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Razonamiento Combinatorio

1) Introducción La combinatoria o análisis combinatorio es la parte de la Matemática que estudia las diferentes maneras en que se pueden formar agrupaciones entre elementos de uno o más conjuntos y como contar ordenadamente su número. Según Fischbein: “El Análisis Combinatorio, con sus conceptos y métodos no representa solamente un dominio definido de la matemática. Expresa un esquema operacional, (en la terminología Piagetiana), un prerrequisito estructural importante para la dinámica y potencia creativa del razonamiento lógico en general”. Piaget e Inhelder (1951) describen el desarrollo psicogenético de las operaciones combinatorias en los distintos estadios de desarrollo. Sus experimentos han probado que el niño de preescolar (preoperatorio) sólo puede hacer algunas agrupaciones de una manera empírica, y no intentan encontrar un método de realizar un inventario exhaustivo. Por ejemplo, puede formar parejas de objetos o permutar objetos entre sí, pero nunca de una forma completa y siempre con pocos elementos. Durante el período de las operaciones concretas , los niños buscan modos de realizar inventarios de todas las permutaciones, variaciones y combinaciones posibles en un conjunto dado, con un número pequeño de elementos y llegan a procedimientos rudimentarios de cálculo mediante ensayo y error. Por ejemplo, son capaces de encontrar todas las agrupaciones de 3 objetos o todas las parejas posibles a partir de un número pequeño de objetos, mediante ensayo y error, sin seguir un método sistemático. Piaget e Inhelder afirman que, durante la etapa de las operaciones formales , el niño adquiere la capacidad de usar procedimientos sistemáticos para realizar inventarios de todas las agrupaciones posibles de un conjunto dado de elementos, por tanto, es también en este momento en el que tiene lugar la comprensión por parte del niño de las citadas operaciones combinatorias. Fischbein (1975) analiza los resultados obtenidos por Piaget e Inhelder en el estadio de las operaciones formales organizando para ello experimentos de enseñanza con ayuda del diagrama en árbol y de materiales manipulativos. Demostrando que los niños con ayuda de instrucción, asimilan procedimientos enumerativos basados en la construcc ión de diagramas de árbol. El diagrama en árbol, es considerado un modelo generativo en cuanto sugiere y facilita una generalización iterativa o recursiva (problemas sucesivos con un mayor número de elementos cada vez) y una generalización constructiva (problemas derivados del inicial), siendo estas las dos características esenciales del razonamiento recursivo, propio de la combinatoria. Hadar y Hadass (1981) examinan las dificultades típicas con que se encuentra el alumno al resolver los problemas combinatorios citando las siguientes:

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• Identificación del grupo de sucesos u objetos que se pide enumerar o

contar. A veces los estudiantes no reconocen el conjunto correcto de objetos que se debe enumerar. En general, una percepción incoherente de dicho grupo lleva a conclusiones erróneas. Hay que tener en cuenta, además, que en el enunciado de los problemas combinatorios hay a veces convenios implícitos que no quedan claros para el alumno.

• Elegir una notación apropiada. Los estudiantes a menudo se enfrentan

con la dificultad de elegir la notación apropiada que represente de una forma compacta toda la información y condiciones dadas. Esta dificultad aumenta por el hecho de que diferentes textos presentan distintas notaciones para las operaciones combinatorias.

• Fijación de una o más variables. Debido a su complejidad, en los

problemas combinatorios compuestos, es necesario fijar una o más de las variables para obtener un método contable coherente y luego generalizar, a fin de obtener una solución válida para cualquier valor de la variable que se fijó previamente. Esto implica añadir una más a las restricciones impuestas por el problema y es un paso no convencional para los alumnos, que están acostumbrados a usar tan solo las hipótesis dadas en los enunciados.

• Generalizar la solución: Muchas veces, aunque el alumno resuelve con éxito un problema combinatorio para varios casos particulares, fallan al encontrar una solución general, al no ser capaz de unir las soluciones de una forma recursiva.

2) ¿Cómo contar ordenadamente? En Combinatoria es esencial el saber contar ordenadamente. Para ello se puede usar:

• Contar directamente los elementos. • Producto cartesiano. • Diagramas de árbol. • Tablas de contingencia (doble entrada) • Formulas combinatorias.

3) El diagrama de árbol Es un procedimiento para construir y contar todas las posibles formas de combinar elementos de uno o más conjuntos. El diagrama de árbol permite ver gráficamente todas las agrupaciones posibles. En él se pueden observar en forma ordenada los elementos de cada agrupación y las relaciones entre ellos a través de trazos que los unen. Supera en cuanto a claridad a las diversas representaciones del producto cartesiano.

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El diagrama de árbol facilita el acceso a las tablas de contingencia y posteriormente a una expresión más abstracta como son las formulas combinatorias. 4) Técnicas combinatorias a través de diagrama de á rbol. Las técnicas combinatorias son métodos para determinar cuantas agrupaciones se pueden obtener con los elementos de de uno o mas conjuntos. Estudiaremos cuatro técnicas combinatorias:

a) Principio de multiplicación. b) Variaciones con repetición. c) Permutaciones. a) Combinaciones.

