1. E~"",,~:tek~ no es un proyecto lucrativo, sinoun esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAMpara facilitar el acceso a los materiales necesarios para laeducacin de la mayor cantidad de gente posible. Pensamoseditar en formato digital libros que por su alto costo, o bienporque ya no se consiguen en bibliotecas y libreras, no sonaccesibles para todos.Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto asugerir ttulos, a prestamos los textos para su digitalizacin y aayudarnos en toda la labor tcnica que implica su reproduccin.El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participacin decualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas.Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad deCiencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguientedireccin de correo electrnico:eduktodos@gmail.com http:// eduktodos. dyndns. org

2. Calculus 3. TOIT1 M. Apostol CALCULUS VOLUMEN IClculo con funciones de una variable, con una introduccin al lgebra lineal Segunda edicin"EDITORIALREVERTE,S. A.Barcelona - Bogot - Buenos Aires - Caracas -Mxico 4. Ttulo de la obra original:CALCULUS, One -Variable Calculus,with an introduction to Linear AlgebraEdicin original en lengua inglesa publicada por:Blaisdell Publishing Company, Waltham, MassachusettsCopyright by Blaisdell Publishing Company, 1967Versin espaola por:Dr. D. Francisco Vlez CantarellProfesor adjunto de la Facultad de Ciencias de BarcelonaRevisada por:Dr. D. Enrique Lins EscardCatedrtico de la Facultad de Ciencias de la Universidad de MadridPropiedad de:EDITORIAL REVERT, S. A. y REVERT EDICIONES, S.A. DE C.VLoreto, 13-15, Local B Ro Pnuco 141 Col Cuauhtmoc08029 Barcelona - ESPAA c.P. 06500 Mxico, D.F. - MXICOE-mail: reverte@reverte.comE-mail: resavbp@data.neLmxInternet: http://www.reverte.com 101545.2361@compuserve.comReservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de esta obra, porcualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamientoinformtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pbli-cos, queda rigurosamente prohibida sin la autorizacin escrita de los titulares del copy-right, bajo las sanciones establecidas por las leyes.Edicin en espaol EDITORIAL REVERT, S. A., 1984 REVERT EDICIONES, s. A. de C.V., 19999" Reimpresin 2001Impreso en Espaa - Printed in SpainISBN - 84 - 291 - 5002 - 1 (Espaa)ISBN - 968 - 6708 - 10 - 3 (Mxico)Depsito Legal: B - 32464 - 2001Impreso por Imprimeix S.L.Eduard Maristany, 10008912 Badalona (Barcelona) 5. aJane y Stephen 6. PRLOGO Extracto del prlogo a la primera edicinParece que no hay acuerdo sobre 10 que ha de constituir un primer cursode Clculo y Geometra Analtica. Unos sostienen que el camino verdadero paraentender el Clculo principia con un estudio completo del sistema de los nmerosreales desarrollndolo paso a paso de manera lgica y rigurosa. Otros insistenen que el Clculo es ante todo un instrumento para los ingenieros y fsicos; y porconsiguiente, que un curso debe llevar a las aplicaciones del Clculo apelando a laintuicin, para despus, por el ejercicio en la resolucin de problemas, alcanzardestreza operatoria. En ambos puntos de vista hay mucha parte de razn.El Clculo es una ciencia deductiva y una rama de la Matemtica pura. Al mismotiempo es muy importante recordar que el Clculo tiene profundas races en pro-blemas fsicos y que gran parte de su potencia y belleza deriva de la variedad desus aplicaciones. Mas es posible combinar un desarrollo terico riguroso con unasana formacin tcnica, y este libro representa un intento de establecer un sensibleequilibrio entre las dos tendencias. Aunque se trate el Clculo como ciencia deduc-tiva, no por eso se abandonan las aplicaciones a problemas fsicos. Las demos-traciones de todos los teoremas importantes se consideran como una parte esencialen el desarrollo de las ideas matemticas, y con frecuencia van precedidas de unadiscusin geomtrica o intuitiva para dar al estudiante una visin ms penetrantedel porqu de la demostracin. Aunque estas discusiones intuitivas pueden sersuficientes para el lector que no est interesado en los detalles de la demostracin,tambin se incluye la demostracin completa para aquellos que prefieran unaexposicin ms rigurosa.La disposicin de este libro ha sido sugerida por el desarrollo histrico yfilosfico del Clculo y la Geometra Analtica. Por ejemplo, se estudia la integra-cin antes de la diferenciacin. Aunque esta manera de ordenar la materia delcurso sea poco frecuente, es histricamente correcta y pedaggicamente adecuada.Adems, es el mejor camino para hacer patente la verdadera conexin entre laderivada y la integral.El concepto de integral se define en primer lugar para funciones escalonadas.Puesto que la integral de una funcin escalonada no es ms que una suma, la VII 7. VIII Prlogoteora de la integracin es extremadamente sencilla en este caso. Mientras el estu-diante aprende las propiedades de la integral para funciones escalonadas, adquiereexperiencia en el uso de la notacin sumacin y al mismo tiempo se familiarizacon el simbolismo de la integral. De esta manera se van construyendo los peldaospara que la transicin de funciones escalonadas a otras funcicnes ms generalesparezca fcil y natural.Prlogo a la segunda edicinLa segunda edicin difiere de la primera en muchos aspectos. Se ha aadidoel lgebra lineal; los teoremas del valor medio y las aplicaciones del Clculo sehan introducido en los primeros captulos, y se ha aadido buen nmero denuevos y sencillos ejercicios. Una inspeccin del ndice revela que el libro se hadividido en captulos de menor extensin, desarrollndose cada uno sobre unconcepto importante. Varias secciones han sido escritas de nuevo y reorganizadaspara proporcionar una mejor fundamentacin y mejorar la fluidez de las ideas.Al igual que en la primera edicin, cada concepto nuevo importante vieneprecedido de una introduccin histrica, que describe su desarrollo desde unaprimera nocin fsica intuitiva hasta su formulacin matemtica precisa. El estu-diante descubre en parte los esfuerzos del pasado y los triunfos de los hombresque ms han contribuido al tema. De este modo el estudiante se convierte enparticipante activo en la evolucin de las ideas y no queda como mero observadorpasivo de los resultados.La segunda edicin, como la primera, est dividida en dos volmenes. Las dosterceras partes primeras del Volumen 1 tratan del Clculo con funciones de unavariable, incluyendo las series y una introduccin a las ecuaciones diferenciales.La ltima tercera parte del Volumen 1 introduce el lgebra lineal con aplicacionesa la Geometra y al Anlisis. Gran parte de estos temas se apoya slidamente enel clculo de ejemplos que ilustran la teora general. Ello proporciona una mezclade lgebra y de Anlisis y contribuye a preparar el camino para la transicindel Clculo con una variable al Clculo con varias variables, que se trata en elVolumen Il. Un desarrollo ms amplio de lgebra lineal se har necesario en lasegunda edicin del Volumen 11. Una vez ms reconozco con agrado mi deuda con los profesores H. F. Boh-nenblust, A. Erdlyi, F. B. Fuller, K. Hoffman, G. Springer, y H. S. Zuckerman.Su influencia en la primera edicin ha continuado en la segunda. En la prepara-cin de la segunda edicin, recib tambin la ayuda del profesor Basil Gordon,que sugiri muchas mejoras. Estoy tambin agradecido a George Springer yWilliam P. Ziemer, que leyeron las ltimas pruebas. El personal de BlaisdellPublishing Company, como siempre, ha prestado una gran ayuda; aprecio susimptica aceptacin de mis deseos en lo relativo al formato y a la tipografa. 8. Prlogo IX Por ltimo, tengo especial satisfaccin en expresar mi gratitud a mi esposapor haber contribuido en diversas formas a la preparacin de las dos ediciones.En testimonio de mi agradecimiento le dedico este libro. T.M.A.Pasadena, California 9. NDICE ANALTICOl. INTRODUCCIN Parte 1. Introduccin histrica 11.1Los dos conceptos bsicos del Clculo 1 I 1.2 Introduccin histrica3 I 1.3 El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola4*1 1.4 Ejercicios9 I 1.5 Anlisis crtico del mtodo de Arqumedes10 I 1.6 La introduccin al Clculo que se utiliza en este libro12 Parte 2.Conceptos bsicos de la teora/ de conjuntos I 2.1 Introduccin a la teora de conjuntos13 I 2.2 Notaciones para designar conjuntos 14 I 2.3 Subconjuntos 15 I 2.4 Reuniones, intersecciones, complementos17 I 2.5 Ejercicios 19Parte 3. Un conjunto de axiomas para el sistema de nmeros reales I 3.1Introduccin21 I 3.2Axiomas de cuerpo 22*1 3.3Ejercicios24 I 3.4Axiomas de orden24*1 3.5Ejercicios26 I 3.6Nmeros enteros y racionales26 I 3.7Interpretacin geomtrica de los nmeros reales como puntosde una recta28I 3.8 Cota superior de un conjunto, elemento mximo, extremo superior 28I 3.9 Axioma del extremo superior (axioma de completitud) 30 XI 10. XII /ndice analtico I3.10 La propiedad arquimediana del sistema de los nmeros reales 32 I3.11 Propiedades fundamentales del extremo superior33*13.12 Ejercicios34*13.13 Existencia de races cuadradas de los nmeros reales no negativos 35*1 3.14Races de orden superior. Potencias racionales36*1 3.15Representacin de los nmeros reales por medio de decimales 37Parte 4. Induccin matemtica, smbolos sumatorios y cuestiones relacionadas I 4.1 Ejemplo de demostracin por induccin matemtica40 I 4.2 El principio de la induccin matemtica 41*1 4.3 El principio de buena ordenacin42 I 4.4 Ejercicios44*1 4.5 Demostracin del principio de buena ordenacin45 I 4.6 El smbolo sumatorio46 I 4.7 Ejercicios49 I 4.8 Valor absoluto y desigualdad triangular 50 I 4.9 Ejercicios53*1 4.10Ejercicios varios referentes al mtodo de induccin 54 1. LOS CONCEPTOS DEL CLCULO INTEGRAL 1.1Las ideas bsicas de la Geometra cartesiana 59 1.2Funciones. Ideas generales y ejemplos61*1.3Funciones. Definicin formal como conjunto de pares ordenados65 1.4Ms ejemplos de funciones reales 66 1.5Ejercicios 69 1.6El concepto de rea como funcin de conjunto 70 1.7Ejercicios 73 1.8Intervalos y conjuntos de ordenadas74 1.9Particiones y funciones escalonadas75 1.10 Suma y producto de funciones escalonadas 77 1.11 Ejercicios 78 1.12 Definicin de integral para funciones escalonadas79 1.13 Propiedades de la integral de una funcin escalonada 81 1.14 Otras notaciones para las integrales 85 1.15 Ejercicios 86 1.16 La integral de funciones ms generales 88 1.17 Integrales superior e inferior 91 1.18 El rea de un conjunto de ordenadas expresada como una integral92 11. lndice analticoXIIl1.19 Observaciones relativas a la teora y tcnica de la integracin931.20 Funciones montonas y montonas a trozos. Definiciones y ejemplos941.21 Integrabilidad de funciones montonas acotadas 951.22 Clculo de la integral de una funcin montona acotada 971.23 Clculo de la integral f~ xP dx siendo p entero positivo 981.24 Propiedades fundamentales de la integral 991.25 Integracin de polinomios 1011.26 Ejercicios1021.27 Demostraciones de las propiedades fundamentales de la integral1042. ALGUNAS APLICACIONESDE LAINTEGRACIN2.1Introduccin1092.2El rea de una regin comprendida entre dos grficas expresada como una integral 1092.3Ejemplos resueltos1112.4Ejercicios1162.5Las funciones trigonomtricas 1172.6Frmulas de integracin para el seno y el coseno1212.7Descripcin geomtrica de las