Raúl Ibáñez Torres · LOS SECRETOS DE LA MULTIPLICACIÓN DE LOS BABILONIOS A LOS ORDENADORES...

Raúl Ibáñez Torres

Los secretos de la multiplicación DE LOS BABILONIOS A LOS ORDENADORES

G110 Multiplicacion (6).indd 3 25/07/19 14:59

DISEÑO DE CUBIERTA: ESTUDIO SÁNCHEZ/LACASTA

LAS FIGURAS 2, 18, 19 Y 20 DEL CAPÍTULO 1 HAN SIDO ADAPTADAS DE G. IFRAH, HISTORIA UNIVERSAL DE LAS CIFRAS, ESPASA, 2002

© RAÚL IBÁÑEZ TORRES, 2019

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LOS SECRETOS DE LA MULTIPLICACIÓNDE LOS BABILONIOS A LOS ORDENADORES

ISBN: 978-84-9097-826-9DEPÓSITO LEGAL: M-26.481-2019IBIC: PDZ

ESTE LIBRO HA SIDO EDITADO PARA SER DISTRIBUIDO. LA INTEN-CIÓN DE LOS EDITORES ES QUE SEA UTILIZADO LO MÁS AMPLIA-MENTE POSIBLE, QUE SEAN ADQUIRIDOS ORIGINALES PARA PERMI-TIR LA EDICIÓN DE OTROS NUEVOS Y QUE, DE REPRODUCIR PARTES, SE HAGA CONSTAR EL TÍTULO Y LA AUTORÍA.

COMITÉ EDITORIAL

Ágata A. Timón (ICMAT)Agustín Carrillo de Albornoz Torres (FESPM)Manuel de León Rodríguez (ICMAT)Serapio García Cuesta (FESPM)

COMITÉ ASESOR

David Martín de Diego (ICMAT)Juan Martínez-Tébar Giménez (FESPM)Onofre Monzó del Olmo (FESPM)


Al número primo 1.965.196.818.010.211


ÍNDICE

Introducción 9

Capítulo 1. Las cuatro operaciones aritméticas básicas 15

Capítulo 2. Las manos, la primera calculadora 51

Capítulo 3. Multiplicar no es difícil, basta con saber duplicar 69

Capítulo 4. De los babilonios a los ordenadores 85

Capítulo 5. Calculando sobre la arena con los números indios 101

Capítulo 6. El algoritmo de multiplicación moderno, heredero de los métodos indios y árabes 119

Bibliografía 151


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Introducción

Un día se encontró en presencia de su jefe inmediato, que

estaba esforzándose por establecer el resumen mensual de

la cantidad de bidones cargados y su peso total.

—A ver, noventa y cinco por noventa y dos —masculló el

jefe—. ¿Dónde está la calculadora?

—Ocho mil setecientos cuarenta —dijo Nombeko.

—Mejor ayúdame a buscar, pequeña.

—Ocho mil setecientos cuarenta —repitió ella.

—¿Qué dices?

—Noventa y cinco por noventa y dos son ocho mil sete

cien…

—¿Y cómo lo sabes?

—Bueno, verá, pienso en que noventa y cinco son cien

menos cinco, y noventa y dos, son cien menos ocho. Si cru

zas las cifras y restas la diferencia, es decir, noventa y cinco

menos ocho y noventa y dos menos cinco, siempre da

ochenta y siete. Y cinco por ocho son cuarenta. Ochosiete

cuarenta. Ocho mil setecientos cuarenta1.

—¿De dónde has sacado ese método de cálculo? —inquirió

si jefe, pasmado.

—No lo sé. ¿Podemos seguir trabajando?

Entonces, la ascendieron a ayudante del jefe.

Jonas Jonasson, La analfabeta que era un genio de los

números, Salamandra, 2013.

Los números y las cuatro operaciones básicas de la aritmética, suma, resta, multiplicación y división, forman parte de nuestra vida de una forma natural, como una realidad única e invariable. Son objetos —los números— y procedimientos —las operaciones aritméticas— completamente familiares

1. 95 · 92 = (100 – 5) · (100 – 8) = 100 · 100 – 5 · 100 – 8 · 100 + 5 · 8 = (100 – 5 – 8) · 100 + 5 · 8 = 87 · 100 + 5 · 8 = 8.740.


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para nosotros, que manejamos a diario, desde que los aprendemos en la escuela, sin los cuales no podríamos desarrollar una parte importante de nuestras actividades cotidianas. Sin em bargo, identificamos los números con su representación y las operaciones aritméticas con sus algoritmos de cálculo, sin per catarnos de que no son lo mismo y de que los sistemas de nu meración y los métodos que utilizamos para sumar, restar, multiplicar y dividir no siempre fueron así.

A lo largo de la historia de la humanidad, los diferentes pueblos que han habitado el planeta han inventado formas muy distintas de representar los números, desde los antiguos sistemas de numeración unarios, que consistían en la repetición de la unidad, ya fuera esta una piedra, una muesca o un nudo, pasando por los sistemas aditivos, que representaban los números mediante la acumulación de las cifras básicas, como en los números romanos o los “cálculos” sumerios, hasta los sistemas de numeración posicionales, como el sexagesimal babilonio o el decimal indoarábigo utilizado de forma casi universal en la actualidad. Además, de forma paralela a las representaciones de los números que se fueron inventando, estos mismos pueblos crearon diferentes procedimientos de cálculo para las operaciones aritméticas.

El objetivo del presente libro es el estudio de la evolución de los algoritmos de multiplicación desde la Antigüedad hasta nuestros días. El motivo de la elección de esta operación aritmética básica, frente a la suma, la resta o la división, es que es la que mejor ilustra la evolución histórica y cultural de los diferentes procedimientos de cálculo asociados a los sistemas de numeración que surgieron a lo largo de la historia. Asimismo, es una operación aritmética de una gran riqueza en cuanto a la cantidad y variedad de métodos de cálculo desarrollados. Ya solo para el sistema de numeración posicional moderno, heredero del desarrollado en la antigua India y que viajó a Europa a través del mundo árabe, se creó toda una plétora de métodos de computación.


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El libro se divide en seis capítulos, a lo largo de los cuales se describe el desarrollo histórico de los algoritmos de multiplicación, teniendo en cuenta tanto los distintos tipos de sistemas de numeración como los diferentes enfoques que se plantearon los pueblos para resolver el problema de la realización de las multiplicaciones, en general, de las operaciones aritméticas.

En el capítulo 1 se introducen las cuatro operaciones aritméticas básicas. Se parte de las ideas intuitivas que dieron lugar a las mismas, hace decenas de miles de años, y se muestran ejemplos de distintos algoritmos históricos para la suma, la resta, la multiplicación y división. En particular, se presentan métodos de cálculo para los sistemas unarios de los pueblos primitivos, para el sistema aditivo sumerio que utilizaba cálculos de arcilla, para los números y el ábaco romanos, para la numeración china con varillas, así como los algoritmos modernos para la suma y la resta, o el método de la caja utilizado en las escuelas para aprender a multiplicar. Además, se explica el origen y la evolución de los signos que utilizamos para las operaciones aritméticas de la suma (+), la resta (–), la multiplicación (, ·) y la división (:).

Contar con los dedos de las manos es una actividad humana que se remonta al origen del concepto de número y que sigue estando presente en nuestros días. Además, es una actividad universal que han practicado todos los pueblos del mundo, de todos los tiempos. En el capítulo 2 se analizan diferentes formas de contar con los dedos de las manos desde una perspectiva cultural, mostrando las técnicas que se han desarrollado en entornos culturales y geográficos diversos, muchas de ellas tradicionales, pero que siguen utilizándose en la actualidad, e incluso se introducen algunas técnicas modernas, como el método binario o el chisanbop. Asimismo, se muestra un método muy antiguo, utilizado en diferentes partes del mundo, que permitió contar hasta un millón. Para terminar el capítulo, se describe un sencillo procedimiento para multiplicar con las manos, conocido como la multiplicación de los campesinos franceses.


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El capítulo 3 está dedicado a dos métodos para multiplicar, para los cuales solo es necesario saber multiplicar y dividir por dos. Estos ejemplos ponen de manifiesto como el ser hu mano es capaz de adaptarse, desarrollando sencillos procedimientos de cálculo, cuando, por diferentes circunstancias, no puede acceder al uso de técnicas más complejas.

