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PAS VASCO / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS APLICADAS A LASCIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO

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NOTAS. (1) Hay que elegir y desarrollar un ejercicio de (el 1 o el 2) de cada uno delos cuatro apartados que siguen (A, B, C y D). (2) Los ejercicios de los apartados A yB se evalan sobre un mximo de 3 puntos, y los de los apartados C y D sobre un

mximo de 2 puntos.

APARTADO A

Ejercicio A.1

Un agricultor vende manzanas y peras en dos tipos de lotes: el A, compuesto por 10manzanas y 2 peras, al precio de 80 pesetas; y el B, compuesto por 2 manzanas y 20peras, a 120 pesetas. Cierto da dispone de 130 manzanas y 320 peras.Sabiendo que vende todos los lotes que prepara, cuntos le interesa preparar de

cada tipo para obtener el mximo de ingresos? A cunto ascendern tales ingresos?

Ejercicio A.2

Encuentra la matriz Xtal que AX + B = C, siendo:

=

12

11A ,

=

121

011B ,

=

311

110C

Se puede hallar alguna matrizY

tal queYA + B = C

?

APARTADO B

Ejercicio B1

Divide un segmento de 5 cm de longitud en dos partes de manera que sea mnimo elresultado de sumar el cuadrado de una de ellas con el cudruplo del cuadrado de laotra.

Ejercicio B2

Representa grficamente y halla el rea del recinto ABC, donde A = (0, 0), B = (0,2), C = (1, 1), las lneas AB y BC son rectas, y la lnea AC tiene por ecuacin y = 2x x2.

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APARTADO C

Ejercicio C.1

Se lanzan dos dados. Halla:a) La probabilidad de que una de las puntuaciones sea par y la otra impar.

b) La probabilidad (condicional) de que una de las puntuaciones sea par, sabiendoque la suma de las dos es 7.

Ejercicio C.2

En una fbrica de tornillos, la mquina A produce el 40% del total y la mquina B, el60%. De los tornillos fabricados por A, el 10% son defectuosos, y de los fabricados

por B son defectuosos el 20%.Si se elige al azar un tornillo y resulta defectuoso, cul es la probabilidad de quehaya sido hecho por A?

APARTADO D

Ejercicio D.1

En una poblacin, los ingresos anuales siguen una distribucin normal con una media

de 2 millones de pesetas y una desviacin tpica de 800 000 pesetas.Si la proporcin de pobres es el 4% y la de ricos el 2%, cules son los ingresos quemarcan los lmites de la pobreza y de la riqueza en esa poblacin?

Ejercicio D.2

Segn los datos de un censo de 1970, el analfabetismo en cierto pas alcanzaba el40% de la poblacin. Una reciente encuesta realizada sobre una muestra aleatoria de800 personas, arroja el dato de que 300 de ellas son analfabetas.Puede considerarse, con un nivel de confianza del 95%, que se ha reducido el nivel

de analfabetismo?

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SOLUCIONES:

APARTADO A

Ejercicio A.1)

Con los datos anteriores se obtiene:

Cantidad Manzanas Peras Ingresos

Lote a x 10x 2x 80x

Lote B y 2y 20y 120y

Disponibilidades 120 320

El objetivo es maximizar los ingresos: I(x, y) = 80x + 120y

Restringido por: 10x + 2y 1302x + 20y 320x 0; y 0

Estas restricciones generan la regin factible dada en la siguiente figura.

Los vrtices son:

O = (0, 0), P = (0, 16), Q:

=+=+

320202

130210

yx

yx Q = (10, 15) y R = (13, 0).

Los ingresos en esos punto son:

En O, I(0, 0) = 0.

En P, I(0, 16) = 1.920

En Q, I(10, 15) = 2.600. Es la solucin buscada.

En R, I(13, 0) = 1.040.

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Ejercicio A.2)

AX + B = C AX = C B

Atendiendo a la dimensin de las matrices dadas,Xdebe ser 2 3.

Si

=

fed

cbaX , se tendr:

12

11

fed

cba=

311

110

121

011

+++

+++fcebda

fcebda

222=

210

101

=+=+

02

1

da

da;

=+=+

12

0

eb

cb;

=+=+

22

1

fc

fc

a= 1; d= 2; b=1; e= 1; c= 1; f= 0

Luego,

=

012

111X

De YA + C = B YA = C B YAdebe ser una matriz de dimensin 2 3, lo que noes posible:

Yn2 A22= Mn2

APARTADO B

Ejercicio B.1)

Sean x y 5 x los nmeros.

Se desea que la suma 22 )5(4)( xxxS += sea mnima.

Para ello: S= 0; S> 0.

0)5(82)( == xxxS x= 4

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082)( >+=xS .

Los nmeros deben ser 4 y 1 (en ese orden).

Ejercicio B.2)

El recinto es el sombreado en la siguiente figura.

La recta BC es: y = 2 x.

El rea pedida es:

A = 1

0

2 ))2(2( dxxxx =6

5

32

32)32(

1

0

32

1

0

2 =

+=+ xxxdxxx

APARTADO C

Ejercicio C.1)

a) P(par e impar) = 1 P(par par) P(imparimpar) =

=2

1

6

3

6

3

6

3

6

31 =

b) Si la suma es 7 siempre habr algn nmero par. Luego

P(par/suma 7) = 1

NOTA: A los alumnos convendra darles los sucesos de suma 7:

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

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En todos los caso aparece un resultado par.

Ejercicio C.2)

Formamos la tabla:

Mquina A Mquina B Total (%)

Produccin 40 60 100

Defectuosos (D) 40 0,1 = 4 60 0,2 = 12 16

Con esto:

P(A/D) = 25,016

4=

APARTADO D

Ejercicio D.1)

Tenemos una N(2, 0,8),

Sean x0 y x1 los lmites de la pobreza y de la riqueza, respectivamente.

Debe cumplirse:

P(X < x0) = 0,04 P 04,08,0

20 =

x1) = 0,02 P 02,08,0

21 =

> xZ 055,2

8,021 =x x1= 3,644

Sern ricos todos aquellos que tengan unos ingreso superiores a 3.644.000 pesetas.

Ejercicio D.2)

Se trata de un contraste unilateral.

Se admite que la proporcin de analfabetismo ha disminuido, para una significacin ,

cuando

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,n

pqZpp

0,3715 no podemos admitir que la proporcin de analfabetismo

ha disminuido.

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