100

Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES

Tema 5.6 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

(Estudiar la Sección 15.8 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 23)

Ejemplo 1 en Coordenadas Cilíndricas:

Evalúe la integral triple: dVyx

E

∫∫∫ + 22 , en donde E es el volumen dentro del

cilindro 122 =+ yx , debajo del plano 4=z , y arriba del paraboloide

221 yxz −−=

[ ] ( )[ ] ( )

5

122

5

6

5

11

5

314

2

0

1

0

2

0

5

3

2

0

1

0

422

0

1

0

222

0

1

0

4

1

2

2

0

1

0

4

1

22

0

1

0

4

1

22

2

22

ππθθ

θθθ

θθ

ππ

πππ

ππ

=⋅=

+=

+=

=+=−−==

===+

∫∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫

−

−−

ddr

r

ddrrrddrrrddrzr

ddrdzrddrrdzrdVyx

r

rrE

Ejemplo 2 en Coordenadas Cilíndricas: Evalúe la integral

( )∫ ∫ ∫+

−

−+

−− +

+2

2

4

4

222

2

2 22

x

x yx

dxdydzyx cambiando a coordenadas cilíndricas,

Solución:

La curva de intersección del cono 22yxz += , y el plano 2=z , es el círculo de

422 =+ yx , que limita la región de integración:

[ ]

( )

5

162

5

8

5

328

522

2

0

2

0

2

0

542

0

2

0

43

2

0

2

0

2 2

0

2

0

2332

0

2

0

22

ππ

θθθ

θθθ

πππ

π ππ

=⋅=

=

−=

−=−=

===

∫∫∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

ddrr

ddrrr

ddrzrddrdzrddrrdzrr

rr

101

Ejemplo 3 en coordenadas esféricas: Evalúe la integral ( )

dVe

E

zyx∫∫∫ ++ 23

222

, en

donde ( ){ }1,,222 =++= zyxzyxE

Solución:

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) ( )( )1

3

42

3

12

3

12

cos3

1

3

11

3

1

3

1

2

0

0

2

00

2

00

2

0

0

2

0

1

00

22

0

1

0

3323

222

−=⋅−

=−

=

−−

=−

=−=

==

∫

∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ++

ee

de

de

ddsene

ddsene

ddsenedddsenedVe

E

zyx

ππθ

θϕϕθϕϕθϕ

ϕθϕϕθρϕρ

π

πππ ππ π

π πρ

π πρ

Ejemplo 4 en coordenadas esféricas: Encuentre el volumen del sólido sobre el cono 22

yxz += y debajo de la esfera zzyx =++ 222

Solución:

Completando el cuadrado la ecuación de la esfera es:

22

22

2

1

2

1

=

−++ zyx y en

coordenadas esféricas es: ϕρρ cos2 = , o simplificada: ϕρ cos= . Entonces:

( )[ ]8

214

1

12

10cos4cos

12

1

4

cos

3

1

cos3

1

3

2

0

44

0

2

0

4

4

0

2

0

34

0

2

0

cos

0

3

4

0

2

0

cos

0

22

ππθπθ

φ

φθϕϕφθϕρ

φθρϕρφθρϕρ

ππ

π

π ππ πϕ

π π ϕ

=

−

−=−

−=

−=

=

=

===

∫∫

∫ ∫∫ ∫

∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫

dd

ddsenddsen

dddsendddsendVV

102

Diferencial de volumen en coordenadas esféricas:

Para la próxima clase estudiar las secciones 15.8 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas 16.1 Campos Vectoriales

Tarea para entregar la próxima clase Tarea No. 23 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

ρd θϕρ dsen

ϕρ d

( )( )( )

ϕθρϕρ

θϕρϕρρ

dddsendV

dsendddV

2=

=

103

Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA

Tarea No 23 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

(Sección 15.8 del Stewart 5ª Edición)

En los problemas 1 y 2 evalúe la integral triple en coordenadas cilíndricas:

P1: Evalúe ∫∫∫E

dVy en donde E es el sólido que está entre los

cilindros 4,12222 =+=+ yxyx , arriba del plano xy, y abajo

del plano 2+= xz

0:1R

P2: Evalúe ∫∫∫E

dVx2

en donde E es el sólido que está dentro del

cilindro 122 =+ yx , arriba del plano 0=z , y abajo del cono

22244 yxz +=

5

2:2

πR

En los problemas 3 y 4 evalúe la integral triple en coordenadas esféricas:

P3: Evalúe ∫∫∫E

dVz , donde E está entre las esferas

4,1222222 =++=++ zyxzyx en el primer octante.

16

15:3

πR

P4: Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono 3πφ = y

debajo de la esfera φρ cos4= π10:4R

P5: Transforme a coordenadas cilíndricas y evalúe la integral:

( )∫ ∫ ∫−

−

−−

−−

+

+1

1

1

1

22322

2

2

22

22

dxdydzyxx

x

yx

yx

35

8:5

πR

P6: Transforme a coordenadas esféricas y evalúe la integral:

∫ ∫ ∫−

−

−−

−−

++3

3

9

9

9

0

222

2

2

22x

x

yx

dxdydzzyxz 5

243:6

πR