El primer sistema de numeración posicional de la historia, inventado hace unos cuatro mil años, fue el sistema sexagesimal de los eruditos babilonios, que se explica en el capítulo 4, junto con los algoritmos que se desarrollaron para la multiplicación y la división. En este capítulo también se muestra como los matemáticos y astrónomos babilonios utilizaron las identidades notables tanto para realizar aproximaciones de las raíces cuadradas como para simplificar las multiplicaciones, apoyándose en tablas de cuadrados de números. De hecho, las tablas de (cuartos de) cuadrados siguieron siendo utilizadas por las personas de ciencia, a lo largo de la historia, con el mismo objetivo, llegando incluso a utilizarse en la era de los ordenadores.

En la actualidad el sistema de numeración utilizado de forma generalizada en prácticamente todo el mundo es el co nocido como sistema indoarábigo o moderno, descendiente del sistema de numeración posicional decimal de la antigua India, ya sea con la grafía usual de los números, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, o la utilizada en los países árabes orientales. En el capítulo 5 se estudia el origen y la evolución de la numeración moderna, así como los primeros métodos de cálculo de los indios y los árabes, que utilizaron sobre el ábaco de arena. En los procedimientos de cálculo con arena se iban borrando los pasos y resultados intermedios, pero estos daban lugar a muchos errores al borrar por error parte de la información, y no permitían comprobar después las operaciones, por lo que se fueron inventando nuevos métodos en los que no se borraban los pasos intermedios, que también se describen en este capítulo.

El capítulo 6 se centra en la gran variedad de algoritmos de multiplicación, para realizar sobre papel, que se desarrollaron para los números indoarábigos. Se inicia el capítulo con un


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procedimiento del Renacimiento europeo, los bastones de Na pier, heredero de un método árabe destacado, llamado de celosía, que es analizado después en el capítulo, junto con algunos otros métodos derivados de este y recogidos en la Aritmética de Treviso (1478), que son prácticamente el algoritmo moderno para la multiplicación. Se finaliza el capítulo con una cuantiosa cantidad de algoritmos, indios, árabes y europeos, la mayoría recogidos en textos clásicos de aritmética, como los de los matemáticos indios Brahmagupta (590670) y Bhaskara Acharya (11141185), el matemático árabe Abu’l Hasan alUqlidisi (aprox. 920980), el matemático italiano Luca Pacioli (aprox. 14451517) y otros de orígenes más inciertos.

Además, cada capítulo se cierra con una serie de actividades didácticas, con una importante componente creativa, con el objetivo de entender mejor, con mayor profundidad y desde otras perspectivas lo estudiado en el texto, e incluso, con el propósito de aprender más. En ellas se anima a las personas que lean este libro a construir su propia calculadora para su mar, inventar nuevos sistemas de numeración, imaginar mundos sin números, realizar estadísticas sobre métodos de contar con los dedos, jugar a la morra, inventar métodos de multiplicar para extraterrestres, con la particularidad de que tengan seis dedos o les sea sencillo multiplicar por tres, adentrarse en el mundo de los números binarios, realizar trucos de magia con números, construir patrones geométricos planos con el trián gulo de Pascal o las tablas de multiplicar, construir demostraciones visuales, adentrarse en el interesante mundo de las palabras que utilizan los diferentes pueblos para los números, practicar con un ábaco de arena casero o construir su propio ábaco neperiano, entre otras actividades.


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Capítulo 1

Las cuatro operaciones aritméticas básicas

El origen de la aritmética, en particular, de las cuatro operaciones aritméticas básicas de las que se hablará en este capítulo —suma, resta, multiplicación y división— está profundamente ligado al origen de los números y es fruto de las necesidades, relacionadas con la forma de vida de los pueblos en los que se origina. Los números surgen de la voluntad de la humanidad de contar los días y las lunas, los animales cazados o la cantidad de personas que forman el grupo o poblado. Las representaciones numéricas nacen del interés en registrar dichas cantidades, como los números de las transacciones económicas representados con guijarros y encerrados en bolsas de arcilla en sumeria, los datos del censo como nudos en los quipus incas o las muescas en palos de madera para registrar las cabezas de ganado por parte de los pastores europeos. Y la aritmética se origina por la necesidad que se produce en los pueblos cada vez más avanzados de realizar una contabilidad.

Hacia el final de la prehistoria de la humanidad, el ser humano empezó a asentarse, abandonando su vida nómada, y con los asentamientos inició el desarrollo de la agricultura y la ganadería. Como consecuencia de todo ello se originó el co mercio, primero el intercambio de productos y, posteriormente, la compraventa. Después empezó a vivir en grandes asentamientos, en ciudades, lo que llevó a la organización y gobierno


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de estas, y de otras estructuras socioeconómicas más amplias, a la creación de servicios y a incrementar su actividad comercial. Los números y la aritmética se hicieron fundamentales en estas sociedades, en lo que fue el origen de la contabilidad. Incluso existieron profesionales dedicados a las labores aritméticas y de registro contable y de diferentes informaciones estadísticas, como los abaquistas sumerios o los quipucamayos del Imperio inca.

Además, el desarrollo de los números y el del cálculo aritmético evolucionaron de forma paralela. Al principio, hubo un periodo en el que no existían los números; el salto mental de la cantidad (de objetos) al concepto de número, aunque hoy en día nos parezca algo normal y cotidiano, fue el resultado de un largo y complejo proceso de abstracción del pensamiento. Por otro lado, de la abstracción de acciones elementales sobre cantidades de objetos, como juntar, quitar, repetir o repartir, surgieron los conceptos de suma, resta, multiplicación y división, las operaciones aritméticas básicas. Los sistemas de numeración fueron un paso más en la evolución de los números, para poder representarlos y manejarlos, y de forma paralela, surgieron los diferentes métodos, algoritmos, para realizar las operaciones aritméticas.

Los primeros rastros de representaciones numéricas con los que contamos, que han resistido el paso del tiempo, han sido muescas realizadas en huesos de animales, como las que aparecen en el peroné de babuino, con 37.000 años de antigüedad, que contiene 29 muescas, o la tibia de lobo, con 32.000 años de antigüedad, con 57 muescas agrupadas de cinco en cinco. Desde estas sencillas representaciones, cada pueblo, cada cultura desarrolló diferentes sistemas de numeración que fueron evolucionando con el tiempo. Estos dieron lugar a la invención de diferentes métodos, ligados a cada sistema de numeración, para realizar las operaciones aritméticas básicas, e incluso no tan básicas, como puedan ser las raíces cuadradas. Curiosamente, los sistemas de numeración aca barían convergiendo en un sistema universal, el sistema de


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numeración decimal y posicional indoarábigo que utilizamos en la actualidad. También se unificaron los métodos de computación de las operaciones aritméticas a los algoritmos universales que se utilizan hoy en día.

Aunque no es objetivo de este capítulo ni del libro mostrar los sistemas de numeración, es fundamental conocerlos para hablar de los diferentes algoritmos utilizados para realizar las operaciones aritméticas en cada sistema. Por lo tanto, a la vez que se van a estudiar diferentes métodos para sumar, restar, multiplicar y dividir, aprovecharemos para mostrar ejemplos de sistemas de numeración, y formas de representar los números, que se han producido a lo largo de la historia de la humanidad. Asimismo, en este capítulo se abordarán los distintos símbolos desarrollados a lo largo de la historia para representar las operaciones aritméticas básicas, hasta llegar a los signos aritméticos que utilizamos en la actualidad.

Por último, es importante ser conscientes de que cada pueblo cultivó unas matemáticas distintas, en particular, sistemas de numeración y algoritmos para la realización de las operaciones aritméticas, muy particulares, relacionadas con su forma de vida, con el lugar y el tiempo en el que existieron, con sus circunstancias concretas. Sin embargo, al mismo tiempo existe una parte esencial de dichas matemáticas, en concreto, de la aritmética, que es muy similar en todas las culturas, como si de alguna forma cada una de ellas inventara su propio descubrimiento de unas matemáticas ya existentes, universales.

Suma y resta

La suma y la resta son las operaciones aritméticas más sencillas. Su origen prehistórico es tan antiguo como el del concepto de número. De hecho, “contar” es el caso más sencillo de suma: es añadir 1 al número anterior.

