Recuperado Apuntes Mov Curv

8/9/2019 Recuperado Apuntes Mov Curv

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XI. MOVIMIENTO CURVILNEO

En el estudio del movimiento rectilneo nos bastaba un nmero para

determinar la posicin, la velocidad o la aceleracin de la partcula en

estudio. Pero para determinar esas propiedades del movimiento de una

partcula que describa una trayectoria curva, necesitaremos conocer tantola magnitud como la direccin. De modo que ser conveniente trabajar, a

partir de ahora, con vectores.Consideremos un automvil

transitando por una carretera curva,

aumentando su rapidez. Si lo obser-

vamos desde un punto O fuera de lacarretera, para situarlo deberemos

conocer la distancia a la que se en-

cuentra y en qu direccin se mideesa distancia. Representaremos el

caso mediante una curva arbitraria y

un punto sobre ella. Al punto O lo

llamaremos origen, y desde ste alpunto trazaremos un vector, el vec-

tor de posicin.

Un tiempo despus, el punto ocupar una nueva posicin. Y la dife-rencia entre estas dos posiciones ser el desplazamiento. Ahora el despla-

zamiento tambin es una cantidad vectorial, tal que + =

Puesto que la velocidad media es la razn del desplazamiento al

tiempo, la representaremos con un nuevo vector, que tendr la mismadireccin del desplazamiento. Observemos que la magnitud del desplaza-

=


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Movimiento curvilneo

268

miento, es decir, la magnitud del vector, es menor que la longitud reco-rrida por la partcula entre las dos posiciones consideradas.

|| Si el lapso considerado es infini-

tamente pequeo, la razn del despla-

zamiento al tiempo ser la velocidad dela partcula en ese instante. Ahora bien,

si la segunda posicin se acerca todo lo

posible a la primera, la lnea que las

una, que ser la direccin tanto deldesplazamiento como de la velo-cidad,

ser tangente a la trayectoria. Estapropiedad es de especial impor-tancia

en el estudio de la Cinemtica de la

partcula. Y tiene la velocidad otrapropiedad igualmente importante: la

magnitud del desplazamiento es ahora

del mismo tamao que la lon-gitud

recorrida por la partcula. Es decir

|| =

= ; || = = Para facilitar las explicaciones que daremos en lo futuro, a partir de

ahora entenderemos por rapidezel tamao o magnitud de la velocidad.La aceleracin media, que es la razn del cambio de velocidad al

tiempo, ser un vector cuya direccin dependa tanto del cambio de

direccin de la velocidad como de su cambio de magnitud. Lo mismo sepuede afirmar de la aceleracin, que es la razn del cambio de velocidad

al tiempo, cuando ste es infinitamente pequeo. Estudiaremos esta

cantidad empleando distintos sistemas de referencia.


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a) Dado que = 0 . 1 , y que = , entonces v=0.2t.Para =2, = 0.4 = 0.4. Como se halla en el tramos recto de la va:

b) Puesto que

=

=0.4/2

c) De las expresiones empleadas en el inciso a, pero para t = 5, se obtiene

s = 2.5, v = 1. Ahora el tren se encuentra en un tramo curvo; ha recorrido 1

m de la circunferencia BC. El radio que une su posicin con el centro de lacurva forma un ngulo = s / R de 1 / 0.8 = 1.25 radcon la vertical, es

decir, de 71.6. Para determinar tanto la magnitud como la direccin del

vector de posicin r calculemos las distanciasxyy:

Ejemplo. La figura representa la va deun tren de juguete. El tren parte delpunto A y avanza conforme a la ex-

presins= 0.1 t2, si t se da en s, s es la

distancia en m del tren al punto A, me-dida sobre la va. Tomando dicho punto

A como origen, determine: a) la

posicin y la velocidad del trenecito

cuando t= 2 s; b)Su velocidad mediadurante los dos primeros segundos. c)

Su posicin y su velocidad cuando t =

5s. d) El tiempo que requiere paravolver al punto de partida.

