Relaciones...completo!!!

8/3/2019 Relaciones...completo!!!

1/34

Relaciones:

Introduccin

En el estudio que hemos adelantado hasta el momento, hemos tenido la oportunidad deobservar en todo su esplendor, el lenguaje de la lgica proposicional y cuantificacional en laconstruccin de la teora de conjuntos.

Cuando se afirma a su vez que la teora de conjuntos es el lenguaje de la matemtica, entraen juego un conjunto que podemos considerar como el ncleo generador de este lenguaje, yque corresponde al par ordenado. Este a su vez nos permite fundamentar un conjunto deimportancia trascendental en el esquema de la matemtica moderna: las relaciones binarias.Mediante ellas es posible vincular elementos de dos conjuntos, no necesariamente diferentes,y segn sea el tipo de conexin se tienen las distintas clases de relaciones que soportan elmaravilloso edificio de la matemtica. Esta es la razn por la cual, aunque estamostrabajando sobre el mismo tema, su importancia amerita un captulo aparte.

Par ordenado. Producto cartesiano

Definicin. Par ordenado.

Definimos un conjunto de dos elementos en el cual se tiene en cuenta el orden de suselementos. Este conjunto se denomina par ordenado de componentes a y b y se nota (a,b).Esto es:

Teorema 1.

Observaciones.

1. Es claro que si entonces . En efecto

y obviamente .

2. Dado decimos que a es la primera componente y b es la segunda componente delpar ordenado.

3. . Justificar esta afirmacin.

Definicin. Producto Cartesiano.

Sean A y B conjuntos.

Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda

componente en B,lo denominamos producto cartesiano de los conjuntosA y B y lo notamosA x B.


2/34

Este conjunto lo notamos por comprensin as:

Consecuencias.

i)

ii)

Observacin.

Para facilitar el manejo del producto cartesiano, utilizaremos la siguiente notacinabreviada:

Consecuencias.

i)

ii)

Representaciones grficas particulares del producto cartesiano.

En el conjunto de los nmeros reales.

Existe una correspondencia biunvoca entre y el conjunto de puntos del planocartesiano.


3/34

Ilustracin 1.

1. Sean: ; .

Determinar y representar en el plano cartesiano los siguientes conjuntos:

; ; ;

Figura 1


4/34

2. Sean , .

Determinar y representar en el plano cartesiano.

; ; ; .

Figura 2


5/34

Observaciones.

1. Es importante resaltar la diferencia entre las representaciones correspondientes aconjuntos finitos y las respectivas a los conjuntos infinitos.

2. Es fundamental tener presente que en la representacin de un conjunto en el plano

cartesiano, todo punto es la representacin de un par ordenado y viceversa.

Teorema 2. Propiedades del producto cartesiano.

Sean:A,B,C,D,X,Yconjuntos, entonces:

1. Si y entonces

2. si y solo si .

3. Si entonces

4.

5.

6.

7.

Demostracin de 1.

Supongamos: Hiptesis 1


esto es consecuencia def. pcto. Cartesiano

luego ; pero de la hip. 1 se tiene que y tambin

en consecuencia es decir

Conclusin:


6/34

Demostracin de 4.

Consec. def. pcto. Cartesiano

Consecuencia def. de interseccin

Equivalencia

Equiv. Leyes conm y asoc.

Consec. def. pcto. cartesiano

Consecuencia def. interseccin

G.U. Axioma de extensin.

Relaciones

Definicin. Relacin.

Una relacin es un conjunto de parejas ordenadas. As:

Notacin.

Si R designa una relacin y , lo notamos tambin como: xRy, y se lee x est

relacionado con ybajo la relacin R. La negacin la notamos tambinx y.

As para el ejemplo anterior:

esto es

esto es

Representacin de una relacin.

Sea R una relacin. En el caso de conjuntos finitos podemos utilizar las siguientes formas derepresentacin.


7/34

1. Notacin conjuntista (extensin y/o comprensin)

2. Mediante diagramas de Venn

3. Mediante un grfico cartesiano. En este caso se consideran como abscisas las primerascomponentes y como ordenadas las segundas componentes. Mediante paralelas a los ejes

trazados por los puntos de divisin se forma una cuadrcula cuyos elementos son los vrticesde un producto cartesiano; de estos se sealan los que pertenecen a la relacin R.