Si se piensa en una posible definición para la suma, quizás se utilice una expresión del tipo “la cantidad que se obtiene al


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unir dos cantidades”, y para la resta, “la cantidad que se obtiene al quitar una cantidad a otra mayor”, ambas íntimamente ligadas a las ideas intuitivas que están en el origen de estas operaciones aritméticas. Sin embargo, debe recordarse que tanto la suma como la resta son operaciones abstractas sobre el conjunto de los números, que al igual que estos, se originaron tras un complejo proceso de abstracción, que ahora nos puede parecer sencillo, pero que para las personas que habitaban la Tierra hace 40.000 años suponía una revolución enorme en su forma de pensar.

En definitiva, la suma es una operación sobre el conjunto de los números (el 0 y los llamados números naturales 1, 2, 3, etc.), que a cada par de números les asocia un tercer número, su suma. Por ejemplo, 3 + 5 = 8 es una suma que no implica cantidades de objetos, aunque surja como una abstracción de situaciones reales como que la unión de dos conjuntos de tres y cinco panes es un conjunto de ocho panes. De hecho, aprendemos a realizar sumas de números sin necesidad de pensar en cantidades. De forma similar, podemos pensar en la resta de dos números, aunque en este caso se resta un número menor (llamado sustraendo) a uno mayor (llamado minuendo). Para poder realizar la resta opuesta (es decir, sustraer el número mayor al menor), se necesitarían los números negativos. Aunque en este libro no nos detendremos en estos últimos, podemos señalar que los primeros en utilizar los números negativos, como una necesidad contable, fueron los matemáticos chinos en el siglo II o I a. n. e., y los matemáticos indios en el siglo VI o VII, pero ni babilonios, egipcios, griegos o árabes contaron con el concepto de número negativo.

A continuación, se muestran algunos métodos para realizar sumas y restas en función de los sistemas de numeración utilizados por diferentes pueblos a lo largo de la historia.

Se puede decir que el concepto de número surgió cuando los humanos introdujeron una familia de objetos de referencia, que serían los primeros números primitivos, como dedos, partes


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del cuerpo, piedras, bolas de arcilla, conchas, frutos duros, excrementos de animal secos, muescas en un hueso o un palo, palotes pintados o trazados en la arena o nudos en una cuerda, para asociar a cualquier cantidad de animales, plantas u objetos la misma cantidad de objetos de referencia. Usaban el principio de correspondencia uno a uno. Así, un pastor que tiene ocho ovejas puede indicarlo mostrando ocho dedos, guardando ocho piedras, tallando ocho marcas en un palo o atando ocho nudos en una cuerda. Estos son los llamados sistemas de numeración unarios, de base 1, los más simples posibles.

Figura 1

Marcas del hueso de Ishango (aprox. 20.000 a. n. e.)

9 19 21 11

19 17 13 11

7 5 5 10 8 4 6 3

El proceso de suma en estos primitivos sistemas de numeración es tan sencillo como la simple acumulación de los elementos de referencia. Así, la suma anterior se convierte, en el caso de palotes, en que III más IIIII es igual a IIIIIIII. Si observamos las tres columnas de muescas del hueso de Ishango (figura 1), estas podrían estar representando las sumas 9 + 19 + 21 + 11 = 60, 19 + 17 + 13 + 11 = 60 y 7 + 5 + 5 + 10 + 8 + 4 + 6 + 3 = 48, independientemente de los objetos a los que se estuviesen refiriendo (de hecho, hoy en día no sabemos cuáles fueron).

Antiguamente, los pastores apuntaban la cantidad de ganado que tenían en maderas talladas, marcando por grupos de marcas separados la cantidad vacas, ovejas, cabras y “animales estériles”, de forma que en el palo tallado estaba la suma de todas ellas, la cantidad de animales del pastor.


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La operación de la resta es tan antigua como la suma. Para restar dos números en estos sistemas primitivos había que quitar objetos de referencia. Así, para la resta 8 menos 5 se cogerían, por ejemplo, ocho conchas y se retirarían cinco, quedando tres conchas, el resultado de la resta.

Un ejemplo antiguo de resta, con un sistema de numeración tan simple, podía ser el cálculo de cuántos guerreros habían muerto en una batalla. Antes de la expedición, cada guerrero depositaba una piedra en un montón y al regresar de la batalla recogía una piedra, de manera que las piedras que quedaban representaban el número de guerreros muertos o capturados, es decir, la resta del número de guerreros de la tribu antes de la batalla menos el número de los que había regresado.

El problema de estos sistemas de numeración era la dificultad para distinguir, en caso de no saber contar, entre números como IIIIIII y IIIIIIII, ya que a partir de cuatro objetos difícilmente distinguimos la cantidad si no es contando. Por este motivo, los objetos de referencia se empezaron a agrupar en grupos de 2, 3, 5 o más elementos. Así, los dos números anteriores podían ser representados como III III I y III III II, más fácilmente reconocibles. Incluso, se introdujeron nuevos símbolos, por ejemplo, los griegos introdujeron G para IIIII, los romanos V y los egipcios una U invertida para IIIIIIIIII. De esta idea surgió el concepto de base.

La idea de la base es no contar solo unidades, sino contar por “paquetes”, estableciendo una cierta jerarquía de los mismos. George Ifrah, en Historia universal de las cifras, describe un pueblo de Madagascar que, para contar el número de guerreros, estos pasaban en fila y cada uno depositaba un guijarro en una pequeña zanja en el suelo, cuando llegaba el décimo, este extraía las diez piedras de la misma y en su lugar colocaba una en una segunda hendidura, reservada para las decenas. Y se continuaba colocando guijarros en el primer hoyo hasta que este se llenaba de nuevo con diez piedras, con el soldado 20, momento en el que se vaciaba esa primera cavidad y se colocaba un segundo guijarro en la segunda. Cuando la segunda


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zanja llegaba a tener diez piedras, se extraían y se colocaba una de ellas en una tercera hendidura, la de las centenas, y así sucesivamente. De manera que, si al terminar de pasar los guerreros había tres guijarros en la primera zanja, siete en la segunda y cuatro en la tercera, el número de guerreros era 473.

La mayoría de los pueblos han utilizado la base decimal debido a que nuestras manos fueron el primer sistema de referencia, pero también han utilizado otras bases, como 5, 12, 20 o 60 y en raras ocasiones, algunas como 2, 3, 4 u 8.

Figura 2

Cifras básicas sumerias, que consisten en una serie de 'cálculos' de arcilla con diferentes formas

Cono pequeño

Bola Cono grande

Cono grande perforado

Esfera Esfera perforada

El sistema de numeración de los sumerios, anterior a la escritura numérica (que se produce hacia el año 3500 a. n. e.), estaba formado por “cálculos”, objetos de barro de diferentes formas y tamaños. Era un sistema de numeración aditivo de base 60, aunque apoyada en el 10. Que sea aditivo quiere decir que cada número está formado por la unión de los símbolos de cada orden en la jerarquía de paquetes, que en el sistema decimal son las unidades, decenas, centenas, etc. Las cifras básicas eran un cono pequeño que representaba la unidad, una bola pequeña para 10, un cono grande para 60, un cono grande perforado para 600 = 60 · 10, una esfera para 3.600 = 602 y una esfera perforada para 36.000 = 602 · 10. Se desconoce cuál era la forma del guijarro, si existía, para la siguiente cantidad, 216.000 = 603. En la figura 3 se muestra la representación, por acumulación, de los números 947 y 1.476.


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El método para sumar, en un sistema aditivo como este, consistía en juntar los símbolos de cada uno de los órdenes y, cada vez que en un orden había tantos símbolos como marcaba la base, se quitaban y se añadía un símbolo al orden siguiente.

EjEmplo 1

Diez conos pequeños son una bola pequeña o seis de estas son un cono gran-

de, como se puede observar en el siguiente ejemplo, 947 + 1.476 = 2.423.

Figura 3

Suma sumeria con cálculos de arcilla, 947 + 1.476 = 2.423

El proceso de resta de dos números era similar. Consistía en quitar a los símbolos de cada orden del minuendo tantos símbolos como aparecía en el orden correspondiente del sustraendo, de forma que, si en un orden esto no era posible, se quitaba un símbolo del orden superior y se convertía en los correspondientes símbolos en ese orden, la versión sumeria de la “llevada”.

+


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EjEmplo 2

La resta 207 – 114 = 93 sería como muestra la figura a continuación.