funciones seno y coseno 1262.8Ejercicios1292.9Coordenadas polares 1332.10 La integral para el rea en coordenadas polares 1342.11 Ejercicios1362.12 Aplicacin de la integracin al clculo de volmenes1372.13 Ejercicios1402.14 Aplicacin de la integracin al concepto de trabajo 1412.15 Ejercicios1442.16 Valor medio de una funcin1452.17 Ejercicios1472.18 La integral como funcin del lmite superior. Integrales indefinidas1482.19 Ejercicios1533. FUNCIONES CONTINUAS3.1Idea intuitiva de continuidad 1553.2Definicin de lmite de una funcin 1563.3Definicin de continuidad de una funcin1603.4Teoremasfundamentales sobre lmites. Otros ejemplosde funciones continuas 1623.5Demostraciones de los teoremas fundamentalessobre lmites 167 12. XIV ndice analtico 3.6Ejercicios 169 3.7Funciones compuestas y continuidad 172 3.8Ejercicios 174 3.9Teorema de Bolzano para las funciones continuas175 3.10 Teorema del valor intermedio para funciones continuas177 3.11 Ejercicios 178 3.12 El proceso de inversin179 3.13 Propiedades de las funciones que se conservan por la inversin 180 3.14 Inversas de funciones montonas a trozos 182 3.15 Ejercicios 183 3.16 Teorema de los valores extremos para funciones continuas 184 3.17 Teorema de la continuidad uniforme 186 3.18 Teorema de integrabilidad para funciones continuas 187 3.19 Teoremas del valor medio para funciones continuas189 3.20 Ejercicios 190 4. CLCULO DIFERENCIAL 4.1Introduccinhistrica191 4.2Un problema relativo a velocidad 192 4.3 Derivada de una funcin 195 4.4Ejemplos de derivadas197 4.5lgebra de las derivadas 201 4.6Ejercicios 204 4.7 Interpretacingeomtrica de la derivada como una pendiente207 4.8Otras notaciones para las derivadas209 4.9Ejercicios 211 4.10 Regla de la cadena para la derivacin de funciones compuestas213 4.11 Aplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variacinligados y derivacin implcita 216 4.12 Ejercicios 219 4.13 Aplicaciones de la derivacin a la determinacin de los extremosde las funciones 2214.14Teorema del valor medio para derivadas 2244.15Ejercicios 2274.16Aplicaciones del teoremadel valor medio a propiedadesgeomtricas de las funciones 2284.17Criterio de la derivada segunda para los extremos2304.18Trazado de curvas2314.19Ejercicios 2334.20Ejemplos resucitas de problemas de extremos2344.21Ejercicios 237 13. Indice analtico xv:4.22Derivadasparciales239:4.23Ejercicios245 5. RELACIN ENTRE INTEGRACINy DERIVACIN5.1La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental de l c lculo 247 5.2 Teorema de la derivada nula 250 5.3 Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del clculo250 5.4 Propiedadesde una funcin deducidas de propiedades de su derivada253 5.5 Ejercicios254 5.6 La notacin de Leibniz para las primitivas257 5.7 1ntegracin por sustitucin 259 5.8 Ejercicios264 5.9 1n tcgracin por partes 266 5.10Ejercicios269:5 .11 Ejercicios de repaso2726. F C1CTN LOGARITMO, FUNCIN1EX POXENCIAL y FUNCIONES TRIGONOM~TRICASINVERSAS 6.1 J ntrcduccin 277 6.2 Definicin del logaritmo natural como integral278 6.3 Definicin de logaritmo. Propiedades fundamentales281 6.4 Grfica del logaritmo natural 282 6.5 Consecuencias de la ecuacin funcional L(ab) = L(a)+ L(b) 282 6.6 Logaritmos referidos a una base positiva b =1= 1284 6.7 Frmulas de derivacin e integracinen las queintervienen logaritmos286 6.8 Derivacin logartmica288 6.9 Ejercicios289 6.10Polinomios de aproximacin para el logaritmo291 6.11Ejercicios296 6.12La funcin exponencial296 6.13Exponenciales expresadas como potencias de e298 6.14Definicin de e para x real cualquiera 299 6.15Definicin de a" para a>O y x real300 6.16Frmulas de derivacine integracin en las queintervienen exponenciales 300 14. XVI lndice analticoEjercicios 3046.17Funciones hiperblicas 3076.186.19Ejercicios 3086.20Derivadas de funciones inversas308Inversas de las funciones trigonomtricas3096.216.22Ejercicios 3146.23Integracin por fracciones simples 3166.24Integrales que pueden transformarseen integrales de funcionesracionales 323 6.25 Ejercicios 326 6.26 Ejercicios de repaso 3287. APROXIMACIN DE FUNCIONES POR POLINOMIOS 7.1Introduccin 333 7.2Polinomios de Taylor engendrados por una funcin 335 7.3Clculo con polinomios de Taylor 337 7.4Ejercicios 340 7.5Frmula de Taylor con resto341 7.6Estimacin del error en la frmula de Taylor 342*7.7Otras formas de la frmula de TayIor con resto 347 7.8Ejercicios 348 7.9Otras observaciones sobre el error en la frmula de Taylor. Lanotacin 0-350 7.10 Aplicaciones a las formas indeterminadas 354 7.11 Ejercicios 356 7.12 Regla de LHpital para la forma indeterminada O/O 357 7.13 Ejercicios 362 7.14Los smbolos + 00 y - oo , Extensin de la regla de LHpital 363 7.15 Lmites infinitos366 7.16 Comportamientode log x y ea: para valores grandes de x 368 7.17 Ejercicios 3718. INTRODUCCIN A LAS ECUACIONESDIFERENCIALES 8.1Introduccin 373 8.2Terminologa y notacin374 8.3Ecuacin diferencial de primer orden para la funcin exponencial 376 8.4Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden377 8.5Ejercicios 381 15. In dice analticoXVII8.6Algunos problemas fsicos que conducen a ecuaciones diferenciales de primer orden3828.7Ejercicios 3908.8Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes 3948.9Existencia de soluciones de la ecuacin y" + by = O3958.10 Reduccin de la ecuacin general al caso particular y" + by = O3968.11 Teorema de unicidad para la ecuacin y" + by =O3978.12 Solucin completa de la ecuacin y" + by = O 3988.13 Solucin completa de la ecuacin y" + ay + by = O 3998.14 Ejercicios 4018.15 Ecuaciones lineales no homogneas de segundo orden con coeficientes constantes4028.16 Mtodos particulares para la determinacin de una solucin particular de la ecuacin no homognea y" + ay + by = R 4068.17 Ejercicios 4088.18 Ejemplos de problemas fsicos que conducen a ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes 4088.19 Ejercicios 4148.20 Observaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no lineales 4168.21 Curvas integrales y campos direccionales 4178.22 Ejercicios 4218.23 Ecuaciones separables de primer orden4228.24 Ejercicios 4248.25 Ecuaciones homogneas de primer orden4258.26 Ejercicios 4298.27 Algunos problemas fsicos y geomtricos que conducen a ecuaciones de primer orden 4298.28 Ejercicios de repaso 434 9. NMEROS COMPLEJOS9.1Introduccin histrica4379.2Definiciones y propiedades4379.3Los nmeros complejos como una extensin de los nmeros reales4409.4La unidad imaginaria i 4419.5Interpretacin geomtrica. Mdulo y argumento4439.6Ejercicios 4459.7Exponenciales complejas4469.8Funciones complejas4499.9Ejemplos de frmulas de derivacin e integracin 4519.10 Ejercicios 453 16. XVIIIlndice analtico 10. SUCESIONES, SERIES, INrrEGRALES IMPROPIAS 10.1 La paradoja de Zenn 457 10.2 Sucesiones 462 10.3 Sucesiones montonas de nmeros reales 465 10.4 Ejercicios 467 10.5 Series infinitas 469 10.6 Propiedad de linealidad de las series convergentes 471 10.7 Series telescpicas472 10.8 Serie geomtrica 474 10.9 Ejercicios 477*10.10Ejercicios con expresiones decimales 479 10.11Criterios de convergencia480 10.12Criterios de comparacin para series de trminos no negativos482 10.13El criterio integral 484 10.14Ejercicios 486 10.15Criterios de la raz y del cociente para series de trminos nonegativos48710.16 Ejercicios 49010.17 Series alternadas49210.18 Convergencia condicional y absoluta49610.19 Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel49610.20 Ejercicios 499* 10.21 Reordenacin de series 50110.22 Ejercicios varios de repaso50610.23 Integrales impropias 50810.24 Ejercicios 51311. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES 11.1 Convergencia puntual de sucesiones de funciones517 11.2 Convergencia uniforme de sucesiones de funciones 519 11.3 Convergencia uniforme y continuidad520 11.4 Convergencia uniforme e integracin521 11.5 Una condicin suficiente para la convergencia uniforme 522 11.6 Series de potencias. Crculo de convergencia 524 11.7 Ejercicios 526 11.8 Propiedades de las funciones representadas por series reales depotencias528 11.9 Serie de Taylor generada por una funcin 532 11.10Condicin suficiente para la convergencia de una serie de Taylor 532 17. ndice analticoXIX 11.11 Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial y trigonomtricas533*11.12 Teorema de Bernstein 535 11.13 Ejercicios 536 11.14 Series de potencias y ecuaciones diferenciales 538 11.15 La serie binmica541 11.16 Ejercicios 54212. LGEBRA VECTORIAL 12.1Introduccin histrica 545 12.2El espacio vectorial de las n-plas de nmeros reales 546 12.3Interpretacin geomtrica para n ::;3549 12.4Ejercicios 551 12.5Producto escalar 552 12.6Longitud o norma de un vector554 12.7Ortogonalidad de vectores557 12.8Ejercicios 558 12.9Proyecciones. ngulo de dos vectores en el espaciode n dimensiones559 12.10 Los vectores coordenados unitarios 561 12.11 Ejercicios 563 12.12 Envolvente lineal de un conjunto finito de vecotres565 12.13 Independencia lineal 567 12.14 Bases570 12.15 Ejercicios 571 12.16 El espacio vectorial Vn(C) de n-plas de nmeros complejos573 12.17 Ejercicios 57513. APLICACIONES DEL ALGEBRA VECrrORIAL A LA GEOMETRA ANALTICA 13.1Introduccin 577 13.2Rectas en el espacio n-dimensional 578 13.3Algunas propiedades sencillas de las rectas579 13.4Rectas y funciones vectoriales 581 13.5Ejercicios 584 13.6Planos en el espacio eucldeo n-dimensional585 13.7Planos y funciones vectoriales 589 13.8Ejercicios 590 13.9Producto vectorial 591 18. xxlndice analtico 13.10 El producto vectorial expresado en forma de determinante 595 13.11 Ejercicios 597 13.12 Producto mixto 598 13.13 Regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales 601 13.14 Ejercicios 602 13.15 Vectores normales a planos 604 13.16 Ecuaciones lineales cartesianas para planos606 13.17 Ejercicios 607 13.18 Las secciones cnicas609 13.19 Excentricidad de las secciones cnicas 612 13.20 Ecuaciones polares de las cnicas614 13.21 Ejercicios 615 13.22 Cnicas simtricas respecto al origen616 13.23 Ecuaciones cartesianas de las cnicas618 13.24Ejercicios621 13.25Ejercicios varios sobre cnicas 623 14. CLCULO CON FUNCIONES VECTORIALES 14.1Funciones vectoriales de una variable real 627 14.2Operaciones algebraicas. Componentes 627 14.3Lmites, derivadas e integrales628 14.4Ejercicios 632 14.5Aplicaciones a las curvas. Tangencia 633 14.6Aplicaciones al movimiento curvilneo. Vector velocidad, velocidad y aceleracin637 14.7Ejercicios 641 14.8Vector tangente unitario, normal principal y plano osculador a una curva643 14.9Ejercicios 646 14.10 Definicin de longitud de un arco648 14.11 Aditividad de la longitud de arco651 14.12 Funcin longitud de arco 652 14.13 Ejercicios 655 14.14 Curvatura de una curva 657 14.15 Ejercicios 659 14.16 Los vectores velocidad y aceleracin en coordenadas polares660 14.17 Movimiento plano con aceleracin radial663 14.18 Coordenadas cilndricas664 14.19 Eiercicios 665 19. In dice analtico XXI14.20 Aplicaciones al movimientoplanetario66714.21 Ejercicios de repaso67115. ESPACIOS LINEALES15.1Introduccin67515.2Definicin de espacio lineal67515.3Ejemplos de espacios lineales 67715.4Consecuencias elementales de los axiomas67915.5Ejercicios68015.6Subespacios de un espacio lineal68115.7Conjuntos dependientes e independientes,en un espacio lineal68315.8Bases y dimensin 68515.9Ejercicios68615.10 Productos interiores, espacios eucldeos. Normas68715.11 Ortogonalidad en un espacio eucldeo69115.12 Ejercicios69415.13 Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt 69615.14 Complementos ortogonales. Proyecciones70115.15 Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo porelementos de un subespacio de dimensin finita70415.16 Ejercicios706 16. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES16.1Transformacioneslineales70916.2Ncleo y recorrido71116.3Dimensin del ncleo y rango de la transformacin 71216.4Ejercicios71416.5Operaciones algebraicas con transformaciones lineales 71616.6Inversas71816.7Transformaciones lineales uno a uno 72116.8Ejercicios72316.9Transformaciones lineales con valores asignados 72516.10 Representacin matricial de las transformaciones lineales 72616.11 Construccin de una representacin matricial en forma diagonal73016.12 Ejercicios73216.13 Espacios lineales de matrices 73316.14 Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices73516.15 Multiplicacin de matrices73616.16 Ejercicios740 20. XXIIlndice analtico 16.17Sistemas de ecuaciones lineales742 16 .18 Tcnicas de clculo745 16.19Inversas de matrices cuadradas 750 16.20Ejercicios 752 16.21 Ejercicios varios sobre matrices754 Soluciones a los ejercicios 757 ndice alfabtico 805 21. Calculus 22. INTRODUCCINParte l. - Introduccin histrica1 1.1 Los dos conceptos bsicos del ClculoEl considerable progreso habido en la ciencia y en la tcnica durante losltimos cien aos procede en gran parte del desarrollo de las Matemticas.La rama de la Matemtica conocida por Clculo integral y diferencial es uninstrumento natural y poderoso para atacar mltiples problemas que surgen enFsica, Astronoma, Ingeniera, Qumica, Geologa, Biologa, y en otros campos,incluyendo recientemente algunos de Ciencias sociales.Para dar una idea al lector de los muy diversos tipos de problemas quepueden tratarse por los mtodos de Clculo se expone a continuacin una pe-quea muestra de cuestiones seleccionadas entre los ejercicios que aparecen encaptulos posteriores de este libro.Con qu velocidad debera ser impulsado un cohete para que nunca volvieraa la Tierra? Cul es el radio del menor disco circular que cubra a todo tringuloissceles de permetro L? Cul es el volumen de material extrado de una esferade radio 2r al atravesarla por un orificio cilndrico de radio r cuyo eje pase porel centro de la esfera? Si un cultivo de bacterias crece en razn directa a la can-tidad que hay en cada instante, y la poblacin se duplica en una hora, en cuntose habr incrementado al cabo de dos horas? Si una fuerza de diez libras estirauna cuerda elstica una pulgada, qu trabajo se necesita para estirarla un pie?Estos ejemplos, elegidos en distintos campos, ilustran algunas de las cues-tiones tcnicas que pueden ser resueltas como aplicaciones ms o menos ruti-narias del Clculo.El Clculo no slo es un instrumento tcnico, sino que contiene una colec-cin de ideas fascinadoras y atrayentes que han ocupado el pensamiento humanodurante centurias. Estas ideas estn relacionadas con velocidad, rea, volumen,razn de crecimiento, tangente a una lnea, y con otros conceptos referentes aotros dominios. El Clculo obliga a detenerse y a pensar cuidadosamente acercadel significado de estos conceptos. Otro carcter notable del Clculo es su poder 23. 2Introduccinunificador. Muchos de estos problemas pueden ser formulados de manera que sereduzcan a otros problemas de naturaleza puramente geomtrica. A continuacinse procede a una breve descripcin de tales problemas.Considrese una curva C situada encima de una lnea horizontal base, comose indica en la figura 1.1. Se supone que esta curva tiene la propiedad de sercortada por cada vertical, en un punto a lo ms. La parte sombreada de lafigura est formada por aquellos puntos situados por debajo de la curva C, enci-ma de la horizontal, y entre dos segmentos verticales paralelos que unen C conla base. El primer problema fundamental del Clculo es el siguiente: Determinarun nmero que mida el rea de esta regin sombreada.Considrese despus una recta que sea tangente a la curva, tal como seve en la figura 1.1. El segundo problema fundamentalpuede formularse de lasiguiente manera: Determinar un nmero que mida la pendiente de esta recta. FIGURA I.1Fundamentalmente, el Clculo se ocupa en la formulacin precisa y la reso-lucin de estos dos problemas considerados. En el Clculo se definen los con-ceptos de rea y tangente y se calculan el rea de una regin dada y la pen-diente de la tangente a una curva dada. El Clculo integral se ocupa del problemadel rea y ser discutido en este captulo 1. El Clculo diferencial se ocupa delproblema de la tangente y ser introducido en el captulo 4.El estudio del Clculo exige una cierta preparacin matemtica. El presentecaptulo trata de estos conceptos bsicos y est dividido en cuatro partes: La l ."parte da una perspectiva histrica; la 2.a se refiere a la notacin y terminologaen la matemtica de conjuntos; la 3.a trata del sistema de nmeros reales; la4.a ofrece la induccin matemtica y la notacin sumatoria. Si el lector est infor-mado de estos temas, puede abordar directamente el desarrollo del Clculo inte-gral en el captulo 1. Si no, deber familiarizarse con las materias contenidasen esta introduccin antes de iniciar el captulo 1. 24. 1ntroduccinhistrica3I 1.2 IntroduccinhistricaEl origen del Clculo integral se remonta a ms de 2000 aos, cuando losgriegos intentaban resolver el problema del rea ideando el procedimiento quellamaron mtodo de exhaucin. Las ideas esenciales de este mtodo son real-mente muy simples y se pueden describir brevemente como sigue: Dada unaregin cuya rea quiere determinarse, se inscribe en ella una regin poligonalque se aproxime a la dada y cuya rea sea de fcil clculo. Luego se elige otraregin poligonal que d una aproximacin mejor y se contina el proceso to-mando polgonos con mayor nmero de lados cada vez, tendiendo a llenar laregin dada. La figura 1.2 es una ilustracin del mtodo en el caso de una reginsemicircular.Este mtodo fue usado satisfactoriamentepor Arqumedes (287-212 A.C.) para hallar frmulas exactas de las reas del crculo y de algunasotras figuras especiales.Desde Arqumedes, el desarrollo del mtodo de exhaucin tuvo que esperarcasi 18 siglos, hasta que el uso de smbolos y tcnicas algebraicas se hizo pre-ciso en los estudios matemticos. El lgebra elemental que hoy da es familiara la mayora de los alumnos de los ltimos cursos de enseanza secundaria, eratotalmente desconocida en tiempos de Arqumedes, lo que haca imposible exten-der el mtodo a cualquier clase de regiones, sin poseer manera adecuada depoder expresar los largos clculos en forma simplificada.FIGURA 1.2 El mtodode exhaucin aplicado a una regin semicircular.Un cambio lento pero revolucionario, en el desarrollo de las notaciones ma-temticas, empez en el siglo XVI D.C. El engorroso sistema de numeracinromano fue desplazado gradualmentepor los caracteres arbigos utilizados hoyda; los signos + y - fueron introducidos por primera vez, y se empezaron areconocer las ventajas de la notacin decimal. Durante este mismo perodo, losbrillantes resultados de los matemticos italianos Tartaglia, Cardano y Ferrarique dieron soluciones algebraicas a las ecuaciones cbica y curtica, estimulel desarrollo de la Matemtica y anim a la aceptacin del lenguaje algebraiconuevo y superior. Con la introduccin muy extendida de los bien elegidos sm-bolos algebraicos, revivi el inters por el antiguo mtodo de exhaucin y enel siglo XVI descubrieronmltiples resultados parciales, los que como Cava-lieri, Toricelli, Roberval, Fermat, Pascal y Wallis fueron pioneros. 25. 4 Introduccin Gradualmente, el mtodo de exhaucin fue transformndose en lo que hoy se conoce como Clculo integral, nueva y potente disciplina que tiene numero- ssimas aplicaciones no slo en problemas relativos a reas y volmenes, sino tambin en problemas de otras ciencias. Este mtodo, que mantiene alguno de los caracteres originales del mtodo de exhaucin, recibi su mayor impulso en el siglo XVII, debido a los esfuerzos de Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), y su desarrollo continu durante el siglo XIX, hasta que Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) le dieron una base matemtica firme. Posteriores afinamientos y extensiones de la teora han llegado hasta la Matemtica contempornea.1 1.3 El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola Antes de proceder al estudio sistemtico del Clculo integral, ser instruc- tivo aplicar el mtodo de exhaucin directamente a una de las figuras particu- lares tratadas por el mismo Arqumedes. La regin en cuestin est presentada en la figura 1.3 y puede describirse como sigue: Si se elige un punto arbitrario de la base de la figura y se designa por x su distancia a 0, la distancia vertical de este punto a la curva es x, En particular, si la longitud de la base es b la altura de la figura es b2 La distancia vertical de x a la curva se denomina orde- nada de x. La curva as descrita se denomina parbola y la regin limitada por ella y por los dos segmentos rectilneos, se llama segmento parablico. r-----------------o x Aproximacin por defecto Aproximacin por excesoFIGURA1.3 Segmento parablico FIGURA 1.4 26. El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola 5. Esta figura puede encerrarse en un rectngulo de base b y altura b", comose ve en la figura 1.3. Observando la figura parece natural afirmar que el readel segmento parablico es menor que la mitad del rea del rectngulo. Arqu-medes hizo el sorprendente descubrimiento de que el rea del segmento para-blico es exactamente un tercio de la del rectngulo; es decir, A = b3/3, dondeA designa el rea del segmento parablico. Se ver a continuacin cmo sellega a este resultado. Se hace notr que el segmento parablico dibujado en la figura 1.3 no estelegido exactamente tal como lo dibuj Arqumedes y que los detalles que b" rea del rectngulo = -. k2 nob 2b kb ...b = nb nn n n FIGURA 1.5 Clculo del rea de un segmentoparablico.siguen no son exactamente los utilizados por l. Sin embargo, las ideas esencialesson las de Arqumedes; lo que aqu se expone puede considerarse como el m-todo de exhaucin expuesto con la notacin moderna.El mtodo consiste simplemente en lo siguiente: se divide la figura en uncierto nmero de bandas y se obtienen dos aproximaciones de la regin, unapor defecto y otra por exceso, utilizando dos conjuntos de rectngulos comose indica en la figura 1.4. (Se utilizan rectngulos mejor que polgonos arbitrariospara simplificar los clculos.) El rea del segmento parablico es mayor que elrea total de los rectngulos interiores pero menor que la de los rectngulosexteriores.Si cada banda se subdivide a su vez, se obtiene una nueva aproximacincon mayor nmero de bandas, la reunin de las reas de los rectngulos inte- 27. 