Relativitat Profans

Relativitat d’Einsteinper a profans

Albert Bramon, Departament de Fısicade la Universitat Autonoma de Barcelona

Apunts preliminars (7 de gener de 2009).INTERCAMPUS 2008/09. Temes 1, 2, 3, 4 i 5.

1 FISICA: GENERALITATS 1

1 FISICA: GENERALITATS

Aquest primer capıtol preten tenir un caracter introductori i generalista que ensmostri les caracterıstiques mes rellevants de la Fısica i les relacions que hi haentre aquesta i altres ciencies. Aquestes caracterıstiques s’il·lustren discutintun tema concret, basic i fonamental: el de la Fısica de partıcules elementals.Al mateix temps, es presenten tambe de manera esquematica alguns dels puntsclau de la Fısica que despres anirem veient amb cert detall. Sens dubte, aixoafegeix un grau addicional de dificultat a aquest primer capıtol que hauria decompensar-se per la valua que pot tenir la visio de conjunt que ens preten oferir.

1.1 Definicio de Fısica

Com a primer contacte, i a fi i efecte de presentar ja els trets caracterıstics dela Fısica, en proposem la seguent definicio:

Ciencia empırico-formal que preten una descripcio o comprensioprofundes de les propietats i interaccions de la materia i l’energia.

Les tres idees claus que conte s’assenyalen en italiques. Discutim-les tot seguiti per ordre:

i) amb el qualificatiu d’empırico-formal volem dir que la Fısica es construeixa base de la interrelacio i el confrontament constants entre, d’una banda,els fets EXPERIMENTALS i observacionals i, de l’altra, les consequencieso prediccions que es derivin d’un cos de doctrina ben estructurat: la TE-ORIA. Tota teoria fısica ha de tenir per aixo una doble coherencia:

1) Interna o logica i, aixı, de la teoria no han de poder-se’n deduirresultats contradictoris entre si.

2) Externa o experimental, de tal manera que totes les deduccions de lateoria comparables amb resultats experimentals han d’estar-hi d’a-cord. En cas de conflicte amb l’experiment, cal canviar la teoria.

Es prudent, doncs, veure un cert grau de provisionalitat en tota teoriafısica. Per mes fenomens que expliqui, en queden molts mes perinvestigar. Per aixo, i de manera provocativa, podrıem afirmar quedisposem de dos tipus de teories fısiques: les que ja sabem que son‘falses’ i aquelles que no sabem que en siguin. Si el lector consideraexcessiu aquest comentari es desitjable que el compari amb els que,entre molts d’altres, fa un fısic tan famos com R. Feynman, premiNobel de l’any 1965, que aquı reproduım:

‘Hem de deixar un marge per als dubtes, altrament no hihaura ni progres ni aprenentatge’

o, mes contundentment,

‘cap enunciat cientıfic es absolutament cert’.


(Extrets d’una entrevista a La Vanguardia del 20 d’octubre de 2000).Notem, en tot cas, que ‘falses’ no vol dir que siguin teories inutils oobsoletes, vol dir que ho son en determinades circumstancies peromantenen la seva utilitat en multitud de situacions d’interes. Noson teories absolutament certes, nomes ho son si es donen (com solendonar-se) determinades condicions.

El metode de la Fısica ha de ser, d’acord amb el que acabem de comen-tar i amb la terminologia tradicional, l’hipotetic-deductiu. Es deductiu al’hora de passar d’uns principis teorics generals a les diferents aplicacionsconcretes i particulars. Pero ha calgut utilitzar la induccio per proposarcom hipotesis generals, a partir de multiples observacions particulars, ca-dascun del reduıt nombre de principis en que s’estructura finalment unateoria.

La Fısica fa gran us de les Matematiques, pero n’es radicalment diferentdonat el caire no-experimental i exclusivament formal d’aquestes; de lesMatematiques, per tant, nomes podem exigir-ne una rigurosa coherenciainterna i el seu metode es exclusivament el deductiu. Les Matematiques(i la logica) son ciencies formals; la Fısica l’hem qualificada d’empırico-formal i altres prefereixen deixar-ho, fins i tot, en ciencia empırica o ex-perimental, a seques. Les Matematiques son exactes, la Fısica no; no n’esperque els resultats experimentals –essencials!– no en son mai d’exactes ivenen afectats per inevitables imprecisions que indiquem amb els correspo-nents marges (o barres) d’error. Els enunciats matematics son definitius,els de les lleis fısiques no han de ser-ho necessariament; cal revisar-lesi, eventualment, canviar-les a mesura que resultats experimentals nous omes precisos –essencials!– es van coneixent.

Aquest doble vessant teorico-experimental (formal i empıric) de la Fısicate una altra consequencia important: fera que centrem les nostres analisisen aquelles caracterıstiques dels sistemes que son susceptibles de ser me-

surades. Tecnicament, en direm magnituds fısiques (vegeu seccio 1.4).N’hi haura que admeten una mesura directa, mentre que d’altres nomesadmetran un proces de mesura indirecte que haura d’estar, aixo sı, inam-biguament definit. Aixı, molts procediments i resultats experimentals es-taran prenyats de teoria i, recıprocament, tot el formulisme teoric acabaraexpressant-se en termes de magnituds fısiques, es a dir, de propietats ocaracterıstiques mesurables. Com ja haviem esmentat, es essencial que hihagi una interrelacio constant entre teoria i experiment, un acord entreprediccio i resultat de la mesura.

En temps de Galileu i Newton (s. XVII), es parlava encara de ‘PhilosophiaNaturalis’ i van ser sobretot aquests mateixos cientıfics els qui, reconeixentla necessitat de l’experimentacio, van provocar l’emancipacio de la Fısicacom a disciplina propia i ben diferenciada de la Filosofia. La varietatde ‘sistemes filosofics’ no pot tenir paral·lelisme en Fısica: ho impedeixla ‘dictadura dels fets experimentals’ que ens permet anar descartant les


teories que es mostren empıricament incorrectes. Aquesta ‘dictadura’,restrictiva com totes, dona pero una forta coherencia a la Fısica i, comveurem, ens sera util en algun moment.

ii) profunda, a fons, sense lımits ... i, aixo, en diferents sentits. Per exemple:

1) en un sentit reduccionista: esbrinant quines son les “partıcules ele-mentals” (vegeu secc. 1.5), es a dir, els constituents de tot allo queens envolta i que, en canvi, son “no-constituits” i, en aquest sentit ipel que sabem per ara, els mes profunds.

Quımica –que s’autolimita a treballar des dels atoms (i la seva estruc-tura electronica) en amunt– i Fısica –sense aquests tipus de lımits–es distingeixen en aquest aspecte de manera clara i definitiva.

2) en sentit d’amplitud, de no deixar sistemes i objectes fora de l’abastde la Fısica: des de les “partıcules elementals” fins a les nebuloses;des d’aquı fins als confins de l’Univers a uns 15 mil milions d’anys-llum; des de sistemes d’aquestes grans dimensions fins a l’interiord’un minuscul proto d’uns 10−15 m de radi; des del moment en quees produı el Big Bang fins al que pugui passar en el futur mes remot. . .

Aixo no vol dir que tots els aspectes de tots els sistemes siguin objectede la Fısica. Els sistemes vius, per exemple, sense deixar d’obeir leslleis fısiques, gaudeixen d’una propietat tan peculiar i important, lavida, que requereix especıficament d’una Biologia que avui dia estroba en fase de brillant expansio. Una altra ciencia, la Geologia,es centra en l’estudi d’un sol sistema, la Terra, pero s’interessa enbona part dels seus aspectes fısics. Comentem finalment en uneslınies que el caracter fısic de la informacio –tan manejable gracies ala Informatica– es tema d’actualitat en Fısica. El lema

‘la informacio es fısica’

es sent cada vegada amb mes frequencia i obre expectatives d’interes.La informacio no es redueix a una nocio abstracta, requereix un su-port fısic i el proces de gravar-la o esborrar-la comporta intercanvisd’energia governats per lleis fısiques.

3) en precisio: des del punt de vista experimental, tractant de reduırels marges d’error de cada mesura que esdevenen aixı mes acurades idiscriminadores; des del vessant teoric, corregint i ajustant les teoriesper aconseguir acord amb aquests valors experimentals cada vegadames acurats. La Fısica es troba en aquest sentit en una posicio tanta-litzant: ha de tenir una tendencia il·limitada vers l’exactitud sabentque no l’abastara mai plenament.

Un parell d’exemples sobre aquest punt poden ser utils.

a) Sabem mesurar quant bon imant es un electro i, independent-ment, coneixem teories per calcular aquesta magnitud a partird’altres dades. En les unitats adients (el ‘magneto de Bohr’ µB,


pero aquest es un detall del que de moment conve prescindir-ne),els valors respectius tal com els coneixiem durant el curs 2005/06eren:

µ|exp = 1.0011596521859(38)µB,

µ|teo = 1.0011596521759(85)µB. (1)

Coneixiem doncs amb seguretat les dotze primeres xifres signifi-catives del valors experimental i teoric, ja que el 38 i el 85 entreparentesis ens indiquen quins errors afecten les dues ultimes xi-fres. Aquest desconeixement o marge d’error s’ha d’anar reduintamb el pas del temps i es tendeix aixı, sense mai arribar-hi, a l’e-xactitud. Per aquesta dada en concret aixo ha passat fa ben poc.Una nova mesura experimental publicada l’estiu de 2006 augmen-ta considerablement la precisio de la dada anterior. Comparemles dues mesures i fem-ne la mitjana ponderada:

µ|exp = 1.0011596521859(38)µB,

µ|exp.nou = 1.00115965218085(76)µB

µ|mig.2007 = 1.0011596521810(7)µB,

(2)

amb la mes recent ja son tretze les xifres significatives que ‘no ba-llen’. La precisio del valor experimental que acabem d’esmentares impressionant i constitueix el record actual de mesura precisacomparable amb la corresponent prediccio teorica. L’acord ambel resultat de calculs teorics que l’acompanya es per ara plena-ment acceptable i aixo ens dona confianca en la teoria (en aquestcas, l’anomenada ‘electrodinamica quantica’ o QED) que n’hapermes el calcul esmentat. Insistim, pero, en la provisionalitatd’aquesta ultima afirmacio: en el futur, mesures mes precisesi calculs mes acurats podrien entrar en desacord; en aquest hi-potetic cas, ho repetim, haurem ‘falsat’ l’actual teoria i caldracanviar-la.Per fer-nos una idea del grau de precisio i de concordancia delsvalors de (1) que estem discutint, proposem que la compareuamb el que tindrıem si, anecdoticament, volguessim comptar elnombre total de cabells de tots els habitants de Catalunya i elresultat d’una estimacio teorica discrepes del recompte experi-mental en, com a maxim, un sol cabell.

b) En Fısica, les mesures tradicionalment mes precises pertanyen alcamp de l’optica i es refereixen al color (mes tecnicament, a lafrequencia o la longitud d’ona) de la llum emesa en determinadestransicions. Recentment, la frequencia de la transicio 1S - 2S del’hidrogen s’ha mesurat amb una precisio de 1.8 parts en 1014

(una mesura directa dona ∆ν = 2466061413187193 ± 64 Hz,


Theodor Hansch ha estat un dels tres Nobels del 2005 arrande mesures com aquesta). En aquest cas, no tenim teories prouacurades i fiables com per arribar tan enlla amb els calculs. Perola precisio experimental supera ampliament la del cas anterior:equival a la d’un recompte dels cabells de tots el xinesos tolerantl’error maxim en un de sol (cabell, no xines).

4) en sentit d’un reduccionisme mes conceptual, que seria l’analeg teoricdel reduccionisme experimental abans esmentat. Aquest ultim con-sistia en identificar les ‘peces clau’ de la natura: les partıcules ele-mentals. En el vessant teoric cal analogament elaborar o destil·larconceptes mes i mes profunds i unificadors; amb mes prespectiva ique tinguin, per aixo, maxima aplicabilitat. Per exemple, el concep-tes de camp electric i camp magnetic tenen una valua indubtable,pero adonar-se que els podem unificar en un de sol, el de camp elec-

tromagnetic, ha estat un dels grans salts endavant de la Fısica del s.XIX. Tant es aixı, que la teoria de la Relativitat que ens ocupa vainiciar-se l’any 1905 amb el tıtol “Sobre l’electrodinamica dels cossosen moviment”. Quelcom semblant passa amb les nocions de massa id’energia, i la seva importantıssima unificacio en un unic concepte:el de massa-energia (o d’energia relativista, seguint una terminologiames correcta) i l’expressio E = mc2; ho comentarem breument totseguit i ho rediscutirem mes endavant amb cert detall.

iii) materia i energia constitueixen, segons la definicio que comentem, l’ob-jecte d’estudi de la Fısica. Pero no son dos conceptes al mateix nivell:‘energia’ es una important magnitud fısica que, sigui d’un tipus o d’unaltre, tenen tots els sistemes fısics; ‘materia’, en canvi, fa referencia a sis-temes fısics per se. Veurem que s’hi amaga alguna complicacio a l’hora derelacionar-los.

De moment comencarem comentant aquesta questio seguint els passos delmestre Fabra. Ell ja ho tenia prou clar l’any 1932, el de la primera ediciodel seu diccionari, i a l’entrada materia ens proposa:

‘allo que, ensems amb l’energia, constitueix l’univers fısic’.

L’Univers estaria doncs constituit per materia i energia, i tant l’Universtot sencer com cadascuna de les seves parts, son sistemes fısics, vegeuFig.1. Apareixen, pero, dos problemes: 1) hem entrat en un cercle viciosde definicions i 2) la separacio o relacio entre materia i energia (deixantapart l’esmentada ‘inhomogeneıtat’ dels dos conceptes) no es tan nıtidacom podria semblar a primera vista.

El primer defecte es ben clar: hem comencat dient que la Fısica s’ocupade la materia i l’energia, i afirmem despres que materia i energia configu-ren l’univers fısic. Reflecteix les dificultats que solen trobar les definicionsdels conceptes basics i primaris de tota disciplina. Es aquı, i en uns pocs


casos semblants, quan la ‘dictadura de l’experiment’, propia de la Fısica iesmentada fa poc, pot ser-nos util. Dins de la Fısica Classica (quan par-lem de Relativitat haurem de retocar aquest paragraf) definirem ‘materia’com allo que te massa, i d’aquest nou concepte de ‘massa’ –susceptiblede mesura experimental, per exemple, mitjantcant una balanca o aparellque’n faci les seves funcions– en donarem una ‘definicio operacional’, es adir, lligada al seu protocol de mesura. D’altra banda, definirem ‘energia’com la capacitat de realitzar un treball, circumstancia facilment detecta-ble i mesurable. Amb aquestes definicions de massa i energia aconseguimevitar l’anterior cercle vicios. L’Univers fısic estara aixı constituıt i, pertant, la fısica s’ocupara d’aquells sistemes que tinguin massa i/o energia,acompanyada eventualment d’altres magnituds fısiques.

El segon problema esta relacionat amb l’us del desagradable ‘i/o’ queacabem d’introduir i tambe convindra reconsiderar-lo mes endavant quanes discuteixi (dins la Relativitat) que l’energia que un sistema fısic puguitenir contribueix, en algun sentit i inevitablement, a la seva ‘massa’. Massai energia –magnituds fısiques ja definides de manera que de moment notenen res en comu– passen, gracies a les aportacions d’Einstein de 1905,a ser dos aspectes d’una unica realitat. Estan lligades per la formula mespopular de tota la Fısica (que tambe haurem de retocar),

E = mc2,

que n’estableix l’equivalencia i ens dona el factor de conversio, c2, onc = 299792458 m/s es el valor de la velocitat de propagacio de la llum enl’espai buit. Aixo ens mena a una altra formula de conversio ben popularfa pocs dies, 1 EURO = 166.386 ptes, on EUROS i pessetes son dosaspectes d’una essencialment unica (i sovint inquietant) realitat: bens i/orecursos. Aquests ultims son els conceptes que apareixen en definicionsactuals d’Economia. Analogament, en la nostra definicio, i no disposantd’un mot millor, hem proposat ‘materia i energia’ –encara que tambehauria estat sensat dir ‘materia i/o energia’. Pero el que realment volemdir es que la Fısica s’ocupa de tot sistema que te massa-energia en el sentitampli que acabem de comentar i que contempla l’equivalencia E = mc2.En resum, la fısica tracta de tot sistema que, si pogues ser colocat en elplatet d’una balanca previament equilibrada, fos capac de desequilibrar-lao, en altres paraules, tot sistema capac de ser atret per forces de gravetat.

1.2 Comentaris a la definicio.

La discusio que acabem de presentar ha estat llarga i un pel alambinada. Esrefereix pero a un aspecte fonamental d’aquest curs introductori i generalista.Per aixo, creiem que conve insistir-hi encara mes i que pot ser convenient quees consultin diferents fonts buscant i comparant altres definicions de Fısica.Algunes les reproduım en aquesta seccio, on tambe ens ocupem de discutiraltres aspectes de la definicio de fısica que hem proposat en comencar.


Figura 1: Definicions dels diccionaris de l’Enciclopedia Catalana i de la primera edicio del Fabra


1.2.1 Altres definicions

Hem confeccionat un petit mo(n)struari de definicions lexicografiques breus queapareixen fotocopiades a la Fig.2. Comprovara el lector que no sempre hi haunanimitat i que els desacords en definir Fısica son a vegades importants.

1.2.2 Altres comentaris

Conve no amagar que hi han altres problemes i imprecisions a la nostra definiciode Fısica. Per exemple: que vol dir ‘ciencia’? O be, per que hem proposat ‘des-cripcio o comprensio’ enlloc d’una de les dues opcions que conte? Naturalment,aquests temes mes generals pertanyen a altres disciplines de caire mes filosofic.Tot i aixo, els dediquem els seguents comentaris de fonts ben autoritzades.

i) El primer es deu a van Fraassen i ha estat extret del seu llibre “The

Scientific Image” (Oxford University Press, 1980). Ens compara duesconcepcions possibles de ciencia i, en particular, de fısica:

a) Realisme cientıfic, segons el qual: ‘El que la ciencia preten donar-nos amb les seves teories es una exposicio literalment vertadera decom es el Mon; i acceptar una teoria cientıfica implica creure que esvertadera’.

b) Empirisme constructiu, que proposa, en canvi: ‘La ciencia pretendonar-nos teories que siguin empıricament adequades; i l’acceptaciod’una teoria nomes implica la creenca que es empıricament adequada’o, si ho preferiu, concordant amb les dades experimentals.

Per a qui simpatitza amb la concepcio a) (i qui no ho fa?), la cienciaaspira a comprendre. En canvi, per als partidaris de la concepcio b), laciencia no va mes enlla d’una certa descripcio i d’una capacitat de prediccioencertada dels fenomens: ‘prescriu’ el que passara; en versions extremesd’aquesta concepcio la fısica seria una especie de ‘caixa negra’ on hi entresunes dades i en surt (qui sap com!) la resposta empıricament correcta.

ii) El segon comentari, molt mes lapidari, es de Feynman, prove del seu llibre“The Character of Physical Law” (MIT, Cambridge, 1967) i es reprodueixa la revista Am. Phys. J. 58 (1990) p.881. Enuncia el que ens espera alllarg de la nostra exposicio:

‘Va haver-hi un temps que la premsa deia que nomes una dotzena depersones entenien la teoria de la relativitat. No crec que s’hagi donatmai aquest temps. Pot haver-hi hagut un temps en que nomes unhome ho feia, perque era el ‘paio’ que l’havia copsada, abans que ellmateix escrigues el seu treball [Einstein, 1905]. Pero una vegada lagent va llegir-lo, molts varen entendre la teoria de la relativitat d’unamanera o d’una altra, certament mes d’una dotzena’.


Figura 2: Algunes definicions lexicografiques de Fısica, i mots relacionats, que mostren un cert

desacord. Curiosament la quarta acepcio de l’adjectiu ‘fısico’ del diccionari de la R.A.E. (‘Pedante,

melindroso’) ha desaperagut en la nova edicio de 2001 i les posteriors, ves a saber perque!


Doncs ja veieu que s’espera de vosaltres. Noteu que podria ser molt pitjor.Efectivament, continua opinant en Feynman:

‘D’altra banda, crec que puc afirmar amb seguretat que la mecanicaquantica no l’enten ningu. [. . . Amb la Mecanica Quantica] us expli-care com es comporta la Natura. Si admeteu senzillament que potsersı que es comporta aixı, la trobareu deliciosa. No us aneu repetinta vosaltres mateixos, si es que ho podeu evitar, ‘Pero com pot serd’aquesta manera?’, perque entrareu en un atzucac del que ningu non’ha sortit. Ningu no ho sap perque pot ser d’aquesta manera’.

El text es inambiguu, per a Feynman la mecanica quantica ens dona unadescripcio correcta, incomprensible pero, dels fenomens naturals i es fa,per tant, incompatible amb actituds properes a les del realisme cientıficabans esmentat.

iii) L’ultim comentari te un origen ben diferent i molt mes antic. Es diu queel va fer Alfons X ‘el Savi’, rei de Castella, quan els seus astronoms arabsde Toledo van exposar-li el sistema d’orbites planetaries (‘esferes’) segonsl’Almagest de Ptolomeu:

‘si yo hubiese estado al lado de Dios cuando creo el Universo, lehubiera aconsejado mejor en el orden de las esferas’.

Tot una perla. La podeu trobar a la antiga pero coneguda ‘Storia Univer-sale’ de Cesare Cantu.

1.2.3 Un resum

Intentant resumir aquestes cites, podrıem dir breument que l’objectiu de laFısica es el d’esbrinar quin es el ‘reglament’ de la Natura, mes que perque o com

es que el reglament es precisament el que la Fısica ens ensenya. O, mes breumentencara, proposarıem aquı un dels lemes que impregnaran tota la nostra exposicioen aquest text:

les lleis de la Natura no son ni logiques ni il·logiques, senzillament ‘son’.

No tenen perque resultar-nos familiars, ja que un cervell huma excessivamentpreparat per a copsar agilment les subtileses de les lleis naturals podria haverresultat molt ineficac per fer-nos sobreviure i progressar al llarg de l’evolucio.Qui sap si, ironicament i despres de tot, els nostres parents neandertals vanextingir-se per les seves superiors habilitats devant dels misteris relativistes oquantics. . .

Aquests comentaris poden valer per a bona part de la Fısica, pero seranespecialment rellevants a l’hora d’introduir-nos en els punts clau de la Relativitat(i, amb mes motius encara, si ens emboliquessim amb la Mecanica Quantica).Les lleis ‘naturals’ podran semblar-nos molt ‘antinaturals’. No proposem unaactitud tan drastica com la que assimilaria la fısica a un ‘caixa negra’, perotampoc proposem la contraria, una actitud que l’assimilaria a una caixa del


tot transparent on tot ens resultaria diafan i familiar. Haurem de combinar lesdues concepcions sense barrejar-les en un terbol totum revolutum; ‘acorralarem’i reduirem tant com es pugui el nombre de questions fonamentals (axiomes,principis,. . . ) per als que no tenim explicacio, seran com punts del tot negresdins d’una caixa que, apart d’aquests punts, ens resulti del tot transparent;ignorem del tot el perque d’unes quantes questions fonamentals, pero d’elles ensabem deduir tota mena de resultats particulars amb perfecta transparencia.

1.3 Esquema historic.

En aquesta seccio orientativa nomes es preten introduir i donar els noms deles dues ‘revolucions cientıfiques’ que s’han produit el segle XX canviant laconcepcio ‘classica’. S’esmenten alguns dels protagonistes i dates claus en cadacas i, finalment, el tipus de sistemes fısics diferents que podem trobar-nos a laNatura intentant d’establir-ne classificacions dicotomiques.

1.3.1 Fısica Classica

Basicament, la Fısica Classica va desemvolupar-se des dels temps de Galileu,que va morir l’any 1642, i de Newton, que va neixer un any mes tard. Tradi-cionalment, sol presentar-se estructurada en quatre parts: Mecanica, Termodi-namica, Electromagnetisme i Optica.

Segons la Fısica Classica –i d’una manera que haurem de corregir– cadascundels sistemes fısics pot ser classificat o encasellat de manera dicotomica d’acordamb dos criteris diferents:

a) Criteri de ‘materia-vs-energia’, que ja hem esmentat. Segons aquest criteri,hi ha sistemes materials (o materia) caracteritzats pel fet de tenir massa –als que s’hi pot afegir, o no, una magnitud fısica classicament ben diferent,l’energia. D’altra banda, sistemes fısics com la llum pertanyen a l’altregrup –serien pura energia, no s’hi veu cap motiu per assignar-los unamassa. Retornant a l’anterior discusio, la Fısica Classica s’ocupa de lamateria i l’energia. En principi, algun tipus de balanca (en sentit benampli) podria discriminar entre uns sistemes i els altres.

b) Criteri d’‘ona-vs-corpuscle’: els corpuscles (materials) i els cossos amb ellsformats (materia composta) segueixen al llarg del temps trajectories bendefinides en l’espai; d’altra banda, la llum es comporta com una ona, ambuna longitud d’ona caracterıstica i un ‘front d’ones’ que ocupa l’espai demanera ben diferent al d’una trajectoria corpuscular. Aquest fet provocael fenomen (avui) facilment observable d’interferencies lluminoses. Aixod’interferir, un corpuscle, es creu en la concepcio classica, que ‘ell mai noho faria’. D’aquesta manera, la possibilitat o impossibilitat d’observar-neinterferencies permetria tambe discriminar entre aquestes dues categories:ones o, alternativament, corpuscles.


1.3.2 Relativitat(s)

Einstein es el ben conegut autor de la Relativitat Restringida o Especial(1905), aixı com, uns 10 anys mes tard, de la Relativitat General, una mo-derna teoria de la Gravitacio.

Entre d’altres, aquesta aportacio corregeix l’error classic de tipus a): E =mc2, estableix l’equivalencia i convertibilitat entre massa i energia. En aquestsentit, no hi ha dues categories de sistemes fısics –tal i com establia el critericlassic a). N’hi ha una de sola: tots tenen ‘massa-energia’.

1.3.3 Mecanica Quantica

Schrodinger, Heisenberg i molts d’altres van desenvolupar la Mecanica Quan-tica al voltant del 1925 introduint la segona revolucio cientıfica del s.XX.

