Raíz cuadrada de 5 1

Raíz cuadrada de 5La raíz cuadrada de 5 es el número real positivo que, cuando es multiplicado por sí mismo, da el número primo 5.Este número es notable en parte porque aparece en la fórmula para el número áureo. Puede ser denotado como:

La raíz cuadrada de 5 es un número irracional algebraico.[1]

Valor numéricoLos primeros sesenta dígitos significativos de su extensión decimal son:

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 21345 6574 88995 90000.(secuencia nº A002163 del OEIS).El cual puede ser redondeado a 2.236 con una exactitud dentro del 99.99%. En abril de 1994, su valor numérico endecimal había sido computado por lo menos a un millón de dígitos.[2]

Como fracción continuaPuede ser expresado como la fracción continua [2; 4, 4, 4, 4, 4…]. La secuencia de la mayor aproximación racionales:

Las convergentes de la fracción continua están coloreadas; sus numeradores tienen la secuencia nº A001077 delOEIS y sus denominadores tienen la secuencia nº A001076 del OEIS. Los otros términos no coloreados sonsemiconvergentes.

Cuando es computado con el método babilónico, comenzando con r0 = 2 y usando rn+1 = (rn + 5/rn) / 2, el nthaproximado rn es igual a la 2n-th converge de la secuencia convergente:

Raíz cuadrada de 5 2

Relación del número áureo y la sucesión de Fibonacci

La diagonal √5/2 de un medio cuadrado (el quetienen como medida sus lados 1 y 0.5) forman la

base para la construcción geométrica delrectángulo áureo.

El número áureo φ es la media aritmética de 1 y la raíz cuadrada de5.[3] La relación algebraica entre la raíz cuadrada de 5, el número áureoy el número áureo conjugado (Φ = 1/φ = φ − 1) son expresados en lasfórmulas siguientes:

(Véase la sección abajo para su interpretación geométrica comodescomposiciones de un rectángulo raíz-5.)La raíz cuadrada de 5 entonces calcula naturalmente en la expresióncerrada para los sucesión de Fibonacci, un fórmula de la forma que seescriba generalmente en términos del número áureo:

GeometríaGeométricamente, la raíz cuadrada de 5 corresponde a la diagonal de un rectángulo cuyos lados tengan una longitudde 1 y 2, o a la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos sean 1 y 2, cumo se puede comprobar con el teorema dePitágoras. Tal rectángulo puede ser obtenido partiendo en dos un cuadrado, o poniendo dos cuadrados iguales juntos.Junto con la relación algebraica entre √5 y φ, esto forma la base para la construcción geométrica del rectánguloáureo de un cuadrado, y para la construcción de un pentágono regular dado su lado (puesto que el cocientelado-a-diagonal en un pentágono regular es φ).Formando un ángulo recto diedro con los dos cuadrados iguales que parten en dos un rectángulo de 1:2, puede servisto que √5 corresponde también al cociente entre la longitud de un borde del cubo y la distancia más corta a uno desus vértices del opuesto uno, al atravesar la superficie del cubo (la distancia más corta cuando se atraviesa a travésdel interior del cubo, corresponde a la longitud de la diagonal del cubo, que es la raíz cuadrada de 3 veces el borde).El número √5 puede estar algebraica y geométricamente relacionado con la raíz cuadrada de dos y la raíz cuadradade tres, como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de medida √2 y √3, probándolo otravez el teorema de Pitágoras con:

;;

;

Los triángulos rectángulos de tales proporciones se pueden encontrar dentro de un cubo: los lados de cualquiertriángulo definido por el punto de centro de un cubo, una de esos vértices, y el punto medio de un lado situado enuna las caras que contienen ese vértice y frente a ella, están en el cociente √2:√3:√5. Esto sigue de las relacionesgeométricas entre un cubo y las cantidades √2 (cociente borde-a-cara-diagonal, o la distancia entre los bordesopuestos), √3 (cociente borde-a-cubo-diagonal) y √5 (la relación mencionada arriba).

Raíz cuadrada de 5 3

Un rectángulo con las proporciones 1:√5 de lado se llama un rectángulo raíz-cinco y es parte de la serie derectángulos dinámicos, con su base en √1 (= 1), √2, √3, √4 (= 2), √5… y así sucesivamente se construyen usando ladiagonal del rectángulo anterior de la raíz, a partir de un cuadrado.[4] Un rectángulo raíz-5 es particularmente notableen que puede estar partido en un cuadrado y dos rectángulos áureos iguales (de dimensiones Φ × 1), o en dosrectángulos áureos de diversos tamaños (de dimensiones Φ × 1 y 1 × φ).[5] Puede también ser descompuesto como launión de dos rectángulos áureos iguales (de dimensiones 1 × φ) cuya intersección forme un cuadrado. Todo estopuede ser visto como la interpretación geométrica de las relaciones algebraicas entre √5, φ y Φ mencionados arriba.El rectángulo raíz-5 se puede construir con un rectángulo de 1:2 (el rectángulo raíz-4), o directamente de uncuadrado de una forma similar al que está para el rectángulo áureo demostrado en la ilustración, pero extender elarco de la longitud a ambos lados.

