Multiplicación algebraica vs. factorización

• Recordemos que las expresiones algebraicas pueden multiplicarse y son una consecuencia de las leyes de los exponentes.

• Por otra parte, la factorización algebraica es, en cierto sentido, el proceso inverso a la multiplicación. Consiste en reescribir una expresión algebraica en 2 o más factores.

MULTIPLICACIÓN MONOMIO - POLINOMIO

𝑎(𝑎+𝑏)=𝑎2+𝑎𝑏• Por las leyes de los exponentes…

2 𝑥2( 23 𝑥1 /2−3 𝑦)=43 𝑥5/2−6 𝑥2 𝑦

𝑚3 (𝑛−𝑚𝑛+0.1𝑚2 )=𝑚3𝑛−𝑚4𝑛+0.1𝑚5

FACTORIZACIÓN DE UN TÉRMINO COMÚN

• Por el contrario, si tenemos un polinomio con literales comunes, éste se puede factorizar en un monomio y un polinomio.

• Se identifican las literales comunes, y se toman con su exponente menor. El término formado con éstas será el término común.

𝑎2+2𝑎=𝑎(𝑎+2)

3𝑚2𝑛−27𝑚4𝑛−9𝑚5𝑛=3𝑚2𝑛 (1−9𝑚2−3𝑚3 )

Exponente menor

Productos notables y factorización

• Los productos notables son multiplicaciones algebraicas que tienen una forma particular, y que pueden realizarse de manera más rápida aplicando ciertas reglas.

• Ya que la factorización es inversa a la multiplicación, las reglas de los productos notables nos servirán para factorizar expresiones con cierta estructura.

CUADRADO DE UN BINOMIO

Elevar al cuadrado equivale a multiplicar este binomio por sí mismo:

• El trinomio del lado derecho es un trinomio cuadrado perfecto

• Realizando las multiplicaciones correspondientes y simplificando, se obtiene…

𝒂1

𝒂𝒂𝟐𝒂

EJEMPLO GEOMÉTRICO

𝒂+𝟏

𝑨=(𝒂+𝟏)(𝒂+𝟏)

𝒂𝟐+𝟐𝒂+𝟏

()() ()2()2 554𝑎4𝑎

16𝑎2 40𝑎 25

2

MÁS EJEMPLOS

(4𝑎+5 )2

()() ()2()2 −2𝑛−2𝑛3𝑚3𝑚

9𝑚2 12𝑚𝑛 4𝑛2

2(3𝑚−2𝑛)2

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

• Recíprocamente, si tenemos un trinomio cuadrado perfecto, su factorización resulta ser un binomio al cuadrado.

𝑚2+2𝑚+1

4 𝑥2−20 𝑥𝑦+25 𝑦2(𝑚+1 )2

(2 𝑥−5 𝑦 )2

Extraer raíz Extraer raízAsociar las raíces con el signo del doble producto

BINOMIOS CONJUGADOSLos binomios conjugados son aquellos que poseen los mismos términos, pero difieren en un

signo:

• La multiplicación de dos binomios conjugados resulta

EJEMPLOS

FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

• En sentido contrario, si tenemos una diferencia de cuadrados, ésta se puede factorizar con un par de binomios conjugados.

4𝑎2−9𝑏2=(2𝑎+3𝑏) (2𝑎−3𝑏 )

𝑎2− 𝑦2=(𝑎− 𝑦 ) (𝑎+𝑦 )

CUBO DE UN BINOMIO

Elevar al cubo equivale a multiplicar este binomio por sí mismo tres veces:

• Si se realizan las multiplicaciones y simplificaciones correspondientes, se obtiene

()2 () ()3()3 55𝑎𝑎

𝑎3 15𝑎2 75𝑎

3

EJEMPLOS

(𝑎+5 )3

(𝑚−2𝑛)3

() ()25𝑎3

125

()2() ()3()3 −2𝑛−2𝑛𝑚𝑚

𝑚3 6𝑚2𝑛 12𝑚𝑛2

3 () ()2−2𝑛𝑚3

8𝑛3

CUBO PERFECTO DE BINOMIO

• Recíprocamente, podemos factorizar polinomios de la forma

como el cubo de un binomio

(𝑎+𝑏 )3

𝑥3−3𝑥2+3 𝑥−1=(𝑥−1 )3

Factorización de trinomios de la forma

• Hemos visto dos formas de factorizar para casos especiales: cuando es un trinomio cuadrado perfecto, y cuando se tiene una diferencia de cuadrados.• Ahora veremos dos técnicas de factorización para

trinomios más generales.• Buscamos expresar el trinomio como producto de dos

factores:

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=(𝐴𝑥+𝐵)(𝐶𝑥+𝐷)

−6 𝑥(3 𝑥+1)(𝑥−2)

Consideremos

• Buscamos dos números que multiplicados den , y los colocamos debajo del primer término junto con .

• Análogamente, buscamos dos números que multiplicados resulten y los ponemos debajo del tercer término.

3 𝑥1𝑥

1−2 𝑥

−5 𝑥

• Esta técnica de factorización puede ser inmediata en algunos casos, pero podría volverse complicada, e incluso imposible para ciertos trinomios.

• Un método siempre seguro de factorización y de solución de ecuaciones cuadráticas lo proporciona la fórmula cuadrática general.

Fórmula cuadrática

• Consideremos un trinomio de la forma

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐• Podemos factorizarlo con la ayuda de su fórmula general:

𝑥=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎

Consideremos 𝑥=

−7±√72−4 (6)(2)2(6)

𝑥=−7±√49−4812

𝑥=−7±112

𝑥1=−7+112 =

−612 ,𝑥2=

−7−112 =

−812

𝑥1=−12 , 𝑥2=−

23

• La factorización queda:

Suma y diferencia de cubos

• Consideremos un producto de la forma

¿

¡Diseña tres ejercicios y comprueba si se cumple la formula anterior!

• Ahora consideremos un producto muy parecido al anterior:

¿

¡Diseña dos ejercicios y comprueba si se cumple la formula anterior! ….Ahora factoriza….