6Introduccinriores crece, mientras que el total de las reas de los rectngulos exterioresdecrece. Arqumedes vio que se poda lograr el rea con el grado de aproximacindeseado sin ms que tomar un nmero suficiente de bandas.El clculo efectivo en este caso se realiza como se indica a continuacin.Con objeto de simplificar se subdivide la base en n partes iguales, cada una delongitud bf n (vase fig. 1.5). Los puntos de subdivisin corresponden a los si-guientes valores de x: o, ~ , 2b , 3b , ... , (n - l)b , nb = b . nnn n nLa expresin general de un punto de la subdivisin es x =kb I n, donde k tomalos valores sucesivos k = O, 1, 2, 3, .. , n, En cada punto kb I n se construye elrectngulo exterior de altura (kbln)2 como se indica en la figura 1.5. El reade este rectngulo es el producto de la base por la altura y es igual a:Si se designa por S; la suma de las reas de todos los rectngulos exteriores,puesto que el rea del rectngulo k-simo es (b3 I n3)k2 se tiene la frmula:(1.1 )De forma anloga se obtiene la frmula para la suma s de todos los rectngulosinteriores:(1.2) La forma de estas sumas es de gran importancia para su clculo. Nteseque el factor que multiplica a b" I n3 en la ecuacin (1.1) es la suma de los cua-drados de los n primeros nmeros naturales:12 + 2 + ... + n2 2 (El factor correspondiente en la ecuacin (1.2) es anlogo salvo que la sumatiene nicamente n - 1 sumandos.) Para valores grandes de n la obtencin deesta suma por adicin directa de sus sumandos es pesada, pero afortunada- 28. El mtodo de exhaucinpara el rea de un segmentode parbola7mente existe una interesante identidad que hace posible obtener esta suma porun camino ms simple, y es la siguiente:3 2 12 + 22 +"+n 2 nn n(1.3)=-+-+-. 3 26Esta identidad es vlida para todo entero n 2: 1 Y puede demostrarse del siguien-te modo: Se parte de la frmula (k+ l)3=k8+3F+3k+1 Y se pone en la forma3k2 + 3k + 1 = (k + 1)3 -k3.Haciendo k = 1, 2, ... , n - 1, obtenemos las n - 1 frmulas3 . 12 + 3 . 1 + 1 =2 3 -13 3 . 22 + 3 .2 + 1= 3 3 -233(n - 1)2 + 3(n -1) +1=n3 -(n - 1)3.Al sumar estas frmulas,todos los trminos del segundomiembrose reducenexcepto dos y se obtiene3[P + 22 + ...+ (n - 1)2] + 3[1 + 2+ ... + (n - 1)] + (n - 1) = n3 - P.La segunda suma del primer miembro es la suma de los trminos de una pro-gresin aritmtica cuyo valor es t n(n - 1). Por tanto la ltima igualdad nos da 32(lA) 12 + 22 + ...+ (n - 1)2= !!..- _ !!..- + !:!. .3 26Sumando n a los dos miembros, obtenemos (1.3).Las expresiones exactas dadas en los segundos miembros de (1.3) y (1.4) noson necesarias para el objeto que aqu se persigue, pero sirven para deducirfcilmente las dos desigualdades que interesan 3 n(I.5) 12 + 22 + ... + (n- 1)2 b j 3 conduce a una contradiccin. De forma an-loga se demuestra que la desigualdad A < b" j 3 conduce a su vez a una contra-diccin y por tanto debe ser A = b3j3 como se ha afirmado antes. *1 1.4Ejercicios1. (a) Modificar la regin en la figura 1.3 tomando como ordenada para cada x el valor2x2 en vez de x2 Dibujar la nueva figura. Sganse en este caso los pasos principales del apartado anterior y comprense ambos, estudiando la repercusin del cambio en el cl- culo de A. Efectese lo mismo si la ordenada en cada x es: (b) 3x2, (e) !x2, (d) 2x2 + 1, (e) ax2 + c.2. Modifquese la regin en la figura 1.3 tomando como ordenada para cada x, x3 envez de x2 Dibjese la nueva figura. (a) sese una construccin anloga a la dibujada en la figura 1.5 y prubese que las sumas interior y exterior S; y s, estn dadas por(b) Utilcense las desigualdades (que pueden probarse por induccin completa; vaseSeccin 1 4.2). n4(1.12) t3 + 23 + ... + (n - 1)3 < - < 13 + 23 + ... + n3 4para demostrar que s; < b4/4 < S; para cada n, y probar que b4/4 es el nico nmerocomprendido entre s, y S; para cada n,(e) Qu nmero sustituye a b4/4 si la ordenada en cada x es ax3 + c? 31. 10Introduccin 3. Las desigualdades (1.5) y (1.12) son casos particulares de las desigualdades ms generalesnk+1(1.13) lk + 2k + ... + (n - l)k < -- < lk + 2k + ... + nkk+1 que son vlidas para cada entero n ~ 1 Y cada entero k 1. Supuestas vlidas (1.13) generalcense los resultados del ejercicio 2.1 1.5Anlisis crtico del mtodo de ArqumedesMediante clculos anlogos a los realizados en el apartado 1 1.3, Arqumedeslleg a la conclusin de que el rea del segmento parablico considerado es b3/3.Este hecho se acept como un teorema matemtico, hasta que pasados unos2000 aos se pens que deban analizarse los resultados desde un punto de vistams crtico. Para comprender por qu hubo quien puso en duda la validez de lasconclusiones de Arqumedes, es necesario tener presente los cambios importantesque han tenido lugar en la reciente historia de la Matemtica.Cada rama del conocimiento es un conjunto de ideas descritas por mediode palabras y smbolos, y no se pueden comprender estas ideas sin un conoci-miento exacto de las palabras y smbolos que se utilizan. Ciertas ramas del cono-cimiento conocidas por sistemas deductivos, se distinguen de otras porque enellas se elige a priori un nmero de conceptos no definidos y todo otro conceptoen el sistema se define a partir de aqullos. Ciertas relaciones entre estos conceptosno definidos se toman como axiomas o postulados y otras relaciones que puedendeducirse de estos axiomas se denominan teoremas. El ejemplo ms familiar desistema deductivo es la Geometra elemental euclidiana, que ha sido estudiadapor toda persona culta desde la poca de la Grecia antigua.El espritu de la Matemtica griega, siguiendo el mtodo de postulados yteoremas como en la Geometra de los Elementos de Euclides, domin el pen-samiento de los matemticos hasta la poca del Renacimiento. Una fase nuevay vigorosa en el desarrollo de la Matemtica empez con la aparicin del lgebraen el siglo XVI; Y los 300 aos que siguieron fueron testigos de gran cantidad dedescubrimientos importantes. El razonamiento lgico preciso del mtodo deductivocon el uso de axiomas, definiciones y teoremas, estuvo manifiestamente ausenteen este perodo. Los matemticos de los siglos XVI, XVII Y XVIII recurran a unamezcla curiosa de razonamiento deductivo combinado con la intuicin y la puraconjetura; y no es extrao que algunos de sus resultados se haya visto posterior-mente que eran incorrectos. No obstante, un nmero sorprendente de descubri-mientos importantes ocurren en este perodo, y una gran parte de esta obra ha so-brevivido la prueba de la Historia, representando un tributo a la destreza ytalento de aquellos cientficos. 32. Anlisis crtico del mtodo de Arqumedes 11Cuando empez a disminuir el caudal de nuevos descubrimientos,apareciun nuevo perodo de anlisis crtico; y poco a poco, los matemticos se vieronobligados a volver a las ideas clsicas del mtodo deductivo, al intentar ponerfundamentos firmes a la nueva Matemtica . Esta fase del desarrollo, que empeza principios del siglo XIX y ha continuado hasta el momento presente, ha alcanzadoun grado de abstraccin y pureza lgica que ha superado todas las tradiciones de laciencia griega. A la vez, ha. proporcionadouna comprensin ms clara de losfundamentos no slo del Clculo, sino de todas las ramas de la Matemtica. Hay muchas formas de estructurar el Clculo como sistema deductivo. Unamanera posible, es tomar los nmeros reales como conceptos no definidos o primi-tivos. Algunas de las reglas que rigen las operaciones con los nmeros realespueden tomarse como axiomas. Este sistema de axiomas se ha incluido en laparte 3 de esta introduccin. Nuevos conceptos, tales como integral, lmite, conti-nuidad, derivada, pueden definirse a partir de los nmeros reales. Las propiedadesde estos conceptos se deducen como teoremas a partir de los axiomas. Considerando el Clculo como una parte del sistema deductivo, el resultadode Arqumedes para el rea del segmento parablico no puede aceptarse comoun teorema si no se da previamente una definicin satisfactoria de rea. No esclaro que Arqumedes hubiera formulado alguna vez una definicin precisa delo que l entenda por rea. Parece haber tomado como convenio que cada regintiene una rea asociada a ella. Con esta hiptesis se ocupa de calcular reas de regiones particulares.En sus clculos utiliza propiedades del rea que no sepueden probar mientras no se precise qu se entiende por rea. Por ejemplo, supone que si una regin es interior a otra, el rea de la regin menor no puede exceder a la de la regin mayor; y tambin que si una regin se descompone en dos o ms partes, la suma de las reas de cada parte es igual al rea de toda la regin. Todas estas propiedades se atribuyen al rea, y en toda definicin que se d del rea estas propiedades han de poder deducirse como teoremas. Es verosmil que el mismo Arqumedes tomara el rea como concepto primitivo, utilizando las propiedades mencionadas como axiomas. Actualmente se considera la obra de Arqumedes como importante ms que por calcular reas de figuras particulares, porque ha sugerido un camino razonable para definir el concepto de rea para figuras ms o menos arbitrarias. A su vez, el mtodo de Arqumedes sugiere un mtodo para definir un concepto mucho ms general, que es la integral; y a su vez, la integral no slo se utiliza para definir y calcular reas, sino tambin para establecer conceptos como longitud de un arco, volumen, trabajo y otros. Anticipndose a futuros desarrollos, y utilizando la terminologa del Clculo integral, el resultado del clculo efectuado en la Seccin 1 1.3, para el segmentoparablico, se expresa frecuentemente como sigue:La integral de x2 de O a b es b3/3. 33. 12Introducciny se escribe simblicamente: (bx2dx = h3.Jo 3El smbolo f (una S alargada) se llama signo integral y fue introducido porLeibniz en 1675. El proceso que determina el nmero b3/3 se denomina integra-cin. Los nmeros O y b que afectan al signo integral se denominan lmites de inte-graci6n. El signo fg x2 dx se ha de considerar como un todo. Su definicin debedarse de la misma manera que el diccionario describe la palabra Marte sin hacerreferencia a mar ni a te.El smbolo de Leibniz para la integral fue aceptado pronto por muchos mate-mticos, porque vean en la integracin un tipo de proceso de sumacin quepermita sumar infinitas cantidades infinitamente pequeas. Por ejemplo, en elcaso del segmento parablico, el rea se conceba como la suma de una infinidadde rectngulos infinitamente pequeos de altura x2 y base dx. El signo integralrepresenta el proceso de sumacin de todos estos rectngulos. Esta forma derazonar es muy sugestiva y til frecuentemente.Desde el punto de vista lgico,adolece del defecto de no poder atribuir un significado exacto al concepto can-tidad infinitamente pequea. Actualmente se sabe cmo introducir la integralmediante el nmero real, sin utilizar conceptos misteriosos e inexplicables, comoinfinitesimal. Esta definicin se dar en el captulo 1.1 1.6 La introduccin al Clculo que se utiliza en este libroUna exposicin rigurosa y completa tanto del Clculo integral como del dife-rencial, depende esencialmente de un estudio cuidadoso del sistema de los nmerosreales. El estudio en s de este sistema llevado a cabo en su totalidad, es un temamuy interesante pero un tanto largo, de forma que requiere un pequeo volumenpara su completa exposicin. El mtodo seguido en este libro es empezar con losnmeros reales como elementos primitivos y tomar simplemente algunas de suspropiedades fundamentales como axiomas. Estos axiomas y algunos de los teoremasms sencillos que pueden deducirse de ellos se discutirn en la parte 3 de estecaptulo. Muchas de las propiedades de los nmeros reales que se han tomadocomo axiomas son probablemente familiares al lector, por