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ESTUDIO DE LAS FRECUENCIAS NATURALES

DE UN PUENTE

Felipe Rodríguez Fonte

[email protected]

Las Palmas de Gran Canaria

14 de julio de 2008

Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 2.5

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California 94105, USA.

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/es/

INDICE

INDICE 2

INDICE DE FIGURAS 4

INDICE DE TABLAS 6

1. SOFTWARE USADO 7

2. UN POCO DE HISTORIA 8

3. FUNDAMENTO DEL MEF 12

4. INTRODUCCIÓN TEÓRICA 14

4.1. Método de las masas concentradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2. Método de los desplazamientos generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3. Método de los Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.4. Frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. PROBLEMA 22

5.1. DESCRIPCION DEL PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2. PRIMERA PARTE DEL PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales

5.2.1. MATERIALES Y TIPOLOGÍA USADA . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2.2. ELEMENTOS SEGÚN ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2.3. RESOLUCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.3. SEGUNDA PARTE DEL PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.1. MATERIALES Y TIPOLOGÍA USADA . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.2. ELEMENTOS SEGÚN ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.3. RESOLUCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.4. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

BIBLIOGRAFÍA 41

Mecánica del Sólido Elástico 3

INDICE DE FIGURAS

4.1. Metodo masas concentradas.Modelización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2. Cálculo de las frecuencias naturales en los edificios . . . . . . . . . . . . . . 18



5.1. Primera parte del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2. Segunda parte del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3. Sección y grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.4. Elementos usados según Ansys en la primera parte del problema . . . . . . 27

5.5. Construcción del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.6. Primer modo de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.7. Segundo modo de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.8. Tercer modo de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.9. Cuarto modo de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.10. Quinto modo de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.11. Cimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.12. Elementos usados según Ansys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4


5.13. Puente con cimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.14. Primer modo de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.15. Segundo modo de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.16. Tercer modo de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.17. Cuarto modo de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.18. Quinto modo de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.19. Aumentamos la rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


INDICE DE TABLAS

5.1. Frecuencias naturales primera parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2. Frecuencias naturales segunda parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3. Frecuencias naturales aumentamos rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6

SECCIÓN 1

SOFTWARE USADO

Para la realización de este trabajo he usado Ansys v.11, Autocad 2006 y LATEX. Para

hacer uso de LATEX en Windows he usado TeXnicCenter como editor, y la distribución de

Miktex 2.7.

Además, haciendo uso de youtube, y de la posibilidad que brinda Ansys de grabar en

formato .avi la simulación,he colgado allí los modos de vibración. En las secciones donde

se hallan las frecuencias naturales he colocado los links,que puede pulsar y directamente

le llevarán a ver los modos de vibración, tanto en el problema con los bloques de hormigón

como sin ellos.

7

SECCIÓN 2

UN POCO DE HISTORIA

La primera pregunta que surge al empezar a usar el MEF, Método de Elementos Finitos,

es ¿Para qué sirve?. Este método es uno de los más usados en Ingeniería y física, nos sirve

para aproximar la solución de las ecuaciones diferenciales parciales.

La siguiente posible pregunta es ¿Cuál es su fundamento? La base de este es la di-

cretización del continuo, pero sobre esto trataré en el siguiente apartado.

No me parece lógico, pasar por alto algo tan importante como es la historia del método,

ya que esto nos da una idea de cual ha sido su evolución y la importancia que tiene el

método hoy en día. Hasta la década de los cincuenta, todo el cálculo estructural se hacía

mediante Cross y Kani,que era un proceso demasiado tedioso, pues era iterativo pero sin

el uso de ordenadores. Con la entrada de los ordenadores y del MEF, este problema es

solventado, y lo que antiguamente se tardaba semanas en calcular, por ejemplo una es-

tructura de varios pisos, queda reducido bastante.

La llegada de la computadora permitió el resurgimiento del método de los desplazamien-

tos ya conocidos en siglos anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran difíciles

de aplicar dado que al final conducían a la resolución de enormes sistemas de ecuaciones

inabordables desde el punto de vista manual.

El Método de Elementos Finitos (MEF) fue al principio desarrollado en 1943 por R.

