rcv_2016_x_01

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UNIUNIRepasoRepaso

2016

• Aptitud Académica

• Matemática

• Ciencias Naturales

• Humanidades

Álgebra

2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822

NIVEL BÁSICO

1. Determine

M

i i i=

+

+

+

−

+

1 34

12

34

12 12 12

A) 0 B) −1

24 C)

1

23

D) 1

26 E) −

1

26

2. Si Z ∈ C, tal que

Zi i

i i=

+( ) −

+( ) +

2 3 1

5 2 2 1

3 5

2 5

entonces el |Z| es

A) 13

13 B) 1 C) 13

D) 135 E) 5

3. Si a ≠ b; a ≠ – b, determine el conjunto solución de la ecuación cuya variable es x.

x aa b

x aa b

x ba b

x ba b

+−

+−+

=++

+−( )

−2

A) {2b} B) {3a} C) {2a}D) {3b} E) {4a}

4. Determine el valor de m para que la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación

x2+(m – 2)x – (m+3)=0 sea la mínima posible.

A) – 2 B) –1 C) 0D) 1 E) 2

Números complejos y Ecuaciones

5. Luego de resolver la ecuación fraccionaria

1

1

21

12x x x−

++

=

se obtiene como CS={x1; x2}. Determine E x xx x= − −

2 11 1.

A) 2 B) 1 C) 0D) i E) – i

NIVEL INTERMEDIO

6. Si z1 y z2 son dos números complejos

z i1 4

25180

25180

= −

cos senπ π

z i2 2

718

718

= −

sen cosπ π

halle el complejo zz

1

2.

A) – 2(1+i) B) 2 1−( )i C) − +( )2 1 i

D) – 2(1– i) E) 2

21+( )i

7. Si z1 y z2 son números complejos, determine las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).

I. Si |z1|=|z2|, entonces z1=z2.

II. Si z1=z1, entonces z1 es un complejo real. III. Si z1 · z2 es real, entonces z1 y z2 son

complejos reales.

A) VVF B) FVF C) VVVD) FVV E) FFV

Álgebra

3


8. Sea el conjunto

M z z z z= ∈ −( ) −( ) = ∧ < <{ }C / arg( )5 5 25 0

2π

Si z ∈ M, simplifique

Mz z z z

z

=( ) + −( ) + −( )

−

arg arg arg

arg

5 5

15

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

9. Si z=a+bi; a<0, b>0 es una raíz de la ecuación compleja

z4 – iz3 – z+i13=0 entonces el valor de

ba

es

A) − 3 B) – 2 C) – 3D) – 2 3 E) – 4

10. Si la ecuación cuadrática

ax bx

ba

22

0+ − =

presenta raíces x1, x2, determine E=(2ax1+b)4+(2ax2+b)4

A) 50a4 B) 504+2a2 C) 25b4

D) 100b2 E) 50b4

11. Si x1, x2, x3, x4 son raíces de la ecuación mx4+2014x2+n=0,

tal que (x2 · x4)–1+(x1· x3)–1=2, x1=– x3; deter-mine n.

A) 2013 B) 1006 C) 2012D) 1007 E) 2014

12. Determine la variación de k si la ecuación x4+(1– k)x2+2(k – 3)=0 tiene solo 2 raíces reales.

A) ⟨– ∞; 3⟩B) ⟨– ∞; 6⟩C) ⟨6; +∞⟩D) ⟨1; 4⟩E) ⟨3; +∞⟩

13. Sea la gráfica del polinomio cuadrático mónico P(x).

Y

X2

1

P(x)

Determine la suma de raíces reales de la si-guiente ecuación.

(x4 –1)[P(x) –10]=0

A) 4 B) 5 C) 3D) 2 E) 6

14. Sea P(x) un polinomio cúbico y mónico cuya suma de raíces es 3 y la gráfica es de la forma

Y

X

4

P(x)

Determine el resto de dividir P

xx( )

− 5.

A) 48 B) 62 C) 56D) 54 E) 45

15. Sea la ecuación bicuadradada x4 – x2+a=0 donde se cumple que

x x

x x16

26

12

22

41 1

+ = − +

donde x1, x2 son dos raíces no simétricas. Determine a, a ∉ Z.

A) 23

B) 43

C) 13

D) 53

E) 16

Álgebra

4


16. Si la ecuación polinomial

x

x px q3

2

32 0− + + =

admite una raíz real de multiplicidad 3, deter-mine E=p+q.

A) 13

B) 23

C) 43

D) 53

E) 73

17. Sean las ecuaciones bicuadradas x4 – 5x2+a=0 x4 – 13x2+9a=0 donde a ≠ 0. Si se sabe que estas ecuaciones

tienen únicamente dos raíces comunes, deter-mine el producto de las raíces no comunes de ambas ecuaciones.

A) 1 B) 4 C) 9D) 12 E) 36

18. Determine la suma de soluciones en la ecua-ción

x

xx

x x−( ) ⋅+

+ = −( )515

15 22

A) 6 B) 5 C) 4D) 3 E) – 5

19. La siguiente ecuación se reduce a una lineal determine p+x0 donde x0 es solución

p xx

pxx

p p−( )−

+−

+= + ∈

32

2 12

2 1; R

A) –12 B) –15 C) 11

D) – 8 E) – 9

20. Respecto a la ecuación

16 44 − = + −x x xπ π

indique verdadero (V) o falso (F). I. Hay al menos una solución negativa. II. Su conjunto solución es unitario. III. Hay dos soluciones opuestas.

A) VVF B) FVV C) FFFD) VFV E) FVF

NIVEL AVANZADO

21. Sea z=x+yi un complejo no nulo, tal que

Re( ) Imz z z1 2 3

4=

( )=

( )lm

Halle el arg ,z ei

+

0 5 2

π

A) π4

B) 34π

C) p

D) 54π

E) 75π

22. Sea A un conjunto definido por A={z ∈ C/ |Re(z)|<1 ∧ |z| ≤ 4} Entonces la figura que mejor representa A es

A) Im

Re

B) Im

Re

C) Im

Re

D) Im

Re

E) Im

Re

Álgebra

5


23. Si z ∈ C, tal que z15=i, determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes pro-posiciones.

I. Tres raíces están en el segundo cuadrante. II. Si z1, z2, ..., z15 son las raíces, entonces

z1+z2, ..., z15=0. III. Si z1, z2, ..., z15 son las raíces entonces

|z1|+|z2|+...+|z15|=10.

A) VVV B) FVF C) VVFD) FFF E) FVV

24. Sea P(x)=– 2x3+ax2+bx+c, donde el producto de las raíces de P(x)=0 es igual a la suma de ellas. Determine E=a+b+c.

Y

X

3

3/2

P(x)

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

25. Si la ecuación cuadrática (a – 3)x2+(a – 2)x+1=0 presenta raíces enteras diferentes, determine

la suma de cubos de sus raíces.

