RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS POR APLICACIONES …

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS POR APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN

SECUNDARIA

RESOLUTION OF TRIANGLES BY TRIGONOMETRIC APPLICATIONS IN

SECONDARY

Diana Isabel Villada Espinosa

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Manizales, Colombia

2020

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS POR APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN

SECUNDARIA

Diana Isabel Villada Espinosa

Trabajo de grado presentado como requisito final para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

John Jairo Salazar Buitrago

Magister en Ciencias de la Educación

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Manizales, Colombia

2020

Dedicatoria

A mi familia: mamá, papá, hermano y amor.

Porque son mi fuerza para superar cada reto y la

razón para continuar en constante crecimiento.

“Cualquier momento es perfecto para aprender

algo nuevo”

Albert Einstein

Agradecimientos

A Dios, por darme la sabiduría y la fortaleza para cumplir esta meta.

A Luis Marino por ser un padre ejemplar y por el apoyo incondicional para superarme tanto

laboralmente, como persona con valores.

A Gloria Amparo, una madre que brinda toda su ternura, su amor, su compañía, porque sin ella

nada de esto habría sido posible.

A Sebastian Agudelo, gracias por el amor recibido, la paciencia, la compañía, las palabras de

aliento cuando sentía que no iba a poder alcanzar esta meta.

A mi asesor, Magíster John Jairo Salazar Buitrago, por su paciencia, su apoyo total, por su

excelente forma de orientar y de acompañarme en todo el proceso.

A los profesores de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales, por contribuir

en el proceso de mi formación como docente.

A los directivos del colegio Gimnasio Campestre La Consolata, por facilitarme el espacio para

realizar mi estudio.

A mis estudiantes, por su disposición para aprender y su colaboración en el proyecto.

A mis amigos, por sus consejos de fortaleza y motivación.

Resumen y Abstract IX

Resumen

Este trabajo de investigación se realizó con el propósito de fomentar la aplicación de las leyes

de solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, en el planteamiento y resolución de

problemas en contextos de medición de alturas, distancias en general y ángulos; a través de un

trabajo de aula que se cimentó en el diseño de guía basados en problemas y la aplicación de estos

mediante actividades prácticas en un grupos de estudiantes de grado décimo de la Institución

Gimnasio Campestre La Consolata.

En la metodología, se establece que esta propuesta está enmarcada dentro del paradigma

cualitativo de carácter descriptivo y se tomó como principal fuente de información la producción

escrita de los estudiantes al usar guías como instrumentos metodológicos: Pre test, talleres de

resolución de triángulos, de leyes de seno y coseno, actividades prácticas y Pos test, y estableció

las variables, su definición y valoración para la valuación de resultados.

La importancia de esta investigación se fundamentó en la observación de los avances y/o

debilidades individuales y/o colectivas que presentan los estudiantes al aplicar las leyes de seno y

coseno, además de la resolución de todo tipo de triángulos, con la solución de problemas teóricos

y prácticos. Además, se pudo comprobar para el grupo, que fue más fructífero cambiar el orden de

presentación de los temas; ya que, al comprenderse La invariante general, en este caso la ley

estudiada, se hacía mejor y más rápida la aplicación de los casos particulares. Se logró fortalecer

una cantidad importante de conocimientos y procesos definidos por el ministerio de educación

nacional para el grado décimo a través de los estándares básicos de competencia.

Palabras clave: solución de triángulos, razones trigonométricas, solución de problemas en

contexto.

Resumen y Abstract XI

Abstract

This work research was carried out with the purpose of promoting the application of the laws

of solution of right triangles and oblique triangles, in the approach and resolution of problems in

contexts of measurement of heights, distance in general and angles, through a work of classroom

that was based on the design of a guide based on problems and the application of these through

practical activities in a group of tenth grade students of the Institution Gymnastics Campestre La

Consolata.

In the methodology, it was established that this proposal would be framed within the descriptive

qualitative paradigm and the students' written production was used as the main source of

information when using guides as methodological instruments: Pretest, triangle resolution

workshops, laws of sine and cosine, practical activities and Post-test, and established the variables,

their definition and evaluation for the results valuation.

The importance of this research was based on the observation of the progress and / or individual

and / or collective weaknesses that students present when applying the laws of sine and cosine, in

addition to the resolution of all types of triangles, with the solution of problems theoretical and

practical. In addition, it was found for the group, that it was more fruitful to change the order of

presentation of the topics; since when understood the general invariant was understood, in this case

the law studied, the application of particular cases became better and faster. It was possible to

strengthen a significant amount of knowledge and processes defined by the Ministry of National

Education for the tenth grade through the basic standards of competence.

Keywords: solution of triangles, trigonometric ratios, problem solving in context.

Contenido XIII

Contenido

Resumen ................................................................................................................................... IX

Abstract .................................................................................................................................... XI

Lista de Figuras ..................................................................................................................... XVI

Lista de Tablas ...................................................................................................................... XXI

Introducción ............................................................................................................................... 1

1. Planteamiento del problema de investigación ........................................................................ 3

1.1. Descripción del área problemática .................................................................................. 3

1.2. Formulación del problema .............................................................................................. 5

2. Justificación ............................................................................................................................ 7

3. Objetivos .............................................................................................................................. 11

3.1. Objetivo General ........................................................................................................... 11

3.2. Objetivos Específicos .................................................................................................... 11

4. Antecedentes ........................................................................................................................ 13

5. Marco teórico ....................................................................................................................... 15

5.1. La historia de la trigonometría ...................................................................................... 15

5.2. Problemas en contexto .................................................................................................. 20

5.3. Base Orientadora de la Acción (BOA) .......................................................................... 21

5.4. Proceso de Enseñanza Aprendizaje (PEA) ................................................................... 21

5.5. Proceso Docente Educativo (PDE) ............................................................................... 22

XIV Contenido

6. Metodología ......................................................................................................................... 23

6.1. Tipo de trabajo .............................................................................................................. 23

6.2. Variables De Estudio ..................................................................................................... 23

6.2.1. Dimensión instructiva: ........................................................................................... 23

6.2.2. Dimensión educativa: ............................................................................................. 24

SOLIDARIDAD .......................................................................................................... 24

RESPONSABILIDAD ................................................................................................. 25

TOLERANCIA ............................................................................................................ 25

6.2.3. Dimensión desarrolladora. ..................................................................................... 26

6.3. Etapa De Formación Para Realizar Una Base Orientadora De La Acción ................... 27

Etapa de motivación y exposición. ................................................................................... 27

Etapa concreta. ................................................................................................................. 27

Etapa verbal interna. ......................................................................................................... 28

Etapa mental. .................................................................................................................... 28

6.4. Instrumentos metodológicos ......................................................................................... 28

Pre test. ............................................................................................................................. 28

Guías de afianzamiento. ................................................................................................... 29

Post test. ........................................................................................................................... 30

6.5. Población y muestra ...................................................................................................... 31

6.6. Fuentes de información ................................................................................................. 31

Contenido XV

6.7. Hipótesis ........................................................................................................................ 32

6.8. Experimentación: .......................................................................................................... 32

7. Resultados y discusión ......................................................................................................... 33

7.1. Análisis de los resultados .............................................................................................. 33

7.2. Observación ................................................................................................................... 34

8. Referencias ........................................................................................................................... 35

9. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................................ 51

9.1. Conclusiones ................................................................................................................. 51

9.2. Recomendaciones .......................................................................................................... 52

10. Bibliografía ........................................................................................................................ 53

Anexos ...................................................................................................................................... 57

Anexo A. Resultados en el pre test .................................................................................. 57

Anexo B. Resultados en la guía “ley de senos”: .............................................................. 69

Anexo C. Resultados en la guía “ley de cosenos”: .......................................................... 81

Anexo D. Resultados en la guía “ley de senos y cosenos” .............................................. 93

Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos”: .................... 101

Anexo F. Resultados en la guía “Planteamiento de problemas”: .................................. 115

Anexo G. Resultados en la guía “Actividades prácticas”: ............................................. 123

Distancia a la cometa (globo) ......................................................................................... 123

Mira la altura. ................................................................................................................. 125

XVI Contenido

El ancho del río .............................................................................................................. 127

Área de un lote irregular ................................................................................................ 128

Ley de las tangentes: ...................................................................................................... 131

Anexo H. Resultados en la guía “Post test”: .................................................................. 135

Lista de Figuras

Figura 1. Pregunta uno del Pre-Test ......................................................................................... 57

Figura 2. Respuestas a pregunta uno del Pre-Test ................................................................... 57

Figura 3. Respuestas de la pregunta dos del Pre-test ............................................................... 58

Figura 4. Pregunta dos del Pre-Test ......................................................................................... 58

Figura 5. Pregunta tres del Pre-test .......................................................................................... 59

Figura 6. Respuestas de la pregunta tres del Pre-test ............................................................... 60

Figura 7. Respuestas de la pregunta cuatro del Pre-test ........................................................... 61

Figura 8. Pregunta cinco del Pre-test ....................................................................................... 61

Figura 9. Respuestas de la pregunta cinco del Pre-test ............................................................ 62

Figura 10. Pregunta seis del Pre-test ........................................................................................ 62

Figura 11. Respuestas de la pregunta seis del Pre-test ............................................................. 63

Figura 12. Respuestas de la pregunta siete del Pre-test ........................................................... 64

Figura 13. Pregunta ocho del Pre-test ...................................................................................... 64

Figura 14. Respuestas de la pregunta ocho del Pre-test ........................................................... 65

Figura 15. Respuestas de la pregunta nueve del Pre-test ......................................................... 66

Figura 16. Pregunta 10 del Pre-test .......................................................................................... 66

Figura 17. Respuestas de pregunta 10 del Pre-test ................................................................... 67

Contenido XVII

Figura 18. Punto uno de la guía "ley de senos". ....................................................................... 69

Figura 19. Respuestas de pregunta uno de la guía "ley de senos". .......................................... 70

Figura 20. Respuestas punto dos de la guía "ley de senos"...................................................... 71

Figura 21. Punto tres de la guía "ley de senos". ....................................................................... 71

Figura 22. Respuestas punto tres de la guía "ley de senos". .................................................... 72

Figura 23. Punto cuatro de la guía "ley de senos". ................................................................... 72

Figura 24. Respuestas punto cuatro de la guía "ley de senos". ................................................ 73

Figura 25. Punto cinco de la guía "ley de senos" ..................................................................... 74

Figura 26. Respuestas punto cinco de la guía "ley de senos". ................................................. 74

Figura 27. Respuestas puntos seis y siete de la guía "ley de senos". ....................................... 76

Figura 28. Punto ocho de la guía "ley de senos". ..................................................................... 77

Figura 29. Respuestas punto ocho de la guía "ley de senos". .................................................. 77

Figura 30. Punto nueve de la guía "ley de senos". ................................................................... 78

Figura 31. Respuestas punto nueve de la guía "ley de senos". ................................................. 78

Figura 32. Punto 10 de la guía "ley de senos". ......................................................................... 79

Figura 33. Respuestas de punto 10 de la guía "ley de senos". ................................................. 80

Figura 34. Respuestas punto uno de la guía "ley de cosenos". ................................................ 81

Figura 35. Punto dos de la guía "ley de cosenos". ................................................................... 82

Figura 36. Respuestas punto dos de la guía "ley de cosenos". ................................................. 82

Figura 37. Respuestas de punto tres de la guía "ley de cosenos". ............................................ 83

Figura 38. Respuestas punto cuatro de la guía "ley de cosenos". ............................................ 85

Figura 39. Respuestas punto cinco de la guía "ley de cosenos". .............................................. 86

Figura 40. Punto seis de la guía "ley de cosenos". ................................................................... 86

XVIII Contenido

Figura 41. Punto siete de la guía "ley de cosenos". .................................................................. 87

Figura 42. Respuestas punto seis de la guía "ley de cosenos". ................................................ 87

Figura 43. Respuestas punto siete de la guía "ley de cosenos". ............................................... 88

Figura 44. Punto ocho de la guía "ley de cosenos". ................................................................. 88

Figura 45. Respuestas punto ocho de la guía "ley de cosenos"................................................ 89

Figura 46. Respuestas punto nueve de la guía "ley de cosenos". ............................................. 90

Figura 47. Punto nueve de la guía "ley de cosenos". ............................................................... 90

Figura 48. Respuestas punto 10 de la guía "ley de cosenos". .................................................. 92

Figura 49. Respuestas punto uno, guía "ley de senos y cosenos". ........................................... 94

Figura 50. Punto dos, guía "ley de senos y cosenos". .............................................................. 95

Figura 51. Respuestas punto dos, guía "ley de senos y cosenos"............................................. 95

Figura 52. Punto tres, guía "leyes de senos y cosenos"............................................................ 96

Figura 53. Respuestas punto tres, guía "ley de senos y cosenos". ........................................... 96

Figura 54. Problema 1 Ley de Senos y Cosenos ...................................................................... 98

Figura 55. Problema 2 Ley de senos y cosenos ....................................................................... 98

Figura 56. Problema 3 Ley de senos y cosenos ....................................................................... 99

Figura 57. Punto uno, guía "resolución de triángulos rectángulos". ...................................... 101

Figura 58. Respuestas punto uno, guía "solución de triángulos rectángulos"........................ 102

Figura 59. Punto dos, guía "resolución de triángulos rectángulos". ...................................... 103

Figura 60. Respuestas punto dos, guía "solución de triángulos rectángulos". ....................... 103

Figura 61. Punto tres, guía "solución de triángulos rectángulos". ......................................... 104

Figura 62. Respuestas punto tres, guía "solución de triángulos rectángulos". ....................... 104

Figura 63. Punto cuatro, guía "solución de triángulos rectángulos". ..................................... 105

Contenido XIX

Figura 64. Respuestas punto cuatro, guía "solución de triángulos rectángulos".................... 106

Figura 65. Punto cinco, guía "solución de triángulos rectángulos". ...................................... 107

Figura 66. Respuestas punto cinco, guía "solución de triángulos rectángulos". .................... 107

Figura 67. Punto seis, guía "solución de triángulos rectángulos". ......................................... 108

Figura 68. Respuestas punto seis, guía "solución de triángulos rectángulos"........................ 109

Figura 69. Punto siete, guía "solución de triángulos rectángulos". ........................................ 109

Figura 70. Respuestas punto siete, guía "solución de triángulos rectángulos". ..................... 110

Figura 71. Punto ocho, guía "solución de triángulos rectángulos". ....................................... 111

Figura 72. Respuestas punto ocho, guía "solución de triángulos rectángulos". ..................... 111

Figura 73. Punto nueve, guía "solución de triángulos rectángulos"....................................... 112

Figura 74. Respuestas punto nueve, guía "solución de triángulos rectángulos". ................... 113

Figura 75. Respuesta punto 10, guía "solución de triángulos rectángulos". .......................... 114

Figura 76. Respuesta 1 "Planteamiento de problemas". ......................................................... 116

Figura 77. Respuesta 2 "Planteamiento de problemas". ......................................................... 116

Figura 78. Respuesta.3.2. "Planteamiento de problemas". ..................................................... 117

Figura 79. Respuesta 3.1. "Planteamiento de problemas". ..................................................... 117

Figura 80. Respuesta 1.1 "Construye aportes". ...................................................................... 118


Figura 82. Respuesta 2 "Construye aportes". ......................................................................... 119

Figura 83. Respuesta 3 "Construye aportes". ......................................................................... 119


Figura 85. Respuesta 4.2 "Construye aportes" ....................................................................... 120


XX Contenido

Figura 87. Construcción de un triángulo elevando una cometa. ............................................ 124

Figura 88. Construcción de un triángulo con un globo de helio. ........................................... 124

Figura 89. Respuesta Actividad 1. ......................................................................................... 125

Figura 90. Construcción de un triángulo para hallar una altura. ............................................ 126


Figura 92. Construcción de un triángulo para hallar una distancia. ....................................... 127


Figura 94. Marcación del lote por medio de triángulos. ........................................................ 129

Figura 95. Respuesta Actividad 4 (Parte 1). .......................................................................... 130


Figura 97. Primera medición del ángulo. ............................................................................... 131

Figura 98. Segunda medición del ángulo. .............................................................................. 132


Figura 100. Respuesta Actividad 5 (Parte 2). ........................................................................ 132

Figura 101. Punto uno Post-test. ............................................................................................ 135

Figura 102. Respuesta punto uno Post-test. ........................................................................... 135

Figura 103. Punto dos Post-test. ............................................................................................. 136

Figura 104. Respuestas punto dos Post-test. .......................................................................... 136

Figura 105. Punto tres Post-test. ............................................................................................ 136

Figura 106. Respuestas punto tres Post-test. .......................................................................... 136

Figura 107. Puntos cuatro y cinco Post-test. .......................................................................... 136

Figura 108. Respuestas punto cuatro Post-test. ..................................................................... 136

Figura 109. Respuestas punto cinco Post-test ........................................................................ 136

Contenido XXI

Figura 110. Punto seis Post-test ............................................................................................. 136

Figura 111. Respuestas punto seis Post-test. .......................................................................... 136

Lista de Tablas

Tabla 1. Análisis individual Pre-test ........................................................................................ 35

Tabla 2. PNI Pre-test. ............................................................................................................... 36

Tabla 3. Análisis individual ley de senos ................................................................................. 37

Tabla 4. PNI - Ley de Senos .................................................................................................... 38

Tabla 5. Tabla de Análisis individual Ley de Cosenos. ........................................................... 39

Tabla 6. PNI - Ley de Cosenos. ............................................................................................... 40

Tabla 7. Análisis individual Ley de Senos y Cosenos. ............................................................ 41

Tabla 8. PNI - Ley de Senos y Cosenos. .................................................................................. 42

Tabla 9. Análisis individual Triángulos Rectángulos. ............................................................. 43

Tabla 10. PNI - Triángulos Rectángulos. ................................................................................. 44

Tabla 11. Análisis individual Planteamiento de Problemas. .................................................... 45

Tabla 12. PNI - Planteamiento de Problemas. ......................................................................... 46

Tabla 13. Análisis individual Actividades Prácticas. ............................................................... 47

Tabla 14. PNI - Actividades Prácticas. .................................................................................... 48

Tabla 15. Análisis individual Post-test. .................................................................................... 49

Tabla 16. PNI - Post-test. ......................................................................................................... 50

Introducción

De las matemáticas, se sabe que estas surgieron de las necesidades del ser humano a fin de

realizar actividades en su vida cotidiana. Pues como lo afirma (Rodriguez, 2012) “el hombre a

través de la historia, ha identificado y estudiado diversidad de problemas que se presentan en su

entorno y la necesidad de resolverlos ha sido clave para generar conocimiento” (pág. 17). Esto se

evidencia en la forma como nacieron las ramas de las matemáticas; todas como resultado de

solucionar problemas del día a día; específicamente, la geometría y posteriormente la

trigonometría. Sabemos que todo a nuestro alrededor contiene elementos geométricos y, como es

completamente necesario reconocer el medio en el que nos encontramos, podemos afirmar que su

manejo adecuado puede darse a través de la trigonometría, no solo importante para tener

conocimientos teóricos sino como elemento adicional para estructurar su mundo.

