REPASO_CONJUNTOS_NUMERICOS
-
Upload
javier-saenz -
Category
Documents
-
view
218 -
download
0
description
Transcript of REPASO_CONJUNTOS_NUMERICOS
Conjuntos de Números:
LOS NUMEROS NATURALES:
Los denominados Números Naturales son los primeros números que surgen con la
necesidad en la humanidad de contar, este conjunto está formado por los elementos 1, 2,
3, 4... etc., y se designa con el símbolo N.
El conjunto N, es aquel en que cada elemento se obtiene de sumar una unidad al
elemento anterior. Es por esto que el conjunto N resulta ordenado, es decir dados dos
números naturales a y b distintos, siempre uno es menor que el otro, se dice a es menor
que b, o b es mayor que a. En símbolos: a < b o b > a.
El conjunto N tiene primer elemento (1) y no tiene último elemento, por lo que decimos
que es infinito, o que tiene infinitos elementos.
Indicaremos a este conjunto: N = {1, 2, 3,…………..}
En este conjunto podremos sumar, multiplicar y el resultado será otro número natural. No
siempre ocurre lo mismo con la resta o la división. ¿Por qué?.
Este conjunto lo podemos representar gráficamente con una recta cualquiera en donde
ubicaremos un punto de origen “O”, y tomando un segmento arbitrario como unidad y
trasladándolo a partir del origen hacia la derecha, obtenemos sucesivas divisiones a, b,
c,….. Luego se hace corresponder a cada división un número natural.
a b c d e f
0 1 2 3 4 5 6
Como puede observarse a cada punto marcado de la recta se lo llama “la grafica” del
numero natural correspondiente, mientras que al número asignado a cada punto se lo
llama “la coordenada” del mismo. Es decir hay una relación “biunívoca” (relación uno a
uno), en la que a cada grafica de la recta le corresponde un único numero natural y
viceversa a cada numero natural le corresponde una única coordenada de la recta.
LOS NUMEROS ENTEROS:
La humanidad continuó usando estos números hasta que surgieron problemas tales
como la resta: 3 - 5; cuando en la resta el minuendo es menor o igual al sustraendo
aparece la primera restricción en el conjunto N.
Para resolver esta operación requirió la ampliación de este conjunto a un nuevo conjunto
de números, los Números Enteros, que se denotan Z.
Este conjunto es tal que incluye al conjunto de los Números Naturales N conserva los
resultados y propiedades de N y la resta cuando el minuendo es menor o igual al
sustraendo siempre tiene solución.
Para ello definimos el conjunto de los Números Negativos donde cada elemento es el
número opuesto de cada número natural n є N; y se denominan con “-n”.
Es decir que los Números Enteros son:
Z = {...- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4...}
Cuya grafica será siguiendo el mismo concepto que los números N y con simetría a la
izquierda del origen representado a los Números Negativos:
-3 -2 -1 0 1 2 3
LOS NUMEROS RACIONALES:
El conjunto Q de los Números racionales se crearon para indicar una parte de algo,
ellos representan la división de un Número Entero entre otro, es decir que contiene a los Z
y además en él tienen solución las divisiones donde el dividendo no es múltiplo del divisor.
Ejemplos:
Para representar numéricamente dos pedazos de pizza, que normalmente se divide en ocho
porciones iguales, decimos que esos dos pedazos son 2/8 (dos octavos) de una pizza.
El número 3/5 (tres quintos) podría representar tres pedazos de un chocolate que ha sido cortado
en cinco partes iguales. 7/4 litro (siete cuartos de litro) podrían ser siete vasos de cerveza de ¼
litro cada uno.
Para ello se crearon los “números fraccionarios” como el cociente entre dos enteros a y b
cualesquiera, con b ≠ 0.
Los números 3/5, 7/4,12/7 son números fraccionarios.
Estos números también pueden ser negativos y junto a los Números Enteros conforman
el conjunto de los Números Racionales.
En símbolos, Q = Z υ F, es decir, el conjunto de números racionales es la unión del
conjunto de los números enteros y el conjunto de los números fraccionarios F.
EXPRESIONES DECIMALES:
Un número racional puede expresarse con una fracción o con una
expresión decimal.
Por ejemplo: 2/5 = 0,4; 2/3= 0,6666…..
Al efectuar la división entre numerador y denominador de una fracción, para obtener la
expresión decimal puede ocurrir que:
1) En algún paso de la división el resto es cero.
