razones afines

UNIVERSIDAD POLITECNICA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” INGENIERIA EN PROCESOS QUÍMICOS

P.N.F. TRAYECTO I CÁTEDRA: MATEMÁTICA

1 http://www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], [email protected]

RAZONES AFINES

GUÍA PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS

1.) Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los datos y en las cantidades que se desea calcular.

2.) Hacer un croquis o esquema apropiado y dar nombre a las variables y a las cantidades desconocidas.

3.) Escribir los hechos conocidos expresando la rapidez de variación dadas y las desconocidas como derivadas de las variables.

4.) Encontrar una ecuación general que relaciones las variables.

5.) Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obtener una relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo.

6.) Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio desconocida.

EJERCICIOS:

1) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 120 m/s. Su altura sobre el suelo t segundo después está por 4,9 120 . Calcular el tiempo en el que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad en ese momento. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil? En el nivel del suelo S(t) = 0

2( ) 4,9 1 20 ( ) 9,8 120 0 12, 24

2 ( ) 120 / (25) 120 120 ( )

2(12, 24) 4,9 ( 120 (12, 24) (12, 24) 734, 712, 24)

24,5

máx

máx

ds dss t t t v t t t seg

dt dtmt t segv t m S vv seg

h S S mmáx

= − + ⇒ ⇒ = =− + ⇒ = ⇒ =

⇒ = = = − ⇒ = − = ⇒

⇒ = − + → =




2) La corriente (Ι), en un circuito eléctrico está dada por IR

=100

, donde (R) es la

resistencia. Calcular la tasa de cambio o variación de Ι con respecto a R cuando la resistencia es de 20.

12

100 100 1100 20400 4

dI d dR RdR dR dRR

− Ι ΙΙ = → = − ⇒ = ⇒ = − ⇒ = −

3) Una escalera de 20 pie de largo está apoyada contra la pared de un edificio, la base de la escalera se desliza horizontalmente a razón de 2 pies/s. ¿Con qué rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 pie del suelo?

2 2

2 2 2

2 / ( )

sup 12

400 2 2 0 2 2

400 400 144 16 (16,12)16 8(2)12 3

pieseg

dx pies S V tdtdy cambio dela altura del extremo erior Y piedt

dx dy dy dx dy dxx y y y y xdt dt dt dt dt dt

x y x x Ptody dydt dt

= → ′

→ =

+ = ⇒ + = → =− ⇒ = −

= − ⇒ = − → = →

=− → = −

4.) Suponga que el pulso de un individuo (en latidos/minutos) Q los t segundo de haber comenzado a correr está dado por p(t) = 56 + 2t2 ‐ t para 0 ≤ t ≥ 7. Calcular la tasa de variación o cambio de p(t) con respecto a t en (a) t = 2 ; (b) t =4

dp tdt

tdp

dtdp

dt( ) ( ) ( )

= − → = =4 12

74

15




5) La resistencia eléctrica R de un alambre de cobre de longitud constante es inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro d. ¿Cuál es la tasa de cambio o variación de R con respecto a D?

2 3 3

2 2

t a n

L d R L d R LRd D d DD D D

D o n d e L C o n s t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d

− −= → = → =

= 6) Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio r del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 . Cuando el radio es de 4

pies, ¿A qué ritmo está cambiando el área A de la región circular perturbada?

2

2 ( ) ; 1

2 2 ( 4 )1( ) 8 ( )

p ieseg

p ie p ieseg seg

d rA r á rea d e u n c írcu lod t

d A d r d A d Ar p ied t d t d t d t

π

π π π

= =

⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

7) ¿En que punto de la palabra y2 = 18 x la ordenada crece dos veces más de prisa que la abscisa?

[ ]

2

2

1 8 ; : 2 :

2 1 8 2 2 1 8

4 1 8 0 4 1 8 0 0 ;

9 9 94 1 8 0 1 82 2 8

d y d xy x s a b e m o s q u e d e r iv a n d od t d t

d y d x d x d xy yd t d t d t d td x d x d x d xy yd t d t d t d t

y y x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⇒ − = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

9 9. ,8 2

P to ⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

8) Sean dos resistencias 1 2R y R conectadas en paralelo. La resistencia equivalente R

cumple: 1 2

1 1 1R R R= + , Si 1 2R y R aumentan a razón de 0.01 y 0.02

segΩ

respectivamente, calcula la razón de cambio de R cuando R1 = 30Ω y R2 = 90Ω.

1 2

1 2 1 2

(t) . ( )1 1 1 ( ) ( ) ( )

R R tR tR R R R t R t= + ⇒ =

+




( ) ( )

( )

( )

1 2 1 22 1 1 2 1 2

21 2

2 22 11 2 2 2

4seg2 2

1 2

dR (900)(2.10 )+ (8100)(10 ) (68,75)10 dt (120)

dR dR dR dRR R R R R Rdt dt dt dtdR

dt R R

dR dRR RdR dt dtdt R R

− −− Ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠=+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ = ≅

+

9) Demuestre que la tasa de variación del volumen de una esfera con respecto al radio es

igual al área de la superficie.

3 2 24 43 3( ) (3 )( ) 4 ( )dv dr dvV r volumen de la esfera r r áreadelaesfera

dr dr drπ π π= → = → =

10) Se bombea aire en el interior de un globo a razón de 4,5 , calcular el ritmo de

cambio del radio del globo cuando el radio es de 2 pulgadas.

( ) ( )

3

3

l3 2 24 43 min 3 2

l lmin min2

1; 4.5 (3 )( ) 4 ( ) ( )4

1 9 9( ) ( )4 (2 ) 2 32

π π ππ

π π

⎛ ⎞= = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

pu

pu pu

dv dv dr dv dr dr dvV r r rdr dr dr dr dr dr r dr

dr drdr pul dr

11) Dos lados paralelos de un rectángulo están aumentando de longitud a razón de ,

mientras los otros dos lados están disminuyendo de tal manera que la figura sigue siendo

un rectángulo de área constante . ¿Cuál es la razón de cambio del perímetro P cuando la longitud de un lado creciente es de 5 pulgadas? ¿Cuáles son las dimensiones cuando el perímetro cesa de decrecer?

: ( ); : ( )

: ( ) 2( ) 2 ; : ( ) 50⎛ ⎞= + ⇒ = + = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

x longitud de los lados que crecen y longitud de losotrosladosdP dx dyP perímetrodel rectágulo P x y A área del rectágulo A xy xydt dt dt




( )

( )

lg

5, 50 10 0 (10)(2) 5 4

2 2 2 4 4( )

0 2

0 0 (2) ( 2) 5 2 lg

puseg

dy dysi x xy ydt dt

dP dx dy dP dPdt dt dt dt dt

dP dx dyP deja de crecer cuandodt dt dt

dx dyy x y x x y pudt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + ⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇒ = − = −

⎛ ⎞= + ⇒ = + − ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

12) Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto de 12 pie de alto y 6 pie de radio en la base. Si se suministra agua al tanque a razón de 10 galones por minuto (gal / min). ¿Cuál será la rapidez de cambio del nivel de agua cuando la profundidad es de 3 pie (gal ≈ 0.1337 pie3)?