4. Mediante una matriz. Sobre una columna se anotan los elementos correspondientes a lasprimeras componentes y sobre una fila las correspondientes a las segundas. En el extremosuperior izquierdo se coloca el designante de la relacin. En la interseccin entre el elementocorrespondiente a una fila y el respectivo de la columna se coloca 1 si estn relacionadas y 0si no lo estn.

Ilustracin 2.

Representemos la relacin R 2.

Figura 3

Definicin. Relacin inversa.

Sea R una relacin. Definimos la relacin inversa de R y la notamos R -1, al conjunto con lasiguiente propiedad:


8/34

Consecuencias.

i)

ii)

Ilustracin 3.

Para las relaciones R 1 y R 2, presentadas anteriormente se tiene:

;

Definicin. Relacin compuesta.

Sean R, S relaciones. Definimos la relacin compuesta de S y R y la notamos , alconjunto con la siguiente propiedad:

Consecuencias.

i)

ii)

Ilustracin 4.

Sean:

Determinemos: y


9/34

Figura 4

Observacin.

De la ilustracin anterior se concluye que la composicin de relaciones no es conmutativa.

Teorema 3.

Sean: G, H, J relaciones, entonces:

1.

2.

3.

Demostracin de 3.

Probemos que


esto es consecuencia definicin de inversa

que equivale a def. de compuesta

Supongamos . Hiptesis 2.

Esto es , que equivale a

. Consecuencia de la inversa.


10/34

Por tanto

. Traslado del existencial.

pero esto equivale a . Consecuencia def. de compuesta

luego

y en consecuencia:

Definicin. Dominio de una relacin.

Sea R una relacin.

Definimos el dominio de R como el conjunto formado por las primeras componentes de lasparejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamos D ( R ) o dom ( R ). Dicho conjunto lorepresentamos por comprensin as:

Consecuencias.

i)

ii)

Definicin. Rango de una relacin.

Sea R una relacin.

Definimos el rango de R como el conjunto formado por las segundas componentes de lasparejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamos r ( R ) o ran ( R ). Dicho conjunto lorepresentamos por comprensin as:

Consecuencias.

i)

ii)


11/34

Ilustracin 5.

Para las relaciones R y S de la ilustracin 10 se tiene.

;

;

;

;

Observaciones.

Tngase en cuenta que y . Puedegeneralizarse esta propiedad?

Teorema 4.

Sean: G,Hrelaciones, entonces:

1.

2.

3.

4.

5. Si entonces

Relaciones definidas en un conjunto.

Definicin. Relacin deA en B.

Sean: A, B conjuntos. De todo subconjunto deA x B. Decimos que es una relacin deA en B.

Observaciones.

1. son relaciones deA en B.

2. En particular si decimos que R es una relacin deA enA simplemente, R esuna relacin enA.


12/34

Ilustracin 6.

Sean: ;

Determinar cules de ellas son relaciones deA en B.

;

; .

; en particular ; luego R 4 no es una relacin deA en B .

, luego .

Posibles propiedades de las relaciones definidas en un conjunto.

Antes de entrar a caracterizar estas relaciones, es importante definir una relacin que tieneestructuralmente caractersticas relevantes, como se podr observar en el desarrollo de estetema:

Definicin. Relacin Idntica.

SeaA un conjunto. La relacin la denominamos relacin idntica

enA y la notamos .

Es decir:


13/34

Consecuencias.

i)

ii)Ilustracin 7.

Sean ;

Determinar:

,

Definicin. Relacin reflexiva enA .

R es reflexiva en A si y solo si .

Consecuencia.

R no es reflexiva en A si y solo si .

Ilustracin 8.

Sean: ,

R 1 es reflexiva enA;R 2 no es reflexiva enA, en particular ; es reflexiva enA.

Definicin. Relacin simtrica en A.

R es simtrica enA si y solo si

Consecuencia.

R no es simtrica en A si y solo si


14/34

Ilustracin 9.

R 1 es simtrica enA;R 2 no es simtrica enA, en particular y ;es simtrica enA.

Definicin. Relacin antisimtrica en A.

