4

    FIGURA 1.18 Grficas de tres funciones polinomiales.

    (a) (b) (c)

    2 44 2

    2

    2

    4

    4

    x

    y

    y 2x2 3

    7x 4

    02

    4

    6

    8

    224 4 6

    2

    4

    6

    8

    x

    y

    y 11x 22x3 1

    5 0

    1

    2

    15 10

    2

    x

    y

    Recta y 53

    y 5x2 8x 3

    3x2 2

    NO EST A ESCALA

    FIGURA 1.19 Grficas de tres funciones racionales. Las lneas rectas se denominan asntotas y no son parte de la grfica.

    Funciones racionales Una funcin racional es un cociente o una razn f (x) 5 p(x)yq(x),donde p y q son polinomios. El dominio de una funcin racional es el conjunto de todos losnmeros reales x para los que q(x) Z 0. Las grficas de varias funciones racionales se mues-tran en la figura 1.19.

  • Funciones trigonomtricas Las seis funciones trigonomtricas bsicas se revisan en la sec-cin 1.3. Las grficas de las funciones seno y coseno se muestran en la figura 1.21.

    Funciones exponenciales Las funciones de la forma f (x) 5 ax, donde la base a . 0 es unaconstante positiva y a Z 1, se denominan funciones exponenciales. Todas las funciones expo-nenciales tienen dominio (2`, `) y rango (0, `), de manera que una funcin exponencialnunca toma el valor 0. En la seccin 7.3 estudiaremos las funciones exponenciales. Las gr-ficas de algunas funciones exponenciales se muestran en la figura 1.22.

    10 Captulo 1: Funciones

    Funciones algebraicas Cualquier funcin que se construyen mediante polinomios y utilizan-do operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicacin, divisin y extraccin de races) est enla clase de las funciones algebraicas. Todas las funciones racionales son algebraicas, perotambin estn incluidas funciones ms complicadas (como y3 2 9xy1 x3 5 0, que se estudianen la seccin 3.7). La figura 1.20 muestra las grficas de tres funciones algebraicas.

    (a)

    41

    321

    1234

    x

    y y x1/3(x 4)

    (b)

    0

    y

    x

    y (x2 1)2/334

    (c)

    10

    1

    1

    x

    y

    57

    y x(1 x)2/5

    FIGURA 1.20 Grficas de tres funciones algebraicas.

    y

    x

    1

    1 2

    3

    (a) f (x) sen x

    0

    y

    x

    1

    1

    2

    32 2

    (b) f (x) cos x

    0

    2

    5

    FIGURA 1.21 Grficas de las funciones seno y coseno.

    (a) (b)

    y 2x

    y 3x

    y 10x

    0.51 0 0.5 1

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    y

    x

    y 2x

    y 3x

    y 10x

    0.51 0 0.5 1

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    y

    x

    FIGURA 1.22 Grficas de funciones exponenciales.

  • 1.1 Las funciones y sus grficas 11

    Funciones logartmicas stas son las funciones f (x) 5 logax, donde la base a Z 1 es unaconstante positiva. Las funciones inversas de las funciones exponenciales y el clculo de talesfunciones se analizan en el captulo 7. La figura 1.23 muestra las grficas de cuatro funcioneslogartmicas con diferentes bases. En cada caso, el dominio es (0, `) y el rango es (2`, `).

    1 10

    1

    x

    y

    FIGURA 1.24 Grfica de una catenaria o cable colgante. (La palabra latina catenasignifica cadena).

    1

    1

    1

    0x

    y

    y log3x

    y log10 x

    y log2 x

    y log5x

    FIGURA 1.23 Grficas de cuatro funcio-nes logartmicas.

    Funciones trascendentales Se trata de funciones que no son algebraicas e incluyen las fun-ciones trigonomtricas, trigonomtricas inversas, exponenciales y logartmicas, as como muchasotras funciones. Un ejemplo particular de una funcin trascendental es una catenaria. Su gr-fica tiene la forma de un cable, como el de una lnea telefnica o un cable elctrico, que cuelgalibremente bajo su propio peso de un soporte a otro (figura 1.24). La funcin que define la gr-fica se analiza en la seccin 7.7.

    Ejercicios 1.1

    FuncionesEn los ejercicios 1 a 6, determine el dominio y el rango de cada una de lasfunciones.