Gracias a la importancia de esta disciplina que ha sido estudiada continuamente en la historia;

grandes matemáticos y filósofos han desarrollado el corpus teórico; con extraordinarios resultados

y hoy día, la trigonometría es útil para desarrollar en las personas habilidades, capacidades de uso

en sus entornos. Resulta entonces muy procedente que los estudiantes, tengan contacto con ella y

el manejo primario de las aplicaciones.

Para lograrlo, es definitivo, implementar una unidad didáctica de tal manera que se desarrolle

el PEA (Proceso Enseñanza Aprendizaje); que incorpore los conocimientos que se tienen hasta el

momento acerca de cómo aprenden los seres humanos. Desarrollando cada una de las etapas de

aprendizaje coherentemente con dicho propósito. Y es precisamente la manera en que sean

definidos los procesos por parte del profesor, cumpliendo con la estructuración adecuada del

sistema de tareas, lo que determina el éxito en los resultados en cuanto: solidez en el aprendizaje,

2 Introducción

grado de despliegue de los procedimientos al aplicarlos, y grado de independencia alcanzado; los

cuales se conjugan adecuadamente al arribar a la etapa mental del aprendizaje.

Es preciso, suscitar el interés, la capacidad de asombrarse e imbricarse con el tema, si además

se tiene en cuenta el juego, será una herramienta fundamental en el PEA (Proceso Enseñanza

Aprendizaje), de cualquier asignatura en la estructura de la disciplina. (Keyla, 2009, p. 2) . La

lúdica despierta interés en los estudiantes por aprender y los lleva a explorar la aplicación de lo

visto en diferentes contextos; logrando así, que se introduzcan más y más en la temática y

adquieran mayor destreza en el momento de enfrentarse a la resolución de sus problemas.

El mundo va cambiando con el paso de los años, es claro que los jóvenes ahora, tienen un

pensamiento más abierto e, inherentemente están en la búsqueda continua de satisfacer sus

necesidades enfrentándose a los estímulos que las nuevas tecnologías traen consigo. Por este

motivo, es necesario que la malla curricular se adecúe a dichos cambios, siempre actualizando las

estrategias para atraer a los alumnos. Los estudiantes necesitan métodos de aprendizaje más

cercanos a su entorno familiar y local, por eso será de gran ayuda que el desarrollo de dicha malla

esté permeado por actividades prácticas con las cuales, se identifique el conocimiento que es

plausible aplicar, se analice cómo aplicarlo, se revise su pertinencia y, se realice su aplicación en

diferentes contextos.

1. Planteamiento del problema de investigación

1.1. Descripción del área problemática

La matemática es una de las áreas que genera prevención en la mayoría de los estudiantes, pues

es vista como dificultosa. A pesar de la multiplicidad en las diversas ramas, es poco frecuente

encontrar estudiantes ansiosos por aprender al menos una y, la trigonometría no es la excepción a

la regla.

Según (Kopke, 2001) durante mucho tiempo se ha observado la gran dificultad que tienen los

estudiantes de educación superior a la hora de describir objetos haciendo uso de la trigonometría.

Una de las razones principales de que esto suceda son las pocas bases que se llevan del colegio y

la forma en que normalmente se abordan los temas. En la actualidad, encontramos jóvenes que no

se conforman con recibir clases magistrales llenas de conceptos y ejercicios en el papel. Entre más

lúdica pueda ser la clase, con mayor seguridad se podrá garantizar que los alumnos la están

disfrutando y lo más importante es que se esté generando un aprendizaje significativo en dichas

actividades.

(Mendoza, Ortiz Colón, Martínez Moreno & Tintorer Delgado, 2009) argumentan que: “La

teoría sociocultural (Cubero & Luque, 2004) entiende el aprendizaje como un proceso distribuido,

interactivo, contextual y que es el resultado de la participación de los alumnos en una comunidad,

donde el profesor actúa como guía para el aprendizaje de los alumnos” (Mendoza, 2009, p. 4) Esto

conlleva a pretender que en adelante el profesor diseñe el sistema de tareas para sus estudiantes

de trigonometría, y realice acompañamiento en las actividades propuestas; mientras ellos a través

del cumplimiento con sus tareas avancen paso a paso en las etapas de aprendizaje.

Como lo afirman (Mendoza et al, 2009) cada vez se nota más la necesidad, que los estudiantes

tengan la capacidad de analizar situaciones problema de manera crítica y objetiva. Además, se

4 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria

basen en la teoría histórico cultural de Vigotsky que habla acerca de que los elementos

conceptuales (significados, signos, instrumentos, definiciones...), no llevan al estudiantes a

desenvolverse en una realidad de manera competente; sino que esto se consigue cuando el alumno

interactúa con la realidad en el proceso de aprendizaje. Por lo tanto, la idea de implementar

actividades lúdicas para enseñar trigonometría es precisamente, que los estudiantes apliquen todo

el aprendizaje que van adquiriendo a un contexto de la vida cotidiana.

Ese vacío tan notorio a la hora de analizar y argumentar que se nota en los estudiantes de

educación superior, es lo que nos lleva a buscar diferentes alternativas para desarrollar las

competencias matemáticas. Basándonos en el argumento de (Caicedo, Perry, Camargo, & Molina,

2012), al afirmar que la trigonometría es un instrumento que potencia habilidades; ya que un

estudiante con conocimientos geométricos, tiene la capacidad de implementarlos en el desarrollo

de tareas donde se deben usar herramientas del razonamiento argumentativo, producción de

conjeturas y demostraciones matemáticas. Además, son estudiantes capaces de justificar y sacar

conclusiones que aporten al aprendizaje de un tema o contenido.

Por otro lado (Ferreirós & García-Pérez, 2018) nos hablan de las cogniciones innatas que posee

el ser humano. Una persona de manera innata posee un sistema nuclear de conocimiento espacial,

lo que permite identificar y aplicar las relaciones métricas de ángulos, distancias y sentidos. Por lo

tanto, todo ser humano tiene elementos y aproximaciones al conocimiento del

componente geométrico – espacial; que con un buen diseño de los PEA y los sistemas de tareas,

potencian la formación de capacidades de describir, analizar y calcular objetivamente, situaciones

con menores dificultades.

Se pretende como objetivo desarrollar competencias geoespaciales en los estudiantes desde el

colegio, lo que a su vez mostrará mayor capacidad al abordar problemas propios de la

1. Planteamiento del Problema de Investigación 5

trigonometría; además de mejorar la capacidad de representar y describir diferentes contextos, e

incentivar a los estudiantes de educación media a usar estos conocimientos disciplinares. Sobre

todo, que lo hagan y se les facilite aplicar diferentes habilidades métricas-espaciales.

Una muestra de que todo lo que deseado en esta investigación es viable, es el trabajo realizado

por (Perelman, 2001). Este autor nos muestra diversas alternativas de abordar temas de

matemáticas en general y específicamente de trigonometría, a partir de actividades lúdicas que

despiertan en los estudiantes, la curiosidad y el interés por el área. Además, les permite aprender

fuera del contexto tradicional, lo que es más divertido para ellos.

1.2. Formulación del problema

¿Cómo la formulación y aplicación de una unidad didáctica, influye en el desarrollo del

componente métrico-espacial (trigonométrico), y a su vez generan un aprendizaje significativo en

los estudiantes?

2. Justificación

El trabajo considerado es importante en razón a que, su enmarque en el enfoque histórico

cultural de la enseñanza y el aprendizaje, aunado al sistema de tareas docentes considera la

estructuración de la BOA (Base Orientadora de la Acción), hace un seguimiento detallado del

proceso de adquisición de conocimientos de los alumnos; algo que no ha sido claramente

explorado en nuestro contexto. Esto desde el punto de vista pedagógico didáctico.

Es una innovación desde lo puramente didáctico que consiste en entregar los elementos

conceptuales generales a aprehender desde el inicio, e ir puntualizando en los detalles conforme

aparecen las aplicaciones en el entorno específico; lo que resulta en una variación metodológica

consistente en ir de lo general a lo particular y ver las aplicaciones como específicas.

Considerar así las cosas, implica novedad al cambiar la construcción usual del conocimiento

desde lo específico, a lo general; y trasladarlo a la generalidad a la especificidad, que es una de las

características de la teoría de formación por etapas de las acciones mentales. Cuando en la etapa

de motivación exposición, el profesor habla de las invariantes (estructuras de conocimientos tan

generales, que contienen en sí mismas todas las posibles variaciones de los objetos concretos);

para dar posterior traslado a aplicaciones concretas o concretizadas que van elevándose en cuanto

a su nivel en las etapas posteriores. (De Zayas, 1994)

La autora pretendió estructurar una metodología que permite enseñar el componente métrico

por medio de actividades prácticas y, motivar a la población estudiantil a aprender más sobre

matemáticas.

Es así, como este proyecto se desea realizar por varias razones; una de ellas, a partir de lo que

cuenta Ferreirós & García-Pérez, ellos afirman que: “Los estudios centrados en cognición

geométrica han tenido un desarrollo más tímido, habiendo un menor número de experimentos y


análisis de las implicaciones teóricas y prácticas de estos. Existe pues un menor consenso en cuanto

a la interpretación de sus resultados” (Ferreirós & García-Pérez, 2018), De aquí la gran necesidad

de crear nuevas metodologías que desarrollen las competencias aplicadas inicialmente en la

geometría, que redundarán posteriormente en la trigonometría, esta última como enfoque principal

de este trabajo de investigación.

Para fundamentar la importancia de un diseño metodológico que permita la asertividad del

aprendizaje basado en el saber hacer en contexto, nos basamos en la afirmación de (Caicedo, Perry,

Camargo, & Molina, 2012) en la cual nos indican que la geometría dinámica lleva a los estudiantes

a desarrollar su pensamiento lógico matemático. Sabemos que es un gran insumo en el estudio de

la trigonometría, pues un estudiante que sea competente, adquiere habilidades para razonar de

manera lógica en trigonometría. Se requiere razonamiento lógico para resolver problemas, es

necesario un pensamiento deductivo para llegar a diferenciar entre la semejanza y la congruencia

de las figuras, de igual forma en el momento afrontar problemas donde tengan que encontrar

propiedades que hagan posible, aplicaciones como área y el volumen de ciertas figuras y sólidos.

Por consiguiente, nos centraremos en las didácticas de enseñanza aprendizaje en torno a los

triángulos, entendiendo que, a pesar de que son figuras geométricas abstractas para los estudiantes,

es importante mostrar las diversas aplicaciones que estos tienen en diferentes disciplinas hoy en

día. Sin embargo, como lo refiere (Castro, 2011), lo más importante es que el alumno logre

desarrollar problemas diferentes que tengan que ver con triángulos rectángulos haciendo un buen

análisis de ellos y sin la necesidad de estar implementando la repetición de procedimientos

mecánicos. Esto indica, el menester de organizar el sistema de tareas y la metodología de

enseñanza para convocar al estudiante a situaciones de análisis que le permitan enfrentarse a

2. Justificación 9

cualquier tipo de problema sin importar cambios en el contexto o peticiones diferentes a las

comunes.

Por este motivo, este trabajo pretende que el estudiante recorra las etapas teórico-prácticas

indispensables para obtener la capacidad de plantear y resolver problemas de solución de

triángulos de cualquier tipo, sin alguna dificultad. Todo esto mediante una serie de guías escritas

y prácticas, pero especialmente basadas en desarrollar la competencia del planteamiento y

resolución de problemas.

El estudio que se desea realizar, es importante para conseguir conocimientos contextuales

acerca de cómo formar estudiantes con diferentes capacidades, con la intención de madurar

habilidades que les sirvan para desenvolverse en diferentes contextos. “Estamos en una necesidad

urgente de formar personas cognitivamente flexibles, culturalmente abiertas y capaces de trabajar

colaborativamente con otros”: (Magro, 2017) . Estas habilidades se pueden desarrollar con

técnicas que se proponen en este trabajo, pues están basadas en la exploración de situaciones

problema, donde se requiere la resolución de triángulos, pero, a su vez, es necesario plantear un

contexto realizando trabajo cooperativo.

El trabajo cooperativo es una herramienta fundamental para la planeación de las prácticas

pedagógicas de la trigonometría en el aula, permitirá la retroalimentación constante de los pares,

la exploración, indagación y resolución a los problemas planteados a través del análisis y aportes

significativos por cada integrante del equipo de trabajo; donde yacen reflexiones que contraste la

teoría con la aplicación de la misma a escenarios de la cotidianidad. Es así, como repensamos una

educación que incite a la construcción de un pensamiento crítico de los estudiantes, para que sean

ellos mismo quienes transformen sus realidades.

3. Objetivos

3.1. Objetivo General

Estructurar y aplicar una Base orientadora de la acción que guíe el Proceso de Enseñanza

Aprendizaje en la resolución de triángulos, a partir de conceptos trigonométricos en el entorno.

3.2. Objetivos Específicos

Plantear y resolver problemas desde la identificación de datos a través del uso de

conceptos trigonométricos que permitan aplicar los conocimientos en situaciones reales.

Promover la incorporación de valores como la solidaridad, la tolerancia y la

responsabilidad, a través de las actividades programadas en la base orientadora de la

acción, que permitan fortalecer su formación holística.

Apostar por el desarrollo de competencias para su autorrealización, mediante la

integración de temas contextuales, empleando la autoevaluación y el conocimiento de

la realidad como estrategias que permitan usar la trigonometría a su integralidad.

4. Antecedentes

A finales del siglo pasado, Nina Talízina hace un estudio donde argumenta que para llegar al

conocimiento o a las acciones mentales es necesario hacer prácticas reales. Es decir, si nos basamos

en que toda acción tiene una reacción, esto se puede aludir a la segunda Ley de Newton. (Serway,

2008). Así, podemos inferir entonces, que si se realizan prácticas que tienen un objetivo y un

motivo, estas van a generan un aprendizaje significativo. Ella afirma que el aprendizaje se consigue

pasando por diferentes etapas, donde el alumno empieza a obtener resultados acompañados de un

maestro, pero termina actuando por sí solo. Mediante tratamientos experimentales, se encontraron

cuatro tipos de Bases Orientadoras de la Acción (BOA), donde se reflejan diferentes resultados,

en algunas se muestran estudiantes preparados que arrojan resultados completos de manera

independiente y en otras se evidencian prácticas escolares de ensayo y error que no dan resultados

muy verídicos. Además, Talízina concluye que la BOA más eficiente es la tercera pues exige

investigación generalizada, completa e independiente por parte del alumno. (TALIZINA, 1988)

Una forma de interacción se da por medio del juego, pues es innato el gusto de los estudiantes

por él. Vigotsky argüía que el juego dirige el aprendizaje. Ya que estas son actividades de tipo

lúdico donde disfrutan y expresan lo que piensan y sienten sin temor. Y de este tipo de aprendizaje

por medio de juegos, Butler hizo una investigación que arrojo diferentes resultados que en general

nos muestran que el juego es una técnica que asegura que los alumnos no sólo obtienen diversión,

sino también motivación por los temas en matemáticas y a la vez están aprendiendo diferentes

temas que los lleva a ser personas con capacidad de análisis y razonamiento. Butler afirma que

usar una metodología de enseñanza basada en los juegos permite mayor interacción entre los

estudiantes y por lo tanto ayuda a incrementar la inclusión de compañeros con capacidades


especiales, además de que el rendimiento académico mejora ya que hay un mayor interés por

aprender. (Butler, 1988)

Madurar en los estudiantes el componente métrico-espacial no sólo es una herramienta que sirve

para desarrollar diferentes competencias como el planteamiento y resolución de problemas, la

modelación, el razonamiento, entre otras. Coincidiendo con Kopke, diremos que ser hábil para

resolver problemas geométricos permite desarrollar, a grandes rasgos, el hemisferio derecho del

cerebro, debido a que sus funciones están basadas en la recepción de imágenes. Esto asegura la

maduración de ambos hemisferios, ya que en el colegio se desarrolla con mayor facilidad el

hemisferio izquierdo, pues en la mayoría de las asignaturas se llevan procesos magistrales con

poca interpretación de gráficos. Kopke en su investigación implementó la metodología de trabajar

con sólidos, con la intención de interiorizar varios conceptos, como: planos, puntos y rectas.