R es antisimtrica enA si y solo si:

Consecuencia.

R no es antisimtrica enA si y solo si:

.

Observacin.

Se concluye de la definicin, que la propiedad de antisimetra, no es la negacin de lapropiedad de simetra.

Ilustracin 10.

R 1 no es antisimtrica en A; en particular . R 2 no esantisimtrica enA, en particular . es antisimtrica en

A . Obsrvese que es a la vez simtrica y antisimtrica.

Definicin. Relacin transitiva en A.

R es transitiva enA si y solo si:

Consecuencia.

R no es transitiva enA si y solo si:

.

Ilustracin 11.

R 1 no es transitiva en A; en particular . R 2 no es

transitiva enA, en particular . es transitiva enA.


15/34

Definicin. Relacin de equivalencia en A.

R es una relacin de equivalencia enA si y solo si:

R es reflexiva, simtrica y transitiva enA.

Ilustracin 12.

es una relacin de equivalencia en A.

R 1 y R 2 no son relaciones de equivalencia enA.

Designando , puede verificarse que R 3 es unarelacin de equivalencia enA.

Relaciones de Orden.

Convencin. Si R es una relacin y diremos que x, y soncomparables bajo la relacin R. En caso contrario diremos quex,yson incomparables.

Definicin. Relacin de orden parcial.

Sea .

Decimos que R es una relacin de orden parcial en A si y solo si: R es una relacin reflexiva,antisimtrica y transitiva enA.

Ilustracin 13.

Sean: ; .

Puede verificarse que R 1 es reflexiva, antisimtrica y transitiva en A; y en consecuencia R 1es una relacin de orden parcial enA.

Definicin. Conjunto parcialmente ordenado.

Un conjuntoA est parcialmente ordenado por una relacin R si y solo si R es una relacin deorden parcial enA. As en la ilustracin anterior,A est parcialmente ordenado por R 1.

Definicin. Relacin de orden total.

Sea R una relacin de orden parcial enA.

Decimos que R es una relacin de orden total enA si y solamente si:

.

Esto significa que: una relacin de orden total es una relacin de orden parcial en la cual

todos los elementos son comparables o tambin en la cual cada elemento se relaciona contodos los dems.


16/34

Ilustracin 14.

Sean: , R 1 la relacin definida en la ilustracin anterior,

.

R 1 no es una relacin de orden total enA, en particular 1 y 2 no estn relacionados o no soncomparables.

R 1 es una relacin de orden total en A.

Convencin.

Si R es una relacin de orden total enA, entonces se lee:

xprecede a ybajo R

xes primera que ybajo R

xes anterior a ybajo R

xest antes que ybajo R

En la ilustracin anterior puede observarse que 3 es anterior a 1. 3 es anterior a 2 y 2 esanterior a 1, establecindose un orden en torno a la precedencia.

Definicin. Conjunto totalmente ordenado.

Un conjunto A est totalmente ordenado por una relacin R si y solamente si R es unarelacin de orden total enA. En la ilustracin anteriorA es un conjunto totalmente ordenadopor R 2.

Ilustracin 15.

1. Sean:

Definimos una relacin R en P(A) as:

Puede verificarse que R es reflexiva, antisimtrica y transitiva en A; esto es, es una relacin

de orden parcial, ms no lo es de orden total puesto que en particular {a} y {b} no estnrelacionados.


17/34

Esta ilustracin puede generalizarse y afirmamos en consecuencia que la inclusin define unarelacin de orden parcial en P(A).

2. En el diagrama se indica un ro (M) y dos de sus afluentes (B1, b2). A 1, A 2, A 3, A 4, A 5,representan puertos sobre estos:

Sean:

Definimos una relacin R en A as:

Figura 5

Determinaremos la relacin R por extensin.

Puede verificarse que R es reflexiva, antisimtrica y transitiva en A, por tanto R es unarelacin de orden parcial enA. Es R una relacin de orden total enA?Justifique su respuesta.

Convenciones.

Debemos anotar que para designar las relaciones de orden no se suele utilizar, al igual que

para las relaciones generales, el smbolo genrico R, sino que se recurre generalmente a otroscomo , que recuerdan el signo que se utiliza para la ordenacin natural de los camposnumricos, de la cual las relaciones de orden son una generalizacin.