    1. f (x) 5 1 1 x2 2. f (x) 5 1 2

    3. F (x) 5 4. g(x) 5

    5. f (t) 5 6. G(t) 5

    En los ejercicios 7 y 8, cul de las grficas representa la grfica de unafuncin de x? Cules no representan a funciones de x? D razones queapoyen sus respuestas.

    7. a. b.

    x

    y

    0x

    y

    0

    2

    t2 - 164

    3 - t

    2x2 - 3x25x + 102x

    8. a. b.

    Determinacin de frmulas para funciones9. Exprese el rea y el permetro de un tringulo equiltero como una

    funcin del lado x del tringulo.

    10. Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una funcin de lalongitud d de la diagonal del cuadrado. Exprese el rea como una fun-cin de la longitud de la diagonal.

    11. Exprese la longitud del lado de un cubo como una funcin de la lon-gitud de la diagonal d del cubo. Exprese el rea de la superficie y elvolumen del cubo como una funcin de la longitud de la diagonal.

    x

    y

    0x

    y

    0

  • 12. Un punto P en el primer cuadrante pertenece a la grfica de la fun-cin f (x) 5 Exprese las coordenadas de P como funciones de la pendiente de la recta que une a P con el origen.

    13. Considere el punto (x, y) que est en la grfica de la recta 2x1 4y5 5.Sea L la distancia del punto (x, y) al origen (0, 0). Escriba L comofuncin de x.

    14. Considere el punto (x, y) que est en la grfica de y 5Sea L la distancia entre los puntos (x, y) y (4, 0). Escriba L como fun-cin de y.

    Las funciones y sus grficasEn los ejercicios 15 a 20, determine el dominio y grafique las funciones.

    15. f (x) 5 5 2 2x 16. f (x) 5 1 2 2x 2 x2

    17. g (x) 5 18. g (x) 5

    19. F(t) 5 tyu t u 20. G(t) 5 1yu t u

    21. Determine el dominio de y 5

    22. Determine el rango de y 5 2 1

    23. Grafique las siguientes ecuaciones y explique por qu no son grficasde funciones de x.

    a. uy u 5 x b. y2 5 x2

    24. Grafique las siguientes ecuaciones y explique por qu no son grfi-cas de funciones de x.

    a. ux u 1 uy u 5 1 b. ux 1 y u 5 1

    Funciones definidas por partesEn los ejercicios 25 a 28, grafique las funciones.

    25. f (x) 5

    26. g (x) 5

    27. F(x) 5

    28. G(x) 5

    Determine una frmula para cada funcin graficada en los ejercicios 29 a 32.

    29. a. b.

    30. a. b.

    1x

    y

    3

    21

    2

    1

    23

    1 (2, 1)

    x

    y

    52

    2 (2, 1)

    t

    y

    0

    2

    41 2 3x

    y

    0

    1

    2

    (1, 1)

    e1>x , x 6 0x , 0 x

    e4 - x2 , x 1x2 + 2x , x 7 1

    e1 - x , 0 x 12 - x , 1 6 x 2

    e x, 0 x 12 - x, 1 6 x 2

    x2

    x2 + 4 .

    x + 34 - 2x2 - 9 .

    2-x2 x

    2x - 3.

    2x .

    12 Captulo 1: Funciones

    31. a. b.

    32. a. b.

    Las funciones mayor entero y menor entero33. Para qu valores de x es

    a. :x; 5 0? b.

  • 1.1 Las funciones y sus grficas 13

    60. Energa cintica La energa cintica K de una masa es propor-cional al cuadrado de su velocidad y. Si K 5 12,960 joules, cuando y 5 18 m/s, cul es el valor de K cuando y 5 10 m/s?

    61. Las variables r y s son inversamente proporcionales, mientras que r 5 6 cuando s 5 4. Determine s cuando r 5 10.

    62. Ley de Boyle La ley de Boyle establece que el volumen V de ungas, a temperatura constante, aumenta cuando la presin P dismi-nuye, de manera que V y P son inversamente proporcionales. Si P 5 14.7 lb/in2 cuando V 5 1000 in3, entonces cul es el valor de V cuando P 5 23.4 lbs/in2?

    63. Una caja sin tapa se construye a partir de una pieza rectangular decartn, cuyas dimensiones son 14 por 22 pulgadas (in). A la pieza de cartn se le cortan cuadrados de lado x en cada esquina y luego se doblan hacia arriba los lados, como en la figura. Exprese el volu-men V de la caja como una funcin de x.