TrigonometríaComo √2 y √3, la raíz cuadrada de cinco aparece extensivamente en las fórmulas para las constantes trigonométricasexactas, y como tal el cómputo de su valor es importante para generar tablas trigonométricas. Puesto que √5 estágeométricamente ligada a los semi-cuadrados y a los pentágonos, también aparece con frecuencia en los fórmulaspara las características geométricas de las figuras derivadas de ellas, por ejemplo en el fórmula para el volumen deun dodecaedro.

Aproximación diofánticaEl teorema de Hurwitz en aproximación diofántica indica que cada número irracional x se puede aproximar medianteinfinitos números racionales m/n expresados en forma irreducible de una manera tal que

y ese √5 es el mejor posible, en el sentido que para cualquier constante más grande que √5, hay algunos númerosirracionales x para los cuales solo es posible un número finito de tales aproximaciones existentes.[6]

Se relaciona de cerca con esto el teorema[] que de alguna de las tres convergentes consecutivas pi/qi, pi+1/qi+1,pi+2/qi+2, de un α del número, por lo menos una de las tres inecuaciones tiene:

Y la √5 en el denominador es la mejor posible vinculación, puesto que las convergentes del número áureo sediferencian en el lado izquierdo arbitrariamente cerca del valor en el lado derecho. En particularmente, uno no puedeobtener un límite vinculativo considerando secuencias de cuatro o más convergentes consecutivas.[]

ÁlgebraEl anillo contiene los números de forma , donde a y b enteros. Este anillo es un ejemplo confrecuencia citado de un anillo conmutativo que no sea un dominio de factorización única. El número 6 tiene dosfactorizaciones no equivalentes dentro de este anillo:

Identidades de RamanujanLa raíz cuadrada de 5 aparece en las varias identidades de Ramanujan que implican fracciones continuas deRogers-Ramanujan.[7][8] Por ejemplo:

Raíz cuadrada de 5 4

Distintas expresionesBinario: 10.0011110001101111...Decimal: 2.23606797749978969...Hexadecimal: 2.3C6EF372FE94F82C...

Fracción continua:

Notas[1] Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volumen 248; Pág 122.[2] R. Nemiroff and J. Bonnell: El primer millón de dígitos de la raíz cuadrada de 5 (http:/ / antwrp. gsfc. nasa. gov/ htmltest/ gifcity/ sqrt5.

1mil)[3] Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Sección: C; Pág 1. (Nota – este

es un artículo extensamente citado).[4] Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition (http:/ / books. google. com/ books?id=1KI0JVuWYGkC& pg=PA41&

ots=8ZNc5ZKfTG& dq=intitle:"Geometry+ of+ Design"+ "root+ 5"& sig=YitS7tv3b4_r87coR4s7EcjL4kk),Kimberly Elam, New York,Princeton Architectural Press, 2001, ISBN 1-56898-249-6

[5] The Elements of Dynamic Symmetry (http:/ / books. google. com/ books?id=VYJK2F-dh2oC& pg=PA26& ots=MqxrsVLmIH& dq="root+five+ rectangle"+ + section+ inauthor:hambidge& sig=meu0juFja5gpsjHKk_gG1stMbYo#PPA27,M1), Jay Hambidge, Courier DoverPublications, 1967, ISBN 0-486-21776-0

[6] LeVeque, William Judson, 1956, Topics in number theory, Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass, Mathematical Reviews0080682 (http:/ / www. ams. org/ mathscinet-getitem?mr=0080682)

Raíz cuadrada de 5 5

[7] Ramanathan K. G., 1984, On the Rogers-Ramanujan continued fraction, Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciencesvolumen 93, cuestión 2 y págs de la 67 a la 77, Mathematical Reviews 813071 (http:/ / www. ams. org/ mathscinet-getitem?mr=813071),ISSN 0253-4142

[8] Eric W. Weisstein, Fracciones continuas de Ramanujan (http:/ / mathworld. wolfram. com/ RamanujanContinuedFractions. html)] enMathWorld

Fuentes y contribuyentes del artículo 6

Fuentes y contribuyentes del artículoRaíz cuadrada de 5  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=66152409  Contribuyentes: Alexandrosas, Diegusjaimes, Espilas, GermanX, Jerowiki, Jkbw, KanTagoff, MagisterMathematicae, R. J. Mathar, Raulshc, 20 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Golden Rectangle Construction.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Golden_Rectangle_Construction.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: JoelHoldsworth (Joelholdsworth)

LicenciaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/