Identificamos las variables:

min

2

223

2 3

2

10 ; ? 3

1 12: ; : ;3 3

6 6:12 12 2

1 33 4 12 12

4( / ) 4(1, 3374

galdv dy y piedt dt

volumen del cono V h donde r x h y V r yr

x y ypor relación de triángulos x xy

y dv dyV y V y ydt dt

dv dy dv dt dy dy pieydt dt dt dty

π π

π ππ

ππ

= = =

= = = ⇒ =

= → = → =

⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

= → = ⇒ = min2

/ min) 0,189(3.14) (3 )

piedypie dt

→ =




13) A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m. de radio y 16 m. de altura entra agua a una razón de 50 . ¿A qué rapidez está subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 m de altura? ¿A qué rapidez está cambiando el radio en ese mismo instante?

3

2

: ( 3) ( .). : ( .) sec tan .

: ( .) (seg); 50

1 ; : ;3

cmseg

V volumen en cm de agua en t segx radio en cm de la ción del cono al nivel del líquido en el ins te t

dvy altura del agua en cm en tdt

V r h donde r x h y Vπ

=

= = = ⇒

3

2

2 2 232

min2 2

13

16: 44 4

1 1 33 3 4 48 48 16

1616(50 ) 1 ( )

(400 ) 200

1( ) :

cmcmseg

r y

y ypor relación de triángulos y x xx

y y dv dy dv dyy yV x y V y Vdt dt dt dt

dvdy dy dydtdt dt cm dty

Parte b V

π

π π ππ π

π ππ

=

= → = → =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = ⇒ = → =

=

3

3

32 2

22 min

2 2

min2

1 4(4 )3 3 3

(50 )4 3 43 4 4 (100 )

(50 ) 1 ( )4 (100 ) 800

cm

cmcmseg

xx y V x x V

dvdv dx dv dx dx dxx dtxdt dt dt dt dt x dt cm

dx dxdt cm dt

ππ π

π ππ π

π π

⇒ = ⇒ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠




14) Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura H está

siendo llenada con líquido con un gasto constante Q = 0.5 m3 por minuto. A medida que se

produce el llenado el nivel del líquido en la tolva sube. Si R = 2 m y H = 3m. Calcula esa

rapidez, e indica el valor de la velocidad cuando la altura del líquido en la tolva es de 1,5

m. ¿Qué condición crees que debería cumplir el recipiente para que el nivel subiera a

velocidad constante? Justifica mediante cálculo en el caso que el recipiente sea un cilindro

recto circular.

3

23

2

2 2 2 22

2 2 2 2

2min

min2 2

. : 3

. (3 ) ; 3 . .

(0.5 )(3 ) 0.16 16(2 ) (1.5 ) min

)

mcm

R r R h Rpor relación de triángulos r V hH h H H

dV R dh dV R h dh dV dh Q Hh peroQdt H dt dt H dt dt dt R h

mdh m dhdt m m dtb E

π

π ππ

π

= ⇒ = ⇒ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ≅ ⇒ =

2

) sec tan . :

l razonamiento hecho en la parte a del ejercicio nos conduce a afirmar que el recipientedeberia tener cion horizontal cons te En el caso de cilindro circular tendremosV R h con R coπ= ns




2

2

( ) :

.

dV dhDerivando respecto de t Rdt dt

dh Qv v contdt R

π

π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

= = →

15) Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con su vértice hacia abajo, su altura es de 10m y el radio de la tapa es de 15m, el agua sale por el vértice con una rapidez constante de 1 , se vierte agua en el depósito a razón de , calcular λ en

el momento en que el nivel del agua alcáncela altura de 8m.

3213

213

32

2 3 2 23 3 9 913 2 4 4 4

294

( );

( )

15:10

( ) ( ) ( ) ( )

( )

mseg

dvv r h volunen de conodt

dv dt dv dt v t t K t K r h

rpor relación de triágulos r hh

dt dh dht K h h t K h h hdt dt dt

dv dv dhcomo h ademádt dt dt

π λ

λ λ λ λ π

λ π λ π λ π λ π

λ π

= =

= ⇒ = ⇒ = + → + =

= → =

+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

∫ ∫

3

294

2 2

294

1 1 ( )

4 4 1( ) ( ) ( )9 9 (8) 72

1(8 ) 272

mseg

m mseg seg

dv dhs hdt dt

dh dh dhdt h dt dt

m

π

π π π

λ π λπ

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

16) Un vaso de papel en forma de cono se llena con agua a razón de ./3 3 segcm La altura del vaso es de 10 cm y el radio de la base es 5 centímetros. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando el nivel es 4 cm?




( ) ( )

3

3

2

2

3 2 2

2

: ; 3 ; ?3

325 10 2 3 12 12 4

4 3416

cmseg

cmseg

r h dv dhVolumen del cono Vdt dt

h hr h h h dv h dh dv h dhr v v

dt dt dt dt

dv dtdh dh dhdt h dt m dt

π

ππ π π

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = → =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

334

cmsegπ

=⎟⎠

17) El radio de la base de un cono aumenta a razón de 3 , y la altura disminuye a razón

de 4 , determine la rapidez con que varía el área total del cono, cuando el radio mide

7cm y la altura 24cm.

2

2

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

2 (7 )3 (3 )(24 ) (7 )(4 ) 142 cmcm cm cmh h h h

a r r hda dr dr dha t r t r t h t r h rdt dt dt dt

da dacm cm cmdt dt

= +

⎡ ⎤= + → = + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + → =⎡ ⎤⎣ ⎦

π

π π π π π

π π π

18) El radio de la base de cierto cono circular recto aumenta a razón de , y la altura

disminuye a razón de 4 , Calcular cómo varía el área total del cono cuando el radio es de

7 cm y la altura es de 24cm.

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1; ( ); 4( )20

2 ( ) 2 ( )( )

212 ( ) 2 (4)

1 20( ) ; 7 ; 2420 2

1(7) 7( ) 2(24)(4)1 10( ) (7) (24)

20 2 (7)

cm cmseg seg

dr dha r r hdt dt

dr dhr r hda dr dt dtr hdt dt r h

r r hda r h pero r cm h cmdt r h

dadt

π

ππ

ππ

ππ

= + = =

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦= + ++

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦= + + = =+

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦= + +2 2

28.228 ( )(24)

cmseg

dadt

π⇒ =+




19) Un tanque cónico de 12pie de altura y 8 pie de diámetro en la tapa, se llena con agua a una razón constante. Al encontrar el nivel a media altura, la razón de cambio de esta altura es de . Determine cuánto tardará en llenar el tanque.