    64. La siguiente figura muestra un rectngulo inscrito en un tringulorectngulo issceles, cuya hipotenusa tiene una longitud de dosunidades.

    a. Exprese la coordenada y de P en trminos de x. (Podra iniciar escribiendo una ecuacin para la recta AB).

    b. Exprese el rea del rectngulo en trminos de x.

    En los ejercicios 65 y 66 relacione cada ecuacin con su grfica. No utili-ce un dispositivo para graficar y d razones que justifiquen su respuesta.

    65. a. y 5 x4 b. y 5 x7 c. y 5 x10

    x

    y

    f

    gh

    0

    x

    y

    1 0 1xA

    B

    P(x, ?)

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    22

    14

    66. a. y 5 5x b. y 5 5x c. y 5 x5

    67. a. Grafique juntas las funciones f (x) 5 xy2 y g(x) 5 1 1 (4yx) paraidentificar los valores de x que satisfacen

    b. Confirme algebraicamente los hallazgos del inciso a).

    68. a. Grafique juntas las funciones f (x) 5 3y(x2 1) y g(x) 5 2y(x1 1)para identificar los valores de x que satisfacen

    b. Confirme algebraicamente los hallazgos del inciso a).

    69. Para que una curva sea simtrica con respecto al eje x, el punto (x, y)debe estar en la curva si y slo si el punto (x, 2y) est en la curva. Explique por qu una curva que es simtrica con respecto al eje x noes la grfica de una funcin a menos que la funcin sea y 5 0.

    70. Trescientos libros se venden en $40 cada uno, lo que da por resulta-do un ingreso de (300)($40) 5 $12,000. Por cada aumento de $5 en el precio, se venden 25 libros menos. Exprese el ingreso R como unafuncin del nmero x de incrementos de $5.

    71. Se va a construir un corral con la forma de un tringulo rectnguloissceles con catetos de longitud de x pies (ft) e hipotenusa de longi-tud h ft. Si los costos de la cerca son de $5/ft para los catetos y $10/ftpara la hipotenusa, escriba el costo total C de la construccin comouna funcin de h.

    72. Costos industriales Una central elctrica se encuentra cerca de unro, donde ste tiene un ancho de 800 ft. Tender un cable de la planta a un lugar en la ciudad, 2 millas (mi) ro abajo en el lado opuesto,tiene un costo de $180 por ft que cruce el ro y $100 por ft en tierra a lo largo de la orilla del ro.

    a. Suponga que el cable va de la planta al punto Q, en el lado opuesto, lugar que se encuentra a x ft del punto P, directa-mente opuesto a la planta. Escriba una funcin C (x) que indi-que el costo de tender el cable en trminos de la distancia x.

    b. Genere una tabla de valores para determinar si la ubicacin msbarata para el punto Q es menor a 2000 ft o mayor a 2000 ft delpunto P.

    x QP

    Central elctrica

    Ciudad

    800 ft

    2 mi

    NO EST A ESCALA

    3x - 1 6

    2x + 1 .

    x2

    7 1 + 4x .

    x

    y

    f

    h

    g

    0

    T

    T

  • 14 Captulo 1: Funciones

    1.2 Combinacin de funciones; traslacin y cambio de tamao de funcionesEn esta seccin examinaremos las principales formas en las que las funciones se combinan otransforman para obtener nuevas funciones.

    Sumas, diferencias, productos y cocientes

    Al igual que los nmeros, las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (exceptosi el denominador es cero) para obtener nuevas funciones. Si f y g son funciones, entonces paracada x que est en el dominio tanto de f como de g (esto es, para xP D( f ) y D(g)), definimoslas funciones f 1 g, f 2 g y fg mediante las frmulas

    ( f 1 g)(x) 5 f (x) 1 g (x).

    ( f 2 g )(x) 5 f (x) 2 g (x).

    ( fg)(x) 5 f (x)g(x).

    Observe que el signo de 1 en el lado izquierdo de la primera ecuacin representa la operacinde suma de funciones, mientras que el signo 1 en el lado derecho de la ecuacin significa lasuma de los nmeros reales f (x) y g(x).

    En cualquier punto de D( f ) y D(g), en el cual g(x) Z 0, podemos definir tambin la fun-cin fyg con la frmula

    Las funciones tambin se pueden multiplicar por constantes: si c es un nmero real, en-tonces la funcin cf est definida para toda x en el dominio de f mediante

    (cf )(x) 5 cf (x).