Es corregeix aixı l’error classic de tipus b): la manera d’ocupar l’espai esessencialment comuna a tots els sistemes; els corpuscles, per exemple, gaudeixend’una posicio ‘desdibuixada’ com la de les ones i, com elles, poden interferir.Arribem aixı a les famoses ‘indeterminacions’ quantiques i a la ‘dualitat ona-corpuscle’. Altra vegada les dues categories del criteri classic b) es redueixen auna sola amb caracterıstiques ‘duals’. Pero aquesta es una questio secundaria enun curs centrat en la Relativitat. Oblidem-nos-en, entre altres motius, perqueel propi Einstein no la podia suportar . . .

1.4 Magnituds fısiques. Unitats SI

Ja ha estat dit que la Fısica es centra en aquelles propietats o caracterıstiquesde cada sistema que son susceptibles de ser mesurades. De cadascuna d’aquestespropietats se’n diu, ho repetim tambe, una magnitud fısica i, pel que estem dient,podra anar associada a un procediment o protocol de mesura experimental. Esen aquest aspecte que la ‘dictadura de l’experiment’ tambe esmentada ens potajudar a l’hora de definir les magnituds fısiques primaries o fonamentals.

1.4.1 Magnituds fısiques fonamentals

La massa, la posicio en l’espai i el temps son magnituds fısiques fonamentalsa les que ens haurem de referir necessariament varies vegades. N’hi ha quatremes de magnituds fısiques fonamentals, que el lector pot trobar en molts textosde fısica pero que poden ser evitades en aquesta exposicio. Les donem llistades,junt amb les tres anteriors, tal com poden llegir-se a la pagina web del BIPM(Bureau International des Poids et Mesures), vegeu Fig.3.

Mesurar la ‘massa’ d’un sistema es comparar-la experimentalment amb una‘massa patro’ –el kilogram (kg)– tal i com sabem fer amb una senzilla balancao amb les seves versions mes sofisticades. Aquest protocol experimental demesura ens pot donar aixı una definicio de ‘massa’ que anomenarem ‘definicio

operacional’. Preten i aconsegueix substituir una definicio terminologica i mestradicional de ‘massa’ en termes de conceptes mes elementals, definicio que s’ens


Figura 3: SI d’unitats. Hi apareixen les set magnituds fısques fonamentals i les respectives unitats

en l’anomenat Sistema Internacional (SI) d’unitats. Les tres primeres entrades, pero, son les que

centraran la nostra atencio


fa inaccessible donat el caracter ja elemental i primari del concepte de ‘massa’(mes endavant veurem, per exemple, els esforcos poc reeixits que ha de fer elGran Newton en casos semblants, secc. 2). No ens comprometem en dir que esla massa, pero aconseguim donar-li una entrada objectiva i rigurosa al nostreformulisme.

Un sistema d’eixos, o sistema de referencia, i un nou patro de mesura delongituds –el metre (m), que es el patro mes famos i dona nom a tota la cienciade la mesura o ‘metrologia’– permeten analogament una introduccio solida ioperacional de la mesura de distancies i de les nocions de posicio i d’espai. Un omolts rellotges sincronitzats, funcionant perfectament, ho fan analogament ambla nocio de temps que mesurarem normalment amb un nou patro –el segon (s).Ni espai ni temps quedaran aixı explicats en termes de nocions mes senzilles –nosembla que n’hi hagi de nocions mes elementals que les que pretenem definir–pero entraran sense ambiguitats a protagonitzar molts aspectes de la fısica.

1.4.2 Unitats SI

El resultat de tota mesura es un valor numeric acompanyat moltes vegades del’error experimental que l’afecta i, en tot cas, de la unitat de mesura corres-ponent. Qualsevol text de Fısica, donat que aquest es un tema mes tecnic,discuteix aquestes unitats. Les unitats del Sistema Internacional, SI, son lesque utilitzarem preferentment. La seva importancia va mes enlla de la Fısica ide la Tecnica: fins i tot surten al B.O.E. i son les de curs legal! Les que corres-ponen a les set magnituds fısiques fonamentals de l’apartat anterior apareixenllistades a la Fig.3.

Parlarem basicament de tres d’elles nomes: el metre per a longituds, el segonper al temps i el kilogram per a la massa. Les altres quatre no ens calen. N’hiha despres una llarga llista de ‘derivades/suplementaries’: per a velocitat, forca,carrega electrica, pressio,... Les seves definicions respectives en termes de les‘fonamentals’ no ofereix normalment cap dificultat.

Cal fer esment especial al metre (tradicional) que va ser establert com la deumilionessima part del quadrant de meridia entre el Pol i l’Equador terrestres. Lamesura es va fer entre Dunkerke i Barcelona, ciutats que es troben practicamental mateix meridia, separades per uns 9.5◦ de latitud, al Nord i al Sud del paral·lel45 i ambdues al nivell del mar. Es van fer mes d’un centenar de triangulacionsentre les dues ciutats utilitzant, com a vertexs dels diferents triangles, els cims deMontjuic, Vallvidrera, Montserrat, Rocacorba, Canigo,. . . entre d’altres. Caliamesurar amb maxima precisio els angles d’aquests triangles i, directament, lalongitud d’un dels costats d’almenys un triangle. Es va optar pel costat queapareix a la Fig.5 unint Salses amb el Vernet, just al Nord de Perpinya. Vanaplanar-se els 12 km que fa aproximadament i s’hi anava colocant el patro demesurar llavors vigent: la ‘toesa’. El nom ve del llatı ‘tesa’ i fa referencia ala longitud d’una corda tesa entre dues mans humanes separades al maxim (1toesa = 1,946 metres). El nom complet era ‘toesa del Chatelet’ ja que hi haviaempotrada una barra de ferro al Gran Chatelet de Parıs que servia de patro.Calculs geometrics senzills et donen les toeses que mesura cada costat de cada


triangle (comparteixen costats) i l’arc de meridia. L’astronomia, amb mesuresprecises de latituds, permet finalment completar la mesura de tot el quadrant(90◦) de meridia.

Els cientıfics francesos Mechain i Delambre van encarregar-se d’aquesta mis-sio, una de les mes descollants de la ‘ciencia romantica’ i que, geograficament,ens toca de ben a la vora. No li faltava ambicio ni humanitat, el seu lema,d’acord amb l’esperit de la revolucio, era:

‘A tous les temps, a pous les peuples’.

Mechain va morir al desert de les Palmes, prop de Castello de la Plana, envoler perllongar les seves mesures fent un salt fins les Balears. Van succeir-lo, en mesures relacionades, joves com Arago i Biot, que esdevindrien despresfamosos. El llibre de Guedj: ‘Le metre du Monde’, descriu brillantment total’aventura; ha estat traduit al catala i al castella, perdent-se aixo sı l’oportu jocde paraules entre ‘metre’ (metre) i la seva homofona ‘maıtre’ (amo) del tıtolfrances. Un altre text d’E. Moreu-Rey, ‘El neixement del metre’, ed. Moll,Palma (1956) i reeditat pel Club de Butxaca, ho explica mes succintament. Elllibre de Jose Antonio de Lorenzo Pardo, ‘La revolucion del metro’ (ed. Celeste),en dona mes detalls.

El metre es oficial a Franca des del 10 de desembre de 1799 –fa ben pocse’n va cel·lebrar el segon centenari: un allargassat ‘pique-nique’ amb foie-gras,baguettes i beaujolais el ‘14 de Juillet’ de 2000 seguint ‘la meridiana verda’ desde Dunkerke a Prats de Mollo. D’aquell establiment del ‘metre’ s’ha originat totel sistema metric tan ampliament acceptat avui dia. La memoria final escritaper J. B. Delambre (1806) , el supervivent de l’aventura, ho deixa ben clar: ‘Basedu systeme metrique decimal, ou mesure de l’arc du meridien compris entre lesparalleles de Dunkerke et Barcelone executee en 1792 et annees suivantes parMM. Mechain et Delambre’.

El progres, pero, no perdona i actualment el metre es defineix com l’espai querecorre la llum al buit en una fraccio 1/299792458 de segon. Menys familiar,pero, mes precıs i facil de reproduir. Naturalment, aquesta nova definicio demetre requereix que abans s’hagi establert la unitat de temps, el segon, tal icom es fa a la Fig.3.

1.5 Partıcules Elementals: un exemple excel·lent

Les partıcules elementals –com ja hem comentat– son les parts constituents detot, sense que elles estiguin constituıdes per altres parts mes elementals encara.Serien aixı les peces basiques del nostre gran trencaclosques i fa uns 26 segles quel’humanitat preten identificar-les. Democrit ja va introduir el nom d’“atom”,que ha perdurat fins avui, el segle V abans de Crist. Pero el seu caracterelemental –el que no estiguin formades per altres subconstituents– es impossiblede provar de manera estricta. Seria mes prudent afirmar que son ‘elementals’segons els coneixements de cada moment, ja que la barrera entre composicioi elementaritat es va desplacant amb el temps i el progres. En aquest sentit,son mes aviat el ‘sant Greal’ de la Fısica, qui sap si mai les haurem!. Parlar-ne,


Figura 4: Introduccio de l’assaig de J. M. Vidal presentat a l’Academia de Ciencies de Barcelona

sobre l’establiment del Sistema Metric


Figura 5: Mapa amb les triangulacions fetes per Mechain en la part final (Sud) del seu trajecte. La

meridiana des de Dunkerke a Barcelona va resultar amidar 551584 ‘toeses’. Els noms de les avingudes

barcelonines de la Meridiana i el Paral·lel ens recorden l’expedicio. La figura es de l’entretingut llibre

de Guedj: ‘Le metre du Monde’ citat al text.


pero, ens permetra il·lustrar els tres punts claus de la definicio de Fısica: metodecientıfic, profunditat i lligam massa-energia.

1.5.1 Respostes del passat: mal metode

N’hi ha hagut per a tots els gustos. En citem unes poques a tall d’exemple.

i) Els 4 elements d’Empedocles: aire, aigua, terra i foc ho fan tot. Aquestaera la visio des d’Agrigent el s. V abans de Crist. Va adquirir gran difusioen fer-la parcialment seva el gran Aristotil donant pas als ‘quatre elementsaristotelics’.

ii) Els solids perfectes de Plato: tetra-, hexa-, octa-, dodeca- i icosa-edres.Triangles i quadrats en son les cares. Amb triangles ho farıem tot. Unaaltra visio, geometrica aquesta vegada, proposada ara fa uns 2400 anys.

iii) Els 3 ‘humors’ de Paracels: salı, metal·lic, sulfuros. Un exemple clar d’e-soterisme agut amb efluvis humanıstics. Una proposta defensada ferma-ment per Paracels, que en realitat es deia Theophrastus Phillipus AureolusBombastus von Hohenheim, en iniciar-se el segle XV. Tot i aixo, Paracelsva ser un defensor del metode empıric en el cas de la medecina i va teniralgun encert notable en aquest camp.

iv) ...i tants d’altres autors i opinions ...

... es a dir, “tants caps, tants barrets”. Es obvi: hi mancava la part expe-rimental o hi era de manera ridıculament superficial i deslligada de tot intentsistematitzador o formal.

Aquest ultim es el cas de l’Alquımia, que mereix un paragraf apart, ambuna gran varietat de proves experimentals, que no portaren a la “gran obra”pero que permeteren la preparacio de nous compostos. Un dels primers (segleVIII) i mes important dels alquimistes fou Jabir ibn Hayyan (Al-Sufı, pels seusconeixements, i Al-Kufi, perque visque llargues temporades a Kufa, prop delriu Eufrates). La seva obra es extensıssima i fou escrita i difosa probablementpels membres de la secta ismaelita. Jabir va ser protegit per Harun al-Raschid,el de Xerazade i de les ‘Mil i una nits’, a la cort de Bagdad. Per a Jabir,a la base dels quatre elements aristotelics, hi ha quatre ‘qualitats o naturale-ses elementals’: calor, fredor, sequetat i humitat. Dosificant aquestes qualitatselementals en la ‘substancia’ es formen el foc (calor+sequetat+substancia), l’ai-re (calor+humitat+substancia), l’aigua (fred+humitat+substancia) i la terra(fred+sequetat+substancia). El sofre i el mercuri, portadors respectivament decalor+fred i fred+humitat, jugaven un paper important en l’alquımia de Jabir.

El segle XIV, un alquimista apareix a la penınsula iberica que adopta elnom de Geber llatinitzant aixı el nom de Jabir. El misterios Geber esdeve undels alquimistes mes famosos de tots els temps. Certa rellevancia tingue tambeArnau de Vilanova que visque en el segle XIII. Una vegada mes els elements


aristotelics es manifestaven en una de les seves experiencies: la destil·lacio frac-cionada i en sec de la sang humana. En surt una primera fraccio d’aigua clara,una segona fraccio es un lıquid groguenc (l’aire) i la tercera, de color roig, es elfoc. D’experiments no en faltaven. . .

Quan posteriorment a aquesta activitat experimental s’hi afegeix el metodecientıfic, Dalton, Lavoisier, Avogadro i altres dedueixen les lleis fonamentals del’atomıstica i formen un cos de doctrina valuosıssim. Ja es quımica moderna. Itambe fısica, perque s’estava en els lımits de l’elementaritat d’aquells moments.Despres vingueren sistematitzadors importants com el propi Mendeleiev i la sevataula periodica. Els atoms d’un centenar d’elements son identificats i passen atenir una estructura cada vegada mes ben coneguda. En profunditzar mes i mesen aquesta estructura la fısica es separa de la quımica i es prepara per identificarles peces elementals de la Natura tal com ara les veiem.

1.5.2 Resposta del 2009, acceptada i estandard: bon metode

Queda esquematitzat a la Fig.6: “The Standard Model”, tal com l’han completatrecentment els investigadors de Fermilab en identificar i detectar recentment(1996) la peca que hi mancava, el quark ‘top’. Tambe a la Fig.7 s’hi il·lustra (ocaricaturitza) el metode seguit per arribar-hi: s’aporta gran energia a un xocentre un proto i un antiproto. S’origina aixı un ‘mini Big Bang’ en el punt delxoc i es convida a la Natura a manifestar-se produint altres partıcules, a partirde l’energia aportada i d’acord amb l’arxi-repetida E = mc2. Repetint elsxocs milions de vegades i observant el que en surt, anem trobant i identificantels diversos tipus de partıcules elementals. Es la natura qui s’expressa, elsfısics experimentals nomes observen i per aquest motiu el metode seguit te unaconsequencia fonamental: fa que hi hagi acord unanim i se’n pugui dir, per aixo,model estandard.

Resumint-ho molt, conve establir tres classes de partıcules:

i) leptons i anti-leptons, un d’ells es l’electro. Vell conegut de fa 100 anys iben domesticat per l’Electronica.

El nom de ‘lepto’ ve del grec i fa referencia a la relativa lleugeresa d’a-questes partıcules.

ii) quarks i anti-quarks, en particular, els quarks ‘up’ i ‘down’. De tres en tres,formen protons i neutrons. Aquests formen despres nuclis atomics, atoms,molecules..., i el 99.9% del nostre cos i dels objectes que ens envolten.

El nom de ‘quark’ esta tret de l’enrevessada narracio de James Joyce“Finnegan’s wake” i fou proposat per M. Gell-Mann. S’ha imposat i, comels ‘quarks’ (mig iogurt, mig recuit) que trobem als supermercats, se’nspresenten amb diferents ‘gustos’ i ‘colors’.

iii) bosons de gauge, un d’ells forma la llum: el foto. Aquest, el veiem fins itot.

El nom d’un fısic indi, Satyendra Nath Bose, ha servit per batejar-los, enpart almenys.


Figura 6: Standard Model: les partıcules elementals tal com ho veiem actualment. La figura es del

laboratori Fermilab, prop de Chicago, i commemora la produccio i observacio dels primers quarks

‘top’, la bola negra de gran massa que tanca l’esquema. Convindria completar la figura afegint-hi

els corresponents antileptons i antiquarks


Figura 7: Xoc proto-antiproto donant top-antitop i les seves posteriors desintegracions. Un ‘Mini

Big Bang’ on la Natura torna a expressar-se (tımidament, aixo sı) com ho va fer a l’inici dels temps,

ara fa uns 14 mil milions d’anys. Pot mostrar-nos aixı, com en una segona ‘mini-creacio’, les diferents

peces que composen el mon


Figura 8: Desintegracions successives detectades al CERN. Al punt d’interaccio IP s’hi han anihilat

un electro i un antielectro xocant amb velocitats oposades i molt properes a la de la llum. La

Natura disposa aixı de molta energia, un ‘mini Big Bang’ per produir les seves peces mes elementals.

Cada lınia correspon a la trajectoria d’una partıcula amb carrega electrica (especificada amb l’ındex

superior del seu sımbol). Dins dels parentesis s’hi indica la composicio de cada partıcula en quarks

i antiquarks (aquests marcats amb una titlla)


Pero aquest tema es tant important que cal afegir-hi alguns detalls. Cadascund’aquests objectes es, pel que sabem avui dia, elemental, es a dir, no hi hempogut veure ni parts mes petites, ni res que permeti assignar-li una extensiono nul·la. Aixı, ens consta experimentalment, per exemple, que l’eventual radid’un electro ha de ser mes petit que 0.3× 10−18 m; aquest valor es mil vegadesinferior al del radi de l’objecte no elemental mes petit que hem mesurat, el delproto, que esta format per dos quarks up i un de down distanciats tıpicamentuns 10−15 m els uns dels altres.

L’equivalencia i convertibilitat entre massa i energia ha estat essencial perproduir moltes d’aquestes partıcules elementals. Totes tenen per aixo ‘massa-energia’: algunes –acompanyades en l’esquema d’una bola de volum mes o menysgran– tindrien una massa proporcional a aquest volum si estiguessin lliures iaturades, i d’altres –com el foto, acompanyat d’un punt en la Fig.6– viatgensempre a la velocitat de la llum, pero, abusant del llenguatge, diem que tenenmassa nul·la i una ‘massa-energia’ d’origen cinetic. La massa dels neutrinsapareix com 0? ja que fins fa poc temps es creia que era tambe nul·la; avuisabem que no es aixı, cal que tinguin massa tot i que, sent tan i tan petita, nohem estat capacos de mesurar-la encara.

Sorprenentment, totes les partıcules elementals que coneixem son com mi-nuscules baldufes en rotacio, tenen moment angular intrınsec –sol dir-se’n spin–no nul. Els leptons i els quarks (aixı com les seves antipartıcules respectives, elsantileptons i antiquarks) tenen spin 1/2 h i se’n diuen tambe fermions. S’orga-nitzen en les tres ‘famılies’ o columnes de la Fig.6 i, en cert sentit, son els blocsconstituents de sistemes compostos: protons, neutrons, nuclis, atoms, molecules,... Els de l’altra classe, la dels bosons de gauge que inclou ja les seves propiesantipartıcules, tenen tots spin doble (1 h) i, en cert sentit, son els responsa-bles de les interaccions entre partıcules, capaces, entre d’altres coses, de lligarconstituents en els sistemes compostos abans esmentats. Finalment, la carregaelectrica i altres carregues analogues son magnituds fısiques que permeten dis-tingir cada partıcula de les altres (i, de les antipartıcules, que tenen aquestescarregues com la de la seva partıcula corresponent pero amb el signe oposat).

Queden algunen questions pendents: la gravetat i el boso de Higgs, basica-ment. La gravetat es de mal encaixar en aquest esquema i el Higgs encara noha estat identificat i esta en fase d’intensa recerca i captura. Son un parell dequestions obertes a les que caldra trobar-hi resposta, pero, si les deixem apart,el quadre que ens presenta el model estandard es notablement solid.

Com hem arribat a aquest quadre que satisfa gairebe del tot i a tothom?Es una historia llarga i apassionant que ha transcorregut sobretot en la segonameitat del s. XX i ha motivat la concessio de nombrosos premis Nobel defısica. Un llibre recent de J. Velasco, ‘La textura del mon’ de l’editorial Bromera(Valencia, 2000), ho exposa de manera amena, detallada i autoritzada. I ensrecorda com s’ha aconseguit: “¡No ‘milagro, milagro’; sino industria, industria!”,Cervantes, El Quixot, 2a

¯ part, cap. XXI.Trobareu tambe molta informacio a la xarxa. Per exemple, als enllacos

http://pdg.web.cern.ch/pdg/particleadventure/spanish/index.htmlhttp://public.web.cern.ch/Public/Welcome.html


i als que hi trobareu connectats. El CERN o Centre Europeu per a la RecercaNuclear (de fet ara es recerca subnuclear, de partıcules) permet les col·laboraci-ons (centenars de fısics experimentals en moltes d’elles) entre diferents laborato-ris i universitats (la UAB entre elles). S’hi han obtingut resultats cientıficamentmolt rellevants i ha proporcionat molts avencos tecnologics. La web que enaquest moment permet comunicar-nos tan agilment n’es un d’ells: ‘CERN ...where the web was born’ diu l’eslogan.

1.5.3 Respostes (possibles) del futur

Simplificacio? Probable. Ampliacio a mes de 3 “famılies”? Improbable: aixıho indiquen observacions astrofısiques i cosmologiques i les indeterminacionsquantiques (!) mesurades en la massa del boso de gauge Z.

1.6 Fısica vs escacs

Es tracta de fer un exercici. Discutiu les analogies i diferencies que hi ha entreles dues activitats seguents:

a) fer recerca en Fısica (es a dir, esbrinar quines son les lleis naturals) i

b) fer la recerca propia d’uns hipotetics arqueolegs que arribessin a la Terrades de l’espai exterior i volguessin “trobar” o reconstruir el reglament delsescacs sabent que ja no hi ha humans i s’ha destruit tot reglament esca-quıstic. Disposen, pero, d’unes dades rellevants: han trobat la col·lecciode problemes d’escacs plantejats diariament a “La Vanguardia” i resoltsl’endema.

1.7 Fısica i matematiques: una simbiosi.

Les Matematiques son un llenguatge del que la Fısica no pot prescindir. Segonsalguns autors, aquest es el tret distintiu de la Fısica que la fa radicalmentdiferent d’altres ciencies. Tot i aixo, en aquesta exposicio intentarem –no esgens facil– fer-ne un us mınim o escapolir-nos de les dificultats matematiquesemprant algun subterfugi.

Aixı, a les Figs.9-11 hi presentem el conegut teorema de Pitagoras en tresllenguatges: prosa, matematic i grafic. La versio en llengua arab (α1) i laseva traduccio al castella antic (α2) ha estat treta de l’analisi de G. Bossong,“Science in vernacular languages”, 1984, relatiu a les dificultats d’expressarresultats matematics i operar amb ells en llenguatges no-matematics.

Efectivament, els paragrafs anteriorment esmentats poden resumir-se en l’-expressio

chor360◦

3=

√

4R2 −[

chor360◦

6

]2


Figura 9: Un cas particular del teorema de Pitagores en arab i la seva traduccio al castella antic.

Conve comparar aquests textos amb la seva versio equivalent en llenguatge matematic

RR

36061_3603

1_

Figura 10: Representacio grafica dels angles, radis i ‘cordes’ (‘chor’) del triangle rectangle dels

textos de la Fig.9


c

a

b a2 b2c2=+

c2b2

a2

Figura 11: Teorema de Pitagores: una prova geometrica que s’explica per si mateixa.

que pot traduir-se ben agilment a d’altres expressions matematiques equivalents,per exemple,

4R2 =

[

chor360◦

3

]2

+

[

chor360◦

6

]2

.

El llenguatge geometric pot ajudar-nos a visualitzar el contingut del que finsara s’ha dit d’aquest cas particular del teorema de Pitagores. Tambe pot servirper donar una prova ben coneguda, i que s’explica per si mateixa, del teoremade Pitagores en el cas general, a2 + b2 = c2, relacionant aixı els ‘quadrats’ delstres costats de tot triangle rectangle, Fig.11. Tot ‘quadra’, i mai tan ben ditcom en aquest cas, a la perfeccio.

2 FISICA CLASSICA 27

2 FISICA CLASSICA

Els llibres de text que l’alumne ha estudiat solen referir-se a aquesta part dela Fısica, que, d’altra banda, sol subdividir-se en quatre apartats: mecanica,termodinamica, electromagnetisme i optica. Una exposicio actual, detallada,ben il·lustrada i molt completa d’aquests temes pot trobar-se, per exemple, enel text ‘Fısica’ de P. A. Tipler, ed. Reverte S.A., 1994, en catala i castella (i unanova edicio castellana de 2005 per P. A. Tipler i G. Mosca). El nostre objectiuno es repetir les exposicions d’aquest o d’altres textos sino discutir-ne els granstrets, donar alguns exemples il·lustratius i dirigir-nos despres a questions mesactuals i menys familiars. Per aixo comencarem de manera poc habitual, parlantde ‘miseries i grandeses’ de la Fısica Classica.

A) GRANDESES:D’uns pocs axiomes, postulats o principis → molts teoremes o proposicions→ infinites aplicacions i prediccions comparables, moltes vegades, ambexperiencies o observacions.

Amb les fletxes (→) pretenem enfatitzar l’aspecte ‘deductiu’ del metodecientıfic de la Fısica. D’altra banda, la posibilitat de confrontar els re-sultats experimentals amb les prediccions teoriques, un altre vessant delmetode cientıfic, converteix en verificable o “falsable” la teoria; aquestaidea de falsabilitat, introduida per Karl Popper, es essencial i ha de fervulnerable (i aixo en aquest cas es un merit!) tota teoria fısica davant delsfets experimentals. En les propies paraules de Popper:

‘el criteri de status cientıfic d’una teoria es la seva falsabili-tat’.

B) i MISERIES:Els axiomes que configuren la Fısica Classica son internament coherents(per ara, anem be!) i les prediccions que d’ells se’n deriven expliquen gai-

rebe perfectament els fets experimentals i observacionals. Tant es aixı, queson la base d’una gran varietat d’aplicacions molt valuoses en l’enginyeriai tecnica modernes. Pero apareixen discrepancies, detectables malgrat laseva petitesa, en determinades situacions; aquestes petites discrepanciesentre teoria i experiment poden ampliar-se, pero, en situacions extremes o“inhumanes” que no solen interessar-nos i de les que molt sovint en podemprescindir.

Quelcom hi ha doncs d’erroni o de mal entes en la Fısica Classica; filantprim, hem de dir que, malgrat la seva importancia i exitosa aplicaciotecnologica, ja esta “falsada” i que l’haurem de modificar. Neixen d’aquıles “revolucions” fısiques del s. XX: la Relativista i la Quantica.

2.1 Mecanica classica o newtoniana

Els ‘Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica’ de Newton (1687) son el mo-del classic i basic d’exposicio d’un cos de doctrina o teoria cientıfica. Suposem


que el lector en coneix els punts mes importants. Per aixo, aquı nomes els enume-rem tot seguit, i n’exposem el seu contingut fonamental molt esquematicament.

