Razón

Es el cociente indicado entre dos números.

Proporción

Es toda igualdad entre dos razones.

Constante de proporcionalidad

Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda multiplicada por el mismo número.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda dividida por el mismo número.

¿Recuerdas qué es…?

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5PROPORCIONALIDAD

El estudio de la proporcionalidad permite establecer comparaciones entre magnitudes.

Los resultados que se obtienen mediante la proporcionalidad se suelen expresar en forma de porcentaje para que la información sea más fácil de comprender. Así, por ejemplo, si en un colectivo de 800 personas, 240 practican algún deporte los fines de semana, se tiene una idea más clara de la proporción si se dice que 30 personas de cada 100 practican algún deporte.

La proporcionalidad se utiliza habitualmente en disciplinas como la geometría, la medicina, la sociología, la estadística, la economía, etc., es decir, forma parte de las actividades cotidianas de la sociedad, y su estudio es fundamental para trabajar en estos campos.

Los objetivos de esta Unidad son:

• Reconocer relaciones entre magnitudes.

• Aplicar los procedimientos adecuados para resolver problemas de proporcionalidad, cálculo de porcentajes, repartos proporcionales y problemas de interés bancario.

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86

5En la tabla se recoge la relación entre el número de litros de agua por minu-to que vierte un grifo en un depósito y la cantidad de agua recogida:

1

Para cercar un campo A de 420 m de períme-tro se necesitan 168 postes colocados a la misma distancia. ¿Cuántos postes son necesarios para cercar otro campo B, de 550 m de perímetro, si hay que colocar los postes a la misma distancia que en el campo A?

Si cuatro entradas para el fútbol cuestan 140 €, ¿cuánto valen 7 entradas?

Si la impresora del instituto imprime 8 hojas por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en imprimir 150 hojas?

Ejercicios

PROPORCIONALIDAD DIRECTA. REGLA DE TRES DIRECTAPROPORCIONALIDAD DIRECTA. REGLA DE TRES DIRECTA

Tiempo en minutos   5 10 15   20

Litros de agua recogida 25 50 75 100

Si se calcula el cociente entre el tiempo y la cantidad de agua vertida, se obtienen razones iguales:

525

=1050

=1575

=20

100= 0,2

La constante de proporcionalidad directa es 0,2.

El tiempo y la cantidad de agua vertida en el depósito son dos magnitudes directamente proporcionales.

Si se quiere saber cuántos litros de agua hay en el depósito al permanecer el grifo abierto durante una hora, se puede utilizar el procedimiento de la regla de tres directa:

Si en 5 minutos el grifo vierte 25 Len 60 minutos el grifo vierte x L

  5          25

60          x

Como son magnitudes directamente proporcionales, se tiene la proporción:

525

=60x

5 x = 60 25 x =1500

5= 300 L· ·

Otro procedimiento para resolver este problema es por reducción a la unidad.

Calculamos la cantidad de agua vertida en 1 minuto:

Si en 5 minutos se vierten 25 L, en 1 minuto se vierten 5 L.

Si en 1 minuto se vierten 5 L, en 60 minutos se vierten 300 L.

1

2

3

Dos magnitudes son directamenteproporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda mul-tiplicada por el mismo número.

En la pestaña Actividades/Unidad 5, encontrarás la actividad Relación 1 unidad 5, para repasar el cálculo de proporciones.

CD

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/magnitudes/magnitudes_proporcionales.htmEn esta página se puede encontrar un repaso teórico de los contenidos con ejemplos resueltos.

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/proporcionalidad_numerica/proporcionalidad1.htmSe explica la proporcionalidad directa y la regla de tres simple. Se proponen ejercicios para cuya resolución los estudiantes pueden solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios.

WEB

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87

PROPORCIONALIDAD INVERSA. REGLA DE TRES INVERSA2

Si cinco amigos alquilan una casa, cada uno tiene que pagar 270 € por el alquiler. Pero si se agregan a la casa tres amigos más, ¿cuánto ten-drán que pagar cada uno por el alquiler de la mis-ma casa?

En el viaje de fin de curso, los alumnos de 4.º ocupan 32 habitaciones triples en un hotel. ¿Cuántas habitaciones ocuparían si las habita-ciones fueran cuádruples?

Para cercar un campo se han instalado un total de 140 postes con una separación entre ellos de 3 metros. Si se instalan con una separación de 4 metros, ¿cuántos postes son necesarios para cercar el campo?

Un montacargas puede elevar 15 cajas de 25 kg de peso cada una. Si las cajas pesaran 40 kg, ¿cuántas cajas podría elevar el montacar-gas?