3213

213

3

2 3 2 231 1 13 3 27 27 9

( );

( ) 0 0 0

4:12

( ) ( ) ( ) ( )

mseg

h

h

dvv r h volunen de cono kdt

dv kdt dv kdt v t kt c si t v c kt r h

rpor relación de triágulos rh

dt dh dhkt h kt h k h k hdt dt dt

π

π

π π π π

= =

= ⇒ = ⇒ = + = → = → = → =

= → =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

∫ ∫

219 min

2 21 13 3

6 (6) (1) 44

: (4) (12) 644 64 16 min

piecuando el nivel del agua está a media altura h k kv t

de v r h y si está lleno v vIgualamos t t

π ππ

π π ππ π

= ⇒ = → =

⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

20) La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano

proveniente de un silo a razón de 0.53m

min.. El grano forma un cono circular recto cuya

altura es constantemente igual a 45del radio de la base. Determine: a) ¿A qué rapidez

está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.50 m? b) ¿Cuál es el radio de la base del cono en ese momento y a qué velocidad está variando?




( )

3

2 3 2

min min

) =?( , 1.5 )

5 4 16 16; 3 4 5 75 25

25 : = 0.5 ; 1.5 0.44(8)(2, 25)

)

m m

dha rapidez con que está subiendo el vértice cuando h mdt

R h R h h dV h dhV Como h R V tdt dt

dV dhsi h mdt dt

b Si R

π π π

π

=

⎛ ⎞= = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇒ = ≅

min4 4 4 . 0, 44 0,35 5 5 5

4(1,5) : 1, 20 5

mh dR dh dRdt dt dt

El valor del radio es R m

⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

21) Un camión descarga arena formándose un montículo que tiene la forma de cono recto

circular. La altura h va variando manteniéndose constantemente igual al radio r de la base.

Cuando la altura es de 1m, ella está aumentando a razón de 25 cmm inuto

. ¿Con qué rapidez

está cambiando en ese instante el volumen V de arena?

( ) 3

2 3

2min min

2min

; 0

? 1 3 ; 1 , 25 0.25

3 1 (0.25) 0.75

cm m

m

V r h Como r h V r tdV dV dh dhh m h si h mdt dt dt dt

dVdt

π π

π

π π

= = ⇒ = ∀ ≥

⎛ ⎞= = ⇒ = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= =




22) En la expansión adiabática del aire rige la ecuación Ρ. V1.4 = K (Constante). En un instante determinado la presión es de 50 , y el volumen de 32 cm3 y el volumen

decrece a razón de 4 ¿Con qué rapidez varía la presión en ese instante?

3

2

1.4 1.4

4 ( ); 50 ; ?

1.41.4

1.4 ( 1.4)1 1.4 0 0

( 1.4)(50

kgcmseg m

dv dpdecrece pdt dtp v k Aplicando Ln Ln p v Lnk Lnp Lnv Ln k

Ln k c Ln p Ln v cdp dv dvv p p

dp dv dpdt dt dtp dt v dt pv dt v

dpdt

= − = =

= ⇒ = ⇒ + == ⇒ + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠−

=3

2

23

)( 4 )8, 75

32

kg cmseg kgm

cm seg

dpc dtm

−⇒ =

23) La Ley de Boyle de los gases asevera que PV = C donde P es la presión, V el volumen y C una constante. En cierto momento el volumen es 75 pulg3, la presión es de 30 Lb/pulg2 y ésta disminuye a razón de 2Lb/pulg2 por min. ¿Cuál es la rapidez de cambio del volumen en ese momento?

( )2

33

2lg

0

7 5 lg 2 m in5 lg3 0 m in .lglb

p u

d p d v d v v d pp v c v pd t d t d t p d t

p ud v L b s d v p ud t d tp u

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ + = ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

24) ¿Durante cuántos segundos se debe estar apartado de la trayectoria de una araña que cae de un techo de 400 pies de altura de acuerdo a la ecuación de movimiento S = 16 t2? ¿Cuál será la rapidez de la araña en el momento de alcanzar a uno que no se haya apartado?

2 2 400) 16 400 16 516

) 32 (32)(5) 160 pieseg

a s t t t segt

ds ds dsb tdt dt dt

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠




25) Un conejo corriendo en la maleza se mueve siguiendo la trayectoria de la curva . En cierto punto se encuentra con un perro cazador y se desvía siguiendo

la trayectoria de la tangente a la curva en punto donde se produjo el encuentro. Hallar en que punto se encontraron sabiendo que el conejo ha de pasar en su escape por el punto (‐3, ‐8).

2 21 1

3 2 3 2

3 3 2 3 2

1 2 3

1

3 1 ( ) 8 (3 1)( 3)

8 3 9 3 3 9 113 9 11 2 9 11 0

: 1; 1, 315; 4,185: 1, (1, 0 )

tg tgdy x m y y m x x y x xdxy x x x x x x yx x x x x x xfactorizando x x xsust x en la función p

= − = ⇒ − = − ⇒ + = − +

+ = + − − ⇒ + − − =

− = + − − ⇒ + − == = − = −

= ⇒

26) Un punto se mueve sobre la hipérbola yx

=10

de tal modo que su abscisa “x”

aumenta uniformemente con la velocidad de una unidad por segundo. ¿Con qué rapidez variará su ordenada cuando el punto pase por la posición (5,2)?

2

2

10 10 ; 1 ; 5

10 25(5)

useg

u useg seg

dy dx dxy Pero xx dt x dt dt

dy dydt dt

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

27) Un punto se mueve sobre la curva de ecuación 2 23 1 4( ) ( )x y− + + = de tal modo que

su abscisa aumenta con la velocidad de 2 unidades por seg. Determine la rapidez varía la

ordenada cuando el punto pase por la posición ( )2 3 1, −

( ) 2 22 ; ? . 2 , 3 1 ; 4( 3) ( 1)us

d x d y P to x yd t d t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + =− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

2( 3) ( 1) 0

( 3)(2 3) (2 ) 1

( 1) 33 1 1

us u

s

dx dyx ydt dt

dxxdy dydtdt y dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− − ⎜ ⎟ − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠− + ⎝ ⎠




28) En que punto de la parábola y2 = 18 x el crecimiento de la ordenada es 1/3 del crecimiento de la abscisa.

2

2

11 8 2 1 8 ; :3

1 2 2( 2 ) 1 8 1 8 0 1 8 0 2 73 3 3

2 7 4 0 , 5 ( 4 0 .5 , 2 7 )1 8

d y d x d y d xy x y p e rod t d t d t d t

d x d x y d x yy yd t d t d t

x x P to

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⇒ =

29) El aire escapa de un globo esférico a razón de 3 pulg3/min. Cuando el radio es 5 pulgadas. ¿Qué tal rápido es el decremento del radio?