Obsrvese que por ser una relacin reflexiva, todo elemento del conjunto A es anterior yposterior a s mismo. Es frecuente, por generalizacin del smbolo en los camposnumricos, recurrir a dicho signo para representar una ordenacin cualquiera de un conjunto;cuando as se haga, se expresar: en lugar de anterior a, menor que, y en vez deposterior a , mayor que.

La proposicin (respectivamente, ) se leer a es

estrictamente anterior a " (respectivamente a es estrictamente posterior a ). Cuando seutilice el signo , la relacin (respectivamente ) se escribir


18/34

abreviadamente en la forma (respectivamente ) y se leer aes estrictamente

menor que (respectivamente a es estrictamente mayor que ).

Resumiendo,A se dice ordenado por la relacin si se verifican las siguientes propiedades:

Para indicar queA es un conjunto en el que se dispone de la relacin de orden , se escribe(A, ).

Elementos distinguidos en un conjunto totalmente ordenado.

Definicin. Primer elemento de un conjunto.

a es primer elemento deA bajo R si y solo si: A est totalmente ordenado bajo R

.

El primer elemento de un conjunto totalmente ordenado es aquel que precede a todos loselementos del conjunto.

Definicin. Ultimo elemento de un conjunto.

b es ltimo elemento deA bajo R si y solo si: A est totalmente ordenado bajo R

.

El ltimo elemento de un conjunto totalmente ordenado es aquel que est precedido portodos los elementos del conjunto.

Ilustracin 16.

1. Dados y , vimos que:

A est totalmente ordenado por R 2.

B es primer elemento deA bajo R 2.

1 es ltimo elemento deA bajo R 2.

2. Dados: ; . N esttotalmente ordenado por R.

1 es primer elemento de Nbajo R.

No existe ltimo elemento de Nbajo R.


19/34

Definicin. Cotas inferiores y superiores de un conjunto.

Sean:A un conjunto totalmente ordenado bajo R , ; .

1.a es cota inferior de B bajo R si y solo si:

Una cota inferior de un subconjunto es aquel (aquellos) elemento(s) de A; que precede(n) atodos los elementos del subconjunto.

2.b es cota superior de B bajo R si y solo si:

Una cota inferior de un subconjunto es aquel (aquellos) elemento(s) de A; que estn

precedido(s) por todos los elementos del subconjunto.

Ilustracin 17.

1. Con referencia al conjuntoA y a la relacin R 2 de la ilustracin anterior; Sea ,.

Cotas inferiores de B: 3

Cotas superiores de B: 1, 2.

2. Con referencia al conjunto N y a la relacin R de la ilustracin anterior. Sean:

, .

Cotas inferiores de B: 1, 2, 3, 4, 5

Cotas superiores de B : 9, 10, 11, ... esto es: .

Cotas inferiores de C: 1,2.

No tiene cotas superiores.

Definicin. Mnimo y mximo de un conjunto.

Sean: A un conjunto totalmente ordenado bajo R , ; .

1.n es elemento mnimo de B, si y solo si:

es cota inferior de B .

En este caso lo indicamos: n= Min B.

2.m es elemento mximo de B, si y solo si:


20/34

es una cota superior de B .

En este caso lo indicamos: m = Max B.

Ilustracin 18.

1. Con relacin a la ilustracin 23, en el conjunto ; el subconjunto yla relacin R 2 podemos afirmar que:

3= Max B

2= Min B

2. Con relacin al conjunto N, el subconjunto B y el subconjunto C, bajo la relacin Rpodemos afirmar que:

5= Min B; 9= Max B

2= Min C; no tiene elemento mximo

Definicin. Infimo y Supremo de un conjunto.

Sean:A un conjunto totalmente ordenado bajo R , ; .

1.a es elemento nfimo de B bajo R si y solo si:

a es cota inferior de B bajo R

Notacin: Inf(B)= a.

2.b es elemento Supremo de B bajo R si y solo si:

b es cota superior de B bajo R

Notacin: Sup (B)=b.

El nfimo de un conjunto es la cota inferior que est precedida por todas las cotas inferioresdel conjunto. El Supremo de un conjunto es la cota superior que precede a todas las cotassuperiores del conjunto.