Términos que normalmente son aprendidos en clases magistrales, lo que es poco entretenido para

los jóvenes. Los resultados mostraron aumentos en la capacidad de describir e interpretar distintos

tipos de gráficos.

5. Marco teórico

5.1. La historia de la trigonometría

La presentación de la historia de la trigonometría que a continuación se expone, está tomada

principalmente de (Gil, 2008) , (Camargo, 2011), (Gonzalez Martinez & Mendoza Rodriguez,

2019)

Como se nombra anteriormente, las primeras nociones matemáticas nacen a partir de las

necesidades básicas de los primeros grupos de personas y civilizaciones. Para llevar su estilo de

vida, estas personas necesitaban contar y medir de forma indispensable. Así mismo, surge la

trigonometría para ser aplicada de manera constante en las actividades que tuvieran que ver con la

construcción de viviendas y otras estructuras.

Hace más de 3000 años aparece la trigonometría en las culturas Babilonia y Egipcia. Para ellos

era indispensable el uso de los ángulos internos de un triángulo y las razones trigonométricas,

usadas en sus actividades de agricultura y construcción de pirámides especialmente egipcias. La

trigonometría también era usada en esa época para la astronomía, específicamente para hacer los

cálculos necesarios que permitieran ubicar los cuerpos celestes y predecir sus órbitas. Por su

utilidad en el hallazgo de posiciones, también tenía una importante aplicación en la navegación.

Por otra parte, se usaba en la creación de calendarios y cálculos del tiempo. Es así como los

egipcios realizaron un aporte muy significativo a la trigonometría, pues a ellos se les atribuye la

notación de ángulos en grados, minutos y segundos; dicha notación, es aún vigente en la actualidad.

Hacia el siglo XII se introduce la trigonometría en el occidente, por medio de la traducción de

los libros escritos en Arabia. Específicamente en Europa llega a manos del matemático astrónomo

alemán, más conocido como Regiomontano o el fundador de la trigonometría moderna. Su libro

“De triangulis omnimodis” compuesto por 5 tomos, muestra el planteamiento de problemas para


solucionar triángulos que hoy día se usan comúnmente. En la misma época también se introduce

el concepto de función trigonométrica ya no como una longitud de una línea específica, sino como

una proporción, esto se le atribuye a otro astrónomo alemán llamado George Joachim, más

conocido como Retico.

Más adelante, en el siglo XVI, gracias al matemático francés Francois Viete se incorpora el

estudio de la trigonometría esférica. En su libro “Canon matemáticas” indica como representar

algunas funciones trigonométricas con ángulos múltiples en función de otras funciones con

potencias que presentan ángulos más simples. Desde entonces, la trigonometría esférica se ha

unido al algebra de funciones para encontrar grandes resultados.

En el siglo XVII, gracias a la consolidación de la imprenta, se facilita la comunicación y el

intercambio de ideas entre estudiosos de la matemática. Especialmente, se reconocen los trabajos

del matemático escocés John Napier, quien fue el inventor de los logaritmos. Este aportó cálculos

trigonométricos importantes y en sus analogías se concentra en la solución de algunos triángulos

esféricos oblicuos mediante ciertas reglas mnemotécnicas. También sobresale en esta época el

trabajo realizado por Isaac Newton en el cálculo infinitesimal, pues 50 años después de los trabajos

de Napier, Newton encuentra las series infinitas para el sen x, cos x y tan x; las tres similares. Hoy

en día a través del cálculo, se ha introducido las funciones trigonométricas al análisis matemático,

desempeñando papel fundamental en las matemáticas puras y las aplicadas.

Por último, a quien se le atribuye realmente la fundación de la trigonometría moderna, fue al

matemático suizo Leonhard Euler, este convirtió a la trigonometría en una aplicación más de los

números complejos, pues representó las funciones trigonométricas mediante expresiones con

exponenciales de números complejos. Euler demostró que las propiedades básicas de la

trigonometría, no eran otra cosa diferente al producto aritmético de números complejos.

5. Marco Teórico 17

En la historia de Colombia las matemáticas han sido de gran relevancia. Incluso, en los primeros

años escolares, se encontraba establecido como requisito una intensidad de 5 horas de clase

semanales, por encima de las otras asignaturas básicas estipuladas en el currículo. Sin embargo,

según el decreto 2893 de 1945 a partir del grado quinto de bachillerato, conocido hoy como

décimo, desaparecía el área de matemáticas del currículo, es decir la trigonometría no estaba

determinada. Fue hasta el año 1951 cuando el ministerio de educación nacional, por medio del

decreto 2050 del año mencionado que inicia los primeros pasos la trigonometría en Colombia.

Inicialmente, se determinó como necesario 3 horas de geometría y trigonometría semanales.

Es preciso nombrar los aportes del profesor Carlos Eduardo Vasco Uribe a la educación

Colombiana. Pues en el siglo XX, el maestro Vasco fue protagonista e impulsador de las

renovaciones curriculares presentadas. Carlos Vasco llegó a Colombia en 1971 después de realizar

estudios en Alemania, e ingresó como docente de pregrado de Matemáticas en la Universidad

Nacional en el año 1972. El primer curso que ofreció trataba sobre álgebra abstracta, sin embargo,

nadie se inscribió a este, por la complejidad del mismo. Es en este momento, es cuando el maestro

Vasco identifica las deficiencias en el área. Además, se despierta su curiosidad por la naturaleza

de la pedagogía y didáctica que envolvía a las matemáticas. Su primer acercamiento a la educación

primaria, se presenta cuando se une al profesor Dr. Federici, quien dirigía programas de

mejoramiento de la educación matemática y, además, proponía cursos de capacitación para

profesores de primaria que enseñaban matemáticas. Vasco con Federici, empezaron a visitar

escuelas, para indagar a los niños, acerca de lo que pensaban sobre las matemáticas modernas y un

posible cambio en el currículo, y, como fruto de esto, Carlos Eduardo asistió a su primer congreso

de educación matemática y llevó un documento de investigación, realizado en las dichas visitas.


Fue hasta 1974, cuando se publicó una reforma de la educación matemática para los estudiantes

de bachillerato, donde la trigonometría y el cálculo se volvieron obligatorios en el currículo de

quinto y sexto en secundaria. Los docentes de la época tomaron muy bien la reforma, pero sin ser

consciencia de lo que el cambio implicaba, pues debían llevar al aula contenidos y conocimientos

que incluso ellos no poseían. En 1978, Carlos Vasco fue nombrado asesor del ministerio de

educación en el área de matemáticas, lo eligieron porque era de los pocos maestros que no se

preocupaban por agregar muchos contenidos al currículo, sino especialmente, por cómo se debían

enseñar los pocos contenidos importantes del mismo. Es decir, le preocupaba que en Colombia no

estaba diseñada una didáctica para enseñar matemáticas.

Durante su paso por el ministerio de educación, Carlos Eduardo, en su búsqueda de una buena

didáctica que generara verdaderos aprendizajes, optó por agrupar los temas en sistemas

matemáticos, que tuvieran una estructura y fueran dinámicos. En este proceso, creó la teoría

general de sistemas (TGS), que llegó incluso hasta Europa y se pudo dar a conocer en seminarios

de Universidades tan importantes como Harvard. Para la época de los 80’s, ya era posible darle un

mejor manejo al programa de matemáticas de primaria con su didáctica. Sin embargo, para

secundaria siempre se presentaron dificultades, pues los docentes se negaban a salir de una teoría

simbólica para pasar a una concepción más conceptual de las matemáticas, específicamente de la

geometría analítica o trigonometría, pues en quinto y sexto de bachillerato, lo que más importante,

era lo que les iban a preguntar en el ICFES a los estudiantes.

Esta reforma educativa que proponía Vasco, no alcanzó a aplicarse en la educación básica

secundaria, por lo tanto, en la educación media ni siquiera se intentó crear. Además de esto, la ley

115 de 1994 autorizó a los colegios a crear el currículo de cada área y para cada grado. Lo que

impidió crear una resolución que implementara una didáctica para enseñar específicamente


trigonometría y cálculo. Sin embargo, con la construcción de los estándares de excelencia creados

en 1998, se plantearon unos objetivos curriculares, entre los cuales, la trigonometría tenía logros

específicos por alcanzar en quinto y sexto de bachillerato. Con lo que, esta asignatura no volvió a

salir del plan de estudios.

Repensando en este sentido las prácticas pedagógicas en torno a la trigonometría a través de la

historia, se hace indispensable y con mayor acercamiento de estudio, revisar el impacto que han

tenido dichos procesos en el contexto del Gimnasio Campestre La Consolata. Una institución que

está direccionada a mejorar constantemente las didácticas y las prácticas pedagógicas y, cuyo

objetivo va encaminado primeramente a reconocer al educando como un ser holístico;

comprendiendo a su vez, que necesita transformarse para modificar positivamente su entorno y

aportar valorativamente a la sociedad. Seres integrales, con valores y principios, quienes a través

de un crecimiento cognitivo y formativo en criticidad; sean los portadores de un mundo justo,

pacífico, incluyente y feliz.

Es así, como el paso de la trigonometría por las aulas de esta institución, en que se encuentra el

objeto de estudio del presente trabajo investigativo comienza a tener impacto. En el año 2012, se

tuvo la primera experiencia con dicha disciplina en grado décimo, esta fue guiada por la docente

Marta Lucía Muñoz, quien tiempo después abandonó la institución; lo que acarreó transformar el

currículo tomando como base las directrices estipuladas en los lineamientos y estándares creados

en la década de los 90. En este punto, se hace indispensable precisar la pedagogía implementada

en el colegio Gimnasio Campestre La Consolata en dicha época.

El punto de partida para el proceso de enseñanza de la trigonometría se rigió bajo la pedagogía

conceptual. Esta se divide en 4 fases que aborda todas las etapas que vive el estudiante en su paso


por la escuela, pues comprende unos niveles de pensamiento gradualizados, que según (Vigoya,

2013), se podrían definir como los siguientes:

Pensamiento Nocional: Surge entre los primeros años de vida, y se basa en el proceso que viven

los niños de reconocimiento del entorno por medio de los sentidos. Sin embargo, no logran tener

una definición o idea global de lo que están asimilando.

Pensamiento Proposicional: Aquí las nociones que se adquirieron, sirven para crear

proposiciones que llevan un mayor nivel de complejidad. Además de esto, en esta etapa los niños

logran crear frases con sentido y un valor de verdad.

Pensamiento conceptual: A partir del origen de las cosas, se definen y se conceptualizan dichas

proposiciones planteadas. Conocer el concepto, no es referirse sólo al objeto sino poder explicarlo,

analizarlo y comprenderlo.

Pensamiento Categorial: Este debe ser implementado en los grados décimo y undécimo por su

nivel de complejidad. Aquí es fundamental que el estudiante, prueba, respalde o argumente lo que

dice, además, de que derive aprendizajes significativos. Los pensamientos o ideas que plantee el

estudiante en esta fase, deben están fundamentadas en argumentos válidos y contundentes.

Y es precisamente este último pensamiento el que comprendía a la trigonometría, por eso su

enseñanza en la institución estaba basada en el análisis de las funciones y en el desarrollo constante

del razonamiento como competencia, adaptado a los pensamientos métrico y espacial.

5.2. Problemas en contexto

El desarrollo del planteamiento y resolución de problemas como competencia, es un proceso

general del área. Sin embargo, es una de las más complejas de lograr interiorizar en los estudiantes.

Ahora, según lo estipulado en los lineamientos curriculares (MEN, 1998), esta habilidad le permite


al estudiante relacionar los conocimientos específicos del área con su contexto y, por lo tanto, darle

más sentido y especialmente más aplicación a la matemática. Y es precisamente por esto, que en

este trabajo se abordan problemas de medición de distancias y alturas, mediante la concepción de

leyes de senos y cosenos, con diferentes enfoques.

5.3. Base Orientadora de la Acción (BOA)

Conjunto de actividades que se desarrollan desde lo general, hacia lo específico, teniendo un

objetivo claro por cumplir. Toda acción tiene un conjunto de pasos para su cumplimiento, además,

está acompañado por invariantes que guían el desarrollo. Este proceso tiene tres fases

fundamentales: la orientadora, la ejecutiva y la de control. En la primera se indica cual es el

objetivo y las acciones necesarias para cumplirlo. En la segunda se ejecutan dichas acciones

dirigidas por los métodos planteados en la parte anterior. En la última, es preciso indicar algunas

transformaciones necesarias para mejorar el proceso y se concluye a partir de las funciones ya

realizadas.

5.4. Proceso de Enseñanza Aprendizaje (PEA)

Para definir este proceso, es necesario reflexionar acerca de que tan posible es enseñar y

aprender de forma consecutiva. Según (Lopes & Cáceres Mesa) existen múltiples trabajos que

describen los objetivos del procesos de enseñanza aprendizaje, estos se enfocan en lo que

determina el plan de estudios, de asignatura y de clase. Dichos objetivos han sido trabajados por

profesionales de la psicología, los cuales han llegado a la conclusión que se necesita una

especificidad de los mismos a través del conductismo y neoconductismo. De esto, se llegó a la

conclusión de que debía existir una relación muy estrecha entre los propósitos y los resultados en


el momento de aprendizaje escolar. Sin embargo, estos objetivos se pueden ir transformando sobre

la marcha con el propósito de llegar a mejores resultados de los esperados inicialmente.

5.5. Proceso Docente Educativo (PDE)

Es un proceso que contiene todos los componentes que aporta el docente para conformar el

proceso de enseñanza aprendizaje en los estudiantes. Estos componentes, deben estar basados en

satisfacer las necesidades de los educandos, en lo que características de los educandos y contexto

social se refiere. El docente debe lograr formar seres integrales y buenos ciudadanos para el país,

en particular para las nuevas generaciones.

Para lograr este objetivo, el estudiante debe formar su pensamiento, para resolver problemas

específicos mediante el dominio de una rama del saber. Esto con el acompañamiento del docente

quien debe mantener la estructura de la componente, basada en el pensamiento lógico para

construir conocimiento, evaluación y rectificación de resultados. (De Zayas, 1994)

6. Metodología

6.1. Tipo de trabajo

Este estudio se realizará en el Gimnasio Campestre La Consolata y la población que nos servirá

para enfocar la aplicación de las estrategias didácticas propuestas en el trabajo de investigación,

serán los alumnos de secundaria.

Dicha investigación se llevará a cabo con el enfoque Histórico Cultural de la Enseñanza y el

Aprendizaje, la teoría de Formación por Etapas de las acciones mentales (teoría de la actividad) y

el sistema de tareas. Estas herramientas se desarrollarán desde un enfoque básicamente cualitativo,

con estadística descriptiva y con algunas mediciones que conlleven a permear a su vez las

estrategias con un diseño de investigación – acción participativa, pues por medio de prácticas se

obtendrán diferentes conclusiones acerca de los resultados.

6.2. Variables De Estudio

6.2.1. Dimensión instructiva:

Las siguientes referencias se definirán a partir de la independencia con la que el estudiante logra

plantear y resolver problemas de manera asertiva.

Excelente: Plantea y resuelve problemas de manera independiente. Identifica fácilmente el

objetivo del problema, define su estrategia de solución, analizando los contextos y las hipótesis

que posee, además, argumenta, reflexiona y comunica conclusiones acerca de la solución.

Bueno: Requiere herramientas como apuntes, con la intención de identificar semejanzas con

problemas resueltos anteriormente, para así, realizar un paso a paso de forma consciente y verificar

una respuesta apropiada, aunque no inmediata.


Regular: Solicita acompañamiento para el reconocimiento de las hipótesis y la elección de una

solución adecuada. Con el fin de aplicar únicamente la ejercitación mecánica de los

procedimientos, sin realizar el análisis de la situación en algún momento.

Deficiente: No dispone de elementos ni los conocimientos necesarios para comprender la

situación que se describe en el problema. Su nivel de dependencia es total, pues requiere

acompañamiento para resolver problemas e incluso ejercicios simples.

6.2.2. Dimensión educativa:

SOLIDARIDAD

Las definiciones del perfil de estudiante solidario se tomaron de lo descrito en el periódico el

tiempo en la enciclopedia de valores. (Gomez, 2002).

RAE: (del latín solidas). Adhesión circunstancial a la causa o a la empresa de otros.

Referencias:

Excelente: Se une a las personas para colaborar, con el fin de conseguir un bien común. Es

entusiasta, leal, generoso, compasivo, fraternal, persigue las causas nobles y justas. Asume grandes

desafíos sin temor y siempre con el objetivo de aportar a otras personas.

Bueno: Es una persona interesada por brindar ayuda, sin embargo, espera algo a cambio sin

manifestarlo. Se preocupa por el bienestar de sus semejantes, siempre y cuando se mantenga en un

nivel superior a ellos.

Deficiente: Es una persona negligente, egoísta, codiciosa, mezquina, indiferente a las

necesidades de sus semejantes, apática a brindar apoyo a las personas que lo rodean. Se niega a

colaborar de manera desinteresada. Es individualista y no comparte sus logros con sus compañeros.

Insensible a las penalidades de otros y apático a hacer algo para aliviarlas.

6. Metodología 25

RESPONSABILIDAD

Las definiciones del perfil de estudiante responsable se tomaron de lo descrito en el periódico

el tiempo en la enciclopedia de valores. (Gomez, 2002).

RAE: (del latín respondere, responder). Obligación de responder por los propios actos.

Cargo u obligación moral que resulta para uno del posible yerro (equivocación pecado) en cosa

o asunto determinado.

Referencias:

Excelente: Es consciente de las consecuencias que se presentan a través de todo lo que hace o

deja de hacer. Lleva a cabo sus tareas con diligencia, seriedad, prudencia, y puntualidad, además,

saca el mayor provecho de ellas. Es juicioso, cumplido, reflexivo, que genera confianza y

tranquilidad entre las personas que lo rodean

Bueno: Es una persona que cumple con sus labores a medias, se conforma con resultados

básicos y realiza las tareas sin el propósito de aprender ni aportar. Es una persona que presenta

excusas para no ejecutar sus deberes a tiempo.

