COLEGIO DE POSTGRADUADOS INSTITUCIN DE ENSEANZA E INVESTIGACIN

EN CIENCIAS AGRCOLAS INSTITUTO DE SOCIOECONOMA, ESTADSTICA E INFORMTICA

PROGRAMA EN ESTADSTICA

PRUEBAS DE HIPTESIS CON

VARIABLES DEPENDIENTES E

IDNTICAMENTE DISTRIBUIDAS

EDUARDO GUTIRREZ GONZLEZ

T E S I S

PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO DE:

M A E S T R O EN C I E N C I A S

MONTECILLO, TEXCOCO, EDO. DE MXICO

2004

III

La presente tesis titulada: PRUEBAS DE HIPTESIS CON VARIABLES DEPENDIENTES

E IDNTICAMENTE DISTRIBUIDAS, realizada por el alumno: Eduardo Gutirrez

Gonzlez, bajo la direccin del consejo particular indicado, ha sido aprobada por el mismo y

aceptada como requisito parcial para obtener el grado de

MAESTRO EN CIENCIAS PROGRAMA EN ESTADSTICA

CONSEJO PARTICULAR

CONSEJERO Dr. Jos A. Villaseor Alva ASESOR Dr. Humberto Vaquera Huerta ASESOR Dr. Filemn Ramrez Prez ASESOR Dr. Barry C. Arnold

MONTECILLO, TEXCOCO, EDO. DE MXICO; JULIO DEL 2004

IV

Agradecimientos

Al consejo nacional de ciencia y Tecnologa por el apoyo econmico brindado para la realizacin

de mis estudios de Maestra en Ciencias.

Al Colegio de Postgraduados por la oportunidad que me brind.

Al Consejo particular integrado por Dr. Jos A. Villaseor Alva, Dr. Humberto Vaquera Huerta,

Dr. Filemn Ramrez Prez, y el Dr. Barry C. Arnold por el trabajo y el tiempo dedicado a esta

tesis.

Resumen V

V

RESUMEN

En este trabajo se estudia el problema de probar la hiptesis

01

00

:

:

ppH

ppH

>

en donde, 0p es una constante conocida y p es la probabilidad de que las variables

aleatorias tomen valores por encima de un valor q constante y definido de antemano, es decir,

[ ]qXPp i >= , para toda i. cuando se tiene variables aleatorias intercambiables nXXX ,,, 21 K , idnticamente

distribuidas normalmente con parmetros y 2 .

I. En primera instancia se trata el problema para el caso cuando las variables son independientes, en donde se sigue el esquema clsico basndose en los estimadores de mxima verosimilitud para los parmetros media y varianza y el resultado de que X y

2XS son independientes. Posteriormente, se determina que el estadstico de prueba

=

qT (en donde, y son los estimadores de mxima verosimilitud de y

), tiene una distribucin t no central. Con base en una aproximacin a la t central se obtiene la expresin de la constante crtica para el tamao de la prueba.

II. Para el caso de variables aleatorias dependientes normales con covarianzas homogneas, se siguen las mismas ideas que en la situacin de independencia. En donde, primeramente se estudian las restricciones para la covarianza para poder utilizar los resultados de la distribucin multivariada, concluyendo que la covarianza debe ser positiva. Posteriormente se obtiene una transformacin de las variables, con la cual se

puede demostrar que X y 2XS siguen siendo independientes. Por otro lado, se encuentra la distribucin de la media y varianza muestrales y se usa el mismo

estadstico de prueba que en el caso de variables independientes,

=

qT (en donde,

y son los estimadores de momentos de y ). Se encuentra que la distribucin de T es tambin una distribucin t no central, pero con otro parmetro de no centralidad diferente al caso de independencia. Con base en una aproximacin a la t central se obtiene la expresin de la constante crtica para un tamao de la prueba dado, la cual resulta ser igual al caso de variables independientes.

III. Finalmente se presenta una extensin de la prueba t para observaciones intercambiables.

Resumen VI

VI

ABSTRACT

This work studies the problem of proving the hypothesis

01

00

:

:

ppH

ppH

>

where 0p is a known constant and p is the probability that the variables have values above

q constant and defined beforehand

[ ]qXPp i >= , for all i. When there are exchangeable random variables nXXX ,,, 21 K , identically distributed

normally with parameters and 2 .

I. Firstly the problem is when the variables are independent following the classic scheme based on the estimates of maximum likelihood for the mean and variance parameters

and the result of X and 2XS are independent. Later it is determined that the test

statistic

=

qT (where and are the estimates of maximum likelihood of

and ) has a non central t distribution. Based on an approximation of the central t, the expression of the constant critical for the size of the test is obtained.