a) Principio de multiplicación: Si un evento puede ocurrir de m maneras y un segundo evento puede ocurrir independientemente del primero de k maneras, entonces los dos eventos pueden suceder de m.k maneras. Ej.: Queremos combinar ordenadamente los elementos de dos conjuntos A y B , que tienen 5 y 3 elementos respectivamente. A B 1 1 2 2 3 3 4 5 Cada elemento de A se puede combinar con los 3 elementos de B, por lo tanto el número total de combinaciones es 5 x 3 = 15. b) Variaciones con repetición: Son las formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que se pueden repetir y el cambio en el orden de cada grupo, genera nuevas agrupaciones. Ej.: Un conjunto de 5 elementos variados de 3 en 3. 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 Cada uno de los 5 elementos ubicados en primer lugar se pueden combinar con cada unos de los 5 elementos ubicados en segundo lugar y con cada uno de los 5 elementos ubicados en tercer lugar, por lo tanto el número total de combinaciones es 5 x 5 x 5 = 5 3 = 125 c) Permutaciones: Son formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que NO se pueden repetir los elementos y el cambio en el

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orden de cada grupo, genera nuevas agrupaciones. Ej.: Un conjunto de 5 elementos permutados de a 3. Como no se pueden repetir los elementos en los grupos, cada uno de los 5 elementos ubicados en primer lugar se pueden combinar con cada unos de 4 elementos ubicados en segundo lugar y a la vez con cada uno de 3 elementos ubicados en tercer lugar, por lo tanto el número total de combinaciones es 5 x 4 x 3 = 60 d) Combinaciones Son las formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que NO se pueden repetir los elementos en cada grupo y el cambio en el orden de cada grupo NO genera nuevas agrupaciones. Ej.: Un conjunto de 5 elementos combinado de a 3. Como no se pueden repetir los elementos en cada grupo (de la misma manera que en las permutaciones), se tienen 5 elementos para el primer lugar, 4 para el segundo y 3 para el tercero. 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 5 Pero se este caso se diferencia de las permutaciones en que una agrupación que tiene los mismos elementos que una “anterior”, pero en distinto orden, no genera un nuevo grupo.

1 2 2 2 3 4 3 4 5 4 5 5

1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 5

1 2 2 2 3 3 3 4 5 4 5 5

1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5

1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5

1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 5

1 2 2 2 3 4 3 4 5 4 5 5

1 2 2 2 3 3 3 4 5 4 5 5 {1; 3; 2} es igual a

{1; 2; 3} que ya fue contado

{1; 4; 2} y {1; 4; 3} ya fueron contados

{1; 5; 2}, {1; 5; 3} y {1; 5; 4} ya fueron

contados

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Procedemos de la misma manera para los grupos que tienen como primer elemento al 2. Procedemos de la misma manera para los grupos que tienen como primer elemento al 3. Finalmente observamos que ya fueron contados todos los grupos {4; … ; … } y {5; … ; … }. El total de combinaciones que contamos es 10. e) Relación entre permutación y combinación. Continuemos con el ejemplo de de 5 elementos tomados de a 3. Tomamos una terna: por ejemplo: {1; 2; 3}. Cambiando el orden de la misma se pueden generar las siguientes ternas: {1; 2; 3} - {1; 3; 2} - {2; 1; 3} - {2; 3; 1} - {3; 1; 2} - {3; 2; 3}. Todas estas ternas se cuentas en el caso de las Permutaciones, donde el orden de los elementos genera una nueva terna. En el caso de combinaciones estas seis ternas solo se cuentan una vez, ya que el orden de los elementos no genera nuevas ternas. De lo cual se deduce que si el total de permutaciones de 5 tomados de 3 en 3 es igual a 60, el total de combinaciones es 60 / 6 = 10.

1 1 1 2 3 3 3 4 4 4 5 5

1 1 3 2 3 4 3 4 5 4 5 5

1 1 1 2 3 4 3 4 5 4 5 5

1 1 1 2 3 3 3 4 5 4 5 5

1 1 1 2 2 2 3 4 5 4 5 5

1 1 1 2 2 4 3 4 5 4 5 5

1 1 1 2 2 2 3 4 4 4 5 5

1 1 2 2 2 4 3 4 5 4 5 5

Ya fueron contados todos los grupos { 2; 1; …}

{2; 3; 1} ya fue contado

{2;4;1} y {2;4;3} ya fueron contados

Ya fueron contados todos los

grupos {2; 5; …}

Ya fueron contados todos los grupos { 3; 1; …}

Ya fueron contados todos los grupos {3; 2; …}

{3; 4; 1} y {3;4;2} ya fueron contados

Ya fueron contados todos los grupos {3; 5; … }

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O lo que es lo mismo, la cantidad de combinaciones que se pueden formar con los elementos de un conjunto de m elementos (tomadas de n) es igual a la cantidad de permutaciones de ese conjunto de m elementos (tomadas de n), dividido por la cantidad de permutaciones de un n elementos (tomados de n). 5) Bibliografía.

• Fischbein, E. (1975). The intuitive sources of probabilistic thinking in children. (Los orígenes intuitivos del pensamiento probabilístico en los niños). Dordrecht: Reidel.

• Hadar, N.y Hadass, R. (1981). The road to solving a combinatorial

problem is strewn with pitfalls. (El camino para solucionar un problema combinatorio sembrado de riesgos). Educational Studies in Mathematics.

• Inhelder, B. y Piaget, J. (1955). De la lógica del niño a la lógica del

adolescente. Barcelona: Paidós. • Piaget, J. e Inhelder, B. (1951). La génèse de l´idée de hasard chez

l´enfant. (La génesis de la idea de azar en el niño). Paris: Presses Universitaires de France.

• Roa Rafael y Navarro-Pelayo Virginia. Razonamiento Combinatorio e

Implicaciones para la Enseñanza de la Probabilidad. Universidad de Granda.

http:/www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Roa-Navarro.doc