( ) ( )( )

3

3

3lg

m in

22

2

lglgm in

m in2

43 ; 5 lg ; ( ) ?3

4(3 ) 43 4

3 31004 5 lg

pu

pupu

dv r drr pu v V de la esferadt d t

dvdv r dr dv dr dr dtrdt dt dt d t d t r

dr drdt dtpu

π

π ππ

ππ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

30) Se libera gas de una globo esférico a razón de8 . Determine la rapidez con que varía

la superficie del globo en el instante en que el radio mide 2m. 2

3

2 22

2

2

4 ( ) 83

4 2(3 ) 8 4 ( ) 2003 ( )

2 1(200 ) 200

4 ( ) 4 (2 )

8 (200 )

cmseg

dv cmv r volumen del globo ydt seg

dv dr dr drr r Como r cmdt dt dt dt rdr dr cmdt cm dt seg

ds drsi s r área del globo r sustituimos los valoresdt dt

ds cmdt

π

π ππ

π π

π π

π

= =

= → = → = → =

= → =

= → =

=21( ) 8

200cm ds cmseg dt segπ

→ =




31) Un atleta en los 100m planos recorre esa distancia según la siguiente relación

8 , determinar la rapidez del corredor: a) cuando sale, b) a los 5seg, c) al

cruzar la meta.

2

22

1 2

2( ) 8 85 5

) 0 8

) 5 10

) ( ) 100 100 8 40 500 0 10; 505

2(10) 8( ) 125

t ds ts t tdt

ds ma Cuando sale tdt seg

ds mb Cuando tdt seg

tc Cuando s t t t t t t

dr m ds mdt seg dt seg

= + → = +

= → =

= → =

= → = + → + − = → = = −

= + → =

32) La ecuación de un movimiento rectilíneo está dada por , donde K, α y w son constantes, K, w≠ 0; , . Determine la posición del móvil y su rapidez, en el instante en que la aceleración es cero.

22

2

22

2

( ) ( )( ) cos( ) ( )

( ) ( )

0 ( ) 0 , 0 ( ) 0

( ) (0) 0

α α

α

α α

α α α

⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞=− +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= → − + = → ≠ → + =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = → + = ∨ +

dss t Ksen wt posición del movil Kw wt velocidad del movildt

d s Kw sen wt aceleración del movildt

d s Kw sen wt como k w sen wtdt

wt arcsen wt

cos(0) , ( ) ( ) 0

cos( ) , ( ) ( ) 0

α π απ

α αα

π α π απ α

−= → = − ∨ = ⇒

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

wt t tw w

ds Kw Kw s Ksen wdt w wds Kw Kw s Ksen wdt w w




33) Considere el circuito de la figura donde un condensador cargado de capacidad C

(Faradios) y tensión inicial de V (voltios) entre sus placas, se descarga sobre una

resistencia R (Ω). Al cerrar la llave S comienza a circular una corriente de intensidad I

dada por la expresión:

( ) VI t = R

t

e τ−, (τ= RC cte. de tiempo), Calcula la rapidez de variación de I en t = 0 y t = τ

( ) ( ) ( ) ( )

( )

amp amp1seg seg

( )

0 : 0 ; :

ttv dI vI t e La rapidez está dada por e

R dt RdI v dI vEn t En t edt R dt R

τ τ

τ

τ ττ τ

−−

−

= ⇒ = −

= = − = = −

34) Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el

mar 100 m3 de petróleo. Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando

ese radio es de 50m si el espesor disminuye a razón de10 en el instante en que R = 50

m.

2 2

2

2 32 2

2

; 0 2

. 0 2 0 2

100 0.04 : 100 , 50 (50)

10 m

dV dR dhV R h t R h Rdt dt dt

dV dR dh dR R dhComo V es cons R h Rdt dt dt dt h dt

VV R h h Como V m R m h mR

dhdt

π π

ππ π π

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∀ ≥ ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = ⇒ + = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = =

= −( ) ( ) ( ) ( )250 10 6.25 20

2 0.04m m

h h hdRdt

π π−−⇒ = − =




35) Se llena un tanque cilíndrico de 10 pies de radio con trigo a razón de 314 pies3/min. ¿Qué tan rápido se incrementa la profundidad del trigo?

3

3

2min

2 minmin2 2

; 10 ; 314 ; ?

(314 ) 1100

pie

piepie

dv dhV r h r piedt dt

dvdv dh dh dh dhdtrdt dt dt r dt pie dt

π

ππ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠= ⇒ = ⇒ = ⇒ ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

36) El radio y la altura de un cilindro circular recto están en la proporción 2: 3. Si la altura aumenta a razón de 2 , ¿Cómo debe variar el radio para que el volumen se mantenga

constante?

( ) ( )

2

3

2

: ; 2

2 3 32 : 33 2 2

9 22 18

3 3 3202 2 2

mimseg

cmseg

dhVolumen de un cilindro V r hdt

r r r hsegún la proporción h Vh

dv r dr dv dr Csi r cm C constdt dt dt dt

r dh dr drhdt dt dt

π

π

ππ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

→ = → = → =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = → = → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= ⇒ = → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

( ) ( )625

43

4 6 1300 18 25 18 75

mimseg

cm cmseg seg

drdt

C dr drCdt dt

πππ π

⎞ ⎛ ⎞→ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = → = → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

37) Si el volumen de un cilindro aumenta a razón de 3 , Determine la razón de cambio

de la superficie del cilindro en el instante cuando h = 1, sabiendo que la altura es el triple de su radio.

2 2

2 3 2

: ; 2 2 ( )

3 (3 ) 3 9

Volumen de un cilindro V r h s rh r área totaldv drpero h r V r r V r rdt dt

= = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π π π

π π π




( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

22

2 2 2 2

2

13

13 93

2 (3 ) 2 6 2 81 1616 16

3 31 161 3 163 3

cmseg

cm cmseg seg

cm cmseg s

dr drrdt dt r

s r r r s r r s rds dr ds dsr rdt dt dt r dt r

ds dssi h h r rdt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + ⇒ = + ⇒ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ππ

π π π π π

π ππ

( )eg

38) Para estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un árbol se supone que el mismo tiene la forma de cono truncado como indica la figura. Siendo: r el radio de la base superior; R el radio de la base inferior y h la altura. Recordando que el volumen V de

un tronco de cono está dado por la expresión: ( )2 21V = . h . R R . r + r3π + Determine:

¿Cuál es la rapidez de variación del volumen V en el momento en que: r = 60 cm, R = 90 cm y h = 15 m, si el incremento de r es de10

ñ , el incremento de R es de 15

ñ, y el de h

de 25ñ ?

( )

( )

2 2

2 2

1 ; 0.3

2 2 3

: 4 =400 , 90 , 60 .

25

volumen del tronco de cono V h R R r r t

dV dh dR dr dR drR rR r h R R r rdt dt dt dt dt dt

Sustituyendo h m cm R cm r cmdhdt

π

π

= + + ∀ ≥

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦= = =

= 3cm cm cm maño año año año; 15 , 10 2, 71 2,83

3dR dr dVdt dt dt

π⎛ ⎞= = ⇒ = ≅⎜ ⎟⎝ ⎠




39) Si el cohete ilustrado asciende verticalmente a 880 m/s. Cuando está a 4000 m de altura. ¿Con qué rapidez debe cambiar el ángulo de elevación de la cámara en ese instante para mantener el cohete en el objetivo?