AXIOMATA sive LEGES MOTUS

LEX I

Defineix els Sistemes Inercials de referencia (SI).Son aquells on: NO forca ↔ NO accelaracio.Hi ha diferents SI’s: S (estacio), S’ (tren amb velocitat ~V constant), ...Tots aquests SI’s son privilegiats: en ells la Fısica hi es mes senzilla.Pero cap d’aquests SI’s es mes privilegiat que un altre SI.Sistemes NO Inercials: el Dragon Khan de Port Aventura, amb una velo-citat ~v NO constant respecte a un SI (o practicament inercial, com es unsistema lligat a la Terra). Una velocitat es NO constant si canvia el seumodul i/o la seva direccio.

LEX II

En tot SI: ~F = m~a; o, millor, ~F = d(m~v)/dt ≡ d~p/dt, on forca, ~F , i massa,m, son magnituds fısiques primaries que poden definir-se operacionalment.Diem ‘en tot SI’ perque cap d’ells te avantatges o privilegis, LEX I.El moment lineal, ~p ≡ m~v, juga un paper fonamental i pot definir-se entermes de massa, espai i temps. Newton l’anomena “motus” i en textoselementals de fısica “quantitat de moviment”.

LEX III

Les forces entre tota parella d’objectes que interactuen formen sempreparelles d’accio-reaccio. Una forca actua sobre un objecte, l’altra forca hofa sobre l’altre objecte.

Com s’ha dit repetidament, el conjunt d’aquestes tres lleis son un exemple para-digmatic de teoria –la Mecanica Classica– ben estructurada.

Tot i la importancia extraordinaria d’aquesta aportacio, el Gran Newtonno s’escapa de la crıtica seguent. Abans de donar les esmentades lleis, se sentobligat a definir els conceptes primaris que hi intervenen: temps, espai, massa...Del temps, per exemple, tot intentant explicar-ne la seva natura, en diu:

“El temps absolut, veritable i matematic, per si mateix i per sapropia natura, flueix uniformement i sense relacio amb res exterior,i tambe se l’anomena durada; el [temps] relatiu, aparent i vulgares qualsevol mesura de la durada (acurada o imprecisa) realitzadasensiblement i externament mitjancant el moviment, la qual es usadavulgarment enlloc del temps veritable; com hora, dia, mes i any”


La primera meitat d’aquesta definicio, la de temps ‘absolut’, no sembla massa re-eixida i, d’altra banda, difıcilment es podra millorar si no es canvia d’estrategia;ho veia prou clar, molt abans, Agustı d’Hippona:

“Si no em pregunten que es [el temps], ho se; si algu vol que liho expliqui, no ho se”.

La segona meitat de la definicio newtoniana, la d’un temps ‘relatiu’, que com-plau ben poc a Newton, pot, en canvi, refinar-se i dignificar-se indefinidamentperfeccionant el metode de mesura i millorant-ne la seva precisio. Vegeu, mesendavant, com ho fa el propi Einstein. Es veu ara la necessitat de recorrer adefinicions operacionals com anticipavem a la secc. 1.4?

Podem confirmar el que estem dient fixant-nos amb la definicio newtonianad’espai que comenca aixı:

“L’espai absolut per sa propia natura roman ell mateix i immobilsense cap relacio amb res exterior; el relatiu n’es qualsevol mesura...”

I tambe amb el concepte de ‘massa’, que Newton assimila al de quantitat demateria i defineix aixı:

“Quantitat de materia es la mesura de la mateixa, originadaconjuntament per la seva densitat i el seu volum”.

Aquesta ultima definicio seria acceptable si disposessim de definicions de densi-tat i de volum, pero no es aixı, i acabarem mossegant-nos la cua. Donant aquesttipus de definicions que pretenen ‘explicar’ nocions tan primaries, no estaremfent volar coloms?

Aquestes definicions, properes a la nostra experiencia quotidiana, pero llu-nyanes d’altres mes aprofundides i propies de la fısica, es concretaran despresen sentencies sobre el pas indefugible del temps com aquesta:

“... sed fluxus temporis absoluti mutare nequit”

Son opinions que hem expressat en les propies paraules llatines de Newton ique ens semblen tan irrenunciables que apareixen al refranyer de totes les ci-vilitzacions. Resultara, pero, que son senzillament falses, tal i com veurem enRelativitat. Un dels grans merits de la ciencia, i que es consequencia directade la vessant experimental del metode exigit, es alliberar-nos d’aquest tipus deprejudicis.

2.1.1 Mecanica Classica: Relativitat de Galileu

Galileu va morir l’any 1642, precisament el mateix any del naixement de New-ton segons el calendari vigent a l’Anglaterra del s. XVII (segons el calendaricontinental, Newton va neixer el dia de Nadal de 1943). N’es, per tant, el seuprecursor mes immediat i tambe el mes important. La Fig.12 reprodueix laportada i la Fig.13 un llarg paragraf del ‘Dialogo sopra i due Sistemi Massimi


Figura 12: Portada dels ‘Dialoghi’ de Galileo Galilei.

del Mondo: Tolemaico e Copernicano’; es tracta d’un altre text classic de laciencia, que a Italia fins i tot s’estudia, o s’estudiava, a vegades a classe de Lite-ratura. S’hi defensa insistentment el metode experimental: la primera frase delparagraf que hem reproduit aquı, per exemple, conte ja dues paraules derivadesd’‘experiment’. I es fa us d’aquest metode per proposar el Principi de Relativi-tat de Galileu, que te encara plena validesa, ja que Einstein el va ampliar, sensecontradir-lo, l’any 1905 amb la seva nova Relativitat.

i) El Principi de Galileu parla dels diferents Sistemes Inercials SI (d’aquestsdiferents SI en direm S, S’, ...) i permet resumir el llarg paragraf de laFig.13 destil·lant-lo en una sola frase:

‘Tots els Sistemes Inercials son equivalents per expressar-hitotes les lleis de la Mecanica’

Es centra, per tant, en desenvolupar la LEX I, on s’introduien aquestsimportants sistemes SI, afirmant que el conjunt de les tres LEGES MO-TUS, i de totes les altres lleis i teoremes que se’n poden derivar, valen enqualsevol SI; el redactat en prosa o la corresponent formula matematicad’una llei mecanica valida a S, val tambe, sense cap canvi, a un altre SI,S’. D’aquesta propietat en direm covariancia galileana de les lleis de lamecanica.

Noteu que aquest fet, el que la mateixa llei o formula es satisfaci tant aS com a S’, no implica que hagi de satisfer-se amb els mateixos valorsnumerics. Si des d’S i S’ es prenen, respectivament, dos conjunts de me-sures que caracteritzen un mateix fenomen o esdeveniment, en general,


Figura 13: Text de Galileu sobre el seu principi de Relativitat. Noteu les referencies a l’experiment

que es fan des de la primera frase


els valors numerics de les mesures corresponents no coincidiran; pero ensubstituir cadascun d’aquests dos conjunts de valors numerics diferents enla llei o formula comuna, aquesta es satisfara en ambdos casos, tant per auns valors (els mesurats des d’S) com per als altres (mesures des d’S’).

Per copsar l’interes d’aquesta aportacio conve tornar un moment al regla-

ment dels escacs; te poc merit adonar-se que fixa identiques normes tant sila partida es juga a l’estacio (S) com dalt del tren en plena marxa (S’); noadonar-se’n seria caure en la tıpica confusio entre ‘gimnastica i magnesia’ o‘tocino y velocidad’. Si en lloc dels escacs i del seu reglament, contemplemara un intent de carambola de billar i el calcul de la velocitat que cal donara la bola per aconseguir-la (dinamica!), la situacio, en principi, podria serben diferent; la velocitat del tren sı que podria estar relacionada amb lade la bola. Doncs be, Galileu ens ha ensenyat que no, que les caramboless’aconsegueixen pensant-les i executant-les identicament tant a l’estacio Scom dalt del tren S’.

ii) Una aplicacio a) qualitativa i una de b) quantitativa d’aquesta “llei delleis” que es el pricipi de Relativitat de Galileu:

a) Anant a la vela

Dos companys, experts en anar a la vela, es desafien a una regata desd’Amposta (on l’Ebre ja te forca amplada i esperem que la conservi)fins al mar, riu avall. En arribar al punt de sortida descobreixen–TV3 ja ho havia advertit– que no fa vent i que al delta no s’hi mouni una fulla d’arbre. Tot i aixo, sent ja alla, decideixen baixar Ebreavall arrossegats pel corrent i, en fer-ho, noten naturalment l’aireque els ve de cara (proa). Un dels dos amics segueix amb les velesplegades, s’asseu evitant fregaments amb l’aire i es menja el pa ambtomaquet; l’altre, exemple de diligencia i virtut, hissa veles i navegacorrectament. Qui arribara abans a mar oberta?

Per contestar-ho, es l’exercici que proposem al lector, la fısica ensdona el Principi de Galileu i caldra que hi afegim logica i coneixe-ments mınims o obvis de com anar a la vela; i no en sentit figurat, esclar.

La resposta es que, com a consequencia del principi de Galileu, gua-nya la regata el que hissa veles. El principi ens garanteix que ‘l’airede cara’ sigui, a tots els efectes mecanics, veritable ‘vent’ per als dosamics que baixen riu avall. Com que un bon navegant sap navegarcontra vent (sempre i quan pugui fer bordos, cosa factible on l’E-bre es ample) guanyara la regata. Costa d’acceptar aquest argumenttan concıs? Potser sı, pero dona la resposta correcta tal i com po-drıem comprovar embarcant-nos. Aquesta es la potencia de la fısica:ens permet arribar a solucions correctes pero, sovint, inesperades.I quant mes inesperades o impensables siguin, mes valor te el fetd’haver-hi arribat: no ho haurıem aconseguit de cap altra manerasense la fısica. Hi ha altres arguments fısics que porten a la mateixa


conclusio sobre qui guanya la regata, per exemple, els lligats a l’a-profitament d’enegia eolica que des de la barca es pot fer; son peroarguments complementaris i menys directes, no superen el que tanbreument hem fet basant-nos en el principi de Galileu.

b) Xocs sense efecte al billar

Si una bola (o moneda) en moviment colpeja una segona bola (omoneda) d’identica massa que l’esperava en repos, l’angle de sortidaque formen despres del xoc les dues boles (monedes) emergents essempre de 90 graus amb independencia de ‘quanta bola s’hagi tocat’.Aquesta prediccio de la mecanica classica –facil de comprovar ambmonedes sobre una taula llisa– pot deduir-se de moltes maneres, aquıen proposem una de grafica que l’alumne/a hauria de completar.

Per contestar-ho, la fısica torna a donar-nos el Principi de Galileui, a mes a mes, unes lleis de conservacio que no hem discutit peroque son ben conegudes i cal utilitzar. Aquestes lleis impliquen quesi dues boles (monedes) iguals s’acosten fins a xocar amb velocitatstambe iguals i oposades, sortiran del xoc allunyant-se l’una de l’al-tra tot i conservant cadascuna el modul (valor) de la seva velocitatinicial; han canviat una direccio amb sentits oposats inicial per unanova direccio tambe amb sentits oposats final i l’angle entre les duesdireccions dependra de ‘quanta bola s’hagi tocat´. Al SI S de la tau-la de billar no es donen aquestes condicions ja que una bola esperaaturada mentre l’altra se li acosta a velocitat V . Pero si ens posema raonar des d’un SI, S’, que es mou amb velocitat V/2 empaitant labola mobil, llavors sı que ens trobem en la situacio desitjada: cadabola es dirigeix envers l’altra i ho fan amb velocitats iguals i opo-sades ±V/2. Per tant, vistes des d’S’, les boles tambe sortiran delxoc allunyant-se l’una de l’altra, amb velocitats ±V/2 i al llarg d’unanova direccio. Aquestes dues velocitats a S’ formen un angle de 180graus. Ara caldra, com en l’exercici anterior, que hi afegim logica inocions de geometria elemental sobre igualtat de triangles i la per-pendicularitat de les dues diagonals d’un rombe. Ens convenceremaixı que a S, el SI de la taula on es plantejava el problema, l’angleentre les velocitats de sortida es de 90 graus.

2.1.2 Mecanica: Estatica

Es obra original d’Arquimedes i la seva estructuracio constitueix un altre classicde la ciencia. Cal tenir present que Arquimedes va viure al s. III a.C. a Agrigenti que hi ha molta llegenda laudatoria al voltant de la seva figura. Es bo quesigui aixı, ja que la seva obra cientıfica es genial i variada.

Com a primer exemple podem recordar les seves contribucions a la hidros-tatica i, particularment, el principi d’Arquimedes sobre la flotacio dels cossos,que son ben conegudes i popularitzades al crit de ǫυρǫκα!; la posteritat podriahaver ‘falsat’ aquest principi (te contingut cientıfic, fısic), pero no ho ha fet isegueix vigent (conte bona fısica); ha passat, aixo sı, de la categoria de principi


al de teorema deduıble de les lleis de Newton i de les forces en fluids sotmesos ala gravetat.

Altres aportacions d’Arquimedes tenen un caire plenament matematic i, toti no ser tan conegudes, son, en canvi, mes concretes i igualment brillants. Ensreferim, per exemple, al valor del nombre π que Arquimedes va situar entre 3+ 10/71 i 3 + 10/70, es a dir, 3.140845 . . . ≤ π = 3.141593 . . . ≤ 3.142856 . . ..Una altra aportacio consisteix en veure com el radi R d’una esfera en determinaunıvocament la seva superfıcie (S = 4πR2) i el seu volum (V = 4πR3/3). Sonresultats matematics i, per tant i diferentment al que comentavem poques lıniesmes amunt, son definitivament certs. En particular, pel que fa al valor de πel podrem coneixer amb precisio cada vegada mes gran, pero aixo no ‘falsara’l’afirmacio d’Arquimedes.

Tornant a l’estatica arquimediana, a la Fig.14 se’n dona una versio ben pro-pera a l’original que en conte els seus aspectes mes rellevants i, en especial,l’estructuracio en ‘axiomes’ dels quals en podrem deduir despres tota una seriede ‘proposicions’. Discutirem breument aquest cos de doctrina i, tot seguit,il·lustrarem algunes de les seves aplicacions.

i) Teoria: ‘axiomes’ i ‘proposicions’.Arquimedes va proposar ara fa uns 23 segles (!) una teoria per als sistemesde cossos en equilibri perfectament estructurada: consisteix en unes lleisfonamentals o AXIOMES i, tot seguit, en un munt de consequencies deri-vables d’aquests axiomes, que ell va dir-ne ‘proposicions’ i avui mes aviaten dirıem teoremes. Els AXIOMES o lleis fonamentals originals son set iregeixen exclusivament situacions dinamiques com les que ara concretem.Suposem que es disposa d’unes quantes peces i volem muntar amb elles unsistema compost. Com ens ho farem perque una vegada muntat i deixaten repos no es desmunti ni es bellugui? O, el que es el mateix, com acon-seguirem que estigui en equilibri? Normalment les diferents peces seranbarres o cossos rıgids i indeformables, i cables o cordes en tensio. Unabalanca i, millor encara, una romana amb pesos desplacables i una barrarıgida en son bons exemples. Les peces de fusta d’un joc de construccionsinfantil en son un altre. Les grues de la construccio, avui dia mes visiblesque les balances classiques, tambe. A la llum d’aquests exemples, podemafirmar que l’estatica es centra basicament en la LEX III, que ens parlade forces (aquı, tot sovint, de pesos) i en una situacio molt particular: lad’equilibri, la de no iniciar-se cap moviment. Son, per tant, casos menysgenerals que els tractats per la LEX II. Gracies a aquesta limitacio certa-ment drastica, l’estatica d’Arquimedes (falsable) ha perdurat intacta finsa l’actualitat.

Els tres primers axiomes tal com els va enunciar Arquimedes venen repro-duits a continuacio. Els hem extret del llibre de G. Gamow, ‘Biografıa de

la Fısica’, (Salvat Editores, 1971) que es un text molt util en aquest punt,divertit del cap a la fi i escrit per una autoritat:

α. Pesos iguals a igual distancia estan en equilibri i pesos iguals a


Figura 14: Els set axiomes d’Arquimedes sobre l’estatica (l’equilibri) dels cossos rıgids. Del llibre

de Gamow, vegeu text


distancies desiguals no hi estan, sino que s’inclinen pel costat delpes mes llunya.

β. Si, estant els pesos a certa distancia i en equilibri, s’afegeix pes a und’ells, ja no hi haura equilibri sino inclinacio cap al costat on s’haafegit pes.

γ. Analogament, si se’n treu de pes ...

Els altres quatre axiomes defineixen ‘centre de massa’ (cdm) d’un cos rıgidcom a posicio mitjana de la seva massa total i despres n’estableixen lesseves caracterıstiques fonamentals. No cal enunciar-los, avui dia tothomen te una idea prou clara de que es una mitjana i d’aquesta (del cdm) enparticular.

En canvi, la versio “moderna” i mes matematica del que acabem d’enun-ciar en prosa es logicament un pel mes tecnica i precisa. Els set axiomess’enclouen en les dues (noteu el reduccionisme associat el progres de laFısica) condicions d’Equilibri seguents

∑

~F = 0,∑

~MQ ≡∑

~rQ × ~F = 0, (3)

que poden llegir-se com: suma de forces F igual a zero i suma dels seusmoments, respecte a qualsevol punt Q, tambe zero. Tota l’Estatica esaquı, en les equacions (3). El llenguatge ha canviat, no es el d’Arquimedes,pero el contingut doctrinal sı que es el mateix. Les sumes (

∑

) inclouentotes les forces (i els seus moments, en la segona Eq.(3)) que actuen sobrecadascun dels cossos o peces que configuren el sistema compost. Aixı, totsi cadascun dels cossos rıgids que configuren el sistema compost, i el mateixsistema global, estaran en equilibri.

Tothom te una idea intuitiva prou clara i, en aquest cas, valida del quees una forca, i no cal insistir-hi. Tambe sol tenir-se clar quins en sonels efectes. Si, per exemple, la forca total (o resultant, es mes tecnic)que actua sobre un determinat cos no fora nul·la, aquest cos comencaria atrasladar-se guanyant velocitat al llarg de la direccio marcada per l’esmen-tada forca; aixo trencaria l’equilibri del sistema. El cas dels ‘moments’ noes tan conegut. Per familiaritzar-te amb la idea del ‘moment’ pots agafarun llevataps (si es aplanat, millor) i anar-lo introduint tot cargolant a l’in-terior del tap de suro d’una ampolla de bon vi (la qualitat del vi sol anarassociada a la del tap, aquesta es la que ens importa (?)): el ‘parell deforces’ que fas amb els teus dits contra el llevataps te ‘moment’, aquestan’es la seva caracterıstica clau. Es un conveni ben acceptat, que utilitza-rem mes endevant, representar graficament aquest moment mitjancant unvector dirigit al llarg de la lınia i en el sentit en que el llevataps entra enel suro. Si la suma total de moments (o moment resultant, es mes tecnic)que actua sobre un determinat cos no fora nul, aquest cos comencaria arodar; aquest efecte, especıfic dels moments, trencaria d’una altra maneral’equilibri del sistema. Cal que s’anul·lin ambdues equacions per garan-tir l’equilibri d’un sistema i de les seves parts, aconseguint aixı que cap


α βγ δ εζ

α βγ δ εζ

A B

Figura 15: La famosa ‘llei de la palanca’ o proposicio sisena d’Arquimedes. Se suposa, per con-

cretar, que A pesa 10 unitats (B pesa 6 unitats) i que A (B) es descomposa en 10 (6) trocets iguals

escampats uniformement al llarg de la recta que passa per A i B de manera que conservin el cdm

d’A (de B) al punt α (β) on es trobava A (B). Tambe cal que les separacions entre trocets siguin

totes iguals. S’arriba aixı a la figura inferior on es veu que, per simetria, el cdm del conjunt es troba

al punt γ que verifica αγ/γβ = 3/5 = B/A com es volia provar.

part no se’n vagi trasladant-se, ni es posi a rodar; amb aixo n’hi ha prou,no hi ha altres moviments possibles que no siguin traslacions i rotacionsdegudament combinades.

D’aquests axiomes podem anar-ne deduint a partir d’ara, amb bona logicai matematiques, gran quantitat de teoremes o proposicions d’aplicacio meso menys directa i rellevant. La ‘proposicio sisena’ d’Arquimedes es la sevafamosa i coneguda ‘llei de la palanca’:

‘Dos pesos s’equilibren a distancies inversament proporcionalsals propis pesos’

La seva deduccio matematica a partir de les ultimes formules (3) es elemen-tal per als que estan familiaritzats amb la nocio de producte vectorial. Laseva deduccio amb l’arcaic llenguatge arquimedia –tan acceptable i solidacom l’anterior– es curiosa i assequibles als profans. Pot trobar-se al textde Gamow ja esmentat i s’il·lustra i es comenta a la Fig.15. Efectivament,es facil convencer-se que els pesos A i B, rıgidament units per una barraque es suposa que no pesa, quedaran equilibrats quan se’ls sustenti pelpunt γ, es a dir, quan la rao entre distancies αγ/γβ iguali la rao inversaentre pesos B/A.

ii) Aplicacions a sistemes en equilibri

D’axiomes i teoremes com els enunciats en surten, despres, tota menad’aplicacions que l’experiencia confirma plenament. En proposem unsexemples de manera molt resumida.

a) La cadena de Stevin, que representem a la Fig.16 i pot trobar-sediscutida en detall en el llibre d’E. Mach ‘Desarrollo historico-crıticode la Mecanica’, Espasa y Calpe, 1949. La versio mes barroca dela cadena, que aquı reproduim, apareix a la primera plana del text


Figura 16: La cadena i epitafi de Stevin, pare de la llei del pla inclinat.


ϕ

ψ

H

T

p

l/2

l/2

o

Figura 17: Una barra en equilibri gracies a una corda tensa i a una paret llisa. Les tres forces que

actuen sobre la barra, T , p i H, satisfan ambdues condicions d’equilibri.

de Stevin de 1605 (es, per tant, anterior a Galileu) i conte un lemacurios:

‘un miracle que no n’es cap de miracle’.

Efectivament, l’estatica d’Arquimedes i, mes en concret, la llei de lapalanca garanteixen que la cadena que hem deixat en repos sobreel pla inclinat no es posara a rodar cada vegada mes depressa encap sentit. Seria un ‘miracle’ fabulos: una font inesgotable d’energiaque constituiria el que tecnicament solem dir-ne ‘mobil perpetu deprimera especie’.

b) Barres rıgides i cables tensos adopten tambe posicions facilment ana-litzables d’equilibri. La Fig.17, on una paret vertical perfectamentllisa permet equilibrar el pes, p, de la barra i la tensio, T , del cablen’es un exemple. La solucio, facil de trobar a partir de les equacionsfonamentals (3) i d’un mınim de practica, es unica: cal que l’angle Ψtingui una tangent doble que la de l’angle φ o, el que es el mateix, queel punt on la barra toca la paret sigui el punt mig del catet verticaldel triangle format pel cable, la paret i la lınia horitzontal de punts.Pot comprovar-se experimentalment que es aixı per poques manetesque es tinguin.

c) Amd boles de billar, que rellisquen i roden facilment, i pots cilın-drics, que tractin d’impedir-ho, podem seguir comprovant l’estaticatal i com ho feien els ‘enciclopedistes’ francesos fa uns 200 anys. Hoil·lustrem a la Fig.18, a partir de la qual es pot acabar deduint que elpes mınim del cilindre, p′, que garanteix l’equilibri de tot el sistema


R’=r+r sin θ

d=r cos θr

H

pr

θ

p

Hr

2p

d H

H

p’

p’

O

Figura 18: Equilibri de dues boles dins d’un pot.

que forma ell mateix amb les dues boles que te engabiades, ha deverificar

p′ =2 sin θ

1 + sin θp = 2p(1 − r

R′), (4)

on p es el pes de cada bola i θ l’angle que forma amb la vertical elsegment que uneix els centres de les dues boles.

d) I aixı podrıem continuar. Ponts romans, la catedral de Girona i latorre de Collserola, entre molts d’altres sistemes, venen regits per leslleis de l’estatica. Els castells dels castellers de Terrassa, a vegades iamb les logiques complicacions, tambe.

2.1.3 Mecanica: Dinamica

La Dinamica, finalment, juga conjuntament amb totes les tres lleis de la Mecanicai, per tant, el seu cos de doctrina ja ha estat resumit a l’inici d’aquesta secc.2.1: AXIOMATA. Sigui perque la LEX II es la mes central de la Dinamica, siguiperque les altres dues ja les hem comentades i il·lustrades, parlarem tot seguitd’aquesta segona llei de Newton i, despres, d’algunes de les seves aplicacions.

i) El cos de doctrina o teoria.Parlem d’una llei que tothom coneix, al menys en la seva versio mes ele-mental:

~F = md~v

dt≡ m~a. (5)

La massa, m, que hi apareix es un concepte (un destil·lat teoric, tambepodrıem dir-ne) fonamental. La fısica classica, i Newton de manera benespecıfica, identifica aquesta massa m amb la “quantitat de materia” queposseeix l’objecte que estudiem i en fixa la seva inercia o resistencia acanviar de moviment. Entesa aixı, el valor d’aquesta inercia (fixat per m)no dependra en general de la velocitat i consequent energia cinetica quel’objecte pugui anar adquirint en moure’s. Direm que la inercia d’un cos


es constant i independent de la seva energia cinetica i la formula (5), onm es constant, es suficient en aquests casos.

Hi ha sistemes, pero, que perden (per exemple, els coets enlairant-se) oguanyen (les boles de neu pendent avall) materia –i, per tant, massa– amesura que van evolucionant. La seva massa en un instant determinatpassa a dependre obviament de la quantitat de materia que el sistemate en aquell instant, ja que n’ha anat perdent o guanyant. Aquı no ensocuparem d’aquests sistemes, que s’anomenen ‘oberts’ o ‘no tancats’, peropodria fer-se facilment generalitzant l’Eq.(5) a una versio mes potent:

~F =d~p

dt, (6)

on hi apareix un altre concepte important, el ‘moment lineal’ que quedadefinit com ~p ≡ m~v. L’Eq.(6) es redueix a l’Eq.(5) si no hi ha perdues niguanys de materia, es a dir, si ens restringim com farem a partir d’ara asistemes ‘tancats’, on m no depen del temps t.

De l’Eq.(6) tambe es pot passar a ~Fdt = d~p, que admet una versio quali-tativa i en prosa:

si una forca, ~F , actua (empeny) durant un temps, dt, sobre un sistema,

en canvia el seu moment lineal en d~p = ~Fdt,

en la qual es preten emfatitzar la relacio de causa–efecte.