Deficiente: Incumple con sus deberes o los abandona sin dar explicación alguna.

No presta importancia a las cosas ni asume las consecuencias de sus actos. Una persona

irresponsable pocas veces termina lo que empieza o le pone el mínimo empeño y realiza sus labores

de manera mediocre. Se caracteriza por ser negligente, frívolo, torpe, inconsciente, entre otros.

TOLERANCIA

Las definiciones del perfil de estudiante tolerante se tomaron de lo descrito en el periódico el

tiempo en la enciclopedia de valores. (Gomez, El libro de los valores, 2002).


RAE: (del latín tolerantia) acción y efecto de tolerar.

Respeto o consideración hacia las opiniones o prácticas de los demás, aunque sean diferentes

de las nuestras.

Referencias:

Excelente: Reconoce a sus compañeros como seres humanos que merecen respeto por su

individualidad y su diferencia (raza, cultura, clase social, otra).

Opta por el dialogo para solucionar los conflictos. Se pone en el lugar del otro para comprender

su manera de actuar.

Bueno: Respeta opiniones o culturas diferentes. Sin embargo, evita permanecer en un entorno

formado por personas no semejantes, en pensamiento, prácticas o características físicas.

Deficiente: Impone su voluntad o incluso reacciona con agresividad ante opiniones contrarias

a la suya. Considera distintos o inferiores a aquellos que tienen pensamientos o comportamientos

diferentes a los suyos.

6.2.3. Dimensión desarrolladora.

Aquí se realiza una descripción del perfil del estudiante de acuerdo al nivel de desarrollo

integral, en el cual, se encuentre. La definición de los mismos se describe a continuación:

Excelente: Desarrolla competencias mediante la interiorización de temas abordados en el

entorno académico para la realización de sí mismos en contextos específicos, integrando el proceso

de aprendizaje a su vida cotidiana.

Bueno: Maneja algunas competencias que le permiten comprender la importancia de los temas

abordados para la autorrealización de sí mismos.

6. Metodología 27

Regular: Interpreta competencias de manera superficial que le permiten acercarse a los temas

abordados, sin adecuar de manera consciente los conceptos abordados a la realización personal y

a una comprensión integral de la realidad.

Deficiente: Desconoce las competencias trabajadas en los temas abordados y el concepto de

desarrollo de sí mismo que lo llevan a adecuar la trigonometría y la vida cotidiana como escenario

de crecimiento de sí mismo y realización personal.

6.3. Etapa De Formación Para Realizar Una Base Orientadora De La Acción

Se requiere determinar el nivel que tienen los estudiantes para empezar el proceso de

investigación mediante un pre test, se medirán los pre saberes básicos que requieren los alumnos

para ingresar al objeto de estudio.

Las definiciones descritas a continuación tienen apoyo de (De Zayas, 1994) y (Solovieva, 2019)

Etapa de motivación y exposición.

Es la co-estructuración de la información necesaria. El docente brinda herramientas como.

Definiciones, explicaciones y en general conocimientos propios del contenido o aprendizaje a

estudiar. En esta etapa se marcan conceptos previos invariantes que guiarán el desarrollo de los

instrumentos.

Etapa concreta.

En esta etapa se pone en práctica la elaboración, comparación, y ejercitación de procedimientos.

Esta competencia permite ejecutar e interiorizar los conocimientos expuestos a partir de

ejercicios representativos. Para el desarrollo de dichos ejercicios es importante aplicar la invariante

ya mencionada.


Etapa verbal externa.

Aquí es importante que el estudiante recurra a apuntes o libros para realizar ejercicios y

problemas de un nivel más avanzado. En esta parte es importante que se realice una socialización

de dichos ejercicios, con el objetivo de aclarar dudas y permitir un avance significativo en el

proceso.

Etapa verbal interna.

En esta parte del proceso, el nivel de independencia de los alumnos debe haber avanzado de

manera significativa, con el fin de que los alumnos puedan realizar actividades de aplicación a la

vida real y además se encuentren en la capacidad de demostrar su aprendizaje, por medio del

planteamiento de problemas a partir de contextos reales.

Etapa mental.

En esta etapa se pretende que los objetivos propuestos en el estudio ya se hayan alcanzado.

Aquí los estudiantes ya están en la capacidad de presentar un postest, que tiene el objetivo de medir

los conocimientos alcanzados.

6.4. Instrumentos metodológicos

En las etapas verbal externa y verbal interna, se llevará a cabo la ejecución del trabajo a través

de los siguientes instrumentos que se ejecutarán en su orden:

Pre test. Se aplicó una guía como taller inicial diseñada específicamente para hacer un sondeo

y analizar las bases matemáticas que se requieren para el desarrollo de la investigación.

Posteriormente, la docente reforzará conceptos sobre semejanza y congruencia de triángulos,

6. Metodología 29

además, sobre regla de tres simple, la cual es fundamental para este estudio con el fin de que el

estudiante tenga herramientas para contextualizar lo teórico y aplicarlo en la solución de problemas

Guías de afianzamiento. Una vez, los conceptos básicos acerca de la ley de senos y cosenos

se ha compartido con los estudiantes, se desarrollan una serie de guías, que pretenden implementar

tanto ejercitación de procedimientos como el planteamiento y resolución de problemas. Este

proceso tiene dos fases determinantes para la investigación, que son el desarrollo de guías donde

se aplican los conceptos, y la aplicación de los aprendizajes en prácticas de la vida real. Dentro de

estas guías que comprenden la fase uno, se encuentran:

Guía ley de senos: Esta guía pretende la apropiación de la semejanza y congruencia de

triángulos, pero ahora con funciones trigonométricas, además, se buscó que los alumnos

encontraran la relación de la regla de tres simple con la ley del seno.

Guía ley de cosenos: Esta guía busca que el estudiante infiera las respuestas a partir de

la lógica, o lo requisitos básicos que requieren contextos como distancia, tiempo, entre

otros.

Guía ley de senos y cosenos: Aquí, lo más relevante es que estudiante identifique los

datos, para decidir los momentos apropiados en donde se debe usar cada una de las

leyes. Por otro lado, se pretende que el alumno empiece a plantear problemas, esta vez,

guiándose de los ya planteados en el mismo taller.

Guía resolución de triángulos rectángulos: Este taller tiene el objetivo de mostrar a

la resolución de triángulos rectángulos, como un caso específico de las leyes de senos y

cosenos, pero además, como una alternativa, que aunque es un poco más extensa,

permite solucionar cualquier tipo de triángulo, expresándolo como varios rectángulos.


Guía planteamiento de problemas: Esta guía pretende que los alumnos planteen

problemas que requiera de la resolución de triángulos a partir de una lectura enfocada

en un contexto real, específicamente, la construcción de puentes atirantados. Además,

también se requiere de una buena comprensión de lectura, para desarrollar el taller de

manera exitosa.

La segunda fase de la investigación se vio enfocada en el trabajo colaborativo, con la intención

de que los alumnos encontraran la relación de la topografía y otras disciplinas con las leyes de

senos y cosenos. Para lograr esto se aplicó una guía donde se especificaron los objetivos de las

actividades prácticas y los materiales requeridos para ellas. Dichas actividades fueron adaptadas

a la realidad de la institución, pero incentivadas por (Ricaurte, 2015). Además se asignaron roles

dentro de los grupos de trabajo cooperativo, con el fin de que todo participaran desde la facultad

con la que más se identificaran.

Durante el desarrollo de las guías de afianzamiento la docente muestra de manera general a sus

estudiantes las distintas maneras en las que las leyes para solucionar triángulos, son relevantes en

la solución de problemas de diferentes contextos. Para este proceso se habilitan monitores dentro

del aula que servirán de apoyo para el avance significativo de las guías.

Post test. En esta guía encontrará problemas con mayor nivel de complejidad, entre los cuales

deberá solucionar problemas que requieran leyes de senos y cosenos o razones trigonométricas,

sin embargo, el estudiante, de manera individual, tiene la tarea de identificar cual es el

procedimiento apropiado a seguir.

6. Metodología 31

6.5. Población y muestra

Este trabajo se realizará en la Institución educativa Gimnasio Campestre La Consolata, ubicada

en la ciudad de Manizales, de carácter privado y sector urbano. La población la cual está dirigida

este estudio, corresponde a los 38 estudiantes matriculados en grado décimo de la mencionada

institución, que a su vez están organizados en dos cursos: 10°A y 10°B. La muestra es la misma

población, integrada por 16 mujeres y 22 hombres de edades entre los 15 y 17 años.

Cabe resaltar que la población descrita está ubicada en un estrato social alto, jóvenes que

permanecen la mayor parte del tiempo integrados al proceso escolar, la socialización con sus

familias se da en espacios cortos debido a las ocupaciones que tienen sus padres. Jóvenes que en

espacios extraescolares continúan en formación deportiva o artística aproximadamente en un 40%,

mientras el otro porcentaje llegan a preparar sus deberes de manera autónoma normalmente.

Es importante nombrar que la población a la cual va dirigida la investigación, presenta un bajo

nivel en procesos de comprensión, son jóvenes con características literales, que no suelen ir a

fondo en sus actividades, son conformistas, dificultándose responder a procesos de criticidad e

intertextualidad.

6.6. Fuentes de información

La principal fuente información de este trabajo será por parte de los estudiantes, producto del

desarrollo de cada una de las guías, además, las conclusiones que ellos plantean a partir de la

observación directa, activa, reflexiva y argumentativa. Por otro lado, la interacción entre

estudiantes y el acompañamiento de la docente permite aportar a los resultados del estudio.


6.7. Hipótesis

A partir de lo consignado en los antecedentes de este trabajo y de lo observado en el colegio se

plantearán unas hipótesis que guiarán al camino correcto, que debe tomarse para abordar esta

investigación. Las hipótesis hasta ahora son:

El ser humano tiene a su alcance conceptos que no han sido aprendidos de manera

formal, sino entendidos a través del contacto y uso con las demás personas; en la

observación de las cualidades y características de las formas en la instrucción

anteriormente recibida, que no han sido ordenadas hasta el momento. Ello resulta

perfectamente consecuente e hilado con el enfoque histórico cultural y la teoría de la

actividad de que se habla), ciertos conocimientos geométricos ya que se está inmerso en

un mundo pletórico de trigonometría.

La trigonometría desarrolla todas las competencias matemáticas, estas son: el

razonamiento, el planteamiento y resolución de problemas, la comunicación, la

modelación y la ejercitación.

6.8. Experimentación:

La experimentación más que puntual fue continua ya que seguía las etapas definidas en la BOA,

para cada uno de los temas cuando estos aparecían.

7. Resultados y discusión

7.1. Análisis de los resultados

El análisis de los resultados obtenidos del proceso de intervención de aula con los estudiantes

durante la solución de las guías se realizará de la siguiente manera:

La guía que actúa como prueba diagnóstica (pre test), se utiliza en general para identificar las

fortalezas y las debilidades de los estudiantes frente al uso y la aplicación de las leyes de solución

de triángulos en diferentes contextos, esta medición se realiza por medio de la resolución de

problemas basados en semejanza de triángulos, suma de ángulos internos de triángulos y

cuadriláteros, equivalencia de ángulos en sistema sexagesimal y sistema de radianes. A diferencia

de las guías de afianzamiento y pos test que se estudiarán teniendo en cuenta los procesos inmersos

en cada uno de los contextos de los problemas resueltos, además de las evidencias de aprendizaje,

que serán objetivo pedagógico del estudio. Dichas evidencias se describen a continuación:

Diferencia los distintos tipos de triángulos, así como conoce las principales propiedades

de sus ángulos y lados.

Aplica el teorema de Pitágoras para resolver triángulos rectángulos.

Reconoce la razón como una comparación entre los comportamientos de las variables

identificadas.

Plantea equivalencias a partir de razones.

Confía en sus propias capacidades para resolver problemas trigonométricos.

Desarrolla la capacidad de explorar e investigar en la resolución de problemas.

Nombra de manera adecuada los lados y los ángulos de un triángulo, a partir de su

relación

Comprende cuando se puede aplicar ley de senos y cósenos.


Aplica la trigonometría en la solución de problemas contextualizados que involucran

triángulos rectángulos y no rectángulos.

7.2. Observación

Aquí se analizará el comportamiento de los estudiantes en el momento de ejecutar tareas

propuestas por el profesor, con el objeto de aprender trigonometría. Su actitud frente a las prácticas

actuales. Se observará e indagará sobre cuán conformes están los estudiantes con las estrategias

utilizadas para el proceso de enseñanza – aprendizaje de la trigonometría en el colegio.

Además se hará un análisis de los resultados obtenidos en los últimos años para identificar los

puntos más débiles de los alumnos, en donde se deben enfocar las prácticas para fortalecer las

habilidades de mayor necesidad, sin dejar las otras a un lado.

Para llevar a cabo este estudio, los estudiantes realizaron 5 guías con una serie de problemas en

diferentes contextos, en los que plantearon diversas situaciones representadas por triángulos

rectángulos y oblicuángulos para encontrar las respectivas soluciones. A continuación, se

presentan los resultados obtenidos durante la ejecución de este trabajo en el siguiente orden:

resultados en el pre test, guías de afianzamiento (ley de senos, ley de cosenos, ley de senos y

cosenos, resolución de triángulos rectángulos, planteamiento de problemas) y pos test. Con el fin

de describir las fortalezas y debilidades individuales presentadas en el desarrollo de cada guía.

Estas guías, fueron realizadas bajo los parámetros y ejercicios planteados por: (Vega, 2016), (SM,

2019), (Janneth Carvajal Alvarado, 2016)

8. Referencias

Instructivo: Excelente (E), Bueno (B), Regular (R), Deficiente (D).

Educativo: Excelente (E), Bueno (B), Deficiente (D).

Desarrollador: Excelente (E), Bueno (B), Regular (R), Deficiente (D).

Tabla 1. Análisis individual Pre-test

Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento

E B R D E B D E B R D

Simón Ramírez Duque

Aldana Grisales, Santiago X X X

Betancourth Aguirre, Juan

Alejandro X X X

Calderon Ospina, Salomé X X X

De La Peña Ferreira, Daniel

Guillermo X X X

Duque Zuluaga, Sofía X X X

Gallego Giraldo, Sergio X X X

Giraldo Muñoz, Nicolás X X X

Grisales Cifuentes, Santiago X X X

Henao Villota, Laura Sofia X X X

Hoyos Muñoz, Federico X X X

Idárraga Cuervo, María José X X X

Jaramillo Giraldo, Valentina X X X

Lasso Legarda, Manuela X X X

Medina Castelblanco, Sara X X X

Montes López, Daniel X X X

Ochoa Muñoz, Santiago X X X

Patiño Paz, Juan David X X X

Ramírez Ramírez, Mateo X X X

Reyes Aguirre, Daniela X X X

Alarcon Quintero, Geronimo X X X

Castaño Sánchez, Juan Esteban X X X

Celis Mejia, Gabriela X X X

Duque Saldarriaga, Juanita X X X

Gallego Hoyos, Laura X X X

Giraldo Velasquez, Juan José X X X


Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento


Jaramillo Sierra, Felipe

López Camacho, Juanita X X X

López Uribe, Sara X X X

Marín García, Jacobo

Molina Cárdenas, Thomas X X X

Montes López, Camilo

Muñoz Giraldo, Samuel X X X

Orozco González, Juan

Sebastián X X X

Quintero Valencia, Silvana X X X

Valencia Díaz, Santiago X X X

Valencia González, Antonia X X X

Viña Guerrero, Oscar Andrés X X X

Tabla 2. PNI Pre-test.

POSITIVO NEGATIVO INTERESANTE

En 8 de 10 preguntas, más

del 70% de los estudiantes

obtuvieron la respuesta

correcta. De lo que

podemos concluir, que las

bases requeridas para la

investigación estaban bien

fundamentadas.

En el desarrollo se notó un

nivel de dependencia alto.

Es decir, para abordar la

mayoría de los problemas,

los estudiantes debieron

recurrir con frecuencia a las

instrucciones extras de la

docente.

A pesar de que la semejanza

de triángulos fue un

aprendizaje adquirido en

grado noveno, se notó un

buen manejo en la

aplicación de la propiedad

general de dicho contenido.

8. Referencias 37

Tabla 3. Análisis individual ley de senos

Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento


Simón Ramírez Duque X X X


Betancourth Aguirre, Juan Alejandro X X X


De La Peña Ferreira, Daniel Guillermo X X X






















Jaramillo Sierra, Felipe X X X



Marín García, Jacobo X X X


Montes López, Camilo X X X


Orozco González, Juan Sebastián X X X



Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento





Tabla 4. PNI - Ley de Senos


Esta guía fue un buen punto

de partida en la

investigación, pues los

estudiantes se

familiarizaron rápidamente

con la ley del seno. A pesar

de que los problemas

mostraban contextos

distintos, no generó mayor

dificultad la aplicación de la

ley.

En algunos casos, se

presentaron errores en el

manejo de la calculadora.

Normalmente, debían

comparar con sus

compañeros para verificar si

estaban ingresando los

datos de forma correcta.

A pesar de que la mayoría

de los estudiantes

resolvieron la guía en su

totalidad, esto llevó más

tiempo de lo esperado.

Inclusive, algunos de los

problemas llevaron más de

15 minutos en la solución.

8. Referencias 39

Tabla 5. Tabla de Análisis individual Ley de Cosenos.

Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento




































Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento







Tabla 6. PNI - Ley de Cosenos.


