RelacionesFrancesco Vial

Definicion Relacion: Sean A y B conjuntos no vacos. Llamaremos Relacion Binaria entre A y B o simplementeRelacion entre A y B a cualquier conjunto R AB. Denotaremos: aRb cuando pa, bq P R aRb cuando pa, bq R R

Observacion Toda funcion es una relacion. En efecto f : A B es funcion y se tiene que aRb b fpaq, la cualclaramente cumple con la definicion de Relacion (cualquier subconjunto del producto cartesiano de A con B).

Definicion Tipos de Relaciones Binarias de un conjunto en s mismo : Sea R A A A2 relacion. Lasrelaciones pueden cumplir eventualmente alguna o mas de las siguientes propiedades

R es refleja si y solo si p@x P AqxRx R es simetrica si y solo si p@x, y P AqxRy yRx R es transitiva si y solo si p@x, y, z P AqrpxRy ^ yRzq xRz] R es Antisimetrica si y solo si p@x, y P AqrpxRy ^ yRxq x ys R cumple la propiedad Total (o de Comparabilidad, es decir, todos los elementos son comparables) si y solo si:p@x, y P AqrxRy _ yRxs

R es una Relacion de Equivalencia si y solo si es Refleja, Simetrica y Transitiva. R es una Relacion de Orden Parcial si y solo si es Refleja, Antisimetrica y Transitiva. R es una Relacion de Orden Total si y solo si es una Relacion de Orden Parcial y cumple la propiedad Total.

Definicion Relaciones de Equivalencia y Clases de Equivalencia : Como se dijo estas cumplen la propiedadRefleja, simetrica y transitiva. En ella se puede definir el concepto de clase de Equivalencia. Una clase de equivalenciade una relacion de Equivalencia R en el conjunto A es el siguiente conjunto:

rxsR y P A : xRyEs decir, todos los elementos relacionados con x.

Definicion Conjunto Cuociente: El conjunto cuociente de una relacion R de equivalencia sobre el conjunto A esel conjunto de todas las clases de equivalencia y se denota por A{R y se define as:

A{R trxsR : x P AuC P A pDx P Aq C rxsR

Ejemplo Congruencia Modulo p : Un ejemplo importante de relacion de equivalencia definida en Z lo constituyela relacion Congruencia Modulo-p. Se dice que:

a p b pDk P Zq a b kpEjemplo Analisis de la Congruencia Modulo p : Se tiene lo siguiente:

1. p es una Relacion de Equivalencia.2. rxsp rxsp ty P Z : y kp` xu3. Hay exactamente p clases de equivalencia distintas: r0sp, r1sp, ..., rp 1sp, es decir, el conjunto cuociente es

Z{ p Zp tr0sp, r1sp, ..., rp 1spu

Prop. Propiedades de las Clases de Equivalencia : Sean x, y P A y R relacion de equivalencia definida en A. rxsR H xRy rxsR rysR xRy rxsR X rysR H Como consecuencia: rxsR rysR rxsR X rysR H

Definicion Particion: Sea A conjunto no vaco. Una coleccion de conjuntos P1, P2, . . . , Pn se dice Particion de A sicumple las siguientes propiedades:

p@i P 1, . . . , nqPi H (Cada parte es no vaca).

p@i, j P 1, . . . , nq i j Pi X Pj H (Son conjuntos disjuntos, i.e. tienen interseccion vaca) A P1 Y P2 Y . . .Y Pn

ni1

Pi A (La union de todas las partes es el conjunto entero).

Observacion : Acerca de particiones: Toda Relacion de equivalencia R induce una Particion del conjunto original,dada por las clases de equivalencia de los elementos del conjunto A. Y toda Particion P1, P2, . . . , Pn induce una relacionde equivalencia dada por:

aRb pDi P 1, . . . , nq a P Pi ^ b P PiTeorema : Teorema de la Division Euclideana: Sean a, b P Z. Existe un unico par q, r P Z tal que:

a q b` r ^ 0 r |b|Este teorema se usa para demostrar que hay exactamente p clases de equivalencia en la Relacion Congruencia Modulo-p.

Corolario Clases de equivalencia de la Congruencia Modulo-p: Hay exactamente p clases de equivalenciadistintas y estas corresponden a: Zp tr0sp, r1sp, ..., rp 1spu los cuales tienen la forma:

risp ty P Z : y kp` iuSe observa que para tener todas las clases sin repetirlas, basta tomar cualquier subconjunto de Z de tamano p de numerosconsecutivos.