Figura 4

Resta sumeria con cálculos de arcilla, 207 – 114 = 93

Un sistema muy conocido de numeración aditivo decimal, aunque con símbolos especiales para los múltiplos de cinco, es el romano. Las cifras básicas son I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1.000), y con una línea encima son múltiplos de mil. Por ejemplo, CCLXVIIDXCIV es 267.594. Recordemos que IV es 5 – 1 = 4, aunque originalmente era IIII, o XC es 100 – 10 = 90, antes LXXXX.

Las técnicas para sumar y restar en este sistema de numeración seguían las mismas reglas que en otros sistemas aditivos, como el sumerio. Así, DXLVI + CCLVII = DCCCIII (546 + 257 = 803) y DXLVI – CCLVII = CCLXXXIX (546 – 257 = 289).

Sin embargo, los números romanos, al igual que muchos otros sistemas de numeración de la Antigüedad, eran más adecuados para el registro de los números que para efectuar operaciones aritméticas. Por este motivo, se utilizaban diferentes dispositivos, como, por ejemplo, los ábacos para realizar las operaciones aritméticas. El ábaco romano constaba de seis columnas, una para cada una de las potencias de diez: I, X, C, M, X , C , y dos zonas en cada columna, abajo las unidades del orden correspondiente a esa columna y arriba el valor de cinco unidades de ese orden, 5, 50, 500, y otras. En el ábaco romano se utilizaban fichas para indicar el número.


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EjEmplo 3

En las figuras 5 y 6 se muestran los números 4.739, mediante fichas negras,

y 7.512, mediante fichas grises.

Para realizar una suma, por ejemplo, 4.739 + 7.512, se colocaban sobre el

ábaco las fichas para indicar los dos números y posteriormente se utilizaban

las reducciones correspondientes, es decir, cada vez que había cinco fichas

en la parte baja de una columna, se quitaban y se subía una arriba; y si

alcanzaba el valor de diez en una columna, se retiraban las fichas y se colo-

caba una en la parte de abajo de la siguiente.

Figuras 5 y 6

Los números 4.739 (fichas negras) y 7.512 (fichas grises) en el ábaco romano y el resultado de su suma

Es decir, 4.739 + 7.512 = 12.251. La resta consistía en un proceso similar,

pero a la inversa.

Uno de los problemas de los sistemas de numeración aditivos era que, para trabajar con números cada vez más grandes, había que introducir nuevas cifras básicas. Así, en el sistema de numeración sumerio, la última cifra básica utilizada podía ser la correspondiente a 216.000 = 603, pero para representar números mucho mayores se habrían necesitado cifras para 21.600.000 (= 603 · 10), 12.960.000 = 604 y más aún. Real mente, no se terminaría nunca de añadir nuevas cifras básicas.


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Además, la cantidad de dígitos, es decir, símbolos utilizados, para representar un número muy grande, era enorme (véanse las actividades didácticas 1 y 2 del capítulo 3).

Estos problemas quedaban resueltos con los sistemas de numeración posicionales, en los cuales solamente hay un nú mero finito de cifras básicas con los que pueden representarse todos los números naturales, sin necesidad, además, de utilizar muchos dígitos para ello.

Un ejemplo de sistema de numeración posicional decimal es la numeración con varillas, utilizada por los sabios chinos, japoneses y coreanos, aproximadamente desde el siglo V a. n. e. hasta el siglo XVI. Al igual que nuestro sistema de numeración moderno, el indoarábigo, existían diez cifras básicas que, de pendiendo de su posición en el número, indicaban la cantidad de unidades, decenas, centenas, etc., del mismo. Las nueve cifras básicas estaban representadas por varillas verticales u horizontales, en función de si su posición en el número era impar o par, empezando por la derecha. El cero se representaba por un hueco vacío, lo cual podía generar cierta ambigüedad. En la figura 8 pueden verse, entre otros, los números 789 y 456 representados en el sistema de numeración con varillas.

Figura 7

Numeración china con varillas

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Posiciones impares

Posiciones pares

La numeración con varillas era tanto un sistema de numeración escrito, que fue utilizado en particular en muchos tratados matemáticos, como un sistema físico, formado por varillas de bambú o marfil, de entre 3 y 14 cm de longitud, que eran utilizadas para realizar operaciones aritméticas sobre un damero de tamaño 8 8.


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Las operaciones de adición y sustracción se realizaban de una forma muy similar a como se realizan la suma y la resta con el sistema de numeración posicional moderno, pero realizando los cálculos en el sentido contrario, de izquierda a derecha.

EjEmplo 4

Si se quería realizar la suma 789 + 456 sobre el tablero de computación con

las varillas, primero se colocaban en dos filas las varillas para representar los

números y luego se iban sumando, directamente sobre las cifras del segundo

sumando, 456, las varillas de las cifras del primer sumando, de izquierda a

derecha, primero 7, luego 8 y finalmente 9 teniendo en cuenta la propiedad

básica, cada diez unidades en una posición correspondían a una unidad en

una posición más alta, como se muestra en la siguiente imagen.

Figura 8

Suma 789 + 456 mediante la numeración china con varillas

789

456

*

789

1.236

*

789

1.156

*

789

1.245←

La resta era similar, pero una vez colocados en dos filas del tablero el minuendo y el sustraendo, la operación se iba desarrollando en las casillas del minuendo, mientras se le iban restando las cifras, de izquierda a derecha, del sustraendo. La propiedad básica a tener en cuenta era, de nuevo, que si en una columna no se podían restar las cifras, se añadirían diez unidades al coger una unidad del sustraendo de la casilla anterior.


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EjEmplo 5

La resta 1.245 – 789 se realizaría así:

Figura 9

Resta 1.245 – 789 con varillas chinas

1.245

789

465

789

*

545

789

*

456

789

*

El sistema de numeración moderno es el que se utiliza mayoritariamente en todo el mundo en la actualidad. Como es bien conocido, es un sistema de numeración posicional decimal, cuyas cifras básicas son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En algunos países árabes se utiliza el sistema de numeración árabe oriental, que se diferencia en la grafía de las cifras básicas y en que los números se leen en orden contrario, de derecha a izquierda.

Las cifras modernas descienden de las antiguas cifras brahmi, que ya eran utilizadas en el siglo III a. n. e., aunque entonces no existía el cero y la numeración aún no era posicional. Habría que esperar hasta el siglo V para que se inventara en India la numeración posicional y el símbolo para el cero. De las cifras brahmi derivarían muchas cifras con distintas grafías, entre ellas las cifras nagari, de las que descienden tanto las cifras modernas como las cifras árabes orientales. Las cifras indias, y el cálculo asociado a las mismas, llegaron al mundo árabe hacia el siglo VIII. Y llegarían a Europa a partir de las traducciones al latín, de los siglos XIXII, de la obra Sobre el cálculo con las cifras indias (825), del matemático árabe Mohammed Ibn Musa Alkhwarizmi. A partir de estas y otras


28

traducciones de textos científicos árabes realizadas en la península ibérica, las cifras árabes occidentales (ghubar) acabarían transformándose en nuestras cifras modernas. Sin embargo, la primera aparición de las “cifras indias” en Europa fue en el Codex Vigilanus (976), en las que aparecían las llamadas cifras ápices, otra rama europea de las cifras árabes occidentales, que acabarían desapareciendo.

Los algoritmos estándar para la suma y la resta con el sistema de numeración moderno son muy sencillos. Se basan en sumar, y respectivamente restar, en cada posición de los números, gestionando los excesos y defectos. Una de las ventajas del algoritmo de la suma es que se pueden sumar muchos números al mismo tiempo, colocándolos unos encima de otros. El método consiste en ir sumando las cifras en cada posición, que forman una columna de números, de derecha a izquierda. Al terminar la suma de las cifras de una columna se coloca la cifra de las unidades del resultado debajo de esa columna, en la misma posición, mientras que la cifra de las decenas, la llevada, se añade arriba de la siguiente columna.

Figura 10

1 2

1 2 3

4 5 6

7 8 9

+ 1 2 7

1 4 9 5

Método estándar

1 1 2

12 24 3

46 59 69

73 87 98

+ 14 29 75

1 4 9 5

Método scratch

El problema de este método, cuando se suman muchos números, es que hay que memorizar las sumas que se van realizando en cada columna y es fácil que se produzcan errores. Para evitarlo, el algoritmo scratch plantea ir realizando sumas parciales en cada columna, de dos en dos cifras.