Ejercicios

Una empresa para el control de calidad tiene que analizar 300 productos. En la tabla se recoge el número de técnicos encargados del control de calidad y el número de controles que cada técnico realiza:

Número de técnicos     2     3   4

Número de controles 150 100 75

Se observa que al multiplicar la primera magnitud por un número cualquie-ra, la segunda magnitud queda dividida por el mismo número. Son magnitu-des inversamente proporcionales.

Al multiplicar en cada caso el número de técnicos por el número de controles, el producto que resulta es constante y se llama constante de proporcionalidad inversa.

Si se desea saber el número de controles que deben realizar seis técnicos, se puede utilizar el procedimiento de la regla de tres inversa.

Si 2 técnicos hacen 150 controles6 técnicos hacen x controles

2           150

6           x

Al ser magnitudes inversamente proporcionales, se puede escribir:

2 150 = 6 x x =2 150

6= 50

controles

Otro procedimiento para resolver este problema es por reducción a la unidad:

Si 2 técnicos hacen 150 controles, 1 técnico hace 300 controles.

Si 1 técnico hace 300 controles, 6 técnicos hacen 300

6= 50 controles.

4 6

5 7

Dos magnitudes son inversamenteproporcionalessi al multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida por el mismo número.

En la pestaña Actividades/Unidad 5, encontrarás la actividad Respuesta múltiple unidad 5, para repasar si dos magnitudes son directamente o inversamente proporcionales.

CD

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/proporcionalidad_numerica/proporcionalidad3.htmSe explica la proporcionalidad inversa y la regla de tres. Se proponen ejercicios para cuya resolución los estudiantes pueden solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios.

WEB

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88

5 APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD3

A

Una comunidad de vecinos tiene que arre-glar el tejado de la casa. El importe de las obras es 7 920 €. Esta cantidad deberá ser aportada por los vecinos de forma propor-cional a la superficie de sus viviendas. Si en cada planta del edificio hay tres vivien-das cuyas superficies son 60 m2, 90 m2 y 180 m2 y el edificio tiene cuatro plantas, ¿cuánto dinero tiene que aportar cada tipo de vivienda y qué cantidad deberá abonar cada vecino?

La cantidad de dinero que debe aportar cada tipo de vivienda es proporcional a la superficie:

Las viviendas de 60 m2 aportan x €.Las viviendas de 90 m2 aportan y €.Las viviendas de 180 m2 aportan z €.

La suma de las cantidades aportadas es el importe total de la reparación:

x + y + z = 7 920 €

Como las cantidades aportadas son direc-tamente proporcionales a las superficies, se tiene:

x60

=y

90=

z180

= c

x = 60 c

y = 90 c

z = 180 c

·

·

·

Para obtener la constante c de proporcionalidad se resuelve la ecuación:

60c + 90c + 180c = 7 920 60c + 90c + 180c = 7 920 330c = 7 920 c = 24 330c = 7 920 60c + 90c + 180c = 7 920 330c = 7 920 c = 24 c = 24

Las cantidades que tienen que aportarse son:

Ejemplo 1

La proporcionalidad entre magnitudes permite resolver problemas sobre repartos, porcentajes, incrementos, descuentos o interés bancario.

REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Viviendas Cantidad que aportan

Cantidad por propietario

4 pisos de 60 m2   60 · 24 = 1 440 € 1 440 : 4 =    360 €

4 pisos de 90 m2   90 · 24 = 2 160 € 2 160 : 4 =    540 €

4 pisos de 180 m2 180 · 24 = 4 320 € 4 320 : 4 = 1 080 €

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89

REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALESB

Una empresa realiza un proyecto y obtiene 18 000 € de beneficio, que decide repartir entre las tres categorías de trabajadores que han colaborado en el mismo. El reparto se hace de forma inversamente proporcional al sueldo base que percibe cada categoría de trabajadores. Las cantidades percibidas mensualmente por cada categoría son:

Personal de administración 1 000 € Personal técnico 1 200 € Responsables de departamento 1 500 €

¿Qué beneficio le corresponde a cada sector de trabajadores?

Los beneficios que recibe cada sector de trabajadores son:

— El personal de administración recibe x, cantidad inversamente proporcional a 1 000.

— El personal técnico recibe y, cantidad inversamente proporcional a 1 200.

— Los responsables de departamento reciben z, cantidad inversamente proporcional a 1 500.

x1

1 000

=y1

1 200

=z1

1 500

= c

x =1

1 000c

y =1

1 200c

z =1

1 500c

La suma de las cantidades que cada uno recibe es igual a la cantidad que hay que repartir:

x + y + z = 18 000 €

Para obtener la constante de proporcionalidad se plantea la ecuación:

Las cantidades que debe recibir cada categoría de trabajadores son:

x =7 200 000

1 000= 7 200€ y =

7 200 0001 200

= 6 000€ z =7 200 000

1 500= 4 800€

Ejemplo 2

En una competición de tiro al plato los tres primeros clasificados se reparten 12 000 € de for-ma inversamente proporcional a los fallos cometi-dos. Si los fallos son 2, 3 y 6 respectivamente, ¿qué dinero recibe cada uno?