22

8 80 ; ; ? 4 000

( )30 00 30 00 300 0

ms

dy dx dz dcte C uando y mdx dy d t d t

dy dyy y d dd t d ttg tg Secx d t d t Sec

θ

θ θθ θ θθ

= = = = =

⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2

( ) (3000) (4000) 50003000

8805000 5 663000 3 62553000

3

ms m

s

zSec z z

d dSec Secdt d t

θ

θ θθ θ

= ⇒ = + ⇒ = ⇒

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

40) Un niño que hace volar una cometa sostiene el cordel a 5 pie del suelo y lo va soltando a razón de 2 pie/s. Mientras la cometa se mueve horizontalmente a una altura de 105 pie. Suponiendo que el hilo se mantiene recto, encuentre la rapidez con la que se mueve, cuando se han soltado 125 pies de hilo.




2 2 2

22

5 ; 2 ; 105 ; 125 ; ? ; 0 .

2 2 2

" " ; : 100

pieseg

dz dx dyy pie y pies z pie Ctedt dt dt

dzzdz dx dy dx dtz x y z x ydt dt dt dt x

Calculamos el valor de x x x Donde y y y y py

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = = ′′ = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠= + ⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→ = + = ′′ − ′ ⇒ =

( ) ( )( )( )

2 2125 100 75

125 125 /3, 33 / .

75

ies

x pies pies x pies

pies pie sdx dx pies segdt pies dt

= ⇒ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

41) Un cuerpo que pesa 0.5 toneladas es levantado verticalmente utilizando una eslinga de acero que pasa por una polea colocada a 20 m de altura, como indica la figura. Un extremo se une directamente al cuerpo y el otro, (punto A), es arrastrado por un vehículo que se mueve hacia la derecha con rapidez de 20 , y a una altura del piso de 1.50

m. La eslinga tiene una longitud de 50 m. Determine: a) ¿A qué distancia del cuerpo estará el vehículo en el instante de iniciar la maniobra? b) En cierto instante t el cuerpo se halla a cierta altura h respecto del piso y el vehículo a cierta distancia x del cuerpo. Encuentra la relación entre x y h. c) ¿Cuál es la rapidez del cuerpo en el instante en que su altura es de h= 6 m?

2 2 2

2 2

) ?

20 1.5 18.5; 50 18.5 31.5 31.5 18.5 25.5 AB AB AC BC

BC AC AB

a d d d d

d d m d m

= ⇒ = −

= − = = − = ⇒ = − ≅




( ) ( )

( )

( )

22 2

2

) ̀ :

20 50 20 30 18.5 30 (18.5)

) : ; : 2 2 30 30

: 6 30 6

b del A BC obtiene

CP h AC h h BC m x h

dx dh dx dh dh x dxc Rapidez del vehículo Rapidezdel cuerpo x hdt dt dt dt dt h dt

si h m x

Δ

= − ⇒ = − − = + ⇒ = ⇒ = + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⇒ = + − ( )2 m mseg seg

31(18.5) 31 5,55 4.7 36

dh mmdt m

≅ ⇒ = ≅

42) El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm2 por minuto. Calcula la rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm2. Se supone que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante.

2

2 2

2 2min min

3 3 : ; : : ; =? 2002 4

23 (2 ) ;

4 3( )

3 3 8200 21.5; 4 0.21 4 4 21,5 . 3

cm cm

dLL lado del triángulo altura h L área A L A cmdt

dAdA dL dL dtL perodt dt dt L

dA dLA L L Ldt dt

= ⇒ = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−= ⇒ = ⇒ ≅ = − ⇒ ≅ ≅ −

43) La altura de un triángulo equilátero aumenta a razón de 3 , determine la rapidez

con que aumenta el área.

2 2 2

2 2 2

( )( ) ; ( ); ( )2

2( )( )3 2 3

4 4 23 3

(2 ) (2 )3( )2 3

3 3

cmseg cm

seg

l ha área del tr iángu lo l lado del tr iángu lo

h hl l hl h h l h a a

dhh hda da dad t hd t d t d t

=

= + ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =




44) Los extremos de un abrevadero de 3 m de largo tienen la forma de triángulo

equilátero con lados de 60cm. Se le suministra agua al mismo a razón de 20 , ¿Cuál es la

rapidez de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es de 20cm?

( )( ); ( )( );( )( )

(30)( ) 300( )( ) ;30 3

30 30 3

3

v t volumen del agua h t altura o nivel del aguar t longitud del nivel del agua y el lado del triángulo

rv t h r por triángulo semejantesh

donde es el punto medio de un lado del triángulo y la alturahr

= ⇒ =

=

3

2

2

( ) 300( )( ) ( ) 300( )3 3

300(2 ) (600 ) ( ) 36003 3

3 (20000) 5 3600(20 ) 3

cmseg

cmseg cm

seg

h hv t h v t

dh dhh hdv dv dh dvdt dtdt dt dt h dt

dh dhdt cm dt

⇒ = ⇒ =

⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇒ =

45) Un vigilante colocado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura, observa un bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 . ¿Con qué rapidez cambia el

ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando este se encuentra a 300 pies de la base del faro?

x : distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t. : Ángulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t.




Nótese que cuando "B se acerca a P" , entonces es de esperar que también decrece

22

2 2

22 2

250 250 ( )250 250

300 6300 ; : 1250 5

6 61 20 21 ; 20615 25 6125025

pies radseg se

dxx dx d d dttg x tg Sec

dt dt dt Sec

como x tg tg pero tg Sec

dx dSec Sec dt dt

θ θθ θ θθ

θ θ θ θ

θθ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = = − ⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

g

Lo

cual indica que el ángulo decrece.

46) Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 12 cm, mientras

que el otro (b) es variable y aumenta a la velocidad constante de 6 cm/s. ¿A qué velocidad

crecerán la diagonal del rectángulo y su área en el instante en que b = 40 cm?

12 ; 0 ( .); 6 ; 40 ; ?cmseg

da db dca cm Cte b mdt dt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2 2

(40 ) (6 ) 6012 40 41, 761094 109

.

cmseg cm

seg

da dba bdc da db dc dt dtc a b c a bdt dt dt dt c

cmdcc cm cm c cmdt

dA da dbA b h A ab b adt dt dt

dAdt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + ⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + ⇒ = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜⎝

2(12 ) (6 ) 72cm cmseg seg

db dA dAa cmdt dt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠




47) Dos pequeños aeroplanos comienzan el vuelo a partir de un punto común A al mismo tiempo uno vuela hacia el sur a razón de 400 ¿Después de dos horas, qué tan rápido cambia la distancia entre ellos, si el otro vuela hacia el este a razón de 300 ? A x

Y z

3 0 0 ; 4 0 0 ; ?k m k mh h

d x d y d z R a p i d e z d e s e p a r a c i ó nd t d t d t

= = =

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2 2

2 2 2

( ) 600 ; 800 (600 ) (800 ) 1000

600 300 800 400500

1000

km kmh h km

h

dx dyx ydz dx dy dz dt dtz x y z x ydt dt dt dt z

d vt v cte x km y km z km km z km

km kmdz dzdt km dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + ⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = = = ⇒ = + ⇒ =

+= ⇒ =

48) Dos barcos A y B parten de un mismo punto “O” y siguen rutas que forman un ángulo de 120º con que rapidez varía la distancia entre ellos en el instante en que 0A = 8 km. y OB = 6 Km. el barco A navega a 20 y B a 30 .