Courant, quien utilizó el método Ritz de análisis numérico y minimización de las vari-

ables de cálculo para obtener soluciones aproximadas a un sistema de vibración. Poco

después, un documento publicado en 1956 por M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin,

8


y L. J. Topp estableció una definición más amplia del análisis numérico. El documento se

centró en la rigidez y deformación de estructuras complejas. Es curioso, ver como R.W.

Clough sigue estando en la vida de los que comenzamos a investigar este método, digo

esto porque me parece curioso que unos cuantos años atras (2003) se haya publicado la

tercera edición de “Dynamics of structures” y que yo tengo entre mis manos,es curioso,

porque muestra la gran difusión del tema de dinámica de estructuras hoy en día.

Con la llegada de los primeros ordenadores instaura el cálculo matricial de estructuras.

Éste parte de la discretización de la estructura en elementos lineales tipo barra de los que

se conoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nudos. Se plantea entonces un

sistema de ecuaciones resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nudos de la

estructura. El sistema típico, que usamos casi a diario en cálculo matricial, es:

{P} = [K] {u}

Donde las incógnitas son los desplazamientos en los nudos (vector u) que se hallan a partir

de las fuerzas en los nudos (vector P) y de la rigidez de las barras (matriz de rigidez k).

Conocidos dichos desplazamientos es posible determinar los esfuerzos en las barras. La

solución obtenida es exacta.

Para la resolución de los sistemas de ecuaciones se potencia el estudio de la adaptabili-

dad de los algoritmos ya conocidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente conjugado, etc).

El ahorro de tiempo es impensable y con ello el uso del método matricial se extiende.

Este desarrollo se hace especialmente notable en estructuras de edificación donde la dis-

cretización de los pórticos en barras, es prácticamente inmediata a partir de las vigas y

los pilares.

Sin embargo, y a pesar de desarrollarse modelizaciones de elementos superficiales mediante



barras (losas con emparrillados, elementos curvos mediante aproximaciones de elementos

rectos, etc.), se plantean grandes dificultades ante estructuras continuas (superficies y

volúmenes) y con geometrías complejas. De ahí que sea precisamente dentro del cam-

po aeroespacial donde comiencen a desarrollarse las nuevas técnicas del MEF. Dada su

generalidad el método se amplió a otros campos no estructurales como la conducción de

calor, la mecánica de fluidos, etc. donde compitió con otros métodos numéricos como el

de las diferencias finitas que aún siendo más intuitivos, tenían de nuevo dificultades de

planteamiento para geometrías complejas.

Con la llegada de los centros de cálculo y los primeros programas comerciales en los años

60, el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus bases teóricas en los

centros universitarios.

En los años 70 se produce un gran crecimiento de la bibliografía así como la extensión del

método a otros problemas como los no lineales. En esta década, el MEF estaba limitado

a caros ordenadores centrales generalmente poseído por las industrias aeronáuticas, de

automoción, de defensa y nucleares. Se estudian nuevos tipos de tipos de elementos y

se sientan las bases matemáticas rigurosas del método, que había aparecido antes como

técnica de la ingeniería que como método numérico de la matemática.

Por último, a partir de la década de los 80, con la generalización de los ordenadores per-

sonales, se extiende el uso de los programas comerciales que se especializan en los diversos

campos, instaurándose el uso de pre y postprocesadores gráficos que realizan el mallado

y la representación gráfica de los resultados. Se continúa en el estudio de la aplicación

del método a nuevos modelos de comportamiento (plasticidad, fractura, daño continuo,

etc.) y en el análisis de los errores. En la actualidad dentro del campo estructural el MEF

comparte protagonismo con el método matricial, siendo muchos los programas que mez-

clan el análisis por ambos métodos debido sobre todo a la mayor necesidad de memoria



que requiere el análisis por elementos finitos. Así se ha dejado la aplicación del MEF para

el análisis de elementos continuos tipo losa o pantalla, mientras que los pórticos siguen

todavía discretizándose en barras y utilizando el método matricial. Y desde el rápido de-

clive en el coste de los ordenadores y el fenomenal incremento en la potencia de cálculo,

el MEF ha desarrollado una increíble precisión. A día de hoy, los superordenadores son

capaces de dar resultados exactos para todo tipo de parámetros.


