Recopilación examenes algebra

MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 1

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 2

EJERCICIOS DE EXÁMENES PROPUESTO EN LOS ÚLTIMOS AÑOS

A. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Y MÉTODO DE GAUSS

1. En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay? b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?

Solución

2. Resuelve estos sistemas, mediante el método de Gauss:

Solución

3. Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando

para ello un total de 7500 €. El precio de una almohada es de 16 euros, el de una manta 50

euros y el de un edredón 80 euros. Además el número de almohadas compradas es igual al

número de mantas más el número de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones ha

comprado el hotel?

Solución

4. Dado el sistema de ecuaciones lineales

a. Resolverlo sabiendo que además satisface que la suma de los valores correspondientes a cada

una de las incógnitas es 4.)

b. Añadir una tercera ecuación de manera que el sistema resultante sea incompatible.

Solución

5. Raquel, Paula y Sara salen de compras y cada una adquiere una camiseta. El precio medio de las

prendas es de 14 euros. La diferencia entre el precio de la camiseta de Sara y la de Paula es el

doble de la diferencia entre el precio de la camiseta de Paula y la de Raquel. Si a Raquel le

hubiera costado su camiseta el doble, sobrepasaría en un euro el precio de la de Sara.

a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales para calcular el precio de cada una de las camisetas y resuélvalo por el método de Gauss. b) ¿Es posible saber el precio de las camisetas si la última condición se cambia por “Si a Paula le hubiera costado su camiseta el cuádruple, sobrepasaría en 42 euros el precio de la de Raquel"?.

Solución

113116

924

123

52b)

242

103

635a)

zyx

zyx

yx

zyx

zyx

zyx

zyx


B. MATRICES Y DETERMINANTES. OPERACIONES BÁSICAS

1. Sean las matrices

101

112A y

12

02

11

B .

a. Calcule la matriz tt BAABC .

b.

Halle la matriz X que verifique

2

4XBA

Solución

2. Se consideran las matrices

y

c. Calcule y d. Despeje de la ecuación matricial e. Calcule

Solución

3. Teniendo en cuenta que

, calcular el valor de los siguientes determinantes

a)

b)

Solución

4. Teniendo en cuenta que , calcular el valor de los siguientes determinantes:

a.

b.

c.

d.

Solución

5. Sean las matrices .

y

a. (1 punto) Encuentre el valor o valores de x de forma que b. (1 punto) Igualmente para que . c. (1 punto) Determine x para que


C. MATRICES INVERSAS RANGO DE UNA MATRIZ

Ejercicio 1

Calcula el rango de la matriz

según los valores de α.

Solución

Ejercicio 2

Se considera la matriz

a) Calcule, si existe,

b) Calcule

Solución

Ejercicio 3 a) Halla los valores de a para que los que existe la matriz inversa de:

b) Calcula la inversa para a = 0


DISCUSIÓN DE SISTEMAS

1. (2 puntos) Sea el sistema de ecuaciones lineales

a) (1 punto) Discute el sistema según los valores de m

b) (1 punto) Resuelve el sistema cuando m = 0

solución

2. Discuta y resuelva el siguiente sistema para todos los valores del parámetro a. (Utilice el método de Gauss para su resolución).

solución

3. Sea el sistema de ecuaciones lineales

a) Discute el sistema según los valores de m

b) Resuelve el sistema cuando m = 0

Solución 4. Dado el sistema

a) Discútelo en función del valor del parámetro m. b) Resuélvelo en el caso m=1.

5. Sea el sistema de ecuaciones lineales

a. Discute el sistema según los valores de a

b. Resuelve el sistema cuando a = 1


A. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Y MÉTODO DE GAUSS

Ejercicio 1

a) Llamemos x al número de hombres, y al de mujeres y z al de niños.

Como hay 22 personas, tenemos que:

x+y+ z = 22

Con el otro dato, planteamos otra ecuación:

2y+ 3z= 2x

Solo con estos datos no podemos saber el número de hombres (ni el de mujeres, ni el de niños) que hay. Es un sistema compatible indeterminado; como tenemos tres incógnitas, para que pueda ser compatible determinado, necesitamos otra ecuación.

b) Añadiendo una tercera ecuación con el dato que nos dan, planteamos el sistema:

Por tanto, hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños.