    EJEMPLO 1 Las funciones definidas mediante las frmulas

    tienen dominios D( f ) 5 [0, `) y D(g) 5 (2`, 1]. Los puntos comunes a tales dominios sonlos puntos

    [0, `) y (2`, 1] 5 [0, 1].

    La siguiente tabla resume las frmulas y los dominios para diferentes combinaciones algebrai-cas de las dos funciones. Adems, escribimos f ? g para la funcin producto fg.

    Funcin Frmula Dominio

    f 1 g ( f 1 g)(x) 5 [0, 1] 5 D( f ) y D(g)f 2 g ( f 2 g)(x) 5 [0, 1]

    g 2 f (g 2 f )(x) 5 [0, 1]

    f ? g ( f ? g)(x) 5 f (x)g (x) 5 [0, 1]

    fyg [0, 1) (excluido x 5 1)

    gy f (0, 1] (excluido x 5 0)

    La grfica de la funcin f 1 g se obtiene a partir de las grficas de f y g, donde se su-man las ordenadas f (x) y g(x) en cada punto x P D( f ) y D(g), como en la figura 1.25. En lafigura 1.26 se muestran las grficas de f 1 g y f ? g del ejemplo 1.

    g

    sxd =

    g sxdsxd

    = A1 - x

    x

    g sxd =

    sxdg sxd

    = Ax

    1 - x

    2xs1 - xd21 - x - 2x2x - 21 - x2x + 21 - x

    sxd = 2x y g sxd = 21 - x

    ag b sxd = sxdg sxd sdonde g sxd Z 0d .

  • 1.2 Combinacin de funciones; traslacin y cambio de tamao de funciones 15

    y ( f g)(x)

    y g(x)

    y f (x) f (a)g(a)

    f (a) g(a)

    a

    2

    0

    4

    6

    8

    y

    x

    FIGURA 1.25 Suma grfica de dosfunciones.

    51

    52

    53

    54 10

    1

    x

    y

    21

    g(x) V1 x f (x) Vxy

    f g

    y

    f g

    FIGURA 1.26 El dominio de la funcin f 1 g es la interseccin de los dominios de f y g, el intervalo [0, 1] en el eje x donde estos dominios se traslapan.Adems, este intervalo es el dominio de la funcinf ? g (ejemplo 1).

    Composicin de funciones

    La composicin es otro mtodo para combinar funciones.

    DEFINICIN Si f y g son funciones, la funcin composicin f + g (f compuesta con g) se define por

    ( f + g)(x) 5 f (g (x)).

    El dominio de f + g consiste de todos los nmeros x en el dominio de g para loscuales g(x) est en el dominio de f .

    La definicin implica que f + g puede formarse cuando el rango de g est en el dominio de f . Para encontrar ( f + g)(x), primero encontramos g(x) y despus f(g(x)). La figura 1.27 representa a f + g como el diagrama de una mquina, en tanto que la figura 1.28 muestra la composicin mediante un diagrama de flechas.

    x g f f (g(x))g(x)

    x

    f (g(x))

    g(x)

    gf

    f g

    FIGURA 1.27 Dos funciones pueden componerse en x siempre que el valor de una funcin de x est en el dominio de la otra. La composicin se denotamediante f + g. FIGURA 1.28 Diagrama de flechas para f + g.

    Para evaluar la composicin g + f (cuando est definida), invertimos el orden para en-contrar primero f (x) y despus g( f (x)). El dominio de g + f es el conjunto de nmeros x en eldominio de f , tales que f (x) est en el dominio de g.

    Por lo general, las funciones f + g y g + f son muy diferentes.

  • 16 Captulo 1: Funciones

    EJEMPLO 2 Si f (x) 5 y g (x) 5 x 1 1, determine

    (a) ( f + g)(x) (b) (g + f )(x) (c) ( f + f )(x) (d) (g + g)(x)

    SolucinComposicin Dominio

    (a) ( f + g)(x) 5 f (g(x)) 5 [21, `)

    (b) (g + f )(x) 5 g( f (x)) 5 f (x) 1 1 5 1 1 [0, `)

    (c) ( f + f )(x) 5 f ( f (x)) 5 5 x1y4 [0, `)

    (d) (g + g)(x) 5 g(g(x)) 5 g(x) 1 1 5 (x 1 1) 1 1 5 x 1 2 (2`, `)

    Para ver por qu el dominio de f + g es [21, `), observe que g(x) 5 x 1 1 est definida para todos los valores reales x, pero pertenece al dominio de f slo si x 1 1 $ 0, es decir, si x $21.

