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PRUEBAS EBAU FÍSICA

Juan P. Campillo Nicolás

9 de julio de 2018

1


1. Gravitación.

1. Un asteroide de forma esférica y radio 3 km tiene una densidad de 3 g·cm−3. Determine: a) Lavelocidad de escape desde la superficie de dicho asteroide. b) La velocidad de un cuerpo a unaaltura de 1 km sobre la superficie del asteroide si partió de su superficie a la velocidad de escape.Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10−11 N m2 kg−2

Respuesta:

a) En el S.I, la densidad tendrá un valor de 3000 kg/m3.La velocidad de escape viene dada por:

v =

√

2GM

r=

√

2 · 6, 67 · 10−11 · 4/3 · πr33000r

=

√

2 · 6, 67 · 10−11 · 4πr230003

= 3, 88m/s

b) Aplicando el Principio de Conservación de la Energía:

−GMm

r0+

1

2mv20 = −GMm

r+

1

2mv2

−6, 67 · 10−114/3π30003 · 30003000

+1

23, 882 = −6, 67 · 10−114/3π30003 · 3000

4000+

1

2v2

Obteniéndose v = 3,36 m/s.

2. Una reciente investigación ha descubierto un planeta similar a la Tierra orbitando alrededor de laestrella Próxima Centauri, una enana roja cuya masa es un 12 % de la masa del Sol y su radio esel 14 % del radio solar. Mediante técnicas de desplazamiento Doppler se ha medido el periodo delplaneta alrededor de la estrella obteniéndose un valor de 11,2 días. Determine: a) La aceleración dela gravedad sobre la superficie de la estrella. b) El radio de la órbita del planeta suponiendo éstacircular. Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67�10−11Nm2kg−2; Masa del Sol, MS

= 1,99·1030 kg; Radio del Sol, RS = 7·108 m.

Respuesta:

a) La aceleración de la gravedad en la superficie de la estrella es:

g =GM

r2=

6, 67 · 10−11 · 0, 12 · 1, 99 · 1030(0, 14 · 7 · 108)2 = 1658, 47m · s−2

b) Aplicando la tercera ley de Kepler, tendremos:

T 2 =4π2r3

GMde donde se deduce : r =

3

√

GMT 2

4π2

Sustituyendo valores:

3

√

6, 67 · 10−11 · 0, 12 · 1, 99 · 1030(11, 2 · 86400)24π2

= 7, 23 · 109m

3. Se desea situar un satélite de 120 kg de masa en una órbita circular, alrededor de la Tierra, a 150km de altura. a) Determine la velocidad inicial mínima requerida para que alcance dicha altura. b)Una vez alcanzada dicha altura, calcule la energía adicional necesaria para que orbite. Datos: Radiode la Tierra, RT = 6,37·106 m; Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10−11 N m2 kg−2;Masa de la Tierra, MT = 5,97·1024 kg.

Respuesta:

a) La velocidad necesaria se halla aplicando el Principio de Conservación de la Energía:

1

2mv2 − GMm

rT= −GMm

r

2



1

2v2 − 6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024

6, 37 · 106 = −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024(6, 37 · 106 + 1, 5 · 105) v = 1698m · s,1

b) La energía del satélite en órbita será:

E = −GMm

2r= −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 120

2 (6, 37 · 106 + 1, 5 · 105) = −3, 66 · 109 J

Puesto que la energía potencial a esa altura es:

U = −GMm

r= −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 120

(6, 37 · 106 + 1, 5 · 105) − 7, 33 · 109J

la energía que debe suministrarse es:

Es = E−U = 3, 66 · 109 J

4. Considérese una masa M = 50 kg situada en el origen de coordenadas. Bajo la acción del campogravitatorio creado por dicha masa, determine: a) El trabajo requerido para mover una masa m1 =2 kg desde P1 = (1, 0, 0) m a P2 = (3, 4, 0) m. b) La energía cinética de una partícula de masa m2

= 3 kg que, partiendo del reposo, se mueve desde el punto P3 = (9/2, 6, 0) m al punto P2. Dato:Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10−11 N m2 kg−2.

Respuesta:

a) El trabajo requerido es:

W = −∆U = m

(

−GM

r1+

GM

r1

)

= 2

(

−6, 67 · 10−11 · 501

+6, 67 · 10−11 · 50√

32 + 42

)

= −5, 34 · 10−9J

Al ser negativo el trabajo, éste deberá ser realizado por una fuerza externa, y no por el campogravitatorio.

b) El trabajo realizado sobre la partícula se igualará al incremento de su energía cinética, es decir:

W = −∆U = ∆Ec =1

2mv2 − 0

Las respectivas energías potenciales en los puntos P3 y P2 serán:

U3 = −6, 67 · 10−11 · 50 · 3√

(9/2)2 + 62= −1, 334 · 10−9J U2 = −6, 67 · 10−11 · 50 · 3√

32 + 42= −2, 001 · 10−9J

EC = −1, 334 · 10−9 + 2, 001 · 10−9 = 6, 67 · 10−10J

5. a) Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, obtenga una expresión para lavelocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de un planeta esférico de radio R y masa M.b) Calcule la velocidad de escape desde la superficie de Mercurio sabiendo que posee una masa de3,30·1023 kg y una aceleración de la gravedad en su superficie de 3,70 m·s−2. Dato: Constante deGravitación Universal, G = 6,67·10−11 N m2 kg−2.

Respuesta:

a) La suma de energías cinética y potencial en la superficie del planeta es igual a la suma de dichasenergías a una distancia infinita. Su suponemos que se alcanza esta distancia con una velocidadnula, tendremos:

−GMm

R+

1

2mv2e = 0 de donde se deduce : ve =

√

2GM

R

3


b) Para calcular la velocidad de escape de Mercurio, debemos conocer su radio, a partir de laaceleración de la gravedad en la superficie del planeta:

3, 70 =6, 67 · 10−11 · 3, 30 · 1023

r2obteniendose : r =

√

6, 67 · 10−11 · 3, 30 · 10233, 70

= 2, 44 · 106m

Con este dato:

ve =

√

2 · 6, 67 · 10−11 · 3, 30 · 10232, 44 · 106 = 4247, 6m · s−1

6. a) A partir de la ley fundamental de la dinámica, deduzca la expresión de la velocidad orbitalde un satélite que gira en una órbita circular de radio R alrededor de un planeta de masa M. b)Si un satélite de 21 kg gira alrededor del planeta Marte, calcule el radio de la órbita circular yla energía mecánica del satélite si su periodo es igual al de rotación del planeta. Datos: Masa deMarte, MMarte = 6,42·1023 kg; Periodo de revolución del planeta, TMarte = 24,62 h; Constante deGravitación Universal, G =6, 67·10−11N ·m2kg−2 .

Respuesta:

a) A partir del 2º Principio de la Dinámica, podremos escribir:

F = ma −→ GMm

R2= m

v2

Rde donde se deduce : v =

√

GM

R

b) El periodo de Marte es: T = 24,62· 3600 = 88632 s. Aplicando la Tercera Ley de Kepler:

T2 =4π2r3

GMr =

3

√

886232 · 6, 67 · 10−11 · 6, 42 · 10234π2

= 2, 04 · 107m

la energía mecánica del satélite será:

E = −GMm

2r=

6, 67 · 10−11 · 6, 42 · 1023 · 212 · 2, 04 · 107 = 2, 204 · 107 J

7. Dos masas m1 = 10 kg y m2 = 20 kg cuelgan del techo y están separadas 1 m de distancia.Determine: a) La fuerza

−→F12 que ejerce la masa m1 sobre la m2, y el peso

−→P2 de la masa m2. b)

Explique razonadamente por qué el módulo de−→P2 es mucho mayor que el módulo de

−→F12 . Datos:

radio de la tierra RT = 6,37·106 m; constante de Gravitación Universal, G = 6,67·l0−11 N m2 kg−2;masa de la Tierra, MT = 5,97·1024 kg..

Respuesta:

a) Suponiendo ambas masas en el plano XY, tendremos que:

−→F12 = −Gm2

r2= −6, 67·l0−11 · 102

12−→i = −6, 67·l0−9 −→i N (suponiendo lamasa 2 a la derecha)

El peso−→P2 será:

−→P2 = −6, 67·l0−11 · 5, 97·1024 · 10

(6, 37 · 106)2−→j = −98, 13

−→j N

b) La masa de la Tierra es muy superior a la masa de 10 kg y el cociente:Mt

R2T

≫ 10

12

8. Considérese un satélite de masa 103 kg que orbita alrededor de la Tierra en una órbita circulargeoestacionaria. a) Determine el radio que tendría que tener la órbita para que su periodo fuesedoble del anterior. b) ¿Cuál es la diferencia de energía del satélite entre la primera y la segundaórbita? Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·l0−11 N m2 kg−2;Masa de la Tierra,MT = 5,97·1024 kg.