= 0.4 m ; = 0.4 m

= 0 . 2 m


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270

=1.5+0.8sen71.6=2.26=0.80.8cos71.6=0.548Por tato, = 2.26 +0.548Y tan=0.548/2.26

d) Puesto que = 0 . 1 , y se desea conocer el tiempo en que vuelve apasar por A, ha de calcularse la lon-gitud de toda la va:

= 2 0.8 + 21.5 =8.03Por lo que 8.03=0.1, de donde = 8.03/0.1

Componentes cartesianas. Cinemtica

Consideremos una partcula movin-

dose en una curva arbitraria y elijamos unsistemas de referencia cartesiano, como se

muestra en la figura. La posicin de la

partcula en un instante arbitrario quedaperfectamente determinada mediante un

vector que una el origen con la partcula; si

las coordenadas de sta sonx yy. entonces

el vector de posicin ser

= 2.33 m 13.6 = 1 m 71.6

= 8.96

= x +


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271

Si lo derivamos respecto al tiempo, obtendremos primero la velocidad

y luego la aceleracin de la partcula. Como los vectores unitarios i yjtienen magnitud y direccin constantes, las derivadas quedan como sigue.

= +

= +

Procederemos a escribir las ecuaciones del movimiento como lo

hicimos en el caso del movimiento rectilneo. Las componentes de la

velocidad y la aceleracin los obtendremos derivando las de la posicin.

= +

= +

Ejemplo.Las coordenadas de un buque

que se mueve en las proximi-dades de

un puerto sonx= t330t2+280tyy=t2

10t+600, donde tanto x como yresultan en m si tse da en s. Determine

la posicin, velocidad y aceleracin

del buque cuando t=10 s.


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272

= 30 +280 = 3 60+280 = 6 6 0 = 10+600 = 2 1 0 = 2Para t=10=10003000+2800=800 = 3 0 0 6 0 0 + 2 8 0 = 2 0 = 6 0 6 0 = 0

= 1 0 0 1 0 0 + 6 0 0 = 6 0 0 = 2 0 1 0 = 1 0 = 2Comparando los resultados

=800+600 = 800 +600t a n = 600800

=1000m 36.9

=20+10 = 20 + 10t a n = 1020

=2 = 2 2 . 4 m 26.5

= 2 m


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Componentes cartesianas. Cintica

De la segunda ley de Newton hemos deducido que la resultante delas fuerzas que actan sobre una partcula tiene una magnitud igual al

producto de la masa de dicha partcula por la aceleracin que sufre, y tiene

la direccin de esa aceleracin por tanto, podemos escribir las siguientes

ecuaciones:-9-

En un instante cualquiera del

movimiento, el diagrama de cuerpo

libre de la pelota es el siguiente:

= = =

Ejemplo. Un jugador de golf

golpea una pelota en la direccin mos-

trada en la figura con una rapi-dez de50 m/s, desde una sobreele-vacin de

12 m. Despreciando toda resistencia

del viento, determine: a)el tiempo enque la bola alcanza la altura mxima;

b)la altura mxima que al-canza; c)el

tiempo en que llega al suelo; d) la

velocidad con que llega, e)el alcancehorizontal D de la bola. Y escriba la

ecua-cin cartesiana de la trayectoria.


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O sea, que en cualquier posicinla aceleracin de la pelota es igual ala gravedad.

Elegimos ahora un sistema dereferencia cartesiano y escribimos las

ecuaciones del movimiento:

En xx = 0

= 5 0 (45) = 4 0

= 40 En yy =9.81 = 5 0 (35) 9.81 = 30 9.81 = 12 + 30 9.812

a) La pelota alcanza la altura mxima cuando vy=0

0 = 30 9.81 = .