29

EjEmplo 6

En la suma de la primera columna del ejemplo anterior (figura 10) se empie-

za sumando las dos primeras cifras, 3 + 6, y el resultado, 9, se coloca al lado

del 6, después se suma este 9 con la siguiente cifra, que también es un 9,

que es 18, de donde se coloca el 8 al lado del 9 y se tacha ese 9, lo que nos

indica que aquí hay una llevada. Finalmente se suma el 8 con la última cifra,

7, dando como resultado 15, por lo que ponemos el 5 al lado del 7 y tacha-

mos el 7. Como resultado de las unidades escribiremos el 5 y añadiremos la

llevada, que sabemos que es 2 porque hay dos números tachados, arriba de

la siguiente columna. Y se continúa con las demás columnas.

El algoritmo estándar para la resta utiliza la misma idea, restar en cada posición y si en alguna posición no se puede, tomar prestada de la posición de la izquierda una unidad de la cifra del minuendo, que son diez unidades en la posición en la que estamos.

EjEmplo 7

En la resta de la figura no se puede realizar la resta en la posición de las

decenas, 2 – 8, luego se toma una unidad de las centenas, el 7 pasa a ser

6, y se resta 12 – 8.

Figura 11

6

1 2 7 2 3

– 9 2 8 1

3 4 4 2

Existe una variación de este método que consiste en manejar la llevada de

una forma un poco diferente. En lugar de restar una unidad en la cifra de la

izquierda del minuendo se sumaría una unidad en la cifra de la izquierda del

sustraendo. Así, en el ejemplo anterior el 7 se queda como está y es el 2 el

que se aumenta a 3, quedando el mismo resultado al restar esa posición,

puesto que 6 – 2 = 7 – 3.

Estos son los algoritmos estándar para sumar y restar que aprendemos en la escuela.


30

El origen de los signos aritméticos: suma y resta

La primera vez que aparecen los signos + y – en un libro

impreso es en la obra Aritmética Mercantil, o Behende und hubs

che Rechenung au allen Kau manscha (1489), del matemático

alemán Johannes Widmann (14621498). Sin embargo, Wid

mann no utiliza los signos + y – como símbolos de las opera

ciones aritméticas, sino para expresar exceso y defecto de las

mercancías. Por ejemplo, la expresión 3 + 44 quiere decir 3

centner y 44 pfund, que son dos unidades de peso alemanas.

Como operaciones aritméticas, los símbolos aparecen en el

libro de álgebra y aritmética Ayn new Kunstlich Beuch (1518),

del matemático alemán Henricus Grammateus (aprox. 1492

1525), como menciona Florian Cajori en su texto A history of

mathematical notations (1928).

Sin embargo, esta no es la primera aparición de los signos + y

–, como operaciones matemáticas, ya que se pueden encontrar

en algunos manuscritos alemanes (MS C80 de la Biblioteca de

Dresde), en latín y alemán, de finales del siglo XV.

Figura 12

Signos + y –, que aparecen en dos expresiones algebraicas, en dos hojas de los manuscritos latinos MS C80 de la Biblioteca de Dresde, del año 1486

La forma del signo más como una cruz (+) se debe a que

originalmente en los manuscritos latinos se utilizaba la conjun

ción latina “et”, es decir, la conjunción “y”, para expresar la

adición, de la misma forma que hoy se dice “2 y 2 son 4”.


31

El signo + es una de las muchas abreviaturas que existieron de

“et”. La primera vez que aparece esta abreviatura + en un

manuscrito podría ser la obra Algorismus proportionum (aprox.

13561361), del matemático Nicolás de Oresme (13231382).

Aunque este signo podría no estar en la obra original y haber

sido escrito por un copista posterior.

El origen del signo menos (–) es más incierto, y existen dife

rentes teorías que tratan de explicarlo. Una de ellas es que

podría venir de la utilización de la barra horizontal que los

mercaderes usaban para indicar la separación de la tara, llama

da durante mucho tiempo “minus”, del peso total de una

mercancía, es decir, el peso del recipiente. También, podría ser

una contracción de la abreviación m de la palabra minus.

Según otra teoría, podría derivar del signo utilizado por el ma

temático griego Diofanto de Alejandría (siglo III) para el me

nos, que originalmente era una psi (Ψ) sin la línea de abajo e

invertida, que habría derivado a una especie de t mayúscula

(┬) que perdió su pie. También podría venir de un símbolo

hierático egipcio.

Antes del siglo XV se utilizaron en Italia, como en otros luga

res, las palabras más y menos en el idioma de escritura (en latín,

plus y minus), de ahí derivaron por abreviatura las letras “p” y

“m” (o con una tilde, o un segmento, encima). Estas abrevia

turas, y , aparecen por primera vez en la obra Summa de

arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (1494), del

matemático italiano Luca Pacioli (14471517), y se siguieron

usando en los siglos XV y XVI. En Italia los signos alemanes +

y – empezaron a emplearse en el siglo XVII. El primer uso de

los signos + y – en Gran Bretaña fue en 1557, en el libro The

Whetstone of Witte, del matemático galés Robert Recorde

(15101558), en el que apareció por primera vez el símbolo

= para la igualdad. En España y Francia se utilizaron tanto

los símbolos alemanes + y – como los símbolos italianos “p”

y “m”.


32

Además de la cruz griega (+) que seguimos utilizando hoy en

día, se utilizaron otras cruces para el símbolo de la suma: la

cruz latina, en horizontal y vertical, la de San Jorge o la de

Malta.

A pesar de la sencillez del signo – para la resta, cierto grupo de

matemáticos lo sustituyó por el signo más complejo ÷, que se

mantuvo durante unos cuatrocientos años, incluso con algunas

variaciones, como tener solo el punto de arriba. También se

usaron como signo menos dos barras seguidas “– –” o tres

barras “– – –”.

Por supuesto, antes de estos signos, en la Antigüedad se utili

zaron otros para expresar la suma y la resta, así como para la

multiplicación y la división.

Multiplicación y división

La multiplicación y la división, al igual que la suma y la resta, son operaciones sobre el conjunto de los números, que surgen como abstracción de ciertas acciones sobre los conjuntos de objetos. Así, 2 · 3 = 6 y 8 : 4 = 2 tienen sentido por sí mismas, sin necesidad de que estén relacionadas con cantidades de objetos.

La idea intuitiva originaria del concepto de multiplicación es la repetición de una misma cantidad de objetos una cierta cantidad de veces. A la cantidad que se repite se le llama multiplicando y a las veces que se repite, multiplicador. De hecho, la multiplicación de dos números puede verse como la suma del multiplicando consigo mismo, tantas veces como indique el multiplicador, es decir, 2 · 3 es igual a 2 + 2 + 2.

Por su parte, la división surge de la idea de la distribución equitativa de una cierta cantidad de objetos entre varias partes. La cantidad a repartir se llama dividendo y la cantidad de destinatarios de ese reparto es el divisor. Si pensamos en la idea de reparto, la división de dos números puede entenderse como


33

la cantidad de veces que puede restarse el divisor del dividendo. Cada resta se corresponde con una ronda del reparto. Así, 8 : 4 = 2, ya que podemos restar dos veces 4 a 8.

Sin embargo, cuando se realiza esa distribución equitativa puede ocurrir que sobre una cantidad de objetos que ya no se pueden repartir, conocida como el resto. De la misma forma, cuando se dividen dos números, puede que el resultado no sea exacto y exista un resto de la división. Así, si se divide 13 entre 3, el resultado es 4 y el resto es 1, o lo que es lo mismo, 13 = 3 · 4 + 1. Por lo tanto, la división como operación abstracta no está bien definida sobre los números naturales, ya que la división de dos números naturales no es siempre exacta, luego no es un número natural, y para poder definirla bien habría que considerar los números fraccionarios (que ya eran conocidos por los antiguos egipcios, chinos o griegos). Aunque en este libro trabajaremos solo con los números naturales y consideraremos que las divisiones pueden tener resto no nulo.

Veamos un ejemplo de cómo los pueblos de la Antigüedad, con un concepto muy básico de número, podían realizar estas operaciones aritméticas.

