8/17/2019 Reporte Práctica Control

http://slidepdf.com/reader/full/reporte-practica-control 1/3

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ATLIXCO 1

Abstract  — The study of stability in closed loop systems implies

knowledge of Routh-Hurwitz theorem and its application in the

function of T(s) transfer. Relate the variables involved for

different answers and work out certain criteria to find stability

gain ranges for which the system is stable, unstable and

marginally stable (oscillation).

I ndex Terms  — Oscillation, Stable, System, Unstable

I.  I NTRODUCCIÓN 

L  teorema de Routh-Hurwitz ofrece la posibilidad deconocer la estabilidad del sistema sin necesidad de

obtener las raíces del polinomio, es un método más versátil para saber lo que ocurrirá al someter el sistema a una entradadeterminada. Un sistema es estable si la respuesta del sistemaal impulso tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Siel sistema tiende a un valor finito diferente a cero, se puededecir que el sistema es marginalmente estable. Una magnitudinfinita hace al sistema inestable.

Si los todos los polos de la función de transferencia estánen el lado izquierdo de plano entonces el sistema es estable.Un sistema es marginalmente estable si uno o más polos estánen el eje imaginario del plano (jω). En el estudio de

estabilidad sólo los polos de la función de transferencia sonimportantes, los polos de un sistema son las raíces obtenidasdel denominador de la función de transferencia cuando esigualado a cero.

II.  PROBLEMA 1

Utilizando el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitzdetermina la condición y la frecuencia de oscilación para uncircuito RLC considerando la entrada un escalón unitario.

Figura 1 Problema 1

 A. 

 Función de transferenciaPara conocer este parámetro habrá que resolver el problema

original, es decir, trabajar el sistema hasta llegar a una relaciónentre la salida y la entrada. Se tiene una entrada de escalónunitario, un resistor de 1kohm, un inductor de 0.1H y uncapacitor de 10uF en serie. Trabajando en un circuito eléctricooptaré por el método de malla y así relacionar la entradaescalón con el voltaje del capacitor.

Figura 2 Función de Transferencia

 B.   Aplicación del Teorema de Routh-Hurwitz

Al obtener la función de transferencia del sistema se tomaráel denominador para aplicar Routh-Hurwitz y así conocer losvalores para el estado marginalmente estable. Se seguirán los

 pasos establecidos por este criterio vistos en clase y se“forzará” al sistema a crear una fila de ceros para tomar el

 polinomio auxiliar y adquirir los valores para el cual elsistema tenga polos en el eje jω.

Figura 3 Routh-Hurwitz

C.  Condición de Oscilación

Con el polinomio auxiliar se obtendrán los valores de loselementos del sistema, la frecuencia y el periodo para el cualse llegará a la oscilación.

Reporte de Práctica 1 (Febrero 2016) 

Ayala Maximiliano

E

8/17/2019 Reporte Práctica Control

http://slidepdf.com/reader/full/reporte-practica-control 2/3

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ATLIXCO 2

Figura 4 Condición de Oscilación

III.  PROBLEMA 2

Utilizando el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitzdetermina la condición y la frecuencia de oscilación para uncircuito con un amplificador operacional el modo no inversorcon retroalimentación positiva considerando la entrada unescalón unitario en el pin V+ con un arreglo RLC entre laentrada y la salida.

Figura 5 Problema 2

 A.   Función de transferencia

Para este caso se tomarán dos bloques principales: el bloquede la ganancia K y el bloque de retroalimentación H(s) consigno positivo en el comparador. Los elementos de la gananciaserán los resistores de 90Kohm y 10Kohm donde el ultimoesta puesto a tierra. En el bloque H(s) tenemos a la salida delamplificador operacional un resistor R3 y un circuito RLC en

 paralelo del cual el inductor es al que tomaremos como salida.

Un resistor R4, un capacitor de 10nF y un inductor de 0.1mHforman el circuito RLC de la retroalimentación. Se trabajarácon una Zeq para el sistema RLC y así facilitar la obtención dela función de transferencia de este boque. Después sesustituirá para obtener la función de transferencia del sistemaT(s).

Figura 6 Función de Transferencia

 B.   Aplicación del Teorema de Routh-Hurwitz

Al obtener la función de transferencia del sistema se tomaráel denominador para aplicar Routh-Hurwitz y así conocer losvalores para el estado marginalmente estable. Se seguirán los

 pasos establecidos por este criterio vistos en clase y se“forzará” al sistema a crear una fila de ceros para tomar el

 polinomio auxiliar y adquirir los valores para el cual elsistema tenga polos en el eje jω.

Figura 7 Routh-Hurwitz

8/17/2019 Reporte Práctica Control

http://slidepdf.com/reader/full/reporte-practica-control 3/3

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ATLIXCO 3

C.  Condición de Oscilación

Con el polinomio auxiliar se obtendrán los valores de loselementos del sistema, la frecuencia y el periodo para el cualse llegará a la oscilación. Se tiene en cuenta que cualquiercombinación posible será válida para hacer este sistemaoscilar.

Figura 8 Condición de Oscilación

IV.  CONCLUSIÓN 

El uso de sistemas retroalimentados implica el conocer sureacción ante diversas entradas, y verificar que responda comoestá planificado. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitzayuda a conocer la respuesta del sistema y da oportunidad demodificarlo para obtener la señal de salida deseada, se obtiene

el lugar de las raíces y con eso determinamos su estabilidad (osu inestabilidad, sea el caso). Es un modelo sencillo de seguiry ofrece mucho para trabajar, implica una solución fácil decomprender y modificar.

R EFERENCES [1]  Ogata Katsuhiko, “Ingeniería de Control Moderna” , 5ta ed., Ed.

Pearson, España, 2010, pp. 159218.