4


Respuesta:

a) El periodo será el doble del día terrestre, por lo cual:

2 · 86400 =

√

4π2r3

6, 67·l0−11 · 5, 97·1024 r = 6, 7 · 107m

Para calcular la energía del satélite en órbita geoestacionaria, debemos conocer el radio de ésta:

86400 =

√

4π2r3g6, 67·l0−11 · 5, 97·1024 rg = 4, 22 · 107m

b) Las energías del satélite en órbita geoestacionaria y en órbita de periodo doble serán, respecti-vamente::

E1 = −6, 67·l0−11 · 5, 97·1024 · 1032 · 4, 22 · 107m = −4, 72 · 109J

E2 = −6, 67·l0−11 · 5, 97·1024 · 1032 · 6, 7 · 107m = −2, 97 · 109J

9. Una nave espacial transporta colonos en estado de hibernación a un planeta lejano. Por un error,la nave llega a su destino 10 años terrestres antes de lo previsto, por lo que el ordenador de a bordodecide situar la nave en una órbita circular a una distancia del centro del planeta r = 5000 km yorbitar en ella durante 10 años. a) Cuantas vueltas da la nave en la órbita circular a lo largo de los10 años? b) Cual es el valor de la velocidad de escape en la superficie del planeta? Datos: Constantede Gravitación Universal, G = 6,67·10−11 N m2 kg−2 ; Masa del planeta, MP = 6,42·1023 kg; Radiodel planeta, RP = 3397,5 km.

Respuesta:

a) El radio de la órbita será:

ro = 5 · 106 + 3, 3975 · 106 = 8, 3975 · 106m

El periodo de la nave será:

T =

√

4π2(8, 3975 · 106)36, 67·l0−11 · 6, 42·1023 = 23365, 5 s

El número de vueltas en diez años será:

n =10 · 365 · 86400

22365, 5= 13497 vueltas

b) La velocidad de escape será:

ve =

√

2GM

r=

√

2 · 6, 67·l0−11 · 6, 42·10233, 3975 · 106 = 5020, 7m · s−1

10. Una masa de valor M = 4 kg se encuentra en el punto (4, 0) del plano xy (coordenadas expresadasen metros). Determine: a) El vector campo gravitatorio creado por la masa en el punto P (0, 3). b)El trabajo necesario para llevar una masa m = 10 kg desde el origen de coordenadas al punto P.Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6, 67·10−11 N m2 kg−2

Respuesta:

a) A partir de la representación gráfica que puede verse a continuación, el campo gravitatoriocreado en el punto (0,3) es el siguiente:

−→g =6, 67·10−11 · 4

32 + 42

(

−cos 36, 87−→i + sen 36, 87

−→j)

= −4, 27 · 10−11−→i + 3, 20 · 10−11−→j m · s−2

5


b) El trabajo necesario será: W = m(Vg0 −Vg1)

W = m(Vg0 −Vg1) = 10

(

−6, 67·10−11 · 44

+6, 67·10−11 · 4

5

)

= −1, 33 · 10−10 J

El signo negativo del trabajo indica que este debe ser realizado en contra del campo gravitatorio.

11. La masa de un objeto en la superficie terrestre es de 50 kg. Determine: a) La masa y el peso delobjeto en la superficie de Mercurio. b) A qué altura sobre la superficie de Mercurio el peso delobjeto se reduce a la tercera parte. Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10−11 Nm2 kg−2; Masa de Mercurio, MM = 3,30�1023 kg; Radio de Mercurio, RM = 2,44·106 m.

Respuesta:

a) La masa es constante, independientemente del lugar en que se encuentre el cuerpo. El peso enla superficie de Mercurio es:

PM =6, 67·10−11 · 3, 30�1023 · 50

(2, 44·106)2= 184, 85N

b) El peso será una tercera parte del anterior a una distancia r del centro de Mercurio, tal que secumpla:

184, 85

3=

6, 67·10−11 · 3, 30�1023 · 50r2

r = 4, 23 · 106m

Con lo que la altura respecto a la superficie del planeta será:

h = 4, 23 · 106−2, 44·106 = 1, 79 · 106m

12. Un satélite artificial de masa 712 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una alturade 694 km. Calcule: a) La velocidad y el periodo del satélite en la órbita. b) La energía necesariapara trasladarlo desde su órbita hasta otra órbita circular situada a una altura de 1000 km sobrela superficie de la Tierra. Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10−11 N m2 kg−2;Masa de la Tierra, MT = 5,97�1024 kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37·106 m.

Respuesta:

a) La velocidad orbital será:

vo =

√

GM

r=

√

6, 67·l0−11 · 5, 98 · 10246, 37 · 106 + 6, 94 · 105 = 7516, 4m · s−1

Y el periodo:

T =

√

4π2(6, 37 · 106 + 6, 94 · 105)36, 67·l0−11 · 5, 98 · 1024 = 5902 s

b) Aplicando el Principio de Conservación de la Energía:

−6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024 · 7122 (6, 37 · 106 + 1, 5 · 105) + E = −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 712

2 (6, 37 · 106 + 106)

E = 8, 46 · 108 J

6


2. Vibraciones y ondas.

1. Un gallo canta generando una onda sonora esférica de 1 mW de potencia. a) ¿Cuál es el nivelde intensidad sonora del canto del gallo a una distancia de 10 m? b) Un segundo gallo cantasimultáneamente con una potencia de 2 mW a una distancia de 30 m del primer gallo. ¿Cuál serála intensidad del sonido resultante en el punto medio del segmento que une ambos gallos? Dato:Intensidad umbral de audición, I0 = 10−12 W m−2.

Respuesta:

a) La intensidad del canto a 10 m de distancia será:

I =P

S=

10−3

4π102= 7, 95 · 10−7W ·m−2

El nivel de intensidad sonora será:

β = 10 logI

I0= 10 log

7, 95 · 10−7

10−12= 59 dB

b) En el punto medio del segmento que une ambos gallos, la intensidad sonora será la suma de lasintensidades del canto de cada uno de ellos, es decir:

I = I1 + I2 =10−3

4π152+

2 · 10−3

4π152= 1, 06 · 10−6W ·m−2

2. Una onda armónica transversal se propaga en el sentido negativo del eje X con una velocidad de10 m s−1 y con una frecuencia angular de π/3 rad s−1. Si en el instante inicial la elongación enel origen de coordenadas es 6/π cm y la velocidad de oscilación es 1 cm s−1, determine: a) Laexpresión matemática que representa la onda. b) La velocidad de oscilación en el instante inicial enel punto situado en x = π/4.

Respuesta:

a) La ecuación de la onda será del tipo:

y = Asen(ωt+Kx+ ϕ0)

(el signo + delante de Kx se debe a que la onda se propaga de derecha a izquierda).Con los datos suministrados en el enunciado, podremos poner:

ω = π/3 s−1 K =ω

v=π/3

10=

π

30m−1

La velocidad de vibración será:

vy =dy

dt= Aωcos (ωt+Kx+ ϕ0)

Para x = 0 y t = 0 se cumple que:

y =6

π= A senϕ0

v = 10−2 = Aπ

3cosϕ0

Dividiendo miembro a miembro nos queda:

600

π=

3 tgϕ0

π−→ tgϕ0 = 200 −→ ϕ0 = 1, 566 rad

para calcular la amplitud:6

π= A sen 1, 566 −→ A = 1, 91m

7


Así pues, la ecuación de la onda tendrá la forma:

y = 1, 91 sen(π

3t+

π

30x+ 1, 566

)

b) Para t = 0 y x =π

4, la velocidad de vibración será:

vy =dy

dt= Aωcos (ωt+Kx+ ϕ0) = 1, 91

π

3cos

( π

30

π

4+ 1, 566

)

= −0, 15m · s−1

3. Una onda armónica transversal de amplitud A = 0,2 m, longitud de onda λ = 0,1 m y frecuencia f =15 kHz se propaga en el sentido positivo del eje X. En el origen, x = 0, y en el instante inicial, t = 0,la velocidad de oscilación es máxima con sentido negativo. Determine: a) La expresión matemáticade la onda. b) La elongación del punto x = 0,3 m en el instante t = 2 s.