A) – 2 B) –10 C) 0D) 10 E) 9

26. Sea f(x)=ax2+(2a2+ab+ac)x+abc donde a; b; c ∈ R+. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F)

de las siguientes proposiciones. I. Su gráfica tendrá la forma

Y

X

II. Si f(x)=0, las soluciones son positivos. III. ∃ a; b; c ∈ R+ / f(x)=0 presenta solución única.

A) VVVB) FVFC) VFVD) VFFE) FFV

27. Sea la ecuación x4+ax3+2014x2+ax+1=0 donde dos de sus raíces son a y b.

Determine αα

ββ

+

+

1 1.

A) 2012 B) 2014 C) 2010D) 2016 E) 1

28. Determine el valor de a si las ecuaciones tienen una raíz común

x a x

x x a

3 2

2

1 4 0

4 2 0

− +( ) + =

− + =

A) 2 B) – 2 C) 6D) – 6 E) 3

29. Determine la suma de soluciones luego de re-solver

2 4 8 3 23 − + + =x x

A) 79

B) 94

C) 98

D) 47

E) 1332

30. Según la ecuación en x

1 1

214

0x x x−

+−

+−

=π π π

indique verdadero (V) o falso (F). I. Es incompatible. II. Presenta una solución entre p y 2p. III. Hay una solución en ⟨0; p⟩

A) FFFB) VFFC) FVFD) VVFE) FFV

Álgebra

6


NIVEL BÁSICO

1. Sean a; b; c y d números reales, entonces I. (a – b)(a+b)=0 ↔ |a|=|b| II. si a<b y c ≥ 0 ↔ ac < bc.

III. si ab>0 ∧ ca

db

bc da< → ≤ .

¿Cuáles de estas afirmaciones son correctas?

A) solo I B) I y II C) I y IIID) solo II E) solo III

2. Se define la expresión f(x; y)=xy – 2x+2y+9 ∀x ∈ ⟨–1; 3] y ∀y ∈ ⟨– 2; 1⟩ Determine el mayor valor entero que puede

tomar f.

A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 11

3. Dado el conjunto

S x y y

x xx

x= ( ) =− +−

>

; / ; 2 1

11

indique el valor de x que haga que y sea mínimo.

A) 54

B) 32

C) 2

D) 2 E) 2 2

4. Resuelva la inecuación lineal

ax b

bbx a

a b a+

−+

< −2 2 1 1

considere b>a>0.

A) −∞+

; 1

a b B) ⟨0; +∞⟩ C) ⟨a+b; +∞⟩

D) 1

a b++ ∞; E)

1a b

a b+

+;

5. Dado el trinomio P(x)=nx2+(n –1)x+n, si ∀x ∈ R: P(x) ≥ 0, calcule el menor valor de n.

A) 13

B) 12

C) 1

D) 32

E) 2

NIVEL INTERMEDIO

6. Si m<0<n, determine el conjunto solución de la inecuación cuadrática.

mx2+m2x – mnx ≤ 0

A) [0; n – m]B) [n – m; 0]C) [m – n; 0]D) ⟨– ∞; 0] ∪ [n – m; +∞⟩E) ⟨– ∞; m – n] ∪ [0; +∞⟩

7. Determine el menor valor entero de a, tal que (a –1)x2+2x+2a > 0; ∀x ∈R

A) 5 B) 4 C) 1D) 3 E) 2

8. Resuelva la inecuación

x

x23

5≤

−

A) ⟨–1; 5⟩B) ⟨6; +∞⟩C) [–1; 5⟩ ∪ [6; +∞⟩D) ⟨– ∞; 5⟩ ∪ [6; +∞⟩E) ⟨– ∞; –1] ∪ ⟨5; 6]

Desigualdades e Inecuaciones

Álgebra

7


9. Sean a; b ∈ R; b>0, tales que |x – a|<2b. Entonces los números

b

x a bm n

− +∈

3; .

Determine m+n.

A) 1 B) 5 C) 65

D) 56

E) 15

10. Si A es el conjunto solución de la inecuación ||x|–1| ≤ 1–|x|, entonces determine A ∩ ⟨0; 2⟩.

A) ⟨1; 2] B) [0; 1⟩    C) ⟨0; 1]D) ⟨1; 2⟩  E) ⟨1; 3⟩

11. A es un conjunto determinado por A={x ∈ R / 3x – 2 < |x – 2|+x < |x|+1 halle el conjunto A.

A) ⟨– ∞; 3⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩

B) −∞ − ∪; ; 1 143

C) −∞ ∪ ∞; ; 143

D) −∞ ∪; ; 43

2 3

E) ⟨– ∞; –1⟩ ∪ ⟨1; 3⟩

12. Si A es el conjunto solución de la inecuación

x x x

x x x

2

2

2 3 2

3 4 50

+ +( ) −( )+ −( ) −

≤

entonces el número de elementos enteros de A es

A) 1 B) 2 C) 4D) 7 E) 3

13. Resuelva la inecuación 4 5 1x x− > − e indique un intervalo solución.

A) ⟨2; p⟩  B) 13

4; C) ⟨1,6; 5⟩

D) p4

3; E) 2 3 4; +

14. Dada la inecuación fraccionaria

x x a

x bx c

−( ) +( )

+ +>

10

2

si el conjunto solución es R – {1; 2}, calcule el mayor valor de a+b+c.

A) –1 B) – 3 C) 0D) 3 E) – 4

15. Al resolver la inecuación polinomial

2 3 5 036 16 14

x a x b x c

ab

bc

ca

−( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) <+ + +

{a; b; c} ⊂ Z+

se obtuvo como CS = −∞ ∪; ;35

132

.

Determine el valor de a+2b+c.

A) 5 B) 7 C) 9D) 11 E) 12

16. Determine cuál de los siguientes conjuntos es acotado.

A) A xx

= ∈ <

R /1

1

B) B={x ∈ R / x ≠ |x|}C) C={x ∈ R / x+|x|=0}D) D={x ∈ R / |x+1|<|x+2|}E) E={x ∈ R / x2 – 3|x|<– 2

17. Resuelva

x x

x x

x xx x

− − −− + −

<− − −− + −

3 4

2 1

1 24 3

A) [1; 2⟩  B) [2; 9⟩    C) [2; 3⟩D) [2; 7⟩            E) [2; 4⟩

Álgebra

8


18. Dada la expresión

f x x x xx( ) = + + − − +9 6 4 42 2

determine la variación de x para que dicha expresión sea independiente de x.

A) R – ⟨– 3; 2⟩  B) ⟨– 3; 2⟩  C) [– 3; 2]D) [– 3; 2⟩  E) ⟨– 3; 2]

19. Determine el valor de a para que la ecuación x2+4x – 2|x – a|+2 – a=0 presente solución única

A) – 7/3 B) – 2 C) –1D) – 3 E) 0

20. Se tiene lo siguiente: I. El mayor valor de a ∈ R–, tal que si |x|< 3,

entonces |x+4|+|5 – x| ≤ |a| II. Si x ∈ [1000; +∞⟩, halle x sabiendo que |x –1|+|1– x|+|x – 2|+|2 – x|+... +|x –103|+|103 – x|=106

Indique el valor de (2x –1+100a).

A) 1000 B) 1100 C) 990D) 1 E) 1200

NIVEL AVANZADO

21. Indique verdadero (V) o falso (F).

I. Si x>2 → x+4x –1>4.

II. Si {a; b; c} ⊂ R+

a b c abc

a b cabc

a b c+ +( ) ++ + +

<+ +

2

27

III. ∀ ∈ ∧ > → + >n nn

nnN 11

2!