SECCIÓN 3

FUNDAMENTO DEL MEF

El MEF usa un complejo sistema de puntos llamados nodos que hacen una red llamada

malla. Esta malla esta programada para contener el material y las propiedades de la

estructura que definen como esta reaccionará ante ciertas condiciones de carga. A los nodos

se les asigna una densidad por todo el material dependiendo del nivel de estrés anticipado

en un área. Las regiones que recibirán gran cantidad de estrés tienen normalmente una

mayor densidad de nodos (densidad de malla) que aquellos que experimentan poco o

ninguno. Puntos de interés consisten en: puntos de fractura previamente testeados del

material, entrantes, esquinas, detalles complejos, y áreas de elevado estrés. La malla actúa

como la red de una araña en la que desde cada nodo se extiende un elemento de malla a

cada nodo adyacente. Este tipo de red vectorial es la que lleva las propiedades del material

al objeto, creando varios elementos. Las etapas del análisis son:

PREPROCESO

CÁLCULO

POSTPROCESO

Básicamente los pasos a seguir en el análisis de estructuras mediante el método de los

desplazamientos a través del MEF son:

El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias en un número de

elementos finitos. Esta parte del proceso se desarrolla habitualmente mediante al-

12


goritmos incorporados a programas informáticos de mallado durante la etapa de

preproceso.

Se supone que los elementos están conectados entre sí mediante un número discreto

de puntos o “nodos", situados en sus contornos. Los desplazamientos de estos nodos

serán las incógnitas fundamentales del problema, tal y como ocurre en el análisis

simple de estructuras por el método matricial.

Se toma un conjunto de funciones que definan de manera única el campo de de-

splazamientos dentro de cada “elemento finito". En función de los desplazamientos

nodales de dicho elemento.

Estas funciones de desplazamientos definirán entonces de manera única el estado de

deformación del elemento en función de los desplazamientos nodales. Estas defor-

maciones, junto con las propiedades constitutivas del material, definirán a su vez el

estado de tensiones en todo el elemento, y por consiguiente en sus contornos.

Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre

las tensiones en el contorno y cualesquiera cargas repartidas, resultando así una

relación entre fuerzas y desplazamientos de la forma {P} = [K]. {u}, que como

vemos es similar a la del cálculo matricial.

La resolución del sistema anterior permite obtener los desplazamientos en los nodos

y con ellos definir de manera aproximada el campo de desplazamientos en el elemento

finito.

En la etapa de postproceso se presentan los resultados, generalmente de forma gráfica

para su análisis.

Todo esto lo podemos leer, y ver en la referencia [1].


SECCIÓN 4

INTRODUCCIÓN TEÓRICA

El cálculo dinámico se puede simplificar utilizando uno de los métodos de los siguientes

métodos:

Método de las masas concentradas.(MMC)

Método de los desplazamientos generalizados.(MDG)

Método de los Elementos Finitos.(MEF)

De forma muy somera paso a dar unos pocos conceptos de lo que trata cada método [3].

4.1. Método de las masas concentradas

El principio de funcionamiento de este método supone que la masa de la estructura está

concentrada en una serie de puntos, elegidos de tal forma que el modelo que resulta aprox-

ime lo mejor posible el comportamiento de la estructura real. El concepto de número de

grados de libertad dinámica aparece definido como el número mínimo de desplazamientos

que se tienen que conocer para definir por completo la posición de la estructura en cada

instante. Conocida su posición deformada, se pueden establecer además las deformaciones

y tensiones, en cada punto de la estructura en cada instante, utilizando los principios

del cálculo estático. Una de las partes más complejas relativas a este método es la de

14


determinar cuales son los grados de libertad de un problema en concreto, además esto

tiene una problemática adicional y es que los errores en esta operacion pueden conducir a

soluciones completamente discordantes con la respuesta real. Este método es eficaz en el

cálculo dinámico cuando las estructuras que vamos a estudiar cumplen que las masas son

realmente concentradas en puntos discretos. En estos casos se puede hacer fácilmente la

hipótesis de que la masa total de la estructura se concentra en dichos puntos, considerando

así que sus demás partes tienen rígidez pero no masas.