    Observe que si f (x) 5 x2 y g(x) 5 entonces ( f + g)(x) 5 5 x. Sin embargo,

    el dominio de f + g es [0, `), no (2`, `), ya que requiere que x $ 0.

    Traslacin de la grfica de una funcin

    Una forma comn para obtener una nueva funcin a partir de una ya existente es mediante lasuma de una constante a cada salida de la funcin dada, o a su variable de entrada. La grficade la nueva funcin es la grfica de la funcin original trasladada vertical u horizontalmente,como se indica a continuacin.

    2xA2x B22x ,

    2sxd = 21x2x

    2g sxd = 2x + 1

    2x

    Frmulas de traslacin

    Traslacin vertical

    y 5 f (x) 1 k Si k . 0, la grfica de f se recorre k unidades hacia arriba.

    Si k , 0, la grfica de f se recorre uk u unidades hacia abajo.

    Traslacin horizontal

    y 5 f (x 1 h) Si h . 0, la grfica de f se recorre h unidades hacia la izquierda.

    Si h , 0, la grfica de f se recorre uh u unidades hacia la derecha.

    EJEMPLO 3

    (a) Sumar 1 al lado derecho de la frmula y 5 x2 para obtener y 5 x2 1 1 traslada la grficauna unidad hacia arriba (figura 1.29).

    (b) Sumar 22 al lado derecho de la frmula y 5 x2 para obtener y 5 x2 2 2, traslada la gr-fica dos unidades hacia abajo (figura 1.29).

    (c) Sumar 3 a x en y 5 x2 para obtener y 5 (x 1 3)2, traslada la grfica 3 unidades a la iz-quierda (figura 1.30).

    (d) Sumar 22 a x en y 5 ux u y luego sumar 21 al resultado da y 5 ux 2 2 u 2 1 y traslada la grfica 2 unidades a la derecha y una unidad hacia abajo (figura 1.31).

    Cambio de tamao y reflexin de la grfica de una funcin

    Cambiar el tamao de la grfica de una funcin y 5 f(x) es alargarla o comprimirla, vertical u horizontalmente. Lo anterior se realiza mediante la multiplicacin de la funcin f, o la varia-ble independiente x, por una constante apropiada c. Las reflexiones con respecto a los ejes coordenados son casos especiales donde c 521.

    x

    y

    2

    1

    2

    2 unidades

    1 unidad

    2

    2

    10

    y x2 2

    y x2

    y x2 1

    y x2 2

    FIGURA 1.29 Para trasladar lagrfica de f (x) 5 x2 hacia arriba (o hacia abajo) sumamos constantespositivas (o negativas) a la frmulapara f (ejemplos 3a y b).

  • 1.2 Combinacin de funciones; traslacin y cambio de tamao de funciones 17

    x

    y

    03 2

    1

    1

    y (x 2)2y x2y (x 3)2

    Sumar una constantepositiva a x.

    Sumar una constantenegativa a x.

    4 2 2 4 61

    1

    4

    x

    y

    y x 2 1

    FIGURA 1.30 Para trasladar la grfica de y 5 x2

    hacia la izquierda sumamos una constante positiva a x (ejemplo 3c). Para desplazar la grfica a laderecha, sumamos una constante negativa a x.

    FIGURA 1.31 Traslacin de la grfica de y 5 ux u, 2 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo (ejemplo 3d).

    EJEMPLO 4 En este ejemplo cambiamos el tamao y reflejamos la grfica de y 5

    (a) Cambio vertical: Al multiplicar el lado derecho de y 5 por 3 para obtener y5 3 , la grfica se alarga verticalmente en un factor de 3, mientras que al multiplicarpor 1y3 se comprime en un factor de 3 (figura 1.32).

    (b) Cambio horizontal: La grfica de y 5 es una compresin horizontal de y 5

    por un factor de 3 y y 5 es un alargamiento horizontal por un factor de 3 (fi-

    gura 1.33). Observe que y 5 por lo que una compresin horizontal podra corresponder a un alargamiento vertical por un factor de escala diferente. Delmismo modo, un alargamiento horizontal podra corresponder a una compresin verti-cal de un factor de escala diferente.