En ese tiempo;yser la altura mxima

= 1 2 + 3 03.06 9.812 3.06

= 3.06

= 57.9 m


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b) Que llegue al suelo significa quey=00 = 12 + 30 9.812 9.81 60 12 = 0

Las races de sta ecuacin son = 6.31 ; =0.1939 . La ne-gativa no significa nada en este problema.

c) Al llegar al suelo

= 40 =309.816.31 =31.9 = 40 +31.9t a n = 31.940

La ecuacin cartesiana de la tra-

yectoria, que es de la forma y = f(x),

la obtendremos despejando t de laecuacin dexy sustituyendo en la de

y. = 40 = 1 2 + 3 0 40 9.812 40

Que es la de una parbola cuyoeje es paralelo al de las yes.

= 6.31

= 5 1 . 2 38.6

= 12 + 0.75 3.0710


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Sabemos que en cualquier instante el proyectil sufrir la aceleracin

de la gravedad. Elegiremos un sistema de referencia con uno de los ejes en

direccin de la ladera y emplearemoslas ecuaciones del movimiento.

En xx =32.2 sen30=16.1 = 16.1 = 8.05 En yy

=32.232 =16.13

= 16.1 3

= 8.05 3En B, x = 750 ; y = 0 750=8.05 = 9 . 6 50 = 9.65 8.059.653 =8.059.653

Ejemplo. Se desea que un pro-

yectil que se disparar en direccin

normal a la ladera mostrada llegueexactamente al puntoB. Diga con qu

rapidez debe disparase para lograrlo.

=134.6


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Componentes intrnsecas. Cinemtica

Este apartado es, sin lugar a dudas, el ms importante de lacinemtica. Las componentes de la aceleracin que ahora estudiaremos

estn relacionadas ntimamente con las caractersticas esenciales del

movimiento. Por eso, algunos autores las llaman naturales. En efecto, una

de ellas mide el cambio de magnitud de la velocidad, la otra, su cambio dedireccin.

La figura representa una partculamovindose en una curva cualquiera.En direccin de su velocidad, es decir,

tangente a la trayectoria en ese punto,

elegimos un eje de referencia, quellamaremos tangencial. Perpen-dicular

(es decir, normal) a l toma-mos el

otro eje de referencia, que ser el ejenormal, y se dirige hacia el cen-tro de

la curva. Los vectores unitarios en esas

direcciones sern el vector unitario

tangencial, ety el vector uni-tarionormal en.

Expresada en forma polinmica, la velocidad ser

= Derivaremos esta expresin con el fin de obtener la aceleracin de

la partcula. Puesto que tanto vcomo etson variables

=

+

El trmino dv/dtnos resulta familiar, pues es la razn de cambio de larapidez (i. e., de la magnitud de la velocidad) con respecto al tiempo. Pero


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para comprender el trmino det/dtderivaremos primero el vector unitariotangencial respecto a su direccin. Como se puede apreciar en la figura, sidicho vector unitario se desva un ngulo d, su punta describe un arco ds,

cuya longitud es igual al producto del radio por en ngulo: dado que el radio

es la magnitud del vector unitario, o sea, 1, entonces d= ds; ade-ms la

magnitud de det= ds, es decir, d= detpor lo que podemos afir-mas que lamagnitud de la derivada es 1 y, como se aprecia en la figura, el vector

obtenido es perpendicular al vector unitario tangente. Por tanto, det/d=en.

Utilizando la regla de la cadena, podemos llegar a lo siguiente:

= + = +

= + en donde ds/dt = v, y d/ds= 1/, en donde es el radio de curvatura, ya

que el ngulo es igual al arco entre el radio, tal como se muestra acontinuacin:

= Podemos escribir finalmente que

que expresa la aceleracin como la suma vectorial de dos componentes

perpendiculares entre s. La primea la componente tangencial es la raznde cambio de la rapidez respecto al tiempo y tiene la direccin de la

velocidad; y la segunda, que se dirige hacia el centro de la curva, es igual

= +


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al cuadrado de la rapidez entre el radio de curvatura. La magnitud y ladireccin de la aceleracin se puede obtener mediante las expresiones

= ; =

= +

=

De la expresin de la longitud recorrida obtendremos la rapidez y la

componente tangencial de la aceleracin en cualquier instante.