sus estudios de lgebraelemental. Sin embargo, hay algunas propiedades de los nmeros reales que no sesuelen tener en cuenta en el lgebra elemental, pero que juegan un papel impor-tante en el Clculo. Estas propiedades son consecuencia del llamado axioma delextremo superior (conocido tambin por axioma de la continuidad) que se estudiaraqu con detalle. El lector puede parar su atencin en ia parte 3 antes de entraren el cuerpo fundamental del texto, o bien dejar la lectura de esta materia params adelante cuando se encuentre con aquellas partes de la teora en las que se 34. Introduccin a la teora de conjuntos 13utilizan propiedades del extremo superior. Las materias en el texto que dependandel axioma del extremo superior se sealarn claramente. Para desarrollar el Clculo como una teora matemticacompleta, seranecesario exponer, junto al sistema de axiomas del nmero real, un conjuntode mtodos de demostracin que permitieran deducir los teoremas a partir delos axiomas. Cada afirmacin en la teora tendra que ser justificada o comouna ley establecida (es decir, un axioma, una definicin o un teorema previa-mente probado), o como el resultado de aplicar a leyes establecidas uno de losmtodos de demostracin aceptados. Un programa de esta naturaleza resultaraextremadamente largo y trabajoso, y ayudara muy poco a la comprensin de lamateria por el principiante. Afortunadamenteno es necesario proceder de estaforma para llegar a una buena comprensin y manejo del Clculo. En este libro seintroducen las cuestiones prescindiendode un formalismo exagerado y se haceamplio uso del razonamientogeomtrico cuando se cree conveniente; pero almismo tiempo, se procura que la exposicin de las materias goce de la precisin yclaridad propias de la ciencia moderna. Todos los teoremas importantes de lateora en cuestin, estn explcitamente expuestos y rigurosamentedemostrados. Para evitar interrumpir la sucesin de ideas, algunas de las demostracionesaparecen en secciones separadas sealadas con asterisco. Por la misma razn,algunos de los captulos van acompaados de secciones suplementarias en lascuales se tratan con detalle algunos temas importantes relacionados con el Clculo.Algunos de ellos estn tambin sealados con asterisco para indicar que puedenomitirse o posponerse sin que se interrumpala continuidad de la exposicin.El que se tomen ms o menos en consideracin los apartados con asterisco, de-pende en parte de la preparacin del lector y en parte de su inters. La personaque desee un curso completo de Clculo tanto en teora como en la prctica,tendr que leer toda la materia. El que se interese primeramente por las ideasbsicas y la prctica, podr suprimir los apartados con asterisco.Parte 11. - Conceptos bsicos de la Teora de conjuntosI 2.1 Introduccin a la Teora de conjuntosEn el estudio de cualquier rama de la Matemtica, sea Anlisis, lgebra oGeometra, resulta til emplear la notacin y la terminologa de la Teora de con-juntos. Esta teora, que fue desarrollada por Boole y Cantor (t) a fines del siglo XIX,ha tenido una profunda influencia en el desarrollo de la Matemtica en el si-(t) George Boole (1815-1864) fue un lgico-matemtico ingls. Su libro, Investigacin de lasleyes del pensamiento, publicado en 1854, seala la creacin del primer sistema prctico deLgica simblica. George F. L. P. Cantor (1845-1918) y su escuela crearon la moderna Teora de conjuntos en el perodo 1874-1895. 35. 14Introduccinglo xx. Ha unificado muchas ideas aparentemente inconexas y ha contribuido areducir gran nmero de conceptos matemticos a sus fundamentos lgicos por unmtodo elegante y sistemtico. Un estudio riguroso de la Teora de conjuntos re-querira una amplia discusin que consideramos fuera del alcance de este libro.Por fortuna, las nociones bsicas son en nmero reducido, y es posible desarrollarun conocimiento prctico de los mtodos e ideas de la Teora de conjuntos atravs de una discusin informal. En realidad. no vamos a hacer una discusinde la moderna Teora de conjuntos, sino precisar la terminologa que deberemosaplicar a las ideas ms o menos familiares. En Matemticas, la palabra conjunto se emplea para representar una co-leccin de objetos considerada como una sola entidad. Las colecciones designadascon nombres tales como rebao, tribu, muchedumbre, equipo y elec-torado son todas ejemplos de conjunto. Los objetos que constituyen la coleccinse llaman elementos o miembros del conjunto, y de ellos se dice que perteneceno que estn contenidos en el conjunto. A su vez, se dice que el conjunto contieneo est compuesto de sus elementos. Nos ocuparemos principalmente de conjuntos de entes matemticos: conjuntosde nmeros, de curvas, de figuras geomtricas, etc. En muchas aplicaciones con- viene considerar conjuntos en los que no se supone nada acerca de la naturaleza de sus elementos. Tales conjuntos se llaman abstractos. La Teora de conjuntos abstractos ha sido desarrollada para tratar con tales colecciones de objetos arbi- trarios, y precisamente a esa generalidad se debe el gran alcance de tal teora.1 2.2. Notaciones para designar conjuntos Corrientemente los conjuntos se designan con letras maysculas: A, B, e, ... ,x, Y, Z: y los elementos con minsculas: a, b, e, ... , x, y, z. Utilizamos la notacinXESpara indicar que x es un elemento de S o que x pertenece a S, Si x no perte-nece a S esoribimos x r$ S. Cuando convenga, desigharemos conjuntos escribiendolos elementos entre corchetes; por ejemplo, el conjunto de los enteros positivospares menores que 10 se expresa con el smbolo {2, 4, 6, 8} mientras que el detodos los enteros positivos se representa con {1, 2, 3, ... }; los tres puntos signi-fican y as sucesivamente. Los puntos suspensivos tan slo se utilizan cuandoel significado de y as sucesivamente sea claro. El mtodo de citar los elementosde un conjunto entre corchetes se llama frecuentemente la notacin en lista.El primer concepto fundamental que relaciona un conjunto con otro es laigualdad de conjuntos:DEFINICINDE IGUALDAD DE CONJUNTOS.Se dice que dos conjuntos A y B son iguales (o idnticos) si constan exactamente de los mismos elementos, en cuyo 36. Subconjuntos 15caso escribiremos A = B. Si uno de los conjuntos contiene algn elemento que noest en el otro, decimos que los conjuntos son distintos y escribimos A#B. EJEMPLO1. De acuerdo con esta definicin, los dos conjuntos {2, 4, 6, 8}Y {2, 8, 4, 6} son iguales, ya que ambos constan de los cuatro elementos 2, 4, 6,Y 8. De este modo, cuando usamos la notacin en lista para expresar un conjunto,el orden en que aparecen los elementos es indiferente. EJEMPLO2. Los conjuntos {2, 4, 6, 8} Y {2, 2, 4, 4, 6, 8} son iguales apesar de que en el segundo conjunto los elementos 2 y 4 estn citados dos veces.Ambos conjuntos contienen los cuatro elementos 2, 4, 6, 8 Y no otros, as quela definicin exige que consideremos iguales esos conjuntos. Este ejemplo ponede manifiesto que no debemos exigir que los elementos citados en la notacin enlista sean todos distintos. Anlogamente el conjunto de letras en la palabraMississippi es idntico al conjunto {M, i, s, p} que consta de las cuatro letrasdistintas M, i, s, y p.1 2.3 SubconjuntosA partir de un conjunto dado podemos formar nuevos conjuntos, llamadossubconjuntos de aqul. Por ejemplo, el conjunto de los enteros positivos menoresque 10 y divisibles por 4 (que es el conjunto {4, 8}) es un subconjunto de losenteros positivos pares menores que 10. En general, daremos la definicin siguiente: DEFINICIN DE SUBCONJUNTO. Se dice que un conjuntoA es un subconjuntodel conjunto B, y escribimos Ar;;B,cuando todo elemento de A pertenece tambin a B. Decimos tambin que A estcontenido en B o que B contiene a A. El smbolo r;; se utiliza para representarla relacin de inclusin de conjuntos.La relacin A r;; B no excluye la posibilidad de que B r;; A. En realidad, po-demos tener las dos relaciones A r;; B y B r;; A pero esto se presenta tan slo siA y B tienen los mismos elementos. En otras palabras, A =B si y slo siA r;; B Y B r;; A .Este teorema es consecuencia inmediata de las definiciones anteriores de igualdade inclusin. Si A r;; Bpero A*-B, decimos que A es un subconjunto propio de B;indicamos esto escribiendo A e B.En todas nuestras aplicaciones ocurrir que tendremos fijado de antemano uncierto conjunto S, y slo nos interesarn subconjuntos de aqul. El conjunto fun- 37. 16J ntroduccindamental S puede variar de una aplicacin a otra; y ser considerado como elconjunto universal de cada teora particular. La notacin{x Ix E S Y x satisface P}designar el conjunto de todos los elementos x de S que satisfacen la propiedad P.Cuando el conjunto universal al que nos refiramos se sobrentiende, omitiremosel citarlo abreviando la notacin poniendo {x I x satisface P}. Esto se lee el con-junto de todos los x que satisfacen P. Los conjuntos representados de este modoquedan caracterizados por una propiedad definidora. Por ejemplo, el conjunto detodos los nmeros reales positivos podra designarse por {x I x>O}; el conjuntouniversal S en este caso se sobrentiende que es el conjunto de todos los nmerosreales. Del mismo modo, el conjunto de todos los nmeros pares positivos{2, 4, 6, ... } puede designarse con {x I x entero par positivo}. Naturalmente, laletra x puede reemplazarse por otro signo adecuado. As, se puede escribir{x Ix> O} = {y I y > O} = {t I t > O}etctera.Puede ocurrir que un conjunto no contenga elementos. Un tal conjunto sellama conjunto vaco, y se representa mediante el smbolo 0. Consideremos el 0como subconjunto de cualquier conjunto. Hay quien imagina un conjunto comoun recipiente (tal como una bolsa o una caja) que contiene ciertos objetos, suselementos. Entonces, el conjunto vaco sera un recipiente vaco. Para evitar dificultades y confusiones, debemos distinguir entre el elemento x y el conjunto {x} cuyo nico elemento es x. (Una caja con un sombrero dentro, esconceptualmente distinto del sombrero considerado solo.) En particular el con-junto vaco 0 no es lo mismo que el conjunto { 0 }. En realidad el conjunto vaco o no contiene elementos, mientras que el conjunto {0} contiene un elemen- to, 0 (Una bolsa que contiene una bolsa vaca no est vaca.) Los conjuntos que contienen un solo elemento se llaman conjuntos de un elemento. Con frecuencia nos ayudamos de diagramas para hacer intuitivas las relaciones entre conjuntos. Por ejemplo, podemos pensar que el conjunto universal S es una regin en el plano, y cada uno de sus elementos un punto Los subconjuntos de S pueden imaginarse como colecciones de puntos interiores a S. Por ejemplo, en la figura 1.6(b) la porcin sombreada es un subconjunto de A y tambin de B. Las ayudas grficas de este tipo se llaman diagramas de Venn y se utilizan para comprobar la validez de ciertos teoremas de la Teora de conjuntos o para sugerir mtodos de demostracin de los mismos. Naturalmente, tales demostraciones se basan en las definiciones y conceptos y su validez depender de un razonamientocorrecto y no precisamente de los diagramas. 