Para la puesta en marcha de un negocio, tres socios aportan respectivamente 5 000 €, 8 000 € y 7 000 €. Cuando los beneficios llegan a 140 000 €, deciden liquidar el negocio. ¿Qué cantidad de di-nero recibirá cada socio?

Ejercicios

8 9

c1 000

+c

1 200+

c1 500

= 18 000

6c

6 000+

5c

6 000+

4c

6 000= 18 000

15c

6 000= 18 000 c =

6 000 18 00015

= 7 200 000

6 · c6 · 1 000

+5 · c

5 · 1200+

4 · c4 · 1500

= 18 000

c1 000

+c

1 200+

c1 500

= 18 000

6c

6 000+

5c

6 000+

4c

6 000= 18 000

15c

6 000= 18 000 c =

6 000 18 00015

= 7 200 000

6 · c6 · 1 000

+5 · c

5 · 1200+

4 · c4 · 1500

= 18 000

c1 000

+c

1 200+

c1 500

= 18 000

6c

6 000+

5c

6 000+

4c

6 000= 18 000

15c

6 000= 18 000 c =

6 000 18 00015

= 7 200 000

6 · c6 · 1 000

+5 · c

5 · 1200+

4 · c4 · 1500

= 18 000

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90

5 PORCENTAJESCLa proporcionalidad entre magnitudes expresada en porcentajes da una in-formación más fácil de comprender. Determinadas informaciones se expresan en porcentajes porque de esa forma adquieren un carácter más general.

Así, por ejemplo, si la publicidad de un centro comercial anuncia que los productos están rebajados y en otro centro se especifica que todas las mer-cancías están rebajadas un 20 %, es evidente que en el segundo centro po-demos conocer el precio de cualquier producto, mientras que la información proporcionada por la publicidad del primer centro es incompleta.

Cálculo de porcentajes

Se sabe que en las últimas elecciones generales, en la ciudad A el 74 % de los habitantes con derecho a voto acudieron a votar, mientras que en la ciudad B, sobre un total de 15 250 electores, ejercieron su derecho al voto 10 370 personas. Si queremos comparar el grado de participación en ambas ciuda-des, hay que calcular el porcentaje de participación en la ciudad B.

Si de 15 250 personas acuden a votar 10 370 personas,

De 100 personas acuden a votar x.

Es decir:

15 25010 370

=100

xx =

10 37015 250

100 = 68 %

Esto significa que en la ciudad B, de cada 100 electores han votado 68. La participación en la ciudad B fue menor que en la ciudad A.

Se puede comparar el índice de participación porque, al estar expresadas las cantidades en porcentajes, la referencia en ambas ciudades es la misma: 100 electores.

La información de la ciudad A no precisa conocer el número de electores ni el número de personas que acudieron a votar. Es una información en térmi-nos relativos. Sin embargo, la información de la ciudad B, más complicada de retener, está dada en términos absolutos y no se puede utilizar para esta-blecer comparaciones.

Aumento y disminución porcentuales

Se considera que hay un aumentoporcentual si una cantidad se incremen-ta un determinado porcentaje; por el contrario, se dice que hay una dismi-nuciónporcentual si la cantidad disminuye un determinado porcentaje.

Por ejemplo, los precios de los productos tienen aumentos porcentuales si se les añade el IVA (impuesto del valor añadido). En las rebajas, los precios de los productos tienen disminuciones porcentuales.

Si un objeto tiene un precio N y el IVA que se aplica es el 16 % del precio, entonces:

— El aumento porcentual es el 16 % de N16

100N = 0,16 N

—El valor final del objeto es N + 0,16 · N = (1 + 0,16) · N = 1,16 · N

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/proporcionalidad_numerica/proporcionalidad2.htmPrimero se explica qué es un reparto proporcional y se resuelve un ejercicio. Luego se proponen ejercicios para cuya resolución se puede solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios.

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/proporcionalidad_numerica/proporcionalidad4.htmPrimero se explica qué es un reparto proporcional y se resuelve un ejercicio. Luego se proponen ejercicios para cuya resolución se puede solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios.

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Fracciones_decimales_porcentajes/Fracciones_5.htmA través de una escena interactiva se resuelven cuestiones y ejercicios relacionados con los porcentajes

http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/porcentaje.phpEste generador hace hojas de ejercicios con porcentajes. Presenta problemas en palabras y se puede configurar la terminología a sus requisitos particulares.