= 4 = 8 = 8El cuarto de pista, es decir, el arco , mide = = 2 400 =200Entonces 200=4 = 50

Y en el instante=812.53

Ejemplo.Un automvil comienza a

moverse desde el punto A de una tra-

yectoria circular de 400 ft de radioconforme a la expresin s = 4t2, donde

s es la longitud que recorre sobre la

pista en ft, y t el tiempo en s. Calculeel tiempo que el automvil tarda en

recorrer un cuarto de la pista y diga

cules sern su velocidad y su ace-leracin en ese instante.

400

A

Bv

=12.53


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281

= . =25.1 = 8 = 25.1 + 8t a n = 8

25.1

Como la variacin de la rapidez es constante, de = obtena = 2

Puesto que 90 km/h = 25 m/s y 54km/h =15 m/s

=100.3

= 2 6 . 4 17.7Ejemplo.Un motociclista que

reduce uniformemente su rapidez, pa-sa porAa 90 km/h y llega al fondoB

de la curva vertical B, 50 m adelante

de A, a 54 km/h. Sabiendo que enBel

radio de curvatura de la carretera es de100 m, diga cules son la magnitud y

la direccin de la aceleracin de lamotocicleta en ese punto.


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282

= = 4 = = 15

100 =2.25 = 4 +2.25t a n = 2.254

Componentes intrnsecas.Cintica

Nuevamente, de las relaciones entre la resultante del sistema de

fuer-zas y la aceleracin de una partcula que establece la segunda ley deNewton, podemos escribir

=

=

Conviene tener en cuenta que muchos problemas, aun de

movimiento plano, exigen un desarrollo en tres dimensiones. En talesproblemas se puede elegir un tercer eje de referencia, perpendicular al

plano del movi-miento, que cumple con la condicin

= 0Algunos textos llaman binormalal eje que nosotros hemos denomi-

nado de las zetas, por ser perpendicular tanto al eje tangencial como alnormal. Este caso lo ilustraremos con el siguiente ejemplo.

= 4 . 5 9 m 29.4


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-

Tomando el plano que contiene la cuerda y el pndulo, dibujaremos

el diagrama de cuerpo libre y el sistema de referencia, sabiendo que el eje

tangencial (y, por tanto, la velocidad) es perpendicular al plano deldibujo.

= 0 25 5 = 0 = 5 25

= 25 = 532.2 El rayo de la trayectoria r es igual a la longitud de la cuerda por el

seno de 25: Osea 525 25 = 532.2

2 2525= 64.4 25

=64.4 2525

Ejemplo. Pndulo cnico. Unpndulo de 5 lb de peso atado a una

cuerda de 2 ft de largo, que forma un

ngulo de 25 con respecto a la ver-tical, describe un cono. Determine la

tensin de la cuerda y la rapidez del

pndulo.

25

2

5#

= 5.52 lb

= 3.56 ft/s


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284

Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de un carro de F.C. que cir-cula a la velocidad de diseo. Elegimos un sistema de referencia tal que el

eje normal se dirija al centro de la curva y el tangencial resulte perpendi-

cular al plano del dibujo. = 0 = 0 = cos = =

Como 180 km / h= 50 m / s

= . = 59.81 ; = 2 7 Y mediante trigonometra calculamos la sobreelevacin h

= 1.435 27

Ejemplo.Diga cuntos centme-tros debe sobreelevarse el riel exterior

de una va curva de 500 m de radio, sila velocidad de diseo es de 180 km/h.

La reaccin de la va debe ser

perpendicular al asiento de los dur-mientes.

h

1.435 m

= 0.65 m


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285

La velocidad es nula cuando el ngulo es de 35; tambin es nula en ese

instante, la componente normal de la aceleracin.

= 0 2 c o s 3 5 = 0

Dibujaremos ahora un diagrama de cuerpo libre del pndulo en una

posicin arbitraria, para determinar su rapidez.

= 2 c o s = 2 cos =

Para relacionar el ngulo con la longitud recorrida, tomaremos un arco

diferencial de la trayectoria.