IV. a b a ab bn m n n m m< → < <+

A) FVFF B) VFFF C) FFFFD) VFVF E) FFVV

22. Si S es el conjunto solución a la inecuación

xx x

x xx2

4 12 9 32

2 22

2+ − + < +−( )−

halle la suma de los elementos enteros del conjunto S.

A) 30 B) 33 C) 39D) 42 E) 52

23. Sea M el conjunto solución de la inecuación 2|x – 3| ≤ 3x+||x –1|+1| determine el valor de verdad (V) o falsedad (F). I. M ∩ ⟨– 4; 3⟩=[–1; 3⟩ II. ⟨2; 8⟩ ⊂ M III. ∃ x ∈ M / x(x –1)=0

A) FVFB) VVVC) FVVD) VVFE) FFV

24. Sea M el conjunto solución de la ecuación 3|x+1|– 2|x – 2|=2x –1 Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F). I. ∃ x1; x2 ∈ M / 4x1+x2=0 II. ∀ x ∈ M; x3 ≥ 0 III. M ⊂ {x ∈ R / x2+2x=0}

A) VVV B) FFV C) VFVD) VFF E) VVF

25. Sean {a; b; c} ⊂ R, tales que cumplen que 0<a<b<c. Determine el conjunto solución de la inecuación.

|2|x+c| – |x – a| – |a+b+3c||<x – b

A) bc

+ + ∞2

;

B) ⟨b; +∞⟩

C) ⟨a; b⟩

D) ⟨0; a⟩

E) ⟨– ∞; a⟩

Álgebra

9


26. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones.

I. A={x ∈ R / ||x2+4|–|x2+9||=5} entonces A=⟨– ∞; +∞⟩. II. q: ∀ x, y ∈ R: ||x|–|y|| ≤ |x – y| III. r: El conjunto A={x ∈ R / |x – 2|> – 4 ∧ |x – 3| ≤ 0} es unitario.

A) VVV B) VVF C) FVFD) VFF E) FFV

27. Luego de resolver la inecuación

2 8 8

2

32x x

x

x− + ≤

−+

se obtiene como CS=A y se proponen las si-guientes proposiciones:

I. A − − − = { }3

52

3;

II. A ⊂ ⟨– 4; 3]

III. A ∩ ⟨– 2; 2⟩ =⟨– 2; 0⟩ ¿cuáles son correctas?

A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y II E) II y III

28. Resuelva el sistema de inecuación

x x x

xx

x x x x x

− < ≤

≥

−( ) − −( ) − −( ) − −( ) − −( )<

1

0

1 2 1 3 2 4 3 5 4 0

� �

� �

Considere que x es el máximo entero de x.

A) ⟨–1; 0⟩ ∪ ⟨3; 5⟩ ∪ ⟨7; 9⟩B) ⟨1; 3⟩ ∪ ⟨5; 7⟩ ∪ ⟨9; +∞⟩C) ⟨–1; 1⟩D) fE) ⟨– ∞; 0⟩ ∪ [1; +∞⟩

29. Si y=|x –1|+|x – 2|+|x – 3|+...+|x –100|, ¿cuál es el mínimo de y?

A) 250 B) 270 C) 2500D) 1600 E) 900

30. Sea a; b; c; x ∈ R+.

A x a x x b x x c x cx= ∈ −( ) + −( ) + ≥{ }R / 3/2 1/2 2 2

B

xx

x A= −− +

∈

22 1

determine A – BC.

A) ⟨2; +∞⟩ B) ⟨– ∞; 2⟩ C) ⟨1; 2⟩D) [0; 1⟩      E) [2; +∞⟩

Álgebra

10


NIVEL BÁSICO

1. Si el conjunto de pares ordenados f={(1; 0); (3; a2+2); (4; 0); (3; a+b); (4; b – 2} es una función, calcule la suma de elementos

del dominio más el valor mínimo del rango.

A) 9 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

2. Indique el dominio de la función

f x x x x

xx( ) = + + + + −112 3

A) [–1; +B) [–1; 1] – {0}C) {–1; 1}D) [–1; +∞⟩ – [0; 1]E) [–1; +∞⟩ – [0; 1⟩

3. Sea f una función definida por

f

x x

x xx( ); ;

; ;=

− ∈ −

∈[

2 3 1

1 9

Halle el Ran(f ).

A) ⟨– ∞; 3⟩ B) ⟨–1; +∞⟩  C) ⟨0; 3⟩D) ⟨–1; 1⟩  E) ⟨–1; 3⟩

4. Dadas las funciones f={(– 2; 4); (0; 3); (1; 1); (3; 5); (6; 9)} g={(1; – 2); (3; 2); (8; 0); (9; 4); (16; 1); (20; 3)} determine la suma de los valores del rango de h(x)=f[g(x)]+x2

A) 702 B) 716 C) 742D) 734 E) 745

5. Sea x={a; b; c} y las funciones de x en R f={(a; 1); (b; – 2); (c; – 3)} g={(a; – 2); (b; 0); (c; 1)} Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)

de las siguientes proposiciones. I. Ran(f+2g)={– 3; –1; – 2} II. (f · g – 2f)(b)={4} III. Ranf 2={1; 4; 9}

A) VVV B) VFF C) VVFD) FVV E) FFV

NIVEL INTERMEDIO

6. Sea la función f(x)=2x – 3x2 con x ∈ ⟨0; 1⟩ Halle el ran(f ).

A) − −

212

;

B) −

34

12

;

C) −

12

34

;

D) ⟨– 2; 0⟩

E) − − ∪234

0 2; ;

7. De las funciones

f a ax

x x( ) = +( )−1

2

g x x x xx( ) = + + − − +1 12 2

h x xx( ) = +( ) − −( )1 123 23

s

xxx( ) log=

+−

11

M x xx( ) log= + +( )1 2

¿cuántos son pares?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Funciones

Álgebra

11


8. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. f(x)=2x+1– 4x+3 con x ∈ R. Entonces el máximo valor de f es 2. II. Si log2x=30, entonces log4x=15. III. Si f

xxx

x( ) = ⋅ −2 con x ∈ R – {0}, entonces el

Ranf=⟨–1; 1⟩ – {0}

A) FVV B) VVV C) FFVD) VVF E) FVF

9. Sea f una función definida por

f

x x

x

x xx( )

;

; ;

;

=

<

∈[− + ≥

2 0

0 0 2

2 2

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. f es inyectiva en ⟨1; +∞⟩. II. El par ordenado (– 2; 4) ∈ f. III. f(⟨1; 2⟩) ⊂ {–1; 0; 2}

A) FVV B) FFF C) FVFD) FFV E) VFV

10. Dadas las funciones f={(x; y) ∈ Z2 / y=2x+1} g={(0; 3); (3; 4); (2; 0); (1; 2)} determine Ranf o g ∩ Domg o f.

A) {1} B) {2; 4} C) {0; –1}D) {3; 2} E) {1; 2}

11. Dadas las funciones

f

x xg xx x( ) ( );= − = +

2

4 21

determine el rango de f o g.