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91

Si un producto con un precio N está rebajado un 20 %, se tiene:

— La disminución porcentual es el 20 % de N20

100N = 0,20 · N

— El valor final del producto es N – 0,20 · N = (1 – 0,20) · N = 0,80 · N

Si se incrementa un p % una cantidad N se obtiene:

N + Np

100= N 1 +

p100

Si se disminuye un p % una cantidad N se obtiene:

N Np

100= N 1

p100

Un empleado tiene un sueldo bruto de 1 500 €, pero a principio de año la nómina subirá el 3 %. Si el IRPF (impuesto sobre la renta de las personas físicas) es del 12 %, ¿cuál es el sueldo neto que percibirá el año que viene?

Aumento porcentual:

3 % de 3

1001 500 = 0,03 1 500 = 45 €1 500

El sueldo bruto será 1 500 + 45 = 1 545 €.

Disminución porcentual:

12 % del IRPF 12

1001 545 = 0,12 1 545 = 185,40 €

El sueldo neto será 1 545 – 185,40 = 1 359,60 €.

Ejemplo 3

El 2,5 % de las piezas que fabrica una máqui-na son defectuosas. Si un día salieron 135 piezas defectuosas, ¿cuántas piezas se fabricaron en ese día?

Si tres de cada cinco personas usan gafas, ¿cuál es el porcentaje de personas que no usan gafas? ¿Y cuál es el porcentaje de personas que usan gafas?

Ejercicios

Sueldoinicial

Sueldo con el aumentodel 3 %

Sueldo con el descuentodel 12 % de IRPF

S (1 + 0,03)S (1 – 0,12)  ·  (1  + 0,03)S

1 500 € 1,03  · 1 500 = 1 545 € 0,88  · 1 545 = 1 359,60 €

10 11

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Fracciones_decimales_porcentajes/Fracciones_5.htmA través de una escena interactiva se resuelven cuestiones y ejercicios relacionados con aumentos, disminuciones y encadenamientos porcentuales.

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5 INTERÉS BANCARIO D

El interésbancario es el beneficio que se obtiene por prestar una cierta cantidad de dinero o capital.

Interés simple

Al prestar o depositar un capital, si el interés que se obtiene cada año no se añade al capital para producir nuevos intereses durante el siguiente año, se dice que el depósito o préstamo es ainterés simple.

El beneficio producido por un capital C prestado durante t años al r % de

interéssimple es I = Cr

100t.

Calcula el interés que se obtiene colocando 3 000 € al 3,5 % durante: a) 1 año. b) 3 años.

Ejercicios

Si una entidad bancaria presta un capital, la entidad recibe como beneficio un tanto por ciento del capital prestado. De igual forma, si una persona deposita en un banco una cantidad de dinero, recibe a cambio un determi-nado porcentaje de beneficio. El beneficio que se recibe por préstamos o depósitos de dinero se llama interés, y el tanto por ciento al que se presta o deposita se denomina tipo de interés.

12

¿Qué beneficio se obtiene si se deposita en un banco durante tres años un capital de 8 000 € al 2,5 % de interés simple anual? El 2,5 % de interés simple significa que, por cada 100 € deposi-tados durante un año, se obtiene un beneficio de 2,50 €. De esta forma, por reducción a la uni-dad se tiene:

100 € en 1 año producen un interés de 2,50 €

1 € en 1 año produce un interés de  2,5100

= 0,025 €

1 € en 3 años produce un interés de 0,025 · 3 = 0,075 €

8 000 € en 3 años producen un interés de 0,075 · 8 000 = 600 €

Si se generaliza el resultado se puede obtener una expresión que permite el cálculo del inte-rés de una forma más sencilla:

100 € en 1 año producen un interés de r €

1 € en 1 año produce un interés de r

100 €  

1 € en t años produce un interés de  r

100· t €   

C € en t años producen un interés de   r

100· t I = C ·   

Ejemplo 4

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/proporcionalidad_numerica/proporcionalidad6.htmEsta página explica qué es y cómo se calcula el interés simple. Luego propone ejercicios para resolver y solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios.

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Interés compuesto

Al prestar o depositar un capital, si el interés que se obtiene cada año se añade al capital para producir nuevos intereses durante el siguiente año, se dice que el depósito o préstamo esa interés compuesto.

El capital final que se obtiene al prestar o depositar un capital C a un r % de interéscompuesto durante n años se calcula mediante la expresión:

CF = C 1 +r

100

n

¿Cuál es el beneficio que se obtiene si se deposita en un banco du-rante tres años un capital de 8 000 € al 2,5 % de interés compuesto?