Ejemplo.Un pndulo simple de 2

lb de pesoy 4 ftde largo, oscila en el

plano vertical. El ngulo mximo que

forma la cuerda con la vertical es de

35. De-termine: a) la tensin de lacuerda cuando la velocidad del pn-

dulo es nula; b) la velocidad mxima

del pndulo y la tensin correspon-diente de la cuerda.

35

4

2 #

35

= 1.64


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287

Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de la camioneta al pasar por la

cima.

= 2 0 0 0 = Como 30 mi / h = 44 ft / s

2 0 0 0 = 10 44

= 2 0 0 0 443.22 =1399 = = 2000 3 = 600032.2 =186.3La reaccin es = 1399 +186.3

t a n =1399186.3

Ejemplo.Una camioneta de 2000lbque reduce su rapidez a razn de 3

ft/s2 pasa por la cima de una curva

vertical de 200 ft de radio con una ra-pidez de 30 mi/h. Calcule la mag-nitud

y la direccin de la reaccin del

pavimento sobre la camioneta. Cul

es la mxima rapidez con que puedecircular un vehculo por ese punto, sin

despegarse del camino?

= 1411 lb 82.4

2000


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289

= 0.3 + 0.30.8 Sabiendo que la componente normal de la reaccin del disco es igual

al peso del cuerpo, podemos dibujar un diagrama de cuerpo libre en

planta en donde la en donde la fuerza mxima de friccin esttica es

= = 0 . 5 Sabiendo que la fuerza de friccin y la aceleracin tienen la misma

direccin, escribimos:

= 0.5= 9.81 0.3 + 0.3

0.8

[9.810.5] =0.3 + 0.3

0.8

.. = [9.810.5] 0.09 = 649 {[9.810.5] 0.09}

= 3.61 s


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290

Como la rapidez del osezno es variable, estudiaremos un instante

cualquiera de su movimiento sobre el igl.

= = = En donde

= 12=12

12 =

12 = 2 + Si = 0; cos = 1, v = 0 1 2 = 12 = 2 122 =121 =241

Por otro lado:

=

+ = 12

Ejemplo.Desde la parte ms altade un igl semiesfrico de 12 ft de

radio, comienza a deslizarse un osez-no. Considerando que tanto la veloci-

dad inicial como la friccin son nulas,

a qu altura h se separar el oseznodel igl?

12 ft h


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292

30

25 m/s

100 m

= 2

Tal expresin vale siempre que la partcula baje de nivel por la accin de

su peso, por cualquier tipo de trayectoria sobre la que no haya friccin.

Serie de ejercicios de Cinemtica y Dinmica

MOVIMIENTO CURVILNEO

1. Un punto se mueve sobre la trayectoria cuya ecuacin es y =x3, de

acuerdo con la ley x = 2t+1/t, donde tantox comoy estn en in y t en s.Cul es su rapidez cuando t = 4 s?

(Sol. 396 in/s)

2. Una partcula se mueve sobre la curvay = 2x33x conforme con larelacinx = t2t, donde si t est en s, tantox comoy resultan en cm. Calcule

su velocidad y su aceleracin cuando t = 1 s.

(Sol. v = 3.16 cm/s 71.6; a = 6.32 cm/s2 71.6)

3. Un muchacho situado al bordede un precipicio lanza una piedra con

una velocidad de 25 m/s formando un

ngulo de 30 abajo de la horizontal.

Si la profundidad del lugar en que caela piedra, respecto al nivel del que

fue lanzada, es de 100 m, diga: a) qu

tiempo tarda la piedra en caer; b) elalcance hori-zontal de la piedra; c)

con qu ve-locidad llega la piedra al

suelo.(Sol. a) 3.42 s; b) 74.0 m;

c) 50.9 m/s 64.8)

= 2


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293

20 m/s

15

45

R

O

C

S

32

4. De una bala que ha sido disparada a 480 ft/s formando un ngulo de25 respecto a la horizontal, se desea saber: a) el tiempo que tarda en llegar

al suelo; b) su alcance; c) la altura mxima a la que llega; d) la ecuacin

cartesiana de su trayectoria. Desprecie la resistencia del aire.(Sol. a) 12.60 s; b) 5480 ft; c) 639 ft; d)y = 0.467x8.51(10)-5x2)

5. Un jugador de futbol es capaz de imprimir a un baln una velocidad

inicial de 90 ft/s. Si desea que el alcance del baln sea de 180 ft, con qungulo respecto a la horizontal debe iniciar el baln su movimiento?