Com abans, d’aquests axiomes se’n dedueixen una varietat de teoremes amesura que es va donant entrada a noves definicions. Per exemple, definintl’energia cinetica com K ≡ mv2/2, podrem enunciar de manera analogael teorema:

si una forca, ~F , actua (treballa) sobre un sistema al llarg d’un espai, d~r,

en canvia l’energia cinetica en dK = ~F · d~r.

Un altre teorema es el del ‘moment angular’, definit com ~L ≡ ~r × ~p.Aquest es el tret distintiu d’una baldufa i el que fa que balli com cal (ique et cargoli la ma i el brac si atrapes la baldufa en ple ball). Podemenunciar-lo aixı:

el moment d’una forca, ~M , actuant durant un temps, dt, sobre unsistema, en canvia el seu moment angular, en d~L = ~Mdt.

sent el ‘moment’ de la forca F , ~M ≡ ~r × ~F , com en Estatica.

Finalment podrıem deduir les conegudes lleis de conservacio del momentlineal, del moment angular i de l’energia cinetica en xocs elastics entre dosobjectes. La suma dels moments lineals (aixı com la dels angulars) inici-als ha de ser igual a la suma dels finals. El mateix ha de passar per a les


energies cinetiques totals, el xoc ha de conservar aquest valor total. Efec-tivament, en xocar apareixen forces oposades que formen parelles d’accio ireaccio (LEX III) actuant sobre un i altre dels objectes en xoc. Els canvisde moment lineal i d’energia cinetica que originen aquestes forces en undels dos objectes son els oposats als que les corresponents forces de reac-cio originen en l’altre. El canvi global es nul o, en altres paraules, hi haconservacio de les dues magnituds fısiques. Tambe es conserva la massaindividual de cada objecte que entra en el xoc a l’estil de Lavoisier. Hi hadoncs quatre lleis de conservacio: tres de globals per al sistema (momentlineal, moment angular i energia) i una per a cada un dels seus membres(la massa de cadascun d’ells).

Pot generalitzar-se a xocs multiples i, amb els canvis adients, a situacionsamb xocs inelastics. Tambe pot ampliar-se a situacions on el momentangular jugui un paper mes important que el que sol jugar en els xocselastics que hem considerat.

Amb aquests enunciats simplificats podem atrevir-nos ara a analitzar al-gunes aplicacions que no son ni senzilles, ni habituals en els textos defısica. Logicament, la nostra analisis no sera quantitativa, pero podremcentrar-la en les questions de fons.

ii) Aplicacions:

a) Caiguda d’una pseudo-lluna (inicialment, v = 0) vs pseudo-caigudade la Lluna (inicialment v 6= 0).

Una questio de moments lineals i trajectories que la Fig.19 explicasuficientment. Als dos diagrames de l’esquerra s’hi representa un cosabandonat sense velocitat inicial lluny de la Terra T; l’actuacio de laforca pes ~F durant un temps dt causa l’increment del moment linealde zero (primer diagrama) a d~p = md~v (segon diagrama); el cos haadquirit velocitat envers la Terra i s’hi ha apropat. Als dos diagramesde la dreta s’hi mostra semblantment com evoluciona la Lluna quesurt amb moment lineal no nul ~p = m~v (tercer diagrama) i coms’incrementa amb el d~p = md~v d’abans produint ara una trajectoriacircular (quart diagrama); la Lluna guanya (torca la seva) velocitatenvers la Terra pero no s’hi acosta, en aquest sentit no cau.

b) Caiguda d’una baldufa (inicialment, amb ~L = 0) vs ball d’una baldufa

amb ~L 6= 0.

O, millor encara, el giroscopi i el seu comportament (‘precessio’):resulta familiar? podria intuir-se? es a dir, podria preveure’s elseu comportament al marge de la fısica? La intuicio ens falla enaquests casos. Es tracta d’una questio de moments angulars ~L menysfamiliars que els moments lineals d’abans (caminem amb dues cames,no sobre dues rodes com les bicicletes!). Vegeu la Fig.20 i compareu-laamb l’anterior Fig.19; hi ha fortes analogies, n’hi ha prou en canviar‘forca F’ per ‘moment M de la forca F’ i moment ‘lineal mv’ per‘angular L’ i el raonament esdeve el mateix que abans.


T

F→ ...

T

m dv→

dt

T

F→

m dv→ ...

T

m v→

m dv→

m(v+dv)→ →

dt

v=0→ v≠0→

Figura 19: Cau o no cau la Lluna sobre la Terra T?

dt

dt

→dL

M→

M→

ω

L→

→dL

L +→ →

dL

Figura 20: El giroscopi. Pots intuir-ne els moviments?


c) Trajectories (amb retorn) de monedes per terra i, mes difıcil, bume-rangs en l’aire. Una questio on es combinen, entre d’altres, els efectesdels moments lineals i angulars.

El cas de la moneda es comprovable experimentalment de manerasenzilla. Es tracta de llancar-la sobre un terra pla donant-li velocitatsde traslacio i rotacio per a que rodi i no rellisqui. Si es llanca verticalseguira un camı recte; en canvi, si es llanca inclinada descriura unatrajectoria circular torcant-se cap al costat de la inclinacio i girantal voltant d’un eix vertical sobre ella mateixa (‘precessio’) que li fadonar la cara sempre cap el centre de la circumferencia que descriu.Responsable d’aquesta ‘precessio’ es el parell de forces pes i reaccioamb el terra (com en el cas del giroscopi) i, en girar i ‘entrevessar-se’aixı al seu camı recte, apareix una forca de fregament que la sol·licitacap el centre (‘centrıpeta’) de la circumferencia que descriu.

Es interessant canviar el gruix de la moneda, substituir-la per unpneumatic en miniatura de formula 1 (un rotlle de cinta adhesiva od’esparadrap, tambe valdria), i repetir el llancament en identiquescondicions. El pneumatic no es torcara cap el costat de la seva incli-nacio, com abans, sino en el contrari. El moment del parell de forces,la causa dels anteriors efectes, ha canviat de sentit i aixo inverteixels moviments.

El cas del bumerang es especialment atractiu i menys conegut. Comcal construir-lo i llancar-lo per a que torni al punt de sortida d’acordamd les lleis de la dinamica? Molt breument: cal combinar l’efecte‘ala d’avio’ (construint bumerangs amb aquest perfil) i l’efecte ‘bal-dufa’ (llancant-lo amb velocitat de traslacio i, gracies a un cop decanell, tambe amb velocitat de rotacio, com en una baldufa). Ladinamica li marca aixı una trajectoria parabolica enrotllada, pero,en la superfıcie vertical d’un cilindre. D’aquesta manera es tanca latrajectoria i es retorna al punt de sortida. La forca de la gravetat el fabaixar, les forces aerodinamiques tenen una resultant que fa de forcacentrıpeta enrotllant la parabola sobre el cilindre i formen tambe unparell de forces que fa que el bumerang ‘vagi donant sempre la cara’a l’eix del cilindre permentent-lo completar una volta. La situacio essemblant a la de la moneda rodant per terra llevat que aquesta nobaixa sostinguda pel mateix terra.

d) Saps que t’empesques quan has de prendre una corba en bicicleta omoto? Ho fas ‘cientıficament’ amb la ‘tecnica del contramanillar’?

Aquesta es una altra questio dominada pel poc familiar moment an-gular de les masses en rotacio (que, insistim-hi, ens resultaria mesfamiliar si en lloc de cames tinguessim rodes).

Es pot comprovar i conve fer-ho prenent assenyadament una corba,ja que, no ho oblidem, la fısica es empırico-formal!. Si es prefereixenels detalls i el tractament teoric, n’hi ha a tots nivells. Un d’en-certat i recent es d’A. J. Cox, Am. J. Phys. 66 (1998) p.1018, un


altre el trobaras a l’entrada Countersteering (=contramanillar) deWikipedia. Un de simplificat al maxim diria el seguent: quan in-tentis girar el manillar cap a l’esquerra fent exclusivament un parellde forces que pretengui donar-li directament aquest gir esquerra, noho aconseguiras; en canvi, com a consequencia d’aquest parell queaparentment hauria de girar el manillar cap a l’esquerra, la bici o lamoto i tu mateix us inclinareu acostant els costats drets cap el terrai, simultaniament i inevitablement, un nou parell de forces apareix(el pes total esta a la dreta del punt de contacte roda-terra, com enel cas de la moneda) que fa girar el manillar cap a la dreta; aconse-gueixes aixı l’efecte contrari al que podia semblar: intentes girar elmanillar cap a l’esquerra i, si no fas cap altra forca ni cap altra accio,el manillar gira cap a la dreta amb la correcta inclinacio. Per girarcap a l’esquerra has d’aplicar al manillar un parell de forces cap a ladreta. Si no fas res mes i et deixes portar confiat per les lleis de laNatura, el resultat sera la correcta inclinacio i el manillar girat capa l’esquerra com et calia.

e) Conservacions i xocs. Billar sense efecte (sortida de boles a 90 graus,ad nauseam). Energia i moment lineal es conserven en el xoc. Mesu-res de massa i, mes endavant, sorpreses relativistes.

iii) Reformulacions: Mecanica Analıtica, Lagrangiana o Hamiltoniana.Son reformulacions equivalents del mateix cos doctrinal que tenen la sevautilitat especıfica en determinats casos o camps de la fısica. En permetenun tractament mes agil i admeten una presentacio mes elegant. Aquıpodem prescindir-ne del tot d’aquests formulismes, havent ja dit que nocontenen nova informacio mes enlla de la dels AXIOMATA newtoniansamb que hem comencat.

2.2 Termodinamica

Dues presentacions son possibles:

i) la historica: que ens portaria des de la teoria del “caloric” (?) –un tıpicerror inicial que es va haver de corregir– fins al suicidi de Boltzmann (!)–o de com amb una idea important i encertada et pot menar a la tragedia.Evitem-lo aquest camı, naturalment.

Historicament la idea del ‘caloric’ –un fluid que estaria mes present en elscossos que tinguessin mes temperatura– va abandonar-se en no poder-sedetectar. El comte Rumford va intentar determinar el pes d’una caloria(o, millor dit, el pes del caloric que li correspon) l’any 1799 i va fracassar.Hem de recordar que la caloria es la unitat de calor usual i es defineixcom la quantitat de calor que cal aportar per elevar un grau centıgradla temperatura d’un gram d’aigua. El comte Rumford nomes va poderafirmar que una caloria te un pes que esta entre zero i el pes correspo-nent a 13 × 10−12 kg de massa (el mınim detectable amb els seus apa-


rells). Aquesta ‘absencia d’evidencia’ va interpretar-se com ‘evidencia del’absencia’ del caloric. Curiosament, despres de la relativitat d’Einsteinsabem que el resultat de l’experiment de Rumford es correcte i que nova aconseguir detectar el pes addicional perque la massa que correspona l’energia d’una caloria, via E = mc2, es nomes de 40 × 10−18 kg: unvalor que es troba dins de l’interval assenyalat pero que es molt inferior almınim detectable.

ii) l’anti-historica: les molecules i Boltzmann hi posen la base mecanica mi-croscopica; el nombre d’Avogadro NA = 6.022 × 1023 molecules per cadamol (en el cas de l’aigua, per exemple, un mol son 18 grams) es tangran que justifica el tractament estadıstic de sistemes macroscopics ambtants constituents; aixı, la Mecanica Estadıstica, una perllongacio de lamecanica de Newton, pot ser la base microscopica de la Termodinamica.La temperatura d’un sistema termodinamic esta lligada a l’agitacio termicamolecular (= energia cinetica caotica) dels seus nombrosos constituents.El zero absolut de temperatures (T = 0 K = –273.15 C) es l’origen de l’es-cala absoluta amb graus Kelvin, A T = 0 no hi ha cap agitacio moleculari l’energia interna es U = 0.

Sigui pel camı que sigui, la Termodinamica pot estructurar-se de manera tanelegant com la ja comentada Mecanica Classica –Einstein en parlava molt elo-giosament, i semblava preferir fins i tot l’elegancia de la primera. Simplificant,podem enunciar-la en dos principis (es va a fons en reduccionisme!)

i) PRIMER PRINCIPI: l’energia es conserva!Q (calor introduıda al sistema) + W (treball fet sobre el sistema) == ∆U (increment de l’energia interna U del sistema).La calor es una forma d’energia. Experiment historic de Joule i una ex-pressio d’aquesta equivalencia calor–energia: 4.18 J = 1 cal.

ii) SEGON PRINCIPI: l’energia es degrada!Espontaniament la calor passa del sistema de T elevada al de T baixa ino al reves.D’aquest proces espontani se’n pot extreure treball (mecanic, fer anar unamaquina), amb restriccions pero: nomes una fraccio de la calor pot trans-formar-se en treball, la resta ha d’escalfar necessariament el sistema de Tbaixa.Si s’ens permet una triple negacio, podreim dir que no pot haver-hi decrei-xement del desordre (= de l’entropia, un concepte nou, subtil i important)

I ho deixarem aquı. El que hem fet abans dins de la Mecanica hauria de ser su-ficient per haver-nos mostrat el taranna de la Fısica Classica, ara ho ampliarıemi confirmarıem, pero millor accelerar i acostar-nos a la fısica del s.XX.


2.3 Electromagnetisme

Unes noves forces van apareixer en Fısica –les electromagnetiques– els efectesde les quals sobre sistemes amb massa donen les conegudes acceleracions newto-nianes. Si organitzem un petit esquema historic sobre el tractament d’aquestesnoves forces veurem, una altra vegada, el progres associat a la unificacio:

i) Electrostatica.Carregues electriques (i, secundariament, dipols electrics). Coulomb.

ii) Magnetisme.Carregues magnetiques? No, gracies. Dipols magnetics (=imants)? Sı,elementals i tot.

iii) Electro-magnetisme.Camps i fenomens electro-magnetics. Unificacio i aprofundiment de la mad’Oersted, Maxwell · · ·

L’estructuracio de tot l’Electromagnetisme es obra magistral de Maxwell,i queda perfectament establerta en el conjunt elegantıssim de le seves quatreequacions. A mes a mes, ens donen una visio classica de la llum: radiacio d’oneselectromagnetiques. En aquest punt pot valer la pena reproduir les paraules deMaxwell publicades al Philos. Trans. R. Soc., London 155 (1885) 459:

‘. . . light is an electromagnetic disturbance propagated throughthe field according to electromagnetical laws’.

La necessitat d’un canvi esta servida: d’una banda, Einstein plantejara des d’e-lectromagnetisme la seva Relativitat Restringida l’any 1905 (el tıtol del treballoriginal, repetim-lo, ho deixa prou clar: Sobre l’electrodinamica dels cossos en

moviment) i, d’altra banda, l’estudi de la natura de la llum ens menara poc mestard a la Mecanica Quantica, pero aixo ja son figues d’un altre paner.

2.4 Optica: llum

La llum es un sistema fısic de gran interes, del seu estudi se n’ocupa l’optica. Hiha pero dos aspectes de la questio que conve separar i analitzar individualment:un es la ‘naturalesa’ de la llum (corpuscular? ondulatoria?) i l’altre, mes facilde discutir, es la seva velocitat de propagacio.

2.4.1 Naturalesa de la llum

La fısca classica tracta de dos tipus ben diferenciats de sistemes fısics: els cor-puscles i les ones. En fa aixı una classificacio dicotomica, tal i com es deia a laintroduccio. Doncs be, a quin d’aquests tipus pertany la llum?

i) Teoria corpuscular

Per a Newton (i tants d’altres) la llum esta constituida per corpuscles queson emesos pels objectes lluminosos i que si arriben a la retina dels nostres


ulls ens donen sensacio de visio. Tambe arriben i il·luminen superfıcies opantalles (penseu en el cinema) que altrament serien fosques i, per aixo,invisibles. Segons aquesta teoria, els corpuscles de llum descriuen doncsuna trajectoria (molts hi afegirien rectilınea) entre el focus lluminos i lapantalla que il·luminen. Mitjancant diafragmes podem definir feixos dellum relativament fins que il·luminaran una petita superfıcie de la pantalla.Llavors podem interposar una placa opaca amb dues escletxes transparentsinterrompint parcialment el pas del notre feix de llum. Efectivament, partde la llum no superara la placa opaca i no arribara a la pantalla. Partde la llum, en canvi, es trasmetra per les escletxes i hi seguira arribant.Com? Segons la teoria corpuscular, cada corpuscle de llum que arribi a lapantalla ho fara passant o be per una escletxa o be per l’altra. La pantallaquedara il·luminada com si ho fessin conjuntament dos focus mes debilsque l’inicial l’un definit per una escletxa i l’altre per l’altra. No hi hauriauna alternancia de zones de la pantalla molt il·luminades amb d’altres queho serien molt poc.

ii) Teoria ondulatoria

Pero des de temps de Huygens i, sobretot, una vegada s’ha formulat l’elec-tromagnetisme per part de Maxwell, hi ha qui proposa teories ondulatoriesde la llum. En Fısica Classica la llum serien ones electromagnetiques.El seu origen electromagnetic va ser comprovat en un famos experimentde Hertz (‘ones hertzianes’, 1888). Pel seu caire ondulatori, com totesles ones, no es propagarien seguint trajectories lineals (com els corpus-cles) sino en fronts d’ona extensos que van avancant (penseu en l’extensiopropia del front d’una onada). Aquets fronts, en trobar-se les dues esclet-xes de les que parlavem, tant passarien per l’una com per l’altra, l’extensiodel front d’ona aixı ho pot permetre. Es comportarien ben diferentmentals corpuscles i, en particular, donarien lloc a una alternancia de zonesmolt il·luminades alternant amb d’altres de minca o nul·la il·luminacio ala pantalla final: donarien lloc a una figura d’interferencies.

Cal decidir si la llum es ona o corpuscle fent experiments sobre la questio.Young (1802) convenc momentaniament a tothom (experiment de la “doble es-cletxa”) de la natura sı ondulatoria i NO corpuscular de la llum ja que n’observales figures d’interferencia tot just esmentades.Per a la llum: interferencies propies d’ones? Si! Localitzacio i trajectoria propiadels corpuscles? No! (almenys aixo semblava al llarg de tot el segle XX).Pero nous fets experimentals descoberts en comencar el s. XX semblen contradirles conclusions de Young. Caldran canvis i d’aquı neix a partir de l’any 1924 la“dualitat ona-corpuscle” de de Broglie i, immediatament despres, la MecanicaQuantica de Schrodinger i Heisenberg.

2.4.2 Velocitat de la llum

i) A l’espai buit la llum s’hi propaga a c= 299792458 m/s; l’hem mesuradaamb precisio extraordinaria, l’error en la mesura es de ±1 pam per segon.


Un recull recent de metodes i resultats de mesura es troba a H. E. Ba-tes, Am. J. Phys. 56 (1988) p. 682 o a E. Bergstrand ‘Determinationsof the velocity of light’, Handbuch der Physik, vol XXIV. Aquest recullmostra clarament la importancia de mesures precises en fısica: Galileu faels primers intents i arriba a la conclusio que la velocitat de la llum ‘sino es infinita, es molt gran’; una conclusio correcta, pero ben poc precisa.Romer mesura per metodes astronomics (observant anomalies en la rota-cio del satel·lit Io de Jupiter) c = 226870 km/s l’any 1676 o, millor dit,mesura que la llum triga 11 minuts en recorrer la distancia Sol–Terra. Noes un valor massa acurat, pero l’aportacio de Romer es molt meritoria;Bradley, el 1786, estableix, tambe per metodes astronomics (‘aberracioestelar’), que la distancia Sol–Terra es recorreguda per la llum en 8 mi-nuts i 12 segons, un bon resultat. Mitjancant experiments terrestres i, peraixo, mes controlables, Fizeau (1849) ho millora amb c = 312146 km/s, ellmateix i Foucault (1875) troben c = 299918 km/s i Michelson, per tancaraquesta breu llista, va establir c = 299796± 4 km/s l’any 1926.

ii) A l’interior de materia transparent v = c/n, inferior a c (n es l’ındex derefraccio).

D’aquı en surten sorpreses sobre la natura de “l’espai-temps” i neix la Relativitatd’Einstein (1905) com ja s’ha dit. Efectivament, una vegada sabem que a l’espaibuit un raig de llum avanca a c= 299792458 m/s, quina velocitat mesuraria alguque empaites l’esmentat raig corrent a 10 m/s? Mesuraria c′= (299792458 - 10)m/s = 299792448 m/s com ens dicta el ‘sentit comu’? Doncs, no! Mesuraria c=299792458 m/s, el mateix valor que en mesurava quan estava aturat! Einsteinva adonar-se d’aquest fet el 1905. Parlem-ne amb cert detall en els properstemes, entrem plenament en materia.

3 FISICA CLASSICA VS RELATIVITAT 50

3 FISICA CLASSICA vs RELATIVITAT

A partir d’aquest punt, comencem a allunyar-nos de la fısica classica i donarementrada a una de les dues grans revolucions cientıfiques del s. XX: la Relati-vitat d’Einstein. Ens limitarem a la Relativitat Restringida o Especial que vaapareixer l’any 1905 i li dedicarem tres seccions, deixant la Relativitat General,apareguda una desena d’anys mes tard, per a una ultima i abreujada part d’a-quest curs. En aquesta primera seccio 3 presentarem el contingut global de laRelativitat Restringida de manera esquematica i amb pocs detalls, comparantaquest contingut, aixo sı, amb el de la Fısica Classica.

En la seccio seguent detallarem una mica mes la Cinematica i la DinamicaRelativistes, fixant-nos sobretot en la coherencia interna del conjunt. Aquestes un punt important, ja que la coherencia interna de la Relativitat i de lesaparents paradoxes que se’n deriven s’ha posat en dubte, en el passat, moltesvegades. Una analisi acurada, pero, ens mostrara que, malgrat les aparences,no hi ha res de contradictori en la nova teoria. Finalment i en una nova seccio,descriurem algunes de les proves experimentals que justifiquen i fan necessariala Relativitat Restringida o Especial.

De Relativitat se n’ha parlat molt i molt, i hi ha llibres excel·lents sobreaquests temes. Alguns d’ells son molt populars entre els estudiants de la llicen-ciatura en Fısiques i, a vegades, hi farem referencia explıcita ja que tractaremquestions que s’hi trobaran ampliades i mes detallades. Entre d’altres textos,recomanem els d’A. P. French, ‘Relatividad Especial’, Ed. Reverte (1974), deW. Rindler, ‘Essential Relativity’, Springer-Verlag (1977) i d’E. F. Taylor i J.A. Wheeler, ‘Space-time physics’, Freeman and Co, N. Y. (1992). El llibre d’E.Masso, ‘Curs de relativitat especial’, editat en catala a la col·leccio ‘Manuals’de la UAB (1998), es clar i detallat i te l’avantatge addicional d’haver-se escritsobre l’esquema que es segueix en el text que tens a les mans. El llibre d’A.Pais ‘Subtle is the Lord’, Oxford University Press (1983), es una altra exposiciomolt interessant carregada d’anecdotes i apunts biografics. A nivell mes popularconve esmentar el volum ‘La explosion de la Relatividad’, Salvat Editores 1988,de Martin Gardner, un reconegut mestre de la divulgacio cientıfica.

El propi Einstein va ocupar-se d’exposar a diferents nivells i davant de publicsben variats les seves teories. Una traduccio al catala molt acurada d’aquestsescrits, acompanyada d’una analisi d’aquests treballs i d’altres amb ells relaci-onats, es troba a la monografia de X. Roque ‘La teoria de la relativitat i altrestextos’, editada dins dels ‘Classics de la Ciencia’ de l’IEC (Eds. Portic i Eumo,2000). En aquesta monografia hi apareixen, entre d’altres, la versio catalanadel treball d’Einstein original ‘Sobre l’electrodinamica dels cossos en moviment’de 1905 i la del seu llibre ‘La teoria de la relativitat especial i general’ de 1916,que el propi autor va anar retocant i ampliant fins el 1954, poc abans de morir(tambe es troba, junt amb textos de diferents autors, a ‘La teorıa de la relati-vidad’, Alianza Editorial). Aquest textos, tot i centrar-se en un tema cientıficexpecialitzat i delicat, resulten de lectura sorprenentment facil i gratificant. Iencara en resulta mes l’article al ‘The London Times’ del 20 de novembre de1919, on el propi Einstein, de fama ja reconeguda arreu del mon, popularitza


part de la seva obra i es converteix en un divulgador cientıfic excepcional.La Relativitat Especial que ara comencem a discutir repren el tema del

moviment relatiu que havia iniciat, anys enrere, el propi Galileu. La novetat,com ja s’ha dit, rau en que Einstein generalitzara el principi de Galileu, quenomes era aplicable a la Mecanica, a la resta de la fısica. Reprendrem doncsl’analisi de mesures fetes, i de lleis fısiques enunciades, tant des d’un sistemainercial (SI) S, com des d’un altre, S’. Veurem que els enunciats son identics icap sistema en resulta afavorit. En altres paraules, no hi ha un ‘espai’ o sistemainercial absolut, en contra del que opinava Newton. La concepcio einsteinianade l’espai i del temps son una veritable revolucio cientıfica amb consequenciesfilosofiques (vegeu, per exemple, el llibre de L. Sklar, ‘Filosofıa de la fısica’,Alianza Editorial, on el capıtol dos es titula ‘Espacio, tiempo, movimiento’).Aquestes consequencies tot sovint han estat exagerades i la dita ‘tot es relatiu’es pronunciava frequentment en argumentacions de tot tipus. En aquest sentitvolem recordar que quan Einstein va visitar Espanya l’any 1923 Ortega y Gassetva fer-li de guia turıstic i va aprofitar l’avinentesa per reflexionar filosoficamentamb el seu hoste. Ortega va fer notar a Einstein que l’absencia d’un sistemaabsolut i l’equivalencia entre si de tots els altres SI’s converteix en ‘absoluta’la visio del mon que cada observador tingui des del seu SI. Fins i tot li vasuggerir que el nom de ‘Relativitat’ no era massa adequat. Einstein va assentir,pero el nom ja s’havia imposat i ha seguit fins ara. Ortega va publicar al diari“La Nacion” dos articles sota el tıtol de “El sentido historico de la teorıa de larelatividad” l’any 1923, que van ser reproduits a la Revista de Occidente (1947)i a ‘La teorıa de la relatividad’ d’Alianza Editorial ja esmentat.