Como el interés es compuesto, los intereses se acumulan al ca-pital al final de cada año de la siguiente forma:

El interés acumulado durante los tres años es:

8 615,13 – 8 000 = 615,13 €

Ejemplo 5

AñoCapital alprincipio del año

Interés2,5 %

Capitalal final del año

1.° 8 000 € 8 000  · 0,025  = 200 € 8 000  + 200 = 8 200 €

2.° 8 200 € 8 200  · 0,025  = 205 € 8 200 + 205 = 8 405 €

3.° 8 405 € 8 405  · 0,025  = 210,13 € 8 405 + 210,13 = 8 615,13 €

AñoCapital al

principio del año

Se incrementa el capital un r %

Capital alfinal del año

1.° C C 1 +r

100C 1 +

r

100

2.° C 1 +r

100C 1 +

r

100  1 +

r

100C 1 +

r

100

2

... ... ... ...

n C 1 +r

100

n 1

C 1 +r

100

n 1

 1 +

r

100  C 1 +

r

100

n

Observa que en los ejemplos 4 y 5 los intereses obtenidos son distintos. En este segundo caso el interés obtenido es mayor porque el capital se incre-menta cada año, cosa que no ocurre si el interés es simple.

El cálculo del interés después de tres años se puede realizar teniendo en cuen-ta que se aplica un incremento porcentual tres veces consecutivas, es decir:

8 000 · (1 + 0,025)3 = 8 615,13 €

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/proporcionalidad_numerica/proporcionalidad7.htmEsta página explica qué es y cómo se calcula el interés compuesto. Luego propone ejercicios para resolver y solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios.

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EJERCICIOS RESUELTOS5 ¿Encuántotiemposeincrementaun20%uncapitalcolocadoal3,5%deinteréscompuesto?

Datosconocidos

Tipo de interés: 3,5%.

Capital: C.

Incógnita

Tiempo: t.

Los intereses en n años son el 20 % del capital inicial C, es decir, los intereses son: 0,20 C. Como el capital inicial más los intereses producidos en n años es el capital fi nal, se tiene:

C + 0,20C = (1 + 0,20)C = 1,20C

El capital fi nal viene dado por la expresión:

CF = C 1 +r

100

n

Sustituyendo: 1,20C = C 1 +3,5100

n

1,20 = 1,035n

La determinación de n se obtiene por tanteo utilizando la calculadora de la siguiente forma:

1,035 SHIFT xy

5 =

1,187686

1,035 SHIFT xy

5,5 =

1,208292

1,035 SHIFT xy

5,3 =

1,200007

Como n = 5,3 años, el capital inicial se incrementa un 20 % en 5 años y 108 días.

Sereparten60000€entretrespersonas,demodoquelaprimerarecibeun30%menosquelasegundayéstaun10%másquelatercera.¿Quécantidadrecibecadauna?

Datosconocidos

Cantidad de dinero que hay que repartir: 60 000 €.

Porcentajes que perciben:

— La primera persona: 70 % de lo que recibe la segunda persona.

— La segunda persona: 10 % más que la tercera persona.

Incógnita

Cantidad de dinero que recibe la tercera persona: x.

1

2

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EJERCICIOS RESUELTOS5

95

SidebidoalIPC(índicedepreciosalconsumo),elpreciodeunartícu-lodeconsumoaumentaun3%yenlasrebajasdeenerosupreciobajaun15%,¿sepuededecirqueenrealidadsóloseharebajadoel12%?

Para resolver este problema es más cómodo organizar los datos en una tabla y realizar las operaciones en el orden que se detallan en el enunciado del mismo.

Para determinar el valor de x, planteamos la ecuación:

0,77x + 1,10x + x = 60000 2,87x = 60000

x =600002,87

= 20 905,92

Las cantidades que reciben son:

3

Personas Cantidad que reciben

3.ª x

2.ª x + 0,10 x = 1,10 x

1.ª 0,70  · 1,10 x = 0,77 x

Los porcentajes que cada persona recibe se pueden expresar en la tabla:

Personas Cantidad que reciben

1.ª 16 097,56 €

2.ª 22 996,52 €

3.ª 20 905,92 €

Total 60 000,00 €

El precio fi nal de este artículo es 0,8755 x, que expresado en porcentaje es el 87,55 % de x.

La rebaja del 12 % signifi ca que el precio fi nal es 0,88 x o el 88 % de x. Luego no es correcto afi rmar que el artículo sólo se ha rebajado el 12 %.

Precio inicial x

Subida IPC3 % 0,03  ·  x

Precioincrementado x  + 0,03  ·  x = 1,03 x

Rebaja15 % 0,15  · 1,03 x = 0,1545 x

Precio fi nal 1,03 x  – 0,1545 x = 0,8755 x

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EJERCICIOS PROPUESTOS5Proporcionalidaddirectaeinversa

Un depósito de agua se vacía si se llenan 200 botellas de 1,5 L. ¿Cuántas botellas de 2 L se pueden llenar con el contenido del depósito?

Estudia si hay relación de proporcionalidad en-tre la longitud del lado de un cuadrado y su área.

Estudia si hay relación de proporcionalidad en-tre la longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.