EjEmplo 8

Imaginemos un pueblo primitivo que ha atacado a un pueblo vecino. Tras la

victoria, el jefe de los vencedores exige la siguiente reparación a los vencidos:

por cada guerrero muerto del ejército ganador tendrán que entregar una cier-

ta cantidad de cestos de cereales o legumbres. El jefe del pueblo vencedor

comunica que murieron tantos guerreros como piedras quedaron sin recoger

por quienes fueron a la batalla (véase el apartado “Suma y resta” en este

capítulo), tantas como le entrega ahora, que, aunque no conocen el número

19, son esa cantidad de piedras. La cantidad de cestos de cereales que deben

pagar por cada guerrero muerto se la comunica el jefe mediante una cuerda

con 14 nudos. El jefe del poblado perdedor, que tampoco conoce los números,

se lleva a su poblado las 19 piedras y la cuerda con 14 nudos, y realiza la

operación de la siguiente forma: por cada piedra prepara tantos cestos como

nudos tiene la cuerda. Por lo que entregará al jefe de los vencedores un total

19 veces 14 cestos, que, aunque no conozcan bien esos números, son 266.


34

Sigamos imaginando. Tras el pago, el jefe del poblado vencedor tiene que

repartir la compensación entre las 12 grandes familias que hay en el poblado,

y como en un reparto de cartas, van distribuyendo cestos a los diferentes jefes

de las familias. Al final, cada familia recibe la misma cantidad de cestos, a

saber, 22 cestos, y sobran 2, que el gran jefe decide quedarse para sí mismo.

Incluso contando únicamente con un sistema de numeración unario, se puede representar fácilmente una multiplicación mediante un conjunto de piedras, puntos u otro objeto de referencia similar, con tantas filas como el multiplicando (19 en el ejemplo) y tantas columnas como el multiplicador (14 en el ejemplo). De hecho, en el artículo “A History of the Abacus”, se menciona un diagrama de puntos encontrado en el papiro egipcio 10184 del British Museum, fechado en 15001420 a. n. e., que es un rectángulo de 10 filas por 10 columnas de puntos y que podría ser una sencilla tabla de multiplicar.

Figura 13

Ejemplo práctico de cómo multiplicar 7 · 9 en la tabla de multiplicar por puntos

7 · 9

Usando sistemas de numeración aditivos, la clave para multiplicar y dividir es la fragmentación de las operaciones en diferentes etapas. En la primera se multiplica el multiplicando por cada uno de los símbolos del multiplicador, y luego se suman los resultados parciales. Aunque parece algo sencillo, la realidad es que el desarrollo de esta operación es bastante fa rragoso, como se puede comprobar en el siguiente ejemplo.


35

EjEmplo 9

Veamos con el sistema de numeración sumerio, la multiplicación 238 · 23.

Figura 14

[238 = 3 · 60 + 5 · 10 + 8 · 1]

[23 = 2 · 10 + 3 · 1]

La primera etapa consiste en multiplicar el primer número, el multiplicando,

por las unidades del multiplicador, en este caso, 3 (tres conos pequeños). Es

decir, se considerarán tres veces los símbolos de 238, y luego se realizarán las

agrupaciones correspondientes (cada diez conos pequeños una bola pequeña,

cada seis bolas pequeñas un cono grande, etc.). El resultado de esta primera

etapa es 714, expresado en el sistema de numeración moderno.

Figura 15

Primera etapa de la multiplicación, multiplicando por los conos pequeños del multiplicador

En la segunda etapa se multiplicará el multiplicando por las decenas del

multiplicador, en este caso, 20 (dos bolas pequeñas), teniendo en cuenta

que al repetir 10 (bola pequeña) veces el valor de una bola pequeña, se

obtiene un cono grande y cuatro bolas pequeñas (10 · 10 = 60 + 4 · 10), y

que al repetir 10 (bola pequeña) veces un cono grande (60) se obtiene un

cono grande perforado (600). El resultado de esta segunda etapa es

4.760.

·


36

Figura 16

Segunda etapa de la multiplicación, multiplicando por las bolas pequeñas del multiplicador

Finalmente, se suman los resultados parciales de las dos etapas, obtenien-

do el valor de la multiplicación 238 · 23, que es 5.474.

Figura 17

Sumando los resultados parciales de la multiplicación

Cuantos más símbolos distintos tengan los números multiplicados (en el ejemplo uno tenía 3 y el otro, 2), más complicada será la ejecución de esta operación aritmética.

En el caso de la división, existe una tablilla de la antigua ciudad sumeria de Shurupak, de alrededor del año 2650 a. n. e., en el que está recogida una división. Es la tablilla sumeria de la figura 18. Esta consta de dos columnas. Según George Ifrah, el significado literal de la columna de la izquierda, con escri tura cuneiforme, es “1 granero de cebada”, “sila 7”, “cada hombre recibe en mano” y “estos hombres”. En la columna de la derecha, arriba tenemos un número, 164.571 (expresado


37

mediante la impresión de los cálculos sobre la arcilla), y debajo “sila de cebada restan 3”.

Figura 18

Tablilla sumeria encontrada en la ciudad sumeria de Shurupak, de alrededor del año 2650 a. n. e., que se encuentra en el Museo de Estambul

La tablilla podría ser el registro de una distribución de cebada en la ciudad de Shurupak, o también un ejercicio práctico en una escuela de contables. La “sila” y el “granero de cebada” son unidades de volumen de esa época, que equivalen a 0,842 y 969.984 litros, respectivamente. En consecuencia, cada granero de cebada eran 1.152.000 silas. Por lo tanto, la tablilla recoge la distribución de un granero de cebada, 1.152.000 silas, a un cierto número de personas, de forma que cada una recibiera siete silas. En la tablilla se da el resultado de este reparto, 164.571 personas y sobran tres silas. No existe ningún documento antiguo que describa cómo realizaban la división los sumerios, de hecho, tampoco la multiplicación, aunque los historiadores están de acuerdo en que los métodos mostrados aquí deberían ser, por lógica, los que se utilizaron.

La idea clave de la división es realizarla por etapas. Pri mero la división de los símbolos de mayor valor del dividendo entre el divisor, de donde se obtiene una primera cantidad de símbolos que formarán parte del resultado. Y si hay resto, los símbolos del mismo se convertirán en símbolos del orden in mediatamente más pequeño, en el que se continuará la división. El resultado será la suma de todos los símbolos de las di visiones parciales. Veamos el ejemplo de la tablilla.


38

EjEmplo 10

El dividendo es 1.152.000, que puede expresarse como 216.000 · 5 +

36.000 · 2. Como no conocemos, o no existía, símbolo para 216.000, pode-

mos suponer que el divisor se expresaba como 36.000 · 32, es decir, 32

esferas perforadas. Por lo tanto, en la primera etapa de la división se dividen

las 32 esferas entre siete. Se pueden hacer cuatro grupos de siete esferas

perforadas, como muestra la figura, y sobran cuatro esferas perforadas.

Luego, el cociente está formado por cuatro esferas perforadas. El resto son

cuatro esferas perforadas, que equivalen a 40 esferas.

Figura 19

Primera etapa de la división

36.000

Primer cociente = 4

Primer resto

4 gr

upos

A continuación, se dividen las 40 esferas en grupos de siete. Se pueden

formar cinco grupos y sobran cinco esferas. Por lo tanto, el cociente también

está formado por cinco esferas. Las cinco esferas del resto se transforman

en 30 conos grandes perforados, con los que se continúa la división como

se muestra en las figuras.

Figura 20

Las siguientes etapas de la división y el resultado de la misma, que coinci-de con las impresiones de la tablilla sumeria

5 gr

upos

3.600

Segundo cociente = 5

Segundo resto

4 gr

upos

Tercer cociente = 4

Tercer resto

600


39

Cuarto resto

Cuarto cociente = 2

2 gr

upos

60

Quinto cociente = 5

5 gr

upos

Quinto resto

10

Sexto cociente = 1 1

1 gr

upos

Sexto resto1

1060 600

3.600

36.000

Por lo tanto, el resultado de la división son cuatro esferas perforadas, cinco

esferas, cuatro conos grandes perforados, dos conos grandes, cinco bolas

pequeñas y un cono pequeño, y sobran tres conos pequeños, como está

representado en la tabilla.

Los métodos para efectuar multiplicaciones y divisiones con el ábaco romano son similares a los realizados con los guijarros sumerios, algo menos complejos si tenemos en cuenta que el ábaco trabaja con una base decimal, más manejable que la base 60, aunque sea mixta, como el sistema de numeración sumerio. Y la cosa se complica un poco más con los números romanos, que son números escritos y no permiten una manipulación libre como con los guijarros sumerios o el ábaco romano.