(Sol. 22.8 67.2)

6. Un aficionado patea un baln de

futbol, y le imprime una velocidad

inicial de 20 m/s, formando un ngulode 45 con el campo; pero el campo

tiene una inclinacin de 15 respecto a

la horizontal. Cul es el alcance R delbaln?

(Sol. 53.4 m)

7. La distancia que recorre una

partcula, medida a lo largo de unatrayectoria curvilnea, en ft, es s= t3

16t, donde t est ens. Cuando t = 4 s,la partcula se encuentra en un tramo

cuyo radio de curvatura es de 32 ft.

Calcule la magnitud de la aceleracinlineal de la partcula en dicho

instante.

(Sol. 40 ft/s2)

8. Un avin vuela horizontalmente a 900 km/h a 10000 m de altura,

describiendo un arco de circunferencia de 1250 m de radio. Cul es la

magnitud de su aceleracin lineal?(Sol. 50 m/s2)


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294

8 40

36

t (s)

v(km/h)

9. Un ciclista da una vueltacompleta a una pista circular en unlapso de 40 s. Su rapidez se muestra

en la grfica de la figura. Determine:

a) la longitud y el radio de la pista; b)la magnitud de la aceleracin lineal

del ciclista cuando t = 2 y cuando t

= 30 s.

(Sol. a) 360 m y 57.3 m;b) a2= 1.255 m/s

2; a30=

1.745 m/s2)

10. Mientras un automvil recorre una pista circular de un cuarto de

milla de radio, reduce su rapidez lineal uniformemente de 60 a 30 mi/h en

16 s, cules son las magnitudes de la aceleracin lineal del automvil alprincipio y al fin de dicho lapso? Qu distancia recorre en esos 16 s?

(Sol. ao = 6.48 ft/s2; a16= 3.12 ft/s2;s = 1056 ft)

11. Un automovilista ingresa en

una curva vertical con una velocidad

de 72 km/h y aplica los frenos de

modo que, reduciendo su rapidezuniformemente, se detiene 50 m ade-

lante. Sabiendo que el radio de curva-tura es constante en ese tramo y que

la aceleracin del automvil al apli-

car los frenos es de 6 m/s2, de-termi-ne: a) el radio de la curva; b) la mag-

nitud de la aceleracin del auto-

mvil al detenerse.

(Sol. a) 89.4 m; b) 4 m/s)


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295

30

80 m

2

6

30

19

DF

12. Un ciclista recorre una pistacircular horizontal con una rapidezconstante de 12 m/s. Si en una

longitud de 80 m el ciclista se desva

un ngulo de 30, diga: a) cul es elradio de la pista; b) cules son las

magnitudes de las componentes nor-

mal y tangencial de su aceleracin; c)

cul es la magnitud de su acele-racin lineal.

(Sol. a) 152.8 m; b) an = 0.942

m/s

2

; at = 0; c) a = 0.942 m/s)

13. La figura representa unas

canastillas de feria. El juego gira al-

rededor de un eje vertical con unavelocidad angular constante de 2

rad/s. Cules son las magnitudes de

la velocidad y de la aceleracin li-neales de cualquiera de las canasti-

llas?

(Sol. v = 10 ft/s; a = 20 ft/s2)

14. Suponiendo que la Tierra

estuviera dotada exclusivamente demovimiento de rotacin, cul sera

la aceleracin de un cuerpo situado

en la ciudad de Mxico? Considereque la latitud de Mxico es 19 nor-

te, que la Tierra da una vuelta en 24

h y que su radio medio mide 6370

km.(Sol. 3.18 cm/s2)


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31/33


297

50 cm 20 cm

12 cm

AC

B

60 60

1 ft

AO

O

Q

b

c

b

P P

automvil sin perder el con-tacto conla cima del puente.