Una fábrica de productos lácteos envasa la pro-ducción de yogures de un día en 1 500 paquetes de 6 unidades cada uno. Si los paquetes constan de 8 uni-dades, ¿en cuántos paquetes se envasa la producción de ese día?

Paco tarda 15 minutos en recorrer la distancia desde su casa al instituto si da 70 pasos por minuto. Un día que no le suena el despertador tiene sólo 12 minu-tos para llegar. ¿Cuántos pasos por minuto tiene que dar para llegar sin retraso a clase?

Para realizar unas obras en la vía del tren, se calcula que 120 trabajadores tardarán 40 días. Si se con-trata a 30 trabajadores más, ¿en cuánto tiempo se termi-narán las obras?

Un grupo de 50 excursionistas contrata un autobús para hacer una excursión, y cada uno debe abo-nar 6,5 € para pagar el alquiler del autobús. Si se apuntan a la excursión 5 personas más, ¿cuánto debe pagar aho-ra cada excursionista?

En las despensas de un barco hay alimentos sufi cientes para dar de comer a 60 personas durante 40 días. Si tienen que recoger a los 30 tripulantes de un barco averiado, ¿durante cuántos días podrán alimen-tarse todas las personas que ahora viajan en el barco?

12 Analiza si hay proporcionalidad entre los radios de dos círculos y sus áreas.

Repartosproporcionales

En la campaña electoral, un canal de televisión ofrece a los partidos políticos 140 minutos para informar sobre sus programas electorales.

Si la distribución del tiempo tiene que ser directamente proporcional al número de concejales obtenidos en las últimas elecciones, calcula el tiempo que corresponde a cada partido si el número de concejales es el que apa-rece en la tabla:

Una máquina embotelladora coloca 4 500 ta-pones en 5 horas de funcionamiento:

a) ¿Cuántos tapones colocará si la máquina funciona 6 horas?

b) ¿Y si funciona 7 horas y media?

Un ciclista corre a una velocidad media de 22 km/h y tarda 2 horas en hacer un determinado reco-rrido. Si la velocidad media es de 24 km/h, ¿cuánto tiem-po tarda en hacer el mismo recorrido?

El diámetro de las ruedas de la bicicleta de Fran mide 60 cm y el diámetro de las ruedas de la bicicleta de Aitor 80 cm. Si las ruedas de la bicicleta de Aitor dan 150 vueltas para recorrer una distancia, ¿cuántas vueltas dan las ruedas de la bicicleta de Fran para recorrer la misma distancia?

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Partido Númerode concejales

A 12

B 10

C   5

D   8

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EJERCICIOS PROPUESTOS5

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Cuatro amigos acuden a un comercio para com-prar CD. María compra 4, Marta compra 6, Jorge 8 y Cris-tina 5. Si todos los compactos tienen el mismo precio y el importe total de la compra es 345 €, ¿cuánto debe pagar cada uno?

En el bote de las propinas de un bar hay 300 €, que se tienen que repartir de forma proporcional entre los tres camareros. Si han trabajado 10, 6 y 9 horas res-pectivamente, ¿cuánto dinero recibirá cada camarero?

Dos amigos compran una motocicleta valorada en 2 200 € para emplearla en sus respectivos negocios. Si uno de ellos utilizará la moto 4 días a la semana y el otro 3 días, ¿qué cantidad deberá aportar cada uno para pagar la motocicleta?

Dos ganaderos alquilan unos terrenos de pastos por 2 800 €. El primero tiene 60 vacas y el segundo 45 no-villos. Si una vaca come tanta hierba como tres novillos, ¿cuánto debe pagar cada ganadero por el alquiler de los terrenos para que el importe sea proporcional a la can-tidad de pasto consumido por sus reses?

Para paliar los daños ocasionados por una ria-da en una comarca se destinan 3 000 000 €. Las pobla-ciones afectadas son cuatro, y la ayuda económica se va a distribuir proporcionalmente al número de vivien-das afectadas. Determina la cantidad de dinero que se asigna a cada población si la distribución de viviendas afectadas es:

Tres trabajadores reciben 1 000 € para repartir-se de forma directamente proporcional al número de horas que cada uno ha trabajado. Si el primero ha traba-jado 7 horas, el segundo 5 horas y el tercero 8 horas, ¿qué cantidad de dinero recibirá cada trabajador?

Porcentajes

Calcula mentalmente:

a) El 20 % de 400.

b) El 25 % de 1 200.

c) El 80 % de 600.

d) El 75 % de 500.

Escribe las siguientes fracciones en forma de porcentaje:

a) 12

b) 14

c) 25

d) 1

10 e)

310

f) 6

20

Escribe en forma de porcentaje:

a) 0,5 b) 0,75 c) 0,03

d) 0,8 e) 0,2 f) 1,5

En el entrenamiento de los porteros de un equi-po de fútbol se anotan los resultados de los lanzamien-tos de penalti como se expresa en la tabla:

¿Cuál es el porcentaje de paradas de cada portero?

