Relaciones de Relaciones de equivalencia equivalencia

Definición

Sea A un conjunto no vacío en el conjunto Universal U.

Una relación binaria R sobre A, es una relación de equivalencia si R satisface las tres propiedades:

R es reflexiva

R es simétrica R es transitiva

Relaciones de equivalencia

Ejemplos

Relaciones de equivalencia

1) La relación R sobre Z definida por: a R b a – b es múltiplo de 3.

2) Sea k, la relación R sobre Z: a R b a – b es múltiplo de k.

3) Dado un conjunto D U, la relación: A R B A D = B D

4) Sobre los números reales , la relación R: x R y x – y Z

5) La relación R sobre 2 definida por: (x,y) R (a,b) x.y = a.b

6) La relación R sobre Z2 definida por: (m,n) R (p,q) m+q = n+p

Una relación de equivalencia identifica los elementos de un conjunto que satisfacen una misma propiedad y los llama elementos equivalentes.

Partición de un conjuntoDefinición:

Ejemplos:

1) Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} una partición P de A, con 3 celdas, es

P = { {1,3}, {4}, {2,5} }, donde A1={1,3}, A2={4}, A3={2,5}.

En efecto {1,3} {4}= {1,3} {2,5}= {4} {2,5}=.

Además {1,3} {4} {2,5} = {1, 2, 3, 4, 5} = A

Sea A un conjunto no vacío. Sean

Diremos que P es una partición de A y escribimos si:

y AA jJj

ji J,ji, AA ji

ΝJ J,j ,A y AA jj

jAΡ

Cada subconjunto Aj es una celda de la partición

Partición de un conjunto

Ejemplos:

2) Sea A = {1, 2, 3, 4} una partición P de A con 2 celdas es

P = { {1}, {2,3,4} }, donde A1={1}, A2={2,3,4}.

En efecto

{2,3.4} {1} = {1} {2,3,4} = {1, 2, 3, 4} = A

EjerciciosEjercicio 1:

Determine todas las particiones posibles para el conjunto

A = {1, 2, 3}

Ejercicio 2:

Determine el número de particiones distintas para el conjunto

A = {1, 2, 3, 4} con exactamente dos celdas.

Para pensar:

Cuente todas las particiones distintas del conjunto

A = {1, 2, 3, 4, 5}.

Clase de equivalencia

Definición:

Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A no vacío.

Sea a A, llamaremos clase de equivalencia de a y la escribiremos por [a] al conjunto de todos los elementos que están relacionados con a, es decir

[a] = { x A / x R a }

Ejemplo:

La relación R sobre Z : a R b a – b es múltiplo de 2.Hay dos clases de equivalencia distintas, la del 0 y la del 1:

[0] = { 0, ±2, ±4, ±4,… } y [1] = { ±1, ±3, ±5,… }

Ejercicios

Ejercicio 3:

En el conjunto A = {1, 2, 3, 4} se define la siguiente relación R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)}

Determine [1], [2] y [4]

Clase de equivalencia

Definición:

Sea R una relación de equivalencia en A. El conjunto de las clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por R.

El conjunto cociente es una partición de A

En efecto, Las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos. La unión de todas las celdas coincide con el conjunto A.

Ax/ xA /R

Clase de equivalenciaDemostración:

1) Sean x, y A [x]= [y] [x] [y] =

i) Si x R y [x]= [y]; sea z [x] z R x x R y z R y (transitividad) z [y], de donde [x] [y]. Razonando de manera similar se prueba que [y] [x]. Por lo tanto, [x] = [y].

ii) Si (x,y) R entonces [x] [y] = . En efecto, si existiera z [x] [y] entonces z R x z R y

por lo tanto, x R y, lo cual es un absurdo.

Clase de equivalencia

xxAx

Demostración:

2) Veamos que

En efecto, si x A, como R es reflexiva, x R x x [x]

xAAx

AxAx

AzzRxA, xalgún para ,xzxzAx

xAAx

Por otro lado, sea z tal que

Clase de equivalencia

Toda relación de equivalencia sobre A genera una partición en A.

Toda partición sobre el conjunto A, genera una relación de equivalencia

Ejercicios

Ejercicio 5:

Definimos en Z, la relación R:

x R y x2 – y2 = x – y

Encuentre las clases de equivalencia de algunos números, por ejemplo 0, 5 y 8

En 2, la relación R definida por:

(x,y) R (a,b) x.y = a.b

Determine las clases de equivalencia y dibújelas en el plano

Ejercicio 6:

SolucionesSolución 1:

Como A tiene 3 elementos solo podemos tener particiones con 3 celdas, 2 celdas y 1 celda, es decir, como A=3, el número 3 puede escribirse como

3 = 3 (partición con una celda de 3 elementos). Hay 1

3=2+1 (partición con dos celdas de 1 y 2 elementos). Hay

3=1+1+1 (partición con tres celdas de 1 elemento). Hay 1

Hay 5 particiones de distintas de A

P1 ={ {1, 2, 3}}

P2 = {{1, 2}, {3}}, P3 = {{1, 3}, {2}}, P4 = {{2, 3}, {1}}

P5 = {{1}, {2}, {3}}

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