    (c) Reflexin: La grfica de y 5 2 es una reflexin de y 5 con respecto al eje x y y 5 es una reflexin con respecto al eje y (figura 1.34).2-x

    2x2x

    23x = 232x2x>3 2x23x

    2x 2x2x.

    Frmulas para cambiar la escala vertical u horizontal y la reflexin de una grfica

    Para c . 1, la grfica modifica su escala:

    y 5 cf(x) Alarga la grfica de f verticalmente en un factor de c.

    y 5 f (x) Comprime la grfica de f verticalmente en un factor de c.

    y 5 f (cx) Comprime horizontalmente la grfica de f por un factor de c.

    y 5 f (xyc) Alarga horizontalmente la grfica de f por un factor de c.Para c 521, la grfica de f se refleja:

    y 52f (x) con respecto al eje x.

    y 5 f (2x) con respecto al eje y.

    1c

    1 10 2 3 4

    12345

    x

    y

    y Vx

    y Vx

    y 3Vx

    31

    alarga-miento

    compresin

    1 0 1 2 3 4

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    y V3 x

    y Vx3

    y Vxcompresin

    alargamiento 3 2 1 1 2 3

    1

    1

    x

    y

    y Vx

    y Vx

    y Vx

    FIGURA 1.32 Alargamiento y compre-sin vertical de la grfica de y 5 por un factor de 3 (ejemplo 4a).

    1xFIGURA 1.33 Alargamiento y compresinhorizontal de la grfica de y 5 por un factor de 3 (ejemplo 4b).

    1xFIGURA 1.34 Reflexiones de la grficade y 5 con respecto a los ejes decoordenadas (ejemplo 4c).

    1x

  • 18 Captulo 1: Funciones

    EJEMPLO 5 Dada la funcin f (x) 5 x4 2 4x3 1 10 (figura 1.35a), determine frmulas para

    (a) comprimir la grfica horizontalmente por un factor de 2, seguida por una reflexin con respecto al eje y (figura 1.35b).

    (b) comprimir la grfica verticalmente por un factor de 2, seguida por una reflexin con res-pecto al eje x (figura 1.35c).

    Solucin

    (a) Multiplicamos x por 2 para obtener la compresin horizontal y por 21 para dar la re-flexin con respecto al eje y. La frmula que se obtiene al sustituir x con 22x, en el ladoderecho de la ecuacin para f , es:

    y 5 f (22x) 5 (22x)4 2 4(22x)3 1 10

    5 16x4 1 32x3 1 10

    (b) La frmula es

    y 52 x4 1 2x3 2 5.

    Elipses

    Aunque no son grficas de funciones, las circunferencias pueden estirarse o comprimirse, tanto horizontal como verticalmente, de la misma forma que las grficas de las funciones. La ecuacin estndar para una circunferencia con radio r y centro en el origen es

    x2 1 y2 5 r2.

    Al sustituir x por cx, en la ecuacin estndar para una circunferencia (figura 1.36a), se obtiene

    c2x2 1 y2 5 r2. (1)

    12

    sxd = - 12

    1 0 1 2 3 4

    20

    10

    10

    20

    x

    y

    f (x) x4 4x3 10

    (a)

    2 1 0 1

    20

    10

    10

    20

    x

    y

    (b)

    y 16x4 32x3 10

    1 0 1 2 3 4

    10

    10

    x

    y

    y x4 2x3 512

    (c)FIGURA 1.35 (a) Grfica original de f. (b) Compresin horizontal por un factor de 2 de y5 f (x) del inciso (a), seguida por una reflexincon respecto al eje y. (c) Compresin vertical por un factor de 2 de y 5 f (x) del inciso (a), seguida por una reflexin con respecto al eje x (ejemplo 5).

    x

    y

    (a) circunferencia

    r

    r

    r

    r0

    x2 y2 r2

    x

    y

    (b) elipse, 0 c 1

    r

    0

    c2x2 y2 r2

    rc

    rc

    x

    y

    (c) elipse, c 1

    r

    r

    0

    c2x2 y2 r2

    rc

    rc

    r

    FIGURA 1.36 El alargamiento o compresin horizontal de una circunferencia produce grficas de elipses.