Los algoritmos de las operaciones aritméticas para los sistemas de numeración posicionales, como el indoarábigo moderno o la numeración china con varillas, son más sencillos que para los sistemas aditivos. Una de las ideas básicas de los algoritmos para la multiplicación, y para la división, es que se apoyan en las multiplicaciones entre las cifras básicas, las llamadas tablas de multiplicar, para obtener la multiplicación, o división, de cualesquiera dos números.


40

EjEmplo 11

Un ejemplo es cómo se realizaban las multiplicaciones en los tableros chi-

nos de varillas. Considérese la multiplicación 729 · 385. En primer lugar, se

colocaban los dos números en dos filas del tablero, con una fila vacía entre

ellos para representar los resultados parciales, y de forma que el primer

dígito por la izquierda del multiplicando esté en la columna del último dígito

del multiplicador, como se muestra en la siguiente imagen.

Figura 21

Tablero con las varillas representando los números a multiplicar, 385 y 729

La multiplicación se divide en tantas etapas como dígitos tiene el multipli-

cador, 385. En este caso, 3. En ellas se multiplicará cada uno de esos dígitos

por los del multiplicando, de izquierda a derecha, de nuevo en el sentido

contrario al usual con el sistema indoarábigo.

La primera etapa se corresponde con la multiplicación por 3 (de hecho,

300). Se empieza multiplicando 3 por 7 y se escribe el resultado, 21, con

varillas, justo a partir de la casilla encima del 7, es decir, representando

210.000 (primer diagrama). A continuación, se multiplica 3 por el segundo

dígito del multiplicador, 2, obteniendo 6, que se introduce en la casilla enci-

ma del 2, representando 6.000 (segundo diagrama). En total, 216.000.

Finalmente, se multiplica el 3 por el 9 del multiplicador, obteniendo 27, que

se coloca a partir de la posición del 9, luego sería 2.700. Tras esta primera

etapa, en la fila de resultados parciales tendremos los números, con varillas,

2, 1, 8 (6 + 2) y 7, representando el resultado parcial 218.700.


41

Figura 22

Primera etapa de la multiplicación con varillas

Tras esta primera etapa, se elimina el 3 del multiplicador, que ya se ha

usado, dejando esa casilla libre, y se traslada el multiplicando una casilla

hacia la derecha. Entonces, se realiza la misma operación con el siguiente

dígito multiplicador, el 8. Se irá multiplicando por 7, 2 y 9, y añadiendo los

resultados a los ya obtenidos en la etapa anterior. Por ejemplo, se multiplica

8 por 7 y se coloca el resultado, 56, a partir de la casilla del 7. Esto es, se

suma 56.000 al resultado anterior. El resultado parcial de esta segunda

etapa sería 277.020 = 218.700 + 56.000 + 1.600 + 720.

Figura 23

Segunda etapa de la multiplicación

En la última etapa, se elimina el dígito 8 del multiplicador y el multiplicando

se traslada una casilla a la derecha, para realizar de nuevo la misma opera-

ción de las etapas anteriores, pero con el dígito 5 del multiplicador. El resul-

tado final tras esta etapa será 280.665 = 277.020 + 3.500 + 100 + 45, que

es el valor de la multiplicación 385 · 729.


42

Figura 24

Tercera etapa y resultado de la multiplicación

En el algoritmo de la división para la numeración con varillas, el divisor se

coloca en la línea de abajo, el dividendo en la del medio y se deja libre la fila

de arriba, donde se colocará el cociente, que se irá obteniendo mediante un

procedimiento opuesto al de la multiplicación.

En los capítulos 5 y 6 estudiaremos el origen y características de los algoritmos estándar para el sistema de numeración moderno. Y terminaremos esta sección con el método de la caja, utilizado en la educación primaria en muchos países, durante el proceso de aprendizaje de la multiplicación.

Este procedimiento pone de manifiesto el significado de los productos intermedios entre los dígitos de los números, representados estos en el sistema de numeración posicional decimal moderno. Para realizarlo se necesita conocer, o manejar, las tablas de multiplicar y los productos por potencias de 10, es decir, añadir los ceros a la derecha. El algoritmo consiste en descomponer cada uno de los números a multiplicar en sus potencias decimales y realizar los productos cruzados en una cuadrícula, como en un juego de barcos, para después sumar los productos parciales. Esta suma final se puede realizar de diferentes formas, primero filas (o respectivamente, columnas) y después la suma de estos resultados, como se muestra en la figura, o todos los productos parciales a la vez escribiendo una columna única.


43

EjEmplo 12

Veamos la multiplicación 527 · 314

Figura 25

El origen de los signos aritméticos:

multiplicación y división

Antes de la aparición de los signos utilizados hoy en día para

la multiplicación y la división, algunos matemáticos, como el

alemán Michael Stiefel (14871567) en su Deutsche Arithmeti

ca (1545), el flamenco Simon Stevin (15481620) o el francés

René Descartes (15961650) en su Géométrie (1637), utiliza

ban las letras M y D. Por ejemplo, la expresión algebraica que

hoy denotamos 3 x y z2 la escribían como 3 ① M sec ① M ter

②, donde “sec” expresaba la segunda incógnita, “ter” la terce

ra, y el círculo con el número expresa la potencia de esa varia

ble. Por otra parte, el matemático francés François Viète

(15401603) para expresar el producto de los números a y b

escribía “a en b”.

La cruz de San Andrés () se utiliza por primera vez como

símbolo para la multiplicación en la obra Clavis Mathematicae

(1631), del matemático inglés William Oughtred (15741660),

aunque, en forma de letra x, se utilizó también en un apéndice

anónimo, que pudo escribir el propio Oughtred, de la traduc

ción de Edward Wright, de 1618, de la obra Descriptio (1614)

del matemático escocés John Napier (15501617).


44

Figura 26

Fragmento del libro Clavis Mathematicae (1631), en el que William Oughtred introduce el signo para la multiplicación

Mientras que Oughtred utilizaba una cruz pequeña, el mate

mático francés AdrienMarie Legendre (17521833), en su Ele

ments de géométrie (1794), utilizaba una cruz grande. El signo

, para la multiplicación, ha llegado hasta nuestros días, en los

que sigue utilizándose, aunque no ha acabado por adoptarse

del todo, pues existe otro signo que también es empleado, el

punto (·), fundamentalmente en las matemáticas.

En Gran Bretaña tuvo una gran aceptación el signo ; sin embar

go, otros matemáticos, como el alemán Gottfried W. Leibniz

(16461716), creador junto con el inglés Isaac Newton (1643

1727) del cálculo, no se sentían cómodo con este símbolo. Leibniz,

en una de sus cartas al también matemático Johann Bernoulli

(16671748), de Basilea (Suiza), escribe: “No me gusta el símbolo

como un símbolo para la multiplicación, ya que se puede con

fundir con la letra x; […] a menudo, yo simplemente relaciono dos

cantidades con un punto e indico la multiplicación con RS · PQ”.

Aunque se puede decir que fue Leibniz quien introdujo el

punto para la multiplicación, ya había aparecido antes. Por

ejemplo, Thomas Harriot, en su Artis analyticae praxis (1631),

usa el punto en la expresión “aaa – 3 · bba = + 2 · ccc”. El

punto se adoptaría finalmente como símbolo de la multiplica

ción en matemáticas a lo largo del siglo XVIII.


45

Existieron otros símbolos para el producto, así, por ejemplo, el

matemático suizo Johann Rahn (16221676) utilizó el asteris

co (*) en su obra Teutsche Algebra (1659) o Leibniz utilizó

inicialmente una C tumbada, con la parte abierta hacia abajo,

en su Dissertatio de arte combinatoria (1666).

Figura 27

Página del libro Teutsche Algebra (1659), de John Rahn, que contiene la regla del signo en la multiplicación, así como el signo de la división de una barra y dos puntos

Uno de los signos modernos utilizado para la división fue un

“signo lunar”, o paréntesis, colocado entre los números. Así, para

denotar 24 dividido entre 8, se escribía “8)24”. Este signo lo

encontramos en la obra Arithmetica integra (1544), del mate

mático alemán Michael Stiefel. Aunque también se utilizaban

dos “signos lunares”, o paréntesis: así, 24 dividido entre 8 se po

día encontrar escrito “8)24(”, o para expresar su resultado,

“8)24(3”. Esta notación para la división se utilizó en los

libros de texto de Estados Unidos en el siglo XIX.