(Sol. 796 kg ; 79.7 km/h)

18. La flechaAB gira a 300 rpm.

El cuerpo C, que puede consi-derarse

un punto material, pesa 25 kg.Cuando C se encuentra en la posicin

ms baja de su trayectoria, como se

muestra en la figura, cu-les son las

reacciones en los apoyos? Los pesosde las barras son despre-ciables.

(Sol. RA = 93 kg ; RB = 233 kg )

19. El sistema mostrado en la

figura gira alrededor del eje vertical

OO. Entre qu velocidades ang-lares puede girar el sistema sin queA

se deslice? Los coeficientes de fric-

cin esttica y cintica entre A y eldisco son 0.4 y 0.3, respectiva-mente.

(Sol. 5.03 rad/s < < 14.95 rad/s)20. Determine la rapidez ang-lar constante con que debe girar el

gobernador de bolas que se repre-senta para mantener la configuracin

mostrada. Considere los siguientes

datos: = 45,P = 2 kg, Q = 10 kg,b = 0.3 m y c = 0.1 m.

(Sol. 122.6 rpm)

21. La esfera de la figura estsostenida por dos cuerdas y T0 es la

tensin en una de ellas. Diga cul


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298

30 30

3 m

45

5 kg

B

0

y

ser la tensin T1 en cualquiera deellas en el instante en que se corte laotra, y cul, la magnitud de la ace-

leracin de la esfera en ese mismo

instante.(Sol. T1 = 0.5T0; a = 0.866g)

22. El cuerpo de la figura tiene

una masa de 5 kg y sube por el planoinclinado. Al pasar por B su rapidez

es de 3 m/s y decrece a razn de 8

m/s

2

. Determine el coeficiente defriccin cintica entre el cuerpo y

la superficie, si el radio de curvatura

de la trayectoria en el puntoB es de 3m.

(Sol. 0.270)

23. Un vehculo de 1400 kg de masa recorre una curva circular

horizontal de 200 m de radio. Re-duce su velocidad uniformemente de 108a 72 km/h en una distancia de 50 m. Calcule la magnitud de la reaccin del

pavimento sobre el vehculo cuando ste alcanza los 72 km/h.

(Sol. 15 670 N)

24. Un carrito de baleros correpor el plano horizontal con una

velocidad v0y comienza a subir por

una trayectoria curvilnea contenidaen un plano vertical. Halle una ex-

presin que defina su rapidez v en

funcin de la altura y que va ascen-

diendo. Cul ser la altura mximaque alcanzar el carrito?

(Sol. v = (v022gy)1/2; v02/2g)


33/33


299

5 m/s

9.81 kg

4 m

AB

B

C

m

A

h

200 kg

60 kg

50 m

A

B

25. Un carrito de baleros de 9.81kg de peso llega al punto A con unarapidez de 5 m/s y comienza a

descender por la trayectoria circular

de 4 m de radio. Determine el n-

gulo que define la posicin en queel carrito abandona la superficie y se

convierte en un proyectil.(Sol. 28.5)

26. Una partcula de masa m se

suelta sin velocidad inicial desde elpunto A de la trayectoria lisa conte-

nida en un plano vertical. a) Si h = 3

r, cul es la magnitud de la fuerzanormal que el bucle ejerce sobre la

partcula al pasar por B? b) Si la

partcula ha de recorrer el buclecompleto, cul es la altura mnima h

a la que debe soltarse?(Sol. a) mg; b) 2.5 r)

27. Un carro elctrico experi-mental de 200 kg de peso parte del

reposo del puntoA de la curva circu-lar vertical de 50 m de radio, y

desciende por la accin de su peso y

de la traccin de sus ruedas, que esconstante y de 60 kg. Diga con qu

rapidez llegar al puntoB y cul ser

la magnitud de la reaccin normal de

la curva sobre el carro al llegar a esepunto.

(Sol. 38 m/s; 788 kg)

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