Ilustracin 19.

1. Con relacin a la ilustracin 23, en los conjuntos A y B y la relacin R 2 Inf (B)=3, Sup(B)=2.

2.Con referencia a la ilustracin 23, el conjunto Ny los subconjuntos B y C bajo la relacinR, podemos afirmar:


21/34

Inf(B)=5; Sup (B)=9

Inf(C)=2; Sup (C): no tiene.

Definicin. Conjuntos acotados.

Sean:A un conjunto totalmente ordenado por R , ; .

1. B es acotado inferiormente bajo R si y solo si:

existe al menos una cota inferior de B bajo R .

2.B es acotado superiormente bajo R si y solo si:

existe al menos una cota superior de B bajo R .

3.B es acotado bajo R si y solo si:

B es acotado inferior y superiormente bajo R.

Ilustracin 20.

1. Con referencia al numeral 1 de la ilustracin 23, el conjunto B es acotado.

2. Con referencia al numeral 2 de la ilustracin 23, el conjunto B es acotado; el conjunto C esacotado inferiormente pero no lo es superiormente.

Definicin. Conjuntos bien ordenados.

Un conjunto se dice que est bien ordenado por una relacin de orden definida en l, o que larelacin de orden es una buena ordenacin para el conjunto, si todo subconjunto no vaco de

l tiene mnimo; es decir es un conjunto bien ordenado si, yexiste Min (X).

As por ejemplo puede probarse, recurriendo al mtodo de induccin completa que elconjunto Nde nmeros naturales est bien ordenado por la relacin de orden usual. Por elcontrario, la ordenacin usual no confiere a R carcter de conjunto bien ordenado, ya que porejemplo, el conjunto (1,2] no tiene mnimo.

Como consecuencias inmediatas de la definicin se obtienen los siguientes resultados:

1. Un subconjunto de un conjunto bien ordenado es tambin un conjunto bien ordenado. Enefecto: toda parte del subconjunto lo es del conjunto y, por tanto, tiene mnimo.

2. Un conjunto bien ordenado est totalmente ordenado. En efecto, para cualesquiera quesean los elementosxe ydel conjunto, considerando el subconjunto que ellos forman, {x,y},

l ha de tener mnimo que ser entonces uno de los elementosx y, luego .

3. Un conjunto totalmente ordenado puede no estar bien ordenado. As, por ejemplo, el

conjunto R, con la ordenacin usual , est totalmente ordenado y no es un conjunto bienordenado.


22/34

Diagramas de Hasse

Definicin. Elementos consecutivos.

Sea A un conjunto parcial o totalmente ordenado.

Los elementos a y b deA son consecutivos si y slo si:

1.

2.

Representacin de conjuntos ordenados.

Es posible representar un conjunto ordenado y finito, mediante un diagrama llamado deHasse, asignando a cada elemento del conjunto un punto del plano o bien del espacio, yuniendo cada par de elementos consecutivos por medio de un vector orientado en el sentido

dexa ysi .

Ilustracin 21.

1. Sean: ; . R es unarelacin de orden parcial enA ; el diagrama de Hasse correspondiente al conjuntoA ordenadopor R es:

Figura 6

2. Dado , en P ( A ) consideramos la relacin definida as:

. Esta relacin es de orden parcial en P(A).

El correspondiente diagrama de Hasse es la siguiente representacin espacial.

Figura 7


23/34

Definicin. Retculo, red o lttice.

Un conjunto ordenado se dice que es un retculo (red o lttice) si todos sussubconjuntos de dos elementos tienen supremo e nfimo, es decir, si, para cualesquiera a y a'deA existen:

e

Ilustracin 22.

1. Todo conjunto totalmente ordenado es un retculo; en efecto, dados dos elementoscualesquiera de l, como son comparables, uno ser el supremo y el otro el nfimo delconjunto que ellos constituyen.

2. Dado un conjunto U, el conjunto de sus partes P(U), ordenado por inclusin es un retculo;en efecto, dados dos conjuntos cualesquieraA, es evidente que:

e

3. El conjunto de los nmeros naturales ordenado por la divisibilidad, es unretculo; en efecto, para cualesquiera que sean los naturales positivos a y b , es

e

Enmatemticas, un diagrama de Hasse es una representacin grfica simplificada de

unconjunto parcialmente ordenadofinito.

