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MATE 3031

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 18

MATE 3031

Derivadas y razones de cambio

En esta sección se discutirá como hallar la pendiente de una rectatangente y la velocidad de un objeto usando límites. Considere una curvaC con ecuación y = f (x) , el objetivo es hallar la ecuación de la rectatangente a C en el punto P (a, f (a)) , para ello considere al puntoQ (x , f (x)) , donde x 6= a y calcule la pendiente a la recta secante ←→PQ.

x

y

a x

P(a,f(a))

Q(x,f(x))

xa

f(x)f(a)

La pendiente dela recta secante:

mPQ =f (x )−f (a)x−a


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Definición La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a))es la recta que pasa por P con pendiente:

m = limx→a

f (x )−f (a)x−a

si el límite existe.

Nota: La pendiente de la recta secante←→PQ, se puede calcular

considerando h = x − a, lo que implica x = a+ h y la pendiente de larecta secante es:

mPQ =f (a+h)−f (a)

h

Es importante que observe que cuando x se aproxima a a, h se aproxima a0, y una expresión equivalente para la pendiente de la recta tangente setiene en la siguiente ecuación:

m = limh→0

f (a+h)−f (a)h (1)


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.Ejemplo1. 3 (pág. 150) Halle la pendiente de la recta tangente a la parábolay = 4x − x2 en el punto (1, 3) :a. usando la definición

b. usando la ecuación (1).

c. Determine la ecuación de la recta tangente


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2. Halle la ecuación a la recta tangente a la curva y = x2 + 4x − 6 en elpunto (1,−1)

3. Halle la ecuación a la recta tangente a la curva y =2x + 1x + 2

en el punto

(1, 1)


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Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de unalínea recta de acuerdo a la ecuación del movimiento s = f (t), donde s esel desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en eltiempo t. La función f que describe el movimiento es llamada la funciónposición del objeto.En el intervalo de tiempo de t : [a, a+ h] , el cambio de posición es:f (a+ h)− f (a) , la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es:

velocidad promedio =desplazamiento

tiempo=f (a+ h)− f (a)

h

x

y

a a+h

h

f(a+h)f(a)

P(a,f(a))

Q(a+h,f(a+h))

La velocidadpromedio esla pendiente dela recta secante:

←→PQ


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Si la velocidad promedio se calcula en periodos de tiempo más pequeños,[a, a+ h] , es decir, h se aproxima a 0, entonces se tiene la velocidad(velocidad instantánea) v (a) en el tiempo t = a y se calcula como ellímite de la velocidad promedio:

v (a) = limh→0

f (a+ h)− f (a)h

si el límite existe.EjemploProb. 14.


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Prob. 16


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Definición La derivada de una función f en un número a, denotada porf ′ (a) , es:

f ′ (a) = limh→0

f (a+ h)− f (a)h

si el límite existe.

Nota: Si x = a+ h⇒ h = x − a y se tiene: f ′ (a) = limx→a

f (x)− f (a)x − a

Recta tangente:La ecuación de la recta tangente a y = f (x) en (a, f (a)) es la recta quepasa por (a, f (a)) cuya pendiente es igual a f ′ (a), la derivada de f en a yes dada por:

y − f (a) = f ′ (a) (x − a)


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Prob. 17

Prob. 20 Si la recta tangente a y = f (x) en (4, 3) pasa por el punto(0, 2) , halle f (4) y f ′ (4)


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Prob. 22 Haga el bosquejo de la gráfica de una función g para la cual:g (0) = g (4) = g (2) = 0, g ′ (1) = g ′ (3) = 0, g ′ (0) = g ′ (4) =1, g ′ (2) = −1, lim

x→∞g (x) = ∞, , lim

x→−∞g (x) = −∞.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y


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26 a. Si G (x) = 4x2 − x3, halle G ′(a) y úselo para hallar las rectastangentes a la curva y = 4x2 − x3 en los puntos (2, 8) y (3, 9) .

29. Halle f ′ (a) si f (t) =2t + 1t + 3


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34. El límite limh→0

4√16+ h− 2

hrepresenta la derivada de una función f en

algún número a, halle f y a.

36. El límite limx→ π

4

tan x − 1x − π

4representa la derivada de una función f en

algún número a, halle f y a.


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Razones de cambioSuponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x . Así, yes una función de x y se escribe: y = f (x). Si x cambia de x1 a x2,entonces el cambio en x (también llamado el incremento de x) es:

∆x = x2 − x1

y el cambio correspondiente en y es:

∆y = f (x2)− f (x1)

El cociente de las diferencias:

∆y∆x

=f (x2)− f (x1)

x2 − x1

es llamado la razón de cambio promedio de y conrespecto a x, sobreel intervalo [x2, x1] y se puede interpretar como la pendiente de una rectasecante que pasa por los puntos (x1, f (x1)).y (x2, f (x2)) .


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Similar a la velocidad, si se considera la razón de cambio promedio sobreintervalos cada vez más pequeños, haciendo que x2 se aproxime a x1 loque implica que ∆x se aproxima a cero. El límte de la razón de cambiopromedio es llamado la razón de cambio (instantánea) de y conrespecto a x en x = x1, que se puede interpretar como la pediente de larecta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x1, f (x1)) y se denotapor:

razón de cambio instantánea = lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

f (x2)− f (x1)x2 − x1

La expresión anterior no es otra cosa que la derivada de f en x1.

Ahora se puede dar una interpretación diferente a y = f ′(a) que representala pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en x = a, como:

La derivada f ′(a) es la razón de cambio instantánea de y = f (x) conrespecto a x cuando x = a.


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44. El número N de locales de una cadena popular de café se presentanen la siguiente tabla:Año 2004 2005 2006 2007 2008N 8569 10241 12440 15011 16680

a.

b.

c.

d.


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48. El número de bacterias después de t horas en un laboratorioexperimental es n = f (t):a. ¿Cuál es el significado de f ′ (5)? ¿Cuáles son sus unidades?

b. ...


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