38. Reuniones, intersecciones, complementos171 2.4Reuniones, intersecciones, complementos A partir de dos conjuntos dados A y B, siempre podemos formar un nuevoconjunto llamado reunin de A y B. Este nuevo conjunto se representa con elsmboloA U B (se lee A reunin B)Ca) A u B o A nB Ce) A n B = 0FIGURA1.6 Reuniones e intersecciones.y se define como el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B o aambos. Es decir, A U B es el conjunto de todos los elementos que pertenecenpor lo menos a uno de los conjuntos A, B. En la figura I.6(a) la parte sombreadarepresenta A U B.Anlogamente, la interseccin de A y B que se representa con el smboloA nB (se lee: A interseccin B)se define como el conjunto de los elementos comunes a A y a B. En la figura I.6(b)se representa la interseccin de A y B. En la figura I.6(c) se ve que la intersec-cin de A y B es el conjunto 0, puesto que A y B no tienen elementos comunes.Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si A n B= 0. Dados dos conjuntos A y B, se define la diferencia A - B (que tambin sellama complemento de B relativo a A) como el conjunto de los elementos de Aque no pertenecen a B. As pues, segn la definicinA - B = {x x I E A Y xrF B} .En la figura I.6(b) la porcin no sombreada de A representa A - B; la no som-breada de B representa B - A. Las operaciones de reunin e interseccin poseen muchas analogas formalescon la adicin y multiplicacin ordinarias de nmeros reales. Por ejemplo, puesto 39. 18Introduccinque no existe cuestin de orden en las definiciones de reunin e interseccin, sededuce que A U B=B U A Y que A n B=B nA. Es decir, la reunin y la in-terseccin son operaciones conmutativas. Asimismo dichas definiciones estn dadasde tal modo que las operaciones son asociativas: (A U B) U C = A U (B U C)y (A n B) n C= A n (B n C) .Estos y otros teoremas relativos al lgebra de conjuntos se citan como Ejerciciosen la Seccin 12.5. Uno de los mejores mtodos para que el lector se familiaricecon la terminologa y las notaciones antes introducidas es deducir las demostra-ciones de cada una de estas leyes formales. Una muestra del tipo de razonamientoque se necesita aparece inmediatamente despus de los Ejercicios.Las operaciones de reunin e interseccin pueden extenderse a coleccionesfinitas o infinitas de conjuntos, de la manera siguiente: Sea .!F una clase (t) novaca de conjuntos. La reunin de todos los conjuntos de .!F se define como elconjunto de todos aquellos elementos que pertenecen por 10 menos a uno de losconjuntos de .!F, y se representa con el smboloUA.AeF Si ff es una coleccin finita de conjuntos, sea por ejemplo ff = {Al> A2, ,An}, escribimosn UA = U Ak =Al U A2 U ... U An AeF k~l Anlogamente, la interseccin de todos los conjuntos de .!F se define como elconjunto de aquellos elementos que pertenecen a todos los conjuntos de.!F; serepresenta con el smboloAl igual que antes, para colecciones finitas de conjuntos escribimos:nn A = ~n A A~ k = Al n A2 n ... nA.n(t) Para simplificar el lenguaje llamamos clase a una coleccin de conjuntos. Para representarclases empleamos letras maysculas cursivas. La terminologa y la notacin usuales de laTeora de conjuntos se aplica, naturalmente, a las clases. As, por ejemplo, A E ~ significa queA es uno de los conjuntos de la clase~, y d S; [!J significa que todo conjunto de d pertenecea ~, y as sucesivamente. 40. Ejercicios 19La reunin y la interseccin se han definido de manera que las leyes asociati-vas se satisfacen inmediatamente. En consecuencia no existir ambigedad cuandoescribimos Al u A2 U ... U An o Al n A2 n ... n An .1 2.5Ejercicios l. Utilizar la notacin en lista para representar los siguientes conjuntos de nmerosreales.A = {x x2I -1= O} .D =I x3 - 2x2 + x = 2} . {x B= I (x - 1)2 = O} .{x E = {x I (x + 8)2 = 92}. e = {x I x + 8 = 9} . F = {x I (x2 + 16x)2 = 17 2} 2. Para los conjuntos del Ejercicio 1, obsrvese que B S; A. Citar todas las relaciones deinclusin S; que son vlidas entre los conjuntos A, B, e, D, E, F. 3. Sean A = { I }, B = { 1, 2}. Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probarque unas son ciertas y explicar por qu las otras son falsas).(a) A e B. (d) 1 EA.(b) A S; B.(e) ISA.(e) A E B. (f) 1 e B. 4. Resolver el Ejercicio 3 si A = {1} Y B = {{1}, 1}. 5. Dado el conjunto S = {1, 2, 3, 4}. Expresar todos los subconjuntosde S. Hay en total16, si contamos 0 y S. 6. Dados los cuatro conjuntos siguientesA = {I, 2}, B= {{l}, {2}}, e = {{l}, {l, 2}}, D = {{l}, {2}, {l, 2}},discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son certas y explicarpor qu las otras no lo son).(a) A = B.(d) AE C. (g) BcD.(b) A e; B. (e) Ae D. (h) BE D.(e) A e C.(f) Be C. (i) A E D. 7. Demostrar las propiedades siguientesde la igualdadde conjuntos.(a) {a, a} = {a}.(b) {a, b} = {b, a}.(e) {a} = {b, e} si y slo si a= b = c.Demostrar el conjunto de relaciones de los Ejercicios 8 al 19. (Al final de esta Seccin sedan ejemplos de estas demostracnes). 8. Leyes conmutativas;A v B = B v A, A n B = B n A. 41. 20 Introduccin 9. Leyes asociativas: AU (B U C) =(A U B) U C, A r, (B r. C)= (A rv B) n C. 10. Leyes distributivas:A n (BU C) = (A n B)U (A n C), AU (B n C) = (A U B)n (A U C).11. A uA=A, A nA =A,12. A S A u B,A n B S A.13. A U 0= A,An 0 = 0.14. A U (A n B) = A, An (A U B) = A.15. Si A S Cy B S C, entonces A U B S C.16. Si C S A YC S B, entoncesC SAn B. 17. (a) SiA e B yBe C,probar que A e C.(b) SiA S BY B S C,probar que A S C.(e) Qu puede afirmarse si A e B y B S C?(d) Si x E A Y A S; B, es cierto necesariamente que x E B?(e) Si x E A Y A E B, es cierto necesariamenteque x E B?18. A - (B n C) = (A - B) u (A - C). 19. Sea ~ una clase de conjuntos. EntoncesB - UAAE.F = n (B - AE.FA)yB -n A = U (B -AE.F AE.FA).20. (a) Demostrar que una de las dos frmulas siguientes es siempre correcta y la otra algu-nas veces es falsa: (i) A - (B - C)= (A - B) UC,(ii) A - (B u C)= (A - B) - C. (b) Establecer una condicin necesariay suficiente adicionalpara que la frmulaque sea incorrecta sea siempre vlida.Demostracin de la ley conmutativa A U B=B U A. Sean X=A U B,Y =B U A. Para demostrar que X = Y se demuestra que X S; Y e Y S X. Su-pngase que x E X. Entonces x est por lo menos en A o en B. Luego, x est porlo menos en B o en A; de modo que x E Y. As, pues, todo elemento de X esttambin en Y, con lo que X S; Y. Anlogamente, encontramos que Y S X, demodo que X =Y.Demostracin de A n B s; A. Si xE A n B, x est simultneamente en Ay en B. En particular, x E A. As, pues, todo elemento de A n B est tambinen A; por lo tanto, A n B S; A. 42. Introduccin21Parte 11I.- Un conjunto de axiomas para el sistemade nmeros realesI 3.1Introduccin Hay muchos mtodos para introducir el sistema de los nmeros reales. Un mtodo corriente es el de empezar con los enteros positivos 1,2,3, ... y utilizarlos como base para construir un sistema ms amplio que tenga las propiedadesdeseadas. Brevemente, la idea de este mtodo es tomar los enteros positivos comobase para formar un sistema ms amplio, que es el de los nmeros racionalespositivos (cocientes de enteros positivos). Los nmeros racionales positivos seutilizan a su vez como base para construir los irracionales positivos (nmerosreales como V2 y 7T que no son racionales). El paso final es la introduccin delos nmeros reales negativos y el cero. La parte ms difcil del proceso total es elpaso de los nmeros racionales a los nmeros irracionales.Aunque la necesidad del nmero irracional se haba presentado ya a losmatemticos de la antigua Grecia en sus estudios geomtricos, no se introdujeronmtodos satisfactorios de construccin de los nmeros reales a partir de los racio-nales hasta entrado el siglo XIX. En esta poca se perfilaron tres teoras distintaspor Karl Weierstrass (1815-1897), Georg Cantor (1845-1918) y Richard Dede-kind (1831-1916). En 1889, el matemtico italiano Giuseppe Peana (1858-1932)dio cinco axiomas para los enteros positivos que se utilizaron como punto departida para la construccin total. Una exposicin detallada de esta construccinempezando por los axiomas de Peana y utilizando el mtodo de Dedekind paraintroducir el nmero irracional, se encuentra en el libro de E. Landau, Funda-mentos del Anlisis (Nueva York, Chelsea Publishing Co., 1951).El punto de vista adoptado aqu no es constructivo. Se inicia el proceso enun punto bastante avanzado, considerando los nmeros reales como conceptosprimitivos que satisfacen a un cierto nmero de propiedades que se toman comoaxiomas; es decir, se supone que existen ciertos objetos, llamados nmeros reales,que satisfacen los 10 axiomas enunciados en las cinco Secciones que siguen.Todas las propiedades de los nmeros reales que se utilizarn en este libro, o estnentre los axiomas o se pueden deducir de ellos. Cuando los nmeros reales sedefinen mediante un proceso constructivo, las propiedades que se toman comoaxiomas tendrn que demostrarse como teoremas.Mientras no se diga 10 contrario, las letras a, b, e, ... x, y, z que aparecenen los axiomas representan nmeros reales cualesquiera. Los axiomas se agrupanen forma natural en tres grupos, que son, axiomas de cuerpo, axiomas de ordeny axioma del extremo superior (llamado tambin axioma de continuidad o axiomade completitud). 43. 22 1ntroduccin 1 3.2Axiomas de cuerpoJunto con el conjunto de los nmeros reales se supone la existencia de dosoperaciones llamadas adicin y multiplicacin, tales que para cada par de nmerosreales x e y se puede formar la suma de x e y, que es otro nmero real designadopor x+y y el producto de x por y designado por xy o X y. La suma x+y y elproducto xy estn unvocamente determinados por x e y. A los signos + y . nose les asigna otro significado especial que el precisado en los axiomas. AXIOMA1.PROPIEDADCONMUTATIVA. x+y=y+x, xy=yx.AXIOMA 2.PROPIEDADASOCIATIVA.x+(y+z)=(x+y)+z,x(yz)= (xy)z.AXIOMA 3.PROPIEDADDISTRIBUTIVA. x(y+z)=xy+xz. AXIOMA 4. EXISTENCIADE ELEMENTOSNEUTROS. Existen dos nmeros rea-les distintos, que se indican por O y 1 tales que para cada nmero real x se tiene:O+x=x+O=xy I.: X=X 1=x.AXIOMA 5. EXISTENCIADE NEGATIVOS. Para cada nmero real x existe unnmero real y tal que x+y=y+x=O.AXIOMA 6. EXISTENCIA DEL RECPROCO. Para cada nmero real x =1= O existeun nmero real y tal que xy = yx = 1.Nota: Los nmeros O y 1 de los axiomas 5 y 6 son los mismos que los del axioma 4.De los axiomas anteriores se puede deducir todas las leyes usuales del lgebraelemental. Las ms importantes de ellas se recogen a continuacin como teoremas.En todos estos teoremas las letras a, b, e, d, representan nmeros reales cuales-quiera.TEOREMA 1.1.LEYDESIMPLIFICACIN PARA LA SUMA. Si a+b=a+c,entonces b= c. (En particular esto prueba que el nmero O del axioma 4 es nico.) TEOREMA 1.2.POSIBILIDAD DE LA SUSTRACCIN.Dados a y b existe uno yslo un x tal que a + x =b. Este x se designa por b - a. En particular O - a se es-cribe simplemente -a y se denomina el negativo de a.TEOREMA 1.3. b- a= b + (-a).TEOREMA lA.