Juan hace una limonada con 5 litros de agua y 3 litros de zumo de limón. ¿Qué porcentaje de zumo tiene la limonada?

Una epidemia en la granja mató el 20 % de las aves y quedaron 420 sanas. ¿Cuántas aves murieron?

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Población Número de viviendasafectadas

A   70

B 250

C   85

D 300

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Portero Penaltis lanzados

Penaltis parados

A 24 10

B 15   5

C 18   7

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EJERCICIOS PROPUESTOS5 El equipo campeón de la liga de fútbol ha ga-nado 28 partidos, ha empatado 8 encuentros y sufrió 4 derrotas. ¿Cuál es el porcentaje de victorias, empates y derrotas?

33 Una ciudad tiene 3 428 500 habitantes. Si en el mes de agosto la población se reduce un 35 %, ¿cuántos habitantes tiene la ciudad durante ese mes?

El bronce es una aleación en proporción 7822

de

cobre y estaño. Si la lámpara de bronce de un palacio pesa 450 kilogramos:

a) ¿Qué porcentaje de cada metal tiene la lámpara?

b) ¿Cuántos kilogramos de cobre y estaño se han em-pleado en la fabricación de la lámpara?

Un equipamiento deportivo costaba al comen-zar la temporada 120 € y su precio sufrió las siguientes variaciones: en Navidad el precio subió el 20 %, en las rebajas su precio descendió un 15 % y con la proximidad del verano subió un 5 %. ¿Cuál es el precio del equipa-miento deportivo al comienzo del verano?

En un comercio cierto artículo que tiene un precio de venta de 60 € no tiene aceptación por parte de los consumidores. El responsable del comercio baja el precio de ese artículo un 15 % para incentivar la venta. Como la medida no ha dado resultado, decide rebajarlo un 5 % más:

a) Calcula el precio del artículo después de la segunda rebaja.

b) Razona si se obtiene el mismo precio si lo hubiera rebajado directamente un 20 %.

A un agricultor le pagan por un kilogramo de patatas 0,20 €. Si en la tienda vale 1,50 € el kilogramo, ¿cuál es el incremento del precio? Expresa el resultado en porcentaje.

Un artículo de consumo tiene un precio N.

a) Calcula por qué número hay que multiplicar N si se rebaja un 12 % y luego se encarece un 5 %.

b) Calcula el porcentaje de aumento o disminución del precio del artículo.

En una prueba de velocidad de mecanografía, de las 200 palabras dictadas 60 llevaban tilde.

En la prueba, Cristina tuvo un 30 % de errores, de los cuales 12 eran palabras que debían llevar tilde. Aitor co-metió un 35 % de errores, de los cuales 15 eran palabras que debían llevar tilde:

a) Calcula cuántas palabras erróneas sin tilde escribieron Cristina y Aitor.

b) Calcula el tanto por ciento de palabras mal escritas por cada uno de ellos, excluyendo las que llevan tilde y las escriben con error.

En un examen de 80 preguntas se puede fallar hasta el 5 % de ellas. ¿Cuántas preguntas se pueden con-testar mal?

Un electrodoméstico cuesta 220 € rebajado y 242 € sin rebaja. ¿Qué tanto por ciento se aplica en la rebaja?

Reparte 15 000 € entre tres personas, de modo que la primera reciba un 20 % más que la segunda y ésta un 15 % más que la tercera.

En un comercio un artículo está rebajado un 18 % y su precio es 30,50 €. ¿Cuál es el precio inicial del artículo?

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EJERCICIOS PROPUESTOS5

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El intestino tiene una longitud total de 7,5 me-tros. Si el intestino grueso mide 1,5 m, ¿qué porcentaje de longitud corresponde al intestino delgado?

Interésbancario

¿A qué tipo de interés simple debe colocarse un capital de 12 500 € para que se obtenga un interés de 800 € en dos años?

Estudia la evolución de un capital de 6 000 € depositado en el banco al 5,5 % de interés compuesto durante cuatro años.

¿Qué benefi cio produce un capital de 20 000 € en 1 000 días si se le aplica un interés simple del 6 %?

Diego abre una cuenta en un banco con 300 €, y el banco le ofrece un 2,5 % de interés anual sobre la cantidad que hay al principio de cada año.

a) ¿Qué benefi cios obtiene en un año?

b) ¿Y en tres años?

Un coche cuesta 22 600 €. Si se paga como en-

trada los 35

del precio y el resto en 10 mensualidades

con un interés simple del 6 %:

a) ¿Cuál será la cuota mensual?

b) ¿Cuál es el precio que fi nalmente se ha pagado por el coche?