Los estudiantes asimilaron

fácilmente los casos en los

cuales se debían aplicar las

fórmulas de la ley del

coseno. Inclusive no se notó

dificultad en la solución de

la mayoría de problemas.

Más del 50% de los

estudiantes erraron en la

solución del problema 10.

Por lo tanto, el

razonamiento o análisis de

situaciones y el

planteamiento en este caso

de gráficos, se evidencia

hasta aquí, en un nivel

regular.

El desarrollo de la guía

llevó muy poco tiempo

comparado con la anterior.

Esto evidencia la

familiarización de los

estudiantes con la ley.

8. Referencias 41

Tabla 7. Análisis individual Ley de Senos y Cosenos.

Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento




































Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento







Tabla 8. PNI - Ley de Senos y Cosenos.


El gráfico generaba temor

en los estudiantes, pero a la

hora de abordar la solución

de los problemas, estos se

desenvolvieron con

seguridad y eficacia.

No se obtuvo un

planteamiento de problemas

que cumpliera con las

condiciones específicas que

se nombraron en el punto 4.

Según la investigación de la

docente y de los

estudiantes, el gráfico que

se evidencia en este tipo de

problemas donde se

combinan las dos leyes es el

mismo que se presenta en

los problemas 2 y 3

(simultaneidad en

aplicación de leyes de seno

y coseno). Esto sin importar

el contexto del cual se

hable.

8. Referencias 43

Tabla 9. Análisis individual Triángulos Rectángulos.

Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento




































Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento







Tabla 10. PNI - Triángulos Rectángulos.


Se notó el afianzamiento de

las leyes de senos y

cosenos, en la aplicación de

la resolución de triángulos

rectángulos como caso

particular. Los resultados

fueron mejor de lo

esperado, pues los

estudiantes se

desenvolvieron con

apropiación del tema y con

independencia.

La identificación de los

catetos opuesto y

adyacente, presentó

dificultades para algunos

estudiantes. Lo que llevo, a

tomar más tiempo en la

solución de la guía.

La herramienta didáctica

del “CO CA CO CA H H”

facilitó el proceso de

manera notoria, pues fue

una forma no sólo práctica

de afianzar la memoria, sino

también divertida y

agradable para los alumnos.

8. Referencias 45

Tabla 11. Análisis individual Planteamiento de Problemas.

Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento




































Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento







Tabla 12. PNI - Planteamiento de Problemas.


Encontrar contextos que

evidencian el contenido

visto, fue motivante para

los estudiantes. Esto mostró

otra forma de llegar a la

aplicación de los

conocimientos sin

necesidad de salir de aula

de clase.

En el planteamiento de

problemas, se notó más

confianza en los problemas

de triángulos rectángulos y

algunos estudiantes dejaron

de lado las otras leyes.

Los estudiantes se

mostraron realmente

interesados en la

construcción de puentes.

Algunos nombraron que

querían visitar los puentes

que habían encontrado de

esta forma, pues estaban en

países muy grandes y

desarrollados.

8. Referencias 47

Tabla 13. Análisis individual Actividades Prácticas.

Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento




































Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento







Tabla 14. PNI - Actividades Prácticas.


Fue gratificante ver como

disfrutaron los estudiantes

de las prácticas, además,

realizaron un excelente

trabajo en equipo con una

asignación de roles claros y

pertinentes.

El tiempo estipulado para

las actividades se tuvo que

ampliar, pues no se estimó

de manera correcta. Sim

embargo, es bueno aclarar

que el hecho de realizar

muchas actividades

prácticas para los temas en

general de la malla, impiden

un buen avance en la

misma.

Todos los estudiantes

tuvieron la oportunidad de

participar y aportar en las

actividades, inclusive

aquellos estudiantes con

capacidades especiales.

8. Referencias 49

Tabla 15. Análisis individual Post-test.

Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento




































Nombre

Instructivo

Planteamiento y

resolución de

problemas

Educativo

Solidaridad,

Tolerancia,

Responsabilidad

Desarrollador

Autoconocimiento







Tabla 16. PNI - Post-test.


Fue satisfactorio el hecho

de que los alumnos

interiorizaran las leyes a tal

punto de identificar

acertadamente los

momentos en los cuales se

debía aplicar cada ley.

Fue inesperado, el hecho de

que algunos estudiantes en

este punto del estudio,

todavía incurrieran en el

error de no verificar los

resultados, a pesar de que

fue una sugerencia

constante durante el

proceso.

Los estudiantes

identificaron la relación

directa entre las leyes de

resolución de triángulos y la

regla de tres simple. Los

que facilitó e hizo más

ameno el proceso. Es

importante que los alumnos

reconozcan que las bases

que conocen en grados

inferiores, son importantes

para el desarrollo de la

educación media e incluso

para la profesional,

dependiendo de su

preferencia.

9. Conclusiones y recomendaciones

9.1. Conclusiones

1. Confrontando los resultados entre Pre test y Pos test y observando los desarrollos

particulares de los estudiantes y los resultados mostrados en el proceso, se puede considerar

que se logró la meta consistente en:

Plantear y resolver problemas desde la identificación de datos a través del uso de conceptos

trigonométricos que permitan aplicar los conocimientos en situaciones reales.

Es de anotar que se establece como referente el grupo que cursó la asignatura en el año

2018; el cual fue trabajado, mediante la metodología tradicional. Sin ser directamente un

grupo control, si ofrece una referencia válida en tanto son alumnos con las mismas

características sociodemográficas, culturales y económicas.

2. Promover la incorporación de valores como la solidaridad, la tolerancia y la

responsabilidad, a través de las actividades programadas en la base orientadora de la acción,

que permitan fortalecer su formación holística.

Esta investigación trató de considerar especialmente los valores de solidaridad,

responsabilidad y tolerancia; sin menoscabo de los demás; el trabajo desarrollado mostró

que se consiguieron ampliamente como puede verse en la ruta de seguimiento en las guías.

3. En el proceso y mediante la metodología adoptada los estudiantes lograron interesarse en la

comprensión, aplicación y desarrollo de problemas que pueden ser adaptados a su realidad

y la de su entorno, cumpliéndose con ello el objetivo de:

Apostar por el desarrollo de competencias para su autorrealización, mediante la integración

de temas contextuales, empleando la autoevaluación y el conocimiento de la realidad como

estrategias que permitan usar la trigonometría a su integralidad.


4. Con lo anterior, podemos considerar que el objetivo general “Estructurar y aplicar una Base

orientadora de la acción que guíe el Proceso de Enseñanza Aprendizaje en la resolución de

triángulos, a partir de conceptos trigonométricos en el entorno.” se cumplió

satisfactoriamente teniendo como base que la invariante pedagógica utilizada consideró el

cambio en el orden de enseñanza de los temas.

9.2. Recomendaciones

Los resultados de este estudio, permiten realizar las siguientes recomendaciones para

investigaciones a futuro que sean semejantes.

Usar el apoyo de monitores internos que permitan fomentar más la solidaridad y la

tolerancia; además que impulsen el avance del proceso.

Aumentar la cantidad del tipo de problemas en el que se presentaron resultados

deficientes según la definición de las variables para reforzar el desarrollo de

competencias.

Promover la realización de más actividades prácticas donde se apliquen todas las leyes

de solución de triángulos, que permitan motivar a los educandos y generar aprendizajes

significativos.

Fortalecer en todas las clases de matemáticas desde la primaria, el planteamiento y la

resolución de problemas.

Contar con un grupo control para la investigación, que permita comparar resultados de

forma más acertada.

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Anexos

Anexo A. Resultados en el pre test

Se realizó una prueba tipo diagnóstica, conformada por 10 preguntas que tienen el objetivo de

analizar aquellos conocimientos previos fundamentales para el desarrollo de la investigación. En

dicha prueba, se evalúan conceptos básicos sobre ángulos, suma de ángulos interiores a una figura

geométrica y semejanza de triángulos. A continuación, se realiza una breve descripción de cada

pregunta.

1. La medida de un ángulo de un paralelogramo mostrado en la Figura 1 es A = 65°. Las

medidas de los ángulos restantes son:

a. B = 65°, C = 115°, D = 115°

b. B = 65°, C = 65°, D = 65°

c. B = 115°, C = 65°, D = 115°

d. B = 25°, C = 65°, D = 25°

Figura 1. Pregunta uno del Pre-Test

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR

Respuestas pregunta 1

Figura 2. Respuestas a pregunta uno del Pre-Test


Esta pregunta, pretende llevar al estudiante a identificar y aplicar propiedades básicas de los

ángulos internos de una figura de 4 lados. Además, de reconocer las características principales de

cuadriláteros fundamentales como el paralelogramo.

La respuesta correcta es la C.

Conclusión: un pequeño porcentaje de los alumnos, no se fijó en la ubicación de los ángulos,

sino, sólo en el valor.

2. Observa la Figura 4 y responde: El ∆ 𝑈𝑅𝑉 es isósceles con base 𝑈𝑉̅̅ ̅̅ . Si los ángulos

𝛼, 𝛽 y 𝛾 tienen la misma medida y 𝑚∡𝑅 = 30°,

¿cuál es el valor de la medida de los ángulos 𝛼, 𝛽 y

𝛾?

a. 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 25°

b. 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 75°

c. 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 15°

d. 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 30°

Figura 4. Pregunta dos del

Pre-Test

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%



Figura 3. Respuestas de la pregunta dos del Pre-test

Anexo A. Resultados en el pre-test 59

Esta pregunta se realizó con el objetivo de que el estudiante identifique los nombres y las

propiedades de los triángulos según sus lados, además, que maneje el concepto de la suma de los

ángulos interiores de un triángulo. También, se pretende que el estudiante tenga presente todos

aquellos datos suministrados en el ejercicio a la hora de realizarlo.

La respuesta correcta es la A

Conclusión: Algunos estudiantes olvidaron durante el proceso de solución de este punto, el

hecho de que el ángulo U, estaba dividido en tres partes iguales.

3. Laura mide los ángulos interiores de la cerca de su terreno mostrado en la Figura 5 y

obtiene las siguientes medidas:

9𝜋

20𝑟𝑎𝑑, 80° 𝑦 135°

Sin embargo, le faltó medir el último ángulo. ¿Cuánto mide ese ángulo en el sistema

sexagesimal?

a. 𝑋 = 80°

b. 𝑋 = 135°

c. 𝑋 = 81°

d. 𝑋 = 64°

En esta pregunta, se reitera la aplicación de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero.

Por otro lado, se busca que el estudiante plantee de manera correcta la conversión con la cual se

pasa del sistema circular al sistema sexagesimal.

La respuesta correcta es la D

Figura 5. Pregunta tres del Pre-test


Conclusión: Un gran porcentaje de los alumnos que tuvieron la respuesta correcta,

argumentaron que la D era la que más acercaba, pues asumían que sin hacer el procedimiento, el

ángulo en radianes no representaba una gran cantidad de grados.

4. En la Figura 5, ¿Cuál es la medida de los ángulos A, B, C y D en radianes?

a. 𝐴 =9𝜋

20𝑟𝑎𝑑, 𝐵 =

80𝜋

20, 𝐶 =

135𝜋

20, 𝐷 =

64𝜋

20

b. 𝐴 =9𝜋


80𝜋

360, 𝐶 =

135𝜋

360, 𝐷 =

64𝜋

360

c. 𝐴 =9𝜋

20𝑟𝑎𝑑, 𝐵 = 80𝜋, 𝐶 = 135𝜋, 𝐷 = 64𝜋

d. 𝐴 =9𝜋


4𝜋

9, 𝐶 =

3𝜋

4, 𝐷 =

16𝜋

45

En este punto, se pretende que el alumno realice las operaciones para convertir grados a radianes

de forma correcta. Con la realización de este procedimiento repetidas veces, se conseguirá que el

alumno interiorice las semejanzas y congruencias entre los dos sistemas de medida.


0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%



Figura 6. Respuestas de la pregunta tres del Pre-test


Conclusión: El pequeño porcentaje de estudiantes que no realizó este punto, fue porque lo dejó

para el final, pues en general, los alumnos asumieron muy bien la conversión en los sistemas de

medición angular.

5. Teniendo en cuenta que 𝑆𝑒𝑛 30° =1

2 y 𝐶𝑜𝑠 30° =

√3

2. ¿Cuál es la expresión que permite

hallar la hipotenusa de alguno de los triángulos exteriores a la región sombreada de la

Figura 8?

a. 1

2=

6

ℎ

b. √3

2=

6

ℎ

c. √3

2=

ℎ

6

d. 1

2=

ℎ

6

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%



Figura 7. Respuestas de la pregunta cuatro del Pre-test

Figura 8. Pregunta cinco del Pre-

test


Esta pregunta, busca la aplicación del teorema de Pitágoras a través del uso de las razones

trigonométricas, con el fin de identificar de manera correcta los lados de un triángulo rectángulo.

La respuesta correcta es la B

Conclusión: En este punto, se puede notar, que cierto porcentaje de alumnos evita enfrentarse

a problemas que no tienen una solución inmediata, pues se les dificulta analizar y comprender lo

que les están pidiendo.

6. A partir de la Figura 10 responda ¿Cuál es la expresión que permite hallar y?

a. 450

𝑦=

3500

2500+𝑦

b. 𝑦

450=

3500

2500+𝑦

c. 𝑦

2500+𝑦=

450

3500

d. 450

𝑦=

2500+𝑦

3500

0,00%

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50,00%

60,00%

70,00%

80,00%



Figura 9. Respuestas de la pregunta cinco del Pre-test

Figura 10. Pregunta seis del Pre-test


En esta pregunta, se aspira a que el alumno aplique uno de los criterios de semejanza de

triángulos aplicado a un contexto de la vida real.

La respuesta correcta es la C

Conclusión: Incluso asegurando que los estudiantes conocen y aplican la semejanza de

triángulos, aún se les dificulta plantearlo a partir de una gráfica, pues siguen acostumbrados a

procesos más planos.

7. ¿Cuál es la altura de la montaña, en la Figura 10?

a. 900 m

b. 257,7 m

c. 4155,19 m

d. 2150 m

Esta pregunta tiene la intención de que el estudiante interiorice la aplicabilidad tan frecuente

del teorema de Pitágoras, además de que se apropie de seguir los pasos indicados para realizar un

ejercicio, usando todas las herramientas que le ofrecen en el mismo.

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10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%



Figura 11. Respuestas de la pregunta seis del Pre-test



Conclusión: Así como las fracciones, en general los alumnos no se sienten cómodos trabajando

con raíces, esto los llevó a cometer errores en la aplicación de propiedades, llevándolos a una

respuesta incorrecta a algunos de ellos.

8. La forma más recomendable de sentarse frente al computador es esta mostrada en la

Figura 13. ¿A qué distancia horizontal del computador debe estar el ojo?

a. 33 cm

b. 110 cm

c. 36cm

d. 60 cm

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40,00%

50,00%

60,00%

70,00%



Figura 12. Respuestas de la pregunta siete del Pre-test

Figura 13. Pregunta ocho del Pre-test


En esta pregunta, además de que es importante que el estudiante aplique el concepto básico de

semejanza de triángulos, también se requiere que maneje propiedades generales de las operaciones

algebraicas.


Conclusión: El error que tuvieron los estudiantes fue el de no tener en cuenta que el 3 se debía

sumar en la respuesta, esto muestra que un gran porcentaje de los alumnos no verifican que sus

procesos sean apropiados.

9. Los lados de un triángulo escaleno miden 𝑎 = 6 𝑚, 𝑏 = 8 𝑚 y 𝑐 = 15 𝑚. ¿Cuánto

medirán los lados a’ y b’ de un triángulo semejante al primero, si su lado más largo

es 𝑐′ = 10 𝑚?

a. 𝑎′ = 4 𝑚 𝑦 𝑏′ = 3 𝑚

b. 𝑎′ = 2,5 𝑚 𝑦 𝑏′ = 4,5 𝑚

c. 𝑎′ = 4 𝑚 𝑦 𝑏′ = 5, 3 𝑚

d. 𝑎′ = 5 𝑚 𝑦 𝑏′ = 3, 3 𝑚

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%



Figura 14. Respuestas de la pregunta ocho del Pre-test

En este punto, se requiere que le estudiante aplique el concepto general de semejanza de

triángulos para buscar una incógnita, con el objetivo de que realice despejes básicos.


Conclusión: Los estudiantes que erraron en este punto, en su afán por terminar pronto,

asumieron que al hacer el procedimiento del lado c y el lado a, ya no era necesario hacer un

tercero, pues no observaron que la opción c, presentaba las mismas respuestas para esos lados.

10. A partir del triángulo mostrado en la Figura 16, indica cuál es la medida de los ángulos

A, B y C.

a. A = 65°, B = 58°, C = 57°

b. B = 65°, A = 58°, C = 57°

c. B = 65°, C = 58°, A = 57°

d. C = 65°, A = 58°, B = 57°

0,00%

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40,00%

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70,00%



Figura 15. Respuestas de la pregunta nueve del Pre-test

Figura 16. Pregunta 10

del Pre-test


Para esta pregunta, se pretende que el alumno asimile fácilmente la forma en la que se deben

organizar los ángulos y los lados de un triángulo, con el fin de que se faciliten ejercicios posteriores

La opción correcta es la D

Conclusión: El error se encontró en que los alumnos que tomaron la opción A, solo se fijaron

en la ubicación del ángulo A, y no verificaron los ángulos restantes. Hubo, también 2 estudiantes

que no realizaron el punto. Estos argumentan que no les alcanzo el tiempo, de lo que deducimos

que tampoco revisan los ejercicios de la guía antes de empezar a resolverlos, porque seguramente

de haberlo hecho, este debía haber sido de los primeros en resolver, por su baja complejidad.