-(-a) = a.TEOREMA 1.5. a(b - e) = ab - ac.TEOREMA 1.6. O a = a 0= O. 44. Axiomas de cuerpo 23TEOREMA 1.7. LEYDESIMPLIFICACIN PARALAMULTIPLICACIN.Siab = ac y a # O, entonces b = c. (En particular esto demuestra que el nmero 1 delaxioma 4 es nico.) TEOREMA1.8. POSIBILIDAD DE LA DIVISIN.Dados a y b con a =1= O, existeuno y slo un x tal que ax = b. La x se designa por b/ a o ~ y se denomina cocienteade b y a. En particular 1/a se escribe tambin a: y se designa recproco de a. TEOREMA1.9.Si a ~ O, entonces b]a = b . a-l. TEOREMA1.10. Si a ~ O, entonces (a-1)-1 = a. TEOREMA1.11. Si ab=O entonces o a=O o b=O. TEOREMA I.12. (-a)b = -(ab) y(-a)( -b) = ab. TEOREMA I.13. (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd) si b; O Y d; O. TEOREMA I.14. (a/b)(c/d) = (ac)/(bd) sib; O Y d ~ O. TEOREMA I.15. (ajb)j(c/d) = (ad)j(bc) si b ~ O, e ~ O, Y d ~ O.Para poner de manifiesto cmo estos teoremas pueden obtenerse como con-secuencia de los axiomas, se dan las demostraciones de 1.1 hasta 1.4, Y sera ins-tructivo para el lector tratar de demostrar los restantes.Demostracin de 1.1. Dado a+b=a+c. En virtud del axioma 5, se puedeelegir y de manera que y+a=O, con lo cual y+(a+b)=y+(a+c), y aplicandola propiedad asociativa (y+a)+b=(y+a)+c, o sea, O+b=O+c. Pero en virtuddel axioma 4, se tiene O+b=b y O+c=c, o sea, b=c. Obsrvese que este teore-ma demuestra que existe un solo nmero real que tiene la propiedad del O en elaxioma 4. En efecto, si O y O tuvieran ambos esta propiedad, entonces,0+0=0 y 0+0=0;por tanto, 0+0=0+0 y por la ley de simplificacin 0=0. Demostracin de 1.2. Dados a y b se elige y de manera que a+y=Oy sea x=y+b.Entonces, a+x=a+(y+b)=(a+y)+b=O+b=b. Por tanto, haypor lo menos una x tal que a + x = b. Pero en virtud del teorema 1.1, hay a losumo una. Luego hay una y slo una x en estas condiciones. Demostracin de 1.3. Sea x=b-a y sea y=b+( -a). Se trata de probarque x=y. Por definicinde b-a, x+a=b yy + a= [b + (-a)]+ a =b+ [(-a) + a] =b + O = b. 45. 24IntroduccinPor tanto, x+a=y+a, Y en virtud de 1.1, x=y. Demostracin de 1.4. Se tiene a+( -a)=O por definicin de -a. Pero estaigualdad dice que a es el opuesto de (-a), es decir, que a= -( -a) como seafirma en el teorema.1 3.3 Ejercicios 1. Demostrar los teoremas del 1.5 al 1.15, utilizando los axiomas1 al 6 y los teoremas1.1 al 1.4.En los ejercicios del 2 al 10, demostrar las afirmaciones indicadas, o establecer las igual-dades dadas. Aplquense los axiomas 1 al 6 y los teoremas del 1.1 al 1.15. 2. -O = O. 3. 1-1 = 1. 4. El cero no tiene recproco. 5. - (a + b) = - a-b. 6. - (a - b) = - a + b, 7. (a - b) + (b - e) = a-e. 8. Si a ; O Y b ; O, entonces (ab)-l = a-1s. 9.- (a/b) = ( - aib) = a/( - b) si b ; O.10. (a/b) - (e/d) = (ad - be)/(bd) sib; O Y d; O.1 3.4 Axiomas de ordenEste grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que se establece unaordenacin entre los nmeros reales. Segn esta ordenacin se puede decidir si unnmero real es mayor o menor que otro. Se introducen aqu las propiedades deorden, como un conjunto de axiomas referentes al nuevo concepto primitivo depositivo, para definir despus los conceptos de mayor que y menor que a partirdel de positivo.Supondremos que existe un cierto subconjunto R+ e R, llamado conjunto denmeros positivos, que satisfacen los tres axiomas de orden siguientes:AXIOMA 7. Si x e y pertenecen a R+, lo mismo ocurre a x+y y xy.AXIOMA 8. Para todo real x # O, oX E R+ o -xE R+, pero no ambos.AXIOMA9.O rf: R+. Ahora se pueden definir los smbolos , ~, y ~ llamados respectivamentemenor que, mayor que, igual o menor que, e igual o mayor que, de la manerasiguiente:xx significa que x O si y slo si x es POSItIVO. Si x < O se diceque x es negativo; si x 2 O se dice que x es no negativo. El par de desigualda-des simultneas x < y, y < z se escriben frecuentemente en la forma ms breve x O. TEOREMA 1.21. 1 > O. TEOREMA 1.22. Si a be. TEOREMA 1.23. Si a< b, es-a > - b, En particular si a< O,es - a > O. TEOREMA 1.24. Si ab >O entonces a y b son o ambos positivos o ambosnegativos. TEOREMA 1.25. Si a b ni b > a. 47. 26IntroduccinSi x =1= O, el axioma 8 afirma que o x > O o x < O, pero no ambos; por consi-guiente, o es a < b o es b < a, pero no ambos. Por tanto se verifica una y slouna de las tres relaciones a = b, a < b, b < a.Demostracin de 1.17. Si a < by b < c, entonces b - a > O y e - b > O.En virtud del axioma 7 se puede sumar obtenindose (b - a) + (c - b)> o.Es decir, e - a > O, y por tanto, a < c. Demostracin de 1.18. Sea x = a + e, y = b + c. Entonces y - x = b - a.Pero b - a> O, por tanto, a < b. De donde y - x > O, lo que significa x < y. Demostracin de 1.19. Si a < b entonces b - a > O. Si c> O en virtuddel axioma 7, se puede multiplicar e por (b - a) obtenindose(b - a) e > o.Pero (b - a)c = be - ac, por tanto, be - ac > O y esto significa be > ac comose quera demostrar.Demostracinde 1.20. Si a> O, en virtud del axioma 7 a- a > o. Sia < O, entonces - a > O y, por tanto, (- a) (- a) > O en virtud del axioma 7.En ambos casos se tiene a2 > O.Demostracin de 1.21. Aplicando el teorema 1.20 al caso a = 1.*1 3.5 Ejercicios 1. Demostrar los teoremas 1.22 al 1.25 utilizando los teoremas anteriores y los axiomasdel 1 al 9. En los ejercicios del 2 al 10 demostrar las proposiciones y establecer las desigualdadesdadas. Se pueden utilizar los axiomas del 1 al 9 y los teoremas del 1. 1 al 1. 25. 2. No existe ningn nmero real tal que x2 + 1 = O. 3. La suma de dos nmeros negativos es un nmero negativo. 4. Si a > O; tambin l/a> O; si a < O, entonces l/a < O. 5. Si O < a < b, entonces, O < b-l < a-l. 6. Si a :$ b Y b -s e, es a :$ c. 7. Si a :$ b Y b s: c y a = c, entonces b = c. 8. Para nmeros reales a y b cualesquiera, se tiene a2 + b2 ~ O. Si ab ~ 0, entonceses a2 + b2 > O. 9. No existe ningn nmero real a tal que x :$ a para todo real x.10. Si x tiene la propiedad que O :$ x < h para cada nmero real positivo h, entonces x = O.1 3.6 Nmeros enteros y racionales Hay ciertos subconjuntos de R que se distinguen porque tienen propiedadesespeciales de que no gozan todos los nmeros reales. En esta Seccin se discutirndos de estos subconjuntos, los nmeros enteros y los nmeros racionales. 48. N meros enteros y racionales27Para introducir los enteros POSItiVOS empieza con el nmero 1, cuya seexistencia queda asegurada por el axioma 4. El nmero 1 + 1 se representa por2, el 2 + 1 por 3, y as sucesivamente. Los nmeros 1, 2, 3, ... , obtenidos deeste modo por la adicin repetida del 1 son todos positivos, y se llaman enterospositivos. En rigor, esta descripcin de los enteros positivos no es del todo precisapues no hemos explicado con detalle lo que entendemos por y as sucesivamenteo por adicin repetida del 1. Si bien la significacin intuitiva puede parecerclara, en un estudio cuidadoso del sistema de los nmeros reales es necesario daruna definicin ms precisa de los enteros positivos. Hay varios modos de hacerlo.Un mtodo consiste en introducir primero la nocin de conjunto inductivo. DEFINICINDE CONJUNTO INDUCTIVO. Un conjunto de nmeros reales se de-nominaconjunto inductivo si tiene las propiedades siguientes: a) El nmero 1 pertenece al conjunto. b) Para todo x en el conjunto, el nmero x + 1 pertenece tambin alconjunto.Por ejemplo, R es un conjunto inductivo. Tambin lo es el conjunto R+. Definire-mos los enteros positivos como aquellos nmeros reales que pertenecen a todoconjunto inductivo. DEFINICINDE ENTEROSPOSITIVOS. Un nmero real se llama entero positivosi pertenece a todo conjunto inductivo.Sea P el conjunto de todos los enteros positivos. Es un conjunto inductivoya que a) contiene el 1, y b) contiene a x + 1 siempre que contenga x. Puesto quelos elementos de P pertenecen a todo conjunto inductivo, nos referiremos a Pcomo el menor conjunto inductivo. Esta propiedad del conjunto P constituye labase lgica para un tipo de razonamiento que los matemticos denominan demos-tracin por induccin, que se expone con detalle en la parte 4 de esta Introduccin.Los opuestos de los enteros positivos se llaman enteros negativos. Los enterospositivos junto con los enteros negativos y el O (cero), constituyen un conjunto Zque se llama simplemente conjunto de los enteros.En un estudio completo del sistema de los nmeros reales, sera necesario alllegar aqu demostrar ciertos teoremas acerca de los enteros. Por ejemplo, la suma,la diferencia o el producto de dos enteros es un entero, pero el cociente de dosenteros no es necesariamente entero. Sin embargo, no entraremos en los detallesde tales demostraciones.Los cocientes de enteros a/b (siendo b =1= se llaman nmeros racionales. O)El conjunto de los nmeros racionales, representado por Q, contiene a Z comosubconjunto. El lector debera comprobar que Q satisface todos los axiomas decuerpo y de orden. Por esta razn se dice que el conjunto de los nmeros racio- 49. 28 Introduccinnales es un cuerpo ordenado. Los nmeros reales que no pertenecen a Q se llamanirracionales.I 3.7 Interpretacin geomtrica de los nmeros reales como puntos de una rectaSin duda que el lector debe estar familiarizado con la representacin de losnmeros reales por medio de los puntos de una recta. Se elige un punto pararepresentar el O y otro a la derecha del O para representar el 1, como se indicaen la figura 1.7. Esta eleccin determina la escala. Si se adopta un conjunto deaxiomas apropiados para la Geometra eucldea, cada nmero real correspondea uno y slo un punto de la recta y, recprocamente, cada punto de la recta a unnmero real y slo uno. Por esta razn la recta se denomina frecuentemente rectareal o eje real, y es costumbre utilizar las palabras nmero real y punto comosinnimos. Por eso se dice muchas veces el punto x en vez del punto corres-pondiente al nmero real x.La relacin de orden entre los nmeros reales tiene una interpretacin geom-trica simple. Si x < y, el punto x est a la izquierda del punto y, como se ve en lafigura 1.7. Los nmeros positivos estn a la derecha del O y los negativos a laizquierda del O. Si a < b, un punto x satisface las desigualdades a < x < b, si y slo si x est entre a y b,Esta posibilidad de representar geomtricamente los nmeros reales es un auxiliar poderoso, pues permite descubrir y comprender mejor ciertas propiedades de los nmeros reales. Aunque el lector debe observar que todas las propiedades de los nmeros reales que se han dado como teoremas deben deducirse de los axiomas sin ninguna referencia geomtrica, esto no prejuzga que no deba hacerse uso de la Geometra en el estudio de las propiedades de los nmeros reales. Por el contrario, la Geometra sugiere a menudo el mtodo de demostracin para un teorema particular, y algunas veces un argumento geomtrico es ms sugestivo que la demostracin puramente analtica (dependiente exclusivamente de los axio- mas del nmero real). En este libro, se utiliza con frecuencia la intuicin geom- II II O Ix yFIGURA 1.7 Nmeros reales representados geomtricamente en una lneatrica para aclarar determinadas cuestiones o para inducir a discusiones de otras.No obstante, las demostraciones de todos los teoremas importantes se presentan enforma analtica.I 3.8 Cota superior de un conjunto. elemento mximo, extremo superior Los nueve axiomas expuestos hasta ahora contienen todas las propiedadesde los nmeros reales estudiados ordinariamente en lgebra elemental. Hay otro 50. Cota superior de un conjunto29axioma de importancia fundamental en el Clculo que de ordinario no se estudiaen los cursos de Algebra elemental. Este axioma (u otro equivalente) es necesariopara establecer la existencia del nmero irracional. En Algebra elemental se presentan nmeros irracionales cuando se trata deresolver ciertas ecuaciones cuadrticas. Por ejemplo, se desea tener un nmeroreal x tal que x2 = 2. A partir de los nueve axiomas anteriores no se puede probarque exista un x en el sistema de los nmeros reales que verifique tal ecuacin, yaque estos nueve axiomas son satisfechos tambin por los nmeros racionales y nohay ningn nmero racional cuyo cuadrado sea 2. (En el Ejercicio 11 de la Sec-cin 13.12 se esboza una demostracin de esta afirmacin.) El axioma 10 permiteintroducir nmeros irracionales en el sistema de los nmeros reales. Se vertambin que atribuye al conjunto de los nmeros reales una propiedad de conti-nuidad que es especialmente importante en el estudio del Clculo. Antes de exponer el axioma 10, conviene introducir alguna terminologay notacin especiales. Sea S un conjunto no vaco de nmeros reales y supongamosque existe un nmero B tal quex~Bpara todo x de S. Entonces se dice que S est acotado superiormente por B. El n-mero B se denomina una cota superior para S. Decimos una cota superior debidoa que todo nmero mayor que B tambin es una cota superior. Si una cota supe-rior B pertenece tambin aS, entonces B se llama el elemento mximo de S. A losumo puede existir un B que sea elemento mximo. Si existe, se escribeB = maxS.As que, B = max S si B E S Y x ~ B para todo x de S. Un conjunto sin cota su-perior se dice que es no acotado superiormente.Los ejemplos que siguen ilustran el significado de estas denominaciones. EJEMPLO1. Sea S el conjunto de todos los nmeros reales positivos. Es unconjunto no acotado superiormente. No tiene cotas superiores ni elemento mximo. EJEMPLO2. Sea S el conjunto de todos los nmeros reales x tales queO .