A) −∞

; 14

B) [–1; +∞⟩ C) − + ∞

14

;

D) ⟨– ∞; 1] E) ⟨0; +∞⟩

12. Dada la función fxx( ) = +

11

,

halle una función g, tal que g o f o f(x)=x.

A) gxxx( ) =++

2 11

B) gxxx( ) =−−

2 11

C) gx

xx( ) =−−

1 21

D) g(x)=x E) gxxx( ) =+−

11


f

xx

g x xx x( ) ( );=+

= + −2 3

4 3 2� �

determine el dominio de f 2(x)+5g(x).

A) ⟨–1; 4]

B) −∞ − ∪ − + ∞[; ; 32

1

C) [–1; 4]

D) − −32

1;

E) f

14. Determine la función inversa de f: [1; 4] → R definida por f(x)=x2 – 2x – 6|x –1|+9

A) f x xx( )* ; ;= − + ∈[ ]1 1 0 9

B) f x xx( )* ; ;= + + ∈ −[ ]4 1 1 8

C) f x x xx( )* ; ;= − + ∈[ ]6 1 0 9

D) f x xx( )* ; ;= − + + ∈ −[ ]4 1 1 8

E) f x xx( )* ; ;= − + ∈ −[ ]4 1 1 8

15. Sean las funciones f: R → R g: R → R h: R → R donde f(x)=3x – 3; si x ∈ [– 5; 5] g(x)=2x –1; x ∈ [– 4; 4] h(x)=x+4; x ∈ [– 2; 2] Determine el campo de definición de (h o g o f )–1.

A) 56

32

;

B) [0; 2] C) [0; 6]

D) [2; 6] E) 132

;

Álgebra

12


16. Sea una función f: R → R cuya gráfica es

– 2 – 1

3f

Y

X– 3

Determine la gráfica de g: R → R.

g

f x

f xxx

x( )

( )

( )

;

;=

< −

≥ −

+

1

11

A) Y

3

1X

B) Y

1

– 1

2

X– 2

C) Y

– 1

2

X

D) Y

– 1

3

X

E) Y

– 3 – 2 – 1

3

X

17. Sean f: A → B; g: B → C Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)

de las siguientes proposiciones. I. Si f y g son sobreyectivas, entonces g o f es

sobreyectiva. II. Si f y g son inyectivas, entonces g o f es

sobreyectiva. III. Si f y g son inyectivas, f+g es inyectiva

A) VVV B) VVF C) VFFD) FVF E) FFF

18. Dada la función f, tal que f(x)=x3 – 3x2+3x –1. Halle la gráfica de g(x)=|1– f(1+x)|.

A) Y

X

B) Y

X

C) Y

X

D) Y

X

E) Y

X

19. Determine la gráfica de g(x)=|f(–|x|)| si la gráfica de f es

– 1

– 1

1

1 2 X

Y

A)

– 1 1

Y

X

B)

– 1 1

Y

X

C)

–1 21–2

Y

X

D)

– 1 1

1

Y

X

E)

– 1 1

Y

X

Álgebra

13


20. Determine la gráfica de la función

f xx( ) = − − +( )2 9 2 2

A) Y

X

B) Y

X

C) Y

X

D) Y

X

E) Y

X

NIVEL AVANZADO

21. Determine el dominio de la función f cuya re-gla de correspondencia es

f

xxx x x( ) log log=

−+

+ +( )+ +5

2

51616

4 3 1

A) −13

4; B) −

13

4; C) −

13

4;

D) −

13

3; E) −

13

3;

22. Sea la función cuadrática f(x)=a2x2+a1x+a0 de coeficientes reales. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)

de las siguientes proposiciones.

I. −−

aa

a a aa

1

2

12

2 0

124

2; es su vértice.

II. Si a2<0 ∧ a12<4a · a2, la función I nunca

toma valores positivos.

III. Si aaa

a212

020 4> ∧ < , f(x) solo toma valores

positivos.

A) VVF B) VVV C) FVFD) FFF E) VFV


f x y y x= ( ) ∈ ={ }; / sen R2

g x y y

x= ( ) ∈ = + + −

; / , , R2

4430 1 0 02 4

4

entonces el dominio de g

f

3

2

es

A) [– 3; 3]–{0} B) ⟨0; 1⟩  C) ⟨–1; 0⟩D) [–1; 1]–{0} E) [– 2; 2]–{0}

24. Dadas las funciones f; g y h con dominio R, indique si las siguientes proposiciones son ver-daderas (V) o falsas (F).

I. f x xx( ) = + +12

3 22 corta al eje x en 2 puntos.

II. g x x a ax( ) ;= − + +( ) ≠12

3 02

∃ x0 ∈ R / g(x0)=0 ↔ 9 < 4a III. h(x)=x2+(a+1)x+a; a ≠ 1 corta el eje x en dos puntos diferentes

siempre.

A) VVF B) VFF C) FVVD) FFF E) VVV

25. Dadas las funciones f(x)=x2 – x; x>0

g

xx

xx( ) ;=−+

≤ <22

0 2

determine el rango de la función g o f.

A) [–1; +∞⟩  B) R+ C) R – ⟨–1; 0]D) [–1; 0⟩          E) ⟨0; 1]

Álgebra

14


26. Sea la función f : ;2 + ∞ → R

f xxx( ) = +2

. Determine la función inversa f *.

A) fx x

xx( )* ; ;=

− −∈ + ∞

2 82

2 2

B) fx x

xx( )* ; ;=

− −∈ + ∞

2 82

2 2

C) fx x

xx( )* ; ;=

+ −∈ + ∞

2 82

2 2

D) fx x

xx( )* ; ;=

+ −∈ + ∞

2 82

2 2

E) fx x

xx( )* ; ;=

+ −∈ + ∞

2 84

2 2

27. Se sabe que f es una función cuya gráfica se muestra en la figura

2

– 1

1

1

1

2 3 X

y=(x)

Y

determine la gráfica de g(x)=|1– f(|x|)|.

A)

X

Y

B)

X

Y

C)

X

Y

10

2

D)

X

1

Y

E)

X

Y

1

28. Dada la gráfica de la función f

X

Y

– 1

– 1

1

2

f

¿Cuál es la gráfica que mejor representa a la función g(x)=f(|2 –|x||+1)?

A)

X

Y

1

31

g

B)

X

Y

310– 1

C)

X

Y

– 2 – 11

D)

X

Y

– 1 1– 3 3

E)

X

Y

– 1

1

– 3

Álgebra

15


29. Sean f; g: R → R. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Sea ((f+g)o h)(x)=(f o h)(x)+(g o h)(x)

II. Sea (f o (g – h))(x)=(f o g)(x) – (f o h)(x)

III. Sea (f o g o h)(x)=(f o g)(h(x))

A) VVV B) VFV C) FVFD) VFF E) FFV

30. Dadas las gráficas

2

1

g(x)

Y

X

– 2– 1

– 11

1

f(x)

Y

X

podemos afirmar que

I. (f o g)(x) es creciente ∀ x ∈ ⟨–1; 1⟩. II. (g o f)(x) es decreciente ∀ x ∈ R – ⟨–1; 1⟩. III. (f o f)(x) es creciente ∀ x ∈ Domf.