Esto se consigue eliminando informacin redundante. Para ello se dibuja una arista

ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber otros elementos

intermedios.

En un diagrama de Hasse se elimina la necesidad de representar:

ciclos de un elemento, puesto que se entiende que una relacin de orden parcialesreflexiva.

aristas que se deducen de latransitividadde la relacin.Definicin:

De dos miembrosx ey de unconjuntoparcialmente ordenado S que y sigue ax sixy y no hay elemento de S entrex ey.

El orden parcial es entonces precisamente laclausura transitivade la relacin de seguir.

El diagrama de Hasse de S se define como el conjunto de todos los paresordenados (x,y) tales quey sigue ax, es decir, el diagrama de Hasse se puede

identificar con la relacin de seguir.
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_reflexivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_reflexivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_reflexivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Transitividad_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Transitividad_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Transitividad_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_transitivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_transitivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_transitivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_transitivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Transitividad_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_reflexivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


24/34

Ejemplo:

Concretamente, uno representa a cada miembro de S como un punto negro en la pgina

y dibuja una lnea que vaya hacia arriba dex ay siy sigue ax.

Por ejemplo, sea el conjuntoA = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (todos losdivisores de 60). Este conjunto est ordenado parcialmente por la relacin de

divisibilidad. Su diagrama de Hasse puede ser representado como sigue:

Por ejemplo, en el diagrama de Hasse delposetde todos los divisores de un nmero n,

ordenados parcialmente por divisibilidad, n mismo est en el tope del diagrama, el

nmero1 estara en el fondo, y los divisores ms pequeos (primos) seguiran al

elemento inferior.

Elementos deP( P( P(P({})))) en Diagrama de Hasse.
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenadohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADohttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Elements_of_P%5E4(empty_set)_in_Hasse_diagram.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Lattice_of_the_divisibility_of_60.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad


25/34

Relaciones:

En la mayora de los casos, por simplicidad, hablaremos de relaciones binarias, en

donde la relacin se da entre dos objetos. Un ejemplo de tal relacin (dmosle un

nombre, ) es la que ocurre entre personas y libros, en donde una persona y un libro

estn '' -relacionados" si y slo si ha ledo el libro . Podemos abreviar la

afirmacin '' y estn -relacionados" de modo natural, as: . Visualmente

esto sugiere que los objetos y estn ligados por la relacin . Diremos que es

una relacin entre los conjuntos y (conjuntos de todos los seres humanos y todos

los libros, respectivamente).

Pero lo anterior sugiere que la relacin no es un objeto (como y lo son). Sin

embargo hay una manera de ``convertir'' a en un objeto, ms precisamente en unconjunto! Lo cual no debe sorprender al lector, pues un conjunto es en muchos casos un

objeto que representa cierra informacin al tener o no ciertos elementos. En nuestro

caso, conocer la relacin consiste en conocer dos cosas, a saber:

1. Los dos conjuntos entre los cuales es la relacin: en este caso, y (sereshumanos y libros).

2. La lista de todas las parejas relacionadas por la relacin : (Jhon Benavides,Elextranjero), (Vernica Mario, Cien aos de soledad), (Julin Castillo,El

Quijote), ...

Naturalmente la lista (o conjunto) de todas las parejas relacionadas por la relacin

por si slo nos da la informacin esencial de la relacin . As que convertimos a en

objeto, esto es, en conjunto, en el conjunto de parejas relacionadas por la relacin que

tenamos en mente:

es un ser humano, es un ser humano, y ha ledo a

O lo que es igual:

ha ledo a

As las cosas, la afirmacin ` '' ser una abreviacin de ` ''. Una vez

ms, el smbolo (y ms precisamente, la nocin de pertenencia) ayuda a fundamentar

y formalizar conceptos en principio nuevos.

Ahora resulta evidente que preguntarse cules son todas las posibles relaciones de a

equivale a preguntarse cules son todos los posibles conjuntos de parejas de la forma


26/34

, donde y . Se concluye que el conjunto de todas las relaciones

entre y es !