II. In the case of normal dependent variables with homogenous covariants the same ideas are followed as in the independent situation. Where first the restrictions for the covariants are studied to utilize the results of the multivariable distribution, concluding that the covariance must be positive. Then a transformation of the variables is obtained

with which it can be demonstrated that X and 2XS remain independent. On the other hand we find the distribution of the mean and sample variants and use the same test

statistic as in the case of the variable independents ,

=

qT (where and are

the moment estimators of and ). It is found that the distribution of T is also a non central t distribution, but with another parameter not centralized different to the independent case. Based on an approximation of central t the expression of the constant critical for the size of the given test is obtained and results equal to the case of the variable independents.

III. Finally an extension of the test t for exchangeable observation is presented.

VII

Contenido Contenido VII

Introduccin

1

Prediccin con variables aleatorias dependientes. 1

Objetivos. 2

Antecedentes de variables aleatorias dependientes. 3

Captulo 1

5

Marco Terico. 5

PARTE I. PROPIEDADES DE LA NORMAL MULTIVARIADA 5

1.1 DISTRIBUCIN NORMAL MULTIVARIADA 5

1.2 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE LA NORMAL

MULTIVARIDA 7

PARTE II. MTODO DE MXIMA VEROSIMILITUD 8

1.3 FUNCIONES Y ESTIMADORES DE MXIMA VEROSIMILITUD 8

Funcin de verosimilitud. 8

Estimadores de mxima verosimilitud. 9

PARTE III. PRUEBAS DE HIPTESIS 9

1.4 REGIONES CRTICAS 9

1.5 TIPOS DE ERRORES Y FUNCIN DE PRUEBA 10

Prueba de tamao alfa. 11

Funcin de prueba. 11

1.6 FUNCIN DE POTENCIA DE LA PRUEBA 11

PARTE IV. MATRICES 13

1.7 VALORES Y VECTORES CARACTERSTICOS 13

Teorema 1.1 Condiciones para el valor propio. 13

Teorema 1.2 Sistema de valores propios. 14

Pruebas de hiptesis para variables dependientes idnticamente distribuidas y normales VIII

VIII

Teorema 1.3 Multiplicidad de valores propios. 14

Teorema 1.4 Cantidad de vectores propios. 14

1.8 DIAGONALIZACIN 14

Matrices similares. 14

Teorema 1.5 matrices similares y vectores propios. 14

Matriz diagonalizable. 15

Teorema 1.6 Matriz diagonalizable y vectores propios. 15

1.9 MATRICES SIMTRICAS Y DIAGONALIZACIN ORTOGONAL 15

Matriz diagonalizable ortogonalmente. 15

Teorema 1.7 Matriz simtrica real y vectores propios. 15

Teorema 1.8 Matriz simtrica real y vectores propios ortonormales. 15

Teorema 1.9 Matriz simtrica real y diagonalizacin. 15

Captulo 2 16

Prueba de hiptesis para variables aleatorias independientes e idnticamente

distribuidas.

2.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 16

2.1.1 Estadstica de Prueba. 17

2.2 ESTIMADORES DE MXIMA VEROSIMILITUD PARA Y 2 17

2.2.1 Derivada con respecto al parmetro media. 17

2.2.2 Derivada con respecto al parmetro varianza. 18

2.3 DISTRIBUCIN DE LA MEDIA Y LA VARIANZA 18

2.3.1 Distribucin de la media muestral. 18

2.3.2 Distribucin de la varianza. 19

2.4 DISTRIBUCIN DE LA ESTADSTICA DE PRUEBA. 19

Teorema 2.1 Distribucin de la estadstica de prueba (t-nocentral). 20

2.5 APROXIMACIN DE LA T NO-CENTRAL CON LA T CENTRAL. 21

Proposicin 2.1 Monotona de la funcin (G ). 22

2.6 VALORES CRTICOS PARA MUESTRAS GRANDES. 24

2.7 VALORES CRTICOS PARA MUESTRAS PEQUEAS. 29

Contenido IX

IX

Captulo 3 30

Prueba de hiptesis para variables aleatorias dependientes e idnticamente

distribuidas.

3.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 30

3.1.1 Estadstica de Prueba. 30

3.2 ACOTACIONES DEL PROBLEMA 31

Teorema 3.1 Determinante de la matriz de covarianzas. 32

3.2.1 Restriccin del problema en la covarianza. 33

3.3 REPRESENTACIN DE LA MATRIZ DE COVARIANZAS 34

3.3.1 Valores propios de la matriz J. 34

3.3.2 Vectores propios de la matriz J. 35

3.4 SISTEMA DE VECTORES ORTOGONALES EQUIVALENTE A LOS VECTORES

PROPIOS DE LA MATRIZ J. 37

3.4.1 Ortonormalizacin del sistema de vectores equivalente a los vectores propios de

la matriz J. 38

3.5 MATRIZ DE TRANSFORMACIN. 41

3.5.1 Distribucin de las variables transformadas. 41

Teo