Análisis Estadístico Aplicado a Investigación Educativa

Concepto de Probabilidad

Concepto de ProbabilidadLa probabilidad mide  la  mayor  o  menor  posibilidad  de  que  se  dé  un determinado  resultado  (suceso  o  evento)  cuando  se  realiza  un experimento aleatorio.Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos  posibles  de  ocurrencia  del  mismo;  es  decir,  de  cuántas  formas puede ocurrir determinada situación.Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.

Concepto de Probabilidad

• En ocasiones realizamos acciones, por ejemplo lanzar una moneda al aire, en las que conocemos de antemano los posibles resultados que se pueden dar (cara o cruz) pero no sabemos exactamente cual de ellos se va a dar.

Concepto de Probabilidad

• Lo mismo ocurre cuando lanzamos un dado: sabemos que puede salir 1, 2, 3, 4, 5, o 6, pero no sabemos cual de ellos saldrá.

Concepto de Probabilidad

• Los resultados de estas acciones dependen del azar.

• Sabemos cuales pueden ser pero es imposible determinar de antemano cual será.

• La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se de.

• Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.

SUCESOSLlamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar.Distinguimos 3 tipos de sucesos:Suceso posible: Es un resultado que se puede dar.Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado.Suceso imposible: Es un resultado que no se puede dar.Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el número 7).Suceso seguro: Es un resultado que siempre se va a dar.Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).

Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir:•Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás:

Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas probabilidades que el suceso "cruz".•Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de ocurrir.•Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bola negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.

PROBABILIDAD DE LOS SUCESOS

Espacios muestral y aleatorio

Espacio muestral• Es el conjunto de todos los

posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por  denotado E, S, Ω o U  ( letra griega Ω).

• Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.• Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio• Suceso aleatorio es cualquier

subconjunto del espacio muestral.• Por ejemplo al tirar un dado un

suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

EJEMPLOS DE ESPACIOS MUESTRALES

1. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

• 2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}• 3. El suceso B = {extraer al menos

una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

• 4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Punto Muestra ( o Suceso Elemental )

Es cada uno de  los elementos que  forman parte del espacio muestral.Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

DENOTACION SIMBOLICA DE LA PROBABLIDAD

La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que éste se realizará.

La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n

La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.

La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:

Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1

Eventos excluyentes• Un evento mutuamente excluyente es

uno en el que la aceptación de una alternativa automáticamente excluye otras posibles alternativas. Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no pueden ser ambos.

• La fórmula matemática para determinar la probabilidad de los eventos mutuamente excluyentes es P(A U B) = P(A) + P(B). Dicho en voz alta, la fórmula es "Si A y B son evento mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que A o B suceda es equivalente a la probabilidad del evento A más la probabilidad del evento B".

      

Eventos incluyentes• Un evento mutuamente incluyente

es uno que sucede al mismo tiempo que otro. A pesar de que este término posee raíces matemáticas, tiene lugar también en otros campos. En las finanzas, por ejemplo, eventos mutuamente incluyentes son decisiones de negocios donde un evento ocurre solo si otro lo hace al mismo tiempo. No importa cómo se lo utiliza, el significado del término es esencialmente el mismo: encontrar la posibilidad de que dos eventos ocurran al mismo tiempo.

Eventos IndependientesDos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

         P(A y B) = P(A) · P(B)

Ejemplo 1:

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.

P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

                             

EVENTOS DEPENDIENTES

• Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y así los eventos son dependientes. La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales:

 P(A y B) = P(A) · P(B)

Ejemplo 2:• Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas

verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.

P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

                              

Probabilidad CondicionalEn esta sección examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos depende o se ve influida por la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos ejemplos.

Ejemplo : Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

La primera semilla sea roja?

La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?

Solución:

La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: 

La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por 

, y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.

Esta probabilidad , puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.

Veamos la situación en un diagrama de árbol:

Definición de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A y B en un espacio muestra S, tales que P(A) > 0 con P(A) ¹ 0, la probabilidad del evento B dado el evento A, se define por  

Regla de la Adición

• Video recomendado http://www.youtube.com/watch?v=78dNjPeLpfE

Bibliografía

• www.ehowespanol.com

• www.virtual.uanl.edu

• www.monografías.com

• www.ditutor.com

• www.disfrutalasmatematicas.com