Las motivaciones anteriores nos llevan a la definicin de relacin (binaria):

Definicin 1 (Relacin) Una relacin entre y (conjuntos cualquiera) es un

subconjunto de .

Por conveniencia si es una relacin entre y , diremos que es una relacin

sobre . Por ende, el conjunto de relaciones sobre es .

Antes de continuar es menester ver algunos ejemplos de relaciones:

Ejemplo 1 Sea la relacin descrita mediante el siguiente esquema:

Entonces .

Ejemplo 2 (La relacin ser madre de)Sea la relacin (entre humanos) ser madre de. Esto es, si y slo si es madre

de . es una relacin sobre . Sabemos, por ejemplo, que para todo ,

, pues nadie puede ser su propia madre. Adems si , entonces

. Esto ilustra que el concepto de relacin no es en general simtrico, demodo que al decir los objetos que se relacionan, importa el orden en que stos se

mencionan. Por supuesto hay muchas relaciones simtricas, como la relacin ser

hermano.

Ejemplo 3 (La relacin )

Sea : existe tal que . Es claro que si

y slo si si y slo si , de modo que .


27/34

. Otra forma de escribir esta relacin

es as:

Ejemplo 4 (La relacin vaca) Dado que , por definicin tenemos quees una relacin, la relacin vaca o trivial.

Ejemplo 5 (La relacin identidad) Dado un conjunto cualquiera, definimos la

relacin . En otras palabras, si y slo si . Note

que .

Ejemplo 6 (La relacin )

Dado un conjunto cualquiera, definimos la relacin sobre as:

si y slo si

Es decir,

Observe que est -relacionado con todos los subconjuntos de , y todos los

subconjuntos de estn -relacionados con . De modo que, coloquialmente

hablado, la relacin posee siempre un piso y un techo.

Ahora definimos las nociones de dominio, imagen y campo de una relacin:

Definicin 2 Sea una relacin de en . Definimos los siguientes conjuntos:

1. El dominio de , .2. La imagen de , .3. El campo de , .

Ejemplo 1 Sea .

1. .


28/34

2. .3. .

Es claro que para toda relacin , , y , de

modo que toda relacin puede verse como un subconjunto de para un conjunto

(no necesariamente nico). Esto es, podemos definir relacin como un subconjunto de

, para un conjunto .

Definicin 3 Dada una relacin, y un conjunto cualquiera, definimos lossiguientes conjuntos:

1. La imagen de bajo , : existe tal que.

2. Lapreimagen o imagen inversa de bajo , :existe tal que .

Ejemplo 1 Sea . Tenemos:

1. ; .2. .3. La imagen del conjunto de los pares bajo es el conjunto de los impares y la

imagen del conjunto de los impares bajo es el conjunto de los pares.

4. La preimagen del conjunto de los pares bajo es el conjunto de los imparespositivos; la imagen de los enteros negativos es igual al conjunto vaco.

Ejemplo 2 Sea . Tenemos:

1. .2. .3. .4. (en este caso decimos que deja fijo a como conjunto).5. .


29/34

El siguiente lema establece las relaciones bsicas entre los conceptos de dominio,

imagen, imagen de un conjunto y preimagen de un conjunto:

Teorema 1Sea una relacin, con , . Tenemos:

1. .2. .3. .4. .

Demostracin. [Prueba] La prueba se deja como ejercicio.

Dada una relacin , definimos su inversa, :

Definicin 4 (Relacin inversa) Dada una relacin, su inversa es la relacin

. En otras palabras, si y slo si .

Por ejemplo, la relacin inversa de la relacin padre es la relacin hijo, y la relacin

inversa de la relacin hermano es ella misma. La relacin inversa de divide es ser

mltiplo.

Para antes de seguir leyendo:

1. .2. .

Aqu hemos introducido un problema notacional: denota, por un lado, lapreimagen de bajo , y por otro lado, pero la imagen de bajo ! El siguiente

lema muestra que los dos conjuntos anteriores siempre coinciden, eliminando as

cualquier posibilidad de ambigedad:

Lema 1Para una relacin y un conjunto, La imagen inversa de bajo es

igual a la imagen de bajo .