Respuesta:

a) La expresión matemática es de la forma:

y = A sen (ωt− kx + ϕ0)

Los valores que proporciona el enunciado son: A = 0,2 m; ω = 2π f = 30000π s−1; k = 2π/λ = 20πm−1

La velocidad de oscilación tiene la expresión:

v =dy

dt= Aω cos (ωt− kx+ ϕ0)

sabiendo que para x = 0 y t = 0, la velocidad es máxima, y de signo negativo, podremos escribir:

v = Aω cosϕ0 = −Aω → cos ϕ = −1y ϕ0 = π rad

Con estos datos, la ecuación de la onda quedará de la forma:

y =0, 2 sen (30000πt− 20πx + π)

b) para x = 0,3 y t = 2, la elongación es:

y = 0, 2 sen (60000π− 6π + π) = 0m

4. Para determinar la profundidad de una cueva se emite una onda sonora esférica de 10 W y seobserva que al cabo de 3 s se escucha el eco. Admitiendo que la cueva es suficientemente ampliapara despreciar las reflexiones en las paredes laterales, determine, despreciando los efectos de laabsorción: a) La profundidad de la cueva. b) La intensidad de la onda sonora al llegar al fondo dela cueva. Dato: Velocidad del sonido en el aire, v = 340 m s−1.

Respuesta:

a) La profundidad de la cueva es d = 340·3/2 = 510 m. (El tiempo invertido por el sonido en elcamino de ida o de vuelta es 3/2 = 1,5 s)

b) La intensidad es:

I =P

S=

10

4π5102= 3, 06 · 10−6W ·m−2

8


5. La perturbación asociada a una onda viene descrita por la expresión(ψ(x, t) = 10−4 sen (2765 t +1,85 x), donde ψ y x se expresan en metros y t en segundos. a) Indique su dirección y sentido depropagación, y calcule su longitud de onda y su frecuencia. b) Obtenga la velocidad de propagaciónde la onda y la velocidad máxima de oscilación.

Respuesta:

a) La onda se propaga en el sentido negativo del eje X, tal como indica el signo + en el sumando1,85 x. La longitud de onda y la frecuencia se calcularán, respectivamente, así:

k = 1, 85 =2π

λλ =

2π

1, 85= 3, 4m

ω = 2675 = 2πν ν =2675

2π= 425, 7Hz

b) la velocidad de propagación de la onda es:

v = λ · ν = 3, 4 · 425, 7 = 1447, 4 ·m · s−1

Mientras que la velocidad de oscilación es:

vt =dψ

dt= 10−4 · 2675 cos (2675t+ 1, 85x)

Siendo la velocidad máxima:

vmax = 10−4 · 2675 = 0, 27m · s−1

6. Una fuente puntual de 3 μW emite una onda sonora. a) ¿Qué magnitud física “oscila” en una ondade sonido? ¿Es una onda longitudinal o transversal? b) Calcule la intensidad sonora y el nivel deintensidad sonora a 5 m de la fuente. Determine a qué distancia del foco emisor se debe situar unobservador para dejar de percibir dicho sonido. Dato: Intensidad umbral de audición, I0 =10−12Wm−2.

Respuesta:

a) Una onda sonora está formada por zonas alternadas de compresión y rarefacción del aire, porlo que la magnitud física a la que se refiere el enunciado es la presión. Es sonido es una ondalongitudinal.

b) La intensidad sonora es:

I =P

S=

3 · 10−6

4π · 52 =9,55·10−9W ·m−2

β = 10 log9, 55 · 10−9

10−12= 39, 8 dB

El sonido dejará de percibirse a una distancia para la cual I = 10−12 W· m−2, es decir:

10−12 =3 · 10−6

4πr2Despejando : r = 488, 6m

7. Dos altavoces de 60 W y 40 W de potencia están situados , respectivamente, en los puntos (0,0,0) y(4, 0, 0) m. Determine: · a) El nivel de intensidad sonora en el punto (4, 3, 0) m debido a cada unode los altavoces. b) El nivel de intensidad sonora en el punto (4, 3, 0) m debido a ambos altavoces. Dato: Intensidad umbral de audición, I0 = 10−12 W m−2.

Respuesta:

a) La intensidad sonora para cada uno de los altavoces, independientemente será:

I1 =60

4π · 25 = 0, 191W ·m−2 I2 =60

4π · 9 = 0, 354W ·m−2

9


Los respectivos niveles de intensidad serán:

β1 = 10 log0, 191

10−12= 112, 1 dB β2 = 10 log

0, 354

10−12= 115, 4 dB

b) El nivel de intensidad debido a los dos altavoces de forma simultánea será:

β = β1 = 10 log0, 191 + 0, 354

10−12= 117, 36 dB

8. Considérese una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje x. La figura1 muestra la variación de la elongación en función de x en un instante t, mientras que en la figura2, se representa la oscilación, en función del tiempo, de un punto situado en x = 1 m. Determine:a) La longitud de onda, la amplitud, el periodo y la velocidad de propagación de la onda. b) Laexpresión matemática de la onda.

Respuesta:

a) La longitud de onda es: λ = 2, 5− 0, 5 = 2m; la amplitud es A = 2,5 m; el periodo es: T = 11− 2 = 9 s.La velocidad de propagación es:

v =λ

T=

2

9m · s−1

b) Teniendo en cuenta que: ω =2π

T=

2π

9, que k =

2π

λ=

2π

2y que y (0,0) = 0, m, la expresión

matemática de la onda es:

y = 2, 5 sen

(

2π

9t− π x

)

9. Una onda transversal se propaga en el sentido positivo del eje x. En las figuras se muestran: lavariación de la elongación en un instante t = 0 a lo largo del eje x y la elongación del punto decoordenada x = 0 en función del tiempo. Determine: a) La longitud de onda y la frecuencia. b) Laexpresión matemática de la onda.

10


Respuesta:

a) La longitud de onda es: λ = 10− 2 = 8m; ; el periodo es: T = 10− 0 = 10 s, con lo que lafrecuencia será: ν = 1/10 = 0, 1 s−1

b) Teniendo en cuenta que al ser y (0,0) = 2 m, tendremos que:

2 = 2 senϕ0 ϕ0 =π

2

La expresión matemática de la onda es:

y(x, t) = 2 sen(

0, 2πt− π

4x +

π

2

)

10. Dos altavoces A y B emiten ondas sonoras con potencias PA y PB = 3PA, respectivamente. En unpunto Q situado a una distancia d = 5 m, equidistante de ambos altavoces, el nivel de intensidadsonora es de 90 dB. Determine: a) La intensidad sonora en Q. b) La potencia del altavoz A Dato:Intensidad umbral , I0 = 10−12 W m−2

Respuesta:

a) Conociendo el nivel de intensidad sonora en el punto Q, podremos escribir:

90 = 10 logI

10−12I = 10−3W ·m−2

b) La intensidad debida a los altavoces en el punto Q será:

I = 10−3 =4PA

4π · 25 P = 0, 078W

11. El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de 80 dB a 10 m de distancia. Suponiendoque la sirena es un foco emisor puntual, calcule: a) La potencia de la sirena y la intensidad de laonda sonora a 1 km de distancia. b) Las distancias, medidas desde la posición de la sirena, donde sealcanza un nivel de intensidad sonora de 70 dB (considerado como límite de contaminación acústica)y donde el sonido deja de ser audible. Dato: Intensidad umbral de audición, I0 = 10−12 W m−2.

Respuesta:

a)Para un nivel de intensidad de 80 dB, tendremos:

80 = 10 logI

10−12I = 10−4W ·m−2

Para calcular la potencia de la sirena:

I =P

S10−4 =

P

4π102P = 0, 126W

A 1 km de distancia, la intensidad de la onda tendrá el valor:

I =0, 126

4π · 106 = 10−8W ·m−2

b) Para un nivel de intensidad de 70 dB:

70 = 10 logI

10−12I = 10−5W ·m−2

10−5 =0, 126

4πr21r1 = 31, 67m

Para que el sonido deje de ser audible:

I = 10−12 =0, 126

4πr22r2 = 105 m

11


12. Una onda armónica transversal de periodo T = 4 s, se propaga en el sentido positivo del eje xpor una cuerda de gran longitud. En el instante t = 0 la expresión matemática que proporciona

la elongación de cualquier punto de la cuerda es: Y(x, 0) = 0, 2 sen(

−4πx +π

3

)

donde x e Y están

expresadas en metros. Determine: a) La amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidadde propagación de la onda. b) La velocidad y la aceleración de oscilación de un punto de la cuerdade abscisa x = 0,40 m en el instante t = 8 s.

Respuesta:

a) Los parámetros pedidos son:

A = 0, 2m ν =1

T= 0, 25 s−1

k =2π

λ= 4π −→ λ = 0, 5m v =

λ

T=

0, 5

4= 0, 125m · s−1

b) La ecuación de la onda tendrá la forma: y = A sen (ωt− kx + ϕ0) = 0, 2 sen(π

2t− 4πx +

π

3

)

.

las expresiones de velocidad y aceleración serán, respectivamente:

v =dy

dt= 0, 2 · π

2cos

(π

2t− 4πx +

π

3

)

a =d2y

dt2= −0, 2

(π

2

)2

sen(π

2t− 4πx +

π

3

)

Sustituyendo x y por 0,4 y 8, respectivamente:

v = −0, 21m · s−1 a = −1, 47m · s−2

12


3. Óptica.

