Representación en Punto Flotante

8/18/2019 Representación en Punto Flotante

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ARITMETICA DEL COMPUTADOR

METODOS NUMERICOS MB536

TRADUCIDO POR : Prof. ROSA GARRIDO JUAREZ

UNI-FIM


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Notación Científica (en Binario)

1.0dos x 2-1

base“punto binario”

exponente

• La aritmética que usa el computador es llamada

punto flotante, porque esta representa los números

reales (racionales) donde el punto binario no esta fijo,

como ocurre en los enteros.

• Tales números son declarados como en lenguaje C

como float.

mantisa

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Representación en Punto Flotante

Representación:

Signo, exponente, mantisa (o significando):

( –1)signo ×1.mantisa× 2exponente

Mas bits para la mantisamayor precisión

Más bits para el exponente aumenta el rango

Punto Flotante estándar IEEE 754 :

simple precisión: 8 bits exponente, 23 bits mantisa

doble precisión : 11 bits exponente, 52 bits mantisa

Cuádruple precisión: 15 bits exponente, 112 bits mantisaUNI-FIM


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Número en Punto Flotante (P.F.)

• Importante: “1er” bit de la mantisa es implícito

–Ejemplo: Si la mantisa es : 011010110…0,corresponde a la mantisa : 1.011010110…0

• Esto se define como número normalizado;existe siempre un dígito no cero a la izquierdadel punto.

–Representación única de un número.

–Conseguimos un poco mas de precisión: si hay 24bits en la mantisa, pero solamente 23 de estos sonalmacenados.

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Representación Interna (Máquina) en P.F.

• Formato normal: +1.d1d2d3…. dp*2e1e2..

• Ancho de palabra (32 bits)

031

S Exponente

30 23 22

Mantisa

1 bit 8 bits 23 bits

• S representa el Signo

• Los dígitos ei’s representan al exponente

• Los dígitos di’s representan la mantisa

• El número más pequeño es representado por2.0 x 10-38 (realmin) y el más grande como 2.0 x 1038 (realmax)

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Ejemplo : Simple precisión


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Representación en P.F.(cont.)

• ¿y si el resultado es demasiado grande?

(> 2.0x1038 )

– Overflow!

– Overflow Exponente más grande que se representa

en el campo exponente de 8 bits.• ¿Y si el resultado es muy pequeño?

(>0, < 2.0x10-38 )

– Underflow!

– Underflow Exponente negativo más pequeño querepresenta en el campo exponente de 8 bits

• ¿Como reducir las posibilidades de overflow o underflow?

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Exponente

•Exponente es “trasladado” para representar valores

positivos y negativos.

– Todos ceros es el exponente más pequeño, todos unos es el

exponente mas grande.

– El exponente actual para simple precisión: e - 127, para doble

precisión: e-1023, y para cuádruple precisión : e - 16383.

– Bias de 127 para simple precisión, 1023 para doble precisión, y

16383 para cuádruple precisión.

– Al trasladar (biasing) el exponente y almacenarlo antes de la

mantisa, podemos comparar magnitudes como si fuerannúmeros enteros sin signo.

• Si e = 1000 0011 (13110), el exponente actual es : 131-127=4

• Si e = 0101 1101 (9310), el exponente actual es: 93-127=-34

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Exponente para 32 Bits (IEEE-754)

8 bits deberían representar

2550 e

Bias es 127; tal que al sustraer 127 de la

representación anterior

128127 e

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Exponente para Casos Especiales

eActual rango de2541 e

0e y 255e Son reservados para casosespeciales

127126 e

eActual rango de

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Números y Exponentes Especiales

0e Todos ceros

255e Todos unos

s m Representa

0 Todos ceros Todos ceros 0

1 Todos ceros Todos ceros -0

0 Todos unos Todos ceros

1 Todos unos Todos ceros

0 ó 1 Todos unos diferente decero

NaN

e

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IEEE-754 Formato Simple Precisión

El mas grande número en simple precisión

El más pequeño número en simple precisión

Epsilón de la máquina en simple precisión

381272 1040.321........1.1

381262 1018.220......00.1

723 1019.12 mach

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IEEE-754 Formato Simple Precisión

32 bits para simple precisión

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Sign

(s)

Exponente interno (e’) Mantisa (m)

127'2 21)1(Valor . e s m

UNI-FIM


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Ejemplo 1

127'2 2.11Valor

e s

m

127)10100010(2

12210100000.11

127162

2625.11

1035 105834.52625.11

1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Signo

(s)


UNI-FIM

T


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Tarea

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Signo(s)


Represente-6.234x105 como un número de

punto flotante simple precisión:

?15

2?.1110234.6

UNI-FIM


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Presición en Punto Flotante

Ejemplo 2:

Simple Precisión

Doble Precisión

Quadruple Precisión

UNI-FIM

http://en.wikipedia.org/wiki/File:IEEE_754_Quadruple_Floating_Point_Format.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:IEEE_754_Quadruple_Floating_Point_Format.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:IEEE_754_Quadruple_Floating_Point_Format.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:IEEE_754_Double_Floating_Point_Format.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Float_example.svg


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UNI-FIM

Ejemplo 3

• Resumen: Representación en Punto flotante

( –1)sign×1+mantisa)×2exponente – bias

• Ejemplo:

– decimal: -.75 = -3/4 = -3/22

– binario: -.11 = -1.1 x 2-1

– Exponente en punto flotante: 126 = 01111110

– Simple precisión IEEE :

1 01111110 10000000000000000000000


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UNI-FIM

Formatos de Punto Flotante- Resumen

Negative

Overflow

Positive

Overflow

Expressible

negative

numbers

Expressible

positive

numbers

0-2-127 2-127

Positive underflowNegative underflow

(2 – 2-23) 2128- (2 – 2-23) 2128

00000000 00000000000000000000000

Biased

exponentFraction

Positive andnegative zero

11111111 00000000000000000000000

Biasedexponent

Fraction

1

1

0

0Positive and

negative infinity

exponent = 128 and fraction ≠ 0, It is called “not a number” or NaN

0

∞


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Fuentes:

• engrwww.usask.ca/classes/EE/800/.../ee800_DFP. ppt

• inst.eecs.berkeley.edu/~cs61c-td

• http://numericalmethods.eng.usf.edu Floating Point Representation

• inst.eecs.berkeley.edu/~cs61c-td

UNI-FIM
http://numericalmethods.eng.usf.edu/http://numericalmethods.eng.usf.edu/

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