Demostracin. [Prueba]Sea la preimagen de bajo , e la imagen de bajo

la relacin . Debemos probar que . Para cualquiera se tiene:


30/34

La segunda equivalencia vale ya que si y slo si .

Concluimos que e poseen los mismos elementos, luego .

Propiedades de las relaciones:

Definicin 1 (Propiedades de las relaciones) Sea una relacin binaria sobre unconjunto . Diremos que es:

1. Reflexiva sobre si : .2. Irreflexiva sobre si : .3. Simtrica si : .4.

Asimtrica si : .

5. Antisimtrica si : .6. Transitiva si : .

Para antes de seguir leyendo:

1. Recuerde que es una relacin sobre . Qu propiedades de las anteriorescumple ?

2. Recuerde que dado un conjunto no vaco, es una relacin sobre .Qu propiedades de las anteriores cumple ?

Un orden parcial sobre es una relacin reflexiva, antisimtrica y transitiva

sobre . Si es un orden parcial sobre , definimos como la relacin sobre


31/34

dada por: si y slo si y (para ). Diremos que es el

orden parcial estricto sobre asociado a . Note que conjuntistamente

, y es una relacin irreflexiva, antisimtrica y transitiva.

Clausuras de relaciones:

Imaginemos una relacin cualquiera . Suponga que estamos interesados en

transformar a en una relacin reflexiva, aadiendo, si se necesita, ms elementos a la

relacin, o en otras palabras, extendindola. Por ejemplo, sea , y la

siguiente relacin sobre :

Para que sea simtrica, debemos agregarle los elementos y . Esto es, la

relacin es una extensin reflexiva de , es decir, y

es reflexiva. Adems es claro que es la mnima relacin reflexiva que contiene a

en el siguiente sentido:

Si es una relacin reflexiva y , entonces .

El ejemplo anterior ilustra lo que queremos hacer: cerraruna relacin, aadiendo elmnimo nmero de elementos, para que ella se transforme en una relacin con la

propiedad (donde = reflexividad, simetra o transitividad).

Definicin 1 (Clausuras de una relacin) Dada una relacin sobre , definimos las

siguientes relaciones:

1. La clausura reflexiva de es la relacin es una relacinreflexiva sobre y .

2. La clausura simtrica de es la relacin es simtrica y.


32/34

3. La clausura transitiva de es la relacin es transitiva y.

Note que , luego la clausura reflexiva de es siempre una extensin de

(lo mismo vale, claro est, para y ).

Primero veamos que las clausuras cumplen con la propiedad de minimalidad que

pretendamos que tuvieran:

Teorema 1Dada una relacin sobre :

es la mnima relacin reflexiva que contiene a ; en otras palabras,

es reflexiva, y para toda relacin sobre , si , entonces .

es la mnima relacin simtrica que contiene a .

es la mnima relacin transitiva que contiene a .

Demostracin. [Prueba]

Probamos (1), y el resto se dejan al lector. Para ver que es reflexiva, sea

. Entonces para toda relacin sobre reflexiva, , es decir,

es relacin reflexiva sobre y .

Ahora probamos minimalidad: sea una relacin reflexiva que contiene a .

Entonces es relacin reflexiva sobre y .


33/34

Teorema 2Sea una relacin sobre . Entonces para :

Si tiene la propiedad , entonces .


Si tiene la propiedad , entonces claramente es la mnima relacin con la

propiedad que contiene a , as que por el teorema , .

As, por ejemplo, la clausura transitiva de una relacin transitiva es ella misma.

Corolario 1Sea una relacin sobre . Entonces para :

.


Se deja como ejercicio al lector. o

Las definiciones de son en principio complicadas. A continuacin veremoscaracterizaciones de ellas mucho ms simples, al menos en el caso de reflexividad y

simetra.

Teorema 3 (Caracterizacin de las clausuras) Sea una relacin sobre . Entonces:

(a)

.

(b)

.


34/34

(c)

, en donde , .


(a)

Dado , , y , luego es una

relacin reflexiva sobre que contiene a . Por ende, . Para

la otra inclusin, basta observar que si es una relacin reflexiva que contiene a ,

entonces . Por el lema es reflexiva

y .

Relaciones...completo!!!

Documents

Transcript of Relaciones...completo!!!