1. Un objeto está situado 1 cm a la izquierda de una lente convergente de 2 cm de distancia focal. a)Determine la posición de la imagen y el aumento lateral. b) Realice el diagrama de rayos corres-pondiente.Respuesta:

a) A partir de la ecuación fundamental de las lentes delgadas:

1

s− 1

s′= (1− n)

(

1

R1− 1

R2

)

= − 1

f′

Puesto que la distancia focal es de 2 cm, f ′ = 0, 02,por lo que:

1

−0, 01′− 1

s′= − 1

0, 02

Resolviendo la ecuación se obtiene: s′ = −0, 02 m. El aumento lateral será:

y′

y=s′

s=

−0, 02

−0, 01= 2

b) El diagrama de rayos es el siguiente:

2. Sobre un bloque de material cuyo índice de refracción depende de la longitud de onda, incide desdeel aire un haz de luz compuesto por longitudes de onda de 400 nm (violeta) y 750 nm (rojo). Losíndices de refracción del material para estas longitudes de onda son 1,66 y 1,60, respectivamente.Si, como se muestra en la figura, el ángulo de incidencia es de 60º: a) ¿Cuáles son los ángulos de

refracción y las longitudes de onda en el material? b) Determine el ángulo límite para cada longitudde onda en la frontera entre el material y el aire. Para α = 60º, ¿escapan los rayos desde el mediohacia el aire por la frontera inferior? Dato: Índice de refracción del aire, naire = 1.

Respuesta:

a) Aplicando la Ley de Snell para cada una de las radiaciones:

sen 60ºsenαri

=ni

1−→

senαr1 =sen 60º1, 66

−→ αr1 = 31, 45º (luz violeta)

senαr2 =sen 60º1, 60

−→ αr2 = 32, 77º(luz roja)

Para conocer las longitudes de onda en el material, debemos conocer la frecuencia de ambas radia-ciones, que es invariable con el medio en que se propaguen. Estas frecuencias serán:

ν =c

λ−→ ν1 =

3 · 1084 · 10−7

= 7, 5 · 1014s−1 y ν2 =3 · 108

7, 5 · 10−7= 4 · 1014s−1

13


las longitudes de onda en el material serán, pues:

λ1 =3 · 108/1, 667, 5 · 1014 = 2, 41 · 10−7m λ2 =

3 · 108/1, 607, 5 · 1014 = 4, 69 · 10−7m

b) los respectivos ángulos límite se deducen de la Ley de Snell:

senαi

sen 90º=

1

ni−→

senα1 =1

1, 66−→ α1 = 37, 04º

senα2 =1

1, 60−→ α2 = 38, 68º

Como el ángulo límite es menor que el ángulo formado entre el rayo refractado dentro del medio yla normal, los rayos refractados en el interior del medio no escaparán hacia el aire por la fronterainferior.

3. En una lente delgada convergente: a)¿Dónde hay que situar un objeto para obtener su imagen a 3cm de la lente, 2 veces mayor e invertida? ¿Cuánto vale la distancia focal de la lente? b) Trace eldiagrama de rayos para un objeto situado a una distancia de la lente menor que su distancia focal.

Respuesta:

a) De los datos suministrados en el enunciado podemos extraer los siguiente: s′ = 0, 03 m; y′ = −2y. teniendo en cuenta, además, la fórmula del aumento lateral:

y′

y=s′

s

−2y

y= −2 =

0, 03

ss = −0, 015m

Para calcular la distancia focal, utilizamos la ecuación fundamental de las lentes delgadas::

1

−0, 015− 1

0, 03= − 1

f ′f ′ = 0, 01m

b) El diagrama de rayos para un objeto situado a una distancia de la lente menor que la distanciafocal de aquella es el siguiente:

4. Un haz de luz incide desde un medio con índice de refracción n1 = 1,8 sobre la superficie planade separación con otro medio de índice de refracción n2 = 1,5. Si la longitud de onda en el primermedio es de 500 nm: a) Determine la velocidad de propagación y la frecuencia del haz en ambosmedios así como la longitud de onda en el segundo. b) ¿Cuál tendría que ser el ángulo de incidenciapara que no hubiera refracción? Dato: Velocidad de propagación de la luz en el vacío, c = 3·108 ms−1.

14


Respuesta:

a) la velocidad de propagación en el primero y en el segundos medio son, respectivamente:

v1 =3 · 1081, 8

= 1, 67 · 108 m · s−1 v2 =3 · 1081, 5

= 2 · 108m · s−1

la frecuencia del haz es invariable, por lo que podremos escribir:

ν =1, 67 · 1085 · 10−7

= 3, 33 · 1014s−1

La longitud de onda en el segundo medio será:

λ =v

ν=

2 · 1083, 33 · 1014 = 6 · 10−7 m

b) para que no haya refracción deberá cumplirse que:

senα1

sen 90º=

n2n1

=1, 5

1, 8α1 = 56, 44º

5. Sea una lente convergente de distancia focal de 5 cm. a) Calcule la distancia entre la lente y laimagen formada para un objeto situado en el infinito, y para un objeto situado a 20 cm de la lente.b) Determine el tamaño de un objeto que está situado a 20 cm de la lente y forma una imagen de30 mm de altura, y realice el diagrama de rayos correspondiente para la formación de la imagen.

Respuesta:

a) para un objeto situado en el infinito:

1

∞ − 1

s′= − 1

f ′s′ = f ′ = 0, 05m

Para un objeto situado a 20 cm de la lente:

1

−0, 2− 1

s′= − 1

0, 06s′ = 6, 67 cm

b) Aplicando la ecuación del aumento lateral:

y′

y=s′

s

−0, 003

y=

0, 0667

0, 2y = 0, 009m

El diagrama de rayos es el siguiente:

15


6. Una fibra óptica de vidrio posee un núcleo con un índice de refracción de 1,55, rodeado por unrecubrimiento de índice de refracción de 1,45. Determine: a) El ángulo mínimo β que debe tener unrayo que viaja por la fibra óptica a partir del cual se produce reflexión total interna entre el núcleoy el recubrimiento. b) El ángulo máximo de entrada α a la fibra para que un rayo viaje confinadoen la región del núcleo. Dato: Índice de refracción del aire, naire = 1Respuesta:

a) La representación gráfica es la siguiente:

Aplicando la Ley de Snell:

sen (90− β)

sen 90º=

1, 45

1, 55sen (90− β) = cos β = 0, 935 β = 20, 77º

b) Para que el rayo no abandone el núcleo:

senα

sen 20, 77º=

1, 55

1, 45α = 22, 27º

7. Un sistema óptico esta constituido por dos lentes situadas a 50 cm de distancia. La primera es de10 dioptrías y la segunda de -10 dioptrías. Se sitúa un objeto de altura 10 cm a una distancia de 15cm, a la izquierda de la primera lente. a) Determine la posición y el tamaño de la imagen producidapor la primera lente y de la imagen final formada por el sistema. b) Realice un diagrama de rayosde la formación de la imagen final.

Respuesta:

a) El diagrama de rayos es el siguiente:

b) Para la primera lente:

1

−0, 15− 1

s′1= −10 obteniendose; s′1 = 0, 3m

El tamaño de la imagen obtenida con la primera lente será:

y′1 = ys′1s

= 0, 10, 3

−0, 15= −0, 2m

La distancia objeto para la segunda lente será: s2 = −(0, 5− 0, 3) = −0, 2 m. Aplicando nuevamentela ecuación de las lentes delgadas:

1

−0, 2− 1

s′2= 10 s′2 = −0, 067m

16


Mientras que el tamaño de la imagen será:

y′2 = y′1s′2s′1

= −0, 2−0, 067

−0, 2= −0, 067m

8. En un medio de índice de refracción n1 = 1 se propaga un rayo luminoso de frecuencia f1 = 6·1014

Hz. a) Cual es su longitud de onda? b) Cual sería la frecuencia y la longitud de onda de la radiaciónsi el indice de refracci6n del media fuese n2 = 1,25 n1? Dato: Velocidad de propagación de la luzen el vacío, c = 3· 108 m· s−1

Respuesta:

a) La longitud de onda será:

λ =3 · 1086 · 1014 = 5 · 10−7m

b) La frecuencia de la radiación es la misma, independientemente del medio. La nueva longitud deonda será:

λ1 =v1ν

=3 · 108/1, 25

6 · 1014 = 4 · 10−7m

9. Un sistema óptico esta formado por dos lentes convergentes de distancias focales f1´= 20 cm y f2´= 30 cm. La segunda lente, de distancia focal f2´, esta situada a la derecha de la primera a 100 cmde distancia. Un objeto de 3 cm de altura se coloca 30 cm delante de la primera lente. a) Determinela posición y la altura de la imagen del objeto formada por el sistema óptico. b) Realice el diagramade rayos correspondiente.