~ x ~ 1. Este conjunto est acotado superiormente por el 1. Su elemento mxi-mo es el 1.EJEMPLO 3. Sea T el conjunto de todos los nmeros reales x tales queO ::::;; < 1. Es parecido al conjunto del ejemplo 2 salvo que el punto 1 no estxincluido. Este conjunto est acotado superiormente por el 1 pero no tiene elemen-to mximo. 51. 301ntroduccin Algunos conjuntos, parecidos al del ejemplo 3, estn acotados superiormentepero no tienen mximo. Para ellos existe un concepto que sustituye al del mximo.Este se llama extremo superior del conjunto y se define como sigue: DEFINICINDE EXTREMO SUPERIOR. Un nmero B se denomina extremo su-perior de un conjunto no vaco S si B tiene las dos propiedades siguientes:a) B es una cota superior de S. b) Ningn nmero menor que B es cota superior para S. Si S tiene mximo, ste es tambin extremo superior de S. Pero si S no poseemximo, puede tener extremo superior. En el ejemplo 3 precedente, el nmero 1es extremo superior para T si bien T no tiene mximo. (Ver figura 1.8.)cotas superiores de Scotas superiores de T O/S.~/1""O/T/1~///////////////mximo de Sextremo superior de Ta) S tiene mximo:b) T no tiene mximo, pero s maxS=lextremo superior: sup T = 1 FIGURA1.8 Cotas superiores, mximo y extremo superior. TEOREMA1.26. Dos nmeros distintos no puedenser extremos superiorespara el mismo conjunto.Demostracin.Sean B y e dos extremos superiores para un conjunto S.La propiedad b) implica que e ~ B puesto que B es extremo superior; anloga-mente, B e ya que e es extremo superior. Luego, tenemos B = C. Este teorema nos expresa que si existe extremo superior para un conjunto S,hay solamente unoy puede decirse el extremo superior. Con frecuencia se emplea el trmino supremo de un conjunto en vez deextremo superior utilizando la abreviatura sup, escribiendo entonces:B = sup S.1 3.9 Axioma del extremo superior (axioma de completitud)Podemos ahora establecer el axioma del extremo superior para el sistema denmeros reales. 52. Axioma del extremo superior 31 AXIOMA 10.Todo conjunto no vaco S de nmeros reales acotado superior-mente posee extremo superior; esto es, existe un nmero real B tal que B = sup S.Insistamos una vez ms en que el extremo superior de S no pertenece nece-sariamente a S. En realidad sup S pertenece a S si y slo si S posee mximo, encuyo caso max S = sup S.Las definiciones de cota inferior, acotado inferiormente, mnimo, se formulanen forma parecida. El lector debera hacerlo como ejercicio. Si S tiene mnimo,se expresa poniendo min S.Un nmero L se llama extremo inferior (o nfimo) de S si a) L es una cotainferior para S, y b) ningn nmero mayor que L es cota inferior para S. El extre-mo inferior de S, cuando existe, es nico y se designa por inf S. Si S posee mnimo,entonces min S = inf S.Con el axioma 10, se puede demostrar el siguienteTEOREMA 1.27. Todo conjunto no vaco S acotado inferiormente posee extre-mo inferior; esto es, existe un nmero real L tal que L = inf S.Demostracin. Sea - S el conjunto de los nmeros opuestos de los de S.Entonces -S es no vaco y acotado superiormente. El axioma 10 nos dice queexiste un nmero B que es extremo superior de -S. Es fcil ver que - B = inf S.Consideremos una vez ms los ejemplos de la Seccin anterior. En el ejem-plo 1, el conjunto de todos los nmeros reales positivos, tiene el O como extremoinferior. Ese conjunto no tiene mnimo. En los ejemplos 2 y 3, el O es el mnimo.En todos esos ejemplos resulta fcil decidir si el conjunto S es o no acotadosuperior o inferiormente, y tambin es fcil determinar los nmeros sup S e inf S.El ejemplo siguiente muestra que averiguar la existencia de las cotas superior oinferior puede resultar difcil.EJEMPLO4. Sea S el conjunto de todos los nmeros de la forma (l + l/n)n,donde n = 1, 2, 3, .... Si, por ejemplo, hacemos n = 1,2, Y 3, encontramos quelos nmeros 2,L y .~.~pertenecen a S. Todo nmero del conjunto es mayor que 1,con lo que el conjunto est acotado inferiormente y por tanto tiene un extremoinferior. Con un pequeo esfuerzo podemos probar que 2 es el menor elementode S de modo que inf S = min S = 2. Tambin el conjunto S est acotado supe-riormente, aunque no es tan fcil demostrarlo. (Intntese!) Una vez sabido que Sest acotado superiormente, el axioma 10 nos asegura la existencia del extremosuperior de S. En este caso no resulta fcil determinar el valor del extremo superiorde S a partir de la definicin de este conjunto. En un prximo captulo veremosque el sup S es un nmero irracional aproximadamenteigual a 2,718. Es un n-mero importante en Clculo llamado nmero de Euler o nmero e. 53. 32Introduccin1 3.10 La propiedad arquimediana del sistema de los nmeros realesEsta Seccin contiene algunas propiedades importantes del sistema de losnmeros reales que son consecuencia del axioma del extremo superior. TEOREMA 1.28. El conjunto P de los enteros positivos 1, 2, 3, ., . no estacotado superiormente. Demostracin. Supngase P acotado superiormente. Demostraremos queesto nos conduce a una contradiccin. Puesto que P no es vaco, el axioma 10nos dice que P tiene extremo superior, sea ste b. El nmero b - 1, siendo menorque b, no puede ser cota superior de P. Luego, existe un mnimo entero positivo ntal que n > b - 1. Para este n tenemos n + 1 > b. Puesto que n + 1 pertenecea P, esto contradice el que b sea una cota superior para P. Como corolarios del teorema 1.28, se obtienen inmediatamente las conse-cuencias siguientes: TEOREMA 1.29. Para cada real x existe un entero positivo n tal que n > x. Demostracin,Si no fuera as, x sera una cota superior de P, en contra-diccin con el teorema 1.28. TEOREMA 1.30. Si x >Oe y es un nmero real arbitrario, existe un enteropositivo n tal que nx> y. Demostracin. Aplicar el teorema 1.29 cambiando x por y]. La propiedad descrita en el teorema 1.30, se denomina frecuentementepropiedad arquimediana del sistema de los nmeros reales. Geomtricamente signi-fica que cada segmento, tan largo como se quiera, puede ser recubierto por unnmero finito de segmentos de longitud positiva dada, tan pequea como sequiera. En otras palabras, una regla corta puede medir distancias tan largas comose quiera colocndola consecutivamente. Arqumedes, considerando sta comouna propiedad fundamental de la lnea recta, la consider como uno de los axio-mas de la Geometra. En los siglos XIX y XX se han construido geometras noarquimedianas en las que se prescinde de este axioma. A partir de la propiedad arquimediana, podemos demostrar el teorema si-guiente que nos ser til en Clculo integral. TEOREMA 1.31. Si tres nmeros reales a, x, e y satisfacen las desigualdades(1.14) a ::;;x ::;;a +~para todo entero n ~ 1, entonces x = a. 54. Propiedades fundamentalesdel extremosuperior33Demostracin.Si x > a, el teorema 1.30 nos dice que existe un enteropositivo n que satisface n(x - a) > y, en contradiccin con (1.14). Luego nopuede ser x > a, con lo que deber ser x = a.1 3.11 Propiedades fundamentales del extremo superiorEn esta Seccin se consideran tres propiedades fundamentales de los extremossuperior e inferior que se utilizarn en lo sucesivo. La primera de ellas estableceque todo conjunto de nmeros con extremo superior contiene nmeros tan prxi-mos como se quiera a dicho extremo; del mismo modo, un conjunto con extremoinferior contiene nmeros tan prximos a l como se quiera.TEOREMA 1.32. Sea h un nmero positivo dado y S un conjuntode nme-ros reales.a) Si S tiene extremo superior, para un cierto x de S se tiene x>sup S - h.b) Si S tiene extremo inferior, para un cierto x de S se tiene x< inf S + h.Demostracin de a). Si es x ~ sup S - h para todo x de S, entoncessup S - h sera una cota superior de S menor que su extremo superior. Por con-siguiente debe ser x > sup S - h por lo menos para un x de S. Esto demuestra a).La demostracin de b) es parecida.TEOREMA 1.33. PROPIEDADADITIVA.Dados dos subconjuntos no vacosA y B de R, sea e el conjunto e= {a + b I a E A, bE B} .a) Si A y B poseen extremo superior, entonces e tiene extremosuperior,y supe= sup A+ supB .b) Si A Y B tienen extremo inferior,entonces e tiene extremo inferior, einf e = inf A + inf B . Demostracin.Supongamos que A y B tengan extremo superior. Si e E e,entonces e = a + b, donde a E A Y b E B. Por consiguiente e ~ sup A + sup B; 55. 341ntroduccinde modo que sup A + sup B es una cota superior de C. Esto demuestraque e tieneextremo superior y que sup e ~ sup A + sup B .Sea ahora n un entero positivo cualquiera. Segn el teorema 1.32 (con h = 11n)existen un a en A y un b en B tales que11 a> sup A - , b > supB- Sumandoestas desigualdades,se obtiene2 a+ b > sup A + sup B - , o sup A + sup B O, demostrar que existe un entero positivo n tal que l/n < x. 4. Si x es un nmero real arbitrario, demostrar que existe un entero n nico que verificalas desigualdades n ::; x < n + 1. Este n se denomina la parte entera de x y se designa por [x]. Por ejemplo, [5] = 5, [tl = 2, r-n= - 3. 5. Si x es un nmero real arbitrario, probar que existe un entero nico n que satisface la desigualdad n s; x < n + 1. 6. Si x e y son nmeros reales arbitrarios, x < y, probar que existe por lo menos un n-mero racional r tal que x < r < y y deducir de ello que existen infinitos. Esta propiedadse expresa diciendo que el conjunto de los nmeros racionales es denso en el sistema de los nmeros reales. 7. Si x es racional, x ~ O, e y es irracional, demostrar que x + y, x - y, xy, x/y, y] sontodos irracionales. 8. La suma o el producto de dos nmeros irracionales es siempre irracional? 9. Si x e y son nmeros reales cualesquiera, x < y, demostrar que existe por lo menos un nmero irracional z tal que x < z < y y deducir que existen infinitos.10. Un entero n se llama par si n = 2m para un cierto entero m, e impar si n + 1 es par. Demostrar las afirmaciones siguientes: a) Un ent