20/9/2015 Resolución de la ecuación algebraica cúbica

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Matemáticas

Resolución de la ecuación algebraica cúbica Álgebra y Geometría. Cardano. Tartaglia. Ecuaciones de tercer grado. Métodos matemáticos de la Física. Moretti

Enviado por: Juan Claudio Caso

Idioma: castellano

País: España

2 páginas

Resolución de la ecuación algebraíca cúbica

Introducción

Los protagonistas

Cardano, Girolamo(Hieronymus Cardanus. Jerome Cardan) (1501_1576):Físico, astrólogo y algebrista italiano, autor de Ars Magna (Nuremberg 1547),primer texto latino dedicado exclusivamente al álgebra. Esta obra contiene unasolución para las ecuaciones cúbicas (ecuaciones con incógnitas elevadas a latercera potencia). Procedimiento que se dice obtuvo Cardano de su descubridorNiccolo Tartaglia, con una promesa de secreto que Cardano dejó de cumplir.

En mecánica inventó la suspensión Cardan, hoy ampliamente difundida, en suaplicación a los automotores, como articulación que sirve para transmitir elmovimiento de un árbol a otro cuando ambos forman un cierto ángulo.

Niccolo Tartaglia: Geómetra italiano(14991557), cuyo verdadero nombre eraNiccolo Fontana, en tanto que Tartaglia era un apodo que significa: el tartamudo. Se le debe el método de resolución de lasecuaciones de tercer grado, y de la primera aplicación de las matemáticas al arte militar(año 1541). Tartaglia no publicó sudescubrimiento, pues en esa época era costumbre mantenerlos en secreto. Bajo promesa solemne de no divulgarlo, Tartagliacomunicó sus resultados a Cardano, sin embargo este lo publicó como propio, según se dijo antes,lo que dio lugar a una disputaentre Tartaglia y Cardano y sus discípulos. Como se vé Cardano actuaba como un moderno Jefe de Grupo

Los matemáticos italianos y los artificios matemáticos

A continuación transcribo el texto del Dr. Gino Moretti, página 2, de su libro Métodos matemáticos de la Física (1959) :

"Cuando un razonamiento es complicado. no se puede pretender que la fórmula que lo expresa sea simple, pero en todo caso será

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necesario manipularla con cuidado, hasta reducirla a su forma apta para sacarconclusiones útiles. Estos manipuleos constituyen el desarrollo formal de unproblema, que a menudo se convierte en una pesadilla para los estudiantes,preocupados por aprenderlos de memoria con el solo objeto de aprobarexámenes.

Algún espíritu despectivo ha insinuado alguna vez, la palabra artificio paradesignar alguna de estas transformaciones. La palabra sugiere que el desarrollode las fórmulas sea algo artificial, si se prefiere fruto de una revelación mágica aun ser dotado de poderes sobrehumanos. Esto es completamente falso. Si sequiere entender la Matemática y estudiarla con espíritu tranquilo, hay queconvencerse primeramente que los llamados artificios son la traducción formalde un razonamiento lógico que se podría expresar con palabras, y que eldesarrollo formal, paso a paso, responde a una necesidad lógica. No existen puesartificios en las Matemáticas."

Pese a estas palabras, el Dr. Moretti durante sus clases sobre Mecánica de los Fluídos,frecuentemente expresaba"...y medianteun artificio matemático.. etc, etc, etc"

Volviendo ahora a la resolución de la ecuación cúbica, considero que Tartaglia, despues de una noche de febril actividad, segúnexpresa la crónica, recurre a un verdadero artificio matemático para lograr la mencionada solución. Y en verdad tiene aspecto dealgo mágico, de sacado de la galera. En realidad la galera es una mente prodigiosa, excepcional.

Para los que no estamos así dotados, y sólo contamos con la lógica y el razonamiento, resulta realmente pertubador. Es así que melancé a la tarea de llegar a las ecuaciones de Tartaglia/Cardano, a partir de las relaciones que ligan a las raíces con los coeficientesde la ecuación. Pero el trabajo fue en vano, ensayé cambios de variables, algunas lógicas y otras no tanto, sin resultado, pero comocompensación logré un premio consuelo, que es el que describo en mi monografía.

Antes de finalizar vamos a hacer un breve repaso del procedimiento de Tartaglia/Cardano.

Sea la ecuación cúbica reducida y=x3+cx+d=0, haciendo x=(A+B);x3=(A+B)3=A3+B3+3AB(A+B), luego

x3(A3+B3)3AB(A+B)=0, ordenando:x33AB(x)(A3+B3)=0; identificando con la ecuación cúbica¸tendremos c=3AB; d=(A3+B3) ,luego A= c/3B, en consecuencia A3=c3/27B3, luego: d=(c3/27B3+B3)=c3/27B3B3, con lo que obtenemos

B3d=c3/27B6; ordenando resulta:B6+dB3c3/27=0, la cual se puede poner como

(B3)2+dB3c3/27=0, y ser resuelta como una ecuación de2º en B3, lo que nos conduce a las siguientes expresiones:

B13=d/2+(d2/4+c3/27)1/2 ;B23=d/2(d2/4+c3/27)1/2 y finalmente obtenemos:

B1=(d/2+(d2/4+c3/27)1/2)1/3; B2=(d/2(d2/4+c3/27)1/2)1/3

Ahora debemos hacer varias aclaraciones :al contemplar todas las posibles raíces, incluidas las complejas, aparecen (9) nuevevalores posibles.

Aplicando una serie de criterios, llegamos a las fórmulas de Cardano, que nos determinan las tres raíces de la ecuación reducida.

Pero si lo que tenemos que resolver es la ecuación cúbica completa

Y=x3+bx2+cx+d=0, entonces previamente debemos hacer el cambio de variable x=zb/3, para llegar así a una ecuación cúbicareducida de la forma:

W=z3+(cb2/3)z+2b3/27bc/3+d=0

Todos estos pasos son obviados en el método propuesto en mi Monografía, lo cual considero hace muy atractivo al mismo.

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