Ejercicio 2

12

66611

41822

09662

322

032

223

2

0322

22

x

yy

z

yy

yz

zy

zy

yx

zyx

zyx

22670

568160

10131

2412

6315

10131

2412

10131

6315a)

aa

aa

a

a

a

a

123

152

1

3

1

2

5500

7120

10131

22670

7120

10131

aa

a

a

a

a

a

3227

2

1

3

)8(:2

1

.1,4,1 es solución La

1

481772

111210310

55

72

103

z

yzy

zyx

z

zy

zyx

113116

5112

1023

9241

113116

9241

1023

5112b)

a

a

a

a

4

1

2

3


Las soluciones del sistema son:

Ejercicio 3.

Llamando x, y, z al número de almohadones, mantas y edredones (respectivamente) tendremos el

siguiente sistema de ecuaciones

cuya solución es

Ejercicio 4

a) Si designamos por x, y, z el precio de las camisetas de Raquel, Paula y Sara, respectivamente, y siguiendo el enunciado del problema tendremos el siguiente sistema de ecuaciones:

b) Si cambiamos la última condición por la que nos proponen en el apartado b) tendremos el sistema

que indica que el sistema es compatible indeterminado y tendrá, por tanto, infinitas soluciones siendo imposible saber el precio de las camisetas.

0000

0000

13370

9241

6515350

13370

266140

9241

aa

aa

a

a

aa

aa

aa

a

354

322

3

1

164

123

132

1

:miembro 2 al la Pasamos1337

924oz

zy

zyx

zy

zy

zyx

7

3

7

13

3137

294

zzzzzzyx7

2

7

1129

7

12

7

5229

7

3

7

134294

11 2 13 3, , , con

7 7 7 7x y z


B. MATRICES Y DETERMINANTES. OPERACIONES BÁSICAS

Ejercicio 1

a)

b)

2

4XBA

Ejercicio 2

Multiplicando por a la izquierda, tendremos:

Por tanto

Ejercicio 3

a)

b)

Ejercicio 4


Ejercicio 5

a. Calculamos

Para que

y estas cuatro ecuaciones sólo se

verifican simultáneamente cuando x = 1 b. Calculemos en primer lugar

luego

La igualdad , nos conduce a

es decir que

c. La igualdad equivale a

, es decir,

que no puede verificarse para ningún valor de x (ya que los elementos de

las dos matrices nunca pueden ser iguales)


C. MATRICES INVERSAS RANGO DE UNA MATRIZ

Ejercicio 1

Como la matriz es 3x3, Calculo el

α α. α α

Si α α

pues existe un menor de orden 3 (el propio determinante de A) distinto

de cero

Si α , ,

. Como

entonces .

Si α

,

. Como

entonces .

Ejercicio 2 a) Calculamos .

luego la inversa es

b) Calculamos en primer lugar

y luego


DISCUSIÓN DE SISTEMAS

Solución ejercicio 1

a) Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes

Discusión: Si entonces rango(A) = rango(A’) = 3, Sistema compatible

determinado.

Si , entonces

, rango(A)≤3 y como

, entonces rango(A) = 2 y

siendo rango(A’) = 2. Sistema compatible indeterminado

Si , entonces


, entonces

rango(A) = 2 y

siendo rango(A’) = 2. Sistema

compatible indeterminado.

b) Si el sistema queda

Siendo la solución (hacemos )

Respuesta. La matriz asociada al sistema es:

Vamos a transformarla mediante las indicaciones que se hacen

Una vez terminado, igualamos a cero los elementos con a que aparecen en la diagonal de la matriz. Es

decir, lo que nos conduce a los siguientes valores críticos de :

Discusión:


Si

el sistema es compatible y determinado puesto que el rango de la matriz de

coeficientes y de la matriz ampliada será 3 = número de incógnitas

La solución sería

de la tercera ecuación. Sustituyendo en la segunda

y sustituyendo en la primera ecuación:

Si , nos quedaría

Se trata de un sistema compatible indeterminado. Nos quedaría el sistema

, cuya

solución es

Si

, nos quedaría

que es un sistema incompatible

Ejercicio 3

a) Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes

Discusión: Si entonces rango(A) = rango(A’) = 3, Sistema compatible

determinado.

Si , entonces


, entonces rango(A) = 2 y

siendo rango(A’) = 2. Sistema compatible indeterminado


Si , entonces


, entonces

rango(A) = 2 y

siendo rango(A’) = 2. Sistema

compatible indeterminado.

b) Si el sistema queda

Siendo la solución (hacemos )

Recopilación examenes algebra

Technology

Transcript of Recopilación examenes algebra