  • 1.2 Combinacin de funciones; traslacin y cambio de tamao de funciones 19

    Si 0 , c , 1, la grfica de la circunferencia, ecuacin (1), se alarga horizontalmente; si c . 1,la circunferencia se comprime horizontalmente. En cualquiera de los casos, la grfica de laecuacin (1) es una elipse (figura 1.36). Observe en la figura 1.36 que las intersecciones con el eje y de las tres grficas siempre son 2r y r. En la figura 1.36b, el segmento que une lospuntos (6ryc, 0) se denomina eje mayor (o eje principal) de la elipse; el eje menor es el segmento de recta que une (0, 6r). Los ejes de la elipse se invierten en la figura 1.36c: el ejemayor es el segmento de recta que une los puntos (0, 6r), mientras que el eje menor es el segmento de recta que une los puntos (6ryc, 0). En ambos casos, el eje principal es el ma-yor segmento de recta.

    Si dividimos ambos lados de la ecuacin (1) entre r2, obtendremos

    5 1 (2)

    donde a 5 ryc y b 5 r. Si a . b, el eje mayor es horizontal; si a , b, el eje mayor es vertical.El centro de la elipse, dada por la ecuacin 2, es el origen (figura 1.37).

    En la ecuacin (2), al sustituir x por x 2 h, y y por y 2 k, el resultado es

    5 1. (3)

    La ecuacin (3) es la ecuacin estndar de una elipse con centro en (h, k). La definicin geo-mtrica y las propiedades de las elipses se estudian en la seccin 11.6.

    sx - hd2

    a2+s y - kd2

    b2

    x2

    a2+

    y2

    b2

    Ejercicios 1.2

    Combinaciones algebraicasEn los ejercicios 1 y 2, determine dominios y rangos de f , g, f 1 g yf ? g.

    1. f (x) 5 x, g(x) 5

    2. f (x) 5 , g(x) 5

    En los ejercicios 3 y 4, determine dominios y rangos de f, g, fyg y gyf.3. f (x) 5 2, g(x) 5 x2 1 1

    4. f (x) 5 1, g(x) 5 1 1

    Composicin de funciones5. Si f (x) 5 x 1 5 y g(x) 5 x2 2 3, determine lo siguiente:

    a. f (g(0)) b. g( f (0))

    c. f (g(x)) d. g( f (x))

    e. f ( f (25)) f. g(g(2))

    g. f ( f (x)) h. g(g(x))

    6. Si f (x) 5 x 2 1 y g(x) 5 1y(x 1 1), determine lo siguiente.a. f (g(1y2)) b. g( f (1y2))c. f (g(x)) d. g( f (x))

    e. f ( f (2)) f. g(g(2))

    g. f ( f (x)) h. g(g(x))

    En los ejercicios 7 a 10, escriba una frmula para f + g + h.

    7.

    8. hsxd = x2gsxd = 2x - 1,(x) = 3x + 4,hsxd = 4 - xgsxd = 3x ,(x) = x + 1,

    2x

    2x - 12x + 12x - 1

    9.

    10.

    Sean y j(x) 5 2x. Expresecada una de las funciones de los ejercicios 11 y 12 como una composicinde funciones que incluyan a una o ms de f , g, h y j.

    11. a. b.

    c. d.

    e. f.

    12. a. b.

    c. d.

    e. f.

    13. Copie y complete la siguiente tabla:

    g(x) (x) ( + g)(x)

    a. ?

    b. 3x ?

    c. ?

    d. ?

    e. ? x

    f. ? x1x

    1 + 1x

    xx - 1

    xx - 1

    2x2 - 52x - 5x + 2

    2xx - 7

    y = 2x3 - 3y = 22x - 3y = x - 6y = x9y = x3>2y = 2x - 3y = s2x - 6d3y = 2sx - 3d3y = 4xy = x1>4y = 22xy = 2x - 3

    sxd = x - 3, g sxd = 2x , hsxd = x3hsxd = 22 - xgsxd = x2

    x2 + 1 ,sxd = x + 2

    3 - x ,

    hsxd = 1xgsxd =1

    x + 4 ,sxd = 2x + 1,

    x

    y

    a

    b

    b

    a

    Eje mayorCentro

    FIGURA 1.37 Grfica de la elipse

    5 1, a . b, donde el eje mayor

    es horizontal.

    x2

    a2+

    y2

    b2

  • 20 Captulo 1: Funciones

    14. Copie y complete la siguiente tabla.

    g(x) (x) ( + g)(x)

    a. ?

    b. ?

    c. ?

    d. ?

    15. Evale cada expresin utilizand