IV. La gráfica de (g o f o f)(x) siempre será cre-

ciente.

Determine la cantidad de proposiciones co-

rrectas.

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Álgebra

16


NIVEL BÁSICO

1. Si se sabe que

L

x xxx

14

24

= − −−→

lím

L

x

xx2

2

22 2

= −+ −→

lím

determine el valor de LL

1

2.

A) 3 B) 34

C) 1

D) 3

16 E)

32

2. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes proposiciones.

I. La sucesión 3 1n

n−{ } es creciente.

II. Si {an+bn} n ∈ N es convergente, entonces {an}n ∈ N y {bn}n ∈ N son convergentes.

III. La sucesión 3

12n

n +

es acotada.

A) VVV B) FFV C) FFFD) VFV E) VFF

3. Sea la sucesión a n an

nn n{ } ∈ =

−−

N /2 1

2

2

2.

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F).

I. El término a1032

2910

∈ ; .

II. La sucesión converge a 2.

III. El término a7>1,95.

A) FVF B) VVF C) FFFD) VVV E) FFV

4. Sea la sucesión

a n a

nn nn n{ } ∈ =

+ + + + + +( )+( ) +( )N /

...3 5 7 9 2 12 1 2

entonces el valor de convergencia es

Sucesiones y Series

A) 0 B) 16

C) 12

D) 23

E) 1

5. Calcule la suma

Sk

k=

−

=

∞

∑ log121

112

A) log242B) log26C) log213D) log224E) log62

NIVEL INTERMEDIO

6. ¿Para qué valor de n (n ∈ N) se cumple lo si-guiente?

límx n

x

x→

−−

=1

1

15

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 10

7. Calcule

límx a

a ax x

a ax→

−−

2

Considere que a>0.

A) 1 B) a C) 32a

D) 3a E) a a

8. Sea {an}n ∈ N una sucesión que cumple an+2=2an+1 – 3an; a1=3 y a2=33 Determine a10.

A) 310+6 B) 311 – 6 C) 311

D) 311+6 E) 310

Álgebra

17


9. Determine el valor de

S

n n

n nn

n n

=+ ++ +

→∞

+

lím2

2

2 33 2

3 1

A) 1 B) e C) 2eD) 3e E) e2

10. En la sucesión (an)n ∈ N / an+1=an · q; q ∈ ⟨0; 1⟩ se cumple que

a a

a aj kk j

1 2

1

5

3

+ =

=

= +

∞

∑

Halle el término a3.

A) 15

B) 14

C) 12

D) 23

E) 32

11. Dadas las sucesiones xn=n2+3n; yn=xn+1– xn

indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

p: los términos de yn están en PA de razón 2. q: los términos de yn están en PG de razón 4. r: ∀ n ∈ Z+ ÷ yn+2=yn+1+2

A) VVV B) FVF C) VFVD) VFF E) FFV

12. Determine la siguiente suma.

S =

+

+

+

+1

25

225

325

425

2 4 6 8

...

A) 10441

B) 25441

C) 75441

D) 95441

E) 100441

13. Determine el valor de la siguiente serie.

12

23

14

29

18

227

− + − + − + ...

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

14. Determine el punto de convergencia.

n nnn

2

2

5 2− +

=

∞

∑ !

A) 1e

B) – e – 2 C) e

D) e –1 E) 2e

15. Sea la sucesión en a aa

nn nn

+ = + ∈11

; N.

Determine

a a

akk

2014 1

1

2013 1

−

=∑

A) 0 B) 4 C) 1D) 3 E) 2014

16. Dado que

1 12

1x xn n

n n− = ≥( )

−;

donde x1=1. Halle xnn=

∞

∑1

.

A) 0 B) –1 C) 3D) 2 E) ∞

17. Indique cuáles de las siguientes series convergen.

I. 2 3

21

nn

n

n

+

=

∞

∑

II. 2

4 31

n

n nn −=

∞

∑

III. n

n

n

n +

=

∞

∑ 11

A) I y II B) II y III C) solo ID) solo II E) solo III

Álgebra

18


18. Si S knk

n=

=∑ 2

1, calcule lím

n

nS

n→∞ 3.

A) 12

B) 14

C) 13

D) 15

E) 16

19. Se sabe que f xx( ) = +( )14

2 3 y Sn+1=f(Sn),

donde S1=1. Calcule límn

nS→∞ si existe.

A) 12

B) 2 C) 32

D) 23

E) 43

20. Sea S k xnk

k

n= +( )

=∑ 1

0

Si límn

nS→∞=169

, determine x.

A) 12

B) 14

C) 13

D) 15

E) 23

NIVEL AVANZADO

21. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

I. Si ann=

∞

∑1

es convergente, entonces lím an=0.

II. Si lím an ≠ 0, entonces ann=

∞

∑1

diverge.

III. La serie n

n nn

−( )

⋅=

∞

∑ 12

1

!

! es convergente.

A) VFF B) VVF C) FVVD) VVV E) FFF

22. Dada la sucesión {an}n ∈ N indique valor de verdad (V) o falsedad (F) de

las siguientes proposiciones. I. Si {an} es acotada, entonces es convergente. II. Si {an} es monótona creciente, entonces es

acotada superiormente.

III. Si {bn}n ∈ N ⊂ {an}n ∈ N; si an diverge, enton-ces bn converge.

A) VFV B) VVV C) FVVD) VFF E) FFF

23. Dada la sucesión {xn}n ≥ 1 definida por

x

nnn

n

= +

+ +

+

−log log ... log

32

43

12 1

determine el valor de

límn

xn nnnn

nn

→∞

−+++( )

−

10 12 3

1

!

A) e B) e2 C) +∞D) 1 E) 0


I. Si {an} es una sucesión creciente de términos

positivos a aa an n

n n

+

−

−−

1

1, entonces es creciente.

II. Si {an} es una sucesión de términos posi-tivos convergente, entonces {(–1)an} tam-bién es convergente.

III. Si {an} → 0, entonces límn n

an

a→∞+

11

con-

verge.

A) VVV B) VFV C) FVVD) FVF E) FFF


I. En una sucesión aritmética {an}n ∈ N se cumple la relación.

an –1+an+2=an+an+1; ∀n ≥ 2 II. La sucesión {an}, tal que a1=2 y

a an n+ = +( )112

6 ; ∀n ≥ 1 es convergente.

III. Si b1; b2; b3; ...; bn es una progresión geomé-trica de términos positivos, entonces ln(b1); ln(b2); ...; ln(bn) es una progresión aritméti-ca.

A) VVF B) FVV C) VVVD) VFV E) VFF

Álgebra

19


26. Determine

límn n

an

an

ann→∞

+

+ +

+ + +

−( )

1 1 2 12 2 2

...

