Instituto UniversidadTecnológico Nacional de AutónomaTlalnepantla de México

Nuestras instituciones, le agradecen al comité organizador, por la gentileza que tuvieron para invitarnos a tan relevante evento; que, asistimos con mucha alegría y gran satisfacción.

México, D.F., agosto de 07

Instituto UniversidadTecnológico Nacional de AutónomaTlalnepantla de México

Ponencia:

Una nueva alternativa para la resolución de determinantes, a través del teorema del determinante simétrico.

México, D.F., agosto de 07

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Equipo de trabajo:

Rosalía Trujillo SánchezJesús López Sánchez yTeodoro M. Ceballos

México, D.F., agosto de 07

Introducción

• Con este trabajo, buscamos intercambiar resultados científicos, experiencias y didácticas, sobre diferentes enfoques en la enseñanza de las matemáticas en la enseñanza tecnológica y universitaria.

El pres ente reporte :

Aborda una problem ática s obre la ens eñanz a de la m atem ática en la carrera de Ing enier ía Ind ustr ia l; en la as ignatura de álgebra lineal y particularm ente , con la res o lución de determ inantes de orden (2x2) y orden s uperior; a trav és de l Teorem a de l Determ inante Sim étrico .

Planteam iento de l problem a

Cuando se aborda en el Discurso Matemático Escolar (DME), la teoría de resolución de determinantes; utilizamos el método de Gabriel Cramer, Sarrus o reducción del orden.

En la aplicación de estos métodos, siempre se considera tomar un sentido positivo y otro negativo, es decir

Regla de CramerOrden (2x2) ó básico:

11 12

21 22

x xdet A =

x x

Sent ido posit ivo

Sent ido negat ivo

Orden (3x3) ó Superior

11 12 13

21 22 23

31 32 33

y y y

det B = y y y

y y y

Método de reducción, transformación de orden o de los cofactores:

+ - +

11 12 13

21 22 23

31 32 33

22 23 21 23 21 2211 12 13

31 3232 33 31 33

x x x

det A = x x x

x x x

de donde

x x x x x xdet A = + x x x

x xx x x x- +

Sentido

posit ivo

Sentido

negativo

Método de Sarrus( )

( )

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21

1 Columnas aumentadas

x x x x x

det A = x x x x x

x x x x x

2 Renglones aumentados

x x x

x x x

det B = x x x

x x x

x

M

M

M

22 23x x

Es te us o de s entido pos itiv o y la inadecuada didáctica de que al s entido negativ o lo m ultiplicam os por (- 1); prov oca en e l aprendedor, m ucha incertidum bre , pues en la m ay oría de los cas os , é s tos tienden a equiv ocars e , y dado que es te e s uno de los dos tem as que contiene una unidad de e s tudio de la m ateria de álgebra lineal; cas i s iem pre la reprueban.

¿Contribuirá com o un nuev o m étodo e l Teorem a de l Determ inante Sim étrico , para alcanz ar un aprendiz aje s ignificativ o , para la res o lución de de term inantes de orden bás ico y de orden s uperior; contra los m étodos antes m encionados ?

Jus tificación:

Com o una cos tum bre académ ica en la ens eñanz a de la teoría de de term inantes ; s iem pre fav orecem os , la regla de Cram er para res o lv er de term inates de orden (2x2) y e l m étodo de los cofactores para uno de (3x3) y que en nues tro trabajo llam am os e l prim ero de orden s uperior.

Es ta regla que por cierto e s uno de los teorem as de Cram er; en s u aplicación s e com plica por e l m anejo de los s entidos pos itiv o , negativ o y por lo que a e s te ; adem ás , s e le tiene que m ultiplicar por (- 1 ), hace que la regla no s ó lo s ea confus a, s ino que la v ue lv e m uy lenta para e l cálculo de l v alor de l de term inante .

Mientras que:

El teorem a de l Determ inante Sim étrico (TDS), e s un nuev o m étodo alternativ o que tiene dos v entajas s ingulares : prim ero , no s e em plea e l s entido pos itiv o y negativ o que s e utiliz a con la regla de Cram er; s ino que , únicam ente us a la entrada prim aria que propus o Le ibniz y s egundo , al no utiliz ar es te algoritm o de Cram er; s encillam ente , e l TDS es m ás rápido para e l cálculo de l v alor de l de term inante .