Laura tiene 3 000 € ahorrados y estudia las ofer-tas de dos bancos:

— Banco A: Depósito a 3 años, al 2 % de interés com-puesto anual.

— Banco B: Depósito a 2 años, al 3 % de interés simple anual.

¿Cuál es la mejor oferta?

En el año 2002 una abuela dejó a su nieto como herencia 5 000 € en una cartilla de ahorros al 4,5 % de interés compuesto. ¿Cuánto dinero tendrá el nieto en enero del año 2012?

¿En cuánto tiempo hay que colocar 12 000 € al 2 % de interés simple para obtener unos intereses de 1 680 €?

Calcula el interés producido por un capital de 2 000 € al 2,6 % de interés compuesto durante cuatro años.

Julio y Elena abren cada uno una cuenta en dos bancos diferentes. En la tabla se expresa el capital ingre-sado y el capital fi nal al cabo de dos años de depósito.

a) Calcula el tipo de interés simple que aplica cada en-tidad bancaria.

b) Si el interés es compuesto, ¿qué tipo de interés aplica cada entidad?

Una entidad bancaria ofrece el 8 % de interés si los depósitos de dinero se mantienen al menos duran-te un año a plazo fi jo. Si se depositan 7 000 €:

a) ¿Qué benefi cio se obtendrá al cabo de un año?

b) Si el depósito es durante cuatro años, ¿qué benefi cios se habrán conseguido al fi nalizar el cuarto año?

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Julio Elena

Capital inicial 12 400 € 14 600 €

Capital a los 2 años 12 850 € 15 420 €

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PARA REPASAR EN GRUPO5

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PARA REPASAR EN GRUPO5

Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos.

CONCEPTO DEFINICIÓN

Razón Es el cociente indicado entre dos números.

Proporción Es toda igualdad entre dos razones.

Constante de proporcionalidad

Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda multiplicada por el mismo número.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda dividida por el mismo número.

Aplicaciones de la proporcionalidad

Reparto directamente proporcional.Reparto inversamente proporcional.Porcentajes.Interés bancario.

Interés bancario Es el benefi cio que se obtiene al prestar una cierta cantidad de dinero o capital.

Tipo de interés Es el tanto por ciento al que se presta o deposita un capital.

Interés simple

Es la modalidad del préstamo o depósito en la que los intereses que se obtienen cada año no se añaden al capital para producir nuevos intereses durante el siguiente año.

Interés compuesto

Es la modalidad del préstamo o depósito en la que los intereses que se obtienen cada año se añaden al capital para producir nuevos intereses durante el siguiente año.

En la pestaña Actividades/Unidad 5, encontrarás la actividad Relación 2 unidad 5, para repasar los conceptos más importantes de la Unidad.

CD

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PARA REPASAR EN GRUPO5

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PARA REPASAR EN GRUPO5 CURIOSIDADES,

JUEGOS Y DESAFÍOSActualmente sabemos que las civilizaciones más antiguas te-nían actividades comerciales. Hay datos que indican que ya en el siglo XVII a.C. había actividades bancarias en la civilización mesopotámica.

En Grecia, a fi nales del siglo V a.C., se hacían pequeños présta-mos de dinero en metálico. En el Antiguo Testamento hay referencias de préstamos con y sin interés.

En Grecia y Roma para que un préstamo no fuera considerado «usu-ra» no debía superar el 12 % de interés. A partir del siglo IV, los abusos en los tipos de interés provocaron que los préstamos entre cristianos fueran declarados inmorales por alterar el «precio justo». La prohibición eclesiástica dejó en manos de judíos y sirios toda la actividad prestamista.

Con la desaparición del Imperio Romano de Occidente, la moneda romana fue sustituida por un gran número de monedas con valores diferentes. Para facilitar el intercambio comercial aparecieron los cambistas, que pasaron a llamarse banqueros por realizar sus acti-vidades en una banca (asiento sin respaldo o mesa de cuatro pies colocada en un sitio público).

Al establecerse el comercio con Oriente, los comerciantes acudieron a los caballeros de la Orden del Temple para asegurar la custodia y el trans-porte del dinero entre los pueblos. El comerciante depositaba el dinero en una casa de la Orden y a cambio recibía un documento con el que podía re-cuperar su dinero en cualquier otra casa de los templarios. Estos documentos dieron lugar a las primeras letras de cambio.

El préstamo con interés fue aceptado poco a poco a raíz de la Reforma pro-testante en el siglo XVI, lo que permitió el desarrollo de las fi nanzas y del ca-pitalismo.

DESAFÍO MATEMÁTICO

Un fabricante vende al público sus productos con un incremento del 30 % sobre el precio de coste. A sus empleados decide vendérselos al precio de coste. Para ello, les hace una rebaja del 30 % sobre el precio de venta al pú-blico. ¿Es correcta la decisión del fabricante?

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