Ja s’ha comentat, fins i tot ad nauseam, que el Mon no l’han fet necessaria-ment al nostre gust –recordeu sino el que va dir, i hem reproduıt en la nostraIntroduccio, Alfons X el Savi quan li presentaren l’Almagest. En aquesta seccio3 discutirem dos mons alternatius possibles que es diferencien l’un de l’altre pelque fa a questions tan basiques com son el pas del temps, i la natura de l’espaii de la massa-energia. Direm que aquests dos mons es regeixen per dos ‘regla-ments’ marcadament diferents. Cadascun d’aquests dos mons vindra governatde manera coherent per un ‘reglament’ inambigu que no porta a contradiccions,es a dir, que el fara ‘funcionar’. Per aixo, decidir a quin mon ens ha tocat viuresera una questio exclusivament experimental: esbrinant amb experiments –i noa partir dels nostres prejudicis, forjats normalment a partir d’observacions pocaprofundides– com quin dels mons alternatius concebibles resulta comportarseel nostre.

3.1 Dos mons alternatius possibles, es a dir, coherents

Parlarem d’un Mon Classic (Mon C) i d’un de Relativista (Mon R) posantl’emfasi en aquells trets essencials de l’un i de l’altre que els fan diferents. Elprimer, Mon C, ens resultara familiar i el segon, Mon R, sorprenent. Dirıemque vivim al Mon C, pero es important que no ens precipitem i no ens deixemportar per impressions superficials!

Al llarg de l’exposicio abusarem de dos adjectius: ‘absolut’, es a dir, indepen-


dent de tota relacio o comparacio, i del seu antonim ‘relatiu’. Podem concretarel seu significat en una situacio que utilitzarem constantment. Un observador,des d’una estacio de ferrocarril, veu passar una volada d’ocells. Mentrestant, unaltre observador, que viatja rapidament en tren, contempla tambe la mateixavolada. El nombre d’ocells que la configuren sera ‘absolut’ ja que han d’havercomptat el mateix nombre tant un observador com l’altre. El valor de la velo-citat amb que se’ls veu volar es, en canvi, ‘relatiu’, ja que no ha de coincidir elmesurat per un i per l’altre i, per tant, en parlar d’una determinada velocitatcal especificar a quin observador es refereix o quin ha fet la mesura. La dita jaesmentada, interessant i provocadora, de Feynman: “cap enunciat cientıfic esabsolutament cert” il·lustra tambe aquest concepte, compte tingut del que tanthem repetit en definir fısica.

Tambe abusarem dels verbs ‘veure o observar’, recordant sempre que noens referim a les aparences sino al fons de cada questio; no a observacions odades superficials, sino a aquestes mateixes observacions una vegada les hagimcorregides dels efectes accessoris que solen acompanyar-les. Es parla aixı, encaraque l’expressio pot semblar poc seriosa, de ‘dades cuinades’. Si, tornant al casconcret anterior, els dos observadors es fixen en el moment en que canvia decolor un semafor de l’estacio es obvi que l’observador de l’estacio, just al costatdel semafor, ‘veura’ el canvi abans que l’altre observador que suposem ubicaten un tren llunya i que nomes s’assabentara del canvi mes tard, quan la llum liarribi. Com que ens interessa el moment en que es produeix el canvi per a un iper a l’altre, i no el moment en que l’un i l’altre el perceben i se n’assabenten,caldra que corregim la observacio –una ‘dada crua’– amb el retard addicional,merament anecdotic i in-essencial, que hi pugui haver en cada cas. Per aixo,es parla tot sovint ‘d’observador local’; es a dir, es suposa que hi ha tantsobservadors com calgui escampats arreu de l’espai per a que tot esdevenimentsigui observat in situ i, per tant, sense retards tant per ‘l’observador local’ quepertany al sistema S com pel que pertany a S’; l’un i l’altre ‘fiquen el nas’ enl’esdeveniment en questio.

Compararem tot sovint les mesures que del mateix fenomen en fan els obser-vadors d’un sistema inercial S amb les que en fan altres observadors del sistemaS’. Els d’S els podem suposar que es troben distribuıts a l’estacio i al llarg de lavia i han definit el seu sistema d’eixos o coordenades cartesianes OXYZ i sincro-nitzat tots els seus rellotges; indicaran la posicio on s’ha produıt l’esdevenimentmitjancant les coordenades x, y, z, i l’instant en que ha esdevingut el designaranper t, l’hora que marquen els rellotges dels observadors d’S quan s’hi produeixl’esdeveniment. Els altres observadors, els d’S’, podem suposar que es troben alllarg d’un tren que viatja a velocitat constant V al llarg d’una via que coincideixamb l’eix OX de l’anterior sistema S; aquests observadors tambe disposen delseu sistema eixos cartesians O’X’Y’Z’ fixats al tren amb l’eix X’ lliscant sobrel’eix X d’abans i els altres dos eixos Y’ i Z’ mantenint-se paral·lels als Y i Z d’S;el mateix esdeveniment d’abans sera ‘vist’ o, millor, haura passat per als ob-servadors d’S’ al punt x′, y′, z′ quan els seus rellotges (previament sincronitzatsentre ells) marquen les t′.


3.1.1 Temps absolut o relatiu?

Comencarem analitzant una questio familiar de la que tots en tenim experienciaquotidiana: el ritme en que passa el temps. Ho contemplarem des de les duespossibilitats alternatives, mons C i R, que hem esmentat.

i) Mon C. En aquest Mon C esta reglamentat que el temps passa al mateixritme per a tothom i, per tant, que es “absolut”. Tambe podrıem dirque el seu ritme de pas es universal o invariable. I fins i tot, en llatı:“fluxus temporis absoluti mutari nequit”, com ja hem assenyalat despresdels AXIOMATA de Newton, secc. 2.1.

En formules es encara mes senzill d’expressar-ho:

∆t′ = ∆t, (7)

on ∆t′ ≡ t′2 − t′1 indica l’interval de temps que ha passat al tren (sistemaS’) segons un dels seus rellotges entre l’esdeveniment 1 i l’esdeveniment 2 i∆t ≡ t2−t1 es el temps que ha passat segons el rellotge de l’estacio (sistemaS) entre els dos mateixos esdeveniments. El primer esdeveniment podriaser el pas (la coincidencia) del cap del tren pel kilometre x1 = 0 indicat peruna fita a la propia estacio, l’origen O del sistema S. El segon esdevenimentpodria ser el posterior pas del cap del mateix tren per una segona fita auna distancia x2 > 0 a la dreta d’O. La formula (7) ens diu que, en aquestmon C, les dues mesures del temps transcorregut coincideixen i que, pertant, el temps que el tren ha trigat en passar del punt O al punt x2 es elmateix tant si l’han mesurat els observadors d’S com els d’S’ amb els seusrellotges corresponents. .

En conclusio, rellotges bons que hem sincronitzat acuradament mantenenaquesta sincronitzacio tant si, des d’S, els veiem passar en un tren a ve-locitat constant V (Sistema Inercial S’) com si es queden amb nosaltresa les estacions i al llarg de la via recta que les connecta (Sistema InercialS). Els observadors d’S s’adonen que envelleixen al mateix ritme en queho veuen fer als viatgers d’S’, i viceversa. Sembla tot ben evident.

ii) Mon R. Contrariament al que acabem de dir, en aquest Mon es creu queel pas del temps es “relatiu”. Aixo, entre d’altres coses, vol dir que vistdes d’S, el temps es veu passar a diferent ritme per a uns (els propisobservadors quiets al sistema S, el de l’estacio, andanes i vies), que pera altres (els viatgers asseguts dalt del tren en marxa, sistema S’). Unavegada quedin les observacions netes i lliures d’efectes secundaris, des d’Ses veura que els rellotges sincronitzats d’S avancen a un ritme mes rapidque el rellotge d’un viatger qualsevol d’S’. Els observadors d’S s’adonenque envelleixen mes rapidament que qualsevol dels viatgers d’S’.

En formules (que justificarem mes endavant),

∆t′ ≡ ∆t0 = ∆t

√

1 − V 2

c2< ∆t, (8)


on hem introduit l’interval de “temps propi” d’S’, ∆t0, amb un subındexzero que ens recorda que es el temps que ha passat segons un rellotge enrepos a S’. Reconsiderem els dos esdeveniments ben definits del paragrafanterior. Els observadors d’S veuran que, per a ells, entre aquests dosesdeveniments ha passat un temps, ∆t, mes llarg que el temps que hapassat per als viatgers del tren, ∆t′ ≡ ∆t0 < ∆t. El temps es veu passarmes rapidament en el sistema on es troba en repos l’observador que en elsistema on viatgen els altres.

Analogament, i obligats pel principi de relativitat, haurem d’admetre que,de manera recıproca, des d’S’ s’observara que el temps passa mes rapida-

ment a S’ que a S. Encara que a primera vista es faci difıcil d’acceptar,aquesta segona afirmacio sobre el ritme de pas del temps no implica capcontradiccio amb l’anterior. El que estem afirmant, aixo sı, ens pot resultarun pel surrealista. Els ‘Rellotges tous’ del quadre d’en Dalı ja semblensuggerir-nos possibilitats i situacions com aquesta.

3.1.2 Velocitat de la llum c, relativa o absoluta?

Imaginem-nos ara un semafor al costat de la via i fixem-nos en el feix de llumque emet al llarg de l’eix OX. Ens interessa la velocitat d’aquests raigs de llumhoritzontals i prescindirem, per simplificar, dels efectes de l’aire o suposaremque treballem al buit. Per aixo introduirem la lletra c, que reservem per a lavelocitat de la llum al buit. Quin valor de c se’n mesurara des d’S? Quin valorc′ mesuraran per al mateix feix de llum els viatgers del tren, sistema S’?

i) Mon C. La velocitat de la llum al buit, c, es ‘relativa’. El valor que enmesurem dependra del sistema on ens trobem i experimentem. Pot serc=299792458 m/s a un S, pero llavors haura de ser diferent a un altre S’que tingui una velocitat V respecte a S. Per exemple, perseguint des deltren, S’, un raig de llum disminuım la velocitat en que fuig i mesuraremc′ = c − V . Acostant-nos a un focus de llum, la que emet ens ‘creuara’mes de pressa que si no ens hi acostessim i mesurarem c′ = c + V .

En el mon C, la velocitat de la llum al buit, c, es comporta doncs com lavelocitat d’un mobil qualsevol. Si valia v mesurada des d’S i la tornem amesurar movent-nos ara amb velocitat V en la mateixa direccio i sentitque el mobil trobarem v − V . Fins i tot si V = v aturarıem l’ex-mobil,que ara veurıem en repos. Si canviem el sentit de V , mesurarem v + V .Sembla senzill, hi estem acostumats i fins i tot ens sembla inevitable quesigui aixı per a tots els mobils, inclosa la llum.

ii) Mon R. La velocitat de la llum c es ‘absoluta’. Pren el mateix valor(universal, immutable) tant per a S com per a S’, independentment delvalor de la velocitat V que pugui haver-hi entre S i S’. Perseguint unraig de llum no disminuım en res la velocitat amb que fuig de nosaltres.Acostant-nos al focus, tampoc augmentarem el seu valor, c. En formules

c′ = c. (9)


En paraules: c te un valor absolut, universal, constant, invariant, immu-table.

La velocitat de la llum al buit, c, es excepcional en aquest sentit. Ladels altres mobils, amb velocitats inferiors v, ni es absoluta com c, ni escomporta com les v del Mon C d’abans; els detalls conve deixar-los permes endavant.

3.1.3 Espai absolut o relatiu?

Fins aquı hem caracteritzat el ritme de pas del temps i el valor de la velocitat dela llum al buit. Ara volem caracteritzar l’espai que, obviament, esta relacionatamb els dos conceptes anteriors. Ja no som lliures, haurem de reglamentar-hoadequadament per no entrar en contradiccions internes.

Ens fixarem en alguna distancia horitzontal facilment identificable que viatgien el tren que estem considerant. Per exemple, la longitud d’un dels seus vagons.Els viatgers que l’ocupen la podran mesurar facilment veient quantes vegades hite cabuda la barra de metre patro que porten amb ells; trobaran, per exemple,que hi cap l0 vegades, on el subındex 0 ens informa del repos relatiu entre elvago mesurat i els viatgers que el mesuren. Com que la mesura s’ha fet des d’S’,tambe seria oportu escriure l′ = l0 = ∆x′ = x′

cap −x′

cua, on explicitem els puntsde l’eix OX’ ocupats permanentment pels extrems del vago.

Els observadors d’S, que disposen del mateix metre patro, no tenen tan facilla mesura de la longitud del vago en questio ja que ara passa davant d’ells ambvelocitat V . Pero es possible fer-la no deixant-lo escapar. Cal, per aixo, marcarquines posicions sobre l’eix OX, xcap i xcua, ocupen cap i cua del vago en el

mateix instant. Suposem que troben l, es a dir, que l = ∆x = xcap −xcua, on lasupressio del subındex 0 es deu a la velocitat V 6= 0 amb que passa la longitudque ara mesurem vista des de l’estacio S. Quin lligam hi ha entre l0 i l?

i) Mon C. L’espai es absolut i les distancies ni s’estiren ni s’arronsen a causadel moviment. Per tant l0 = l. Temps i espais absoluts poden donar –hiestem acostumats– velocitats relatives.

Els tres punts del mon C que hem anunciat no ens portaran contradiccionsinternes i representen per tant un ‘reglament’ que, apart de resultar-nosfamiliar, es del tot coherent.

ii) Mon R. L’espai i les distancies son relatives. Les mesures de la distanciaque separa dos punts determinats fetes des d’S i des d’S’ no han de coincidirnecessariament. Resultara que

l = l0

√

1 − V 2

c2< l0, (10)

on de la longitud l0 en direm ‘longitud propia’ o ‘en repos’. Es a dir, lalongitud del vago resulta mes gran si la mesurem des del sistema S’, ones troba en repos, que si la mesurem des del sistema S, on el mateix vagose’l veu passar a velocitat V .


Un temps relatiu i una velocitat absoluta, c, requereixen un espai tamberelatiu: ho exigeix la coherencia del reglament. Els ‘Rellotges tous’ i, ames a mes, deformats d’en Dalı ho tornen a suggerir.

3.1.4 Simultaneıtat absoluta o relativa?

Considerem ara dos esdeveniments allunyats l’un de l’altre pero simultanis aS. Podem suposar, per exemple, que als extrems de l’andana de l’estacio hiha dos rellotges que, curiosament, son de cucut. Funcionen, com tots els queconsiderem, a la perfeccio i quan son les zero (o les dotze) en punt es produeixla sortida i immediata retirada (un “cucu-flaix”) dels dos cucuts, un aquı il’altre enlla. Aixı ho veuen tots els observadors de l’estacio, una vegada hanfet les correccions oportunes degudes a eventuals retards en l’arribada de lainformacio a causa de les diferents distancies (un observador a mig camı entreels dos rellotges no caldria que en fes cap de correccio: percebria directamentels dos esdeveniments en el mateix instant i, poc mes tard, sentiria el cantdels dos cucuts de manera unısona). Ens preguntem si per als observadors deltren o sistema S’, fetes tambe les correccions adients (dades ‘cuinades’), elsdos esdeveniments –les rapides aparicions/desaparicions dels dos cucuts– seransimultanis o no.

i) Mon C. Els dos esdeveniments han de ser simultanis, el caracter absolutdel temps en aquest mon C ho garanteix. Esdeveniments allunyats entresi que passen en el mateix instant per a uns, passen tambe en el mateixinstant per als altres; les separacions en l’espai no provoquen separacionsen el temps, ja que espai i temps son absoluts i cadascun va pel seu canto.

ii) Mon R. Els dos esdeveniments poden deixar de ser simultanis. Espaii temps son relatius i estan relacionats. Concretem-ho al cas dels doscucuts. Si quan un observador d’S en veu sortir un, es pregunta: ‘aramateix, que fa l’altra cucut alla lluny?’; la resposta seria que tambe surten aquell mateix instant. En canvi, si un observador d’S’ quan veu lasortida d’un cucut es fa la mateixa pregunta: ‘que fa ara mateix aquellaltre cucut llunya cap el qual em porta el tren?’; la resposta sera bendiferent: el cucut llunya ja ha sortit i s’ha amagat!.

La simultaneıtat que mostren a S dos esdeveniments allunyats entre si alllarg de l’eix de les X, es perd a S’, i viceversa. Si no fos aixı, tindremocasio d’analitzar-ho mes endavant, el mon R no seria consistent, el seureglament portaria a contradiccions.

Veurem que aquesta perdua de simultaneıtat implica que els rellotges d’Sque s’han (i que es veuen) sincronitzat(s) des d’S s’observen, en canvi,dessincronitzats des d’S’ i viceversa. Es compensara aixı el canvi de ritmeentre rellotges en moviment relatiu que esmentavem a 3.1.1 com a possiblefont de contradiccio. Tot acabara lligant.


y

V t

x

y’

x’

E

O O’ x, x’

y=y’

O=O’ x, x’

Figura 21: Configuracio estandard entre els sistemes inercials S i S’ que es mouen amb velocitat

constant ±V l’un respecte l’altre. Els dos diagrames representen la visio des del sistema S. Quan

arreu d’S son les t = 0 els orıgens coincideixen, O = O′, i el rellotge del tren que hi ha a O′ marca

les t′ = 0 (diagrama de l’esquerra). Quan, mes tard, arreu d’S son les t, O′ es obviament al punt

x = V t i es produeix l’esdeveniment E (diagrama de la dreta). Les distancies horitzontals entre E i

els eixos Oy i O′y′ son x i x′, respectivament.

3.1.5 ‘Espai i temps’ o ‘espai-temps’?

Acabem de parlar de si espai i temps guarden o no alguna relacio. Seguiremanalitzant-ho aquı, tot i que aixo comporta algunes dificultats addicionals jaque des d’ara combinem els quatre punts anteriors. Per aixo, ara conve queconcretem millor el moviment relatiu entre S’ (tren) i S (estacions, andana ivia). Tal com s’ha dit, a S hi ha definits uns eixos X, Y, Z amb origen a O–el kilometre zero de la nostra lınia ferria. Hi ha tambe una serie de rellotgessincronitzats al llarg de la via i estacions (sincronitzats a S), i l’hora zero podemtriar-la al nostre gust i ho farem mes tard. Semblantment, a S’ hi ha definitsi fixats uns eixos X ′, Y ′, Z ′ amb origen a O’–el punt mes baix i endarrerit del’ultim vago. I tambe una serie de rellotges sincronitzats pels viatgers assegutsal llarg del tren (sincronitzats a S’). S’, sempre ho hem dit aixı, viatja respectea S amb velocitat constant V dirigida en el sentit positiu dels eixos OX i OX’.Aquest eix OX coincideix amb la via, recta i perfecta, i al llarg d’ell hi ha lesdiferents fites quilometriques. L’eix OX’ es arrossegat pel tren i es superposa al’eix OX de la via.

Ens queda per establir l’origen de temps, ‘l’hora legal’. Quan els orıgens Oi O’ coincideixen els dos rellotges situats i fixats l’un a O –km 0, de l’estacio–i l’altre a O’ –cua del tren– farem que marquin tots dos les zero, t = t′ = 0.Sempre ho podrem estipular aixı, ja que l’origen de temps es arbitrari i es fixaper convencio. (Ara fa pocs dies, matinada del 26 d’octubre de 2008, em diuenque a les 3h tornaran a ser les 2h.) Els observadors d’S han sincronitzat elsseus rellotges i, per tant, tots ells observen la coincidencia O = O′ a les t = 0.El mateix es pot dir des d’S’ on tots els observadors detecten l’esdevenimentcoincidencia O = O′ quan els seus rellotges marquen les t′ = 0. Tindrem definidaaixı la configuracio S/S’ estandard que sempre farem servir i que hem establertaprofitant la llibertat de fixar l’origen dels temps. S’il·lustra a la Fig. 21.

Havent concretat aquests punts, tornem-hi amb els reglaments respectiusdels dos mons i les relacions entre espai i temps que presenten, ben diferentment,l’un i l’altre:


i) Mon C. Tal com ja s’ha dit, el temps passa al mateix ritme per a tothomi la simultaneıtat es mante. Podrem per tant aconseguir que sigui semprela mateixa hora i que la sigui arreu dels espais S i S’. Hi haura aixı un unictemps ‘universal’; dictatorial, com el de Virgili –fugit irreparabile tempus–,i no hi haura res a fer per defugir el seu pas. Rellotges sincronitzats al llargd’una via (S) i al llarg d’un tren (S’) es mantenen tots ells sincronitzatsindependentment del lloc que ocupen, de x, x′. Tots els rellotges d’S i d’S’es veuen avancar al mateix ritme, tant si ens els mirem des d’S com siens els miressim des d’S’. Al diagrama de l’esquerra de la Fig.21 tots elsrellotges –tant els de dalt del tren com els que hi ha a l’estacio i al llargde la via– marquen les zero. I tots ells passaran a marcar la mateixa hora,les t, quan s’arribi a la situacio del diagrama de la dreta.

La relacio entre mesures d’espai i temps es senzilla: nomes ve marcadaper la velocitat relativa V entre S i S’ que motiva que l’origen O’ s’allunyimes i mes d’O per a temps mes i mes grans. Suposem que volem descriureon i quan es produeix un unic esdeveniment E, que es observat tant desd’S com des d’S’. Fetes les correccions de sempre (per exemple, retard enl’arribada de la informacio visual de que l’esdeveniment, potser llunya,s’ha produıt; retards en reaccionar i mirar que marquen els aparells,...)conclourem que l’esdeveniment E ha tingut lloc a x, y, z, t (segons S) i,en canvi, a x′, y′, z′, t′ (segons S’). D’acord amb el que s’ha dit fins ara,aquests dos quartets de valors –ambdos contenen mesures correctes i reals–estan lligats per les relacions seguents:

x′ = x − V t, y′ = y, z′ = z, t′ = t. (11)

En direm ‘transformacions de Galileu’ i representen un diccionari de tra-duccio entre les mesures correctes que d’un mateix esdeveniment se’n fades d’S o d’S’.

La velocitat relativa V entre S i S’ ha originat l’unic canvi, que es con-sequencia de que l’origen O′ d’S’ s’ha acostat a E una distancia horitzontalV t pel sol fet d’anar en tren. Si E hagues esdevingut a les t = t′ = 0,no donant temps a aquest acostament, els dos quartets de valors serienidentics. La Fig.21 mostra aquestes questions.

Analogament, les tres components de la velocitat d’un mateix mobil vistes(mesurades correctament) des d’S o des d’S’ estaran lligades per:

dx′

dt′≡ v′x = vx − V ≡ dx

dt− V,

dy′

dt′≡ v′y = vy,

dz′

dt′≡ v′z = vz. (12)

Es facil de demostrar-ho. N’hi ha prou en calcular les derivades temporalsde les anteriors equacions d’acord amb la definicio usual de velocitat, quehem de mantenir comuna tant al Mon C com R. Aquestes noves formules,d’immediata comprensio, lliguen les mesures d’uns i d’altres.

ii) Mon R. Des d’S es veuen sincronitzats els rellotges d’S, pero no els quehan sincronitzat correctament entre ells els altres observadors, els d’S’, i


viceversa. El grau de dessincronitzacio entre dos rellotges d’S’ que es veuenpassar des d’S depen de la separacio dels rellotges observats. Espai–tempsqueden aixı relacionats de manera mes ıntima que en el mon C. Com abans,existeix una relacio (traduccio) entre els quartets de valors obtinguts desd’S o des d’S’ en observar el mateix esdeveniment E. Pero en aquest casles transformacions (anomenades de Lorentz-Einstein o, mes senzillament,de Lorentz) son ben diferents:

x′ =x − V t

√

1 − V 2/c2, y′ = y, z′ = z, t′ =

t − V x/c2

√

1 − V 2/c2. (13)

Comparant-ho amb les eqs.(11), es veu que espai i temps s’interrelacionenara mes ıntimament i que es fan inseparables en algun sentit nou i pochabitual. L’arrel quadrada de l’ultima equacio esta lligada al canvi de rit-

me en el pas del temps. D’altra banda, la simultaneıtat d’esdevenimentsdistants (ubicats a diferent x) deixa de ser ‘absoluta’ i es fa, sorprenent-ment, ‘relativa’, gracies a la dependencia en x al numerador de la mateixaequacio.

Les relacions entre les velocitats (mesurades des d’S o S’) d’un unic mobiles troben, com abans, derivant respecte als temps (en plural ara: hi haun temps t o t′ per a uns o altres, i cadascu ha d’adoptar el seu en ladefinicio de velocitat; aquesta definicio l’hem de mantenir sense cap altrecanvi, ~v ≡ d~r/dt, ~v′ ≡ d~r′/dt′ on ~r ≡ (x, y, z) i ~r′ ≡ (x′, y′, z′)). Lesrelacions/traduccions son:

dx′

dt′≡ v′x =

vx − V

1 − vxV/c2, v′y,z =

vy,z

√

1 − V 2/c2

1 − vxV/c2, (14)

com es pot comprovar facilment (si saps mates; si no en saps, despreocu-pa’t d’aquest detalls) diferenciant les eqs.(13) i fent els quocients necessa-ris.

Veurem que aquestes inhabituals lleis relativistes de transformacio de ve-locitats garanteixen la universalitat de c (ha de ser aixı per coherenciainterna!).

3.1.6 Massa i energia vs ‘massa-energia’ (E = mc2)?

Comparades les concepcions classica i relativista de l’espai–temps, ocupem-nosara de questions dinamiques i, en particular, de si hi ha necessitat de canviar,o no, les definicions i el significat de magnituds fısiques tan importants comla massa o l’energia. Hi ha alguna relacio entre massa i energia? Son o noson essencialment equivalents justificant, o no, el nom ‘massa-energia’ que hememprat fins ara? Com es conservaran aquesta o aquestes magnituds fısiques enels xocs?

i) Mon C. Massa i energia NO son equivalents ni estan directament relaci-onades. D’una banda es conserva la massa –la famosa llei de Lavoisier,


en el cas de reaccions quımiques–, de l’altra, i separadament, es conserval’energia o, millor, la suma de tots els tipus d’energia. La conversio demassa en energia es impossible en ambdos sentits.