Figura 4.1: Metodo masas concentradas.Modelización

4.2. Método de los desplazamientos generalizados

Este método es más adecuado si la masa se distribuye de forma casi uniforme sobre la

estructura a estudiar. La idea es que la deformada temporal se puede expresar como la

suma de una serie de formas especificadas a priori. Denominada con ψi(ξ)(i = 1, 2, ...,∞)

la serie de formas consideradas, donde ξ es la coordenada que podrá definirnos la defor-

mada del sistema analizado; las formas definidas son compatibles con las condiciones de



contorno del sistema. Luego, la deformación dinámica del sistema:

d(ξ, t) =∞∑i=1

βiψi(ξ)

donde los términos βi son las amplitudes dependientes del tiempo correspondientes a cada

forma, que se llaman coordenadas generalizadas .La ecuación anterior,nos conduce a

la respuesta exacta de la estructura, pero como la suma debe ser exacta, la ecuación

anterior se queda de la forma:

d(ξ, t) =n∑

i=1

βiψi(ξ)

Donde n es el número mínimo de las formas deformadas que pueden describir satisfacto-

riamente la respuesta.

4.3. Método de los Elementos Finitos

Este método de éxito en el análisis de estructuras estático y dinámico, es de mucho más

éxito en lo relativo a análisis sísmico de estructuras continuas. La más importante de las

ventajas del método es la posibilidad de atribuir a una construcción continua del número

de grados de libertad dinámica deseado, pudiéndose hacer el cálculo con la precisión que

necesitemos.



4.4. Frecuencias

Partamos, de la ecuación del movimiento libre, unidimensional. Este movimiento está

gobernado por una ecuación diferencial tal que:

mu+ ku = 0

con condiciones iniciales u = u(0) y u = u(0). La solución de esta ecuación homógenea es

la siguiente:

u(t) = u(0)cosωnt+u(0)

ωn

sinωnt

donde ωn =√

km

es la frecuencia circular natural de vibración, conmunmente llamada

frecuencia natural de vibración. Dicha frecuencia es dependiente únicamente de la masa

y la rigidez, es decir geometría del sistema de estudio y masas. La frecuencia ωn vendrá

dada en rad/seg. Es necesario, para evitar daños en las estructuras, conseguir evitar que

la estructura reciba cargas con alguna de las frecuencias naturales de ésta, pues el sistema

entraría en resonancia, y la estructura podría acabar muy dañada, y con ella las personas

que estuviesen en ese momento dentro.



Figura 4.2: Cálculo de las frecuencias naturales en los edificios



Todas estas imágenes y la teoría de esta sección fueron extraídas de [2], también se consultó

la referencia [4].


SECCIÓN 5

PROBLEMA

5.1. DESCRIPCION DEL PROBLEMA

El problema que se nos ha planteado en clase es el cálculo de las cinco primeras frecuen-

cias naturales de un puente. Para ello se nos ha aportado una geometría de barras, la

estructura del puente, las condiciones de apoyo, masas, densidad... Además el problema

tiene dos apartados, el primero de ellos nos piden hallar las frecuencias naturales con unos

movimientos preescritos determinados, mediante apoyos en el centro del puente con bolas,

y en los extremos sin posibilidad de desplazamiento. En el segundo caso, se variará los

apoyos de bolas por unos resortes de rigidez K, la cual es dato. Como colofón al trabajo,

compararemos las frecuencias, y explicaremos el porqué de la diferencia entre ambas. En

las siguientes páginas podemos ver la descripción gráfica del problema en Autocad.

22


Figura 5.1: Primera parte del problema



Figura 5.2: Segunda parte del problema



5.2. PRIMERA PARTE DEL PROBLEMA

5.2.1. MATERIALES Y TIPOLOGÍA USADA

Tenemos dos tipos de barras, articuladas y de pórtico plano. Los materiales para ambas

son el acero, con las siguientes características:

Módulo de Elasticidad: E = 2× 1011 Nm2

Módulo de Poisson: ν = 0.3

Luego, la geometría de cada tipo de barra es distinta, por ejemplo, las barras tipo pórtico

plano serán perfiles huecos rectangulares con las siguientes características:

Ix1 = 0.5752m4

Ix2 = 0.1592m4

A = 0.56cm2

En el sistema lo meteremos como:

Izz = Ix2

Iyy = Ix1

En cuanto a las barras articuladas probablemente,pues no se dijo, sean perfiles huecos

redondos, con un área A = 0.25m2. Las secciones y los grados de libertad activos, que son

lo que diferencian unas barras de otras se pueden ver en la figura 5.3.