0,00%

10,00%

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30,00%

40,00%

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60,00%



Figura 17. Respuestas de pregunta 10 del Pre-test

Anexo B. Resultados en la guía “ley de senos” 69

Anexo B. Resultados en la guía “ley de senos”:

1. Teniendo en cuenta los datos conocidos en la Figura 18. Si se quiere resolver dicho

triángulo, ¿cuál de las siguientes opciones es correcta?

a. Usar ley del seno, pues se tiene AAL

b. Usar ley del seno, pues se tiene ALA

c. Usar la razón del coseno, pues se conoce el cateto adyacente y la hipotenusa

d. Usar teorema de pitágoras, pues se conocen dos catetos y se debe hallar la

hipotenusa.

Este punto pretende que el estudiante identifique las condiciones necesarias para usar ley de

senos en el momento de resolver un triángulo. Además, aquí es importante que el alumno

diferencie entre las leyes para aplicar en los triángulos rectángulos (teorema de pitágoras) y en los

oblicuángulos (ley del seno para este caso).

La respuesta correcta es la A.

Conclusión: Los alumnos ya manejan el concepto de ubicación de lados y ángulos, lo que

facilitó el proceso en esta pregunta.

Figura 18. Punto uno de la guía "ley de senos".


2. De la Figura 18, la medida del lado c es:

a. 7,67

b. 8,12

c. 6,25

d. 7,34

Teniendo en cuenta, que están determinados los valores de dos ángulos y un lado opuesto a uno

de ellos, se pretende que el alumno aplique de manera correcta la ley del seno para hallar el valor

requerido. Sin embargo, es importante que el estudiante realice el despeje apropiadamente y haga

un buen uso de la calculadora.


Conclusión: Los estudiantes siguen mostrando buenos resultados en la ejercitación de

procedimientos.

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 19. Respuestas de pregunta uno de la guía "ley de senos".


3. En el triángulo mostrado en la Figura 21, ¿cuál es el valor de los lados 𝑥 y 𝑦?

a. 𝑥 = 60 ; 𝑦 = 30

b. 𝑥 = 2,56 ; 𝑦 = 1,4641

c. 𝑥 = 105 ; 𝑦 = 30

d. 𝑥 = 5,4641 ; 𝑦 = 6,6921

En este ejercicio, es necesario que el estudiante identifique las herramientas disponibles y

busque lo faltante con ayuda de conocimientos previos. Para encontrar los ángulos restantes debe

usar los ángulos suplementarios y recurrir al hecho de que los ángulos internos de un triángulo

deben sumar 180°. Después de obtener los datos suficientes para aplicar la ley de senos, el alumno

podrá continuar con la solución del triángulo como en el ejercicio anterior.

0,00%

20,00%

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100,00%

120,00%



Figura 20. Respuestas punto dos de la guía "ley de senos".

Figura 21. Punto tres de la guía "ley de senos".



Conclusión: Los estudiantes le dan el uso apropiado a las propiedades de ángulos,

complementarios y suplementarios.

4. En el siguiente triángulo mostrado en la figura 10 de lados a = 8cm y b = 7cm. Calcular

cuánto mide aproximadamente el ángulo 𝛽 sabiendo que el ángulo α mide 45°

a. 𝛽 = 45°

b. 𝛽 = 38°

c. 𝛽 = 105°

d. 𝛽 = 28°

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Figura 22. Respuestas punto tres de la guía "ley de senos".

Figura 23. Punto cuatro de la guía

"ley de senos".


Este ejercicio tiene el propósito de que el alumno recurra a la composición de una función con

su inversa para poder encontrar el ángulo requerido. El despeje se realiza de forma similar a los

ejercicios anteriores, sin embargo, para solucionar el ejercicio es importante que el alumno tenga

en cuenta que el primer despeje no debe darle un resultado menor a -1, ni mayor a 1, debido a que

este no puede salirse del rango de la función inversa.


Conclusión: Sólo un estudiante tuvo problemas con este ejercicio, pues asumió erróneamente

que el triángulo era rectángulo.

5. Andrés quiere atravesar el lago mostrado en la Figura 25 pero antes desea saber que

distancia debe recorrer para preparar todo lo necesario. A partir de los datos

suministrados en la imagen. ¿Cuál es la distancia entre las orillas?

0,00%

20,00%

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120,00%



Figura 24. Respuestas punto cuatro de la guía "ley de senos".


a. 350 m

b. 300 m

c. 257,89 m

d. 341,1808 m

Para este punto, ya pasamos a una etapa donde el estudiante necesita comparar los datos que le

proveen en una situación determinada y seguir los pasos para resolver un problema, analizando lo

que ya está determinado y lo que está por determinar, para al final resolver el problema de forma

simple usando la suma de ángulos interiores de un triángulo y la ley de seno para hallar un lado

del mismo.

La respuesta correcta es la D.

Conclusión: Los estudiantes logran plantear la ley del seno de manera correcta a partir de un

contexto sencillo.

Figura 25. Punto cinco de la guía "ley de senos"

0,00%

20,00%

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80,00%

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120,00%



Figura 26. Respuestas punto cinco de la guía "ley de senos".


RESPONDE LAS PREGUNTAS 6 Y 7 A PARTIR DEL SIGUIENTE PROBLEMA

Un automóvil viaja a lo largo de una carretera durante 160km hacia el este, luego viaja 160km

en otra carretera en dirección noreste. Teniendo en cuenta que las dos carreteras forman un ángulo

120° y la carretera final con el punto inicial forman un ángulo de 30°

6. Un gráfico que representa la situación anterior es:

a.

b.

c.

d.


7. ¿Qué tan lejos está de su posición de partida?

a. 305.6789 km

b. 160 km

c. 120 km

d. 277,1281 km

Las preguntas 6 y 7 tienen un propósito claro, además de aplicar la ley del seno. Aquí es

indispensable que el alumno manifieste sus conocimientos básicos en ubicación espacial, para

poder plantear un gráfico de manera correcta, pues, de esto depende el éxito en la respuesta a la

pregunta 7.

Las opciones correctas de respuestas de las preguntas 6 y 7 son la A y la D respectivamente.

Conclusión: Los estudiantes en esta parte, manifiestan un poco de dificultad a la hora de

abordar un problema donde no se les proporciona el gráfico, por eso, se deduce que los resultados

con porcentajes iguales en ambas preguntas son coherentes, pues si no logran plantear bien el

gráfico, difícilmente llegarán a una respuesta correcta.

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20,00%

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80,00%

100,00%

Opción

A

Opción

B

Opción

C

Opción

D

NS /

NR


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20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Opción

A

Opción

B

Opción

C

Opción

D

NS /

NR


Figura 27. Respuestas puntos seis y siete de la guía "ley de senos".


8. Sobre la costa se encuentran dos faros A y B en la línea norte – sur, separados una

distancia de 1200 m, como se muestra en la Figura 28. Desde un barco, el capitán

observa el faro A con un ángulo de 60°, respecto a la línea norte – sur y observa el faro

B con un ángulo de 45° respecto a la misma línea. ¿A qué distancia aproximadamente

se encuentra el barco de cada uno de los faros?

Tenga en cuenta que las rectas C-Norte y AB

son paralelas.

a. a = 2030 , b = 3056

b. a = 3278 , b = 4015

c. a = 4015 , b = 3278

d. a = 3056 , b = 2030

Para resolver este problema se requiere que el estudiante aplique conocimientos previos acerca

de rectas paralelas, pues es la herramienta para encontrar la medida del ángulo ∡𝐵, que será el

punto de partida para que pueda resolver dicho problema.


Figura 28. Punto ocho de la guía

"ley de senos".

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90,00%



Figura 29. Respuestas punto ocho de la guía "ley de senos".


Conclusión: Se encuentra que no hay un manejo total de las propiedades de rectas paralelas,

esto los lleva a abandonar la realización del ejercicio, o a hacer procedimientos sin coherencia.

9. Una resbaladilla mostrada en la Figura 30 tiene X pies de de longitud y 46° de

inclinación con respecto al suelo, si la escalera forma un ángulo de 64° con el suelo y

tiene una medida de 14 pies ¿cuál es la medida aproximada de la resbaladilla?

a. 16 m

b. 17,5 m

c. 12 m

d. 14 m

En este problema, es indispensable que el estudiante plantee un gráfico claro para poder usar

los datos que le proveen de forma correcta. En este tipo de problema, el hecho de tener una buena

ilustración, puede asegurar mejores resultados.

Figura 30. Punto nueve de la guía

"ley de senos".

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90,00%



Figura 31. Respuestas punto nueve de la guía "ley de senos".


La respuesta correcta es la B.

Conclusión: Algunos estudiantes optan por elegir la respuesta que más se acercaba, pues en el

planteamiento del gráfico cometieron un error al ubicar uno de los ángulos.

10. Dos postes de 5 m de altura, inicialmente eran paralelos y estaban separados a una cierta

distancia como se muestra en la Figura 32. Uno de ellos, al ser chocado, se inclinó un

ángulo de 30° respecto al eje vertical. Para sujetarlo se utiliza un cable de 50 m desde

el pie del poste recto hasta la punta del poste inclinado. Calcular el valor aproximado

del ángulo A que forma el cable con respecto al

suelo y la distancia entre los dos postes.

a. ∡𝐴 = 5 ; 𝑐 = 47,3

b. ∡𝐴 = 15 ; 𝑐 = 40

c. ∡𝐴 = 55 ; 𝑐 = 47,3

d. ∡𝐴 = 5 ; 𝑐 = 40

Para este problema es de vital importancia, que se realice un muy buen análisis de la

información para poder plantear el gráfico de forma adecuada. Además se requiere de la aplicación

de ángulos complementarios para encontrar la medida del ángulo en sentido horario que se genera

entre la horizontal y el poste que se inclina.

Figura 32. Punto 10 de la guía

"ley de senos".



Conclusión: El planteamiento gráfico de este problema fue de gran dificultad para los

estudiantes, lo que impidió un buen desarrollo del mismo.

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Figura 33. Respuestas de punto 10 de la guía "ley de senos".

Anexo C. Resultados en la guía “ley de cosenos” 81

Anexo C. Resultados en la guía “ley de cosenos”:

1. La ley del coseno se puede usar para encontrar la medida del lado faltante de un

triángulo, si se conoce L-A-L. Para llegar a esto, es necesario aplicar una raíz cuadrada

en el procedimiento. Teniendo en cuenta esto, ¿cuál es el signo de dicha raíz que se debe

tomar en cuenta y cuál es la razón de esto?

a. Se toma la raíz positiva, pues las raíces negativas no existen.

b. Se toma la raíz positiva, pues una longitud nunca puede ser negativa.

c. Se toma la raíz negativa, pues una longitud nunca puede ser positiva

d. Se toman ambas raíces, pues el signo es irrelevante

El propósito de este punto es que lo alumnos contextualicen las propiedades algebraicas en una

situación determinada, y lleguen a una interpretación acertada.


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90,00%

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Figura 34. Respuestas punto uno de la guía "ley de cosenos".


Conclusión: Debido a la falta de comprensión de lectura de los estudiantes y de el pequeño

vacío en el desarrollo de la comunicación en lenguaje matemático, los alumnos tienden a

confundirse en el significado de una raíz negativa.

2. ¿Cuál es la medida del lado restante del triángulo mostrado en la Figura 35?

a. 7,24

b. 6,36

c. 1

d. 11

En este punto se pretende que el estudiante ubique de manera

correcta los ángulos y los lados del triángulo, para así, aplicar de

manera correcta la ley del coseno.

Figura 35. Punto dos de

la guía "ley de

cosenos".

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 36. Respuestas punto dos de la guía "ley de cosenos".



Conclusión: Una vez mas los estudiantes confirman que la ejercitación de procedimientos, no

se les dificulta, mientras se proporcionen todos los datos.

3. Dos remolques están separados por 36metros y tiran de un contenedor. Sí la longitud de

uno de los cables es de 64m y la otra es de 69m. Para poder calcular los ángulos que se

forman entre ellos aplicamos:

a. Ley del seno, porque conocemos los tres lados.

b. Ley del coseno, porque conocemos dos lados.

c. Ley del seno, porque conocemos dos lados.

d. Ley del coseno, porque conocemos tres lados.

Este ejercicio pretende que el alumno identifique los casos en los cuales es posible aplicar la

ley del coseno para solucionar un triángulo oblicuángulo.


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Figura 37. Respuestas de punto tres de la guía "ley de cosenos".


Conclusión: Los estudiantes manifiestan que las respuestas A y C se descartan desde el inicio

y la interpretación de la lectura fue bastante sencilla.

En una construcción, dos vigas de 10m están soldadas por sus extremos y forman un triángulo

con otra viga de 15m.

4. ¿Cuál de los siguientes gráficos, representa la situación?

Este punto tiene el propósito de evaluar en el estudiante la capacidad de interpretar y representar

una situación por medio de un gráfico, con el fin de facilitar el desarrollo de un problema.


Conclusión: El estudiante que no contesto bien la pregunta, argumentó que le faltó observación

y concentración, ya que los demás aseguran que la complejidad del problema era mínimo.


5. En el anterior problema,¿Cuál es la medida aproximada de los ángulos que forman las

vigas entre sí?.

a. 60°, 60°, 60°

b. 40°, 40°, 100°

c. 98°, 98°, 41°

d. 41°, 41°, 98°

En este punto se pretende que el alumno infiera el proceso de solución al problema a partir de

la asimilación de que la figura forma un triángulo isósceles, para revisar cuales estudiantes lo usan

a favor o en contra.


Conclusión: en la solución de este problema se notó una mala aplicación de la clasificación de

los triángulos, pues aquellos que respondieron de manera errónea, mostraron que confundieron el

triángulo isósceles con un triángulo equilátero.

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Figura 38. Respuestas punto cuatro de la guía "ley de cosenos".


6. Una embarcación sale del puerto Sol hacia Platino, que está a 300 millas de distancia,

como se muestra en la Figura 40. Lleva una velocidad constante de 20 millas por hora,

pero debido a una corriente después de 3 horas la embarcación está fuera de curso 20°.

¿A qué distancia aproximadamente se encuentra la embarcación del puerto de Platino?

a. 244 millas

b. 60 millas

c. 312 millas

d. 144 millas

7. Dos balsas, A y C que se muestran en la Figura 41 y se mueven en línea recta desde el

punto B, de tal manera que la recta sobre la que se mueve la balsa C forma un ángulo

de 42° con la recta sobre la que se mueve la balsa A, cuya velocidad es el doble de la

balsa C. Determinar la distancia que los separa cuando la balsa C ha recorrido 1,5 km.

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Figura 39. Respuestas punto cinco de la guía "ley de cosenos".

Figura 40. Punto seis de la guía "ley de cosenos".


a. 3,18 km

b. 2,14 km

c. 3 km

d. 1,5 km

En los problemas 6 y 7 , es importante que el estudiante

infiera el dato faltante en las gráficas a partir de cada texto,

aplicando nociones básicas de velocidad, distancia y

tiempo, si se hace una buena comprensión lectora, el alumno podrá llegar al desarrollo de los

puntos, de lo contrario, no logrará iniciar el proceso.


Conclusión: los estudiantes que erraron en la respuesta, se caracterizan por ser aquellos que no

verfican los procesos, pues al encontrar en las opciones de respuesta el primer dato que hallaron,

determinaron que el procedimiento ya había acabado.

Figura 41. Punto siete de la guía

"ley de cosenos".

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90,00%



Figura 42. Respuestas punto seis de la guía "ley de cosenos".



Conclusión: En este problema ocurre algo muy similar al caso del problema 6, sin embargo,

aquí ocurre en un tercio del porcentaje del dicho punto.

8. El valor aproximado de las diagonales del siguiente trapecio cuadrilátero mostrado en

la Figura 44 son:

a. 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 56, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 50

b. 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 53, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 55

c. 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 45, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 55

d. 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 56, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 55

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Figura 43. Respuestas punto siete de la guía "ley de cosenos".

Figura 44. Punto ocho de la guía "ley de

cosenos".


Este problema pretende que el estudiante proponga una solución adecuada para este problema,

teniendo en cuenta que debe plantear dos figuras derivadas de la principal, a las cuales es posible

aplicarles la ley del coseno para encontrar las diagonales. Es importante que el alumno no plantee

el problema como triángulos rectángulos.


Conclusión: Debido a que el procedimiento para resolver este problema era extenso, algunos

estudiantes decidieron dejarlo para el final, por lo tanto, les faltó tiempo para solucionarlo.

9. El ∆𝐴𝐵𝐶 mostrado en la Figura 47 es isósceles, con 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ (≅: 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ). La

única expresión que no permite calcular la medida del lado 𝑏2 es:

a. 2𝑎2(1 − cos(𝐵)

b. 2𝑐2 − 2𝑐2 ∗ cos(𝐵)

c. 2𝑐2(1 − cos(𝐵)

d. 2𝑎 ∗ cos(𝐵)

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Figura 45. Respuestas punto ocho de la guía "ley de cosenos".


En este punto, se pretende que el estudiante tenga la experiencia de encontrar la respuesta

incorrecta, para desarrollar la capacidad de encontrar los errores. Además, se requiere que el

alumno infiera la solución aplicando el concepto básico de figuras congruentes, que será el paso

contundente para llegar a una conclusión verdadera.


Figura 47. Punto nueve de la guía

"ley de cosenos".

0,00%

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30,00%

40,00%

50,00%

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80,00%



Figura 46. Respuestas punto nueve de la guía "ley de cosenos".


Conclusión: Los alumnos en este problema argumentan que empezaron a descartar respuestas

con tal de llegar a la correcta, ya que no era muy claro para ellos cual era el procedimiento a seguir.