Uno de los signos de la división que ha llegado hasta la actua

lidad es una barra con un punto arriba y otro abajo, ÷. Este

símbolo fue introducido por el matemático John Rahn en su

obra Teutsche Algebra (1659), y fue muy utilizado en el mundo

anglosajón, pero no en el continente europeo, donde ha

acabado cayendo en desuso aunque sigue siendo conocido.


46

El matemático alemán Gottfried W. Leibniz, en su Dissertatio de

arte combinatoria (1666), utilizaba una C tumbada, con la parte

abierta hacia arriba, para denotar la división. Notación que

abandonaría para introducir los dos puntos (:) en su artículo de

1684 en Acta eruditorum, Nova Methodus pro maximis et minimis,

itemque tangentibus, et singulare pro illis calculi genus, el primer

trabajo en el que se introduce el cálculo infinitesimal. El motivo

fue tipográfico, puesto que con los dos puntos en un texto se

puede expresar la división en la misma línea y no hay que intro

ducir espacio extra en la dirección vertical, como ocurre en la

notación con la barra horizontal.

La notación de Leibniz para la multiplicación, el punto (·), y

para la división, los dos puntos (:), fue rápidamente adoptada

en todo el continente europeo.

La notación de la división mediante la utilización de la barra

horizontal, con dividendo y divisor, encima y debajo de la

barra horizontal, que hoy día sigue siendo muy utilizada por su

versatilidad para las expresiones complejas, tiene su origen en

la Antigüedad. Se sabe que la barra horizontal fue introducida

por los árabes, aunque se desconoce cómo se introdujo exac

tamente, o por quién. En Europa fue el matemático Fibonacci,

Leonardo de Pisa (11801250), quien utilizó por primera vez

la barra horizontal. Fibonacci también jugó un papel esencial

en la introducción en Europa de los números indios y sus cál

culos, tras aprenderlos de los árabes.

Por otra parte, la barra diagonal (/), tan utilizada hoy en día

para expresar una división, no fue más que un recurso tipográ

fico en los libros impresos en el siglo XVIII para expresar la

división mediante la barra horizontal.


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El origen de los signos aritméticos: igual

El signo = fue introducido por Robert Recorde en su libro de

álgebra The Whetstone of Witte (1557). Recorde decía que no

había dos cosas más iguales que dos líneas paralelas, por ese

motivo introdujo el signo =, para denotar la igualdad entre dos

cosas. Sin embargo, el signo tardaría bastante tiempo en ser

utilizado. No volvió a aparecer en un libro impreso hasta 1618.

Y se empezaría a utilizar en Inglaterra a partir del año 1631,

cuando se publicaron tres obras muy influyentes que lo conte

nían, Artis Analyticae Praxis, de Thomas Harriot (15601621),

Clavis Mathematicae, de William Oughtred, y Trigonometrie, or

the Doctrine of Triangles, de Richard Norwood (15901675).

Figura 28

Página del libro The Whetstone of Witte (1557), de Robert Recorde, en el que aparece por primera vez el signo = para la igualdad

En los libros impresos anteriores a la introducción del símbolo

= de Recorde, e incluso más de un siglo después, se utilizaron

palabras como aequales, aequantur, esgale, faciunt, y otras, para

expresar cuando dos cosas eran iguales, incluso la abreviatura

aeq. Expresiones que encontramos en textos de matemáticos

como Viète, Kepler, Galileo, Pascal, Napier o Fermat.


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El signo introducido por Recorde no solo tardaría en ser asu

mido por la comunidad científica, en particular la matemática,

lo cual ocurriría en el siglo XVIII, sino que además se utilizaría

el signo = con otros significados. Por ejemplo, Viète lo utilizaría

para expresar diferencia, resta de cantidades, así, escribiría “9

= 6 aequale 3”.

Por otra parte, existían otros signos que competían con las dos

líneas horizontales = para expresar la igualdad matemática.

Algunos de estos signos fueron el corchete derecho (]), dos

líneas verticales paralelas (||), una línea vertical (|), entre

muchos otros.

Actividades didácticas

Actividad 1. Un mundo sin números (1).La actividad se compone de tres partes, cuyo orden puede cambiarse.

a) Apuntar los números que ves a tu alrededor a lo largo del día (pueden realizarse fotografías para una exposición), dónde los ves y para qué sirven.

b) Reflexionar y debatir sobre la utilidad y finalidad de los números, en general, y si podríamos vivir en una sociedad sin ellos. En particular, plantearse qué actividades no podrían realizarse sin ellos.

c) Escribir una narración sobre el siguiente tema: una mañana al despertarte descubres que todos los números han desaparecido, ¿cómo sería un mundo así?

Ajustar la extensión y tipo de narración a las características de las personas que realicen la actividad.Como actividad de lectura: Ojalá no hubiera números (Esteban Serrano Marugán, Nivola, 2007) y La rebelión de los números (Antonio de la Fuente Arjona, Ediciones De la Torre, 2010).


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Actividad 2. Un mundo sin números (2).La primera parte de la actividad consiste en buscar noticias en el periódico que tengan números en el cuerpo de las mismas. Una vez elegida una noticia, ¿po drías tratar de reescribirla como si el periódico fuese para una sociedad en el que no existieran los números, es decir, eliminando cualquier referencia, directa o indirecta, a los números de la noticia, y reemplazándolos por expresiones que permitan que el texto siga teniendo cierto sentido al leerlo, a pesar de la ausencia de números? Una alternativa es inventar una noticia, en la que no se puedan escribir números y se planteen expresiones alternativas (noticias deportivas, lotería de navidad con colores, etc.).

Actividad 3. Sistemas de numeración para construir, ver y tocar.Como una actividad plástica, construir sistemas de numeración físicos, con los que luego puedas trabajar tanto la representación de los números como los métodos de cálculo de las cuatro operaciones aritméticas. Algunos posibles sistemas: i) los quipus incas1 (cada uno puede construirse un quipu con información personal o puede construirse un quipu conjunto, con información de un grupo de personas); ii) los cálculos de barro (puede utilizarse plastilina) de los sumerios; iii) el ábaco romano; iv) las varillas chinas (madera, plástico, palotes, etc.) con su tablero (cartulina).

Actividad 4. Inventarse sistemas de numeración en base cinco.Inventar símbolos para dos sistemas de numeración en base cinco, uno aditivo y otro posicional. El sistema aditivo que sea físico, es decir, hay que “inventarse” símbolos que sean objetos, para las cifras básicas 1, 5, 52 = 25, 53 = 125, 54 = 625, hasta la cantidad que se desee y el sistema posicional que sea de escritura, luego cinco símbolos escritos para 0, 1, 2, 3 y 4. Trabajar con ambos sistemas la representación de los números y los métodos de cálculo (en particular, escribir la tabla de multiplicar).

Actividad 5. El problema de las pesas de Bachet de Méziriac.Trabajar este problema clásico2, “determinar el menor número de pesas, y su peso en kilos, necesarias para pesar cualquier cantidad de kilos entre 1 y 40, ambas incluidas (sin admitir fracciones)” y su relación con los sistemas de numeración en base 3.

1. Véanse Raúl Ibáñez, “Quipu y yupana, instrumentos matemáticos incas ” (I) y (II), Cuaderno de Cultura Científica (blog).2. Véase Raúl Ibáñez, “Un problema clásico de pesas”, Cuaderno de Cultura Científica (blog).


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Actividad 6. Construye tu propia calculadora de sumas y restas.La actividad consiste en construir una calculadora mecánica para sumar y restar, con materiales que pueden tenerse a mano, como cartón, plástico o madera, aunque también podrían imprimirse sus componentes con una impresora 3D. Puede hacerse una versión con pulsadores, como la que aparece en la siguiente figura, o con diales para introducir los números3.

Figura 29

3. Véase Raúl Ibáñez, “Construye tu propia calculadora de sumas y restas”, Cuaderno de Cultura Científica (blog).


Raúl Ibáñez Torres · LOS SECRETOS DE LA MULTIPLICACIÓN DE LOS BABILONIOS A LOS ORDENADORES...

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