Figura 5.3: Sección y grados de libertad

Lo siguiente que debemos hacer es comentar que se van a poner unas masas en cada

nodo del puente, pero sólo del tablero inferior,cada masa será de 150000 kg. Al ser tres

dimensiones, tendremos una en cada dimensión, esto en Ansys se pondrá así:

mx = 150000kg

my = 150000kg

mz = 150000kg

5.2.2. ELEMENTOS SEGÚN ANSYS

Barra articulada → LINK8

Barra pórtico plana →BEAM4

Masas → MASS21

Esto todo lo podemos ver en la figura 5.4.



Figura 5.4: Elementos usados según Ansys en la primera parte del problema

5.2.3. RESOLUCIÓN

Lo primero es crear los elementos con las características adecuadas,lo siguiente es dibujar

la estructura del puente y establecer las masas y condiciones de contorno, que viene a ser

el Preprocesado. Se puede ver en la figura 5.5 como nos queda dicho dibujo.



Figura 5.5: Construcción del modelo

El siguiente paso, es el de análisis, el tipo de análisis que se nos pide es el modal, pues

buscamos las frecuencias naturales. Ahora estamos en la etapa de solution según Ansys.

Tras darle a solucionar, obtenemos una serie de valores que se corresponden con las cinco

frecuencias naturales, que además son sólo cinco porque son las que hemos pedido. Los

resultados obtenidos son:

frecuencia 1 0.20231frecuencia 2 0.54798frecuencia 3 1.0251frecuencia 4 1.1350frecuencia 5 1.2526

Tabla 5.1: Frecuencias naturales primera parte



Los modos de vibración asociados a cada frecuencia se muestran en las siguientes imágenes:

Figura 5.6: Primer modo de vibración



Figura 5.7: Segundo modo de vibración

Figura 5.8: Tercer modo de vibración



Figura 5.9: Cuarto modo de vibración

Figura 5.10: Quinto modo de vibración



En los siguientes links, podemos ver los modos de vibración que he obtenido mediante

Ansys:

1. http://es.youtube.com/watch?v=axa_2ATgjc0

2. http://www.youtube.com/watch?v=6mFSfjxCKsU

3. http://www.youtube.com/watch?v=RxZyLy8r42Q

4. http://www.youtube.com/watch?v=0p1X0aQ3gmc

5. http://www.youtube.com/watch?v=9ZJJ8lYQOG8

5.3. SEGUNDA PARTE DEL PROBLEMA

5.3.1. MATERIALES Y TIPOLOGÍA USADA

Los materiales usados son además de los usados en la primera parte,hormigón, y muelles.

Las características de cada uno son:

Hormigón

• Módulo de elasticidad: E = 1.16× 1010 Nm2

• Módulo de Poisson: ν = 0.2

• Densidad: ρ = 2500Kg

Muelle

• K = 2× 109 Nm

La estructura del bloque de hormigón que situaremos bajo lo que antes eran los apoyos, a

modo de cimentación se puede ver en la figura 5.11. Encima de cada bloque de hormigón,

y a modo de unión entre puente y bloque nos encontramos con dos muelles, uno en cada


http://es.youtube.com/watch?v=axa_2ATgjc0

http://www.youtube.com/watch?v=6mFSfjxCKsU

http://www.youtube.com/watch?v=RxZyLy8r42Q

http://www.youtube.com/watch?v=0p1X0aQ3gmc

http://www.youtube.com/watch?v=9ZJJ8lYQOG8


extremo del puente, dichos muelles simulan la rigidez del terreno, esto en la Teoría de

Estructuras se denomina balasto.

Figura 5.11: Cimentación

5.3.2. ELEMENTOS SEGÚN ANSYS

Barra articulada → LINK8

Barra pórtico plana →BEAM4

Masas → MASS21

Muelles → COMBIN14

Elemento para bloque de hormigón → SOLID45



Esto todo lo podemos ver en la figura 5.12.

Figura 5.12: Elementos usados según Ansys

5.3.3. RESOLUCIÓN

Una vez dibujado en Ansys y tras haber dicho que materiales son cada uno y tipo de

elementos, ver figura 5.13, deberemos ir a la parte de solution, y resolver, como antes.