A) a2 B) a a +( )1

2 C)

a2 12−

D) a a2

2+

E) a a2 13

+ +

27. Sean P=1+a+a2+a3+a4+...; |a|<1 Q=1+b2+b4+b6+b8+...; |b2|<1 tal que a2+b2=1 Halle Q en función de P.

A) QP

P P=

− +

2

2 2 1

B) QP

P P=

+ −

2

2 2 1

C) QP

P P=

− −

2

2 2 1

D) QP

P P=

+ +

2

2 2 1

E) QP

P P=

+ +

2

2 1

28. Si

e e e

e e e

tx y tx ty

ta tb a b

+

−

= ⋅

= ⋅

determine

eti

n

n

=∑

0

A) 2en B) en –1 C) ee

n+ −−

1 11

D) en+1 E) e

29. Calcule la suma

E = − + + + + +

12

13

536

19216

651296

2117776

...

A) 13

B) 12

C) 2

D) 1 E) 16

30. Determine la siguiente suma.

34

536

7144

9400

11900

+ + + + + ...

A) 2 B) 1 C) 32

D) 12

E) 43

Álgebra

20


NIVEL BÁSICO

1. Dadas las matrices

A =

−−

2 04 2

E=A+2A+3A+...+nA; n ∈ N calcule la suma de elementos de la matriz E.

A) 0 B) 1 C) n(n+1)

D) 2n(n+1) E) n

n2

1+( )

2. Sea x=[xij]2×2, tal que satisface la ecuación matricial

x xT− =

−

2

1 12 3

halle la traza de x.

A) – 4 B) – 3 C) – 2D) 3 E) 5

3. Dada la matriz

M =

1 0 12 1 20 2 1

calcule la suma de los elementos de su inversa.

A) – 3 B) – 2 C) 0D) 3 E) 4

4. Halle n si la matriz

A

n=

−− −

2 11 2

es nilpotente de orden 2.

A) 2 B) 3 C) 5D) 4 E) 6

5. Sea A=(aij)3x3, tal que

a

a i j

a i jijij

ij=

− ≠

− =

3 ;

;

Determine A At4 .

Matrices y Determinantes

A) 274

B) 3 3

2 C)

32

D) a4

3 E) 3

NIVEL INTERMEDIO

6. Determine n2 – n+1 si se cumple que

1 23 4

2 34 5

12 3

64+ + ++

+ += −...

n nn n

A) 1057 B) 824 C) 1025D) 993 E) 949

7. Si m y n son consecutivos, además

n mm n

m−( ) −( ) =

1 13

! !!

determine m · n.

A) 9 B) 6 C) 12D) 4 E) 8

8. Dadas las matrices

A xabc

abc= −−

=

≠1 0 20 2 20 1 1

0 y ;

si Ax=3x, calcule el valor de a cc+

.

A) –1 B) 2 C) 1D) 0 E) 3

9. Dada la matriz

A =−

cos sensen cos

θ θθ θ

00

0 0 1

indique lo correcto.

A) A2=I B) A2=A C) A · AT=ID) A+A2=0 E) A2 – A=I

Álgebra

21


10. Sean A y B dos matrices de R2×2. Se define el operador ⟨ ; ⟩ de la siguiente manera

⟨A; B⟩=traz(AtB) Calcule el valor de A A;

A

a aa a

=

11 12

21 22

A) 2

B) 1

C) 0

D) a a112

222+

E) a a a a112

122

212

222+ + +

11. Sean A=[aij]3×3 y B=[bij]3×3 tal que |A|=2cosp además N=A10 · AT y M=A|4A–1| Calcule det(MN)+|B18| si se sabe que B es

nilpotente de orden 17.

A) 64 B) 128 C) 256D) 16 E) 512

12. Determine |A| si

Ax

xx

=−− −− − −

1 1 1 11 1 11 1 11 1 1

A) –1 B) 0 C) x2

D) 1 E) (x+1)3

13. Se sabe que A es una matriz de orden 2, tal que traz(– A)=|A|=1. Halle A48.

A) I B) – I C) AD) A2 E) – A

14. Sea la matriz A=[aij]3×3, tal que satisface

3 0 00 6 00 0 9

4 0 00 4 00 0 4

12 12 1224 24 2436 36

⋅ ⋅

=A

336

halle el valor de 2a23+3|A|.

A) – 4 B) – 2 C) 4D) 8 E) 2

15. Sea

A =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

y B=An=[bij]4×4; n ∈ Z Determine b14 ÷ b13.

A) n + 2

3 B)

n + 12

C) n + 3

2

D) n −1

3 E)

n −12

16. Sea A una matriz triangular superior y B una matriz involutiva, tal que AB=A+B. Determine la traz (A) si traz (B)=–10.

A) 0 B) 5 C) 10D) – 5 E) –10

17. Si A2=A, B · BT=I, entonces la matriz (BTAB – (BTAB)2)2 es igual a

A) (A – B)2 B) (A+B)2 C) 0D) (AB – BA)2 E) (A – I)2

18. Sea A una matriz de orden n que cumple Av=lv; v ∈ Rn×1, l ∈ R si P(x)=det(A – Ix), indique el valor de verdad (V)

o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. P(a) ≠ 0 II. P(a)=0 III. P(– A)=0 IV. Si ∃ P ∈ Rn×n; B=P–1· A · P → P(B)=0.

A) FVFF B) VFFF C) FVFVD) VFFV E) FVVF

19. Si An=∅ ∧ A ≠ ∅ ∧ A ∈ Rn×n (∅: matriz nula) calcule I+A+A2+...+An –1.

A) I+A B) (I+A)n C) (I – A)–1

D) I – A E) (I – A)n

Álgebra

22


20. Calcule

det

1

1

1

z z

z z

z z

si z = cisπ3

.

A) 2 B) 0 C) – 2D) 4 E) – 4

NIVEL AVANZADO

21. Dada la ecuación P(x)=ax3+bx2+cx+d=0 a+b+c+d=1 Si la matriz

A =−

−

1 1 00 1 11 0 1

satisface dicha ecuación, halle a+b+c – d.

A) –1 B) – 2 C) 2D) 3 E) – 3

22. Halle la suma de raíces de la ecuación

a a a ax

x

x

n0 1 2

1 0 00 1 00 0 1 0

00 0 0 1

0

−−

−

=

………

� …�

A) 0 B) aa

1

0 C) −

aa

1

0

D) aan

0 E) 1

23. Si a ≠ b; b ≠ c; a ≠ c; abc ≠ 0, reduzca

1 1 1

3 3 3

a b c

a b cb c c a a b−( ) −( ) −( )

A) a+b – c B) a+b+c C) a – b+cD) a – b – c E) b – c – a

24. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.

I. Si A es una matriz antisimétrica, entones su cuadrado es una matriz simétrica.

II. Si A es una matriz idempotente, entonces |A2n – A|=0

III. Si A es una matriz no singular, tal que A3=I, entonces tr(A2)=tr(A–1).

A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) FFF

25. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Si M es una matriz no singular, tal que N2M=MN, entonces traz(N2)=traz(N).

II. Sea A una matriz involutiva, entonces |A|=1.

III. Sean A y B dos matrices conmutables y no singulares, entonces

B–1A3B=A3=B · A3B–1

A) VVV B) VFF C) VVFD) VFV E) FVV

26. Sea A una matriz cuadrada de orden n, tal que (I – A)–1=I+A+A2+...+Ak –1; I: matriz Identidad de orden n. Halle traz(Ak).