Las opciones A y C fueron descartadas inmediatamente debido a su forma tan similar, sin embargo

algunos escogieron la B, ya que no le veían mucho sentido.

10. ¿Es posible construir un triángulo ABC con medidas ∢𝐴 = 65,8°, 𝑏 = 13,5 𝑐𝑚 y 𝑐 =

4,3 𝑐𝑚?

a. No, pues no es posible hallar la raíz de un número negativo.

b. No, pues para hallar un ángulo en un triángulo, se necesitan la medida de los dos

restantes.

c. Si, porque conocemos datos suficientes con los que se aplica la ley del coseno

para hallar el lado restante y después los ángulos faltantes.

d. Si, pues el lado restante se halla con la suma de los dos lados conocidos, es

decir, la ley del coseno.

Este problema tiene el objetivo de que el estudiante realice el procedimiento, aún cuándo el

enunciado no se lo pide, pues esto, le permitirá llegar a una respuesta correcta. Además, se pretende

que el estudiante interiorice el hecho de que un triángulo no puede tener unas medidas

completamente arbitrarias.



Conclusión: Ya que el problema 9 requería de tiempo por su complejidad, algunos estudiantes

no alcanzaron a revisar el 10, por otro lado, estan aquellos que mal interpretaron la opción D, pues

la potencia de los lados en la fórmula del coseno.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%



Figura 48. Respuestas punto 10 de la guía "ley de cosenos".

Anexo D. Resultados en la guía “ley de senos y cosenos” 93

Anexo D. Resultados en la guía “ley de senos y cosenos”

1. Dos automóviles parten del mismo punto a las 8:00 a.m, en dos direcciones que forman un

ángulo de 45°. El automóvil A va a 60 km/h y el automóvil B lleva una velocidad de 40

km/h. si se desesa determinar qué distancia hay entre los dos automólviles cuando han

transcurrido 30 minutos, ¿Cuáles son la representación y la solución correctas?

En este punto se pretende que el estudiante infiera cual es gráfico que representa la situación

planteada correctamente y que a partir de los datos identifique si puede usar la ley del seno o ley

del coseno



Conclusión: La falta de interpretación del problema afectó, sin embargo, en un porcentaje bajo.

Dos alumnos se olvidaron del tiempo que transcurrió en el problema, por lo tanto, aun no se

interioriza de manera total la importancia de la comprensión de lectura.

2. Desde la playa de un río se quiere medir la distancia entre los puntos C y D situados en la

otra playa. Se toman cuatro puntos:A, B, C y D, como se muestra en la Figura 50. Si la

medida de los ángulos son 𝜃 = 106°, 𝛼 = 51°, 𝛾 = 119° 𝑦 𝛽 = 35°. ¿Cuál es la distancia

aproximada entre entre C y D?

a. 228 m

b. 55 m

c. 45 m

d. 251 m

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%



Figura 49. Respuestas punto uno, guía "ley de senos y cosenos".


Este problema tiene el objetivo de que el estudiante afiance los conocimientos en la resolución

de triángulos, resolviendo un problema que requiere la aplicación de las leyes del seno y del

coseno. Es importante que el alumno identifique datos que conoce para encontrar los momentos

en los cuáles debe aplicar cada ley. Además, debe hacer uso de las propiedades de ángulos

complementarios y suplementarios.


Conclusión: Los resultados reflejan un afianzamiento en la aplicación de las leyes de senos y

cosenos, pues se logra identificar los casos especificos en los cuales estas se deben usar.

Figura 50. Punto dos, guía "ley de senos y cosenos".

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 51. Respuestas punto dos, guía "ley de senos y cosenos".


3. Dos observadores desde puntos distintos, ven dos globos, que están en el mismo plano

vertical en el cual están ellos. La distancia entre los observadores es de 1 Km como lo

muestra la figura 21. ¿Cuál es la distancia BD aproximadamente entre los globos?

a. 3,6001 km

b. 0,6574 km

c. 1,7125 km

d. 1,8974 km

En este punto se requiere una interpretación muy similar a la del punto 2 por parte del

estudiantes. Sin embargo esta situación tiene algo particular y es el hecho de que muestra la

aplicación de la resolución de triángulos no sólo en el plano (X,Y) sino tambien en el espacio.


Figura 52. Punto tres, guía "leyes de senos y cosenos".

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%



Figura 53. Respuestas punto tres, guía "ley de senos y cosenos".


Conclusión: 3 de los estudiantes que participan en el estudio, no realizaron el problema. Sim

embargo, argumentan que no hicieron una buena organización de su tiempo. Pues en este problema

se encontraba una necesidad muy similar a la del punto 2, el cual manejaron muy bien.

4. En el problema 2, se muestra una situación desarrollada en el plano 2D, mientras en el punto

3, notamos que se hace uso del espacio 3D, pues se asume que los globos están en el aire.

De acuerdo con esto, plantee y resuelva dos problemas donde se evidencien situaciones

aplicadas en el espacio 3D. (Use datos de ángulos y lados diferentes a los problemas 2 y 3).

Una competencia fundamental para desarrollar en los alumnos es el planteamiento y resolución

de problemas, sin embargo, lograr esto tiene dificultades en la mayor parte de los estudiantes. Por

esto, este punto pretende que el alumno muestre el total afianzamiento del tema y muestre el nivel

en el cuál maneja esta competencia.

A continuación compartimos algunas de las respuestas de los estudiantes:

En la Figura 54 se logra notar que el estudiante plantea un gráfico semejante al de los puntos

2 y 3, y realiza los procedimientos de forma similar. De esto, podemos deducir que al alumno se

le dificulta plantear una situación donde se apliquen ambas leyes de resolución de triángulos

oblicuángulos. Esta situación, se notó en varios estudiantes del curso.


De otro lado, tenemos estas respuestas:

Figura 54. Problema 1 Ley de Senos y Cosenos

Figura 55. Problema 2 Ley de senos y cosenos


Conclusión: Estas respuestas evidencian, que para este momento del estudio la resolución de

problemas se encuentra en un nivel eficiente, sin embargo, el planteamiento de los mismos, es un

ámbito en el que no se desenvuelven totalmente. Se nota que se facilita el proceso cuando se trata

de redactar un problema donde se requiera el uso de alguna de las leyes, mas no ocurre lo mismo,

si se pide plantear uno donde se especifique el uso de ambas leyes de manera consecutiva.

Figura 56. Problema 3 Ley de senos y cosenos

Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos” 101

Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos”:

Para la solución de la presente guía, se aportó una herramienta que facilita el proceso de

memorización de las razones trigonométricas.

Esta herramienta consiste en escribir las siglas:

CO CA CO CA H H

En el orden descrito y viceversa, quedando de esta forma:

⇒ CO CA CO CA H H

H H CA CO CA CO ⇐

Quedando esto aclarado, continuamos a hacer el análisis de las respuestas:

1. Observe la siguiente Figura 57. La resolución del triángulo rectángulo equivale a los

siguientes valores:

a. a = 6,2 cm, b = 11,5 cm, β = 6,1°

b. a = 6,1 cm, b = 11,5 cm, β = 62°

c. a = 11,5 cm, b = 1,3 cm, β = 6,1°

d. a = 6,1 cm, b = 62 cm, β = 13°

Figura 57. Punto uno, guía "resolución de triángulos

rectángulos".


En este punto se espera que el estudiante aplique conceptos básicos de las razones

trigonométricas, identifcando los datos conocidos y los datos por conocer para usar las razones

adecuadas y así encontrar los lados faltantes, además, se debe aplicar la propiedad de la suma de

ángulos internos para encontrar los ángulos faltantes teniendo en cuenta que existe un ángulo recto.


Conclusión: En este punto, los estudiantes argumentan que después de conocer las razones

trigonométricas, solo es necesario realizar una buena aplicación de la regla de 3 y este es un

procedimiento de muy baja complejidad para ellos.

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%


Respuesta pregunta 1

Figura 58. Respuestas punto uno, guía "solución de triángulos

rectángulos".


2. Si la medida de los catetos es 12 m y 15 m, respectivamente, entonces la solución del

triángulo rectángulo XYZ mostrado en la Figura 59 es:

a. α = 39°, β = 51°, z = 19,2 cm

b. α = 68°, β = 12°, z = 27 cm

c. α = 19°, β = 71°, z = 51 cm

d. α = 0,8°, β = 51°, z = 27 cm

En este punto se evidencia el otro caso de resolución de triángulos rectángulos, en este se debe

hacer uso de la función inversa para encontrar un ángulo y aplicar suma de ángulos interiores para

encontrar los dos restantes, además, es preciso aplicar el teorema de pitágoras para hallar el valor

del lado faltante.


Figura 59. Punto dos, guía "resolución de triángulos

rectángulos".

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 60. Respuestas punto dos, guía "solución de triángulos

rectángulos".


Conclusión: El teorema de Pitágoras se ha venido interiorizando desde grado séptimo

aproximadamente, y su constante uso, ha permitido, que se aplique con facilidad en diferentes

contextos. Este caso no es la excepción, además, desde el aprendizaje de las leyes de senos y

cosenos, el procedimiento para obtener un ángulo, tampoco refleja mayor dificultad.

3. Observa la Figura 61. Luego, responde. ¿Cuál es el valor de x?

a. 4 cm

b. 5 cm

c. 6 cm

d. 8 cm

Este ejercicio pretende que el alumno, encuentre el lado

que se comparte en ambos triángulos usando el triángulo

inferior para encontrar el lado que se pide en el triángulo

superior.

Figura 61. Punto tres, guía "solución de

triángulos rectángulos".

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 62. Respuestas punto tres, guía "solución de triángulos

rectángulos".



Conclusión: Los estudiantes manifiestan que se sienten muy cómodos con la resolución de este

tipo de problemas, ya que con la herramienta manifestada al inicio se les facilita seguir con los

procedimientos de forma correcta.

4. Carlos quiere saber la medida del ancho de un río mostrado en la figura 25 sin tener que

desplazarse a la otra orilla, con ayuda de un hipsómetro con láser y ultrasónico determinó

que la medida del ángulo 𝛼 es 32,7°. ¿Cuánto mide el ancho del río aproximadamente?

a. 16 m

b. 32 m

c. 25 m

d. 47 m

Este problema pretende que el alumno identifique uno de los casos más simple de resolución

de triángulos rectángulo, pues allí se conoce un ángulo y un lado del mismo.


Figura 63. Punto cuatro, guía "solución de triángulos rectángulos".


Conclusión: Es la primera presentación de un problema contextualizado en la guía de

resolución de triángulos rectángulos, sin embargo, no se presentan dificultades en la resolución del

mismo.

5. Se va a excavar un túnel horizontal a través de una montaña de 300 m de altura como se

muestra en la Figura 65. Desde los puntos A y B de la entrada al túnel, se observa, con

respecto a la horizontal, la cima de la montaña con ángulos de 42° y 45°, respectivamente.

¿Qué ancho tendrá el túnel AB?

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 64. Respuestas punto cuatro, guía "solución de triángulos

rectángulos".


a. 333,18 m

b. 300 m

c. 600 m

d. 633,18 m

En este punto se muestra como la resolución de tríangulos rectángulos es un caso específico de

la resolución de triángulos en general, pues de un triángulo oblicuángulo se pueden obtener dos

triángulos rectángulos y así encontrar una solución simple.

La respuesta correta es la D

Figura 65. Punto cinco, guía "solución de triángulos

rectángulos".

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%



Figura 66. Respuestas punto cinco, guía "solución de triángulos

rectángulos".


Conclusión: Aquí se vuelve a presentar una dificultad de verificación de resultados, pues

algunos estudiantes se quedaron en la mitad de la solución del problema, debido a que encontraron

el primer resultado en las opciones de respuesta. Tambien, se evidencia falta de compresión de

lectura.

6. En un aeropuerto se transporta el equipaje en carritos especiales. Si Lorena debe ubicar su

equipo de fotografía en el espacio restante como se muestra la figura 27, ¿cuál es la longitud

con que cuenta Lorena para ubicar el equipo de

fotografía?

a. 62 cm

b. 50,5 cm

c. 31 cm

d. 29,4 cm

En este punto se debe plantear un ecuación de primer grado para despejar el espació faltante en

la hipotenusa del triángulo que se forma.

Figura 67. Punto seis, guía "solución de triángulos

rectángulos".



Conclusión: El planteamiento de ecuaciones ha presentado dificultades a la hora de interpretar

un problema, por lo tanto, se nota en este problema que los alumnos que erraron, decidieron poner

la respuesta que creyeron aproximada.

7. Desde la punta de un faro situado sobre un acantilado se observa un barco. La punta del faro

se encuentra a 87 m sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión es de 5° como se muestra

en la Figura 69. ¿A qué distancia se encuentra el barco de la base del acantilado?

a. x = 994,4 m

b. x = 87 m

c. x = 870 m

d. x = 1000,5 m

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%



Figura 68. Respuestas punto seis, guía "solución de triángulos

rectángulos".

Figura 69. Punto siete, guía "solución de triángulos rectángulos".


En este problema, la figura muestra la ubicación del ángulo de depresión de 5°, el cuál se repite

en B por la relación entre ángulos alternos internos entre rectas paralelas.


Conclusión: En este problema fue necesario, aplicar propiedades de paralelas, lo cual había

ocurrido en guías anteriores, con lo cual, se puede concluir que ya es un aprendizaje bien

desarrollado.

8. Un topógrafo observa con un teodolito la cima de un faro con un ángulo de elevación de

40° como lo muestra la Figura 71. Si el teodolito tiene una altura de 1,5 m y se encuentra a

12 m del faro, ¿cuál es la altura del faro?

a. 12 m

b. 10,07 m

c. 11,57 m

d. 13,5 m

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 70. Respuestas punto siete, guía "solución de triángulos

rectángulos".


En este problema, la línea visual del observador representa el ángulo de elevación, este muestra

el ángulo con respecto del cual se debe hallar la razón trigonométrica adecuada para hallar la altura

de la torre. Para el resultado final, se debe tener en cuenta sumar la altura del teodolito.


Figura 71. Punto ocho, guía "solución de triángulos rectángulos".

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 72. Respuestas punto ocho, guía "solución de triángulos

rectángulos".


Conclusión: En este problema, se evidencia un cambio en la tendencia, donde algunos alumnos

olvidaban las condiciones iniciales. Es por esto, que se logra un excelente resultado en la solución.

9. El copiloto del aeroplano representado en la

Figura 73 y que vuela a una altura de 8.000

m sobre el nivel del océano, descubre una

isla. Calcular el ancho aproximado de la

isla.

a. 6916 m

b. 10240 m

c. 2240 m

d. 8000 m Figura 73. Punto nueve, guía "solución de

triángulos rectángulos".


Para este problema es importante que el alumno ponga en práctica la herramienta de los ángulos

alternos internos de rectas paralelas. Además, se le proporciona al estudiante el segundo gráfico

que muestra la forma en la que debe plantear el gráfico para formar triángulos rectángulos.


Conclusión: Se presentaron dificultades en los procedimientos algebraicos para algunos

estudiantes, lo que los llevó a no elegir alguna de las opciones de respuesta.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%



Figura 74. Respuestas punto nueve, guía "solución de triángulos

rectángulos".


10. Desde lo alto de un edificio de 24 m de altura, una persona observa un automóvil con un

ángulo de depresión de 30°. ¿A qué distancia del edificio se encuentra el automóvil?

a. 12√2 m

b. 24√2 m

c. 12√3 m

d. 24√3 m

Se espera que la ausencia de la figura en este problema no sea una dificultad para que el alumno

llegue a la solución adecuada, pues tiene todas las herramientas necesarias para encontrarla. Debe

aplicar los datos de la tabla de razones trigonométricas para ángulos notables y aplicar el caso más

simple de factorizacion.


Conclusión: A pesar de que en este problema se debía plantear el gráfico, no se presentaron

dificultades, incluso los estudiantes tuvieron en cuenta racionalizar el resultado para encontrar la

opción de respuesta correcta.

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 75. Respuesta punto 10, guía "solución de triángulos

rectángulos".

Anexo F. Resultados en la guía “Planteamiento de problemas” 115

Anexo F. Resultados en la guía “Planteamiento de problemas”:

En esta guía se presenta una lectura contextualizada, la cual, pretende que el estudiante, a partir

de la misma, plantee y resuelva problemas que requieran que de la aplicación de las leyes de

resolución de triángulos.

Dicha lectura fue tomada del libro de Santillana 10 (citar el libro)

Triángulos oblicuángulos en el diseño de puentes innovadores

Un puente se construye con el objeto de traspasar obstáculos naturales, como valles, lagos o

brazos de mar, y obstáculos artificiales, como vías férreas o carreteras. Su diseño y construcción

corresponde a la Ingeniería estructural, que es una rama de la Ingeniería civil.

Las principales clases de puentes estructurales son: colgantes o atirantados, en arco, de viga y

en ménsula. Los puentes atirantados poseen una estructura básicamente formada por cables de

acero que se apoyan en torres y se anclan a grandes bloques de hormigón ubicados en el extremo

del puente.

El puente atirantado de Alamillo en Sevilla tiene un diseño innovador con forma de arpa, fue

diseñado y construido entre 1989 y 1992 por el arquitecto Santiago Calatrava.

Su diseño presenta un solo mástil de140 m de altura, que soporta todo el peso del tablero del

puente, mediante una pareja de tirantes; la longitud del tirante más largo es de 300 m para salvar

una luz (longitud horizontal) de 250 m. Su principio de funcionamiento es el de una balanza en el

que el equilibrio se obtiene mediante el desplome del mástil, en un ángulo de 58° sobre la

horizontal.


Analiza la información

1. ¿Qué clase de triángulos forman los tirantes del puente de Alamillo?

2. ¿Qué altura tiene el mástil del puente de Alamillo?

