Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.

Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEMATICAS II

Instrucciones: El alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.

Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.

Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntua 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. Dada la funcion f(x) = esenx + x2 + ax+ b, a, b ∈ R:a) Determina los parametros a, b ∈ R sabiendo que la grafica de f(x) pasa por el punto (0,2) y que endicho punto tiene un extremo relativo. (1,5 puntos)b) Para los valores de los parametros encontrados, estudia si dicho extremo relativo es un maximo o unmınimo. (1 punto)

2A. Dada la funcion

g(x) =

2x+ 4 si −2 ≤ x < 0

(2x− 2)2 si 0 ≤ x ≤ 1

a) Esboza la region encerrada entre la grafica de g(x) y el eje de abscisas. (0,5 puntos)b) Calcula el area de la region anterior. (2 puntos)

3A. a) Despeja X en la ecuacion matricial X ·A+B = X, donde A, B y X son matrices cuadradas deorden 3. (1 punto)b) Calcula X, siendo

A =

0 0 01 0 02 1 0

y B =

0 3 −2−1 4 01 2 1

(1,5 puntos)

4A. a) Calcula la distacia del punto P (−1, 2, 0) a la recta

r ≡{

−x+ y + 2z = 0y + z = 1

(1,25 puntos)

b) Calcula el punto simetrico de P respecto de r. (1,25 puntos)

(sigue a la vuelta)

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Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEMATICAS II

PROPUESTA B

1B. Calcula el dominio y las asıntotas de las siguientes funciones

f(x) =

√2x− x

x− 2, g(x) =

x3

x2 − 4x+ 4(1,25 puntos por cada funcion)

2B. Dada la funcion f(x) = (x+ 1)e2x, se pide:a) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexion de f(x). (1,25 puntos)b) Encuentra una primitiva de la funcion f(x) que pase por el origen de coordenadas. (1,25 puntos)

3B. He pensado un numero de tres cifras tal que la cifra de las decenas es la media aritmetica de las otrasdos. Ademas, si a dicho numero se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferenciaes 198. Por ultimo, las tres cifras de mi numero suman 12.a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que recoja la informacion anterior y clasifıcalo. Para ello,puede serte util observar que el numero cuya cifra de las centenas es x, la de las decenas y, y la de lasunidades z, puede expresarse como 100x+ 10y + z. (1,5 puntos)b) Determina, si el problema tiene solucion, el numero de tres cifras que he pensado. (1 punto)

4B. Dados los puntos A(1, λ+ 1,−1), B(2, λ, 0) y C(λ+ 2, 0, 1), se pide:a) Estudia si existe algun valor del parametro λ ∈ R para el que A, B y C esten alineados. (1,25 puntos)b) Para λ = −1, da la ecuacion implıcita del plano π que contiene a los puntos A, B y C. (1,25 puntos)

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Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEMATICAS II

Instrucciones: El alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.

Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.

Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntua 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. Calcula los siguientes lımites:

lımx→0

ln(1 + 2x)

xesenx, lım

x→0(1 + tanx)

1x+sen x (1,25 puntos cada lımite)

Nota: tanx denota a la tangente de x.

2A. a) Calcula la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) = x2 en el punto de abscisa x = 2.(0,5 puntos)b) Esboza la region encerrada entre las graficas de f(x), la recta calculada en el apartado a) y el eje deordenadas. (0,5 puntos)c) Calcula el area de la region anterior. (1,5 puntos)

3A. a) Enuncia el Teorema de Rouche-Frobenius. (0,5 puntos)b) Razona que el sistema de ecuaciones lineales

x + 3y − 3z = 42x − y + z = 13x + 2y − az = 5

a ∈ R

no es incompatible para ningun valor a ∈ R. (1 punto)c) Resuelve el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado. (1 punto)

4A. Dada la recta

r ≡{

2x− y + z = 3x− z = 1

a) Da la ecuacion implıcita del plano π perpendicular a r que pasa por el punto P (2, 1, 1). (1,25 puntos)b) Halla el volumen del tetraedro cuyos vertices son el origen de coordenadas y los tres puntos queresultan al hacer la interseccion de π con los ejes coordenados. (1,25 puntos)

(sigue a la vuelta)

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Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEMATICAS II

PROPUESTA B

1B. Determina como dividir un segmento de 90 cm en dos trozos, de forma que la suma del area delsemicırculo cuyo diametro es uno de ellos y el area de un triangulo rectangulo que tiene como base elotro trozo y cuya altura es π veces su base, sea mınima. (2.5 puntos)Nota: Recuerda que el area de un cırculo de radio r es πr2.

2B. Calcula las integrales∫1√x

(4x3 − 4

√x)dx,

∫x lnx dx (1,25 puntos por integral)

3B. a) Despeja X en la ecuacion matricial A ·X − A = 2A2, donde A y X son matrices cuadradas deorden 3. (1 punto)b) Calcula X, siendo

A =

1 0 21 1 00 0 −1

(1 punto)

c) Calcula los determinantes de las matrices A101 y A1000. (0,5 puntos)

4B. Dados el plano π ≡ x+ ay + 3z = 2, a ∈ R, y la recta

r ≡{

x− 2y + z = −12x− y = 0

a) Halla a para que π y r se corten perpendicularmente. (1,25 puntos)b) Halla a para que π y r sean paralelos. (1,25 puntos)

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