Respuesta:

a) El diagrama de rayos es el siguiente:

b) Para la primera lente:

1

−0, 3− 1

s′1= − 1

0, 2obteniendose; s′1 = 0, 6m

El tamaño de la imagen obtenida con la primera lente será:

y′1 = ys′1s

= 0, 030, 6

−0, 3= −0, 06m

La distancia objeto para la segunda lente será: s2 = −(1− 0, 6) = −0, 4 m. Aplicando nuevamentela ecuación de las lentes delgadas:

1

−0, 4− 1

s′2= − 1

0, 3s′2 = 1, 2m

Mientras que el tamaño de la imagen será:

y′2 = y′1s′2s′1

= −0, 061, 2

−0, 4= 0, 18m

17


10. Un haz de luz de frecuencia 4,29· 1014 Hz incide desde un medio 1 de indice de refracción n1 = 1,50sobre otro medio 2 de indice de refracci6n n2 = 1,30. El angulo de incidencia es de 50°. Determine:a) La longitud de onda del haz en el medio 1. b) El angulo de refracción. ¿A partir de que angulode incidencia se produce la reflexión total del haz incidente? Dato: Velocidad de la luz en el vacíoc = 3·108 m s·1

Respuesta:


λ1 =v

ν=

3 · 108/1, 504, 29 · 1014 = 4, 66 · 10−7m

b) Aplicando la Ley de Snell:

sen 50ºsenαr

=1, 30

1, 50αr = 62, 11º

Para que se produzca reflexión interna total, el ángulo límite se calcula a partir de:

senαi

sen 90º=

1, 30

1, 50αi = 60º

11. Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes delgadas divergentes de igual distancia focal(f´ = -20 cm) separadas 5 cm. Un objeto luminoso perpendicular al eje óptico, de tamaño y = 2cm, se sitúa a la izquierda de la primera lente a una distancia de 60 cm. Determine: a) La posiciónde la imagen formada por la primera lente y realice su construcción geométrica mediante el trazadode rayos. b) La posición y el tamaño de la imagen final dada por el sistema formado por las doslentes.

Respuesta:

a) El diagrama de rayos, tanto el correspondiente a la imagen de la primera lente como de la imagenfinal, es el siguiente:

Para calcular la posición y el tamaño de la primera imagen, aplicamos la ecuación fundamental delas lentes y la ecuación del aumento lateral:

1

−0, 6− 1

s′1=

1

0, 2obteniendose; s′1 = −0, 15m

Es decir, la primera imagen se forma en el foco de la segunda lente.El tamaño se calcula así:

y′ = ys′

s= 2

−0, 15

−0, 6= 0, 5 cm

b) Para calcular los datos de la imagen final:

1

−0, 2− 1

s′1=

1

0, 2obteniendose; s′1 = −0, 1m

y′ = ys′

s= 0, 5

−0, 1

−0, 2= 0, 25 cm

18


12. Un material transparente de índice de refracción n = 2 se encuentra situado en el aire y limitadopor dos superficies planas no paralelas que forman un ángulo α Sabiendo que el rayo de luz mono-cromática que incide perpendicularmente sobre la primera superficie emerge por la segunda con unángulo de 90º con respecto a la normal, como se muestra en la figura, determine: a) El valor delángulo límite para la incidencia material-aire y el valor del ángulo b) El ángulo de incidencia deun rayo en la primera superficie para que el ángulo de emergencia por la segunda sea igual que él.Dato: Índice de refracción del aire, naire = 1.

Respuesta:

a) La respuesta a este apartado puede verse en la siguiente imagen:

b) La respuesta a este apartado puede verse en la siguiente imagen:

Conocido el valor de α1 , tendremos:senα

sen 15º=

2

1α = 31, 17º

19


4. Electromagnetismo.

1. Tres conductores rectilíneos, largos y paralelos, que transportan una corriente de 5 A cada uno deellos, pasan a través de los vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado, tal y como semuestra en la figura.

Suponiendo que el origen de coordenadas se encuentra en el conductor 1, determine: a) La fuerzapor unidad de longitud sobre el conductor 3 debida a los conductores 1 y 2. b) El campo magnéticoen el punto medio del segmento que une los conductores 1 y 2. Dato: Permeabilidad magnética delvacío μ0 = 4π·10−7 N A−2.

Respuesta:

a) La corriente, tanto en el conductor 1 como en el 2, tiene sentido contrario a la del conductor 3.Así pues, entre los conductores 1 y 3 y los 2 y 3 aparecen fuerzas de repulsión, tal y como puedeverse en la siguiente imagen.

Al tener el mismo valor las intensidades de corriente y ser iguales las distancias, las fuerzas−→F1 y

−→F2

tendrán el mismo módulo. La fuerza resultante sobre el conductor 3 será, según se deduce de laanterior imagen:

F = −[(

4π · 10−7 · 5 · 5 · l2π · 0, 1

)

sen 300º+

(

4π · 10−7 · 5 · 5 · l2π · 0, 1

)

sen 240º

]−→j =

La fuerza por unidad de longitud sobre el conductor 3 será:

F

l= −

[(

4π · 10−7 · 5 · 52π · 0, 1

)

sen 300º+

(

4π · 10−7 · 5 · 52π · 0, 1

)

sen 240º

]−→j = −8, 66 · 10−5−→j N ·m−1

b) Aplicando la regla de la mano derecha, veremos que el campo magnético en el punto medio delsegmento que une los conductores 1 y 2 tiene tres componentes, dos de las cuales se anulan entre sí(las debidas a las corrientes de los conductores 1 y 2).La tercera componente tendrá el valor:

−→B = −µ0I

2πr

−→i = − 4π · 10−7 · 5

2π√

(0, 12 − 0, 052)

−→i = −1, 15 · 10−5T

20


2. Un protón se desplaza con una velocidad −→v = 5−→i m s−1 en el seno de un campo eléctrico definido

por la expresión−→E = −100

−→j V m−1. Determine: a) El campo magnético necesario, contenido en

el plano YZ, para mantener al protón siguiendo un movimiento rectilíneo y uniforme. b) El radiode giro que tendría dicho protón en una región donde solamente existiera el campo magnético delapartado anterior. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10−19 C; Masa del protón,mp = 1,67·10−27 kg.

Respuesta:

a) Para que el protón describa un movimiento rectilíneo y uniforme, la resultante de las fuerzasque actúen sobre él debe ser nula, es decir:

−→F = q

−→E + q−→v ×−→

B = q (−100−→j + 5

−→i ×−→

B ) = 0

Si representamos el vector−→B de la forma:

−→B = |−→B|−→u , donde −→u es un vector unitario en la dirección

y sentido de B, tendremos:

100 = 5 |−→B| −→ |−→B| = 20

−−→j +

−→i ×−→u = 0

De forma que−→i ×−→u =

−→j , con lo que se cumplirá que −→u =

−→k . Así pues,

−→B = 20

−→k . T

b) El radio de giro se calcula a partir de la expresión:

qvB =mv2

rde donde r =

mv

qB=

1, 67 · 10−27 · 51, 6 · 10−19 · 20 = 2, 61 · 10−9m

3. En el semiespacio definido por z ≥ 0 existe un campo eléctrico uniforme dado por 5000−→k N C−1.

Determine: a) La diferencia de potencial entre los puntos P1(1, 2, 3) m y P2(2, 4, 3) m. b) El trabajorequerido para llevar una carga q = 5 μC, desde el punto P2(2, 4, 3) m al P3(1, 1, 1) m.

Respuesta:

a) La diferencia de potencial será:

−∆V =−→E · −→∆r = 5000

−→k [(1− 2)

−→i + (2− 4)

−→j + (3− 3)

−→k ] = 0V

b) El trabajo necesario será:W = q (V2 − V3)

la diferencia de potencial entre V2 y V3 será:

V2 − V3 =−→E−→∆r = 5000

−→k [(2 − 1)

−→i + (4− 1)

−→j + (3− 1)

−→k ] = 10000V

21


Y el trabajo valdrá:W = q (V2 − V3) = 0, 01 J

4. Dos hilos indefinidos y paralelos separados una distancia d transportan corrientes de igual intensidadI y en el mismo sentido. Determine: a) El módulo, dirección y sentido de los campos magnéticosque cada uno de los hilos crea en el otro e ilústrelos en una figura. b) La distancia d a la que debenestar los hilos para que la fuerza por unidad de longitud entre ellos sea de 10−5 N m−1 sabiendoque la intensidad que circula por los hilos es I = 5 A. Dato: Permeabilidad magnética del vacío,μo= 4π ·10−7 N A−2.

