1.6.1 Reglas de Inferencia

INFERENCIA: De premisas verdaderas se obtienen sólo conclusiones verdaderas.

Cada regla de inferencia tiene su origen en una implicación lógica. En

algunos casos la implicación lógica se establece sin demostración.

Regla Nombre

p

p q q

Modus Ponens

p q

q r

p q

Ley del silogismo

pq

Modus Tollens

p

q

p Λ q

Regla de la Conjunción

p V q

q

Regla del silogismo

Disyuntivo

F

p

Regla de la contradicción

p Λ q

p

Regla de la simplificación

Conjuntiva

p

p V q

Regla de la simplificación

Disyuntiva

p Λ qp (q r) r

Regla de la demostración

Condicional

NOTA:

qp

p

p

p r

q r

( p V q ) r

Regla de la demostración

por casos

p q

r s

p V r

q V s

Regla del dilema

constructivo

p q

r s

__V___

V

Regla del dilema destructivo

1.           REGLA DEL MODUS PONENDO PONENS

Es una regla de inferencia que permite demostrar q a partir de p q y p.

 

PREMISA 1) Si Pedro está en el partido de Fútbol, entonces Pedro

está en el estadio.

PREMISA 2) Pedro está en el partido de Fútbol.

___________________________________________________

CONCLUSIÓN: Pedro Está en el estadio.

 

Simbólicamente tenemos lo siguiente:

jemplosE

rp rq

p: Pedro está en el partido de fútbol

q: Pedro está en el estadio

Entonces:

PREMISA 1) p q PREMISA 2) p __________ CONCLUSIÓN: q

  Esta regla permite pasar de dos premisas a la conclusión, se dice que la

conclusión es una consecuencia lógica de las premisas, es decir siempre que las

premisas son ciertas, la conclusión es también verdadera.

 La misma regla se aplica tanto si el antecedente y el consecuente son

proposiciones atómicas o moleculares.

 

 

a) r s b) p c) p Ù q r d) p q Ùr r p p Ù q p ________________ __________________ ________________ ________________

s r q Ùr   Cuando el MODUS PONENDO PONENS o cualquier otra regla se aplica para

sacar una conclusión de dos o más proposiciones, el orden de las proposiciones

es indiferente.

 La abreviatura para esta regla es MP.

 

2) DOBLE NEGACIÓN.

jemploE

q

q

  Es una regla que permite pasar de una premisa única a la conclusión. Un

ejemplo simple es el de una negación de la negación que se denomina << Doble

negación >>.

Sea la proposición:

No ocurre que Ana no es un estudiante.

 De donde se puede sacar la conclusión: Ana es estudiante.

 

 La regla también actúa en sentido contrario. Por ejemplo: de la proposición se

puede concluir la negación de su negación:

 

Juan toma el autobús par ir a la escuela.

__________________________________________

No ocurre que Juan no toma el autobús para ir a la escuela

 

 

Así esta regla tiene dos formas simbólicas:

 

  ( p ) y ( p )

( p ) ( p )

 

  La abreviatura para esta regla es DN.    3) MODUS TOLLENDO TOLLENS

 

La regla de Inferencia que se aplica también a las proposiciones condicionales,

pero en este caso, negando ( tollendo ) el consecuente, se puede negar (tollens )

el antecedente de la condicional.

 

 

La deducción siguiente es un ejemplo del uso de esta regla:

 

PREMISA 1) Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella .

PREMISA 2) El astro no es una estrella.

Conclusión: Por lo tanto no tiene luz propia.

 

 Simbolizando: p : Tiene luz propia q : El astro es una estrella.  PREMISA 1) p qPREMISA 2) _______________________Conclusión:  

Cuando se trata de proposiciones moleculares puede usarse el paréntesis para

mayor claridad.

 La abreviatura para esta regla es TT.   

 4) Regla de ADJUNCION Y SIMPLIFICACIÓN. 

jemploE

q

p

Se suponen dadas dos proposiciones como premisas. La primera es

Jorge es adulto

La segunda es:

María es adolescente.

Si ambas proposiciones son verdaderas, entonces se podrían juntar en una

proposición molecular utilizando el término de enlace << y >> y se tendría una

proposición verdadera que se leería:

Jorge es adulto y maría es adolescente.

La regla que permite pasar de las dos premisas a la conclusión se denomina regla

de ADJUNCION.

 La abreviatura para esta regla es A. De manera simbólica se puede ilustrar la regla así : 

PREMISA 1) pPREMISA 2) q

_____________________Conclusión 1) p Ù qConclusión 2) q Ù p

 El orden de las premisas es indiferente.  Ahora veamos la REGLA DE SIMPLIFICACIÓN  Si se tiene una premisa que dice: 

El cumpleaños de María es el lunes y el mío es el sábado. De esta premisa se pueden concluir: 

El cumpleaños de María es el viernes. La otra conclusión:

 El mío es el sábado.

 Si la premisa es cierta, cada una de las conclusiones es también cierta. Esta regla se abrevia por S. En forma simbólica la regla de simplificación es: p Ù q 

De la premisa p Ù q _______________

Se concluye: p O se concluye: q   5) REGLA DE MODUS TOLLENDO PONENS 

Esta regla dice que negando (tollendo) un miembro de una disyunción, se afirma

(Ponens) el otro miembro.

 

Simbólicamente tenemos:

 De la premisa p v q

Y de la premisa _______________ se concluye q  O también De la premisa p v q Y de la premisa ________________ se puede concluir p  La abreviatura para esta regla es : TP. 

p

q

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de

razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la

forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las

variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las

reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una

demostración.

Ejemplo 1

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.

Si se hace usted rico, entonces será feliz.

____________________________________________________

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.

Sea:

p: Usted invierte en el mercado de valores.

q: Se hará rico.

r: Será feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica

de la siguiente manera:

p q

q r

______

p r

Ejemplo 2.

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso

El ingreso se eleva.

_________________________________________

Los impuestos bajan

Solución:

Sea

p: Los impuestos bajan.

q: El ingreso se eleva.

p q

q

_____

p

El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá

poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla.

En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen

reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte

en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla

aplicar para resolver un determinado problema

Ejercicio:

Determina de los siguiente argumentos cuales reglas de inferencia se aplican y

cual es el resultado del argumento.

1.- Ligia gana 10 millones de dólares en la lotería.

Si lidia gana 10 millones de dólares en la lotería entonces José renunciará a su

trabajo.

Por lo tanto: ____________________________________

2.- Si el entero 35, 244 es divisible entre 396, entonces el entero 35,244 es

divisible entre 66

Si el entero 35, 244 es divisible entre 66, entonces el entero 35, 244 es divisible

entre 3

Por lo tanto: __________________________________________

3.- Si Alejandra se va de paseo a París entonces tendrá que ganarse una beca

Alejandra se va de paseo a París.

Por lo tanto: _________________________________________

4.- Rita esta horneando un pastel

Si Rita esta horneando un pastel, entonces no está practicando la flauta.

Si Rita no está practicando la flauta, entonces su padre no pagará el seguro.

Por lo tanto: _________________________________________

5.- Si Juan juega Basket entonces será un gran deportista

Si Juan trabaja entonces ahorrará para ir de vacaciones.

Juan juega básquet o estudia Inglés

Por lo tanto: __________________________________________