3. ¿Qué ventajas tiene la construcción triangular en el diseño de un puente?

Estas preguntas pretenden que el alumno realice una lectura consciente, para responder a las

preguntas 1 y 2 a traves de las comprensión de la misma. Además, la contextualización con los

puentes atirantados, permitirá que el estudiante concluya y exponga su posición en la pregunta 3.

Estas son algunas de las respuestas que mostraron los estudiantes:

Estas respuesta no presentaron alguna dificultad, pues la información consignada en ellas fue

extraída directamente de la lectura.

Figura 76. Respuesta 1 "Planteamiento de problemas".

Figura 77. Respuesta 2 "Planteamiento de problemas".


Para esta respuesta los estudiantes recurrieron a un poco de información, por eso concluyeron

que se obtenía un equilibrio perfecto en este tipo de puentes.

Construye aportes

De acuerdo con el texto acerca del puente atirantado de Alamillo en Sevilla, realiza:

1. Construye el triángulo que forma el tirante más grande del puente de Alamillo, ubica la

longitud del tirante, el ángulo interno y la luz (longitud horizontal). Luego, calcula la altura

a la cual el tirante más largo (300 m) se ancla al mástil.

2. Si los tirantes son paralelos, calcula la altura a la cual se ancló un tirante de 200 m de

longitud.

3. Consulta cómo se puede utilizar la solución de triángulos en otro puente atirantado hecho

en Colombia o en otra parte del mundo.

4. Plantee y resuelve 3 problemas relacionadas con medidas consultadas sobre puentes

atirantados que apliquen las 3 leyes vistas en clase para solucionar triángulos.

Figura 79. Respuesta 3.1. "Planteamiento de problemas".

Figura 78. Respuesta.3.2. "Planteamiento de problemas".


Esta sección de la guía, tiene el objetivo de que los estudiantes construyan conocimientos, y

aporten resultados basados en la solucion de triángulos por trigonometría. Esto para las preguntas

1 y 2.

La pregunta 3 invita a realizar un proceso de investigación y ampliación del contexto, sin perder

el enfoque principal, que se refiere a la aplicación de la resolución de triángulos en la vida

cotidiana, en este caso, en disciplinas como la arquitectura o la ingeniería civil.

Por otro lado, el punto 4, invita al estudiante a enfrentarse de nuevo al planteamiento de

problemas, esta vez, recopilando la información adquirida en las preguntas anteriores.

A continuación, se analizarán algunos aportes de los alumnos:

En esta solución se cometió el error de asumir que el tirante más largo llegaba hasta la punta

del mastil.

Figura 80. Respuesta 1.1 "Construye aportes".


Aquí se tomaron los datos de manera correcta y por eso el resultado fue satisfactorio.

En este punto se realizó el mismo procedimiento del punto uno, tomando correctamente la

medida de los ángulos igual, debido a ser rectas paralelas.


Figura 82. Respuesta 2 "Construye aportes".

Figura 83. Respuesta 3 "Construye aportes".


Haciendo uso del internet averiguaron sobre otros puentes con la misma forma e incluso

aportaron otras formas de aplicar las leyes sobre ellos


Figura 85. Respuesta 4.2 "Construye aportes"



En las tres imágenes anteriores se refleja la solución del punto 4, la cual estuvo muy bien

elaborada, pues no sólo llevo a los estudiantes a investigar sino a plantear preguntas tipo problemas

y a usar las leyes de resolución de triángulos para resolverlas.

Conclusión general de la guía: Llevó a los educandos a adentrarse en un tema de interés, para

algunos por cultura, para otros por curiosidad de visitar y a otros por la profesión que desean. Lo

que los incentivó más en la investigación y mostró aprendizajes reveladores.

Anexo G. Resultados en la guía “Actividades Prácticas” 123

Anexo G. Resultados en la guía “Actividades prácticas”:

A continuación, se presentarán, algunas prácticas a desarrollar por los estudiantes, las cuales

requieren del trabajo cooperativo, comunicación asertiva entre pares, asignación de roles. Para

llevar a cabo dichas actividades, no es necesario el uso de materiales ni procesos demasiado

rigurosos. Sin embargo, todas las actividades terminarán siendo resueltas mediante la construcción

de triángulos.

Entre los materiales, se encuentran:

Lana para todas las actividades

Mira o monocular

Base

Transportador de tablero

Lápiz

Papel

Calculadora científica

Cometa o globo de helio

Distancia a la cometa (globo)

En grupos de 3 estudiantes donde uno debe sostener la cometa, otro debe tomar medidas y

realizar cálculos y el último debe sostener la lana que forma el triángulo. Deben elevar una cometa

y mantenerla lo más firme posible, un integrante del grupo debe amarrar la lana a la punta de la

cual se está sosteniendo la cometa y prolongarla de manera horizontal formando la base del

triángulo, obteniendo así dos lados del mismo. El tercer integrante medirá la distancia entre sus

compañeros y sobre la base debe apoyar el transportador de tablero para medir el ángulo de

elevación de la cometa por ambos extremos. Con lo cual se obtendrán los datos A-L-A.

A partir de los datos obtenidos, encuentre la distancia entre los integrantes del grupo que se

encuentran a los extremos y la cometa. (Haga uso de alguna de las leyes de solución de triángulos

trabajadas en clase.


En esta actividad, es necesario contar con un espacio apto para elevar cometa. La institución,

gracias a ser un colegio campestre, cuenta con una montaña, en la cual es posible realizar este tipo

de actividades con un objetivo pedagógico claro.

A continuación, Imágenes de las prácticas y procedimientos realizados por los alumnos:

Figura 87. Construcción de un triángulo elevando una

cometa.

Figura 88. Construcción de un triángulo con un globo de

helio.


Conclusión general: El ángulo entre los hilos, se halló con ayuda de un transportador de

tablero, lo cual facilitó el proceso, además decidieron medir las distancias en pies, pues era

complicado medirlo en metros.

La disposición de los alumnos para la actividad fue total y se concibieron resultados correctos,

pues no se presentó dificultad alguna.

Mira la altura.

Escoger una torre, cancha, viga, etc. Con el fin de determinar la distancia desde la punta, hasta

dos sujetos ubicados a dos extremos de la misma. Ubicar a dos integrantes del grupo a extremos

opuestos, de manera que la ubicación de la altura a determina se encuentre en medio de las dos

personas, las cuales deben estar unidas por una lana. Con ayuda de una mira (ver imagen), calcular

el ángulo aproximado que forma entre la punta de la torre, con la horizontal, además de la distancia

entre sus compañeros. Por lo tanto, ya teniendo estos datos, usar la ley correspondiente para

encontrar la longitud entre los compañeros y la punta del objeto elegido.

Esta práctica, muestra una forma aproximada de encontrar alturas, sin embargo, pretende que

los estudiantes saquen conclusiones acerca de los cambios que ocurren si sus estaturas fueran

diferentes, entre otros aspectos que afectarían los resultados.

Figura 89. Respuesta Actividad 1.


A continuación, Imágenes de la prácticas y procedimientos realizados por los alumnos:

Conclusión general: Los estudiantes optaron por formar un triángulo acomodando un

integrante del grupo a cada lado de la altura escogida. Lo que los llevó a realizar un procedimiento

muy similar al de la altura de la cometa.

Figura 90. Construcción de un triángulo para hallar una altura.



El ancho del río

Debido a que el colegio no cuenta con un río, se decidió realizar una simulación de este,

midiendo la distancia entre dos balcones. Para hacer esta actividad, se requiere que un integrante

del grupo se ubique en cada balcón. Cada grupo debe buscar la manera que enviar la lana de

extremo a extremo. Además, un tercer integrante debe ubicarse en un punto externo a los balcones

el cual ellos mismos escogerán, sin embargo, debe existir la facilidad de medir la distancia entre

el punto externo y uno de los balcones.

De aquí identifique si se puede encontrar la medida de algunas partes del triángulo que se forma,

para que con la ley apropiada se encuentre el ancho entre los balcones.

Esta actividad, tiene el objetivo de que el estudiante compruebe que existen casos donde sólo

con la ley del seno se puede conocer la distancia requerida, pues no se tiene como posibilidad

atravesar el rio (en este caso el espacio entre los balcones) con un hilo y tan solo medirlo.


Figura 92. Construcción de un triángulo para hallar una distancia.


Conclusión general: Los estudiantes construyeron un triángulo similar al de uno de los

problemas escritos que habían solucionado, que trataba de encontrar el ancho de un río, con la

intención de poder usar la ley del seno, con la cual se habían familiarizado mucho para esta parte

del estudio.

Área de un lote irregular

Escoger un punto centro, desde el cual saldrán varias líneas. Estas no deben ser del mismo

tamaño, pero si es necesario conocer la longitud total de las mismas. Después de trazar todas las

diagonales, se deben medir los ángulos que se forman con vértice en el centro. Para esto, deben

ayudarse de unos palillos cruzados, los cuales deberán estar sobre un soporte que garantice que los

palillos estén completamente horizontales para medir los ángulos. Los palillos indicarán el

recorrido de los ángulos y este será reflejado en hojas de papel para medir los mismos con un

transportador. Teniendo este dato y la medida de los lados que conforman dichos ángulos, se debe

determinar la medida del tercer lado que conforma el triángulo, usando la ley de solución de

triángulos pertinente.



Después de repetir este proceso con cada uno de los triángulos, se debe medir las alturas de los

triángulos conformados para hallar sus áreas, pues la sumatoria de todas las áreas será el área total

del terreno.

En esta práctica se pretende que los alumnos, encuentren una aplicación topográfica en las leyes

de resolución de triángulos, además de que se vayan aprendiendo conceptos básicos de dicha

disciplina para una posible carrera profesional, teniendo en cuenta que los estudiantes están a miras

de una universidad en poco tiempo.


Figura 94. Marcación del lote por medio de triángulos.


Conclusión general: Los alumnos no escogieron un terreno muy grande, pero quedaron

satisfechos con la actividad pues se dieron cuenta que se puede realizar para cualquier tipo de

terreno.

Para medir los ángulos pintaron las cintas con vinilo y asentaron hojas de block para que

quedaran marcados, cuando ya estaban secos, los midieron con el transportador de tablero.

Figura 95. Respuesta Actividad 4 (Parte 1).



Ley de las tangentes:

Desde cierta distancia, avistar la punta de una torre, de la cual hallarán su altura total. Para esto,

deben apoyarse de la mira para tener la punta de la torre bien enfocada y así poder medir su ángulo

de elevación con mayor precisión. La horizontal se tomará a la misma altura de los ojos del

estudiante. 15 metros más adelante en el sentido de la torre, el mismo estudiante u otro compañero

de la misma estatura deberá tomar la medida del ángulo nuevamente. Conociendo estos datos,

deberán encontrar la altura de la torre.

(Tenga en cuenta que no podrá hacer uso del teorema de Pitágoras, pues no tiene los datos

suficientes.)

Esta actividad, pretende que se refleje la especificidad de las leyes de solución de triángulos,

pues se debe trabajar con triángulos rectángulos. Además, se tiene el objetivo de que los

estudiantes obtengan la ley de las tangentes, a partir del uso de las razones trigonométricas, con

las cuales, los alumnos ya se sienten familiarizados.


Figura 97. Primera medición del ángulo.


Figura 98. Segunda medición del ángulo.




Conclusión general: En la respuesta, se notó que los estudiantes olvidaron sumar los 100

centímetros que medía el soporte. Nuevamente, se muestra la falta de verificación de los alumnos.

Por ultimo responda las siguientes preguntas, como conclusión de las actividades:

a) ¿Qué dificultades se presentaron en las prácticas?

b) De acuerdo con lo realizado, ¿Qué utilidad o aplicación encontramos en las leyes

de senos y cosenos?

c) Plantee 3 conclusiones de lo aprendido en las prácticas

Aquí pondremos una síntesis de las respuestas de los estudiantes:

Respuesta a) Se presentaron dificultades en algunos procedimientos algebraicos y en la

medición de los ángulos.

Respuesta b) Su aplicación genera es para medir longitudes, sin embargo, se nota que en muchas

disciplinas se pueden implementar estas leyes.

Respuesta c):

Se aprende mejor con actividades fuera del salón

Con materiales cotidianos se pudieron realizar todas las practicas

En general la actividad que más disfrutaron fue la de elevar la cometa.

Anexo H. Resultados en la guía “Post-test” 135

Anexo H. Resultados en la guía “Post test”:

1. Una persona de 6 pies de estatura, está parada a 20 pies de un poste de alumbrado público

y proyecta una sombra de 10 pies de longitud, como se muestra en la Figura 101. ¿Cuál es

la altura del poste?

a. 16 pies

b. 18 pies

c. 26 pies

d. 36 pies

Este problema muestra un gráfico representado por triángulos rectángulos, por lo tanto, se

pretende que los estudiantes recurran a la aplicación de las razones trigonométricas para resolverlo.

Es importante que reconozcan los catetos correspondientes en ambos triángulos.


Figura 101. Punto uno Post-test.

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 102. Respuesta punto uno Post-test.


Conclusión: Algunos estudiantes optaron por usar la semejanza de triángulos, sin embargo, la

mayoría aplicaron la razón trigonométrica de la tangente, lo cual sirvió para comparar sus

respuestas y concluir que ambas herramientas se basan en la regla de tres simple y se puede llegar

a un mismo resultado por ambos caminos.

2. Un árbol de 10 metros proyecta una sombra de 17 metros por una pendiente cuando el

ángulo de elevación del sol es de 42°, como se muestra en la Figura 103. Buscar el ángulo

aproximado de elevación del

terreno.

a. X = 16°

b. X = 42°

c. X = 90°

d. X = 26°

Este problema pretende no sólo que se aplique la propiedad de funciones inversas para hallar el

ángulo, sino tambien requiere que el estudiante plantee una ecuación de primer grado a partir de

la ley del seno. Además, antes de iniciar la solución del problema, es importante que el alumno

identifique un triángulo rectángulo para encontrar la medida del ángulo A, a través de la suma de

ángulos internos.


Conclusión: Algunos de los estudiantes, olvidaron despejar la incógnita de la ecuación, despues

de hallar el angulo y por eso erraron. Esto comprueba que aun hay alumnos que no verfican las

respuestas, sin embargo, cabe resaltar que son una minoría.

Figura 103. Punto dos Post-test.


3. Para aproximar la longitud de un pantano, un topógrafo camina 400 metros del punto B al

punto C, luego gira 60° y camina 500 metros al punto A. Aproximar la longitud AB del

pantano. (ver Figura 105)

a. 610.000 m

b. 781 m

c. 900 m

d. 100 m

Este problema, quiere llevar al estudiante a que identifique que debe usar la forma mas sencilla

de la ley del coseno, despues de hacer aplicación de los ángulos suplementarios.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%



Figura 104. Respuestas punto dos Post-test.

Figura 105. Punto tres Post-test.



Conclusión: La solución del problema no causó ninguna dificultad, lo cual comprueba la

interiorización satisfactoria de la ley de cosenos.

RESPONDE LAS PREGUNTAS 4 Y 5 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE

INFORMACIÓN

La longitud del lado de un octógono regular

mostrado en la figura 35 es 12 m.

4. ¿Cuál es el radio de la circunferencia

circunscrita?

a. 14,49 m

b. 12 m

c. 22,5 m

d. 15,68 m

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 106. Respuestas punto tres Post-test.

Figura 107. Puntos cuatro y cinco

Post-test.


En esta pregunta es indispensable, el reconocimiento de la circunferencia que indican, pues esta

define la razón trigonométrica que se debe usar.


Conclusión: En la solución del problema, sólo un estudiante confundió la circunferencia

circunscrita con la inscrita y por este motivo llegó a una respuesta errónea.

5. ¿Cuál es el área del octágono regular? (Figura 107)

a. 144,9 𝑚2

b. 156,8 𝑚2

c. 695,52 𝑚2

d. 86,94 𝑚2

Esta pregunta tiene la intención de que los alumnos encuentren primero el radio que la

circunferencia inscrita, el cual tiene el papel de la altura de los triángulos que conforman el

octágono, para así hallar el área de uno de ellos y este resultado multiplicarlo por 8, que son el

total de triángulos que conforman el polígono.

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%



Figura 108. Respuestas punto cuatro Post-test.



Conclusión: en las respuesta se nótó que dos de los estudiantes, encontraron el área del primer

triángulo y no continuaron con el proceso. Ellos argumentan que el procedimiento era largo y en

su afan por terminar, no verficaron la respuesta

6. Un camino recto hace un ángulo de 25° con relación a la horizontal. Desde el punto a sobre

el camino, el ángulo de elevación de un avión es de 57°. En el mismo instante, desde otro

punto B situado a 120 metros de A, el ángulo de elevación es de 63°. Encuentra la distancia

del punto A hasta el avión y la altura a la que vuelva el avión con respecto a la horizontal.

(ver Figura 110)

a. 1022,89 m y 1012,92 m respectivamente.

b. 720 m y 120,57 m respectivamente.

c. 106,92 m y 1022,92 respectivamente.

d. 2034,89 y 1012,89 respectivamente.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%



Figura 109. Respuestas punto cinco Post-test

Figura 110. Punto seis Post-test


Este problema pretende que los alumnos aplique ley de ángulos suplementarios, además de que

usen la ley de senos en dos ocasiones. Lo mas importante para llegar a una solución correcta, es

realizar una buena interpretación del gráfico.


Conclusión: Algunos estudiantes sólo realizaron la mitad del procedimiento y se confiaron por

encontrar este resultados entre las opciones de respuesta. Lo que nos lleva a concluir, que algunos

alumnos se niegan a realizar procedimientos largos, además de que no suelen verficar si obtienen

resultados correctos.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%



Figura 111. Respuestas punto seis Post-test.

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