Respuesta:

a) El módulo del campo magnético que cada hilo crea sobre el otro es:

B =µ0I

2πd

La dirección de cada vector campo magnético es la misma, y el sentido es opuesto, como puedeverse en la siguiente imagen:

b) la fuerza por unidad de longitud es:

F

l=

(

µ0I1I22πd

)

10−5 =4π · 10−7 · 5 · 5

2πd

De donde, despejando, se obtiene:

d =4π · 10−7 · 5 · 5

2π · 10−5= 0, 25m

5. Dos cargas de + 5 nC están separadas una distancia de 4 cm de acuerdo a la figura adjunta.

Calcule: a) El campo eléctrico en el punto A y en el punto B creado por ambas cargas. b) Elpotencial eléctrico en el punto A y en el punto B, y el trabajo que hay que realizar sobre una cargade +3 nC para desplazarla desde el punto A al punto B. Dato: Constante de la Ley de Coulomb,K = 9·109 N m2 C−2.

22


Respuesta:

a) El campo eléctrico creado por ambas cargas en los puntos A y B puede deducirse de las siguientesimágenes:

En el punto A, el campo eléctrico creado por cada una de las cargas tiene el mismo módulo ydirección que el de la otra, pero sentido contrario, por lo que el campo eléctrico en dicho punto esnulo. En el punto B, los módulos de los campos respectivos creados por las dos cargas son iguales,pero de distinta dirección. para el ángulo α se cumplirá que:

tgα =2

4α = 26, 56º

Por tanto, en el punto B, el campo resultante tendrá, únicamente, componente y, siendo su módulo:

∣

∣

∣

−→E∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣cos 26, 56º+

∣

∣

∣

−→E2

∣

∣

∣cos 26, 56º = 2

9 · 109 · 5 · 10−9

0, 042cos 26,56 = 5, 03 · 104N · C−1

b) Los potenciales en los punto A y B son, respectivamente:

VA =2 · 9 · 109 · 5 · 10−9

0, 02= 4500V VB =

2 · 9 · 109 · 5 · 10−9

0, 04= 2250V

El trabajo necesario para trasladar una carga de 3 nC desde A a B será:

W = q(VA − VB) = 3 · 10−9(4500− 2250) = 6, 75 · 10−6 J

6. Una partícula alfa (núcleo de helio) inicialmente en reposo se acelera a través de una diferencia depotencial de 5 kV, y entra en una región con un campo magnético de 0,3 T perpendicular a su velo-cidad, como muestra la figura. Determine al penetrar en el campo magnético: a) La energía cinética

adquirida por la partícula y el módulo de su velocidad. b) La fuerza magnética que experimenta lapartícula y el radio de curvatura de la trayectoria. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón,e = 1,60·10−19 C; Masa de la partícula alfa, mα = 6,68·10−27 kg.

Respuesta:

a) La energía cinética será:

Ec = q(VA − VB) = 2 · 1, 6 · 10−19 · 5000 = 1, 6 · 10−15 J

23


Puesto que podemos escribir:

Ec = 1, 6 · 10−15 =1

26, 68 · 10−27v2 v =

√

3, 2 · 10−15

6, 68 · 10−27= 6, 92 · 105m · s−1

b) El módulo de la fuerza magnética es:∣

∣

∣

−→F∣

∣

∣=

∣

∣

∣q−→v ×−→

B∣

∣

∣= 3, 2 · 10−19 · 6, 92 · 105 · 0, 3 = 6, 64 · 10−11N

Y el radio de la trayectoria:

r =mv

qB=

6, 68 · 10−27 · 6, 92 · 1053, 2 · 10−19 · 0, 3 = 0, 048m

7. Sea un campo magnético uniforme−→B = −B0

−→k , con B0 = 0,3 T. En el plano xy, hay una espira

rectangular cuyos lados miden, inicialmente, a = 1 m y b = 0,5 m. La varilla de longitud b se puededesplazar en la dirección del eje x, tal y como se ilustra en la figura.

Determine, para t = 2 s, el flujo a través de la espira y la fuerza electromotriz inducida en la mismasi: a) La varilla se desplaza con velocidad constante de 3 m s−1 b) Partiendo del reposo la varillase desplaza con aceleraci6n constante de 2 m s−2

Respuesta:

a) La superficie atravesada por el campo magnético en un tiempo ∆ t será:

−→S = 0, 5 · 3 · t−→k

El flujo del campo magnético para t = 2 s será:

ϕ =−→B · −→S = −0, 3

−→k · 0, 5 · 3 · 2−→k = −0, 90wb

La fuerza electromotriz inducida será:

ε = −d(−0, 3−→k · 0, 5 · 3 · t)dt

= 0, 45V

b) Cuando la varilla se desplace con aceleración constante de 2 m· s−2, la longitud de a en función

del tiempo será: a =1

22 t2, con lo que el área de la espira será:

−→S = −0, 5 · t2 −→k ϕ = −0, 3 · 0, 5 · t2 = 0, 6wb

La fuerza electromotriz inducida será:

ε = −d(−0, 3−→k · 0, 5 · t2 −→k )dt

= 0, 60V

24


8. Considérese una carga q1 = 6 µC, situada en el origen de coordenadas. Determine: a) El trabajonecesario para llevar una carga q2 = 10 µC desde una posici6n muy alejada, digamos x = ∞ , hastala posición x = 10 m. b) El punto entre ambas cargas en el que una carga q estaría en equilibrio.Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N·m2 C−2

Respuesta:

a) El trabajo necesario sería:

W = 10−5(V∞ −V10) = 10−5

(

0− 9 · 109 · 6 · 10−6

10

)

= −0, 054 J

El signo negativo del trabajo indica que dicho trabajo debe ser realizado contra el campo creadopor la carga de 6 µC.

b) La posición de la carga de 6 µC es (0,0), mientras que la posición de la carga de 10 µC es (0,0).A partir de la siguiente representación gráfica:

Podemos deducir lo siguiente:

K · 6 · 10−6

x2=

K · 10−5

(10− x)2x = 4, 36m

El punto de equilibrio se encontrará sobre el eje X,a 4,36 m a la izquierda del origen de coordenadas

9. Dos cargas q1 = -4 nC y q2 = 4 nC están situadas en los puntos P1 (3, 4) y P2 (-3, 4), respectivamen-te, del plano xy (coordenadas expresadas en metros). Determine: a) El vector campo eléctrico en elorigen de coordenadas. b) El potencial electrostático en el origen de coordenadas. Dato: Constantede la Ley de Coulomb, K=1/4πε0 = 9·109 m2 C −2

Respuesta:

a) A partir de la siguiente representación gráfica:

Podemos deducir lo siguiente:

∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→E2

∣

∣

∣=

9 · 109 · 4 · 10−9

25= 1, 44

Las componentes verticales de los dos vectores campo se anulan, con lo que el vector campo resul-tante será: −→

E = 2 · 1, 44 · cos 53, 13−→i = 1, 73N · C−1

b) Puesto que las cargas son iguales y opuestas y las respectivas distancias al origen son iguales, elpotencial en dicho punto valdrá 0 V.

25


10. Por un hilo conductor rectilíneo situado a lo largo del eje x y que pasa por el punto (0, 0, 0),circula una corriente eléctrica de intensidad I = 10 A en el sentido negativa del eje x (coordenadasexpresadas en metros) a) Calcule el vector campo magnético debido al hilo en el punto P (0, 5, 0).b) Si una carga Q = 3 mC pasa por el punto P (0, 5, 0) con una velocidad v = 4

−→i + 4

−→j m·s−1,

Cuál es el vector fuerza magnética que actúa sobre la carga? Dato: Permeabilidad magnética delvacío, µ0 = 4π·10−7 N A−1

Respuesta:

a) El módulo del campo magnético en el punto P será:

∣

∣

∣

−→B∣

∣

∣=µ0I

2πd=

4π · 10−7 · 102π · 5 = 4 · 10−7T

Al aplicar la regla de la mano derecha:−→B = −4 · 10−7−→k T

b) la fuerza ejercida por el campo magnético sobre la carga es:

−→F = q−→v ×−→

B = 3 · 10−3[(4−→i + 4

−→j )× (−4 · 10−7−→k )] = 4, 8 · 10−9(−−→

i +−→j )N

11. Dos cargas eléctricas, positivas e iguales, situadas en los puntos (2, 2) m y (-2, -2) m generan uncampo eléctrico en el punto (1, 1) m de módulo E = 5·103 N C−1; determine: a) El valor de lascargas eléctricas y el vector campo eléctrico en el punto (-1, -1) m. b) El trabajo necesario paratraer una carga de 2 C desde el infinito hasta el punto (-1, -1) m. Dato: Constante de la Ley deCoulomb, K = 9·109 N m2 C−2.