A) 2 B) 3 C) 5D) 0 E) – 2

27. Sea la matriz A=(aij)n×n, tal que

a

i j

i j

i jij =

>=<

λ;;;

20

si se verifica que a A+b At=A · B · A · A–1· B–1· A–1

donde B es una matriz cuadrada de orden n, halle a+b.

A) 1 B) −12

C) 12

D) 14

E) 16

Álgebra

23



I. La determinante de toda matriz antisimé-trica es nula.

II. Si A2 es una matriz singular, entonces det(A – A2)=0. III. Si se cumple que |l A||A|=l|A|3; l ∈ R*,

entonces orden (A)=2; R*=R – {0}.

A) VVF B) FFV C) VVVD) FVV E) FVF


I. Si A=(aij)n×n es tal que A2=9I, donde I es la matriz identidad, entonces (A – 2I)2=I.

II. Si AB=BA, entonces AnB=BAn. III. Si A es involutiva entonces (ABA)2=AB2A.

A) VVV B) VFV C) FVVD) FFF E) FVF

30. Dada la matriz

D

n

n=

⋅ ⋅ ≠

λλ

λ

λ λ λ λ

1

21 2 3

0 00 0

0

��

� ��

; ...

y sea A=PDP–1

halle P –1 · eA · P si

e I A

A AA = + + + +2 3

2 3! !...

A) I B) eln C) eD) el1+l2+...+ln E) eD

Álgebra

24


NIVEL BÁSICO

1. Al resolver el sistema

2 141

x y z

x y

x y z

− + =+ =

− − =

calcule el valor del producto xyz.

A) – 6 B) – 4 C) 4D) 6 E) 0

2. Si el sistema

p x y q

x y

−( ) + + =+ =

2 12 3 0

8 7 4

es indeterminado, indique el valor de qp

.

A) 35

B) 25

C) 722

D) 43

E) 2327

3. Luego de resolver el sistema inicial

cx az b

ay bx c

bz cy a

+ =+ =+ =

el valor de 2bcx es

A) a2 – b2+c2

B) a2 – b2 – c2 C) a2+b2 – c2

D) b2 – a2+c2 E) b2 – a2 – c2

Programación lineal

4. Represente en R2 el conjunto A={(x; y) / x+y ≤ 1; y ≥ x2}

A) Y

X

B) Y

X

C) Y

X

D) Y

X

E) Y

X

5. En una urbanización popular se construirán casas de 2 tipos: A y B. La empresa cons-tructora dispone para ello de un máximo de S/.1 800 000, y el costo de cada tipo de casa es de S/.30 000 y S/.20 000, respectivamente. El ayuntamiento exige que el número total de casas no sea superior a 80. Además se sabe que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es S/.4000 y de tipo B es S/.3000. ¿Cuántas casas se deben construir de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

A) 20 y 60 B) 20 y 50 C) 30 y 50D) 50 y 40 E) 40 y 45

Álgebra

25


NIVEL INTERMEDIO

6. Represente gráficamente el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones.

y x x

y x

+ ≥ +− ≤ +

2 4

2 2

2

A) Y

X

B) Y

X

C) Y

X

D) Y

X

E) Y

X

7. Se sabe que x; y ∈ N. Determine x+y+z si se tiene el siguiente sistema.

2 113 2 53 4

x y

x y

x z y

+ =− =≥ ≥

A) 13 B) 15 C) 17D) 16 E) 19

8. Dado el sistema

4 5

2

2

2

e e e e e

e e e e e

x y x y

x y x y

⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ =

−

−

A) −13

B) 23

C) 0

D) 1 E) 13

9. Sea A un conjunto determinado por

A={(x; y) ∈ Z×Z / |x+y| ≤ 2 ∧ x2+y2 ≤ 4 ∧ –1 ≤ x < 2} El número de elementos del conjunto A es

A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

10. Dado el sistema lineal An×n · xn×1=bn×1

indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Si |A|=0, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

II. Si |A| ≠ 0; b=[0; 0; ...; 0]t, entonces el sistema tiene solución no trivial.

III. Si el sistema no tiene solución, entonces |A|=0.

A) FFV B) VFV C) FVFD) VFF E) FVV

11. Determine el valor de

K z y x= + +3 5 si se cumple que

3

93

113

16x y y z z x− = − = −

x+y+z=36

A) 10 B) 8 C) 4D) 2 E) 6

Álgebra

26


12. Se dispone de tres marcas de fertilizantes que proporcionan nitrógeno, fósforo y potasio. Una bolsa de cada marca proporciona las siguientes unidades de cada nutriente, como se muestra en el cuadro adjunto.

MarcaNutrientes

Nitrógeno Fósforo Potasio

A 1 3 2

B 2 1 0

C 3 2 1

Para un crecimiento ideal del espárrago en la ciudad de Ica, el ingeniero agrónomo estima que se necesitan 18 unidades de nitrógeno, 23 unidades de fósforo y 13 unidades de potasio por hectárea. ¿Cuántas bolsas del fertilizante de la marca A deben usarse por hectárea para lograr un crecimiento ideal?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

13. Un fabricante desea maximizar la ganancia en la venta de 2 productos. El primer producto genera una ganancia de S/.1,5 por unidad y el segundo una ganancia de S/.2 por unidad. El estudio de mercado y los recursos disponibles establecen las siguientes restricciones:

I. El nivel de producción combinado no debe exceder de 1200 unidades mensuales.

II. La demanda del segundo producto es me-nor o igual que la mitad de la demanda del primer producto.

III. El nivel de producción del primer producto es menor o igual que 600 unidades más tres veces el nivel de producción del segundo artículo.

¿A cuánto asciende en soles la máxima ga-nancia?

A) 900 B) 1000 C) 1875D) 2000 E) 2275

14. Dado el problema de programación lineal Opt. Z=ax+by; 3b>a>b>0 sujeto a la región convexa

5

11 3 4

E

D

BBAA

C

Podemos afirmar que I. Su máximo lo alcanza en D y su mínimo lo

alcanza en A. II. Es posible trazar una diagonal del polígono

ABCDEF, tal que su máximo sea en el punto F. III. Si la función objetivo fuese Z=ax – by, su

máximo lo alcanza en A.

A) FFV B) VFV C) FVFD) VVV E) FFF

15. La siguiente figura da la idea de tres planos según la recta L . ¿Cuáles de los sistemas de ecuaciones dados representa a la figura dada?

I.

2 3 15 2 48 5

x y z

x y z

x y z

+ − =− + + =

+ + =

II.

x y z

x y z

x y z

− + = −− + − = −− + − =

3 22 2 6 4

3 2

III.

