REGLAS DE PROBABILIDADSANDRA YOLIMA CARO SOLER

REGLA DE LA ADICIÓN

𝑃 ( 𝐴∪𝐵 )=𝑃 ( 𝐴 )+𝑃 (𝐵 )− 𝑃 (𝐴∩𝐵)

REGLA DEL COMPLEMENTO

𝑃 (𝐴𝐶 )=1−𝑃 ( 𝐴 )

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

SE REFIERE A LOS EVENTOS QUE AL SUCEDER UNO AUTOMATICAMENTE EL OTRO NO PUEDE SUCEDER.

GENERALMENTE SE ENCUENTRAN CUANDO LAS VARIABLES SON DICOTOMICAS.

TABLAS DE CONTINGENCIA: Arreglos ordenados por filas y columnas que permiten analizar dos variables de la misma muestra.

GENEROESTADO CIVILHOMBRE 30 20 35 15 100MUJER 20 35 10 35 100TOTAL 50 55 45 50 200

SOLTERO CASADO SEPARADO OTRO TOTAL

GENEROESTADO CIVILHOMBRE 0,15 0,1 0,175 0,075 0,5MUJER 0,15 0,175 0,05 0,15 0,5TOTAL 0,3 0,275 0,225 0,225 1

SOLTERO CASADO SEPARADO OTRO TOTAL

TABLA DE PROBABILIDAD

PROBABILIDAD MARGINAL: Aquella que se interesa solo por una de las características de la muestra analizada.

PROBABILIDAD CONJUNTA: Se define como la ocurrencia simultanea de las dos variables observadas.

PROBABILIDAD CONDICIONAL: Se define como el cociente entre la probabilidad conjunta y la probabilidad marginal. Suceso que ocurre solo bajo la ocurrencia de otro evento.

𝑃ሺ𝐴ሻ= 𝑛(𝐴)𝑛(𝑆)

𝑃ሺ𝐴∩𝐵ሻ= 𝑛(𝐴∩𝐵)𝑛(𝑆)

𝑃ሺ𝐴/𝐵ሻ= 𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐵)

EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos son independientes si la ocurrencia del primero no afecta la ocurrencia del segundo:

y (1)

Entonces: PP(A/B)P(B) y P (2)

Reemplazamos 1 en 2 y obtenemos:

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN La regla general de la multiplicación sirve para determinar la

probabilidad conjunta de dos eventos cuando éstos no son independientes. Por ejemplo, cuando el evento B ocurre después del evento A, y A influye en la probabilidad de que el evento B suceda, entonces A y B no son independientes.

Lar regla general de la multiplicación establece que en caso de dos eventos, A y B, la probabilidad conjunta de que ambos eventos ocurran se determina multiplicando la probabilidad de que ocurra el evento A por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B, dado que A ha ocurrido. Los símbolos de la probabilidad conjunta, P(A y B), se calcula de la siguiente manera:

¿

EJEMPLOUn golfista tiene 12 camisas en su clóset. Suponga que 9 son blancas y las demás azules. Como se viste de noche, simplemente toma una camisa y se la pone. Juega golf dos veces seguidas y no las lava. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos camisas elegidas sean blancas?

El evento que tiene que ver con el hecho de que la primera camisa seleccionada sea blanca es A1. La probabilidad es P(A1) = 9/12, porque 9 de cada 12 camisas son blancas. El evento de que la segunda camisa seleccionada sea blanca también se identifica con A2. La probabilidad condicional relacionada con el hecho de que la segunda camisa seleccionada sea blanca, dado que la primera camisa seleccionada es blanca también, es P(A2|A1) = 8/11. ¿A qué se debe esto? A que después de que se selecciona la primera camisa, quedan 11 camisas en el clóset y 8 de éstas son blancas. Para determinar la probabilidad de que se elijan 2 camisas blancas aplicamos la fórmula:

Por consiguiente, la probabilidad de seleccionar dos camisas, las cuales son de color blanco, es de 0.55.

Ejemplo: Una encuesta de 150 adultos clasificados según su género y la cantidad de películas que vieron en el cine el mes pasado. Cada entrevistado se clasifica de acuerdo con dos criterios: la cantidad de películas que ha visto y el género.

¿Cuál es la probabilidad de selecciona un hombre que haya visto 2 o mas películas?

¿Cuál es la probabilidad de que seleccionar una mujer de la muestra?

Cual es la probabilidad de seleccionar una mujer si solo ha visto una película.?

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un individuo hombre o que haya visto mas de dos películas?

¿Son independiente los eventos hombre y 2 o más películas vistas?

DIAGRAMAS DE ÁRBOL: El diagrama de árbol es una gráfica útil para organizar cálculos que implican varias etapas. Cada segmento del árbol constituye una etapa del problema. Las ramas del árbol se ponderan por medio de probabilidades. Utilizaremos los datos de la tabla 5.1 para mostrar la construcción de un diagrama de árbol.

Para construir un diagrama de árbol, comenzamos dibujando un punto grueso a la izquierda para representar la raíz del árbol.

En este problema, dos ramas principales salen de la raíz, la rama superior representa el evento “permanecería” y la rama inferior el evento “no permanecería”. Sus probabilidades se escriben sobre las ramas, en este caso, 120/200 y 80/200. Estas probabilidades también se denotan P(A1) y P(A2).

De cada una de las ramas principales salen cuatro ramas, las cuales representan el tiempo de servicio: menos de 1 año, 1 a 5 años, 6 a 10 años y más de 10 años. Las probabilidades condicionales para la rama superior del árbol, 10/120, 30/120, 5/120, etc., se escriben en las ramas adecuadas. Éstas son P(B1

EJEMPLO DIAGRAMA DE ÁRBOL

DIAGRAMAS DE ÁRBOL

TEOREMA DE PROBILIDAD TOTAL

Si en un espacio muestral los eventos B1, B2,..,BK son eventos mutuamente excluyentes, esto es, la intersección entre cada par de ellos es vacía

Entonces la probabilidad del evento A estará dada por:

S B1

B2

B3 B2

BK

B6

B5

EJEMPLOS

1. En cierta región del país se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar un adulto mayor de 40 años de edad con cáncer es 0.05. Si la probabilidad de que un doctor diagnostique de forma correcta que una persona con cáncer tiene la enfermedad es del 0.78 y la probabilidad de que diagnostique de forma incorrecta que una persona sin cáncer tiene la enfermedad es 0.06. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona se le diagnostique cáncer?

2. La policía planea hacer cumplir los límites de velocidad usando un sistema de radar en 4 diferentes puntos dentro de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno de los sitios L1, L2, L3, L4 operan 40, 30, 20 y 30% del tiempo, y si una persona maneja a gran velocidad cuando va a su trabajo tiene las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5, y 0.2, respectivamente, de pasar por esos lugares. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa por conducir con exceso de velocidad?

TEOREMA DE BAYES

Si los eventos B1, B2,..,BK constituyen una partición del espacio muestral S, donde la P(Bi)≠0 para i=1, 2, 3,…,k, entonces para cualquier evento A en S tal que P(A) ≠0,

Ejemplos 1: ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le diagnostica cáncer realmente tenga la enfermedad?.

Ejemplo 2: Si la persona es multada por conducir con exceso de velocidad en su camino al trabajo, ¿Cuál es la probabilidad de que haya pasado por el sistema de seguridad ubicado en el sitio L2 ?