Respuesta:

a) A partir de la siguiente representación gráfica: Podemos deducir lo siguiente:

∣

∣

∣

−→E∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→E2

∣

∣

∣−∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣=

9 · 109q12 + 12

− 9 · 109q32 + 32

= 5, 4 · 103N · C−1

Obteniéndose un valor: q = 1, 25 · 10−6CLa intensidad de campo eléctrico será:

−→E = 5, 4 · 103(−cos 45

−→i − cos 45

−→j ) = −3, 54 · 103−→i − 3, 54 · 103−→j

26


b) El trabajo necesario para desplazar la carga hasta el punto P(-1,-1) será:

W = q (V∞ −VP) V∞ = 0 y Vp =9 · 1091, 25 · 10−6

√2

+9 · 1091, 25 · 10−6

√18

= 1, 06 · 104V

W = 2 (0− 1, 06 · 104) = −2, 12 · 104 JEl signo negativo del trabajo indica que éste debe ser realizado en contra del campo eléctrico.

12. Dos hilos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos al eje z se encuentran situados en el planoyz. Uno de los hilos pasa por el punto (0, -5, 0) cm y su corriente tiene una intensidad I1= 30 Ay sentido z positivo. El otro conductor pasa por el punto (0, 5, 0) cm y su intensidad de corrienteI2 tiene sentido z negativo. Sabiendo que el módulo del campo magnético en el punto (0, 0, 0) esB 2,8·10−4T , calcule: a) El valor de la intensidad I2 y el vector campo magnético en el punto (0,10, 0) cm. b) La fuerza magnética por unidad de longitud que actúa sobre el conductor que pasapor el punto (0, -5, 0) cm debida a la presencia del otro, indicando su dirección y sentido. Dato:Permeabilidad magnética del vacío, μ0 = 4π·10−7 N A−2.

Respuesta:

a) En el punto (0,0,0), y basándonos en la siguiente representación gráfica:

Podremos deducir lo siguiente:∣

∣

∣

−→B∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→B1

∣

∣

∣+∣

∣

∣

−→B2

∣

∣

∣= 2, 8 · 10−4T

4π · 10−7 · 302π · 0, 05 +

4π · 10−7 · I2π · 0, 05 = 2, 8 · 10−4 I = 40A

En el punto (0,10,0), tal y como podemos ver en la siguiente imagen:

El campo magnético será:

∣

∣

∣

−→B∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→B2

∣

∣

∣−∣

∣

∣

−→B1

∣

∣

∣=

4π · 10−7 · 402π · 0, 05 − 4π · 10−7 · 30

2π · 0, 15 = 1, 2 · 10−4T

27


El campo estará dirigido en el sentido positivo del eje X, siendo, por tanto:

−→B = 1, 2 · 10−4−→i T

b) En el punto (0,-5,0) el vector fuerza será el siguiente:

Siendo la fuerza por unidad de longitud:

F

l=

4π · 10−7 · 30 · 402π · 0, 1 = 2, 4 · 10−3N ·m−1 −→

F/l = 2, 4 · 10−3−→j N ·m−1

28


5. Física moderna.

1. Se dispone de una muestra del isótopo 226Ra cuyo periodo de semidesintegración es 1588,69 años.a) Determine la constante de desintegración del isótopo. b) Transcurridos 200 años, el número denúcleos que no se han desintegrado es 9,76·1016. ¿Cuál era la masa inicial de la muestra de 226Ra?Datos: Masa atómica del 226Ra, M = 226 u; Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 mol−1.

Respuesta:

a) La constante de desintegración se calcula de la forma:

λ =ln 2

τ=

0, 693

1588, 69= 4, 36 · 109−4anos−1

b) Sustituyendo en la ecuación de la desintegración radiactiva: N = N0e−λt,tendremos:

9, 76 · 1016 = N0e−4,36·10−4

·200 −→ N0 = 1, 065 · 1017nucleos

El número de moles será:

n =1, 065 · 10176, 02 · 1023 = 1, 22 · 10−7moles

Mientras que la masa inicial será m = n·M = 1,22·10−7·226 = 3, 88 · 10−5u

2. Fotones de 150 nm de longitud de onda inciden sobre una placa metálica produciendo la emisión deelectrones. Si el potencial de frenado es de 1,25 V, determine: a) La energía de los fotones incidentesy la energía cinética máxima de los electrones emitidos. b) La longitud de onda asociada a loselectrones emitidos con la energía cinética máxima. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón,e = 1,6·10−19 C; Constante de Planck, h = 6,63�10−34 J s; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3·108

m s−1; Masa del electrón, me = 9,1·10−31 kg.

Respuesta:

a) La energía de los fotones incidentes es:

hν = 6, 63 · 10−34 3 · 1081, 5 · 10−7

= 1, 326 · 10−18J

Mientras que la energía cinética máxima de los electrones emitidos será:

Ec = qVf = 1, 6 · 10−19 · 1, 25 = 2 · 10−19J

b) Para conocer la longitud de onda asociada a los electrones, debemos conocer la cantidad demovimiento de los mismos. Sabiendo que la energía cinética máxima es: Ec = 2 · 10−19J, podremosponer:

1

29, 1 · 10−31v2 = 2 · 10−19 por lo que : v = 6, 63 · 105m/s

Así pues, la cantidad de movimiento del electrón será: p = mv =9, 1 ·10−31 ·6, 63 ·105 = 6,033·10−25

kg·m · s−1, y la longitud de onda asociada, será:

λ =h

p=

6, 63 · 10−34

6, 033 · 10−25= 1, 1 · 10−9m

3. a)¿Qué energía cinética, expresada en keV, tiene que tener un protón para que la longitud de ondaasociada sea λ = 4·10−13 m? b) ¿Cuál tendría que ser la longitud de onda de un fotón que en elvacío tuviera la misma energía que el protón? Datos: Constante de Planck, h = 6,63·10−34 J s;Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,60·10−19 C; Masa del protón, mp = 1,67·10−27 kg;Velocidad de propagación de la luz en el vacío, c = 3·108 m s−1.

29


Respuesta:

a) La longitud de onda de De Broglie asociada al protón es:

λ =h

mvv =

h

λ ·m =6, 67 · 10−34

4 · 10−13 · 1, 67 · 10−27= 9, 98 · 105m · s−1

La energía cinética será, expresada en keV será:

Ec =1/2 1, 67 · 10−27 (9, 98 · 105)2

1, 60 · 10−16= 5, 20 keV

b) La longitud de onda de un fotón (cuya velocidad es la de la luz) está relacionada con su energíapor la expresión:

λ =h · cE

Sustituyendo : λ =6, 67 · 10−34 · 3 · 1085, 20 · 1, 6 · 10−16

= 2, 41 · 10−10m

4. Una onda electromagnética de 280 nm incide sobre un metal cuyo trabajo de extracción es W0 =4,08 eV. Determine: a) La energía cinética máxima con la que pueden ser emitidos los electrones.b) El potencial eléctrico requerido para frenar a todos los electrones emitidos. Datos: Constante dePlanck, h = 6,63·10−34 J s; Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,60·10−19 C; Velocidad depropagación de la luz en el vacío, c = 3·108 m s−1.

Respuesta:

a) Aplicando la ecuación del efecto fotoeléctrico:

hν =Wext + Ec6, 67 · 10−34 · 3 · 108

2, 8 · 10−7= 4, 08 · 1, 6 · 10−19 + Ec

Se obtiene Ec = 6,18·10−20 J

b) El potencial de frenado se obtendrá de:

E = qVf Vf =E

q=

6, 18 · 10−20

1, 6 · 10−19= 0, 39V

5. Un átomo de 238U se desintegra a través de una cascada radioactiva y da lugar a un átomo de206Pb, siendo el periodo de semidesintegración del 238U de 4,47·109 años. Una muestra mineral demonacita contiene 2,74 mg de 238U y 1,12 mg de 206Pb procedentes de la desintegración del uranio.a) Obtenga el número de átomos iniciales de 238U en la muestra, a partir del cálculo del número deátomos de uranio y de plomo existentes en ella. b) Calcule la antigüedad del mineral y determinela actividad actual de la muestra. Datos: Masa atómica del 238U, MU = 238,05 u; Masa atómicadel plomo 206Pb, MPb = 205,97 u; Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 mol−1.

Respuesta:

a) 1,12 mg de 206Pb corresponden a un número de átomos:

nPb =1, 12 · 10−3

205, 976, 02 · 1023 = 3, 27 · 1018 atomos

El número de átomos de 206Pb será:

nU =2, 74 · 10−3

238, 056, 02 · 1023 = 6, 93 · 1018 atomos

Por tanto, el número inicial de átomos será: N0 = nPb +nU = 3, 27 · 1018+6, 93 · 1018 = 1, 02 · 1019átomos

30


b) Aplicando la ley de la desintegración radiactiva:

6, 93 · 1018 = 1, 02 · 1019e−(0,693/4,47·109)t t = 2, 49 · 109anos.