Tota massa implica “inercia” i, si hi ha gravetat, tambe implica “pes” ila capacitat de desequilibrar una balanca; l’energia –i la llum (= energialluminosa), en particular– no comporta ni una cosa ni l’altra, segons lareglamentacio del mon C. La materia es ponderable, sol dir-se; l’energia,i la llum en particular, no.

ii) Mon R. En canvi, en el reglament relativista, massa i energia son dosaspectes d’una mateixa realitat. Hi ha equivalencia entre elles, fet quesolem expressar amb la formula mes famosa i coneguda del mon, E = mc2.En gran mesura, la popularitat d’aquesta formula data del numero de larevista Time del 1r de juliol de 1946 on apareixia en portada junt amb unano menys famosa fotografia d’Einstein. Tot i aixo, no es la millor manerad’expressar l’equivalencia massa–energia, es mes correcte fer-ho afegint-hiun subındex 0:

E0 = mc2. (15)

D’E0 en direm ‘energia en repos’ corresponent a la massa m. Estem doncsparlant d’una massa m que no es desplaca (V = 0) i que podem aixıimaginar-nos-la en el platet d’una balanca a punt de mesurar-ne el seuvalor.

La relativitat afirma clarament aquesta equivalencia entre massa m i ener-gia en repos E0. De tal manera que Einstein, en adonar-se’n, queda sor-pres i, perque no dir-ho?, preocupat. En una carta datada l’any 1906, benpoc despres del seu treball seminal, escriu (vegeu l’esmentat llibre de X.Roque):

El principi de relativitat . . . implica que la massa es una me-sura directa de l’energia que conte un cos: la llum transportamassa. La massa del radi [element radioactiu que podem supo-sar que emet llum de longitud d’ona molt curta, raigs gamma]hauria de disminuir sensiblement [amb el temps]. La idea m’a-treu i em diverteix, pero no puc saber si el Senyor no m’ha presel pel i se n’esta rient.

3.1.7 Energia i moment lineal classics o relativistes?

El que massa i energia no guardin relacio o, com diu la relativitat, siguin dosaspectes d’una mateixa realitat, ha de tenir necessariament consequencies enles definicions d’altres magnituds dinamiques. Aquı introduirem les nocionsd’energia i moment lineal relativistes que modifiquen els seus analegs classics.

i) Mon C. Segons aquest reglament la massa d’un objecte es independentde la velocitat en que s’el veu passar i de l’energia cinetica que, per aixo,puguis atribuir-li. Massa, recordem el Gran Newton, es la mesura de la


quantitat de materia i en caracteritza la seva inercia (‘mandra’, en llatı)i el seu pes (en el cas de que hi hagi atraccio per altres masses com, perexemple, la de la Terra). La velocitat amb la que un objecte materialviatja respecte a S pot ser diferent de la velocitat que te respecte a S’,pero aixo no en canvia la quantitat de materia i, per tant, la seva massa.Un quilo dins del tren tambe sembla ser un quilo per als qui, amb vista icop d’ull excel·lents, el veuen passar des de l’estacio.

El producte d’aquesta massa m per la velocitat ~V en que la veus passardefineix el seu moment lineal (classic):

~p ≡ m~V . (16)

El seu sentit fısic es facil d’il·lustrar. Suposem que amb la ma volematurar aquesta massa m i que volem fer-ho en un breu i fixat interval detemps. El que ~p ens diu es quanta forca haurem d’aplicar (o quant fort esel cop que rebrem): una forca (o cop) que sera tan mes intens quant mes

gran sigui m i quant mes gran sigui ~V . Tot aixo ens quadra, ens semblade bon acceptar. Quan una bola de billar (sense efectes) en colpeja unaaltra d’igual aturada, s’exerceixen entre si forces iguals i oposades (accio–reaccio) durant un breu instant de temps. La que arribava perd part delmoment lineal i el comunica a la que estava aturada, que es posa aixı enmoviment. El moment lineal total es el mateix abans i despres del xoc:globalment es conserva. Aquesta llei de conservacio dona importancia ala nocio de moment lineal i, com a tota llei mecanica, ha de valer entot SI. Aixo es consequencia del principi de Galileu que ja vam utilitzarper analitzar xocs al billar a l’apartat 2.1.1. En aquest apartat, feiemus de les formules de transformacio de velocitats de Galileu, (12), perpassar d’un SI a un altre. Pero, pel que estem veient ara en relativitatd’Einstein, aquestes formules galileanes han de ser substituıdes per les deLorentz-Einstein, (14). En fer-ho entrarıem en contradiccio i, per evitar–ho, nomes ens queda un camı: modificar la definicio de ~p i parlar d’un noumoment lineal ‘relativista’.

ii) Mon R. Definirem el nou moment lineal ‘relativista’ mitjancant l’expressio

~p ≡ m~V√

1 − V 2/c2(17)

que substituira la del moment classic ~p ≡ m~V . D’aquesta manera podremseguir parlant de conservacio del moment lineal (del nou, es clar) en tot SIi, al mateix temps, mantenir les transformacions de velocitat relativistes(14) (la demostracio d’aquest fet pot trobar–se en molts textos, aquı nol’exposarem).

Fixem–nos en que m/√

1 − V 2/c2 es mes gran que m, si V 6= 0. Per aquestmotiu, es frequent batejar la primera expressio amb el nom de ‘massarelativista’ i afirmar que la massa d’un cos augmenta amb la velocitat en


que se’l veu passar. Es millor d’evitar tant el nou nom com l’afirmacio.Conve reservar el nom de massa i el sımbol m a una propietat intrınseca

del cos: la massa que te quan se l’observa en repos i pot ubicar-se en elplatet d’una balanca. En algun sentit, la massa d’un quilo dalt del trensera percebuda com a mes d’un quilo pels qui el veuen passar amb lavelocitat V i la corresponent energia cinetica. No afirmem que el cos hagiadquirit una massa addicional, afirmem que l’energia cinetica associada aaquesta velocitat –que el cos no tenia en repos i que ara sı que la te– lifa augmentar la seva inercia i fa que sigui mes difıcil d’aturar del que enseria d’acord amb la formula classica (16).

Quelcom semblant passa amb l’energia. L’equacio (15) ens dona l’energiaen repos d’una massa m. Quan aquesta massa es vista passar amb velocitatV tindra una energia

E =mc2

√

1 − V 2/c2≥ E0, (18)

que defineix l’‘energia relativista’ E. Aquesta energia, que inclou l’aporta-cio que hi fa la massa, E0, no es un concepte nou: es el de ‘massa-energia’que hem usat repetidament i que ara hem rebatejat amb el nom que seli sol donar tecnicament. L’energia, sigui del tipus que sigui, tambe con-tribueix a la inercia i al pes. L’equivalencia es tal que es conserva nomesla ‘massa-energia’ globalment –o, millor dit, l’energia relativista– en unanova i unica llei, i no com en el cas classic que en calien dues.

3.1.8 Hi ha una velocitat maxima?

Ens referim, esta clar, a un lımit natural de velocitat i no al tıpic retolconvencional de velocitat maxima, que posa el conseller Saura per fer–nosser prudents a la carretera. En aquest punt els dos mons que contemplemsegueixen sent ben diferents.

i) Mon C. No hi ha cap limitacio, ja que accelerant mes i mes (amb mesforca i/o durant mes temps) augmentare la velocitat ~v d’un mobilsense lımit. Podria, en principi, superar la velocitat c de la llum,es questio d’invertir-hi forca i temps. La Natura no admet lımits develocitat com els de trafic.

ii) Mon R. Sı que hi ha una limitacio natural de velocitat segons aquestreglament: c es velocitat lımit, insuperable per a tot mobil. A laNatura hi ha un lımit intrınsec i no-convencional de velocitat. Capsistema fısic sera mai vist viatjant per damunt del lımit c. No estracta d’una norma eludible de trafic, es una llei ineludible de lanatura del Mon R. Ho discutirem mes endavant pero la necessitatd’una norma d’aquest tipus es dedueix ja a partir de la presencia del’arrel de (1−V 2/c2) (en formules com l’eq.(17)) que no admet valorsreals per a V > c.


3.1.9 Relacions entre mon C i R

El mon C tendeix (s’assembla mes) al mon R a mesura que c es fa infi-nitament gran; en aquest lımit, l’arrel de (1 − V 2/c2) que apareix a lesformules relativistes anteriors tendeix a 1 i deixa de tenir efectes. Lestransformacions de Lorentz es confonen amb les de Galileu. Es obvi que elvalor de c es gran a escala humana, c = 299792458 m/s. Per exemple, lavelocitat mes gran que fins avui dia ha assolit un huma respecte dels altreses d’uns 10 km/s, la que atribuıem als astronautes de la missio Apollo queels porta a la Lluna el 1969. La petitesa d’aquests 10 km/s davant de c faque les diferencies siguin de mal detectar amb ulls humans; pero c no esinfinita! –aixo fa que les diferencies hi siguin i la Fısica (inhumana?) noles pot ignorar.

Malgrat tot el que hem dit, els mons C i R encara serien conceptualmentdiferents en relacio a l’equivalencia, o no, entre massa i energia. Un pasal lımit no hauria de canviar el nombre de lleis de conservacio vigents (dedues al mon C, a una de sola al mon R).

3.2 A quin mon vius?

Cal, no ho oblidem, contestar amb fets experimentals o observacionals i no desde prejudicis. Per tant, comencem per considerar dos tipus d’experiments:

a) els idealitzats (caricatures), en aquesta seccio, on proposem que es faciun esforc de comprensio en allo que caracteritza el mon R; i

b) les seves versions experimentals mes realistes, encara que a vegades simpli-ficades en els seus aspectes no essencials, que exposarem mes endavant i llavorssuggerirem que es faci un esforc d’acceptacio de la Relativitat, obligats pels fets.

3.2.1 Es c′ = c?

Els experiments diran que sı, que la velocitat de la llum a l’espai buit es absoluta.Fixem-nos en la llum emesa i rebuda per focus i receptors que es troben enmoviment relatiu, amb les velocitats que es vulgui, els uns respecte dels altres.Les mesures de la velocitat de propagacio d’aquesta llum sempre donaran elmateix valor c.

Afortunadament estem ben situats per a concebre experiments d’aquest ti-pus. La Terra volta al Sol a uns 30 km/s i des d’ella podem mesurar (en principi)a quina velocitat veiem passar la llum procedent d’una estrella vers la qual laTerra s’estigui dirigint en aquest moment; al cap d’uns sis mesos, la Terra fu-gira d’aquella estrella i repetirem llavors la mesura de la velocitat de la llum quesegueix emetent. No hi fa res: sempre es trobara el mateix valor de c properals 300000 km/s, els 30 km/s propis de la traslacio terrestre no s’hi hauran derestar ni sumar en cap cas. El fısic Francesc Arago, de la Catalunya Nord, vaintentar aquesta mesura i no se’n va sortir, es difıcil i, per aixo, hem escrit ‘enprincipi’. Avui en dia, disposem de resultats experimentals que comproven lainvariancia del valor de c,


Figura 22: Equivalencia massa-energies. Vegeu el text.

3.2.2 Es t′ = t?

En general, no! Els experiments diran que el temps no es absolut, sino relatiu ique pot passar a diferent ritme per a diferents observadors. El que aixo vol dirsol il·lustrar-se amb casos concrets com els seguents:

i) Dos germans bessons, poden deixar de tenir la mateixa edat? Veuremque sı, tal com diu la relativitat. Ho analitzarem dins de poc, en tenir unmınim de practica.

ii) I carregant encara mes les tintes: pot una mare passar a ser mes jove (entot sentit) que la seva propia filla? Tambe, Einstein ja ho va veure l’any1905.

3.2.3 Massa i energia al platet d’una balanca

Mon R. Massa implica inercia (mandra a canviar de velocitat) i pes (forcad’atraccio envers la Terra); l’energia, segons la relativitat, tambe te ambduesimplicacions. La segona, pot ser estudiada amb una balanca, desequilibrableper un pes addicional. L’energia, el pot subministrar aquest pes? Il·lustrem elque volem dir en tres situacions idealitzades, que s’expliquen per si soles i queesquematitzem a la Fig.22.


i) Una baldufa, ballant verticalment al voltant del seu propi eix, te mesinercia i mes pes que una baldufa clonica que no balli. Per aixo desequilibrala balanca. L’energia cinetica addicional deguda al ball n’es la responsable.Fixem-nos que, tot i estar girant rapidament, la baldufa sempre es troba almateix lloc i, globalment, esta en repos. Idealment, la balanca ens permetobservar la diferencia en l’energia en repos de les baldufes deguda al balld’una d’elles.

ii) Un vas d’aigua calenta –la calor es una forma d’energia (l’energia cinetica idesordenada amb que es mouen caoticament l’altıssim nombre de moleculesd’aigua que conte el vas)– pesa mes i te mes inercia que un vas igual ambla mateixa quantitat d’aigua freda. En ambdos casos disposem del mateixnombre de molecules, si l’aigua es freda, aixo sı, estan mes ‘calmades’.Com en el cas de les baldufes, podem parlar d’energies en repos diferents:l’agitacio termica de les molecules no modifica el repos global de l’aigua iel got.

Recordem, ara ve al cas, l’intent del comte Rumford l’any 1799 quan vamesurar que el ‘caloric’ que hipoteticament hi ha en una caloria te unamassa inferior als 1.3×10−11 kg. Ara sabem que a una caloria corresponenm = E0/c2 ≃ 4×10−17 kg de massa. Amb un metode de mesura un miliode vegades mes precıs el comte Rumford hauria descobert un aspecte claude la relativitat o . . . el ‘caloric’ !

iii) Un condensador carregat, es a dir, amb els electrons de les plaques me-tal·liques reordenats de manera forcada havent acumulat energia potencialmentre s’el carregava, te mes inercia i pesa mes que abans de carregar.Les piles i bateries electriques, conceptualment identiques al condensa-dors, tambe en tenen mes quan estan carregades que al final, quan leshas ‘buidades’ del seu contingut energetic. Aquest n’augmentava l’energiaen repos. En aquest cas, i a diferencia dels dos anteriors, no hi intervecap tipus de velocitat o d’energia cinetica: l’energia addicional es degudaa la posicio de les carregues electriques. Aquesta energia desequilibra labalanca com fa tota massa addicional. Recordem la frase d’Einstein:

la massa d’un cos es una mesura directa de l’energia queconte.

3.2.4 Treurem energia de la massa d’un cos?

Energia sol definir-se com a capacitat de realitzar treball; la maquina que hopossibilita (els organismes vius ho fan a partir del valor energetic de la sevaingesta i l’oxigen respirat, els motors d’explosio ho fan cremant combustible,...)sol ser complexa i no cal analitzar-la aquı. El que ens interessa ara es saber side la massa d’un cos material tambe en podem extreure energia i fer treball. Laresposta es inambıgua i afirmativa: i) hi ha sistemes naturals que ho fan, i ii)hem ideat procediments complexos per imitar-ho i aconseguir-ho.


i) El Sol perd ‘per fusio’ uns 4.5 milions de tones de massa cada segon: equi-val a l’energia que irradia en forma de llum solar. Part d’aquesta energiaens arriba a la Terra: el flux d’energia solar a l’alta atmosfera terrestre esd’uns 1.35 kW/m2 (amb aquesta dada i la distancia Terra-Sol, 8 minuts-llum, podem comprovar el valor de m = E0/c2 ≃ 4.5 milions de tonesperdudes per segon esmentat abans). Son irradiades majoritariament enforma d’energia lluminosa fora del disc solar, permetent-nos prendre des-aconsellables ‘banys de Sol’.

ii) Es tracta d’un proces semblant a l’anterior que es fa (en teoria almenys)sota control. El combustible nuclear es ‘fisiona’ perdent aixı massa idonant-nos el seu equivalent energetic. Einstein ja sabia el 1906, comhem comentat, que l’element radi havia d’anar perdent massa en emetreenergia radioactiva. En principi, ho podrem observar experimentalment.

3.2.5 Xocs

Quan hi ha un xoc, es que hi ha moviment. La velocitat d’aquest movimentafecta, ja ho hem vist, les caracterıstiques dels objectes que xoquen. Nous efectesrelativistes i anti-classics es fan palesos a nivell experimental. Exemplifiquem-hobreument

i) Despres d’un xoc al billar (sense efecte) les boles surten realment a moltpoc menys dels 90 graus que prediu la fısica classica. La bola que arribate mes inercia (la de l’energia cinetica addicional) i arrossega mes l’altra,tancant-se aixı l’angle de sortida. L’efecte es real, pero tant petit que nohi ha qui el pugui detectar en una taula de billar. Pero ...

ii) Si la velocitat de la bola enviada fora molt gran, el xoc recordaria el d’unabotxa contra el bolig en el joc de botxes o la petanca –la gran inercia dela bola que arriba s’enduria pel davant el petit bolig aturat. L’angle estancaria visiblement, l’efecte seria facilment detectable.

4 RELATIVITAT ESPECIAL: COHERENCIA INTERNA 67

4 RELATIVITAT ESPECIAL: coherencia inter-na

Cinematica es l’estudi dels moviments en l’espai al llarg del temps, prescindintde les causes que els provoquen; es doncs, aquı hi ha pocs dubtes sobre la paraulaa escollir, una mera descripcio del moviment; es fara en un sistema de referencia,S, o en d’altres S’, S”,..., i nomes ens caldran metres i rellotges que suposaremperfectes.

La dinamica estudia tambe el moviment donant entrada a les causes que elmodifiquen (forces) i als seus efectes (canvis de velocitat o accelaracions); hofarem mes endavant en aquest mateix capıtol i caldra, naturalment, que ensproveim, a mes a mes, de balances i dinamometres (per a mesurar masses iforces).

4.1 Els dos postulats cinematics

Es dos postulats cinematics seguents, juntament amb un tercer postulat dinamic,configuren la Teoria (o el cos doctrinal) de la Relativitat Restringida o Espe-cial (Einstein 1905). Son la manera elegant i sintetica –i, per tant, tambe mescrıptica– d’expressar les caracterıstiques del Mon R presentades en forma dereglament a la secc. 3.

Els dos postulats cinematics diuen aixı:

4.1.1 Postulat 1

Principi de Relativitat d’Einstein o de covariancia de les lleis fısiques.

“Tots els Sistemes Inercials son equivalents per expressar-hi les lleis de TOTAla Fısica”.

Hem ampliat el principi de Relativitat de Galileu (2.1.1) de la Mecanica a totala Fısica. Les lleis fısiques s’enunciaran identicament tant des d’S com des d’S’i es satisfaran tant si hi entrem els valors mesurats des d’S com si hi entrem lesmesures (en general diferents) fetes des d’S’. Cap llei fısica podra doncs distingiro afavorir un sistema inercial SI (S) respecte d’un altre (S’); NO hi ha capsistema inercial privilegiat per a expressar-hi les lleis fısiques (on, per exemple,la seva expressio es simplifiques particularment) i molt menys un sistema inercialabsolut a l’estil newtonia.

4.1.2 Postulat 2

Principi d’invariancia, universalitat o constancia de c.

“La llum es propaga al buit amb velocitat constant (invariant, absoluta,universal) c respecte de tot SI”.


A l’espai buit, c= 299792458 m/s per a tothom, es a dir, amb independencia develocitats relatives entre uns i altres observadors.Eter? No, gracies! Ja que un eter (luminıfer) conformaria un sistema privilegiat,aquell on la llum s’hi propagaria amb velocitat igual a l’anterior valor de c.

4.2 Les transformacions de Lorentz

En aquesta seccio repetim el que ja s’havia dit a la secc. 3.1 i ho ampliem totpreparant-ho per a futures aplicacions concretes. Es tracta de les transformaci-ons de Lorentz, anomenades tambe de Lorentz-Einstein, ja que fou aquest ultimqui va copsar-ne el seu significat. En farem constant aplicacio.

4.2.1 Per a esdeveniments

Un mateix i unic esdeveniment E pot ser vist tant des d’S com des d’S’. Amb elseixos i rellotges d’S, l’esdeveniment ve caracteritzat per x, y, z, t; i amb els d’S’,el mateix esdeveniment “esdeve” a x′, y′, z′, t′. Les transformacions de Lorentz(directes o inverses) tradueixen (en un sentit o l’altre) els dos quartets de valorsanteriors que especifiquen un unic esdeveniment.

i) Directes (S → S′)

x′ =x − V t

√

1 − V 2/c2, y′ = y, z′ = z, t′ =

t − V x/c2

√

1 − V 2/c2(19)

ii) Inverses (S′ → S)

x =x′ + V t′

√

1 − V 2/c2, y = y′, z = z′, t =

t′ + V x′/c2

√

1 − V 2/c2(20)

4.2.2 Per a velocitats

Un unic mobil te velocitats ~v o ~v′ segons que es mesurin des d’S o S’. La relacio(traduccio directa o inversa) entre aquestes mesures (ambdues correctes i reals,no ho oblidem) ve donada per les formules seguents, deduıbles (amb bona logicai matematiques) de les anteriors transformacions de Lorentz de manera bensenzilla (derivant):


dx′

dt′= v′x =

vx − V

1 − vxV/c2, v′y,z =

vy,z

√

1 − V 2/c2

1 − vxV/c2(21)


dx

dt= vx =

v′x + V

1 + v′xV/c2, vy,z =

v′y,z

√

1 − V 2/c2

1 + v′xV/c2(22)


4.3 Coherencia entre 4.1 i 4.2

Pot demostrar-se la coherencia (l’equivalencia logica) entre els postulats 1 i 2 dela secc. 4.1 i les transformacions de la secc. 4.2 de manera general. Tot i aixo,aquı ens conve perdre generalitat i veure la coherencia i bon funcionament delconjunt en uns casos concrets que ens il·lustrin millor el significat del mon R. Re-duirem cada cas concret a la configuracio estandard a la que les transformacionsde Lorentz de la secc. 4.2 son aplicables directament.

4.3.1 Exemple 1.

Perseguint la llum amb velocitat V.Suposem que des d’S es mesura la velocitat d’un raig de llum que es propaga

en l’espai buit horitzonalment cap a la dreta o, equivalentment, en el sentitpositiu de l’eix 0X . Es trobaran els seguents valors de cada component: vx =c, vy = vz = 0. Amb aquestes dades i les formules directes d’addicio develocitats (21) es pot predir que donaria una mesura de la velocitat del mateixraig feta, pero, des d’S’. Substituint a (21) i simplificant es calcula facilment quev′x = c, v′y = v′z = 0, es a dir, retrobem el valor de c. Era necessari: no haverretrobat aquest valor fixat en un postulat hauria implicat incoherencia teorica.

Un calcul una mica mes complex pot repetir-se pel cas d’un raig de llumno horitzontal: des d’S se’n mesuraran les components vx = c cos θ, vy =c sin θ, vz = 0. Les formules (21) prediuen que des d’S’ el valor de l’angleθ haura canviat pero el modul de la velocitat seguira sent c, d’acord amb elpostulat que ho exigeix aixı.

4.3.2 Exemple 2.

Propagacio en esferes d’un flaix de llum al buit.Suposem ara que, d’acord amb la configuracio estantard que sempre utilit-

zem, en coincidir els dos origens O i O’ –aixo passa quan el rellotge que hi haclavat a O marca les t = 0 i el que hi ha clavat a O’ marca les t′ = 0– surt delpunt O=O’ un flaix de llum. En passar el temps aquest flaix de llum s’anirapropagant al buit allunyant-se del punt de sortida en totes direccions i ambvelocitat c.

Podrem fer la seguent afirmacio A:

vist des d’S i a les t, el flaix de llum ocupa una superfıcie esferica de radi ct

(ho idealitzem una mica, ocuparia una capa/corona esferica tant mes primaquant mes curta hagi estat la durada de l’emissio del flaix; es llegıtim pensar enuna durada infinitament curta i parlar llavors de superfıcie i no de capa/corona).Vist i comprovat aixo, els postulats 1 i 2 exigeixen que tambe sigui validal’afirmacio seguent A’:

vist des d’S’ i a les t′, el flaix de llum ocupa una superfıcie esferica de radi ct′.


No hi ha altre remei, el postulat 1 exigeix identic enunciat a S i S’ d’una lleifısica (en el nostre cas, la propagacio esferica de la llum al buit) i el postulat2 exigeix identic valor c per a la seva velocitat. Hem respectat aquestes duesexigencies en fer les afirmacions A i A’, ambdues han de ser doncs correctes.

Comprovem-ho matematicament. Les afirmacions A i A’ s’escriuen respec-tivament mitjancant les formules

x2 + y2 + z2 = c2t2 (23)

x′2 + y′2 + z′2 = c2t′2, (24)

que son les equacions de dues esferes, una a S (centrada a O i de radi ct) i l’altraa S’ (centrada a O’ i de radi ct′). Fins ara nomes hem emprat els postulats 1i 2 i les equacions matematiques de les esferes. Ara donarem entrada a lestransformacions entre esdeveniments de la secc. 4.2 per a comprovar que no ensporten a cap contradiccio, sino que confirmen el que ja hem fet. Efectivament,substituint les transformacions ‘directes’ a la segona equacio, (24), es retrobala primera, (23); recıprocament, si substituim les transformacions ‘inverses’ a laprimera equacio, (23), es retroba la segona, (24). Cap contradiccio, coherenciainterna de la part cinematica de l’esquema.

4.3.3 Exemple 3.

Reciprocitat S ↔ S’.Dit d’una altra manera i jugant amb paraules:

‘la Relativitat es absolutament relativa’.

Efectivament, en la configuracio estandard que usem: S’ es mou cap a la dre-ta d’S o, el que es el mateix, S’ te velocitat constant +V respecte a S; tambepodrıem dir equivalentment: S es mou cap a l’esquerra d’S’ o que S te velocitatconstant −V respecte a S’. Traspassar les primes d’un quartet de variables al’altre i canviar tambe el signe de V ha d’acabar deixant-ho tot intacte. Si femaquesta operacio a les formules de transformacio directes eqs.(19) i eqs.(21) tro-barem les seves inverses respectives, eqs.(20) i eqs.(22). Recıprocament operanta les inverses trobarıem les directes. Una coherencia total, la logica de l’esque-ma es ben solida. El conveni d’haver posat la prima a S’ i no a S, una puraarbitrarietat, no te cap efecte apart de convenis de notacio.

4.4 Addicio de velocitats

Posem un parell d’exemples. El primer es senzill tant pel que fa a la fısica compel que fa a les matematiques. El segon te mes complicats els calculs i, en casde dificultats, conve prescindir dels detalls de com s’han fet.

4.4.1 Exemple 1.

El Porsche d’en Grıfols (el meu col·lega donant aquesta assignatura de Campusen anys anteriors) va a 108 km/h = 30 m/s. Aixı ho indiquen tant el seu


velocımetre, com el seu radar i el radar dels mossos d’esquadra. El meu Clio(amb radiocasette i tot) tambe, pero en sentit contrari. El radar del Porschemesurara que el Clio se li acosta a 59.9999999999994 m/s i no a 60 m/s.