2

120º ; 8 ; 6 ; 20 ; 30

2 2: 2 (120º )2 2 2

km kmh h

dOA dOBOA km OB kmdt dt

Ley del Coseno OA OACosAB OA OB

OA OBAB OA OB

= = = = =

= + −

= + +

θ




( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 2

2

:

d AB dOA dOB dOA dOBAB OA OB OB OAdt dt dt dt dt

dOA dOB dOA dOBOA OB OB OAdt dt dt dtd AB

dt AB

d OA d OBOA OB OB OAdt dtd AB

dt AB

De AB

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

[ ] [ ]

2 2

2 2

2 2 (8 )(6 ) 148 2 37(8 ) (6 )

2(8 ) (6 ) (20 ) 2(6 ) (8 ) (30 )2 (2 37)

(440 ) (600 ) 2604 37 37

km kmh h

km kmh h km

h

OA OBOA OB

AB km km AB AB Kmkm km

km km km kmd ABdt km

d AB d ABdt dtkm

+ +

= + + ⇒ = ⇒ =

⎛ ⎞ + + +=⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞+

= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

49) Un tren que sale a las 11:00 a.m. se dirige hacia el este a una velocidad de 45 ,

mientras que otro sale al mediodía de la misma estación, pero se dirige hacia el sur a

60 . Hallar la velocidad con que se separan los trenes a las 3 de la tarde.

N Estación Ta E x 0 ■ x TB Z S y

2 2 2; 45 ; 60 ; 4 ; 3

(45 )(4 ) 180

km kma bh h

kma h

dTa dTbz x y t h t hdt dt

dx dTax t x t x h x kmdt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠




2 2

(6 0 ) (3 ) 1 8 0

(1 8 0 ) (1 8 0 ) 1 8 0 2 2 2 2

(1 8 0 ) (4 5 ) (1 8 0 ) (6 0 ) 1 0 5(1 8 0 2 ) 2

kmb h

km kmh h km

h

d y dT by t y t y h y kmd t d t

d z dx d yz z km z x yd t d t d t

km kmdz d zd t d tkm

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

50) La intercepción de dos calles forman un ángulo 46 grados, si en el instante dos autos

A Y B distan del cruce 100Km, y se alejan con rapidez de , ,

respectivamente. Determine la rapidez de separación de los autos en un instante .

2

45º ; 100 100 ; 80 / ; 60 /

2 2 2 (45º )2 2 2 2 Re

2 2 2 2

A Bdr drOA km OB km km h km hdt dt

OA OB CosAB OA OB

OA OB lacionAB OA OB

d AB dOA dOB dOA dOBAB OA OB OB OAdt dt dt dt dt

θ = = = = =

= + −

= + −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Aplicando laLey del Coseno

2 2

2 2

2 2 2

2

: 2

2(100 ) (100 ) 100 2 2(100 ) (100 )

2(100) (80) 2(100)(60) 2 (80) (

dOA dOB dOA dOBOA OB OB OAdt dt dt dtd AB

dt AB

De la relacion AB OA OBOA OB

AB km km AB kmkm km

d ABdt

⎥⎥

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦=⎜ ⎟⎝ ⎠

= + −

= + − ⇒ = −

⎛ ⎞ + −=⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ ]

( )100) (100)(60)

70 2 2 /2 100 2 2

km h+

= −−

51) Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60 . Una locomotora dista

160km del cruce y se aleja de el a una rapidez de 100 , un auto dista del cruce 160km y




se acerca el con una rapidez de 50 , ¿A qué razón varía la distancia entre los dos después

de media hora?

2 2 2 2 2 2

( ) :( ) :( ) :

Aplicando la Ley del Coseno2 (60º )

2 2 2

x t longitud del tren al cruce en t segy t longitud del auto al cruce en t segz t longitud del tren al auto en t seg

z x y xyCos z x y xy

dz dx dy dxz x y ydt dt dt dt

= + − ⇒ = + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2 2 2 2 2

/ 0.5

100( )0.5 50 50 160 210

50( )0.5 25 160 25 135

(210 ) (135

kmh

kmh

dyxdt

Calculamos los recorridos de c u cuando t hdxx t x h x km x km km x kmdtdyy t y h x km y km km y kmdt

z x y xy z km

⎡ ⎤⎞ ⎛ ⎞+⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦=

⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= + − ⇒ = +

[ ]

2) (210 )(135 ) 339751575502 33975 2(210)(100) 2(135)(50) (135)(100) (210)(50) ( )

33975kmh

km km zdz dzdt dt

− ⇒ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

52) Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a una altura de 5m. Sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro C del puente, (ver fig.) a una velocidad de 12 . En ese mismo instante una lancha L que se

acerca al puente a una velocidad de 20 , dista 100m del punto P situado sobre el agua y

exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera continúa perpendicular al río. ¿Cuál es la velocidad a la cual se están separando la lancha y el auto 8 segundos después de que aquella pasó por el punto P? x: distancia que recorre la lancha desde el momento en que el auto pasa por el punto C. y: distancia que recorre el auto desde el momento en que pasa por C. w: distancia de P a D.

z: distancia que separa la lancha del auto.

Como los triángulos BPD y PCD son rectángulos en P y C respectivamente, se tiene de acuerdo a la relación pitagórica:




2 2 2 2 2 2 2 2

?; 20 ; 12 ; 160 ; 96

( 100) ; 25 (25 ) ( 100)

( 100)2 2 2( 100)

m mseg seg

dz dx dy x m y mdt dt dt

z w x w y z y xdy dxy x

dz dy dx dz dt dtz y xdt dt dt dt z

dzdt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + − = + ⇒ = + + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + − ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 2 2

( 100) 96 (12 ) (160 100) 20

(25 ) ( 100) (25 ) ( 100)

20, 75

m mseg seg

mseg

dy dxy x m mdzdt dtdty x y x

dzdt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + −⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠+ + − + + −

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠Lo que indica que la lancha y el auto se están separando a una rapidez de aproximadamente la calculada.

53) Un hombre situado a 100 metros del pie del hasta de una bandera comienza a caminar, en línea recta hacia el pie del hasta Q razón de 10 . Si el hasta mide 70 metros

de alto. Encontrar la variación por unidad de tiempo ante el hombre y la bandera cuando han transcurrido 2 segundos.