Objetiv o:

Los aprendedores s erán capaces de res o lv er de term inantes de orden bás ico y de orden s uperior, i.e .; (2x2 ),(3x3 ),…,(n xn ): n es u n en tero (+ ), con un niv e l de aceptación de 100 %, des pués de habers e llev ado a cabo un aprendiz aje s ignificativ o .

Hipótes is de l trabajo :

Todos los alum nos que curs an la m ateria de álgebra lineal en la carrera de Ingeniería Indus trial, dom inarán s in error, la Teoría de l Teorem a de l Determ inante Sim étrico ; para res o lv er de term inantes de orden (2x2) y com o cons ecuencia, aprobarán la unidad dees tudios .

Fundam entación teórica:

λδβα

=A

ηγϕφεδχβα

=B ∈∀ ληγϕφεδχβα &,,,,,,,,;

βδαλ −=⇒Sim étrico

A ;βδαλ−=∴A

( ) ( ) BBSimétrico

⇒++−++= χεϕβδηαφγχδγβφϕαηε

( ) ( )χεϕβδηαφγχδγβφϕαηε ++−++=

Teorema JCE- 1 (del Determinante Simétrico con sent ido derecho inyect ivo, directo o con entrada primaria de Leibniz). Sea el

y

ℝ

; mientras que, el

y

B

Teorema JCE- 2 (del determinante simétrico con sent ido izquierdo inyect ivo o con entrada secundaria de

Leibniz). Sea el

λδβα

=A y

ηγϕφεδχβα

=B ∈∀ ληγϕφεδχβα &,,,,,,,,; ℝ

βδαλ−=→⇒)(ESSimétrico

R AA mientras que el

( ) ( )χϕεβηδαγφχγδβϕφαηε ++−++=→Simétrico

R BB

Ejercicio. Calcular el valor de los determinantes de A y B, si estos están por

54

32−=A y

814

752

236

−−=B

Utilizando los métodos de: (a) Cramer, (b) Cayley, (c) Sarrus e (d) el determinante simétrico def inido por los Teoremas JCE- 1 con EPL y f inalmente, (e) el determinante simétrico def inido por el Teorema JCE- 2 con ESL.

Solución (a). Como el

4

2

54

32 EPAA−

=⇒−

=4

2

5

3 −− ( ) ( ) ( ) ( ) .222212104352

5

3−=∴−=−−=−−= A

ES

y como el

2

3

1

4

2

6

814

752

236

EP

EP

EP

BB =⇒−−=

3

1

2

1

5

3

EP

EP

EP

−−

1

2

3

8

7

2

EP

EP

EP

-

1

2

3

4

2

6

ES

ES

ES

3

1

2

1

5

3

ES

ES

ES

−−

2

3

1

8

7

2

ES

ES

ES

[ ] [ ] [ ]{ } −++= 321 PrPrPr EPdeoductosEPdeoductosEPdeoductosB

[ ] [ ] [ ]{ }321 PrPrPr ESdeoductosESdeoductosESdeoductos ++− , de donde se implica que

[ ] [ ] [ ] [ ]42484048424 0)7)(1)(6()8)(2)(3()4)(5)(2()2)(1)(2()4)(7)(3()8)(5)(6( −+−−−+−=−++−−−++−=B

.12612634160)34(160 −=⇒−=+−=−−−= BB

Solución (b). 4

2

54

32 EPAA−

=⇒−

=ES4

2

5

3 −− ( )( ) ( ) ( ) 222212103452

5

3−=∴−=−−=−−= A

y como el

2

3

1

4

2

6

814

752

236

EP

EP

EP

BB =⇒−−=

3

1

2

1

5

3

EP

EP

EP

−−

1

2

3

8

7

2

EP

EP

EP

1

3

2

4

2

6

ES

ES

ES

2

1

3

1

5

3

ES

ES

ES

−−

3

2

1

8

7

2

ES

ES

ES

-

[ ] [ ] [ ]{ } −++= 321 PrPrPr EPdeoductosEPdeoductosEPdeoductosB

[ ] [ ] [ ]{ }321 PrPrPr ESdeoductosESdeoductosESdeoductos ++− , de donde se implica que

[ ] [ ] [ ] [ ]484240484240)2)(3)(8()6)(7)(1()2)(5)(4()2)(1)(2()4)(7)(3()8)(5)(6( +−−−−+−=+−+−−−++−=B

.12612634160)34(160 −=⇒−=+−=−−−= BB

Solución (c). Como todos sabemos, este método únicamente es aplicable para resolver determinante de orden ( )33×