El tipo de análisis elegido será modal. Una vez elegido el tipo de análisis,nos vamos a ver

las cinco primeras frecuencias (General Postproc-Result Summary) y nos aparecerán en

un archivo con extensión *.lis. Los resultados se muestran en la tabla 5.2:




Tabla 5.2: Frecuencias naturales segunda parte

Figura 5.13: Puente con cimentación



Figura 5.14: Primer modo de vibración

Figura 5.15: Segundo modo de vibración



Figura 5.16: Tercer modo de vibración

Figura 5.17: Cuarto modo de vibración



Figura 5.18: Quinto modo de vibración

En cuanto a los modos de vibración como ocurría antes, podemos verlos mediante los

siguientes enlaces web:

1. http://es.youtube.com/watch?v=CavBThRvMWE

2. http://es.youtube.com/watch?v=sIrLgPzU07M

3. http://es.youtube.com/watch?v=aCy4qtDHYvM

4. http://es.youtube.com/watch?v=2GUqRJOTASk

5. http://es.youtube.com/watch?v=Nl21ir_Vf7k

5.4. CONCLUSIONES

En primer lugar, recalcar que el tipo de análisis ha sido del tipo modal, lo digo porque

entre tanta “literatura” puede que se haya escapado. En segundo punto, lo que más llama


http://es.youtube.com/watch?v=CavBThRvMWE

http://es.youtube.com/watch?v=sIrLgPzU07M

http://es.youtube.com/watch?v=aCy4qtDHYvM

http://es.youtube.com/watch?v=2GUqRJOTASk

http://es.youtube.com/watch?v=Nl21ir_Vf7k


la atención es que si comparamos las frecuencias de ambos casos, la del primer apartado

en algún caso duplican a las del segundo. La explicación es la siguiente, primer punto a

aclarar, existen dos clases de frecuencias naturales, aunque diferentes son proporcionales

una a la otra. Nosotros en la explicación teórica sólo hemos hablado de ωn,y dijimos que se

daba en radianes por segundo. Esto es cierto, pero esta frecuencia es la frecuencia natural

circular, se puede definir por:

ωn =2π

Tn

Donde Tn es el periodo natural. A su vez, el periodo se puede definir como Tn = 1fn,

concluyendo que:

fn =ωn

2π

Con lo cual se puede apreciar la proporcionalidad fn ∝ ωn y con lo cual fn ∝ Km. Midién-

dose la frecuencia como estamos acostumbrados en hertz o s−1. En el primer caso se llega

a duplicar las frecuencias naturales con respecto al segundo apartado, esto se debe, a que

la rígidez en el primer caso era más elevada debido a que el apoyo tipo bola impedia

totalmente el desplazamiento vertical, frente al del segundo apartado que tenía limitado

dicho desplazamiento a la rigidez de los muelles, es decir, en el segundo caso la rigidez

vertical es bastante menor. Además en el segundo caso le hemos añadido a toda la es-

tructura mayor masa, a causa de los bloques de hormigón, lo que también disminuye la

frecuencia pues está dividiendo a la rigidez en la definición de frecuencia natural. Otra

cosa a tener en cuenta es que la mayor parte de las barras articuladas son usadas para

arriostrar, aumentando la rigidez de la estructura, es lógico pensar que si metiesemos más

barras tipo pórtico, aumentaría la rigidez de la estructura global y por tanto su frecuencia

natural. Esta demostración se puede ver en la figura 5.19,a la cual hemos aumentado su

rigidez cambiando dos barras que eran articuladas por dos de pórtico plano, estas nuevas

barras se ven en color violeta en la imagen.



Figura 5.19: Aumentamos la rigidez

Obteniendo en general unas frecuencias distintas al caso del puente con cimentación del

segundo apartado del problema, como he intentado explicar, al aumentar la rigidez au-

menta la frecuencia, y esto se ve en la tabla que muestro ahora, la número 5.3. La única

frecuencia menor, y ligeramente, es la primera el resto son mayores.


Tabla 5.3: Frecuencias naturales aumentamos rigidez


BIBLIOGRAFÍA

[1] wikipedia:. www.wikipedia.org.

[2] Anil K. Chopra. Dynamics of structures: Theory and Applications to Earthquare

Engineering. Prentice Hall, 1995.

[3] Alex H.Barbat. Cálculo sísmico de las estructuras. Editores técnicos asociados s.a,

1982.

[4] Joseph Penzien Ray W.Clough. Dynamics of structures. Computers Structures, Inc.,

2003.

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