( )

2 2 2 2 2 2

: 10 ; 0 ( ); ` ´ 10 2 ´ 20m mseg seg


dx dy dxPero cte x t x seg x mdt dt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + ⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=− = = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠




( ) ( )( ) ( )

2 2

distancia entre el hombre y el pie del hasta a los 2 seg es :

100 ´ 100 20 80 80 70 10 113

80 10 8010 113 113

mseg m

seg

x x x m m x m z m m z m

mdz dzdt dtm

= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = + ⇒ =

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

54) Un globo está a 200 m sobre el suelo y se eleva a razón de15 . Un auto pasa bajo el

globo por un tramo recto de carretera con velocidad de66 . Se pide calcular la velocidad

con que se separan 1 segundo después.

(1 seg.) dy

Z

y = 200

(1 seg)

dx x

2 2 2 2 2 2

(66 )(1 ) 66 ;

(15 )(1 ) 15 200 15 215

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + ⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = ⇒ = + ⇒ =

mseg

mseg


dx dyx t x seg x m y tdt dt

y seg m y m m y m

2 2 2 2 2 2 2(66 ) (215 ) 224,9(66 ) (66 ) (215 ) (15 )

33,71224,9

= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

+= ⇒ =

m mseg seg m

seg

z x y z x y z m m z mm mdz dz

dt m dt




55) Un terreno circular de radio R se ilumina con un foco colocado en el punto A como indica la figura. Un móvil recorre el segmento BC con movimiento rectilíneo uniforme de rapidez u mientras su sombra S proyectada sobre el muro perimetral describe un movimiento circular de rapidez V. En un instante t cualquiera el móvil se encuentra en un punto P, siendo x la distancia BP y s la longitud del arco BS. Recuerda que: s = R. a) Determine la relación entre y calcula en función de x b) Encuentra la expresión de V como función de x. c) Calcula la rapidez de la sombra cuando el móvil pasa por el punto medio del segmento BO.

a)De la fig. BOD se cumple: = ; : 2 22 2

Existesimetrìa respecto aldiamètro AA , 0

π πϕ θ ϕ θ

θ θ

− = ⇒ = −

′ ⇒ ≤ ≤

− −⎡ ⎤⇒ = = ⇒ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

) )SOD pero SOD

estudiamos x ROP R x R xAOP tg ArctgOA R R

2 2 2

b)Como: ; 2 ; 2 2 2 2

1 12 2

1 1 1

π π θϕ ϕ θ θ

θθ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = ⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎡ ⎤ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ = ⇒ = =⎢ ⎥⎣ ⎦ − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

ds ds ds R V s R Rdt dt dt

dx dx dxRR x d dsR dt R dt dtsi Arctg

R dt dtR x R x R xR R R

dcomo v ( )( )

2

2 22

2 2 . . 1

8) : 2 2 5

⎛ ⎞⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠ + −−⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

x ds v v RV xdt dt R R xR x

RR Rc En el punto medio de BO es x V v




56) Un hombre de 6 pies de estatura corre alejándose de un poste de alumbrado público que tiene una altura de 15 pies, si se mueve a razón de 18 pies/s ¿Qué tan rápido cambia la longitud de su sombra?

ΔSMN y ΔSΔL son semejantes

( )

6 2 25 2( ) 5 2 215 5 3

2 2 (18 ) 123 3

pie pieseg seg

x x x x x x x x x xx x x x

dx dx dx dxdt dt dt dt

′ ′= ⇒ = ⇒ ′ = + ′ ⇒ ′ ′ = ⇒ ′ =

+ ′ + ′′ ′ ′= → = ⇒ =

57) Una piscina cuyas medidas son las indicadas en la fig, tiene agua hasta 4 pies de

profundidad en el extremo mas hondo.

a. ¿Qué porcentaje de la piscina está llena? b. Si se echa agua en ella a razón de 10

pies3/min. ¿a qué ritmo sube el nivel del agua en el instante para el cual hay agua hasta 4

pies de profundidad?.




a. Se debe calcular inicialmente el volumen total de la piscina. Este corresponde al volumen de un sólido cuya base es un trapecio con las siguientes medidas: base mayor: 9 p, base menor: 4 p; y cuyo espesor es de 20 pies.

3(9 4)40( )( ) (20) 52002p p pV área de la base espesor V V pies+

= ⇒ = ⇒ =

Ahora, el porcentaje de piscina llena corresponde al volumen Vll del sólido que aparece

indicado en la fig.

3(4 )( )( ) (2 0 ) 402ll p pLV área de la base espesor V V L p ies= ⇒ = ⇒ =

Como los triángulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente proporción:

3

3 3

5 40 32 (40)(32) 12804

(1280)(100%): 5200 100% 1280 ? 24, 61%5200

ll ll

p ll

L pies V V piesL

si V pies es V pies x

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = = ⇒ = ≅

b. Supóngase que en un instante t determinado, el volumen de piscina llena corresponde al volumen del sólido que aparece en la figura, en el cual, y (nivel vertical) y x (nivel horizontal) están creciendo con respecto al tiempo.




( )

33

2

minmin min

(20) 10 ; : 82 4 32

80 160160

10 1: 10 ; 4160 4 64

Realizando un procedimiento

piespies pies

yx y xV V xy por relación de x y

dVdV dy dy dtV y ydt dt dt y

dV dy dycomo y piesdt dt pies dt

⎛ ⎞= ⇒ = Δ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

min1similar:8

piesdxdt

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

58) Un tanque esférico de agua de radio a contiene este líquido con una profundidad h y

el volumen del agua en el tanque está dado por 3 . Suponga que un

tanque esférico de 5m de radio se está llenando a razón de 400 . Calcule a razón de cuántos metros por segundos se elevan el nivel del agua cuando 1.25 .

( ) 32 3min

1V = 3 ; 5 ; 4000 ; 1.25 ; ?; 6.6 103

l ms

dV dh dVh a h a m h m xdt dt dt

−− = = = = =π

[ ]

( ) ( ) ( )

3

2 3 2

3 36

6

1 2 23

6.6 10 6.6 10 192.07 102 10 1.25 ( ) 1.25 34.36

192.07 10

ms m

s

dV dh dh dV dhV a h h h h a h hdt dt dt dt dt

dVxdh dh xdt x

dt a h h dt m m

dh mxdt s

π π π π π

π π

− −−

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎝ ⎠⎢ ⎥= ⇒ = = =⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

=

59) Un tanque esférico está cubierto por una capa uniforme de hielo de 2pulg de grueso. El volumen de hielo se derrite con una rapidez directamente proporcional al área de la superficie. Demuestre que es constante la rapidez de cambio del diámetro exterior.