Además, sólo calcularemos para el caso de columnas aumentadas, veamos

2

3

1

4

2

6

814

752

236

EP

EP

EP

BB =⇒−−=

2

1

3

3

5

1

EP

EP

EP

-

- 3

1

2

2

3

1

1

2

3

1

5

3

4

2

6

8

7

2

EP

EP

EP

EP

EP

EP

EP

EP

EP

−−

1

3

2

4

2

6

ES

ES

ES 3

1

2

3

5

1

ES

ES

ES

-

- 2

1

3

1

3

2

3

2

1

1

5

3

4

2

6

8

7

2

ES

ES

ES

ES

ES

ES

ES

ES

ES

−−Con el

-

- ;

de donde se desprende que el

[ ] [ ] [ ] [ ]484240484240)3)(2)(8()6)(7)(1()2)(5)(4()1)(2)(2()4)(7)(3()8)(5)(6( +−−−−+−=+−+−−−++−=B

12612634160)34(160 −=⇒−=+−=−−−= BB

.

Solución (d). Teorema JCE- 1 del Determinante Simétrico con EPL, con el

4

2

54

32 EP

SimétricoAA

−=⇒

−=

5

3EP .2222)12()10()4)(3()5)(2(4

2−=⇒−=−+−=−+−=

−A

⇒−−=

814

752

236

B14

522

84

723

81

756

−−

+−−−

=ordende

reducciónConBcon el

1

56

).( −−

=→ EP

EPLSimétrico

R BB8

7EP

1

5

4

2EP

8

7EP

4

2

−−

4

22 EP+

1

5

−− EP

4

2

−−

- 3

[ ] [ ] [ ])4)(5()1)(2(2)4)(7()8)(2(3)1)(7()8)(5(6 −−+−+−+−+−=Simétrico

B

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 72198363619818212333620)2(2)28(1637406 +−=++−=+−−−=+−+−+−+−=Sim étrico

B

126126 −=⇒−= BBSimétrico

Solución (e). Como el

( ) ( ) ESESLconSimétricoAAA

4

211

54

32)(

−−=−=⇒

−=

3

5ES 4

2

−; por consiguiente,

el

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] .222211012125341 −=−=+−=+−=A .22−=⇒ A

Solución (1.4.2- Teorema JCE- 2 del Determinante Simétrico con entrada secundaria de Leibniz). Como el

⇒−−=

814

752

236

B14

522

84

723

81

756

−−

+−−−

=ordende

reducciónConB

de donde,

.negativosignodeentradacon

ordenenreducidoSimétrico

BB R→ ; es decir el

↓

Entrada con signo negativo.

ESB1

56

−−

−=7

8ES1

5ES4

23+

7

8ES

4

2

−−

- 2 ES4

2ES1

5

−− 2

4

--

[ ] [ ] [ ] ⇒−=+−=++−=−−+−= 126721983636198182123336B .126−=B

|B| = - 6[(- 1)(7)+ (8)(5)]+ 3[(4)(7)+ (8)(- 2)]- 2[(4)(- 5)+ (- 1)(- 2)]= - 6[- 7+ 40]+ 3[28- 6]- 2[- 20+ 2]

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES• Los Teoremas JCE- 1 y 2 del determinante simétrico con entradas

primaria y secundaria de Leibniz, sólo pueden ser aplicados a determinantes de orden (2x2) que son la últ ima reducción de orden a la que converge un determinante de orden superior (DOS), i.e., determinantes de orden

Por ejemplo, el determinante de orden superior (3x3), se transforma en tres de orden base (2x2) al pivotear en los elementos

para la (ESL). Recordar el método de reducción de orden o de los cofactores para la solución de un (DOS).

Se obt ienen resultados idént icos por cualquiera de los métodos, i.e., la Regla de Cramer, Cayley, Sarrus o de los Teoremas JCE- 1 y 2 del determinante simétrico.

Por los Teoremas JCE- 1 y 2 del determinante simétrico, se obtienen más rápidamente los resultados. El nuevo paradigma que en este trabajo estamos presentando, evita el conflicto que provocan los otros métodos con respecto a la mult iplicación por (- 1).

( ) ( ) ( )3 3 , 4 4 ,..., :x x nxn n +Î ¢

11 12 13, y + a a a+ -