1. RAZN Y PROPORCIN NUMRICA Razn entre dos nmeros

a Razn entre dos nmeros a y b es el cociente b 10 =5 Por ejemplo la razn entre 10 y 2 es 5, ya que 2 0.15 1 = 2 Y la razn entre los nmeros 0.15 y 0.3 es 0.3

Proporcin numrica

Los nmeros a, b, c y d forman una proporcin si la razn entre a y b es la misma que entre c y d.

a c = d Es decir bSe lee a es a b como c es a d Los nmeros 2, 5 y 8, 20 forman una proporcin, ya que la razn entre 2 y 5 es la misma que la razn entre 8 y 20.

2 8 = Es decir 5 20 a c = d hay cuatro trminos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman En la proporcin bmedios. La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporcin, el producto de los extremos es igual al de los medios.

2 8 = As en la proporcin anterior 5 20 se cumple que el producto de los extremos nos da2x20=40 y el producto de los medios nos da 5x8=40

a c = a.d = b.c EN GENERAL b d

2. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALESSi dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden segn la siguiente tabla: Magnitud 1 a b c d Magnitud 2 a b c d son directamente proporcionales si se cumple que: ... ...

a b c = = = ... a' b' c'Ejemplo Un saco de patatas pesa 20 kg. Cunto pesan 2 sacos? Un cargamento de patatas pesa 520 kg Cuntos sacos se podrn hacer? Nmero de sacos Peso en kg 1 20 2 40 3 60 ... ... 26 520 ... ...

Para pasar de la 1 fila a la 2 basta multiplicar por 20 Para pasar de la 2 fila a la 1 dividimos por 20

1 2 3 = = = ... Observa que 20 40 60Las magnitudes nmero de sacos y peso en kg son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad para pasar de nmero de sacos a kg es 20.

3. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTAEjemplo 1 En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. Cuntos litros de agua de mar contendrn 5200 gramos de sal? Como en doble cantidad de agua de mar habr doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales. Si representamos por x el nmero de litros que contendr 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla: Litros de agua 50 x Gramos de sal 1300 5200

50 x = Se verifica la proporcin: 1300 5200Y como en toda proporcin el producto de medios es igual al producto de extremos, resulta: 50.5200=1300.x Es decir En la prctica esto se suele disponer del siguiente modo:

x=

50.5200 = 200 1300

En 50 l hay 1300 g de sal 50 l ____ 1300 g 50.5200 = 200 x = En x l habr 5200 g de sal x l _____ 5200 g 1300Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa. Ejemplo 2 Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depsito 6 litros, cuntos kilmetros podr recorrer el coche?

Luego con 6 litros el coche recorrer 120 km

5 l ______ 100 km 6.100 = 120 x = 6 l ______ x km 5

4. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALESSi dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden segn la siguiente tabla: Magnitud 1 a b c Magnitud 2 a b c son inversamente proporcionales si se verifica que: a.a = b.b = c.c = ... Ejemplo Si 3 hombres necesitan 24 das para hacer un trabajo, cuntos das emplearn 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso a doble nmero de trabajadores, el trabajo durar la mitad; a triple nmero de trabajadores, el trabajo durar la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son inversamente proporcionales. Formamos la tabla: Hombres Das 3 24 6 12 9 8 ... ... 18 ? ... ...

Vemos que los productos 3.24=6.12=9.8=72 Por tanto 18.x=72 O sea que los 18 hombres tardarn 4 das en hacer el trabajo

5. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSAEjemplo 1 Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 das. Cuntos das podr alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas? Vemos que con el mismo pienso, si el nmero de vacas se duplica, tendr para la mitad de das; a triple nmero de vacas, tercera parte de das, etc. Por tanto son magnitudes inversamente proporcionales. x= nmero de das para el que tendrn comida las 450 vacas N de vacas N de das 220 45 450 x

Se cumple que: 220.45=450.x, de donde En la prctica esto se suele disponer del siguiente modo:

x=

220.45 = 22 450

Luego 450 vacas podrn comer 22 das

220 vacas tienen para 45 das 220 vacas ____ 45 das 220.45 = 22 x = 450 vacas tienen para x das 450 vacas _____ x das 450

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa. Ejemplo 2 Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. Cul deber ser la capacidad de esos toneles?

8 toneles _____ 200 litros 8.200 = 50 x = 32 toneles ____ x litros 32 Pues la cantidad de vino=8.200=32.xDebemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.

6. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES Regla de tres compuesta. Mtodo de reduccin a la unidad

Ejemplo 1: Proporcionalidad directa Cuatro chicos en una acampada de 10 das han gastado en comer 25000 ptas. En las mismas condiciones cunto gastarn en comer 6 chicos durante una acampada de 15 das? Doble nmero de chicos acampados el mismo nmero de das gastarn el doble. Luego las magnitudes nmero de chicos y dinero gastado son directamente proporcionales. El mismo nmero de chicos, si acampan el doble nmero de das gastarn el doble. Luego las magnitudes nmero de das de acampada y dinero gastado son directamente proporcionales. Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, n de chicos y n de das con la cantidad desconocida, gasto. SABEMOS QUE

REDUCCIN A LA UNIDAD

BSQUEDA DEL RESULTADO

en gastan 4 chicos 10 das 25000 ptas en gasta 25000 1 chico 10 das = 6250 ptas 4 en gasta 6250 1 chico 1 da = 625 ptas 10 en gastan 6 chicos 1 da 625.6 = 3750 ptas en gastan 6 chicos 15 das 3750.15 = 56250 ptas

Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa 15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 das en realizar un trabajo. Cuntos das tardarn en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?

Doble nmero de obreros trabajando el mismo nmero de das trabajarn la mitad de horas al da para realizar el trabajo. Por tanto el nmero de obreros y el nmero de das de trabajo son inversamente proporcionales. Doble nmero de horas diarias de trabajo el mismo nmero de obreros tardarn la mitad de das en realizar el trabajo. Luego el nmero de horas diarias de trabajo y el nmero de das de trabajo son inversamente proporcionales. Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, n de obreros y n de horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, n de das de trabajo. SABEMOS QUE

trabajando tardan 15 obreros 6 horas diarias 30 das REDUCCIN 1 obrero trabajando 6 horas diarias tarda 30.15 = 450 das A LA trabajando tarda UNIDAD 1 obrero 1 hora diaria 450.6 = 2700 das trabajando tardan 2700 BSQUEDA 10 obreros 1 hora diaria 10 = 270 das DEL RESULTADO 10 obreros trabajando 8 horas diarias tardan 270 = 33.75 das 8Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarn 33.75 das