Per arribar a aquest resultat n’hi ha prou en considerar la carretera coma sistema S, el Porsche com a sistema S’ i aplicar la formula que dona v′x entermes de vx i V . En entrar-hi les dades V = −vx = 30 m/s, v′x resultara ser elvalor lleugerament inferior als 60 m/s classic llevat d’un signe menys inessencialque ens recorda el sentit del moviment del Clio cap a l’esquerra.

4.4.2 Exemple 2.

Trens en trens (a l’estil de “matriotxques” en moviment) o, encara millor, coetsd’n fases en l’espai lliure.

Situem-nos al SI S on hi ha una via de tren recta i perfecta. Des d’S hiveiem passar un tren S1 a velocitat v1 = V , el maquinista ens ho confirma perradio despres de mirar el seu velocımetre. A dalt i al llarg d’aquest tren S1 hiha unes vies per les que circula un segon tren S2 que un segon maquinista facircular amb el velocımetre marcant tambe V . A dalt i al llarg d’aquest segontren S2 hi ha unes vies per les que circula un tercer tren S3 amb el velocımetremarcant tambe V . I aixı indefinidament. Totes les velocitats van en direccio isentit coincidents. Recordem-nos que ho mirem tot des d’S, a quina velocitatvn veurem passar l’enesim tren? Podra aquesta velocitat, vn, superar la de lallum, c, tal com sembla inevitable si n es fa prou gran?

Per fer aquest calcul, comencarem rebatejant les velocitats v1,2,3,... que desd’S tenen els diferents trens aixı: v1,2,3,... = β1,2,3,...c, es a dir, les β1,2,3,...

son les velocitats expressades prenent c com a unitat i, per aixo, son valorsadimensionals. La primera eq.(22) esdevindra

βx =β′

x + β

1 + β′

xβ(25)

on, analogament β ≡ V/c. Aplicant aquesta equacio al primer, segon, tercer,...tren i suprimint el subındex x, que no fa falta en ser tot unidireccional, trobarem

β1 = β,

β2 =β1 + β

1 + β1β=

2β

1 + β2,

β3 =β2 + β

1 + β2β=

3β + β3

1 + 3β2, ... (26)

Si observem la distribucio de potencies parelles (als denominadors) i imparelles(als numeradors) de β ens convencerem facilment que

βn =(1 + β)n − (1 − β)n

(1 + β)n + (1 − β)n=

1 −(

1−β1+β

)n

1 +(

1−β1+β

)n (27)


Figura 23: Temps i longituds en relativitat. Vegeu el text.

ens dona la velocitat de l’enesim tren en unitats c. Com que 0 < β < 1 i(1 + β)n > (1 − β)n, els valors de βn son sempre inferiors a 1. En el lımit en

que n → ∞,(

1−β1+β

)n

→ 0 i βn → 1. Per tant, vn tendeix a c. Encara que

disposessim d’infinits trens no superarıem mai la velocitat c, hi tendirıem perdessota. L’afirmacio que c es insuperable es coherent amb tot l’esquema.

4.5 Contraccio de longituds

Considerem ara una barra que mesura l0 en el sistema S’ on es troba en repos(es tracta, per exemple, d’una barra que ocupa des del punt x′ = 0 al puntx′ = l0 de l’eix O’X’ d’S’). Es facil de deduir de les formules de transformaciode Lorentz que mesurara nomes

l = l0√

1 − V 2/c2 ≤ l0 (28)

quan se la mesuri des d’S, vegeu Fig.23.Per comprovar-ho conve anar a la primera formula de (19) i posar-hi, per

exemple, t = 0 ja que la barra fuig a S i hem de localitzar els seus dos extremsen un instant donat. Pot ser qualsevol instant, pero, triant t = 0 simplifiquemel calcul. A l’instant t = 0, els extrems de la barra passen pels punts x = 0 i


ll0

v

l0

v

l

v

Figura 24: Dues instantanies preses des de diferents SI’s. Vegeu el text.

x =√

1 − V 2/c2 de l’eix OX i, per tant, aquest ultim valor ens dona la seva

longitud mesurada des d’S, l =√

1 − V 2/c2 < l0.Es diu, per aixo, que HI HA CONTRACCIO DE LONGITUDS PARAL·LE-

LES AL MOVIMENT.La Fig.24 representa dues fotografies d’un cotxe (millor una bici –la bici

de Gamow– o una moto que son mes bidimensionals: altes i llargues, sense‘gruix’) circulant rapidament per una carretera on hi ha dos pals fixos i verticals.Mesurades en repos, tant la longitud del cotxe com la separacio entre pals valenel mateix, l0. La foto de l’esquerra s’ha fet des d’un trıpode fixat al terra; els palssurten a la seva distancia ‘propia’, l0, i el cotxe, en canvi, surt arroncat l < l0 iamb les rodes deformades el·lıpticament. La foto de la dreta correspon al mateixpas del mobil pels pals pero, en canvi, s’ha disparat des d’un segon cotxe queviatjava a la velocitat del primer al llarg d’una carretera llunyana i paral·lela ala primera; la distancia entre pals, l, s’ha arroncat i el cotxe surt tal com es visten repos, l0. Cap de les fotos esta trucada en els seus aspectes essencials, sonreals ‘como la vida misma’. (Detalls no essencials sobre aquesta questio, l’efecteTerrell, els podrieu trobar a J. Terrell, ”The Terrell Effect, Am. J. Phys. 57, 9(1989); Eric Sheldon, “The Terrell Effect: Eppure si contorce!,” Am. J. Phys.57, 487 (1989) i J. R. Burke and F. J. Strode, “Classroom exercises with theTerrell effect,” Am. J. Phys. 59, 912 (1991), pero no cal llegir-los en un curscom el nostre. Tambe als links www.spacetimetravel.orgwww.spacetimetravel.org/filme/wuerfelketten/wuerfelketten-xe-640x480.mpgwww.anu.edu.au/Physics/Savage/TEE/site/tee/tour/tram/tram.html).

[edit]

4.6 Dila(ta)cio dels temps, dessincronitzacio

Mentre els rellotges d’S avancen des de les t = 0 fins a marcar les t (un intervalde temps ∆t = t − 0 = t), el rellotge d’S’ fixat a l’origen O’ (que passa comsempre per S amb velocitat V) avancara des de les t′ = 0 fins a les t′ (un intervalde temps (propi) ∆t′ = t′)

t′ = t√

1 − V 2/c2 ≤ t (29)

on t′ es mes petit que t (vegeu Figs. 23 o 25). Per comprovar-ho conve fixar-se enel rellotge (en singular) que S’ porta fixat a l’origen O’, es a dir, a x′ = 0, tal i com


v

l0

0

l0

t t

0

0 0

A A’

D D’

vt’ t’

vt

v

l0

v0 0

v

l0

t’=t < t1-v /c2 2

1-v /c2 2

1-v /c2 2

Figura 25: Ritme dels rellotges. Dessincronitzacio. Reciprocitat. Cal corregir un error al diagrama

A’: el rellotge de la dreta no hauria de marcar les 0 sino les t = V l0/c2, com veurem mes esdavant

s’esquematitza als diagrames A i D de la Fig. 25. En el diagrama A, el rellotgeque S’ porta a O’ passa amb velocitat V sobre el rellotge de l’origen O d’S;d’acord amb la configuracio estandard de sempre, ambdos rellotges marcaranles 0 (millor dit, el d’S’ marcara t′ = 0 i el d’S t = 0) en el moment del pas ambcoincidencia d’O i O’; l’altre rellotge d’S, ubicat al punt x = l0, tambe marcat = 0 perque esta sincronitzat amb els rellotges d’S i, en particular, amb el quehi ha a l’origen O i que marca t = 0. Despres (diagrama D) de que els rellotgesd’S avancin fins marcar les t es produeix la coincidencia entre el rellotge quehi ha ubicat al punt x = l0 (i que ara marca les t) i el rellotge que passa ambvelocitat V (i que al diagrama surt marcant les t′). Per determinar quant val t′

n’hi ha prou en substituir a l’ultima formula de (20) els valors que caracteritzenaquesta segona coincidencia: x′ = 0 i t = t. El resultat es el de l’eq.(29) on esveu que t′ < t.

VISTOS DES D’S, ELS RELLOTGES QUE PASSEN EN MOVIMENTRELATIU A S, AVANCEN MES LENTAMENT QUE ELS ATURATS A S.Aquests ultims son els que hi marquen el “temps propi” d’S. Podeu trobar mesinformacio al modul 4 del link http://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight

Fins aquı hem parlat del ritme en que passa el temps, anem ara a discutirquina hora marquen els diferents rellotges. Els viatgers de S’ han sincronitzatels seus rellotges (en plural, ara) escampats al llarg d’X’. Quan els observem desd’S els veurem dessincronitzats, de manera que:

VISTOS DES D’S, ELS RELLOTGES D’S’ POSICIONATS ENDAVANT(ENRERE) EN L’ESPAI, VAN ENRERE (ENDAVANT) EN EL TEMPS. Dos


esdeveniments distants i simultanis a S (diferent x, pero igual t), deixen de sersimultanis vistos des d’S’ (hi esdevenen a diferents t′).

Per deduir aquestes afirmacions a partir de les formules conve fixar-se enels diagrames A i A’ de la Fig.25. Representen el mateix esdeveniment: lacoincidencia dels orıgens O i O’ dels sistemes S i S’. D’acord amb la configuracioestandard que utilitzem, el rellotge d’O’ marca t′ = 0 i el de O t = 0 tambe.Al diagrama A s’hi representa la coincidencia O = O′ vista des d’S i, comque els observadors d’S han sincronitzat els seus rellotges, els dos que surtenal diagrama, a l0 de distancia, indiquen la mateixa hora t = 0. D’altra banda,al diagrama A’ s’hi representa la mateixa coincidencia O = O′ vista ara desd’S’ i amb el rellotge de la dreta (el que hi ha al punt x′ = l0

√

1 − V 2/c2 del’eix O′X ′ compte tingut de la contraccio de les longituds) marcant t. Quantval aquest temps t? Substituint els valors t′ = 0 i x′ = l0

√

1 − V 2/c2 quecaracteritzen l’esdeveniment d’A’ a l’ultima formula de les transformacions deLorentz inverses, trobem immediatament el valor positiu t = V l0/c2 (cal corregirla figura). Que significa aquest valor? Doncs que els dos rellotges d’S –que desd’S es veuen perfectament sincronitzats (diagrama A)– perden aquesta sincroniaen ser vistos des d’S’. Des d’aquest SI es veu que quan a l’origen d’S son lest = 0, al punt x = l0, on hi ha el rellotge que va darrer en l’espai, ja marca (enaquest punt ja son) les t = V l0/c2. Aixı es justifiquen les afirmacions anteriors.

4.7 “Paradoxa” dels bessons

Es tracta d’una discussio famosa a la que s’hi ha dedicat molt de temps i esforc.Aquı la presentem tal com ho feu Charles Darwin, net del Charles Darwin famosal qui fa al·lusio l’etiqueta de “Anıs del Mono”, i publicada a Nature el 1957 (laparadoxa, clar, no l’etiqueta).

Acaben de neixer dos bessons A i B. B es queda tranquil a la Base des d’ons’ha programat un viatge espacial per enviar A, a velocitat V = 0.8c durant 5anys, fins l’estel “Proxima Centauri”, que es a 4 anys-llum d’aquı (Base). Enarribar-hi tornara immediatament enrere invertint velocitat i trajectoria. QuanA aterri es retrobaran els (ex–)bessons: B tindra 5+5=10 anys, el viatge ha estatprogramat d’aquesta durada, i A tindra 3+3=6 anys, aixo es consequencia del’esmentada dilatacio dels temps. Seran ben diferents, com dos germans que esporten 4 anys.

L’aritmetica es molt facil, no l’exposem en detall. N’hi ha prou en observarque a la velocitat V = 0.8c es triguen 5 + 5 =10 anys en anar a i tornar de4 anys llum i que l’arrel quadrada de l’equacio (29) val 3/5 i redueix a 6 anysl’edat del besso astronauta A.

Contestar perque es A el qui acaba sent mes jove i no a l’inreves es messubtil –despres de tot deiem: la relativitat es relativa, simetrica. Aixo es el queha motivat que es parles d’una paradoxa. Efectivament, mentre dura el viatge,sigui en la fase d’anada o en la de tornada, tant A com B veuen que el tempspassa mes lentament (un factor 3/5) per a l’altre que per a un mateix; fins aquıla situacio es simetrica i, per aixo, no s’enten (es paradoxal) que els germanstinguin edats diferents. Pero aquesta simetria es trenca: el germa A canvia


(quin enrenou!) d’un SI d’anada a un SI de tornada; en canvi, l’altre germa Bsegueix quiet a S. Nomes un participa de les dessincronitzacions esmentades alfinal de l’ultim paragraf i es aquest i no l’altre el germa que acaba sent mes jove.

En Fısica no n’hi pot haver de paradoxes, el que hem discutit es un fenomen

fısic clar, natural i comprovat experimentalment en situacions tecnicament rea-litzables. Podeu trobar mes detalls al modul 4 dewww.phys.unsw.edu.au/einsteinlight

Exagerant les coses encara mes: Una mare de 20 anys acaba de tenir unanena i s’embarca irresponsablement en un viatge semblant. Torna quan sa fillaa la base compleix 40 anys, la mare (si ha anat a velocitat molt propera a c,V = 0.9922c) tindra nomes 25 anys. Sera mes jove en tot sentit.

4.8 Altres paradoxes (?) cinematiques

Encara que la paradoxa dels bessons, que acabem de comentar, es de les mesconegudes, n’existeixen moltes d’altres que conve analitzar per assegurar-nos del’absencia de contradiccions internes. Ho fem amb tres exemples.

4.8.1 Exemple 1

ELS RELLOTGES.Mes que d’una paradoxa el que aquı proposem es completar l’analisi dels

diagrames de la Fig.25 afegint-hi un quart diagrama: el D’. Naturalment, re-presenta l’esdeveniment ‘segona trobada de rellotges’ tal i com es veu des d’S’.Es tracta de comprovar que de les transformacions de Lorentz es pot deduir queels dos rellotges que es troben marquen, com indica el diagrama D’, t i t′, es adir, exactament el mateix que es veu al diagram D que representa la visio S delmateix esdeveniment. Ha de ser necessariament aixı, ja que no estem parlantdel ritme dels rellotges ni de distancies, sino de que marquen els dos rellotgesen l’instant de trobar-se al mateix punt. Aixo ja passava als diagrames A i A’corresponents a l’esdeveniment ‘primera trobada’, on cadascun dels dos rellotgesque es troben marca el mateix al diagrama A que a l’A’ (tots marquen 0). Aratambe marca el mateix cada rellotge en ambdos diagrames D i D’: el rellotgeinferior marca les t (tant al diagrama D com al D’) i el superior les t′ (tant aldiagrama D com al D’).

Podem comprovar que tant si es raona des del punt de vista d’S com del d’S’s’arriba a les mateixes conclusions sobre els valors de t i de t′, valors que ensconve expressar en termes de les dues dades V i l0. Si comencem raonant desd’S cal emprar els diagrames A i D, i no cal saber relativitat per veure-hi quet = l0/V . Si que cal, en canvi, considerar la dilacio relativista del temps perarribar a t′ = t

√

1 − V 2/c2 = (l0/V )√

1 − V 2/c2.Ara passem a raonar, encara que sera menys senzill, des del punt de vista

d’S’ utilitzant, per tant, els diagrames A’ i D’. Conve comencar fent el calculde t′, que ha de ser el quocient entre la distancia que separa els dos rellotgesa S’, l0

√

1 − V 2/c2, i la velocitat, V , amb que es veuen passar. Aixı trobem

t′ = (l0/V )√

1 − V 2/c2 d’acord amb el que s’havia trobat abans. Per a calcular


t cal tenir en compte dues questions. En primer lloc que el rellotge que acabaramarcant les t al diagrama D’ ja marcava les t = V l0/c2 al diagrama d’abansA’ (corregint un error al diagrama). En segon lloc, que si, com hem vist perdos camins, entre A’ i D’ a S’ ha passat un temps t′ = (l0/V )

√

1 − V 2/c2 a

S hi haura passat aquest valor de t′ multiplicat pel factor√

1 − V 2/c2 que teen compte el ritme mes lent del rellotge que es veu moure’s. Aixı trobaremt = t + t′

√

1 − V 2/c2 = V l0/c2 + (l0/V )(1 − V 2/c2) = l0/V , exactament comabans raonant des d’S. Tot lliga, no hi ha contradiccions.

4.8.2 Exemple 2

EL DRAC DE SANT JORDI.Ho farem mitjancant un exemple folkloric i concret, equivalent al d’altres

paradoxes que parlen de com introduir un cotxe llarg en un garatge mes curt ocom amagar un tren en un tunel mes curt que el tren en repos. Sant Jordi (o santMer, que es qui realment va matar el drac que hi havia a l’estany de Banyoles,encara que ha estat historicament marginat de manera injusta) disposa d’unaespasa que, des del puny fins a la punta, mesura (longitud propia) l0 per a poderpunxar al classic drac. Aquest li fa pam-i-pipa situat a una distancia L0 > l0darrera d’una forta reixa que el puny de l’espasa no podra travessar, vegeu laFig.26. Estar segur el drac?

La resposta es que no, que se’l pot punxar. Es facil veure-ho raonant des delpunt de vista de sant Jordi. El situarem al sistema S’ ja que s’ha posat a cavalcara gran velocitat V respecte al sistema S, on hi ha en repos la reixa i el drac. Desd’S’, per tant, sant Jordi veu con se li acosten a velocitat V una reixa i, darrera,el drac a una distancia L0

√

1 − V 2/c2. Si V es prou gran com per aconseguir

que L0

√

1 − V 2/c2 es redueixi a l0 (es a dir, a la longitud propia de l’espasa)llavors la punta de l’espasa arribara just a punxar al drac. Aquesta conclusio,la de que el drac pot ser punxat, es definitiva i la confirmarem, malgrat lesaparences, raonant des del punt de vista del drac. Abans, pero, conve parlar detemps. A la part superior de la Fig.26 s’hi representa des d’S’ el que acabemd’analitzar. Hi afegim, pero, nova informacio. D’una banda, que hem triat laposicio de la reixa com origen O del sistema S i, de l’altra, que hem triat l’origendels temps d’acord amb la configuracio habitual. Per aixo, el rellotge del canyellde sant Jordi (o del puny de l’espasa) marca les t′ = 0 quan topa contra la reixaque hi ha a O. En aquest instant d’S’, t′ = 0, el drac se sent punxat. Dit d’unaaltra manera, un hipotetic rellotge fix a la punta de l’espasa indicaria les t′ = 0en el moment de contactar amb la panxa del drac.

Passem ara a reanalitzar-ho des del punt de vista del drac o sistema S. S’hiveu cavalcar a sant Jordi a velocitat V i, per tant, es la seva espasa la ques’arrronca de l0 a l0

√

1 − V 2/c2, clarament per desota de la separacio reixadrac que, a S, es la propia, L0. Aparentment entrem en contradiccio. Pero noes aixı. Conve veure a la Fig.26. el xoc del puny de l’espasa amb la reixa delsistema S. El rellotge del puny marca, ha de ser aixı, les t′ = 0 i l’hipoteticrellotge de la punta marcaria t′ = −V l0/c2. Naturalment que no punxa al drac!Encara no es l’hora! Ho hem vist abans, el punxara quan aquest rellotge de la


Figura 26: Sant Jordi i el drac vistos des d’S’ (dalt) i des d’S (baix). Vegeu el text.


punta marqui les t′ = 0 i no les t′ = −V l0/c2 que ara indica. Cal esperar untemps V l0/c2 justament el que li fa falta a la punta de l’espasa per a recorrerla distancia que el separa del seu objectiu: la panxa del drac, on arribara quantoca, a les t′ = 0.

4.8.3 Exemple 3

EL FORAT.Pot un objecte pla i ample passar per un forat mes estret i paral·lel a l’objecte

pla? Vegeu la Fig.27 on els dos diagrames de dalt representen la situacio a Sper a dos temps diferents. El de l’esquerra correspon a quan arreu d’S son lest = −y/v, on y es la distancia entre un pla horitzontal on hi ha un forat delongitud propia 2l0 i l’eix OX, i v es la velocitat en que es traslada aquest plaverticalment cap amunt. El diagrama de la dreta ens dona la situacio a S quanhi son les t = 0, el pla passa per (coincideix amb) l’eix OX i una barra que estraslada horitzontalment amb gran velocitat V esta passant de dalt a baix delpla pel vell mig del forat. Hi passara encara que la longitud propia de la barra,2L0, superi la del forat, 2l0, ja que en veure’s passar a velocitat V la barraapareix amb una llargaria de 2L0

√

1 − V 2/c2 que pot ser inferior a l’ampladadel forat, 2l0. Per aixo hi passa per ull sense tocar-lo.

El diagrama de baix representa la visio que des d’S’ es te del pas del forat.La barra hi apareix amb la seva longitud propia 2L0 i el forat hi surt ambla dimensio horitzontal degudament contreta. Ara be, els extrems del forates veuen passar des d’S’ amb components de la velocitat v′x = −V i v′y =

v√

1 − V 2/c2, seguint per tant les lınies de punts inclinades i superant la posiciode la barra (aquı en repos) sense tocar-la. Tot quadra, cap contradiccio.

4.9 Postulat i definicions dinamiques

En aquest capıtol i fins ara s’ha parlat nomes de cinematica, es a dir, d’es-pais, temps i velocitats. Introduirem, a partir d’aquest moment, les magnitudsfısiques rellevants en Dinamica relativista comencant per la seva definicio, ienunciant, tot seguit, el postulat dinamic que les regeix. Entre d’altres aspec-tes ens preocuparem d’il·lustrar com l’extensio de la teoria amb aquest tercerpostulat mante, malgrat les aparences, la coherencia interna amb els altres dospostulats cinematics ja analitzats. Les proves experimentals, es a dir, la co-herencia empırica, les discutirem al proper tema.

4.9.1 Definicions previes

La definicio d’energia relativista E es

E ≡ mc2

√

1 − V 2/c2= mc2 +

1

2mV 2 +

3

8m

V 4

c2+ ... (30)

Aquesta energia relativista es el que des del comencament en diem, de manerano del tot adient, ‘massa-energia’. L’ultim membre de la igualtat prove d’un


V

v v2L0

2l 0

y

V

v v

2l 0

2L0 1-v /c2 2

y 2L0

vV

Figura 27: Una barra (negra) viatja a gran V d’esquerra a dreta mentre un forat puja a v paral·lel

a ell mateix. Vegeu el text. Cal corregir un error a la Fig. superior esquerra: la barra negra ha de

ser mes curta, com la que es veu a la Fig. superior dreta.

desenvolupament en serie i ens il·lustra clarament com a la massa m li corresponuna energia relativista en repos, mc2, a la que cal sumar l’energia de tipus cineticdonada per la resta de termes, que s’anul·len en fer V = 0. El primer d’aqueststermes es efectivament l’energia cinetica classica, 1/2mV 2.

Per definicio, el moment lineal relativista ~p ve donat per

~p ≡ m~V√

1 − V 2/c2= m~V +

1

2m

V 2

c2~V + ... (31)

on tambe hem fet un desenvolupament en serie per mostrar que al moment linealclassic, m~V , cal afegir-li nous termes que representen correccions relativistes.

Notem tambe que amb les definicions que acabem de donar sempre es veri-ficara que

E2 = c2~p2 + m2c4. (32)

E i ~p son variables dinamiques, pero la massa, m, es invariant i, per a cada cos,pren sempre el valor fix corresponent.

4.9.2 Postulat 3

Usant els conceptes que acabem de definir i en paraules, el tercer postulats’enuncia aixı:

“En tot sistema (aıllat) s’hi conserven tant l’energia relativista total com elmoment lineal relativista total”.


Equivalentment, en formules tindrem que

∑

i

mic2

√

1 − v2i /c2

=∑

f

mfc2

√

1 − v2f/c2

,∑

i

mi~vi√

1 − v2i /c2

=∑

f

mf~vf√

1 − v2f/c2

(33)on les Σ volen dir que cal sumar sobre totes les parts del sistema (total!), iels ındexs i, f es refereixen als seus estats inicial (abans) i final (despres). Pertant, hi ha dues lleis de conservacio: una per a E, l’energia relativista (o massa-energia, globalment, no com en Fısica Classica amb conservacions per separatde la massa i de l’energia) i l’altra per als moments lineals relativistes ~p.

4.10 Transformacions de Lorentz per a energia i momentlineal

Un unic objecte en moviment tindra, segons que se l’observi des d’S o S’, energiesrelativistes E o E′ i moments lineals relativistes ~p o ~p′. Les relacions entreaquestes mesures son:


p′x =px − V E/c2

√

1 − V 2/c2, p′y = py, p′z = pz, E′/c =

E/c − pxV/c√

1 − V 2/c2(34)


px =p′x + V E′/c2

√

1 − V 2/c2, py = p′y, pz = p′z, E/c =

E′/c + p′xV/c√

1 − V 2/c2(35)

4.11 Coherencia entre els tres postulats

Recordem la necessitat de coherencia interna en Fısica; coherencia que es potperdre en ampliar de dos (els de la secc. 4.1) a tres postulats (acaben d’afegir-n’hi un) .

No apareix cap problema. De fet, el paral·lelisme entre les transformacions deLorentz (19,20) i les d’ara (34,35) insinua que anem per bon camı. Es pot veureque es aixı en general, pero aquı ens limitarem a comprovar-ho (de diferentsmaneres) en un cas particular que il·lustra el significat del que fem i ens ho fapracticar.

4.11.1 Billar relativista

Enviem una bola de massa m amb velocitat (enormement exagerada!), v = 0.8c,contra una segona bola identica pero aturada, procurant que surtin simetricament(mateix angle i equiparticio d’energia). Al sistema S, on una bola esta aturadaabans del xoc (energia mc2 i moment lineal nul), l’altra te energia 5mc2/3 iun moment lineal 4mc/3 que suposarem dirigit al llarg de l’eix OX. Aixo dona


uns totals de∑

E = 8mc2/3,∑

px = 4mc/3,∑

py,z = 0, que es conser-varan en el xoc. Cada bola sortint tindra E = 4mc2/3, px = 2mc/3, py =±mc/

√3, pz = 0, per la simetria que suposem.