2) En algún momento los restos comiencen a repetirse.
En el primer caso se obtiene una expresión decimal finita, mientras que en el segundo se
dice que la expresión decimal es periódica, y las cifras que se repiten forman el periodo
de la expresión decimal.
RECIPROCAMENTE:
Toda expresión decimal finita o periódica corresponde a un número
racional.
Por ejemplo: 1/4 = 0,25 expresión decimal finita;
-1/3=- 0,3333…. expresión decimal infinita;
3594/990= 3,58848484…..expresión decimal infinita.
Un número fraccionario también puede escribirse como una expresión decimal, que puede
ser finita o infinita. Las expresiones decimales infinitas tienen “periodo” y pueden tener
“parte no periódica” (ver ejemplo nº3). La parte anterior a la coma es la “parte entera”. Las
expresiones decimales pueden, recíprocamente, expresarse como una fracción.
REPRESENTACION GRAFICA DE Q:
Los números racionales se pueden representar construyendo las fracciones en sobre la
recta.
a) Si el numerador es menor que el denominador (es decir, su expresión decimal es
un número comprendido entre 0 y 1):
Por ejemplo para representar el numero ¾, dividimos al segmento unidad en cuatro
partes iguales y tomamos tres, contando desde cero.
0
3/4 1
b) Si el numerador es mayor que el denominador (es decir, su expresión decimal es
un número mayor que 1):
La fracción se puede descomponer en suma de un número entero mas una fracción
menor que la unidad. Por ejemplo: 13/5 = 2 + 3/5.
Donde 2 es el cociente entero de la división de 13 entre 5 y 3 es el resto de la misma. Asi
el numero 13/5 será un punto comprendido entre 2 y el 3, y para representar el numero
13/5 deberemos representar el numero 3/5 en el segmento (2,3), es decir, dividir el
segmento (2,3) en 5 partes iguales y tomar 3 desde el punto 2.
2
13/5
3
Observación: en esta construcción, podemos ver que dados dos puntos de una recta
(representativos de números racionales) entre ellos se pueden realizar aun infinitas
divisiones. Eso es lo mismo que decir que entre dos números racionales siempre existen
“infinitos números racionales”. Por esta propiedad se dice que el conjunto Q es “denso”.
Además se podría pensar que con este criterio toda la recta estaría cubierta, o sea, que
cada punto de ella es la grafica de un numero racional y viceversa. Veremos a
continuación que ello no es cierto.
LOS NUMEROS IRRACIONALES:
Existen algunos números tales como, = 1,4142……….; = 1,7320………….; - =-
2.236067……., etc., que tienen infinitas cifras decimales y sin embargo no tienen periodo,
ellos no pueden representarse de cómo cociente entre dos números enteros a y b. estos
son los Números Irracionales.
Ejemplos:
El numero π, que se usa para calcular, por ejemplo, la longitud de la circunferencia o el
área de un circulo, tiene como expresión decimal 3,1415926535………. Su irracionalidad
se probó recién en el siglo XVIII.
El numero e, posiblemente el número más importante en matemática superior, su valor
decimal es: 2,718281…… aparece en ciertos procesos de crecimiento vegetal o animal,
en la desintegración radiactiva, etc.
LOS NUMEROS REALES:
El conjunto formado por los Números Racionales y los Números Irracionales se
denomina conjunto de los Números Reales que se representan por R.
Estos números completan la recta, y podemos afirmar que:
Cada punto de la recta es grafica de algún número real y cada número
real es la coordenada de algún punto de la recta.
Esta correspondencia es biunívoca, es decir, una relación uno a uno.
Con el siguiente esquema podemos representar los conjuntos de números vistos
NUMEROS
NATURALES
0
NUMEROS
ENTEROS
NATURALES
NUMEROS
ENTEROS
NEGATIVOS
NUMEROS
ENTEROS
NUMEROS
RACIONALES
NUMEROS
FRACCIONARIOS
NUMEROS
IRRACIONALES
NUMEROS
REALES
Ejercitación
1) Indica a que conjunto de números pertenecen los siguientes números
a) 13 b) –12 c) –15/4 d) 25 e) 16/8 f) 5
2) Ubica los siguientes números en la recta numérica
a) 4/7 b) 8/5 c)-1/2 d) 1,3 e) 2 f) –5,2
3) Lista los siguientes números de menor a mayor
-5 -2/5 3,6 16/3 5 -1,8