IEP SAN ANTONIO DE PADUA - TARAPOTONIVEL SECUNDARIOÁLGEBRA – RADICACIÓN ALGEBRAICADoc. Ing. Luis Armando Cuzco Trigozo. GRADO: 2º SECUNDARIA

1. RADICACIÓN Es la operación inversa de la potenciación.Llamamos raíz n-ésima de un número dado “x” al número “r” que elevado a “n” nos da “x”

“n” índice de la raíz“x” Radicando o subradical

Símbolo de la raíz

“r” Raíz n-ésima de “x”

Ejemplo:

2. CLASIFICACIÓN

A. POR SU NATURALEZA a) Racionales Tienen raíces exactas.

b) Irracionales Tienen raíces inexactas.

c) Reales Son aquellos subradicales son positivos.

d) Imaginarios Son aquellos cuyos índices son números pares y cuyos subradicales son negativos.

B. POR SU ESPECIE

a) Homogéneas Tienen el mismo índice.

b) Heterogéneas Tienen diferentes índices.

c) Semejantes Son aquellos que tienen el mismo índice y la misma parte subradical, sólo se diferencian en los coeficientes.

3. PROPIEDADES

Si x, y, m, n m 0, n 0Exponente Fraccionario

Raíz de un Producto

Raíz de un Cociente

Raíz de una Raíz

Caso especial

4. EXTRAER FACTORES DEL SIGNO RADICAL Pueden extraerse factores fuera del radical; cuando los factores de la cantidad sub-radical contiene un exponente igual o mayor que el índice del radical, para ello debemos tomar en cuenta la propiedad del exponente fraccionario:

Ejemplo: Extraer los factores del signo radical

Ejemplo: Extraer los factores del signo radical

5. INTRODUCCIÓN DE FACTORES DENTRO DEL SIGNO RADICAL

Esta operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.

Ejemplo: Introducir los factores dentro del signo radical

Ejemplo: Introducir los factores dentro del signo radical

6. REDUCCIÓN DE RADICALES A COMÚN ÍNDICE

(HOMOGENEIZAR RADICALES)

Esta operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice.Para eso, hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos cada cantidad sub-radical a la potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada radical.

Ejemplo: Reducir a común índice: Los índices son 2, 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices. El m.c.m es 6. Luego se divide por el índice propio de cada radical y el cociente se multiplica por el exponente del subradical, o sea:

Luego son respectivamente

equivalentes a: Ejemplo: Reducir a común índice:

7. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Simplificar un radical es reducirlo a su mínima expresión, dividiendo el índice del radical y los exponentes del subradical entre un mismo número que es el máximo común divisor (M.C.D) de ellos.

Ejemplo: Simplificar el radical:

El M.C.D de (40 y 30) es 10, luego se divide el índice del radical y el exponente del subradical, osea:

Ejemplo: Simplificar el radical:

8. OPERACIONES CON RADICALES

8.1 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON RADICALES

Para sumar o restar dos o más radicales. Estos deben ser semejantes.

Ejemplo: Efectuar:

Primero debemos simplificar los radicales:

Luego efectuamos:

Ejemplo: Efectuar:

8.2 MULTIPLICACIÓN DE RADICALES Para multiplicar dos o más radicales se multiplican entre sí sus coeficientes y luego los subradicales, conservando el mismo índice. Los radicales que han de multiplicarse deben ser homogéneos (con igual índice). Ejemplo: Efectuar la multiplicación de los radicales homogéneos:

Ejemplo: Efectuar la multiplicación de los radicales homogéneos:

A. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES HETEROGÉNEOS (Distinto índice)

Para multiplicar dos o más radicales heterogéneos, se les reduce al común índice por medio del Mínimo Común Múltiplo (M.C.M) de ellos y a continuación se efectúa la multiplicación indicada.

Ejemplo: Multiplicar:

Llevando a común índice:

Ejemplo: Multiplicar:

B. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES (Un monomio por un polinomio)

Para multiplicar un monomio por un polinomio cuando tiene radicales se multiplica el monomio por cada una de los términos del polinomio, luego se suman los productos parciales o se reducen los términos semejantes, si los hay.

Ejemplo: Multiplicar:

Ejemplo: Multiplicar:

C. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES (Un polinomio por un polinomio)

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio cuando tiene radicales se multiplica el segundo polinomio por cada una de los términos del primer polinomio, luego se suman los productos parciales o se reducen los términos semejantes, si los hay.

Ejemplo: Multiplicar:

Ejemplo: Multiplicar:

8.3 DIVISIÓN DE RADICALES

Para dividir dos radicales se dividen entre sí sus coeficientes y subradicales. Los radicales de la división deben ser homogéneos (con igual índice).

Ejemplo: Dividir:

Ejemplo: Dividir:

8.4 DIVISIÓN DE RADICALES HETEROGÉNEOS Para dividir dos radicales que no son homogéneos. Primero se deben homogeneizar los índices de los radicales. Luego se dividen como en el caso anterior.

Ejemplo: Dividir:

Ejemplo: Dividir:

PROBLEMAS

1. Extrae los factores radicales.

a) b) c)

d)

e) f) g)

h)

2. Introduce dentro de la raíz:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i)

3. Homogeneizar los radicales:

a)

b)

c) ; ;

d)

4. Simplificar los radicales

a) b)

c)

d)

e) f)

g)

h)

5. Operar y simplificar los radicales.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

6. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales

a) b)

c) d)

e) f)

g)

h)

7. Multiplicar los radicales

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

8. Dividir los radicales

a) b)

c)

d) e)

f) g)

h) i)

j) k)

l) m)

9. Efectuar las siguientes operaciones