2 33 1

2 2 2

x y z

x y z

x y z

− + =− + − =

− + =

A) solo I B) I, II y III C) I y IIID) solo III E) solo II

Álgebra

27


NIVEL AVANZADO

16. Determine la figura que mejor representa la gráfica del conjunto.

A x y xy

xy

= ( ) ∈ × ≤

; / R R

A)

– 1

1Y

X

B)

– 1

1Y

X

C) Y

X

D) Y

X

E)

– 1

Y

X

17. Represente el conjunto A={(x; y) / |x – y| ≤ x}

A) Y

X

B) Y=2x

Y

X

C) Y=2x

Y

X

D) Y

X

E) Y

X

18. Sea {(x0; y0)} el punto de intersección de las rectas L1 y L2 como se indica.

y0

x0

L1 :5x – 2y=m

L2 : x+9y=m

Y

X

Si x0 excede en 7 a y0, entonces del valor de m se puede afirmar que

A) m ∈ ⟨59; 66⟩B) m ∈ ⟨54; 59⟩C) m ∈ ⟨48; 54⟩D) m ∈ ⟨44; 48⟩E) m ∈ ⟨38; 44⟩

19. Al resolver el sistema

x x y y

xy yx

2 2

2

3 2 0

1 0

+ + − + =

+ +−

=

determine el valor de 5x+7y2.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 5

20. Luego de resolver el sistema

x yx y

ab c

x cy b

a ba c

+−

=−

++

=++

el valor de xy+(b – c)2 es

A) 2a2 B) a2 C) bcD) a2+2bc E) a2 – 2bc

Álgebra

28


21. El sistema homogéneo

1 02 2 0

1 0

−( ) + − =− − =

− − +( ) =

k x y z

x ky z

x y k z

es indeterminada, calcule la suma de valores de k.

A) –1 B) 0 C) 2D) 3 E) 5

22. Determine los valores de m para que el sistema

m x my

mx m y m

+( ) + =− −( ) = − ≠

2 1

2 1 0, tenga solución única de componentes negativos.

A) ⟨– 2; –1⟩B) −∞ − − −{ }; 1 2

C) − −2 1;

D) − + ∞ − { }1 2;

E) − −2 2;

23. Dado el sistema de ecuaciones en R.

x y

y mx

−( ) + −( ) ==

2 2 12 2

determine los valores de m, de tal manera que el sistema tenga más de una solución.

A) m ∈− +4 73

4 73

;

B) m ∈− +4 72

4 72

;

C) m ∈ R

D) m ∈ f

E) m ∈ − +4 7 4 7;

24. Resuelva el sistema para valores enteros y positivos

24 7

4 2

y x

y z

x z

<>− <

Luego halle el producto de ellos.

A) 2 B) 5 C) 12D) 15 E) 10

25. Indique cuál de los sistemas representa mejor al gráfico.

A)

x y z

x y z

x y z

− + =− + =

+ + =

22 2 2 4

3

B)

3

x y z

x y z

x y z

+ + =− + =− + =

32 2 3 4

4 7

C)

x y z

x y z

x y z

+ − =+ + =− + =

02 12

7

D) 2 6

x y z

x y z

x y

+ + =− + =

+ + =

5 16

3 15 3

E)

x y z

x y z

x z z

− + =+ − =

− − + =

32 3 1

4 2 2

26. Calcule el valor mínimo de Z=x+2y sujeto a las restricciones

2 72 12 3

x y

y x

x y

+ ≥− ≥ −− ≥ −

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 7

Álgebra

29


27. Un fabricante de raquetas de tenis obtiene una utilidad de S/.15 por cada raqueta de tamaño extra y S/.8 por una de tamaño estándar. Para satisfacer la demanda de los distribuidores, la producción diaria del modelo extra debe estar entre 10 y 30, y entre 30 y 80 la del modelo es-tándar. A fin de conservar la máxima calidad, el total de raquetas producidas no debe ser mayor de 80 diarias. ¿Cuántas de cada tipo de-ben fabricarse cada día para obtener la máxi-ma utilidad? Dé como respuesta el número óptimo de raquetas de tamaño estándar.

A) 28 B) 30 C) 38D) 46 E) 50

28. (x0; y0) es el conjunto natural que verifica el sistema

y x x

y x y

+ > +− <

8 3

2

2

forma la cuadrática f(x)=0, cuyas raíces sean

x y x y02

0 0 02+ +{ }; .

A) x2 – 4x+4=0B) x2+3x+1=0C) x2 – 4x – 4=0D) x2 – 4x+1=0E) x2+4x –1=0

29. Determine el conjunto solución del sistema

x x

x x x

x x x

x x x

x x

1 2

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4 5

1

4

3

2

+ =+ + =+ + = −+ + =

+ = −−

1

A) {6; – 5; 3; –1; 0}

B) {7; – 6; 3; 0; –1}

C) 112

92

332

12

; ; ; ; − −{ }D) {6 – t; – 5+t; 3; –1– t; t} / t ∈ R

E) f

30. Resuelva el sistema de ecuaciones

x x x

x x x

x x x

x x ax

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 2

0

3 2

4 0

+ + =− + =

+ − = −+ + =

e indique el valor de a para que el sistema sea determinado.

A) 2 B) 1 C) 3D) – 2 E) 4

Números complejos y ecuacioNes

01 - E

02 - C

03 - D

04 - D

05 - C

06 - B

07 - B

08 - E

09 - A

10 - E

11 - D

12 - A

13 - A

14 - D

15 - B

16 - C

17 - C

18 - A

19 - A

20 - E

21 - D

22 - A

23 - E

24 - B

25 - C

26 - D

27 - A

28 - A

29 - E

30 - C

DesigualDaDes e iNecuacioNes

01 - C

02 - E

03 - D

04 - A

05 - A

06 - D

07 - E

08 - E

09 - C

10 - C

11 - B

12 - C

13 - A

14 - A

15 - E

16 - E

17 - E

18 - A

19 - B

20 - B

21 - D

22 - B

23 - B

24 - D

25 - A

26 - A

27 - B

28 - A

29 - C

30 - A

FuNcioNes

01 - E

02 - E

03 - E

04 - D

05 - A

06 - D

07 - A

08 - A

09 - A

10 - A

11 - C

12 - C

13 - C

14 - E

15 - A

16 - E

17 - B

18 - E

19 - B

20 - B

21 - B

22 - C

23 - E

24 - E

25 - D

26 - D

27 - A

28 - D

29 - B

30 - C

sucesioNes y series

01 - D

02 - B

03 - D

04 - C

05 - E

06 - C

07 - D

08 - D

09 - B

10 - B

11 - C

12 - E

13 - A

14 - B

15 - C

16 - D

17 - D

18 - C

19 - C

20 - B

21 - D

22 - E

23 - D

24 - C

25 - C

26 - E

27 - A

28 - C

29 - B

30 - B

matrices y DetermiNaNtes

01 - A

02 - A

03 - C

04 - C

05 - C

06 - C

07 - C

08 - D

09 - C

10 - E

11 - E

12 - E

13 - A

14 - E

15 - A

16 - B

17 - C

18 - C

19 - C

20 - D

21 - E

22 - C

23 - B

24 - A

25 - D

26 - D

27 - C

28 - E

29 - C

30 - E

programacióN liNeal

01 - B

02 - C

03 - D

04 - B

05 - A

06 - B

07 - E

08 - E

09 - C

10 - E

11 - A

12 - E

13 - D

14 - C

15 - A

16 - B

17 - C

18 - D

19 - C

20 - B

21 - B

22 - D

23 - A

24 - E

25 - C

26 - D

27 - E

28 - A

29 - D

30 - B

Repaso UNI

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