( )2 2 4 (Volumen del cascarón del Hielo); 4

ya que la variación del volumen de hielo es directamente proporcional al área de la superficie

tal constante de proporcionalidad es , P

d VV r r r

dt

r

π α πΔ

Δ = Δ

Δ

( )

( )

2 2

3

ero para que sea constante r no debe variar

y es precisamente lo que se tiene pues el radio del tanque no varia: 4 2 8

4Para el diámetro exterior, el volumen es: V = r + r y su 3

c

dVdt

V r V rπ π

π

Δ = ⇒Δ =

Δ

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

rapidez de cambio es:

4 4 4

k es la constante de propòrcionalidad, ya que r no varia y 2 lg, = constante.

d VdV dVr r r r k rdt dt dt

dVr pudt

π π πΔ

= + Δ ⇒ = + Δ

Δ =

60) Un vaso de papel con agua tiene la forma de un cono circular recto truncado de 15 cm de altura con radios de la base y de la orilla libre de 2 cm y 4 cm, respectivamente. El agua se fuga del vaso a razón de 100 , ¿A qué razón de cuántos cm por hora disminuye la profundidad del agua cuando es de 10 cm? Nota: el volumen de un cono circular recto

truncado de altura h y radios a y b en los extremos está dado por:

3100 ; ?; 10

( ) ( ) var :2 2 2 ( ) : 2 2

15 15 15

cmh

dV dh h cmdt dtya que h y el radio mayor b ian por los triángulos semejantes de la figura se tienex h hx El radio mayor b es igual a b xh

= = =

⇒

= ⇒ = ⇒ = + = +




( )2 2

2 2 22

2

1 : 3

1 2 2 1 2 42 2 2 2 8 23 15 15 3 15 15

1 2 4 28 2 23 15 15 15

el volumen del cono truscado es V h a b ab

h h h hV h V h h

dV dh h dh h h dhdt dt dt dt

= + + ⇒

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + ⇒ = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

π

π π

π

2

2

815

1 2 4 2 88 2 23 15 15 15 15

1 30 20 40 30 20 80 10 , 83 15 15 15 15

1 100 80 8083 9 9 9

h dhdt

dV dh h h h hdt dt

dV dhCuando h cmdt dt

dV dhdt d

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

π

π

π

3

1 300 100 3 9 9

100 9 100 9 : 100 9 100

cm cmh h

dV dh dV dht dt dt dt dt

dV dh dV dh xYa que el agua se fuga del vaso sidt dt dt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞= − ⇒ = ⇒ =− =⎜ ⎟⎝ ⎠

π π

ππ π

61) La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pie de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pie en un tramo horizontal de 40 pie y después continua al mismo nivel los 20 pie restantes, como se ilustra en la figura, la cual representa una sección transversal. La piscina se esta llenando a razón de agua. Calcule aproximadamente la rapidez de cambio del nivel del agua en el momento en que la profundidad en la parte más honda es de 4pie (1 gal « 0.1337 pie3).

( )( ) ( )2

2

, :9 4 5 120 30 30 , 7.1250º

2 40 40 815600 600 120

El volumen de agua en la piscina dada una altura h eshxV h tg

h h htg x V h V h hx tg tg

−= + ⇒ = = = =

= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +

α α

αα α




( )

( )

3

min min

min

600 240 : 500 66.85 ; 4

66.85 0.042600 240 4

gal pies

pies

dV dh dVh si h piesdt dt dtdh dhdt dt

⎛ ⎞= + ⇒ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ = ⇒ =⎜ ⎟ +⎡ ⎤⎝ ⎠ ⎣ ⎦

62) En la figura se muestran las posiciones relativas de una pista de aeropuerto y una torre de control de 20 pie de altura. El principio de la pista esta a una distancia perpendicular de 300 pie de la base de la torre. Un avión alcanza una velocidad de 100 mi/h después de recorrer 300 pie sobre la pista. Calcule la rapidez de cambio de la distancia entre el avión y la cabina de la torre de control.

( )

2 2 2 2

2 2

20 300 90400, : 90400 2 2

: 300 (300) 90400 424.74; 100

300 300 100 70.63424.74

mih

mih

dx ddpero x d x ddt dt

dxsi x d ddt

dd dx dd dddt d dt dt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⇒ = + ⇒ ≅ =

⎛ ⎞= ⇒ ≅ ⇒ ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

63) A través de un filtro de papel cónico escurre agua a una taza, como se muestra en la figura. Sea x la altura del agua en el filtro y y la altura del agua en la taza. Determine la

relación entre , , cuando el filtro contiene 10 pulg3 de agua.




( )

( )

22 2 2

23 2

2

3

110 lg Por triángulo semejantes: 3 2 4 2 4

41 1 1 3 4 12 4

1: 10 10 3.367780602 lg . 0.11225912

π

π π ππ

π

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

filtro

dVdt

r x x xV pu V r x r r

x dV dx dxV x V x xdt dt dt x

dx dVSi V x x pudt dt

( )22

filtro

2 22

Para la taza: 2 4 4

Como el cambio en el v = es igual al cambio

1 144 4 4 16

π π π π

ππ ππ

⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= = ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

taza taza

taza

dv dyv r y y v ydt dt

v

dx dy dy x dx dy x dxxdt dt dt dt dt d

( ) ( ): 3.367780602 lg 0.709 1.411

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ≅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

t

dy dx dx dypero x pudt dt dt dt

64) El “diamante” de un campo de softball, tiene la forma de un cuadrado de 60pie de lado. Un jugador corre de segunda a tercera base a 25 , ¿A razón de cuantos pies por

segundo va cambiando su distancia a “home plate” cuando está a 20 pie de la tercera base?

2 2 2 2 2 2 60 3600 3600y r r y r y+ = → = + → = +




( )

( )

( ) ( )

( )( )

2

2 2

2

: 60 , 60 , tan : 60 3600

2 6060

2 60 3600 60 3600

: 20 25 60 60 20 40

60 2560 3600

Además x y y x por lo to r x

dxxdr x dxdtdt dtx x

dxsi y y x y xdt

dr xdt x

+ = = − = − +

⎛ ⎞− − ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞⎝ ⎠= = − ⎜ ⎟⎝ ⎠− + − +

= = ⇒ = − ⇒ = − =

−= − = −

− +7.9056 pies

s

65) Los extremos de un abrevadero de 3 m de largo tienen la forma de un triágulo equilátero, con lados de 60 cm. Se suministra agua al abrevadero a razón de 20 , ¿Cuál es la rapidez de cambio o variación del nivel del agua cuando la profundidad es de 20cm.

3 2 2min 300 ; 200 ; 20000 60 30 30 3

Si h es la profundidad del agua, entonces r varía al variar h. 1 : 2 , 2

30 30 30 3 3 3 3 330 3

cmdVL cm h cm H cmdt

El área del triángulo A rh

r h h h hr r r A h Ah H H

= = = ⇒ = − =

= ⇒

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

( )

2

22

min

3

300 3 : 100 33

1 1 5 200 3 20000200 3 200 3 20 3

cm

h

hEl volumen esta dado por V AL V V h

dV dh dh dV dhhdt dt dt dt dth

= ⇒ = ⇒ =

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = = = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

DÁMASO ROJAS AGOSTO 2009

razones afines

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