Sec. 3.1 Derivadas de Polinomios y Funciones Exponenciales

En esta sección vamos a aprender a derivar funciones

constantes de potencias, polinomiales y exponenciales.

Vamos a empezar con la función más sencilla la función constante.

( )f x c= .

y=c

Derivada de una función constante

( ) 0d cdx

=

Funciones de Potencias

Vamos a ver las funciones ( ) nf x x= , donde n es entero

positivo.

n=1 ( )d xdx

=

y=x

n=2

( )2d xdx

=

Regla de Potencia Si n es un entero positivo,

entonces

( ) 1n nd x nxdx

−=

Demostración:

Ejemplo

Deriva:

1. ( ) 5f x x=

2. ( )7d tdt

En general: Si n es cualquier número real, entonces

( ) 1n nd x nxdx

−=

Ejemplo

Deriva:

1. ( ) 1f xx

=

2. 35y x=

3. ( ) 53f x =

4. ( ) 7f x x−=

Ejemplo

Halla la ecuación de la recta tangente y a la recta normal

a la gráfica de 3y x x= en 1.x =

Nuevas derivadas

Regla del múltiplo constante Si c es constante y f es

una función diferenciable, entonces

( ) ( )d dcf x c f xdx dx

=

Demostración

Regla de suma Si f y g son funciones diferenciables,

entonces

( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g xdx dx dx

+ = +

Regla de diferencia Si f y g son funciones

diferenciables, entonces

( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g xdx dx dx

− = −

Ejemplo

Deriva:

1. 3y x=

2. ( ) 45 32

f x x x π= − +

3. 25

34y tt

= −

4. ( ) ( )23 1g a a= +

Ejemplo

Halla '''y si 25 3 7y x x= − + .

Ejemplo

La ecuación de movimiento de una partícula es 4 3 23 2 12s t t t t= − − + donde s es medido en metros y t en

segundos.

1. Encuentra la velocidad y la aceleración como

función de t.

2. Encuentra la aceleración después de 2 segundos.

3. Encuentra la velocidad cuando la aceleración es 0.

Ejemplo

Encontrar los puntos de la curva 2

3 2 52xy x x= + − +

donde la recta tangente es horizontal.

Funciones exponenciales

Vamos a derivar la función exponencial ( ) xf x a= usando

la definición de la derivada.

Definición del Número e

e es el número tal que 0

1lim 1h

h

eh→

−=

Derivada de la Función Exponencial Natural

( )x xd e edx

=

Ejemplo

Halla la derivada:

1. 321 3

2xy x e

−= − −

2. ( ) 1 3xf x e e−= +

Ejemplo

Encuentre los puntos de la curva xy e= donde donde la

tangente es paralela a recta con ecuación. 2y x=

Ejemplo

Prob. 71 Encuentra la parábola con ecuación 2 .y ax bx= + cuya recta tangente en (1,1) tiene ecuación.

3 2.y x= −