Mirem-nos tambe el mateix xoc (abans i despres) des d’un S’ diferent: perse-guint la primera bola amb V = 0.5c. Des d’S’ les dues boles van amb velocitats(0.5c) iguals i oposades (aixo es dedueix de les formules purament cinematiques(21)) i el xoc fa que passin de ser paral·leles a OX a ser-ho a OY. Amb aquestesdades calculem finalment les E′ i ~p′, abans i despres del xoc, per dos caminsdiferents: i) usant les formules (30,31) o, alternativament, ii) les formules de lasecc. 4.10 (i els anteriors valors E i ~p); comprovem que hi ha noves conservaci-ons als anteriors valors totals abans esmentats. Tot lliga, ho fem pel camı quees vulgui. Hi ha coherencia interna, ho hem vist en aquest cas concret pero potgeneralitzar-se a qualsevol altre.

4.11.2 Lımit natural de velocitats

Una ultima comprovacio d’aquesta coherencia entre cinematica i dinamica latrobem en analitzar la inaccessibilitat de la velocitat de la llum c per partd’objectes de massa m 6= 0.

Un camı es (“forca bruta”) el d’empenyer i empenyer indefinidament: lavelocitat anira augmentant, l’energia relativista, eq. (30), (o ‘massa-energia’)i la inercia de l’objecte que accelerem augmentara tambe i s’anira fent infini-tament gran en apropar-se la velocitat adquirida a c. Empenyer serveix mesper augmentar la ‘massa-energia’ (“engreixar”) que per accelerar (el nom dels“acceleradors” de partıcules no es afortunat, acaben augmentant la inercia mesque la velocitat). Un camı alternatiu (possiblement mes astut) es el d’accelarartrens dins de trens (coets de moltes fases es mes realista) com vam discutir a lasecc. 4.4: tampoc es pot superar c com vam veure. Tot esta ben lligat.

4.12 Una classificacio dicotomica de sistemes fısics

Despres d’aquestes discusions, lligades a l’equivalencia entre massa i energia,E0 = mc2, podem dir que al mon R hi tenen cabuda dos tipus d’objectes:

1) Els que son “aturables”, i aixı se’n pot mesurar la seva massa m 6= 0fins i tot amb una humil balanca. Aquests objectes ‘aturables’ mai NOarribaran a tenir la velocitat (lımit!) c, tal com acabem de discutir.

2) Els “inaturables”, que al buit van SEMPRE a c, i per als que no te sentitmesurar-ne la massa (solem dir, pero, que tenen massa nul·la, m = 0abusant del llenguatge).

Recordem les partıcules elementals: la llum o, millor, els fotons que la configurenpertanyen al segon grup; els neutrins s’ha cregut durant molts anys que tambe,pero hi ha proves experimentals recents que ens diuen el contrari: tenen unam 6= 0 molt petita que no hem sabut mesurar encara. En canvi, els altresleptons, els quarks, i les combinacions de tots ells (nuclis, atoms, molecules,


micro-objectes, nosaltres, astres...), pertanyen al primer grup i, per tant, sempreels veurem passar a velocitats inferiors a c.

No costa res d’imaginar-se i batejar un tercer grup: objectes que semprevan mes rapids que c, els “taquions”. Presentarien propietats ben peculiars iposarien en perill la nocio de causalitat, la necessitat de que tot efecte vinguiprecedit per la seva causa i no al reves. Ni rastre d’ells, pero, al nostre mon (del2009).

5 RELATIVITAT ESPECIAL: PROVES EXPERIMENTALS 84

5 RELATIVITAT ESPECIAL: proves experimen-tals

El nostre proposit en aquesta seccio consisteix en descriure una serie d’expe-riencies que s’han anat realitzant al llarg d’un centenar d’anys per intentar con-firmar o rebutjar (falsar, en el llenguatge de Popper) la Relativitat Restringida.Avui dia se’n fan molt poques de noves, ja que la teoria sembla suficientmentcomprovada, i les que es fan tenen un valor i una intencio mes pedagogica qued’altra cosa. Nomes en discutirem unes quantes i procurarem seguir l’esquemaassenyalat a la secc. 3.2.

5.1 c’ = c ?

La velocitat de la llum ha jugat un paper fonamental en tot el que hem anatexposant. Aquı volem comentar que el seu valor (al buit): c = 299792458 m/sha estat adoptat per definir el metre patro. Els errors experimentals de mesurade l’anterior valor son molt petits, de l’ordre d’un pam per segon. Aquestahabilitat dels experimentadors en mesurar c indica que no hauria de ser difıcilobservar-ne canvis de valor amb la velocitat. Per a mes informacio sobre aquestesexperiencies podem anar a la recopilacio de H. E. Bates, Am. J. Phys.56 (1988)682.

Centrem-nos, pero, en la questio de la invariancia de c. Aquest es un puntclau, que en diuen els experiments?

5.1.1 Experiments de Michelson i Morley

L’experiment de Michelson i Morley (any 1887), i variacions mes recents d’aquestfamosıssim experiment, poden trobar-se a gairebe tots els textos de Relativitato de Fısica General, on conve anar per detalls. Aquı nomes recordarem queaquests experiments tracten de detectar si les velocitats de rotacio diurna dela Terra (uns 0.5 km/s, a l’Equador) i de la seva traslacio anual entorn del Sol(uns 30 km/s, una ben apreciable deu mil·lessima del valor de c) en modifiquenel valor c = 299792458 m/s, que tan acuradament sabem mesurar. La respostaha estat sempre negativa, les velocitats no modifiquen el valor de c. Aquest esun valor ‘absolut’, tal com diu la teoria.

Les experiencies de A. Brillet et al, Phys. Rev. Lett. 42 (1979) 549 i deT. S. Jaseja et al, Phys. Rev. 133A (1964) 122 son versions modernitzadesde l’experiment de Michelson i Morley que en confirmen, amb mes garantiesobviament, el seu resultat.

5.1.2 Experiments amb partıcules

Hi ha mobils que els veiem viatjar a velocitats poc inferiors a c i que, en algunsentit malauradament poc usual, emeten llum. Un d’aquest pot ser la partıculaπ0 formada per quarks i antiquarks de la secc. 1.5. Cada π0 que produımen acceleradors surt a gran velocitat, molt propera a c: per exemple, v ≃


0.99975c. Poc despres es desintegra en pura llum: emet dos fotons o raigs γ,els constituents de la llum, i solem escriure π0 → γγ. En alguna d’aquestesdesintegracions un foto (raig γ) surt endavant (en el sentit del moviment del π0

inicial) i l’altre foto surt enrere. Si ens fixem en el raig γ emes endavant per unπ0 molt rapid, tindra aquest raig γ una velocitat propera a 2c? I si ens fixemen els emesos enrere, estaran practicament aturats? Alvager et al, Phys. Lett.12 (1974) 260 han fet aquestes mesures i sempre han trobat el valor de c. Hoconfirma un experiment semblant de K. Brecher, Phys. Rev. Lett. 39 (1977)1051.

5.2 t’ = t ?

Ara entrem en la discussio experimental de la ‘paradoxa dels bessons’ de la secc.4.7 i ho farem amb dues situacions que es complementen. La primera segueixparlant de partıcules elementals, els muons de la secc. 1.5, i aprofita que lesseves velocitats son properes a c per fer que els efectes relativistes siguin espec-tacularment grans; la segona situacio parlara d’avions comercials, uns mobilsmolt mes familiars que els muons, i els efectes seran molt mes minsos donadesles seves velocitats molt mes baixes que c.

5.2.1 ‘La pluja de muons’

Aquı seguim el treball i filmacio “Time Dilation –an Experiment with Mu-leptons

del Education Development Center, Newton, Mass., que pot tambe trobar-sedescrit al text de French, ja esmentat, i a ‘Time dilation experiment’ al linkwww.egglescliffe.org.uk/physics/ La idea de l’experiment es de Rossi i Hall(1941) pero aquesta realitzacio es de Frisch i Smith, Am .J. Phys. 1963.

Dels muons, partıcules elementals esmentades a la Introduccio, cal coneixer-ne tres propietats. La primera es que formen part de l’anomenada ‘radiaciocosmica’ i que ens bombardegen constantment arribant a la superfıcie terrestreamb abundancia i a velocitats molt porperes a c; en aquest experiment es tre-balla amb els muons de velocitat 0.994c. La segona es que sabem seleccionar,detectar i engabiar aquests muons; cal colocar un gruix determinat de metall(ferro) que, en ser travessat pels muons, els roba l’energia cinetica fins a deixar-los practicament aturats; entren aixı en una gabia o ‘camara d’espurnes’ –unaespurna amplificable ens dona el senyal d’entrada– on es queden atrapats. Eltercer aspecte rellevant dels muons es que son inestables i es desintegren amb unavida mitjana que coneixem molt acuradament: τ(µ) = (2.19703±0.00004)×10−6

s, pero tanta precisio es secundaria i prove d’altres experiments; aquı l’esmen-tem i en presumim nomes per recordar que la precisio es tambe important iabastable en Fısica; aixo vol dir que la probabilitat que cada muo capturat iaturat te de seguir encara intacte al cap d’unes 2.2 milionessimes de segon esd’un 37 per cent (1/e ≃ 1/2.7183 ≃ 0.3679, on e es la base de logaritmes natu-rals); es pot comprovar amb els muons atrapats i aturats, ja que una espurnaens havia indicat la seva entrada i una segona, que es detecta mes tard, ens


Figura 28: El rellotge marca 1h, el comptador 412 deteccions.

assenyala la seva desintegracio i quant de temps ha restat viu i en repos. Dittot aixo, l’experiment te dues fases.

En una primera fase, s’instal·la l’aparellatge necessari dalt d’una muntanya,en el nostre cas a uns 2000 m sobre el nivell del mar. Es capturen muons quearriben a 0.994c i es comprova que la seva vida mitjana un cop atrapats i enrepos es efectivament d’unes 2.2 milionessimes de segon. I, mes important per anosaltres ara, es compten quants muons d’aquests es detecten i s’atrapen cadahora. Resulta que tıpicament es detecten uns 568 muons per hora. Sabentaquestes dades podem fer dues prediccions diferents –la classica i la relativista–sobre el nombre de muons per hora que es detectaran en la segona fase del’experiment, que consisteix en repetir el comptatge a nivell del mar. Com queals muons els caldra recorrer uns 2000 m addicionals, i a la velocitat que vantrigaran uns 6.7 microsegons, n’arribaran menys a nivell del mar. Segons la fısicaclassica, amb un temps absolut, es detectaran uns 568e−6.7/2.2 ≃ 27 muons perhora. Segons la Relativitat, on el ritme de pas del temps que hem d’atribuir alsmuons mobils ve donat donat per l’eq.(4.6), es detectaran uns 568e−6.7/2.2×9 ≃405 muons per hora; la dilatacio relativista del temps (4.6) implica que veiemcom el temps passa a un ritme 9 vegades mes lent per als rapids muons queper a nosaltres, per aixo molts mes sobreviuran el tram addicional segons laRelativitat.

La segona fase consisteix en baixar muntanya avall i repetir l’experiment encondicions identiques a nivell del mar. Es poden fer moltes series d’una horacom abans. El resultat es clar, es detecten tıpicament uns 412 muons per horaben prop dels 405 previstos pel calcul relativista. Hem falsat la Fısica Classica icomprovat la Relativista. Vegeu les Figs. 28, 29 i 30, tretes del French, comentenaquest experiment.

Ho confirmen experiments independents basats en la mateix idea: J. Baileyet al, Nature, 268 (1977) 301; D. S. Ayres, Phys. rev. D3 (1971) 1051; . . .


Figura 29: A l’esquerra hi ha la camara on s’han aturat els muons depres de travessar i ser frenats

per un gruix de ferro

Figura 30: Cada lınia vertical representa la durada de cada muo. La lınia horitzontal de la

segona pissarra mostra que segons la fısica classica pocs (uns 27) viurien tant com per creuar-la. La

relativitat ens diu que cal fer aquesta lınia molt mes amunt. Vegeu text.


5.2.2 ‘La volta al mon en 80 hores’

Hafele i Keating, Science 177 (1972) p.166 i p.168, han comprovat la dilataciorelativista del temps de manera elegant i amb aparellatge mes familiar. El seuexperiment consisteix en mesurar el temps que indiquen rellotges que viatgenen avio al voltant de la Terra –en un sentit i en el contrari– i tenien una duradad’unes vuitanta hores, havent de fer escales ja que utilitzaven avions de lıniescomercials. Aquı ho idealitzarem una miqueta sense que aixo afecti cap puntimportant: suposarem que es vola sobre l’Equador terrestre i en vols senseescales de 24 hores de durada, clarament a l’abast del que pot fer avui dia unConcorde. Un calcul senzill ens indica que caldra que volin a V =463 m/srespecte a la Terra. Mirem-nos-ho a ‘vista d’angel o d’astronauta’ des d’unpunt de l’eix Nord–Sud de la Terra i molt mes enlla del pol Sud. Veurem unacircumferencia (l’Equador) amb un punt interessant Q (l’aeroport de Quito) iamb un centre S (el pol Sud). Si l’avio surt de Q en direccio oest W, veuremcom es queda quiet mentre Q dona una volta sensera en 24 hores i en sentithorari; llavors, l’avio aterra a Q havent completat la volta a la Terra; hem estatveint un avio en repos relatiu respecte a nosaltres mentre Q amb velocitat V=463 m/s completava una volta; per tant, el rellotge ubicat a l’avio s’hauraavancat respecte al que s’ha quedat a Q (el mobil); un calcul senzill ens diraque la diferencia ha de ser de 0, 103 × 10−6 s; es a dir, a Q hi ha passat unadeumilionessima de segon de menys que a l’avio. Si l’avio dona semblantmentla volta al mon cap al est E, des del nostre punt d’observacio se’l veura anara 2V , el doble que Q que sempre va a V ; a l’avio hi passara menys temps i elrellotge que porta s’endarrerira respecte al de Q.

En l’experiment real de Hafele i Keating es volava mes lentament i els volsduraven mes. A mes a mes calia tambe tenir en compte un segon efecte de laRelativitat General que no analitzem aquı (el temps passa a l’altura de vol delsavions mes rapidament que a ran de terra, pero aquest efecte es comu als dosvols cap a l’oest o cap a l’est i juga un paper menys important). Segons elscalculs fets d’acord amb la Relativitat, el temps assenyalat pel rellotge de l’aviomenys l’assenyalat pel rellotge de terra havia de ser per a cadascun dels dosviatges:

W : (273 ± 7) × 10−9s, E : (−40 ± 23) × 10−9s.

Els fets experimentals indicaven

W : (275 ± 21) × 10−9s, E : (−59 ± 10) × 10−9s.

L’efecte es petit i la precisio moderada, pero es confirma plenament la dilataciorelativista del temps. Vegeu la gravacio awww.youtube.com/watch?v=cmPebZA2ZdI

Comparem els dos casos descrits en aquest apartat 5.2. En el primer, unsmisteriosos objectes –els muons– ens permeten mesurar el pas del temps ambles seves propies vides –uns rellotges ben estrafolaris, si voleu– i produeixenefectes relativistes espectaculars, ja que van a velocitats excepcionalment grans.


El ritme del pas del temps es modifica en un factor proper a nou!. En elsegon, avions comercials i ordinaris porten rellotges excepcionalment precisosque permeten observar efectes relativistes malgrat la seva petitesa lligada ala velocitat relativament moderada dels avions. El pas del temps canvia deritme molt i molt poc. La complementacio dels dos experiments, en aquestsentit, es perfecte. Noteu tambe que en el cas dels muons es detecta nomes elcanvi de ritme i que, en l’altre experiment, hi entra tambe la dessincronitzaciodel rellotges ja que, de manera semblant a la paradoxa dels bessons que hemdiscutit, un (i nomes un, el que veiem moure’s) dels rellotges ha d’anar canviantde sistema de referencia per a retrobar-se finalment amb l’altre.

Hi ha altres experiments que confirmen el que estem dient. El d’H. Ives i G.R. Stilwell, J. Opt. Soc. Am. 28 (1938) 215 es el pioner i el mes classic.

El GPS (Global Positioning System) mereix un esment especial. La cons-tel·lacio de 24 satelits artificials que orbiten la Terra a uns 26 600 km del centrei a una velocitat d’uns 4000 m/s i fan possible aquesta meravella tecnologica had’estar dotada de rellotges extremadament ben sincronitzats. A aquestes velo-citats la relativitat preveu retards d’unes 7.3 milionesimes de segon per dia que,en cas de no ser corregides, impossibilitarien el bon funcionament del sistema.Fent aquestes correccions (i altres, degudes a la gravetat i estudiades en Re-lativitat General) s’obtenen les excel·lents prestacions del GPS. La Relativitat(Especial i General) te, per tant, aplicacions tecniques.

5.3 Equivalencia massa–energia?

Els experiments que hem comentat fins ara comproven la cinematica relativista.Encetem aquı una discusio de questions de dinamica comencant amb els efec-tes que la velocitat d’un cos i la corresponent energia cinetica tenen sobre laseva inercia. Tenim proves molt clares del canvi de la inercia d’un cos amb lavelocitat.

i) Resulta curios de saber que les tecniques molt menys desenvolupades decomencaments del segle XX ja varen permetre aquesta comprovacio de laRelativitat. Efectivament, experimentadors com Bucherer, Kaufmann, iGuye i Lavanchy tenien prou ben domesticats els electrons entre 1909 i1915 com per mesurar-ne la massa o, millor, la inercia a velocitats diferentsfins a un maxim del 95 per cent de c. Els seus resultats (que no reproduımaquı) confirmen plenament la relativitat mostrant l’augment de la inerciade cada electro en augmentar-ne la velocitat.

ii) L’accelerador de partıcules LEP1(Large Electron Positron), al CERN (Gi-nebra), ha estat anys accelerant electrons e− i antielectrons e+ (anome-nats tambe, positrons) per a produir bosons de gauge Z segons la reaccioe+e− → Z0. Cal que l’e+ i l’e− inicials aportin uns 45.6 GeV d’energiacadascun donant un total de 91.2 GeV, com correspon a l’energia en reposo massica del Z0. S’han produit aixı prop de 20 milions de Z’s gracies al’energia aportada en cada xoc i s’han recollit infinitat de dades del boso Z.L’energia s’aporta sotmetent les carregues electriques negatives i positives


dels electrons i positrons a diferencies de potencial elevades. En aquest cas,de 45.6 mil milions de volts (els endolls de casa van a 220 volts) donant-losaixı l’esmentada energia de 45.6 GeV = 45.6 giga-electrons-volt, d’acordamb el voltage emprat per accelerar les carregues electroniques. Aixı, al’energia en repos dels electrons e− i antielectrons e+, uns 0.00051 GeVcadascun, s’hi afegeix una energia cinetica molt superior, fins a un totalde (45.6 + 45.6) GeV, suficient per fer apareixer un Z0 neutre juntamentamb la desaparicio de la parella e+e− original.

Quan vam parlar de partıcules elementals a la secc. 1.5 varem fer-hi re-ferencia, ja que aquesta es la tecnica d’estudi de partıcules mes utilitzada;tot funciona segons les prediccions de la dinamica relativista, E0 = mc2 iles lleis de conservacio son d’us constant i inevitable, les tenim perfecta-ment comprovades.

iii) Si entrem en el mon de la fısica nuclear tobarem un cas interessant: eldels “nuclis miralls”, semblants a condensadors electrics mes o menys car-regats. Son nuclis mirall, per exemple, el del 13

6 C (compost de 6 protonsi 7 neutrons) i el del 13

7 N (compost, recıprocament, de 7 protons i 6 neu-trons). En tot dos casos els 13 nucleons constituents estan a distanciessemblants i les masses del proto i del neutro poden prendre’s com iguals.Hi ha una diferencia pero que dona mes massa al nucli de 13

7 N: l’energiaacumulada en posar-hi el sete proto quan ja n´hi ha 6 que el rebutgen elec-trostaticament. Aquesta E contribueix a la massa de manera mesurable.Ho esquemetitzem a la Fig.31.

5.4 Energia nuclear i E0 = mc2?

A les centrals nuclears s’esta convertint una part de la massa del combustible,aquesta fraccio de la massa desapareix, en l’energia electrica corresponent a lamassa anihilada d’acord amb la formula E0 = mc2. A Europa un tant percent important de l’energia electrica que consumim te aquest origen. I es moltprobable que l’energia nuclear, ens agradi o no, s’hagi d’anar utilitzant mes imes en el futur. Ja no parlem de proves experimentals de la relativitat, tornema parlar del seu aprofitament tecnologic.

5.5 c es velocitat lımit ?

Que no hi ha manera de superar aquest lımit de velocitat c, ho comentem tornanta la fısica dels acceleradors. L’accelerador LEP2, al CERN (Ginebra), potcomunicar una energia maxima d’uns 100 GeV a cada electro i, aixı, adquireixuna velocitat de 0.999999999988c que s’acosta molt a la velocitat de la llumpero que no hi ha maneres d’assolir per mes energia que s’aporti. Per exemple,per aconseguir uns velocitat de 0.999999999994c, a mig camı entre l’anterior ic, ja caldrien acceleracions sota uns 150 GeV.

Al CERN s’ha inaugurat recentment el LHC (Large Hadron Collider) queaccelera protons a energies mai abastades. En aquest cas, els protons s’espera


Figura 31: Nuclis mirall: l’energia electrostatica aportada pel sete proto desequilibra la balanca.

El sımbol u es la unitat atomica de massa, uns 1.66 × 10−27 kg.


que circulin a una velocitat de 0.999999991c. El projecte, en aquests momentsaturat solventant una averia, acabara funcionant i, si no ho fa, ningu no s’esperaque sigui a causa dels calculs relativistes que s’han fet en dissenyar-lo ...

Independentment, al cosmos trobem altres proves sobre la insuperabilitatde c. Una fa referencia a les partıcules (sovint elementals, com son els muonsesmentats a la seccio 5.2) de la radiacio cosmica. Les seves velocitats son moltproperes a c pero mai no arriben a aquest valor lımit (a lla seccio 5.2 selec-cionavem muons amb v = 0.994c). L’altra fa referencia a les galaxies i a lavelocitat en que s’allunyen les unes de les altres. Com veurem mes endavant,sabem mesurar aquestes velocitats de ‘recessio’ i, altra vegada, en trobem demolt grans, properes a c, valor que no superen mai. Un lımit universal queafecta tant a les minuscules partıcules com a les immenses galaxies.

5.6 Xocs

Els xocs entre partıcules son la base experimental del seu estudi i, des del puntde vista teoric, venen descrits per les lleis de conservacio de les eqs.(33). Graciesal perfecte funcionament d’aquestes lleis tenim avui dia un bon coneixament deles masses, entre d’altres parametres, de bona part de les partıcules elementals(secc. 1.5) i de un quants centenars de partıcules composades per quarks (pro-tons, neutrons, pions, kaons, ...). Tot ajusta perfectament, com en uns mots(multi–)encreuats, on ‘multi’ vol recordar-nos que les comprovacions indepen-dents son molt nombroses.

i) xocs elastics (on no canvia la natura dels objectes que xoquen).El cas de proto+ proto → proto+ proto, involucra, com al billar dosobjectes entrants i sortints de masses en repos iguals: els angles de sortidasempre menors que els 90 graus previstos al mon C, molt menors a lesgran velocitats que facilment te el proto incident. Vegeu la Fig.32.

ii) xocs inelastics (on hi ha reconversions dels participants)Hi ha casos tan senzills com e+e− → Z0 → µ+µ−, on dues partıculesen produeixen dues de diferents a les inicials. Havent-n’hi nomes dues encada cas, ‘la cinematica es tanca’ facilment, que en l’argot de partıculesvol dir que les prediccions de les eqs.(33) es compleixen i s’enten el queesta passant. I centenars d’altres tipus de reaccions entre partıcules (coma la secc. 1.5). Tot funciona segons la Relativitat. Milions de casos on totencaixa i ho fa des de molts punts de vista.

5.7 Efectes Doppler

Tema que solem deixar per la segona part d’aquest curs (quan es donava pre-sencialment), doncs es essencial en Cosmologia del Big Bang. Ens referim al’efecte Doppler de l’optica que es l’analeg a l’acustic. D’aquest tots en tenimexperiencia: el so que percebem d’un vehicle que s’acosta a nosaltres es mesagut que el so del mateix vehicle quan s’allunya. Analogament, la llum d’unfocus que s’ens acosta te una frequencia mes alta (es mes violada) que la del


Figura 32: Xocs en ‘billars relativistes’: dues potes de l’Y son els rastres deixats per un proto

abans i despres de xocar amb un altre proto aturat –posant-lo aixı en moviment, la tercera pota. Sis

protons es mouen de dreta a esquerra sense xocar amb els protons (nuclis d’H) aturats excepte un

d’ells. Aquest ultim posa en moviment un proto i deixen el rastre en Y. Noteu que l’angle de sortida

es menor de 90◦.


focus allunyant-se (es mes roja, mostra un ‘redshift’). Pero, diferentment delcas acustic que usualment involucra velocitats petites, el cas optic pot referir-se a focus lluminosos com les galaxies que es mouen a velocitats cosmiques.En aquests casos cal tenir compte d’importants correccions relativistes (que nodetallem aquı). Aixo ens porta a dos tipus d’efectes Doppler relativistes:

i) Efecte Doppler transversal, que es purament degut al diferent ritme depas del temps segons la relativitat.

ii) Efecte Doppler longitudinal i la famosa fuita de les galaxies segons la lleide Hubble. Al diferent ritme del temps cal superposar-hi efectes d’aproxi-macio o allunyament entre emisor i receptor. La relativitat ens dona aixıuna manera de mesurar la velocitat de les galaxies observant el color (lafrequencia) de la llum que d’elles ens arriba. Observem que totes ens envi-en llum que veiem desplacada cap el color roig (‘redshift’) i que, per tant,totes s’allunyen de nosaltres (recessio de les galaxies) i totes s’allunyen deles altres (expansio de l’Univers).

La velocitat record (2009) es la de la galaxia que du el poetic nom de8C1435+635 i que s’allunya a 0.93c (ben poc per dessota de c) segonsmesures fetes des de l’observatori de La Palma (Canaries). A aquestagran velocitat i des del Big Bang (ara fa un 14 mil milions d’anys) hapogut arribar molt lluny: a uns 13 mil milions d’anys llum, als confins del’Univers.

5.8 Un resum recent

No es frequent, pero de tant en tant apareixen resums de quant solidamenttenim comprovada la Relativitat Restringida des del punt de vista experimental.L’ultim que s’ha publicat es un recull de D.W.MacArthur, Phys.Rev. A33 (1986)1. N’es especialment interessant el seu resum, Taula II.

Una altra analisi, actualitzada i completa, es pot trobar a la xarxa (junt ambd’altres):http://math.ucr.edu/home/baez/physics/index.html

Relativitat Profans

Documents

Transcript of Relativitat Profans