La actividad actual será:

A = λN =0, 693

4, 47 · 109 · 365 · 86400 6, 93 · 1018 = 34 desintegraciones · s−1

6. Para observar el efecto fotoeléctrico sobre un metal que posee una función de trabajo de 2,1 eV seutiliza una lámpara de Cd que emite en cuatro líneas espectrales de distinta longitud de onda: línearoja a 643,8 nm; línea verde a 538,2 nm; línea azul a 480,0 nm y línea violeta a 372,9 nm. a) ¿Quélíneas espectrales provocarán efecto fotoeléctrico en ese material? Justifique la respuesta. Calculela energía cinética máxima de los fotoelectrones si se utiliza la línea espectral azul. b) Determine lalongitud de onda de De Broglie asociada a los fotoelectrones con energía cinética máxima utilizandola línea azul. ¿Podrían ser considerados esos electrones como relativistas? Justifique la respuesta.Datos: Velocidad de la luz en el vacío, c = 3·108 m s−1; Constante de Planck, h = 6,63·10−34 Js; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10−19 C; Masa en reposo del electrón, me =9,1·10−31 kg.

Respuesta:

a) A partir de la función de trabajo, calculamos la longitud de onda umbral:

λ0 =hc

Wext=

6, 63 · 10−34 · 3 · 1082, 1 · 1, 6 · 10−19

= 5, 92 · 10−7m

Por tanto producirán efecto fotoeléctrico todas las líneas espectrales de menor longitud de ondaque λ0, es decir, las líneas verde, azul y violeta. La energía cinética máxima de los fotoelectronesemitidos por acción de la línea azul es:

Ec =6, 63 · 10−34 · 3 · 108

4, 8 · 10−7− 2, 1 · 1, 6 · 10−19 = 7, 83 · 10−20 J

b) La velocidad de los electrones emitidos es:

v =

√

2 · 7, 83 · 10−20

9, 1 · 10−31= 4, 14 · 105m · s−1

La longitud de onda de De Broglie tiene el valor:

λ =6, 63 · 10−34

9, 1 · 10−31 · 4, 14 · 105 = 1, 76 · 10−9m

Estos electrones no pueden ser considerados como relativistas, debido a que su velocidad es muyinferior a la de la luz.

7. Si el trabajo de extracción de un metal es de 2 eV, ¿con fotones de que frecuencia habría que iluminarel metal para que los electrones extraídos tuvieran una velocidad máxima de 7·105 m s·1? Datos:Constante de Planck, h = 6,63·10−34 J s; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10−19 C;Masa del electrón, m, = 9, 11·10−31 kg.

Respuesta:

8. Determine: a) La velocidad a la que debe desplazarse un electrón para que su longitud de ondaasociada sea la misma que la de un fotón de 0,02 MeV de energía. b) La energía que tiene elelectrón en eV y su momento lineal. Datos: Constante de Planck, h = 6,63·10−34 J s; Valor absolutode la carga del electrón, e = 1,60·10−19 C; Masa del electrón, me = 9,11·10−31 kg; Velocidad de laluz en el vacío; c = 3· 108 m s−1

31


Respuesta:

a) La longitud de onda del fotón puede ser calculada a partir de:

E =hc

λ


λ =6, 63 · 10−34 · 3 · 1080, 02 · 106 · 1, 6 · 10−19

= 6, 22 · 10−11m

Aplicando la ecuación de De Broglie:

λ =h

mvv =

6, 63·10−34

9, 11 · 10−31 · 6, 22 · 10−11= 1, 17 · 107m · s−1

b) La energía del electrón, expresada en eV es:

E =1/2 9, 11 · 10−31 (1, 17 · 107)2

1, 6 · 10−19= 389, 71 eV

Su momento lineal será:

p = mv = 9, 11 · 10−31 · 1, 17 · 107 = 1, 06 · 10−23kg ·m · s−1

9. Un láser emite luz de frecuencia 1,54·1015 Hz. a) Determine la longitud de onda de la luz emitida porel láser. b) Si el haz de luz incide sobre una superficie de wolframio cuya longitud de onda umbrales de 230 nm, Cual es la energía cinética máxima de los electrones emitidos? Datos: Constante dePlanck, h = 6,63·10−34 J s; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3·108 m s·1

Respuesta:


λ =c

ν=

3 · 1081, 54·1015

= 1, 95 · 10−7m

b) Aplicando la ecuación del efecto fotoeléctrico:

6, 63·10−34 · 1, 54·1015 = 6, 63·10−34 3 · 1082, 3 · 10−7

+ Ec Ec = 1, 56 · 10−19 J

10. Una muestra, de masa m = 30 g, esta compuesta por un elemento radiactivo cuya masa molar es de87 g·mo1·1 En la actualidad la muestra posee una actividad de 2,85·1012 Bq. Calcule: a) El periodode semidesintegraci6n del elemento radiactivo. b) La masa de la muestra dentro de 6000 años. Dato:Numero de Avogadro, NA = 6,02·1023 mo1−1

Respuesta:

a) El número de núcleos de este elemento es:

N0 =30

87mol · 6, 02·1023mo1−1 = 2, 08 · 1023

Conocida la actividad en este momento, podemos calcular la constante de desintegración:

A = λN0 2, 85 · 1012 = λ · 2, 08 · 1023 · 2, 08 · 1023

λ = 1,37 · 10−11 s−1 equivalentes a 4, 32 · 10−4 anos−1

El periodo de semidesintegración será:

τ =0, 693

1, 37 · 10−11= 5, 06 · 1010 s equivalentes a 1604 anos

b) Al cabo de 6000 años, la masa restante será:

m = 30 · e−4,32·10−4·6000 = 2, 25 g

32


11. El 14C tiene un periodo de semidesintegración de 5730 años. Si inicialmente se tiene una muestrade 2 mg, determine: a) El tiempo que tiene que transcurrir para que la muestra se reduzca a 0,5 mg. b) La actividad inicial de la muestra. Datos: Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 mol−1; MasaAtómica del 14C, M = 14,00 u.

Respuesta:

a) Conocido el periodo de semidesintegración, podemos conocer la constante λ :

λ =0, 693

5730= 1, 209 · 10−4 anos−1

0, 5 = 2 · e−1,209·10−4t t = 11460 anos

Otra forma de resolver este apartado consiste en observar que el número de núcleos se ha reducido ala cuarta parte, por lo que habrá transcurrido un tiempo igual a dos periodos de semidesintegración,es decir, 2·5730 = 11460 años

b) Para calcular la actividad inicial de la muestra, debe calcularse el número inicial de núcleos:

N0 =2 · 10−3g

14 g ·mol−1· 6, 023 · 1023mol−1 = 8, 6 · 1019 nucleos

La constante de desintegración deberá expresarse en s−1 , es decir: λ =1, 209 · 10−4

365 · 86400 = 3, 834 · 10−12 s−1.Teniendo

esto en cuenta, la actividad inicial será:

A0 = λN0 = 3, 834 · 10−12 · 8, 6 · 1019 = 3, 3 · 105Bq

12. Al iluminar un metal con luz de longitud de onda en el vacío = 700 nm, se observa que emiteelectrones con una energía cinética máxima de 0,45 eV. Se cambia la longitud de onda de la luzincidente y se mide de nuevo la energía cinética máxima, obteniéndose un valor de 1,49 eV. Calcule:a) La frecuencia de la luz utilizada en la segunda medida. b) A partir de qué frecuencia no seobservará el efecto fotoeléctrico en el metal. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e =1,6·10−19 C; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3·108 m s−1; Constante de Planck h = 6,63·10−34

J s.

Respuesta:

a) Las respectivas energía cinéticas, expresadas en J son:

Ec1 = 0, 45 · 1, 6 · 10−19 = 7, 2 · 10−20 J Ec2 = 1, 49 · 1, 6 · 10−19 = 2, 384 · 10−19 J

Aplicando en ambos casos la ecuación del efecto fotoeléctrico:

6, 63·10−34 · 3·1087 · 10−7

= Wext + 7, 2 · 10−20

6, 63·10−34 · 3·108λ

= Wext + 2, 384 · 10−19

Restando miembro a miembro la primera igualdad a la segunda:

6, 63·10−34 · 3·108λ

− 6, 63·10−34 · 3·1087 · 10−7

= 2, 384 · 10−19 − 7, 2 · 10−20

Obteniéndose λ = 4, 42 · 10−7 m

b) Despejamos el trabajo de extracción en la primera igualdad:

Eext =6, 63·10−34 · 3·108

7 · 10−7− 7, 2 · 10−20 = 2, 12 · 10−19

E igualamos:

Wext = hν0 ν0 =2, 12 · 10−19

6, 63·10−34= 3, 2 · 1014 s−1

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