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Relaciones y funciones: cuestiones preliminares
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1 Resp. Prof. Carlos Enrique Navarro A
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Sesión: Redescubriendo Relaciones y Funciones
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Resp. Prof. Carlos Enrique Navarro A
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Antes de comenzar con nuestra 2da Unidad:
“Trabajando con Funciones”
A recordar algunos conocimientos previos
Resp. Prof. Carlos Enrique Navarro A
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¿ PAR ORDENADO ?
i. (7 ; 1) ii. (La Paz ; Bolivia)
Conjunto de 2 elementos que tienen un criterio de ordenación.
( a ; b )Forma gral
2do elemento1er elementoEjemplo: formar pares ordenados con el “Criterio:
fecha indicando día y mes”.
*12 de agosto (12 ; 8)
*31 de marzo (31 ; 3 )
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Ojito con los pares ordenados:
a). No confundir un par ordenado con un conjunto común:
( 7 ; 12 ) {7; 12} = {12 ; 7}
Interesa el orden NO interesa el orden
b). Un par ordenado NO es conmutativo:
( 12 ; 8 ) ( 8 ; 12 )
c). Para la igualdad de 2 pares se debe cumplir :
(a ; b ) = ( c ; d ) a=c b=d
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PLANO CARTESIANO O SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Donde se tiene:
a). El Origen : cero(0)
b). Recta horizontal: Eje de las “X” o de las abscisas.
c) Recta vertical: Eje de las “y” o de las ordenadas.
Cualquier par ordenado (x; y) de números reales se puede ubicar en el plano cartesiano
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Coge lápiz, papel, regla y ubica en el plano los siguientes pares ordenados:
1. A( 7 ½ ; 5)
2. B( -4 ; 6)
3. C( 0 ; 3)
4. D( -7 ; -4)
5. E( 3 ¼ ; -7)
6. F( 5 ; 0)
Luego responde:
•A qué cuadrante pertenece cada par ordenado.
•Por qué crees que pertenezcan a ese cuadrante.
•Podrías enunciar una regla general para indicar a qué cuadrante pertenece un par sin ubicarlo en el plano.
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Se podría generalizar la siguiente regla:
( X ; Y ) , donde X e Y son reales
Abscisa( X) Ordenada( Y)
Cuadrante
+ + Ic
- + IIc
- - IIIc
+ - IVc
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Recordemos ahora: “Producto Cartesiano”
Sean los conjuntos A y B:
A= {4 ; 6 ; 8 }
B= {5 ; 7 }
Vamos a enlazar cada elemento del conjunto A con cada elemento de B
Formándose lo sgte: { (4 ; 5) , (4 ; 7) , (6 ; 5) , (6 ; 7), (8 ; 5), (8 ;
7) }Producto Cartesiano A x B
A x B =
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Entonces el Producto Cartesiano se define :
Dados 2 conjuntos A y B se llama Producto Cartesiano de A x B al conjunto de todos los pares ordenados (x ; y) donde x A ; y B.
Simbólicamente :
A x B = { (x ; y) / x A ; y B }
Existen diferentes maneras de obtener el P.C de 2 conjuntos:Usando el Diagrama de flechasUsando Tabla de doble entradaUsando Diagrama del árbolUbicándolo en el Plano cartesiano
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Veamos ahora :
La Relación entre 2 conjuntos
A= {4 ; 6 ; 8 }
B= {5 ; 7 }Sean los conjuntos :
El P.C de AxB será :A x B ={ (4 ; 5) , (4 ; 7) , (6 ; 5) , (6 ; 7), (8 ; 5), (8 ;
7) }Seleccionemos los pares (x; y) donde x < y (condición)
(4 ; 5), (4 ; 7) , (6 ; 7)
Es una relación de A en B; se expresa así:R = { (4 ; 5) , (4 ; 7) , (6 ; 7)}
Donde R es subconjunto de A xB: R A x B
Por comprensión:
R : A B/ x < y o tambiénR= { (x ; y) AxB/ x < y }
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Podemos concluir:Una relación “R” entre 2 conjuntos o un mismo
conjunto implica un vínculo entre sus elementos expresada en sólo unos pares ordenados que cumplen una condición especifica ( regla de correspondencia)
Ejemplo 02: Sean los conjuntosM={6 ; 7 ; 12} N ={ 2 ; 3 ;
5}Determinar la relación R : M N / x es múltiplo de ySolución :
Por lo tanto R será:
R={(6 ; 2) , (6 ; 3) , (12 ; 2) , (12 ; 3)}
*Preimágenes: 6 ; 12
*Imágenes : 2 ; 3
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Elementos de una Relación
1.- Conjunto de Partida
2.- Conjunto de Llegada
3.- Preimágenes: sólo los elementos del conjunto de partida que tiene correspondencia en el conjunto de llegada.
4.- Imágenes: sólo aquellos elementos del conjunto de llegada que le corresponde a las preimágenes.
5.- Dominio de la Relación(DR) : conjunto formado por las preimágenes.
6.- Rango(Recorrido) de la Relación(RR): Conjunto formado por las imágenes.
7.- Grafo de la Relación: Conjunto de todos los pares ordenados de la relación.
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¡ Ahora es tu turno !
Sean los conjuntos :
C={1 ; 2 ; 3 ; 4} D= {5 ; 6 ; 7}
y la relación R : C D/ y – x =3Identifica todos los elementos de esta relación.
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¡Vamos a pensar ahora!
Resp. Prof. Carlos Enrique Navarro A
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Observa detenidamente los siguientes gráficos de relaciones entre 2 conjuntos:
Preimagenes tiene más de una imagen
Cada preimagen tiene 1 sola imagen
Una preimagen tiene más de una imagen
Cada preimagen tiene 1 sola imagen
*.*ES FUNCIÓN*.*
*.*ES FUNCIÓN*.*
( 1) ( 2)
( 3) ( 4)
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De acuerdo a lo anterior definamos lo que es una “FUNCIÓN”
FUNCIÓN : es una relación donde cada preimagen tiene una sola imagen ( no importa que sobren elementos en el conjunto de partida). Ejemplos:
Es una “función”
Es una “función”
NO es una “función”
Deducción: Toda función es una relación, pero no toda relación es función
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Aquí tienes algunas observaciones :
Podemos reconocer si una Relación es una Función a través de:
a) Su diagrama sagital : cuando de cada preimagen sale una sola flecha:
b) Su grafo: si en pares ordenados diferentes no se repite la 1ra componente:
GR4 ={(2 ; 8) , (3 ; 7) ; (4 ; 6)}GR5 ={(5 ; 9) , (7 ;13) ; (5 ; 11)}
Es función
NO Es función
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Recuerda:
Los elementos de una función son los mismo de una relación
Resp. Prof. Carlos Enrique Navarro A
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Ingeniosa : Jugando con círculos
En el dibujo hay un grupo de 9 círculos, cada uno de ellos identificado con una letra de la A hasta la I. Cada letra tiene un valor que no se repite. Donde algunos círculos se superponen hay un número que es el resultado de la suma de los valores de los círculos. ¿Anímate a descubrir lo más rápido posible el valor de cada letra?
